行程问题——环形路(教师版)
奥数行程问题——环形跑道
行程问题——环形跑道环形跑道问题就是封闭路线上的追及问题，关键是要掌握从并行到下次追及的路程差恰好是一圈的长度。
1、相遇问题:题型特点：甲、乙两人同时从同地反向出发。
解题规律：两人相遇时一起走一圈（跑道周长）.之后每见面一次，就一起走1圈；见面n次，两人一起走n个周长。
2、追及问题：题型特点:甲、乙两人同时从同地同向出发。
解题规律：开始出发时由于速度不同两人之间的距离会越来越远，之后快的会追上慢的,此时快的人比慢的人多走1圈（路程差为跑道周长）。
之后每追上一次，就多走1圈；追上n次，快的就比慢的多走n个周长。
3、需要处理的问题：a、环形跑道中速度、时间、路程之间的关系处理。
b、多次追及问题的处理.c、不同地点出发的追及问题。
1、一个圆形荷花池的周长为400米，甲、乙两人绕荷花池顺时针跑步.甲每分钟跑250米,乙每分钟跑200米，现在甲在乙后面50米,甲第二次追上乙需要多少分钟？2、一条环形跑道长400米,小青每分钟跑260米，小兰每分钟跑140米，两人同时反向出发，经过几分钟两人相遇?3、上海小学有一长300米长的环形跑道,小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑6米,小胖每秒钟跑4米,小亚第一次追上小胖时，小胖跑了多少米?4、幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第2次追上晶晶时，冬冬跑了多少圈？5、甲、乙二人骑自行车从环形公路上的同一地点出发，背向而行。
现在已知甲走一圈的时间为75分钟，如果在出发后第50分钟甲、乙两人相遇,那么乙走一圈的时间是多少分钟？6、甲、乙二人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。
现在已知甲走一圈的时间是70 分钟，如果在出发后45分钟甲、乙二人相遇，那么乙走一圈的时间是多少分钟？7、两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑．甲每分钟跑250米,乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发,经过几分钟两人相遇？8、在400米的环形跑道上,甲、乙两人同时同地起跑,如果同向而行3分20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快,求甲的速度是多少米/秒？9、环形跑道的周长是800米，甲乙两名运动员同时顺时针自起点出发，甲的速度是每分钟400米，乙的速度是每分钟375米。
五年级奥数行程环形跑道教师版
五年级奥数行程环形跑道教师版The document was prepared on January 2, 2021本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。
是多人（一般至少两人）多次相遇或追及的过程解决多人多次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进行分析。
一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：路程和=相遇时间×速度和 路程差=追及时间×速度差 二、解环形跑道问题的一般方法：环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。
环线型同一出发点直径两端同向：路程差 nS nS +相对(反向)：路程和nS【例 1】一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行．黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米．经过几分钟才能相遇【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆【题型】解答例题精讲知识框架环形跑道【解析】黄莺和麻雀每分钟共行6659125+=（千米），那么周长跑道里有几个125米，就需要几分钟，即500(6659)5001254÷+=÷=（分钟）．【答案】4分钟【巩固】周老师和王老师沿着学校的环形林荫道散步，王老师每分钟走55米，周老师每分钟走65米。
已知林荫道周长是480米，他们从同一地点同时背向而行。
在他们第10次相遇后，王老师再走米就回到出发点。
【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆【题型】填空【解析】几分钟相遇一次：480÷（55＋65）=4（分钟）10次相遇共用：4×10=40（分钟）王老师40分钟行了：55×40=2200（米）2200÷480=4（圈）……280（米）所以正好走了4圈还多280米，480－280=200（米）答：再走200米回到出发点。
第4讲 环形行程问题1
典型例题1甲、乙两人同时从同一地点出发，同向绕一环形跑道赛跑，甲每秒跑4米，乙每秒跑6米，过了4分钟，乙追上了甲，问跑道一周长多少米？举一反三11、小玲和小兰绕一环形跑道赛跑，她们同时同地同向起跑，小玲每分钟跑80米，小兰每分钟跑50米，过了20分钟小玲追上了小兰，问跑道一周的长是多少米？2、王叔叔和李叔叔同时从运动场的同一地点出发，同向绕运动场跑道赛跑，王叔叔每分钟跑300米，李叔叔每分钟跑280米，过了20分钟，王叔叔追上了李叔叔，问跑道一周长多少米？3、两名运动员同时同地出发，同向绕周长为1000米的环形广场竞走，已知第一位运动员每分钟走125米，第二位运动员的速度是第一位运动员的2倍。
第二位运动员追上第一位运动员需要多少分钟？典型例题2兄妹二人在周长60米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池行走，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米。
他们第10次相遇时需要多长时间？举一反三21、姐弟二人在周长420米的圆形花圃边玩，从同一地点同时背向绕水池行走，姐姐每分钟走60米，弟弟每分钟走40米。
他们第五次相遇时需要多长时间？2、小红和小玲绕一环形跑道骑自行车。
她们从同一地点背向绕水池行进。
小红每分钟行200米，小玲每分钟行160米。
已知环形跑道一周的长为1080米。
他们第8次相遇小红走了多少米？3、甲、乙二人绕圆形场地跑步。
场地一周的长是300米，他们从同一地点出发背向而行。
甲每分钟行80米，乙每分钟行70米，他们第6次相遇时甲比乙一共多走多少米？典型例题3一个圆形荷花池的周长为400米，甲、乙两人绕荷花池顺时针跑步。
甲每分钟跑250，乙每分钟跑200米，现在甲在以后面50米，甲第二次追上乙需要多少分钟？举一反三31、甲、乙二人绕一环形跑道顺时针跑步，圆形跑道的长是600米，甲每分钟跑300米，乙每分钟跑280米，现在甲在乙后面40米，甲第二次追上乙需要多少分钟？2、绕湖一周的长是500米，小许和小张顺时针绕湖竞走。
环形路上的行程问题
广东省育苗杯专题-张观生手录环形路上的行程问题1、一片草坪边有一条环形路，甲、乙二人在一条环形路上练习跑步，甲每分钟跑210米，乙每分钟跑180米，二人同时同地出发，背向而跑，4分钟相遇。
如果二人同时同地出发，同向而跑，甲多少分钟第一次追上乙？2、甲、乙、丙三人在长2970米的环形路上的同一地点同时出发，甲、乙同向，丙与甲、乙背向而走，甲每分钟走90米，乙每分钟走80米，丙在距离乙180米处遇见甲。
丙每分钟走多少米？3、甲、乙二人在400米环形跑道上的同一点同时出发，背向而跑，两人相遇后，乙立即回头跑，并把速度提高到原速的1.4倍，甲、乙二人同时回到出发点之后甲立即回头跑，并把速度提高到原速的1.5倍。
问甲从出发到二人再次相遇，一共跑了多少米？4、一个湖的湖边有一条小路环绕，小志从小路的A点，小华从小路的B点同时出发，背向而行走（如图）经9分钟二人相遇，再过6分钟，小志走到B点，再过12分钟，二人再次相遇，小志在这条小路绕湖这走一圈要多少分钟？5、一个游泳池长50米，甲、乙二人在两端同时开始往返游泳，甲每秒钟游1.6米，乙每秒钟游1.4米，游了10分钟，两人迎面相遇多少次？练习：1、甲、乙二人在一个环形道路上练习跑步，甲每分钟跑195米，乙每分钟跑225米，两人同时同地出发，同向而跑，乙跑28分钟追上甲；如果两人同时同地出发，背向而跑，多少分钟相遇？2、甲、乙、丙三人在一条环形路上的同一地点同时出发，甲、乙同向，丙与甲、乙背向而走，丙走12分钟遇见甲再过1.2分钟遇见乙。
已知甲每分钟走75米，乙每分钟走60米，那么这条环形路长多少米？3、甲、乙、丙三人在一环形公路上进行自行车的练习，三人同时在同一地点出发，甲、乙同向，丙与甲、乙背向而行，丙遇见乙1.6分钟后遇见甲。
已知甲每分钟行195米，乙每分钟行225米，丙每分钟行180米。
这一环形公路一圈有多少米？4、甲、乙二人在450米的环形跑道的同一点同时出发，背向而走，相遇后乙立即回头走，并把速度提高到原来的1.5倍，二人同时回到出发点，此后甲立即回头跑，并把速度提高到原来的1.25倍。
小学数学6年级培优奥数讲义 第22讲 行程问题(教师版)
第22讲 行程问题①环形路线上的相遇和追及问题； ②速度行程问题与比例关系；③钟面上的行程问题。
问题回顾例1、一条船顺水航行48千米，再逆水航行16千米，共用了5小时；这知船顺水航行32千米，再逆水航行24千米，也用5小时。
求这条船在静水中的速度。
【解析】这道题的数量关系比较隐蔽，我们条件摘录整理如下:顺水 逆水 时间48千米 16千米 5小时 32千米24千米5小时比较条件可知，船顺水航行48千米，改为32千米，即少行了48-32=16(千米)，那么逆水行程就由16千米增加到24千米，这就是在相同的时间里，船顺水行程是逆水行程的16÷8=2倍。
所以“逆水航行16千米”，可转换为“顺水航行16×2=32(千米)，这样船5小时一共顺水航行48+32=80(千米)，船顺水速为80÷5=16千米，船逆水速为16÷2=8(千米)。
船静水速为(16+8)÷2=12(千米)。
例2、甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发，往返跑步。
甲每秒跑3米，乙每秒跑7米。
如果他们的第四次相遇点与第五次相遇点的距离是150米，求A 、B 两点间的距离为多少米？BD E C A【解析】(法一)画图分析知甲、乙速度比为:::3:7S S V V ==乙乙甲甲，第四次相遇甲乙共走:4×2－1＝7(个全程)，教学目标知识梳理甲走了:3×7＝21(份)在C 点，第五次相遇甲乙共走:5×2－1＝9(个全程)，甲走了:3×9＝27(份)在D 点，已知CD 是150米，所以AB 的长度是150÷6×(3+7)＝250(米)。
(法二)也有不画图又比较快的方法:第四次相遇:(2×4－1)×3÷20余数为1 则在x 的位置，第五次相遇:(2×5－1)×3÷20余数为7 则在7x 的位置，x 表示速度基数716x x x -=， 6150x =，10101506250x =⨯÷=(米)，即全程AB 为250米。
第12讲 环形行程问题
第12讲环形行程问题【知识要点】<要点1> 同地背向情景设置：两人从同一个地点相背出发①环形1次相遇，相遇时间=路程和÷速度和，路程和=整个环形长度，这里使用1份时间；②环形2次相遇，这里使用2份时间；③环形3次相遇，这里使用3份时间；……环形跑道问题同一地点出发，如果是相背出发，则每合走一圈相遇一次<要点2> 同地相向情景设置：两人从同一个地点同向出发①环形1次相遇，相遇时间=路程差÷速度差，路程差=整个环形长度，这里使用1份时间；②环形2次相遇，这里使用2份时间；③环形3次相遇，这里使用3份时间；……环形跑道问题同一地点出发，如果是同向出发，则每追上一圈相遇一次【精讲精练】<例题1>一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行．黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米．经过几分钟第一次相遇？再过多少分钟第二次相遇？<练习1>甲、乙两人骑自行车从环形公路上同一地点同时出发，背向而行。
这条公路长2400米，甲骑一圈需要10分钟。
如果第一次相遇时甲骑了1440米。
请问：乙骑一圈需要多少分钟？再过多久他们第二次相遇？<例题2>甲、乙两人在300米长的环形跑道上跑步，他俩同时同地同向出发，甲的速度是每秒5米，乙的速度是每秒3米，那么过多少时间后甲第一次追上乙？再过多少时间甲第三次追上乙？<练习2>一条环形跑道长400米，甲骑自行车每分钟骑450米，乙跑步每分钟250米，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？再过多少分钟第4次相遇？上海小学有一长300米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑6米，小胖每秒钟跑4米，(1)小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？(2)小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈？<练习3>幸福村小学有一条200米长的环形跑道，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒钟跑6米，晶晶每秒钟跑4米，问冬冬第一次追上晶晶时两人各跑了多少米，第2次追上晶晶时两人各跑了多少圈？<例题4>在300米的环形跑道上，田奇和王强同学同时同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑则半分钟相遇，求两人的速度各是多少？<练习4>在环形跑道上，两人在一处背靠背站好，然后开始跑，每隔4分钟相遇一次；如果两人从同处同向同时跑，每隔20分钟相遇一次，已知环形跑道的长度是1600米，那么两人的速度分别是多少？甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇。
第九讲 环形跑道(师)
第九讲环形跑道问题一、课堂引入环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。
二、典例解析【例题1】【题干】张磊和王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步.王亮的速度是180米/分.（1）张磊和王亮同时从同一地点出发，反向跑步，75秒后两人第一次相遇，张磊的速度是多少米/分？（2）张磊和王亮同时从同一点出发，同一方向跑步，张磊跑多少圈后才能第一次追上王亮？【答案】：解：（1）500÷1－200=300（米/分）．（2）500÷(300－200)=5（分） 300×5÷500=3（圈）．【解析】：⑴两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程．张磊的速度是500÷1－200=300（米/分）．⑵在环形的跑道上，张磊要追上王亮，就是张磊比王亮多跑一圈（一个周长），因此需要的时间是：500÷(300－200)=5（分） 300×5÷500=3（圈）．【活学活用1】【题干】淘气和笑笑在周长为800米的环形跑道上进行长跑。
淘气的速度是40米/分，笑笑的速度是60米/分。
（1）淘气和笑笑同时从同一地点出发反向跑步，两人几分钟后第一次相遇？（2）淘气和笑笑同时从同一地点出发，同一方向跑步，笑笑跑几分钟能第一次追上淘气？【答案】：解：（1）800÷（60+40）=48分）（2）800÷（60-40）=40（分）【活学活用2】【题干】如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走（一个顺时针，另一个逆时针），他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.【答案】：解：第一次相遇，两人合起来走了半个周长；第二次相遇，两个人合起来又走了一圈.从出发开始算，两个人合起来走了一周半.因此，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，那么从A 到D 的距离，应该是从A 到C 距离的3倍，即A 到D 是80×3＝240（米）.240-60=180（米）.180×2＝360（米）.【例题2】【题干】有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。
第五讲环形道路上的行程问题
第五讲环形道路上的行程问题一、知识要点和基本方法1．行程问题中的基本数量关系式：速度×时间＝路程；路程÷时间＝速度；路程÷速度＝时间．2．相遇问题中的数量关系式：速度和×相遇时间＝相遇路程；相遇路程÷速度和＝相遇时间；相遇路程÷相遇时间＝速度和．3．追及问题中的数量关系式：速度差×追及时间＝追及距离；追及距离÷速度差＝追及时间；追及距离÷追及时间＝速度差．4．流水问题中的数量关系式：顺水速度＝船速十水速；逆水速度＝船速一水速；船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷2；水速＝（顺水速度－逆水速度）÷2．5．应该注意到：（1）顺逆风中的行走问题与顺逆水中的航行问题考虑方法类似；（2）在一条路上往返行走与在环形路上行走解题思考方法类似，因此不要机械地去理解环形道路长的行程问题．二、例题精讲例1 李明和王林在周长为400米的环形道路上练习跑步．李明每分钟跑200米，是王林每分钟所跑路程的89．如果两人从同一地点出发，沿同一方向前进，问至少要经过几分钟两人才能相遇？分析 由于两人从同一地点同向出发，因此是追及问题，追及距离是400米，可用公式“追及距离÷速度差＝追及时间”．解 追及距离＝400米；返及时的速度差＝200÷89－200． 由公式列出追及时间＝400÷（200÷89－200） ＝400 ÷（225－200）＝400 ÷ 25＝16（分）．答 至少经过16分钟两人才能相遇．例2 如图5－1，A、B是圆的直径的两个端点，亮亮在点A，明明在点B，他们同时出发，反向而行．他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D 点第二次相遇，D点离B点80米．求这个圆的周长．图5-1分析第一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两个人合起来又走了一圈，所以从开始出发到第二次相遇，两个人合起来走了一圈半．也就是说，第二次相遇时两人合起来所走的行程是第一次相遇时合起来所走的行程的3倍，也就是每个人在第二次相遇时所走的行程是第一次相遇时所走的行程的3倍，所以从A到D（A→C→B→D）的距离应该是从A到C（A直接到C）的距离的3倍．于是有解法如下．解 A 到D（A→C→B→D）的距离：100 × 3＝300（米）．半个圆圈长：300－80＝220（米）．整个圆圈长：220 × 2＝440（米）．答这个圆的周长是440米．例3 一个圆的周长为1．44米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发，沿圆周相向爬行．l分钟后它们都调头而行，再过3分钟，他们又调头爬行，依次按照1、3、5、7，…（连续奇数）分钟数调头爬行．这两只蚂蚁每分钟分别爬行5．5厘米和3．5厘米．那么经过多少时间它们初次相遇？再次相遇需要多少时间？分析半圆的周长是÷．．（米）=72（厘米）．1442=072先不考虑往返的情况，那么两只蚂蚁从出发到相遇所花时间为÷（．．）=8（分）．7255+35再考虑往返的情况，则有表5－1．表5－1经过时间（分） 1 3 5 7 9 11 13 15 16在上半圆爬行时间 1 3 5 7 8在下半圆爬行时间 2 4 6 8此可求出它们初次相遇和再次相遇的时间．解由题意可知它们从出发到初次相遇经过时间＝1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＝64（分）．第一次相遇时，它们位于下半圆，折返向上半圆爬去，须爬行17分钟，此时，爬行在下半圆的时间仍为8分钟（与上次在下半圆爬行时间相同），爬行在上半圆的时间应为9（＝17－8）分钟，但在上半圆（相向）爬行8分钟就会相遇，此时总时间又用去了16（＝8＋8）分钟，因此，第二次相遇发生在第一次相遇后又经过了16分钟（从总时间计算则为64＋16＝80（分））．此时，相遇位置在上半圆．答它们经过时分钟初次相遇，再经过16分钟再次相遇，例4 一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点，同时出发同向爬行，用以每秒4厘米的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇，问爬虫乙原来的速度是多少？图5－2分析根据题意画出示意图5－2．观察示意图可知：甲共行了70－30＝40（厘米），所需时间是40÷4＝10（秒）．在10秒内，乙按原速度走了15厘米，按2倍的速度走了15＋30＝45（厘米），假如全按原速走，乙10秒共走15＋45÷2＝37．5（厘米），由此可求出乙原来的速度．解（70－30）÷4＝40 ÷ 4＝10（秒），［（30＋15）÷2＋15］÷ 10．÷10＝375?．（厘米/秒）．＝375?答爬虫乙原来的速度是每秒爬3．75厘米例5 如图5-3，沿着边长为90米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米，当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上？图5-3分析这是环形追及问题．这类问题可以先看成“直线”追及问题，求出乙追上甲所需要的时间，再回到“环形”追及问题，根据乙在这段时间内所走路程，推算出乙应在正方形哪一条边上．解设追上甲时乙走了x分钟．依题意，甲在乙前方3 × 90＝270（米），故有72x ＝65x ＋ 270，解得x ＝2707 在这段时间内乙走了72×2707＝277717 由于正方形边长为90米，共四条边，所以由277717＝3 0× 90＋7717＝（4× 7＋2）×90＋7717， 可以推算出这时甲和乙应在正方形的AD 边上．答 当乙第一次追上甲时在正方形的AD 边上．例6 150人要赶到90千米外的某地去执行任务．已知步行每小时可行10千米．现有一辆时速为70千米的卡车，可乘50人．请你设计一种乘车及步行的方案，能使这150人在最短的时间内全部赶到目的地．其中，在中途每次换车（上、下车）时间均忽略不计．解 显然，只有人、车不停地向目标前进，车一直不停地往返载人，最后使150人与车同时到达目的地时，所用的时间才会最短．由于这辆车只能乘坐50人，因此将150分为3组，每组50人来安排乘车与步行．图5－4中，实线表示汽车往返路线（AE →EC →CF →FD →DB ），虚线表示步行路段．显然每组乘车、步行的路程都应一样多．所以图5-4AE ＝CF ＝DB ，且AC ＝CD ＝EF ＝FB ．若没AE ＝CF ＝DB ＝x ，AC ＝CD ＝EF ＝FB ＝y ，则290x y +=．且因为汽车在AE 十EC 上所用的时间与步行AC 所用时间相同，所以()7010x x y y +-= 解方程组290x y += ()7010x x y y +-=得60,15x y ==．则150人全部从A 到B 最短时间为602156370107⨯+=小时 答 方案是50人一组，共分3组，先后分别乘60千米车，先后分段步行30千米，由A 同时出发，最后同时到B ，最短时间是637小时． 例7 甲、乙二人沿椭圆形跑道作变速跑训练：他们从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈。
行程问题——环形路(教师版)
行程问题——环形路（教师版）一、【本讲知识点】在环行道路上的行程问题本质上讲是追及问题或相遇问题。
当二人（或物）同向运动就是追及问题，追及距离是二人初始距离及环形道路之长的倍数之和；当二人（或物）反向运动时就是相遇问题，相遇距离是二人从出发到相遇所行路程和。
二、【本讲经典例题】【铺垫】如下图，两名运动员在沿湖周长为2250米的环形跑道上练习长跑。
甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。
两人同时同地同向出发，多少分钟后甲第1次追上乙？若两人同时同地反向出发，多少分钟后甲、乙第1次相遇？分析与解答：2250÷（250-200）=2250÷50=45（分钟），即45分钟后甲第1次追上乙；2250÷（250+200）=2250÷450=5（分钟），即5分钟后甲、乙第1次相遇. 【例1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。
甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。
两人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙。
如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？（1）（2）分析与解答：根据图（1）用追及问题公式求出环形跑道的长，因从同一点出发，距离差=跑道长。
（250-200）×45=2250（米）。
同理，在环形跑道上，若反向而行，从同一点出发两人相遇所经过的路程和=跑道长。
如图（2），2250÷（250+200）=5（分钟）即经过5分钟两人相遇。
【随堂练习1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。
甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。
两人同时同地同向出发，54分钟后甲追上乙。
如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？一问分析与解答：具体分析见例题。
环形跑道周长：（250-200）×54=2700（米），两人相遇时间：2700÷（250+200）=2700÷450=6（分钟），即经过6分钟后两人相遇。
小学数学《环形路上的行程问题》教案
小学数学《环形路上的行程问题》教案教学内容：教学目标1．理解环形路上的行程问题的基本特点，并能解答简单的应用题．2．培养学生初步的逻辑思维能力和解决简单实际问题的能力．3．渗透运动和时间变化的辩证关系．教学重点：掌握求路程的相遇问题的解题方法。
教学难点：理解相遇问题中时间和路程的特点。
教学方法：自主探究、合作交流教学准备：多媒体课件教学过程：一、集体小游戏让学生重温龟兔赛跑的故事，让学生分别扮演乌龟和兔子，演示在环形跑到上的行程问题。
二、导入新课：1、导入新课，板书课题。
2、环形路上的行程问题：顾名思义，即在环形路上的相遇和追及等问题。
环形路上有下列常见三类问题：相遇问题；追及问题；相遇和追及综合问题。
环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，则每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。
三、自主探究：1、出示例1：环形路上的追及问题【例1】甲乙二人沿周长为600米的环形跑道练习跑步，甲的速度为3米／秒，乙的速度为5米／秒，他们从同一地点同时出发。
乙多长时间后能追上甲？2、引导学生读题，分析题意：3、学生自主探究。
4、交流汇报，教师点拨。
【思路点拨】乙要想追上甲，需要多跑上一圈的路程，所以乙的追及距离为600米。
追及速度为（5－3）＝2米／秒，根据追及路程追及时间＝追及速度可求出乙追上甲所需要的时间是多少解：600÷（5－3）＝300（秒）。
答：乙300秒后能追上甲。
四、巩固练习：【变式题1】甲乙两人沿周长为600米的环形跑道练习跑步，已知乙的速度为5米／秒，他们从同一地点同时出发。
乙300秒追上甲，问甲的速度是多少？五、学习例2：环形路上的相遇问题【例2】小张、小李二人在400米的环形跑道上从同一地点同时出发相向而行，已知小张的速度是5米／秒，小李的速度为3米／秒，那么二人多长时间后相遇？2、引导学生读题，分析题意：3、学生自主探究。
五年级奥数.行程.环形跑道.教师版
本讲中的行程问题是特殊场地行程问题之一。
是多人〔一般至少两人〕屡次相遇或追与的过程解决多人屡次相遇与追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状态作出正确合理的线段图进展分析。
一、在做出线段图后，反复的在每一段路程上利用：路程和=相遇时间×速度和路程差=追与时间×速度差二、解环形跑道问题的一般方法：环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，那么每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，那么每追上一圈相遇一次．这个等量关系往往成为我们解决问题的关键。
环线型同一出发点直径两端 同向：路程差nS nS +0.5S 相对(反向)：路程和nS nS-0.5S【例 1】一个圆形操场跑道的周长是500米，两个学生同时同地背向而行．黄莺每分钟走66米，麻雀每分钟走59米．经过几分钟才能相遇?【考点】行程问题之环形跑道 【难度】☆☆【题型】解答【解析】 黄莺和麻雀每分钟共行6659125+=〔千米〕，那么周长跑道里有几个125米，就需要几分钟，即500(6659)5001254÷+=÷=〔分钟〕． 例题精讲知识框架环形跑道【答案】4分钟【巩固】周老师和王教师沿着学校的环形林荫道散步，王教师每分钟走55米，周教师每分钟走65米。
林荫道周长是480米，他们从同一地点同时背向而行。
在他们第10次相遇后，王教师再走米就回到出发点。
【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆【题型】填空【解析】几分钟相遇一次：480÷〔55＋65〕=4〔分钟〕10次相遇共用：4×10=40〔分钟〕王教师40分钟行了：55×40=2200〔米〕2200÷480=4〔圈〕……280〔米〕所以正好走了4圈还多280米，480－280=200〔米〕答：再走200米回到出发点。
【答案】200米【例 2】小学有一长300米长的环形跑道，小亚和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒钟跑6米，小胖每秒钟跑4米，(1)小亚第一次追上小胖时两人各跑了多少米？(2)小亚第二次追上小胖两人各跑了多少圈？【考点】行程问题之环形跑道【难度】☆☆【题型】解答【解析】第一次追上时，小亚多跑了一圈，所以需要300(64)150÷-=秒，小亚跑了6150900⨯=〔米〕。
第5讲 环形路上的行程问题
第5讲环形路上的行程问题（一）例题1、如图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。
甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。
两人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙。
如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇？（答案：5）米/分米/分250米/分200米/2、如图是一个图形中央花园，A、B是直径的两端。
小军在A点，小明在B点，同时出发相向而行，他俩第1次在C点相遇，C点离A点有50米；第2次在D点相遇，D点离B点有30米。
问这个花园一周长多少米？（答案：240）3、如图，一个边长为100米的正方形跑道。
甲从A点出发，乙从C点出发都逆时针同时起跑，甲的速度每秒7米，乙的速度每秒5米。
他们拐弯处都要停留5秒，当甲第一次追上乙时，乙跑了多少米？（答案：600）乙4、如图所示是一个玩具火车轨道，A点有个变轨开关，可以连结B或者C。
小圈轨道的周长是1.5米，大圈轨道的周长是3米。
开始时，A连结C，火车从A点出发，按照顺时针方向在轨道上移动，同时变轨开关每隔1分钟变换一次轨道连结。
若火车的速度是每分钟10米，则火车第10次回到A点时用了几分钟？（答案：2.1）B5、甲乙两人在一条圆形跑道上同时同向出发，绕圆形跑道跑步。
已知两人在跑步过程中速度均保持不变，且甲跑得比乙快。
当甲第一次追上乙时，乙离开出发点250米；当甲第二次追上乙时，乙离开出发点50米。
求跑道长。
（答案：150或550）6、如图，三个环形跑道相切排列，每个环形跑道周长均为210厘米。
甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发。
甲爬虫绕1、2号环形跑道作“8”字形循环运动，乙爬虫绕3、2号环形跑道作“8”字循环运动，已知甲乙两只爬虫的速度分别是每分钟20、15厘米。
问甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少米？（答案：300）（二）练习1、甲乙两运动员在周长为400米的环形跑道上同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟80米，甲的平均速度是乙的1.25倍，甲在乙前面100处。
第六讲环形道路上行程问题
• 【例1】小张和小王各自以一定的速度在周长为 800米的环形跑道上跑步。小王每分钟跑 100米。 (1＞小张和小王同时从同一个地点出发，反向跑 步，5分钟后两人相遇，求小张的速度.
• (2)小张和小王同时从同一地点出发，沿同一方向 _，经过多少分钟两人第•次在途中 相遇？解答环 形行程问题时要采用化曲为直的方法，两人同时 间地竹向而彳/,那么 相遇时两人和走了一个环形 全程；如果两人同时同地同向而行，那么相遇时 正好快的追］：了 慢的一个环形全程。
• ①速度和:800÷5=160（米/分）小张:160-100＝ 60(米/分)
• ② 追及问题:800÷160＝5（分钟）800÷（10060）＝20（米/分）
• 【例2】有一条长400米的环形跑道，甲、乙两人 同时同地出发，反向而行，1分钟后第一 次相遇， 若二人同时同地出发，同向而行，则10分钟后第 一次相遇，若甲比乙快，那么甲、乙二人的速度 分别是多少？
• 2、入冬前，妈妈买来了一筐苹果，清理时， 发现这筐苹果2个、2个的数，余1个； 3个、 3个的数，余2个； 4个、4个的数，余3个； 5个、5个的数，余4个； 6个、6个 的数，余 5个。你知道这筐苹果至少有多少个吗？
• 答:苹果个数比2，3，4，5，6的最小公倍数 小1，（2，3，4，5，6）=60
• 60-1＝59（个）
• 答:这筐苹果至少有59个。
第六讲环形道路上的行程问题
1、 “环形跑道”，也是称为封闭回路，它 可以是圆形的、长方形的、三角形的，也可以 是 由长方形和两个半圆组成的运动场形状。解 题时，我们可以运动“转化法”把线路“拉直” 或“截断”，从而把物体在“环形路道”上的 运动转化亨我们熟悉的物体在直线上的运动。 2、 在行程问题中，与环形有关的行程问题 的解决方法長一般行程问题的方法类似，但有 两 点值得注意•• 一是两人同地背向运动，从第 一次相遇到下一次相遇共行一个全程.二是同地、 同向运动时，甲追上乙时甲比乙多行一个行程。
环形线路行程问题(完整资料).doc
【思路点拨】3分钟两人共跑3圈，且甲比乙多跑1圈，即甲跑2圈乙跑1圈.
【思路点拨】 先求出林玲在环形跑道上跑一圈的时间，(可变为两个两圈路程除以速度和)就可以求出前一半时间所跑的路程，即求出后一半路程所用的时间.
解：450×2÷(4＋5)＝100
因为前一半时间跑5×(100÷2)＝250(米)，
所以前一半路程都是用每秒5米的速度跑的，用了(450÷2)÷5＝45(秒)，后一半路跑了
2.爷爷和孙子两人同时从同一地点反向绕一条环路跑步，在第一次相遇后，爷爷又跑了8分钟回到原地，已知孙子跑一圈需要6分钟，爷爷跑一圈的时间为偶数，爷爷跑一圈需要多少分钟？
3.在田径运动会上，甲、乙、丙三人沿400米环形跑道进行800米跑比赛.当甲跑完1圈时，乙比甲多跑 圈，丙比甲少跑 圈.如果他们各自跑步的速度始终不变，那么，当乙到达终点时，丙离终点还有______米.
※例3有一个圆形水池，周长500米.甲乙二人同时、同地出发围绕水池相背而行，5分钟相遇；如果同时、同地、同向而行，50分钟相遇(甲追上乙).每人每分钟各走多少米？
【思路点拨】 根据相遇问题的规律求出速度和，再根据追及问题的规律求出速度差，最后根据和差问题的规律求出个人的速度.
解：①500÷5＝100(米) 速度和
100－45＝55(秒).
练一练5甲乙两人绕周长为1000米的环形广场竞走，已知甲每分钟走125米，乙的速度是甲的2倍，现在甲在乙后面250米，乙追上甲需要多少分钟?
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
行程问题——环形路（教师版）一、【本讲知识点】在环行道路上的行程问题本质上讲是追及问题或相遇问题。
当二人（或物）同向运动就是追及问题，追及距离是二人初始距离及环形道路之长的倍数之和；当二人（或物）反向运动时就是相遇问题，相遇距离是二人从出发到相遇所行路程和。
二、【本讲经典例题】【铺垫】如下图，两名运动员在沿湖周长为2250米的环形跑道上练习长跑。
甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。
两人同时同地同向出发，多少分钟后甲第1次追上乙若两人同时同地反向出发，多少分钟后甲、乙第1次相遇;分析与解答：2250÷（250-200）=2250÷50=45（分钟），即45分钟后甲第1次追上乙；2250÷（250+200）=2250÷450=5（分钟），即5分钟后甲、乙第1次相遇.【例1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。
甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。
两人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙。
如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇`（1）（2）分析与解答：根据图（1）用追及问题公式求出环形跑道的长，因从同一点出发，距离差=跑道长。
（250-200）×45=2250（米）。
同理，在环形跑道上，若反向而行，从同一点出发两人相遇所经过的路程和=跑道长。
如图（2），2250÷（250+200）=5（分钟）即经过5分钟两人相遇。
【随堂练习1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。
甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米。
两人同时同地同向出发，54分钟后甲追上乙。
如果两人同时同地反向而跑，经过多少分钟后两人相遇'分析与解答：具体分析见例题。
环形跑道周长：（250-200）×54=2700（米），、两人相遇时间：2700÷（250+200）=2700÷450=6（分钟），即经过6分钟后两人相遇。
【拓展】甲、乙两运动员在周长为400米环形跑道上同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟80米，甲的平均速度是乙的倍，甲在乙前面100米处。
问几分钟后，甲第一次追上乙分析与解答：具体分析过程略。
15分钟。
【铺垫】下图是一个圆形中央花园，A、B是直径的两端，小军在A点，小勇在B点，同时出发相向而行。
他俩第1次相遇时，小军走了50米，当他们第2次相遇时，小军走了多少米`分析与解答：第1次相遇，俩人合起来走了半周长，从1次相遇开始到第2次相遇两人共走了一周长，两次共走了一周半。
所以，小军从开始到第2次相遇走了50米的3倍，即走了50×3=150（米）。
【例2】如下图，是一个圆形中央花园，A、B是直径的两端，小军在A点，小勇在B点，同时出发相向而行。
他俩第1次在C点相遇，C点离A点有50米；第二次在D点相遇，D 离B有30米。
问这个花园一周长多少米分析与解答：第1次相遇，俩人合起来走了半周长，从C点开始第2次在D点相遇两人共走了一周长，两次共走了一周半。
小军从A→C→D走了50米的3倍，即走了50×3=150（米）。
去掉BD之间的距离，就是半个圆周的长，所以一周的长度为（150-30）×2=240（米）。
【随堂练习2】如下图，A、B是圆直径的两端点，亮亮在点A，明明在点B，相向而行。
他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B点80米。
求圆的周长。
）分析与解答：具体分析过程见例题。
440米。
【拓展】如下图，在一圆形跑道上。
小明从A点，小强从B点同时出发，相向行走。
6分钟后，小明与小强相遇，再过4分钟，小明到达B点，又再过8分钟，小明与小强再次相遇。
问：小明环行一周要多长时间！ 分析与解答：这是一个相遇问题，因为两人6分钟相遇，且再过4分钟小明到达B 点，所以，小明走4分钟的路程相当于小强走6分钟的路程。
从第一次相遇到再相遇小明走了4+8=12分钟，当然小强也走了12分钟，但他走的路程只相当于小明走8分钟的路程，再次相遇，一定是两人合走了一圈，因此小明走一圈需12+8=20分钟。
【铺垫】如下图三个环形跑道相切排列，每个环形跑道周长均为210厘米。
甲、乙两只爬虫分别从A 、B 两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字型循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字型循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度都是每分钟17.5厘米。
问：甲、乙两只爬虫多少分钟后第一次相遇分析与解答：由题意可知，甲、乙爬虫第一次相遇走的距离是一周半，即210+210÷2=315厘米。
所以第一次相遇所用时间为315÷（+）=9（分钟）。
：【例3】如下图三个环形跑道相切排列，每个环形跑道周长均为210厘米。
甲、乙两只爬虫分别从A 、B 两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字型循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字型循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度都是每分钟厘米。
问：甲、乙两爬虫多少分钟后第二次相遇分析与解答：解法一：由“铺垫”知，甲、乙两爬虫第一次相遇用9分钟。
又知甲、乙两爬虫从第一次相遇到第二次相遇又走了一个圆周。
所以第一次相遇到第二次再相遇所用时间为：210÷（+）=210÷35=6（分钟）。
即甲、乙两爬虫用15（9+6=15）分钟后第二次相遇。
解法二：因为甲、乙两爬虫的速度一样，所以，甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲、乙爬虫分别爬了45周，即210×45=厘米。
÷=15（分钟），即甲、乙两爬虫15分钟后第二次相遇。
注：这种解法用到了小数和分数的乘除法知识，超出了五年级学生的认知水平。
%【随堂练习3】如下图，三个环形跑道相切排列。
甲、乙两只爬虫分别从A 、B 两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字型循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字型循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度都是每分钟20厘米，甲、乙两只爬虫爬行20分钟后第二次相遇，问每个环形跑道的周长为多少厘米分析与解答：甲、乙两爬虫第二次相遇总爬行的距离为：（20+20）×20=800（厘米）由题意及图可知：甲、乙两爬虫第二次相遇时，共爬行的距离为5个半周长。
;所以每个环形跑道的周长为：800÷5×2=320（厘米）。
【拓展】如下图，三个环行跑道相切排列，每个环行跑道周长均为210厘米。
甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字型循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字型循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别是每分钟20、15厘米。
问甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米分析与解答：具体分析过程略。
300厘米。
《【铺垫】有一条长500米的环形跑道，小军从跑道上某一点出发逆时针跑步，他总共跑了5525米。
问：小军是在离起点多少米处停下来的分析与解答：因为5525÷500=11…25（米），所以5525米相当于11圈余25米，即小军是在离起点25米处停下来的。
【例4】甲、乙从360米的环行跑道上的同一地点同向跑步。
甲每分钟跑305米，乙每分钟跑275米。
两人起跑后，第一次相遇在离起点多少米处分析与解答：甲第一次追上乙需用时间360÷（305-275）=360÷30=12（分），第一次相遇甲跑的路程305×12=3660（米），3660米相当于10圈60米（3660÷360=10…60），所以第一次相遇在离起点60米处。
【随堂练习4】甲、乙从1740米的环行跑道上的同一地点反向跑步。
甲每分钟跑300米，乙每分钟跑280米。
两人同时起跑后，第一次相遇在离起点多少米处分析与解答：甲、乙第一次相遇用时间1740÷（300+280）=1740÷580=3（分钟），相遇时乙跑的路程280×3=840（米）。
（注：椭圆上两点间的距离是短弧的长）所以第一次相遇离起点840米。
&【拓展】如下图，沿着长为70米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米，乙从B出发，每分钟走72米。
当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上分析与解答：由题意可知，这是乙追甲的追及问题。
因此甲在乙前方70×3=210米。
乙第一次追上甲时用时间：210÷（72-65）=210÷7=30（分钟）。
乙追上甲时形的路程：72×30=2160（米）。
2160=（4×7+2）×70+60（米），即，乙走了4圈后又跑了两条边BC、CD，在AD 距D点60米处追上甲。
故，乙第一次追上甲时是在AD边上。
：【铺垫】甲、乙两名运动员的速度和是800米/分，速度差是100米/分，且已知甲运动员比乙运动员跑得快，问甲、乙两名运动员的速度各是多少分析与解答：甲运动员的速度：（800+100）÷2=450米/分，乙运动员的速度：（800-100）÷2=350米/分。
【例5】有一条长500米的环行跑道。
甲、乙两人同时从跑道上某一点出发，反向而跑，1分钟后相遇；如果两人同向而跑，则10分钟后相遇。
已知甲跑的比乙快。
问甲、乙两人每分钟各跑多少米分析与解答：甲、乙的速度和为500÷1=500米/分。
甲、乙的速度差为500÷10=50米/分，所以甲的速度为（500+50）÷2=275米/分，乙的速度为500-275=225米/分。
【随堂练习5】有一条沿湖的环行跑道长1120米。
甲、乙两人同时从跑道上某一点出发，如果同向而跑，25分钟相遇；如果两人反向而跑则2分钟后相遇。
又已知乙比甲跑得快。
问甲、乙每分钟各跑多少米分析与解答：甲、乙两人的速度差1120÷28=40米/分，甲、乙两人的速度和1120÷2=560米/分.又因为乙比甲跑得快，所以，甲的速度：（560-40）÷2=260米/分；乙的速度：（560+40）÷2=300米/分.,【拓展】一个圆的周长90厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点同时爬行，若反向而爬，10分钟后相遇；若同向而爬，90分钟后相遇。
又已知甲爬虫比乙爬虫爬得快。
问甲、乙两爬虫每秒钟各爬多少米分析与解答：具体分析过程见例题。
甲爬虫5厘米/秒，乙爬虫4厘米/秒。
【铺垫】小明从A点出发，沿400米环行跑道行走，每分钟走80米，问小明第二次出现在A点时用多少分钟（不算起始时在A点）分析与解答：小明第一次出现在A点用时间：400÷80=5（分钟），所以第二次出现在A点用时间：5×2=10（分钟），【例6】甲、乙两人同时从A点反向出发，沿400米环行跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，这两人至少用多少分钟再在A点相遇分析与解答：甲第一次出现在A点用时间400÷80=5（分钟），以后每隔5分钟就会出现在A点一次；乙第一次出现在A点用时间400÷50=8（分钟），以后每隔8分钟就会出现在A 点一次。