上海市徐汇区高考数学二模试卷

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2024届上海市徐汇区高三二模数学试题及答案

第12题图上海市徐汇区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.已知集合22A y y x ，集合2430B x x x ，那么A B ．2.已知复数1iz i（i 为虚数单位），则z z ．3.在ABC 中，1AC ，2C ，A，则ABC 的外接圆半径为．4.5.6.7.8.9.10.11.不与O 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点P 满足OP AB ，则OAP 面积的取值范围是．12.如图所示，已知ABC 满足8BC ，3AC AB ，P 为ABC 所在平面内一点．定义点集13,3P AP AB AC R D．若存在点0P D ，使得对任意P D ，满足0AP AP恒成立，则0AP的最大值为．第11题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.在下列函数中，值域为R 的偶函数是（）.A 13y x ；.B lg y x ；.C x x y e e ；.D 3cos y x x ．14.为了研究y 关于x 的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）：.A ˆa.B 当x .C .D 15.）.A 若 .B 若 .C .D 若16.三棱锥90 ，二面角P BC A 的大小为45 ，则对以下两个命题，判断正确的是（）①三棱锥O ABC 的体积为83；②点P 形成的轨迹长度为．.A ①②都是真命题；.B ①是真命题，②是假命题；.C ①是假命题，②是真命题；.D ①②都是假命题．第18题图三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数 y f x ，其中 122log 2xf x x ．（1）求证： y f x 是奇函数；（2）若关于x 的方程 12log f x x k 在区间 3,4上有解，求实数k 的取值范围．18.如图，4，ABC 是底面圆O （1）（2）19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）为了解中草药甲对某疾病的预防效果，研究人员随机调查了100名人员，调查数据如右表．（单位：个）（1）若规定显著性水平0.05 ，试分析中草药甲对预防此疾病是否有效；（2）已知中草药乙对该疾病的治疗有效率数据如下：对未服用过中草药甲的患者治疗有效率为12，对服用过中草药甲的患者治疗有效率为34．若用频率估计20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆224:13x y C ，1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，1F 、2F 分别为左、右焦点，直线l 交椭圆C 于M 、N 两点（l 不过点2A ）．（1）若Q 为椭圆C 上（除1A 、2A 外）任意一点，求直线1QA 和2QA 的斜率之积；（2）若112NF F M，求直线l 的方程；（3）若直线2MA 与直线2NA 的斜率分别是1k 、2k ，且1294k k，求证：直线l 过定点．21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题（i ）满分6分，第2小题（ii ）满分8分）已知各项均不为0的数列 n a 满足2211n n n n n a a a a a（n 是正整数），121a a ，定义函数111!nkn k y f x x k（0x ），e 是自然对数的底数．（1）求证：数列1n n a a是等差数列，并求数列 n a 的通项公式；（2）记函数 n y g x ，其中 1xn n g x e f x ；（i ）证明：对任意0x ， 3430g x f x f x ；（ii ）数列 n b 满足12n n nb a ，设n T 为数列 n b 的前n 项和．数列 n T 的极限的严格定义为：若m 满足：当n m n T 的极限T ．上海市徐汇区2024届高三二模数学试卷-简答参考答案及评分标准2024.4一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1． 3, 2.2 3.14.35.816.17.2108.79.76410.7211.12.3二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.B 14.D 15.C 16.A三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【解】（1）证明:函数122log 2xy x 的定义域为 22D x x x 或，在D 中任取一个实数x ，都有x D ，并且1111222222()log log log ()222x x x f x f x x x x.因此，122log 2xy x 是奇函数.（2） 12()log f x x k 等价于22x x k x即24122x k x x x x在 3,4上有解．记4()12g x x x，因为()g x 在 3,4上为严格减函数，所以，max ()(3)2g x g ，min ()(4)1g x g ，故()g x 的值域为 1,2 ，因此，实数k 的取值范围为 1,2 ．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）【解】（1）在椭圆22:143x y C 中，左、右顶点分别为12(2,0)(2,0)A A 、，设点 000,(2)Q x y x ，则12202000220000312244344QA QA x y y y k k x x x x ．（2）设 1122,,,M x y N x y ，由已知可得1(1,0) F ，122111(1,)(+1,)NF x y F M x y，，由112 NF FM 得2211(1,)2(+1,) x y x y ，化简得2121=322 x x y y 代入2222431 x y 可得22114(32)(32)1 x y ，联立2211431 x y 解得117=4=8x y 由112 NF FM 得直线l 过点1(1,0) F ，7(,4 N ，所以，所求直线方程为=(1)2y x.（3）设 3344,,,M x y N x y ，易知直线l 的斜率不为0，设其方程为x my t （2 t ），联立22143x my tx y ，可得2223463120m y mty t ，由2222364(34)(312)0m t m t ，得2234t m ．由韦达定理，得234342263123434， mt t y y y y m m ．1294k k ，34349224y y x x ．可化为 343449220 y y my t my t ，整理即得 223434499(2)9(2)0 m y y m t y y t ，222223126499(2)9(2)03434t mt m m t t m m ，由20t ，进一步得2222(49)(2)183(2)03434m t m t t m m ，化简可得16160t ，解得1t ，直线MN 的方程为1x my ，恒过定点(1,0)．21.（本题满分18分，第（1）小题满分4分，第（2）（i ）满分6分，第（2）（ii ）满分8分）（方法二）而对于任意0u ，只需22e n u 且4n 时，可得22222222222!123n n e e e u e n n u个…….故存在22max ,5e m u，当n m 时，恒有n T T u ，因而n T 的极限2T e .。

上海市徐汇区2022届高三下学期二模数学试题

一、单选题二、多选题1.已知关于的不等式的解集为，，则是的A ．既不充分也不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．充分而不必要条件2. 设S ，T 是两个非空集合，且，，令，那么等于（）A ．XB ．T C．D ．S3.已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．4. 设、、，，，，则、、三数A．都小于B．至少有一个不大于C．都大于D．至少有一个不小于5. 已知角满足，则（）A．B．C．D．6.如图，菱形纸片中，，O为菱形的中心，将纸片沿对角线折起，使得二面角为，分别为的中点，则折纸后（）A．B．C．D ．07.已知，则（）A．B．C．D．8. 下列函数中，值域为的偶函数是A．B．C．D．9. 关于x 的不等式在上恒成立，则（）A．B．C．D．10. 为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间（单位：分钟），得到下列两个频率分布直方图：基于以上统计信息，则正确的是（）上海市徐汇区2022届高三下学期二模数学试题上海市徐汇区2022届高三下学期二模数学试题三、填空题四、解答题A ．骑车时间的中位数的估计值是22分钟B ．骑车时间的众数的估计值是21分钟C ．坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟D ．坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值11. 由变量和变量组成的10个成对样本数据得到的经验回归方程为，设过点的直线方程为，记，则（）A ．变量正相关B ．若，则C ．经验回归直线至少经过中的一个点D．12.已知抛物线的焦点为，点，，为抛物线上不与重合的动点，为坐标原点，则下列说法中，正确的有（）A．若中点纵坐标为2，则的斜率为2B ．若点恰为的垂心，则的周长为C ．若与的倾斜角互补，则的斜率恒为D ．若，则点纵坐标的取值范围是13.圆心在直线上，且与直线相切的一个圆的方程为______.14. 已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点、，P是与在第一象限的交点，当时，双曲线的离心率等于______.15.已知函数，若在区间上的图象有且仅有2个最高点，则下面四个结论：①在上的图象有且仅有1个最低点；②在上至少有3个零点，至多4个零点；③在上单调递增；④的取值范围为；其中正确的所有序号是______．16.已知二次函数（1）若为偶函数，求的值；（2）判定函数在区间内是否有零点，请说明理由；（3）已知函数存在最小值，求的最大值.17. 已知函数．（1）求的最小正周期；（2）若将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值．18. 已知函数，是的导函数.（1）求的极值；（2）当时，证明：.19. 我国在2018年社保又出新的好消息，之前流动就业人员跨地区就业后，社保转移接续的手续往往比较繁琐，费时费力.社保改革后将简化手续，深得流动就业人员的赞誉.某市社保局从2018年办理社保的人员中抽取300人，得到其办理手续所需时间（天）与人数的频数分布表：时间人数156090754515（1）若300名办理社保的人员中流动人员210人，非流动人员90人，若办理时间超过4天的人员里非流动人员有60人，请完成办理社保手续所需时间与是否流动人员的列联表，并判断是否有95%的把握认为“办理社保手续所需时间与是否流动人员”有关.列联表如下流动人员非流动人员总计办理社保手续所需时间不超过4天办理社保手续所需60时间超过4天总计21090300（2）为了改进工作作风，提高效率，从抽取的300人中办理时间为流动人员中利用分层抽样，抽取12名流动人员召开座谈会，其中3人要求交书面材料，3人中办理的时间为的人数为，求出分布列及期望值.附：0.100.050.0100.0052.7063.841 6.6357.87920. 已知函数的最大值为，求：（Ｉ）求的值及的最小正周期；（Ⅱ）在上的值域.21. 在问卷调查中，被采访人有可能出于隐私保护而不愿意如实填写问卷，导致调查数据失真.某校高三级调查学生对饭堂服务满意情况，为保护学生隐私并得到真实数据，采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：一个袋子中装有五个大小相同的小球，其中2个黑球，3个白球、高三级所有学生从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，若相同则按方式Ⅱ回答问卷”.方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中答“是”，否则答“否”；方式Ⅱ：若学生对饭堂服务满意，则在问卷中答“是”，否则答“否”.当所有学生完成问卷调查后，统计答“是”，答“否”的比例，用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该校高三级学生对饭堂服务满意度的估计值.(1)若某班有50名学生，用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求X的数学期望；(2)若该年级的所有调查问卷中，答“是”与答“否”的比例为，试估计该年级学生对饭堂的满意度.（结果保留3位有效数字）。

上海市徐汇区2023届高三二模数学试题

一、单选题二、多选题1. 已知为正项等差数列的前n 项和，若，则（）A ．22B ．20C ．16D ．112.已知函数若函数存在零点，则实数a 的取值范围是（）A．B．C．D．3.设，则“”是“”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 下列命题错误的是（）A ．若“”为真命题，则与均为真命题B ．命题“为真”是“为真”的必要不充分条件C ．若，，则，D ．“”是“”的充分不必要条件5.已知集合，，，则（）A．B．C．D．6. 已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是A ．有最大值，无最小值B．有最大值，最小值C ．有最大值，无最小值D．无最大值，最小值7. 一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩不相邻的站法种数是（）A ．6B ．12C ．18D ．368. 已知是正项等比数列，，则（）A．B．C．D．9. 已知函数，且，，则下列结论正确的是（）A．B．C ．在上单调递减D ．最小值为10. 1982年美国数学学会出了一道题：一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长都相等，将正四面体的一个面和正四棱锥的一个侧面紧贴重合在一起，得到一个新几何体.中学生丹尼尔做了一个如图所示的模型寄给美国数学学会，美国数学学会根据丹尼尔的模型修改了有关结论.对于该新几何体，则（）A．B．上海市徐汇区2023届高三二模数学试题三、填空题四、解答题C ．新几何体有7个面D ．新几何体的六个顶点不能在同一个球面上11.已知数列满足，，则下列结论中正确的是（）A．B．为等比数列C．D．12. 已知复数则（）A ．复数在复平面内对应的点在第三象限B ．复数的实部为C．D ．复数的虚部为13. 已知，若，则__________．14. 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________.15.已知数列的前项和为，，，则______16. 记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，．(1)求A ；(2)设，D 为边BC上一点，且，求AD ．参考数据：，．17. 为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．(1)求a 的值；(2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数，经计算知．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在内的人数；(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．18. 已知数列是等比数列，其前项和为，数列是等差数列，满足，，(1)求数列和的通项公式；(2)记，求；(3)证明：．19. 如图所示，在中，，，点在上，且.（1）若，求；（2）若，求的长.20. 如图，椭圆、双曲线中心为坐标原点，焦点在轴上，且有相同的顶点，，的焦点为，，的焦点为，，点，，，，恰为线段的六等分点，我们把和合成为曲线，已知的长轴长为4.(1)求曲线的方程；(2)若为上一动点，为定点，求的最小值；(3)若直线过点，与交于，两点，与交于，两点，点、位于同一象限，且直线，求直线的方程.21. 随着《年中国诗词大会》在央视持续热播，人们掀起了学习古诗词的热潮，这也使得古诗词书很畅销.某书店统计了连续天中第天来购买古诗词书的人数的相关数据，如下表所示：123452530404555(1)若与线性相关，求关于的线性回归方程，并预测第天来购买古诗词书的人数；(2)在《年中国诗词大会》.上集结了“少儿团”、“青年团”、“百行团”、“亲友团”的诗词爱好者.某平台为了解喜欢古诗词与性别的关系，随机调查了位男性，位女性，其中不喜欢古诗词的男性有人，女性有人，能否有的把握认为喜欢古诗词与性别有关参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，；，.0.150.100.050.0250.0100.0052.072 2.7063.841 5.024 6.6357.879。

2023届上海徐汇区高三数学二模试卷及答案

上海市徐汇区2023届高三二模数学试卷2023.04一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{|||3}A x x =<，{|B x y ==，则A B = 2. 若角α的终边过点(4,3)P -，则3sin()2πα+=3.抽取某校高一年级10名女生，测得她们的身高（单位：cm ）数据如下：163 165 161 157162 165 158 155 164 162，据此估计该校高一年级女生身高的第25百分位数是 4.命题“若x a >，则10x x->”是真命题，实数a 的取值范围是5. 在正项等比数列{}n a 中，2256892100a a a a ++=，则59a a +=6. 设一组样本数据1x 、2x 、⋅⋅⋅、n x 的方差为0.01，则数据101x 、102x 、⋅⋅⋅、10n x 的方差为 7.如图所示，圆锥SO 的底面圆半径1OA =，侧面的平面展开图的面积为3π，则此圆锥的体积为8.若2023220240122024(1)(12)x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+， i a ∈R （0,1,2,2024i =⋅⋅⋅），则122024a a a ++⋅⋅⋅+=9.己知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为(1,0)F -，过F 且与x 轴垂直的直线与双曲线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，△AOB 的面积为32，则F 到双曲线的渐近线距离为10.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加高中社会实践活动，高中社会实践活动共有博物馆讲解、养老院慰问、交通宣传、超市导购四个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“4名同学所报项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学一人报交通宣传项目”，则(|)P A B = 11.已知函数()af x x b x=++，[,)x b ∈+∞，其中0b >，a ∈R ，若()f x 的最小值为2，则实数a 的取值范围是12. 已知数列{}n a 满足：对于任意*n ∈N 有(0,)2n a π∈，且14a π=，1()n f a +=，其中()tan f x x =，若1(1)tan tan nn n nb a a +-=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则120T =二.选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）13.已知z ∈C ，则“0z z +=”是“z 为纯虚数”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要14.某社区通过公益讲座宣传中国非物质文化遗产保护知识. 为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份相关知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则下列选项正确的是（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差15.设函数22,0()|ln |,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，现有如下命题：① 若方程()f x a =有四个不同的实根1x 、2x 、3x 、4x ，则1234x x x x 的取值范围是(0,1)；② 方程21()()()10f x a f x a-++=的不同实根的个数只能是1、2、3、8. 下列判断正确的是（）A.①和②都是真命题B.①和②都是假命题C.①是真命题，②是假命题D.①是假命题，②是真命题16.如图：棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球为球O ，E 、F 分别是棱AB 和棱1CC 的中点，G 在棱BC 上移动，则下列命题正确的个数是（）①存在点G ，使OD 垂直于平面EFG ；②对于任意点G ，OA 平行于平面EFG ；③直线EF 被球O④过直线EF 的平面截球O 所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为2.A.0B.1C.2D.3三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分. 某社区拟开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动. 为了调查不同年龄人对此项活动所持的态度. 研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如下表所示.分组区间[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]人数30 75 105 60 30 支持态度人数2466904218（1）完成下列22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与所持态度有关；年龄在50周岁及以上年龄在50周岁以下总计支持态度人数不支持态度人数总计（2）以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁及以上的人中随机抽取4人，记X 为4人中持支持态度的人数，求X 的分布以及数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++；参考数据：2( 3.841)0.05P χ≥≈.18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分已知向量,2sin )22x x m =- ，(cos ,cos )22x xn = ，函数()y f x m n ==⋅ ．（1）设[,22ππθ∈-，且()1f θ=+，求θ的值；（2）在△ABC 中，1AB =，()1f C =+，且△ABC 求sin sin A B +的值.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠BAC =90°，AB =AC =a ，1AA b =，点E 、F 分别在棱1BB 、1CC 上，且113BE BB =，1113C F CC =，设baλ=.（1）当3λ=时，求异面直线AE 与1A F 所成的角的大小；（2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值.20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分已知椭圆22:1x tC y +=（1t >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l ：y kx m =+（0m ≠）与椭圆C 交于M 、N 两点（M 点在N 点的上方），与y 轴交于点E . （1）当2t =时，点A 为椭圆C 上除顶点外任一点，求△12AF F 的周长；（2）当3t =且直线l 过点(1,0)D -时，设EM DM λ= ，EN DN μ=，求证：λμ+为定值，并求出该值；（3）若椭圆C，当k 为何值时，22||||OM ON +恒为定值；并求此时 △MON 面积的最大值.121．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分已知常数k 为非零整数，若函数()y f x =，[0,1]x ∈满足：对任意1x 、2[0,1]x ∈，1212|()()||(1)(1)|k k f x f x x x -≤+-+，则称函数()y f x =为()L k 函数.（1）函数2y x =，[0,1]x ∈是否为(2)L 函数？请说明理由；（2）若()y f x =为(1)L 函数，图像在[0,1]x ∈是一条连续的曲线，(0)0f =，1(1)2f =，且()f x 在区间(0,1)上仅存在一个极值点，分别记max ()f x 、min ()f x 为函数()y f x =的最大值、最小值，求max min ()()f x f x -的取值范围；（3）若0a >，2()0.050.1ln(1)f x x x a x =+++，且()y f x =为(1)L -函数，()()g x f x '=，对任意,[0,1]x y ∈，恒有|()()|g x g y M -≤，记M 的最小值为()M a ，求a 的取值范围及()M a 关于a 的表达式.参考答案及评分标准2023.4一．填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.(),3-∞；2.45-； 3.158； 4.[)1,+∞；5.10；6.1；7.；8.3-；9.；10.29；11.(),1-∞； 12. 10.二．选择题：（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.B ； 14. B ； 15. C ； 16. D.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）：年龄与所持态度无关；05；3018090-⨯由2(0.05P χ≥，而年龄与所持态度具有相关性）依题意，()0P X ==)2C X ==解：（1）由题意得2()2sin cos 222x x xf x =-cos )sin x x +-=()π2cos 6x ++．由()π2cos 16θ++=+，得()π1cos 62θ+=， 1sin()32πθ-=-（或得于是ππ2π()63k k θ+=±∈Z，因为ππ22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以ππ26θ=-或；（2）因为(0π)C ∈，，由（1）知π6C =．在△ABC 中，设内角A 、B 的对边分别是a b ，.因为△ABC1πsin 26ab=，于是ab =.① 由余弦定理得2222π12cos66a b ab a b =+-=+-，所以227a b +=． ②由①②可得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩， 2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩于是2a b +=+．由正弦定理得sin sin sin 112A B C a b ===，所以()1sin sin 12A B a b +=+=+．19.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）解：因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1AA ⊥平面ABC ，因为,AB AC ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，又因为90BAC ︒∠=，所以建立分别以AB ，AC ，1AA 为,,x y z 轴的空间直角坐标系A xyz -.（1）不妨设1a =，则1AB AC ==，13AA =，各点的坐标为(0,0,0)A ，(1,0,1)E ，1(0,0,3)A ，(0,1,2)F .(1,0,1)AE =，1(0,1,1)A F =- .因为1||||AE A F ==，11AE A F ⋅=- ，所以1111cos ,2||||AE A F AE A F AE A F ⋅〈〉===-.所以向量A E和1A F 所成的角为120°，所以异面直线AE 与1A F 所成角为60°；（2）因为,0,3b E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,,3b F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,3b AE a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ ，20,,3b AF a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面AEF 的法向量为1(,,)n x y z = ，则10AE n ⋅= ，且10AF n ⋅=.即03bz ax +=，且203bz ay +=.令1z =，则3b x a =-，23b y a=-.所以122,,1,,13333b b a a n λλ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 是平面AEF 的一个法向量. 同理，222,,1,,13333b b n a a λλ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 是平面1A EF 的一个法向量. 因为平面AEF ⊥平面1A EF ，有120n n ⋅= ，进一步由22221099λλ--+=，解得32λ=.所以当平面AEF ⊥平面1A EF 时，32λ=.20.（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）解：（1）当2t =时，椭圆C 2212x y +=， △12AF F的周长为2+；（2）当3t =时，联立2213(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：2222(31)6330k x k x k +++-=设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则212221226313331k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，由DM EM λ=，DN EN μ=，且点E 的横坐标为0，得11(1)x x λ=+，22(1)x x μ=+. 从而112211+++=μ+λx xx x ，)1111(221+++-=μ+λx x =122212121+++++-x x x x x x =222222622312233363113131k k k k k k -++-=-=--+-+++，所以λμ+为定值3；（3）由题意得椭圆方程2214x y +=,联立2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，消元得222(41)8440k x kmx m +++-=，当△22226416(41)(1)0k m k m =-+->，即22410k m -+>时，则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -⋅=+，则2222221212||||1144x x OM ON x x +=+-++-22222222212222232462466(41)6(41)2()224(41)(41)k m m k m k k x x k k -++-++=++=+=+++，当22||||OM ON +为定值时，即与2m 无关，故2410k -=，得12k =±，此时||MN ===，又点O 到直线l的距离d ==，所以2212||||122MONm m S d MN m +-=⨯⨯== ，当且仅当||m =，即1m =±时，等号成立，经检验，此时△0>成立，所以MON ∆面积的最大值为1．21.（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）解：（1）2y x =是(2)L 函数，理由如下：对任意12,[0,1]x x ∈，221212|22||(1)(1)|x x x x --+-+121212|2()||(2)()|x x x x x x =--++-1212(2|2|)||x x x x =-++-1212()||0x x x x =-+-≤,故221212|22||(1)(1)|x x x x -≤+-+；（2）解：（i）若0x 为()f x 在区间()0,1上仅存的一个极大值点，则()f x 在()00,x 严格递增，在()01x ，严格递减.由0000|()(0)||||()(1)||1|f x f x f x f x -≤⎧⎨-≤-⎩，即000000()13()22x f x x x f x x -≤≤⎧⎪⎨-≤≤-⎪⎩，得013()44f x -≤≤,又(0)0f =，1(1)2f =，则013()24f x <≤,（构造304()33124x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩时，等号成立）所以，max min 0013()()()(0)()24f x f x f x f f x ⎛⎤-=-=∈ ⎥⎝⎦，；（ii）若0x 为()f x 在区间()0,1上仅存的一个极小值点，则()f x 在()00,x 严格减，在()01x ，严格增.由0000|()(0)||||()(1)||1|f x f x f x f x -≤⎧⎨-≤-⎩，同理可得013()44f x -≤≤,又(0)0f =，1(1)2f =，则01()04f x -≤<,（构造104()11124x x f x x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩时，等号成立）所以,max min 00113()()(1)()()224f x f x f f x f x ⎛⎤-=-=-∈ ⎥⎝⎦，,综上所述：所求取值范围为1324⎛⎤⎥⎝⎦，；（3）显然()f x 为[0,1]上的严格增函数，任意12,[0,1]x x ∈，不妨设12x x <，此时12()()f x f x <，由()f x 为(1)L -函数得211211()()11f x f x x x -≤-++恒成立，即212111()()11f x f x x x +≤+++恒成立，设211()()0.050.1ln(1)11h x f x x x a x x x =+=++++++，则()h x 为[0,1]上的减函数， 21'()0.1(1)01(1)a h x x x x =++-≤++，得21(1)110x a x +≤-+对x ∈[0,1]恒成立，易知上述不等号右边的函数为[0,1]上的减函数，所以14121010a ≤-=，所以a 的取值范围为1(0,10. 此时，()'()0.1(1)1ag x f x x x ==+++，法1：当0.1(1)1ax x +=+时，即1x +=，1≤，而[]11,2x +∈，所以()g x 为[0,1]上的增函数，法2：2'()0.1(1)ag x x =-+，因为1(0,]10a ∈，当[0,1]x ∈，2'()0.10(1)a g x x =-≥+，所以()g x 为[0,1]上的增函数，由题意得：()(1)(0)0.20.10.122a a M a g g a =-=+--=-，1(0,]10a ∈.。

上海市徐汇区2023届高三二模数学试题(3)

一、单选题二、多选题1.设，，，则（）A．B．C．D．2. 过双曲线C：的左焦点且垂直于x 轴的直线交C 与M ，N两点，若为直角三角形，则C 的离心率为（）A．B．C ．2D．3. 已知定义在上的函数满足，当时，不等式恒成立（为的导函数），若，，，则（）A．B．C．D．4. 若，则下列说法正确的是（）A．的最小值为2B ．的最小值为1C．的最小值为2D ．的最小值为25. 用一个平面去截正方体，则截面不可能是A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形6. 甲、乙、丙等5名同学参加政史地三科知识竞赛，每人随机选择一科参加竞赛，则甲和乙不参加同一科，甲和丙参加同一科竞赛，且这三科竞赛都有人参加的概率为（）A．B．C．D．7. 以边长为2的正方形一边所在直线为轴旋转一周，所得到的几何体的体积为（）.A．B．C．D．8. 已知集合，，则（）A．B．C．D．9. 若，则的值可能为（）A．B．C．D．10. 有一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（）A ．这组数据的众数为4B ．这组数据的极差为3C ．这组数据的平均数为2D ．这组数据的分位数为111. 已知棱长为的正方体中，是的中点，点在正方体的表面上运动，且总满足，则下列结论中正确的是（）A ．点的轨迹中包含的中点B．点的轨迹与侧面的交线长为C．的最大值为D ．直线与直线所成角的余弦值的最大值为上海市徐汇区2023届高三二模数学试题(3)上海市徐汇区2023届高三二模数学试题(3)三、填空题四、解答题12.已知，设，是函数与图象的两个公共点，记.则（）A．函数是周期函数，最小正周期是B ．函数在区间上单调递减C．函数的图象是轴对称图形D ．函数的图象是中心对称图形13. 若是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角大小为_________．14. 已知为双曲线的右焦点，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，且交另一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率是_____________.15. 如图，在中，，，点D 与点B 分别在直线的两侧，且，则的最大值是__________．16. 在锐角中，角的对边分别为，且，（1）求角的大小；（2）若，的面积记为S ，当S取最大值时，求的值．17. 已知抛物线T ：和椭圆C ：，过抛物线T 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆C 于M ，N两点．(1)若F 恰是椭圆C 的焦点，求的值；(2)若，且恰好被平分，求的面积．18.已知非常数函数的定义域为D ，如果存在正数T ，使得对任意x ∈D，都有恒成立，则称函数具有性质．(1)分别判断下列函数是否具有性质，并说明理由；①； ②．(2)若具有性质，，，表示的前n 项和，，若恒成立，求a 的取值范围；(3)设连续函数具有性质，且存在M ＞0，使得对任意x ∈R ，都有成立，求证：是周期函数．19. 某蛋糕店计划按日生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完，该蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得表：日需求量n 282930313233频数346674(1)若该蛋糕店一天生产30个这种面包，以记录了30天的日需求量的频率作为日需求量发生的概率，求当天的利润不少于60元的概率；(2)该蛋糕店想提高该面包的销售利润，员工甲和乙分别提出两种方案.甲的方案：保持一天生产30个这种面包；乙的方案：加大产量一天生产31个这种面包.根据以上30天日需求量的日平均利润来决策哪一种方案收益更好.20. 已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．21. 已知椭圆的离心率为，圆与椭圆C有且仅有两个交点且都在y轴上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知直线l过椭圆C的左顶点A，且l交圆于M、N两点，P为椭圆C上一点，若以为直径的圆过点A，求面积的最大值．。

【数学】上海市徐汇区2021届高三高考二模试卷(解析版)

解得m＝，n＝，
所以＝．
故答案为：．
12．已知实数a、b使得不等式|ax2+bx+a|≤x对任意x∈[1，2]都成立，在平面直角坐标系xOy中，点（a，b）形成的区域记为Ω．若圆x2+y2＝r2上的任一点都在Ω中，则r的最大值为．
【答案】
【解析】|ax2+bx+a|≤x对任意x∈[1，2]都成立，
上海市徐汇区2021届高三高考二模数学试卷
一、填空题（共12小题）.
1．集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x||x|＜1}，则A∪B＝．
【答案】（﹣1，2）
【解析】由x2﹣2x＜0，得0＜x＜2，∴A＝{x|x2﹣2x＜0}＝（0，2），
由|x|＜1，得﹣1＜x＜1，∴B＝{x||x|＜1}＝（﹣1，1），
当x＝5，y＝1时，满足x+y＞3，但x＞1且y＞2不成立，
故x＞1且y＞2”是“x+y＞3”的充分不必要条件，
故选：A．
14．设z1、z2为复数，下列命题一定成立的是（）
A．如果z12+z22＝0，那么z1＝z2＝0
B．如果|z1|＝|z2|，那么z1＝±z2
C．如果|z1|≤a，a是正实数，那么﹣a≤z1≤a
故答案为：．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．设α：x＞1且y＞2，β：x+y＞3，则α是β成立的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【解析】若“x＞1且y＞2”则“x+y＞3”成立．
所以|α|+|β|＝2|α|＝＝2 ．

上海市徐汇区2023届高三二模数学试题(1)

一、单选题二、多选题1. 已知集合，，则集合的元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42. 已知，，则的值为（）A ．4B ．8C ．16D ．323. 设是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为M ，则点M到直线的距离的最大值是（）A ．2B ．4C ．6D ．84. 已知全集，集合，则（）A．B．C．D．5.若对任意实数，不等式恒成立，则实数a 的最小值为（）A．B．C．D．6.在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的点，为的外角平分线，于，则（）A ．2B ．4C ．3D ．97. 方程的根所在区间是A．B．C．D．8. 设实数，满足，，则，的大小关系为（）A．B．C．D ．无法比较9. 已知圆，抛物线的焦点为，为上一点（）A ．存在点，使为等边三角形B ．若为上一点，则最小值为1C ．若，则直线与圆相切D．若以为直径的圆与圆相外切，则10.已知正项数列的首项为2，前项和为，且，，数列的前项和为，若，则的值可以为（）A ．543B ．542C ．546D ．54411. 如图，在边长为4的正方形中，点、分别在边、上（不含端点）且，将，分别沿，折起，使、两点重合于点，则下列结论正确的有（）．A．上海市徐汇区2023届高三二模数学试题(1)上海市徐汇区2023届高三二模数学试题(1)三、填空题四、解答题B．当时，三棱锥的外接球体积为C ．当时，三棱锥的体积为D ．当时，点到平面的距离为12. 大数据时代为媒体带来了前所未有的丰富数据资源和先进的数据科学技术，在AI 算法的驱动下，无论是图文编辑、视频编辑，还是素材制作，所有的优质内容创作都变得更加容易.已知某数据库有视频a 个，图片b张（且）.从中随机选出一个视频和一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件A ，“视频甲入选”为事件B ，“图片乙入选”为事件C ，则下列判断中正确的是（）A．B．C．D．13. 当函数取得最大值时，___________.14.若函数为定义在R 上的奇函数，为的导函数，当时，，则不等式的解集为_______.15. 小明在一个专用的纸箱中收藏了一套精美的2022年北京冬奥会十二生肖纪念邮票，共12枚，现从这12枚邮票中随机抽取3枚，恰好有1枚为老虎图案邮票的概率为______．16.某在建小区为了提高绿化率，创造更美好的生活环境，计划再建一个四边形花坛（四边形）．已知米，．(1)若，米，求边的长；(2)若，求花坛面积的最大值．17. 如图，在多面体中，平面平面，四边形是边长为2的正方形，四边形是等腰梯形，，，．(1)求点到平面的距离；(2)求二面角的余弦值．18. 已知函数．（1）若，讨论的单调性；（2）有两个极小值点，，求实数a的取值范围，并证明．19. 已知过原点的直线与椭圆：交于，两点，其中点在第一象限.（1）记椭圆的左､右顶点分别为，，若，求四边形的面积；（2）若点在轴上，且，连接交椭圆于，探究：是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角；若不是，请说明理由.20.如图所示，在直角三角形中，，将沿折起到的位置，使平面平面，点满足.(1)证明：；(2)求点到平面的距离.21. 已知函数．(1)若函数在处的切线斜率为，求实数的值；(2)若函数有且仅有三个不同的零点，分别设为（i）求实数的取值范围；（ii）求证：．。

2020-2021学年上海市徐汇区第二次高考模拟高三数学试卷及答案解析

第二学期学习能力诊断卷高三年级数学学科一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1. 设全集{}1,2,3,4U =，集合{}2|540,A x x x x Z =-+<∈，则U C A =____________．2. 参数方程为22x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）的曲线的焦点坐标为____________．3. 已知复数z 满足1z =，则2z -的取值范围是____________．4. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*21()3n n S a n N =-∈，则lim n n S →∞=____________．5. 若*1()(4,)2nx n n N x+≥∈的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则n =_____． 6. 把12345678910、、、、、、、、、分别写在10张形状大小一样的卡片上，随机抽取一张卡片，则抽到写着偶数或大于6的数的卡片的概率为____________．（结果用最简分数表示）7. 若行列式124cossin 022sin cos822x xx x 中元素4的代数余子式的值为12，则实数x 的取值集合为____________．8. 满足约束条件22x y +≤的目标函数z y x =-的最小值是____________．9. 已知函数2log 02()25()239x x x f x x <<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，，．若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点，则实数k的取值范围是____________．10. 某部门有8位员工，其中6位员工的月工资分别为8200，8300，8500，9100，9500，9600（单位：元），另两位员工的月工资数据不清楚，但两人的月工资和为17000元，则这8位员工月工资的中位数可能的最大值为____________元．11. 如图：在ABC ∆中，M 为BC 上不同于,B C 的任意一点，点N 满足2AN NM =u u u r u u u u r ．若AN x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r，则229x y +的最小值为____________．12. 设单调函数()y p x =的定义域为D ，值域为A ，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是A ，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”．已知定义域为[],a b 的函数2()3h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”，()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=___________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. “1x >”是“11x<”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件 14. 《九章算术》是我国古代数学著作，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，由此估算出堆放的米约有（）（A ）21斛（B ）34斛（C ）55斛（D ）63斛15. 将函数1y x=-的图像按向量(1,0)a =r 平移，得到的函数图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像的所有交点的横坐标之和等于（）（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8N A16. 过椭圆221(4)4x y m m m +=>-右焦点F 的圆与圆22:1O x y +=外切，则该圆直径FQ 的端点Q 的轨迹是（）（A ）一条射线（B ）两条射线（C ）双曲线的一支（D ）抛物线三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图：在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，2PA AD ==．（1）求异面直线PC 与AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，求证：EF ⊥平面PBC ．18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数41()2x xm f x ⋅+=是偶函数．（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，求实数k 的取值范围．19. （本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A 点处，乙船在中间的B 点处，丙船在最后面的C 点处，且FEA P:3:1BC AB =．一架无人机在空中的P 点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得030APB ∠=，090BPC ∠=．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分5分）如图：椭圆2212x y +=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点12F F 、，它们在y 轴右侧有两个交点A 、B ，满足220F A F B +=u u u u r u u u u r r．将直线AB 左侧的椭圆部分（含A ,B 两点）记为曲线1W ，直线AB 右侧的双曲线部分（不含A ,B 两点）记为曲线2W ．以1F 为端点作一条射线，分别交1W 于点(,)p p P x y ，交2W 于点(,)M M M x y (点M 在第一象限),设此时M F 1=1m F P ⋅u u u r.（1）求2W 的方程; （2）证明:1p x m=，并探索直线2MF 与2PF 斜率之间的关系; （3）设直线2MF 交1W 于点N ，求1MF N ∆的面积S 的取值范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）现有正整数构成的数表如下：第一行： 1 第二行： 1 2 第三行： 1 1 2 3第四行： 1 1 2 1 1 2 3 4第五行： 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2 1 1 2 3 4 5…… …… ……第k 行：先抄写第1行,接着按原序抄写第2行,然后按原序抄写第3行,⋯,直至按原序抄写第1k -行,最后添上数k .（如第四行，先抄写第一行的数1，接着按原序抄写第二行的数1，2，接着按原序抄写第三行的数1，1，2，3，最后添上数4）.将按照上述方式写下的第n 个数记作n a (如11a =,21a =,32a =,41a =,⋯,73a =,⋯,14153,4,a a ==L )．（1）用k t 表示数表第k 行的数的个数，求数列{}k t 的前k 项和k T ；（2）第8行中的数是否超过73个？若是，用0n a 表示第8行中的第73个数，试求0n 和0n a 的值；若不是，请说明理由；（3）令123n n S a a a a =++++L ，求2017S 的值．参考答案一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)1. {}1,42. (1,0)3. []1,34. 15. 86. 7107. |2,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭8. 2- 9. 5(,1)9 10. 8800 11. 25 12. 1二、选择题：(共20分，每题5分)13. A 14. A 15. D 16. C 三、解答题 17、解：（1）以点A 为原点，以AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)P A B C D ,--------2分所以，(2,2,2),(2,0,0)PC AB =-=u u u r u u u r,--------4分设,PC AB u u u r u u u r的夹角为α，则cos 3PC AB PC AB α⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,--------5分所以，,PC AB u u u r u u u r的夹角为，即异面直线PC 与AB所成角的大小为.--------6分（2）因为点E 、F 分别是棱AD 和PC 的中点，可得(0,1,0)E ，(1,1,1)F ，所以(1,0,1)EF =u u u r，--------8分又(0,2,0)BC =u u u r ，(2,2,2)PC =-u u u r，--------10分计算可得0,0EF PC EF BC ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，--------12分所以，,EF PC EF BC ⊥⊥，又PC BC C =I ，所以EF ⊥平面PBC.--------14分18、(1) 因为函数41()2x xm f x ⋅+=是定义域为R 的偶函数，所以有()()f x f x -=，-2分即414122x x x xm m --⋅+⋅+=，即44122x x x xm m +⋅+=， ------------------------------4分故m=1. -----------------------------------------6分(2)241()0,3102x xf x k +=>+>，且22()31k f x k ⋅>+在(,0)-∞上恒成立，故原不等式等价于22131()k k f x >+在(,0)-∞上恒成立，--------------------8分又x ∈(,0)-∞，所以()()2,f x ∈+∞， -------------------------------------10分所以110,()2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，----------------------------11分从而221312k k ≥+，----------------------------12分因此，1,13k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.-------------------------------------------------------------------14分 19、(1)在APB ∆中，由正弦定理，得1sin sin 2AP AB ABABP APB==∠∠，-----------2分在BPC ∆中，由正弦定理，得 sin sin 1CP BC BCCBP CPB ==∠∠，-----------4分又31BC AB =，sin sin ABP CBP∠=∠，--------------------------------------------6分故23AP CP =.即无人机到甲、丙两船的距离之比为23.-----------------------7分 (2)由:3:1BC AB =得AC=400，且0120APC ∠=， ------------------------------9分由(1)，可设AP=2x ，则CP=3x ， ---------------------------------------------10分在APC ∆中，由余弦定理，得160000=(2x)2+(3x)2-2(2x)(3x)cos1200，------12分解得19=，即无人机到丙船的距离为275≈米. ----14分 20、解：（1）由条件，得2(1,0)F ，根据220F A F B +=u u u u r u u u u r r知，F 2、A 、B 三点共线，且由椭圆与双曲线的对称性知，A 、B 关于x 轴对称，故AB 所在直线为x=1，从而得(1,2A，(1,2B -.--------------2分所以，221112a b-=,又因为2F 为双曲线的焦点，所以221a b +=，解得2212a b ==.CB AP---------------------------------------------------------------3分因此，2W 的方程为2211122x y -=(1x >). ------------4分 (2) 由P(x p ,y p )、M(x M ,y M )，得1F P u u u r =(x p +1,y p )，1F M u u u u r=(x M +1,y M )，由条件，得1(1)M p M p x m x y my +=+⎧⎪⎨=⎪⎩，即1M p M px mx m y my =+-⎧⎪⎨=⎪⎩， ---------------5分由P(x p ,y p )、M(x M ,y M )分别在曲线1W 和2W 上，有2222122(1)2()1p p p p x y mx m my ⎧+=⎪⎨⎪+--=⎩，消去y p ，得2234(1)140p p m x m m x m +-+-= (*) ---------------7分将1m 代入方程(*)，成立，因此(*)有一根1p x m=,结合韦达定理得另一根为143p m x m -=，因为1m >,所以143p mx m-=<-1，舍去. 所以，1p x m=. -----------------------------------------------------8分从而P 点坐标为(1m)，所以，直线2PF的斜率2PF k =，-------------------------------------9分由1M p x mx m m =+-=,得M(m所以，直线2MF的斜率2MF k =.--------------------10分因此，2MF 与2PF 斜率之和为零. ---------------------------------11分（3）由(2)知直线2PF 与2NF 关于x 轴对称，结合椭圆的对称性知点P 与点N 关于x 轴对称，故N (m 1,1m-212-m ), -----------------------------12分因此，S=21⨯|F 1F 2|(|y M |+|y N |)=21⨯2(212-m +m 1212-m ) =212-m +2211m -，-----------14分因为S 在()1,+∞上单调递增, ----------------------------------15分所以,S的取值范围是)+∞.----------------------------------------------------16分21、解：（1）当2k ≥时，1211k k t t t t -=+++L ，----------------------------------------------------------------2分 1121k k t t t t +=+++L ，于是1k k k t t t +-=，即12k k t t +=，又2112,1t t t ==， ---------------------3分所以12k k t -=，故21122221k kk T -=++++=-L . ---------------4分（2）由12k k t -=得第8行中共有27=128个数，所以，第8行中的数超过73个，-------6分70773*******n T =+=-+=，-----7分从而，020073n a a a ==，由26-1=63<73，27-1=127>73，所以，按上述顺序依次写下的第73个数应是第7行的第73-63=10个数，同上过程知7310a a ==2，--------------------------------------------------------9分所以，02n a =.--------------------------------------------------------------10分（3）由于数表的前n 行共有21n -个数，于是，先计算21n S -.方法一：在前21n -个数中，共有1个n ，2个1n -，22个2n -，……，2n-k个k ，……，2n-1个1， ---------------------------------------------------12分因此21n S -=n ×1+(n-1)×2+…+ k ×2n-k+…+2×2n-2+1×2n-1则2×21n S -=n ×2+(n-1)×22+…+ k ×2n-k+1+…+2×2n-1+1×2n两式相减，得21n S -=n -+2+22+…+2n-1+2n＝2n+1-n-2. ------------15分方法二：由此数表构成的过程知，121212n n S S n ---=+，---------------12分则21n S -+n+2=2(121n S --+n+1)，即数列{21n S -+n+2}是以S 1+1+2=4为首项，2为公比的等比数列,所以21n S -+n+2＝4×2n-1，即21n S -=2n+1-n-2. ------------------------------15分S 2017=1021S -+S 994-----------------------------------------------------------------16分=1021S -+921S -+S 483=1021S -+921S -+821S -+S 228＝1021S -+921S -+821S -+721S -+S 101=1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+S 38 =1021S -+921S -+821S -+721S -+621S -+521S -+S 7=(211-12)+(210-11)+(29-10)+(28-9)+(27-8)+(26-7)+(24-5) =3986.------------------------------------------------------------------------18分。

上海市徐汇区2022届高三下学期二模数学试题(高频考点版)

一、单选题二、多选题1.设集合，，，，其中，下列说法正确的是A ．对任意，是的子集，对任意，不是的子集B ．对任意，是的子集，存在，使得是的子集C ．对任意，使得不是的子集，对任意，不是的子集D ．对任意，使得不是的子集，存在，使得不是的子集2.在正四棱柱中，是的中点，，则与平面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．3. 已知双曲线的焦距为4，则其离心率为（）A．B．C ．2D ．44. 已知点F 为抛物线C：的焦点，直线l 经过点F 且交抛物线C 于A 、B 两点，交y 轴于点M ，若，，则（）A．B ．2C ．4D．5. 已知等差数列的首项是2，公差为，且中有一项是14，则的取值的个数为（）A ．3B ．4C ．6D ．76. 偶函数在区间上是增函数，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．7.（）A．B．C．D．8. 甲乙两运动员进行乒乓球比赛，采用7局4胜制．在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，但打到10：10平后，先多得2分者为胜方．在10：10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10：10平后，甲先发球，则甲以13：11赢下此局的概率为（）A．B．C．D．9. 已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A ．若，则B．若，则C．若，则D ．若，则10. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则（）A ．函数的图象的一个对称中心为.B ．函数是奇函数.C ．函数在上的单调递减区间是.D．函数的图象的一个对称轴方程为.上海市徐汇区2022届高三下学期二模数学试题(高频考点版)上海市徐汇区2022届高三下学期二模数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题11.已知等比数列的公比为，前项积为，若，则（）A．B．C．D．12.已知是正项等差数列，首项为，公差为，且，为的前n 项和（n∈），则（）A．数列是等差数列B ．数列{}是等差数列C．数列是等比数列D ．数列{}是等比数列13. 已知四面体ABCD的外接球球心在棱CD 上，AB=CD=2，则A 、B 两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是________.14. 第14届国际数学教育大会将于7月在上海举办，大会一共进行8天.若有4位学者分别作个人大会报告，一天只能安排一个报告，且第一天和最后一天不安排报告，则不同的安排方案种数为___________(用数字作答).15.已知，，函数的图象经过点，则的最小值为__________．16. 在中，角所对的边分别为，满足，.(1)证明：外接圆的半径为；(2)若恒成立，求实数的取值范围.17.如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，，，，是棱的中点．(1)证明：平面；(2)若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值的最大值．18.如图所示，四棱柱的侧棱与底面垂直，底面是菱形，四棱锥的顶点在平面上的投影恰为四边形对角线的交点，四棱锥和四棱柱的高相等．（1）证明：平面；（2）若，，求平面与平面所成的二面角的余弦值．19.已知抛物线的准线方程为.(1)求p 的值；(2)直线交抛物线于A ，B 两点，求弦长.20. 已知函数（､）．(1)当a=2，b=0时，求函数图象过点的切线方程；(2)当b=1时，既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围；(3)当，b=1时，分别为的极大值点和极小值点，且，求实数k的取值范围．21. 设是等差数列，，且成等比数列，（1）求的通项公式：（2）记的前n项和为，求使得成立的n的取值范围.。

上海市徐汇区2023届高三二模数学试题(高频考点版)

一、单选题二、多选题1. 已知函数，则曲线在处的切线方程为（）A．B．C．D．2. 已知定义在上的函数满足，则不等式的解集为（）.A．B．C．D．3. 《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的．其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高．已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为（）A ．21尺B ．25C ．29尺D ．33尺4. 如图，已知直四棱柱的底面ABCD 为直角梯形，，，且，，P ，O ，E 分别为，AD ，PC的中点，为正三角形，则三棱锥E -POB 的体积为（）A ．4B ．3C ．2D ．15. 已知函数的周期为,当时,如果，则函数的所有零点之和为（）A．B．C．D．6. 已知、都是锐角，且，，那么、之间的关系是（）A．B．C．D．7. 欧拉公式（e 为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家Euler （欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则（）A ． -1B ．1C ．-D ．8.已知，则“”是“展开式各项系数和为0”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9. “杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）近似服从正态分布.已知时，有，，.下列说法正确的是（）A．该地水稻的平均株高约为B ．该地水稻株高的方差约为100C ．该地株高超过的水稻约占68.27％D ．该地株高低于的水稻约占99.87％10. 给出下列命题，其中是真命题的是（）上海市徐汇区2023届高三二模数学试题(高频考点版)上海市徐汇区2023届高三二模数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题A．若函数的定义域为[0，2]，则函数的定义域为[0，1]；B．函数的单调递减区间是；C．若定义在上的奇函数在区间上是单调递增，则在区间上也是单调递增的；D ．定义域内存在两个值，，且，若，则是减函数.11.已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则（）A ．的周期为B．为奇函数C．的图象关于点对称D ．当时，的取值范围为12.已知函数的图象上，相邻两条对称轴之间的最小距离为，图象沿x轴向左平移单位后，得到一个偶函数的图象，则下列结论正确的是（）A．函数图象的一个对称中心为B ．当到时，函数的最小值为C ．若，则的值为D．函数的减区间为13. 已知集合，，则的元素个数是 __________.14. 已知向量与的夹角为，若，且，则______．15.已知函数，①，②，请写出一个同时满足条件①②的函数的解析式为______．16.已知函数(1)求的单调区间；(2)若，，证明：17.已知椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，过、、三点的圆的圆心坐标为．(1)求椭圆的方程；(2)若直线（为常数，）与椭圆交于不同的两点和．（ⅰ）当直线过，且时，求直线的方程；（ⅱ）当坐标原点到直线的距离为，且面积为时，求直线的倾斜角．18. 设全集，集合，.(1)若，求，(2)若，求实数的取值范围.19. 已知等差数列和等差数列的前项和分别为，，，.(1)求数列和数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.20. 已知动点P 与双曲线的左右焦点的距离之和为4.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若M 为曲线C 上的动点，以M 为圆心，为半径作圆M .若圆M 与y 轴有两个交点，求点M 横坐标的取值范围.21. 在直三棱柱中，E 为棱上一点，，，D 为棱上一点.(1)若，且D为靠近B的三等分点，求证：平面平面；(2)若△ABC 为等边三角形，且三棱锥的体积为，求二面角的正弦值的大小.。

徐汇高三数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 若函数f(x) = x^3 - 3x + 2的图像关于点(1, -1)对称，则f(0)的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 22. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，S5 = 50，则公差d为（）A. 4B. 5C. 6D. 73. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z的取值范围是（）A. 实轴B. 第一象限C. 第二象限D. 第三象限4. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 5，b = 7，c = 10，则角A的正弦值为（）A. 1/2B. 2/3C. 3/4D. 4/55. 函数y = log2(x - 1)的图像上一点P的横坐标为3，则点P的纵坐标为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且f(1) = 2，f(2) = 8，则a的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，角A的度数为40°，则角B的度数为（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°8. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 3，S4 = 120，则公比q为（）A. 2B. 3C. 4D. 59. 若不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解集为A，则不等式x^2 - 4x + 3 < 0的解集为（）A. AB. A的补集C. A的补集的补集D. 无法确定10. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为Q，则点Q的坐标为（）A. (2, 3)B. (3, 2)C. (3, 3)D. (2, 2)11. 已知函数f(x) = (x - 1)^2 + 2，若f(x)的最小值为3，则x的取值范围为（）A. x > 1B. x < 1C. x = 1D. x ≠ 112. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2 + b^2 = c^2，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 若等差数列{an}的首项为2，公差为3，则第10项an = _______。

2025届上海市徐汇、金山、松江区高三第二次联考数学试卷含解析

2025届上海市徐汇、金山、松江区高三第二次联考数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(2)cos cos a b C c B -=，则内角C =（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 2．已知集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥+，B ＝{y ∈N |y ＝x ﹣1，x ∈A }，则A ∪B ＝（） A ．{﹣1，0，1，2，3}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{x ﹣1≤x ≤2}3．已知,a b 为非零向量，“22a b b a =”为“a a b b =”的（） A ．充分不必要条件 B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下：嘉宾 A BC D EF评分969596 89 9798嘉宾评分的平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（）A ．122x x x +=B ．122x x x +>C ．122x x x +<D ．12122x x x x x +>>>5．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足()()()'10x f x x f x -⋅+⋅>，若3(2)y f x e=+-是奇函数，则不等式1()20x x f x e +⋅-<的解集是（） A ．(),2-∞ B ．(),1-∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞6．函数cos ()cos x xf x x x+=-在[2,2]ππ-的图象大致为A ．B ．C ．D ．7．已知向量(,1)a m =，(1,2)b =-，若(2)a b b -⊥，则a 与b 夹角的余弦值为（） A ．21313-B ．1313C ．613D 6138．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A ．48B ．72C ．90D ．969．下列四个结论中正确的个数是（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；（2）已知2(2,)XN σ，则 (2)0.5P X >=（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23yx =-；（4）“1x ≥”是“12x x+≥”的充分不必要条件.A ．1B ．2C ．3D ．4 10．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（）A ．B ．C ．D ．11．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（）A ．54B ．55C ．102D ．10512．若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是（）A ．0B ．2-C ．52-D ．3-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年上海市徐汇区高考数学二模试卷(有答案解析)

2020年上海市徐汇区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.满足条件|z-i|=|3+4i|（i是虚数单位）的复数z在复平面上对应的点的轨迹是（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线2.设n∈N*，则“数列{a n}为等比数列”是“数列{a n}满足a n•a n+3=a n+1•a n+2”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件3.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，则抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A. B. C. 2 D.4.设f（x）是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x1，x2∈R，使得f（）=，则称函数f（x）具有性质P，那么下列函数：①f（x）=；②f（x）=x3；③f（x）=|x2-1|；④f（x）=x2；不具有性质P的函数为（）A. ①B. ②C. ③D. ④二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.设全集U=R．若集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，则Α∩∁UΒ=______．6.已知点（2，5）在函数f（x）=1+a x（a＞0且a≠1）的图象上，则f（x）的反函数f-1（x）=______．7.不等式＞1的解为______．8.已知球的主视图所表示图形的面积为9π，则该球的体积是______．9.函数f（x）=在区间[0，]上的最小值为______．10.若2+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则圆锥曲线=1的焦距是______．11.设无穷等比数列{a n}的公比为q，若{a n}的各项和等于q，则首项a1的取值范围是______．12.已知点O（0，0），A（2，0），B（1，-2），P是曲线y=上一个动点，则的取值范围是______．13.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队在每局赢的概率都是0.5，则甲队获得冠军的概率为______（结果用数值表示）14.已知函数f（x）=x+-1，若存在x1，x2，…，x n∈[，4]使得f（x1）+f（x2）+…f（x n-1）=f（x n），则正整数n的最大值是______．15.在平面直角坐标系中，设点O（0，0），A（3，），点P（x，y）的坐标满足，则在上的投影的取值范围是______．16.函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3……A n…在点列{A n}中存在三个不同的点A k，A t，A p，使得△A k A t A p是等腰直角三角形将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2019=______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos2A+4cos（B+C）+3=0．（1）求角A的大小；（2）若a=，b+c=3，求b和c的值．18.如图：正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，BC1与底面ABCD所成角的大小为arctan2，M是DD1的中点，N是BD上的一动点，设=（0＜λ＜1）（1）当λ=时，证明：MN与平面ABC1D1平行；（2）若点N到平面BCM的距离为d，试用λ表示d，并求出d的取值范围．19.2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？20.对于项数为m（m≥3）的有穷数列{a n}，若存在项数为m+1，公差为d的等差数列{b n}，使得b k＜a k＜b k+1，其中k=1，2，…，m，则称数列{a n}为“等差分割数列”．（1）判断数列{a n}：1，4，8，13是否为“等差分割数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}的通项公式为a n=2n（n=1，2…，m），求证：当m≥5时，数列{a n}不是“等差分割数列”；（3）已知数列{a n}的通项公式为a n=4n+3（n=1，2，…，m），且数列{a n}为“等差分割数列”．若数列{b n}的首项b1=3，求数列{b n}的公差d的取值范围（用m表示）．21.已知函数y=f1（x），y=f2（x），定义函数f（x）=．（1）设函数f1（x）=，f2（x）=（）x-1（x≥0），求函数y=f（x）的值域；（2）设函数f1（x）=lg（|p-x|+1）（0，p为实常数），f2（x）=lg（0），当0＜x时，恒有f（x）=f1（x），求实常数p的取值范围；（3）设函数f1（x）=2|x|，f2（x）=3•2|x-p|，p为正常数，若关于x的方程f（x）=m （m为实常数）恰有三个不同的解，求p的取值范围及这三个解的和（用p表示）．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：因为|3+4i|=5，满足条件|z-i|=|3+4i|=5的复数z在复平面上对应点的轨迹是：圆心为（0，1），半径为5的圆．故选：B．利用复数的几何意义可直接得出|z-i|=|3+4i|中复数z在复平面上对应点的轨迹是圆．考查复数的几何意义及复数求模的公式．题型很基本．较全面考查了复数的运算与几何意义．2.答案：A解析：解：“数列{a n}为等比数列”，则==q，⇒数列{a n}满足a n•a n+3=a n+1•a n+2．反之不能推出，例如a n=0，故选：A．“数列{a n}为等比数列”，则==q，⇒数列{a n}满足a n•a n+3=a n+1•a n+2．反之不能推出，可以举出反例．本题考查了等比数列的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线性质的应用，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线的性质，注意等价转化思想的合理运用．由x=-1是抛物线y2=4x的准线，推导出点P到直线l1：4x-3y+6=0的距离和到直线l2：x=-1的距离之和的最小值．【解答】解：∵x=-1是抛物线y2=4x的准线，∴P到x=-1的距离等于PF，∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）∴过P作4x-3y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P，∴点P到直线l1：4x-3y+6=0的距离和到直线l2：x=-1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线4x-3y+6=0距离，∴最小值=．故选：C．4.答案：D解析：解：①选择的两点关于原点对称即可，如图：（1）中的A，B，②同①，选择的两点关于原点对称即可，如图（2）,③如图，y=1与f（x）的交点，满足题意，④没有满足的点对，假设存在x1，x2∈R，使得f（）=，即（）2=得，x1=x2与x1≠x2矛盾，故④不存在，故选：D．根据条件分别进行判断即可．本题主要考查函数与方程的应用，结合条件，利用数形结合分别进行判断是解决本题的关键．5.答案：{1，4}解析：解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，∴（∁U B）={x|x＞3或x＜2}，∴A∩（∁U B）={1，4}，故答案为：{1，4}．本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．6.答案：log2（x-1）（x＞1）解析：解：由点（2，5）在函数f（x）=1+a x（a＞0且a≠1）的图象上，得2=1+a2，∵a＞0，∴a=2．则y=1+2x，∴2x=y-1，得x=log2（y-1），∴f（x）的反函数f-1（x）=log2（x-1）（x＞1）．故答案为：log2（x-1）（x＞1）．把点的坐标代入函数解析式，求得a，然后求解x，把x与y互换可得f（x）的反函数f-1（x）．本题考查函数的反函数的求法，是基础题．7.答案：（0，+∞）解析：解：根据题意，＞1⇒-1＞0⇒＞0，解可得x＞0，即不等式的解集为（0，+∞）；故答案为：（0，+∞）．根据题意，原不等式变形可得＞0，进而分析可得答案．本题考查分式不等式的解法，关键是对分式不等式的变形，属于基础题．8.答案：36π解析：解：πR2=9π，R=3，V==36π．故答案为36π．由圆面积得到半径，再由体积公式得体积．本题考查球的体积公式，属于简单题．9.答案：解析：解：函数f（x）==cos2x+sin x cosx==sin（2x+），∵2x+∈[，]，∴f（x）在区间[0，]上的最小值为f（x）min=f（）=sin=-sin=-．故答案为：-．求出函数f（x）=cos2x+sin x cosx=sin（2x+），由2x+∈[，]，能求出f（x）在区间[0，]上的最小值．本题考查函数的最小值的求法，考查二阶行列式、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：6解析：解：2+i（i是虚数单位）是关于x的实系数方程x2+mx+n=0的一个根，则2-i也是方程的根，由韦达定理可得-m=2+i+2-i=4，解得m=-4，n=（2+i）（2-i）=5，所以双曲线方程为：．所以双曲线的焦距为：2=6．故答案为：6．利用实系数方程虚根成对定理，结合韦达定理求出m，n，然后求解椭圆的焦距即可．本题考查实系数方程虚根成对定理的应用，双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．11.答案：-2＜a1≤且a1≠0解析：解：∵无穷等比数列{a n}的各项和等于公比q，∴|q|＜1，且=q，∴a1=q（1-q）=-q2+q=-（q-）2+，由二次函数可知a1=-（q-）2+≤，又等比数列的项和公比均不为0，∴由二次函数区间的值域可得：首项a1的取值范围为：-2＜a1≤且a1≠0故答案为：-2＜a1≤且a1≠0由题意易得=q，可得a1=-（q-）2+，由二次函数和等比数列的性质可得．本题考查等比数列的各项和，涉及二次函数的最值，属基础题．12.答案：[-2，4]解析：【分析】利用已知条件设出P的坐标，利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数转化求解即可，属于一般题．本题考查向量的数量积的应用，椭圆参数方程的应用，考查两角和与差的三角函数，准确设出P的坐标是解题的关键．【解答】解：点O（0，0），A（2，0），B（1，-2），P是曲线y=上一个动点，设P（2cosθ，sinθ），θ∈[0，π]，则==4∈[-2，4]．故答案为：[-2，4]．13.答案：0.75解析：解：甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队在每局赢的概率都是0.5，则甲队获得冠军的概率为p=1-0.5×0.5=0.75．故答案为：0.75．利用对立事件、相互独立事件概率乘法公式直接求解．本题考查概率的求法，考查对立事件、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.答案：6解析：解：函数函数f（x）=x+-1的导数为f′（x）=1-=，可得f（x）在[，2]递减，在（2，4]递增，即有f（2）为最小值，且为3；最大值为f（）=，∴≥f（x n）=f（x1）+f（x2）+…f（x n-1）≥3（n-1），故正整数n的最大值是6．故答案为：6求得f（x）的导数，可得f（x）在[，2]递减，在（2，4]递增，求得f（x）的最值，即可得到所求n的最大值．本题考查对勾函数的单调性和最值求法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．15.答案：[-3，3]解析：解：在上的投影：z==||•cos∠AOP=2cos∠AOP，∵∠AOP∈[，]，∴当∠AOP=时，z max=2cos=3，当∠AOP=时，z min=2cos=-3，∴z的取值范围是[-3，3]．∴故答案为：[-3，3]．先根据约束条件画出可行域，设z为在上的投影，再利用z的几何意义求范围，只需求出向量和的夹角的余弦值的取值范围即可，从而得到z值即可．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．16.答案：π解析：解：由ωx=kπ+，得x=，k∈Z，由题意得x=，，，…，，即A1（，1），A2（，-1），A3（，1），A4（，-1）…，由△A1A2A3是等腰直角三角形，得=-1，即=-1，得ω1=，同理△A1A4A7是等腰直角三角形得=-1，得ω2=．同理△A1A6A11是等腰直角三角形得•=-1，得ω3=．……ωn=，则ω2019==π，故答案为：π由三角函数的对称性求出对应的对称轴，得对称轴对应的交点坐标，结合△A k A t A p是等腰直角三角形，归纳出满足条件的数列{ωn}，进行求解即可．本题主要考查三角函数对称性的应用，结合条件求出三角函数的对称轴以及结合等腰直角三角形归纳出{ωn}是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．17.答案：解：（1）∵2cos2A+4cos（B+C）+3=0,∴2（2cos2A-1）+4cos（π-A）+3=0，∴可得：4cos2A-4cos A+1=0，可得：（2cos A-1）2=0，∴解得：cos A=，∵A∈（0，π），∴A=．（2）由题意可得：b+c=3，可得：b=3-c，又由a2=b2+c2-2bc cos A，可得：（）2=（3-c）2+c2-2×，可得：c2-3c+2=0，解得：，或．解析：（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得可得（2cos A-1）2=0，解得cos A的值，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）由题意可得：b=3-c，进而利用余弦定理可求c2-3c+2=0，解方程可求c的值，进而可求b的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和方程思想，属于基础题．18.答案：（1）证明：连接BD1，由可知N为BD的中点，又M是DD1的中点，∴MN∥D1B，又MN⊄平面ABC1D1，BD1⊂平面ABC1D1，∴MN∥平面ABC1D1．（2）解：∵CC1⊥平面ABCD，∴∠C1BC为直线BC1与底面ABCD所成的角，即tan∠C1BC==2，∴CC1=2BC=4，以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，则B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），M（0，0，2），∴=（2，2，0），=（-2，0，0），=（-2，-2，2）．∴=λ=（2λ，2λ，0），即N（2λ，2λ，0），∴=（2λ，2λ，-2），设平面BCM的法向量为=（x，y，z），则，即，令y=1可得=（0，1，1），设MN与平面BCM所成的角为α，则sinα=|cos＜＞|=||=，∴N到平面BCM的距离d=|MN|sinα==（1-λ）．∵0＜λ＜1，∴0＜d＜．解析：（1）连接BD1，则MN∥D1B，故MN∥平面ABC1D1；（2）根据tan∠C1BC=2得CC1=4，建立空间坐标系，求出平面BCM的法向量，计算与的夹角正弦值得出d关于λ的表达式．本题考查了线面平行的判定，空间向量与空间距离的计算，属于中档题．19.答案：解：（1）设机器鼠位置为点P，由题意可得-=，即|PA|-|PB|=8＜10，可得P的轨迹为双曲线的右支，且2c=10，2a=8，即有c=5，a=4，b=3，则P的轨迹方程为-=1（x≥4），时刻t0时，|OP|=4，即P（4，0），可得机器鼠所在位置的坐标为（4，0）；（2）设直线l的平行线l1的方程为y=x+m，联立双曲线方程-=1（x≥4），可得7x2+32mx+16m2+144=0，即有△=（32m）2-28（16m2+144）=0，且x1+x2=-＞0，可得m=-，即l1：y=x-与双曲线的右支相切，切点即为双曲线右支上距离l最近的点，此时l与l1的距离为d==，即机器鼠距离l最小的距离为＞1.5，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．解析：本题考查双曲线在实际问题中的应用，考查直线和双曲线的位置关系，注意联立直线方程和双曲线方程，考查化简运算能力，属于中档题．（1）设机器鼠位置为点P，由双曲线的定义和方程可得P的轨迹和方程，及时刻t0时P的坐标；（2）设直线l的平行线l1的方程为y=x+m，联立双曲线方程，由判别式为0，解得m，再求平行线的距离，结合题意即可判断．20.答案：（1）解：由题意，可知：数列{b n}若存在，则b1＜1＜b2＜4＜b3＜8＜b4＜13＜b5，可令b1=0，d=3.5，则b1=0＜1＜b2=3.5＜4＜b3=7＜8＜b4=10.5＜13＜b5=14，即数列{a n}：1，4，8，13为“等差分割数列”；（2）证明：当m≥5时，假设存在项数为m+1，公差为d的等差数列{b n}，使得：b k＜a k＜b k+1，其中k=1，2，…，m．即满足：b1＜2＜b2＜4＜b3＜8＜b4＜16＜b5＜32＜b6＜……，由b6＞32，b1＜2⇒b6-b1=5d＞30⇒d＞6，又由2＜b2＜4，4＜b3＜8⇒0＜b3-b2=d＜6，矛盾，故不存在这样的等差数列{b n}，即数列{a n}不是“等差分割数列”；（3）解：由题意，可设等差数列{b n}通项公式为：b n=3+（n-1）d，则：b1=3＜a1=7＜b2=3+d＜a2=11＜b3=3+2d＜……＜b m=3+（m-1）d＜a m=4m+3＜b m+1=3+md，由b1=3，b2＞7⇒b2-b1=d＞4，又由b1=3，b m＜4m+3⇒b m-b1=（m-1）d＜4m，即d＜，则4＜d＜，此时，b k=3+（k-1）d＜3+（k-1），a k=4k+3，b k+1=3+kd＞3+4m（=1，2，…，m）．a k-b k=4k-（k-1）=≥0，b k+1-a k＞0，即b k＜a k＜b k+1，k=1，2，…，m恒成立．则公差d的取值范围为（4，）．解析：第（1）题要根据题意找出一个符合条件的等差数列{b n}，使得b1＜1＜b2＜4＜b3＜8＜b4＜13＜b5成立．可假设b1=0，d=3.5即可得到一个符合条件的等差数列{b n}；第（2）题可采用反证法证明，即假设存在项数为m+1，公差为d的等差数列{b n}满足条件，然后找出公差d的取值范围正好相反从而产生矛盾，则假设不成立，原命题成立；第（3）题可根据题意设等差数列{b n}通项公式为：b n=3+（n-1）d，然后根据b1=3，b2＞7以及b1=3，b m＜4m+3得出公差d的取值范围．本题第（1）题主要考查根据新定义构造一个等差数列；第（2）题主要考查反证法的应用以及对新定义的理解；第（2）题主要考查根据新定义求出公差d的取值范围．本题属较难题．21.答案：解：（l）注意到f1（1）=f2（1）=1，∵f1（x）=在[0，+∞）上单调递增，f2（x）=（）x-1在[0，+∞）上单调递减，∴当0≤x≤1时，f1（x）≤f2（x），此时f（x）=f1（x）=∈[0，1]，当x＞1时，f1（x）＞f2（x），此时f（x）=f2（x）=（）x-1∈（0，1），综上所述，函数y=f（x）的值域是[0，1]（2）由题意f1（x）≤f2（x），即lg（|p-x|+l）≤lg在0≤x≤恒成立，⇔|p-x|≤-1⇔1-≤x-p≤-1⇔在0＜x≤时恒成立，令g（x）=x+-1，（0＜x≤），h（x）=x-+1，（0＜x≤），问题等价为p≤g（x）min且p≥h（x）max，∵g（x）min=g（）=，h（x）max=h（）=-，故-≤p≤，（3）由题意f1（x）=，f2（x）=，其中p＞0，∴f1（x）＞0，f2（x）＞0，2p＞1，当x≤0时，==＜1，∴f1（x）≤f2（x），∴f（x）=f1（x）=2-x，假设2p≤3，则当0＜x≤p时，==•22-p≤≤1，∴f1（x）≤f2（x），∴f（x）=f1（x）=2x，当x＞p时，==，∴f1（x）≤f2（x），∴f（x）=f1（x）=2x，综上可知，f（x）=f1（x）=2|x|，此时f（x）在（-∞，0]上单调递减，则[0，+∞）上单调递增，这与方程f（x）=m恰有三个不同的解矛盾，不符合题意，故2p＞3，当0＜x≤p时，==•22x-p，由•22x-p≤1得x≤，∴f（x）=，当x＞p时，==＞1，f1（x）＞f2（x），∴f（x）=f2（x）=3•2x-p，则由此可知，p＞log23，f（x）=，故f（x）在（-∞，0]上单调递减，此时f（x）∈[1，+∞）f（x）在[0，]上单调递增，此时f（x）∈[1，]，f（x）在[，p]上单调递减，此时f（x）∈[3，]，f（x）在[p，+∞）上单调递增，此时f（x）∈[3，+∞），∵关于x的方程f（x）=m（m为实常数）恰有三个不同的解，∴m=3或m=，当m=3时，由f（x）=3得x=-log23或x=log23或x=p，三个解的和为p，]，当m=时，由f（x）=，得x=-或x=或x=，三个解的和为．解析：（1）根据f（x）的定义分别比较两个函数的大小即可（2）若当0＜x时，恒有f（x）=f1（x），等价为f1（x）≤f2（x）恒成立，利用参数分离法进行求解即可（3）讨论p的范围，结合f（x）的定义比较f1（x）与f2（x）的大小，结合方程根的个数，确定判断判断取值范围即可本题主要考查函数方程的综合应用，结合条件比较f1（x），f2（x）的大小是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，难度较大．。

上海市徐汇区高三二模数学试题(解析版)

2021届上海市徐汇区高三二模数学试题一、单选题1．设α：x >1且y >2，β：x +y >3，则α是β成立的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若“1x >且2y >”则“3x y +>”成立，当5x =，1y =时，满足3x y +>，但1x >且2y >不成立，故1x >且2y >”是“3x y +>”的充分非必要条件．故选：A ．2．设z 1、z 2为复数，下列命题一定成立的是（） A ．如果z 12+z 22＝0，那么z 1＝z 2＝0 B ．如果|z 1|＝|z 2|，那么z 1＝±z 2 C ．如果|z 1|≤a ，a 是正实数，那么﹣a ≤z 1≤a D ．如果|z 1|＝a ，a 是正实数，那么211z z a = 【答案】D【分析】通过举反例或一般性推理可作出选择.【详解】选项A ，若121,z z i ==，则有22120z z +=，但12z z ≠，故A 不正确；选项B ，若121,z z i ==，则有12||||z z =，但12z z ≠-，故B 不正确；选项C ，若1z 为虚数，显然不可能有1a z a -<<，故C 不正确；选项D ，因为1z x yi =+，则1z x yi =-，若1||z a ==，即222x y a +=，而22211()()z z x yi x yi x y a ⋅=+-=+=，故D 正确. 故选：D.3．若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论： ①|()|y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R 都有()|()|0f x f x -+=；③()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增； ④反函数1()y f x -=存在且在(,0]-∞上单调递增．其中正确结论的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据奇函数定义以及单调性性质，及反函数性质逐一进行判断选择. 【详解】对于①，由()f x 是R 上的奇函数，得()()f x f x -=-，∴|()||()||()|-=-=f x f x f x ，所以|()|y f x =是偶函数，故①正确；对于②，由()f x 是R 上的奇函数，得()()0f x f x ，而()|()|f x f x =不一定成立，所以对任意的x ∈R ，不一定有()|()|0f x f x -+=，故②错误；对于③，因为()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,0]-∞上单调递增，且()(0)0f x f ，因此2()()[()]y f x f x f x =-=-，利用复合函数的单调性，知()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增，故③正确.对于④，由已知得()f x 是R 上的单调递增函数，利用函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射，且函数与其反函数在相应区间内单调性一致，故反函数1()y fx -=存在且在(,0]-∞上单调递增，故④正确；故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查奇函数定义以及单调性，解题的关键是熟悉奇函数的定义及单调性性质，及反函数的性质，考查学生的基本分析判断能力，属中档题. 4．已知{a n }是公差为d （d ＞0）的等差数列，若存在实数x 1，x 2，x 3，⋯，x 9满足方程组123911223399sin sin sin ...sin 0sin sin sin ...sin 25x x x x a x a x a x a x ++++=⎧⎨++++=⎩，则d 的最小值为（）A ．98B ．89C ．54D ．45【答案】C【分析】把方程组中的n a 都用1a 和d 表示，求得d 的表达式，根据方程组从整体分析可知：当1234sin sin sin sin 1x x x x ====-，5sin 0x =，6789sin sin sin sin 1x x x x ====时，d 取最小值．【详解】解：把方程组中的n a 都用1a 和d 表示得：11121319sin ()sin (2)sin (8)sin 25a x a d x a d x a d x +++++++=，把129sin sin sin 0x x x +++=代入得： 23925sin 2sin 8sin d x x x =+++，根据分母结构特点及129sin sin sin 0x x x +++=可知：当1234sin sin sin sin 1x x x x ====-，5sin 0x =，6789sin sin sin sin 1x x x x ====时，d 取最小值为1234025678554---+⨯++=++．故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据方程组从整体分析得：当1234sin sin sin sin 1x x x x ====-，5sin 0x =，6789sin sin sin sin 1x x x x ====时，d 取最小值．二、填空题5．集合2{|20}A x x x =-<，{|1}B x x =<，则A B 等于_______________．【答案】()1,2-【详解】试题分析：因为2{|20}(0,2),A x x x =-<={|1}(1,1),B x x =<=-所以结合数轴可得：(1,2).A B ⋃=- 【解析】集合运算6．已知函数34()log (2)f x x=+，则方程1()4f x -=的解x =________ 【答案】1【分析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足1()4f x -=的x 值，即求(4)f 的值．【详解】由题意得x 值即为(4)f 的值，因为34()log (2)f x x =+，所以34(4)log (2)14f =+=，所以1x =. 故答案为1x =.【点睛】本题考查原函数与反函数之间的关系，即原函数过点(,)x y ，则反函数过点(,)y x ，考查对概念的理解和基本运算求解能力.7．等比数列(){*}n a n ∈N 中，若2116a =，512a =，则8a =_____．【答案】 4【分析】根据等比数列的通项公式可求得答案．【详解】设等比数列(){*}n a n ∈N 的公比为q ，则35212a a q ⨯==，解得38q =，即2q，所以3581842a a q =⨯⨯==，故答案为：4．8．若方程x 2﹣2x +3＝0的两个根为α和β，则|α|+|β|＝_____．【答案】23【分析】因为∆<0，设m ni α=+，则m ni β=-，根据根与系数关系及模求解. 【详解】因为∆<0，此时方程两根为共轭虚根，设m ni α=+，则(),m ni m n R β=-∈，223m n αβ∴=+=，222m n αβ∴+=+23=.故答案为：23.9．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞＞＜的部分图象如图所示，则f （x ）＝_____．【答案】2sin4x π【分析】由函数的图象顶点的纵坐标求出A ，根据半个周期6242T πω==-=，求出ω，然后再根据004πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭求出ϕ值．【详解】解：根据图象顶点的纵坐标可得2A =，6242T πω==-=，4πω∴=，故函数为2sin()4y x πϕ=+，由五点法作图可得004πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，0ϕ∴=，故()2sin 4f x x π=.故答案为：2sin4x π．10．双曲线22149x y -=的焦点到渐近线的距离等于_____．【答案】3【分析】由给定的双曲线方程写出它的焦点和渐近线的方程，再利用点到直线的距离公式求解即得.【详解】双曲线22149x y -=中，实半轴a =2，虚半轴b =3，则半焦距c =所以双曲线焦点(F ，渐近线方程32y x =±，即320x y ±=，3==. 故答案为：311．在二项式（1+ax ）7（a ∈R ）的展开式中，x 的系数为73，则()23lim ...n n a a a a →∞++++的值是_____．【答案】12【分析】求得13a =，利用等比数列的求和公式以及极限的运算性质可求得. 【详解】由题意可知()71ax +的展开式中x 的系数为773a =，解得13a =，所以2321111111133133322313n n n na a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭++++=+++==-⋅-，因此，()23111lim lim 2232n n n n a a aa →∞→∞⎛⎫++++=-= ⎪⋅⎝⎭. 故答案为：12. 12．已知正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的八个顶点都在同一球面上，若AB ＝1，AA 1，则A 、C 两点间的球面距离是_____．【答案】2π 【分析】正四棱柱的顶点在球面上，正四棱柱的对角线为球的直径，又因为角AOC 为直角，就可以求出AC 的球面距离．【详解】解：正四棱柱的对角线为球的直径，由()22222114R =++=得1R =，2222222121,AC OA OC R R =+∴=+=+， 222AC OA OC ∴=+，2AOC π∴∠=（其中O 为球心）A ∴、C 两点间的球面距离为22R ππ⨯=，故答案为：2π． 13．在ABC 中，已知AB ＝1，BC ＝2，若cos sin C y C =sin cos CC，则y 的最小值是_____．【答案】12【分析】根据题意，由矩阵的计算公式和平方关系可得212sin y C =-，由正弦定理可得sin C 的最大值，进而计算可得答案．【详解】解：根据题意，222cos sin cos sin 12sin sin cos C Cy C C C C C==-=-，又在ABC 中，sin sin AB BCC A=，而1AB =，2BC =，即12sin sin C A =，变形可得sin 2sin A C =，则有sin 1sin 22AC =，则221112sin 1222y C ⎛⎫=--⨯= ⎪⎝⎭，即y 的最小值是12.故答案为：12．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是由正弦定理得sin 2sin A C =，则由三角函数的性质sin 1sin 22A C =. 14．已知三行三列的方阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭中有9个数a ij （i ＝1，2，3；j ＝1，2，3），从中任取三个数，则有且仅有两个数位于同行或同列（注意：不能同时出现既有两数同行、又有两数同列的情况）的概率是_____.（结果用分数表示）【答案】37【分析】从9个数中任取3个，共有39C 种选法；当3个数中位于同行或同列时，共有6种选法；当3个数中都位于不同行或不同列时，共有11321C C ⨯⨯种选法；当3个数中既有两数同行、又有两数同列时共有121334C C C ⋅⋅种选法；然后利用间接法即可得出结论．【详解】解：从9个数中任取3个，共有3984C =种选法；当3个数中位于同行或同列时，共有6种选法；当3个数中都位于不同行或不同列时，共有113216C C ⨯⨯=种选法；当3个数中既有两数同行、又有两数同列时共有12133436C C C ⋅⋅=种选法； ∴从中任取三个数，则有且仅有两个数位于同行或同列（注意：不能同时出现既有两数同行、又有两数同列的情况）的概率8466363847---==，故答案为：37．【点睛】关键点点睛：分3个数中位于同行或同列、3个数中都位于不同行或不同列和3个数中既有两数同行、又有两数同列三种情况进行讨论，然后利用间接法求解. 15．在ABC 中，12AM AB =，13AN AC =，BN 与CM 交于点E ，AB a =，AC b =，则AE =_____（用a 、b 表示）．【答案】2155a b + 【分析】本题可结合题意绘出图像，然后根据M 、E 、C 三点共线得出12m AEm ba ，根据N 、E 、B 三点共线得出13nAE n a b ，最后根据1123m n m b a n a b 求出m 、n 的值，即可得出结果.【详解】如图，结合题意绘出图像：因为M 、E 、C 三点共线，所以存在实数m 使112mAEm AC m AM m ba ，因为N 、E 、B 三点共线，所以存在实数n 使113nAE n AB n AN n ab ，则1123m nm ba n ab ，即1312n m m n-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得25n =，15m =，2155AE a b =+，故答案为：2155a b +. 【点睛】关键点点睛：若A 、B 、C 三点共线，O 为直线外一点，则存在实数m 使1OB m OA m OC ，考查数形结合思想，考查计算能力，是中档题.16．已知实数a 、b 使得不等式|ax 2+bx +a |≤x 对任意x ∈[1，2]都成立，在平面直角坐标系xOy 中，点（a ，b ）形成的区域记为Ω．若圆x 2+y 2＝r 2上的任一点都在Ω中，则r 的最大值为_____．【答案】29【分析】在x ∈[1，2]的条件下，把等式|ax 2+bx +a |≤x 等价转化，利用函数最值建立关于a ，b 的二元一次不等式组，画出其可行域Ω，再用几何意义得解. 【详解】任意x ∈[1，2]，21||(||)1ax bx a x x a b x++≤⇔++≤，而函数1()f x x x=+在[1，2]上单调递增，则52()2f x ≤≤，又关于a 的函数1()x a b x ++在5[2,]2上图象是线段，1|()|x a b x ++最大值是|2|a b +或5||2a b +所以21512a b a b ⎧+≤⎪⎨+≤⎪⎩，该不等式组表示的平面区域即是点(a ，b )形成的区域Ω，如图中阴影区域(平行四边形ABCD )：点O (0，0)到直线210x y +-=或210x y ++=的距离122521d ==+，点O(0，0)到直线5102x y +-=或5102x y ++=的距离122229295()12d ==+，而2295295<，要圆x 2+y 2＝r 2上的任一点都在Ω中，当且仅当22929r ≤，即r 的最大值为229. 故答案为：229【点睛】关键点睛：非线性目标函数的最值求法，关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．三、解答题17．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BA ⊥BC ，BA ＝BC ＝BB 1＝2．（1）求异面直线AB 1与A 1C 1所成角的大小；（2）若M 是棱BC 的中点．求点M 到平面A 1B 1C 的距离．【答案】（1）3π；（2）22. 【分析】（1）1CAB ∠（或其补角）即为异面直线1AB 与11A C 所成角，连接1CB ，在1AB C中，即可求解．（2）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面11A B C 的法向量，结合1(0,2,1)MB =-，利用空间距离公式求解即可．解法二：过点M 作1MN CB ⊥交1CB 于N ，证明MN ⊥平面11A B C ，然后求解三角形即可．【详解】解：（1）由于A 1C 1//AC ，所以∠CAB 1（或其补角）即为异面直线AB 1与A 1C 1所成角，连接CB 1，在AB 1C 中，由于1122AB BC AC ===，所以AB 1C 是等边三角形，所以13CAB π∠=，所以异面直线AB 1与A 1C 1所成角的大小为3π．（2）解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为C （0，0，2）、B 1（0，2，0）、A 1（2，2，0）、M （0，0，1）．设平面A 1B 1C 的法向量为(),,n n v w =，则111,n CB n A B ⊥⊥． ∵()10,2,2CB =-，()112,0,0A B =-，且1110,0n CB n A B ⋅=⋅=， ∴220200v w w vu u -==⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，取v ＝1，得平面A 1B 1C 的一个法向量为()0,1,1n =，且2n =，又∵()10,2,1MB =-，于是点M 到平面A 1B 1C的距离102n MB d n⋅⨯==== 所以，点M 到平面A 1B 1C 的距离等于2．解法二：过点M 作MN ⊥CB 1交CB 1于N ，由1111111MN CB MN A B CB A B B⊥⎧⎪⊥⎨⎪⋂=⎩⇒MN ⊥平面A 1B 1C ．在Rt CMN 中，由4MCN π∠=，CM ＝1，得2MN =，所以，点M 到平面A 1B 1C 的距离等于2． 18．已知函数()f x x a =+ （1）若a =f （x ）的零点；（2）针对实数a 的不同取值，讨论函数f （x ）的奇偶性．【答案】（1）2x =-；（2）当a ＝0时，函数f （x ）为偶函数，当a≠0时，函数f （x）为非奇非偶函数．【分析】（1）根据解析式，求得定义域，当a =0x+=，解得2x =-∈[﹣1，1]，所以零点为2x =-. （2）若f （x ）为奇函数，则必有f （﹣1）+f （1）＝0，代入求得a 不存在，若函数f （x）为偶函数，由f （﹣1）＝f （1），解得a =0，经检验符合题意，即可得答案. 【详解】（1）根据题意，函数()f x x a =+则有1﹣x 2≥0，解可得﹣1≤x ≤1，即函数f （x ）的定义域为[﹣1，1]，由a =0x-=，化简得2210x ++=，即)210+=，则2x =-∈[﹣1，1]，所以，函数f （x ）的零点为x =；（2）函数f （x ）的定义域为[﹣1，1]，若函数f （x ）为奇函数，则必有f （﹣1）+f （1）＝0；代入得|a +1|+|a ﹣1|＝0于是11a a =⎧⎨=-⎩无解，所以函数f （x ）不能为奇函数，若函数f （x ）为偶函数，由f （﹣1）＝f （1）得|﹣1+a |＝|1+a |解得a ＝0；又当a ＝0时，()21f x x x =--，则()()2211f x x x x x f x -=---=--=；对任意x ∈[﹣1，1]都成立，综上，当a ＝0时，函数f （x ）为偶函数，当a ≠0时，函数f （x ）为非奇非偶函数． 19．元宵节是中国的传统节日之一．要将一个上底为正方形ABCD 的长方体状花灯挂起，将两根等长（长度大于A 、C 两点距离）的绳子两头分别拴住A 、C ；B 、D ，再用一根绳子OP 与上述两根绳子连结并吊在天花板上，使花灯呈水平状态，如图．花灯上底面到天花板的距离设计为1米，上底面边长为0.8米，设∠PAC ＝θ，所有绳子总长为y 米．（打结处的绳长忽略不计）（1）将y 表示成θ的函数，并指出定义域；（2）要使绳子总长最短，请你设计出这三根绳子的长．（精确到0.01米）【答案】（1）y ＝)0.424sin 1cos θθ-+，52θ⎛∈ ⎝⎭；（2）1.17米，1.17米，0.85米．【分析】（1）分别用θ表示||PA ，||PM ，进而可以表示绳长4||||4||||||y PA OP PA OM PM =+=+-；（2）先求出4sin cos θθ-的最小值及相应的θ值，进而可得结果.【详解】（1）设上底中心为M ，则|AM |＝0.42，|PM |＝0.42tanθ，|P A |＝0.42cos θ，故绳子总长4||||4||||||y PA OP PA OM PM =+=+-＝1.6210.42tan cos θθ+-＝()0.424sin 1cos θθ-+，因为||520tan ||40.42OM AM θ<<==，所以520,arctan 4θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭．（2）记A ＝4sin cos θθ-，则sinθ+A cosθ＝4，即()21sin 4A θϕ++=，由sin （θ+φ）≤1，得15A ≥，等号成立时arctan 152πθ=-520,arctan 4⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，从而y min ＝0.430+1≈3.19（米），此时这三根绳子长分别约为1.17米，1.17米，0.85米．【点睛】关键点点睛：本题是三角函数应用题，主要考查应用实践能力.本题的关键点是：能够将实际问题转化为数学问题.20．已知椭圆22163x y +=＝1上有两点P （﹣2，1）及Q （2，﹣1），直线l ：y ＝kx +b与椭圆交于A 、B 两点，与线段PQ 交于点C （异于P 、Q ）．（1）当k ＝1且12PQ CQ =时，求直线l 的方程；（2）当k ＝2时，求四边形PAQB 面积的取值范围；（3）记直线PA 、PB 、QA 、QB 的斜率依次为k 1、k 2、k 3、k 4.当b ≠0且线段AB 的中点M 在直线y ＝﹣x 上时，计算k 1⋅k 2的值，并证明：k 12+k 22＞2k 3k 4．【答案】（1）x ﹣y +1＝0；（2）209⎛ ⎦⎝；（3）12，证明见解析. 【分析】（1）设出点C 的坐标，再根据向量建立方程从而求点C 的坐标即可确定直线l 的方程；（2）分别求出PQ 与AB ,然后再求出面积的表达式，最后求出范围即可；（3）将斜率都用坐标表示，再根据韦达定理化简以及基本不等式即可解决问题. 【详解】（1）设C （a ，b ），则()()=2,1,2,1PC a b CQ a b +-=---，由12PC CQ =，得()()12221112a a b b ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩解得2313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，直线l 的方程为1233y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即x ﹣y +1＝0．（2）直线l 的方程为y ＝2x +b ，代入椭圆方程，整理得9x 2+8bx +2b 2﹣6＝0（）则|AB |=由l 与线段PQ0，得﹣5＜b ＜5，由12PQ k =-，k l ＝2知k PQ ⋅k l ＝﹣1，所以AB⊥PQ 且PQ =，故四边形P AQB 的面积S＝12ABPQ ⋅=，其取值范围为209⎛ ⎦⎝．（3）将直线l 的方程l ：y ＝kx +b ，代入椭圆方程，整理得（1+2k 2）x 2+4kbx +2b 2﹣6＝0 （）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB 中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，且x 1，x 2为方程（）的两根，则x 1+x 2＝2412kb k-+．由条件，有1212022x x y y +++=，即x 1+x 2+y 1+y 2＝0，又y 1＝kx 1+b ，y 2＝kx 2+b ，故有（1+k ）（x 1+x 2）+2b ＝0，即()2412012kb k b k ⎛⎫+-+= ⎪+⎝⎭，解得b ＝0（舍）或k ＝12．当k ＝12时，x 1+x 2＝43b -，x 1x 2＝24123b -，则k 1k 2＝()()12121212111111222222x b x b y y x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⋅=++++＝()()()212121************b x x x x b x x x x -+++-=+++，又由于k 3k 4＝()()()()()21212121212121212111111111122422222242b x b x b x x x x b y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⋅===-----++，由k 1≠k 2，利用基本不等式有2213422k k k k +>成立．【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是方程思想的运用，二是面积的设计方案中发现了PQ AB ⊥，三是计算的准确性.21．若数集M 至少含有3个数，且对于其中的任意3个不同数a ，b ，c （a ＜b ＜c ），a ，b ，c 都不能成为等差数列，则称M 为“α集”．（1）判断集合{1，2，4，8，⋯，2n }（n ∈N ，n ≥3）是否是α集？说明理由；（2）已知k ∈N ，k ≥3．集合A 是集合{1，2，3，⋯，k }的一个子集，设集合B ＝{x +2k ﹣1|x ∈A }，求证：若A 是α集，则A ∪B 也是α集；（3）设集合()34122222,,,...,,*,3341n n C n N n n n +⎧⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭，判断集合C 是否是α集，证明你的结论．【答案】（1）集合{1，2，4，8，⋯，2n }（n ∈N ，n ≥3）是“α集”，理由见解析；（2）证明见解析；（3）集合C 是α集，证明见解析.【分析】（1）根据题中的定义，判断集合是否是集α；（2）使用反证法进行证明；（3）根据题中的定义，运用演绎推理证明结论.【详解】（1）任取三个不同元素2i ＜2j ＜2k （其中0≤i ＜j ＜k ≤n ），若此三数成等差数列，则2i +2k ＝2⋅2j ，但1222222i k k j j ++>≥=⋅，因此这三个数不能成等差数列．所以，集合{1，2，4，8，⋯，2n }（n ∈N ，n ≥3）是“α集”．（2）反证法．假设A ∪B 不是“α集”，即A ∪B 中存在三个不同元素x ＜y ＜z ，使x ，y ，z 成等差数列，则x +z ＝2y ．因为A 是“α集”，所以，x ，y ，z 不能全在A 中；如果x ，y ，z 全在B 中，则[x ﹣（2k ﹣1）]+[z ﹣（2k ﹣1）]＝2[y ﹣（2k ﹣1）]依然成立，且x ﹣（2k ﹣1），y ﹣（2k ﹣1），z ﹣（2k ﹣1）都在A 中，这说明A 中存在三个数构成等差数列，即A 不是“α集”，与条件矛盾，因此，x ，y ，z 也不能全在B 中，由于B 中最小可能元素（为2k ）大于 A 中最大可能元素（为k ），所以必有x ∈A ，z ∈B ．从而，y ＝12（x +z ）12≤[k +k +（2k ﹣1）]＝2k ﹣12＜2k ，故y ∉B ；同样，y ＝12（x +z ）12≥[1+1+（2k ﹣1）]＝k +12＞k ，故y ∉A ．这与y ∈A ∪B 矛盾，故A ∪B 也是“α集”．（3）集合C 是“α集”，证明如下：记()12*1k k a k N k +=∈+，则()()211122202112k k k k k k a a k k k k ++++-=-=⋅++++＞，故a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜…＜a n ．任取a i ，a j ，a k ∈C （其中1≤i ＜j ＜k ），则a i ＜a j ＜a k ．当k ≥j +2时，()()22212222013j i k j i j j j j j a a a a a a a a j j +++-+-≥+--=++＞＞（这是由于j ＞i ≥1，故j ≥2），即a i +a k ＞2a j ；当k ＝j +1时，若a i ，a j ，a k 成等差数列，则a i +a k ＝2a j ，即a i +a j +1＝2a j ，化简得（j +1）（j +2）＝（i +1）⋅2j ﹣i +1（）从而（j +1）（j +2）是2j ﹣i +1的正整数倍，由于j +1与j +2互质（为两个连续正整数），因此j +1是2j﹣i +1的正整数倍或j +2是2j﹣i +1的正整数倍，若j +1是2j ﹣i +1的正整数倍，则j +1≥2j ﹣i +1，而j +2＞j +1＞i +1，则（）式不成立；若j +2是2j ﹣i +1的正整数倍，则j +2≥2j ﹣i +1，而j +1＞i +1，（）仍不成立．综上可知，a i ，a j ，a k 不能成等差数列，即证明了集合C 是“α集“．【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是对题中新定义的理解与运用，二是反证法的运用.。