复变函数-第六章保形映射
《保形映射正式版》课件
保形映射与其他领域的交叉研究
与计算机科学的结合
利用保形映射在计算机图形学、计算机视觉和机器学习等领域的 应用，开发新的算法和技术。
与物理学的联系
探索保形映射在物理学（如量子力学、流体动力学等）中的应用， 为解决物理问题提供新的思路和方法。
实例二：三维空间中的保形映射
刚体运动
在三维空间中，保形映射通常与刚体运动相关。例如，一个球体可以经过旋转和平移后仍然保持其形状。这种变换在三维几 何和物理模拟中非常常见，如地球的自转和公转。
实例三：数值模拟中的保形映射应用
数值稳定性
在数值模拟中，保形映射的应用可以帮助提高数值计算的稳定性和准确性。例如，在流体动力学模拟 中，保形映射可以确保流场在计算过程中的形状和大小保持不变，从而减少数值误差和失真。这有助 于提高模拟的可靠性和精度。
《保形映射正式版》 ppt课件
目录
Contents
• 保形映射概述 • 保形映射的基本理论 • 保形映射的算法实现 • 保形映射的实例分析 • 保形映射的未来发展与展望
01 保形映射概述
定义与性质
总结词
保形映射是一种保持图形形状和大小的映射方法，它 具有一些重要的性质，如连续性、可逆性和一一对应 性。
唯一性定理
不变性定理
保形映射将一些几何性质从一个图形 映射到另一个图形时，这些性质保持 不变。
在一定的条件下，一个映射是保形的 当且仅当它满足一定的偏微分方程。
保形映射的证明方法
解析方法
通过解析的方法，利用偏 微分方程和函数的性质来 证明保形映射的存在性和 唯一性。
比较方法
通过比较两个图形之间的 几何性质，来证明一个映 射是保形的。
复变函数-第6章
光滑曲线 Γ : w = f ( z (t )) (t0 ≤ t ≤ t1 ) 切向量 w′(t ) = f ′( z0 ) z ′(t0 ) ≠ 0 切向量辐角ψ = arg w′(t0 )
= arg f ′( z0 ) + arg z ′(t0 ) = arg f ′( z0 ) + ϕ
7
假设 | f ′( z0 ) |= r , arg f ′( z0 ) = α , 即 f ′( z0 ) = reiα , 则
| f ′( z0 ) | . | f ′( z ) − f ′( z0 ) |≤ 2 如果 z1 , z 2 ∈ D, 并且 Γ 是连接 z1 和 z 2 的线段, 则有
| f ( z1 ) − f ( z 2 ) |=
∫
Γ
f ′( z )dz =
∫
Γ
f ′( z0 )dz − ∫ ( f ′( z0 ) − f ′( z ))dz
f ′( z ) ≠ 0
单叶(单射)解析
局部单叶(单射)
解析且 f ′( z0 ) ≠ 0
定理 6.1.1 若 f (z )在 z0 解析, 且 f ′( z0 ) ≠ 0, 故存在以 z0为心 的圆盘 D 使得 f (z ) 在 D 上的单射(单叶).
3
定理 6.1.2 (保域定理) 若 w = f (z ) 为在区域 D 内解析的非常 数函数, 则它的值域 (像) G = f ( D) = {w | w = f ( z ), z ∈ D} 也是一个区域. 证明: 区域是连通的开集. (1) 证明 G 是一个开集, 即 G 内的每一点都是内点.
∀w0 ∈ G,
∃z0 ∈ D, s.t. w0 = f ( z0 ).
保角映射
10
二、保角映射的概念
1、定义：凡具有保角性和伸缩率不变性 的映射称 为保角映射或第一类保角映射。 定理 1 若函数w=f (z)在区域D内(任一点z0处) 解析, 且f ‘(z0)0, 则w=f (z)所实现的映射在区域 D内是一个保角映射。 若仅保持夹角大小不变，但方向相反，则该 保角映射称为第二类保角映射。 例如 w z 是第二类保形映射。
域;
(II)当二圆弧上有一个点映射成无穷远点时, 这
二圆 弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所 围成的区域; (III)当二圆弧交点中的一个映射成无穷远点时,
30
这
例 1 中心在 z=1 与 z1, 半径为 2 的二圆弧所 z i 围区域, 在映射 w 下映射成什么区域? z i
(z )
实际应用中 求一个解析 函数w=f(z)
D
w=f(z)
保角映射
?
G
这样的保 角映射存 在吗?
定理 3(黎曼定理） 设有两个单连通区域D和G,z0和 w0分别是D和G中的任意两点，0 是任一实数 (0 0 2 ) ，则总存在一个函数w=f (z)，它把D一一对应地保角 映射成G，使得 f ( z0 ) 0 ,arg f ( z0 ) 0 , 并且这样的保角映射是唯一的。 定理 4(边界对应原理） 设有两个单连通区域D和G 的边界分别为简单闭曲线C和 G。若能找到一个在D 内解析、在C上连续的函数，它将一一对应地映射 成 G，且当原像点z和像点w在边界上绕行方向一致 时,D和G在边界的同一侧，则w=f (z)将D一一对应地 保角映射成G。
21
的.
而i)与ii)是平移，旋转和伸缩变换显然是保角的， 所构成的复合映射w=az+b在整个扩充复 平面上是保形的,而分式线性映射是上述三 种映射复合而构成的,因此有
数理方法讲课提纲-上海交通大学数学系
第六章保形映射一、保形映射的定义1. 复变函数导数的性质|f′(z0)|为伸缩率Arg f′z0为旋转角（多值）2. 解析函数如果满足f′(z0)≠0，则必有伸缩率不变性和保角性（定理1.1.1），即为保角性；单叶的保角映射即为保形映射；a. 单叶解析函数满足f′(z0)≠0为保形映射；b.将区域D保形映射为G的函数一定是解析、单叶且f′(z0)≠0c.将区域D保形映射为G的保形映射是存在的；（黎曼定理）d. 要找到这样的函数，只需要找到让边界映射为边界的保形映射，并保持方向（边界对应原理）3. 分式线性映射w=f z=az+bcz+d (ad−bc≠0), 反函数z=−dw+bcw−aa. c≠0:−dc →∞,∞→acb. 由三类简单映射复合而成，所以有保圆性，（6.7）c. 保对称点性质（6.8）保交比性质(6.9)d.两个圆弧围成区域在分式线性映射下的像P156-157二、典型的分式线性映射通过边界对应原理有：1.上半平面映射为上半平面的分式线性映射w=az+bcz+d,a,b,c,d为实数且ad−bc>02. 上半平面映为单位圆内部（必有上半平面上的点z0到圆心，ഥz0映为∞),w=k z−z0z−z0,k=e iθ,Imz0>0 3.单位圆映为单位圆内部（必有上半平面上的点z0到圆心，1z0映为∞),w=k z−z01−z0z,k=e iθ,z0<1三、初等函数（区域不包含边界）1.幂函数w=z n: （P164）将角形域映射为角形域，在原点处的张角变为原来的n倍，特别的：将πn的角形域映射为上半平面；其反函数w=n z将角形域映射为角形域，在原点的张角变为原来的1/n,2. 指数函数与对数函数w=e z: （P166）将带形域0<Imz<α(α<2π)映射为角形域0<argw<α，特别：α=π，带形域映为上半平面，α=2π，带形域映为不含正实数轴的复平面，w=lnz将角形域0<argw<α映射成带形域0<Imz<α四、与半平面相关的映射将半平面映为上半平面的分式线性映射 将上半平面映成单位圆的分式线性映射 幂函数将角形域映射为上半平面，根式映射将角形域映射成上半平面， 指数函数将带形域映成上半平面，第11周作业P170 1 (1)(3) 2 3 4(1)(3) 5 (2) 6 8P171 B 套 3 （2）4 （1）（3）5第12周作业P171 A 套1 011 12 （1）（4）。
复变函数第6章
第六章 共形映射1. 共形映射的概念（1）夹角：如图6.1所示，过z 0点的两条曲线C 1,C 2，它们在交点z 0处的切线分别为T 1，T 2，我们把从T 1到T 2按逆时针方向旋转所得的夹角定义为这两条曲线在交点z 0处 从C 1到C 2的夹角.对于两条曲线的夹角不仅要指出角度的大小，还要指出角的旋转方向.因此在z 0处从C 2到C 1的夹角不等于从C 1到C 2的夹角.图6.1（1）保角映射：若在映射w =f (z )的作用下，过点z 0的任意两条光滑曲线的夹角的大小与旋转方向都是保持不变的，则称这种映射在z 0处是保角的.（2）伸缩率的不变性：若极限00limz z w w z z →--000limz z w w z z →--存在且不等于零，则这个极限称为映射w =f (z )在z 0处的伸缩率.并称w =f (z )在z 0具有伸缩率的不变性.（3）共形映射：定义6.1 设函数w =f (z )在z 0的邻域内是一一的，在z 0具有保角性和伸缩率的不变性，那么称映射w =f (z )在z 0是共形的，或称w =f (z )在z 0是共形映射.如果映射w =f (z )在区域D 内的每一点都是共形的，那么称w =f (z )是区域D 内的共形映射. 2.解析函数与共形映射定理6.1 如果函数w =f (z )在z 0解析，且f '(z 0)≠0，那么映射w =f (z )在z 0是共形的，而且Arg f '(z 0)表示这个映射在z 0的转动角，|f '(z 0)|表示伸缩率.如果解析函数w =f (z )在区域D 内处处有f '(z )≠0,那么 映射w =f (z )是D 内的共形映射.3.分式线性变换（1）定义：形如 , (0).az bw ad bc cz d+=-≠+ (6.3) 的映射称为分式线性变换，其中a ,b ,c ,d 为复常数. （2）逆变换：d , (()()0),w bz a d cb cw a-+=---≠- (6.5)（3）复合：两个分式线性变换复合，仍是一个分式线性变换.事实上，(0),(0).z w z αξβαβαδγβξαδβγγξδγδ''++''''=-≠=-≠''++把后式代入前式得az b w cz d+=+ 其中()()0.ad bc αδγβαδβγ''''-=--≠（4）分解：根据这个事实，我们可以把一个一般形式的分式线性变换分解成一些简单映射的复合.不妨设c ≠0，于是.()az b a bc adw cz d c c cz d +-==+++令,a bc adA B c c-==则上式变为 .Bw A cz d=++ 它由下列三个变换复合而成;1;,z cz d z z w A Bz '=+''='''=+ (6.5) 其中(6.5)中的第一和第三式为整线性变换. 4.分式线性变换性质1° 共形性定理6.2 分式线性变换在扩充复平面上是一一对应的，且是共形的. 2°保圆性定理6.3 分式线性变换将扩充z 平面上的圆映射成扩充w 平面上的圆，即具有保圆性. 在扩充复平面上把直线看成是半径为无穷大的圆周.推论6.1 在分式线性变换下，圆C 映射成圆C '.如果在C 内任取一点z 0，而点z 0的象在C '的内部，那么C 的内部就是映射到C '的内部；如果z 0的象在C '的外部，那么C 的内部就映射成C '的外部.3° 保对称性先引进对称点的概念.定义6.2 设C 为以z 0点为中心，R 为半径的圆周.如果点z ,z *在从z 0出发的射线上，且满足|z -z 0|·|z *-z 0|=R 2, (6.6)则称z ,z *关于圆周C 是对称的.如果C 是直线，则当以z 和z *为端点的线段被C 平分时，称z ,z *关于直线C 为对称的.我们规定： 无穷远点关于圆周的对称点是圆心.定理6.4 设点z ,z *是关于圆周C 的一对对称点，那么在分式线性变换下，它们的象点w 及w *也是关于C 的像曲线C '的一对对称点.5. 确定分式线性变换的条件定理6.5 在z 平面上任意给定三个不同点z 1,z 2,z 3，在w 平面上也任意给定三个不同点w 1,w 2,w 3，那么就存在分式线性变换，将z k 依次映射成w k (k =1,2,3)，且这种变换是唯一的.推论6.2 z 1,z 2,z 3所在的圆C 的象C ′是w 1,w 2,w 3所在的圆.且如果C 依z 1→z 2→z 3 的绕向与C ′依w 1→w 2→w 3的绕向相同时，则C 的内部就映射成C ′的内部（相反时，C 的内部就映射成C ′的外部）图6.8例6.1 求将上半平面映射为单位圆，且将上半平面的定点z 0映射为圆心w =0的分式线性变换.所求映射的一般形式为00, Im 0.i z z w e z z z θ-=>- (6.8) 例6.2 求将单位圆|z |<1映射为单位圆|w |<1的分式线性变换. 所求映射的一般形式为00 (1)1i z z w e z z zθ-=<-. 6. 几个初等函数所构成的映射（1） 幂函数：w =zn(n ≥2)作用： 1° 圆|z |=r 映射成|w |=r n ，即在以原点为中心的圆有保圆性.2°射线0θθ=映射成射线0n ϕθ=，特别地，正实轴θ=0映成正实轴ϕ=0； 3°将角形域02π0()nθθ<<<映射成角形域00n ϕθ<<.(a) 公式图6.10（2）指数函数：w =e z作用： 1° 平面上的直线x =常数，被映射成w 平面上的圆周ρ=常数；而y =常数，被映射成射线ϕ=常数.2° 把水平带形域0Im (2π)z a a <<≤映射成角形域0arg w a <<.（如图6.12(a)） 3° 带形域0Im 2πz <<映射成沿正实轴剪开的w 平面：0arg 2πw <<(如图6.12(b)).3.求2w z =在z =i 处的伸缩率和旋转角，问：2w z =将经过点z =i 且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成w 平面 上哪一个方向？并作图.例6.5 求将|z |<1,Im z >0映为|w |>1的一个共形映射.。
《保形映射正式版》课件
保形映射的应用领域
保形映射在地图制作、 建筑设计、虚拟现实等 领域有着广泛的应用。
保形映射的数学基础
1 复平面和复函数
复平面和复函数是进行保形映射的数学基础，它们提供了对复数的几何和代数方面的描 述。
2 复变函数的导数和解析性
复变函数的导数和解析性是进行保形映射计算的关键概念，它们决定了映射的性质和变 换结果。
3 均匀收敛和亚纯函数
均匀收敛和亚纯函数是保证保形映射计算正确和有效的数学概念，它们确保了映射的稳 定性和准确性。
保形映射的具体算法
1
Schwarz-Christoffel映射
Schwarz-Christoffel映射是一种广泛应用于二维多边形的保形映射算法，可以将 任意多边形映射到单位圆盘。
2
映射到圆盘模型
总结与展望
保形映射的优势和不足
保形映射具有保持形状不变、应用广泛等 优势，但在某些情况下可能存在计算复杂 性和数学难题等不足。
未来研究的方向
未来的研究应该关注保形映射的算法优化、 应用扩展以及与其他数学方法的结合，推 动保形映射在更多领域的应用。
保形映射在实际问题中的应用
地图投影中的应用
计算机图形学中的应用
保形映射在地图制作中被广 泛应用，可以将三维地球表 面映射到二维平面地图上， 保持地图上地区的形状不变。
保形映射在计算机图形学中 用于图像的变形和形状的映 射，可以实现图像的扭曲、 拉伸等特效效果。
计算机视觉中的应用
保形映射在计算机视觉中用 于图像处理和特征匹配，可 以实现图像的对齐、变形和 匹配等操作。
通过选择特定的参数和函数形式，可以将一个区域映射到圆盘模型，实现保形 映射的效果。
3
映射到上半平面模型
第6章 保形映射
w − w0 f ( z ) − f ( z0 ) ρ eiϕ ∆σ ρ ∆S i (ϕ −θ ) = = iθ = ⋅ ⋅ e z − z0 z − z0 re ∆S ∆σ r
∆σ . 得 | f ′( z0 ) |= lim z → z0 ∆S
0
ρ ∆S 注意： 注意：lim = 1, lim =1 z → z ∆σ z→z r 这个极限值称为曲线 C 在 z0 的伸缩率. 伸缩率
这样， 这样，映射 w = f ( z ) 就将曲线 C 映射成 w 平面内 通过点 z0 的对应点 w0 = f ( z0 ) 的一条有向光滑曲线 Γ, 它的参数方程是 w = f [ z (t )], α ≤ t ≤ β ， 增大的方向. 方向为参数 t 增大的方向
y
C
w = f ( z)
v
Γ
图 6.4
作出映射i）， ），iii） ），ii）， 以上讨论了如何从 z 作出映射 ）， ）， ）的对 下面分别讨论这三种映射的性质. 应点 w . 下面分别讨论这三种映射的性质 1 首先讨论映射iii） 根据第1章 首先讨论映射 ）w = . 根据第 章，关于数 ∞的 z 四则运算知, 四则运算知 这个映射将 z = ∞ 映射成 w = 0 , 也就是说 , 1 1 当 z = ∞时， = 0. 如果把 w = 改写成 z = , 可知当 w = ∞ w w z .由此可见 在扩充复平面上映射iii） 由此可见， 时， z = 0由此可见，在扩充复平面上映射 ）是一一对 1 1 应的. 应的 又因为 w2 = ( )′ = − 2 ′ z z 当 z ≠ 0, z ≠ ∞ 时， ′ ≠ 0 . w 1 是保角的. 所以除去 z = 0 与 z = ∞ 外, 映射 w = 是保角的 z
复变函数与积分变换(修订版-复旦大学)第六章课后的习题答案-(1)
习题六1. 求映射1w z=下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：222211i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 221x x u x y ax a===+, 所以1w z =将22x y ax +=映成直线1u a=. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 22221i x y w z x y x y ==-++ 故1w z=将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？（1）Im()0,(1i)z w z >=+；解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+⋅+=-+所以Im()Re()w w >.故(1i)w z =+⋅将Im()0,z >映成Im()Re()w w >.(2) Re(z )>0. 0<Im(z )<1, i w z=. 解：设z =x +i y , x >0, 0<y <1.Re(w )>0. Im(w )>0. 若w =u +i v , 则因为0<y <1,则22221101,()22u u v u v <<-+>+ 故i w z=将Re(z )>0, 0<Im(z )<1.映为 Re(w )>0,Im(w )>0, 1212w > (以（12,0）为圆心、12为半径的圆) 3. 求w =z 2在z =i 处的伸缩率和旋转角，问w =z 2将经过点z =i 且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成w 平面上哪一个方向？并作图.解：因为w '=2z ,所以w '(i)=2i , |w '|=2, 旋转角arg w '=π2. 于是, 经过点i 且平行实轴正向的向量映成w 平面上过点-1，且方向垂直向上的向量.如图所示.→4. 一个解析函数，所构成的映射在什么条件下具有伸缩率和旋转角的不变性？映射w =z 2在z 平面上每一点都具有这个性质吗？答：一个解析函数所构成的映射在导数不为零的条件下具有伸缩率和旋转不变性映射w =z 2在z =0处导数为零，所以在z =0处不具备这个性质.5. 求将区域0<x <1变为本身的整体线性质变换w z αβ=⋅+的一般形式.6. 试求所有使点1±不动的分式线性变换. 解：设所求分式线性变换为az bw cz d +=+(ad -bc ≠0)由11-→-.得 因为(1)a z c dw cz d ++-=+, 即(1)(1)1a z c z w cz d ++++=+,由11→代入上式，得22a ca d c d +=⇒=+. 因此11(1)(1)dcd cd c w z z cz d z +++=+=+⋅++ 令dq c =，得其中a 为复数.反之也成立，故所求分式线性映射为1111w z a w z ++=⋅--， a 为复数.7. 若分式线性映射，az bw cz d +=+将圆周|z |=1映射成直线则其余数应满足什么条件？ 解：若az bw cz d +=+将圆周|z |=1映成直线，则dz c =-映成w =∞. 而dz c =-落在单位圆周|z |=1,所以1dc -=,|c |=|d |.故系数应满足ad -bc ≠0,且|c |=|d |.8. 试确定映射，11z w z -=+作用下，下列集合的像.(1) Re()0z =; (2) |z |=2; (3) Im(z )>0.解：(1) Re(z )=0是虚轴，即z =i y 代入得. 写成参数方程为2211y u y -+=+， 221y v y =+, y -∞<<+∞.消去y 得，像曲线方程为单位圆,即u 2+v 2=1.(2) |z |=2.是一圆围，令i 2e ,02πz θθ=≤≤.代入得i i 2e 12e 1w θθ-=+化为参数方程.消去θ得，像曲线方程为一阿波罗斯圆.即(3) 当Im(z )>0时，即11Im()011w w z w w ++=-⇒<--, 令w =u +i v 得221(1)i 2Im()Im()01(1)i (1)w u v v w u v u v +++-==<--+-+. 即v >0,故Im(z )>0的像为Im(w )>0.9. 求出一个将右半平面Re(z )>0映射成单位圆|w |<1的分式线性变换.解：设映射将右半平面z 0映射成w =0，则z 0关于轴对称点0z 的像为w =∞， 所以所求分式线性变换形式为00z z w k z z -=⋅-其中k 为常数. 又因为00z z w k z z -=⋅-,而虚轴上的点z 对应|w |=1,不妨设z =0，则 故000e (Re()0)i z z w z z z θ-=⋅>-.10. 映射e 1i z w zϕαα-=⋅-⋅将||1z <映射成||1w <,实数ϕ的几何意义显什么？ 解：因为 从而2i i 2221||1()e e (1||)1||w ϕϕαααα-'=⋅=⋅-- 所以i 2arg ()arge arg (1||)w ϕααϕ'=-⋅-=故ϕ表示i e 1z w zθαα-=⋅-在单位圆内α处的旋转角arg ()w α'. 11. 求将上半平面Im(z )>0,映射成|w |<1单位圆的分式线性变换w =f (z )，并满足条件(1) f (i)=0, arg (i)f '=0; (2) f (1)=1, f. 解：将上半平面Im(z )>0, 映为单位圆|w |<1的一般分式线性映射为w =k z z αα-⋅-(Im(α)>0). (1) 由f (i)=0得α=i ，又由arg (i)0f '=,即i 22i ()e (i)f z z θ'=⋅+, πi()21(i)e 02f θ-'==，得π2θ=，所以 i i iz w z -=⋅+. (2) 由f (1)=1,得k =11αα--；由f,得kα联立解得w =12. 求将|z |<1映射成|w |<1的分式线性变换w =f (z)，并满足条件：(1) f (12)=0, f (-1)=1.(2) f (12)=0, 12πarg ()2f '=, (3) f (a )=a , arg ()f a ϕ'=.解：将单位圆|z |<1映成单位圆|w |<1的分式线性映射，为 i e 1z w zθαα-=-⋅ , |α|<1. (1) 由f (12)=0，知12α=.又由f (-1)=1，知 1i i i 2121e e (1)1e 1π1θθθθ--⋅=-=⇒=-⇒=+. 故12221112z z z w z --=-⋅=--. (2) 由f (12)=0，知12α=，又i 254e (2)z w z θ-'=⋅- i 11224π()e arg ()32f f θθ''=⇒==， 于是 π21i 2221e ()i 12z z z w z --==⋅--. (3) 先求=()z ξϕ，使z =a 0ξ→=，arg ()a ϕθ'=,且|z |<1映成|ξ|<1.则可知 i =()=e 1z a z a zθξϕ-⋅-⋅ 再求w =g (ξ)，使ξ=0→w =a , arg (0)0g '=,且|ξ|<1映成|w |<1.先求其反函数=()w ξψ,它使|w|<1映为|ξ|<1,w =a 映为ξ=0，且arg ()arg(1/(0))0w g ψ''==,则 =()=1w a w a wξψ--⋅. 因此，所求w 由等式给出.i =e 11w a z a a w a zθ--⋅-⋅-⋅. 13. 求将顶点在0，1，i 的三角形式的内部映射为顶点依次为0，2，1+i 的三角形的内部的分式线性映射. 解：直接用交比不变性公式即可求得02w w --∶1i 01i 2+-+-=02z z --∶i 0i 1-- 2w w -.1i 21i +-+=1z z -.i 1i-4z (i 1)(1i)w z -=--+. 14. 求出将圆环域2<|z |<5映射为圆环域4<|w |<10且使f (5)=-4的分式线性映射.解：因为z=5,-5,-2,2映为w=-4,4,10,-10,由交比不变性，有2525-+∶2525---+=104104-+--∶104104+- 故w =f (z )应为55z z -+∶2525---+=44w w +-∶104105+- 即 44w w +-=55z z --+20w z⇒=-. 讨论求得映射是否合乎要求，由于w =f (z )将|z |=2映为|w |=10，且将z =5映为w =-4.所以|z |>2映为|w |<10.又w =f (z )将|z |=5映为|w |=4，将z =2映为w =-10，所以将|z |<5映为|w |>4，由此确认，此函数合乎要求.15.映射2w z =将z 平面上的曲线221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭映射到w 平面上的什么曲线？ 解：略.16. 映射w =e z 将下列区域映为什么图形.(1) 直线网Re(z )=C 1,Im(z )=C 2;(2) 带形区域Im(),02πz αβαβ<<≤<≤;(3) 半带形区域 Re()0,0Im(),02πz z αα><<≤≤.解：（1） 令z =x +i y , Re(z )=C 1,z =C 1+i y 1i =e e C y w ⇒⋅, Im(z )=C 2,则z =x +i C 22i =e e C x w ⇒⋅故=e z w 将直线Re(z )映成圆周1e C ρ=；直线Im(z )=C 2映为射线2C ϕ=.（2） 令z =x +i y ，y αβ<<,则i i =e e e e ,z x y x y w y αβ+==⋅<<故=e z w 将带形区域Im()z αβ<<映为arg()w αβ<<的张角为βα-的角形区域.（3） 令z =x +i y ，x >0，0<y < α, 02πα≤≤.则故=e zw 将半带形区域Re(z )>0,0<Im(z )<α, 02πα≤≤映为 |w |>1, 0arg w α<<(02πα≤≤).17. 求将单位圆的外部|z |>1保形映射为全平面除去线段-1<Re(w )<1,Im(w )=0的映射. 解：先用映射11w z=将|z |>1映为|w 1|<1,再用分式线性映射. 1211i 1w w w +=-⋅-将|w 1|<1映为上半平面Im(w 2)>0, 然后用幂函数232w w =映为有割痕为正实轴的全平面，最后用分式线性映射3311w w w -=+将区域映为有割痕[-1,1]的全平面. 故221121132222132111111i 1111111()11211i 1111z z z z w w w w w z w w z w w ⎛⎫⎛⎫++--⋅- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭=====+++⎛⎫⎛⎫++-⋅++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. 18. 求出将割去负实轴Re()0z -∞<≤,Im(z )=0的带形区域ππI m ()22z -<<映射为半带形区域πIm()πw -<<,Re(w )>0的映射.解：用1e z w =将区域映为有割痕(0,1)的右半平面Re(w 1)>0；再用1211ln 1w w w +=-将半平面映为有割痕(-∞,-1]的单位圆外域；又用3w =将区域映为去上半单位圆内部的上半平面；再用43ln w w =将区域映为半带形0<Im(w 4)<π,Re(w 4)>0；最后用42i πw w =-映为所求区域，故e 1ln e 1z z w +=-. 19. 求将Im(z )<1去掉单位圆|z |<1保形映射为上半平面Im(w )>0的映射.解：略.20. 映射cos w z =将半带形区域0<Re(z )<π,Im(z )>0保形映射为∞平面上的什么区域.解：因为 1cos ()2iz iz w z e e -==+ 可以分解为 w 1=i z ，12e ww =，32211()2w w w =+ 由于cos w z =在所给区域单叶解析，所以（1） w 1=i z 将半带域旋转π2，映为0<Im(w 1)<π,Re(w 1)<0. （2） 12e w w =将区域映为单位圆的上半圆内部|w 2|<1,Im(w 2)>0.（3） 2211()2w w w =+将区域映为下半平面Im(w )<0.。
如何求解复变函数保角映射函数
如何求解复变函数保角映射函数
复变函数保角映射函数的求解可以通过以下步骤进行：
1. 找到在象平面和原象平面上相同的角。
这是保角映射的名称来源。
例如，在某点处圆弧和实轴形成了直角交角，这恰好与第一象限在原点处的角相吻合。
2. 确定分式线性映射分子的零点和分母的零点。
在上述例子中，分子的零点是原象平面上的点，而分母的零点是象平面上的点。
3. 再找一对特殊点来确定系数。
例如，可以找到一对被映射到了实轴和虚轴上的点。
4. 利用这些点和系数，可以构建出复变函数的保角映射函数。
请注意，具体的求解过程可能会因为具体的函数和问题而有所不同。
复变函数与积分变换-第六章-保形映射
w f (z)
z平面上C : z z(t) w平面上 : w f [z(t)]
~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~
— 过点w0 f (z0 )，正向取t增大方向的曲线.
T'
z0
w0
T
x
u
即Argf '(z0 ) Argw'(t0 ) Argz'(t0 )
(1)导数幅角 Argf'(z) 的几何意义
①Argf' ( z0 )( f' ( z0 ) 0 )是曲线C经过w f ( z ) 映 射 后 在 点z0的~旋 ~~~转~~~角~.~
在 变 换w f (z)下 映 射 为 相 交 于 点w0 f (z0 )
的 曲 线i (i 1,2),1 , 2的 夹 角 为.
y (z) C2
v (w)
2
2 1
C1
z0
2 1
w f (z)
w0
o 1
2
x
o
1 1 2
u
由式(1)有， i i (i 1,2)
2 1 2 1
——保角性
由上述讨论我们有
w f ( z )
过z0的C1 ,C2 过w0的1 ,2 ( C1 ,C2 ) ( 1 ,2 ), 这种映射具有保持两曲线间夹角的大小与方向 不变的性质 保角性
(2)模 f'(z)的几何意义
设z z z0 re i , w w w0 ei且
复变函数与积分变换学习指导(第六章)
第七章保形变换前几章主要是用分析的方法，也就是用微分、积分和级数等，来讨论解析函数的性质和应用。
内容主要涉及所谓柯西理论；这一章主要是用几何方法来揭示解析函数的特征和应用。
保形变换现审定名为“共形映射”或“共性映照”。
它在数学本身以及在流体力学、弹性力学、电学等学科的某些实际问题中，都是一种使问题化繁为简的主要方法。
第一节解析变换的特性一.保域性1.定理7.1(保域定理)设在区域内解析且不恒为常数，则的象也是一个区域。
证先证的每一个点都是内点。
，使,则为的一个零点,由解析函数的零点孤立性知,,使,且在上无异于的零点。
令,则。
下证。
，考察，当时，，由Rouché定理，即在内有解,从而。
再证内任两点,可用全含于内的折线连接起来。
由于是区域,在内有折线,,连接,其中。
函数把折线映射成内连接的逐段光滑曲线。
由于为内紧集，根据有限覆盖定理,可被内有限个开圆盘所覆盖,从而在内可作出连接的折线。
综合，知为区域。
2.推论7.2设在区域内单叶解析,则的象也是一个区域。
证因为在区域内单叶，故在内不恒为常数。
3.定理还可推广为：在扩充平面的区域内除可能有极点外处处解析,且不恒为常数，则的像为扩充平面上的区域。
4.单叶解析函数的性质定理6.11若在区域内单叶解析，则在内。
定理7.3(局部单叶性) 设在解析且，则在的某个邻域内单叶解析。
(证明类似于和）二.解析变换的保角性——导数的几何意义1.导数辐角的几何意义设为过的光滑曲线,,则且是在处的切线的辐角。
设，故也是光滑的,。
若内过还有一个光滑曲线。
设，则即处曲线与的夹角恰好等于处曲线与的夹角。
单叶解析函数作为映射时,曲线间夹角（即切线的夹角）的大小及方向保持不变，这一性质称为旋转角不变性。
称为变换在的旋转角,仅与有关，与过的曲线的选择无关。
象曲线在处的切线正向可由原象曲线在的切线正向旋转一个旋转角得到。
2.导数模的几何意义由于,故象点间的无穷小距离与原象点间无穷小距离之比的极限是,称为变换在的伸缩率。
北京邮电大学复变函数第六章解读
立．
综上所述, 有 定理一
设函数w f (z)在区域 D内解析, z0 为 D内一点, 且 f (z) 0, 那末映射w f (z)在 z0 具有两个性 质: (1)伸缩率不变性； (2)保角性．
二、共形映射的概念
定义 设映射w f (z)在区域D内任意一点 具有保角性和伸缩率不变性，那末称 w f (z) 是第一类保角映射．
曲线在w0处的切线倾角为0 ，则0 0称为
曲线C经函数ω=f (z)映射后在z0处的旋转角．
y (z)
w f (z) y (w)
. 0
C
z0
. 0
w0
0
x0
x
2．伸缩率不变性
设 w f (z)在区域 D内解析, z0 D,且 f (z0 ) 0.
因为
f
(z0 )
lim
z z0
f (z) f (z0 ) lim w ,
z z0
z0 z
令 z z ei , w w ei .
y (z)
w f (z) y (w)
. z0
zC z
0
x
.
w
. w0
w
0
x
w z
w ei z ei
w w0 z z0
ei( ) ,
所以
f (z0 )
lim
z0
w z
lim z z0
w w0 z z0
为曲线C 在 z0 的伸缩率
z 平面
平面
f (z)
D
| | 1
g(w)
w g1( )
w 平面
G
w g 1( f (z))
工程数学第六章
综上所述, 有
定理一
设函数w f ( z ) 在区域 D内解析, z0 为 D内一点,
且 f ( z ) 0 , 那末映射w f ( z ) 在 z0 具有两个性
质: (1)伸缩率不变性； (2)保角性．
1) 映射 w az b (a 0) 特点: 将 z平面内一点 0经平移、伸缩、旋转而 z
得到象点 0 . w
所以此映射在扩充复平面上具有保圆性.
1 2) 映射 w z
若z平面上圆方程为: a( x 2 y 2 ) bx cy d 0 1 令 z x iy , w u iv , z 1 u v u iv 即 x 2 有 2, y 2 x iy u v u v2
映射的复合 .
3z 4 3 4i 1 i 解 w 3i 3i 5e iz 1 zi zi 4 其 中 arctan ． 3
1 z1 z i , z2 , z3 e i z2 , z4 5z3 , w z4 3i . z1
•问题一：对于给定的区域D和定义在D上的 解析函数w= f(z) ，求象集G=f(D)，并讨论 f(z)是否将D保形地映射为G； •问题二：给定两个区域D和G，求一个解析 函数w= f(z) ，使得f(z)将D保形地映射为G； •问题二一般称为基本问题，我们一般用单 位圆作为一个中间区域． 如下图：
C
z.
z 0 z1
. .
.
z2
显然过 z1与 z2的直线是 的特殊情形(半径为无
穷大), 其必与C正交,因而必过z0 .
复变函数与积分变换 保形映射
学
l1
l1
复 变
w f (z)
函 数 与
z0
积
w0
分 变 换
f
l2 ( z )在z0保形
，且
l1 l1
l2l2B | l2
f
(z0 ) |
可得相似曲边三角形
例3 求出映射f (z) z2的具有保形性质的点
哈
及在保形点处的伸缩率和旋转角.
尔
滨 工 程
分析半直线C1 : y x( x 0)和C2 : x 1
哈 两条相交于一点的曲线正向之间的夹角
尔 滨
是它们在交点处的两条切线正向切向量
工 程 大
之间的夹角
学
y (z) C2 :z z2 (t )
复
变
函
数 与 积
z0
分 变
C1 :
z z1 (t)
换
o
x
y (z)
C2
1
v (w)
C1
2
哈
尔 滨 工
z0
w f (z)
w0
程
大
学o
x
o
u
复
变 函 数 与 积
分
变 换
2.茹可夫斯基变换，设计机翼，减小空气
阻力，增加浮力
一、保角性
1. 有向曲线的切向量的倾角
哈
尔 滨 工
设过z0的光滑曲线C为：z z(t ) x(t ) iy(t )
程 大
a t b，且z(t0 ) z0
学
y (z) z z(t)
复 由于 z(t ) x(t ) iy(t )
变
函 数 与 积
argz(t0
)
arctan
复变函数 第六章保形映射
z0 a
C1
O
w0
xO
G1
u
相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角, 在其大小
和方向上都等同于经w=f (z)映射后C1与C2对应的曲线G1与
G2之间的夹角, 所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方
向不变的性质.这种性质称为保角性.
1 1 2 2 2 1 2 1 a
8
cz d
式中(ad bc) (a b )(a ' ' b ' ') 0
30
分式线性映射分解为一些简单映射的复合,
w az b cz d
a c
b d
ad
bc
0
当c 0时, w a z b 是线性变换(ad 0) dd
当c 0时, w a bc ad 1 (ad bc 0) c c cz d
z(t0 )
lim
Δ t 0
z(t0
Δ t) Δt
z(t0 )
的向量与C相切于点z0=z(t0), 且方向与C的正向一致.
3
因此,我们有
1) Arg z '(t0)就是z0处C的切线正向与x轴正向间的夹角; 2) 相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角就是它
们交点处切线正向间夹角
(z)
C1
z0
保形映射是把区域双方单值的映射成区域，在每一 点保角，在每一点具有伸缩率不变性。
例如函数 w ez 在 0 Imz 4 不是保形的； 在 0 Im z 2 是保形的。
17
2. 指数函数 w = e z由于在z平面内w‘= e z 0。所以,
由 w = e z所构成的映射是0<y<2上的保形映射. 设z =x+iy, w =r e i, 则w = e z =e x+iy =r e i 推出 r= e x ：z平面上垂直线x映射成w平面上圆周r；
第六章 保形映照
3
6.1.2 导数的几何意义
设w=f(z)于区域D内解析， z0∈D,w0=f(z0)且在点z0有导数 f ' ( z0 ) 0 通过z0任意引一条有向光滑曲线 C:z(t)=x(t)+iy(t) (t0≤t≤t1), z0=z(t0). 显然变换 w = f(z) 将C之象曲线 f (C ) 的参数方程应变换为
adbcczadbccz由于为实数时也为实数为实数从而adbc求将上半平面共形映射成上半平面的分式线性变换使符合条件adbc其中为实数且其中都是实数59例64im求将上半平面共形映射成单位圆的分式线性变换并使上半平面一点变为应变到关于1的对称点60由例62可知这个变换应具有形式复常数待定从而所求的变换为由于上式把扩充平面z平面保形映照为扩充w平面所以它把imz0保形映照成确定上式变换中的只需再给一对边界对应点或指定在处的旋转角这里为实数62求把上半平面保形映照为单位圆内的分式线性函数wf63例66求出将单位圆共形映射成单位圆的分式线性变换并使一点变为关于单位圆周对称点应该变成关于单位圆周1的对称点因此所求变换具有形式其中是常数64利用单位圆周变为单位圆周的条件知对应点满足为实数从而所求的变换为确定上式变换中的只需再给一对边界对应点或指定在处的旋转角这里66例67求出将单位圆共形映射成单位圆的分式线性函数使arg67由条件68例68求将上半平面共形映射成圆的线性变换使合条件复合69其次作上半平面到单位圆的线性变换变成此变换为它将上半平面共形映射成圆变成再由条件即由redz7164指数函数与幂函数所确定的映照那末平面的共形映射平面上所构成的映射是一个全所以由641指数函数所确定的映照72常数直线常数圆周常数直线常数射线角形域ai74由指数函数w所构成的映射的特点是
27
则 w az b 成为
第6章保形映照
由以上分析，称解析函数 w = f (z) ( f '(z0 ) ≠ 0 )所确定的映照为保形映照，也称为共形
映照或保角映射.这种映照的特点是把 z 平面上的区域变换为 w 平面上的区域，在实施变换 的每一点上具有保角性. 6.2 分式线性函数及其映照性质 6.2.1 分式线性函数
b
=
a d
⎛ ⎜⎝
z
+
b a
⎞ ⎟⎠
.
当 c ≠ 0 时，函数(6.1)可表示为
w = az + b = a + bc − ad .
cz + d
c
c2
⎛ ⎜⎝
z
+
d c
⎞ ⎟⎠
把 z 平面和 w 平面叠合在一起，我们讨论上述四种简单函数的映照性质. 1° w = z +α . 令 z = x + iy , w = u + iv , α = a + ib ，则有 u = x + a , v = y + b .于是 w = z + α 确定了一个平 移.
，取
z0
=
−d c
，则由 1 ω
=
cz + d az + b
在
z0
点的解析性及
1 ω
z= z0
=
0
，
⎛ ⎜⎝
1 ω
⎞′ ⎟⎠
z = z0
≠
0 可知
1 ω
=
cz + d az + b
把
z0
保形映射
第六章 保形映射第二节 分式线性函数及其映射性质1、分式线性函数：分式线性函数是指下列形状的函数：,δγβα++=z z w 其中δγβα,,,是复常数，而且0≠-βγαδ。
在0=γ时，我们也称它为整线性函数。
分式线性函数的反函数为,αγβδ-+-=w w z 它也是分式线性函数，其中0))((≠---βγαδ。
注解1、当0=γ时，所定义的分式线性函数是把z 平面双射到w 平面，即把C 双射到C 的单叶解析函数；注解2、当0≠γ时，所定义的分式线性函数是把}{C γδ--双射到}{C γα-的单叶解析函数；注解3、我们可以把分式线性函数的定义域推广到扩充复平面∞C 。
当0=γ时，规定它把∞=z 映射成∞=w ；当0≠γ时，规定它把∞=-=z z ,γδ映射成γα=∞=w w ,；则把∞C 双射到∞C 。
现在把保形映射的概念扩充到无穷远点及其邻域，如果)(1z f t =把0z z =及其一个邻域保形映射成t =0及其一个邻域，那么我们说w=f (z )把0z z =及其一个邻域保形映射成∞=w 及其一个邻域。
如果)/1(1ζf t =把0=ζ及其一个邻域保形映射成t =0及其一个邻域，那么我们说w=f (z )把∞=z 及其一个邻域保形映射成∞=w 及其一个邻域。
注解4、分式线性函数把扩充z 平面保形映射成扩充w 平面。
注解5、区域、连通性等概念可以推广到扩充复平面。
一般分式线性函数是由下列四种简单函数叠合而得的：（1）、α+=z w （α为一个复数）；（2）、z e w i θ=（θ为一个实数）；（3）、rz w =（r 为一个正数）；（4）、zw 1=。
事实上，我们有：),0( )(=+=+=γδβδαδβαz z w ),0( )(2≠+-+=++=γγδγαδβγγαδγβαz z z w 把z 及w 看作同一个复平面上的点，则有：（1）、α+=z w 确定一个平移；（2）、z e w i θ=确定一个旋转；（3）、rz w =确定一个以原点为相似中心的相似映射；（4）、z w 1=是由映射zz 11=及关于实轴的对称映射1z w =叠合而得。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定理6.1 复反演映射具有将圆周映射成圆周
的特性（保圆性）和保角性.
证明: 记z x iy, w u iv,根据等式w 1 得 z
u x ,v y , x u , y v
x2 y2
x2 y2
u2 v2
u2 v2
Dw Dz
,
Arg
f
z0
lim
Dz0
0
0
y
(z) Dz P
P0 z0 r z C
0
vቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(w)
Q0
Dw
r
w0
Q
w
G
0
O
x
O
u
5
y
(z)
v
(w)
Dz P P0 z0 r z C
Dw Q
w
Q0 w0 r
G
0
0
O
x
O
u
根据复合函数求导法连锁规则, 有w '(t0)=f '(z0)z '(t0)0.
2,
旋转角是
4
注意 : w z2在z 0处就不是保角映射
13
根式函数z= n w : 0 n0
0
0
(0
2
n
)
于是 w=zn和z= n w 的映射特点是扩大与缩小角形域。
(z)
O 0
z= n w
(w)
n0
O
14
定理一 设函数w=f (z)在区域D内解析, z0为D内的一点, 且 f '(z0)0, 则映射w=f (z)在z0具有两个性质:
1)保角性. 即通过z0的两条曲线间的夹角跟经过映射后所 得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变。
2)伸缩率的不变性. 即通过z0的任何一条曲线的伸缩率均 为|f '(z0)|而与其形状和方向无关.
15
定理一的几何意义.
y (z)
C2
v (w) G2
z0 a
C1
O
w0
xO
G1
u
在D内作以z0为其一个顶点的小三角形, 在映射下, 得到一
3.对数函数的主值分支ln z ln | z | i arg z,
是w ez在0 Im z 2上的反函数
20
6.1 几个初等函数的映射
6.1.1.线性变换 : w az b.(伸缩,旋转和平移的复合) 根据复数的指数表达式,记a | a | eia ,b b1 ib2 Z ( a r)ei(a ) , w Z b Z b1 ib2
24
方程 a(x2+y2)+bx+cy+d=0 满足b2 c2 4ad时 a=0表示直线,表示a0圆周
代入x,y 变为方程 d(u2+v2)+bucv+a=0。 当a0,d0：圆周映射为圆周; 当a0,d=0：圆周映射成直线; 当a=0,d0：直线映射成圆周； 当a=0,d=0：直线映射成直线. 这就是说, 映射w=1/z把圆周映射成圆周. 或者
因此,
表示
z(t0 )
lim Δ t 0
z(t0
Δ t) Δt
z(t0 )
的向量与C相切于点z0=z(t0), 且方向与C的正向一致.
3
因此,我们有
1) Arg z '(t0)就是z0处C的切线正向与x轴正向间的夹角; 2) 相交于一点的两条曲线C1与C2正向之间的夹角就是它
们交点处切线正向间夹角
8
率. 3)
|
f
( z0
)
|
lim
zz0
w w0 z z0
Dw lim
Dz0 Dz
称为C在z0的伸缩
上式表明 |f '(z)|是两象点间距离和两原象点间距离比
值的极限，从而可视为映射w=f (z)在点z0处沿曲线C的伸 缩率, 它与曲线 C 的形状及方向无关. 所以这种映射又具有
(z)
C1
z0
C2
O
x
4
1.解析函数的导数的几何意义 设函数w=f (z)在区域D内
解析, z0为D内的一点, 且f '( z0)0. 又设C为z平面内通过点
z0的一条有向光滑曲线: z=z(t), atb,且z0=z(t0), z '(t0)0,
a<t0<b. 映射w=f (z)将C映射成w平面内通过点z0的对应点
（x0 单位圆周,x<0 单位圆内,x>0 单位圆外）
= y： z平面上水平直线y映射成w平面上射线 。
y (z)
ai
O
y (z) 2i
v
(w)
x
O
w=ez
z=lnw
arg w=a u
v (w)
O
u
O
x
带形域0<Im(z)<a映射成角形域0<arg w<a. 特
别是带形域0<Im(z)<2 映射成沿正实轴剪开的w 平面:0<arg w<2.它们间的点是一一对应的.
条曲线的夹角.
则1 / z在整个扩充复平面是保形的.
26
例6.2 求直线x a, (a 0),在映射w 1 下的像
z
解:
z
a
iy, w
1 z
a2
a
y2
i
y a2 y2
27
例6.3 右半平面x c1, (c1
0),在映射w 1 下变为何区域 z
28
§6.2 分式线性映射
因此, 在G上点w0处也有切线存在, 且切线正向与u轴正向
的夹角是Arg w '(t0)=Arg f '(z0)+Arg z '(t0).
即Arg f '(z0)= Arg w '(t0)Arg z '(t0) 0 0. 若原来的切线的正向与映射过后的切线的正向之间的夹
角理解为曲线C经过w=f (z)映射后在z0处的转动角, 则
(由单值性可知0
2
n
)
(w)
(z)
w=zn
O 0
特别，0
2
n
(z)
2
n
O
n0
O
沿实轴剪开的w平面:0 2 .
w=zn
(w)
上岸 O 下岸
12
例1 求w=z2把角形域0<arg z</4映射成何区域
f 1 i 2(1 i) 2
i
2e
4
在z
i处的伸缩率是2
说, 映射w=1/z具有保圆性.
25
讨论保角性: w
1 z
,这时w
1 z
1 z2
当z 0, z 时是解析函数,因此是保形映射.
而当z 0时w , z 时w 0,对这两点作保
形映射的补充规定,任何穿过z 0点的两条曲
线在0点的夹角,就是w 1 / z在无穷远处的两
个以w0为其一个顶点的小曲边三角形, 这两个三角形对应
边长之比近似为|f '(z0)|, 有一个角相等, 则这两个三角形近
似相似.
16
定理二 如果函数w =f (z)在 z0 解析, 且 f '(z0)0, 则映射 w=f (z)在 z0 是保形的, 而且Arg f '(z0)表示这个映射在 z0 的转动角, |f '(z0)|表示伸缩率. 如果解析函数w=f (z)在 D内是一一的,且处处有f '(z)0, 则映射w=f (z)是 D内的保形映射.
7
y (z)
C2
v
(w) G2
z0 a
C1
O
w0
xO
G1
u
相交于点z0的任何两条曲线C1与C2之间的夹角, 在其大小
和方向上都等同于经w=f (z)映射后C1与C2对应的曲线G1与
G2之间的夹角, 所以这种映射具有保持两曲线间夹角与方
向不变的性质.这种性质称为保角性.
1 1 2 2 2 1 2 1 a
w az b cz d
a c
b d
ad
bc
0
当c 0时, w a z b 是线性变换(ad 0) dd
保形映射是把区域双方单值的映射成区域，在每一 点保角，在每一点具有伸缩率不变性。
例如函数 w ez 在 0 Imz 4 不是保形的； 在 0 Im z 2 是保形的。
17
2. 指数函数 w = e z由于在z平面内w‘= e z 0。所以,
由 w = e z所构成的映射是0<y<2上的保形映射. 设z =x+iy, w =r e i, 则w = e z =e x+iy =r e i 推出 r= e x ：z平面上垂直线x映射成w平面上圆周r；
伸缩率不变性.
上式可视为 f z f z0 f z0 z z0
f z0 1,表示从z0出发的任一无穷小距离伸长；
f z0 1,表示从z0出发的任一无穷小距离缩短；
f z0 1,表示从z0出发的任一无穷小距离不变。
9
2. 保形映射的概念 定义 设函数w = f (z)在z0的邻域内是一对一的, 在z0具有 保角性和伸缩率不变性, 则称映射w = f (z)在z0是保形的, 或称w = f (z)在z0是保形映射. 如果映射w = f (z)在D内的 每一点都是保形的, 就称w = f (z)是区域D内的保形映射.