Black-Scholes期权定价模型.

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几何布朗运动的深入分析


在很短的时间Δ t后，证券价格比率的变化值 为： S t t S 可见，在短时间内，SS 具有正态分布特征
S ~ ( t , t ) S

其均值为 t ，标准差为 t，方差为
2 t
。
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参数的理解


μ： 几何布朗运动中的期望收益率，短时期内的期望值。 根据资本资产定价原理， μ取决于该证券的系统性风险、无风险利 率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素，因此 的决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，衍生证 券的定价与标的资产的预期收益率μ是无关的。 2 较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 2 ，这是因 为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较短时间内收益率几 何平均的结果，而较短时间内的收益率则是算术平均的结果。 σ： 是证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年标准差 因此一般从历史的价格数据中计算出样本对数收益率的标准差，再 对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。 一般来说，时间越近越好；时间窗口太长也不好；采用交易天数而 不采用日历天数。
S 1 ln T , T-t S 2 由ln ST ln S ~ [( 2 )(T t ), T t ]可得
（T-t） ST Se ，＝
~ [( 2 ),
2

T t
]
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结论

几何布朗运动较好地描绘了股票价格的运动过 程。
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可以发现，任意时间长度后，x值的变化都具有正态 分布特征，其均值为aT，标准差为 ,方差为b2T.
b T
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Ito过程和Ito引理

伊藤过程（Ito Process）：

普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂 移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就得到
dx a( x, t )dt b( x, t )dz
2

从自然对数lnS所遵循的这个随机过程可以得到两 个结论:
G ~ [( 2 )(T t ), T t ]
2
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（1）几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分 布。



令t时刻G的值为lnS，T时刻G的值为lnST，其中S表 示t时刻（当前时刻）的证券价格，ST表示T时刻（将 来时刻）的证券价格，则在T－t期间G的变化为： ln ST ln S 这意味着：ln S ln S ~ [( T 2 )(T t ), T t ] 进一步从正态分布的性质可以得到 2 ln ST ~ [ln S ( 2 )(T t ), T t ] 也就是说，证券价格对数服从正态分布。如果一个变 量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数 正态分布。这表明ST服从对数正态分布。
多期Leabharlann 益率问题： 交叉汇率问题：



连续复利收益率的问题：尽管时间序列的收益率加总可以很容易的实现；但是 横截面的收益率加总则不是单个资产收益率的加权平均值，因为对数之和不是 和的对数。但是在很短时间内几乎可以认为是近似。JP摩根银行的 RiskMetrics方法就假定组合的收益率是单个资产连续复利收益率的加权平均。
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因此，z（T）-z（0）也具有正态分布特征，其均值为0，方差为N Δ t =T，标准差为 T 。
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普通布朗运动

变量x遵循普通布朗运动：

dx adt bdz

其中，a和b均为常数，z遵循标准布朗运动。 这里的a为漂移率（Drift Rate），是指单位时间内变量x均值 的变化值。 这里的b2为方差率（Variance Rate），是指单位时间的方差。 这个过程指出变量x关于时间和dz的动态过程。其中第一项 adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a。 第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。这 种噪音是由维纳过程的b倍给出的。
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为什么要研究证券价格所遵循的随机 过程?



期权是衍生工具，使用的是相对定价法，即相 对于证券价格的价格，因此要为期权定价首先 必须研究证券价格。 期权的价值正是来源于签订合约时，未来标的 资产价格与合约执行价格之间的预期差异变化， 在现实中，资产价格总是随机变化的。需要了 解其所遵循的随机过程。 研究变量运动的随机过程，可以帮助我们了解 在特定时刻，变量取值的概率分布情况。
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为什么证券价格可以用几何布朗运动 表示？



一般认同的“弱式效率市场假说”： 证券价格的变动历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信 息。 马尔可夫过程：只有变量的当前值才与未来的预测有关，变量过去 的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。 几何布朗运动的随机项来源于维纳过程dz，具有马尔可夫性质， 符合弱式假说。 投资者感兴趣的不是股票价格S，而是独立于价格的收益率。投资 者不是期望股票价格以一定的绝对价格增长，而是期望股票价格 以一定的增长率在增长。因此需要用百分比收益率代替绝对的股 票价格。 几何布朗运动最终隐含的是：股票价格的连续复利收益率（而不 是百分比收益率）为正态分布；股票价格为对数正态分布。这比 较符合现实。
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几何布朗运动的深入分析（2）

S 但是，在一个较长的时间T后，S 不再具有正
态分布的性质：

多期收益率的乘积问题 因此，尽管σ 是短期内股票价格百分比收益率的标 准差，但是在任意时间长度T后，这个收益率的标 准差却不再是 T 。股票价格的年波动率并不是 一年内股票价格百分比收益率变化的标准差。
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特征的理解



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标准布朗运动（续）

考察变量z在一段较长时间T中的变化情形： z（T）－z(0)表示变量z在T中的变化量 又可被看作是在N个长度为Δ t的小时间间隔中z的变化总量，其中 N=T/ Δ t 。 N 很显然，这是n个相互独立的正态分布的和： z (T ) z (0) i t
其中，z遵循一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数， 变量x的漂移率为a，方差率为b2都随时间变化。这就是伊藤 过程。

Ito引理

若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
G G 1 2G 2 G dG ( a b ) dt bdz 2 x t 2 x x 其中，z遵循一个标准布朗运动。由于a
和b都是x和t的函 数，因此函数G也遵循伊藤过程，它的漂移率为 方差率为 2
( G 2 2 ) b x
G G 1 G 2 a b 2 x t 2 x
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证券价格的变化过程


目的：找到一个合适的随机过程表达式，来尽量准确 地描述证券价格的变动过程，同时尽量实现数学处理 上的简单性。 基本假设：证券价格所遵循的随机过程：
i 1



为何定义为： z t而非z t 当我们需要考察任意时间长度间隔中的变量变化的情况时，独立的 正态分布，期望值和方差具有可加性，而标准差不具有可加性。这 样定义可以使方差与时间长度成比例，不受时间划分方法的影响。 年 相应的一个结果就是：标准差的单位变为 连续时间的标准布朗运动： 当Δ t 0时，我们就可以得到极限的标准布朗运动 dz dt
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几何布朗运动的深入分析（3）


如果股票价格服从几何布朗运动，则可以利用 Ito引理来推导证券价格自然对数lnS所遵循的 随机过程： dG ( )dt dz 2 这个随机过程的特征：
2

普通布朗运动：恒定的漂移率和恒定的方差率。 在任意时间长度T之后，G的变化仍然服从正态分 2 ( / 2)( T t ) 布，均值为 ，方差为 (T t) 。标准差 仍然可以表示为 T－t ，和时间长度平方根成正比。
Black-Scholes期权定价模型
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Black-Scholes期权定价模型的基本思路



期权是标的资产的衍生工具，其价格波动的来源就是标的资产价 格的变化，期权价格受到标的资产价格的影响。 标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权价格变化 也是一个相应的随机过程。 金融学家发现，股票价格的变化可以用Ito过程来描述。而数学家 Ito发现的Ito引理可以从股票价格的Ito过程推导出衍生证券价格所 遵循的随机过程。 在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机过程中， Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种不确定性的影响，如 果通过买入和卖空一定数量的衍生证券和标的证券，建立一定的 组合，可以消除这个不确定性，从而使整个组合只获得无风险利 率。从而得到一个重要的方程： Black-Scholes微分方程。 求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。
dS dS Sdt Sdz或 dt dz S


其中，S表示证券价格，μ表示证券在单位时间内以连续复利 表示的期望收益率（又称预期收益率），σ 2 表示证券收益 率单位时间的方差，σ 表示证券收益率单位时间的标准差， 简称证券价格的波动率（Volatility），z遵循标准布朗运动。 一般μ和σ 的单位都是年。 很显然，这是一个漂移率为μ S、方差率为σ 2S2的伊藤过程。 也被称为几何布朗运动
2

var(ST ) S e [e E(ST ) Se 这正好与μ作为预期收益率的定义相符。