第5章线性规划模板
第五章运筹学线性规划在管理中的应用案例
第五章线性规划在管理中的应用某企业停止了生产一些已经不再获利的产品，这样就产生了一部分剩余生产力。
管理层考虑将这些剩余生产力用于新产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的生产。
可用的机器设备是限制新产品产量的主要因素，具体数据如下表：司的利润最大化。
1、判别问题的线性规划数学模型类型。
2、描述该问题要作出决策的目标、决策的限制条件以及决策的总绩效测度。
3、建立该问题的线性规划数学模型。
4、用线性规划求解模型进行求解。
5、对求得的结果进行灵敏度分析（分别对最优解、最优值、相差值、松驰/剩余量、对偶价格、目标函数变量系数和常数项的变化范围进行详细分析）。
6、若销售部门表示，新产品Ⅰ、Ⅱ生产多少就能销售多少，而产品Ⅲ最少销售18件，请重新完成本题的1-5。
解：1、本问题是资源分配型的线性规划数学模型。
2、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为：+ +决策的限制条件：8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件4x1+ 3x2≤350 车床限制条件3x1+ x3≤150 磨床限制条件即总绩效测试（目标函数）为：max z= + +3、本问题的线性规划数学模型max z= + +S．T．8x1+ 4x2+ 6x3≤5004x1+ 3x2≤3503x1+ x3≤150x1≥0、x2≥0、x3≥04、用Excel线性规划求解模板求解结果：最优解（50，25，0），最优值：30元。
5、灵敏度分析目标函数最优值为: 30变量最优解相差值x1 50 0x2 25 0x3 0 .083约束松弛/剩余变量对偶价格1 0 .052 75 03 0 .033目标函数系数范围:变量下限当前值上限x1 .4 .5 无上限x2 .1 .2 .25x3 无下限.25 .333常数项数范围:约束下限当前值上限1 400 500 6002 275 350 无上限3 150（1）最优生产方案：新产品Ⅰ生产50件、新产品Ⅱ生产25件、新产品Ⅲ不安排。
线性规划PPT课件
线性规划的基本定理
线性规划的解存在性
对于任何线性规划问题，都存在至少一个最优解。
最优解的唯一性
在某些情况下，线性规划问题的最优解是唯一的，这取决于目标函 数和约束条件的形状和位置。
解的稳定性
线性规划问题的最优解是稳定的，即使目标函数或约束条件略有变 化，最优解也不会发生大的变化。
03
线性规划的求解方法
优缺点：内点法具有全局收敛性和对初始点不敏 感的优点，但计算量较大，需要较高的计算资源 。
椭球法
01
总结词：几何方法
02
03
04
详细描述：椭球法是一种基 于几何方法的线性规划算法。 它将可行解的边界表示为椭 球，通过迭代移动椭球中心
来逼近最优解。
算法步骤：椭球法的基本步 骤包括初始化、构建椭球和 迭代更新。在每次迭代中， 根据当前椭球的位置和方向 来更新中心和半径，直到满
运输问题
总结词
运输问题是线性规划在物流和供应链管理中的重要应用，旨在优化运输成本、 运输时间和运输量等目标。
详细描述
运输问题通常需要考虑多个出发地、目的地、运输方式和运输成本等因素。通 过线性规划方法，可以找到最优的运输方案，使得总运输成本最低、运输时间 最短，同时满足运输量和运输路线的限制。
投资组合优化问题
03
单纯形法
单纯形法是线性规划的标 准算法，通过迭代和优化， 找到满足约束条件的最大 或最小目标函数值。
初始解
在应用单纯形法之前，需 要先找到一个初始解，这 可以通过手动计算或使用 软件工具来实现。
迭代过程
单纯形法通过不断迭代和 优化，逐步逼近最优解， 每次迭代都需要重新计算 目标函数值和最优解。
线性规划的几何意义
使用单纯形法解线性规划问题(参考模板)
1 / 2使用单纯形法解线性规划问题要求：目标函数为：123min 3z x x x =--约束条件为：1231231312321142321,,0x x x x x x x x x x x -+≤⎧⎪-++≥⎪⎨-+=⎪⎪≥⎩ 用单纯形法列表求解，写出计算过程。
解：1） 将线性规划问题标准化如下：目标函数为：123max max()3f z x x x =-=-++s.t.： 123412356137123456721142321,,,,,,0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++-+=⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩2） 找出初始基变量，为x 4、x 6、x 7，做出单纯形表如下：表一：最初的单纯形表3） 换入变量有两种取法，第一种取为x 2，相应的换出变量为x 6，进行第一次迭代。
迭代后新的单纯形表为：表二：第一种换入换出变量取法迭代后的单纯形表由于x1和x5对应的系数不是0就是负数，所以此时用单纯形法得不到最优解。
表一中也可以把换入变量取为x3，相应的换出变量为x7，进行一次迭代后的单纯形表为：表三：第二种换入换出变量取法迭代后的单纯形表4）表三中，取换入变量为x2，换出变量为x6，进行第二次迭代。
之后的单纯形表为：表四：第二次迭代后的单纯形表5）表四中，取换入变量为x7，换出变量为x3，进行第三次迭代。
之后的单纯形表为：表五：第三次迭代后的单纯形表可以看出，此时x1，x5对应的系数全部非零即负，故迭代结束，没有最优解。
结论：综上所述，本线性规划问题，使用单纯形法得不到最优解。
（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
可复制、编制，期待你的好评与关注）。
线性规划PPT课件
基解：令所为 有 0， 非求 基出 变的 (1量 .2)的 满解 足 称为基解。
基可行解与可行 足基 (1.3)： 的满 基解称为基可 对应基可行解的 为基 可， 行称 基。基 显可 然 解的数目 基解的数 C目 nm
基本最优解与最优基 满： 足(1.1) 的基可行解称为基本 优最 解，
对应m,如果 B是矩A中 阵的一 mm个 阶非奇异 (|B子 |0)矩 ,则阵 称 B是线性规 题的一个基。
基向量与非基向B量 中： 的基 列向量称为，基向 矩阵A中除B之外各列即为非，基 A中 向共 量 有nm个非基向量。
基变量与非基 基变 向P量 j量 对： 应与 的xj变 称量 为基变量；否 基则 变称 量为 。非
将文件存储并命名后，选择菜单 “Solve” 并对提示 “ DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS? ”回答“是”，即 可得到如下输出：
“资源” 剩余 为零的约束为 紧约束（有效 约束）
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
3360.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
可行解 基 解
基可行解
1.4 线性规划问题的图解法
下面结合例1的求解来说明图解法步骤。
例1
max Z 4 x1 3 x2
2 x1 3 x2 24
s. t 3 x1 2 x2 26
x2
x1, x2 0
Q3(6,4)
第一步：在直角坐标系中分
别作出各种约束条件，求出
3x1+2x2=26
Q2(6,4)
B
条 件
3x1 100
x1,x2 0
l3:3x1 100 l4
l4:x10,l5:x200
线性规划：模型标准式及图解法
x1 x 2 3( x3 x3 ) s1 40 x1 x 2 3 x3 40 x 9 x 7 x 50 x 9 x 7 ( x x 1 1 2 3 2 3 3 ) s2 50 s.t s.t 5x1 3x2 20 20 5 x1 3 x 2 x 0 , x 0 , x 0 , x x1 0, x 2 0, x3无符号限制 2 3 3 0, s1 0, s2 0 1
0
0
则称X 0为问题( LP)的一个可行解
AX b 满足约束方程 X 0
AX b X 0
（2）可行域： （LP）的全体可行解构成的集合称为可行域
即：可行域 S X | AX b，X 0
（3）最优解及最优值：设S是（LP）的可行域 都有CX * CX 使得对任意的 X S， 若存在 X * S，
x1 , x2 , xn 0
1.1.2 线性规划的标准形式和矩阵表达式
线性规划问题的一般形式：
max （或min ）z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn (或 ，或 ）b1 a 21 x1 a 22 x2 a 2 n x n (或 ，或 ）b2 s.t a m1 x1 a m 2 x2 a mn x n (或 ，或 ）bm
例 已知线性规划问题 min z 3x1 3x2 7 x3
x1 x 2 3 x3 40 剩余变量s2 x 9 x 7 x 50 2 3 s.t 1 (1) 5 x 3 x 20 1 2 x1 0, x 2 0, x3 无符号限制 试将此问题化为标准型 式。 令x3 x3 x3 , x3 0, x3 0
线性规划标准形式
线性规划标准形式线性规划是运筹学中的一种重要方法，它在管理、经济、工程等领域有着广泛的应用。
在进行线性规划问题求解时，往往需要将原始问题转化为标准形式，这样可以更方便地应用线性规划的方法进行求解。
本文将介绍线性规划的标准形式及其相关内容。
1. 线性规划的标准形式。
线性规划的标准形式可以表示为：Max z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。
Subject to:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1。
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2。
...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm。
xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n。
其中，目标函数为最大化的线性表达式，约束条件为线性不等式，变量xi为决策变量，ci为系数，aij为系数矩阵，bi为常数，n为变量个数，m为约束个数。
2. 转化为标准形式的方法。
为了将原始线性规划问题转化为标准形式，可以采取以下步骤：（1）将不等式约束转化为等式约束，引入松弛变量或者人工变量，将不等式约束转化为等式约束。
（2）将目标函数转化为最大化问题，如果原始问题是最小化问题，可以通过取负号将其转化为最大化问题。
（3）引入非负约束，对于原始问题中的自由变量或者负变量，引入非负变量替代。
通过以上步骤，可以将原始线性规划问题转化为标准形式，从而方便进行后续的求解操作。
3. 求解标准形式的方法。
一旦线性规划问题被转化为标准形式，就可以利用线性规划的方法进行求解。
常用的求解方法包括单纯形法、对偶理论、内点法等。
这些方法都是基于线性规划的特殊结构和性质而设计的，可以高效地求解大规模的线性规划问题。
4. 实例分析。
为了更好地理解线性规划的标准形式，我们可以通过一个实例来进行分析。
假设有如下线性规划问题：Max z = 3x1 + 5x2。
Subject to:2x1 + x2 ≤ 6。
线性规划的数学模型PPT课件
最优下料方案为：第一种方案用料10根，第二种方案50 根，第四种方案30根，总余料为 16m。
2021年5月22日星期六
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注意： 1 .余料不能超过最短毛坯的长度； 2.最好将毛坯长度按降的次序排列，即先切
割长度最长的毛坯，再切割次长的，最后切割最 短的；不能遗漏了方案。
3.在实际中，如果毛坯规格较多，毛坯的长 度又很短的方案可能很多，甚至有几千个方案， 这时用人工计算几乎是不可能的，即使计算机也 有可能溢出。当碰到这种情况时，可以给余料确 定一个临界值μ，当某方案的余料大于μ时马上舍 去这种方案，从而减少占用计算机内存，也简化 了后面的数学模型。
（2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生
产获得最好的经济效益（如产品量最多 、利润最
大.
2021年5月22日星期六
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【例1.1】某企业计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别要在A、B、C、D、 四种不同的设备上加工。按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要 的台时如表1-1所示 ，已知各设备在计划期内的能力分别为20、15、16、12小 时；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为4、3、5元。企业
00..21x51x10.00.53xx42
0.15x6 0.04 0.3x3 0.2x4
0.4x5
0.17 x6
0.65
0.25x1 0.3x2 0.3x3 0.2x4 0.4x5 0.17x6 0.35
线性规划PPT优秀课件
y
1
x+y-1>0
1
O
x+y-1<0 x+y-1=0
x
复习二元一次不等式表示平面区域的范例 例1 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。 y
6
注意：把直
线画成虚线以 表示区域不包 括边界
O
2x+y-6=0
3
x
复习二元一次不等式表示平面区域的范例 y
5Hale Waihona Puke 例2 画出不等式组 x+y=0
x y 5 0 x y 0 x 3
探索结论
复习判断二元一次不等式表示哪一 侧平面区域的方法
由于对在直线ax+by+c=0同 一侧所有点(x，y)，把它的坐标 (x，y)代入ax+by+c，所得的实 数的符号都相同，故只需在这条 直线的某一侧取一特殊点(x0，y0) 以ax0+by0+c的正负的情况便可 判断ax+by+c>0表示这一直线 哪一侧的平面区域，特殊地，当 c≠0时常把原点作为此特殊点
可行域
(5,2)
(1,1)
线性规划
例1 解下列线性规划问题： 求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y满足下 列条件： 2x+y=0 y
解线性规划问题的一般步骤：
2x+y=-3 y x 1 1 第一步：在平面直角坐标系中作出可行域； C( , ) 2 2 第二步：在可行域内找到最优解所对应的点； x y 1 O y 1 第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数 B(2,-1) 2x+y=3
x-y=7 C(3,6) y=6
线性规划课件ppt
详细描述
在选择线性规划模型时，应根据实际问题的特点进行选择。例如，对于简单的最优化问题，可以使用标准型线性规划模型；对于需要约束条件或特殊处理的问题，可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后，还可以使用优化软件对模型进行优化，以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法，用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解，直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点，但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时，应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时，首先要考虑变量的物理意义和实际背景，以便更好地理解模型和求解结果。同时，要重视数据的可靠性，避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度，从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛，未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景，例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多，例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向，但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力，可以高效地解决大规模线性规划问题，同时具有友好的用户界面，方便用户进行模型输入和结果输出。
第5章线性规划-PPT文档资料
x2
(1.5,7) F*=620
x1
0
F=0
7
2. 线性规划的基本概念
1）可行解
x2
(1.5,7) F*=-620
—满足约束条件及非负条件的解。 （D内及其边界上的解） 2）基本解 —使n-m个变量等于0，解约束方程 x2 0 组(共有m个约束方程)所得的解。 基本解对应于约束边界的交点. 0
2019/2/18 21
二.计算实例 min F (X) 4 x x x 3 x 5 x 1 2 2 x 3 2 4 5 6
s.t.
x x x 1 x 2 2 3 4 4 x 5 4 x x 3 x 1 2 2 3 x 4 x 6 5 xj 0 ,... j 1 ,2 ,..., 6
2019/2/18 2
解: 设甲、乙两种产品的日产件数分别为 x1 , x2 .
max F ( X ) 40 x 1 80 x 2 X D R2
s.t.
日利润最大
x1 9 x2 7 2 x 1 3 x 2 24 x1 , x 2 0
生产能力限制 劳动力限制 变量非负
2019/2/18
R x1 x 3 9
x 5 24
8
x 1 , x 2 ,..., x 5 0
举例
2019/2/18
9
四）线性规划的基本性质
1）可行域D为凸集，每个基本可行解对应于D上的一个顶点； 2）只要可行域存在且封闭，则起码有一个基本可行解为最 优点； *ⅰ）若最优点所在的边界线与等值线平行，则该边界线上
x 2 x 4 x 1 x 2 3 4 x 5 4 x 2 x 3 x 5 1 2 3 x 4 x 6 xj 0 ,... j 1 ,2 ,..., 6
《线性代数与线性规划(第四版)(大学本科经济应用数学基础特色教》读书笔记模板
§5.1线性规划问题的标准形式 §5.2基本线性规划问题的单纯形解法 §5.3一般线性规划问题的单纯形解法 §5.4单纯形解法在实际工作中的应用 习题五
精彩摘录
这是《线性代数与线性规划（第四版）（大学本科经济应用数学基础特色教材系列）》的读书笔记模板，可 以替换为自己的精彩内容摘录。
作者介绍
《线性代数与线性规划》(第四版)共分六章，介绍了经济工作所需要的行列式、矩阵、线性方程组、投入产 出问题、向量及线性规划问题的数学模型、图解法、单纯形解法。本书着重讲解基本概念、基本理论及基本方法， 发扬独立思考的精神，培养解决实际问题的能力与熟练操作运算能力。例题、习题是教材的窗口，集中展示了教 学意图。本书对例题、习题给予高度重视，例题、习题都经过精心设计与编选，它们与概念、理论、方法的讲述 完全配套，其中除计算题与经济应用题外，尚有考查基本概念与基本运算技能的填空题与单项选择题。填空题要 求将正确答案直接填在空白处；单项选择题是指在四项备选答案中，只有一项是正确的，要求将正确备选答案前 面的字母填在括号内。书末附有全部习题答案，便于检查学习效果。
§2.1矩阵的概念与基本运算 §2.2矩阵的秩 §2.3方阵的幂与逆矩阵 §2.4向量组的线性相关性 习题二
§3.1线性方程组的一般解法与解的判别 §3.2齐次线性方程组 §3.3线性方程组解的结构 §3.4投入产出问题 习题三
§4.1线性规划问题的概念 §4.2线性规划问题的数学模型 §4.3两个变量线性规划问题的图解法 §4.4图解法在实际工作中的应用 习题四
这是《线性代数与线性规划（第四版）（大学本科经济应用数学基础特色教材系列）》的读书笔记模板，暂 无该书作者的介绍。
感谢观看
读书笔记
作者给每一个定理都搭配了非常丰富的、简洁易懂的案例，消除了我对线性代数的畏难情绪~。
线性规划人员配置方案模板
线性规划人员配置方案模板一、引言人员配置是组织管理中重要的一环，尤其在大型企业或项目中，合理的人员配置可以提高工作效率、优化资源利用，从而提升企业的竞争力和实现良好的经济效益。
线性规划是一种数学优化方法，可用于确定最佳的人员配置方案。
本文将介绍一个通用的线性规划人员配置方案模板，以帮助企业实现最佳的人员配置。
二、问题描述在人员配置问题中，通常需要考虑以下几个方面：1. 需求：确定各部门或岗位的人员需求量。
需求可以根据历史数据、市场需求等进行合理估计。
2. 资源：确定可用的人员资源总量，包括已有员工数量和可能的新员工招募计划。
3. 限制条件：考虑各种限制条件，如成本限制、技能要求和合法合规要求等。
4. 目标：设置适当的目标函数，如最小化成本、最大化利润、最大化工作效率等。
综上所述，人员配置问题可以转化为一个线性规划问题，通过对各变量进行线性约束和目标函数的设定，求解最佳的人员配置方案。
下面将介绍一个基本的线性规划人员配置方案模板。
三、线性规划人员配置方案模板1. 变量定义首先，需要定义一组变量来表示每个部门或岗位的人员配置数量。
假设有n个部门或岗位，变量可以表示为x1, x2, ..., xn，分别表示第1个部门或岗位的人员配置数量、第2个部门或岗位的人员配置数量，以此类推。
2. 目标函数设定根据具体问题，设定适当的目标函数。
例如，可以设定最小化总成本的目标函数，或最大化总利润的目标函数。
目标函数的设定需要考虑具体情况和需求。
3. 约束条件设定根据需求和要求，设定一组线性约束条件。
约束条件可以包括以下内容：- 最小需求量：每个部门或岗位的人员配置数量不能低于最小需求量。
即x1 ≥最小需求量1，x2 ≥最小需求量2 ，...，xn ≥最小需求量n。
- 最大可用资源量：每个部门或岗位的人员配置数量不能超过最大可用资源量。
即x1 ≤最大可用资源量1，x2 ≤最大可用资源量2，...，xn ≤最大可用资源量n。
模板线性规划
模板线性规划
1-1 线性规划基本概念
生产计划问题
➢如何合理使用有限的人力，物力 和资金，使得收到最好的经济效益 。 ➢如何合理使用有限的人力，物力 和资金，以达到最经济的方式，完 成生产计划的要求。
模板线性规划
例1.1 生产计划问题（资源利用问题） 胜利家具厂生产桌子和椅子两种家
具。桌子售价50元/个，椅子销售价格 30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工 和油漆工两种工种。生产一个桌子需要 木工4小时，油漆工2小时。生产一个椅 子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂 每个月可用木工工时为120小时，油漆工 工时为50小时。问该厂如何组织生产才 能使每月的销售收入最大？
4．变量取值限制：
一般情况，决策变量只取正值（非负值）
x1 0, x2 0
模板线性规划
数学模型
max S=50x1+30x2 s.t. 4x1+3x2 120
2x1+ x2 50 x1,x2 0
线性规划数学模型三要素：
决策变量、约束条件、目标函数
模板线性规划
1-2 线性规划问题的数学模型
x1-x2+ x3 -x3 -x5=2 -3x1+x2+2x3 -2x3 =5 x1, x2 , x3 ，x3 , x4，x5 0
模板线性规划
1-3 线性规划问题解的概念
对于标准型LP问题
max z CT X (112)
s.t.
AX b X 0
(1 13) (1 14)
设 A 是m n 阶矩阵,m n,且 A 的秩为 m。
料问题等，建模求解； • （7）能利用当前的计算机软件求解线性规划问题。
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2019年1月7日5时37分
机械优化设计
§第一节
线性规划的标准形式与基本性质
一、线性规划实例
解：设生产A、B两产品分别 例5-1： 某工厂要生产A、B两种产品，为x , x 台，则该问题的优化 1 2 每生产一台产品A 可获产值2万元； 数学模型为： 需占用一车间工作日3天，二车间工 max z 2 x x s.t. 3 x 5 x 15 作日6天；每生产一台产品B 可获产 6 x 2 x 24 值1万元；需占用一车间工作日5天， x 0 二车间工作日2天。现一车间可用于 x 0 生产A、B产品的时间15天，二车间 可用于生产A、B产品的时间24天。 试求出生产组织者安排A、B两种产 品的合理投资产数，以获得最大的总 产值。
如: 约束条件为“ ”时：
10 x1 12 x2 18
10 x1 12 x2 x3 18
x3为剩余变量
2019年1月7日5时37分
机械优化设计
(2) 变量 例如：
3x1+2x2 8 x1 -4x2 14 x2 0
1、x 0，令x’＝- x。 2、x取值无约束，令x= x'- x"
约束条件为“ ”时：
如 : 6 x1 2 x2 24
6 x1 2 x2 x3 24
x3为松弛变量
2019年1月7日5时37分
机械优化设计
如果有不等式约束： ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi 则可减去新的变量 xn i 0(此时称xn i为剩余变量)，把它们全变为 等式约束，即 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn xn i bi
机械优化设计
×
第五章 线性规划
第五章
线性规划
第一节线性规划的标准形式与基本性质
第二节基本可行解的转换
第三节单纯形方法
第四节单纯形法应用举例 第五节修正单纯形法
2019年1月7日5时37分
机械优化设计
第五章
线性规划
目标函数和约束条件都是线性的，像这类约束 函数和目标函数都是为线性函数的优化问题，称作 线性规划问题。它的解法在理论和方法上都很成熟， 实际应用也很广泛。虽然大多数工程设计是非线性 的，但是也有采用线性逼近方法求解非线性问题的。 此外，线性规划方法还常被用作解决非线性问题的 子问题的工具，如在可行方向法中可行方向的寻求 就是采用线性规划方法。当然，对于真正的线性优 化问题，线性规划方法就更有用了。
2019年1月7日5时37分
机械优化设计
例5 1的 数 学 模 型 可 化 为 如 标 下准 形 式 ： max z 2 x1 x2 s.t. 3 x1 5 x2 15 6 x1 2 x2 24 x1 0
min z 2 x1 x2 s.t. 3 x1 5 x2 x3 15 6 x1 2 x2 x4 24
和80元。问工厂如何组织生产才能获得最大利润？
2019年1月7日5时37分
机械优化设计
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解: 设甲、乙两种产品的日产件数分别为 x1 , x2 .
max F ( X ) 40x1 80x2 X D R2 s.t. x 9 1 x2 7 2 x1 3 x2 24 x1 , x2 0
如果有不等式约束： ai1 x1 ai 2 x2 ain xn bi 则可加上新的变量 xn i 0(此时称xn i为松弛变量)，把它们全变为 等式约束，即 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn xn i bi
o
x2
E
C B A
图5.1线性规划的几何意义
x1
通过顶点Ｃ的直线满足上述条件，故点Ｃ是该问题的最优解。
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用代数法求解联立方 程组。设变量个数为 n, 方程个数为 m, 令p n m, 为使方程组有唯一解， 让p个变量等于零。
在例5.1中，p 4 2 2,因此，若四个变量中使 任意两个等于零，则必 存在两个变量组的唯一 解。 表5 1列出了６个可能的解， 其中有４个解恰好等于 多边形４个顶点的 坐标，余下的２个解则 违反了所有变量为非负 的约束条件。
序号 变 量 值 x1 x2 x3 x4 图5.1中对应 的顶点 1 0 0 15 24 O 2 0 3 0 18 D 3 0 12 -45 0 E 4 5 0 0 -6 B 5 4 0 3 0 A 6 15/4 3/4 0 0 C
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可行解：同时满足所有约束条件的任何一 x2 个解x=[x1,x2,„,xn]T。例：多边形OACD域 中任意一个解。 基本解：令线性规划标准形式中任意 (n-m)个变量等于零，若剩余的m个变量 构成的m个线性方程有唯一解，则称由此 得到的n个变量的解为基本解。例：表5-1 中列出的６个解(或图6.1对应的６个顶点 A、B、C、D、E、O)。
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建模例3： 成批生产企业年度生产计划的按月分配 。 在成批生产的机械制造企业中，不同产品劳动量的结构上可能 有很大差别。如：某种产品要求较多的车床加工时间，另一种 产品的劳动量可能集中在铣床和其他机床上。因此，企业在按 月分配年度计划任务时，应考虑到各种设备的均衡且最大负荷。 在年度计划按月分配时一般要考虑:1）从数量和品种上保 证年度计划的完成；2）成批的产品尽可能在各个月内均衡生 产或集中在几个月内生产；3）由于生产技术准备等方面原因， 某些产品要在某个月后才能投产；4）根据合同要求，某些产 品要求在年初交货；5）批量小的产品尽可能集中在一个月或 几个月内生产出来，以便减少各个月的品种数量等等。如何在 满足上述条件的基础上，使设备均衡负荷且最大负荷。
（电力约束）
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将其化成线性规划标准形式： 求
x [ x1x2 ]T
使
且满足
min f ( x) 60x1 120x2
9 x1 4 x2 x3 360
3x1 10 x2 x4 300
分析：每天生产的甲、乙两种产品分别为 x1 , x2 件
f ( x1 , x2 ) 60x1 120x2 max (利润最大)
g1 ( X ) 9 x1 4 x2 360
g2 ( X ) 3x1 10x2 300
（材料约束） （工时约束）
g3 ( X ) 4 x1 5x2 200
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二、线性规划的标准形式
线性规划数学模型的一般形式： 求 使 且满足
x [ x1x2 xn ]T
f ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn min
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
3 x1' -3 x1 " +2x2 8 x1' - x1 " - 4x2 14 x1 ' , x1 " , x2 0
3 x1' -3 x1 " +2x2 +x3 = 8 x1' - x1 " - 4x2 +x 4= 14 x1' , x1" ,x2 ,x3 ,x4 0
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说明： 1）m=n,唯一解 2）m>n,无解 3）m<n,无穷解
xi 0(i 1, 2,, n) bj 0( j 1, 2,, m)
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将一般形式的线性规划化为标准形式的方法
约束条件包括两部分：一是等式约束条件，二是变量 (2)的非负要求，它是标准形式中出现的唯一不等式形式 在约束条件中，
工序1 工序2 产品A /件 产品B /件 产品C /件 总工时或原材料 工时或原材料成本 （元） 2 1 2 4600 15 3 1 1 4000 10 工序3 2 3 2 6000 10 原材料1 原材料2 3 2 4 10000 20 4 3 2 8000 40 其他成本 10 10 10
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x2 0 x j 0( j 1,2,3,4) 用 矩 阵 和 向 量 表 示 ，有 则：
3 5 1 0 Ｔ A , b 15 , 24 ， c 2,1,0,0 ， 6 2 0 1 p1 3,6 ， p2 5,2 ， p3 1,0 ， p4 0,1
获利 地区
物资
钢材
铝材
铜材
甲 乙 丙
260 210 180
300 250 400
400 550 350
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建模例2： 某工厂生产A、B、C三种产品，现根据订货合同以及生 产状况制定5月份的生产计划，已知合同甲为：A产品1000件，单件 价格为500元，违约金为100元/件；合同乙为：B产品500件，单件 价格为400元，违约金为120元/件；合同丙为：B产品600件，单件 价格为420元，违约金为130元/件；C产品600件，单件价格为400元， 违约金为90元/件；有关各产品生产过程所需工时以及原材料的情况 见下表。试以利润为目标，建立该工厂的生产计划线性规划模型 。
D
x2
E
o
C B A
图5.1线性规划的几何意义
x1
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令松弛变量x3 0, x4 0, 画出上述约束 方程的图线，如图 5.1所示。
取Z为不同的常数，可画出 一系列平行 直线。在此直线族中 ，确定出一条直线 D 满足以下条件，即： 尽可能远离原点 O, 且与多边形 OACD至少有一交点。