用裂项相消法求解数列和的应用举例
裂项相消法求和
裂项相消法求和常见的拆项公式有： ○1()11111+-=+n n n n○2()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=++2111121211n n n n n n n○3()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-1211212112121n n n n○4()ba ba b a --=+11○5()!!1!n n n n -+=⋅○6mn m n m n C C C -=+-11○7()21≥-=-n S S a n n n ○8()()112+<<-n n n n n ，()()111112-<<+∴n n n n n ， 即nn n n n 11111112--<<+- 例1、已知数列{}n a 的各项如下：1，211+，3211++，…………，n++++ 3211。
求它的前n 项和n S 。
解析：()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=++++=1112122113211n n n n n n n a n所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++=111413131212112321n n a a a a S n n121112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n 例2、已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和n S ，且123=S ,63=a 。
○1求数列{}n a 的通项公式；○2求证：11111321<++++nS S S S 解析：○1n a d a d a d a S a n 22212336212611133=⇒⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧==⇒=+=+⇒==○2()()()11111112222642+-=+=⇒+=+=++++=n n n n S n n n n n S n n所以1111111413131212111111321<+-=+-++-+-+-=++++n n n S S S S n 例3、数列{}n a 的通项公式是12-=nn a ，如果数列{}n b 是12++=n n nn a a b ，试求{}n b 的前n项和n S 。
裂项相消法在数列求和中的应用
c1 c2
cn =(1+
1 d
） (
1 b1
1 b2
)
(1 b2
1 b3
)
(1 bn2
1 )( 1
bn1
bn1
1 bn
）
(1+ 1 ） ( 1 1 ） (1+ 1 ） (1 1 ）
d b1 bn
d
bn
b1 1 0, d 0,bn 0
c1 c2
cn
(1+
1 ） (1 d
1 bn
1 16
二：裂项相消法与不等式的证明
（二）先放缩再求和
例6：已知an
n2
n (n 1)2
, 求证：a1
a2
an
1 2
总结：
1.三种常见裂项相消的通项特征
（一）等差型（一次函数）
（二）等比型
an
(2n
b)
1 (2n1
b)
=
1 2n
1
1
( 2 n b 2n1 b)
（三）无理式型
an
1
n
n 1 (
=
1 2
(11
1) 3
(
1 2
1 4
)
(1 3
1) 5
( 1 n 1
1) n 1
(1 n
n
1
2 )
=
1 2
1+
1 2
n
1 1
n
1
2
3 4
1 2
(
1 n
1
n
1
) 2
( 1 1) n2 n
裂项相消法在数列求和中 的应用
数列求和中常见的裂项法
数列求和中常见的裂项法裂项法的实质是将数列中的每一项（通项）分解，然后再重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此规律拆成两项之差，在求和时一些正负相消，适用是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，高考中常见以下几种类型。
典例1.(2017课标全国Ⅱ,15,5分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑k=1n1S k= .解析：设公差为d,则{a 1+2d =3,4a 1+6d =10,∴{a 1=1,d =1,∴a n =n.∴前n 项和S n =1+2+…+n=n (n+1)2,∴1S n=2n (n+1)=2(1n -1n+1),∴∑k=1n1S k=21-12+12-13+…+1n -1n+1=2(1-1n+1)=2·n n+1=2nn+1.典例2、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列{1a n a n+1}的前100项和为 (A)100101 (B) 99101(C) 99100 (D) 101100 解析：由a 5=5，S 5=15可知a 1=d =1,a n =n,1a n a n+1=1n(n+1)=1n -1n+1T 100=1−12+12−13+⋯1100−1101=100101故选A典例3、已知n k n a n++1，求{n a }的前10项和？解析：因为n n nn a n-+=++111，所以S 10=110910.........342312-=--+-+-典例4：已知数列{a n }为等差数列,其中a 2+a 3=8,a 5=3a 2. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)记b n =2an b n ,设{b n }的前n 项和为S n .求使得S n >20162017 的最小正整数n .解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ,依题意有 {2a 1+3d =8a 1+4d =3a 1+3d解得a 1=1,d =2,从而{a n }的通项公式为a n =2n -1,n ∈N *. (2)因为b n =2an b n=12n−1−12n+1所以S n =(1-13)+(13−15)+……+(12n−1−12n+1) =1-12n+1 , 令1-12n+1>20162017 ,解得n >1 008,故取n =1 009.类型⑤)n 1x x)ln(1(ln )1ln()1ln()11ln(=+-+=+=+令通常情况下出现n n n n n典例6、求∑k=1ln(nn+1n)=？解析:∑k=1n ln (n+1n)=ln2−ln1+ln3−ln2……+ln (n +1)−ln =ln(n +1)类型⑥k k k k n n n n n+-+=++++112121)2)(2(2 典例7、数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =2a n -a 1,且a 1,a 2+1,a 3成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设11++=n n n n S S a b ,求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)由已知S n =2a n -a 1,有S n -1=2a n -1-a 1(n ≥2),则有a n =2a n -1(n ≥2),即数列{a n }是以2为公比的等比数列,又a 1,a 2+1,a 3成等差数列,即a 1+a 3=2(a 2+1),∴a 1+4a 1=2(2a 1+1),解得a 1=2,故a n =2n . (2)由(1)知S n =2n +1-2,22121221221.......221221221221)221221.......()221221()221221(221221)22)(22(2221433221433221211--=---+---+---=---+---+---=---=--=++++++++++n n n n n n n n n n n n T b n n nn 2121-+=+典例8.设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是等差数列. 已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+.（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）设数列{}n S 的前n 项和为()n T n *∈N ，（i ）求n T ； （ii ）证明221()22()(1)(2)2n nk k k k T b b n k k n +*+=+=-∈+++∑N . 解析：（I ）设等比数列{}n a 的公比为q.由1321,2,a a a ==+可得220q q --=.因为0q >，可得2q =，故12n n a -=.设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d +=由5462a b b =+，可得131316,b d += 从而11,1,b d == 故.n b n =所以，数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n =（II ）（i ）解：由（I ），有122112nn n S -==--，故 1112(12)(21)22212n nnkkn n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑.（ii ）证明：因为11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++⋅===-++++++++，所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212n n n nk k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-++-=-+++++∑. 既证。
例析裂项相消法在解答数列求和问题中的应用
解题宝典数列求和问题是高中数学中的常见问题.此类问题题型灵活，解法众多，有错位相减法、分组求和法、裂项相消法、公式法等.本文重点谈一谈裂项相消法.裂项相消法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.一般情况下，可将数列的通项裂成两个式子的代数和，即a n =f (n +1)-f (n )，然后通过累加抵消掉中间的许多项，从而求得数列的和.几种常见的裂项方式有：下面举例说明.例1.已知各项均为正数的数列a n 的前n 项和为S n ，且a 2n =4S n -2a n +3,n ∈N *.（1）求数列{}a n 的通项公式；（2）设b n =1a n ∙a n +1，设数列{}b n 的前n 项和为T n ，求T n .解：（1）a n =3+2(n -1)=2n +1.（过程略）(2)b n =1a n ∙a n +1=1(2n +1)(2n +3)=12(12n +1-12n +3)，所以T n =b 1+b 2+⋯+b n =12[(13-15)+(15-17)+⋯+(12n +1-12n +3)]=12(13-12n +3)=n 6n +9.一般地，若数列{}a n 为等差数列，则裂项的方式为1a n a n +1=1d ∙(1a n -1a n +1),1a n a n +2=12d ∙(1a n -1a n +2).例2.已知S n 是公差不为零的等差数列{}a n 的前n 项和，S 3=6,a 3是a 1与a 9的等比中项.（1）求数列{}a n 的通项公式；（2）设b n =(-1)n 4a n 4n 2-1,设数列{}b n 的前2n 项和为T 2n ，若|T 2n +1|<12020,求正整数n 的最小值.解：（1）a n =n .（过程略）（2）b n =(-1)n 4n 4n 2-1=(-1)n (12n -1+12n +1),所以T n =b 1+b 2+⋯+b n=-1-13+13+15-15-17+⋯-12n -3-12n -1+12n -1+12n +1=-1+12n +1，所以|T 2n +1|=14n +1<12020,解得n >20194,所以正整数n 的最小值为505.一般地，若数列{}a n 为等差数列，则裂项的方式为(-1)na n +a n +1a n a n +1=(-1)n ∙(1a n -1a n +1).例3.记数列{}a n 的前n 项和为S n ，且2n ,a n ,2S n -a n 成等差数列.（1）证明：数列{}a n +1是等比数列，并求{}a n 的通项公式；（2）若b n =a n +1a n ∙a n +1,设数列{}b n 的前n 项和为T n ，求T n .解：（1）a n =3n-1.（过程略）（2）b n =3n(3n -1)∙(3n +1-1)=12(13n -1-13n +1-1),所以T n =b 1+b 2+⋯+b n=12[(13-1-132-1)+(132-1-133-1)+⋯+(13n -1-13n +1-1)=12(13-1-13n +1-1)=14-12(3n +1-1).由于(a -1)a n =a n +1-a n ,所以这里采用的裂项方式为(a -1)a n(a n +b )(a n +1+b )=1a n +b -1a n +1+b.由上述分析可以发现，运用裂项相消法求和的关键在于将通项公式合理进行裂项.而在求和的过程中，需要把握裂项的原则和规律：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.在消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.42Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
例析数列求和的裂项相消法
例析数列求和的裂项相消法多数数学问题中都要求求出一个数列的某一个总和，这种推导过程通常是重复加法，涉及到大量的运算时间和工作量，特别是当数列项数很大时，传统的累加法就会遇到非常大的困难。
裂项相消法便是为了解决这一问题而出现的。
它是将正负型数列按照规律因式分解，以减少运算量，从而达到较快求和的目的。
将数列分解为正、负两种类型，正数加上负数可以使其和为0，也就是把问题转化为查找不同正、负数的有效组合。
求和公式：S=a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7+...现在引入另一种折叠方法裂项相消法，它是一种数学方法，将一个正数与一个负数相加，让这两个数的和等于0，可以使用更简便的直接求和方法，使时间和空间复杂度更低，从而提高效率。
该方法的实现可以从两个角度进行:1.正数与负数相邻对消，此时正数和负数的组合要满足：两两之和等于0。
2.正数、负数以不等长度分组，此时组内的和相加的和需要等于0。
以上两种方法实现时，关键在于分组和求和的方式，解决方案有很多种，以下将介绍其中一种实现方式。
假设有一个数列S={S1,S2,S3,S4,…,Sn}，其中n为未知数，需要求和。
可以用裂项相消法将这个数列分解成三步：步骤1：先把数列分组，每一组包括两个数：第一个数是数列中正数的和，第二个数是数列中负数的和。
步骤2:每一组数的和缩小为单个数，因为每一组的和的计算，我们可以等价的将每一组的两个数相加，把它们减小到一个数，这个数就是最后的求和结果。
步骤3：最后再将每一个单个数相加，就得到了最终的求和结果。
以上就是裂项相消法的具体操作过程，它主要用于求和数列中正负数的组合，以更快的时间求出该数列的总和。
因此，裂项相消法是一种简便有效的求和方法。
不过，引入裂项相消法也有其局限性，因为它比累加法要慢，而且它只适用于数列的求和，并不能应用于其它的数学问题，而且在求和过程中，如果不正确求出最终的结果，就会影响最终的结果。
总之，裂项相消法是一种较为简单灵活的求和方法，可以在计算算式上带动效率，减少时间和空间复杂度。
数列求和裂项相消法例题
数列求和裂项相消法例题【原创实用版】目录1.引言：裂项相消法求和2.例题 1：奇数项和偶数项的等差数列求和3.例题 2：绝对值不等的正负数列求和4.例题 3：具有规律的数列求和5.总结：裂项相消法的应用和注意事项正文一、引言：裂项相消法求和数列求和是数学中的一个重要知识点，它应用于各种实际问题中，如求解等差数列、等比数列的和等。
在求和过程中，裂项相消法是一种常用的方法，它可以有效地简化计算过程。
下面我们通过几个例题来介绍裂项相消法求和。
二、例题 1：奇数项和偶数项的等差数列求和假设有一个等差数列，其中奇数项和偶数项的公差分别为 a 和-b （a,b 均为正数），现在需要求解该数列的前 n 项和。
解法：我们可以将奇数项和偶数项分别求和，然后用总和减去偶数项的和，得到奇数项的和。
具体计算如下：设奇数项和为 S1，偶数项和为 S2，则S1 = a + a + 2 + a + 4 +...+ a + (2k-1)S2 = b + b + 2 + b + 4 +...+ b + (2k-1)将 S1 和 S2 相加，得到：S1 + S2 = (a + b) + (a + b + 2) + (a + b + 4) +...+ (a + b + 2k-2)观察发现，S1 + S2 中的每一项都等于 a + b，因此：S1 + S2 = (a + b) * k所以奇数项和 S1 = (a + b) * k - S2通过裂项相消法，我们成功地将等差数列求和问题简化为求解两个等差数列的和，从而降低了计算难度。
三、例题 2：绝对值不等的正负数列求和现在考虑一个由正数和负数构成的数列，其中正数的绝对值和负数的绝对值不相等，求该数列的前 n 项和。
解法：我们可以将数列中的正数和负数分别提取出来，然后分别求和。
具体计算如下：设正数和为 S1，负数和为 S2，则S1 = a1 + a2 + a3 +...+ anS2 = -b1 - b2 - b3 -...- bn其中，ai 和 bi 分别为数列中的正数和负数，a1, a2, a3,..., an 和b1, b2, b3,..., bn 分别为它们的绝对值。
裂项相消法数列求和例题
裂项相消法数列求和例题
裂项相消法（Telescoping Series）是一种在数列求和中常用的技巧。
它适用于一些特定的数列，能够简化数列求和的过程。
下面我将通过一个例题来说明裂项相消法的应用。
考虑以下数列，\[1 \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \frac{1}{4} + \ldots + (-
1)^{n+1}\frac{1}{n}.\]
我们可以观察到每两项之间的部分可以相消，留下一个简化后的表达式。
具体来说，我们可以将相邻的两项相加，然后相减，这样中间的部分就会相消掉，只留下首尾两项的和。
这个过程可以写成如下形式：
\[S_n = \left(1 \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{n-1} \frac{1}{n}\right) +
\left(\frac{1}{n} \frac{1}{n+1}\right).\]
观察上式，中间部分的项都相消了，只剩下了首项1和尾项\(-
1/n\)。
因此，数列的部分和可以简化为\[S_n = 1
\frac{1}{n+1}.\]
这个例子展示了裂项相消法在数列求和中的应用。
通过巧妙地调整数列中各项的组合方式，我们可以简化数列求和的过程，得到一个更加简洁的表达式。
希望这个例题能够帮助你理解裂项相消法的应用。
如果你还有其他关于数列求和或者裂项相消法的问题，欢迎继续提问。
数列求和裂项相消法
数列求和裂项相消法数列求和裂项相消法是一种利用数列中相邻项之差的特殊性质，通过对数列元素进行分解和化简，最终得到数列的和的公式的方法。
具体步骤如下：1. 找出数列中相邻项的差，通过将相邻项进行相减，得到一个新的数列。
2. 对新数列进行合并。
如果新数列中对应的项之间存在相消的情况，可以将它们合并为一个式子。
3. 将合并后的式子进行分解，找出一些特定的公式或规律。
4. 将分解后的公式和规律代入到原数列的求和公式中，得到数列的和的公式。
下面以一个简单的例子来说明这种方法：例子：求数列1+3+5+7+9+...+99的和。
分析：这个数列中相邻项的差为2，所以我们可以将它分解为：1 + (3-2) + (5-2*2) + (7-3*2) + (9-4*2) + ... + (99-49*2)在对每一项进行合并时，可以发现有些项之间存在相消的情况，比如：3-2和2*1可以相消；7-3*2和2*2可以相消；11-4*2和2*3可以相消；... ...因此，我们可以将这些相消的项合并起来，得到下面的式子：1 + 2(1-2) + 2(2-3) + 2(3-4) + ... + 2(49-50)接下来，我们可以将每一项进行拆分，得到如下的式子：1 + 2(-1) + 2(-1) + 2(-1) + ... + 2(-1)或者简写为：1 -2 + 2 - 2 + 2 - ... + 2 - 2这是一个等差数列，公差为-2，首项为1，共有50项。
因此，它的和可以通过等差数列求和公式来计算：S = (a1 + an) * n / 2其中，a1是首项，an是最后一项，n是项数。
将这些值代入到求和公式中，得到：S = (1 - 99) * 50 / 2 = -2450因此，数列1+3+5+7+9+...+99的和为-2450。
总之，数列求和裂项相消法是一种快速求解数列和的方法，尤其适用于一些具有相邻项之差规律的数列。
数列裂项相消法例子
数列裂项相消法数列裂项相消法是一种常用的数学技巧，用于求解一些复杂的数列求和问题。
以下是几个例子，说明该方法的应用。
例1：已知等差数列{an}，其中a1=1，d=2，求前n项和Sn。
解：首先，我们可以将等差数列的通项公式表示为an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1。
然后，我们可以将前n项和表示为Sn=a1+a2+...+an。
接下来，我们使用裂项相消法，将相邻两项相加，得到：Sn=(1+3)+(3+5)+...+[(2n-3)+(2n-1)]=2+4+ (2)=n(n+1)例2：已知等比数列{an}，其中a1=1，q=2，求前n项和Sn。
解：首先，我们可以将等比数列的通项公式表示为an=a1*q^(n-1)=2^(n-1)。
然后，我们可以将前n项和表示为Sn=a1+a2+...+an。
接下来，我们使用裂项相消法，将相邻两项相减，得到：Sn=(1-2)+(2-4)+...+[2^(n-2)-2^(n-1)]+2^(n-1)=-1-1-...-1+2^(n-1)=-(n-1)+2^(n-1)=(2^n)-1-(n-1)=(2^n)-n例3：已知数列{an}，其中an=n^2，求前n项和Sn。
解：首先，我们可以将数列的通项公式表示为an=n^2。
然后，我们可以将前n项和表示为Sn=a1+a2+...+an。
接下来，我们使用裂项相消法，将相邻两项相减，得到：Sn=(1^2-0^2)+(2^2-1^2)+...+[n^2-(n-1)^2]=1+3+5+...+(2n-1)=n^2通过以上例子可以看出，裂项相消法是一种非常实用的数学技巧，可以用于求解各种复杂的数列求和问题。
需要注意的是，在使用该方法时，需要根据具体的数列类型和题目要求来选择合适的裂项方式。
裂项相消法求数列前n项和(学生)
裂项相消法求数列前n 项和1设数列a n 的前n 项和S n =3n +12-32，数列b n 满足b n =1n +1 log 3a n ．(1)求数列a n 和b n 的通项公式；(2)若数列b n 的前n 项和T n ，c n =a n1-T n，求数列c n 的前n 项和R n ．2在公差不为零的等差数列a n 中，a 1=2且a 1，a 3，a 11成等比数列．(1)求通项公式a n ；(2)令b n =1a 2n +a n -2，求数列b n 的前n 项和S n ；3已知等差数列a n 前n 项和为S n ,a 3=5,S 6-S 3=27，数列b n 前n 项积为T n =3n n +12.(1)求a n ,b n 的通项公式；(2)设c n =a n bn n 2+n，求数列c n 的前n 项和Q n .4已知数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =n 2+2n .(1)求证：数列a n 是等差数列；(2)设b n =1a n a n +1，求数列b n 的前n 项和.5设a n 是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，b n 为等比数列，公比大于1．已知a 1=1，b 1=4，b 2+S 2=11，b 3+S 3=22．(1)求a n 和b n 的通项公式；(2)设c n =-1 n 3a n +1-1a n a n +1b n，求c n 的前2n 项和；(3)设d n =a n b n ，求证：1d 2-d 1+1d 3-d 2+1d 4-d 3+⋯+1d n +1-d n<14．6已知数列a n 的前n 项和为S n ，且满足a 1=12，a n +S n -1S n=0(n ≥2).(1)求数列a n 的通项公式；(2)求数列(2n +1)a 2n 的前n 项和.7已知在等差数列a n 中，a 1+a 5=18,a 6=15.(1)求a n 的通项公式；(2)求数列1a n -1a n的前n 项和S n .8记S n为数列a n的前n项和，已知a1=1，2S n na n是公差为2的等差数列．(1)求a n的通项公式；(2)证明：ni=1[(i+1)a i a i+1]<1．9记S n为数列a n的前n项和，已知2S n=na n，且a2=1．(1)求证：数列a n是等差数列，并求a n的通项公式；(2)从下列三个条件中选一个填在横线上，并完成下列问题．若，求数列b n的前n项和T n．①b n=a n⋅2n；②b n=(-1)n a n+2n；③b n=2(n+2)a n+1．10设S n为数列a n的前n项和，a n>0，a2n+2a n+1=4S n.(1)求数列a n的通项公式；(2)求数列-1n4na n a n+1的前n项和Tn.11已知数列a n 中，a 1=1，a n +1=(n +1)a nn +2a n，数列b n 的前n 项和为B n ，2B n +3=b n +1，b 1=3．(1)求证：数列n a n为等差数列，并求a n ，b n 的通项公式；(2)若c n =4a n an +1nb n，且数列c n 的前n 项和为T n ，求T n ．12从①a n +1 2=a 2n -1+4a n +2a n -1+1n ≥2 ,a n >0，②na n +1=n +1 a n +1，③前n 项和S n 满足nS n +1S n +n=n +1中任选一个，补充在下面的横线上，再解答.已知数列a n 的首项a 1=1，且.(1)求a n 的通项公式；(2)若b n =2a n a n +1，求数列b n 的前n 项和T n .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.13已知在等差数列a n 中，a 1+a 5=7,a 6=132.(1)求a n 的通项公式；(2)求数列1a n a n +1的前n 项和S n .14记S n为数列a n的前n项和．(1)从下面三个条件中选一个，证明：数列a n是等差数列；①S n=n a n+12n∈N*；②数列S nn是等差数列；③数列2a n是等比数列．(2)若数列a n为等差数列，且a1=1，a3=5，求数列nn+2S n的前n项和T n．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．15设数列a n前n项和S n满足S n+a n=n-1n2+n，n∈N*．(1)证明：数列S n-1n+1为等比数列；(2)记1b n =1n+1-S n，求数列b nb n-1b n+1-1的前n项和Tn．16设正项数列a n的前n项和为S n，已知a3=5，且a2n+1=4S n+4n+1.(1)求a n的通项公式；(2)若b n=(-1)n⋅2na n a n+1，求数列b n的前n项和T n.17已知S n 为数列a n 的前n 项和，a 1=1，且na n -S n =n 2-n ,n ∈N *．(1)求数列a n 的通项公式；(2)若b n =2a n2a n-1 2an +1-1，求数列b n 的前n 项和T n ．18记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 3=5,S 9=81，数列{b n }满足a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3.(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n =b n ,n 为奇数1a n an +2,n 为偶数，n 为偶数，求{c n }前2n 项和T 2n .19已知数列a n ,b n 满足b n =a n +n 2,a 1+b 1=3,a 2+b 2=8，且数列a n 是等差数列.(1)求数列b n 的通项公式；(2)记数列1b n的前n 项和为S n ，求证：12≤S n <1.20已知数列a n 是公差为d d ≠0 的等差数列，且满足a 1=1,a n +1=xa n +2.(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =(-1)n ⋅4na n a n +1，求数列b n 的前10项和S 10.21已知数列a n 、b n ，满足a 1=100，a n +1=a 2n ，b n =lg a n .(1)求数列b n 的通项公式；(2)若c n =log 2b n +log 2b n +1+⋯+log 2b 2n ，求数列1c n的前n 项和S n .22已知数列a n 满足a 1=3，2a n +1-a n a n +1=1．(1)记b n =1a n -1求数列b n 的通项公式；(2)求数列1b n b n +1 的前n 项和．23已知正数数列a n ，a 1=1，且满足a 2n -n -1 a n a n -1-na 2n -1=0n ≥2 ．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =n -1a n，求数列b n 的前n 项和S n ．24在①c n =a n +1-a n 2n，②c n =1a n +1这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：已知数列a n 为递增数列且满足a 2n +1-2a n +1a n +a 2n =4n 2，a 1=0且，求数列c n 的前n 项和S n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．25进行独立重复试验，设每次成功的概率为p 0<p <1 ，则失败的概率为1-p ，将试验进行到恰好出现r 次成功时结束试验，以X 表示试验次数，则称X 服从以r ，p 为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为X ∼NB r ,p ．(1)若X ∼NB 3,13 ，求P X =5 ；(2)若X ∼NB 2,12 ，n ∈N *，n ≥2．①求ni =2 P X =i ；②要使得在n 次内结束试验的概率不小于34，求n 的最小值．26已知递增等比数列a n 的前n 项和为S n ，S 6S 3=9，b n =a n a n -1 a n +1-1，且b 1=23．(1)求a n 的通项公式；(2)求数列b n 的前n 项和T n ．27已知数列a n 满足：a 1=12，3a n +1a n =1+a n +11+a n.(1)求证：1a n +1是等比数列，并求出数列a n 的通项公式；(2)设b n =3n ⋅a n a n +1，求数列b n 的前n 项和S n .28已知数列a n ，a 1=2，且满足a n +1+2a n =2n +2，n ∈N *．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =nk =1a 2k -a k ，求数列a nb n前n 项的和S n ．29①数列a n 中，已知a 1=12，对任意的p ，q ∈N *都有a p +q =a p +a q ，令b n =1a n a n +1. ②函数f x 对任意x ∈R 有f x +f 1-x =1，数列a n 满足a n =f 0 +f 1n +f 2n +⋯+f n -1n+f 1 ，令b n =1a n -12 a n +1-12 .在①、②中选取一个作为条件，求解如下问题.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)(1)数列a n 是等差数列吗？请给予证明.(2)求数列b n 的前n 项和T n .30已知数列a n 为等差数列，a 5=6，a 11=12；b n 为等比数列，其前n 项和S n =2n +1-2.(1)求a n ，b n 的通项公式；(2)c n =1a n ⋅log 2b n，求c n 的前n 项和T n .31已知数列a n 中，a 1=1，a n =a n +12n ，n ∈N *．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =log 2a 2n +3n ，数列1b n的前n 项和S n ，求证：S n <34．32设数列a n 的前n 项和为S n ，已知a 1=1，且数列3-2S n a n 是公比为13的等比数列．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =3n a n +1-1 a n +2-1，数列b n 的前n 项和为T n ，证明：T n <14．33已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，且1，a 2，a 5成等比数列，S 5=a 13.(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =1a n a n +1，求数列b n 的前n 项和T n .34已知数列a n 中，a 1=13，a n +1=a n 2-a n．(1)记b n =1a n -1，证明：数列b n 为等比数列；(2)求数列a n 的通项公式；(3)记c n =2n a n a n +1，求数列c n 的前n 项和S n ．35已知正项数列a n 满足:a n a n +1-a n +1-3a n +4=0,且2a 22-3a 2-5=0.(1)证明数列1a n -2 是等差数列;(2)若b n =a n 2n 2+3n +1,求数列b n 的前n 项和.36设正项数列a n 的前n 项和为S n ，已知a 2n +a n =2S n n ∈N * ．(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =a n +1a n+a n a n +1，求数列b n 的前n 项和．37公比为q 的等比数列a n 满足a 1+a 5=17,a 4+a 8=136.(1)求a n 的通项公式；(2)若b n =log 2a n ，记b n 的前n 项和为T n ，求1T 2+1T 3+⋯+1T n +1.38已知数列a n 是公差为2的等差数列，其前3项的和为12，b n 是公比大于0的等比数列，b 1=3，b 3-b 2=18.(1)求数列a n 和b n 的通项公式；(2)若数列c n 满足c n =4a n a n +1+b n ，求c n 的前n 项和T n .39已知数列a n 的前n 项和为S n ，且满足a 1=2，S n +1=2S n +2．(1)求数列a n 的通项公式．(2)记b n =na n n +1 n +2，求数列b n 的前n 项和T n ．40将正奇数数列1，3，5，7，9⋯的各项按照上小下大、左小右大的原则写成如图的三角形数表．(1)设数表中每行的最后一个数依次构成数列a n ，求数列a n 的通项公式；(2)设b n =2n 1-n a n +1，求数列b n 的前n 项和T n ．。
裂项相消法的八种应用示例
裂项相消法的八种应用示例1.求解方程裂项相消法是一个常用的数学技巧，可以用于求解一些复杂的方程。
例如，对于以下方程：\[ \frac{2x}{x^2-1} + \frac{3}{x+1} = \frac{5}{x-1} \]我们可以使用裂项相消法将方程化简为：\[ 2x(x+1) + 3(x-1) = 5(x^2-1) \]从而得到一个简单的一元二次方程进行求解。
2.约简分数裂项相消法可以用于约简分数。
例如，对于以下分数：\[ \frac{a^2 + ab}{a} \]我们可以使用裂项相消法将分子进行因式分解：\[ \frac{a(a+b)}{a} \]从而得到一个等效的分数：\[ a+b \]3.求解极限裂项相消法也可以用于求解极限。
例如，对于以下极限：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 3x + 2}{2x^2 + x} \]我们可以使用裂项相消法将分子和分母同时除以 \(x\)，得到：\[ \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{2 + \frac{1}{x}} \]这样，我们可以把无穷大的 \(x\) 约去，得到极限的解。
4.展开因式裂项相消法可以用于展开因式。
例如，对于以下式子：\[ (x+1)(x+2) \]我们可以使用裂项相消法将其展开为：\[ x(x+2) + 1(x+2) \]从而简化了因式的展开过程。
5.化简根式裂项相消法可以用于化简根式。
例如，对于以下根式：\[ \sqrt{a + \frac{b}{\sqrt{c}}} \]我们可以使用裂项相消法，将分子进行因式分解，然后分子分别除以根号下的分母，从而得到一个简化后的根式。
6.求解三角函数等式裂项相消法可以用于求解三角函数等式。
例如，对于以下等式：\[ \sin(x) \cos(x) + \cos^2(x) \sin(x) = 0 \]我们可以使用裂项相消法，将分子进行因式分解，然后约去相同的项，从而得到一个更简单的三角函数等式。
裂项相消法求和
裂项相消法求和裂项相消法是一种求和的方法，它通过将一系列相邻或相对数之间的差值相消，得到最终的和。
这种方法在高中数学中常常被用到，可以简化复杂的求和过程，使得计算更加简便和高效。
裂项相消法的基本思想是利用数列中的对称性，找出相邻项之间的差值，并通过相消的方式将它们消去。
这样一来，原来复杂的数列求和问题就变得相对简单起来。
举个例子来说明裂项相消法的使用。
假设我们要求和的数列是1-2+3-4+5-6+...+99-100。
一般情况下，我们可以使用等差数列求和公式来计算，但这里我们尝试使用裂项相消法来解决。
我们可以观察到数列中的对称性。
每两个相邻的数之间的差值都是1，所以我们可以分别将这些差值相加，即(1-2)+(3-4)+(5-6)+...+(99-100)。
接下来，我们可以发现每一对差值之和都是-1。
所以这个数列的和就等于差值的个数乘以-1，即有50个差值，所以和为50*(-1)=-50。
通过这个简单的例子，我们可以看出裂项相消法的优势。
它可以将原本复杂的数列求和问题转化为一系列简单的差值相加，从而得到最终的和。
而且，这种方法通常比直接使用求和公式更容易理解和计算。
除了对称性外，裂项相消法还可以利用数列中的其他特点来简化求和过程。
比如，如果数列中存在重复的项，我们可以将它们相加后再相消。
又或者，如果数列中存在周期性的规律，我们可以根据规律性质来简化求和。
这些都是裂项相消法的应用技巧，可以根据具体情况进行灵活运用。
裂项相消法是一种简化数列求和问题的方法。
它通过利用数列中的对称性和其他特点，将原本复杂的求和过程转化为简单的差值相加，从而得到最终的和。
在解决一些特定的数列求和问题时，裂项相消法可以帮助我们更加高效地计算，提高求解的准确性和速度。
所以，在数学学习中，掌握和运用裂项相消法是非常重要的。
数列裂项相消典型例题
一个典型的数列裂项相消的例题如下：
例题：考虑数列{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...}，其中每一项等于前两项的和。
给定一个正整数N，计算数列的前N项之和。
解题思路：
这个数列是著名的斐波那契数列，它的定义是F(1) = 1，F(2) = 1，F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n >= 3）。
我们可以使用裂项相消的方法来解决这个问题。
首先，我们可以设S为数列的前N项和。
那么S的表达式可以写为：
S = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + ... + F(N-1) + F(N)
然后，我们观察数列中每一项与它前一项的关系，即F(n) = F(n-1) + F(n-2)。
根据这个关系，我们可以发现S的表达式中的一些项可以相互抵消，通过相消的方式简化求解过程。
具体来说，我们可以将S的表达式中的项分为两组，一组是从F(1)到F(N-2)的项，另一组是F(N-1)和F(N)。
对于第一组，我们可以看到F(n)等于它的前两项之和，所以这些项可以两两抵消。
因此，我们可以得到：
S = F(N-1) + F(N)
对于第二组，我们可以看到F(N)等于F(N-1)和F(N-2)的和，所以这两项仍然保留在S中。
综合上述分析，我们可以得到以下简化后的表达式：
S = F(N) + F(N-1)
因此，这个问题的答案就是数列中第N项和第N-1项的和，即F(N) + F(N-1)。
我们可以通过计算斐波那契数列的第N项和第N-1项的值，然后求和来得到最终的答案。
希望这个解题思路能够帮助到你解决数列裂项相消的典型例题！。
经典研材料裂项相消法求和大全
经典研材料裂项相消法求和大全一、引言在研究材料的裂项性质时，求和是一个非常常见的操作。
而裂项相消法是一种常用的技巧，可以简化裂项求和的过程，并得到一个更加简洁的结果。
本篇文章将介绍一些经典的研材料裂项相消法求和的例子，希望可以帮助读者更好地理解和应用这一技巧。
二、裂项相消法求和的基本思路裂项相消法的基本思路是通过巧妙地加减项，使得一些项的系数相消，从而得到一个更简单的求和结果。
下面将介绍一些常用的裂项相消法。
三、具体示例1.例题一求和S=1-2+3-4+5-6+...+(-1)^n*n的值。
解：我们可以观察到这个求和式的两项之间有一定的规律。
可以发现，每两个相邻的项都是一正一负，并且绝对值递增。
因此，我们可以尝试将这两项相加进行简化。
S=(1-2)+(3-4)+(5-6)+...+[(-1)^(n-1)*n+(-1)^n*(n+1)]通过配对相加的方式，可以得到：S=-1+(-1)+(-1)+...+(-1)=-n因此，求和S的值为-n。
2.例题二求和S=1*2+2*3+3*4+...+(n-1)*n的值。
解：我们可以观察到这个求和式的每一项都是两个因数的乘积，并且这两个因数的差值为1、因此，我们可以尝试将这两项相减进行简化。
S=(1*2)+(2*3)+(3*4)+...+[(n-1)*n]通过配对相减的方式，可以得到：S=(2-1)+(3-2)+(4-3)+...+(n-(n-1))S=1+1+1+...+1=n-1因此，求和S的值为n-13.例题三求和S=1+3+6+10+15+...+n(n+1)/2的值。
解：我们可以观察到这个求和式的每一项都是一个等差数列的前n项和，而这个等差数列的公差为1、因此，我们可以尝试构造一个等差数列来进行简化。
S=1+3+6+10+15+...+n(n+1)/2将每一项用等差数列的前n项和来表示：S=(1+2+3+4+...+n)+(2+3+4+5+...+n)+(3+4+5+6+...+n)+...+(n(n+1)/2)可以观察到，每一项的相邻两项有很多项是相同的，只有前k项相同，后面的一些项就不同了。
经典研材料裂项相消法求和大全
经典研材料裂项相消法求和大全本文介绍了一些数学求和中常用的裂项相消法。
其中包括了一些基本类型，例如形如xxxxxxx的(－)型，以及形如an＝(－)型的2n－12n＋1/((2n－1)(2n＋1))等。
此外，还介绍了一些利用正切公式、对数运算性质以及排列数或组合数的性质进行裂项的方法。
这些方法可以帮助我们更有效地解决数学求和问题。
值得注意的是，有些试题可以构造成logM－logN的形式进行裂项，而有些则可以利用排列数或组合数的性质来解决。
在实际运用中，我们需要根据题目的具体情况选择合适的裂项方法。
总之，裂项相消法是数学求和中常用的一种方法，掌握了这种方法可以帮助我们更快速地解决数学问题。
分析直接利用公式$n\cdot n!=(n+1)!-n!$可得结果为$(n+1)!-1$。
求和：$S_n=C_2+C_3+\cdots+C_n$。
有$C_k=C_{k+1}-C_k$，从而$S_n=C_2+C_{n+1}-C_3=C_{n+1}$。
裂项相消法求和再研究一项拆成两项，消掉中间所有项，剩下首尾对称项。
一、多项式数列求和。
1）用裂项相消法求等差数列前$n$项和。
即形如$a_n=an+b$的数列求前$n$项和。
此类型可设$a_n=(An+Bn)-[A(n-1)+B(n-1)]=an+b$，左边化简对应系数相等求出$A,B$。
则$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]=\frac{n}{2}[2(An+B)+n-1]=n(An+B)-\frac{n(n-1)}{2}d$。
例1：已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2n-1$，求它的前$n$项和$S_n$。
解：令$a_n=(An+Bn)-[A(n-1)^2+B(n-1)]$，则有$a_n=2An+B-A=2n-1$。
解得$A=1,B=0$，则$a_n=n$，$S_n=1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$。
裂项相消法在数列求和中的妙用
解： 不设 。 一（ ３ 一１ ） ×４ 一［ （ ＋１ ）
＋ ］Ｘ ４ ” ＋ ｌ 一（ ＋ ） ×４ 一 （ ３ Ａ ＋ ４ ＋ ３ ）
×４ 一 。
侧
Ｓ 。
解 ： 设
求数列 ｎ 一ｎ ×２ 的前 ｎ项和
１ ） ｚ 一２ （ ｎ一 １ ） ４ － ３ ］．２ 。
ｓ 一 ［ 告 × ４ 。 一 （ 一 詈 ） × ４ ］＋ 所 以 Ｓ ｎ ￣ ａ ｌ ＋ 。 ｚ ＋ ｎ ｓ ＋ … ＋ ｎ 一 ｃ ６ ｚ 一 ［ 扣ｓ 一 ÷ ］ ＋７ 一 ］ ＋ … ｂ ～ ， ） － Ｆ ） － Ｆ 一 （ ｂ ， － ｂ ａ ） － Ｆ ． ． ～ ． － Ｆ （ ｂ ． １
分析 ： 要 想用 裂 项 相 消法 求 数 列 ｛ 口 ） 的 前 ”项 和 Ｓ ， 首 先应 把 ｎ 一 （ ３ 一 １ ）× ４ 分
ｑ 一 。 令愚 ｑ 一 一 口 １ ， 得忌 一 与ａ
所 以等 比数列 ｛ 口ｎ ） 的前 项 和 ：
Ｓ 一 （ ｋ ｑ－ － ｋ） ＋（ ｋ ｑ －ｋ ｑ ） ＋（ ｋ ｑ 。 一ｋ ｑ 。 ） ＋… ＋（ ｋ ｑ 一 ｋ ｑ ）
ａ 一 （ Ａｎ ＋ Ｂｎ ４ －Ｃ ） ・ ２ 一
较系 数
４ Ａ Ｉ
— １．
“一 一一 一 。 １
２
一Ｌ ＾ 竹
Ｂ＋ Ｄ Ｉ Ａ） ＋ 。 ｆ ｃ＋ Ｉ Ｄ ＾］ Ｊ． 。
解 之 得
比 较 系 数 可 得 Ａ 一 ２， Ｂ＋ ２ Ａ 一 。， ｃ＋ Ｂ
裔二数学
２ ０ １ ７年 ｌ １月
裂Ｉ 页 相消 法在 数列 求和【 ｌ 】 响 她 用
高中数学复习_数列求和_裂项相消法
裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
1、 特别是对于⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n n a a c ，其中{}n a 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即利用1+n n a a c =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+111n n a a d c ，其中()n n a a d -=+1 2、 常见拆项：111)1(1+-=+n n n n )121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n !)!1(!n n n n -+=⋅)!1(1!1)!1(+-=+n n n n 例1 求数列1{}(1)n n +的前n 和n S ．例2 求数列1{}(2)n n +的前n 和n S ．例3 求数列1{}(1)(2)n n n ++的前n 和n S ．例4 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.例5：求数列311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S例6、 求和)12)(12()2(534312222+-++⋅+⋅=n n n S n一、累加法1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则 21321(1)(2)()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
数列求和裂项相消法例题
数列求和裂项相消法例题摘要：1.引言：裂项相消法求和2.裂项相消法的基本原理3.裂项相消法在数列求和中的应用4.裂项相消法求和的例题解析5.结论：裂项相消法的优点和局限性正文：一、引言：裂项相消法求和数列求和是数学中一个重要的研究领域，它是指将一个数列按照一定规则进行求和。
在数列求和中，裂项相消法是一种常用的求和方法，它通过将数列中的项进行裂项处理，再利用相消法进行求和，从而简化求和过程。
本文将介绍裂项相消法的基本原理，以及它在数列求和中的应用。
二、裂项相消法的基本原理裂项相消法的基本原理是将数列中的项进行裂项处理，使得相邻的项可以相互抵消，从而简化求和过程。
具体来说，对于一个数列a1, a2, a3,..., an，我们可以将其拆分为两个数列，如：a1 + a2 + a3 +...+ an= (a1 + a2) + (a2 + a3) + (a3 + a4) +...+ (an-1 + an)在这个过程中，我们可以发现，每个括号内的两项之和等于下一项，即：a1 + a2 = a2 + a3a2 + a3 = a3 + a4...an-1 + an = an + a1通过这样的裂项处理，我们可以将原数列中的项相互抵消，从而得到一个新的数列，其求和过程更加简单。
三、裂项相消法在数列求和中的应用裂项相消法在数列求和中的应用非常广泛，它可以用于各种类型的数列求和。
下面我们通过一个具体的例题，来看一下裂项相消法在数列求和中的应用。
例题：求和数列1, 2, 4, 7, 11,...这个数列的通项公式为：an = (n - 1) * n，其中n 表示项的位置。
我们可以使用裂项相消法来求解这个数列的和。
首先，我们将数列进行裂项处理，得到：1 = 0 + 12 = 1 + 14 = 2 + 27 = 3 + 411 = 4 + 7接下来，我们可以将相邻的项进行相消，得到：1 +2 = 32 + 4 = 63 + 7 = 104 + 11 = 15最后，我们将这些相消后的项进行求和，得到：3 + 6 + 10 + 15 = 44因此，原数列的和为44。