运筹学习题精选
运筹学习题
运筹学复习题第一章 线性规划及单纯形法一、单选题1. 线性规划具有无界解是指A. 可行解集合无界B. 有相同的最小比值C. 存在某个检验数0k λ>，且0(1,2,,)ik a i m ≤=D. 最优表中所有非基变量的检验数非零 2. 线性规划具有唯一最优解是指A. 最优表中非基变量检验数全部非零B. 不加入人工变量就可进行单纯形法计算C. 最优表中存在非基变量的检验数为零D. 可行解集合有界 3. 线性规划具有多重最优解是指A. 目标函数系数与某约束系数对应成比例B. 最优表中存在非基变量的检验数为零C. 可行解集合无界D. 基变量全部大于零 4. 使函数Z=-x 1+x 2+2x 3 减小最快的方向是A. (-1,1,2)B. (1,-1,-2)C. (1,1,2)D. (-1,-1,-2) 5. 当线性规划的可行解集合非空时一定 A. 包含点X =(0,0,···,0) B. 有界 C. 无界 D. 是凸集 6. 线性规划的退化基可行解是指A. 基可行解中存在为零的非基变量B. 基可行解中存在为零的基变量C. 非基变量的检验数为零D. 所有基变量不等于零 7. 线性规划无可行解是指A. 第一阶段最优目标函数值等于零B. 进基列系数非正C. 用大M 法求解时，最优解中还有非零的人工变量D. 有两个相同的最小比值 8. 若线性规划不加入人工变量就可以进行单纯形法计算A. 一定有最优解B. 一定有可行解C. 可能无可行解D. 全部约束是小于等于的形式 9. 设线性规划的约束条件为123124222401234 (,,,)jx x x x x x x j ⎧++=⎪++=⎨⎪≥=⎩ 则非退化基本可行解是A. (2， 0，0， 0)B. (0，2，0，0)C. (1，1，0，0)D. (0，0，2，4) 10. 设线性规划的约束条件为123124222401234 (,,,)jx x x x x x x j ⎧++=⎪++=⎨⎪≥=⎩ 则非可行解是A. (2，0，0， 0)B. (0，1，1，2)C. (1，0，1，0)D. (1，1，0，0) 11. 线性规划可行域的顶点一定是A. 可行解B. 非基本解C. 非可行解D. 是最优解 12. 1234min z x x =+1212124220,x x x x x ⎧+≥⎪+≤⎨⎪≥⎩ A. 无可行解 B.有唯一最优解 C.有无界解 D.有多重最优解13. 12122124432450,max z x x x x x x =-⎧+≤⎪≤⎨⎪≥⎩A. 无可行解B. 有唯一最优解C. 有多重最优解D. 有无界解 14. X 是线性规划的基本可行解则有A. X 中的基变量非负，非基变量为零B. X 中的基变量非零，非基变量为零C. X 不是基本解D. X 不一定满足约束条件 15. X 是线性规划的可行解，则错误的结论是A. X 可能是基本解B. X 可能是基本可行解C. X 满足所有约束条件D. X 是基本可行解 16. 下例错误的说法是A. 标准型的目标函数是求最大值 B 标准型的目标函数是求最小值 C. 标准型的常数项非正 D. 标准型的变量一定要非负 17. 为什么单纯形法迭代的每一个解都是可行解？答：因为遵循了下列规则 A. 按最小比值规则选择换出变量B. 先进基后出基规则C. 标准型要求变量非负规则D. 按检验数最大的变量选择换入变量 18. 线性规划标准型的系数矩阵A m×n ，要求A. 秩(A )=m 并且m <nB. 秩(A )=m 并且m <=nC. 秩(A )=m 并且m =nD. 秩(A )=n 并且n <m 19. 下例错误的结论是A. 检验数是用来检验可行解是否是最优解的数B. 检验数是目标函数用非基变量表达的系数C. 不同检验数的定义其检验标准也不同D. 检验数就是目标函数的系数 20. 对取值为无约束的变量j x ，通常令'''j j j x x x =-，其中''',0j j x x ≥；在用单纯形法求得的解中不可能出现A. '0j x =,''0j x ≥ B. '0j x =,''0j x = C. '0j x >,''0>j x D. '0j x >,''0j x =21．运筹学是一门A. 定量分析的学科B. 定性分析的学科C. 定量与定性相结合的学科D. 定量与定性相结合的学科，其中分析与应用属于定性分析，建立模型与求解属于定量分析二、设某种动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素。
运筹试题
一、回答下面问题(每小题3分)1.在单纯形法计算中,如果不按最小比值规则确定换基变量,则在下一个解中一定会出现。
2. 原问题无界时，其对偶问题，反之，当对偶问题无可行解时，原问题。
3．已知y0为线性规划的对偶问题的最优解，若y0>0，说明在最优生产计划中对应的资源。
4．已知y0为线性规划的对偶问题的最优解，若y0=0，说明在最优生产计划中对应的资源。
5．已知线形规划问题的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题的最优解一定是。
6．m个产地n个销地的产销平衡运输问题的模型其决策变量的个数是个；基变量的个数是个；决策变量的系数列向量的特点是。
7．用位势法求解运输问题，位势的含义是；行位势与列位势中有一个的取值是任意的，这是因为。
8.用割平面法求解整数规划，割平面割去了；但未割去。
9．按教材中的符号写出最大流问题的数学模型。
10．什么是截集，何谓最小截集？二、（10分）下表是用单纯形法计算到某一步的表格，已知该线性规划的目标函数值为z=14表1c j x1x2x3x4x3 x12acde11/51σj b-1f g（1）求a—g的值；（8分）（2）表中给出的解是否为最优解。
（2分）三、（每小题6分共12分）车间为全厂生产一种零件，其生产准备费是100元，存贮费是0.05元／天·个，需求量为每天30个，而且要保证供应。
（1）设车间生产所需零件的时间很短（即看成瞬时供应）；（2）设车间生产零件的生产率是50个／天。
要求在（1）（2）条件下的最优生产批量Q*，生产间隔期t*和每天的总费用C*。
四、（18分）某公司下属甲、乙两个厂，有A原料360斤，B原料640斤。
甲厂用A、B两种原料生产x1,x2两种产品，乙厂也用A、B两种原料生产x3,x4两种产品。
每种单位产品所消耗各种原料的数量及产值、分配等如下工厂甲分配原料乙分配原料产品x1 x2x3 x4原料AB 8 46 101603305 810 4200310产值（百元） 4 3 3 41．求各厂最优生产计划；（12分）2．问公司能否制定新的资源分配方案使产值更高？（6分）五、（10分）已知有六个村庄，相互间道路的距离如图所示，已知各村庄的小学生数为：A村50人，B村40人，C村40人，D村60人，E村50人，F村90人。
运筹学20道习题
1．已知线性规划（15分）123123123max 3452102351,2,3jZ x x x x x x x x x x j =++⎧+-≤⎪-+≤⎨⎪≥=⎩0，（1）求原问题和对偶问题的最优解；（2）求最优解不变时c j 的变化范围36.解：（1）化标准型 2分 （2）单纯形法 5分（3）最优解X=(0，7，4)；Z ＝48 （2分） （4）对偶问题的最优解Y ＝（3.4，2.8） (2分)（5）Δc 1≤6，Δc 2≥-17/2，Δc 3≥-6，则 1235(,9),,13c c c ∈-∞≥-≥-(4分)2．某公司要将一批货从三个产地运到四个销地，有关数据如下表所示。
现要求制定调运计划，且依次满足：（1）B 3的供应量不低于需要量； （2）其余销地的供应量不低于85%； （3）A 3给B 3的供应量不低于200； （4）A 2尽可能少给B 1；（5）销地B 2、B 3的供应量尽可能保持平衡。
（6）使总运费最小。
试建立该问题的目标规划数学模型。
3、请用表上作业法解下题，得到最优解,并计算此时总运费：现在有运价表如下:产地销地B1B2B3产量A1 5 1 6 12A2 2 4 0 14A3 3 6 7 4销量9 10 11 30 答案：根据上面运价表以及销量和产量的要求，使用表上作业法：5 1 62 4 03 6 79 10 11得到下面运输方案：检验空格：空格A检验：6 –(0+3) = 3 > 0空格B检验：7 – (3-2) = 6 > 0空格C检验：6 - (1-2) = 7 > 0空格D检验：4 – (1-3)= 6 > 0 故全部符合要求。
总运输费用：2×5 + 3× 2 + 4 × 3 + 10 × 1 + 11 × 0 = 38 答：上面的运输方案为最佳方案，总运费为38。
《运筹学》试题及答案大全
《运筹学》试题及参考答案一、填空题（每空2分，共10分）1、在线性规划问题中，称满足所有约束条件方程和非负限制的解为可行解。
2、在线性规划问题中，图解法适合用于处理变量为两个的线性规划问题。
3、求解不平衡的运输问题的基本思想是设立虚供地或虚需求点，化为供求平衡的标准形式。
4、在图论中，称无圈的连通图为树。
5、运输问题中求初始基本可行解的方法通常有最小费用法、西北角法两种方法。
二、（每小题5分，共10分）用图解法求解下列线性规划问题：1）max z =6x 1+4x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0781022122121x x x x x x x ，解：此题在“《运筹学》复习参考资料.doc ”中已有，不再重复。
2）min z =－3x 1+2x 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤-≤-≤+-≤+0,137210422422121212121x x x x x x x x x x 解：可行解域为abcda ，最优解为b 点。
⑴⑵⑶⑷⑸⑹、⑺由方程组⎩⎨⎧==+02242221x x x 解出x 1=11，x 2=0∴X *=⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x =（11，0）T∴min z =－3×11+2×0=－33三、（15分）某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A 、B 、C 三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示：AB C 甲94370乙46101203602003001）建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型；（5分）2）用单纯形法求该问题的最优解。
（10分）解：1）建立线性规划数学模型：设甲、乙产品的生产数量应为x 1、x 2，则x 1、x 2≥0，设z 是产品售后的总利润，则max z =70x 1+120x 2s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+0300103200643604921212121x x x x x x x x ，2）用单纯形法求最优解：加入松弛变量x 3，x 4，x 5，得到等效的标准模型：max z =70x 1+120x 2+0x 3+0x 4+0x 5s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=++=++5,...,2,1,03001032006436049521421321j x x x x x x x x x x j 列表计算如下：四、（10分）用大M 法或对偶单纯形法求解如下线性规划模型：min z =5x 1＋2x 2＋4x 3⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥++0,,10536423321321321x x x x x x x x x 解：用大M 法，先化为等效的标准模型：max z /=－5x 1－2x 2－4x 3s.t.⎪⎩⎪⎨⎧=≥=-++=-++5,...,2,1,010********214321j y x x x x x x x x j增加人工变量x 6、x 7，得到：max z /=－5x 1－2x 2－4x 3－M x 6－M x 7s.t⎪⎩⎪⎨⎧=≥=+-++=+-++7,...,2,1,010*********2164321j x x x x x x x x x x x j大M 法单纯形表求解过程如下：五、（15分）给定下列运输问题：（表中数据为产地A i 到销地B j 的单位运费）B 1B 2B 3B 4s iA 1A 2A 312348765910119108015d j82212181）用最小费用法求初始运输方案，并写出相应的总运费；（5分）2）用1）得到的基本可行解，继续迭代求该问题的最优解。
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第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。
1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．61.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。
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销地
产地
1
2
3
产量
1
5
1
8
12
2
2
4
1
14
3
3
6
7
4
销量
9
10
11
表3-4
销地
产地
1
2
3
4
5
产量
1
10
2
3
15
9
25
2
5
20
15
2
4
30
3
15
5
14
7
15
20
4
20
15
13
M
8
30
销量
20
20
30
10
25
解：
（1）在表3-3中分别计算出各行和各列的次最小运费和最小运费的差额，填入该表的最右列和最下列。得到：
+ = + +
+ =
建立数学模型：
Max z=(1.25-0.25)*( + )+(2-0.35)*( + )+(2.8-0.5) -(5 +10 )300/6000-(7 +9 +12 )321/10000-(6 +8 )250/4000-(4 +11 )783/7000-7 *200/4000
s.t
2.确定 的范围,使最优解不变;取 ,求最优解;
3.确定 的范围,使最优基不变,取 求最优解;
4.引入 求最优解;
解1.由单纯形方法得
即,原问题的最优解为
例求下面运输问题的最小值解：
1
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二、填空选择题：（每空格2分，共16分）1、线性规划的解有划的唯一最优解、无穷多最优解、无界解和无可行解四种。
2、在求运费最少的调度划的运划的输问题中，如划的果某划的一非基变量的检验数为4，则说明如果在该空格中增加一个运量运费将增加划的4 。
3、“如果线性规划的原问题存在可行解，则其对划的偶问题一定存在可行解”，这句话对还是划的错？错4、如果某一整数规划：MaxZ=X划的1+X2划的X1+9/1划的2≤1/3X1,X2≥0且均为整数所对应的线性规划（松弛问题）的最优划的解为X1=3/2，X2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在划的要对X1进行分枝，划的应该分为X1≤1和X1≥2。
5、在用逆向解法求动态规划时，f k(s k)的含义是：从第k个阶段到第n个阶段的最优解。
6.假设某线性规划的可行解的集合为D，而其所对应的整数规划的可行解集合为B，那么D 和B的关系为 D 包含 B7.已知下表是制订生产计划问题的一张LP最优单纯形表（极大化问题，约束条问：（1）写出B-1=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---13/20.3/1312(2)对偶问题的最优解： Y＝（5，0，23，0，0）T8. 线性规划问题如果有无穷多最优解，则单纯形计算表的终表中必然有___某一个非基变量的检验数为0______；9. 极大化的线性规划问题为无界解时，则对偶问题_无解_________；10. 若整数规划的松驰问题的最优解不符合整数要求，假设Xi =bi不符合整数要求，INT（bi ）是不超过bi的最大整数，则构造两个约束条件：Xi≥INT（bi）＋1 和 Xi≤INT（bi），分别将其并入上述松驰问题中，形成两个分支，即两个后继问题。
11. 知下表是制订生产计划问题的一张LP 最优单纯形表（极大化问题，约束条问：(1)对偶问题的最优解： Y ＝(4,0,9,0,0,0)T （2）写出B -1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛611401102二、计算题（60分）1、已知线性规划（20分）MaxZ=3X 1+4X 2 1+X 2≤5 2X 1+4X 2≤12 3X 1+2X 2≤81,X 2≥02）若C 2从4变成5，最优解是否会发生改变，为什么？3）若b 2的量从12上升到15，最优解是否会发生变化，为什么？4）如果增加一种产品X 6，其P 6=(2,3,1)T ，C 6=4该产品是否应该投产？为什么？ 解：1)对偶问题为Minw=5y1+12y2+8y3 y1+2y2+3y 3≥3y1+4y2+2y 3≥4 y1,y2≥02)当C 2从4变成5时， σ4=-9/8 σ5=-1/4由于非基变量的检验数仍然都是小于0的，所以最优解不变。
最全运筹学习题及答案
最全运筹学习题及答案共1 页运筹学习题答案）1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
（1）max z?x1?x25x1+10x2?50x1+x2?1x2?4x1，x2?0（2）min z=x1+1.5x2x1+3x2?3x1+x2?2x1，x2?0（3）+2x2x1-x2?-0.5x1+x2x1，x2?0（4）max z=x1x2x1-x2?03x1-x2?-3x1，x2?0（1）（图略）有唯一可行解，max z=14（2）（图略）有唯一可行解，min z=9/4（3）（图略）无界解（4）（图略）无可行解1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
共2 页（1）min z=-3x1+4x2-2x3+5x4 4x1-x2+2x3-x4=-2x1+x2+3x3-x4?14 -2x1+3x2-x3+2x4?2x1，x2，x3?0，x4无约束（2zk?i??xk?1mxik?（1Max s. t .-4x1xx1,x2共3 页(2)解：加入人工变量x1，x2，x3，…xn，得：Max s=(1/pk)? i?1n?k?1m?ikxik-Mx1-Mx2-…..-Mxnm（1）max z=2x1+3x2+4x3+7x4 2x1+3x2-x3-4x4=8x1-2x2+6x3-7x4=-3x1,x2,x3,x4?0(2)max z=5x1-2x2+3x3-6x4共4 页x1+2x2+3x3+4x4=72x1+x2+x3+2x4=3x1x2x3x4?0（1）解：系数矩阵A是：?23?1?4??1?26?7? ??令A=(P1，P2，P3，P4)P1与P2线形无关，以（P1，P2有2x1+3x2=8+x3+4x4x1-2x2=-3-6x3+7x4令非基变量x3，x4解得：x1=1；x2=2基解0，0)T为可行解z1=8(2)同理，以（P=（45/13，0，-14/13，0)T是非可行解；3以（P1，P4X(3)=，，7/5)T是可行解，z3=117/5；(4)以（P2，P=（，45/16，7/16，0)T是可行解，z4=163/16；3以（P2，P4）为基，基解X(5)0，68/29，0，-7/29)T是非可行解；(6)TX以（P4，P）为基，基解=（0，0，-68/31，-45/31是非可行解；)3最大值为z3=117/5；最优解X(3)=（34/5，0，0，7/5)T。
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第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。
1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．61.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。
运筹学练习题
运筹学练习题1、 用图解法求下列线性规划问题：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0,42366432min 21212121x x x x x x x x z2、用单纯形法求下列线性规划问题：1212312123max 10534952 8,,0z x x x x x x x x x x =+++=⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 3、 线性规划问题0,,max ≥==X b AX CX z ,设)0(X为问题的最优解。
若目标函数中用*C 代替C 后，问题的最优解变为*X ，证明：0)*)(*()0(≥--X X C C4、某饲养场饲养动物出售，设没头动物每天至少需700g 蛋白质、30g 矿物质、100g 维生素。
要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。
（只建立模型，不求解）5、 某医院护士值班班次、每班工作时间及各班所需护士数如下表，每班护士值班开始向病房报到，试决定：（1） 若护士上班后连续工作8h ，该医院最少需要多少名护士？ （2） 若除22：00上班的护士连续工作8h 外（取消第6班），其它护士班次由医院排定上6、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤+++++=)4,3,2,1(096628342max 321432214214321j x x x x x x x x x x x x x x x x z j要求：（1）写出对偶问题；（2）已知对偶问题的最优解为)0,4,2,2(*=X ，试根据对偶理论直接求出对偶问题的最优解。
7、下表给出了各产地和各销地的产量和销量，以及各产地至各销地的单位运价，试用表上作业法求最优解：10个井位的代号为12310,,s s s s ，相应的钻井费用为1210,,,c c c ，并且井位选择上要满足下列限制条件：①选择了1s 和7s 就不能选择钻探8s ；反过来也一样；②选择了3s 或4s 就不能选5s ；反过来也一样；③在5678,,,s s s s 中最多只能选两个；试建立这个问题的整数规划模型。
运筹学习题精选
运筹学习题精选第一章线性规划及单纯形法选择1．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为……………………………………………………( C )A．多余变量 B．松弛变量 C．自由变量 D．人工变量2．约束条件为0AX的线性规划问题的可行解集b,≥=X 是………………………………………( B )A．补集 B．凸集 C．交集 D．凹集3．线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的（ C）上达到。
A．内点 B．外点 C．顶点 D．几何点4．线性规划标准型中bi（i=1，2，……m）必须是…………………………………………………( B)A．正数 B．非负数 C．无约束 D．非零的5．线性规划问题的基本可行解X对应于可行域D 的………………………………………………( D)A．外点 B．所有点 C．内点 D．极点6．基本可行解中的非零变量的个数小于约束条件数时，该问题可求得……………………………( B ) A．基本解 B．退化解 C．多重解 D．无解7．满足线性规划问题全部约束条件的解称为…………………………………………………( C )A．最优解 B．基本解 C．可行解 D．多重解8．线性规划一般模型中，自由变量可以用两个非负变量的（B ）代换。
A．和 B．差 C．积 D．商9．当满足最优检验，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得………………………( A )A ．多重解B ．无解C ．正则解D ．退化解 10．若线性规划问题有最优解，则必定存在一个( D )是最优解。
A ．无穷多解 B. 基解 C. 可行解 D. 基可行解 填空计算 1． 某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如下表所示,求使该厂获利最大的生产计划。
2． 目标函数为max Z =28x4+x5+2x6，约束形式为“≤”，且x1，x2，x3为松弛变量，表中的解代入目标函数中得Z=14，求出a~g 的值，并判断是否→j c 0 0 0 28 1 2B C 基 b 1x 2x 3x 4x5x 6x 2 6x A 3 0 -14/3 0 1 1 0 2x 5 6 D 2 0 5/2 0 28 4x 0 0 E F 1 0 0 j j z c - B C 0 0 -1 G3． 某工厂生产A 、B 两种产品，已知生产A 每公斤要用煤6吨、电4度、劳动力3个；生产B 每公斤要用煤4吨、电5度、劳动力10个。
运筹学例题(完全答案)
1、课上讲过的练习和要求课下做过的练习1〕答案更正答案：更正答案：2〕答案：题：答案：更改〔4〕答案题：答案：更改〔5〕答案2、最后给的练习1〕紧前工作A — 3B A 3C A 4D A 6E B、C、D 6 答案：2〕紧前工作A — 4B — 3C A 8D A 7E B、C 9F B、C 12G D、E 2H D、E 5I G、F 6答案：3〕紧前工作A —7B — 5C A、B 10D C 7E C 3F D 2G D、E 5答案：二、决策分析1、最后给的练习1〕有一个公司方案买两种复印机，选好两种型号的复印机可以满足未来10年的需求，但第一种复印机购置价格2000元，每年耗材使用到达150元可以免费维修；第二种复印机购置价格3000元，维修费用不确定，估计40%的可能不用修理，40%的可能维修费100元，20%的可能性维修费200元。
问该公司应该选择哪种复印机？2〕一家大型轧钢厂考虑向一家新客户〔服装厂〕贷款，轧钢厂将客户还款情况分三类：严重拖欠、一般拖欠、按时还款；估计20%可能严重拖欠，50%可能一般拖欠，30%可能按时还款，如果制衣厂得到贷款后又严重拖欠，那么轧钢厂将损失25万，服装厂一般拖欠，轧钢厂获利10万，按时还款轧钢厂获利20万。
借款期1年，1年的存款基准利率为3.22%。
问轧钢厂是否给制衣厂贷款？结论是给企业贷款或再问：如果将获利合为一个，严重拖欠损失25万，而其他情况获利是14万，问A、无差概率B、EVPI三、线性规划线性规划的步骤：1〕确定决策变量；2〕列出约束条件；3〕写出目标函数。
图解线性规划：1〕决定线性规划问题的可行域；2〕求解线性和整数规划1、课堂练习1〕答案：极大化Z = 40 x1 + 50 x2约束x1 + 2x2 ≤40 小时(劳力限制) 4x1 + 3x2 ≤120 磅(粘土限制)x1 , x2 ≥0解x1 = 24个碗x2 = 8个杯收入= 1,360美元2〕答案：(包括量度单位(打数)和时间单位(周))X1 = 每周生产宇宙光的打数X2 = 每周生产射击手的打数MAX 8X1 + 5X2s.t.2X1 + 1X2 ≤1000 (塑料)3X1 + 4X2 ≤2400 (加工时间)X1 + X2 ≤700 (总产量)X1 –X2 ≤350 (混合限制)所有X ≥03〕某家工厂面临的生产问题是：♦生产4种男人领带♦使用3种材料(有限资源)决策:每月每种领带各生产多少?目标:极大化利润生产数据4〕邮局一周在不同天要求全日工作人数不同，如表1所列。
运筹学习题集
运筹学复习题1. 某一求目标函数极大值的线性规划问题，用单纯形法求解时得到某一步的单纯形表如下：当现行解为唯一最优解时有 。
A. ª1≥0 a 5＞0 a 3＞0B. a 3≥0 a 5＝0 a 6＝0C. ª2＝0 a 5≥0 a 6≥0D. a 1≥0 a 6＜0 a 5＜0 答案：（ ）2. 单纯形乘子是指 。
A ．1-BC B B.b B C B 1- C.A B C B 1- D.b B C C 1B -- 答案：（ ）3．在满足下列条件 时，增加资源是有利的。
A ．单位资源代价大于资源的影子价格 B ．单位资源代价小于资源的影子价格 C ．单位资源代价等于资源的影子价格D ．单位资源代价不等于资源的影子价格 答案：（ ）4．线性规划的灵敏度分析应在⎽⎽⎽⎽⎽⎽的基础上，分析系数的变化对最优解产生的影响。
A ．初始单纯形表 B. 最优单纯形表 C. 对偶问题初始单纯形表 D. 对偶问题的最优单纯形表 答案：（ ）5．一个图G 中,奇点的个数为 。
A.偶奇数 B.偶数 C.奇数或偶数 D. 不能确定 答案：（ ）6．若运输问题已求得最优解，此时所求出的检验数一定是全部 。
A ．大于或等于零B ．大于零C ．小于零D ．小于或等于零 答案：（ ）7. 线性规划一般模型中，自由变量可以用两个非负变量的 代换。
A ．和 B ．差 C ．积 D ．商 答案：( )8．目标规划中，对于优先级别，则下列说法正确的是 。
A ．P k ×P k+1=0B ．P k <<P k+1C ．P k >>P k+1D ．P k =P k+1 答案：（ ）9．求解指派问题的匈牙利方法要求系数矩阵中每个元素都是 。
A ．非负的B ．大于零C ．无约束D ．非零常数 答案：（ ）10．若运输网络G 中发点到收点不存在流f 的增广链，则称流f 为G 的 。
A ．最小流 B ．零流 C ．最大流 D ．无法确定 答案：（ ）11.运输问题中，闭合回路的数字格分布在每行每列的个数必定为 。
运筹学试题及答案4套汇总
《运筹学》试卷一一、（15分）用图解法求解下列线性规划问题二、（20分）下表为某求极大值线性规划问题的初始单纯形表及迭代后的表，、为松弛变量，试求表中到的值及各变量下标到的值。
-1311611 -2 002 -111/21/214 07三、（15分）用图解法求解矩阵对策，其中四、（20分）（1）某项工程由8个工序组成，各工序之间的关系为工序 a b c d e f g h —— a a b,c b,c,d b,c,d e 紧前工序试画出该工程的网络图。
（2）试计算下面工程网络图中各事项发生的最早、最迟时间及关键线路（箭线下的数字是完成该工序的所需时间，单位：天）五、（15分）已知线性规划问题其对偶问题最优解为，试根据对偶理论求原问题的最优解。
六、（15分）用动态规划法求解下面问题：七、（30分）已知线性规划问题用单纯形法求得最优单纯形表如下，试分析在下列各种条件单独变化的情况下，最优解将如何变化。
2-11 02311311111610-3-1-2（1）目标函数变为；（2）约束条件右端项由变为；（3）增加一个新的约束：八、（20分）某地区有A、B、C三个化肥厂向甲、乙、丙、丁四个销地供应同一种化肥，已知产地产量、销地需求量和各产地运往不同销地单位运价如下表，试用最小元素法确定初始调运方案，并调整求最优运输方案销地甲乙丙丁产量产地A 4 12 4 11 16B 2 10 3 9 10C 8 5 11 6 22 需求量8 14 12 14 48《运筹学》试卷二一、（20分）已知线性规划问题：（a）写出其对偶问题；（b）用图解法求对偶问题的解；（c）利用（b）的结果及对偶性质求原问题的解。
二、（20分）已知运输表如下：销地B1B2B3B4供应量产地A1 3 2 7 6 50A2 7 5 2 3 60A3 2 5 4 5 25需求量60 40 20 15（1）用最小元素法确定初始调运方案；（2）确定最优运输方案及最低运费。
运筹学习题——精选推荐
运筹学习题运筹学练习题2010-2011-1 天津财经⼤学珠江学院⼀、线性规划：基本概念1、下⾯的表格总结了两种产品A和B的关键信息以及⽣产所需的资源Q, R, S：满⾜所有线性规划假设。
（1）在电⼦表格上为这⼀问题建⽴线性规划模型；（2）⽤代数⽅法建⽴⼀个相同的模型；（3）⽤图解法求解这个模型。
2、今天是幸运的⼀天，你得到了10000美元的奖⾦。
除了将4000美元⽤于交税和请客之外，你决定将剩余的6000美元⽤于投资。
两个朋友听到这个消息后邀请你成为两家不同公司的合伙⼈，每⼀个朋友介绍了⼀家。
这两个选择的每⼀个都将会花去你明年夏天的⼀些时间并且要花费⼀些资⾦。
在第⼀个朋友的公司中成为⼀个独资⼈要求投资5000美元并花费400⼩时，估计利润（不考虑时间价值）是4500美元。
第⼆个朋友的公司的相应数据为4000美元和500⼩时，估计利润为4500美元。
然⽽每⼀个朋友都允许你根据所好以任意⽐例投资。
如果你选择投资⼀定⽐例，上⾯所有给出的独资⼈的数据（资⾦投资、时间投资和利润）都将乘以⼀个相同的⽐例。
因为你正在寻找⼀个有意义的夏季⼯作（最多600⼩时），你决定以能够带来最⼤总估计利润的组合参与到⼀个或全部朋友的公司中。
你需要解决这个问题，找到最佳组合。
（1）为这⼀问题建⽴电⼦表格模型。
找出数据单元格、可变单元格、⽬标单元格，并且⽤SUMPRODUCT函数表⽰每⼀个输出单元格中的Excel等式。
（2）⽤代数⽅法建⽴⼀个同样的模型。
（3）分别⽤模型的代数形式和电⼦表格形式确定决策变量、⽬标函数、⾮负约束、函数约束和参数。
（4）使⽤图解法求解这个模型。
你的总期望利润是多少？3、伟特制窗（Whitt Window）公司是⼀个只有三个雇员的公司，⽣产两种⼿⼯窗户：⽊框窗户和铝框窗户。
公司每⽣产⼀个⽊框窗户可以获利60美元，⼀个铝框窗户可以获利30美元。
Doug制作⽊框窗户，每天可以制作6扇。
Linda制作铝框窗户，每天可以制作4扇。
《运筹学》精品课程习题集
《运筹学》精品课程习题集精品课程建设小组二○○六年六月三十日目录第一章线性规划 (1)第二章运输问题 (9)第三章整数规划 (14)第四章目标规划 (20)第五章动态规划 (21)第六章图与网络分析 (24)第七章存储论 (27)第八章对策论 (28)第一章 线性规划1、将下列线性规划问题化为标准型(1) max Z = 3x 1+ 5x 2- 4x 3+ 2x 4⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+≥+≤++0x , x , x 9 5x -3x -4x x -13 2x -2x 3x -x 18 3x x -6x 2x s.t.421432143214321 (2) min f = 3x1+ x2+ 4x3+ 2x4 ≤ 1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥=++≥+≤+0 x 0, x , x15 2x 3x -4x 2x 7- x -2x 2x -3x 51- 2x - x -3x 2x s.t. 4214214321 43213 (3) min F=x1+x2+x3+x4⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥+≥+≥+≥+0x ,x ,x ,x 7x x 8x x 6x x 5x x s.t.432143222141 (4) 3213min x x x F -+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≥≥0x ,x ,x 4x +5x +x -22x +x -3x +x +x ..32132121321t s 2、求出下列不等式组所定义的多面体的所有基本解和基本可行解（极点）：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥++0 x ,x ,x 12 4x 3x 2x -6 3x 3x 2x 321321321３、用图解法求解下列线性规划问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+=0x ,x 3 x 122x +3x 6 x -2x ..max )1(211212121t s X X Z⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥++-=0 x ,x 155x -3x 56 7x 4x ..3min )2(21212121t s x x Z４、在以下问题中，列出所有的基，指出其中的可行基，基础可行解以及最优解。
运筹学重点习题及答案
综合习题二1、自己选用适当的方法，对下图求最小(生成)树。
(12分)解：（1）最小树为图中双线所示（2）最小树长142、用破圈法求下面网络的最短树解：最小树如下图所示由于q=5，p=6，则q=p-1，故已得最短树。
最小树长为122、用标号法求下列网络V1→V7的最短路径及路长。
（12分）VV 3V 5V 6V 6V 1V 7V 4V 2解：最短路径：v 1→v 3→v 5→v 6→v 7 L=104、解：第一轮：（1）在G 中找到一个回路{v 1，v 2，v 3，v 1}；（2）此回路上的边[v 1，v 3]的权数6为最大，去掉[v 1，v 3]。
第二轮：（1）在划掉[v 1，v 3]的图中找到一个回路{v 2，v 3，v 5，v 2}；（2）去掉其中权数最大的边[v 2，v 5]。
第三轮：（1）在划掉[v 1，v 3]，[v 2，v 5]的图中找到一个回路{v 2，v 3，v 5，v 4，v 2}（2）去掉其中权数最大的边[v 3，v 5]。
第四轮：（1）在划掉[v 1，v 3]，[v 2，v 5]，[v 3，v 5]的图中找到一个回路{ v 4，v 5，v 6，v 4}（2）去掉其中权数最大的边[v 5，v 6]（或可以去掉边[v 4，v 6]，这两条边的权数都为最大）。
（2分）在余下的图中已找不到任何一个回路了，此时所得图就是最小树，这个最小树的所有v 1v5434v 6v 3v5V 27V 4V 1(v 1(v 1, 4)(v 1, 6)1, 13)5(v 1, 5)边的总权数为5+4+2+3+4=18，结果如下图所示，即按照下图设计网络路线，可使总的线路长度达到最短。
5、求下图的网络最大流，并写出最小割集。
（12分）t V 3 7 V 6解：找增广链：41=f t s V V V V →→→41 t s V V V V →→→5232=f （6分）t s V V V V →→→6373=f(V s ,4)t V 3 (7,7) V 6(V s ,8) （3分）最小割集为：V *={（V 3，V 6），（V 2，V 5），（V 1，V 4）} （1分）C *（V ，V ）=14 （1分）且V *（f ）=14 5、如下图，（1）求v 1到v 10的最大流及最大流量；（2）求最小割集和最小割量。
运筹学练习题
运筹学练习题一、线性规划1. 某企业生产两种产品，产品A和产品B。
生产一个单位产品A需要2小时机器时间，3小时人工时间，利润为20元；生产一个单位产品B需要1小时机器时间，1小时人工时间，利润为15元。
若企业每周有100小时机器时间和90小时人工时间，如何安排生产计划以使利润最大化？2. 某公司计划生产三种产品，产品1、产品2和产品3。
每种产品的市场需求量分别为50、60和70单位。
生产每单位产品1、产品2和产品3所需的资源分别为2、3和4。
现有资源总量为200，如何分配资源以最大化总产量？3. 设有线性规划问题：最大化 3x + 2y，约束条件为x + 2y ≤ 6，2x + y ≤ 8，x ≥ 0，y ≥ 0。
求目标函数的最大值。
二、整数规划1. 某公司生产三种产品，产品1、产品2和产品3。
生产每单位产品1、产品2和产品3所需的工人数分别为2、3和4。
现有工人总数为20，如何分配工人以使总产量最大化？2. 某物流公司需要从A地运送货物到B地，沿途有若干个中转站。
每个中转站的货物需求量为整数，如何规划运输路线以最小化总运输成本？3. 设有整数规划问题：最大化 5x + 4y，约束条件为 3x + 2y≤ 12，x + 3y ≤ 9，x ≥ 0，y ≥ 0，且x、y为整数。
求目标函数的最大值。
三、动态规划1. 某人有一笔钱，可以在四个阶段进行投资。
每个阶段有三种投资方案，分别对应不同的收益。
如何制定投资策略以使总收益最大化？2. 某企业在一定时期内生产一种产品，已知市场需求量、生产成本和库存成本。
如何制定生产计划以使总成本最小？3. 设有动态规划问题：求解最短路径问题，从节点1到节点5，路径上的权重分别为{3, 4, 2, 1, 5}，{2, 1, 3, 2, 4}，{4, 3, 2, 5, 1}。
求从节点1到节点5的最短路径。
四、网络流问题1. 某地区有五个城市，城市之间的道路容量如下表所示。
(完整word版)运筹学习题及答案
34。某个常数bi波动时，最优表中引起变化的有（A)
A.B－1bB。 C.B－1D.B－1N
35.某个常数bi波动时，最优表中引起变化的有(C)
A. 检验数 B。CBB－1C。CBB－1b D。系数矩阵
36.任意一个容量的网络中，从起点到终点的最大流的流量等于分离起点和终点的任一割集的容量.（B）A.正确B。错误C.不一定D。无法判断
9.对偶单纯形法迭代中的主元素一定是负元素( )A
A。正确B.错误C。不一定D。无法判断
10。对偶单纯形法求解极大化线性规划时,如果不按照最小化比值的方法选取什么变量则在下一个解中至少有一个变量为正（ )B
A。换出变量B.换入变量C.非基变量D。基变量
11.对 问题的标准型: ，利用单纯形表求解时，每做一次换基迭代，都能保证它相应的目标函数值 必为（）B
A.换出变量B.换入变量C。非基变量D。基变量
29。可行解是满足约束条件和非负条件的决策变量的一组取值.（ ）A
A。正确B。错误C。不一定D。无法判断
30。 连通图G有n个点，其部分树是T，则有(C）
A。T有n个点n条边 B.T的长度等于G的每条边的长度之和
C.T有n个点n－1条边 D。T有n－1个点n条边
47.通过什么方法或者技巧可以把产销不平衡运输问题转化为产销平衡运输问题（C)
A。非线性问题的线性化技巧B.静态问题的动态处理
C.引入虚拟产地或者销地D。引入人工变量
48.为什么单纯形法迭代的每一个解都是可行解？因为遵循了下列规则 (A）
A。按最小比值规则选择出基变量 B。先进基后出基规则
C。标准型要求变量非负规则 D。按检验数最大的变量进基规则
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运筹学习题精选运筹学习题精选第一章线性规划及单纯形法选择1．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为……………………………………………………( C ) A．多余变量 B．松弛变量 C．自由变量 D．人工变量2．约束条件为0AX的线性规划问题的可行解集b,≥=X 是………………………………………( B )A．补集 B．凸集 C．交集 D．凹集3．线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的（ C）上达到。
A．内点 B．外点 C．顶点 D．几何点4．线性规划标准型中bi（i=1，2，……m）必须是…………………………………………………( B) A．正数 B．非负数 C．无约束 D．非零的5．线性规划问题的基本可行解X对应于可行域D 的………………………………………………( D)A．外点 B．所有点 C．内点 D．极点6．基本可行解中的非零变量的个数小于约束条件数时，该问题可求得……………………………( B ) A．基本解 B．退化解 C．多重解 D．无解7．满足线性规划问题全部约束条件的解称为…………………………………………………( C )A．最优解 B．基本解 C．可行解 D．多重解8．线性规划一般模型中，自由变量可以用两个非负变量的（B ）代换。
A．和 B．差 C．积 D．商9．当满足最优检验，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得………………………( A )第 2 页共 30 页第 3 页 共 30 页A ．多重解B ．无解C ．正则解D ．退化解 10．若线性规划问题有最优解，则必定存在一个( D )是最优解。
A ．无穷多解 B. 基解 C. 可行解 D. 基可行解 填空计算 1． 某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如下表所示,求使该厂获利最大的生产计划。
2． 目标函数为max Z =28x4+x5+2x6，约束形式为“≤”，且x1，x2，x3为松弛变量，表中的解代入目标函数中得Z=14，求出a~g 的值，并判断→j c 0 0 0 28 1 2B C 基 b 1x 2x 3x 4x5x 6x 2 6x A 3 0 -14/3 0 1 1 0 2x 5 6 D 2 0 5/2 0 28 4x 0 0 E F 1 0 0 j j z c - B C 0 0 -1 G3．某工厂生产A、B两种产品，已知生产A每公斤要用煤6吨、电4度、劳动力3个；生产B每公斤要用煤4吨、电5度、劳动力10个。
又知每公斤A、B的利润分别为7万元和12万元。
现在该工厂只有煤360吨、电200度、劳动力300个。
问在这种情况下，各生产A、B多少公斤，才能获最大利润，请建立模型[仅建立模型，不求解]。
4．已知单纯形表如下，其中x1,x2,x3表示三种产品的产量，x4,x5是松弛变量（目标函数为max Z）（1）、写出此时生产方案，并判断是否最优生产方案。
（2）、该生产方案下每种产品的机会费用。
（3）、以此表为基础，请求出最优生产方案。
答：（1）生产方案是：不生产1、3两种产品，只生产第2种产品100/3个单位，不是最优方案。
（2）30，45，15.（3）最优生产方案：不生产第3种产品，1、第 4 页共 30 页第 5 页 共 30 页2两种产品各生产20个单位，最大利润1700。
5．给出下面线性规划的标准形式，并用图解法求解122121212max 25156224..5,z x x x x x s t x x x x =+≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩解：标准形式如右下：122312412515max 25156224..5,,z x x x x x x x s t x x x x x =++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪≥⎩L 最优解为：x1=2，x2=3z*=8 资源2剩余66．某公司生产两种产品，其耗材获利情况如下表，问如何获利最大？产品1 产品2资源量原料1 0.4 0.5 20 原料2 0 0.2 6 原料3 0.6 0.3 21 获利 40 30请你(1)建立线性规划模型，(2)并用单纯形法求解，(3)根据单纯形表最终结果分析，若第 6 页 共 30 页产品1的获利上升到56，最优解是否会变化？若同时产品2的获利下降到24，最优解是否会变化？ 解：（1）设产品1、2的产量分别为x 1、x 2，可得如下模型：121221212max 40300.40.5200.26..0.60.321,z x x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩（2）单纯形表求解结果为：0 0 4 10 甲 0 1 1 0 乙 12 00 6 丙 130 丁A B C D1225,20,2x x ==资源剩余2通过代入参数到最终单纯形表，结合检验数可得：（3）若产品1的获利上升到56，最优解不会变化第 7 页 共 30 页若同时产品2的获利下降到24，最优解会变化7．已知某线性规划问题的初始单纯形表和用单纯形迭代后得到的表如下，运用单纯形法的向量矩阵的方法求格中的未知数l k j i h g f e d c b a ,,,,,,,,,,,。
P47-1.8解：8．已知某线性规划问题用单纯形迭代时得到中间某两步的单纯形表如下表所示，试将表中空白处数字填上。
P48-1.10→jc 3 5 4 0 0 0B C 基 b 1x 2x 3x 4x5x 6x 5 2x 8/3 2/3 1 0 1/3 0 0 0 5x 14/3 -4/3 0 5 -2/3 1 0 0 6x 29/3 5/3 0 4 -2/3 0 11x 2x 3x 4x 5x 4x 6 b c d 1 05x 1 -1 3 E 0 1 jjz c - a -1 2 0 01x 2x 3x 4x 5x 1x f g 2 -1 1/2 0 5x 4 h i 1 1/2 1 jjz c - 0 -7 j k l第 8 页 共 30 页jj z c --1/3 04 -5/3 0 05 2x 15/41 8/41 -10/41 4 3x -6/41 5/41 4/41 3 1x -2/41 -12/41 15/41 jj z c -证明1． 证明若线性规划问题存在可行解，则问题的可行域必定是凸集。
2．第二章 线性规划的对偶理论 选择1．对偶问题的对偶是……………………………………………………………………( )A ．基本问题B ．解的问题C ．其它问题D ．原问题 正确答案为：42．若原问题是一标准型，则对偶问题的最优解值就等于原问题最优表中松弛变量的( )A ．值 B ．个数 C ．机会费用 D ．检验数 正确答案为：3 3．若原问题中xI 为自由变量，那么对偶问题中的第i 个约束一定为………………( ) A ．等式约束 B ．“≤”型约束 C ．“≥”约束 D ．无法确定正确答案为：14．原问题的第i个约束方程是“=”型，则对偶问题的变量qi是…………………… ( )A．多余变量 B．自由变量 C．松弛变量 D．非负变量正确答案为：B5．若原问题求目标最小，则对偶问题的最优解值就等于原问题最优表中多余变量的……………( )A．机会费用 B．个数 C．值 D．机会费用的相反数正确答案为：D6．原问题与对偶问题的最优（）相同。
A．解 B．目标值 C．解结构 D．解的分量个数正确答案为：B填空1．对偶理论中，如原问题具有无界解，则其对偶问题的解的情况为。
2．对偶理论中，如原问题无可行解时，其对偶问题的解的情况为。
3．对偶理论中，若线性规划问题的最优解中，对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件一定是严格的 (等式或不等式)，反之，如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定(为零或不为零)。
计算1.写出该线性规划问题的对偶问题，求出原问题的最第 9 页共 30 页第 10 页 共 30 页优解。
对偶问题的最优解为（0，0，4，4），原问题的最优解为（6/5，1/5）2． 若某线性规划问题的标准模型为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤++=0,15516 41222..32 max 21212121x x x x x x t s x x z 且按单纯形法求解的其最优单纯形表为：→j c 2 3 0 0 0BC 基 b 1x 2x 3x 4x5x 2 1x 3 1 0 1/2 0 -1/5 0 4x 4 0 0 -2 1 4/5 3 2x 3 0 1 0 0 1/5 jj z c - 0 0 -1 0 -1/5(1) 21,c c 由2,3分别变为2132λλ++和，试运用灵敏度分析知识分析21λλ和分别在什么范围变化，问题的最优解不变。
(2) 如果标准模型中的常数列由32115,16,1215,16,12λλλ+++分别变为，试运用灵敏度分析知识分析321λλλ和和分别在什么范围变化，问题的最优基不变。
(3) 如标准模型中增加了一个变量6x ，且相应的目标系数,46=c 最初单纯形表中的TP )5,4,2(6=，试运用灵敏度分析的知识分析问题最优解的变化。
(4) 如在标准模型中增加了一个约束条件142321≤+x x ，试运用灵敏度分析知识分析最优解的变化。
(5) 若相应的目标系数21,c c 由2,3分别变为λλ++322和，试运用参数线性规划的知识分析最优解随参数变化情况，并画出目标函数最优值随参数变化图。
(6) 如果标准模型中的常数列中第三个约束的常数由λ+1515变为，试运用参数线性规划的知识分析最优解随参数变化情况，并画出目标函数)(λz 最优值随参数λ变化图。
3． 已知线性规划问题⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+++≤+++++=0,,,1222282..652 max 432143214314321x x x x x x x xx x x t s x x x x z 若其对偶问题的最优解为1,421==y y(1) 写出线性规划问题的对偶问题(2) 运用对偶理论分析求解原线性规划问题的最优解。
4． 已知线性规划问题⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤++++≤++++++++=0,,,,3..00)( max 54321225323222121214313212111543322111x x x x x t b x x a x a x a t b x x a x a x a t s x x x c x c x t c z 当011==t t时，求得问题的最终单纯形表为：P78-2.111x 2x 3x 4x 5x 3x 5/2 0 1/2 1 1.2 0 1x 5/2 1 -1/2 0 -1/6 1/3 jj z c - 0 -4 0 -4 -2(1) 21321232221131211,,,,,,,,,,b b c c c a a a a a a 的值。