第二章行列式习题解答
线性代数简明教程 (第二版)科学出版社第二章、行列式习题答案
a
(a 0)Dn 0 0n 0n2 an an2 综上所述， Dn an an2
8.（1）当 A 0 时 ，利用反证法.
假设 A 0
( A )( A )1 E
A A(A)(A)1 A E(A)1 O
A 0
A 0
第二章
行 列 式习题答案
1.
利用三阶行列式求解方程组x21x1
2
x2 x2
x3 3x3
2 1
1 2 1
x1 x2 x3 0
D 2 1 3 50
1 1 1
1 2 2
D3 2 1 1 5
2 2 1
1 1 0
D1 1 1 3 5 0 1 1
1 2 1 D2 2 1 3 10
1 0 1
xi
Di D
x1 x2
1 2
x3 1
2. 当x取何值时，
3 4
1 x
x 0 0
10x
2x(x 2) 0
x0 且 x2
3. 求下列排列的逆序数
(1) (315624) 6
(2) (13 (2n 1)24 (2n)) n(n 1)
A E A E 0 E AB
a1 0 an
1 1 1 1
a1 a2
an
a1a2 an 1 1 0
1 0 1
n
c1
i2
ci
1 1 1 1 1 1
a1 a2
an a2
an
a1a2 an
0
1 0
《线性代数》(经科社2013版)习题解答
5. A2 − 2A − 4E = O ⇒ A2 − 2A − 3E = E ⇒ (A + E )(A − 3E ) = E , 故(A + E )−1 = (A − 3E ).
3(A − E )−1 A = 3(A−1 (A − E ))−1 = 3(E − A−1 )−1 , 其中A−1 = 9. AA∗ = |A|E ⇒ 10.
−1 1
2
1 (4)A31 + A32 + A33 + A34 = 3 1
2 3 1
−3 6 3 1 3 1 .
3 4 1 8 3.(1)第i行减去末行的ai 倍(i = 1, 2, · · · , n), 再按末列展开. (2)仿教材例1.4.4. (3)从第一行开始, 上一行的x倍加到下一行, 再按末行展开. (4)按末列展开. 4.(1)见《线性代数学习指导》P25例25. (2)见《线性代数学习指导》P26例26. 或: 第一行减去第二行, 按第一行展开, 得递推关系式; 列同样 处理. 联立解之. 注: ::::::::: 此题较难,::::::::::: 可不作要求. (3)从第一行开始, 用上一行消下一行, 化为上三角行列式. 1 5. M11 + M21 + M31 + M41 = A11 − A21 + A31 − A41 = −1 1 −1 1 A11 + A12 + A13 + A14 = 1 −1 1 1 3 1 0 1 1 −5 3 −3 . −5 1 3 −4 2 0 1 1 −5 3 .
i=1 i=1 i=1
注: :::::::::::::::::::::::::::::::::: 要牢记矩阵乘法的口诀“前行乘后列”.
华东理工大学线性代数习题答案-第二章
第二章 行列式一、习题解答2．1（1）解：逆序数(4132)4τ= （2）解：(36195)4τ= （3）解：(3)(2)(21(1)...3)12n n n n τ---=+2．2解：根据行列式的定义，每个乘积均由来自不同行不同列的元素组成，当来自不同行不同列的元素的行标为自然排列时，其列标的逆序数决定了该乘积项的符号，根据观察，出现4x 的只有主对角线上的四个元素的相乘项11223344a a a a ，该项为(1234)(1)236x x x x x τ-⋅⋅⋅⋅=，故4x 的系数为6，而可以出现3x 的乘积项有两项，它们是1221334414223341,,a a a a a a a a 即分别为3)4231(3)1234(33)1(,331)1(x x x x x x x x -=⋅⋅⋅⋅--=⋅⋅⋅⋅-ττ两项相加，即知3x 的系数为6-。
2．3（1）解：将行列式的2，3，4列全加到第一列后，再提公因子，得原式=121314(1)(1)(1)3111111111113011101101003331(1)(1)(1)3310111010010311011100001r r r ----===⋅⋅-⋅-⋅-=--- （2）解：原式=5514000100200275(1)51(1)036036941011410115++⋅-=⋅⋅--=130352(1)10(01043)120410+-⋅⋅-=-⋅⋅-⋅=（3）解：原式=1213142112312311(1)359(1)(1)3293(1)32581752418252212215+++⋅-+-⋅-+⋅-=--=-----（4）解：原式=342312222222222222(1)22222222(1)(1)222222221234213243543243546543546576r r r -------=--------=14916149163579357905791122227911132222==（5）解：原式=12312312456133310025789333=⋅=⋅= 2．4（1）解：原式=2()12()2()12()1x y yx y yx y x y x yxx y x yx x y xyxy+++++=+++=12()02()10yx yx yx y xy x y x y xx yx+-+-=+⋅⋅----=22332()()2()x y x xy y x y ⎡⎤+--+=-+⎣⎦（2）解：原式=1411(1)0a b cb ac b a cb ac b a cc a a b b c c a a b b c b c ab c a+------=⋅------- =1()11ab c a b cbcc aa b b c c a b a b c a b bc a b c a c a -------==++ =21()0()()()()0bca b c a b b c a b c a b a c b c c b a c⎡⎤++--=++--+-⎣⎦--=3333a b c abc ++-（3）解：原式2143(1)(1)0011001111111100001111111111r r x x x xxyy y y y----==--= 22111111111100110000110011y x y x xy yx xy=--=--2．5（1）证：将左端行列式的底2，3列加到第一列，则第一列元素全为零，由行列式性质， 得证。
线性代数第二章习题解答
线性代数第二章习题解习题一A 组1.计算下列二阶行列式 （1）521-12= （2）012896= （3）2222ba ab b a b a-= （4）11112322--=++-x x x x x x2.计算下列三阶行列式（1）132213321=1+8+27-6-6-6=18 （2）5598413111=（3）7140053101-=- （4）000000=d c b a3. 当k 取何值时，10143k kk -=0.解：10143kkk -0)3(0)(02-----++=k k ， 得 0342=+-k k ， 所以 1=k 或 3=k 。
4.求下列排列的逆序数.解：(1) 512110)51324(=++++=τ. (2) 8142010)426315(=+++++=τ. (3) 21123456)7654321(=+++++=τ. (4) 1340423000)36715284(=+++++++=τ.5.下列各元素乘积是否是五阶行列式 ij a 中一项?如果是,该项应取什么符号? 解：(2) 不是. 因为 5145332211a a a a a 中有俩个元素在第一列. (3) 是. 对应项为534531*********)1(a a a a a ）（τ-1021)24153(+++=τ 所以该项应取负号。
6.选择i , j 使j i a a a a a 54234213成为五阶行列式 ij a 中带有负号的项解: 当 )5,1(),(=j i 时, 30102)31425(=+++=τ, 是奇排列.当 )1,5(),(=j i 时, 81232)35421(=+++=τ, 是偶排列. 所以 i = 1, j = 5.8.利用行列式性质计算下列行列式.解: (1)111212321-23043032123121----+-+-r r r r 620043032132-=--+-r r(2)6217213424435431014327427246-621721100044354320003274271000123c c c ++621721144354323274271103=.62110014431002327100110323c c +-621114431232711105=31212rr r r +-+-294002111032711105--=294105⨯(3)1111111111111111---820000200002011114,3,21-=---=+-i r r i(4) 1502321353140422-----15023213531402112-----=11203840553002112234413121-----+++r r r r r r11205100046100211223424-----+-+-r r r r 7130051000461002112242------+-r r 7130012004610211)5(2-----=02700120046100211)5(2743----+r r 27002100641020111043---↔c c 270-=.（5）y y x x -+-+1111111111111111y y y x x x c c c c --+-+-11011010110123412y y x x r r r r --+-+-00011000010124321 y y x x--=000110001010122320001000010101y x yy x xr r =--+（6）d c b a c b a b a a d c b a c b a b a a d c b a c b a b a a d c b a ++++++++++++++++++3610363234232cb a b a ac b a b a a cb a b a a dc b a i r r i 36103630234232004,3,21+++++++++=+-b a a b a ac b a b a ad c b a r r r r 373002000324232++++++-+-44300020003a ab a a cb a b a a dc b a r r =+++++-9.用行列式性质证明:(1) 333332222211111c c b kb a c c b kb a c c b kb a ++++++=333222111c b a c b a c b a证明: 333332222211111c c b kb a c c b kb a c c b kb a ++++++33332222111123c b kb a c b kb a c b kb a c c ++++-33322211112c b a c b a c b a c kc +-. (2) efcf bfde cdbdaeac ab---=abcdef 4 证明: ef cfbf de cd bdaeac ab---d c b e c b e c b abf ---的公因子提取各行111111111---abfbce 的公因子提取各列202001113121-++abcdef r r r r 20002011123--↔abcdef r r abcdef 4=. (3) yy x x ++++1111111111111111y x xy y x 222222++=证明: y y x x ++++1111111111111111=yy x x +++++++1110111101111011111y y x +++=1111111111111111 y y x x ++++111011*********y y x 0000000001111=y y x x +++++++110101101011101101 y y xx y y xxy +++++++=1010011001010101000000011101112yy x x y xx xy xy +++++=10001001001001100110011011022 y y x x y x x xy +++=100010010010000110011011022=+++=)1(2222y y x y x xy 222222y x y x xy ++. 10.解下列方程:(1)0913251323222321122=--x x解: 由2243212240005132320321129132513232223211x x r r r r x x ----+-+---22314000131032032112x x r r ------+-22221240001310332003211x x x r r x -------+2222340003320013103211x x x r r ------↔)4)(32(22x x ---= 得 0)4)(32(22=---x x 所以 2=x 或 2-=x .(2)0011101101110=x x xx解: 由=++++=+01110110122224,3,20111011011101x x x x x x x i r r x x x x i 0111011011111)2(x x xx + 111011*********)2(413121-------++-+-+-x x x x x x r r r xr r r xx xx x x x r r -------++10011010101111)2(43x x x x x x x x x x x x x x x r r x ------+=----+----++-100)1(0010101111)2(100)1)(1(10010101111)2()1(32xx xx x x ----⨯-+=1)1(1011)2(=})1(){1)(2(22x x x x -+-+2)2)(2(x x x -+-= 得 0)2)(2(2=-+x x x , 所以 021==x x ,23=x , 24-=x . 15. 用克莱姆法则解下列线性方程组:（1）⎩⎨⎧=+=+2731322121x x x x解：由系数行列式57332==D 172311==D 123122==D5111==D D x , 5122==D D x . (3) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-445222725 1243321321321x x x x x x x x x解: 由系数行列式 638701702112452181211245272524331212313=--+-+----+-+----=r r r r r r r r D=--+-+---=41143786220124454722224131211c c c c D 63126002312545322442722521331212=---+-+-=r r r r D189107017703112452148131124522225143312123133=--+-+---+-+----=r r r r r r r r D得 111==D D x , 222==D Dx ,333==DD x .16.判断下列齐次方程组是否有非零解:(1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=-+-=++--=+-+0320508307934321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解:由系数行列式3211151118137931------=D 47208144022198079313413121------+-+-+r r rr r r 0472814422198=-----= (第一、二行对应元素成比例) 此齐次方程组有非零解.(2). ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++=-++=+-0302430332022432143214321421x x x x x x x x x x x x x x x解:由系数行列式3015111104)1(2301511122)1(30015011313210221131214331321022********---+----=----+-+----=+rr r r r r D0131114≠=---=此齐次方程组只有唯一的非零解.17. 若齐次线性方程组 ⎩⎨⎧=-+=+-0)2(504)3(y x y x λλ 有非零解.则λ取何值?解:由系数行列式 )2)(7(14520)2)(3(25432+-=--=---=--=λλλλλλλλD其齐次线性方程组有非零解,则 7=λ 或 2-=λ.习题二A 组1.计算下列矩阵的乘积.(1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2312521131.解： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2312521131⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯+-⨯⨯-+⨯⨯-+-⨯⨯+⨯⨯+-⨯=12111577251253)2(22)1(113)1()2(1231133)2(1. （2）()0111132=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---(3) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-35002103531152112401321214.解： ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-35002103531152112401321214⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10316665350021161167923. （4）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x解：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x =233322222111x a x a x a +++212112)(x x a a ++313113)(x x a a ++323223)(x x a a + 2. 计算下列各矩阵:(1) 52423⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--. 解： 52423⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--22423⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22423⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2423⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4421⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4421⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2423 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=81267⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2423⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=8423.（2）2210013112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ 解: 2210013112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡433349447 (3) n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011.解： n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011n⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00101001=nn n nn n n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0010001010012)1(001010011001221+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101000n n , 其中 20010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000010n. (4) n⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλ001001 解： n⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλ001001=n ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000100010000000λλλn⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000100010100010001λ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---- 222110001000101000100012)1(000100010100010001100010001n n n n n n n n n λλλ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0000002)1(0000000000000002n nn n n n n n n n λλλλλλ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-nn nn nnn n n n λλλλλλ0002)1(1其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000001000001000102,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000000000001000100001000103n. 5. 证明：对任意n m ⨯矩阵A ，A A T与TAA 都是对称方阵；而当A 为n 阶对称方阵时，则对任意n 阶方阵C ，AC C T 为对称方阵.证明： （1）A A T为n 阶方阵， 又A A A A T T T =)( A A T∴为n 阶对称方阵同理TAA 为m 阶对称方阵（2）AC C T为n 阶方阵， A 为n 阶对称方阵 A A T=∴ 又 AC C AC C T T T =)(AC C T∴为n 阶对称方阵6.设C B A ,,均为n 阶方阵.证明:如果CA A C AB E B +=+=, 则.E C B =-解: 由已知 E B A E E AB B =-=-)(, 则 B A E =--1)(.且 A CA C =- 即 A A E C =-)(, 则 AB A E A C =-=-1)(. 得 E AB B C B =-=-.8.（3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=122341213A解：25=A 1011=A 521=A 531-=A712-=A 122-=A 1132=A 613-=A 823-=A 1333=A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-1386111755102511A9. 解下列矩阵方程: (1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛23123512X 解: 由 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-251335121,得 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1161923122513231235121X .(3) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X 解: 由 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--01010000102110234110000101001010000102110234110000101011X⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012010100001021341102, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=201431012X .11. 设 B A AB A -=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2,011002100, 求.B解: 由已知 ,2)(,2A B E A A B AB =+=+因 01622)(3≠-===+=+A A B E A B E A1)(-+E A 存在, 则 A E A B 2)(1⋅+=-由 ()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−++-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=+22240420001021010120220042001110121012,3121r r r r A E A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−++-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−+--31322211310001000121626404200200210101321231332r r r r r r r所以 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⋅+=-31322211132)(1A E AB .12.设B A ,均为n 阶方阵，E 为n 阶单位阵，证明： （1） 若,AB B A =+ 则E A -可逆；（2） 若O E A A =+-432 则E A -可逆，并求-1）（E A -. 解: （1）由已知 E E B A AB =+--, 即E E B E A E E B E B A =--=---))((,)()(,所以 E A -可逆,且E B E A -=--1）（. （2）由已知 E E A E A A E E A AE AA 2)(2)(,222-=----=+--,,2))(2(E E A E A -=-- 所以 E A -可逆,且A E E A E A 21)2(211--=--=-）（. 14.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1100210000230012A , 求 4,AA 及1-A . 解: 33111212312=⨯=---=A ,由⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7-48-7-11-2197168-56-9723-1-244，, 所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=7400870000971680056974A . 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛112-13111-21231223-1-2-1-1，, 所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=31310032-3100002300121-A . 15. 用初等变换把下列矩阵化为标准形:(1) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=02-112321-1A解: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02-112321-1A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎪⎪⎭⎫-- ⎝⎛+-+-100010001)1(1001101012-1-05-5021-133********r r r r r r r r r16.求下列各矩阵的秩：（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=61331311405133312A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----↔3312311405136133141r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----+-+-+-152970275313018348061331243413121r r r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----+-152970275313035106133124r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------+-+-66001212003510613317134232r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→1212006600351061331⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→00006600351061331 所以3)(=A R 17.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110101011A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a a a B 111211，且矩阵AB 的秩为2，求a解：因为2)(=AB R ，所以B A AB ==0 又因为0≠A ， 所以0=B 即01=+-a 1=⇒a。
线性代数 北京理工大学出版社 习题解答
第一章 行列式学习要求1. 理解二阶与三阶行列式的概念，熟悉掌握二阶与三阶行列式的计算方法，会求二元、三元一次线性方程组的解；2. 理解n 级全排列、逆序数的概念和排列的奇偶性；3. 理解n 阶行列式的概念和n 阶行列式的等价定义，会用行列式的定义计算对角、三角行列式和一些简单的特殊的n 阶行列式；4. 掌握行列式的根本性质，会利用“化三角形〞方法计算行列式；5. 理解余子式、代数余子式的概念，掌握行列式按行〔列〕展开定理，会用降阶法计算行列式；6. 掌握克莱姆法那么，了解未知量个数与方程个数一样的方程组解的判定定理，会运用克莱姆法那么讨论齐次线性方程组的解.§1.1 二阶与三阶行列式1. 计算二阶行列式： (5)22322211(1)(1)1;1x x x x x x x x x x -=-++-=--++ 2．计算三阶行列式：(2) 10135050(12)0007;041-=++----=-3．求解方程34100.01x D x x =-=解 2341043(1)(3)0,01x x x x x x x -=-+=--=由故原方程的解为.31==x x 或4．用行列式解以下方程组：(1)1212323,43 1.x x x x -=⎧⎨-+=-⎩ (2)12312312320,21,2 3.x x x x x x x x x ++=⎧⎪-+=⎨-+=⎪⎩解(1) =D 329810,43-=-=≠-1D =32927,13-=-=-=2D333129,41=-+=-- 故所求的方程组有唯一解：127,9.x x ==(2) =D 12121122211880,112-=-+-++-=-≠-=1D 4213111120=--，=2D 4231112101=，=3D 12021112,113-=--故所求的方程组有唯一解：.23,21,21321=-=-=x x x6. 当x 取何值时，23130.123x x ≠解 223133963(1)(2)0,123x x x x x x =-+=--≠由 解得.21≠≠x x 且§1.3 n 阶行列式的定义1. 写出四阶行列式中含有因子3422a a 的项.解 利用n 阶行列式的定义来求解.行列式的阶数是四，每一项都要有4个元素相乘，题目已给出了两个因子，那么还有两个元素还未写出，由于因子3422a a 的行标已经取了2，3，列标取2，4，所以剩下因子的行标只能取1，4，列标只能取1，3，因此未写出的因子为4311a a 和4113a a .又因为(1243)1τ=，(3241)4τ=，所以四阶行列式中含有因子3422a a 的项为(1243)11223443(1)a a a a τ-和(3241)13223441(1)a a a a τ-，即11223443a a a a -和13223441a a a a .3. xx x x xx f 21123232101)(=，用行列式的定义求3x 的系数.解 )(x f 的展开式中含3x 的项只有一项：(2134)3(1)1x x x x τ-⋅⋅⋅=-，故3x 的系数为1-.4. 利用行列式的定义计算以下行列式:(2)244321)1(0400000300201000)4213(=⨯⨯⨯-=τ; 解析 由n 1行只有一个非零元素1，先取114=a ，那么第1行和第4列的元素不能再取了，再考虑第2行的元素，第2行只能取222=a ，那么第2行和第2列的元素也不能再取了，对第3行的元素而言，此时只能取331=a ，那么第3行和第1列的元素不能再取了，最后第4行的元素只能取443=a ，那么行列式的结果为244321)1(43312214)4213(=⨯⨯⨯=-a a a a τ;补充练习1. 由行列式的定义写出xxxx x x D 221321213215=的展开式中包含3x 和4x 的项.解 D 的展开式中含4x 的项只有一项4)1234(1025)1(x x x x x =⋅⋅⋅-τ，而含3x 的项有两项(2134)(1)12x x x τ-⋅⋅⋅和(4231)(1)3x x x τ-⋅⋅⋅，从而展开式中含3x 的项为：333)4231()2134(5323)1(21)1(x x x x x x x x x -=--=⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-ττ.行列式的性质1. 利用行列式的性质计算以下行列式：(2) 111111111ab ac ae bdcd de abcdef bf cf ef ------=--------2131111002022r r abcdef r r --+-+--231110224;002r r abcdef abcdef --↔---=--(3) 由于每一行(或列)的和都是等于6，故将第2，3，4行都乘以1加到第一行，再提取公因子6，利用性质5化成三角形行列式即可求值.311166661111111113111311131102006648;11311131113100201113111311130002==== (4)21312341(3)121212121212(1)(1)3011064702391204041204122241100130013r r r r r r r r +----+-+---------+-----4332121212121()(2)02390239510.005200052000130001r r r r --+-+-----=-----2. 证明以下等式：〔2〕0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a ;〔3〕0111111111332313322212312111=+++++++++y x y x y x y x y x y x y x y x y x ; .证明(2) 把行列式中的括号展开，第1列乘以-1加到其它列，化简行列式.22222222222222222222(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)2144690(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)214469a a a a a a a ab b b b b b b bc c c c c c c cd d d d d d d d ++++++++++++==++++++++++++; (3) 由性质4，将D 的第1列拆开，得+++++++=332332223121111111111y x y x y x y x y x y x D 332313322212312111111111y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++++++, 将第1个行列式的第1列乘以-1加到第2、3列，第2个行列式第1列提取1y ，得+=332332223121111y x y x y x y x y x y x D 3323332222312111111111y x y x x y x y x x y x y x x y ++++++，将第1个行列式第2、3列提取32,y y ，将第2个行列式的第2列、第3列分别拆开，最后可得如下行列式，+=33221132111x x x x x x y y D 1113112112131222322222223333333233233111111111111x x x y x x y x x y x y y x x x y x x y x x y x y x x x y x x y x x y x y ⎛⎫⎪+++ ⎪ ⎪⎝⎭000=+=;3. 计算以下n 阶行列式.(1)xx x111111; (2)n222232222222221;解 (1)把第n ,,3,2 列分别乘以1加到第1列，得到第1列的公因子)1(-+n x ，提取公因子之后，再给第1行乘以)1(-加到第n ,,3,2 行，化成上三角形行列式，得到行列式的值.11(1)1111111(1)111[(1)]11(1)111x x n x x n x x x n xx n xx+-+-==+-+-1111010[(1)][(1)](1)01n x x n x n x x --=+-=+---;(2) 把第2行乘以(-1)分别加至其余各行，再把第1行乘以2加至第2行，得122222222232222n=2-000010022220001-n)!2(22-000010022200001--⋅-==n n ; 4. 求方程01111111111111111=++++λλλλ的根.解 第1行乘以)1(-加到第4,3,2行，得如下行列式:111100,0000λλλλλλλ+---再将上述行列式的第2，3，4列乘以1加到第1列，化成上三角形行列式.34111000(4),000000λλλλλλ+=+即可求出根:40-==λλ或.补充练习2. 行列式2333231232221131211=a a a a a a a a a ，求行列式332313231332221222123121112111323232a a a a a a a a a a a a a a a ------的值.解 332313231332221222123121112111323232a a a a a a a a a a a a a a a ------3323132313322212221231211121113332a a a a a a a a a a a a a a a ------= +---=3323231332222212312121112a a a a a a a a a a a a 3323131332221212312111113332a a a a a a a a a a a a ------ +=2323132222122121112a a a a a a a a a 3323133222123121112a a a a a a a a a ---=11121321222331323324a a a a a a a a a -=-.§1.5 行列式按行〔列〕展开1. 求行列式204502311--中元素5与2的代数余子式. 解 元素5的代数余子式为212104(1)4,11A +=-=--元素2的代数余子式为232320(1) 2.31A +-=-=--2. 四阶行列式第3行元素依次为4、3、0、-2，它们的余子式依次为2、1、-1、4，求行列式的值.解 由行列式按行〔列〕展开定理，得3131323233333434313233344(1)23(1)10(1)(1)(2)(1)4830813.D a A a A a A a A ++++=++++=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯-+-⨯-⨯=-++= 3. 求以下行列式的值〔2〕1234101231101205---3141(1)(2)c cc c +-+-1222100031461217-----212221(1)146217+=⨯------2131(1)(1)c c c c +-+-2135239------11352(1)24;39+--=-⨯-=---〔3〕所求行列式为四阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式的展开公式，得231111122(21)(21)(22)(1)(2)[(2)]14418812(1)(2)(2).xx x x x xx x x -=----------=--+4. 讨论当k 为何值时，行列式11001200003003k k k≠. 解1100120003003k k k21(1)c c +-10001120003003k k k-111201(1)0303k k k+-=⨯- 113(1)(1)(1)(3)(3),3k k k k k k+=-⨯-=--+所以，当1k ≠，且3k ≠，且3k ≠-时，11001200003003k k k≠. 5. 计算n 阶行列式 (3)按第1列展开，得112111000012100012002(1)(1),000210012n n D D ++-=-+-上式右端的行列式再按第一行展开，得122,n n n D D D --=-移项，得 112n n n n D D D D ----=-， 递推，得 11223212121,12n n n n n n D D D D D D D D ------=-=-==-=-=从而得112211,1,,1,n n n n D D D D D D ---=+=+=+把上面1n -个等式相加，得1121 1.n D D n n n =+-=+-=+7．设四阶行列式4,a b c d c b da D dbca ab dc =试求14243444A A A A +++的值，其中4i A 〔1,2,3,4i =〕为行列式4D 的第4列第i 行的元素的代数余子式.解 根据行列式按行〔列〕展开定理的推论，有12142224323442440,a A a A a A a A +++=即 1424344414243444()0,bA bA bA bA b A A A A +++=+++=142434440.A A A A +++=§1.6 行列式的应用1. 用克莱姆法那么解线性方程组〔3〕1234123423412321,22,233,5.x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩解：2111121101231110D --=2414(1)(2)r r r r +-+-4101311310121(1)121180,0123123111+-----=--=-≠ 所以方程组有唯一解. 又11111221118,3123511D --==-22111121136,0323151D --==-32111122136,01331150D ==-42111121218,01231115D --==所以方程组的解为1118118D x D -===-， 2236218D x D -===-， 3336218D x D -===-，4418118D x D ===--.2．λ满足什么条件时，线性方程组1231231231,32,31,x x x x x x x x x λλ+-=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩ 有唯一解？解 由克莱姆法那么知，当系数行列式0D ≠，线性方程组有唯一解，1113113D λλ-=--1232(3)r r r r ++-2312012131(1)2(51),38380λλλλλ++-+--=-=-+--当0D ≠时， 2(51)0λ-+≠，即当15λ≠-时，题设的线性方程组有唯一解.3．当k 为何值时，齐次线性方程组12312312320,0,4550,x kx x kx x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 有非零解？解 齐次线性方程组有非零解，那么其系数行列式0D =，2111455kD k -=--12325r r r r ++232102111(1)(1)(54),5405400k k k k k k k k k ++-+--=-=-+++由0D =得：1k =，45k =-. 4．α和β为何值时，齐次线性方程组1231231230,0,20,x x x x x x x x x αββ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 有非零解？解 齐次线性方程组有非零解，那么其系数行列式0D =，1111121D αββ=2131(1)(1)r r r r +-+-131111110(1)(1),1211210ααβαββααβαβ+----=-=-----由0D =得：0β=或1α=.即当0β=或1α=时，方程组有非零解.5．求二次多项式2()f x ax bx c =++，使得(1)2f =-，(1)10f -=，(2)5f =-. 解 由(1)2f =-，(1)10f -=，(2)5f =-，得2,10,42 5.a b c a b c a b c ++=-⎧⎪-+=⎨⎪++=-⎩要求二次多项式需要求出系数,,a b c ，即要求出上述非齐次线性方程组的解. 由其系数行列式11111160,421D =-=≠121110116,521D -=-=-2121110136,451D -==--3112111018,425D -=-=-从而11D a D ==，26Db D==-，33D c D ==.即所求的二次多项式为2()63f x x x =-+.补充练习2．系数1234,,,(1,2,3,4)i i i i a a a a i =满足什么条件时，四个平面12i i a x a y ++340i i a z a +=(1,2,3,4)i =相交于一点〔000,,x y z 〕？解 把平面方程写成如下形式12340i i i i a x a y a z a t +++=，〔1t =，1,2,3,4i =〕，于是由四个平面相交于一点，推知齐次线性方程组111213142122232431323334414243440,0,0,0,a x a y a z a t a x a y a z a t a x a y a z a t a x a y a z a t +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 有一非零解〔000,,,1x y z 〕.根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式0D =，即四个平面相交于一点的条件为111213142122232431323334414243440.a a a a a a a a a a a a a a a a =3．设平面曲线32y ax bx cx d =+++通过点〔1，0〕，〔2，-2〕，〔3，2〕，〔4，18〕，求系数,,,a b c d .解 由平面曲线通过点〔1，0〕，〔2，-2〕，〔3，2〕，〔4，18〕，得0,8422,27932,6416418.a b c d a b c d a b c d a b c d +++=⎧⎪+++=-⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩ 我们可以通过求解上述线性方程组的解来求系数,,,a b c d .111184211227931641641D ==， 又101112421122931181641D -==，2101182213627231641841D -==-，3110184210279216416181D -==， 4111842224,279326416418D -==从而11D a D ==，23D b D==-，30D c D ==，42Dd D ==.第二章 矩阵学习要求1. 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵以及它们的性质；2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律.了解方阵的行列式、方阵的幂与方阵的多项式的性质；3. 理解可逆矩阵的概念和性质，以及理解矩阵可逆的充要条件。
高等代数《行列式》部分习题及解答
高等代数《行列式》部分习题及解答例1：决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）.134782695；2）.217986354；3）.987654321. 答：1）. ()134782695=10τ，134782695是一个偶排列；2）. ()217986354=18τ，217986354是一个偶排列； 3）. ()987654321=36τ，987654321是一个偶排列. 例2：写出把排列12435变成排列25341的那些对换.答：()()()()()()()12154,312435214352543125341−−→−−→−−−→.例3：如果排列121...n n x x x x -的逆序数为k ，排列121...n n x x x x -的逆序数是多少？答：()112n n k --例4：按定义计算行列式： 000100201).0100000n n - 010000202).0001000n n -001002003).1000000n n-答：1）.原行列式()()()()1,1,,2,121!1!n n n n n n τ--=-=-2）.原行列式()11!.n n -=-3）.原行列式()()()1221!n n n --=-.例5：由行列式定义计算()212111321111x x x f x x x-=中4x 与3x 的系数，并说明理由. 答：()f x 的展开式中x 的4次项只有一项；2,x x x x ⋅⋅⋅故4x 的系数为2；x 的3次项也只有一项()()213411,x x x τ-⋅⋅⋅故3x 的系数为-1.例6：由111111=0111，证明：奇偶排列各半.证明：由于12n j j j 为奇排列时()()121n j j j τ- 为-1，而偶排列时为1,.设有k 个奇排列和l 个偶排列，则上述行列式()()()()12121212110.n n nnj j j j j j j j j j j j l k ττ=-+-=-=∑∑ 即奇偶排列各占一半.例7：证明1111111112222222222b cc a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++. 证明：111111111111111111122222222222222222222222.2b cc a a bac aa baa b a cab c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c +++-+++++++=-++=++=+++-++++ 例8：算出行列式：121401211).00210003-；1122).321014-的全部代数余子式. 答：111213142122232431323334414243441).6,0;12,6,0;15,6,3,0;7,0,1, 2.A A A A A A A A A A A A A A A A =-====-=====-=-=====-1112132122233132332).7,12,3;6,4,1;5,5, 5.A A A A A A A A A ==-====-=-== 例9：计算下面的行列式：111121131).12254321-；11112112132).1111321112---；01214201213).135123312121035-- 答：1111111111110115011501151).= 1.011400010012012300120001---------==-=-------原式132).12-3).483-. 例10：计算下列n 级行列式： 0000001).;000000x y x y x yyx1112121222122).n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------122222223).;2232222n1231110004)..02200011n n n n-----答：()()110000000000000001).11.000000000000000n n n n xy xy yx y x xy x y x y x y x yy yxxxy++=+-=+-2）.当1n =时，为11a b -；当2n =时，为()()1212a a b b --；当3n ≥时，为零.()12221000222222223).22!223200102220002n n n -==-⋅--（利用第2行（列）的特点）()()11231110001!4).1.02200211n n nn n n---+=---- （从左起，依次将前一列加到后一列） 例11：用克拉默法则解线性方程组1234123412341234232633325323334x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨--+=⎪⎪-+-=⎩.答：2132333270031123131d --==-≠----，所以可以用克拉默法则求解.又因16132533270;31124131d --==-----22632353270;33123431d ==---32162335270;31323141d --==----42136333570;31133134d --==----所以此线性方程组有唯一解，解为1234 1.x x x x ====例12：求12121212111222,n nnnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a ∑这里12nj j j ∑是对所有n 级排列求和.答：对每个排列12n j j j ，都有：()()121212121111112122221222121.n n nnj j j n j j j j j j nn n nnnj nj nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a τ=- 因为在全部n 级排列中，奇偶排列个数相同，各有!2n 个.所以121212121112220n n nnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a =∑.例13：计算n 级行列式：12222122221212111.nnn n n nnn n nx x x x x x x x x x x x ---答：作范德蒙德行列式：1212222121111111211211111.n n n n n n n n n n nnn nn n x x x x x x x x D x x x x x x x x ++----++=将这个行列式按最后一列展开，展开式中11n n x -+的系数的()11n n++-倍就是所求行列式D ，因为()111,ji i j n D xx ≤<≤+=-∏所以()()()()11111111.nnn nji k ji k k k i j n i j n D xx x xx x ++==≤<≤+≤<≤+=---=-∑∑∏∏。
线性代数习题参考答案
第一章行列式§1 行列式的概念1．填空(1) 排列6427531的逆序数为，该排列为排列。
(2) i= ，j= 时，排列1274i56j9为偶排列。
(3) n阶行列式由项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构成一个n元排列。
若该排列为奇排列，则该项的符号为号；若为偶排列，该项的符号为号。
(4) 在6阶行列式中，含152332445166a a a a a a的项的符号为，含324314516625a a a a a a的项的符号为。
2．用行列式的定义计算下列行列式的值(1)112223323300 0aa aa a解：该行列式的3!项展开式中，有项不为零，它们分别为，所以行列式的值为。
(2)12,121,21,11, 12,100000nn nn n n n n n n n n nnaa aa a aa a a a------解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是，而它的逆序数是，故行列式值为。
3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。
证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。
对于任意奇排列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。
4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2多，则此行列式为0，为什么？5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？（提示：利用3题的结果）6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式（1）201141183---（2）222111ab c a b c§2 行列式的性质1．利用行列式的性质计算系列行列式。
(1) 2141 3121 1232 5062-(2)100 110 011 001abcd ---(3)ab ac ae bd cd de bf cf ef ---2． 证明下列恒等式(1) ()33ax by ay bzaz bx x y z D ay bzaz bx ax by a b yz x az bx ax by ay bzzxy+++=+++=++++ （提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明）(2)()()()()()()()()()()()()22222222222222221231230123123a a a a b b b b cc c cd d d d ++++++=++++++(3)1111221100001000001n n n n n n n x x x a x a x a x a a a a x a ------=++++-+ (提示：从最后一列起，后列的x 倍加到前一列)3． 已知四阶行列式D 的第三行元素分别为：1,0,2,4-；第四行元素的对应的余子式依次是2，10，a ，4，求a 的值。
行列式-习题解答
③因为 a43 , a21 , a35 , a12 , a54是五阶行列式中位于不同 的行与不同的列的五个元素，所以 a43 a21a35 a12 a54 的行与不同的列的五个元素， 是五阶行列式中的一项.且 τ (42315) + τ (31524) = 9 是五阶行列式中的一项. 于是该项带负号. 于是该项带负号. ④因为a12 , a23 , a34 , a45 是五阶行列式中位于不同的行 与不同的列的四个元素. 与不同的列的四个元素.所以a12 a23 a34 a45 不是五阶行列 式的一项. 式的一项. 9.在六阶行列式 D = aij 中，下列各项应取什么符号？ 9.在六阶行列式 下列各项应取什么符号？ ① a15 a23 a32 a44 a51a66 ③ a21a53 a16 a42 a65 a34 ⑤a61a52 a43 a34 a25 a16 ② a11a26 a32 a44 a53 a65 ④ a51a32 a13 a44 a65 a26
−( x − 3) − ( x − 3) = ( x − 2)( x − 3)( x − 6) = 0
所以 x = 2 或 x = 3 或 x = 6
λ −1
3.已知 D = 3.已知
3 −a
−a λ −a 3 =0,求λ λ −1 2 2
解 因为 D = (λ − 1)2 (λ − a ) − 6a − 6a − a 2 (λ − a )
解 ②此行列式刚好只有处在不同的行与不同的列的
n个非零元素 a1( n−1) , a2( n− 2) ,L , a( n−1)1 , ann , 故非零项只
(完整版)第二章行列式习题解答
第二章行列式习题解答1. 决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性：1) 134782695;解•吒13478269为=0 + 4 +0 + 0+ 4 +2 + 0 + 0 = 10 偶排列.2) 217986354;解：吃179 眈54)二1+0 + 4+5+4+3+0+1 = 18 ,偶排列；3) 987654321;解：璋876別艾1) =8 + 7+&+5 + 4+F+2 + 1 = 26 ,偶排歹【」.2. 选择'与上使1)1274巧陆9成偶排列；解：•与上一个为3,另一个为8,而咲1刀43两9) = 2+1+1+1 = 5 是奇排列，由对换的性质因此有H；2 )庇荻4斬成奇排列.解：与七一个为3,另一个为6,而^32564897) = 1 + 2 + 2 = 5是奇排列，因此有心工宀6.3. 写出把排列1羽孑5变成排列25341的那些对换.解：124站卩* )214笳(也)25431 仲)比鈔414. 决定排列巾-—心的逆序数，并讨论它的奇偶性.解：1与其他数构成卫个逆序，2与其他数构成汽_2个逆序，…山-2与其他数构成2个逆序，芒一1与兀构成1个逆序，故巩対住_1)…21)二3_1)十@_2) +…+2+1二^当"毗或"滋+ 1(上为正整数)时，排列为偶排列；当"处+2或n-Ak^3为正整数)时，排列为奇排列.5. 如果排列 w’j 二的逆序数为：，排列厂二的逆序数是多解: 中任意两个数码=：与丁必在而且仅在两个排列°：二'"■或**-1…中之一构成逆序，月个数码中任取两个的不同取法有”2个，因此两个排列的逆序总数为戈，所以排列…F 的陨"1)_总逆序数为Z6.在6级行列式中，心円三j 汽这两项应带有什么符号？严小吟心皿)-(_［严"，因此项计吻恥％带正号.7.写出四级行列式中所有带有负号并且包含因子一心的项.解：因为：匚上-'，因此所求的项为解：1)该行列式含有的非零项只有m/JAi …叫七％1,带的符号为CU 2 ，值为57』，因此原行列式等于(T 」3创.1)0 0 *-0 1・-2III 11 1 1 1« 11 1 1 fe ■ 0 卫一 1 •… 0 0n 0 ■■* 0 0； 2)010... 0 0 0 2 ...0 ...丹-1n Q 0 ...73)0 …0 0 -200 ■ a «•■即i a « i » i i fe■M -1・■- 0 0 0 0・■- 0 0 «_^1+^23^31^42 -8.按定义计算行列式:少？,因此项 旳尹引龟护屏张务厶带正号;-£l 11LJ 23«32a 44?七护34 迎小2）该行列式含有的非零项只有①曲曲心小卅池，带的符号为值为「2，因此原行列式等于df.3）该行列式含有的非零项只有%”宀"叫％，带的符号为（7丄，值为，因此原行列式等于卜1）2创.9. 由行列式定义证明：证明：行列式的一般项为I = = 二，列指标•「S 1只能在1,2,3,4,5中取不同值，故*「】中至少有一个要取3,4,5中之一，而' 厂恥宀从而每一项中至少包含一个零因子，故每一项的值均为零，因此行列式的值为零.10. 由行列式定义计算2A1 21 x 1 -13 2工11 1 1 工中/与/的系数，并说明理由.解：行列式元素中出现兀的次数都是1次的，因此含屏项每一行都要取含齐的,因此含/项仅有%如宀，其系数为2,符号为正，h的系数为2.类似的含尸项仅有知灼金％，其系数为1,符号为负，代的系数为-1 .11. 由1 ・-• 11 1 ■■■ 1.. .=Q■♦V1 1 ・• 1证明：奇偶排列各半证明：行列式每一项的绝对值为 1行列式的值为零，说明带正号项的个数 等于带负号项的个数•由定义，当项的行指标按自然顺序排列时，项的符号由列1）由行列式定义，说明'「是一个卞―〔次多项式;2）由行列式性质，求'的根.解：1在行列式’〔中只有第一行含有T ，出现T 最高次数为次，由为互不相同的数可得其系数不为零，因此'•是一个・】次多项式2）用■，，，r^--分别代*，均出现了两行相同，因此行列式为 0.即宀为—的全部根13.计算下面的行列式： 246 427 327 10W543 443 八-342 721 621小、1) ； 2)3 11112 3 413 112 3 4 1113 13 4 123） 1113；4） 4 12 39指标排列的奇偶性所确定, 奇排列时带负号，偶排列带正号•因此奇偶排列各半1…x"11N-1 …闻円＞）二1s-l…％■ ■ ■!1+ ■ ■« I »■ * II I ■■…a n-l其中•心m.i 为互不相同的数.12.设1+A 1 1 1 (a+2)2(a+3a11-工 1 1 4+1)2 0 +卯@+卯1 11+》 1 W+1尸（亡+卯（心9+1尸（八疔5） 1 11I ； 6）解：1该行列式中每行元素的和为1000的倍数，第2列与第三列相差100，23136)246 427 3271000 427 327 6 71000 100 327 1014 543 4432000 543 44孑 -—2000 100 443 -342721 €211000 721 6211000 100 621327116 二-294x12 2945)显然当二=■'或」时均有两行元素相同，因此行列式为 0.当' 时1H - x 1 11 If1 c 4 - x~\ 'i0 01] -x11七 、厂5〕■-X0 ]c 4 +z 1< i 0 --X0 0 3y11 g 1 P = 123( ) 0 y1 5 -严 :3 00 y11 1i-卅肿y 1-7y Ay -y【口十 3十2尸 ⑺十浙十 1 牝十4 6口十夕(*+D a 辿+2尸 叶卯*22) + 1 4b+4 6b + 9(T尸 (小尸L 32^+14亡+ 4 &+9d 2 3+1尸3 +計 &+卯茲十1 4d +4 阳+9= 10" y工十丁1 yx + y=2(孟+刃 1 Z -F JJ盂xy1 x y1 尹二 2(盂+尹)0 xo —y-y = 2(X +/)[-X :+X X -7)]= ~2(^3 1116 11111111111 13 116 3 11卜13 11 厂宀J 0 2 0 0 113 1J= 2,3,4 6 13 1113 1 i = 2,3,4' 0 0 2 011136 11311130 0 0 22 3 412 3 43 4 113 4 1=104 1 2 14 121 2 3112^ 12 3 41 23<411-30 11-3=10p 2 ・2 -20 0-44|o -1 -1 -10 0 0-41 1 3272 1 4431 1 6211 0 0 1-1 0 y丸+屏处十龙2(x+y)310 1+(710 0 0 = 160i+cc^aa +b2（a 十B 十u ）c+a戊+BA.+勺= 2（d| +坷+5）码+歼证明： 為+勺如+S2(角+务+勺)勺+码+ i + cc+a=2口］+妬 + 匕1 百［+(3］巧十毎十勺勺+包15.算出下列行列式的全部代数余子式:12 140-1211 -1 20 0 2 13 21poos； 2)1 4b+亡 c + txa +ba b e右L +百1 号+% 如4玄 =2 旬玄巧-14.证明： 鸟+勺耳+勺巴十坊也®巾加+1 266 _6 -6-1 2 10 2 10 -1 14i = 0 2 1=-6;血=- 0 2 1 =0 ；J 4O = 0 0 1 =00 0 30 0 30 031 42 1=6;0 -1 24+ =- 00 2 =0 ；4J ! =-0 0解: 1）2 0 0 1 4 2 1 0 31 =-12;爲立=0 n-4B == °； ■41 = 1》4盘=-^3 = —5-^34 = Q 斗］.=乙 &2 = Q' A B = L ；&4 = 741 =2）= 3^ = --1 21 4a +b的+Nb ca 6 c妬C L =2 a Y 如 5%巾宓5%加十1 2 2^+1 22^+1 2 a 十打+疋=2^} +妬+巧 k +如+巾111 11 卩 02 1 1 -*厂©* 0 1 2 2 5 1 0 43 2 1 | |斗 11112 2-5=1.42) 31213 4 1 3171丄1 5 4 6 4 1 2J2110 n 1 — 2 — — 2 — — —2 -3221 -1 | 4-1 0-111|31 17 11 -132 16 10 13 121° 1 2 -1 41 2 -1 41 2 一］4 2 a 1 2 :2 0 1 2 12-6 1 2 1 一 3 5]2 二一 1 3 51 2 二 -16 5 1 2 33 1 2: 1 3 00 00 0 0 0 2 1 n 3521 0 3 52-5 035-1 1 02 0 -5 1 2 0 -90 3-5237 -11 2-9 -3 =一 0 0 -3 =-483.3 555 -12 5= -36 -3 -5511 2n -1 11 12 -123 2 1 0 二 1-1 0 1 21兀21 3 02 0 -1 0 12 3-1 1 32131 10 14 16 18-7-10 3-16 = 114-1918 0 -7-W17.计算下列乜级行列式:J. 221 2 -2-12 2 13 71 10-1 1 2 16-16 = -12 -19 8 180 -1-10 0 12176 133)&心1 22 22 2223» ■ i• II222112 3 -■垃一1溶ClCI-12o …-24)■ ■ ■I■■ 42 2a■»a■ IIw « ■+ I *Ji75)+ 1■I I *4- i I C I +0 …bl*-11- ra解1)按第一列展开得x F 0t)0X... 00 y00 (00)0 龙y000X... 00 X y0 (00)■ I -K■ * I ■ 4 I»■I- 4 I »■I I 4-冥■ 41» II-■11+I ■ 4■ -K I十(-1严》■ * II- fiE ■ I-■ I «I »■ 4■ 40 0 0* ■ ■■X y00… x y仃00 …y0y0 0¥«l>0X10… o工L-i y00y 也可以按定义计算，非零项只有两项及'—…「八值分别为"和厂，符号分别为+和「，因此原行列式1?，T2)解：当阅i时，行列式等于问■対；当"2时当吃二三时，从第二列起，每一列减去第一列得:1)X y I〕 (00)Q y… o00 0c… K yy ri c 0■ ■■原行列式a】—J】-打口1 —血g —^2cjj tij 0勺一外旳-每a2~\幻一还=S1 - 也)01—爲)1也■■■ 耳]乃… G1心一烧 ■■■ X”'j-m …（S 為一=（壬再-i-L■ 4 B * ■■ 4 I« ■ I-■ * II I- 4# I II 3- I]八• 耳-附0 …-W3=（备-觀）（-计工 1_的冷 …G抵 … 召 1 ■ V亏_朋 …兀■ » 1 1 « ■« ■ »—S x iH■ _枕 1 七—枕 …丹H ■ n ■ ■ ■■ ■ ■… 召一翩鬥一懣勺 …码一规d-1从第二列起，每一列都加到第一列然后提取因子得3）解: 1 2 2 …2122 (2)10 0 ... 0 2 2 2 (2)1 00 0122 (2)223 -2 二 10 1 0二—1 0■ ■ ■• ■ V ■■ ■■ 4 ■ » ■ V ■ ■■ » ■ ■ ■'■ ■■ '■■ * ■« ■ » » ■ ■ 2 22 … •吃]…丹一210 0 (2)两行后化为三角形得: 然后交换解: 4）1,2 从第二行起每一行减去第一行, 123•… 用- 1V-423 …73-11 -1 0 ■- 0.5—1 -10 …0 0 0 2 -2・・・0 =2-2…0 …用—11—料« ■ |>0 ■> 1 10 ■ 1 V■> 1 10 … 1 « ■ N-1■ i V1一冷2列起每一列都加到第 然后按第一列展开得到:列, 1 也可以除第 12 -122行外,3 0 -2「行都减去第2行，然后化为三角形计算.崔一 10 05）解：从第» 1二&連2…吐（附一龙―）；j-1康------ （］二 2,3"■，聊 +1）证明：从第2列起，每一列的-倍加到第一列即可得:二 1 用_壬_% 11 (1)11 -1j>l 葩1的 0 ■ 0 01 ■1 巾0 B ■1・・・ 0 二 0 0 禺 ■ ■■ 0 1 0 0・・■|> 0■ 0• ■0 1■-叫 证明：当“°时结论显然成立，当疋八时，第一行的工加到第二行，然后第\_行的工加到第三行，依次类推可得:18. -1 2 0-2耳一 1证明:-1 0■0 X -1甲0…0・・・X ・■-0 0 0a2 ■r0 0 (X)2. 00 ■■--1=F 4-df H _J x a_1+-- +(j 1A + a 0;小+"学…笋+禺）"+%严i w+飾证法二：按最后一列展开即可得.证法三：按第一行展开再结合数学归纳法证明•证法四：从最后一行起，每一行乘以X 加到上一行，然后按第一行展开可得:X0… 0 %A0 0-1 X 0 …hX0 …盘］a -1 X …-1 X 0■ ■ ■ ■ ■二・■ ■* ■1- ■■* * ■« H■ ■ ■ ■■ 1 1 ■ ■■a 0 0 *■'0 0 0 '•*a0 0 …「1Q0 0 …-1兀+J1IJ0 0 … 0 孟"+|2”］乳"1+■■・+(3］工+口0 -1 00 … 0 茂 +务+…的 0 -1 0 … 0 9 —□»—3X ++ …眄H ■ ■ 11 « ■ - *B■ ■ ■■0 D 0 0■■ 9 V ］X0 0 …-10… ■ || -1 ■ b■ ■a 0 0 …0 0 0…叫■ ■ ■>3x 00…0丸 00 -1乳…4H■0 0 0 0 00…T x 十氐」A 0=(—l)w+l(X™ +込_]才】+…+ fif[北+引) -1) 二(-1严*0 + )(-1) "_1 = 十…+硯丸+% 就+ $ afi 0 … 0 0 1 ar+ ap … 0 00 1 口十0… 0 0 ar —Q"■ ■ 1 ■ ■ ■ ■ Hl H ■ ■ ■ in H ■ ■ a- Q ' 0 0 0 … C£-\- jS3) C1 0 0 … 1 少+ fl0 解:原行列式按第一行展开得：'.「+广―-一―’丁，一•因此有 即J是以 ■ 宀-为首项，以二为公比的等比数列.因此有 & _类似有必％二才.当“0时，解得H a-^ . 证法二：按第一行展开找到递推关系，再结合数学归纳法加以证明 1 2cos C& 1 cos a 10 4) 证明：对行列式的级数用第二数学归纳法证明 _ cos a 1 1 2cosa *2 =2 cos 4 一 1 = 2d ，因此结论成立. 假设当级数小于T 时结论成立，对咛级行列式匚按最后一行展开得: D K = 2cos^r - D S _2 = 2 cos a - cos(^-l)a-匕加山 一2)口=2 cosc<>s[(?;- l)dU-iT]=-l)a- sin asinfw- l)dr = cos na由数学归纳法，结论成立• 注意：因为主对角线上第一个元素为 曲口，其它主对角线上元素为 2l:<:;-，本行列式按第一行展开得到的低级数行列式与原行列式形式不同，无 法得到与 *兀 之间的递推关系，而按最后一行可得到递推关系 1 1 -I-心1a 1二甸孔…碍门+卫—)■ i-ia. 证明：从第二行起,再三角化 1 +盘]1 1 …11 + 位1 11 (1)1 1亠①1 …1_口］ 叫 0 … 0 1H 1- 1 1 ]+也… 1 ■#1 ■ ■ = _筍 0 ■ ■ ■ … 0 II '■ i11• # I■ 15一口1 00 ■… 仇行减去第一行先化为爪形行列式, 11+&1+ E 竺 z a 2 0=0+^1 + S —)^3-^ "曲他…耳(1十艾丄)2-1 [7^19.用克拉默法则解下列线性方程组:z! J L j —x、十3兀m 2工4 二b” 3ij 一3叼+ 3x?+ 2工斗二5 , 3x{-x2—x5+ 2X4-3t 予冋_花+3也一筍=4;巧 + 2 貫2 + 3xj —2 珥—6,2& -J?3 - 2也一窃=&3%! + J L5-A S+二4,2町-3工2 +2兀§ +筍=_&扎+ 2心-2屁十4兀-x. = -1,2xj- +3X3一4旺 + 2^ = 8 彳弓站+阳-电+ 2^4一心=3,4x:十3x立+4延十2耳十2心=-2f 兀一两一阿+2A4-弓召=-3,解：1）系数行列式= -29 一1 0 =-70,3 1 -1出二弓24同二3纽£ =64&厶二■艾4£= ・6J&322-1 3 2 F3 2 3-33 2 3-1 20 2 ■40 ~ 03 -1 3 -1 3 -1P-1-32-11-311 2-3 21 -1故方程组的解为:5开i + 6勺=1Xj + 5% 4 陆=0© + 5衍-F6A4=也+ 5X4十&屯=0& +%5 - 1 2.优质文档颅=虫 =L 呵=佥 =2,旳=佥 =-1曲=—--2故方程组的解为：d d d &3）d=2A, 口二込 禺=■弓苑 £ =-迥 £ = 1私 ^ = 312?故方程组的解为：& = 4再= -14內=7耳=7f x_5 = 13.2 -二艰-2D 3）二 9（厶-二 27（2 - 2耳）=243r爲=-1145f ^3 =703^4= -395, & = 212?定的数，用克拉默法则证明：存在唯一数域 卩上的多项式/W =护Z 十应丘月+…+q_i使炖)二虬2 1,2严皿j6 0 06 0 0 01 5 6 05 6 0 0] 1 5 61 5 6 00 1 50 1 5 62二3畑,2><艾二血0 0C i = 1507,5 65证明:设畑二占+占+・十“，由/(%)=鸟得4）51ij 00 65 1 00 0 0 6 5口 - 2D* = 243?D - 3D 二 32,W57 . 1145 229 70379 6劭宀—^65 一 133P*1320.设丄宀…： 是数域』 '中互不相同的数，665中任一组给洛鶯…也是数域两二212& =10 100 =20 4001000 18000 =6x1出1系数行列式- 0 03100-0.05400-0.0890030 9Q01 12A =12xl0\391000 -3 1 1sooo= ltf-5 2 4= -5000,27000-8 3 9^ = 1800, £=70 +勺』丹+…+町龙-+叼皿：=b n.把它看成关于''m ■"' --r：：的线性方程组，其系数行列式为一范德蒙德行列式, 由互不相同可得系数行列式不为0,由克拉默法则，方程组解唯一，即满足…］的多项式唯一.21.设水银密度；与温度厂的关系式为h二口©十厘］t +僅/2 +殍*由实验测定得以下数据:t0n C icru 20" C30" Ch13.6013.5713.5513.52求'_ ' 1 ' 1时水银密度（准确到小数2位）.解：将实验数据代入关系式■■+」得:「％=13.60,術+10^ +100^2 +1000^3 = 13.57,砌 + 20d| + 400码+ 8000^ —13 55a a+ 30<a1+900a2 +27000 碍=13.52整理后得一'以z满足的方程组为:10^+100^+1000^ = -0 03, ；20^jj+400tZj + 8000lOj =—0.05,30^ + 900d2+ 27000^ = -0 08.故陽=1.5x10^,^ 二一3.3x10』2700013.6-4.2x10-^+ 1.5xW"l i;l-3.3xl0V.当心1兀，"1艮阪当“轲c时，"门乖健康文档放心下载放心阅读。
大连理工大学线性代数第二章习题答案
习题2-11. =6.32A 2. 用行列式的定义计算下面的行列式.(1)35;(2)256;(3)8;(4)29.−−思考题 2-21.若对方阵A 进行一次对调变换得到,则B =−A B ；若对方阵A 进行一次倍乘变换（假设第i 行或第i 列乘以数）得到,则k B k =B A ；若对方阵A 进行一次倍加变换得到,则B .=A B2.0.=A3.(1)不正确。
例如，设则 1112111221222122,,a a b b a a b b ⎡⎤⎡==⎢⎥⎢⎣⎦⎣A B ⎤⎥⎦1111121211121211121221212222212222212222a b a b a a b b a b a b a b a a b b a b +++++==+++++A B111211121112111211121112212221222122212221222122a a ab b a b b a b b aa a ab b a b b a b b a =+++=+++A B（2）不正确。
设A 的阶数为，则n (1)n−=−A A （3）不正确。
例如，设，则1200⎡⎤=⎢⎣⎦A ⎥0,=A 但.≠A O 4. ,,1,(),()1i j i i j k k k =−==E E E5. 性质2-2讲的是方阵A 的第行（列）的数与第i 行（列）对应的代数余子式的乘积之和等于i A 的行列式；性质2-7讲的是方阵A 的第i 行（列）的数与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和等于0.习题2-21. 2111231123123det()3,,39,,9,,18.c c a a a a a a a a a a a −=+−=−+=−=−A 2. 131223123233122312312323,2,3,,3,,3,,c c c c c c −+−−++=−===a a a a a a a a a a a a a a a a 63.321123211321212311223,,,,,,,,,,,,,,,n m +=+=−+=−a a a b b a a a b a a a b a a a b a a b a4.证：（1）将第2列和第3列都加到第1列，得0000a b b c c a b c c ab c c a a b c a a b c a a b b ca b b c−−−−−−−−=−−=−−−−−. （2）111111111111111122222222222222223333333333333333a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a ++++++++++=++++++++++++ 1111111111111111122222222222222222333333333333333332a b c c b c c a a b c b c a a b c a b c c b c c a a b c b c a a b c a b c c b c c a a b c b c a a b c ++=+++=+=++ （3）设A 的阶数为，则为奇数.由n n A 是反称矩阵,得T=−A A .两边取行列式，得 ,(1),Tn=−=−=−,A A A A A A 故0.=A 5. 先按行提公因式，在按列提公因式，得2111121211221212222221122n n n n n n n n nn na b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b11112212112222121122n n n nn n n nn a b a b a b a ba b a b b b b a b a b a b =n1112121222222222121212n nnn n n nna a a a a ab b bb b bc a a a ==6．（1）解：先按行提公因式，在按列提公因式，得1111114111ab ac ae bd cd de abcdef abcdef bfcfef −−−=−=−−(2)103100204310043141992003951200510012520301300600130013=−−=−−=提高题2-21.,,,,,,+=++++=+−++A B ξηαββγαγξηαγβγαγ,,,,,,22,,,=+−++=+−+=+ξηαγβγαγξηαγβγγξηαβγ2(,,,,,,)2()6=+=+ξαβγηαβγA B =2.1231231231232323,24,36,3,25=++++++=++++B a a a a a a a a a a a a a a a a 1232331223123,3,,,,,=+++−=−+=−=−a a a a a a a a a a a a a 103.根据性质2-7，得41424344414243441111A A A A A A A A +++=⋅+⋅+⋅+⋅=4.(1).132343(1)(1)52(1)301(1)415D +++=−⋅−+⋅−++⋅−=− (2) 1424449(1)(1)52(1)01(1)40,2a a +++−⋅−+⋅−++⋅−==−.5.（1）对第2行和第4行分别应用性质2-2和性质2-7，得212223242521222324254()3()4,2()()0A A A A A A A A A A ++++=⎧⎨++++=⎩ 解得.2122232A A A ++=−（2）对第2行和第4行分别应用性质2-7，得313233343531323334354()3()0,2()()0A A A A A A A A A A ++++=⎧⎨++++=⎩解得=0.313233A A A ++思考题 2-31.表示第二行先乘以2，再用第二行减去第一行，22r r −12122323112012r r −=.2.对行列式进行对调变换和倍乘变换时，需要在得出的行列式的前面添加负号和系数，对行列式进行初等变换时，关心的是最后的数值；对矩阵进行初等变换时不需要添加负号和系数，对矩阵进行初等变换时，关心的是用何种变换进行化简，最后化成何种形式。
高等代数(王萼芳石生明著)课后答案高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）
第一章多项式习题解答
1、（1）由带余除法，得
（2） ，
2、（1） ，（2）由 得 或 。
3、（1）
（2）q（x）= ，
4、（1）有综合除法：
（2）
（3）
5、（1）x+1（2）1（3）
6、（1）u（x）=-x-1，v（x）=x+2（2） ，
（3）u（x）=-x-1,
7、 或
8、思路：根具定义证明
证：易见d（x）是f（x）与g（x）的公因式。另设 是f（x）与g（x）的任意公因式，下证 。
由于d（x）是f（x）与g（x）的一个组合，这就是说存在多项式s（x）与t（x），使
d（x）=s（x）f（x）+t（x）g（x）。从而 ， ，可得 。即证。
9、证：因为存在多项式u（x），v（x）使（f（x），g（x））=u（x）f（x）+v（x）g（x），所以
（f（x），g（x））h（x）=u（x）f（x）h（x）+v（x）g（x）h（x），上式说明（f（x），g（x））h（x）是f（x）h（x）与g（x）h（x）的一个组合。
另一方面，由 知 。同理可得
从而 是 与 的一个最大公因式，又因为 的首相系数为1，所以 。
第二章 行列式
第二章 行列式习题1.9.134782695.217986354.987654321..(134782695)00000420410, .(217986354)010********, .(987654321)01234567836,τττ=++++++++==++++++++==++++++++=决定以下级排列的逆序数，从而确定它们的奇偶性；；解.偶排列；偶排列；偶排列。
①②③①②③ 2., 1).1274569; 2).12548971).3,83,8 5.8,32).3,6(13i k i k i k i k i k i k ττ=======选择使得：成偶排列成奇排列.解.在排列中缺少；取,所得排列的逆序数为由于交换改变排列的奇偶性，于是取；所得排列为偶排列。
取，2564897)5;=满足条件。
(1,2)(1,5)(4,3)3.1243525341.12435214352543125341.→→→写出排列变成排列的那些对换。
解这种过程不唯一，如：4.(1)(2)21.(1)((1)(2)21)0122124,41.42,43n n n n n n n n n n n k k n k k τ-----=++++-+-==+⎧⎨=++⎩决定排列的逆序数，并讨论它的奇偶性。
解逆序数为：显然有偶排列 奇排列 121121115.,()(1)(2)i n n n n i i i i i n i x x x x x k x x x x x n x x n x x n x n n ---=---=-+-++∑如果排列的逆序数为那么排列的逆序数为多少？解.因为比大的数有个,所以在两个排列中由与比它大的各数构成的逆序数的和为: 于是在两个排列中由构成的逆序数总数为: 121121(1)212,(1).2n n n n n n x x x x k x x x x n n k ---+=--所以当的逆序数为时的逆序数为:233142561465324314516625(431265)012201233142561465(452316)002243243145166256.6,(1)(1)1; (1)(1) 1.a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ττ+++++++++-=-=-=-=在级行列式中这两项应有什么符号？解.的符号为的符号为23123341123324414233142122334417.4,3,,,,1,2,41,2,4,1324;.i j k a a a a a i j k i j k i j k a a a a a a a a a a a a -===---写出级行列式中所有含有负号并且包含因子的项。
高等代数__课后答案__高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+--7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
段正敏主编《线性代数》习题解答
线性代数习题解答1张应应胡佩2013-3-1目录第一章行列式 (1)第二章矩阵 (22)第三章向量组的线性相关性 (50)第四章线性方程组 (69)第五章矩阵的相似对角化 (91)第六章二次型 (114)附录：习题参考答案 (129)1教材：段正敏，颜军，阴文革:《线性代数》，高等教育出版社，2010。
第一章 行列式1．填空题：（1）3421的逆序数为 5 ；解：该排列的逆序数为00235t =+++=. （2）517924的逆序数为 7 ；解：该排列的逆序数为0100337t =+++++=. （3）设有行列式2311187001234564021103152----=D =)(ij a ∆， 含因子543112a a a 的项为 -1440，0 ； 解：(23154)31223314554(1)(1)526831440t a a a a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅=-(24153)41224314553(1)(1)506810t a a a a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅=所以D 含因子543112a a a 的项为-1440和0.（4）若n 阶行列式=-∆==∆=)(,)(ij ij n a D a a D 则()1na-；解：行列式D 中每一行可提出一个公因子1-，()()()1()1nnij ij D a a a ∴=∆-=-∆=-.（5）设328814412211111)(x xx x f --=，则0)(=x f 的根为 1，2，-2 ；解：()f x 是一个Vandermonde 行列式，()(1)(2)(2)(21)(22)(21)0f x x x x ∴=--+-----=的根为1，2，-2.（6）设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式=132213321x x x x x x x x x 0 ； 解：根据条件有332123123123()()()()x px q x x x x x x x x x x x ax x x x ++=---=-+++-比较系数可得：1230x x x ++=，123x x x q =-再根据条件得：311322333x px q x px q x px q⎧=--⎪=--⎨⎪=--⎩原行列式333123123123=3()33()0x x x x x x p x x x q q ++-=-++--⋅-=.（7）设有行列式10132x x x-=0，则x = 1，2 ； 解：2231032(1)(2)001xx x x x x x -=-+=--= 1,2x ∴=.（8）设=)(x f 444342343331242221131211a a a xa a x a a x a a xa a a ，则多项式)(x f 中3x 的系数为 0 ； 解：按第一列展开11112121313141()f x a A a A a A xA =+++，112131,,A A A 中最多只含有2x 项，∴含有3x 的项只可能是41xA()()12134141222433343123413242233132234122433(1)a a x xA x a x a xa a x x a a a a a a x a a a a a a +=-⎡⎤ =-++-++⎣⎦41xA 不含3x 项，∴()f x 中3x 的系数为0.（9）如果330020034564321x =0，则x = 2 ；解：12346543122(512)(63)000265330033xx x =⋅=--= 2x ∴=.（10）00000000000dcb a= -abcd ；解：将行列式按第一行展开：1400000000(1)0000000000a b b a cabcd cdd+=⋅-=-.（11）如果121013c ba =1，则111425333---c b a = 1 ；解：1323323133301302524121111111Tr r AA r r a a b c a b c bc -=+---=.（12）如333231232221131211a a a a a a a a a =2，则333232312322222113121211222222222222a a a a a a a a a a a a ---= -16 ， 332313231332221222123121112111323232a a a a a a a a a a a a a a a ------= -4 ，3212000332313322212312111a a a a a a a a a= -4 ； 解：1112131121312122231231222321233132331323332T a a a a a a A a a a A a a a a a a a a a αααβββ======()()1112121332122222312231223313232331221232222222222222222288016a a a a a a a a a a a a A αααααααααααααα--=-=-- =+-=-=-()1121112131122212223212123121231323132333122311232323232323232a a a a a a a a a a a a a a a ββββββββββββββββββ----=--=---- =-+-- =()1223122123224T A ββββββββββ-=- =-=-11213114122232132333000212423T a a a A a a a a a a + ⋅=-按第一行展开（-1）.（13）设n 阶行列式D =0≠a ，且D 中的每列的元素之和为b ，则行列式D 中的第二行的代数余子式之和为=a b；解：11121111211112121222121212111=n n n n n n nnn n nnn n nna a a a a a a a a a a ab b b ba a a a a a a a a 每行元素加到第二行()212220n b A A A a+++=≠按第二行展开∴212220,0n b A A A ≠+++≠且 21222n a A A A b∴+++=实际上，由上述证明过程可知任意行代数余子式之和12,1,2,,i i in aA A A i n b+++==.（14）如果44434234333224232214131211a a a a a a a a a a a a a =1，则2423121144434234333224232200a a a a a a a a a a a a a = -1 ， 443424433323423222a a a a a a a a a =111a ；解：令222324323334424344a a a B a a a a a a =，则111213142223241111113233341142434401(1)10,000a a a a a a a a B a B a a a a a a a +=⋅-= ⇒ ≠=≠且 2223243233344111114243441112232400(1)10a a a a a a a B a B a a a a a a a +=⋅-=-=-223242233343112434441T a a a a a a B B a a a a ===. （15）设有行列式101321x x -，则元素1-的余子式21M2的代数余子式12A（16）设3214214314324321=D =)(ij a ∆，ij ij a A 表示元素的代数余子式，则=+++44342414432A A A A 0 ；解：方法一：14243444234A A A A +++可看成D 中第一列各元素与第四列对应元素代数余子式乘积之和，故其值为0.方法二：11424344412312342234034134124A A A A +++=推论.（17）设cdb a a cbda dbcd c ba D ==)(ij a ∆，ij ij a A 表示元素的代数余子式，则=+++44342414A A A A 0 ；解：1424344411011a bc c bd A A A A dbc a bd +++=推论4.（18）设6000000000000002000230023402345)(x x x x x x f --=，则5x 的系数为 6 ；解：方法一：54255254320543243200432032000()66(1)(1)6320020000200000000000006x x x x x f x x x x x x x x ⨯--===⋅-⋅-⋅=--方法二：()f x 只有一项非0()()54321615243342516610255543204320032000()1200000000000006(1)(1)66t x x x f x a a a a a a x x x x -∴==-- =-⋅-⋅⋅= 综上所述：5x 的系数为6.（19）设111212122212111211112121222212221212m m m m mm n m n m n n nnn n nma a a a a a a a a Db b bc c c b b b c c c b b b c c c =， 且111212122212m m m m mma a a a a a a a a a =111212122212n n n n nnb b b b b b b b b b =，则D =()1mnab - ；解：方法一：令111212122212m m m m mma a a a a a A a a a a ==，111212122212n n n n nnb b b b b b B b b b b ==则1A O D A B ab CB==⋅=,()()211mnmnO AD A B ab B C==-⋅=-证明：根据行列式性质2和5，将行列式A 变成下三角行列式，得到：11112121222212121212m m m m m mmm m ma a a a a a a a a A a a a a a a a a a a '====''行列式1D 、2D 的变换和行列式A 的变换完全相同，得到：1212121111211112121222212221212m m m m n m n n n nm n n nna a a a a a D c c cb b bc c c b b b c c c b b b '''='''''''''1212122111211112121222212221212m m m n m n m n n nnn n nm a a a a a a D b b b c c c b b b c c c b b b c c c '''='''''''''分别将1D 、2D 第一次按第一行展开（2a 变成第一行），第二次按第二行展开（3a 变成第一行），……，总共进行m 次第一行展开，得到：112m D a a a B A B ab ==⋅=；()()()()()11111121211111n n n mn mnm D a a a B A B ab ++++++=-⋅--⋅=-⋅⋅=-证毕.方法二：设()ij m m A a ⨯=，()pq n n B b ⨯=，()()()ij m n m n A O D d C B +⨯+⎛⎫== ⎪⎝⎭其中：(), 1:,1:, 1:,1:,, , 1:,1:, ij ij pq pja i m j m db i m m n j m m n p i m q j mc i m m n j m p i m ==⎧⎪==++=++=-=-*⎨⎪=++==-⎩那么：()(){}{}1111111,,,,1,,1m m m n m m m n m n t p p p p p mp m p m n p p p m n A OD d d d d C B +++++++=+==-∑()()()()(){}{}{}{}()()()(){}{}{}{}()(){}{}()(){}11111111111111111111,,1,,,,1,,11,,1,,,,1,,11,,1,,,,11111m n m n m m n n m n m m n n m n mm t p p m l m l p mp l nl p p m l l n t p p t l l p mp l nl p p m l l n t pp t l l p mp l nl p p m l l a a b b a a b b a a b b *++=====-⎡⎤=-⋅-⎣⎦⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑由{}1,,n A B ab=⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=⋅=∑1112121222122111211112121222212221212m m m m mmn m n m n n nnn n nma a a a a a a a a Db b bc c c b b b c c c b b b c c c =2D 中m a 依次与12,,,n b b b 对换，使得m a 在n b 下面；()1m a - 依次与12,,,n b b b 对换，使得()1m a - 在n b 下面，在m a 上面；……1a 依次与12,,,n b b b 对换，使得1a 在n b 下面，在a 2 上面；总共进行了mn 次对换。
高等代数第二章课后习题
第二章 行列式
第二章 行列式
第二章 行列式
第二章 行列式
第二章 行列式
x1-m
x2
…
xn
x1
x2-m … xn
3）
.
.
.
.
. .
.
.
.
x1
x2
…
xn-m
第二章 行列式
第 章 行列式
2
1
第二章 行列式
5x1+6x2=1 x1+5x2+6x3=0 4） x2+5x3+6x4=0 x3+5x4+6x5=0
x4+5x5=1
2
第 章 行列式 3
ห้องสมุดไป่ตู้
a a ...a 2
n-1
n-1
n-1 n-1
其中 a1，a2，...，an-1 是互不相同的数. 1) 由行列式定义说明，p(x)是一个 n-1 次多项式;
2)由行列式性质,求 p(x)的根 .
4
1.计算下面的行列式:
第二章 行列式
246 427 327
1)
1014 543 443 ;
-342 721 621
1
第 章 行列式 2
第二章 行列式
6.由行列式定义计算
2x x 1 2
f（x）= 1 3
x 1 -1 2x 1
1 11 x
中 x4 与 x3 的系数，并说明理由.
3
第二章 行列式
证明奇偶排列各半.
8.设
1
P(x)=
1 .
.
.
1
x
x2...xn-1
a1 a12 ...a1n-1 . .. . .. . ..
高等代数作业第二章行列式答案
高等代数作业第二章行列式答案第二章行列式§1—§4一、填空题1．填上适当的数字,使72__43__1为奇排列. 6，52．四阶行列式44?=ija D 中,含24a 且带负号的项为_____. 112433421224314313243241,,a a a a a a a a a a a a3．设.212222111211d a a a a a a a a a nnn n n n =ΛΛΛΛΛΛΛ则._____122122211121=n n nnn na a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ(1)2(1)n n d -- 4．行列式11111111---x 的展开式中, x 的系数是_____. 2 二、判断题1. 若行列式中有两行对应元素互为相反数，则行列式的值为0 （）√2. 设d =nnn n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211则121112222121n n n nn n a a a a a a a a a L L L L L L L =d （）×3. 设d =nnn n n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211则d a a a a a a a a a nnn n n n-=112112122221ΛΛΛΛΛΛΛΛ（）×4.abcd zzz dy y c x b a =000000 ( ) √ 5.abcd dcx b y x a z y x-=000000 （）× 6.0000000=yxh gf e d c b a （）√7. 如果行列式D 的元素都是整数，则D 的值也是整数。
（）√ 8. 如果行列D 的元素都是自然数，则D 的值也是自然数。
（）×9.n na a a a a a ΛN 2121= （）× 10. 0100002000010ΛΛΛΛΛΛΛΛΛnn -=n ！（）× 三、选择题1．行列式01110212=-k k 的充分必要条件是 ( ) D（A ）2=k （B ）2-=k （C ）3=k （D ）2-=k 或 32．方程093142112=x x 根的个数是( )C （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 ( )A（A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a aa （C ）346542165321a a a a a a （D ）513312446526a a a a a a4. n 阶行列式的展开式中，取“–”号的项有（）项 A（A ）2!n （B ）22n （C ）2n （D ）2)1(-n n5．若(145)11243455(1)k l k l a a a a a τ-是五阶行列式的一项，则l k ,的值及该项的符号为( )B （A ）3,2==l k ，符号为正；（B ）3,2==l k ，符号为负；（C ）3,1k l ==，符号为正；（D ）1,3k l ==，符号为负6．如果0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ，则3332312322211312111222222222a a a a a a a a a D = = ( )C（A ）2 M （B ）－2 M （C ）8 M （D ）－8 M 7．如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ，则=1D ( )C（A ）8 （B ）12- （C ）24- （D ）24四、计算题1．计算3214214314324321解：3 2142143143243213 21421431432111110 =123012101 210111110------=4 40004001 210111110---=400004001 210111110---==1602. 计算311113111131 1113. 解：3111131111311113=3111 1311113111116?=2 000020000201 1116?=.48263=?高等代数第五次作业第二章行列式§5—§7一、填空题1. 设ij ij A M ,分别是行列式D 中元素ij a 的余子式,代数余子式,则._____1,1,=+++i i i i A M 02. 122305403-- 中元素3的代数余子式是 .6-3. 设行列式4321630211118751=D ，设j j A M 44,分布是元素j a 4的余子式和代数余子式，则44434241A A A A +++ = ，44434241M M M M +++= .0,66- 4. 若方程组??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解，则k . 2≠5. 含有n 个变量，n 个方程的齐次线性方程组，当系数行列式D 时仅有零解. 0≠ 二、判断题1. 若n 级行列试D 中等于零的元素的个数大于2n n -，则D=0 （）√2.222)(00000000a b b a a b b a ab -= （）√ 3.222)(00000000b a a b b a a b b a -= （）√4.0=d b a c d b c a b d c a b d a c （）√ 5.483111131111311113= （）√ 6.)(000000hx gy a yh fdx g e c b a -= （）× 7.0107310111187654321=--- （）√三、选择题1. 行列式102211321的代数余子式13A 的值是( )D（A ）3 （B ）1- （C ）1 （D ）2- 2．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 ( )D（A ）行列式主对角线上的元素全为零（B ）行列式主对角线上有一个元素为零（C ）行列式零元素的个数多于n 个（D ）行列式非零元素的个数小于n 个3．若111111111111101)(-------=x x f ，则)(x f 中x 的一次项系数是( )D（A ）1 （B ）1- （C ）4 （D ）4-4．4阶行列式4433221100000000a b a b b a b a 的值等于( )D（A ）43214321b b b b a a a a - （B ）))((43432121b b a a bb a a -- （C ）43214321b b b b a a a a + （D ）))((41413232b b a a b b a a -- 5．如果122211211=a a a a ，则方程组 ??=+-=+-0022221211212111b x a x a b x a x a 的解是( )B （A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x =（B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x = （C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x ----=（D ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x -----=6. 三阶行列式第3行的元素为4，3，2对应的余子式分别为2，3，4，那么该行列式的值等于( )B（A ）3 （B ）7 （C ）–3 （D ）-77．如果方程组 ??=--=+=-+050403z y kx z y z ky x 有非零解，则 k =( )C （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）3 四、计算题1. 计算D=10011001101aa aa ---解：方法1：100110011001aa a a ---21r r ?=a aa a 100110001011---21r ar +=aaa a a 1001100100112--+-32r r ?=aaa a a10101100112-+--232(1)r a r ++=aa a a a a 100120011001123-++--=aa a a 11223-++=.13)1()2(2423++=+++a a a a a a 方法2：将行列式按第一行展开，有：1001101101a aa a---=1011011010101a a a aa a-----=1]01111[2++---?a aaa a a=1])1([22++++a a a a a .1324++=a a 2. 计算12125431432321-=n n n D n ΛM M M M ΛΛΛ解：12125431432321-n n n ΛM M M M ΛΛΛ121)1(254)1(143)1(32)1(21212121-++++=n n n n n n n n n n ΛM M M M ΛΛΛ1 21125411431321)1(21-+=n n n n ΛM MM M ΛΛΛ11101111110321)1(21ΛMMM M ΛΛΛn nnn n --+=111111111)1(21ΛM M MΛΛn n n n n ---+=)1()1(0000111)1(121212)1(+-=---+=--n n n n n n n n n ΛM M MΛΛ3. 计算6427811694143211111解：6427811694143211111)34)(24)(23)(14)(13)(12(------=12= 4. 计算=n D 12111111111n a a a +++L L M M M L解：=n D 12111111111na a a +++LL M M MLna a a ΛM M M ΛΛ1101101121++=12111111+111a a ++LLM M ML1211--+=n n n a a a D a Λ).11(1 21∑=+=ni in a a a a Λ 5. 解方程：22x 9132513232x 213211--=0. 解：22x9132513232x 213211--=223310131000103211x x -----=2 23310131000103211)1(x x ----?-=223300130000103211)1(x x ----?-=22400130000103211)1(x x ---?-=223(1)(4)x x ---.2,1±±=∴x五、证明题1．证明:0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a 证明：2．设111,12,11,111211ΛΛM M M Λn n n n n a a a a a a D ---=，求证：n D D D D +++=Λ21，其中k D ()1,2,,k n =L 为将D 中第k 列元素换成121,,,,1n x x x -L 后所得的新行列式。
段正敏主编《线性代数》习题解答教学教材
段正敏主编《线性代数》习题解答线性代数习题解答1张应应胡佩2013-3-1目录第一章行列式 (1)第二章矩阵 (22)第三章向量组的线性相关性 (50)第四章线性方程组 (69)第五章矩阵的相似对角化 (91)第六章二次型 (114)附录：习题参考答案 (129)1教材：段正敏，颜军，阴文革:《线性代数》，高等教育出版社，2010。
第一章 行列式1．填空题：（1）3421的逆序数为 5 ；解：该排列的逆序数为00235t =+++=. （2）517924的逆序数为 7 ；解：该排列的逆序数为0100337t =+++++=. （3）设有行列式2311187001234564021103152----=D =)(ij a ∆， 含因子543112a a a 的项为 -1440，0 ；解：(23154)31223314554(1)(1)526831440t a a a a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅=-(24153)41224314553(1)(1)506810t a a a a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅=所以D 含因子543112a a a 的项为-1440和0.（4）若n 阶行列式=-∆==∆=)(,)(ij ij n a D a a D 则()1na -；解：行列式D 中每一行可提出一个公因子1-，()()()1()1nnij ij D a a a ∴=∆-=-∆=-.（5）设328814412211111)(x xx x f --=，则0)(=x f 的根为 1，2，-2 ；解：()f x 是一个Vandermonde 行列式，()(1)(2)(2)(21)(22)(21)0f x x x x ∴=--+-----=的根为1，2，-2.（6）设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式=132213321x x x x x x x x x 0 ； 解：根据条件有332123123123()()()()x px q x x x x x x x x x x x ax x x x ++=---=-+++-比较系数可得：1230x x x ++=，123x x x q =-再根据条件得：311322333x px q x px q x px q⎧=--⎪=--⎨⎪=--⎩ 原行列式333123123123=3()33()0x x x x x x p x x x q q ++-=-++--⋅-=. （7）设有行列式100132x x x -=0，则x = 1，2 ； 解：2231032(1)(2)001x x x x x x x -=-+=--=1,2x ∴=.（8）设=)(x f 444342343331242221131211a a a xa a x a a x a a xa a a ，则多项式)(x f 中3x 的系数为 0 ； 解：按第一列展开11112121313141()f x a A a A a A xA =+++，112131,,A A A 中最多只含有2x 项，∴含有3x 的项只可能是41xA()()12134141222433343123413242233132234122433(1)a a x xA x a x a xa a x x a a a a a a x a a a a a a +=-⎡⎤ =-++-++⎣⎦41xA 不含3x 项，∴()f x 中3x 的系数为0.（9）如果330020034564321x =0，则x = 2 ；解：12346543122(512)(63)000265330033xx x =⋅=--= 2x ∴=.（10）000000000000dc ba = -abcd ；解：将行列式按第一行展开：1400000000(1)0000000000a b b a cabcd cdd+=⋅-=-. （11）如果121013c b a =1，则111425333---c b a = 1 ；解：1323323133301302524121111111Tr r AA r r a a b c a b c b c -=+---=.（12）如333231232221131211a a a a a a a a a =2，则333232312322222113121211222222222222a a a a a a a a a a a a ---= -16 ， 332313231332221222123121112111323232a a a a a a a a a a a a a a a ------= -4 ，3212000332313322212312111a a a a a a a a a= -4 ； 解：1112131121312122231231222321233132331323332T a a a a a a A a a a A a a a a a a a a a αααβββ======()()1112121332122222312231223313232331221232222222222222222288016a a a a a a a a a a a a A αααααααααααααα--=-=-- =+-=-=-()1121112131122212223212123121231323132333122311232323232323232a a a a a a a a a a a a a a a ββββββββββββββββββ----=--=---- =-+-- =()1223122123224T A ββββββββββ-=- =-=-11213114122232132333000212423T a a a A a a a a a a + ⋅=-按第一行展开（-1）.（13）设n 阶行列式D =0≠a ，且D 中的每列的元素之和为b ，则行列式D 中的第二行的代数余子式之和为=ab；解：11121111211112121222121212111=n n n n n n nnn n nnn n nna a a a a a a a a a a ab b b ba a a a a a a a a 每行元素加到第二行()212220n b A A A a+++=≠按第二行展开∴212220,0n b A A A ≠+++≠且 21222n a A A A b∴+++=实际上，由上述证明过程可知任意行代数余子式之和12,1,2,,i i in aA A A i n b+++==.（14）如果4443423433322423221413121100a a a a a a a a a a a a a =1，则2423121144434234333224232200a a a a a a a a a a a a a = -1 ， 443424433323423222a a a a a a a a a =111a ；解：令222324323334424344a a a B a a a a a a =，则 111213142223241111113233341142434401(1)10,000a a a a a a a a B a B a a a a a a a +=⋅-= ⇒ ≠=≠且 2223243233344111114243441112232400(1)10a a a a a a a B a B a a a a a a a +=⋅-=-=-223242233343112434441T a a a a a a B B a a a a ===. （15）设有行列式1001321x x -，则元素1-的余子式21M =231x ，元素2的代数余子式12A（16）设3214214314324321=D =)(ij a ∆，ij ij a A 表示元素的代数余子式，则=+++44342414432A A A A 0 ；解：方法一：14243444234A A A A +++可看成D 中第一列各元素与第四列对应元素代数余子式乘积之和，故其值为0.方法二：11424344412312342234034134124A A A A +++=推论.（17）设cdb a a cbda dbcd c b a D ==)(ij a ∆，ij ij a A 表示元素的代数余子式，则=+++44342414A A A A 0 ；解：1424344411011a b c c b d A A A A dbc a bd +++=推论4.（18）设600000000000200023002342345)(x x xx x x f --=，则5x 的系数为 6 ； 解：方法一：54255254320543243200432032000()66(1)(1)632002000020000000000006x x x xx f x x x x x x x x ⨯--===⋅-⋅-⋅=--方法二：()f x 只有一项非0()()54321615243342516610255543204320032000()12000000000000006(1)(1)66t x x x f x a a a a a a x x x x -∴==-- =-⋅-⋅⋅=综上所述：5x 的系数为6.（19）设111212122212111211112121222212221212m m m m mm n m n m n n nnn n nma a a a a a a a a Db b bc c c b b b c c c b b b c c c =， 且111212122212m m m m mma a a a a a a a a a =111212122212n n n n nnb b b b b b b b b b =，则D =()1mnab - ；解：方法一：令111212122212m m m m mma a a a a a A a a a a ==，111212122212n n n n nnb b b b b b B b b b b ==则1A O D A B ab CB==⋅=,()()211mnmnO AD A B ab B C==-⋅=-证明：根据行列式性质2和5，将行列式A 变成下三角行列式，得到：11112121222212121212m m m m m mmm m ma a a a a a a a a A a a a a a a a a a a '====''行列式1D 、2D 的变换和行列式A 的变换完全相同，得到：1212121111211112121222212221212m m m m n m n n n nm n n nna a a a a a D c c cb b bc c c b b b c c c b b b '''='''''''''1212122111211112121222212221212m m m n m n m n n nnn n nm a a a a a a D b b b c c c b b b c c c b b b c c c '''='''''''''分别将1D 、2D 第一次按第一行展开（2a 变成第一行），第二次按第二行展开（3a 变成第一行），……，总共进行m 次第一行展开，得到：112m D a a a B A B ab ==⋅=；()()()()()11111121211111n n n mn mnm D a a a B A B ab ++++++=-⋅--⋅=-⋅⋅=-证毕.方法二：设()ij m m A a ⨯=，()pq n n B b ⨯=，()()()ij m n m n A O D d C B +⨯+⎛⎫== ⎪⎝⎭其中：(), 1:,1:, 1:,1:,, , 1:,1:, ij ij pq pja i m j m db i m m n j m m n p i m q j mc i m m n j m p i m ==⎧⎪==++=++=-=-*⎨⎪=++==-⎩那么：()(){}{}1111111,,,,1,,1m m m n m m m n m n t p p p p p mp m p m n p p p m n A OD d d d d C B +++++++=+==-∑()()()()(){}{}{}{}()()()(){}{}{}{}()(){}{}()(){}11111111111111111111,,1,,,,1,,11,,1,,,,1,,11,,1,,,,11111m n m n m m n n m n m m n n m n m m t p p m l m l p mp l nl p p m l l n t p p t l l p mp l nl p p m l l n t p p t l l p mp l nl p p m l l a a b b a a b b a a b b *++=====-⎡⎤=-⋅-⎣⎦⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑由{}1,,n A B ab=⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=⋅=∑1112121222122111211112121222212221212m m m m mmn m n m n n nnn n nma a a a a a a a a Db b bc c c b b b c c c b b b c c c =2D 中m a 依次与12,,,n b b b 对换，使得m a 在n b 下面；()1m a - 依次与12,,,n b b b 对换，使得()1m a - 在n b 下面，在m a 上面；……1a 依次与12,,,n b b b 对换，使得1a 在n b 下面，在a 2 上面；总共进行了mn 次对换。
段正敏主编《线性代数》习题解答(重庆大学版)
线性代数习题解答1应应胡佩2013-3-1目录第一章行列式 (1)第二章矩阵 (22)第三章向量组的线性相关性 (50)第四章线性方程组 (69)第五章矩阵的相似对角化 (91)第六章二次型 (114)附录：习题参考答案 (129)1教材：段正敏，颜军，阴文革:《线性代数》，高等教育出版社，2010。
第一章 行列式1．填空题：（1）3421的逆序数为 5 ；解：该排列的逆序数为00235t =+++=. （2）517924的逆序数为 7 ；解：该排列的逆序数为0100337t =+++++=. （3）设有行列式2311187001234564021103152----=D =)(ij a ∆， 含因子543112a a a 的项为 -1440，0 ； 解：(23154)31223314554(1)(1)526831440t a a a a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅=-(24153)41224314553(1)(1)506810t a a a a a -=-⋅⋅⋅⋅⋅=所以D 含因子543112a a a 的项为-1440和0.（4）若n 阶行列式=-∆==∆=)(,)(ij ij n a D a a D 则()1na-；解：行列式D 中每一行可提出一个公因子1-，()()()1()1nnij ij D a a a ∴=∆-=-∆=-.（5）设328814412211111)(x x xx f --=，则0)(=x f 的根为 1，2，-2 ； 解：()f x 是一个Vandermonde 行列式，()(1)(2)(2)(21)(22)(21)0f x x x x ∴=--+-----=的根为1，2，-2.（6）设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式=132213321x x x x x x x x x 0 ； 解：根据条件有332123123123()()()()x px q x x x x x x x x x x x ax x x x ++=---=-+++-比较系数可得：1230x x x ++=，123x x x q =-再根据条件得：311322333x px q x px q x px q⎧=--⎪=--⎨⎪=--⎩原行列式333123123123=3()33()0x x x x x x p x x x q q ++-=-++--⋅-=.（7）设有行列式100132x x x -=0，则x = 1，2 ；解：2231032(1)(2)001xx x x x x x -=-+=--= 1,2x ∴=.（8）设=)(x f 444342343331242221131211a a a xa a x a a x a a x a a a ，则多项式)(x f 中3x 的系数为 0 ；解：按第一列展开11112121313141()f x a A a A a A xA =+++，112131,,A A A 中最多只含有2x 项，∴含有3x 的项只可能是41xA()()12134141222433343123413242233132234122433(1)a a x xA x a x a xa a x x a a a a a a x a a a a a a +=-⎡⎤ =-++-++⎣⎦41xA 不含3x 项，∴()f x 中3x 的系数为0.（9）如果330020034564321x =0，则x = 2 ；解：12346543122(512)(63)000265330033xx x =⋅=--= 2x ∴=.（10）00000000000dc b a= -abcd ； 解：将行列式按第一行展开：1400000000(1)0000000000ab b ac abcd c dd+=⋅-=-. （11）如果121013c ba =1，则111425333---c b a = 1 ；解：1323323133301302524121111111Tr r AA r r a a b c a b c bc -=+---=.（12）如333231232221131211a a a a a a a a a =2，则333232312322222113121211222222222222a a a a a a a a a a a a ---= -16 ， 332313231332221222123121112111323232a a a a a a a a a a a a a a a ------= -4 ，3212000332313322212312111a a a a a a a a a = -4 ；解：1112131121312122231231222321233132331323332T a a a a a a A a a a A a a a a a a a a a αααβββ======()()1112121332122222312231223313232331221232222222222222222288016a a a a a a a a a a a a A αααααααααααααα--=-=-- =+-=-=-()1121112131122212223212123121231323132333122311232323232323232a a a a a a a a a a a a a a a ββββββββββββββββββ----=--=---- =-+-- =()1223122123224T A ββββββββββ-=- =-=-11213114122232132333000212423T a a a A a a a a a a + ⋅=-按第一行展开（-1）.（13）设n 阶行列式D =0≠a ，且D 中的每列的元素之和为b ，则行列式D 中的第二行的代数余子式之和为=a b；解：11121111211112121222121212111=n n n n n n nnn n nnn n nna a a a a a a a a a a ab bb ba a a a a a a a a 每行元素加到第二行()212220n b A A A a+++=≠按第二行展开∴212220,0n b A A A ≠+++≠且 21222n a A A A b∴+++=实际上，由上述证明过程可知任意行代数余子式之和12,1,2,,i i in aA A A i n b+++==.（14）如果44434234333224232214131211000a a a a a a a a a a a a a =1，则24231211444342343332242322000a a a a a a a a a a a a a = -1 ，443424433323423222a a a a a a a a a =111a ；解：令222324323334424344a a a B a a a a a a =，则111213142223241111113233341142434401(1)10,000a a a a a a a a B a B a a a a a a a +=⋅-= ⇒ ≠=≠且 222324323334411111424344111223240(1)10a a a a a a a B a B a a a a a a a +=⋅-=-=- 223242233343112434441T a a a a a a B B a a a a ===. （15）设有行列式1001321x x -，则元素1-的余子式21M2的代数余子式12A =()1210101+- - ；（16）设3214214314324321=D =)(ij a ∆，ij ij a A 表示元素的代数余子式，则=+++44342414432A A A A 0 ；解：方法一：14243444234A A A A +++可看成D 中第一列各元素与第四列对应元素代数余子式乘积之和，故其值为0.方法二：11424344412312342234034134124A A A A +++=推论.（17）设cdb a a cb d ad b c dc ba D ==)(ij a ∆，ij ij a A 表示元素的代数余子式，则 =+++44342414A A A A 0 ；解：1424344411011a bc c bd A A A A d b c a b d +++=推论4.（18）设6000000000000002000230023402345)(x x x x x x f --=，则5x 的系数为 6 ；解：方法一：5425525432543243200432032000()66(1)(1)6320020000200000000006x x x x x f x x x x x x x x⨯--===⋅-⋅-⋅=--方法二：()f x 只有一项非0()()54321615243342516610255543204320032000()12000000000006(1)(1)66t x x x f x a a a a a a x x x x -∴==-- =-⋅-⋅⋅=综上所述：5x 的系数为6.（19）设111212122212111211112121222212221212m mm m mm n m n m n n nnn n nma a a a a a a a a Db b bc c c b b b c c c b b b c c c =， 且111212122212m m m m mma a a a a a a a a a =111212122212n n n n nnb b b b b b b b b b =，则D =()1mnab - ；解：方法一：令111212122212m m m m mma a a a a a A a a a a ==，111212122212n n n n nnb b b b b b B b b b b ==则1A O D A B ab CB==⋅=,()()211mnmnO AD A B ab B C==-⋅=-证明：根据行列式性质2和5，将行列式A 变成下三角行列式，得到：11112121222212121212m m m m m mmm m ma a a a a a a a a A a a a a a a a a a a '====''行列式1D 、2D 的变换和行列式A 的变换完全相同，得到：1212121111211112121222212221212m m m m n m n n n nm n n nna a a a a a D c c cb b bc c c b b b c c c b b b '''='''''''''1212122111211112121222212221212m m m n m n m n n nnn n nm a a a a a a D b b b c c c b b b c c c b b b c c c '''='''''''''分别将1D 、2D 第一次按第一行展开（2a 变成第一行），第二次按第二行展开（3a 变成第一行），……，总共进行m 次第一行展开，得到：112m D a a a B A B ab ==⋅=；()()()()()11111121211111n n n mn mnm D a a a B A B ab ++++++=-⋅--⋅=-⋅⋅=-证毕.方法二：设()ij m m A a ⨯=，()pq n n B b ⨯=，()()()ij m n m n A O D d C B +⨯+⎛⎫== ⎪⎝⎭其中：(), 1:,1:, 1:,1:,, , 1:,1:, ij ij pq pja i m j m db i m m n j m m n p i m q j mc i m m n j m p i m ==⎧⎪==++=++=-=-*⎨⎪=++==-⎩那么：()(){}{}1111111,,,,1,,1m m m n m m m n m n t p p p p p mp m p m n p p p m n A OD d d d d C B +++++++=+==-∑()()()()(){}{}{}{}()()()(){}{}{}{}()(){}{}()(){}11111111111111111111,,1,,,,1,,11,,1,,,,1,,11,,1,,,,11111m n m n m m n n m n m m n n m n mm t p p m l m l p mp l nl p p m l l n t p p t l l p mp l nl p p m l l n t pp t l l p mp l nl p p m l l a a b b a a b b a a b b *++=====-⎡⎤=-⋅-⎣⎦⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑由{}1,,n A B ab=⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=⋅=∑1112121222122111211112121222212221212m m m m mmn m n m n n nnn n nma a a a a a a a a Db b bc c c b b b c c c b b b c c c =2D 中m a 依次与12,,,n b b b 对换，使得m a 在n b 下面；()1m a - 依次与12,,,n b b b 对换，使得()1m a - 在n b 下面，在m a 上面；……1a 依次与12,,,n b b b 对换，使得1a 在n b 下面，在a 2 上面；总共进行了mn 次对换。
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第二章行列式习题解答
1.决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性：
1）134782695；
解：，偶排列；
2）217986354；
解：，偶排列；
3）987654321；
解：，偶排列.
2.选择与使
1）成偶排列；
解：与一个为3，另一个为8，而是奇排列，由对换的性质因此有；
2）成奇排列.
解：与一个为3，另一个为6，而是奇排列，因此有.
3.写出把排列变成排列的那些对换.
解：
4.决定排列的逆序数，并讨论它的奇偶性.
解：1与其他数构成个逆序，2与其他数构成个逆序,与其他数构成2个逆序，与构成1个逆序，故
.
当或（为正整数）时，排列为偶排列；当或（为正整数）时，排列为奇排列.
5.如果排列的逆序数为，排列的逆序数是多少？
解：中任意两个数码与必在而且仅在两个排列或中之一构成逆序，个数码中任取两个的不同取法有
个，因此两个排列的逆序总数为，所以排列的逆序数为.
6.在6级行列式中，这两项应带有什么符号？
解：，因此项带正号；
，因此项带正号.
7.写出四级行列式中所有带有负号并且包含因子的项.
解：因为，因此所求的项为
.
8.按定义计算行列式：
1）； 2）；
3）.
解：1）该行列式含有的非零项只有，带的符号为，值为，因此原行列式等于.
2）该行列式含有的非零项只有，带的符号为，值为，因此原行列式等于.
3）该行列式含有的非零项只有，带的符号为
，值为，因此原行列式等于.
9.由行列式定义证明：
.
证明：行列式的一般项为，列指标只能在1,2,3,4,5中取不同值，故中至少有一个要取3,4,5中之一，而
从而每一项中至少包含一个零因子，故每一项的值均为零，因此行列式的值为零.
10.由行列式定义计算
中与的系数，并说明理由.
解：行列式元素中出现的次数都是1次的，因此含项每一行都要取含的,因此含项仅有，其系数为2，符号为正，的系数为2.类似的含项仅有，其系数为1，符号为负，的系数为.
11.由
，
证明：奇偶排列各半.
证明：行列式每一项的绝对值为1，行列式的值为零，说明带正号项的个数等于带负号项的个数.由定义，当项的行指标按自然顺序排列时，项的符号由列指标排列的奇偶性所确定，奇排列时带负号，偶排列带正号.因此奇偶排列各半.
12.设
，其中为互不相同的数.
1）由行列式定义，说明是一个次多项式；
2）由行列式性质，求的根.
解：1）在行列式中只有第一行含有，出现最高次数为次，由为互不相同的数可得其系数不为零，因此是一个次多项式；
2）用分别代，均出现了两行相同，因此行列式为0.即为的全部根.
13.计算下面的行列式：
1）； 2）；
3）； 4）；
5）； 6）.
解：1）该行列式中每行元素的和为1000的倍数，第2列与第三列相差100，因此可以先把第2列和第3列分别加到第1列，然后第2列减去第3列后可得
.
.
3）
4）
.
5）显然当或时均有两行元素相同，因此行列式为0.当时
6）
.
14.证明：
证明：
15.算出下列行列式的全部代数余子式：
1)； 2）.
解：1）
. 2）
16.计算下面的行列式
1）
17.计算下列级行列式：
1）； 2）
3）；
4）； 5）.
解 1）按第一列展开得
也可以按定义计算，非零项只有两项及值分别为和，符号分别为和，因此原行列式=
2）解：当时，行列式等于；当时
原行列式；当时，从第二列起，每一列减去第一列得：
原行列式=
3）解：从第二列起，每一列都加到第一列然后提取因子得
4）解：从第二行起每一行减去第一行，然后交换1,2两行后化为三角形得：
.
也可以除第2行外，每一行都减去第2行，然后化为三角形计算.
5)
解：从第2列起每一列都加到第1列，然后按第一列展开得到：
.
18.证明：
1）
证明：从第2列起，每一列的倍加到第一列即可得：
2.
证明：当时结论显然成立，当时，第一行的加到第二行，然后第二行的加到第三行，依次类推可得：
证法二：按最后一列展开即可得.
证法三：按第一行展开再结合数学归纳法证明.
证法四：从最后一行起，每一行乘以加到上一行，然后按第一行展开可得：
3）
解:原行列式按第一行展开得:.因此有
,
即是以为首项,以为公比的等比数列.因此有
.
类似有.当时,解得.
证法二：按第一行展开找到递推关系，再结合数学归纳法加以证明.
4）
证明：对行列式的级数用第二数学归纳法证明.
当时，，因此结论成立.
假设当级数小于时结论成立，对级行列式按最后一行展开得：
由数学归纳法，结论成立.
注意：因为主对角线上第一个元素为，其它主对角线上元素为，本行列式按第一行展开得到的低级数行列式与原行列式形式不同，无法得到与之间的递推关系，而按最后一行可得到递推关系.
5）
证明：从第二行起，每一行减去第一行先化为爪形行列式，再三角化
19.用克拉默法则解下列线性方程组：
1）2）
3）4）
解：1）系数行列式
故方程组的解为：
2.
故方程组的解为：
3）
故方程组的解为：
4）
,
20.设是数域中互不相同的数，是数域中任一组给定的数，用克拉默法则证明：存在唯一数域上的多项式
使
证明：设，由得：
把它看成关于的线性方程组，其系数行列式为一范德蒙德行列式，由互不相同可得系数行列式不为0，由克拉默法则，方程组解唯一，即满足的多项式唯一.
21.设水银密度与温度的关系式为
由实验测定得以下数据：
h 13.60 13.57 13.55 13.52
求时水银密度（准确到小数2位）.
解：将实验数据代入关系式得：
整理后得满足的方程组为：
系数行列式
.
故
当，当时，。