运筹学练习题
运筹学考试试题
运筹学考试试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 线性规划的标准形式中，目标函数的系数应为：A. 正数B. 负数C. 任意非零数D. 零2. 在单纯形法中，如果某个非基变量的检验数大于零，则：A. 该变量不能进入基B. 该变量必须进入基C. 该变量的值可以增加D. 该变量的值可以减少3. 下列哪项不是运输问题的特殊矩阵？A. 平衡矩阵B. V型矩阵C. U型矩阵D. 散布矩阵4. 对于一个确定的线性规划问题，下列哪项是正确的？A. 只有一个最优解B. 有多个最优解C. 可能没有可行解D. 所有选项都是正确的5. 在动态规划中，状态转移方程的作用是：A. 确定初始状态B. 确定最终状态C. 确定中间状态D. 确定最优解二、简答题（每题5分，共20分）1. 简述单纯形法的基本步骤。
2. 解释什么是灵敏度分析，并说明其在运筹学中的应用。
3. 什么是网络流问题？请举例说明其在实际中的应用。
4. 描述动态规划的基本原理及其与分阶段决策过程的关系。
三、计算题（每题10分，共30分）1. 给定如下线性规划问题，请找出其最优解，并计算目标函数的最小值。
Maximize Z = 3x1 + 2x2Subject tox1 + 2x2 ≤ 103x1 + x2 ≤ 15x1, x2 ≥ 02. 考虑一个有三个仓库（A、B、C）和三个市场（D、E、F）的运输问题。
运输成本矩阵如下：| D E F ||--|--|--|A | 2 3 4 || B | 1 2 3 || C | 5 6 7 |每个仓库的供应量和每个市场的需求量如下：Supply/Demand: A: 10, B: 8, C: 5, D: 8, E: 10, F: 7使用北街角规则找出初始可行解。
3. 一个公司想要在三个城市（城市1、城市2、城市3）之间运输货物。
运输成本和需求量如下表所示：| 城市1 城市2 城市3 ||--|--|--|| 2 3 5 || 1 2 4 || 3 4 6 |需求量：城市1: 4, 城市2: 3, 城市3: 2请使用匈牙利算法解决此问题。
运筹学练习题
运筹学练习题一、填空题1、线性规划模型有三种参数，其名称分别为_ 、 _ 和 。
2、一个模型是m 个约束，n 个变量，则它的对偶模型为 个约束， 个变量。
3、动态规划是解决 最优化问题的一种理论和方法。
4、在运输问题中，一个空格只存在______闭回路，计算闭回路的目的是要计算解中_______。
5、若线性规划问题最优解不唯一，则在最优单纯形表上的非基变量的检验数___________。
6、为求解销量大于产量的运输问题，可虚设一个产地A m+1，它的销量等于_ 。
二、单项选择题1．使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数0≤j σ，在基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题（ ）。
A ．有唯一的最优解；B ．有无穷多个最优解；C ．为无界解；D ．无可行解。
2．一个极大化的线性规划问题用单纯形法求解，若对所有的检验数0≤j σ，但对某个非基变量j x ，有0=j σ，则该线性规划问题（ ）。
A ．有唯一的最优解；B ．有无穷多个最优解；C ．为无界解；D ．无可行解。
3．在用对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中（ ）。
A ．b 列元素不小于零； B ．检验数都大于零； C ．检验数都不小于零； D ．检验数都不大于零。
4．在运输问题中，每次迭代时，如果有某基变量的解值等于零，则该运输问题（ ）。
A ．无最优解；B ．有无穷多个最优解；C ．有唯一最优解；D ．出现退化解。
5．若一个产销平衡运输问题的数据表的各元素都乘以常数k （k.>0）得到一个新的数据表，这一新数据表对应着一个新的产销平衡运输问题，则（ ）。
A ．新问题与原问题有相同的最优解；B ．新问题最优目标值大于原问题最优目标函数值；C ．新问题最优解等于原问题最优解加上k ；D ．新问题最优解小于原问题最优解。
6．如果要使目标规划实际实现值达到或超过目标值，则相应的偏差变量应满足（ ）。
运筹学练习题
最优解：X*＝（3.75，0.75,0,0）T，MaxZ＝8.25
第二章
1. 如果线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题 也一定存在可行解；
2. 如果线性规划问题的对偶问题无可行解，则原问题 也一定无可行解； 3. 在互为对偶的一对原问题与对偶问题中，原问题可 行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标 函数值；
用对偶单纯形法求解下列线性规划问题 minz＝4x1＋12x2＋18x3 x1 ＋3x3 ≥3 st 2 x2＋2x3 ≥5 xj≥0 (j=1,2,3) MAXZ＝－4X1－12X2－18X3 －X1 －3X3＋X4 ＝－3 ST －2 X2 －2X3 ＋X5＝－5 XJ≥0
CB 0
c j XB x4
，，，，，
（7）、单纯形法计算中，如不按θi最小原则选取换出变量，则 在下一个解中至少有一个基变量的值为负
（8）、一旦人工变量在迭代中离基，该变量及相应列在单纯 形表中的数字可以不再计算，而不会影响计算结果 （9）、对一个有n个变量、m个约束的SLP问题，其可行域的 顶点恰好为Cnm个
10 b 3/2 1 x1 0 1
5 x2 1 0
0 x3 5/14
0 x4 -3/14 2/7
4 12 0 12
x2 3/2 x1 1 j x3 21/5 x1 8/5
0 1 0 0 1 0
1 0 0 14/5 2/5 -4/5
5/14
-1/7 2/7
-3/14 2/7 -18/7 -3/5 1/5 -12/5
CB 0 0
a 0
cj XB x4 x5
a
1
b 6 1
f 4
j
x1 x5
j
x1 b -1 a 1 0 0
运筹学20道习题
1．已知线性规划（15分）123123123max 3452102351,2,3jZ x x x x x x x x x x j =++⎧+-≤⎪-+≤⎨⎪≥=⎩0，（1）求原问题和对偶问题的最优解；（2）求最优解不变时c j 的变化范围36.解：（1）化标准型 2分 （2）单纯形法 5分（3）最优解X=(0，7，4)；Z ＝48 （2分） （4）对偶问题的最优解Y ＝（3.4，2.8） (2分)（5）Δc 1≤6，Δc 2≥-17/2，Δc 3≥-6，则 1235(,9),,13c c c ∈-∞≥-≥-(4分)2．某公司要将一批货从三个产地运到四个销地，有关数据如下表所示。
现要求制定调运计划，且依次满足：（1）B 3的供应量不低于需要量； （2）其余销地的供应量不低于85%； （3）A 3给B 3的供应量不低于200； （4）A 2尽可能少给B 1；（5）销地B 2、B 3的供应量尽可能保持平衡。
（6）使总运费最小。
试建立该问题的目标规划数学模型。
3、请用表上作业法解下题，得到最优解,并计算此时总运费：现在有运价表如下:产地销地B1B2B3产量A1 5 1 6 12A2 2 4 0 14A3 3 6 7 4销量9 10 11 30 答案：根据上面运价表以及销量和产量的要求，使用表上作业法：5 1 62 4 03 6 79 10 11得到下面运输方案：检验空格：空格A检验：6 –(0+3) = 3 > 0空格B检验：7 – (3-2) = 6 > 0空格C检验：6 - (1-2) = 7 > 0空格D检验：4 – (1-3)= 6 > 0 故全部符合要求。
总运输费用：2×5 + 3× 2 + 4 × 3 + 10 × 1 + 11 × 0 = 38 答：上面的运输方案为最佳方案，总运费为38。
《运筹学》试题及答案大全
《运筹学》试题及参考答案一、填空题（每空2分，共10分）1、在线性规划问题中，称满足所有约束条件方程和非负限制的解为可行解。
2、在线性规划问题中，图解法适合用于处理变量为两个的线性规划问题。
3、求解不平衡的运输问题的基本思想是设立虚供地或虚需求点，化为供求平衡的标准形式。
4、在图论中，称无圈的连通图为树。
5、运输问题中求初始基本可行解的方法通常有最小费用法、西北角法两种方法。
二、（每小题5分，共10分）用图解法求解下列线性规划问题：1）max z =6x 1+4x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤+≤+0781022122121x x x x x x x ，解：此题在“《运筹学》复习参考资料.doc ”中已有，不再重复。
2）min z =－3x 1+2x 2⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤-≤-≤+-≤+0,137210422422121212121x x x x x x x x x x 解：可行解域为abcda ，最优解为b 点。
⑴⑵⑶⑷⑸⑹、⑺由方程组⎩⎨⎧==+02242221x x x 解出x 1=11，x 2=0∴X *=⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x =（11，0）T∴min z =－3×11+2×0=－33三、（15分）某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A 、B 、C 三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示：AB C 甲94370乙46101203602003001）建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型；（5分）2）用单纯形法求该问题的最优解。
（10分）解：1）建立线性规划数学模型：设甲、乙产品的生产数量应为x 1、x 2，则x 1、x 2≥0，设z 是产品售后的总利润，则max z =70x 1+120x 2s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+0300103200643604921212121x x x x x x x x ，2）用单纯形法求最优解：加入松弛变量x 3，x 4，x 5，得到等效的标准模型：max z =70x 1+120x 2+0x 3+0x 4+0x 5s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=++=++5,...,2,1,03001032006436049521421321j x x x x x x x x x x j 列表计算如下：四、（10分）用大M 法或对偶单纯形法求解如下线性规划模型：min z =5x 1＋2x 2＋4x 3⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++≥++0,,10536423321321321x x x x x x x x x 解：用大M 法，先化为等效的标准模型：max z /=－5x 1－2x 2－4x 3s.t.⎪⎩⎪⎨⎧=≥=-++=-++5,...,2,1,010********214321j y x x x x x x x x j增加人工变量x 6、x 7，得到：max z /=－5x 1－2x 2－4x 3－M x 6－M x 7s.t⎪⎩⎪⎨⎧=≥=+-++=+-++7,...,2,1,010*********2164321j x x x x x x x x x x x j大M 法单纯形表求解过程如下：五、（15分）给定下列运输问题：（表中数据为产地A i 到销地B j 的单位运费）B 1B 2B 3B 4s iA 1A 2A 312348765910119108015d j82212181）用最小费用法求初始运输方案，并写出相应的总运费；（5分）2）用1）得到的基本可行解，继续迭代求该问题的最优解。
运筹学练习题
一、填空题（每题1分,共5分；许圣兰得分:4分）1、已知线性规划maxZ=3x1+4x2+x3,x1+2x2+x3≤10,2x1+2x2+x3≤16,x1,x2,x3≥0的最优基为约束条件系数矩阵的第一、第二两列，则最优解(x1,x2)= (6,2) 。
√ +1分2、非基变量x j的系数为c j,对应的最终表的检验数为-2,则最优解不变时,c j的允许增量应满足(用不等式表示):Δc j <=2/cj 。
×!参考答案:<=23、已知非整数最优解中基变量x1=3.25，x1要求取整数，则添加分枝约束x1<=3和 x1>=4 。
√ +1分4、一个可行流为最大流的充要条件是存在一个截集使其截量等于网络流的流量。
√ +1分5、每隔相同时间t0进货一次且每次进货量都相等的存贮策略称为t0循环策略。
√ +1分-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------二、判断题（每题1分,共10分；许圣兰得分:9分）1、当你自己建立的 LP 模型无最优解时，一定是模型中存在矛盾的约束条件 (错误)√ +1分2、设X*是m in z = CX,AX≥b, X≥0的最优解，Y*是max w =Yb, YA≤C, Y≥0的最优解，则CX*=Y*b (正确)√ +1分3、整数规划的可行解集合是离散型集合 (正确)√ +1分4、若运输问题中的产量和销量为整数则其最优解也一定为整数。
(错误)√ +1分5、μ是一条增广链，则后向弧上满足流量f ≥0。
(错误)√ +1分6、指派问题一定有最优解 (正确)√ +1分7、 (s,S)策略是连续盘存，当存储量降到s时立即提出订货，订货量等于S (错误)√ +1分8、 LP 问题的基本可行解对应可行域的顶点。
运筹学考试练习题
运筹学自测题第一套题一、判断题（T－正确，F－错误）1．图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的。
2．若线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上的一个点。
3．一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
4．线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解。
5．任何线性规划问题存在并具有唯一的对偶问题。
6．运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求解结果也可能出现下列四种情况之一：有唯一最优解，有无穷多最优解，无界解，无可行解。
7．整数规划的目标函数值一般优于其相应的线性规划问题的解的目标函数值。
8．分枝定界法在需要分枝时必须满足：分枝后的各子问题必须容易求解；各子问题解的集合必须包含原问题的解。
9．整数割平面法每次只割去问题的部分非整数解。
10．线性规划问题是目标规划问题的一种特殊形式。
11．目标规划模型中，应同时包含系统约束（绝对约束）与目标约束。
12．图论中的图不仅反映了研究对象之间的关系，而且是真实图形的写照，因而对图中点与点的相对位置、点与点连线的长短曲直等都要严格注意。
13．网络图中代表两点之间的距离长短的数字，其含义也可以是时间或费用。
14．在制定网络计划时，将一个任务分解成若干个独立的工作单元，称为任务的分解。
二、选择题1．线性规划数学模型的特征是：________都是线性的。
A. 目标函数和决策变量B. 决策变量和约束条件C. 目标函数和约束条件D. 目标函数、约束条件及决策变量2．关于剩余变量，下列说法错误的是：A. 为将某个大于等于约束化为等式约束，在该约束中减去一个剩余变量B. 剩余变量在实际问题中表示超过收益的部分C. 剩余变量在目标函数中的系数为零D. 在用单纯形法求解线性规划问题时，剩余变量一般作为初始基变量。
A. 任意m 个列向量组成的矩阵B. 任意m 阶子矩阵C. 前m 个列向量组成的矩阵D. 任意m 个线性无关的列向量组成的矩阵A. mB. n-mC. 至少mD. 至少n-m5．如果是求极大值的线性规划问题，单纯形法的每次迭代意味着其目标函数值将（ A）必然增加；（B）必然减少；（C）可能增加；（D）可能减少6．单纯形法求解线性规划问题时，如何判断问题存在无界解？（A）全部变量的检验数非负；（B）某个检验数为正的非基变量，其系数列向量不存在正分量；（C）最终的单纯形表中含有人工变量，且其取值不为零；（D）非基变量全部非正，且某个非基变量的检验数为零。
运筹学考试试卷及答案
运筹学考试试卷及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 线性规划问题的标准形式是：A. 所有变量都非负B. 目标函数是最大化C. 所有约束条件都是等式D. 所有约束条件都是不等式答案：A2. 单纯形法中，如果某个变量的检验数为负数，那么：A. 该变量可以增大B. 该变量可以减小C. 该变量保持不变D. 该变量不能进入基答案：A3. 在运输问题中，如果某种资源的供应量大于需求量，那么应该：A. 增加供应量B. 减少需求量C. 增加需求量D. 减少供应量答案：C4. 动态规划的基本原理是：A. 递归B. 迭代C. 回溯D. 分解答案：D5. 决策树中，每个节点代表：A. 一个决策B. 一个状态C. 一个结果D. 一个概率答案：A6. 排队论中，M/M/1队列的特点是：A. 到达时间服从泊松分布，服务时间服从指数分布，且只有一个服务台B. 到达时间服从指数分布，服务时间服从泊松分布，且只有一个服务台C. 到达时间服从泊松分布，服务时间服从指数分布，且有两个服务台D. 到达时间服从指数分布，服务时间服从泊松分布，且有两个服务台答案：A7. 网络流问题中，最大流最小割定理说明：A. 最大流等于最小割B. 最大流小于最小割C. 最大流大于最小割D. 最大流与最小割无关答案：A8. 整数规划问题中，分支定界法的基本思想是：A. 将问题分解为多个子问题B. 将问题转化为线性规划问题C. 将问题转化为非线性规划问题D. 将问题转化为动态规划问题答案：A9. 在多目标决策中，如果目标之间存在冲突，通常采用的方法是：A. 目标排序B. 目标加权C. 目标合并D. 目标替换答案：B10. 敏感性分析的目的是：A. 确定最优解的稳定性B. 确定最优解的唯一性C. 确定最优解的可行性D. 确定最优解的最优性答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 线性规划问题的可行域是由所有_________约束条件构成的集合。
答案：可行2. 在单纯形法中，如果目标函数的系数都是正数，则该问题为_________问题。
最全运筹学习题及答案
最全运筹学习题及答案共1 页运筹学习题答案）1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
（1）max z?x1?x25x1+10x2?50x1+x2?1x2?4x1，x2?0（2）min z=x1+1.5x2x1+3x2?3x1+x2?2x1，x2?0（3）+2x2x1-x2?-0.5x1+x2x1，x2?0（4）max z=x1x2x1-x2?03x1-x2?-3x1，x2?0（1）（图略）有唯一可行解，max z=14（2）（图略）有唯一可行解，min z=9/4（3）（图略）无界解（4）（图略）无可行解1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。
共2 页（1）min z=-3x1+4x2-2x3+5x4 4x1-x2+2x3-x4=-2x1+x2+3x3-x4?14 -2x1+3x2-x3+2x4?2x1，x2，x3?0，x4无约束（2zk?i??xk?1mxik?（1Max s. t .-4x1xx1,x2共3 页(2)解：加入人工变量x1，x2，x3，…xn，得：Max s=(1/pk)? i?1n?k?1m?ikxik-Mx1-Mx2-…..-Mxnm（1）max z=2x1+3x2+4x3+7x4 2x1+3x2-x3-4x4=8x1-2x2+6x3-7x4=-3x1,x2,x3,x4?0(2)max z=5x1-2x2+3x3-6x4共4 页x1+2x2+3x3+4x4=72x1+x2+x3+2x4=3x1x2x3x4?0（1）解：系数矩阵A是：?23?1?4??1?26?7? ??令A=(P1，P2，P3，P4)P1与P2线形无关，以（P1，P2有2x1+3x2=8+x3+4x4x1-2x2=-3-6x3+7x4令非基变量x3，x4解得：x1=1；x2=2基解0，0)T为可行解z1=8(2)同理，以（P=（45/13，0，-14/13，0)T是非可行解；3以（P1，P4X(3)=，，7/5)T是可行解，z3=117/5；(4)以（P2，P=（，45/16，7/16，0)T是可行解，z4=163/16；3以（P2，P4）为基，基解X(5)0，68/29，0，-7/29)T是非可行解；(6)TX以（P4，P）为基，基解=（0，0，-68/31，-45/31是非可行解；)3最大值为z3=117/5；最优解X(3)=（34/5，0，0，7/5)T。
运筹学试题及答案
运筹学试题及答案考试时间：120分钟命题人：XXX一、选择题（共60分）1. 运筹学的核心思想是：A. 尽可能地满足需求B. 确定最优决策C. 提高运营效率D. 预测未来趋势答案：B2. 下列哪个不是运筹学的应用领域？A. 生产调度B. 金融风险管理C. 市场营销D. 交通规划答案：C3. 线性规划是研究下列问题的数学方法：A. 最大化目标函数B. 最小化目标函数C. 求解等式系统D. 优化约束条件答案：D4. 整数规划是线性规划的扩展，其特点是：A. 变量只能取整数值B. 变量可以取任意实数值C. 目标函数必须是整数D. 约束条件必须是整数答案：A5. 运筹学中的最短路径问题是指：A. 在有向图中找到从起点到终点的最短路径B. 在无向图中找到连接所有节点的最短路径C. 在网络中找到连接所有节点的最短路径D. 在带权图中找到权值最小的路径答案：A二、计算题（共40分）1. 某工厂有3个生产车间，分别需要完成4个任务。
完成每个任务所需时间如下：车间1：10小时车间2：8小时车间3：6小时为了提高效率，每个车间只能同时进行一个任务。
请问应如何分配任务，才能使得所有任务完成的时间最短？答案：将任务按照时间从大到小排序分配，先将任务分配给车间1和车间2，然后再将任务分配给车间3。
具体分配如下：车间1：10小时（任务1）车间2：8小时（任务2）车间3：6小时（任务3）车间1：18小时（任务1+任务4）车间2：16小时（任务2+任务4）车间3：12小时（任务3）总时间为18小时。
2. 某物流公司需要将货物从发货仓库A送至目的地仓库B。
货物可通过3条不同的路径运送，分别需要的运输时间为：路径1：6小时路径2：8小时路径3：10小时若考虑各路径的运输成本，路径1的运输成本为100元/小时，路径2的运输成本为150元/小时，路径3的运输成本为120元/小时。
请问应如何选择路径，使得运输成本最低？答案：计算各路径的单位成本，并选择单位成本最低的路径。
运筹学试题及答案
运筹学试题及答案运筹学试题及答案一、选择题：从下列四个选项中选择正确的答案。
1. 运筹学一词最初来自于哪个国家？A. 中国B. 美国C. 英国D. 德国答案：B. 美国2. 运筹学的主要目标是什么？A. 提高企业的生产效率B. 降低企业的成本C. 提高企业的利润D. 优化资源的利用答案：D. 优化资源的利用3. 下列哪个不是运筹学的研究方法？A. 线性规划B. 动态规划C. 模拟D. 微积分答案：D. 微积分4. 下列哪个是运筹学的一个应用领域？A. 人力资源管理B. 市场营销C. 金融投资D. 以上都是答案：D. 以上都是二、填空题：根据题目要求，在空格中填入正确的答案。
1. 线性规划是运筹学中的一种常用方法，其目标是在一定的约束条件下，______线性目标的最优解。
答案：最大化或最小化2. 动态规划是一种解决_______过程中的最优化问题的方法。
答案：多阶段决策3. 供应链管理中，______是指将不同的物流节点连接起来，实现物流流程的顺畅和高效。
答案：协调4. 在项目管理中，______图是一种重要的工具，用于展示项目活动与任务之间的依赖关系。
答案：网络三、问答题：根据题目要求，回答问题。
1. 什么是线性规划？请简要解释线性规划的基本原理。
答：线性规划是一种数学优化方法，通过建立线性数学模型，以线性目标函数和线性约束条件为基础，寻找使目标函数最大或最小的决策变量值。
其基本原理是通过确定目标函数的优化方向和约束条件，使用线性代数和数学规划理论进行求解，得出最优解。
2. 动态规划在运筹学中的应用有哪些？请举例说明。
答：动态规划在运筹学中有广泛的应用，例如在资源分配、生产计划、货物调度等方面。
举个例子就是在货物调度中，通过动态规划的方法可以确定最优的调度方案，使得货物的运输成本最小化，货物的运输时间最短化。
3. 什么是供应链管理？为什么供应链管理对企业的重要性？答：供应链管理是指协调各个物流节点，包括原材料供应、生产、仓储、运输和客户服务等环节，实现产品或服务的流动和交付。
(完整版)《运筹学》习题集
第一章线性规划1．1将下述线性规划问题化成标准形式1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4－x2＋2x3－x4＝－24xst. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14－2x1＋3x2＋x3－x4 ≥2x1，x2，x3≥0，x4无约束2)min z ＝2x1－2x2＋3x3＋x2＋x3＝4－xst. －2x1＋x2－x3≤6x1≤0 ，x2≥0，x3无约束1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
1)min z＝2x1＋3x24x1＋6x2≥6st2x1＋2x2≥4x1，x2≥02)max z＝3x1＋2x22x1＋x2≤2st3x1＋4x2≥12x1，x2≥03)max z＝3x1＋5x26x1＋10x2≤120st5≤x1≤103≤x2≤84)max z＝5x1＋6x22x1－x2≥2st－2x1＋3x2≤2x1，x2≥01．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解（1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3x1，x2，x3，x4≥01．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。
1) maxz ＝10x 1＋5x 23x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥02) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥01．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。
1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥02) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4x 1＋ x 2－ x 3＝53) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥01231231231231234)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤⎧⎪-++≤⎪⎨++≥⎪⎪≥⎩1．61.7某班有男生30人，女生20人，周日去植树。
运筹学练习题
运筹学练习题1、 用图解法求下列线性规划问题：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0,42366432min 21212121x x x x x x x x z2、用单纯形法求下列线性规划问题：1212312123max 10534952 8,,0z x x x x x x x x x x =+++=⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 3、 线性规划问题0,,max ≥==X b AX CX z ,设)0(X为问题的最优解。
若目标函数中用*C 代替C 后，问题的最优解变为*X ，证明：0)*)(*()0(≥--X X C C4、某饲养场饲养动物出售，设没头动物每天至少需700g 蛋白质、30g 矿物质、100g 维生素。
要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。
（只建立模型，不求解）5、 某医院护士值班班次、每班工作时间及各班所需护士数如下表，每班护士值班开始向病房报到，试决定：（1） 若护士上班后连续工作8h ，该医院最少需要多少名护士？ （2） 若除22：00上班的护士连续工作8h 外（取消第6班），其它护士班次由医院排定上6、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤+++++=)4,3,2,1(096628342max 321432214214321j x x x x x x x x x x x x x x x x z j要求：（1）写出对偶问题；（2）已知对偶问题的最优解为)0,4,2,2(*=X ，试根据对偶理论直接求出对偶问题的最优解。
7、下表给出了各产地和各销地的产量和销量，以及各产地至各销地的单位运价，试用表上作业法求最优解：10个井位的代号为12310,,s s s s ，相应的钻井费用为1210,,,c c c ，并且井位选择上要满足下列限制条件：①选择了1s 和7s 就不能选择钻探8s ；反过来也一样；②选择了3s 或4s 就不能选5s ；反过来也一样；③在5678,,,s s s s 中最多只能选两个；试建立这个问题的整数规划模型。
运筹学试题及答案4套汇总
《运筹学》试卷一一、（15分）用图解法求解下列线性规划问题二、（20分）下表为某求极大值线性规划问题的初始单纯形表及迭代后的表，、为松弛变量，试求表中到的值及各变量下标到的值。
-1311611 -2 002 -111/21/214 07三、（15分）用图解法求解矩阵对策，其中四、（20分）（1）某项工程由8个工序组成，各工序之间的关系为工序 a b c d e f g h —— a a b,c b,c,d b,c,d e 紧前工序试画出该工程的网络图。
（2）试计算下面工程网络图中各事项发生的最早、最迟时间及关键线路（箭线下的数字是完成该工序的所需时间，单位：天）五、（15分）已知线性规划问题其对偶问题最优解为，试根据对偶理论求原问题的最优解。
六、（15分）用动态规划法求解下面问题：七、（30分）已知线性规划问题用单纯形法求得最优单纯形表如下，试分析在下列各种条件单独变化的情况下，最优解将如何变化。
2-11 02311311111610-3-1-2（1）目标函数变为；（2）约束条件右端项由变为；（3）增加一个新的约束：八、（20分）某地区有A、B、C三个化肥厂向甲、乙、丙、丁四个销地供应同一种化肥，已知产地产量、销地需求量和各产地运往不同销地单位运价如下表，试用最小元素法确定初始调运方案，并调整求最优运输方案销地甲乙丙丁产量产地A 4 12 4 11 16B 2 10 3 9 10C 8 5 11 6 22 需求量8 14 12 14 48《运筹学》试卷二一、（20分）已知线性规划问题：（a）写出其对偶问题；（b）用图解法求对偶问题的解；（c）利用（b）的结果及对偶性质求原问题的解。
二、（20分）已知运输表如下：销地B1B2B3B4供应量产地A1 3 2 7 6 50A2 7 5 2 3 60A3 2 5 4 5 25需求量60 40 20 15（1）用最小元素法确定初始调运方案；（2）确定最优运输方案及最低运费。
运筹学考试试题
运筹学考试试题
问题一：线性规划
某食品公司有两种包装酱油的产品，产品 A 和产品 B。
产品 A 需
要 2 包的玻璃瓶和 3 包的金属瓶，产品 B 需要 4 包的玻璃瓶和 1 包的金属瓶。
公司每天共有 60 包玻璃瓶和 50 包金属瓶可用于生产。
产品
A 毛利为 10 元/包，产品
B 毛利为 15 元/包。
为了最大限度地提高公司的毛利，请问公司每天应该生产多少包产品 A 和产品 B？
问题二：整数规划
某快递公司需要派送多个包裹，在不同的送货地点停靠。
每个派送地点需要 1 辆专门的送货车。
快递公司最多可以使用 5 辆送货车。
每辆车的容量为 30 个包裹。
每个送货地点的包裹量如下：地点 1 需要 12 个包裹，地点 2 需要 8 个包裹，地点 3 需要 15 个包裹，地点 4 需要 10 个包裹。
每个送货地点停靠一辆车后，可以继续往下一个地点派送。
请问如何安排送货车来最大化送货量？
问题三：动态规划
假设有一个 3×3 的方格矩阵，每个格子里都写有一个正整数。
从左上角出发，每次只能向右或向下移动，直到达到右下角。
路线上所有经过的格子的数字加起来就是这条路径的价值。
求最优路径和的最大值。
问题四：网络流
某市有 4 座工厂，生产不同种类的零件。
每座工厂每天的生产能力不同，且每种零件的需求也不相同。
如何设计一个合理的生产调度方案，使得所有工厂的产量最大化，且满足市场对不同零件的需求？
以上考试试题仅供参考，实际考试内容以试卷内容为准。
祝考试顺利！。
运筹学习题库
运筹学习题库一、线性规划1．某工厂生产甲、乙、丙三种产品，单位产品所需工时分别为2、3、1个工时；单位产品所需原材料分别为3、1、5公斤；单位产品利润分别为2元、3元、5元。
工厂每天可利用的工时为12个，可供应的原材料为15公斤。
1）试确定使总利润为最大的日生产计划和最大利润。
2）若由于原材料涨价，使得产品丙的单位利润比原来减少了2元，问原来的最优生产计划变否？若不变，说明为什么；若变，请求出新的最优生产计划和最优利润。
3）在保持现行最优基不变的情况下，若要增加一种资源量，应首先考虑增加哪种资源？为什么？单位资源增量所支付的费用是多少才合算？为什么？2．给出一线性规划问题如下：max z = 3x1 + x2x1 + x2≤4－x1 + x2≤26x1 + 2x2≤18x１，x2≥0试用对偶理论判断该问题是否存在以x１、x2和x3为基变量的最优解？3．用单纯形法求解某个目标函数为max，约束为≤形式，x4、x5为松弛变量的线性规划问题的最终表如下：试用改进单纯形法原理求该问题的数学模型。
4．给出一个线性规划问题如下：max z = x1 +2 x2 +3 x3x1 + 2x2 + 3x3≤84x1+ 5x3≤12x1，x2 ，x3 ≥0已知其对偶问题的最优解为Y* = (1，0 )，试用对偶理论求上述问题的最优解和最优值。
5．试用大M法求下述线性规划问题的最优解和最优值（不能用图解法）：max z = 3x 1 – 3 x 2x1 + x2 ≥1 2x 1 + 3x 2 ≤6x 1，x 2 ≥06．已知一线性规划问题如下：max z = 5x 1 + 2 x 2 + 4 x 3 3 x 1 + x 2 + 2 x 3 ≤ 46 x 1 + 3 x 2 + 5 x 3 ≤ 10 x 1，x 2，x 3 ≥ 0试用松紧定理判断X = ( 0，0，2 )T 是否是该问题的最优解，若不是，说明为什么；若是， 请求出相应的目标函数值。
运筹学练习题
运筹学练习题一、线性规划1. 某企业生产两种产品，产品A和产品B。
生产一个单位产品A需要2小时机器时间，3小时人工时间，利润为20元；生产一个单位产品B需要1小时机器时间，1小时人工时间，利润为15元。
若企业每周有100小时机器时间和90小时人工时间，如何安排生产计划以使利润最大化？2. 某公司计划生产三种产品，产品1、产品2和产品3。
每种产品的市场需求量分别为50、60和70单位。
生产每单位产品1、产品2和产品3所需的资源分别为2、3和4。
现有资源总量为200，如何分配资源以最大化总产量？3. 设有线性规划问题：最大化 3x + 2y，约束条件为x + 2y ≤ 6，2x + y ≤ 8，x ≥ 0，y ≥ 0。
求目标函数的最大值。
二、整数规划1. 某公司生产三种产品，产品1、产品2和产品3。
生产每单位产品1、产品2和产品3所需的工人数分别为2、3和4。
现有工人总数为20，如何分配工人以使总产量最大化？2. 某物流公司需要从A地运送货物到B地，沿途有若干个中转站。
每个中转站的货物需求量为整数，如何规划运输路线以最小化总运输成本？3. 设有整数规划问题：最大化 5x + 4y，约束条件为 3x + 2y≤ 12，x + 3y ≤ 9，x ≥ 0，y ≥ 0，且x、y为整数。
求目标函数的最大值。
三、动态规划1. 某人有一笔钱，可以在四个阶段进行投资。
每个阶段有三种投资方案，分别对应不同的收益。
如何制定投资策略以使总收益最大化？2. 某企业在一定时期内生产一种产品，已知市场需求量、生产成本和库存成本。
如何制定生产计划以使总成本最小？3. 设有动态规划问题：求解最短路径问题，从节点1到节点5，路径上的权重分别为{3, 4, 2, 1, 5}，{2, 1, 3, 2, 4}，{4, 3, 2, 5, 1}。
求从节点1到节点5的最短路径。
四、网络流问题1. 某地区有五个城市，城市之间的道路容量如下表所示。
(完整word版)运筹学习题及答案
34。某个常数bi波动时，最优表中引起变化的有（A)
A.B－1bB。 C.B－1D.B－1N
35.某个常数bi波动时，最优表中引起变化的有(C)
A. 检验数 B。CBB－1C。CBB－1b D。系数矩阵
36.任意一个容量的网络中，从起点到终点的最大流的流量等于分离起点和终点的任一割集的容量.（B）A.正确B。错误C.不一定D。无法判断
9.对偶单纯形法迭代中的主元素一定是负元素( )A
A。正确B.错误C。不一定D。无法判断
10。对偶单纯形法求解极大化线性规划时,如果不按照最小化比值的方法选取什么变量则在下一个解中至少有一个变量为正（ )B
A。换出变量B.换入变量C.非基变量D。基变量
11.对 问题的标准型: ，利用单纯形表求解时，每做一次换基迭代，都能保证它相应的目标函数值 必为（）B
A.换出变量B.换入变量C。非基变量D。基变量
29。可行解是满足约束条件和非负条件的决策变量的一组取值.（ ）A
A。正确B。错误C。不一定D。无法判断
30。 连通图G有n个点，其部分树是T，则有(C）
A。T有n个点n条边 B.T的长度等于G的每条边的长度之和
C.T有n个点n－1条边 D。T有n－1个点n条边
47.通过什么方法或者技巧可以把产销不平衡运输问题转化为产销平衡运输问题（C)
A。非线性问题的线性化技巧B.静态问题的动态处理
C.引入虚拟产地或者销地D。引入人工变量
48.为什么单纯形法迭代的每一个解都是可行解？因为遵循了下列规则 (A）
A。按最小比值规则选择出基变量 B。先进基后出基规则
C。标准型要求变量非负规则 D。按检验数最大的变量进基规则
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《运筹学》---数据、模型与决策练习题2010年9月一、线性规划：基本概念1、下面的表格总结了两种产品A和B的关键信息以及生产所需的资源Q, R, S：满足所有线性规划假设。
（1）在电子表格上为这一问题建立线性规划模型；（2）用代数方法建立一个相同的模型；（3）用图解法求解这个模型。
2、今天是幸运的一天，你得到了10000美元的奖金。
除了将4000美元用于交税和请客之外，你决定将剩余的6000美元用于投资。
两个朋友听到这个消息后邀请你成为两家不同公司的合伙人，每一个朋友介绍了一家。
这两个选择的每一个都将会花去你明年夏天的一些时间并且要花费一些资金。
在第一个朋友的公司中成为一个独资人要求投资5000美元并花费400小时，估计利润（不考虑时间价值）是4500美元。
第二个朋友的公司的相应数据为4000美元和500小时，估计利润为4500美元。
然而每一个朋友都允许你根据所好以任意比例投资。
如果你选择投资一定比例，上面所有给出的独资人的数据（资金投资、时间投资和利润）都将乘以一个相同的比例。
因为你正在寻找一个有意义的夏季工作（最多600小时），你决定以能够带来最大总估计利润的组合参与到一个或全部朋友的公司中。
你需要解决这个问题，找到最佳组合。
（1）为这一问题建立电子表格模型。
找出数据单元格、可变单元格、目标单元格，并且用SUMPRODUCT函数表示每一个输出单元格中的Excel等式。
（2）用代数方法建立一个同样的模型。
（3）分别用模型的代数形式和电子表格形式确定决策变量、目标函数、非负约束、函数约束和参数。
（4）使用图解法求解这个模型。
你的总期望利润是多少3、伟特制窗（Whitt Window）公司是一个只有三个雇员的公司，生产两种手工窗户：木框窗户和铝框窗户。
公司每生产一个木框窗户可以获利60美元，一个铝框窗户可以获利30美元。
Doug制作木框窗户，每天可以制作6扇。
Linda制作铝框窗户，每天可以制作4扇。
Bob切割玻璃，每天可以切割48平方英尺。
每一扇木框窗户使用6平方英尺的玻璃，每一扇铝框窗户使用8平方英尺。
公司需要确定每天要制作多少窗户才能使得总利润最大。
（1）为这个问题建立一个电子表格模型，找出数据单元格、可变单元格、目标单元格，并且用SUMPRODUCT函数表示每一个输出单元格中的Excel等式。
（2）请解释为什么这个电子表格模型是一个线性规划模型。
（3）用代数方法建立相同的模型。
（4）分别用模型的代数形式和电子表格形式确定决策变量、目标函数、非负约束、函数约束和参数。
（5）用图解法求解这个模型。
4、世界灯具（World Light）公司生产两种需要金属框架部件和电器部件的电灯装置。
管理层需要确定每一种产品要生产多少才能够使得利润最大。
每一件产品1要1单位的框架部件和2单位的电器部件。
每一件产品2要3单位的框架部件和2单位的电器部件。
公司有200个单位的框架部件和300个单位的电器部件。
每单位的产品1可得到利润1美元，每单位的产品2可得到利润2美元。
产品2最多可以生产60个单位。
超过60个单位的产品不能带来利润，因此不能有超产。
（1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。
（2）用代数形式建立相同的模型。
5、普里默（Primo）保险公司引入了两种新产品：特殊风险保险和抵押。
每单位特殊风险保险的利润是5美元，每单位抵押是2美元。
管理层希望确定新产品的销售量使得总期望利润最大。
工作的要求如下：（1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。
（2）用代数形式建立相同的模型。
6、W&B（Weenies and Buns）是一家食品加工产，制作热狗和热狗面包。
他们每星期最多使用200磅自己的面粉制作热狗面包。
每一个热狗面包需要0.1磅的面粉。
最近他们与Pigland 公司签订协议，Piglang公司每个星期一向公司供应800磅猪肉制品。
每个热狗需要1/4磅的猪肉制品。
其他所有的制作热狗和热狗面包的配料供应不足。
W&B有5名全职雇员（每星期工作40小时）。
制作每一个热狗需要3分钟，一个热狗面包需要2分钟。
一个热狗能带来美元的利润，一个热狗面包能带来美元的利润。
W&B公司想知道每一个星期应当制作多少个热狗和热狗面包才能获得最大利润。
（1）为这个问题建立一个电子表格模型并求解。
（2）用代数形式建立相同的模型。
（3）用图解法求解这个模型。
7、奥克家具（Oak Works）是一家手工制作餐桌和餐椅的家庭企业。
他们从当地的一个林场中获得橡木。
林场每月运给他们2500磅的橡木。
每一张餐桌要用50磅，一张餐椅要用25磅。
家庭成员自己制作全部的家具，每月有480个工时可用。
每张餐桌或餐椅要花去6个工时。
一张餐桌可以为奥克家具带来400美元的利润，一张餐椅可以带来100美元的利润。
由于桌子通常是与餐桌配套卖的，他们想要至少制作两倍于餐桌数量的椅子。
奥克家具公司需要确定制作多少餐桌和椅子以使得利润最大。
（1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。
（2）用代数形式建立相同的模型。
（3）用图解法求解这个模型。
8、拉尔夫·艾德蒙（Ralph Edmund）喜欢吃牛排和土豆，因此他决定将这两种食品作为正餐的全部（加上一些饮料和补充维生素的食品）。
拉尔夫意识到这不是最健康的膳食结构，因此他想要确定两种食品的食用量多少是合适的，以满足一些主要营养的需求。
他获得了以下营养和成本的信息：拉尔夫想确定牛排和土豆所需要的份数（可能是小数），以最低的成本满足这些需求。
（1）为这个问题在电子表格上建立一个线性规划模型并求解。
（2）用代数形式建立相同的模型；（3）用图解法求解这个模型。
二、线性规划的what-if分析1、公司的产品之一是一种新式玩具，该产品的估计单位利润为3美元。
因为该产品具有极大的需求，公司决定增加该产品原来每天1000件的生产量。
但是从卖主那里可以购得的玩具配件（A,B）是有限的。
每一玩具需要两个A类配件，而卖主只能将其供应量从现在的每天2000增加到3000。
同时，每一玩具需要一个B类的配件，但卖主却无法增加目前每天1000的供应量。
因为目前无法找到新的供货商，所以公司决定自己开发一条生产线，在公司内部生产玩具配件A和B。
据估计，公司自己生产的成本将会比从卖主那里购买增加美元每件（A,B）。
管理层希望能够确定玩具以及两种配件的生产组合以取得最大的利润。
将该问题视为资源分配问题，公司的一位管理者为该问题建立如下的参数表：（1）为该问题建立电子表格模型并求解。
（2）因为两类活动的单位利润是估计的，所以管理层希望能够知道，为了保持最优解不变，估计值允许的变动范围。
针对第一个活动（生产玩具），运用电子表格，求出该活动单位利润从2美元增加到4美元每次增加50美分时问题的最优解和总利润。
在最优解不变的前提下，单位利润可以偏离其初值3美元多少（3）针对第二个活动（生产配件），重复（2）的分析，该活动的单位利润从美元增加到美元（第一种活动的单位利润固定在3美元）。
（4）运用Excel灵敏度报告来找到每个活动单位利润的允许变动范围。
（5）运用Excel灵敏度报告来描述在最优解不变的前提下，两个活动单位利润最多同时能改变多少。
2、考虑具有如下参数表的资源分配问题：该问题的目标是通过确定各种活动的水平，实现最大总利润。
在what-if的分析中得知，对单位利润的估计在50%的范围内波动，也就是说，两个活动单位利润的可能值分别在1~3美元和~美元。
（1）基于最初的单位利润估计为该问题建立电子表格模型，然后用Excel求得最优解并生成灵敏度报告。
（2）如果活动1的单位利润从2美元减少到1美元，以及从2美元增加到3美元的情况下，最优解是否保持不变。
（3）同样，固定活动1的单位利润为2美元，如果活动2的单位利润从5美元减少到美元，以及从5美元增加到美元的情况下，最优解是否保持不变。
（4）运用灵敏度报告，找出每个单位利润的允许变化范围，然后用求得的允许变化范围检验（2）、（3）是否正确。
（5）运用Excel灵敏度报告来描述在最优解不变的前提下，两个活动单位利润最多同时能改变多少。
3、某工厂计划生产Ⅰ，Ⅱ两种产品，在生产过程中共使用三种资源。
其中产品Ⅰ每单位需要第一种资源2千克第二种资源3千克，需要第三种资源1千克；产品Ⅱ需要第一种资源2千克第二种资源2千克，第三种资源0.5千克。
此工厂目前有能力得到A种资源8千克，B 种资源12千克，C种资源3千克。
当产品投放市场上之后，产品Ⅰ可得到利润3元，产品Ⅱ可得到利润2元。
回答下列问题：（1）请帮助工厂厂长做一决策，使得所生产的产品获利最大。
（2）当最优决策做出后，各种资源是否还有剩余，请明确指出各个资源的剩余情况。
（3）如果工厂现在又可以得到A种资源两千克，利润是否可以得到改变，若可以，改变多少（4）当其它情况不变，市场发生变化时，假设产品Ⅰ的利润变为4元，决策会改变吗4、K&L公司为其冰激凌经营店供应三种口味的冰激凌：巧克力、香草和香蕉。
因为天气炎热，对冰激凌的需求大增，而公司库存的原料已经不够了。
计这些原料分别为：牛奶、糖和奶油。
公司无法完成接收的订单，但是为了在资源有限的条件下使利润最大化，公司需要确定各种口味产品的最优组合。
巧克力、香草和香蕉三种口味的冰激凌的销售利润分别为每加仑美元、美元和美元。
公司现在有200加仑牛奶、150磅糖和60加仑奶油的库存。
这一问题代数形式的线性规划表示如下：假设：C=巧克力冰激凌的产量（加仑），V=香草冰激凌的产量（加仑），B=香蕉冰激凌的产量（加仑）最大化：利润=1.00C++约束条件牛奶：0.45C++≤200（加仑）糖：0.50C++≤50 （加仑）奶油：0.10C++≤60 （加仑）且C≥0，V≥0，B≥0使用Excel求解，求解后的电子表格和灵敏度报告如下图所示（注意，因为在（6）中将会讨论牛奶约束，所以该部分在下面的图中隐去了）。
不用Excel重新求解，尽可能详尽地回答下列问题，注意，各个部分是互不干扰、相互独立的。
可调单元格约束（1）最优解和总利润是多少（2）假设香蕉冰激凌每加仑的利润变为美元，最优解是否改变，对总利润又会产生怎样的影响（3）假设香蕉冰激凌每加仑的利润变为92美分，最优解是否改变，对总利润又会产生怎样的影响（4）公司发现有3加仑的库存奶油已经变质，只能扔掉，最优解是否改变，对总利润又会产生怎样的影响（5）假设公司有机会购得15磅糖，总成本15美元，公司是否应该购买这批糖，为什么（6）在灵敏度报告中加入牛奶的约束，并解释如何减少各种产品的产量5、大卫、莱蒂娜和莉迪亚是一家生产钟表的公司业主以及员工，大卫、莱蒂娜每周最多工作40个小时，而莉迪亚每周最多能工作20个小时。