高中数学 2.3.1《离散型随机变量的期望》课件新人教B版选修2-3

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高中数学 23 2.3 第1课时离散型随机变量的数学期望课件新人教B版选修23

第十一页，共35页。
课堂互动探究
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数学期望的求法
在 10 件产品中，有 3 件一等品、4 件二等品、 3 件三等品．从这 10 件产品中任取 3 件，求取出的 3 件产品中一等品件数 X 的分布列和数学期望．
[分析] 明确随机变量 X 的取值，计算每个取值的概率，然后列其分布列，最后计算 E(X)．
[说明] 求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式(gōngshì)求解．对于aX ＋b型随机变量的期望，可以利用期望的性质求解，当然也可以先求出aX＋b的分布列，再用定义求解．
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设离散型随机变量(suíjī biàn liànɡ)X的分布列为 X0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
2X＋1 1 3 5 7 9 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)|X－1|的分布列： |X－1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3
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对随机变量 ξ，若 E(ξ)＝3，求 E(3ξ＋2)． [错解] E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＝9. [辨析(biànxī)] E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b. [正解] E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2＝9＋2＝11.
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若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为23，乙解出该题的概率为45，设解出该题的人数为 X，求 E(X)．
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[解析] 记“甲解出该题”为事件 A，“乙解出该题” 为事件 B，X 可能取值为 0,1,2.
P(X＝0)＝P( A )P( B )＝1－231－45＝115， P(X＝1)＝P(A·B )＋P( A ·B) ＝P(A)P( B )＋P( A )P(B) ＝23·1－45＋1－23·45＝25， P(X＝2)＝P(A)P(B)＝23·45＝185.

2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3课件：2.3.1 离散型随机变量的数学期望

x2p2＋„＋xnpn 些值对应的概率是 p1，p2，„，pn 则 E(X)＝ x1p1＋ _________________
叫做这个离散型随机变量 X 的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平． 2．超几何分布与二项分布的均值若离散型随机变量 X～B(n，p)，则 E(X)＝ np ；若离散型随机
[精解详析]
(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C，
1 49 那么 P(C)＝1－P( C )＝1－ · p＝ . 10 50 1 解得 p＝ . 5 (2)由题意，随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3. 故 P(X＝0)＝C0 3

1 3 1 ＝， 10 1 000
求离散型随机变量的期望
[例 1] 盒中装有 5 节同牌号的五号电池，其中混有 2 节废电
池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数 X 的分布列及期望． [思路点拨] 明确 X 的取值，并计算出相应的概率，列出分布
列后再计算期望．
[精解详析]
X 可取的值为 1,2,3，
1．从 1,2,3,4,5 这 5 个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是________．
解析：从 1,2,3,4,5 中任取不同的两个数，其乘积 X 的值为 1 1 2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每个值的概率都是， ∴E(X)＝ ×(2 10 10 ＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5.
3 2 3 3 则 P(X＝1)＝，P(X＝2)＝ × ＝， 5 5 4 10 2 1 1 P(X＝3)＝ × ×1＝ . 5 4 10 抽取次数 X 的分布列为 X P 1 3 5 2 3 10 3 1 10

高中数学人教B版选修2-3课件：2.3.1 离散型随机变量的数学期望

��2
24 , 125
��3 ) =
1 (1-p)· (1-q) 5
=
=
-16-
目标导航
题型一题型二题型三题型四
知识梳理
重难聚焦
典例透析
(3)由题意知 a=P(ξ=1)=P(A1��2 ��3 )+P(��1 ��2��3 )+P(��1 ��2 ��3) = 5 (1-p)(1-q) + 5 ��(1-q) + 5 (1-p)q= 125. b=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3) = 125,
X P 1 0.5 3 0 .3 5 0 .2
则其数学期望 E(X)等于( A.1 B. C. 4.5
1 3
有 E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4. 答案:D
-7-
目标导航
知识梳理知识梳理
重难聚焦
典例透析
【做一做 1-2】一个篮球运动员投篮 1 次得 3 分的概率为 a, 得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c,且 a,b,c∈(0,1),若他投篮一次得分的数学期望为 1(不分其他得分情况),则 ab 的最大值为( ) A. 48
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典例透析
二项分布、二点分布的期望
【例 2】某运动员投篮命中率为 p=0.6. (1)求一次投篮时命中次数 X 的期望; (2)求重复 5 次投篮时,命中次数 Y 的期望. 分析:(1)投篮一次有两个结果,命中与不中,因此命中次数 X 服从二点分布;(2)重复 5 次投篮可认为是 5 次独立重复试验,命中次数 Y 服从二项分布. 解:(1)投篮一次,命中次数 X 的分布列为

人教B版数学选修2-3《离散型随机变量的数学期望》课件

9组 ★ ★
李雯玉、郭欣鹏
4
一、复习回顾
1. 离散型随机变量的分布列
X
x1
x2
· · · · · ·
xi
· · · · · ·
P
p1
p2
pi
2. 离散型随机变量分布列的性质： (1) pi≥0，i＝1，2，…； (2) p1＋p2＋…＋pi＋…＝1．
3. 离散型随机变量的分布列:确定随机变量相关事件的概率。
三、概念形成数学期望一般地,若离散型随机变量X的概率分布为: 1、离散型随机变量取值的平均值
X
P
则称
x1
x2
· · · xi · · · pi
· · · xn · · · pn
p1
p2
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2、概念形成
离散型随机变量的数学期望(均值) 几点说明： (1)均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。 (2)在有限取值离散型随机变量X的分布中，若p1=p2=p3=…=pn，此时
Pn (k) C p (1 p)k nkn k18元/kg
24元/kg
36元/kg
按3：2：1的比例混合
混合糖果中每一粒糖果的质量都相等
定价为混合糖果的平均价格才合理
按3：2：1的比例混合
18元/kg
24元/kg
36元/kg
平均价格为 18 3 m 24 2 m 36 1 m 6 6 m千克混合糖果的总价格为 6
2.3.1 离散型随机变量的数学期望

人教高中数学选修2-3第二章 2.3.1离散型随机变量的数学期望(共24张PPT)

B 表示事件：该地的 1 位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C 表示事件：该地的 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；
D 表示事件：该地的 1 位车主甲、乙两种保险都不购买． (1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝AUB，
P(C)＝P(AUB)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝ C ，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，
练习：
1、某射手射击所得环数ξ 的分布列如下：
ξ p 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22
能否估计出该射手n次射击的平均环数？
8.32
2、甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示， X1，X2的概率分布下：
甲选项正确的个数X~B(12，0.9) E(X)=10.8
甲得分Y=5X E(Y)=54
乙的选项正确的个数Z~B(12,0.25) E(Z)=3 乙得分Z`=5Z E(Z`)=15
例4 一个袋子里装有大小相同的5个白球和4个黑
球，从中任取3个，求其中所含白球个数的期望.
X P
0 4/84
1 30/84
离散型随机变量的数学期望
某校为了解学生迟到情况，每天记录迟到人数.下表是在100天中的记录.计算每天平均有问题：已知分布列如何求均值？多少人迟到？
人数天数 0 30 1 30 2 20 3 20
解法1:(0×30+1×30+2×20+3×20)/100=1.3
X P 0
30/100
1
30/100
事件首次发生所需要的试验次数X服从几何分布. 超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中有一类物品的件数为M，从所有物品中任取n件（n不超过N），这n件中所含的这类物品的件数

数学：2.3.1《离散型随机变量的数学期望》教案(新人教B版选修2-3)

2．3．1离散型随机变量的期望教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．过程与方法：理解公式“E （a ξ+b ）=aE ξ+b ”，以及“若ξB （n,p ），则E ξ=np ”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望授课类型：新授课课时安排： 2课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列6. 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k kn n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ 0 1 …k … nPn n q p C 00 111-n n q p C … kn k k n q p C - 0q p C n n n称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记kn k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．8. 离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，P(k A )=p ，P(k A )=q(q=1-p)，那么112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q p ξ---====（k ＝0,1,2,…， p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：ξ123…k … Pp pq2q p … 1k q p -…称这样的随机变量ξ服从几何分布记作g (k ，p )= 1k qp -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．二、讲解新课：根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下ξ4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22在n 次射击之前，可以根据这个分布列估计n 次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望根据射手射击所得环数ξ的分布列，我们可以估计，在n 次射击中，预计大约有n n P 02.0)4(=⨯=ξ 次得4环；n n P 04.0)5(=⨯=ξ 次得5环；…………n n P 22.0)10(=⨯=ξ 次得10环．故在n 次射击的总环数大约为+⨯⨯n 02.04++⨯⨯ n 04.05n ⨯⨯22.010+⨯=02.04(++⨯ 04.05n ⨯⨯)22.010，从而，预计n 次射击的平均环数约为+⨯02.04++⨯ 04.0532.822.010=⨯．这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个)(i P =ξ（i =0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n 次射击的平均环数:+=⨯)0(0ξP +=⨯)1(1ξP …)10(10=⨯+ξP ．1. 均值则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望．2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值4. 均值或期望的一个性质:若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …+++n n p b ax )(…＝+11(p x a +22p x …++n n p x …)++1(p b +2p …++n p …) ＝b aE +ξ，由此，我们得到了期望的一个性质:b aE b a E +=+ξξ)( 5.若ξB （n,p ），则E ξ=np证明如下：∵ kn k k n k n k k n q p C p p C k P --=-==)1()(ξ， ∴ =ξE 0×n n q p C 00＋1×111-n n q p C ＋2×222-n n q p C ＋…＋k ×kn k k n q p C -＋…＋n ×0q p C n n n ．又∵ 11)]!1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅=k n kn nC k n k n n k n k n k kC ，∴ =ξE (np 0011n n C p q --＋2111--n n q p C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0111q pC n n n ---np q p np n =+=-1)(．故若ξ～B (n ，p )，则=ξE np ．三、讲解范例：例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分ξ的期望解：因为3.0)0(,7.0)1(====ξξP P ，所以7.03.007.01=⨯+⨯=ξE例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是ηξ,，则ξ~ B （20,0.9）,)25.0,20(~B η,525.020,189.020=⨯==⨯=∴ηξE E由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：2555)(5)5(,90185)(5)5(=⨯===⨯==ηηξξE E E E例3. 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0. 01．该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3 种方案：方案1：运走设备，搬运费为3 800 元．方案2：建保护围墙，建设费为2 000 元．但围墙只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不发生洪水．试比较哪一种方案好．解：用X 1 、X 2和X 3分别表示三种方案的损失．采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3 800 元，即 X 1 = 3 800 .采用第2 种方案，遇到大洪水时，损失2 000 + 60 000=62 000 元；没有大洪水时，损失2 000 元，即⎧⎨⎩262000，有大洪水；X =2000,无大洪水.同样，采用第 3 种方案，有⎧⎪⎨⎪⎩360000，有大洪水；X =10000,有小洪水；0,无洪水.于是，EX 1＝3 800 ,EX 2＝62 000×P (X 2 = 62 000 ) + 2 00000×P (X 2 = 2 000 ) = 62000×0. 01 + 2000×(1-0.01) = 2 600 ,EX 3 = 60000×P (X 3 = 60000) + 10 000×P(X 3 =10 000 ) + 0×P (X 3 =0) = 60 000×0.01 + 10000×0.25=3100 .采取方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2 .值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的．一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案 2 将会使损失减到最小．由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案 2 也不一定是最好的．例4.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数ξ的期望解：∵6,,2,1,6/1)(⋅⋅⋅===i i P ξ，6/166/126/11⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=∴ξE =3.5例5.有一批数量很大的产品，其次品率是15%，对这批产品进行抽查，每次抽取1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽出次品为止，但抽查次数不超过10次求抽查次数ξ的期望（结果保留三个有效数字）解：抽查次数ξ取1ξ≤≤10的整数，从这批数量很大的产品中抽出1件检查的试验可以认为是彼此独立的，取出次品的概率是0.15，取出正品的概率是0.85，前1-k 次取出正品而第k 次（k =1，2，…，10）取出次品的概率：15.085.0)(1⨯==-k k P ξ（k =1，2， (10)需要抽查10次即前9次取出的都是正品的概率：985.0)10(==ξP 由此可得ξ的概率分布如下：ξ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10P0.150.1275 0.1084 0.092 0.0783 0.0666 0.0566 0.0481 0.0409 0.2316根据以上的概率分布，可得ξ的期望35.52316.0101275.0215.01=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE例6.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为ξ 123456P61 61 61 61 61 61 所以=ξE 1×61＋2×61＋3×61＋4×61＋5×61＋6×61＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×61＝3.5．抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．例7.某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km 时租车费为10元，若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足lkm 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量．设他所收租车费为η(Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式； (Ⅱ)若随机变量求所收租车费η的数学期望．(Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?解：(Ⅰ)依题意得 η=2(ξ-4)十10，即 η=2ξ+2；(Ⅱ)=ξE 4.161.0183.0175.0161.015=⨯+⨯+⨯+⨯ ∵ η=2ξ+2∴ =ηE 2E ξ+2=34.8 （元）故所收租车费η的数学期望为34.8元．(Ⅲ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5⨯(18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟四、课堂练习：1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以ξ表示取出球的最大号码，则E ξ=（）A ．4；B ．5；C ．4.5；D ．4.75 答案：C2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；⑵他罚球2次的得分η的数学期望； ⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．解：⑴因为7.0)1(==ξP ，3.0)0(==ξP ，所以=ξE 1×)1(=ξP ＋0×7.0)0(==ξP⑵η的概率分布为η12P23.0 3.07.012⨯⨯C 27.0所以 =ξE 0×09.0＋1×42.0＋2×98.0＝1.4． ⑶ξ所以 =ξE 0×027.0＋1×189.0＋2×98.0＝2.1.3．设有m 升水，其中含有大肠杆菌n 个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．分析：任取1升水，此升水中含一个大肠杆菌的概率是m1，事件“ξ=k ”发生，即n 个大肠杆菌中恰有k 个在此升水中，由n 次独立重复实验中事件A （在此升水中含一个大肠杆菌）恰好发生k 次的概率计算方法可求出P (ξ=k ),进而可求E ξ. 解：记事件A ：“在所取的1升水中含一个大肠杆菌”，则P(A)=m1． ∴ P (ξ=k )=P n (k )=C knm 1)k (1－m1)n －k（k =0,1,2,….,n ）． ∴ ξ～B (n ,m 1)，故 E ξ =n ×m 1=mn五、小结：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ 公式E （a ξ+b ）= aE ξ+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望E ξ=np 六、课后作业：P64-65练习1,2,3,4 P69 A 组1,2,31.一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是（用数字作答）解：令取取黄球个数ξ (=0、1、2)则ξ的要布列为于是 E （ξ）=0×103+1×53+2×101=0.8 故知红球个数的数学期望为1.22.袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用ξ表示得分数 ①求ξ的概率分布列 ②求ξ的数学期望解：①依题意ξ的取值为0、1、2、3、4ξ=0时，取2黑 p(ξ=0)=612924=C Cξ=1时，取1黑1白 p(ξ=1)=31291314=⋅C C C ξ=2时，取2白或1红1黑p(ξ=2)= 2923C C +3611291412=⋅C C C ξ=3时，取1白1红，概率p(ξ=3)= 61291213=⋅C C C ξ=4时，取2红，概率p(ξ=4)= 3612922=C C∴ξ分布列为（2）期望E ξ=0×61+1×31+2×3611+3×61+4×361=914 3.学校新进了三台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为p 1、p 2、p 3，求试验中三台投影仪产生故障的数学期望解：设ξ表示产生故障的仪器数，A i 表示第i 台仪器出现故障（i=1、2、3）i A 表示第i 台仪器不出现故障，则：p(ξ=1)=p(A 1·2A ·3A )+ p(1A ·A 2·3A )+ p(1A ·2A ·A 3) =p 1(1－p 2) (1－p 3)+ p 2(1－p 1) (1－p 3)+ p 3(1－p 1) (1－p 2) = p 1+ p 2+p 3－2p 1p 2－2p 2p 3－2p 3p 1+3p 1p 2p 3p(ξ=2)=p(A 1· A 2·A )+ p(A 1·2A ·3A )+ p(1A ·A 2·A 3) = p 1p 2 (1－p 3)+ p 1p 3(1－p 2)+ p 2p 3(1－p 1) = p 1p 2+ p 1p 3+ p 2p 3－3p 1p 2p 3 p(ξ=3)=p(A 1· A 2·A 3)= p 1p 2p 3∴ξE =1×p(ξ=1)+2×p(ξ=2)+3×p(ξ=3)= p 1+p 2+p 3注：要充分运用分类讨论的思想，分别求出三台仪器中有一、二、三台发生故障的概率后再求期望4.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，含红球个数的数学期望是 1.22.13.026.011.00=⨯+⨯+⨯=∴ξE5. A 、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是321,,A A A ，B 队队员是321,,B B B ，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队，B 队最后所得分分别为ξ，η（1）求ξ，η的概率分布；（2）求ξE ，ηE 解：（Ⅰ）ξ，η的可能取值分别为3，2，1，0()()()()2535353310,525253315352315353321,75285253325252315352322,2785252323=⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯==ξξξξP P P P 根据题意知3=+ηξ，所以 ()()()()()()()()25303,5212,752821,75830================ξηξηξηξηP P P P P P P P （Ⅱ）15222530521752827583=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ；因为3=+ηξ,所以15233=-=ξηE E七、板书设计（略）八、教学反思：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E ξ 公式E （a ξ+b ）= aE ξ+b ，以及服从二项分布的随机变量的期望E ξ=np 。

高中数学第二章概率2.3.1离散型随机变量的数学期望课件新人教B版选修23

第三十一页，共46页。
2.概率模型的三个解答步骤 (1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些. (2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的期望. (3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论.
第三十二页，共46页。
[再练一题] 3.甲、乙两射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环.将它们的比赛成绩画成频率分布直方图如图2-3-1甲和图乙所示.
→
求出数学期望EX
→
利用期望回答问题
【自主解答】 (1)X的所有可能取值有6,2,1，－2. P(X＝6)＝122060＝0.63， P(X＝2)＝25000＝0.25，P(X＝1)＝22000＝0.1， P(X＝－2)＝2400＝0.02.
第二十九页，共46页。
故X的分布列为：
X6
2
1 －2
E(X)等于( )
X0 1
P m 2m
1
2
A.9
B.9
1
2
C.3
D.3
第十七页，共46页。
【解析】 (1)由题意可知，补种的种子数记为X，X服从二项分布，即X～ B(1 000,0.1)，所以不发芽种子的数学期望为1 000×0.1＝100.所以补种的种子数的数学期望为2×100＝200.
(2)由题意可知m＋2m＝1，所以m＝13，所以E(X)＝0×13＋1×23＝23. 【答案】 (1)B (2)D
第七页，共46页。
教材整理2 常见几种分布的数学期望
阅读教材P60例1以上部分，完成下列问题. 名称二点分布二项分布
超几何分布
公式
E(X)＝_p__
E(X)＝_n_p__

(教师用书)高中数学 2.3.1 离散型随机变量的数学期望配套课件新人教B版选修23

1 2 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与，投 2 5 中得 1 分，投不中得 0 分．甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和 X 的数学期望．
【解】
依题意，记“甲投一次命中”为事件 A，
“乙投一次命中”为事件 B， 1 2 1 3 则 P(A)＝，P(B)＝，P( A )＝，P( B )＝ . 2 5 2 5 甲、乙两人得分之和 X 的可能取值为 0、1、2，
的均值或数学期望(简称期望)． (2)意义它反映了离散型随机变量取值的平均水平 _________．
2．常见几种分布的数学期望名称二点分布二项分布超几何分布
nM p np 公式 E(X)＝___ E(X)＝____ E(X)＝ N
求离散型随机变量的数学期望
在甲、乙等 6 个单位参加的一次“唱读讲传” 演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为 1,2，…，6)，求： (1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； (2)甲、乙两单位之间的演出单位个数 X 的分布列与期望．
(2)X 的所有可能值为 0,1,2,3,4，且 5 1 4 4 3 1 P(X＝0)＝ 2＝，P(X＝1)＝ 2＝，P(X＝2)＝ 2＝， C6 3 C6 15 C6 5 2 2 1 1 P(X＝3)＝ 2＝，P(X＝4)＝ 2＝ . C6 15 C6 15 从而知 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1 4 1 2 1 3 15 5 15 15
1 1．若随机变量 X 服从二项分布 B(4， )，则 E(X)的值 3 为( ) 4 A. 3 8 B. 3 13 C. 3 8 D. 9
【解析】
【答案】

高中数学 2.3第1课时离散型随机变量的数学期望课件新人教B版选修23

• (3)利用定义求离散型随机变量X的数学期望的步骤：
• ①理解随机变量X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列；④由数学期望的定义求出E(X)．
• (4)如果随机变量服从二点分布、二项分布或超几何分布，可直接代入公式求数学期望．
• 某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
成才之路 ·数学
人教B版 ·选修2-3
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
第二章概率
第二章 2.3 随机变量的数字特征
第1课时离散型随机变量的数学期望
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
• 某书店订购一新版图书，根据以往经验预测，这种新书的销售量为40,100,120本的概率分别为0.2,0.7,0.1，这种书每本的进价为6元．销售价为8元，如果售不出去，以后处理剩余书每本为5元．
学期望取值为 p.
(2)设离散型随机变量 X 服从于参数为 n 和 p 的二项分布，由 X 的分布列 P(X＝k)＝Cknpkqn－k(k＝0,1,2，…，n)，
可知 X 的数学期望为 E(X)＝0×C0np0qn＋1×C1np1qn－1＋…＋ k×Cknpkqn－k＋…＋n×Cnnpnq0＝np(p＋q)n－1＝np，
• C．300
D．400
• [答案] B
[解析] 本题以实际问题为背景，考查服从二项分布的事件的数学期望等．
记“不发芽的种子数为 ξ”，则 ξ～B(1 000,0.1)，所以 E(ξ) ＝1 000×0.1＝100，而 X＝2ξ，故 E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故选 B.

高二数学(人教B版)选修2-3课件：2.3.1离散型随机变量的数学期望

通高
(3)二项分布(q=1-p)
中课
X
0
1…k…n
程标
P
Cn0 p0qn Cn1 p1qn1 … Cnk pk qnk … Cnn pnq0
准
Liangxiangzhongxue
根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不
止于此。
二、提出问题
普引例1：
9环 10环 0.1 0.6 0.5 0.3
Liangxiangzhongxue
四、应用举例
普通
例3.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，
高每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得
中分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9，
课程标
所以，随机变量Y的分布列为
X x1
Y ax1 b P p1
x2
ax2 b p2
··· xi ··· axi b ··· pi
··· xn ··· axn b ··· pn
性质2：若随机变量X服从两点分布，则E(X)=p。
Liangxiangzhongxue
性质3：若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，则E(X)=np
程标
(2)在有限取值离散型随机变量X的分布中，若
准 p1=p2=p3=…=pn，此时
p1 p1 p2 L
pi
pn
1 n
1 E( X ) (x1 x2 L xi L xn ) n
这说明数学期望与平均值具有相同的含义。
Liangxiangzhongxue
普通高中课程标准

2019年高中数学人教B版选修2-3课件：2.3.1 离散型随机变量的数学期望

所以随机变量 X 的概率分布列为
X0
1
2
3
P
1 1 000
27 1 000
243 1 000
729 1 000
故随机变量 X 的数学期望： E(X)＝0×1 0100＋1×1 20700＋2×1204030＋3×1702090 ＝2170.
[一点通] 1．若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布，可直接代入公式求得期望． 2．常见的三种分布的均值设 p 为一次试验中成功的概率，则 (1)两点分布 E(X)＝p； (2)二项分布 E(X)＝np； (3)超几何分布，即 X～H(n，M，N)，则 E(X)＝nNM.
若离散型随机变量 X～B(n，p)，则 E(X)＝ np ；若离散型随机 nM
变量 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布，则 E(X)＝ N .
1．对离散型随机变量均值的理解： (1)离散型随机变量的均值 E(X)是一个数值，是随机变量 X 本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平． (2)随机变量的分布相同，则它们的均值一定相同；有相同均值的两个分布未必相同；两个不同的分布也可以有相同的均值． 2．离散型随机变量的均值和样本均值之间的区别随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本的不同而变化．
2.3
2.3.1 随
机
第二章
变量的数
字
特
离散型随机变量的数学期望
征
理解教材新知把握热点考向应用创新演练
考点一考点二考点三
2．3
随机变量的数字特征
2.3.1 离散型随机变量的数学期望
设有 12 个西瓜，其中重 5 kg 的有 4 个，重 6 kg 的有 3 个，重 7 kg 的有 5 个．

人教B版高中数学选修2-3 2.1.2 离散型随机变量的分布列课件(共22张PPT)

1 2
.
所以,X的分布列为
X
3
4
5
6
1
3
3
1
P
20
20
10
2
(2)X的分布列为
X
3
4
5
6
P
1
20
3
3
1
20
10
2
{ X4 } 表示的是取出球的最大号码大于 4 ，
即最大号码为 5 ， 6
因此 P ( X 4 ) P ( X 5 ) P ( X 6 ) 130
1 2
4 5
反思：求离散型随机变量的概率分布列的方法步骤：
1、找出随机变量ξ的所有可能的取值
xi (i 1, 2, );
2、求出各取值的概率
P( xi ) pi;
3、列成表格.
巩固训练
将一个骰子掷两次，求两次掷出的最大点数X的分布列。
课堂小结:
1.离散型随机变量的分布列.
2.离散型随机变量的分布列的两个性质：
则
1
P(X1)
,
6
1 P(X2) ,
6
1
P(X 3)
,
6
1
P(X4)
,
列表
6
1
P(X 5)
6
,1P(X6).6X123456
1
1
1
1
1
1
P6
6
6
6
6
6
随机变量 X 的概率分布列！！
能力发展目标
1、通过阅读课本，弄清离散型随机变量的分布列的概念及性质；
2、通过标杆题的学习及练习，能应用其性质解题；

人教B版选修2-3高中数学2.3.1《离散型随机变量的数学期望》ppt课件2

p 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 1、在n次射击之前，虽然不能确定各次射击所得的环数，但可以根据已知的分布列估计n次射击的平均环数．根据这个射手射击所得环数ξ的分布列，他在n次射击中，预计有大约 P(ξ＝4)×n＝0.02n 次得4环，
P(ξ＝…5…)×n＝0.04n 次得5环， P(ξ＝10)×n＝0.22n 次得10环． n次射击的总环数约等于
2019/8/10
最新中小学教学课件
13
上得－1分，求得分X的数学期望。
0
3、随机抛掷一个骰子，求所得骰子点数X的数学期望E(X)。
3.5
考察0－1分布
X01 P 1－ p p
E(X)＝0×(1－p)＋1×p ＝p
若X~H(n,M,N) 则E(X)＝nM
N
若X~B(n,p) 则E(X)＝np
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何抓住老师的思路。
其中pi≥0，i＝1,2,…,n；p1＋p2＋…＋pn＝1
对于问题2 E(X1)＝0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6
E(X2)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7
由于E(X1)＜E(X2)，即甲工人生产出废品数的均值小，从这个意义上讲，甲的技术比乙的技术好。
例1 高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏，在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同。某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X，求X的数学期望．
2、甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，
他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示， X1，X2的概率分布下：