沪科版九年级数学上册期末试卷含答案
沪科版九年级上册数学期末考试试卷含答案详解
沪科版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．如图，DE∥BC，分别交△ABC的边AB、AC于点D、E，13ADAB，若AE=5，则EC的长度为（）A．10 B．15 C．20 D．252．如图，放映幻灯片时通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为()A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm3．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90º，∠BAC＝30º，AB＝2，D是AB边上的一个动点(不与点A、B重合)，过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD＝x，CE＝y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系图象大致是( )A．B．C．D．4．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( )A．y＝2x2+3 B．y＝2x2﹣3C ．y ＝2(x+3)2D ．y ＝2(x ﹣3)25．若:3:2a b =，且2b ac =，则:b c 等于（ ）A ．4:3B ．3:2C ．2:3D ．3:46．若点()1A 6,y -，()2B 2,y -，()3C 3,y 在反比例函数223k y x+=（k 为常数）的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．231y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >>7．k 为任何实数，则抛物线y ＝2(x ＋k)2－k 的顶点在（ ）上A 、直线y=x 上，B 、直线y=-xC 、x 轴D 、y 轴8．比较cos10°、cos20°、cos30°、cos40°大小，其中值最大的是（ ）A ．cos10°B ．cos20°C ．cos30°D ．cos40° 9．若反比例函数k y x =的图象经过点（2，-3），则k 值是（ ） A ．6 B ．-6 C ．16 D ．16- 10．如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，12AD AB =，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则12S S 的值等于( )A ．116B ．15C ．14D ．125二、填空题11．抛物线y ＝－x 2＋2x －2的顶点坐标为________．12．若锐角α满足sin αcos α≥，则α的取值范围是______．13．在平面直角坐标系中，一直角三角板如图放置，其中30角的两边与双曲线()k y k 0x=≠在第一象限内交于A 、B 两点，若点A 的纵坐标、点B 的横坐标都是1，则该双曲线的解析式是______．14．如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB 的高度，站在教学楼的C 处测得旗杆底端B 的俯角为 45°，测得旗杆顶端A 的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9 m ，则旗杆AB 的高度是___m(结果保留根号)．15．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=6，BC=10，点E 在CD 上，将△BCE 沿BE 折 叠，点C 恰落在边AD 上的点F 处；点G 在AF 上，将△ABG 沿BG 折叠，点A 恰落在线段BF 上的点H 处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF ∽△ABG ；③S △ABG = 1.5 S △FGH ；④AG+DF=FG ；其中正确的是______________．（填写正确结论的序号）16．如果线段a 、b 、c 、d 满足25a c b d ==，则2323a c b d ++ =_________.三、解答题17．计算：2009111()3tan3013--+---．18．已知二次函数2y ax bx c =++的图象过()A 2,0，()B 0,1-和()C 4,5三点()1求二次函数的解析式；()2直接写出不等式2ax bx c x1++<+的解集．19．如图，在ABC中，D、E在边BC上，且ADE是等边三角形，BAC120.∠=试探究线段BD、DE、CE之间的数量关系，并说明理由．20．某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C 处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．21．某水产养殖户进行小龙虾养殖已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p(元/千克)与时间第t(天)之间的函数关系为()()1t 161t 40,t 4p 1t 4641t 80,t 2⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩为整数为整数，日销售量y(千克)与时问第(天)之间的函数关系如图所示．()1求日销售量y 与时间t 的函数关系式；()2求利润w 与时间t 的函数关系式；()3哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？22．如图，一次函数y=kx+b （k≠0）的图象与反比例函数y=a x（a≠0）的图象在第二象限交于点A （m ，2）．与x 轴交于点C （﹣1，0）．过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△ABC 的面积是3．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若直线AC 与y 轴交于点D ，求△BCD 的面积．23．已知抛物线C 1的解析式为y= -x 2+bx+c ，C 1经过A （-2,5）、B （1,2）两点.（1）求b 、c 的值；（2）若一条抛物线与抛物线C 1都经过A 、B 两点，且开口方向相同，称两抛物线是“兄弟抛物线”，请直接写出C 1的一条“兄弟抛物线”的解析式.24．如图，在ABC △中，D 是AB 的中点，求证：AE BF EC CF．25．（1）如图1，在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别在AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ，求证：DP EP BQ CQ＝； （2） 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG ，AF 分别交DE 于M ，N 两点．①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN 的长；②如图3，求证MN 2=DM·EN ．参考答案1．A【详解】∵DE ∥BC ，∴根据平行线分线段成比例定理可得13AD AE AB AC ==， 又∵AE =5，∴AC =15∴EC=AC-AE =15-5=10故选：A2．C【详解】设屏幕上图形的高度xcm ，为根据相似三角形对应高的比等于相似比可得20660x= ，解得x =18cm ，即屏幕上图形的高度18cm ，故选C.3．B【解析】试题分析：∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，∴BC=1，∴当x=0时，y当x=1时，y ∵当x=2时CD 的垂线与CA 平行，虽然x 不能取到2，但y 应该是无穷大， ∴y 与x 的函数关系图象大致是B ，过点D 作点DG ⊥AC 于点G ，过点D 作点DF ⊥BC 于点F ，∴CF=DG=2x ，)x - ∴EG=y-CG ，分别在直角三角形CDF、直角三角形DGE、直角三角形CDE中利用勾股定理，DF2+CF2+DG2+GE2=CE2，2y=故选B．考点：动点问题的函数图象．4．C【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，从而选出答案.【详解】y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是y＝2（x＋3）2，故答案选C.【点睛】本题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变换规律，解本题的要点在于熟知“左加右减，上加下减”的变化规律.5．B【解析】【分析】根据比例的基本性质，若b2=ac，则b：c可求．【详解】∵a：b=3：2，且b2=ac，∴b：c=a：b=3：2．故选B．【点睛】根据比例的基本性质进行比例式和等积式的互相转换，并能够熟练应用．6．D【解析】试题分析：∵a2≥0，∴a2+1≥1，∴反比例函数21ayx+=（a为常数）的图象位于第一三象限，∵﹣6＜﹣2，∴0＞y1＞y2，∵3＞0，∴y3＞0，∴y3＞y1＞y2．故选D．7．A【解析】解：抛物线k k x y -+=2)(2的顶点坐标为)(k k --，，横坐标与纵坐标相同，故选A 。
沪科版九年级上册数学期末考试试卷含答案
沪科版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．如图，在ABC 中，D 、E 分别在AB 边和AC 边上，//DE BC ，M 为BC 边上一点（不与B 、C 重合），连结AM 交DE 于点N ，则（ ）A ．ADANAN AEB ．BD MNMN CEC ．DN NEBM MCD ．DN NEMC BM2．如图，⊙O 是ABC 的外接圆，已知AD 平分BAC ∠交⊙O 于点D ，交BC 于点E ，若7AD =，2BD =，则DE 的长为（ ）A ．47B ．27C ．449D ．16493．如图，在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，折叠ABC 使得点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为AD ． 连接DE 、CE ，下列结论：①△DBE 是等腰直角三角形；②AB AC CD =+；③BE BDAC AB= ；④CDE BDE S S ∆∆=．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．抛物线2y ax x =+的对称轴是（ ）A ．1x a =B ．1x a=-C ．12x a=D ．12x a=-5．若点11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y 都在反比例函数2y x=-的图象上，并且1230x x x <<<，则下列各式中正确的是（ ） A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．132y y y <<D ．321y y y <<6．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm ，下半身长x （cm ）与身高l （cm ）的比值是0.60．为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm7．如图，已知正方形ABCD ，将对角线BD 绕着点B 逆时针旋转，使点D 落在CB 的延长线上的D ′点处，那么sin ∠AD ′B 的值是（ ）A B C D ．128．如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m ，树的顶端在水中的倒影距自己5m 远，该同学的身高为1.7m ，则树高为（ ）.A ．3.4mB ．4.7 mC ．5.1mD ．6.8m9．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为1x =，有下列结论：①0abc <；②b a c <+；③420a b c ++<；④对任意的实数m ，都有()a b m am b +≥+，其中正确的是A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④10．若函数2(0)y ax bx c a =++≠其几对对应值如下表，则方程20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数）根的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．1或2二、填空题11．直线y ＝2被抛物线y ＝x 2﹣3x +2截得的线段长为_____．12．如图，AB 是圆O 的弦，AB ＝C 是圆O 上的一个动点，且∠ACB ＝45°，若点M 、N 分别是AB 、BC 的中点，则MN 的最大值是_____．13．如图，已知点A ，C 在反比例函数(0)a y a x =>的图象上，点B ，D 在反比例函(0)by b x=<的图象上，AB ∥CD ∥x 轴，AB ，CD 在x 轴的两侧，AB=5，CD=4，AB 与CD 的距离为6，则a −b 的值是_______.142sin 45︒-︒=______.15．如图，在Rt △ABC ，∠C ＝90°，sinB ＝45，AB ＝15，则AC 的值是_____．三、解答题16．计算：﹣120192|+2cos30°+（2﹣tan60°）0．17．如图，已知O 是原点，,B C 两点的坐标分别为()3,1-，()2,1.（1）以点O 为位似中心，在y 轴的左侧将OBC 扩大为原来的两倍（即新图与原图的相似比为2），画出图形，并写出点,B C 的对应点的坐标；（2）如果OBC 内部一点M 的坐标为(),x y ，写出点M 的对应点M '的坐标. 18．如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝mx的图象交于点A （－3，m ＋8），B （n ，－6）两点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求△AOB 的面积．19．如图，在某建筑物AC 上，挂着“缘分天注定,悠然在潜山”的宣传条幅BC ，小明站在点F处，看条幅顶端B ，测得仰角为30，再往条幅方向前行30米到达点E 处，看到条幅顶端B ，测得仰角为60︒，求宣传条幅BC 的长．（注：不计小明的身高，结果精确到1米，参考数据1.4 1.7）20．如图，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，ADE B ∠=∠，AG BC ⊥于G ，AF ED ⊥于F ．若5AD =，7AB =，求：（1）AGAF； （2）ADE ∆与ABC ∆的面积比．21．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与销售价x （元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w 元． （1）求w 与x 之间的函数关系式．（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？22．如图，在正方形ABCD 中，E 为边AD 的中点，点F 在边CD 上，且90BEF ∠=︒，延长EF 交BC 的延长线于点G ．（1）求证：△ABE ∽△EGB ． （2）若6AB =，求CG 的长．23．如图，在直角坐标系中，以点C ()20，为圆心，以3为半径的圆，分别交x 轴正半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，过点B 的直线交x 轴负半轴于点D 502⎛⎫- ⎪⎝⎭，．（1）求AB 、两点的坐标； （2）求证：直线BD 是⊙C 的切线．24．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与直线1y x =+相交于(1,0)A -，(4,)B m 两点，且抛物线经过点(5,0)C（1）求抛物线的解析式．（2）点P 是抛物线上的一个动点（不与点A 点B 重合），过点P 作直线PD x ⊥轴于点D ，交直线AB 于点E ．当2PE ED 时，求P 点坐标；（3）如图所示，设抛物线与y 轴交于点F ，在抛物线的第一象限内，是否存在一点Q ，使得四边形OFQC 的面积最大？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．参考答案1．C 【分析】根据平行线的性质和相似三角形的判定可得△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，再根据相似三角形的性质即可得到答案. 【详解】∵//DE BC ，∴△ADN ∽△ABM ，△ANE ∽△AMC ，∴,DN AN ANNE DN NEBM AM AM MC BM MC，故选C. 【点睛】本题考查平行线的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、相似三角形的判定和性质. 2．A【分析】先根据角平分线的定义、圆周角定理可得BAD EBD ∠=∠，再根据相似三角形的判定定理得出ABD BED ∆~∆，然后根据相似三角形的性质即可得． 【详解】 AD 平分BAC ∠BAD CAD ∴∠=∠∴弧BD 与弧CD 相等 BAD EBD ∴∠=∠又ADB BDE ∠=∠ABD BED ∴∆~∆AD BDBD DE ∴=，即722DE= 解得47DE =故选：A ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、圆周角定理、相似三角形的判定定理与性质，利用圆周角定理找到两个相似三角形是解题关键． 3．C 【分析】根据折叠的性质、等腰直角三角形的定义、相似三角形的判定定理与性质、三角形的面积公式逐个判断即可得． 【详解】由折叠的性质得：,,90AC AE CD DE AED ACD ==∠=∠=︒ 又,90AC BC ACB =∠=︒45B CAB ∴∠=∠=︒在DBE ∆中，19,9058004AED BDE B BED ∠=︒∠=︒-∠∠-==︒︒ 即45BDE B ∠=∠=︒，则DBE ∆是等腰直角三角形，结论①正确 由结论①可得：DE BE = ,AC AE CD DE ==AB AE BE AC DE AC CD ∴=+=+=+，则结论②正确90BED BCA B B ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩ BED BCA ∴∆~∆ BC BE BDAB ∴= AC BC =BE BDAC AB∴=，则结论③正确 如图，过点E 作EF BC ⊥ 112212CDE BDE S CD EF DE EF S BD EF ∆∆⎧=⋅=⋅⎪⎪∴⎨⎪=⋅⎪⎩由结论①可得：DBE ∆是等腰直角三角形，DE BE =由勾股定理得：BD12BDE CDE S BD EF EF ∆∆∴=⋅⋅=，则结论④错误 综上，正确的结论有①②③这3个 故选：C ．【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的定义、相似三角形的判定定理与性质等知识点，熟记并灵活运用各定理与性质是解题关键． 4．D 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴公式2bx a=-计算即可，其中a 为二次项系数，b 为一次项系数． 【详解】由二次函数的对称轴公式得：122b x a a=-=- 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，熟记公式是解题关键． 5．B 【分析】根据反比例函数的图象特征即可得． 【详解】反比例函数2y x=-的图象特征：（1）当0x <时，y 的取值为正值；当0x >时，y 的取值为负值；（2）在每个象限内，y 随x 的增大而增大 由特征（1）得：1230,0,0y y y ><<，则1y 最大 由特征（2）得：23y y < 综上，231y y y << 故选：B ． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象特征，掌握理解反比例函数的图象特征是解题关键． 6．C 【分析】根据比例关系即可求解. 【详解】∵模特身高165cm ，下半身长x （cm ）与身高l （cm ）的比值是0.60， ∴165x＝0.60， 解得：x ＝99，设需要穿的高跟鞋是ycm ，则根据黄金分割的定义得：99165yy++＝0.618，解得：y≈8． 故选：C ． 【点睛】此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知比例关系的定义.7．A【分析】设AB a ，根据正方形的性质可得',90BD ABD ∠=︒，再根据旋转的性质可得'BD 的长，然后由勾股定理可得'AD 的长，从而根据正弦的定义即可得．【详解】设AB a由正方形的性质得',18090BD ABD ABC ∠=︒-∠=︒由旋转的性质得'BD BD =在'Rt ABD ∆中，'AD则''sin AB AD B AD ∠==故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、正弦的定义等知识点，根据旋转的性质得出'BD 的长是解题关键．8．C【分析】由入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，可得两个相似三角形，根据相似三角形的性质解答即可．【详解】解：由题意可得：∠BCA=∠EDA=90°，∠BAC=∠EAD ，故△ABC ∽△AED ，由相似三角形的性质，设树高x 米， 则5 1.7205x =-， ∴x=5.1m ．故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的应用，关键是由入射光线和反射光线与镜面的夹角相等，得出两个相似三角形．9．B【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、与x 轴、y 轴的交点）、二次函数与一元二次方程的关系逐个判断即可．【详解】抛物线的开口向下0a ∴<对称轴为1x =12b a∴-= 2b a ∴=-，,a b 异号，则0b >抛物线与y 轴的交点在y 轴的上方0c ∴>0abc ∴<，则①正确由图象可知，1x =-时，0y <，即0a b c -+<则b a c >+，②错误由对称性可知，2x =和0x =的函数值相等则2x =时，0y >，即420a b c ++>，③错误()a b m am b +≥+可化为20am bm a b +--≤关于m 的一元二次方程20am bm a b +--=的根的判别式224()(2)0b a a b a b ∆=++=+= 则二次函数2y am bm a b =+--的图象特征：抛物线的开口向下，与x 轴只有一个交点 因此，0y ≤，即20am bm a b +--≤，从而④正确综上，正确的是①④故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、与x轴、y轴的交点）、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握函数的图象与性质是解题关键．10．C【分析】先根据表格得出二次函数的图象与x轴的交点个数，再根据二次函数与一元二次方程的关系即可得出答案．【详解】由表格可得，二次函数的图象与x轴有2个交点则其对应的一元二次方程20ax bx c++=根的个数为2故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象、二次函数与一元二次方程的关系，掌握理解二次函数的图象特点是解题关键．11．3【分析】求得直线与抛物线的交点坐标，从而求得截得的线段的长即可．【详解】解：令y＝2得：x2﹣3x+2＝2，解得：x＝0或x＝3，所以交点坐标为（0，2）和（3，2），所以截得的线段长为3﹣0＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是求得直线与抛物线的交点，难度不大．12．20【分析】连接OA 、OB ，如图，根据圆周角定理得到∠AOB ＝2∠ACB ＝90°，则OA AB ＝20，再根据三角形中位线性质得到MN ＝12AC ，然后利用AC 为直径时，AC 的值最大可确定MN 的最大值．【详解】解：连接OA 、OB ，如图，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝2×45°＝90°，∴△OAB 为等腰直角三角形，∴OA 20， ∵点M 、N 分别是AB 、BC 的中点，∴MN ＝12AC ，当AC 为直径时，AC 的值最大，∴MN 的最大值为20，故答案为20．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形中位线性质．13．403【分析】利用反比例函数k 的几何意义得出a-b=4•OE ，a-b=5•OF ，求出45a b a b --+=6，即可求出答案．【详解】如图，∵由题意知：a-b=4•OE ，a-b=5•OF ，∴OE=4a b -，OF=5a b -， 又∵OE+OF=6， ∴45a b a b --+=6， ∴a-b=403， 故答案为403． 【点睛】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，能求出方程45a b a b --+=6是解此题的关键． 14．14 【分析】将锐角三角函数值代入求值即可.【详解】2sin 45︒-︒2 =3142- =14故填：14【点睛】本题考查锐角三角函数值的混合运算，熟记特殊角三角函数值正确计算是本题的解题关键. 15．12【分析】由sinB ＝AC AB得AC ＝ABsinB ，据此可得． 【详解】 解：在Rt △ABC 中，∵sinB ＝AC AB， ∴AC ＝ABsinB ＝15×45＝12， 故答案为：12．【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知正弦函数的定义.16．2【解析】【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和绝对值的性质分别化简得出答案．【详解】解：原式＝﹣1+2＝2【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．17．（1）如图，OB C ''△即为所求，见解析；点B 的对应点的坐标为()6,2-，点C 的对应点的坐标为()4,2--；（2）点(),M x y 的对应点M '的坐标为()2,2x y --.【分析】（1）延长BO ，CO 到B′、C′，使OB′、OC′的长度是OB 、OC 的2倍．顺次连接三点即可； （2）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以-2的坐标，所以M 的坐标为（x ，y ），写出M 的对应点M′的坐标为（-2x ，-2y ）．【详解】（1）如图，OB C ''△即为所求，点B 的对应点的坐标为()6,2-，点C 的对应点的坐标为()4,2--.（2）从这两个相似三角形坐标位置关系来看，对应点的坐标正好是原坐标乘以-2的坐标，所以M 的坐标为（x ，y ），写出M 的对应点M′的坐标为（-2x ，-2y ）．【点睛】考查了直角坐标系和相似三角形的有关知识，注意做这类题时，性质是关键，看图也是关键．很多信息是需要从图上看出来的．18．（1）y=-6x，y=-2x-4（2）8 【分析】（1）将点A 坐标代入反比例函数求出m 的值，从而得到点A 的坐标以及反比例函数解析式，再将点B 坐标代入反比例函数求出n 的值，从而得到点B 的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解；（2）设AB 与x 轴相交于点C ，根据一次函数解析式求出点C 的坐标，从而得到点OC 的长度，再根据S △AOB =S △AOC +S △BOC 列式计算即可得解．【详解】（1）将A （﹣3，m+8）代入反比例函数y=m x得， -3m =m+8， 解得m=﹣6，m+8=﹣6+8=2，所以，点A 的坐标为（﹣3，2），反比例函数解析式为y=﹣6x， 将点B （n ，﹣6）代入y=﹣6x 得，﹣6n =﹣6， 解得n=1，所以，点B 的坐标为（1，﹣6），将点A （﹣3，2），B （1，﹣6）代入y=kx+b 得，326k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， 解得24k b =-⎧⎨=-⎩， 所以，一次函数解析式为y=﹣2x ﹣4；（2）设AB 与x 轴相交于点C ，令﹣2x ﹣4=0解得x=﹣2，所以，点C 的坐标为（﹣2，0），所以，OC=2，S △AOB =S △AOC +S △BOC ，=×2×2+×2×6，=2+6，=8．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．19．宣传条幅BC 的长约为26米．【分析】先根据三角形的外角性质得出30EBF F ∠=∠=︒，再根据等腰三角形的判定可得BE 的长，然后利用BEC ∠的正弦值求解即可．【详解】由题意得30,60,30F BEC EF ∠=︒∠=︒=米603030EBF BEC F ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒30EBF F ∴∠=∠=︒30BE EF ∴==（米）在Rt BCE ∆中，sin BEC BC BE ∠=，即sin 6030BC ︒=30sin 603026BC=∴⨯︒=≈（米） 答：宣传条幅BC 的长约为26米．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、解直角三角形等知识点，熟记正弦值的定义及特殊角的正弦值是解题关键．20．（1）57AG AF =；（2）2549ADE ABC S S ∆∆= 【分析】（1）先根据相似三角形的判定定理得出ABCADE ∆∆，再根据相似三角形的性质即可得出答案；（2）根据相似三角形的面积之比等于其相似比的平方即可得．【详解】（1）,BAC DAE B ADE ∠==∠∠∠ABC ADE ∴∆~∆,5,7,AF ED AG BC AD AB ⊥=⊥= 75∴==AG AB AF AD ； （2）由（1）已证ABCADE ∆∆ 22525749∆∆⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ADE ABC S AD S AB ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理与性质，属于基础题，熟记定理与性质是解题关键． 21．(1)2w 2x 120x 1600=-+-;(2) 该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元;(3)该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．【分析】（1）根据销售额=销售量×销售价单x ，列出函数关系式．（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值．（3）把y=150代入（2）的函数关系式中，解一元二次方程求x ，根据x 的取值范围求x 的值．【详解】解：（1）由题意得：()()()2w x 20y x 202x 802x 120x 1600=-⋅=--+=-+-，∴w 与x 的函数关系式为：2w 2x 120x 1600=-+-．（2）()22w 2x 120x 16002x 30200=-+-=--+，∵﹣2＜0，∴当x=30时，w 有最大值．w 最大值为200．答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元． （3）当w=150时，可得方程﹣2（x ﹣30）2+200=150，解得x 1=25，x 2=35．∵35＞28，∴x 2=35不符合题意，应舍去．答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．22．（1）详见解析；（2）9．【分析】（1）先根据正方形的性质、直角三角形的性质得出ABE G ∠=∠，再加上一组直角相等，根据相似三角形的判定定理即可得证；（2）先根据正方形的性质、中点的性质求出AE 的长，再根据勾股定理求出BE 的长，最后根据相似三角形的性质、线段的和差即可得．【详解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，且90BEF BEG ∠∠==︒90,90A BEG ABC ︒∠∴∠===∠︒90,90ABE EBG G EBG ∴∠+∠=︒∠+∠=︒ ABE G ∴∠=∠ABE EGB ∴∆~∆；（2）∵四边形ABCD 为正方形，6AB =6AD BC AB ∴===点E 为AD 的中点132AE DE AD ∴===在Rt ABE ∆中，BE 由（1）知，ABEEGB ∆∆AE BEEB GB ∴== 15BG ∴=1569CG BG BC ∴=-=-=故CG 的长为9．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），由题（1）的结论联系到利用相似三角形的性质是解题关键．23．（1）()5,0A ,(B ；（2）详见解析．【分析】（1）先根据圆的半径可求出CA 的长，再结合点C 坐标即可得出点A 坐标；根据点C 坐标可知OC 的长，又根据圆的半径可求出CB 的长，然后利用勾股定理可求出OB 的长，即可得出点B 坐标；（2）先根据点,,B C D 坐标分别求出,,BC BD CD ，再根据勾股定理的逆定理可得DBC ∆是直角三角形，然后根据圆的切线的判定定理即可得证．【详解】（1）∵()2,0C ，圆的半径为3∴2OC =，3CA =∴5OA OC CA =+=点A 是x 轴正半轴与圆的交点∴()5,0A如图，连接CB ，则3CB =在Rt OCB ∆中，OB点B 是y 轴正半轴与圆的交点∴B ；（2）∵()5(0),202,D C -，∴559,2()222OD CD ==--= 在Rt DBO ∆中，2222545544BD OB OD =+=+= 则在DBC ∆中，2224581944BD BC CD +=+== DBC ∴∆是直角三角形，即BC BD ⊥又∵BC 是⊙C 半径∴直线BD 是⊙C 的切线．【点睛】本题是一道较简单的综合题，考查了圆的基本性质、勾股定理、圆的切线的判定定理等知识点，熟记各定理与性质是解题关键．24．（1）245y x x =-++；（2）P 点坐标为（2，9）或（6，-7）；（3）存在点Q （53524，）使得四边形OFQC 的面积最大，见解析.【分析】（1）先由点B 在直线1y x =+上求出点B 的坐标，再利用待定系数法求解可得； （2）可设出P 点坐标，则可表示出E 、D 的坐标，从而可表示出PE 和ED 的长，由条件可知到关于P 点坐标的方程，则可求得P 点坐标；（3）作QP x ⊥轴于点P ，设(Q m ，245)(0)m m m -++>，知PO m =，245PQ m m =-++，5CP m =-，根据四边形OFQC 的面积PQC PQFO S S ∆=+四边形建立关于m 的函数，再利用二次函数的性质求解可得．【详解】解：（1）点(4,)B m 在直线1y x =+上，415m ∴=+=，(4,5)B ∴，把A 、B 、C 三点坐标代入抛物线解析式可得016402550a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得145a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为245y x x =-++；（2）设2(,45)P x x x -++，则(,1)E x x +，(,0)D x ，则22|45(1)||34|PE x x x x x =-++-+=-++，|1|DE x =+，2PE ED =，2|34|2|1|x x x ∴-++=+，当2342(1)x x x -++=+时，解得1x =-或2x =，但当1x =-时，P 与A 重合不合题意，舍去， (2,9)P ∴；当2342(1)x x x -++=-+时，解得1x =-或6x =，但当1x =-时，P 与A 重合不合题意，舍去， (6,7)P ∴-；综上可知P 点坐标为(2,9)或(6,7)-；（3）存在这样的点Q ，使得四边形OFQC 的面积最大．如图，过点Q 作QP x ⊥轴于点P ，设(Q m ，245)(0)m m m -++>，则PO m =，245PQ m m =-++，5CP m =-，四边形OFQC 的面积PQC PQFO S S ∆=+四边形2211(455)(5)(45)22m m m m m m =⨯-++++⨯-⨯-++ 252525222m m =-++ 255225()228m =--+， 当52m =时，四边形OFQC 的面积取得最大值，最大值为2258，此时点Q 的坐标为5(2，35)4． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及利用割补法列出四边形面积的函数关系式．。
沪科版九年级上册数学期末考试试卷含答案解析
沪科版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案） 1．抛物线()2y 2x 31=-+的顶点坐标是( ) A ．（3，1） B ．（3，﹣1） C ．（﹣3，1） D ．（﹣3，﹣1）2．若sin(15)A ∠+︒tan A ∠的值为（ ）A ．.12B C ．1 D 3．反比例函数y ＝1kx-图象的每条曲线上y 都随x 增大而增大，则k 的取值范围是 A ．k ＞1B ．k ＞0C ．k ＜1D ．k ＜04．将抛物线2(21)y x =-向左平移12个单位，再向上平移1个单位后得到的抛物线解析式为A ．21(2)12y x =--B ．21(2)12y x =-+C ．241y xD ．241y x =+5．已知点C 是线段AB 的黄金分割点()AC BC <，若4AB =，则AC 的长是（ ）A ．6-B ．2C 1D ．36．如图，O 是ABC ∆的外接圆，20ABO ∠=︒,40OAC ∠=︒，则OBC ∠的度数为（ ）A ．30B ．40︒C ．60︒D ．120︒7．如图，直线1l //2l //3l ，直线AC 分别交1l ，2l ，3l 于、、A B C ，直线DF 交1l ，2l ，3l 于点D E F 、、,AC 与DF 相交于点G ,且2AG =,1GB =,5BC =则ADFC的值为( )A ．12B ．13C ．25D ．358．如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．9．若锐角α满足cosα且tanαα的范围是()A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°10．已知二次函数2y ax bx c=++中y与x的部分对应值如下表，下列说法正确的是（）A．抛物线开口向上B．其图象的对称轴为直线1x=C．当1x<时，y随x的增大而增大D．方程20ax bx c++=必有一个根大于4二、填空题11．坡角为45o的坡面的坡度为_______12．已知二次函数22y x x m=-++的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程220x x m--=的解为______.13．如图，以原点O为端点的两条射线与反比例函数6yx=交于,A B两点，且123∠=∠=∠，则ABO∆的面积是________.14．ABC ∆中，7,8,9AB AC BC ===,现在把边,,AB AC BC 分别截去长为a b c 、、的一段，截得的长为a b c 、、的三条线段组成的三角形和ABC ∆三边剩下的线段组成的三角形相似且面积比为1:9，则a b c 、、的长分别为_______.15．如图，O 的半径为5，AB 为弦，点C 为AB 的中点，若30ABC ∠=︒，则弦AB 的长为________．三、解答题16．计算：01sin30+tan30(3)2π-︒︒--+17．如图，ABC ∆中，D 为AC 上的一点，若AB AD BC a ===，1BD CD ==，求a 的值．18．如图，一次函数1y x m =+的图像与反比例函数2(x 0)ky x=<的图像交于(6,1)A -和B . （1）求点B 的坐标；（2）直接写出当12y y ≥时x 的取值范围.19．如图所示，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电的铁架，=30B ∠︒，斜坡BC 的长是40米，在山坡的坡顶C 处测得铁架顶端A 的仰角为60︒，30AC =米，求铁架顶端A 到地平面的高度AD 1.732≈，精确到0.1米）20．如图，二次函数与一次函数交于顶点(4,1)A --和点(2,3)B -两点，一次函数与y 轴交于点C .（1）求二次函数1y 和一次函数2y 的解析式；（2）y 轴上存在点P 使PAB ∆的面积为9，求点P 的坐标.21．如图I ，直线l 是足球场的底线，AB 是球门，P 点是射门点，连接PA PB 、，APB ∠叫做射门角.（1）如图II ，点P 是射门点，另一射门点Q 在过A B P 、、三点的圆外（未超过底线l ）.证明：APB AQB ∠>∠（2）如图III ，O 经过球门端点A B 、，直线m l ⊥，垂足为C 且与O 相切与点Q ，OE AB⊥于点E ，连接OQ OB 、，若2,AB a BC a ==，求此时一球员带球沿直线m 向底线方向运球时最大射门角的度数．22．某公司2017年初刚成立时投资1000万元购买新生产线生产新产品，此外，生产每件该产品还需要成本40元.按规定，该产品售价不得低于60元/件且不超过160元/件，且每年售价确定以后不再变化，该产品的年销售量y （万件）与产品售价x （元）之间的函数关系如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围； （2）求2017年该公司的最大利润？（3）在2017年取得最大利润的前提下，2018年公司将重新确定产品售价，能否使两年共盈利达980万元.若能，求出2018年产品的售价；若不能，请说明理由．23．如图，ABCD 中，过点A 作AE CD ⊥于点E ，连接BE ，F 是BE 上的一点，AFE D ∠=∠ （1）求证： ABF BEC ∽； （2）若5,8AD AB == 3cos 5D ∠=．求AF 的长度．24．如图I ，AD 为等腰三角形ABC 中线，延长DA 至F ，使AF AD =，点E 为AC 边上的点且AE AD =，延长EA 至G 使AG AE =，连接DE EF FG GD 、、、，GD 交AB 于点H . （1）证明：GDB ADE ∠=∠；（2）连接GB ，①当90BGC ∠=︒时（如图II ），求：ADGC ，AH HB； ②当B G F 、、三点共线时（如图III ），求：AD GC ，AH HB； （3）如图I ，若3,4AD DC ==，求AH 的值.参考答案1．A 【解析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可.抛物线()2y 2x 31=-+的顶点坐标是（3，1）. 故选A. 2．C 【解析】由于sin(α+15°)=，α是锐角，而sin60°α+15°=60°，从而可求α，再把α的值代入tan （α-15°）中，即可求值． 【详解】解：∵sin(α+15°)=，α是锐角，∴α+15°=60° α=45°； ∴tan A ∠=1 故选：C. 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题关键是熟记特殊角的三角函数值. 3．A 【解析】 对于函数y=kx来说，当k ＜0时，每一条曲线上，y 随x 的增大而增大；当k ＞0时，每一条曲线上，y 随x 的增大而减小． 【详解】解：∵反比例函数y ＝1kx-的图象上的每一条曲线上，y 随x 的增大而增大， ∴1－k ＜0， ∴k ＞1. 故选A. 【点睛】本题考查反比例函数的增减性的判定．在解题时，要注意整体思想的运用．易错易混点：学生对解析式y=kx中k 的意义不理解，直接认为k ＜0，造成错误． 4．D【详解】解：∵()221y x =-=244x 1x -+∴y=4(x-12)2即原抛物线的顶点为（12，0），向左平移12个单位后，再向上平移1个单位，那么新抛物线的顶点为（0，1）．∴新抛物线的解析式为y=4（x-h ）2+k ，代入得：y=241x +. 故选：D 【点睛】本题考查抛物线的顶点式，解题关键是把原抛物线化成顶点式，顶点坐标，再得到新抛物线的顶点坐标． 5．A 【分析】进行计算即可得解． 【详解】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点()AC BC <∴BC AB =∴42BC AB =∴()426AC AB BC =-=-=-故选：A 【点睛】，即分得的较长线段等于总线段的6．A 【分析】由OA=OB ，20ABO ∠=︒，易求BAO 20ABO ∠=∠=︒，又由圆周角定理,即可求得∠BOC 的度数，再求等腰三角形的底角OBC ∠的度数. 【详解】解：∵OA=OB ，20ABO ∠=︒, ∴BAO 20ABO ∠=∠=︒ 又∵40OAC ∠=︒∴∠BAC=BAO ∠+20OAC ∠=︒+40︒=60︒ ∴∠BOC=2∠BAC=2×60︒=120° ∴OBC ∠=12（180°-120°）=30︒故选A. 【点睛】此题考查圆周角定理与等腰三角形的性质.解题关键是注意掌握数形结合思想的应用. 7．B 【解析】 【分析】平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质可得AD FC =AGGC. 【详解】解：∵∵AG=2，GB=1，BC=5， ∴GC=BC+GB=5+1=6， ∴AG GC =26=13又∵l 1∥l 3 ∴△GAD ∽△GCF ∴AD FC =AG GC =13【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 8．B 【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：在三角形纸片ABC 中，AB=6，BC=8，AC=4．A、∵4BC=48=12，对应边ABBC=68=34，12≠34，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；B、∵2AC=12，对应边ACBC=12，即：2AC=ACBC，∠C=∠C，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确；C、∵3AC=34，对应边ACAB=46=23，34≠23，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误；D、∵36=3AB=12，AB BC =34，12≠34，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误.故选B．【点睛】本题考查相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题的关键．9．B【详解】∵α是锐角，∴cosα>0，∵∴又∵cos90°=0,cos45°∴45°<α<90°；∵α是锐角，∴tanα>0，∵∴又∵tan0°=0,tan60°故45°<α<60°.故选B.【点睛】本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键10．C【分析】把()1,3--，()0,1，()1,3代入2y ax bx c =++，用待定系数法求出函数解析式，然后根据二次函数的图像与性质逐项分析即可.【详解】把()1,3--，()0,1，()1,3代入2y ax bx c =++得313a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得131a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为231y x x =-++，231324y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ∴抛物线开口向下，对称轴为直线32x =，当32x <时，y 随x 的增大而增大，函数的最大值为134， ∴当1x <时，y 随x 的增大而增大，方程20ax bx c ++=没有一个根大于4．故选C ．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象的性质，对于二次函数y=a(x-h)2+k （a ，b ，c 为常数，a≠0），当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，此时函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，此时函数有最大值.其顶点坐标是(h ，k)，对称轴为x=h.11．1【解析】坡度=坡角的正切值．【详解】解：∵tan 45o =1∴坡角为45o 的坡面的坡度为1故答案为：1【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题关键是熟记坡度=坡角的正切值． 12．123,1x x ==-【解析】【分析】首先把（3，0）代入二次函数y=-x 2+2x+m 可得m 的值，然后再解220x x m --=可得解.【详解】解：根据图象可知，二次函数y=-x 2+2x+m 的部分图象经过点（3，0），所以该点适合方程y=-x 2+2x+m ，代入，得-32+2×3+m=0，解得m=3，把m=-3代入一元二次方程220x x m --=，得2230x x --=，解得x 1=3，x 2=-1；【点睛】本题考查关于二次函数与一元二次方程，利用二次函数图象，根据图象提取有用条件来解答．13．【解析】【分析】由∠1=∠2=∠3，∠1+∠2+∠3=90°可得∠1=∠2=∠3=30°，再由特殊角的三角函数值、反比例函数比例系数|k| 可得S △AOD = S △EOB =3 ，S 矩形ADOF =6，而S △AOD + S △AOB + S △EOB =S 矩形ADOF +S 梯形AFEB ，A 、B 在双曲线6y x=上，所以S △AOD = S △EOB =3 ，S 矩形ADOF =6所以S △AOB = S 梯形AFEB 而S 梯形AFEB =2AF BE +·FE=1222OA + ·12OA ）解得 S 梯形AFEB =24OA所以 ABO ∆的面积是【详解】解：如图所示，作AD ⊥y 轴于D ，BE ⊥x 轴于E ，AF ⊥x 轴于F ，∵∠1=∠2=∠3，∠1+∠2+∠3=90°∴∠1=∠2=∠3=30°∴A （12OA），，12OB)∵A 、B 在6y x =上 ∴12OB·12OB =6∴OA 2= OB 2∵S △AOD + S △AOB + S △EOB =S 矩形ADOF +S 梯形AFEB ，A 、B 在双曲线6y x =上∴S △AOD = S △EOB =3 ，S 矩形ADOF =6∴S △AOB = S 梯形AFEB而S 梯形AFEB =2AF BE +·FE=1222OA + ·12OA ）∴ S 梯形AFEB =24OAABO ∆的面积是故答案为：【点睛】本题考查特殊角的三角函数值和反比例函数系数|k|的意义.14．①79,2,44a b c ===，②71915,,488a b c ===,③17139,,884a b c ===，④131712,,777a b c ===，⑤53,2,22a b c ===，⑥161115,,777a b c === 【解析】【分析】由三角形相似且面积比为1:9，可得相似比为1:3，而相似三角形对应边的比等于相似比，再由两三角形相似，一共有六种对于情况可得解.【详解】解：①由相似比7a a -=8b b -=9c c -=13，得79,2,44a b c === ； ②同理由7a a -=8c b -=b 9c -=13，得71915,,488a b c ===； ③由7b a -=a 8b -=c 9c -=13，得17139,,884a b c ===； ④由7c a -=a 8b -=9b c -=13，得131712,,777a b c ===； ⑤由7c a -=8b b -=9a c -=13，得53,2,22a b c ===； ⑥由7b a -=8c b -=9a c -=13，得161115,,777a b c ===. 经检验，都是符合条件的.【点睛】本题考查相似三角形的对应边的比相等，解题关键是分类讨论.15．．【分析】连接OC 、OA ，由圆周角定理可得AOC 60∠=︒，在Rt OAE 中，由AE sin AOC?OA ∠=求出AE 的值，再由垂径定理即可求出AB 的值.【详解】连接OC 、OA ，30ABC ∠=︒，60AOC ∴∠=︒， AB 为弦，点C 为弧AB 的中点，OC AB ∴⊥，在Rt OAE 中，·AE sin AOC OA =∠=AB ∴=故答案为【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理及锐角三角函数的概念，由圆周角定理可得AOC 60∠=︒是解答本题的关键.16【解析】【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值求解.【详解】解：原式=1212【点睛】本题考查零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值.17．a =【解析】【分析】由边相等得到角相等，再由两角相等得到△BCD ∽△ACB ，然后利用相似三角形对应边成比例得到BC ：CD=AC ：BC ， a ：1=（a+1）：a 即a 2-a-1=0就可以解得a 的值.【详解】解：∵AB BC BD CD ==，∴∠A=∠C ，∠1=∠C∴∠A=∠1∴△BCD ∽△ACB∴BC ：CD=AC ：BC∵ 1BC a CD == AC=AD+DC= a+1∴a ：1=（a+1）：a 即a 2-a-1=0解得： a =∴a =【点睛】本题考查相似三角形的判定定理和性质，解题关键是证明三角形相似和相似三角形对应边成比例.18．（1）(1,6)B -；（2）61x -≤≤-.【解析】【分析】（1）把交点A 的坐标代入解析式，利用待定系数法求出解析式，联立组成方程组，即可得点B 坐标；（2）观察图像可得12y y ≥时x 的取值范围.【详解】解：（1）∵一次函数1y x m =+的图像与反比例函数2(0)k y x x =<的图像交于()6,1A - ∴把()6,1A -代入解析式，得：1=-6+m ，m=7；1=6k -，解得k=-6 ∴一次函数1y x =+7，反比例函数26(0)y x x -=< 解方程组76y x y x =+⎧⎪-⎨=⎪⎩得1116x y =-⎧⎨=⎩ ，2261x y =-⎧⎨=⎩ ∴()1,6B -点的坐标为：（2）当61x -≤≤-时，12y y ≥【点睛】本题考查待定系数法和根据图像求不等式组解集.19．2046.0AD =≈米.【解析】【分析】过C 作CF 垂直于坡底的水平线BD 于点F ，再由=30B ∠︒，BC=40米；解Rt △CFB 可得CF 即DE 的高；在Rt △ACE 中，解可得AE 的长，再由AD=AE+ED ，求出答案．【详解】解：如图，过C 作CF 垂直于坡底的水平线BD 于点F ，Rt △BCF 中∵=30B ∠︒，BC=40∴CF=12BC=12×40=20， 在Rt △ACE 中，∵∠ACE=60°，30AC =∴AE=AC×sin ∠∴2046.0AD =≈米.【点睛】本题考查仰角的定义，解题关键是能借助仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．20．（1）()22127,41y x y x =+=+-；（2）()0,2P -或()0,16P . 【解析】【分析】（1）先把点()2,3B -代入抛物线的顶点式，用待定系数法求解析式，再由A 、B 坐标求出一次函数的解析式；（2）根据PAB ∆的面积=S △PCA -S △PBC =12PC×（4-2）=9即可解答. 【详解】（1）解：设y 1=a （x+4）2-1，把点()2,3B -代入解析式得,3= a （-2+4）2-1，解得：a=1∴()2141y x =+-；设y 2=kx+b ，把()4,1A --和点()2,3B -代入得 -4-1-23k b k b +⎧⎨+⎩＝＝ 解得：27k b ⎧⎨⎩＝＝ 所以，一次函数解析式为y=2x+7；（2）∵()4,1A --、()2,3B -，点P 在y 轴上.∴点A 、B 到x 轴的距离分别是4、2，∴PAB ∆的面积=S △PCA -S △PBC =12PC×（4-2）=9 解得PC=9，∵一次函数解析式为y=2x+7与x 轴交于点C∴C(0，7)，OC=7，又∵PC=9∴OP=7+9=16或OP=9-7=2∴()0,2P -或P （0,16）【点睛】本题考查一次函数和二次函数的综合运用，解题关键是熟练掌握待定系数法求解析式.21．（1）证明见解析；（2）30【解析】【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等可得：∠ACB=∠APB ，再根据三角形外角大于不相邻的内角即可解答；（2）由垂径定理可得AE=EB=12AB ，∠EOB=12∠AOB ；在Rt △OBE 中，再由OB =2a ，EB= a ，可得∠EOB=30°，∠AOB=2∠EOB=60°，根据圆周角定理可得结果.【详解】解：（1）证明：连接BC ，∵∠ACB=∠APB （同弧所对的圆周角相等）∠ACB AQB >∠（三角形外角大于不相邻的内角）∴APB AQB ∠>∠（2）当球员运动到点Q 时，射门角最大．∵OE ⊥AB,∴AE=EB=12AB=12×2a=a，EC=EB+BC=2a，∠EOB=12∠AOB连接AQ、BQ，由题意得四边形OQCE是矩形，OQ=EC=2a=OB，Rt△OBE中，∵OB =2a，EB= a∴∠EOB=30°，∠AOB=2∠EOB=60°∴∠AQB=12∠AOB=30°.【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理等，解题关键是熟练掌握定理.22．（1）118(60160)20y x x=-+≤≤；（2）max160,200x W==万元；（3）能，售价为100元/件.【解析】【分析】（1）设y=kx+b，则由图象可求得k，b，从而得出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围60≤x≤160；（2）设公司第一年获利W万元，则可表示出W=-120-（x-160）2+200，则2017年该公司的最大利润200万元；（3）980-200=780万元，（x-40）（11820x-+）=780，解得x1=100，x2=300，即2018年利润为780万元. 【详解】解：（1）设y=kx+b，则由图象知：6015 16010k bk b+⎧⎨+⎩＝＝解得k=120-，b=18，即1186016020y x x=-+≤≤（）.（2）设公司1017年获利W万元，则W=（x-40）y-1000=（x-40）（11820x-+）-100= W=-120-（x-160）2+200（3）980-200=780万元，即2018年利润为780万元.（x-40）（11820x-+）=780，解得x1=100，x2=300（不符合题意，舍去）即能，售价为100元/件. 【点睛】本题是一道一次函数、二次函数的综合题，考查了二次函数的应用，还考查了用待定系数法求一次函数的解析式．23．（1）见解析；（2）AF 【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，可得180D BCD ∠+∠=︒，ABF BEC ∠=∠，再由补角的性质可得BCD AFB ∠=∠，即可证△ABF ∽△BEC ；（2）由锐角三角函数可求DE=3，由勾股定理可求AE ，BE 的长，由相似三角形的性质可求∠BAF=∠CBE=∠FBA=∠BEC ，即可得AF=BF=EF=12 【详解】（1）四边形ABCD 是平行四边形AD BC ∴，AB CD ， 180D BCD ∴∠+∠=︒，ABF BEC ∠=∠，AFE D ∠=∠，180AFE AFB ∠+∠=︒BCD AFB ∴∠=∠，且ABF BEC ∠=∠，ABF ∴∽BEC（2）四边形ABCD 是平行四边形8AB CD ∴==，5AD BC ==，cos D ∠=35DE AD =， 3DE ∴=， 5EC CD DE ∴=-=，4AE ==，BE ∴5EC BC ==，BEC CBE ∴∠=∠， ABF ∽BEC ，BAF CBE FBA BEC ∴∠=∠=∠=∠，AF BF ∴=，FAE FEA ∠=∠，AF EF ∴=，12AF BF EF BE ∴====. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的概念，熟练运用相似三角形的判定与性质是本题的关键．24．（1）证明见解析；（2）①11,,33ADAH GC HB ==；②11,,44AD AH GC HB ==（3）1511AH =.【解析】【分析】（1）证明四边形DEFG 是矩形即可证出问题；（2）//AP BD ,易证AHP BHD ∽∆∆,设GF x =，易知,2DE x GB x ==；由射影定理可知,,GD FD BD =；故PAADx GD =,得PA =；然后求结果.（3）可设为HM 为3x ，易得34412655x x-=，解得811x =，则81555551111AH x =-=-⨯=【详解】（1）证明：易证四边形DEFG 是矩形，∴90GDE ADB ∠=∠=︒，∴ADE GDB ∠=∠；（2）①11,,33ADAHGC HB ==；②11,,44AD AH GC HB ==证明：作//AP BD ,∴AHP BHD ∽∆∆,设GF x =，则,2DE x GB x ==由射影定理可知,,GD FD BD = ∴PAAD x GD =,即PA x = ∴14APBD =,则14AH HB =,14ADGC =（3）设HM 为=x 由题意得34412655x x-=， 解得811x =，81555551111AH x ∴=-=-⨯=【点睛】本题考查矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握它们的综合运用，本题难度大..。
沪科版九年级上册数学期末考试试卷含答案解析
沪科版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．已知点()2,3P -在反比例函数k y x =上，则k 的值等于（ ） A ．6 B ．6- C ．5 D ．12．下列函数中，能表示y 是x 的二次函数的是（ ）A ．21y x =B ．221y x =+C ．22x y = D ．222(3)2y x x =+- 3．一个容器内盛满纯酒精50kg ，第一次倒出若干千克纯酒精后加入同千克的水；第二次又倒出相同千克的酒精溶液，这时容器内酒精溶液含纯酒精ykg ，设每次倒出的xkg ，则y 与x 之间的函数关系式为（ ）A ．()5050y x =-B ．5050x y -=C ．2(50)y x =-D ．250(1)50x y =- 4．如图，CD 是Rt ABC 斜边AB 上的高，6CD =，4BD =，则AB 的长为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．135．函数2y ax a =+与()0a y a x=≠，在同一坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 6．购买x 斤水果需24元，购买一斤水果的单价y 与x 的关系式是（ ）A ．24y (x 0)x => B ．24y x =（x 为自然数） C ．24y x =（x 为整数） D ．24y x=（x 为正整数） 7．抛物线2(2)1y x =++的顶点坐标是（ ）A ．(2, 1)B ．(2, -1)C ．(-2, 1)D ．(-2, -1) 8．二次函数2815y x x =-+的图象与x 轴相交于A 、B 两点，点C 在该函数的图象上移动，能使ABC 的面积等于1的点C 共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，在ABC 中，90C ∠=，2BC =，3AB =，则cos B 的值为（ ）A ．23B ．32CD 10．三角形ABC 的面积一定，BC 的长为y ，BC 边上的高为x ，则x 与y 的函数关系用图象大致表示为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．若25x y y -=，则x y=________． 12．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，当函数值0y <时，自变量x 的取值范围是________．13．已知锐角A 与锐角B 的余弦值满足cosA ＜cosB ，则∠A 与∠B 的大小关系是____． 14．已知a 、b 、c 、d 是成比例线段，其中3a cm =，4b cm =，12d cm =，则c =______． 15．某商店将每件进价8元的商品按每件10元出售，一天可以售出约100件，该商店想通过降低售价增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件，那么要想使销售利润最大，则需要将这种商品的售价降低_______元.16．设二次函数222(0)2a y x ax a =++<的图象顶点为A ，与x 轴交点为B 、C ，当ABC 为等边三角形时，a 的值为________．17．若点P 是AB 的黄金分割点()AP BP <，则线段AP 、BP 、AB 满足关系式________． 18．如图，身高为1.8米的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在B 处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AB =2米，BC =18米，则旗杆CD 的高度是______米．19．反比例函数y =(2k +1)x k 2−2在每个象限内y 随x 的增大而增大，则k =________． 20．在同一时刻太阳光线与水平线的夹角是一定的．如图，有一垂直于地面的物体AB ．在某一时刻太阳光线与水平线的夹角为30°时，物体AB 的影长BC 为4米；在另一个时刻太阳光线与水平线的夹角为45°时，则物体AB 的影长BD 为_____米．（结果保留根号）三、解答题21．计算：28sin 60tan 454cos30︒+︒-︒．22-（sin45°）-123．如图，已知：ABC 中，9AC =，6BC =，问：边AC 上是否存在一点D ，使ABC BDC ∽？如果存在，请求出CD 的长度．24．如图，已知ABC ADE ∽，5AE cm =，3EC cm =，7BC cm =，45BAC ∠=，40C ∠=．()1求AED ∠和ADE ∠的大小；()2求DE 的长．25．张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．()1求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；()2当x 为何值时，S 有最大值并求出最大值．（参考公式：二次函数()20y ax bx c a =++≠，当2b x a =-时，()244ac b y a -=最大小值）26．如图，点M 是反比例函数5(0)y x x=>图象上的一个动点，过点M 作x 的平行线交反比例函数5(0)y x x=-<图象于点N ．()1若点M 的坐标为()1,5，则点N 的坐标为________；()2若点P 是x 上的任意一点，则PMN 的面积是否发生变化？请说明理由．27．峨眉河是峨眉的一个风景点．如图，河的两岸PQ 平行于MN ，河岸PQ 上有一排间隔为50米的彩灯柱C 、D 、E 、…，小华在河岸MN 的A 处测得∠DAN =21∘，然后沿河岸走了175米到达B 处，测得∠CBN =45∘，求这条河的宽度（参考数据：sin21∘≈925，tan21∘≈38）．28．如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 对折，点C 落在E 处，BE 与AD 相交于点F ． （1）求证：△BFD 是等腰三角形；（2）若BC=4，CD=2，求∠AFB 的余弦值．29．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D 是边AC 的中点，CE ⊥BD 交AB 于点E ．（1）求tan ∠ACE 的值；（2）求AE ：EB ．参考答案1．B【解析】把点P （−2，3）代入反比例函数y ＝kx ，求出k 的值即可．【详解】∵点P （−2，3）在反比例函数y ＝kx 上，∴3＝k2-，k ＝−6．故选：B ．【点睛】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的系数，是中学阶段的重点． 2．C【解析】分别利用正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的定义分析得出答案．【详解】A 、21y x =不是二次函数关系，故此选项错误；B 、221y x =+不是二次函数关系，故此选项错误；C 、22x y =是二次函数，故此选项正确；D 、222(3)2y x x =+-化简是一次函数关系，故此选项错误；故选：C【点睛】本题考核知识点：二次函数. 解题关键点：理解二次函数定义.3．D【解析】先求出加水后酒精浓度=5050x-，然后根据酒精质量=溶液质量×酒精浓度可得出答案．【详解】解：加水后酒精浓度=5050x-，第二次倒出后容器内剩余的质量为：（50-x ）kg ，故剩余的酒精=()250505015050x x x -⎛⎫-⨯=⨯- ⎪⎝⎭， 故选：D ．【点睛】本题考查了根据实际问题抽象二次函数关系式的知识，求出酒精浓度及剩余的溶液质量是解答本题的关键．4．D【解析】【分析】根据射影定理，CD 2=AD•BD ，求出AD,再求AB.【详解】根据射影定理，CD 2=AD•BD ，∴AD=9，∴AB=AD+BD=13．故选：D【点睛】本题考核知识点：相似三角形.解题关键点：理解相似三角形性质.5．D【解析】【分析】由二次函数y=ax 2+a 中一次项系数为0，我们易得函数y=ax 2+a 的图象关于y 轴对称，然后分当a ＞0时和a ＜0时两种情况，讨论函数y=ax 2+a 的图象与函数y=a x （a≠0）的图象位置、形状、顶点位置，可用排除法进行解答．【详解】解：由函数y=ax 2+a 中一次项系数为0，我们易得函数y=ax 2+a 的图象关于y 轴对称，可排除A ；当a ＞0时，函数y=ax 2+a 的图象开口方向朝上，顶点（0，a ）点在x 轴上方，可排除C ； 当a ＜0时，函数y=ax 2+a 的图象开口方向朝下，顶点（0，a ）点在x 轴下方，函数y=a x（a≠0）的图象位于第二、四象限，可排除B ；【点睛】本题考查的知识点是函数的表示方法-图象法，熟练掌握二次函数及反比例函数图象形状与系数的关系是解答本题的关键.6．A【分析】根据单价=总价除以数量，可得结果.【详解】根据单价=总价除以数量，可得y=24x(x>0).故选A【点睛】本题考核知识点：列反比例函数. 解题关键点：熟记常见数量关系.7．C【分析】已知抛物线的顶点式可直接写出顶点坐标．【详解】解：由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y=（x+2）2+1的顶点坐标是（-2，1）．故选C．【点睛】本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线y=（x+a）2+h中，其顶点坐标为（-a，h）．8．C【分析】首先解方程x2-8x+15=0可求出A和B的坐标，进而得到AB的长，因为△ABC的面积为1，设C点坐标为（m，n）．所以看可求出n的值，进而得到点C的坐标．【详解】解：解方程x2-8x+15=0得：x1=3，x2=5，∴A点坐标为（3，0），B点坐标为（5，0）．∴线段AB的长为2，设C点坐标为（m，n）．由题意知12AB•|n|=1．∴n=±1．在二次函数关系式y=x2-8x+15中，令y=1，解得：x12令y=-1，解得：x3=x4=4，综上可知C点坐标为（）故选C．【点睛】本题考查了求抛物线与x轴的交点及两点之间的距离，在抛物线上求符合条件的点的方法．9．A【解析】【分析】根据余弦函数的定义即可求解．【详解】解：cosB=23 BCAB,故选：A．【点睛】本题考查了余弦的定义，在直角三角形中，余弦为邻边比斜边．10．B【解析】【分析】设三角形ABC的面积为S，根据三角形的面积公式得到x和y的关系式，再判断是何种函数，由自变量的取值范围进而的得到函数的图象．【详解】解：设三角形ABC的面积为S，则S=12x•y，∴y=2S x,∴BC的长为y，BC边上的高为x是反比例函数，∴函数图象是双曲线；∵x＞0，y＞0，∴该反比例函数的图象位于第一象限．故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象．现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．11．75【解析】【分析】 利用分式的性质，将原方程变形为x y -125=，即而可得x y 的值. 【详解】解：原方程可变形为x y -125=， ∴ x y =25+1=75 故答案为：75【点睛】本题考查了分式的性质，注意整体代换思想在本题中的应用.12．13x -<<【分析】求函数值y ＜0时，自变量x 的取值范围，就是求当函数图象在x 轴下方时，对应的x 的取值范围．【详解】解：如图，函数值y ＜0时，自变量x 的取值范围是-1＜x ＜3．故答案是：-1＜x ＜3．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，理解求函数值y ＜0时，自变量x 的取值范围，就是求当函数图象在x 轴下方时自变量的范围是关键，体现了数形结合思想．13．∠A ＞∠B ．【解析】∵锐角A 与锐角B 的余弦值满足cosA<cosB ，∴∠A>∠B ，故答案为：∠A>∠B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．14．9cm【解析】【分析】根据比例线段的概念，列出比例式3：4=c：12，再进行计算即可．【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段，∴a：b=c：d，∵a=3cm，b=4cm，d=12cm，∴3：4=c：12，∴c=9cm，故答案为；9cm．【点睛】本题考查了比例线段，关键是理解比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质．15．0.5【解析】解：将这种商品售价降低x元时，所获利润最大，获利最大利润为y元，则，根据二次函数的性质可得，函数的顶点位置取得最大值，∴当元时，所获利润最大．即最大利润为（元）．故答案为0.5．16．【分析】令y=0，则可得22202a x ax ++=，利用韦达定理可求解其两根之差，即为BC 的长度；再由二次函数性质可得A （-a ，22a -），则运用特殊角60°的正切可得到关于a 的等式并求解a 的值.【详解】解：令y=0，可得22202a x ax ++=，令方程两根为x 1＜x 2，则， BC= x 2-x 1，则tan60°2aa=【点睛】本题综合考查了二次函数与一元二次方程的联系及特殊角的三角函数.17．2BP AB AP =⋅【解析】【分析】黄金分割的定义：把一条线段分成两条线段，使其中较长的线段是原线段和较短线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割，这个点叫做这条线段的黄金分割点．根据定义即可求解．【详解】解：∵点P 是AB 的黄金分割点（AP ＜BP ），∴BP 2=AB•AP ．故答案为BP 2=AB•AP ．【点睛】本题考查了黄金分割的概念．特别注意这里的BP 是较长线段，牢记定义是解题的关键． 18．18．【详解】解：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AC ，BE CD ∴，∴△ABE ∽△ACD ，BE AB CD AC ∴=， 1.82218CD ∴=+， 解得：18CD =，故答案为18.点睛：同一时刻，物体的高度与影长的比相等.19．k ＝－1【解析】由题意可知，{k 2−2=−12k +1<0解之得k ＝－120【分析】根据∠C=30°，BC=4，可知AB 的长，由·∠ADB=45°，可知AB=BD ，即可求得BD 的长．【详解】解：由题意可得，∠B=90°，BC=4，∠C=30°，∴tan30°=4AB AB BC == ，∴， ∵∠B=90°，∠ADB=45°，∴AB=BD ，∴【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值，并在解题过程中灵活运用是解题关键．21．7-【分析】先根据特殊角的三角函数运算，再运用实数运算法则计算即可．【详解】原式2814=⨯+-⎝⎭3814=⨯+-61=+-7=-【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是中考题中常见的计算题型，解答的关键是熟记特殊角的三角函数值．22．．【分析】将特殊锐角的三角函数值代入，同时化简二次根式、计算绝对值，再进一步计算可得．【详解】解：原式-1-）．【点睛】本题主要考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握实数的混合运算顺序和运算法则及特殊锐角的三角函数值．23．4【分析】已知△ABC ∽△BDC ，根据相似三角形的对应边成比例直接求得DC 的长度即可．【详解】存在点D ．∵△ABC ∽△BDC ， ∴AC BC BC CD =，即966CD =， 解得：CD=4．即CD 的长度为4．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，利用相似三角形对应边成比例的性质求线段的长度，是求线段长度常用的一种方法．24．（1） 40°； 95°；（2）358cm ． 【详解】试题分析：（1）由三角形内角和定理求出∠B=95°，由相似三角形的性质得出∠AED=∠C=40°，∠ADE=∠B=95°即可；（2）由相似三角形的对应边成比例得出AE DE AC BC =，即可得出 DE 的长． 试题解析：（1）∵∠BAC=45°，∠C=40°，∴∠B=180°-45°-40°=95°，∵△ABC ∽△ADE ，∴∠AED=∠C=40°，∠ADE=∠B=95°；（2）∵△ABC ∽△ADE ， ∴AE DE AC BC =， 即5537DE =+， 解得：DE=358cm ． 考点：相似三角形的性质．25．(1)2 232S x x =-+;(2)8x =时，S 有最大值，最大值是128平方米． 【解析】【分析】在题目已设自变量的基础上，表示矩形的长，宽；用面积公式列出二次函数，用二次函数的性质求最大值．【详解】解：()1由题意，得()322S AB BC x x =⋅=-，∴2232S x x =-+．()2∵20a =-<，∴S 有最大值． ∴()328222b x a =-=-=⨯-时，有()22432128442ac b S a --===⨯-最大． ∴8x =时，S 有最大值，最大值是128平方米．【点睛】本题主要考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．26．(1)点N 的坐标为(-1, 5)；(2) PMN 的面积不会发生变化，理由详见解析．【解析】【分析】（1）M 与N 关于y 轴对称，利用对称点的坐标的关系即可求解；（2）点M 的坐标为（a ，5a ），即可求得N 的坐标，则MN 的长度可以利用a 表示，M 点的纵坐标的值就是MN 边上的高，然后利用三角形的面积公式即可表示出△MNP 的面积，从而判断面积是否与a 的值有关．从而判断△PMN 的面积是否发生变化．【详解】解：()1点N 的坐标为()1,5-；（2）PMN 的面积不会发生变化．理由是：设点M 的坐标为5,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当5y a=时，55x a -=， 解得x a =-，即点N 的坐标为5,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴()2MN a a a =--=， ∴1152522PMN S MN h a a=⋅=⨯⨯=． ∴PMN 的面积不会发生变化．第()2小题另解的思路：()2PMN 的面积不会发生变化．理由是：如右图，过点N 作//NA MP ，NB x ⊥轴，MC x ⊥轴，易证得：四边形NAPM 是平行四边形，四边形NBCM 是矩形．∵点M 、N 分别在反比例函数5y x =与5y x =-的图象上， ∴2510NBCM S =⨯=矩形， ∴11522PMN NAPM NBCM S S S ===四边形矩形， ∴PMN 的面积不会发生变化．【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．27．75【解析】试题分析：作AS ⊥PQ ，CT ⊥MN ，垂足分别为S ，T ． 1分由题意知，四边形ATCS 为矩形，所以AS=CT ，SC=AT ．设这条河的宽度为x 米．在Rt △ADS 中，因为tan∠ADS =AS SD ，所以SD =AS tan∠ADS =x tan21°=83x ． 3分在Rt △BCT 中，因为∠CBT =45°，所以BT =CT =x ． 5分因为SD+DC =AB+BT，所以83x+50=175+x，8分解得x=75，即这条河的宽度为75米．考点：5解一元一次方程点评：解答本题的关键是读懂题意，准确理解运算符号“△”的运算顺序，正确列出方程.28．（1）见解析；（2）3 5【分析】(1)由折叠可知∠1＝∠2，根据基本图形“平行线＋角平分线→等腰三角形”可证；(2)利用(1)的结论，在直角△ABF中结合勾股定理列方程求BF，AF的长，即可求∠AFB的余弦.【详解】解：(1)依题意，∠1＝∠2，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴△BFD为等腰三角形；(2)由(1)可知BF＝DF，设BF＝x，则AF＝4﹣x，在Rt△BAF中，(4﹣x)2＋22＝x2，解得：x＝52，∴AF＝4﹣5322＝，∴cos∠AFB＝35．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与勾股定理的运用，在矩形的折叠问题中经常会出现基本图形“平行线＋角平分线→等腰三角形”，等腰三角形和勾股定理的结合在解矩形中的折叠问题是通常运用的方法.29．（1）23（2）8:9【分析】（1）根据同角的余角相等可证得: ∠ACE=∠CBD,因为点D是AC的中点,所以CD=2,所以tan∠ACE=tan∠CBD=23 CDBC=；(2) 过A作AC的垂线交CE的延长线于P,在△CAP中,CA=4,∠CAP=90°,所以tan∠ACP=2 3 ,所以AP=28433⨯=,又因为∠ACB=90°,∠CAP=90°,可证得BC∥AP, 所以AE:EB=AP:BC=8:9.【详解】（1）因为∠ACB=90°,CE⊥BD,所以∠ACE=∠CBD,在△BCD中,BC=3,CD=12AC=2,∠BCD=90°,tan∠CBD=2 3 ,即tan∠ACE=2 3 .（2）过A作AC的垂线交CE的延长线于P,则在△CAP中,CA=4,∠CAP=90°,tan∠ACP=2 3 ,得AP=28 433⨯=,又∠ACB=90°,∠CAP=90°,得BC∥AP, 得AE:EB=AP:BC=8:9.。
沪科版九年级上册数学期末考试试卷附答案详解
沪科版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列函数是二次函数的是（ ）A ．21y x =+B ．y 2x 1=-+C ．2y x 2=+D ．1y x 22=- 2．在Rt △ABC 中，∠A=90°，AC=a ，∠ACB=θ，那么下面各式正确的是（ ） A ．=sin AB a θ⋅ B ．=cos AB a θ⋅ C ．=tan AB a θ⋅ D ．=cot AB a θ⋅ 3．已知二次函数232)1y x =-+（，当x=３时,y 的值为（ ）A ．4B ．-4C ．3D ．-34．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2-4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是( )A ．2y (x 2)2=++B ．2y (x 2)2=--C ．2y (x 2)2=-+D ．2y (x 2)2=+- 5．在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 是边AC 上的中线，AD 与BE 相交于点G ，那么AG 的长为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．无法确定． 6．若点M 、N 是一次函数y 1=﹣x+5与反比例函数y 2=k x （k≠0，x ＞0）图象的两个交点，其中点M 的横坐标为1，下列结论：①一次函数y 1=﹣x+5的图象不经过第三象限；②点N 的纵坐标为1；③若将一次函数y 1=﹣x+5的图象向下平移1个单位，则与反比例函数y 2=k x （k≠0，x ＞0）图象有且只有一个交点；④当1＜x ＜4时，y 1＜y 2．其中结论正确的个数是（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个7．抛物线y=5x 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是 A ．（2，3） B ．（﹣2，3） C ．（2，﹣3） D ．（﹣2，﹣3） 8．如图，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M ，设⊙O 1的半径为y ，AM=x ，则y 关于x 的函数关系式是 （ ）A ．214y x x =-+B ．2y x x =-+C ．214y x x =--D ．214y x x =--9．下表中所列x ，y 的数值是某二次函数y=ax 2+bx+c 图象上的点所对应的坐标，其中x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5＜x 6＜x 7 ， 根据表中所提供的信息，以下判断正确的是（ ）． ①a ＞0；②9＜m ＜16；③k≤9；④b 2≤4a （c ﹣k ）．A ．①②B ．③④C ．①②④D ．①③④ 10．如图，反比例函数(0)k y k x=≠的图象上有一点A ，AB 平行于x 轴交y 轴于点B ，AC 平行于y 轴交x 轴于点C ，四边形ABOC 的面积为5，则反比例函数的表达式是（ ）A ．52y x =B ．5y x =-C ．5y x =D ．34y x=二、填空题11．抛物线2y x 6x 10=-+的对称轴为________．12．已知二次函数2(2)3y x =-+，当x_______________时，y 随x 的增大而减小． 13．抛物线 21322y x x =+- 与y 轴的交点坐标是________. 14．设函数2y x=与1y x =-的图象的交点坐标为(,)a b ，则11a b -的值为__________. 15．a 、b 、c 是实数，点A （a+1、b ）、B （a+2，c ）在二次函数y=x 2﹣2ax+3的图象上，则b 、c 的大小关系是b____c （用“＞”或“＜”号填空）16．已知△ABC 与△DEF 相似且周长比为2：5，则△ABC 与△DEF 的相似比为________ 17．已知抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），则该抛物线的解析式为________． 18．如图，已知双曲线 k y x= （x ＞0）经过矩形OABC 的边AB 、BC 上的点F 、E ，其中CE= 13 CB ，AF= 13AB ，且四边形OEBF 的面积为2，则k 的值为________．19．小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B 、C 两点的俯角分别为45°、35°．已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100m ，求热气球离地面的高度_________．（结果保留整数）（参考数据：sin 350.57︒=，cos350.82︒=，tan 350.70︒=）三、解答题20．如图，△ABC 中，DE//BC ，EF//AB ．求证：△ADE ∽△EFC ．21．如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面BC 改建为坡度1：0．5的迎水坡AB ，已知(即求AC 的长)22．已知反比例函数k 1y=x-（k 为常数，k≠1）． （Ⅰ）其图象与正比例函数y=x 的图象的一个交点为P ，若点P 的纵坐标是2，求k 的值；（Ⅱ）若在其图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；（Ⅲ）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），当y 1＞y 2时，试比较x 1与x 2的大小．23．太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC 如图2所示，BC =10米，∠ABC =∠ACB =36°，改建后顶点D 在BA 的延长线上，且∠BDC =90°，求改建后南屋面边沿增加部分AD 的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95．tan18°≈0.32，sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1y ax b （a ，b 为常数，且0a ≠）与反比例函数2m y x=（m 为常数，且0m ≠）的图象交于点A （﹣2，1）、B （1，n ）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）连结OA 、OB ，求△AOB 的面积；（3）直接写出当120y y <<时，自变量x 的取值范围．25．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，垂足为D ，E 为BC 上一点，连接AE ，作EF AE ⊥交AB 于F ．（1）求证：EFB AGC ∆∆．（2）除（1）中相似三角形，图中还有其他相似三角形吗？如果有，请把它们都写出来．(证明不做要求)26．如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得∠AEP ＝74°，∠BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BFQ ＝60°，EF ＝1km ．（1）判断AB 、AE 的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A 和B 之间的距离（结果精确到0.1km ）．（参考数据：≈1.73，sin74°≈，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）27．反比例函数2k y x=和一次函数21y x =-，其中一次函数的图象经过a b （，），1,a b k ++（）两点.（1）求反比例函数的表达式.（2）如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求点A 的坐标.（3）利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.参考答案1．C【详解】根据二次函数的定义，形如2y ax bx c =++（其中a ，b ，c 是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，所给函数中是二次函数的是2y x 2=+．故选C ．2．C【详解】本题可以利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可．故选C3．A.【解析】试题分析：由题意得，将3=x 代入到1)2(32+-=x y 中，得4=y ，故选：A. 考点：二次函数求值.4．B先确定抛物线y＝2x2-4的顶点坐标为（0，-4），再把点（0，-4）先向右平移2个单位，再向上平移2个单位后得到的点的坐标为（2，-2），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式即可．【详解】抛物线y＝x2-4的顶点坐标为（0，-4），把点（0，-4）先向右平移2个单位，再向上平移2个单位后得到的点的坐标为（2，-2），所以所得的抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2-2．故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，由顶点式即可求出解析式．5．B【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AD，再判断点G为△ABC的重心，然后根据三角形重心的性质来求AG的长．【详解】如图所示：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴3=，∵中线BE与高AD相交于点G，∴点G为△ABC的重心，∴AG=3×23=2．故选B．考查了等腰三角形的性质和勾股定理以及三角形的重心的性质，判断点G为三角形的重心是解题的关键．6．B【解析】试题分析：一次函数经过一、二、四象限，则①正确；根据题意得：M（1,4），反比例函数，两个函数的交点坐标为M（1，4）、N（4，1），则②正确；当一次函数向的解析式为y=4x下平移1个单位后的解析式为y=－x+4，则与反比例函数的交点坐标为（2,2），则③正确；当0＜x＜1或x＞4时，y1＜y2，则④错误.考点：反比例函数与一次函数7．A【解析】【分析】根据平移规律，可得顶点式解析式．【详解】y=5x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得y=5（x-2）2+3顶点坐标为（2，3），故选A．【点睛】考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．8．A【分析】连接O1M，OO1，可得到直角三角形OO1M，在直角三角形中，利用勾股定理即可解得．【详解】连接O1M，OO1，如图所示：可得到直角三角形OO 1M ，依题意可知⊙O 的半径为2，则OO 1=2-y ，OM=2-x ，O 1M=y ．在Rt △OO 1M 中，由勾股定理得（2-y ）2-（2-x ）2=y 2，解得y=-14x 2+x ． 故选A ．【点睛】解题关键是作连心线、连接圆心和切点得到直角三角形是常用的辅助线作法.9．C【解析】试题分析：∵x 1＜x 2＜x 3＜x 4＜x 5＜x 6＜x 7，其对应的函数值是先减小后增加，∴抛物线开口向上，∴a ＞0，①正确；∴k ＜9＜m ＜16，∴9＜m ＜16，②正确；∴k ＜9，③不正确；∵244ac b k a-≥，a ＞0，∴4ac ﹣b 2≥4ak ，∴b 2≤4a （c ﹣k ），④正确．综上可得，判断正确的是：①②④．故选C ．考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质．10．C【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义知k =四边形ABOC 的面积.【详解】k =四边形ABOC 的面积=5∴k=5或-5 又函数图象位于第一象限∴k=5，则反比例函数解析式为5y x=故选C.【点睛】 本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，本题是中考的重点，同学们应高度重视. 11．直线3x =【解析】试题分析：抛物线y ＝x 2－6x ＋10的对称轴为：x ＝2b a -＝621--⨯＝3， 故答案为x ＝3．点睛：主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．通常有两种方法：（1）公式法：y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为（2b a -，244ac b a -），对称轴是x ＝2b a -； （2）配方法：将解析式化为顶点式y ＝a （x －h ）2＋k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x ＝h ． 12．＜2（或x≤2）．【详解】试题分析：对于开口向上的二次函数，在对称轴的左边，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大.根据性质可得：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小.考点：二次函数的性质13．（0，32-） 【详解】∵在21322y x x =+-中，当0x =时，32y =-， ∴ 抛物线21322y x x =+-与y 轴的交点坐标为3(0?)2-，. 点睛：一般情况下，抛物线2() 0y ax bx c a =++≠和y 轴的交点坐标为(0?)c ，. 14．−12. 【解析】【分析】把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程，求得a ，b 的解，整理求得11a b-的值即可． 【详解】∵函数2yx=与y=x−1的图象的交点坐标为(a,b)，∴b=2a，b=a−1，∴2a=a−1，a2−a−2=0，(a−2)(a+1)=0，解得a=2或a=−1，∴b=1或b=−2，∴11a b-的值为−12.故答案为−1 2 .【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程15．＜【详解】试题分析：将二次函数y＝x2－2ax＋3转换成y＝(x-a)2-a2＋3,则它的对称轴是x=a,抛物线开口向上，所以在对称轴右边y随着x的增大而增大，点A点B均在对称轴右边且a+1<a+2,所以b<c.16．2：5．【解析】试题分析：直接根据相似三角形性质进行解答即可．∵△ABC与△DEF相似且周长比为2：5，∴两三角形的形似比为2：5．故答案为2：5．考点：相似三角形的性质．17．y=x2﹣2x【解析】【分析】设出抛物线的顶点形式，把（0，0）代入计算求出a的值，即可确定出解析式．【详解】设出抛物线的顶点形式为y=a（x-1）2-1，把（0，0）代入得：a-1=0，解得：a=1，则抛物线解析式为y=（x-1）2-1=x2-2x．故答案是：y=x2-2x【点睛】考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．18．1【分析】设矩形的长为a，宽为b，则由已知表示出矩形的面积，三角形COE和三角形AOF的面积及四边形OEBF的面积，从而求出三角形AOF的面积，则求出k的值．【详解】设矩形的长为a，宽为b，则由CE=13CB，AF=13AB，得：CE=13a，AF=13b，∴三角形COE的面积为：16 ab，三角形AOF的面积为：16 ab，矩形的面积为：ab，四边形OEBF的面积为：ab-16ab-16ab=23ab，∵四边形OEBF的面积为2，∴23ab=2，∴ab=3，∴三角形COE的面积为：16ab=12，∴12k=12，又由于反比例函数的图象位于第一象限，k＞0；∴k=1，故答案为1．【点睛】本题考查了反比例函数 y=k x中k 的几何意义．这里体现了数形结合的思想，解答此类问题的关键是要正确理解k 的几何意义．19．233m【分析】作AD ⊥BC 交CB 的延长线于D ，设AD 为x ，表示出DB 和DC ，根据正切的概念求出x 的值即可．【详解】解：作AD ⊥BC 交CB 的延长线于D ，设AD 为x ，由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，在Rt △ADB 中，∠ABD=45°，∴DB=x ，在Rt △ADC 中，∠ACD=35°，tan AD ACD CD ∴∠=， 710010x x ∴=+， 解得，x≈233．所以，热气球离地面的高度约为233米．故答案为：233．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．20．证明见解析【详解】试题分析：根据平行线的性质得到∠ADE=∠C ，∠DFC=∠B ，∠AED=∠B ，等量代换得到∠AED=∠DFC，于是得到结论. 试题解析：∵ED∥BC,DF∥AB，∴∠ADE=∠C，∠DFC=∠B，∴∠AED=∠B，∴∠AED=∠DFC∴△ADE∽△DCF21．河床面的宽减少了4米．【分析】根据坡度为1：0.5，可知道BCAC =10.5，设AC的长为x，那么BC的长就为2x，根据勾股定理可列出方程求解．【详解】设AC的长为x，那么BC的长就为2x．x2+（2x）2=AB2，x2+（2x）2=（2，x=4．答：河床面的宽减少了4米．【点睛】本题考查的是坡度问题，坡比是指垂直高度与水平宽度的比；熟练掌握坡比的定义是解题关键.22．（Ⅰ）5（Ⅱ）k＞1（Ⅲ）x1＞x2【详解】解：（Ⅰ）由题意，设点P的坐标为（m，2）∵点P在正比例函数y=x的图象上，∴2=m，即m=2．∴点P的坐标为（2，2）．∵点P在反比例函数k1y=x-的图象上，∴k12=2-，解得k=5．（Ⅱ）∵在反比例函数k1y=x-图象的每一支上，y随x的增大而减小，∴k－1＞0，解得k＞1．（Ⅲ）∵反比例函数k 1y=x-图象的一支位于第二象限， ∴在该函数图象的每一支上，y 随x 的增大而增大．∵点A （x 1，y 1）与点B （x 2，y 2）在该函数的第二象限的图象上，且y 1＞y 2，∴x 1＞x 2．（1）设点P 的坐标为（m ，2），由点P 在正比例函数y=x 的图象上可求出m 的值，从而得出P 点坐标，再根据点P 在反比例函数k 1y=x -的图象上，所以k 12=2-，解得k=5． （2）由于在反比例函数k 1y=x-图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，故k －1＞0，求出k 的取值范围即可．（3）反比例函数k 1y=x -图象的一支位于第二象限，故在该函数图象的每一支上，y 随x 的增大而增大，所以A （x 1，y 1）与点B （x 2，y 2）在该函数的第二象限的图象上，且y 1＞y 2，故可知x 1＞x 2．23．1.9米【详解】试题分析：在直角三角形BCD 中，由BC 与sinB 的值，利用锐角三角函数定义求出CD 的长，在直角三角形ACD 中，由∠ACD 度数，以及CD 的长，利用锐角三角函数定义求出AD 的长即可．试题解析：∵∠BDC=90°，BC=10，sinB=， ∴CD=BC•sinB=10×0.59=5.9， ∵在Rt △BCD 中，∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣36°=54°， ∴∠ACD=∠BCD ﹣∠ACB=54°﹣36°=18°，∴在Rt △ACD 中，tan ∠ACD=， ∴AD=CD•tan ∠ACD=5.9×0.32=1.888≈1.9（米）， 则改建后南屋面边沿增加部分AD 的长约为1.9米．考点：解直角三角形的应用24．（1）11y x =--， 22y x=-；（2）32；（3）1x >． 【分析】（1）将A 坐标代入反比例函数解析式中求出m 的值，即可确定出反比例函数解析式；将B 坐标代入反比例解析式中求出n 的值，确定出B 坐标，将A 与B 坐标代入一次函数解析式中求出a 与b 的值，即可确定出一次函数解析式；（2）设直线AB 与y 轴交于点C ，求得点C 坐标，AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+，计算即可； （3）由图象直接可得自变量x 的取值范围．【详解】（1）∵A （﹣2，1），∴将A 坐标代入反比例函数解析式2m y x=中，得2m =-， ∴反比例函数解析式为22y x=-， 将B 坐标代入22y x =-，得2n =-， ∴B 坐标（1，﹣2），将A 与B 坐标代入一次函数解析式中，得：212a b a b -+=⎧⎨+=-⎩，解得11a b =-⎧⎨=-⎩， ∴一次函数解析式为11y x =--；（2）设直线AB 与y 轴交于点C ，令x=0，得y=﹣1，∴点C 坐标（0，﹣1），∵AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+=11121122⨯⨯+⨯⨯=32； （3）由图象可得，当120y y <<时，自变量x 的取值范围1x >．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．25．（1）证明见解析；（2）有，见解析．【分析】（1）通过线段垂直和三角形内角之和为180°求出BFE DGE ∠=∠和EAC BEF ∠=∠，从而证明AGC EFB △∽△．（2）通过两内角相等写出所有相似三角形即可．【详解】（1）∵CD AB EF AE ⊥⊥，∴90FDG FEG ∠=∠=︒ ，∴3609090180DGE DFE ∠+∠=︒︒︒=︒--又∵180BFE DFE ∠+∠=︒ ，∴BFE DGE ∠=∠ ，又∵DGE AGC ∠=∠∴AGC BFE ∠=∠ ，又∵90ACB FEG ∠=∠=︒ ，∴180909090AEC BEF AEC EAC ∠+∠=︒︒=︒∠+∠=︒-， ，∴EAC BEF ∠=∠ ，∴AGC EFB △∽△（2）∵90GAD FAE ADG AEF ∠=∠∠=∠=︒， ，∴AGD AFE △∽△ ；∴CAD BAC ∠=∠ ，∴ACD ABC △∽△ ，同理得BCD BAC ∽△△ ，∴ACD CBD △∽△ ，即ACD ABC CBD △∽△∽△ ，【点睛】本题考查了相似三角形的性质以及证明，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．26．（1）相等，理由见解析；（2）3.6【详解】（1）相等，证明：∵∠BEQ ＝30°，∠BFQ ＝60°，∴∠EBF ＝30°，∴EF ＝BF ．又∵∠AFP ＝60°，∴∠BFA ＝60°．在△AEF 与△ABF 中，EF ＝BF ，∠AFE ＝∠AFB ，AF ＝AF ，∴△AEF ≌△ABF ，∴AB ＝AE ．（2）法一：作AH ⊥PQ ，垂足为H ，设AE ＝x ，则AH ＝xsin74°，HE ＝xcos74°，HF ＝xcos74°＋1．Rt △AHF 中，AH ＝HF·tan60°，∴xcos74°＝(xcos74°＋1)·tan60°，即0.96x ＝(0.28x ＋1)×1.73， ∴x≈3.6，即AB≈3.6 km ．法二：设AF 与BE 的交点为G ，在Rt △EGF 中，∵EF ＝1，∴EG在Rt △AEG 中，∠AEG ＝76°，AE ＝EG÷cos76°．27．（1）1y x=；（2）(1,1)；（3），,(2,0)，(1,0).【解析】【分析】（1）把过一次函数的两个点代入一次函数，即可求得k ，进而求得反比例函数的解析式． （2）同时在这两个函数解析式上，让这两个函数组成方程组求解即可．（3）应先求出OA 的距离，然后根据：OA=OP ，OA=AP ，OP=AP ，分情况讨论解决．【详解】 解：（1）把(,)a b ，()1,a b k ++代入21y x =-得21,2(1)1,b a b k a =-⎧⎨+=+-⎩①② ②-①得2k =.∴反比例函数的表达式为1y x=.（2）由21,1,y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩解得111,1,x y =⎧⎨=⎩，221,22,x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ ∵点A 在第一象限，∴点A 的坐标为(1,1).(3)OAOA 与x 轴所夹锐角为45°，①当OA 为腰时,由OA =OP 1得P 1，由OA =OP 2得P 2；由OA =AP 3得P 3(2,0).②当OA 为底时,OP 4=AP 4得P 4(1,0).∴符合条件的点有4个,分别是【点睛】本题综合考查待定系数法求函数解析式和反比例函数与方程组的相关知识点.先由点的坐标求函数解析式,然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标,体现了数形结合的思想.。
沪科版九年级上册数学期末考试试卷及答案详解
沪科版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．对于抛物线2-1y x =+，下列判断正确的是（）A ．顶点坐标为（-1，1）B ．开口向下C ．与x 轴无交点D ．有最小值12．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB 长是（）A ．2cos55o 海里B ．2sin 55︒海里C ．2sin55∘海里D ．2cos55︒海里3．如图，二次函数2-3y ax bx =+图象的对称轴为直线x=1，与x 轴交于A 、B 两点，且点B 坐标为（3，0），则方程2-3ax bx =的根是（）A ．123x x ==B ．1213x x ==，C ．121-3x x ==，D ．12-13x x ==，4．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm ，水的最大深度是2cm ，则杯底有水面AB 的宽度是（）cm.A ．6B ．C ．D ．5．如图，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 与CE 相交于O ，则图中线段的比不能表示sinA 的式子为（）A ．BD ABB ．CD OCC ．AE ADD ．BE OB6．如图，在 ABCD 中，AB=3，AD=5，AE 平分∠BAD ，交BC 于F ，交DC 延长线于E ，则AEEF的值为（）A ．53B ．52C ．32D ．27．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 中，自变量x 与函数y 之间的部分对应值如表：x …0123…y…﹣1232…在该函数的图象上有A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）两点，且﹣1＜x 1＜0，3＜x 2＜4，y 1与y 2的大小关系正确的是（）A ．y 1≥y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1≤y 2D ．y 1＜y 28．在平面直角坐标系中，A (-30)，，B (30)，，C (34)，，点P 为任意一点，已知PA ⊥PB ，则线段PC 的最大值为（）A ．3B ．5C ．8D ．109．在△ABC 中，∠C=90°，若∠A=30°，则sinA+cosB 的值等于（）A ．1B ．132C ．132D ．1410．如图，在Rt ACB 中，900.5C sinB ∠=︒=，，若6AC =，则BC 的长为（）A ．8B ．12C ．D ．二、填空题11．锐角α满足cosα=0.5，则α=__________；12．双曲线(0)k y k x=≠经过点（m ，2）、（5，n ），则m n =__________；13．在Rt ABC ∆中，∠C=90°，tan A =3，tanB=________14．已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则tanA=__．15．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AH ⊥BC ，垂足为点H ，如果AH=BC ，那么tan ∠BAH 的值是_____．三、解答题16．已知抛物线2-2y ax x c =+与x 轴的一个交点为30A （，），与y 轴的交点为0-3B（，）．（1）求抛物线的解析式；（2）求顶点C 的坐标．17．如图，在方格网中已知格点△ABC 和点O ．(1)以点O 为位似中心，在△ABC 同侧画出放大的位似△A 1B 1C 1，△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为1∶2；(2)以O 为旋转中心，将△ABC 逆时针旋转90°得到△A 2B 2C 2．18．已知关于x 的二次函数2-(-2)y x k x k =++．（1）试判断该函数的图象与x 轴的交点的个数；（2）当3k =时，求该函数图象与x 轴的两个交点之间的距离．19．从一幢建筑大楼的两个观察点A ，B 观察地面的花坛（点C ），测得俯角分别为15°和60°，如图，直线AB 与地面垂直，AB ＝50米，试求出点B 到点C 的距离．（结果保留根号）20．如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点，已知AD 平分∠BAC ，AD=DC ．（1）求证：△ABC ∽△DBA ；（2）S △ABD =6，S △ADC =10，求CDAC．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数-5y x =+的图象与函数(0)ky k x=<的图象相交于点A ，并与x 轴交于点C ，S △AOC =15．点D 是线段AC 上一点，CD ：AC=2：3．（1）求k 的值；（2）求点D 的坐标；（3）根据图象，直接写出当0x <时不等式5kx x+>的x 的解集．22．如图，已知AB 为⊙O 的直径，CD 切⊙O 于C 点，弦CF ⊥AB 于E 点，连结AC．（1）求证：∠ACD=∠ACF ；（2）当AD ⊥CD ，BE=2cm ，CF=8cm ，求AD 的长．23．小明同学利用寒假30天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为10元/千克，在第x 天的销售量与销售单价如下（每天内单价和销售量保持一致）：销售量m （千克）40-m x=销售单价n （元/千克）当115x ≤≤时，1202n x =+当1630x ≤≤时，30010n x=+设第x 天的利润w 元．（1）请计算第几天该品种草莓的销售单价为25元/千克？（2）这30天中，该同学第几天获得的利润最大？最大利润是多少？注：利润＝（售价－成本）×销售量24．如图，设D 为锐角△ABC 内一点，∠ADB=∠ACB+90°，过点B 作BE ⊥BD ，BE=BD ，连接EC ．（1）求∠CAD+∠CBD 的度数；（2）若••AC BD AD BC ，①求证：△ACD ∽△BCE ；②求••AB CDAC BD的值．参考答案1．B 【详解】根据二次函数图像的特点进行解答即可.解：A.顶点坐标为(0,1)，故不正确；B.∵-1<0，∴开口向下，故正确；C.∵∆=4>0，∴与x 轴有两个交点，故不正确；D.有最大值1，故不正确；故答案为B.【点睛】本题考查了二次函数图像的特点，即对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），a 的正负决定了开口方向；b 2-4ac 决定了是否与x 轴有交点；函数的顶点决定了函数的最值.2．A 【分析】由题意得∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°，再由AB//NP ，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=55°.然后解Rt △ABP ，得出AB=APcos ∠A=2cos55°海里.【详解】解：如图，由题意可知∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°．∵AB ∥NP ，∴∠A=∠NPA=55°．在Rt △ABP 中，∵∠ABP=90°，∠A=55°，AP=2海里，∴AB=APcos ∠A=2cos55°海里．故选A ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，掌握平行线的性质、三角函数的定义、方向角的定义是解答本题的关键.3．D 【分析】由二次函数2-3y ax bx =+图像的对称轴为直线x=1且函数图像与x 轴的一个交点为B(3,0)，可求另一交点坐标为（-1，0），则可求方程23ax bx =-的解.【详解】解：二次函数2-3y ax bx =+图象的对称轴为直线x=1，与轴交于A 、B 两点，且点B 坐标为(3,0)，则点A 的坐标为（-1，0），∴方程23ax bx =-的根是x 1=-1,x 2=3.故答案为D.【点睛】本题考查了二次函数图像与一元二次方程的联系，即理解二次函数图像与x 轴的交点的横坐标为对应一元二次方程的解.4．C 【分析】作OD ⊥AB 于C ，交小圆于D ，可得CD=2，AC=BC ，由AO 、BO 为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC 的长，即可求得AB 的长.【详解】解：作OD ⊥AB 于C ，交小圆于D ，则CD=2，AC=BC ，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴=∴AB=2AC=故答案为C.【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.5．C 【分析】先根据正弦的概念进行判断，然后根据余角的定义找与∠A 相等的角再结合正弦定义解答即可.【详解】解：∵BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，∴sinA=BD ECAB AC=,故A正确；∵∠A+∠ACE=90°，∠ACE+∠COD=90°，∴∠A=∠COD，∴sinA=sin∠COD=CDOC,故B正确；∵∠BOE=∠COD，∴∠A=∠BOE，∴sinA=sin∠BOE=BEBO.故D正确故答案为C.【点睛】本题考查了正弦的定义以及根据直角三角形的性质寻找相等的角，其中根据直角三角形的性质寻找与∠A相等的角是解答本题的关键.6．B【分析】由平行四边形的性质可得AB//DE，AD//BC，进而得到∠BAE=∠E，再结合∠EAD=∠BAE 得到∠E=∠EAD，即AD=DE=5;再由线段的和差可得CE=2;然后根据BC//AD得到△AED∽△FEC，最后运用相似三角形的性质解答即可.【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//DE，AD//BC，∴∠BAE=∠E，∵AE平分∠BAD，∴∠EAD=∠BAE，∴∠E=∠EAD，∴AD=DE=5，∴CE=DE-CD=5-3=2，∵BC//AD，∴△AED∽△FEC∴25 EF EC AE DE==∴52AEEF .故答案为B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，其中掌握相似三角形的判定和性质是解答本题的关键.7．D【解析】试题分析：抛物线的对称轴为直线x=2，∵﹣1＜x1＜0，3＜x2＜4，∴点A（x1，y1）到直线x=2的距离比点B（x2，y2）到直线x=2的距离要大，而抛物线的开口向下，∴y1＜y2．故选D．考点：二次函数图象上点的坐标特征．8．C【分析】连接OC、OP、PC由PA⊥PB可得点P在以O为圆心，AB长为直径的圆上；再根据三角形的三边关系可得CP≤OP+OC，则当当点P，O，C在同一直线上，CP的最大值为OP+OC 的长，然后进行计算即可.【详解】解：如图所示，连接OC、OP、PC∵PA⊥PB，∴点P在以O为圆心，AB长为直径的圆上，∵△COP∴CP≤OP+OC，∴当点P，O，C在同一直线上，且点P在CO延长线上时，CP的最大值为OP+OC的长，又∵A（-3，0），B（3，0），C（3，4），∴AB=6，OC=5，OP=12AB=3，∴线段PC的最大值为OP+OC=3+5=8，故答案为C．【点睛】本题考查了90°所对的弦为圆的直径、三角形的三边关系以及最短路径问题，其中确定最短路径是解答本题的关键.9．A【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】在△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°，得∠B=90°﹣30°=60°．sinA+cosB=sin30°+cos60°=12+12=1，故选：A．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．10．C【分析】利用正弦的定义得出AB的长，再用勾股定理求出BC.【详解】解：∵sinB=ACAB=0.5，∴AB=2AC，∵AC=6，∴AB=12，∴=故选C.本题考查了正弦的定义，以及勾股定理，解题的关键是先求出AB 的长.11．60【分析】根据特殊角的三角函数值即可完成解答.【详解】解：∵cosA=0.5=12，∠A 为锐角，∴∠A=60°，故答案为60；【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键.12．52【分析】将（m ，2）、（5，n ）代入k y x =得到一个方程组，然后解方程组即可.【详解】解：∵曲线(0)k y k x=≠经过点(m,2)、(5,n)，∴25k m n m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得m=2k ,n=5k ,∴5225k m k n ==;故答案为52；【点睛】本题考查了反比例函数图像上的点的性质，即理解函数图像上的点满足函数解析式是解答本题的关键.13．13根据解直角三角形，由tan 3a A b==，即可得到tanB.【详解】解：在Rt ABC ∆中，∠C=90°，∴tan 3a A b ==，∴1tan 3b B a ==.故答案为13.【点睛】本题考查了解直角三角形，解题的关键是掌握正切值等于对边比邻边.14【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，∴．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．15．12【分析】设AH=BC=2x ，根据等腰三角形三线合一的性质可得BH=CH=12BC=x ，然后得出tan ∠BAH 的值．【详解】解：设AH=BC=2x ，∵AB=AC ，AH ⊥BC ，∴BH=CH=12BC=x ，∴tan ∠BAH=BH x 1AH 2x 2==，故答案为：12【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质、锐角三角函数，根据等腰三角形三线合一的性质可得BH=CH=12BC=x 是解题的关键．16．(1)223y x x =--;(2)(1,-4)【分析】（1）根据与坐标轴的两个交点，使用待定系数法进行解答即可；（2）将（1）求得的解析式，化成顶点式即可完成解答。
沪科版九年级上册数学期末考试试题附答案解析
沪科版九年级上册数学期末考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．二次函数y=12-(x+1)2-3的对称轴为直线（）A．x=3 B．x=-3 C．x=1 D．x=-12．如图，在平面直角坐标中，点P的坐标为(3，4)，则射线OP与x轴正方向所夹锐角a 的余弦值为（）A．43B．45C．35D．343．如图，在△ABC中，DE//BC，ADDB=2，记△ADE的面积为a，四边形DBCE的面积为b，则ab的值是（）A．45B．59C．23D．494．关于反比例函数1yx=-的图象，下列说法中，错误的是（）A．点(1，-1)在它的图象上B．图象位于第二、四象限C．图象的两个分支关于原点对称D．x的值越大，图象越接近x轴5．已知二次函数y=-x2+2x+2，点A(x1，y1)．B(x2，y2)(x1< x2)是其图象上两点，则下列结论正确的是（）A．若x1+x2>2，则y1< y2B．若x1+x2< 2，则y1< y2C．若x1+x2>-2则y1>y2D．若x1+x2<-2，则y1>y26．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CA=CB ，AD 为△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的中线，AD 、CE 相交于点F ，则EF CD的值为（ ）A B ．32 C D ．27．已知点A(1，1) 、B(3，1) 、C(4，2) 、D(2，2)， 若抛物线y=ax 2(a>0)与四边形ABCD 的边没有交点，则a 的取值范围为（ ）A ．18< a< 1B ．19< a< 1C ．a>l 或0< a<18D ．a>1或0<a<19 8．如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长交⊙O 于点C ，连接AC ，AB ＝10，∠P ＝30°，则AC 的长度是( )A ．B ．C ．5D ．529．如图是二次函数2y ax bx c =++图象的一部分，它与x 轴的一个交点A 在点2,0（）和点3,0（）之间，图象的对称轴是1x =，在下列说法中：①0ab <；②20a b +=；③30a c +>；④当13x 时，0y >．其中正确的说法有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②④10．如果2a ＝5b ，那么下列比例式中正确的是（ ）A．25ab=B．25ab=C．52ab=D．25a b=二、填空题11．在平面直角坐标系中，点A(-2，-3)关于坐标原点O中心对称的点的坐标为_______ 12．扇形的圆心角是45°，半径为2，则该扇形的弧长为__________13．如图，正方形ABCD的边长为4，点E 、F在边BC，CD上运动，且满足BE=CF，连接AE，BF交于点G，连接CG，则CG的最小值为________ ；当CG取最小值时，CE的长为_________14．计算：2sin60°+12cos30°﹣tan60°=__．15．如图，延长Rt△ABC的斜边AB到点D，使BD＝AB，连接CD，若tan∠BCD＝13，则tan∠A的值是_____．三、解答题16．计算：22sin45tan60tan30cos60︒︒-︒+⋅︒．17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为端点的线段AB．（1）以点O为位似中心，将线段AB放大2倍得到线段A1B1，在网格中画出线段A1B1(点A1、B1分别为A，B的对应点)；（2）将线段AB绕点B逆时针旋转90°得线段BB2，画出线段BB2，则旋转过程中线段BA 扫过的面积为18．已知，二次函数y=2x2+8x-1．（1）用配方法求该二次函数的顶点坐标；（2）请直接写出将该函数图象向右平移1个单位后得到的图象对应的函数表达式．19．如图，AB是O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AD，过点O作OF⊥AD于F，若CD=6，BE=1，求△AOF的面积．20．胜利塔是某市标志性建筑物之一，如图，为了测得胜利塔的高度AB，在D处用高度为1.3 m的测角仪CD测得胜利塔的顶端A的仰角为30°，再前进113 m到达F处，又测得胜利塔的顶端A的仰角为60°，求胜利塔的高度AB．，结果精确到0.1m）21．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，AE与BD交于点H，AE的延长线与DC的延长线交于点G，∠BAE=∠DAF．（1）求证：AD2=DF·DG；（2）若HE=4，EG=5，求AH的长．22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O是AB边上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆与AC边相切于点D，与边AB，BC 分别相交于点E，F．（1）求证：DE=DF；（2）当BC=4，∠A=30°时，求AE的长．23．某超市购进一批时令水果，成本为10 元/千克，根据市场调研发现，这种水果在未来30天的销售单价m(元/千克)与时间x(天)之间的函数关系式为1202m x=+（130x≤≤且x为整数），且其日销售量y (千克)与时间x(天)之间的函数关系如图所示：（1）求每天销售这种水果的利润W(元)与x(天)之间的函数关系式；（2）问哪一天销售这种水果的利润最大？最大日销售利润为多少？24．如图，己知矩形ABCD与矩形AEFG，43AD AGAB AE==，连接GD，BE相交于点Q．（1）求证：△GAD∽△EAB；（2）猜想GD与BE之间的位置关系，并证明你的结论；（3）请连接DE，BG，若AB=6，AE=3，求DE2+BG2的值．参考答案1．D【解析】根据二次函数的顶点式，直接写出抛物线的对称轴方程，即可．【详解】解：二次函数y=12-(x+1)2-3的对称轴为：直线x=-1，故选D．【点睛】本题主要考查二次函数图像的对称轴，掌握二次函数y=a(x-m)2+k的对称轴为直线x=m，是解题的关键．2．C【分析】画出图形，根据勾股定理求出OP，根据锐角三角函数的定义求出即可．【详解】解：过P作PA⊥x轴于A，∵P（3，4），∴PA=4，OA=3，由勾股定理得：OP=5，∴α的余弦值是35 OAOP=，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的计算能力．3．A【分析】先由DE ∥BC 判定△ADE ∽△ABC ，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出含有a 与b 的比例式，化简即可得出答案．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∵23AD AB =， ∴49ABC a S ∆=， ∴49a ab =+， ∴9a=4a+4b ，∴5a=4b ， ∴4=5a b ． 故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．4．D【分析】 利用1y x=-的图象与性质逐一分析每个选项，即可得到答案． 【详解】解：当1x =时，11,1y =-=- 故A 不符合题意； 1k =-＜0，1y x∴=-的图像位于第二 、四象限，故B 不符合题意； 1y x=-的图象的两个分支关于原点成中心对称，故C 不符合题意； 1y x=-的图象在第四象限内x 的值越大，图象越接近x 轴，故D 符合题意； 故选：.D【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，掌握以上知识是解题的关键．5．B【分析】首先确定抛物线的开口方向向下，对称轴x=1，当x 1+x 2<2时，点A 离对称轴的距离比点B 离对称轴的距离远，利用图象法即可判断.【详解】如图所示：抛物线的开口向下，对称轴x = ()21221b a -=-=⨯- A ，当x 1 +x 2 >2时，x 1< x 2，点A 离对称轴的距离比点B 离对称轴的距离近∴y 1>y 2，A 错误， B ，当x 1+x 2< 2时，x 1< x 2，点A 离对称轴的距离比点B 离对称轴的距离远，∴y 1< y 2，B 正确，C ，当x 1+x 2>-2时，上式两种情况皆有可能，故y 1， y 2的大小关系不确定，C 错误，D ，当x 1+x 2<-2时，上式两种情况皆有可能（同上），故y 1，y 2的大小关系不确定，D 错误， 故答案选：B【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是抓住函数值与抛物线上点与对称轴距离远近的关系，数形结合，灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题.6．A【分析】过D 作DM AB ⊥于,M 先证明,CD MD BM ==设,CD MD BM m ===再用含m 的代数式表示,,AE AM 再证明,AEF AMD ∽ 利用相似三角形的性质可得EF DM的值，从而可得答案． 【详解】解：过D 作DM AB ⊥于,M∠ACB=90°，AD 为△ABC 的角平分线，,CD MD ∴=CE 是△ABC 的中线，,CA CB = 90ACB ∠=︒，,CE AB ∴⊥ ,CE BE AE == 45B A ∠=∠=︒，45MDB B ∴∠=∠=︒，,DM BM ∴=,CD MD BM ∴==设,CD MD BM m ===,BD ∴(1,BC CD BD m m AC ∴=+===(2,AB m ∴==((21,AM AB BM m m m ∴=-=-=cos ,BEB BC =,BE m AE ∴==,,CE AB DM AB ⊥⊥//,FE DM ∴,AEF AMD ∴∽1mEF AEDM AM+∴===2EFCD∴=故选：.A【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．7．D【分析】把A（1，1），B(3，1)分别代入y＝ax2求得a＝1，a=19，然后根据图象即可求得答案．【详解】解：如图所示：把A（1，1）代入y＝ax2得，a＝1，把B（3，1）代入y＝ax2得a＝19，∵抛物线的开口越小，|a|的绝对值越大，∴抛物y＝ax2与四边形ABCD的边没有交点，则a的取值范围为：a>1或0<a<19故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象开口大小与二次项系数绝对值的关系，数形结合是解题的关键．8．A【详解】解：过点D 作OD ⊥AC 于点D ，∵AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，∴AB ⊥AP ，∴∠BAP=90°，∵∠P=30°，∴∠AOP=60°，∴∠AOC=120°，∵OA=OC ，∴∠OAD=30°，∵AB=10，∴OA=5，∴OD=12AO=2.5，∴∴AC=2AD=选A ．点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，熟记切线的性质定理是解题的关键．9．A【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，根据对称轴判断b 与0的关系，并得到20a b +=；当1x =-时，y a b c =-+，整理得到30a c +<；然后由图象确定抛物线与x 轴的另一个交点取值范围，由此判断y 的取值范围，据此解题．【详解】解：由图象可知，二次函数图象的开口向下，对称轴为1x =，与y 轴的交点在正半轴， 0,0a c ∴<> ①12b a-= 2a b ∴=-a b ∴、异号0ab <， 故①正确；②12b a-= 2a b ∴=-20a b ∴+= 故②正确；③12b a-= 2b a ∴=-当1x =-时0y a b c =-+<(2)30a a c a c ∴--+=+< 故③错误；④它与x 轴的一个交点A 在点2,0（）和点3,0（）之间，由抛物线的对称性可知∴它与x 轴的另一个交点B 在点（-2,0）和点（-1,0）之间，当13x 时， y 不只是大于0，故④错误，故正确的有①②，故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系、抛物线与坐标轴的交点等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．10．C【分析】由2a ＝5b ，根据比例的性质，即可求得答案．【详解】∵2a ＝5b ，∴52a b =或52a b =．故选C ． 【点睛】此题主要考查比例的性质，解题的关键是熟知等式与分式的性质.11．（2，3）；【分析】直接利用关于原点对称点的特点得出答案．【详解】解：∵关于原点对称点的坐标纵横坐标互为相反数∴点A （-2，-3）关于坐标原点O 中心对称的点的坐标为（2，3），故答案为：（-2，-3）．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的特点，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 12．2π； 【分析】把已知的数据代入弧长公式，即可求解．【详解】该扇形的弧长=452180π⨯⨯=2π， 故答案是：2π． 【点睛】本题主要考查弧长公式，掌握弧长公式：l=180n r π,是解题的关键．13．； 6-【分析】在正方形ABCD 中，易证()ABE BCF AAS ∆≅∆，可得90BGE AGB ，则G 点的轨迹是以AB 中点O 为圆心，AO 为半径的圆弧，因此当O 、G 、C 在同一条直线上时，CG 取最小值，根据勾股定理可得CG 的最小值为252OC OG ，根据//AB CD ，则有BOG FCG 可得OGBG CG FG ，得到：51FG BG ，则5BF BG ，设BE x =，则BE CF x ==，可得2245G x B ，又∵90BGE BCF ，GBE CBF ，得BGE BCF ，得到2222454x ，解之得：2252x ，12524x （不合题意，舍去），从而得到CE 的长为6-．【详解】解：如图示：在正方形ABCD 中，90ABE BCF ∠=∠=在ABE ∆和BCF ∆中，90BA CBABE BCF BE CF=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，()ABE BCF AAS ，∴AEB BFC ∠=∠∵90FBC BFC∴90FBC AEB ∠+∠=︒即有：90BGE AGBG ∴点的轨迹是以AB 中点O 为圆心，AO 为半径的圆弧，因此当O 、G 、C 在同一条直线上时，CG 取最小值，∵4BC =,∴2OB OG ∴22224252OC OB BC ， ∴CG 的最小值为252OC OG，∵//AB CD∴BOG FCG∴225251OGBG CG FG ∴51FGBG ∴515BG B B G G FG B B F G ,设BE x =，则BE CF x ==， ∴22224BFBC CF x ， ∴2245G x B又∵90BGEBCF ，GBE CBF ， ∴BGEBCF ∴BG BC BE BF , 2222454x 解之得：2252x ，12524x （不合题意，舍去）， ∴4625252CE BCBE ，故答案是：2，6-【点睛】本题考查了正方形的性质， 全等三角形的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．14【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．【详解】解：原式12【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．15．3 2 .【分析】若想利用tan∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，为此，过B作BE∥AC交CD 于E，得到△ACD的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．【详解】解：如图，过B作BE∥AC交CD于E．∴∠CBE＝∠ACB＝90°，又∵AB＝BD，∴CE＝ED，AC＝2BE．又∵tan∠BCD＝13，设BE＝x，则BC＝3x，AC＝2x，∴tanA＝BCAC ＝3x2x＝32．故答案为32．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的中位线定理，锐角三角函数的定义，解答此题关键是作出辅助线构造直角三角形，再进行计算．16．3 2【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案．【详解】解：原式2122=⨯1112=+-32=．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．17．（1）见解析；（2）图见解析，面积为134π；【分析】（1）连接AO，延长OA到A1，使得OA1=2OA，同法作出点B1，连接A1B1即可．（2）分别作出点A绕点B逆时针旋转90°所得对应点B2，再连接可得；根据扇形的面积公式计算可得．【详解】（1）如图所示（2）如图所示；在旋转过程中，线段BA扫过的图形的扇形BAB2，所以扇形BAB22901313()4ππ=．【点睛】本题主要考查作图-旋转变换以及位似图形，解题的关键是根据旋转的性质作出变换后的对应点及扇形的面积公式．18．（1）（-2，-9）；（2）y=2x2+4x-7；【分析】（1）利用配方法把抛物线的解析式配成顶点式，从而得到顶点坐标；（2）先得到二次函数图像平移后的顶点坐标，进而即可得到答案．【详解】（1）∵y=2x2+8x-1=2(x2+4x)-1=2(x2+4x+4-4)-1=2(x+2)2-9，∴该二次函数的顶点坐标为：（-2，-9）；（2）该函数图象向右平移1个单位后得到的图象的顶点坐标为：（-1，-9），∴该函数图象向右平移1个单位后得到的图象对应的函数表达式为：y=2(x+1)2-9=2x 2+4x-7，即：y=2x 2+4x-7．【点睛】本题主要考查二次函数的图像的顶点坐标以及平移规律，把二次函数解析式化为顶点式，是解题的关键．19．154； 【分析】利用垂径定理先求解3CE DE ==，如图，连接OD ， 设O 的半径为r ，则,2,OD OB r AB r === 1,OE r =-利用勾股定理求解,r 再求解,,ADE ODE AOD 的面积，再利用,OF AD ⊥ 利用垂径定理可得,AF DF = 从而可得答案．【详解】解：AB 是O 的直径，弦CD ⊥AB ，6CD =，3CE DE ∴==，如图，连接OD ，设O 的半径为r ，则,2,OD OB r AB r === 1BE =，1,OE r ∴=-()22231,r r ∴=+- 5,r ∴=4,9OE AE ∴== 127139,346,222AED OED SS ∴=⨯⨯==⨯⨯= 27156,22AODS ∴=-= ,OF AD ⊥,AF DF ∴= 111515.2224AOF AOD S S ∴==⨯= 【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理的应用，掌握垂径定理的应用是解题的关键． 20．99.0m ；【分析】设AG=xm ，分别在Rt △AEG 和Rt △ACG 中，表示出CG 和GE 的长度，然后根据DF=113m ，求出x 的值，继而可求出胜利塔的高度AB ．【详解】解：延长CE 交AB 于点G ，如图，设AG=xm ，在Rt △AEG 中，∠AEG=60°，tan AG AEG EG∠=∴EG x ==，在Rt △ACG 中，∠ACG=30°，tan AG ACG CG ∠==∴，113x =，解得：∴，则（m ）． 答：胜利塔的高度AB 约为99.0m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．21．（1）证明见解析；（2）6【分析】（1）证明∠G=∠DAF ，结合∠ADF=∠GDA 即可证明△ADF ∽△ADG ，进一步可得结论；（2）根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴AB//DG ，∴∠BAE=∠G ，∵∠BAE=∠DAF ，∴∠G=∠DAF ，∵∠ADF=∠GDA ，∴△ADF ∽△ADG ，∴AD ：DG=DF ：AD ，即AD 2=DF·DG ； （2）∵//,//AB CD AD BC ∴HD HG BH AH =，AH HD HE BH =， ∴AH HG HE AH= ∵4HE =，5EG =，∴24(45)4936AH HE HG =⋅=⨯+=⨯=∴6AH =（负值舍去）【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ADF ∽△ADG 是解答此题的关键．22．（1）证明见解析；（2）83【分析】（1）连接OD ，OF ，先利用切线的性质证OD ∥BC 得∠DOE=∠B ，∠DOF=∠OFB ，再结合∠ABC=∠OFB 知∠DOE=∠DOF ，据此依据圆心角定理可得答案；（2）先由BC=4，∠A=30°得AB=8，设⊙O 的半径为r ，知AO=8-r ，AE=8-2r ，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半求得r 的值，继而可得答案．【详解】解：（1）证明：连接OD 、OF ，则OD ⊥AC ，∴∠ADO=90°，∵∠C=90°，∴∠C=∠ADO ，∴OD//BC ，∴∠DOE=∠B ，∠DOF=∠BFO ，∵OB=OF ，∴∠BFO=∠B ，∴∠DOE=∠DOF ，∴DE=DF（2）∵在Rt △ABC 中，BC=4，∠A=30°∴AB=8设⊙O 的半径为r ，则OB=OD=OE=r ，则AO=AB-OB=8-r ，AE=8-2r ，在Rt △AOD 中，∵∠A=30°，∴8-r=2r ，解得r=83， 则AE=8-2r=83． 【点睛】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质、平行线的判定与性质、直角三角形的性质等知识点．23．（1）214565022W x x =-++（130x ≤≤且x 为整数）； （2）第22或23天，最大利润为903元；【分析】（1）由题意设销售数量,y kx b =+把()()10,55,26,39代入函数解析式，可得65,y x =-+再利用总利润等于销售数量y 千克乘以每千克水果的利润()10m -元，从而可得答案；（2）利用（1）中的二次函数解析式214565022W x x =-++，结合130x ≤≤且x 为整数，利用二次函数的性质求解最大值即可．【详解】解：（1）由题意设销售数量,y kx b =+把()()10,55,26,39代入函数解析式；1055,2639k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：1,65k b =-⎧⎨=⎩65,y x ∴=-+()()1106520102W y m x x ⎛⎫∴=-=-++- ⎪⎝⎭214565022x x =-++ （130x ≤≤且x 为整数）； （2）214565022W x x =-++， ∴ 抛物线的对称轴为：4545222.5,1222x =-==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭12a =-＜0， 130x ≤≤且x 为整数， ∴ 当22x =或23x =时，W 取得最大值，最大值为：()12265221043219032W ⎛⎫=-+⨯+=⨯= ⎪⎝⎭元． 【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的应用，二次函数的性质，掌握利用二次函数的性质求解最大利润是解题的关键．24．（1）证明见解析；（2）GD ⊥BE ，理由见解析；（3）125【分析】（1）根据四边形ABCD 与AEFG 为矩形，可得到∠DAG=∠EAB ，又因为43AD AG AB AE ==，即可证得△GAD ∽△EAB ； （2）设QE 与AG 相交于点M ，根据△GAD ∽△EAB 可得到∠AGD=∠AEB ，又因为∠QMG=∠AME ，得到∠GQE=∠GAE ，进而证得GD ⊥BE ；（3）连接BD 和EG ，根据GD ⊥BE ，得到222BD DQ BQ =+，222EG QE QG =+，进而得到2222BD EG BG DE +=+，根据勾股定理得到222222AB AD AG AE BG DE +++=+，再根据43AD AG AB AE ==，求出AD 、AG ，即可求得22BG DE +． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD 与AEFG 为矩形，∴∠DAB=∠EAG=90°，∴∠DAG=∠EAB ， ∵43AD AG AB AE ==，即AD AB AG AE =， ∴△GAD ∽△EAB ；（2）GD ⊥BE ，理由如下：如图，设QE 与AG 相交于点M ，∵△GAD ∽△EAB ；∴∠AGD=∠AEB ，又∵∠QMG=∠AME ，∴∠GQE=∠GAE ，又∵∠GAE=90°，∴∠GQE=90°，∴GD⊥BE；（3）如图，连接BD和EG，∵GD⊥BE，∴222BD DQ BQ=+，222EG QE QG=+，∴222222 BD EG DQ BQ QE QG+=+++，即2222BD EG BG DE+=+，∴222222 AB AD AG AE BG DE+++=+，∵AB=6，AE=3，43 AD AGAB AE==，∴AD=8，AG=4，∴2222226843125BG DE+=+++=．【点睛】本题考查三角形的相关性质及勾股定理及其逆定理，解题的关键是综合运用相关知识．。
沪科版数学九年级上册期末考试卷含答案
沪科版数学九年级上册期末考试试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（1，2）2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．84．如图，在平面直角坐标系中，直线OP过点（1，3），则tanα的值是（）A．B．3 C．D．5．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=40°，则∠CDA的度数是（）A．110°B．115°C．120°D．125°6．如图，A、B是曲线y=上的点，经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影=1，则S1+S2=（）A ．3B ．4C ．5D ．67．如图，反比例函数y 1=与一次函数y 2=ax+b 交于点（4，2）、（﹣2，﹣4）两点，则使得y 1＜y 2的x 的取值范围是（ ）A ．﹣2＜x ＜4B ．x ＜﹣2或x ＞4C ．﹣2＜x ＜0或0＜x ＜4D ．﹣2＜x ＜0或x ＞48．根据表中的二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数y 的对应值，可判断该二次函数的图象与x 轴（ ） x … ﹣1 0 1 2 … y…4﹣﹣2﹣…0.5 0.5A．只有一个交点B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧C．有两个交点，且它们均在y轴同侧D．无交点9．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣110．如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过O点作OE⊥AC，交AB于E，若BC=4，△AOE的面积是5，则下列说法错误的是（）A．AE=5 B．∠BOE=∠BCE C．CE⊥OB D．sin∠BOE=二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）11．若=，则= ．12．已知线段AB=a，C、C′是线段AB的两个黄金分割点，则CC′= ．13．如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．14．如图，直线y=﹣x+b（b＞0）与双曲线y=（x＞0）交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于M，BN ⊥x轴于N，现有以下结论：=k；④当AB=时，AM=BN=1．其中结论正确的是．①OA=OB；②△AOM≌△BON；③若∠AOB=45°，则S△AOB三、解答题（共9小题，共90分）15．求值： cos245°﹣sin30°tan60°+sin60°．16．已知二次函数的顶点坐标为A（1，9），且其图象经过点（﹣1，5）（1）求此二次函数的解析式；（2）若该函数图象与x轴的交点为B、C，求△ABC的面积．17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （﹣2，1）、B （﹣3，2）、C （﹣1，4）． （1）以原点O 为位似中心，在第二象限内画出将△ABC 放大为原来的2倍后的△A 1B 1C 1． （2）画出△ABC 绕C 点逆时针旋转90°后得到的△A 2B 2C ．18．如图，△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD=∠C ，AB=6，BD=4，求CD 的长．19．已知：如图，在⊙O中，直径CD交弦AB于点E，且CD平分弦AB，连接OA，BD．（1）若AE=，DE=1，求OA的长．（2）若OA∥BD，则tan∠OAE的值为多少？20．如图，根据道路管理规定，直线l的路段上行驶的车辆，限速60千米/时，已知测速站点M距离直线l 的距离MN为30米（如图所示），现有一辆汽车匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°． （1）计算AB 的长；（2）通过计算判断此车是否超速．（≈1.4，≈1.7）21．如图，直线y=mx+n 与双曲线y=相交于A （﹣1，2）、B （2，b ）两点，与y 轴相交于点C ． （1）求m ，n 的值；（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求△ABD 的面积；（3）在坐标轴上是否存在异于D 点的点P ，使得S △PAB =S △DAB ？若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，说明理由．22．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一角∠MON （∠MON=135°）的两边为边，用总长为120m 的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块区域，其中区域①为直角三角形，区域②③为矩形，而且四边形OBDG 为直角梯形．（1）若①②③这块区域的面积相等，则OB 的长度为 m ； （2）设OB=x ，四边形OBDG 的面积为ym 2，①求y 与x 之的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围；②设①②③这三块区域的面积分别为S 1、S 2、S 3，若S 1：S 2：S 3=3：2：1，求GE ：ED ：DC 的值．23．某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：（1）如图1，正方形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，则EF GH；（填“＞”“=”或“＜”）（2）如图2，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：=；（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BC=3，CD=5，AD=7.5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（1，2）【考点】二次函数的性质．【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．【解答】解：∵顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），∴抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．故选D．2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A正确；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．故选：A．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例求出EC，即可解答．【解答】解：∵DE∥BC，∴，即，解得：EC=2，∴AC=AE+EC=4+2=6；故选：C．4．如图，在平面直角坐标系中，直线OP过点（1，3），则tanα的值是（）A．B．3 C．D．【考点】解直角三角形；坐标与图形性质．【分析】根据正切函数是对边比邻边，可得答案．【解答】解：如图：作PC⊥y轴于点C，，tanα==，故选A．5．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=40°，则∠CDA的度数是（）A．110°B．115°C．120°D．125°【考点】切线的性质．【分析】连接OD，如图，根据切线的性质得∠ODC=90°，利用互余得∠COD=50°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可得∠ODA=∠COD=25°，然后计算∠ODC+∠ODA即可．【解答】解：连接OD，如图，∵CD与⊙O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠ODC=90°，∴∠COD=90°﹣∠C=90°﹣40°=50°，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，而∠COD=∠A+∠ODA，∴∠ODA=∠COD=25°，∴∠CDA=∠ODC+∠ODA=90°+25°=115°．故选B．6．如图，A、B是曲线y=上的点，经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影=1，则S1+S2=（）A ．3B ．4C ．5D ．6【考点】反比例函数系数k 的几何意义． 【分析】首先根据反比例函数中k 的几何意义，可知S 矩形ACOD =S 矩形BEOF =|k|=3，又S 阴影=1，则S 1=S 矩形ACOD ﹣S阴影=2，S 2=S 矩形BEOF ﹣S 阴影=2，从而求出S 1+S 2的值．【解答】解：∵A 、B 是曲线y=上的点，经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段， ∴S 矩形ACOD =S 矩形BEOF =3， 又∵S 阴影=1， ∴S 1=S 2=3﹣1=2， ∴S 1+S 2=4． 故选B ．7．如图，反比例函数y 1=与一次函数y 2=ax+b 交于点（4，2）、（﹣2，﹣4）两点，则使得y 1＜y 2的x 的取值范围是（ ）A ．﹣2＜x ＜4B ．x ＜﹣2或x ＞4C ．﹣2＜x ＜0或0＜x ＜4D ．﹣2＜x ＜0或x ＞4 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】求x 的范围就是求一次函数的图象在反比例函数的图象的上边时对应的自变量x 的取值范围． 【解答】解：根据函数的图象可得：x 的取值范围是﹣2＜x ＜0或0x ＞4．故选D．8．根据表中的二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x轴（）x …﹣1 0 1 2 …y … 4 ﹣0.5 ﹣2 ﹣0.5…A．只有一个交点B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧C．有两个交点，且它们均在y轴同侧D．无交点【考点】二次函数的性质．【分析】由条件可求得抛物线解析式，再进行判断即可．【解答】解：由题意可知抛物线过（0，0.5），（1，﹣2），（﹣1，4），代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=0.5x2﹣3x+0.5，令y=0可得0.5x2﹣3x+0.5=0，解得x=3+或x=3﹣，都大于0，∴抛物线与x轴有两个交点，且它们都在y轴的右侧，故选C．9．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=﹣，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，∴﹣≤1，解得m≥﹣1．故选D．10．如图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过O点作OE⊥AC，交AB于E，若BC=4，△AOE的面积是5，则下列说法错误的是（）A．AE=5 B．∠BOE=∠BCE C．CE⊥OB D．sin∠BOE=【考点】矩形的性质；解直角三角形．【分析】A、作辅助线，构建矩形AGOF，利用面积为5，代入面积公式可求得AE的长为5，此说法正确；B、证明∠ABC+∠EOC=180°，根据对角互补的四边形四点共圆得：E、B、C、O四点共圆，则∠BCE=∠BOE，此说法正确；C、因为E、B、C、O四点共圆，所以根据垂径定理可知：要想OB⊥CE，得保证过圆心的直线平分弧，即判断弦长BE和OE的大小即可；D、利用同角的三角函数计算．【解答】解：A、过O作OF⊥AD于F，作OG⊥AB于G，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=AC，OD=BD，∴OA=OD，∴AF=FD=AD=BC=2，∵∠AGO=∠BAD=∠AFO=90°，∴四边形AGOF是矩形，∴OG=AF=2，=AE•OG=5，∵S△AEO∴AE===5，所以此选项的说法正确；B、∵OE⊥AC，∴∠EOC=90°∵∠ABC=90°，∴∠ABC+∠EOC=180°，∴E、B、C、O四点共圆，∴∠BCE=∠BOE，所以此选项的说法正确；C、在Rt△BEC中，由勾股定理得：BE==3，∴AB=3+5=8，∴AC===4，∴AO=AC=2，∴EO===，∴OE≠BE，∵E、B、C、O四点共圆，∵∠EOC=90°，∴EC是直径，∴EC与OB不垂直；此选项的说法不正确；D、sin∠BOE=sin∠BCE==，所以此选项的说法正确，因为本题选择说法错误的，故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）11．若=，则= ．【考点】比例的性质．【分析】根据合比性质，可得答案．【解答】解： =，则==，故答案为：．12．已知线段AB=a，C、C′是线段AB的两个黄金分割点，则CC′= （﹣2）a ．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割点的定义，知较短的线段=原线段的倍，可得BC的长，同理求得AC′的长，则CC′即可求得．【解答】解：∵线段AB=a，C、C′是线段AB的两个黄金分割点，∴较小线段AC′=BC=a，则CC′=AB﹣AC′﹣BC=a﹣2×a=（﹣2）a．故答案是：（﹣2）a．13．如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】过B作BD垂直于AC，利用面积法求出BD的长，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出sinA的值即可．【解答】解：过点B作BD⊥AC，∵AB==，BC=3，AC==2，=×3×2=×2×BD，∴S△ABC解得：BD=，在Rt△ABD中，sinA===，故答案为：14．如图，直线y=﹣x+b（b＞0）与双曲线y=（x＞0）交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于M，BN⊥x 轴于N ，现有以下结论：①OA=OB ；②△AOM ≌△BON ；③若∠AOB=45°，则S △AOB =k ；④当AB=时，AM=BN=1．其中结论正确的是 ①②③ ．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；全等三角形的判定与性质．【分析】②设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），根据反比例函数图象上点的坐标即可得出x 1•y 1=x 2•y 2=k ，将y=﹣x+b 代入y=中，整理后根据根与系数的关系即可得出x 1•x 2=k ，从而得出x 2=y 1、x 1=y 2，即ON=OM 、AM=BN ，利用全等三角形的判定定理SAS 即可证出△AOM ≌△BON ，②正确；根据全等三角形的性质即可得出OA=OB ，①正确；③作OH ⊥AB 于点H ，根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质即可得出∠AOH=∠BOH=22.5°、∠AOM=∠BON=22.5°，由相等的边角关系利用全等三角形的判定定理AAS 即可证出△AOM ≌△AOH ，同理即可得出△AOM ≌△AOH ≌△BON ≌△BOH ，再利用反比例系数k 的几何意义即可得出S △AOB =k ，③正确；④延长MA 、NB 交于G 点，由NG=OM=ON=MG 、BN=AM 可得出GB=GA ，进而得出△ABG 为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质以及AB=即可得出GA 、GB 的长度，由OM 、ON 的值不确定故无法得出AM 、BN 的值，④错误．综上即可得出结论．【解答】解：②设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵点A 、B 在双曲线y=上， ∴x 1•y 1=x 2•y 2=k ．将y=﹣x+b 代入y=中，整理得：x 2﹣bx+k=0， ∴x 1•x 2=k ， 又∵x 1•y 1=k ， ∴x 2=y 1，x 1=y 2， ∴ON=OM ，AM=BN ．在△OMA和△ONB中，，∴△AOM≌△BON（SAS），②正确；①∵△AOM≌△BON，∴OA=OB，∴①OA=OB，②△AOM≌△BON，正确；③作OH⊥AB于点H，如图1所示．∵OA=OB，∠AOB=45°，△AOM≌△BON，∴∠AOH=∠BOH=22.5°，∠AOM=∠BON=22.5°．在△AOM和△AOH中，，∴△AOM≌△AOH（AAS），同理：△BON≌△BOH，∴△AOM≌△AOH≌△BON≌△BOH，∴S △AOB =S △AOH +S △BOH =S △AOM +S △BON =k+k=k ，③正确； ④延长MA 、NB 交于G 点，如图2所示． ∵NG=OM=ON=MG ，BN=AM ， ∴GB=GA ，∴△ABG 为等腰直角三角形， 当AB=时，GA=GB=AB=1，∵OM 、ON 不确定，∴无法得出AM=AN=1，④错误． 综上所述：结论正确的是①②③． 故答案为：①②③．三、解答题（共9小题，共90分）15．求值： cos245°﹣sin30°tan60°+sin60°．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、平方、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解： cos245°﹣sin30°tan60°+sin60°=×﹣×+×=﹣+=．16．已知二次函数的顶点坐标为A（1，9），且其图象经过点（﹣1，5）（1）求此二次函数的解析式；（2）若该函数图象与x轴的交点为B、C，求△ABC的面积．【考点】抛物线与x轴的交点；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）通过解方程﹣（x﹣1）2+9=0得到B、C两点的坐标，然后根据三角形面积公式求解．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+9，把（﹣1，5）代入得a（﹣1﹣1）2+9=5，解得a=﹣1，所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+9；（2）当y=0时，﹣（x﹣1）2+9=0，解得x1=4，x2=﹣2，所以B、C两点的坐标为（﹣2，0），（4，0），所以△ABC 的面积=×9×（4+2）=27．17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （﹣2，1）、B （﹣3，2）、C （﹣1，4）． （1）以原点O 为位似中心，在第二象限内画出将△ABC 放大为原来的2倍后的△A 1B 1C 1． （2）画出△ABC 绕C 点逆时针旋转90°后得到的△A 2B 2C ．【考点】作图-位似变换；作图-旋转变换．【分析】（1）把点A 、B 、C 的横纵坐标都乘以2得到A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A 、B 的对应点A 2、B 2即可得到△A 2B 2C ． 【解答】解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作； （2）如图，△A 2B 2C 为所作；18．如图，△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD=∠C ，AB=6，BD=4，求CD 的长．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】易证△BAD∽△BCA，然后运用相似三角形的性质可求出BC，从而可得到CD的值．【解答】解：∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，∴=．∵AB=6，BD=4，∴=，∴BC=9，∴CD=BC﹣BD=9﹣4=5．19．已知：如图，在⊙O中，直径CD交弦AB于点E，且CD平分弦AB，连接OA，BD．（1）若AE=，DE=1，求OA的长．（2）若OA∥BD，则tan∠OAE的值为多少？【考点】圆周角定理；解直角三角形．【分析】（1）根据垂径定理可得OD⊥AB，然后设AO=x，则DO=x，EO=x﹣1，利用勾股定理可得∴（）2+（x﹣1）2=x2，再解即可；（2）首先证明△AEO≌△BEO，进而可得EO=ED，然后可得∠OAB=30°，再利用特殊角的三角函数可得答案．【解答】解：（1）∵直径CD交弦AB于点E，且CD平分弦AB，∴OD⊥AB，设AO=x，则DO=x，∵DE=1，∴EO=x﹣1，在Rt△AOE中：AE2+EO2=AO2，∴（）2+（x﹣1）2=x2，解得：x=3，∴AO=3；（2）∵OA∥BD，∴∠OAB=∠EBD，∵直径CD交弦AB于点E，且CD平分弦AB，∴AE=BE，EO⊥AB，在△AOE和△BDE中，∴△AEO≌△BEO（ASA）．∴EO=ED，∵AO=DO，∴OE=AO，∴∠OAE=30°，∴tan∠OAE=．20．如图，根据道路管理规定，直线l的路段上行驶的车辆，限速60千米/时，已知测速站点M距离直线l的距离MN为30米（如图所示），现有一辆汽车匀速行驶，测得此车从A点行驶到B点所用时间为6秒，∠AMN=60°，∠BMN=45°．（1）计算AB的长；（2）通过计算判断此车是否超速．（≈1.4，≈1.7）【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）已知MN=30m，∠AMN=60°，∠BMN=45°求AB的长度，可以转化为解直角三角形；（2）求得从A到B的速度，然后与60千米/时≈16.66米/秒，比较即可确定答案．【解答】解：（1）在Rt△AMN中，MN=30，∠AMN=60°，∴AN=MN•tan∠AMN=30．在Rt△BMN中，∵∠BMN=45°，∴BN=MN=30．∴AB=AN+BN=（30+30）米；（2）∵此车从A 点行驶到B 点所用时间为6秒，∴此车的速度为：（30+30）÷6=5+5≈13.66，∵60千米/时≈16.66米/秒，∴13.66＜16.66∴不会超速．21．如图，直线y=mx+n 与双曲线y=相交于A （﹣1，2）、B （2，b ）两点，与y 轴相交于点C ．（1）求m ，n 的值；（2）若点D 与点C 关于x 轴对称，求△ABD 的面积；（3）在坐标轴上是否存在异于D 点的点P ，使得S △PAB =S △DAB ？若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，说明理由．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）利用待定系数法求出m，n的值；（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征求出点D的坐标，利用三角形面积公式计算即可；（3）分点P在x轴上和点P在y轴上两种情况，利用三角形面积公式计算即可．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，2）在双曲线y=上，∴2=，解得，k=﹣2，∴反比例函数解析式为：y=﹣，∴b==﹣1，则点B的坐标为（2，﹣1），∴，解得，m=﹣1，n=1；（2）对于y=﹣x+1，当x=0时，y=1，∴点C的坐标为（0，1），∵点D与点C关于x轴对称，∴点D的坐标为（0，﹣1），∴△ABD的面积=×2×3=3；（3）对于y=﹣x+1，当y=0时，x=1，∴直线y=﹣x+1与x轴的交点坐标为（0，1），当点P在x轴上时，设点P的坐标为（a，0），S=×|1﹣a|×2+×|1﹣a|×1=3，△PAB解得，a=﹣1或3，当点P在y轴上时，设点P的坐标为（0，b），=×|1﹣b|×2+×|1﹣b|×1=3，S△PAB解得，b=﹣1或3，∴P点坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（0，﹣1）或（0，3）．22．为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一角∠MON（∠MON=135°）的两边为边，用总长为120m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块区域，其中区域①为直角三角形，区域②③为矩形，而且四边形OBDG为直角梯形．（1）若①②③这块区域的面积相等，则OB的长度为20 m；（2）设OB=x，四边形OBDG的面积为ym2，①求y与x之的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；②设①②③这三块区域的面积分别为S 1、S 2、S 3，若S 1：S 2：S 3=3：2：1，求GE ：ED ：DC 的值．【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用；相似三角形的应用．【分析】（1）首先证明EG=EO=DB ，DE=FC=OB ，设OB=CF=DE=x ，则GE=OE=BD==40﹣x ，由①②③这块区域的面积相等，得到（40﹣x ）2=•x （40﹣x ），解方程即可．（2）①根据直角梯形的面积公式计算即可．②由S 1：S 2：S 3=3：2：1，肯定（40﹣x ）2=（﹣x 2+800），推出x=或40（舍弃），求得EG=40﹣=，ED=，DC=EG=，由此即可解决问题．【解答】解：（1）由题意可知，∠MON=135°，∠EOB=∠D=∠DBO=90°，∴∠EGO=∠EOG=45°，∴EG=EO=DB ，DE=FC=OB ，设OB=CF=DE=x ，则GE=OE=BD==40﹣x ，∵①②③这块区域的面积相等，∴（40﹣x ）2=•x （40﹣x ），∴x=20或40（舍弃），∴BC=20m ．故答案为20．（2）①y=•（40﹣x ）=﹣x 2+800（0＜x ＜40）．②∵S 1：S 2：S 3=3：2：1，∴（40﹣x ）2=（﹣x 2+800），∴x=或40（舍弃），∴EG=40﹣=，ED=，DC=EG=， ∴EG ：DE ：DC=：： =6：3：4．23．某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：（1）如图1，正方形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，则EF = GH；（填“＞”“=”或“＜”）（2）如图2，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：=；（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BC=3，CD=5，AD=7.5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．【考点】相似形综合题．【分析】（1）EF=GH．如图1中，过点A作AP∥GH，交BC于P，过点B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T．先证明四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，推出AP=GH，EF=BQ．再证明△ABP≌△BCQ，推出AP=BQ，即可解决问题．（2）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图1，易证AP=EF，GH=BQ，△PDA∽△QAB，然后运用相似三角形的性质就可解决问题；（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，易证四边形ABSR是矩形，由（1）中的结论可得=．设SC=x，则AR=BS=3+x，由△ARD∽△DSC，得=== =，推出DR=x，DS=（x+3），在Rt△ARD中，根据AD2=AR2+DR2，可得7.52=（x+3）2+（x）2，求出x即。
沪科版九年级上册数学期末考试试题含答案
沪科版九年级上册数学期末考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．在ABC ∆中，90C ∠=︒，2sin 5A =，则sin B 的值是（ ）A ．23B ．25CD ．452．已知23x y =，则下列比例式成立的是（ ）A ．32x y =B ．223x =C ．32x y =D ．23x y = 3．给出下列四个函数：①y=﹣x ；②y=x ；③y=1x ；④y=x 2．x ＜0时，y 随x 的增大而减小的函数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．如图，△ABC ∽△ADE ， 则下列比例式正确的是（ ）A ．AE AD BE DC =B ．AE AD AB AC = C ．AD DE AC BC = D ．AE DE AC BC = 5．如图，⊙O 外接于△ABC ，AD 为⊙O 的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60° 6．二次函数215322y x x =++化为()2y x h k =-+的形式，结果正确的是（ ） A ．()21322y x =+- B ．()21322y x =-+ C ．()21322y x =-- D ．()21322y x =++ 7．已知3cos 4α=，则锐角α的取值范围是（ ） A ．030α︒<<︒ B ．3045α︒<<︒ C ．4560α︒<<︒ D ．6090α︒<<︒8．反比例函数6y x =图象上的两点为()11,x y ，()22,x y 且12x x <，则下列表达式成立的是（ ） A ．1y y < B ．1y y = C ．1y y > D ．不能确定 9．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，对角线AC 、BD 交于点O 有以下四个结论其中始终正确的有（ ）①AOB COD ∆∆∽； ②AOD ACB ∆∆∽；③::DOC AOD S S DC AB ∆∆=； ④AOD BOC S S ∆∆= A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，则sinB 的值是（ ）A ．512B ．125C ．513D ．121311．抛物线y ＝x 2﹣9的顶点坐标是（ ）A ．(0，﹣9)B ．(﹣3，0)C ．(﹣9，0)D ．(3，0)12．如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝6，D 为BC 边上的一点，且∠BAC ＝∠ADC ．若△ADC 的面积为a ，则△ABC 的面积为（ ）A ．6aB ．4aC ．72aD ．52a二、填空题 13．已知二次函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是________ 14．一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当BDE ∆是直角三角形时，则CD 的长为_____．15．已知2是x 和4的比例中项，则x =______．16．如图，点A 是反比例函数k y x=图像上一点，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，点C ，D 在x 轴上，且//BC AD ，四边形ABCD 的面积为4，则k =______．三、解答题17．计算：28sin 60tan 454cos30︒+︒-︒．18．二次函数图像的顶点坐标是(-2，3)，并经过点(1，2)，求这个二次函数的函数关系式．19．已知抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线1x =，且经过点()3,0P（1）求抛物线的表达式；（2）请直接写出0y >时x 的取值范围.20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图像与反比例函数m y x =的图像在第二象限交于点B ，与x 轴交于点C ，点A 在y 轴上，满足条件：CA CB ⊥，且CA CB =，点C 的坐标为(3,0)-，cos ACO ∠=（1）求反比例函数的表达式；（2）直接写出当0x <时，m kx b x+<的解集． 21．小强在教学楼的点P 处观察对面的办公大楼．为了测量点P 到对面办公大楼上部AD 的距离，小强测得办公大楼顶部点A 的仰角为45°，测得办公大楼底部点B 的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD ＝10米．求点P 到AD 的距离（用含根号的式子表示）．22．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =.60BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，过点D 作DE AC 交AB 于点E ，点M 是线段AD 上的动点，连结BM 并延长分别交DE ，AC 于点F ，G .（1）求CD 的长.（2）若点M 是线段AD 的中点，求EF DF的值.23．如图，AB 为O 的直径，点C 是O 上一点，CD 与O 相切于点C ，过点A 作AD DC ⊥，连接AC ，BC ．（1）求证：AC 是DAB ∠的角平分线；（2）若3AD =，5AB =，求AC 的长．24．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，cos B =，12AB =．求sin BAC ∠的值．25．某水果经销商到水果种植基地采购葡萄，经销商一次性采购葡萄的采购单价y （元/千克）与采购量x （千克）之间的函数关系图象如图中折线AB BC CD →→所示（不包括端点A ）.（1）当5001000x <≤时，写出y 与x 之间的函数关系式；（2）葡萄的种植成本为8元/千克，某经销商一次性采购葡萄的采购量不超过1000千克，当采购量是多少时，水果种植基地获利最大，最大利润是多少元？参考答案1．C【分析】作出图形，设BC=2k，AB=5k，利用勾股定理列式求出AC，再根据锐角的正弦等于对边比斜边，列式即可得解．【详解】解：如图，2A=sin5∴设BC=2k，AB=5k，∴由勾股定理得AC∴sin AC==BAB故选C.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，利用“设k法”表示出三角形的三边求解更加简便．2．C【解析】【分析】把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x=3y，即可判断；【详解】A. 变成等积式是：xy=6，故错误；B. 变成等积式是：3x=4，故错误；C. 变成等积式是：2x=3y，故正确；D. 变成等积式是：3x=2y，故错误；故选C.本题主要考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键. 3．C【解析】【详解】解: 当x<0时，①y=−x，③1yx=，④2y x=，y随x的增大而减小；②y=x，y随x的增大而增大. 故选C.4．D【详解】∵△ABC∽△ADE ，∴AE DE AC BC=，故选D．【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例这一性质是解答此题的关键．5．D【分析】首先由∠ABC=30°，推出∠ADC=30°，然后根据AD为⊙O的直径，推出∠DCA=90°，最后根据直角三角形的性质即可推出∠CAD=90°-∠ADC，通过计算即可求出结果．【详解】解：∵∠ABC=30°，∴∠ADC=30°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∴∠CAD=90°-30°=60°．故选D．【点睛】本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，角的计算，关键在于通过相关的性质定理推出∠ADC和∠DCA的度数．6．A将选项展开后与原式对比即可；【详解】A ：()21322y x =+-221915=x +3x+-2=x +3x+2222，故正确； B ：()21322y x =-+2219113=x -3x++2=x -3x+2222，故错误； C ：()21322y x =--221915=x -3x+-2=x -3x+2222，故错误； D ：()21322y x =++2219113=x +3x++2=x +3x+2222，故错误； 故选A.【点睛】本题主要考查了二次函数的三种形式，掌握二次函数的三种形式是解题的关键.7．B【分析】根据锐角余弦函数值在0°到90°中，随角度的增大而减小进行对比即可；【详解】锐角余弦函数值随角度的增大而减小，∵cos30°cos45°∴若锐角α的余弦值为3434<<则30°＜α ＜45°；故选B ．【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的增减性是解题的关键. 8．D【分析】 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到116=x y ，226=y x ，然后分类讨论：0＜1x ＜2x 得到12y y >；当1x ＜0＜2x 得到1y ＜2y ；当1x ＜2x ＜0得到12y y >．【详解】∵反比例函数6y x=图象上的两点为()11,x y ，()22,x y ， ∴1122==6x y x y ， ∴116=x y ，226=y x ， 当0＜1x ＜2x ，12y y >；当1x ＜0＜2x ，1y ＜2y ；当1x ＜2x ＜0，12y y >；故选D.【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键.9．C【分析】根据相似三角形的判定定理、三角形的面积公式判断即可．【详解】解：∵AB ∥CD,∴△AOB ∽△COD ，①正确；∵∠ADO 不一定等于∠BCO ，∴△AOD 与△ACB 不一定相似，②错误；∴:::DOC AOD S S CO AO DC AB ∆∆==，③正确；∵△ABD 与△ABC 等高同底，∴ABD ABC S S ∆∆=，∵ABD AOB ABC AOB S S S S ∆∆∆∆-=-，∴AOD BOC S S ∆∆=，④正确；故选C.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 10．D【分析】直接利用勾股定理得出AB 的长，再利用锐角三角函数得出答案．【详解】解：如图所示：∵∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，∴13AB ， ∴12sin 13AC B AB ==． 故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，解题的关键是理解三角函数的定义．11．A【分析】根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，即可得出抛物线的顶点坐标．【详解】解：抛物线29y x =-的顶点坐标是(0，-9)．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，牢记“二次函数的顶点式为2()y a x k h =-+，的顶点坐标是(k ，h ) ”．12．B【分析】根据相似三角形的判定，先证明△CAD ∽△CBA ，利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可求出结果．【详解】解：∵∠ACD ＝∠BCA ，∠BAC ＝∠ADC ．∴△CAD ∽△CBA ．∵AC ＝3，BC ＝6， ∴12AC BC =． ∴21124ADC ABC S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭． ∵ADC S △＝a ，∴S △ABC ＝4a ．故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质并准确计算是解题的关键． 13．k≤4且k≠3【分析】根据二次函数的定义和图象与x 轴有交点则△≥0，可得关于k 的不等式组，然后求出不等式组的解集即可．【详解】解：根据题意得k−3≠0且△＝22−4×（k−3）×1≥0，解得k≤4且k≠3．故答案为k≤4且k≠3.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题：对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a≠0），△＝b 2−4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数：△＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＜0时，抛物线与x 轴没有交点．14．3或247【分析】依据沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当△BDE 是直角三角形时，分两种情况讨论：∠DEB=90°或∠BDE=90°，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到CD 的长【详解】分两种情况：①若90DEB ∠=，则90AED C ∠==∠， CD ED =，连接AD ，则()Rt ACD Rt AEAD HL ∆≅∆，6AE AC ∴==，1064BE =-=，设CD DE x ==，则8BD x =-，Rt BDE ∆中，222DE BE BD +=2224(8)x x ∴+=-，解得3x =，3CD ∴=；②若90BDE ∠=，则90CDE DEF C ∠=∠=∠=，CD DE =，∴四边形CDEF 是正方形，90AFE EDB ∴∠=∠=，AEF B ∠=∠，~AEF EBD ∴∆∆，AFEFED BD ∴=，设CD x =，则EF DF x ==，6AF x =-，8BD x =-，68xxx x -∴=-， 解得247x =，247CD ∴=， 综上所述，CD 的长为3或247， 故答案为3或247． 【点睛】 此题考查折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题关键在于画出图形 15．1【分析】根据两内项之积等于两外项之积可得方程，再解即可．【详解】由题意得:22=4x ，解得:x=1，故答案为：1．【点睛】此题主要考查了比例线段，关键是掌握比例的性质．16．-4【分析】根据题意可得出四边形ABCD 是平行四边形，由平行四边形的面积为4，可求出直角三角形AOB 的面积为2，再根据反比例函数k 的几何意义求出答案．【详解】解：连接OA ，∵AB ⊥y ，BC ∥AD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵平行四边形ABCD 的面积为4，即，AB•OB=4，∴S △AOB =12AB•OB=2=12|k|，∴k=-4或k=4（舍去）故答案为：-4．【点睛】本题考查反比例函数k 的几何意义，连接反比例函数k 的几何意义是解决问题的关键．17．7-【分析】先根据特殊角的三角函数运算，再运用实数运算法则计算即可．【详解】原式2814=⨯+-⎝⎭3814=⨯+-61=+-7=-【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是中考题中常见的计算题型，解答的关键是熟记特殊角的三角函数值．18．y=-19(x+2)2+3 【分析】已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式，然后把（1，2）代入即可得到抛物线解析式．【详解】解：设二次函数解析式为y ＝a （x ＋2）2＋3，把（1，2）代入得9a ＋3＝2，解得a ＝19-， 所以二次函数解析式为：y ＝19-(x+2)2+3． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．19．（1）223y x x =--；（2）1x <-或3x >【分析】（1）利用对称轴方程可确定b=-2，把P 点坐标代入二次函数解析式可确定c=-3，即抛物线解析式为223y x x =--；(2) 根据抛物线的对称性和P （3，0）为x 轴上的点，即可求出另一个点的交点坐标，画图，根据图象即可得出结论；【详解】解：（1）根据题意得，2b -=120=3-23+c⎧⎪⎨⎪⨯⎩， 解得b=-2c=-3⎧⎨⎩， ∴抛物线解析式为223y x x =--；(2) 函数对称轴为x=1,而P(3,0)位于x 轴上，则设与x 轴另一交点坐标Q 为(m,0)， 根据题意得：m+3=12， 解得m=−1，则抛物线与x 轴的另一个交点Q 坐标为(−1,0)，由图可得，0y >时x 的取值范围为：1x <-或3x >；【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，掌握抛物线与x 轴的交点，待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.20．（1）27y x=-；（2）90x -<< 【分析】 （1）过点B 作BH ⊥x 轴于点H ，证明BHC ∆≌COA ∆得到BH 与CH 的长度，便可求得B 点的坐标，进而求得反比例函数解析式；（2）观察函数图象，当一次函数图象在反比例函数图象下方时的自变量x 的取值范围便是结果．【详解】解：（1）如图作BH x ⊥轴于点H则90BHC BCA COA ∠=∠=∠=︒∴BCH CAO ∠=∠∵点C 的坐标为(3,0)-∴3OC =∵cos ACO ∠∴AC =6AO =在BHC ∆和COA ∆中有90BC ACBHC COA BCH CAO=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪∠=∠⎩∴BHC ∆≌COA ∆∴3BH CO ==，6CH AO ==∴9OH =，即(9,3)B -∴9327m =-⨯=-∴反比例函数解析式为27y x=- （2）因为在第二象限中，B 点右侧一次函数的图像在反比例函数图像的下方,所以当0x <时，m kx b x+<的解集为90x -<<. 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握函数解析式的求法以及利用数形结合根据函数图象的上下位置关系得出不等式的解集是重点．21．8 ．【分析】连接PA 、PB ，过点P 作PM ⊥AD 于点M ；延长BC ，交PM 于点N ，将实际问题中的已知量转化为直角三角形中的有关量，设PM=x 米，在Rt △PMA 中，表示出AM ，在Rt △PNB 中，表示出BN ，由AM+BN=46米列出方程求解即可．【详解】解：连结PA 、PB ，过点P 作PM ⊥AD 于点M ；延长BC ，交PM 于点N则∠APM=45°，∠BPM=60°，NM=10米设PM=x在Rt △PMA 中，AM=PM×tan ∠APM=xtan45°＝x （米）在Rt △PNB 中，BN=PN×tan ∠BPM=(－10)tan60°＝(－10)3（米^由AM+BN=46米，得x+(x －46解得，8∴点P 到AD 的距离为8米【点睛】此题考查了解直角三角形的知识，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 22．（1）DC =（2）23EF DF =. 【解析】【分析】（1）求出1302DAC BAC ∠=∠=︒，在Rt △ADC 中，由三角函数得出tan30DC AC =⋅︒= （2）由三角函数得出BC=AC•tan60°==BD BC CD =-=△DFM ≌△AGM （ASA ），得出DF=AG ，由平行线分线段成比例定理得出，即可得出答案．【详解】解：（1）∵AD 平分BAC ∠，60BAC ∠=︒， ∴1302DAC BAC ∠=∠=︒， 在Rt ADC ∆中，tan30DC AC =⋅︒=（2）∵∠C=90°，AC=6，∠BAC=60°，∴BC=AC tan60=6︒=∴BD BC CD =-=∵DE ∥AC ，∠DMF 和∠AMG 是对顶角，∴∠FDM=∠GAM ，∠DMF=∠AMG ，∵点M 是线段AD 的中点，∴AM DM =，∵FDM GAM AM DM DMF AMG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴DFM AGM ∆∆≌，∴DF AG =.由DE ∥AC ，得BFE BGA ∆∆∽， ∴EF BE BD AG AB BC==，∴23EF EF BD DF AG BC ====； 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，特殊角的三角函数值，掌握全等三角形的性质与判定，特殊角的三角函数值是解题的关键.23．（1）见解析；（2）AC 【分析】(1)连接 OC ，根据切线的性质可得90OCD ∠=︒，再根据AD DC ⊥ ，和半径线段即可证明 AC 是DAB ∠的角平分线；(2)利用圆周角定理得到90ACB ∠=︒，再证明 Rt ADC Rt ACB △△∽，对应边成比例即可求出 AC 的长．【详解】解：（1）证明：连接OC ，如图，∵CD 与O 相切于点C ，∴90OCD ∠=︒∴90ACD ACO ∠+∠=︒，∵AD DC ⊥，∴90ADC ∠=︒，∴90ACD DAC ∠+∠=︒∴ACO DAC ∠=∠∵OA OC =，∴OAC OCA ∠=∠∴DAC OAC ∠=∠∴AC 是DAB ∠的角平分线；（2）∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒．∴90D ACB ∠=∠=︒．∵DAC BAC ∠=∠，∴Rt ADC Rt ACB △△∽． ∴AD AC AC AB=． ∴23515AC AD AB =⋅=⨯=，∴AC【点睛】本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造图型，得出垂直关系再利用相似三角对应边成比例，也考查了圆周角定理．24．sin BAC ∠=【分析】过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ，首先求出BD ，BC 的长，根据cos BE B BC =，进而得出BE ，CE 的长，再利用sin EC BAC AC ∠=求出即可． 【详解】解：过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，在Rt ABD ∆中，cos BD B AB =12AB =，∴BD =∵AB AC =，AD BC ⊥，∴BC =在Rt BCE ∆中，cos BE B BC == ∴2BE =，∴EC = 在Rt ACE ∆中，12AB AC ==，∴sin EC BAC AC ∠==．【点睛】本题考查了三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．25．（1）0.0240y x =-+；（2）一次性采购量为800千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为12800元.【分析】（1）根据函数图象中的点B 和点C 可以求得当500<x≤1000时，y 与x 之间的函数关系式；（2）根据题意可以分为两种讨论，然后进行对比即可解答本题；【详解】解：（1）设当5001000x <≤时，y 与x 之间的函数关系式为：y ax b =+，50030100020a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得0.0240a b =-⎧⎨=⎩. 故y 与x 之间的函数关系式为：0.0240y x =-+；（2）当采购量是x 千克时，蔬菜种植基地获利ω元，当0500x <≤时，()30822x x ω=-=，则当500x =时，ω有最大值11000元，当5001000x <≤时，()8y x ω=-，()0.0232x x =-+20.0232x x =-+()20.028*******x =--+， 故当800x =时，ω有最大值为12800元，综上所述，一次性采购量为800千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为12800元；【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握二次函数的应用，一元二次方程的应用是解题的关键.。
沪科版九年级数学上册期末考试试卷-附带有答案
沪科版九年级数学上册期末考试试卷-附带有答案学校:班级:姓名:考号:一、选择题1．下列图形中，轴对称图形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，AD∥BE∥CF，AB=3，BC=6，DE=2，则EF的值为（）A．2B．3C．4D．53．如图AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF的度数（）A．70°B．65°C．60°D．55°4．若A(a，b)，B(a−2，c)两点均在函数y=1x的图象上，且a<0，则b与c的大小关系为（）A．b>c B．b<c C．b=c D．无法判断5．如图，在Rt∥ABC中，∥BAC=90°，AD∥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A．sinB=ADAB B．sinB=ACBC C．sinB=ADAC D．sinB=CDAC6．如图，在九年级体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数y=−110x2+35x+85，则小朱本次投掷实心球的成绩为（）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m7．抛物线y=（x﹣1）2+2与y轴交点坐标为（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，2）D．（0，3）8．已知点A在函数y1=﹣1x（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对9．如图，Rt∥ABC中∥ACB＝90°，BC＝2AC正方形DEFG如图放置，点D，G分别在AC，BC上，E，F都在边AB上，若AB＝14，则EF的长为（）A．2B．4C．2 √5D．810．在Rt∥ABC中，∥C＝90°，CD∥AB于点D，AB=13，CD=6，则AC+BC＝（）A．5B．5 √13C．13 √13D．9 √5二、填空题11．江边有一处高10米，背水坡角为45°的防洪大堤，大堤的横截面为梯形ABCD，其中CD∥AB，∠DAB=45°（如图）．某防洪指挥部发现该大堤急需加固，经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是沿背水坡面AD用土石进行加固，使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比为1：√3．则加固后坝底增加的宽度AF=米．12．已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于.13．如图，在Rt∥ABC中∥ACB=90°，点D在AB边上，将∥CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∥A=26°，则∥CDE=．14．如图，平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO ，CO 分别在x 轴，y 轴上，A 点的坐标为（﹣8，6），点P 在矩形ABOC 的内部，点E 在BO 边上，满足∥PBE∥∥CBO ，当∥APC 是等腰三角形时，P 点坐标为 ．三、计算题15．计算： √(−3)2+(12)−3−(3√2)0−4cos30°+√3四、作图题16．如图，A ，B ，C 三点表示三个城市，某物流公司为建一个物流仓库，考虑运输问题，要求新建仓库O 到三个城市距离相等，请用尺规作出O 的位置。
沪科版数学九年级上册期末测试卷含答案
沪科版数学九年级上册期末测试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．二次函数y=（x﹣1）2﹣3的最小值是（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣32．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tan2B﹣3|+（2sinA﹣）2=0，则△ABC是（）A．直角（不等腰）三角形 B．等边三角形C．等腰（不等边）三角形 D．等腰直角三角形3．在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k 的取值范围是（）A．k＜0 B．k＞0 C．k＜1 D．k＞14．如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ABC=α，那么AB等于（）A．a•sinαB．a•cosαC．a•tanαD．5．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（）A．B．C．D．6．把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（）A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=x2+2 D．y=x2﹣27．将二次函数y=x2+x﹣1化为y=a（x+h）2+k的形式是（）A．y=B．y=（x﹣2）2﹣2C．y=（x+2）2﹣2 D．y=（x﹣2）2+28．若A（a1，b1），B（a2，b2）是反比例函数y=（x＞0）图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是（）A．b1＞b2 B．b1=b2C．b1＜b2 D．大小不确定9．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度是1：，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（）A．100m B．120m C．50m D．100m10．如图，边长为的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数的图象上，已知点B的坐标是，则k的值为（）A． B． C．4 D．6二、填空题（每小题5分，共20分）11．（5分）如图，若点A的坐标为，则sin∠1=．12．（5分）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为．13．（5分）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是．14．（5分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是．三、简答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）求值：cos245°﹣sin30°tan60°+sin60°16．（8分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）．（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A 1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）以原点O 为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使=，并写出点A2的坐标．四、简答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）18．（8分）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．五、简答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，前2分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足二次函数v=at2，后三分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足反比例函数关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分，求：（1）二次函数和反比例函数的关系式．（2）弹珠在轨道上行驶的最大速度．20．（10分）已知：如图，第一象限内的点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且cot∠ACB=求：（1）反比例函数的解析式；（2）点C的坐标；（3）∠ABC的余弦值．六、简答题（本题满分12分）21．（12分）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y （m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=a（x﹣4）2+h，已知点O 与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．（1）当a=﹣时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．七、（本题满分12分）22．（12分）已知：如图，有一块面积等于1200cm2的三角形纸片ABC，已知底边与底边BC上的高的和为100cm（底边BC大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边EF在边BC上，顶点D、G 分别在边AB、AC上，求加工成的正方形铁片DEFG的边长．八、（本题满分14分）23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（10，0），B（4，8），C（0，8），连接AB，BC，点P在x轴上，从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C向点C运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设P，M两点运动的时间为t秒．（1）求AB长；（2）设△PAM的面积为S，当0≤t≤5时，求S与t的函数关系式，并指出S取最大值时，点P的位置；（3）t为何值时，△APM为直角三角形？参考答案1．D；2．B；3．D；4．D；5．B；6．D；7．C；8．A；9．A；10．C；11．；12．y=﹣；13．x＜﹣1或x＞5；14．①②③⑤；沪科版数学九年级上册期末测试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．二次函数y=（x﹣1）2﹣3的最小值是（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣32．△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且有|tan2B﹣3|+（2sinA﹣）2=0，则△ABC是（）A．直角（不等腰）三角形 B．等边三角形C．等腰（不等边）三角形 D．等腰直角三角形3．在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k 的取值范围是（）A．k＜0 B．k＞0 C．k＜1 D．k＞14．如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ABC=α，那么AB等于（）A．a•sinαB．a•cosαC．a•tanαD．5．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（）A．B．C．D．6．把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（）A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=x2+2 D．y=x2﹣27．将二次函数y=x2+x﹣1化为y=a（x+h）2+k的形式是（）A．y=B．y=（x﹣2）2﹣2C．y=（x+2）2﹣2 D．y=（x﹣2）2+28．若A（a1，b1），B（a2，b2）是反比例函数y=（x＞0）图象上的两个点，且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是（）A．b1＞b2 B．b1=b2C．b1＜b2 D．大小不确定9．如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度是1：，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是（）A．100m B．120m C．50m D．100m10．如图，边长为的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数的图象上，已知点B的坐标是，则k的值为（）A． B． C．4 D．6二、填空题（每小题5分，共20分）11．（5分）如图，若点A的坐标为，则sin∠1=．12．（5分）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为．13．（5分）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是．14．（5分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是．三、简答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）求值：cos245°﹣sin30°tan60°+sin60°16．（8分）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）．（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A 1B1C1，并写出点A1的坐标；（2）以原点O 为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使=，并写出点A2的坐标．四、简答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）18．（8分）如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．五、简答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，前2分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足二次函数v=at2，后三分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足反比例函数关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分，求：（1）二次函数和反比例函数的关系式．（2）弹珠在轨道上行驶的最大速度．20．（10分）已知：如图，第一象限内的点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且cot∠ACB=求：（1）反比例函数的解析式；（2）点C的坐标；（3）∠ABC的余弦值．六、简答题（本题满分12分）21．（12分）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y （m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=a（x﹣4）2+h，已知点O 与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．（1）当a=﹣时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．七、（本题满分12分）22．（12分）已知：如图，有一块面积等于1200cm2的三角形纸片ABC，已知底边与底边BC上的高的和为100cm（底边BC大于底边上的高），要把它加工成一个正方形纸片，使正方形的一边EF在边BC上，顶点D、G 分别在边AB、AC上，求加工成的正方形铁片DEFG的边长．八、（本题满分14分）23．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（10，0），B（4，8），C（0，8），连接AB，BC，点P在x轴上，从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点A运动，同时点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C向点C运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设P，M两点运动的时间为t秒．（1）求AB长；（2）设△PAM的面积为S，当0≤t≤5时，求S与t的函数关系式，并指出S取最大值时，点P的位置；（3）t为何值时，△APM为直角三角形？做题技巧不要提前看答案在做练习题的时候，如果你遇到了困难，千万不要提前看答案，否则就是在白白浪费时间。
沪科版九年级上册数学期末考试试卷附答案
沪科版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=（x+2）2+2 B．y=（x﹣2）2﹣2 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x+2）2﹣2x2的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y 2．下列关于函数y=12轴；④顶点(0，0)，其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞54．抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位5．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组6．如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，位似比为2:3，已知AB =4，则DE 的长等于（ ）A ．6B ．5C ．9D ．837．如图，直径为10的⊙A 经过点C(0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A ．12BC ．35D ．458．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tan B 的值是( )A ．13B ．3CD ．9．如图，点B 、D 、C 是⊙O 上的点，∠BOC ＝100°，则∠BDC 的度数是( )A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°10．如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0).以点C 为位似中心，在x 轴的下作△ABC 的位似图形△A'B'C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍.设点A'的对应点A 的纵坐标是1.5，则点A'的纵坐标是（ ）A ．3B ．-3C ．-4D ．4二、填空题11．已知二次函数y=x 2+bx+3的对称轴为x=2，则b=____．12． 如图，若ADE ACB ∽，且23AD AC ，若四边形BCED 的面积是2，则ADE 的面积是_________．13．在Rt ABC 中，∠C=90°，AB=4，sin 2A =____． 14．如图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC,并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为________．15．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，若AD=BC ，则cos ∠B=_____.三、解答题16．计算：（﹣1）2016+2sin60°﹣|0．17．已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过点A （3，0），B （﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．18．某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动．如图，他们在河东岸边的A 点测得河西岸边的标志物B 在它的正西方向，然后从A 点出发沿河岸向正北方向行进550米到点C处，测得B在点C的南偏西60°方向上，他们测得的湘江宽度是多少米？（结果保留整数，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）19．已知：如图，点P是⊙O外的一点，PB与⊙O相交于点A、B，PD与⊙O相交于C、D，AB=CD．求证：（1）PO平分∠BPD；（2）PA=PC．20．如图，△ABC中，E是AC上一点，且AE=AB，∠EBC=12∠BAC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交EB于点F．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若AB=8，sin∠EBC=14，求AC的长．21．如图，直线y=﹣x+b与反比例函数kyx的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB．（1）求k和b的值；（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围；（3）在y轴上是否存在一点P，使25PAC AOBS S△△？若存在请求出点P坐标，若不存在请说明理由．22．一种实验用轨道弹珠，在轨道上行驶5分钟后离开轨道，前2分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足二次函数v=at2，后三分钟其速度v（米/分）与时间t（分）满足反比例函数关系，如图，轨道旁边的测速仪测得弹珠1分钟末的速度为2米/分，求：（1）二次函数和反比例函数的关系式．（2）弹珠在轨道上行驶的最大速度．（3）求弹珠离开轨道时的速度．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣32且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，BP与⊙O相交于点D，C为⊙O上的一点，分别连接CB、CD，∠BCD＝60°．(1)求∠ABD的度数；(2)若AB＝6，求PD的长度．参考答案1．B【解析】试题分析：根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律，可知函数y=x2﹣4向右平移2个单位，得：y=（x﹣2）2﹣4；再向上平移2个单位，得：y=（x﹣2）2﹣2；考点：二次函数图象与几何变换2．D【解析】【分析】x2是一种最基本的二次函数，画出图象，直接判断．函数=12【详解】x2的图象是抛物线，正确；解：①二次函数=12＞0，抛物线开口向上，错误；②因为a=12③因为b=0，对称轴是y轴，正确；④顶点（0，0）正确．故正确答案是①③④选：C．【点睛】本题考查了抛物线y=ax2的性质：①图象是一条抛物线；②开口方向与a有关；③对称轴是y轴；④顶点（0，0）．3．D【解析】试题分析：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．利用图象可知：ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，∴x＜﹣1或x＞5．故选：D．考点：二次函数与不等式（组）4．B【解析】试题分析：根据“左加右减，上加下减”的原则，可知：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2﹣3．故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．考点：二次函数图象与几何变换5．C【详解】此题比较综合，要多方面考虑：①∵知道∠ACB和BC的长，∴可利用∠ACB的正切直接求AB的长；②可利用∠ACB和∠ADB的正切设方程组ABtan ACB=CB{ABtan ADB=CD+CB∠∠求出AB；③∵△ABD∽△EFD，∴可利用相似三角形对应边成比例EF FDAB BD=，求出AB；④无法求出A，B间距离．因此共有3组可以求出A，B间距离．故选C．6．A【解析】试题分析：根据位似是特殊的相似，位似比就是相似比，相似形对应边的比相等．由△ABC 与△DEF位似，且AB：DE=2：3，AB=4，可求得DE=6故选A．考点：位似变换7．B【详解】连接AO，CO，由已知⊙A的直径为10，点C(0，5)，知道△OAC是等边三角形，所以∠CAO=600，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半知∠OBC =300，因此∠OBCB．8．D【分析】先求出AC，再根据正切的定义求解即可.设BC=x ，则AB=3x ，由勾股定理得，AC=，tanB=AC BC = 故选D ．考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理．9．D【详解】试题分析：首先在优弧BC 上取点E ，连接BE ，CE ，由点B 、D 、C 是⊙O 上的点，∠BOC=100°，即可求得∠E=50°，然后由圆周角定理，即可求得∠BDC=130°．故选D ．考点：1、圆周角定理；2、圆内接四边形的性质10．B【详解】试题分析：根据位似变换的性质得出△ABC 的边长放大到原来的2倍，进而得出点A'的纵坐标-3．故选B ．考点：1、位似变换；2、坐标与图形性质11．-4【详解】 试题分析：可直接由对称轴公式22b b a -=-=2，求得b=-4． 考点：二次函数的性质 12．85【分析】根据题意求出△ADE 与△ACB 的相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可．【详解】解：∵△ADE ∽△ACB ，且23ADAC ， ∴△ADE 与△ACB 的面积比为：49， ∴△ADE 与四边形BCED 的面积比为：45， 又四边形BCED 的面积是2，∴△ADE 的面积是85． 故答案为85【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．13．12【详解】试题分析：根据在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=4，∠A 正弦值sin BC A AB ===∠A=60°，进而可求得sin 2A =sin30°=12． 考点：特殊角的三角函数值14．80π-160【分析】先连接AC ，则可证得△AEM ∽△CFM ，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EM 与FM 的长，然后由勾股定理求得AM 与CM 的长，则可求得正方形与圆的面积，则问题得解．【详解】解：连接AC ，∵AE 丄EF ，EF 丄FC ，∴∠E=∠F=90°，∵∠AME=∠CMF ，∴△AEM ∽△CFM ， ∴AE EM CF FM=， ∵AE=6，EF=8，FC=10， ∴63105EM FM ==∴EM=3，FM=5，在Rt △AEM 中，在Rt △FCM 中，∴在Rt △ABC 中，AB=ACsin45°= ∴S 正方形ABCD =AB 2=160，圆的面积为： 285()2π=80π， ∴正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为80π-160．故答案为80π-160．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形与圆的面积的求解方法，以及勾股定理的应用．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用.15 【分析】设AD =BC =x ，可证△ABC ∽△CBD ，根据相似三角形的性质表示出BD 的长，然后在△Rt △BCD 中，利用余弦的定义求解即可.【详解】设AD =BC =x ，∵∠ACB =90°，CD ⊥AB ，∴∠A +∠ACD =∠ACD +∠BCD =90°，∴∠A =∠BCD ，∴△ABC ∽△CBD ， ∴AB BC BC BD =，即x BD x x BD+=， ∴BD， ∴cos ∠B=2x BD BCx =【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，由△ABC ∽△CBD 表示出BD 的长是解答本题的关键.16．2【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式20161)2sin 60π-+︒-︒（的值即可.【详解】解：20161)2sin 60π-+︒-+︒（=1+21=1=217．（1）y=﹣x 2+2x+3（2）y=﹣x 2+2x+3【解析】试题分析：（1）根据抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过点A （3，0），B （﹣1，0），直接得出抛物线的解析式为；y=﹣（x ﹣3）（x+1），再整理即可，（2）根据抛物线的解析式为y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，即可得出答案．试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过点A （3，0），B （﹣1，0）．∴抛物线的解析式为；y=﹣（x ﹣3）（x+1），即y=﹣x 2+2x+3，（2）∵抛物线的解析式为y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．考点：1、待定系数法求二次函数解析式；2、二次函数的性质18．953【解析】试题分析：根据题意，∠BAC=90°，AC=550，∠ACB=60°，求AB．由三角函数定义可建立关系式后求解．试题解析：由题意得：△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=60°，AC=550，AB=AC•tan∠（米）．答：他们测得湘江宽度为953米．考点：解直角三角形的应用-方向角问题19．（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，根据AB=CD可知OE=OF，进而可知PO平分∠BPD；（2）先根据全等三角形的判定定理得出Rt△POE≌Rt△POF，再由垂径定理可得出AE=CF，再根据PE﹣AE=PF﹣CF即可得出结论．试题解析：（1）过点O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，∵AB=CD，∴OE=OF，∴PO平分∠BPD；（2）在Rt△POE与Rt△POF中，∵OP=OP，OE=OF，∴Rt△POE≌Rt△POF，∴PE=PF，∵AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，E、F分别为垂足，∴AE=12AB，CF=12CD，∴AE=CF，∴PE﹣AE=PF﹣CF，即PA=PC．考点：1、垂径定理；2、全等三角形的判定与性质；3、角平分线的性质；4、勾股定理20．（1）证明见解析（2）647【解析】试题分析：（1）首先连接AF，由AB为直径，根据圆周角定理，可得∠AFB=90°，又由AE=AB，∠EBC=∠BAC，根据等腰三角形的性质，可得∠BAF=∠EBC，继而证得BC与⊙O相切；（2）首先过E作EG⊥BC于点G，由三角函数的性质，可求得BF的长，易证得△CEG∽△CAB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．试题解析：（1）连接AF．∵AB为直径，∴∠AFB=90°．∵AE=AB，∴△ABE为等腰三角形．∴∠BAF=12∠BAC．∵∠EBC=12∠BAC，∴∠BAF=∠EBC，∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°．∴∠ABC=90°．即AB⊥BC，∴BC与⊙O相切．（2）过E作EG⊥BC于点G，∵∠BAF=∠EBC，∴sin∠BAF=sin∠EBC=1 4．在△AFB中，∠AFB=90°，∵AB=8，∴BF=AB•sin∠BAF=8×14=2，∴BE=2BF=4．在△EGB中，∠EGB=90°，∴EG=BE•sin∠EBC=4×14=1，∵EG⊥BC，AB⊥BC，∴EG∥AB，∴△CEG∽△CAB，∴CE EGCA AB=．∴188 CECE=+，∴CE=8 7，∴AC=AE+CE=8+87=647．考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质21．（1）b=5，k=4（2）x＞4或0＜x＜1（3）P（0，3）或P（0，﹣3）【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；（2）由（1）知，b=5，k=4，得到直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为：4 yx =列方程45xx-+=，求得B（4，1），再根据图象中的信息即可得到结论；（3）过A 作AM ⊥x 轴，过B 作BN ⊥x 轴，得1115=)=1+43=222AOB ANMB S S AN BM MN =+⨯⨯四边形（（） ，由已知条件得到215==352PAC S ⨯ ，过A 作AE ⊥y 轴，过C 作CD ⊥y 轴，设P （0，t ），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．【详解】解：（1）将A （1，4）分别代入y=﹣x+b 和ky x =得：4=﹣1+b ，4=1k，解得：b=5，k=4；（2）由（1）知，b=5，k=4，∴直线的表达式为：y=﹣x+5，反比例函数的表达式为：4y x = 由45x x -+=，解得：x=4，或x=1，∴B （4，1），∴一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围为：x ＞4或0＜x ＜1，（3）过A 作AM ⊥x 轴，过B 作BN ⊥x 轴， ∴1115=)=1+43=222AOB ANMB S S AN BM MN =+⨯⨯四边形（（）， ∵25PAC AOB S S =△△， ∴215==352PAC S ⨯，过A 作AE ⊥y 轴，过C 作CD ⊥y 轴，设P （0，t ）， ∴S △PAC =12OP•CD+12OP•AE=12OP （CD+AE ）=|t|=3，解得：t=3，t=﹣3，∴P （0，3）或P （0，﹣3）．22．（1）v=2t2，（0≤t≤2）；v=16t（2＜t≤5）（2）8米/分（3）3.2【解析】试题分析：（1）二次函数图象经过点（1，2），反比例函数图象经过点（2，8），利用待定系数法求函数解析式即可；（2）把t=2代入（1）中二次函数解析式即可；（3）把t=5代入（1）中反比例函数解析式即可求得答案．试题解析：（1）v=at2的图象经过点（1，2），∴a=2．∴二次函数的解析式为：v=2t2，（0≤t≤2）；设反比例函数的解析式为v=k t，由题意知，图象经过点（2，8），∴k=16，∴反比例函数的解析式为v=16t（2＜t≤5）；（2）∵二次函数v=2t2，（0≤t≤2）的图象开口向上，对称轴为y轴，∴弹珠在轨道上行驶的最大速度在2秒末，为8米/分；（3）弹珠在第5秒末离开轨道，其速度为v=165=3.2（米/分）．考点：反比例函数的应用23．（1）①（1，0）②y=-12x2-32x+2（2）（﹣2，3）（3）存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18）【解析】试题分析：（1）①先求的直线y=12x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；（2）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=-12m2﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC=12×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；（3）首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．试题解析：（1）①y=12x+2当x=0时，y=2，当y=0时，x=﹣4，∴C（0，2），A（﹣4，0），由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=﹣32对称，∴点B的坐标为（1，0）．②∵抛物线y=ax2+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0），∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣1），又∵抛物线过点C（0，2），∴2=﹣4a∴a=-1 2∴y=-12x2-32x+2．（2）设P（m，-12m2-32m+2）．过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，∴Q（m，12m+2），∴PQ=-12m2-32m+2﹣（12m+2）=-12m2﹣2m，∵S△PAC=12×PQ×4，=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，∴当m=﹣2时，△PAC的面积有最大值是4，此时P（﹣2，3）．（3）在Rt△AOC中，tan∠CAO=12在Rt△BOC中，tan∠BCO=12，∴∠CAO=∠BCO，∵∠BCO+∠OBC=90°，∴∠CAO+∠OBC=90°，∴∠ACB=90°，∴△ABC∽△ACO∽△CBO，如下图：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；③根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；④当点M在第四象限时，设M（n，-12n2-32n+2），则N（n，0）∴MN=12n2+32n﹣2，AN=n+4当12MNAN=时，MN=12AN，即12n2+32n﹣2=12（n+4）整理得：n2+2n﹣8=0解得：n1=﹣4（舍），n2=2 ∴M（2，﹣3）；当21MNAN=时，MN=2AN，即12n2+32n﹣2=2（n+4），整理得：n2﹣n﹣20=0解得：n1=﹣4（舍），n2=5，∴M（5，﹣18）．综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．考点：二次函数综合题24．（1）∠ABD=30°；（2）【分析】（1）根据圆周角定理得：∠ADB=90°，由同弧所对的圆周角相等和直角三角形的性质可得结论；（2）如图1，根据切线的性质可得∠BAP=90°，根据直角三角形30°角的性质可计算AD的长，由勾股定理计算DB的长，由三角函数可得PB的长，从而得PD的长．【详解】（1）如图，连接AD．∵BA是⊙O直径，∴∠BDA=90°．∵BD BD=，∴∠BAD=∠C=60°．∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-60°=30°．（2）如图，∵AP是⊙O的切线，∴∠BAP=90°．在Rt△BAD中，∵∠ABD=30°，∴DA=12BA=12×6=3．∴在Rt△BAP中，∵cos∠ABD=AB PB，∴cos30°=6 PB∴∴【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21。
沪科版九年级上册数学期末考试试卷含答案解析
沪科版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．反比例函数6y x=-的图象位于（ ） A ．第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第二、三象限 D ．第一、二象限 2．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的中线，若CD ＝5，AC ＝6，则tanB 的值是A ．45B ．35C ．34D ．433．已知二次函数y=mx 2+x+m （m-2）的图像经过原点，则m 的值为（ ） A ．0或2B ．0C ．2D ．无法确定 4．函数()0k y k x=≠与()20y kx k k =-+≠在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．tan 60︒是（ ）A B C D 6．若二次函数y=x 2-3x+a 的图象过原点，则a 的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．-17．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，1AB =，则sin A 的值为（ ）A ．1B ．1BC C ．ACD ．BC 8．将二次函数223y x x -=--化为顶点式正确的是（ ）A ．2(1)4y x =---B ．2(1)2y x =-+-C ．2(1)2y x =-++D ．2(1)4y x =-+9．如图所示的是二次函数2y ax bx c =-+（,,a b c 为常数，且0a ≠）的图象，其对称轴为直线1x =-，且经过点（0,1），则下列结论错误的是（ ）A ．0a b c -+<B ．0abc <C ．420a b c ++<D ．1c a -> 10．如图，在33⨯的网格中，A ，B 均为格点，以点A 为圆心，以AB 的长为半径作弧，图中的点C 是该弧与格线的交点，则sin BAC ∠的值是( )A ．12B ．23C D二、填空题11．如果22sin 7sin 30A A -+=，那么sin A 的值为______．12．将抛物线2y x 向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的函数表达式是_____．13．二次函数2231y x x =--的二次项系数与常数项的和是__________．14．如图，已知tanα＝12，如果F(4，y)是射线OA 上的点，那么F 点的坐标是______．三、解答题15．计算：0(2019)4sin 45|2|︒--+-．16．如图，河的两岸MN 与PQ 相互平行，点A ，B 是PQ 上的两点，C 是MN 上的点，某人在点A 处测得∠CAQ=30°，再沿AQ 方向前进20米到达点B ，某人在点A 处测得∠CAQ=30°，再沿AQ 方向前进20米到达点B ，测得∠CBQ=60°，求这条河的宽是多少米？（结果精确到0.1）17．二次函数图象过A ，B ，C 三点，点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（4，0），点C 在y 轴正半轴上，且AB =OC ，求二次函数的解析式．18．已知：在同一平面直角坐标系中，一次函数4y x =-与二次函数22y x x c =-++的图象交于点(1,)A m -.（1）求m ，c 的值；（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标.19．已知△OAB 在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答以下问题：（1）按要求作图：先将△ABO 绕原点O 逆时针旋转90°得△OA 1B 1，再以原点O 为位似中心，将△OA 1B 1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA 2B 2；（2）直接写出点A 1的坐标，点A 2的坐标．20．已知，如图，△ABC中，AD是中线，且CD2＝BE·BA．求证：ED·AB＝AD·BD．21．如图，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=mx（m≠0）交于点A（﹣12，2），B（n，﹣1）．（1）求直线与双曲线的解析式．（2）点P在x轴上，如果S△ABP=3，求点P的坐标．22．如图，抛物线2y a(x2)1=--过点()C4,3，交x轴于A，B两点(点A在点B的左侧)．()1求抛物线的解析式，并写出顶点M的坐标；()2连接OC，CM，求tan OCM∠的值；()3若点P在抛物线的对称轴上，连接BP，CP，BM，当CPB PMB∠∠=时，求点P的坐标．23．图1是一辆混凝土布料机的实物图，图2是其工作时的部分示意图，AC是可以伸缩的布料臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.5米，当布料臂AC的长度为8米，张角HAC∠为118︒时，求布料口C 离地面的高度．（结果保留小数点后一位；参考数据：sin 280.47︒≈，cos 280.88︒≈，tan 280.53︒≈）24．如图，在△ABC 中，BD ⊥AC ，AB=4，AC =∠A=30°.（1）请求出线段AD 的长度.（2）请求出sin C 的值.25．如图，在平面直角坐标系中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，与反比例函数()0m y m x=≠的图象交于C 、D 两点.已知点C 的坐标是（6，-1），D （n ，3）.（1）求m 的值和点D 的坐标.（2）求tan BAO ∠的值.（3）根据图象直接写出：当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？参考答案1．B【解析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，k>0，位于一、三象限，k<0，位于二、四象限．【详解】解：∵反比例函数的比例系数-6<0，∴函数图象过二、四象限．故选：B．【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的图象及其性质，熟记比例系数与图象位置的关系是解此题的关键．2．C【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AB的长度，再利用勾股定理求出BC的长度，然后根据锐角的正切等于对边比邻边解答．【详解】∵CD是斜边AB上的中线，CD=5，∴AB=2CD=10，根据勾股定理，8tanB=6384 ACBC==．故选C．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边应熟练掌握．3．C【分析】根据题意将（0，0）代入解析式，得出关于m的方程，解之得出m的值，由二次函数的定义进行分析可得答案．【详解】解：∵二次函数y=mx2+x+m（m-2）的图象经过原点，∴将（0，0）代入解析式，得：m（m-2）=0，解得：m=0或m=2，又∵二次函数的二次项系数m≠0，∴m=2．故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的定义，熟练掌握二次函数图象上的点满足函数解析式及二次函数的定义是解题的关键．4．B【分析】先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．【详解】解：A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则-k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误．D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则-k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误；故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．5．A【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：tan60︒故选A ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 6．C【分析】把原点坐标（0,0）代入即可求出a 的值.【详解】把原点坐标（0,0）代入，得0=0-0+a ，∴a =0.故选C.【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图像上点的坐标满足二次函数解析式. 7．D【分析】由正弦的定义，即可求出答案．【详解】解：在ABC 中，90C ∠=︒，1AB =， ∴sin 1BC BC A BC AB ===； 故选：D ．【点睛】本题考查了求角的正弦值，解题的关键是掌握正弦的定义进行解题．8．B【分析】利用配方法将一般式化为顶点式．【详解】解：()()()222223211311312y x x x x x x =---=-++--=-++-=-+-． 故选：B ．【点睛】本题考查配方法，解题的关键是掌握利用配方法将一般式化为顶点式的方法．9．C【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线经过点（0,1），得出c=1，然后根据对称轴判定b 与0的关系；当x=1时，y=a-b+c ；当x=-2时，y=4a+2b+c ；然后由c=1和a ＜0判断c-a 与1的大小．【详解】解：A.∵x=1时，y ＜0，∴a-b+c ＜0，该选项正确．B.∵抛物线开口向下，∴a ＜0， ∵对称轴在y 轴左侧，∴-b 2a-＜0，∴b >0， ∵抛物线经过点（0,1），∴c=1＞0，∴abc 0<，该选项正确．C. 根据抛物线的对称性可得x=-2时，y=1，∴4a+2b+c=1＞0，该选项错误．D.∵c=1，a ＜0；∴c a 1a 1＞-=-，该选项正确．故选C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a 决定抛物线的开口方向，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于（0，c ）．10．B【详解】分析：如图作CH ⊥AB 于H ．在Rt △ACH 中，sin ∠BAC=23CH AC =即可解决问题. 详解：如图作CH ⊥AB 于H ．在Rt △ACH 中，sin ∠BAC=23CH AC =， 故选B ． 点睛：本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．11．12【分析】利用因式分解法求出sin A 的值，再根据0sin 1A ≤≤可得最终结果．【详解】解：原方程可化为：()()sin 32sin 10A A --=，解得：sin 3A =或1sin 2A =， ∵0sin 1A ≤≤， ∴1sin 2A =． 故答案为：12． 【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程以及锐角三角函数的定义，熟记正弦的取值范围是解此题的关键．12．22()1y x =-+【分析】先得出抛物线的顶点坐标为(0,0)，再利用点的平移规律得到点(0,0)平移后对应的点的坐标为(2,1)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【详解】解：抛物线2y x 的顶点坐标为(0,0)，再利用点的平移规律得到点(0,0)平移后对应的点的坐标为(2,1)，所以平移后的抛物线解析式为：22()1y x =-+．故答案为：22()1y x =-+．【点睛】本题考查的知识点是二次函数图象与几何变化，熟记点的平移规律是解此题的关键． 13．1【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项可得二次项系数是2，常数项是-1，再求和即可．【详解】解：二次函数y=2x 2-3x-1的二次项系数是2，常数项是1-，121-+=；故答案为：1；【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意再找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．14．(4，2)【分析】过F 作FC x ⊥轴于C ，根据锐角三角函数的定义得出1tan 2CF OC α==，代入求出CF ，即可得出答案.【详解】过F 作FC x ⊥轴于C ，()4,F y ，则4OC CF y ==，，在Rt OFC 中，1tan 2CF OC α==， 即142CF =，2CF ∴=， 即2y =.故答案为：()4,2.【点睛】本题主要考查了锐角三角形函数的定义，坐标与图形性质的应用，关键是构造直角三角形，主要培养了学生运用锐角三角函数的定义进行计算的能力.15．3【分析】先将二次根式的化简、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值进行化简．然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】解：原式＝﹣，＝﹣，＝3．【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式的化简、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数等的运算法则．16．17.3米.【解析】分析：过点C 作CD PQ ⊥于D ，根据3060CAB CBD ∠=︒∠=︒，，得到30,ACB ∠=︒ 20AB BC ==，在Rt CDB △中，解三角形即可得到河的宽度. 详解：过点C 作CD PQ ⊥于D ，∵3060CAB CBD ∠=︒∠=︒，∴30,ACB ∠=︒∴20AB BC ==米，在Rt CDB △中，∵90BDC ，∠=︒ sin ,CD CBD BC ∠=∴sin60,CD BC ︒=,20CD =∴CD =米，∴17.3CD ≈米．答：这条河的宽是17.3米．点睛：考查解直角三角形的应用，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键.17．2515544y x x =-++ 【分析】根据点A 、B 的坐标求出AB ，继而求得点C 的坐标，根据点A 、B 的坐标设抛物线解析式为：()()41y a x x =-+，代入点C 坐标即可求解．【详解】解：∵A(﹣1，0)，B(4，0)，∴AO ＝1, OB ＝4，即AB ＝AO ＋OB ＝1＋4＝5，∵AB=OC ，∴OC ＝5，即点C 的坐标为(0，5)．设图象经过A ，C ，B 三点的二次函数的解析式为()()41y a x x =-+，∵点C(0，5)在图象上．∴()()50401a =⨯-⨯+， 即54a =- ∴ 所求的二次函数解析式为()()5414y x x =--+，即2515544y x =-++．【点睛】本题考查二次函数解析式的解法，常用的方法有待定系数法和数形结合法等，解本题的关键是求出点C 的坐标．18．（1）5m =-，2c =-;（2）对称轴为直线1x =，顶点坐标(1,1)-.【分析】（1）把A 点坐标代入一次函数解析式可求得m 的值，得出A 点坐标，再代入二次函数解析式可得c ；（2）将（1）中得出的二次函数的解析式化为顶点式可求得其顶点坐标和对称轴．【详解】解：（1）∵点A 在一次函数图象上，∴m=-1-4=-5，∵点A 在二次函数图象上，∴-5=-1-2+c ，解得c=-2；（2）由（1）可知二次函数的解析式为：()22y 2211x x x =-+-=---，∴二次函数图象的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,-1)．【点睛】本题考查的知识点是一次函数的性质以及二次函数的性质，熟记各知识点是解此题的关键．19．(1)见解析；（2）点A 1的坐标为：（﹣1，3），点A 2的坐标为：（2，﹣6）．【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用（1）中所画图形进而得出答案．【详解】（1）如图所示：△OA 1B 1，△OA 2B 2，即为所求；（2）点A1的坐标为：（﹣1，3），点A2的坐标为：（2，﹣6）．【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．20．证明见解析【详解】试题分析：由AD是中线以及CD2＝BE·BA可得BE BDBD AB=，从而可得△BED∽△BDA，根据相似三角形的性质问题得证.试题解析：∵AD是中线，∴BD＝CD，又CD2＝BE·BA，∴BD2＝BE·BA，即BE BDBD AB=，又∠B＝∠B，∴△BED∽△BDA，∴ED BD AD AB=，∴ED·AB＝AD·BD.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得到△BED∽△BDA是解决本题的关键.21．（1）y=﹣2x+1；（2）点P的坐标为（﹣32，0）或（52，0）．【分析】（1）把A的坐标代入可求出m，即可求出反比例函数解析式，把B点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n，把A，B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点P的坐标为(x,0)，根据三角形的面积公式结合S △ABP =3，即可得出122x -=，解之即可得出结论． 【详解】（1）∵双曲线y=m x （m≠0）经过点A （﹣12，2）， ∴m=﹣1．∴双曲线的表达式为y=﹣1x． ∵点B （n ，﹣1）在双曲线y=﹣1x 上， ∴点B 的坐标为（1，﹣1）．∵直线y=kx+b 经过点A （﹣12，2），B （1，﹣1）， ∴1k b=22k b=1⎧-+⎪⎨⎪+-⎩，解得k=2b=1-⎧⎨⎩ ∴直线的表达式为y=﹣2x+1；（2）当y=﹣2x+1=0时，x=12， ∴点C （12，0）． 设点P 的坐标为（x ，0），∵S △ABP =3，A （﹣12，2），B （1，﹣1）， ∴12×3|x ﹣12|=3，即|x ﹣12|=2， 解得：x 1=﹣32，x 2=52． ∴点P 的坐标为（﹣32，0）或（52，0）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出函数的解析式；（2）根据三角形的面积公式以及S △ABP =3，得出122x -=． 22．()1抛物线的解析式为2y (x 2)1=--，顶点M 的坐标为()2,1-；()12tan OCM 2∠=；()3P点坐标为(2,2或(2,2.【解析】【分析】()1根据待定系数法，可得函数解析式；根据顶点式解析式，可得顶点坐标；()2根据勾股定理及逆定理，可得OMC 90∠=，根据正切函数，可得答案；()3根据相似三角形的判定与性质，可得PM 的值，可得M 点坐标．【详解】()1由抛物线2y a(x 2)1=--过点()C 4,3，得23a(42)1=--，解得a 1=，∴抛物线的解析式为2y (x 2)1=--，顶点M 的坐标为()2,1-；()2如图1，连接OM ，222OC 3425=+=，222OM 215=+=，222CM 2420=+=，222CM OM OC ∴+=，OMC 90∠∴=，OM CM =OM 1tan OCM CM 2∠===； ()3如图2，过C 作CN ⊥对称轴，垂足N 在对称轴上，取一点E ，使EN CN 2==，连接CE ，EM 6=．当y 0=时，2(x 2)10--=，解得的1x 1=，2x 3=，()A 1,0，()B 3,0．CN EN =，CEP PMB CPB 45∠∠∠∴===，EPB EPC CPB PMB PBM ∠∠∠∠∠=+=+，EPC PBM ∠∠∴=，CEP ∴∽PMB ，EP CEMB PM∴=，易知MB =CE =PM 3=P 点坐标为(2,2或(2,2.【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线面构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．23．7.3米【分析】作CE BD ⊥于点E ，AF CE ⊥于点F ，解直角三角形ACF ，求出CF ，再加上EF 即可．【详解】解：如图，作CE BD ⊥于点E ，AF CE ⊥于点F ，易得四边形AHEF 为矩形，3.5∴==EF AH 米，90HAF ∠=︒， 1189028CAF CAH HAF ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．在Rt △ACF 中，sin CF CAF AC∠=， 8sin 28∴=︒CF ， 8sin 28 3.57.3∴=+=︒+≈CE CF EF （米）．答：布料口C 离地面的高度约为7.3米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用；解题关键是先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后解直角三角形．24．（1）AD =（2）sinC 【分析】（1）在Rt ΔABD 中，根据AD AB cosA =⋅即可解决问题；（2）先根据含有30︒的直角三角形的性质得出1BD AB 22==，在Rt △BDC 中，利用勾股定理求出BC,再根据BD sinC BC =即可解决问题； 【详解】（1）在Rt ΔABD 中，∵ADB 90∠=︒，AB 4=，A 30∠=︒，∴AD AB cos304=⋅︒==（2）在Rt ΔABD 中，∵ADB 90∠=︒，AB 4=，A 30∠=︒， ∴1BD AB 22==，∵AC =AD =∴CD AC AD =-在Rt ΔCBD 中，∵CDB 90∠=︒，BD 2=，CD =，∴BC∴BDsinCBC==【点睛】本题考查含有30︒的直角三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．（1）m=-6，点D的坐标为（-2,3）；（2）1tan BAO2∠=；（3）当2x<-或06x<<时，一次函数的值大于反比例函数的值.【分析】（1）将点C的坐标（6，-1）代入myx=即可求出m，再把D（n，3）代入反比例函数解析式求出n即可.（2）根据C（6，-1）、D（-2,3）得出直线CD的解析式，再求出直线CD与x轴和y轴的交点即可，得出OA、OB的长，再根据锐角三角函数的定义即可求得；（3）根据函数的图象和交点坐标即可求得．【详解】⑴把C（6，-1）代入myx=，得()m616=⨯-=-.则反比例函数的解析式为6yx=-，把y3=代入6yx=-，得x2=-，∴点D的坐标为（-2,3）.⑵将C（6，-1）、D（-2,3）代入y kx b=+，得6123k bk b+=-⎧⎨-+=⎩，解得122kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩.∴一次函数的解析式为1y x22=-+，∴点B的坐标为（0,2），点A的坐标为（4,0）.∴OA4OB2==，，在在RtΔABO中，∴OB21tan BAOOA42∠===.<<时，一次函数的值大于反比例函数的值⑶根据函数图象可知，当x2<-或0x6【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．其知识点有解直角三角形，待定系数法求解析式，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．21。
沪科版九年级上册数学期末考试试卷含答案详解
沪科版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．抛物线y ＝2x 2－1的顶点坐标是( )A ．(0，－1)B ．(0，1)C ．(－1，0)D ．(1，0) 2．如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么它们的面积比是( )A ．1:2B ．1:4C ．D ．2:13．如图，⊙O 的直径AB=2，弦AC=1，点D 在⊙O 上，则∠D 的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°4．若点（1x ，1y ）、（2x ，2y ）和（3x ，3y ）分别在反比例函数2y x=- 的图象上，且 1230x x x <<<，则下列判断中正确的是（ ）A ．123y y y <<B ．312y y y <<C ．231y y y <<D ．321y y y <<5．如图，AB 是圆O 的直径，弦CD AB ⊥于P ，，OP=1，则弦AC 的长为( )A B C ．D ．6．ABC 中，AC=BC ，在AB 边上截取AD=AC ,连接CD ，若点D 恰好是线段AB 的一个黄金分割点，则A ∠的度数是( )A ．22.5︒B ．30︒C ．36︒D ．45︒7．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c –m=0有两个实数根，下列结论：①b2-4ac＞0；②abc＞0；③a b+c>0-；④m2≥-，其中正确的个数有( )A．1 B．2 C．3 D．48．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，AD3DB4=，则EC的长是A．4.5 B．8 C．10.5 D．149．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是AC上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°10．若锐角α满足cosαtanαα的范围是()A．30°＜α＜45°B．45°＜α＜60°C．60°＜α＜90°D．30°＜α＜60°二、填空题11．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若∠BAC和∠BOC 互补，则弦BC的长度为_____．12．如图，在△ABC 中，D 为BC 上一点，已知BAD ACB ∠=∠，AB 6=，BC 9=，则CD 的长为_____________.13．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是AC 上一点，连接BD ，将ABC 沿BD 翻折，点C 落在AB 边的点C '处，连接CC '．若15AB =，4sin 5A =，则CC '长_____．14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，那么tanA ＝________．15．如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的切线，且//AD BC ，直线CO 交AD 于点E ．若44E ∠=︒，则B ∠=______°．三、解答题16．计算：226tan 302cos 60︒-︒17．已知二次函数2246y x x =+-，请用配方法求出对称轴方程与该抛物线的顶点坐标．18．如图，一垂直于地面的灯柱AB 被一根钢缆CD 固定，CD 与地面成30夹角（30CDB ∠=︒），在C 点上方2米处加固另一根钢缆,ED ED 与地面成45︒夹角（45EDB ∠=︒），那么钢缆ED的长度约为多少米．（结果精确到1 1.7≈)19．已知，ABC ∆为等边三角形，6AB =，D 为BC 上一动点，以AD 为边，如图所示作等边三角形ADE ，,AC DE 交于点F ，连接CE .（1）求证：BD CE =；（2）若BD 长为x ，CF 长为y ，试求出y 与x 的函数关系.20．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC =60A ∠=︒，四边形DEFG 是ABC ∆的内接矩形，顶点D 、G 分别在边AC 、BC 上，点E 、F 在边AB 上，设AE x =，DG y =.（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当矩形DEFG 的面积S 取得最大值时，求CDG ∆与BFG ∆的相似比.21．如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 的中点，且∠ADC=45°，AD=2，求tanB 的值．22．如图，点O 是Rt ABC 的斜边AB 上一点，⊙O 与边AB 交于点A ，D ，与AC 交于点E ，点F 是弧DE 的中点，边BC 经过点F ，连接AF ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为5，AF=8，求AC 的长.23．如图等腰ABC ，AB AC =，O 为AC 上一点，O 经过点C 且与AB 相切于E 点，O 与BC 交于点D ，作DF AB ⊥，垂足为F ．（1）求证：DF 为O 的切线；（2）若3AE =，4DF =，求AC 的长．24．包河区发展农业经济产业，在大圩乡种植多品种的葡萄.已知某葡萄种植户李大爷的葡萄成本为10元/kg ，如果在未来40天葡萄的销售单价p （元/kg ）与时间t （天）之间的函数关系式为：()()120120,4{1352140,2t t t p t t t +≤≤=-+≤≤为整数为整数，且葡萄的日销售量y （千克）与时间t（天）的关系如下表：（1）请直接写出y 与t 之间的变化规律符合什么函数关系？并求在第15天的日销售量是多少千克？（2）在后20天（即2140,t t ≤≤为整数），请求出哪一天的日销售利润最大？日销售利润最大为多少？（3）在实际销售的前20天中，李大爷决定每销售1千克水果就捐赠n 元利润（8n <）给留守贫困儿童作为助学金，前20天销售完后李大爷发现，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，请求出n 的取值范围.参考答案1．A【详解】根据2y ax c =+的图象与性质解答即可.抛物线y ＝2x 2－1的顶点坐标为（0，-1）.故选A.【点睛】本题考查了2y ax c =+的图象与性质，熟知2y ax c =+的图象与性质是解决问题的关键. 2．B【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出．【详解】∵两个相似三角形的相似比是1：2，∴它们的面积比是1：4．故选B ．【点睛】本题是一道考查相似三角形性质的基本题目，比较简单．3．C【分析】由⊙O 的直径是AB ，得到∠ACB=90°，根据特殊三角函数值可以求得∠B 的值，继而求得∠A 和∠D 的值．【详解】解：∵⊙O 的直径是AB ，∴∠ACB=90°，又∵AB=2，弦AC=1，∴sin ∠CBA=12AC AB =， ∴∠CBA=30°，∴∠A=∠D=60°，故选C ．考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形．4．B【分析】根据题意，判断出各个点所在的象限，根据反比例函数的增减性可得其中两组点的大小关系，进而比较同一象限点的大小关系即可．【详解】∵点（1x ，1y ）、（2x ，2y ）和（3x ，3y ）分别在反比例函数2y x=- 的图象上，且 1230x x x <<<， ∴点（1x ，1y ）、（2x ，2y ）在第二象限，（3x ，3y ）在第四象限，∴y 3 最小，∴x 1 ＜x 2 ，∴y 1 ＜y 2 ，∴y 3 ＜y 1 ＜y 2 ．故选B ．【点睛】本题考查反比例函数，解答本题的关键是掌握反比例函数的性质，运用反比例函数的性质来比较函数值的大小5．C【解析】【分析】连接OC ，由直径AB 垂直于弦CD ，利用垂径定理得到P 为CD 的中点，由CD 的长求出CP 的长，在直角三角形OCP 中，由OP 与PC 的长，利用勾股定理求出OC 的长，即为OA 的长，由AO+OP 求出AP 的长，在直角三角形ACP 中，由AP 与PC 的长，利用勾股定理即可求出AC 的长．【详解】连接OC ，如图所示：∵直径AB⊥CD，∴P为CD的中点，即在Rt△OCP中，OP=1，根据勾股定理得：，则OA=OC=2，则AP=AO+OP=2+1=3，在Rt△APC中，AP=3，根据勾股定理得：故选C．【点睛】此题考查了垂径定理以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．6．C【分析】根据黄金分割的定义得到AD2=BD•AB，而AD=AC=BC，则BC2=BD•AB，根据相似三角形的判定得△BCD∽△BAC，则∠A=∠BCD，设∠A=x，则∠B=x，∠BCD=x，根据三角形外角性质得∠ADC=∠BCD+∠B=2x，所以∠ACD=∠ADC=2x，然后根据三角形内角和定理得到x+2x+x+x=180°，再解方程即可．【详解】∵点D是线段AB的一个黄金分割点，∴AD2=BD•AB，∵AD=AC=BC，∴BC2=BD•AB，即BC：BD=AB：BC，而∠ABC=∠CBD，∴△BCD∽△BAC，∴∠A=∠BCD，设∠A=x，则∠B=x，∠BCD=x，∴∠ADC=∠BCD+∠B=2x，而AC=AD，∴∠ACD=∠ADC=2x，∴x+2x+x+x=180°，解得x=36°，即∠A=36°．故选C．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，根据黄金分割的定义得到三角形相似是解答此题的关键．7．D【解析】【分析】直接利用抛物线与x轴交点个数以及抛物线与方程之间的关系、函数图象与各系数之间关系分析得出答案．【详解】如图所示：图象与x轴有两个交点，则b2-4ac＞0，故①正确；∵图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号，∴b＜0，∵图象与y轴交于x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，故②正确；当x=-1时，a-b+c＞0，故③正确；∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标纵坐标为：-2，故二次函数y=ax2+bx+c向上平移不超过2个单位，则平移后解析式y=ax2+bx+c-m与x轴有交点，此时关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个实数根，故-m≤2，解得：m≥-2，故④正确．故选D．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确把握二次函数与方程之间的关系是解题关键．8．B【详解】∵DE∥BC，∴AE AD EC DB=．又∵AE=6，AD3DB4=，∴63EC8EC4=⇒=．故选B．9．B【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半即可解题.【详解】∵∠BOC=40°,∠AOB=180°,∴∠BOC+∠AOB=220°,∴∠D=110°（同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半）,故选B.【点睛】本题考查了圆周角和圆心角的关系,属于简单题,熟悉概念是解题关键. 10．B【详解】∵α是锐角，∴cosα>0，∵∴又∵cos90°=0,cos45°∴45°<α<90°；∵α是锐角，∴tanα>0，∵∴又∵tan0°=0,tan60°0<α<60°；故45°<α<60°.故选B.【点睛】本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键11．【解析】过点O作OD⊥BC于D，则BC=2BD，∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，∴∠BOC=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=12=30°，∵⊙O的半径为4，∴BD=OB•cos∠，∴12．5【解析】【分析】由∠BAD=∠BCA 、∠ABD=∠CBA 可得出△ABD ∽△CBA ，根据相似三角形的性质可得出=AB BD CB BA，代入数据可求出BD 的长度，再根据CD=BC-BD 即可求出CD 的长． 【详解】∵∠BAD=∠BCA ，∠ABD=∠CBA ，∴△ABD ∽△CBA ， ∴=AB BD CB BA ，即696BD =， ∴BD=4，∴CD=BC-BD=9-4=5．故答案为5．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质求出BD 的长是解题的关键．13【分析】先利用正弦值、勾股定理求出12,9BC AC ==，再根据翻折的性质、勾股定理求出AD 、CD 、BD 的长，然后根据等面积法求出OC 的长，由此即可得出答案．【详解】如图，设BD 与CC '的交点为点O ，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，15AB =，4sin 5A =， 45BC AB ∴=，即4155BC =， 解得12BC =，9AC ∴=，由翻折的性质得：12,,90BC BC C D CD BC D ACB '''===∠=∠=︒，15123AC AB BC ''∴=-=-=，设AD x =，则9C D CD AC AD x '==-=-，在Rt AC D '中，222AC C D AD ''+=，即2223(9)x x +-=，解得5x =，5,4AD CD ∴==，在Rt BCD 中，BD =又,BC BC C D CD ''==，BD ∴是CC '的垂直平分线，,2BD CC CC OC ''∴⊥=，1122Rt BCD S BC CD BD OC ∴=⋅=⋅，即1112422⨯⨯=⨯，解得OC =2CC OC '∴=【点睛】本题考查了正弦三角函数、勾股定理、翻折的性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题关键．14．43【详解】解：根据直角三角形中，tanA为∠A 所对应的直角边与邻边之比，即tanA=BCAC = 4 3【点睛】此题比较简单，直接给出了直角三角形的各边，由此可以解答tanA，若要求sinA，则还应该利用勾股定理求出AB，进而计算sinA．15．67【分析】根据切线性质和直角三角形的性质可得∠AOC，再根据圆周角定理即可得解．【详解】解：如图，连接AO，由切线的性质可得：∠OAE=90°，∴∠AOE=90°-∠E=46°，∴∠AOC=134°，∴∠B=134÷2=67°，故答案为67．【点睛】本题考查圆切线的性质，熟练掌握圆切线的性质、圆周角定理是解题关键．16．0【解析】【分析】题涉及特殊角的三角函数值、平方、二次根式化简3个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】6tan 2-2cos 260°=6×2（12）2 =6×13-32-2×14 =2-32-12=0．【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、平方、二次根式等考点的运算．17．22(1)8y x =+-，(1,8)--，1x =-【解析】【分析】根据配方法，可得答案．【详解】配方，得y=2（x+1）2-8，∴顶点坐标为（-1，-8），对称轴是x=-1．【点睛】本题考查了二次函数的三种形式，利用配方法是解题关键．18．7米【解析】【分析】根据题意，可以得到BC=BD ，由∠CDB=30°，∠EDB=45°，由三角函数值可以求得BD 的长，从而可以求得DE 的长．【详解】设BC=x 米，则BE=（x+2）米，米，在Rt △BDE 中，tan ∠EDB=BE DB = 即1=BE ED =解得，∵sin ∠EDB=BE EB ，解得：（m ）， 答：钢缆ED 的长度约为7米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用三角函数值求出相应的边的长度．19．（1）证明见解析（2）216y x x =-+ 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE ，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAD=∠CAE ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：∵△ABC 与△ADE 是等边三角形，∴AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE ，∴∠BAD=∠CAE ，在△ABD 与△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE ，∴BD=CE ；（2）∵△ABD ≌△ACE ，∴∠BAD=∠CAE ，∵∠AED=∠ACB=60°，∠AFE=∠CFD ，∴∠CDF=∠CAE ，∴∠CDF=∠DAB ，∵∠B=∠DCF=60°，∴△ABD ∽△CDF ， ∴BD AB CF CD= ，即66x y x =-， ∴y=-16x 2+x ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．20．（1）y=8-4x （2 【解析】【分析】（1）依据Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，即可得到AC=4，AD=2AE=2x ，DC=12DG=12y ，再根据CD=AC-AD ，可得12y=4-2x ，进而得出y 与x 之间的函数关系式；（2）依据S=DE×（8-4x ）x-1）2x=1时，S max根据△DCG ∽△GFB ，即可得到DGGB △CDG 与△BFG 的相似比． 【详解】（1）Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC =60A ∠=︒，114,22,22AC AD AE x DC DG y ∴=====， AD DC AC ∴+=，84y x ∴=-；（2）DE =，)21S DE DG x ∴=⋅=--+∴当1x =时，max S =此时24GF BG GF DG ====，易证DCG GFB ∆∆∽，DG GB =所以CDG ∆与BFG ∆【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．21．tanB=12【分析】根据三角函数求得AC ，CD ，由D 是BC 的中点，得到BC ，然后根据tanB 即可得到结论．【详解】解：在△ACD 中，∠C=90°，∠ADC=45°，AD=2，∴∵D 是BC 的中点，∴∴tanB=12AC BC =． 【点睛】本题考查了解直角三角形，三角函数值的应用，熟记三角函数概念、特殊角三角函数值及其应用是解答此题的关键．22．（1）见解析；（2）6.4【分析】（1）根据等边对等角和等弧对等圆周角证得∠OFA=∠CAF ，进而证得OF ∥AC ，可得∠OFB =90o ，根据切线的判定定理即可证得结论；（2）根据直径所对的圆周角是直角证得∠AFD=90°=∠C ，可证得△DAF ∽△FAC ，根据相似三角形的性质求解即可．【详解】（1）证明：连接OF ，∵OA=OF，∴∠OAF=∠OFA，∵点F是弧DE的中点，∴∠DAF=∠CAF，∴∠OFA=∠CAF，∴OF∥AC，∴∠OFB=∠C=90o，即OF⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）连接DF，∵AD为⊙O的直径，∴∠AFD=90o，∴∠AFD=∠C，又∠DAF=∠CAF，∴△DAF∽△FAC，∴AD AF AF AC=，∴1088AC=，∴AC=6.4．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、等弧所对的圆周角相等、平行线的判定与性质、切线的判定、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质，属于基础综合题型，难度适中，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．23．（1）见解析；（2）9．【分析】（1）连接OD，利用等腰三角形的性质可证明∠ODC＝∠B，得出OD∥EF，再由平行线的性质可证得∠ODF＝90°，即可证明DF是⊙O的切线；（2）先利用正方形的判定得出四边形OEFD是正方形，则可根据正方形性质求得OE ＝DF ＝4，再由勾股定理求出OA的长，即可求得结果．【详解】（1）证明：如图，连接OD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB．∵OD=OC，∴∠ACB ＝∠ODC．∴∠B＝∠ODC．∴OD∥EF．∵DF⊥AB，∴∠DFA＝90°∴∠ODF＝90°．∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；（2）解：如图，连接OE，∵AB，DF是⊙O的切线，DF⊥AB，∴∠OEF＝∠ODF＝∠AFD＝90°．∴四边形OEFD是矩形．∵OD=OE，∴矩形OEFD是正方形，∴OE ＝DF ＝4，在Rt △AOE 中，AE ＝3，由勾股定理得：5OA =．∴AC ＝OA ＋OC ＝OA ＋OE ＝9．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理及正方形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识并熟练运用．24．（1）90千克（2）1131（3）58n <≤【解析】【分析】（1）设y=kt+b ，利用待定系数法即可解决问题；（2）日利润=日销售量×每公斤利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求n 的取值范围．【详解】（1）一次函数，易求2120y t =-+，当15t =时，1203090y =-=，即第15天的日销售量为90千克；（2）()()213510212055252w t t t ⎛⎫=-+--+=-- ⎪⎝⎭， 当2140t ≤≤时，w 随t 的增大而减小，max 21,1131x w ∴==；（3）()()21121202010102120012042q t t n t n t n ⎛⎫=-++--=-+++- ⎪⎝⎭， 在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润q 随时间t 的增大而增大，10220122n +∴-≥⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， 5n ∴≥，又8n <，58n ∴≤<.【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性，最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．。
沪科版九年级数学上册试题 期末综合测试卷(含解析)
期末综合测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．在Rt △ABC 中，∠C =90°，若cosA =513，则tanA 的值为（）A ．512B ．125C ．23D ．12132．将抛物线C 1：y ＝（x －3）2＋2向左平移3个单位长度，得到抛物线C 2，抛物线C 2与抛物线C 3关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为（ ）．A ．y ＝x 2－2B ．y ＝－x 2＋2C ．y ＝x 2＋2D ．y ＝－x 2－23．如图，三条直线a ∥b ∥c ，若AB =CD ，AD DF=23，则BG GE=（ ）A ．14B ．13C ．23D ．324．若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若在二次函数y =x 2+2mx −m (m 为常数）的图象上存在两个二倍点M (x 1，y 1)，N (x 2,y 2)，且x 1<1<x 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m<2B ．m<1C ．m<0D ．m>05．如图，矩形ABCD 中，AB =6，对折矩形ABCD 使得BC 与AD 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A 的对应点G 落在EF 上，折痕是BM ，连接MF ，若MF ⊥BM ，则点BC 的长是（ ）A ．53B ．33C ．8D ．436．如图，直线y =−x 与反比例函数y =−6x 的图象相交于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为点C 、D ，连接AD,BC ，则四边形ACBD 的面积为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．247．已知抛物线y =x 2+(m +1)x −14m 2−1（m 为整数）与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且OA=OB ，则m 等于（ ）A ．2+5B ．2−5C ．2D ．−28．在平行四边形ABCD 中，点F 是BC 的中点，AF 与BD 交于点E ，则△ABE 与四边形EFCD 的面积之比是( )A ．13B ．23C ．25D ．359．若点A (−1,y 1)、B (5,y 2)、C (m,y 3)在抛物线y =a x 2−2ax +c 上，且y 2＜y 3＜y 1，则 m 的取值范围是（ ）A ．−1＜m ＜1B ．m ＜−3或m ＞1C ．3＜m ＜5或−3＜m ＜−1D ．−5＜m ＜−3或−1＜m ＜110．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°,AC =3,BC =4，翻折∠B ，使点B 落在直角边AC 上某一点D 处，折痕为EF ，点E 、F 分别在边BC 、AB 上，若△CDE 与△ABC 相似，则CE 的长为（）A ．169B ．43C ．32或169D ．34或169二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．设k =a +b −c 2c=a −b +c 2b=−a +b +c2a，则k 的值为 ．12．如图，已知Rt △ABC 中，∠B =30°，∠A =∠BED =90°，BE =AC ，若AB +DE =480，则DE = ．13．已知二次函数y =−x 2−2x +4，当a ≤x ≤a +1时，函数值y 的最小值为1，则a 的值为 ．14．已知点P (a,1−a )在反比例函数y =kx (k ≠0)的图象上，将点P 先向右平移9个单位，再向下平移6个单位后得到的点仍在该函数图象上，则k 的值是15．如图，E 是正方形ABCD 的对角线BD 的延长线上一点，且DE =2，连接AE ，将AE 绕点A 顺时针旋转90°得到AF ，连接EF 交DC 于点H ．已知EH=3，则EFAB 的值是 ．16．如图，一次函数y =x 与反比例函数y =1x (x >0)的图象交于点A ，过点A 作AB ⊥OA ，交x轴于点B ；作B A 1∥OA ，交反比例函数图象于点A 1；过点A 1作A 1B 1⊥A 1B 交x 轴于点B 1；再作B 1A 2∥B A 1，交反比例函数图象于点A 2，依次进行下去……，则点A 2023的横坐标为 ．三．解答题（共7小题，满分52分），求AD 17．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=6，BC=4，tanA=43的长．18．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高．(1)求证：△ACD∽△ABC；(2)若AC=3，BC=4，求BD的长．19．（8分）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度i=1:2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A 的距离AC=26m，在距山脚点A水平距离16m的E处，测得古树顶端D的仰角∠AED=48°，（古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），求古树CD的高度．（参考数据：sin48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈ 1.1）20．（8分）某公司经销的一种产品每件成本为40元，要求在90天内完成销售任务．已知该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：时间（第x天）1≤x<5050≤x≤90销售价格x+5090任务完成后，统计发现销售员小王90天内日销售量p（件）与时间（第x天）满足一次函数关系p=−2x+200，设小王第x天销售利润为W元．(1)直接写出W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)求小王第几天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)任务完成后，统计发现平均每个销售员每天销售利润为4800公司制定如下奖励制度：如果一个销售员某天的销售利润超过该平均值，则该销售员当天可获得200元奖金，请计算小王一共可获得多少元奖金？21．（8分）已知，如图1，在▱ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG交DF于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K．①求证：HC=2AK；②当点G是边BC中点时，恰有HD=n•HK（n为正整数），求n的值．22．（8分）如图，已知正比例函数图象经过点A(2,2)，B(m,3)(1)求正比例函数的解析式及m的值；(2)分别过点A与点B作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限的分支分别交于点C、D（点C、D均在点A、B下方），若BD=4AC，求反比例函数的解析式；(3)在第（2）小题的前提下，连接AD，试判断△ABD的形状，并说明理由．23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a x2+bx+c(a≠0)经过A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)．(1)请写出抛物线的解析式为__________．(2)若N是抛物线对称轴上一动点，请写出使△NCA周长最小的N点的坐标为__________．(3)点N在抛物线的对称轴上，点M在x轴上，请写出，使得以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标为__________．(4)若点P为第一象限内抛物线上的一动点，点P的横坐标为t，请求出使点P到直线CB距离最大的t的值．答案解析一．选择题1．B【分析】根据cosA=513，设AC=5x,AB=13x,，根据正切的定义，即可得答案．【详解】解：由题意，得cosA=513，故设AC=5x,AB=13x,则BC=A B2−B C2=12x，∴tanA=BCAC=12x5x=125.故选：B．2．D【分析】根据抛物线C1的解析式得到顶点坐标，利用二次函数平移的规律：左加右减，上加下减，并根据平移前后二次项的系数不变可得抛物线C2的顶点坐标，再根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线C3所对应的解析式．【详解】解：∵抛物线C1：y＝（x－3）2＋2，其顶点坐标为（3，2）∵向左平移3个单位长度，得到抛物线C2∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2）∵抛物线C2与抛物线C3关于 x轴对称∴抛物线C3的横坐标不变，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数∴抛物线C3的顶点坐标为（0，－2），二次项系数为－1∴抛物线C3的解析式为y＝－x2－2故选：D．3．A【分析】根据a∥b可得AGGD =ABCD=1，从而得到AG=GD=12AD，再由ADDF=23，可得DF=32AD，最后再由a∥b∥c可得BGGE =AGGF=12ADGD+DF=12AD12AD+32AD=14，进行计算即可得到答案．【详解】解：∵a∥b，AB=CD，∴AGGD =ABCD=1，∴AG=GD，∴AG=GD=12AD，∵ADDF =23，∴DF=32AD，∵a∥b∥c，∴BGGE =AGGF=12ADGD+DF=12AD12AD+32AD=14，故选：A．4．B【分析】根据题意得出纵坐标是横坐标的2倍总在直线y=2x上，x1、x2是方程x2+2mx−m=2x的两个解，根据根与系数的关系得出x1+x2=2−2m，x1⋅x2=−m，根据根的判别式得出Δ=(2m−2)2+4m>0，根据4(m−12)2+3>0，得出m取任意实数时，Δ>0总成立，根据x1<1<x2，得出x1−1<0，x2−1>0，即(x1−1)(x2−1)<0，得出−m−(2−2m)+1<0，求出m的值即可．【详解】解：∵纵坐标是横坐标的2倍总在直线y=2x上，∴点M(x1，y1)，N(x2,y2)一定在直线y=2x上，又∵点M(x1，y1)，N(x2,y2)在二次函数y=x2+2mx−m (m为常数）的图象上，∴x1、x2是方程x2+2mx−m=2x的两个解，即x2+(2m−2)x−m=0，∴x1+x2=2−2m，x1⋅x2=−m，Δ=(2m−2)2+4m>0，∵(2m−2)2+4m=4m2−4m+4=4(m2−m)+4=4(m−12)2+3，又∵(m−12)2≥0，∴4(m−12)2+3>0，∴m取任意实数时，Δ>0总成立，∵x1<1<x2，∴x1−1<0，x2−1>0，∴(x1−1)(x2−1)<0，即x1x2−(x1+x2)+1<0，∴−m−(2−2m)+1<0，解得：m<1，故B正确．故选：B．5．A【分析】由矩形性质和折叠性质可得BG=AB=6，AE=BE=DF=12AB=3，∠GEB=90°，∠ABM=∠GBM，可得∠EGB=30°，从而可得∠GBE=60°，可得∠ABM=30°，从而可得AM的长，∠DMF=30°，DF=3即可求解DM，进而求出AD的长．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，由折叠性质可得：BG=AB=6，AE=BE=DF=12AB=3，∠GEB=90°，∠ABM=∠GBM，在Rt△GEB中，BE=12AB=12BG，∴∠EGB=30°，∴∠GBE=60°，∴∠ABM=12∠GBE=30°，∴∠AMB=90°−30°=60°，∴AM=tan30°⋅AB=33×6=23，∵MF⊥BM，∴∠BMF=90°，∴∠DMF=180°−60°−90°=30°，∴∠DFM=60°，在Rt△MDF中，MD=tan60°⋅DF=3×3=33，∴AD=AM+MD=23+33=53，∴BC=AD=53，故选：A．6．C【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=12∣k∣，得出S△AOC=S△ODB=12∣k∣=3，再根据反比例函数的对称性可知OC=OD,AC=BD，即可求出四边形ACBD的面积．【详解】解：∵过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，∴S△AOC =S△ODB=12∣k∣=3，又∵OC=OD,AC=BD，∴S△AOC =S△ODA=S△ODB=S△OBC=3，∴四边形ACBD的面积为：S△AOC +S△ODA+S△ODB+S△OBC=4×3=12．故选：C．7．D【分析】当x=0时，可求得B为(0，−14m2−1)，由OA=OB可得A为(−14m2−1，0)或(1 4m2+1，0)，将A的坐标代入y=x2+(m+1)x−14m2−1，进行计算即可得到答案．【详解】解：当x=0时，y=−14m2−1，∴抛物线与y轴的交点B为(0，−14m2−1)，∵OA=OB，∴抛物线与x轴的交点A为(−14m2−1，0)或(14m2+1，0)，∴(−14m2−1)2+(m+1)(−14m2−1)−14m2−1=0或(14m2+1)2+(m+1)(14m2+1)−14m2−1=0，∴(−14m2−1)(−14m2−1+m+1+1)=0或(14m2+1)(14m2+1+m+1−1)=0，∴−14m2−1=0或−14m2−1+m+1+1=0或14m2+1=0或14m2+1+m+1−1=0，解得：m=22+2或m=−22+2或m=−2，∵m为整数，∴m=−2，故选：D．8．C【分析】由四边形ABCD是平行四边形，易证得△ADE∽△FBE，又由点F是BC的中点，根据相似三角形的对应边成比例，可得AEEF =ADBF=2，然后设S△BEF=a，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得△ABE的面积，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△AED的面积，继而求得四边形EFCD的面积，则可求得答案．【详解】解：设S△BEF=a，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△ADE∽△FBE，∵点F是BC的中点，∴BF=12BC=12AD，∴AEEF =ADBF=2，∴S△ABE =2a，S△ADES△FBE=(AD BF)2=4即S△ADE=4a，∴S△BCD =S△ABD=2a+4a=6a，∴S四边形CDEF =S△BCD−S△BEF=6a−a=5a，∴△ABE与四边形EFCD的面积之比为：2a：5a=2：5．故选：C．9．C【分析】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为直线x =−−2a2a =1，根据抛物线对称性可知：点A (−1,y 1)与点A '(3,y 1)关于对称轴为x =1对称，点B (5,y 2)与点B '(−3,y 2)关于对称轴为x =1对称，由y 2＜y 1，−3＜−1，3＜5，可得当x ＜1时，函数值y 随着x 的增大而增大；当x ＞1时，函数值y 随着x 的增大而减小，即抛物线y =a x 2−2ax +c 的图象开口向下，画出图形，数形结合即可作答．【详解】解：抛物线y =a x 2−2ax +c 的对称轴为直线x =−−2a2a =1，∵A (−1,y 1)、B (5,y 2)、C (m,y 3)在抛物线y =a x 2−2ax +c 上，∴根据抛物线对称性可知：点A (−1,y 1)与点A '(3,y 1)关于对称轴直线x =1对称，点B (5,y 2)与点B '(−3,y 2)关于对称轴直线x =1对称，∵y 2＜y 1，−3＜−1，3＜5，∴当x ＜1时，函数值y 随着x 的增大而增大；当x ＞1时，函数值y 随着x 的增大而减小；∴抛物线y =a x 2−2ax +c 的图象开口向下，作图如下：由图可知：要满足y 2＜y 3＜y 1，则m 的取值范围为：3＜m ＜5或−3＜m ＜−1，故选：C ．10．C【分析】根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得CE 的长，从而可以解答本题．【详解】解：由题意可得，当△CDE∽△CBA时，则CECA =DEBA，∵∠C=90°,AC=3,BC=4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，∴AB=5,BE=DE,BE=4−CE，∴CE3=4−CE5,解得CE=32；当△CDE∽△CAB时，则CECB =DEAB，∵∠C=90°,AC=3,BC=4，翻折∠B，使点B落在直角边AC上某一点D处，∴AB=5,BE=DE,BE=4−CE,∴CE4=4−CE5,解得CE=169；由上可得，CE的长为32或169，故选：C．二．填空题11．12或−1【分析】依据等比性质可得，k=a+b+c2(a+b+c)，分两种情况讨论，即可得到k的值．【详解】解：当a+b+c≠0时，∵k=a+b−c2c =a−b+c2b=−a+b+c2a，∴由等比性质可得，k=a+b+c2(a+b+c)，即k=12；当a+b+c=0时，b+c=−a，∴k=−a+b+c2a =−2a2a=−1；综上所述，k的值为12或−1．故答案为：12或−112．120【分析】根据30°角正切值可求得BE=3DE，AB=3AC，结合AB+DE=480，即可列方程，求解即可得出答案．【详解】解：∵tan30°=33，∠B=30°，则在Rt△BDE中，tanB=DEBE =33，即BE=3DE，∴BE=AC=3DE，则在Rt△ABC中，tanB=ACAB =33，即AB=3AC=3×3DE=3DE，故AB+DE=3DE+DE=4DE=480，∴DE=120．故答案为：120．13．0或-3【分析】利用二次函数图像上点的特征找出y=1时自变量x的值，结合a≤x≤a+1时，函数值y的最小值为1，可得到关于a的一元一次方程，解即可．【详解】解：令y=1，则−x2−2x+4=1，解得：x1=−3，x2=1．∵a≤x≤a+1时，函数值y的最小值为1∴a=−3或a+1=1，∴a=−3或a=0．故答案为：−3或0．14．−12【分析】根据点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”求得点P平移后的点的坐标，根据两点均在反比例函数的图象上，将两点坐标代入反比例函数解析式中求解即可．【详解】解：∵点P(a,1−a)，∴将点P先向右平移9个单位，再向下平移6个单位后得到的点的坐标为(a+9,−a−5)，依题意，得k=a(1−a)=(a+9)(−a−5)，解得a=−3，∴k=−3×(1+3)=−12，故答案为：−12．15．322【分析】证明△EAD≌△FAB(SAS)，得出∠AED=∠AFB，∠ADE=∠ABF，证明△EDH∽△ABF，得出EDAB =EHAF，根据EF=2AF，ED=2，EH=3，得出2AB=322EF，求出结果即可．【详解】解：∵将AE绕点A顺时针旋转90°得到AF，∴AE=AF，∠EAF=90°，∴∠AEF=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∴∠EAD=∠FAB，∴△EAD≌△FAB(SAS)，∴∠AED=∠AFB，∠ADE=∠ABF，∵∠ADB=∠BDC=45°，∴∠ADE=∠EDH=135°，∴∠ABF=135°，∴∠ABF=∠EDH，∵∠AED+∠EDH=45°，∠BAF+∠AFB=45°，∴∠BAF=∠DEH，∴△EDH∽△ABF，∴EDAB =EHAF，∵EF =2AF ，ED =2，EH=3，∴2AB =322EF，∴EF AB=322．故答案为：322．16．2024+2023【分析】根据直OA 的关系式为y =x ，以及OA⊥AB ，可得到ΔAOB 是等腰直角三角形，进而得到△A 1B B 1、△A 2B 1B 2、△A 3B 2B 3……都是等腰直角三角形，设OC =a =AC ，则点A(a,a)，点A 在反比例函数y =1x 的图象上，可求出a =1，进而得到点A 的横坐标为1，同理B C 1=b =A 1C 1，则点A 1(2+b,b)，求出点A 1的横坐标为2+1，同理得出点A 2的横坐标为3+2；点A 3的横坐标为4+3；点A 4的横坐标为5+4；点A 5的横坐标为6+5；根据规律可得答案．【详解】解：如图，过点A 、A 1、A 2、A 3…分别作AC ⊥x 轴，A 1C 1⊥x 轴，A 2C 2⊥x 轴，A 3C 3⊥x 轴…，垂足分别为C 、C 1、C 2、C 3…∵直线OA 的关系式为y =x ，OA ⊥AB ，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴OC =AC ，同理可得△A 1B B 1、△A 2B 1B 2、△A 3B 2B 3……都是等腰直角三角形，设OC =a =AC ，则点A(a,a)，点A 在反比例函数y =1x 的图象上，∴a ×a =1，解得a=1（负值舍去），∴点A的横坐标为1，设B C1=b=A1C1，则点A1(2+b,b)，点A1在反比例函数y=1x的图象上，∴(2+b)×b=1，解得b=2−1，∴点A1的横坐标为2+2−1=2+1；设B1C2=c=A2C2，则点A2(22+c，c)，点A2在反比例函数y=1x的图象上，∴(22+c)×c=1，解得b=3−2，∴点A2的横坐标为2+22−2+3−2=3+2；同理可得点A3的横坐标为4+3；点A4的横坐标为5+4；点A5的横坐标为6+5；…∴点A2023的横坐标为2024+2023；故答案为：2024+2023．三．解答题17．解：如图，延长AD与BC交于点E．在Rt△ABE中，tanA=BEAB =43，AB=6，∴BE=8，∴AE=A B2+B E2=10，EC=BE−BC=8−4=4．∵∠B=∠CDE=90°，∠E=∠E，∴∠DCE=∠A，∴在Rt△CDE中，tan∠DCE=tanA=DECD =43，∴设DE=4x，则CD=3x，在Rt△CDE中，由勾股定理得E C2=D E2+C D2，∴42=(4x)2+(3x)2，解得：x=45（负值舍去），∴DE=165∴AD=AE−DE=345，即AD的长为345．18．（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵∠ACB=90°，CD是边AB上的高，AC=3，BC=4，∴AB=A C2+B C2=32+42=5，∠CDB=90°，∵S△ABC =12×AB⋅CD=12×AC⋅BC，∴AB⋅CD=AC⋅BC，∴CD=AC⋅BCAB =3×45=125，∵∠CDB=90°，∴BD=B C2−C D2=42−(125)2=165，∴BD的长为165．19．解：如图，延长DC交EA的延长线于点F，则CF⊥EF，∵山坡AC上坡度i=1:2.4，∴CF:AF=1:2.4，∴CF:AF=5:12，∴设CF=5k，则AF=12k，在Rt△ACF中，AC=C F2+A F2=(5k)2+(12k)2=13k，∴13k=26，解得：k=2，∴CF=5×2=10，AF=12×2=24，∴EF=AE+AF=16+24=40，在Rt△DFE中，tan∠AED=DF，EF∴DF=40tan48°≈40× 1.1=44（m），∴CD=DF−CF=44−10=34（m）；答：古树CD的高度约为34m．20．（1）解：依题意：W={p⋅(x+50−40) (1≤x<50)(90−40)p (50≤x≤90)整理得W={−2x2+180x+2000(1≤x<50)−100x+10000(50≤x≤90)；（2）①当1≤x<50时，W=−2x2+180x+2000=−2(x−45)2+6050，∵−2<0，∴开口向下，∴当x=45时，W有最大值为6050；②当50≤x≤90时，W=−100x+10000，∵−100<0，∴W随x的增大而减小，∴当x=50时，W有最大值为5000，∵6050>5000，∴当x=45时，W的值最大，最大值为6050，即小王第45天的销售利润最大，最大利润为6050元；（3）①当1≤x<50时，令W=4800，得W=−2(x−45)2+6050=4800，解得x1=20，x2=70，∴当W>4800时，20<x<70，∵1≤x<50，∴20<x<50；②当50≤x≤90时，令W>4800，W=−100x+10000>4800，解得x<52，∵50≤x≤90，∴50≤x<52，综上所述：当20<x<52时，W>4800，即共有52−20+1−2=31天的销售利润超过4800元，∴可获得奖金200×31=6200元，即小王一共可获得6200元奖金．21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE，∠A=∠FBE，在△ADE和△BFE中，{∠ADE=∠BFE∠A ED=∠B EFAE=BE，∴△ADE≌△BFE；（2）如图2，作BN∥HC交EF于N，∵△ADE≌△BFE，∴BF=AD=BC，∴BN=12HC，由（1）的方法可知，△AEK≌△BEN，∴AK=BN，∴HC=2AK；（3）如图3，作GM∥DF交HC于M，∵点G是边BC中点，∴CG=14CF，∵GM∥DF，∴△CMG∽△CHF，∴MGHF =CGCF=14，∵AD∥FC，∴△AHD∽△GHF，∴DHFH =AHHG=ADFG=23，∴GMDH =38，∵AK∥HC，GM∥DF，∴△AHK∽△HGM，∴HKGM =AHHG= 23，∴HKHD =14，即HD=4HK，∴n=4．22．（1）解：设正比例函数的解析式为y=kx，∵正比例函数图象经过点A(2,2)，∴2=2k∴k=1∴正比例函数的解析式为y=x把B(m，3)代入解析式得m=3．（2）∵AC∥BD∥y轴，∴C点的横坐标为2，D点的横坐标为3，设反比例函数的解析式为y=m1x ，分别代入得yC=m12，yD=m13，∴AC=2−m12，BD=3−m13，∵BD=4AC，∴3−m13=4(2−m12)，解得m1=3，∴反比例函数的解析式为y=3x；（3）△ABD是等腰直角三角形．理由如下：由（2）得：D(3,1)，A(2,2)，B(3,3)，∴A B2=(3−2)2+(3−2)2=2，A D2=(2−3)2+(2−1)2=2，B D2=4，∴B D2=A B2+A D2，且AB=AD，∴△ABD是等腰直角三角形．23．（1）解：设该抛物线的解析式为y =a x 2+bx +c ，将点A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)代入，可得{0=a −b +c 0=9a +3b +c 3=c ，解得{a =−1b =2c =3，∴该抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3．故答案为：y =−x 2+2x +3；（2）由（1）可知，抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3，∴其对称轴为x =−22×(−1)=1，如下图，∵点A(−1,0)，B(3,0)关于直线x =1对称，∴NA =NB ，∴△ACN 的周长=AC +NA +CN =AC +NB +CN ≥AC +BC ，∴当点C 、N 、B 共线时，△ACP 的周长最小，设直线BC 的解析式为y =kx +b '，将点B(3,0)，C(0,3)代入，可得{0=3k +b '3=b ' ，解得{k =−1b '=3，∴线BC 的解析式为y =−x +3，令x =1，则有y =−1+3=2，∴点N(1,2)．故答案为：(1,2)；（3）设点M(m,0)，若以M ，N ，C ，B 为顶点的四边形是平行四边形，①当CM为对角线时，如下图，此时CN ∥BM ，∴点N 的纵坐标y N =3，即点N(1,3)，∴CN =1−0=1，则BM=CN =1，即m −3=1，解得m =4，∴M(4,0)；②当CN 为对角线时，如下图，此时x N −x M =x B −x C ，即1−m =3−0，解得m =−2，∴M(−2,0)；③当CB 为对角线时，如下图，此时可有x B +x C 2=x M +x N 2，即3+02=m +12，解得m =2，∴M(2,0)．综上所述，点M 的坐标为(4,0)或(−2,0)或(2,0)．故答案为：(4,0)或(−2,0)或(2,0)；（4）如下图，连接BC ，过点P 作PD ⊥x 轴交BC 于点D ，设点P 到BC 的距离为ℎ，则S △PBC =12PD ⋅OB =12BC ⋅ℎ，∴当S △PBC 面积最大时，ℎ的值最大，由（1）可知，直线BC 的函数解析式为y =−x +3，设点P 坐标为(t,−t 2+2t +3)，点D 坐标为(t,−t +3)，∴PD =−t 2+3t ，∴S △PBC =12(−t 2+3t)×3=−32t 2+92t =−32(t −32)2+278，∴当t =32时，S △PBC 最大，即当t =32时，点P 到直线CB 距离最大．。
沪科版九年级上册数学期末考试试卷及答案
沪科版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．抛物线y＝2x2＋1的对称轴是()A．直线x＝12B．直线y＝－12C．y轴D．直线x＝22．下列说法不一定正确的是（）A．所有的等边三角形都相似B．所有的等腰直角三角形都相似C．所有的菱形都相似D．所有的正方形都相似3．若35ab=，则a bb+的值是()A．85B．58C．25D．1254．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如右图所示，对称轴是直线x=1，下列结论错误的是（）A．c＞0 B．2a+b=0C．b2﹣4ac＞0 D．a﹣b+c＞05．如图，已知D,E分别是△ABC的AB,AC边上的点,DE∥BC,且S△ADE：S四边形DBCE=1：8，那么AE：AC等于（）A．1：8 B．1：2 C．1：9 D．1：36．如图，把抛物线y＝x2沿直线y＝x平移2个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（）A．y＝（x＋1）2－1 B．y＝（x＋1）2＋1C．y＝（x－1）2＋1 D．y＝（x－1）2－17．如图，直线y=mx与双曲线kyx交于A，B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM，若S△ABM=2，则k的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣48．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底总G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（）A．20米B．C．D．9．如图,丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部,当他向前再步行20 m到达Q点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部,已知丁轩同学的身高是1.5 m,两个路灯的高度都是9 m,则两路灯之间的距离是()A．24 m B．25 m C．28 m D．30 m10．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕，且tan∠EFC=34，那么该矩形的周长为（）A．72cm B．36cm C．20cm D．16cm二、填空题11．平移抛物线y＝x2+2x－8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式_____. 12．对于任意实数t，抛物线y＝x2＋(2－t)x＋t必经过一定点，这个点是____．13．如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD=43，则菱形ABCD的面积为____cm2．14．如图，已知矩形OABC的面积为1003，它的对角线OB与双曲线kyx相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k＝____．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=35，则DE=_____．16．在Rt⊿ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，则cos C______．三、解答题17．求二次函数y＝x2－5x＋6与坐标轴的交点坐标及函数的最小值．18．如图，已知菱形AMNP内接于△ABC，M、N、P分别在AB、BC、AC上，如果AB ＝21 cm，CA＝15cm，求菱形AMNP的周长.19．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE ＝3，BC＝9.（1）求ADAB的值；（2）若BD＝10，求sin∠A的值.20．已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋12k-＝0有两个不相等的实数根，k为正整数．(1)求k的值；(2)当此方程有一根为零时，直线y＝x＋2与关于x的二次函数y＝x2＋2x＋12k-的图象(如图)交于A、B两点，若M是线段AB上的一个动点，过点M作MN⊥x轴，交二次数的图象于点N，求线段MN的最大值及此时点M的坐标．21．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD，连接BD，AE⊥BD，垂足为E.（1）求证：△ABE∽△DBC；（2）若AD＝25，BC＝32，求线段AE的长．22．在与水平面夹角是30°的斜坡的顶部，有一座竖直的古塔，如图是平面图，斜坡的顶部CD是水平的，在阳光的照射下，古塔AB在斜坡上的影长DE为18米，斜坡顶部的影长DB为6米，光线AE与斜坡的夹角为30°1.41.7≈≈）．23．如图，已知直线l分别与x轴、y轴交于A，B两点，与双曲线ayx=（a≠0，x＞0）分别交于D、E两点．（1）若点D的坐标为（4，1），点E的坐标为（1，4）：①分别求出直线l与双曲线的解析式；②若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点？（2）假设点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点D为线段AB的n等分点，请直接写出b的值．24．如图，在△ABC中，BC＝12，tan A＝34，∠B＝30°；求AC和AB的长．25．已知直线y＝kx＋b(k≠0)过点F(0，1)，与抛物线y＝14x2相交于B、C两点．(1)如图，当点C的横坐标为1时，求直线BC的表达式；(2)在(1)的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．C【分析】根据二次函数的解析式为y＝ax2＋c的形式，则对称轴为坐标轴y轴即可得答案．【详解】y=2x2+1的对称轴是x=0即y轴．故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的各种不同形式的解析式找对称轴，此类为基础知识，比较容易．2．C【详解】A、所有的等边三角形都相似,正确;B、所有的等腰直角三角形都相似,正确;C、所有的菱形不一定都相似,故错误;D、所有的正方形都相似,正确.所以C选项是正确的.点睛：本题考查了相似图形的定义,解题的关键是了解对应角相等,对应边的比也相等的多边形相似,比较简单.3．A【分析】先由已知条件可设a＝3k，那么b＝5k，再将它们代入所求代数式，即可求出结果．【详解】解：∵35ab=，∴可设a＝3k，那么b＝5k，∴a bb+＝355k kk+＝85．故选：A．【点睛】本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．4．D【详解】试题分析：A、因为二次函数的图象与y轴的交点在y轴的上方，所以c＞0，正确；B、由已知抛物线对称轴是直线x=1=﹣，得2a+b=0，正确；C、由图知二次函数图象与x轴有两个交点，故有b2﹣4ac＞0，正确；D、直线x=﹣1与抛物线交于x轴的下方，即当x=﹣1时，y＜0，即y=ax2+bx+c=a﹣b+c＜0，错误．故选D．考点：二次函数的图象与系数的关系5．D【分析】由题可知：△ADE∽△ABC，相似比为AE：AC，由S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，得S△ADE：S△ABC ＝1：9，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方．【详解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝AE2：AC2．∵S△ADE：S四边形DBCE＝1：8，∴S△ADE：S△ABC＝1：9，∴AE：AC＝1：3．故选D．【点睛】本题的关键是理解相似三角形面积的比等于相似比的平方．6．C【详解】首先根据A点所在位置设出A点坐标为（m，m）再根据m 的值，然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式：∵A在直线y=x上，∴设A（m，m），∵OA= ∴m2+m2=2，解得：m=±1（m=－1舍去）．∴A（1，1）．∴抛物线解析式为：y＝（x－1）2＋1．故选C．7．A 【解析】试题分析：∵直线y=mx与双曲线kyx=交于A，B两点，∴点A与点B关于原点中心对称．∴S△OAM=S△OBM．∵S△ABM=2，∴S△OAM=1．∴12|k|=1，即|k|=2．∵反比例函数图象在第二、四象限，∴k＜0．∴k=﹣2．故选A．8．A【详解】∵点G是BC中点，EG∥AB，∴EG是△ABC的中位线．∴AB=2EG=30米．在Rt△ABC中，∠CAB=30°，∴BC=ABtan∠如图，过点D作DF⊥AF于点F．在Rt△AFD中，则米．综上可得：CD=AB﹣FD=30﹣10=20米．故选A．考点：解直角三角形的应用（仰角俯角问题），三角形中位线定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．9．D【详解】由题意可得:EP∥BD,所以△AEP∽△ADB,所以AP EPAP PQ BQ BD=++,因为EP=1.5,BD=9,所以1.59220AP AP =+,解得:AP =5,因为AP=BQ ,PQ =20,所以AB=AP+BQ+PQ =5+5+20=30,故选D. 点睛:本题主要考查相似三角形的对应边成比例在解决实际问题中的应用,应用相似三角形可以间接地计算一些不易直接测量的物体的高度和宽度,解题时关键是找出相似三角形,然后根据对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题.10．A【详解】在矩形ABCD 中，AB=CD ，AD=BC ，∠B=∠D=90°，∵△ADE 沿AE 对折，点D 的对称点F 恰好落在BC 上，∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF ． ∵∠EFC+∠AFB=180°﹣90°=90°，∠BAF+∠AFB=90°，∴∠BAF=∠EFC ．∵tan ∠EFC=34，∴tan ∠BAF =34．∴设BF=3x 、AB=4x ． 在Rt △ABF 中，根据勾股定理可得AF=5x ，∴AD=BC=5x ．∴CF=BC ﹣BF=5x ﹣3x=2x ． ∵tan ∠EFC=34，∴CE=CF•tan ∠EFC=2x•34=32x ．∴DE=CD ﹣CE=4x ﹣32x=52x ．在Rt △ADE 中，AD 2+DE 2=AE 2，即（5x ）2+（52x ）2=（2，整理得，x 2=16，解得x=4．∴AB=4×4=16cm ，AD=5×4=20cm ，矩形的周长=2（16+20）=72cm ．故选A ．考点：翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义．11．y=x 2+2x （答案不唯一）【详解】试题分析：可设这个函数的解析式为y=x 2+2x+c ，根据（0，0）适合这个解析式求解即可. 可设这个函数的解析式为y=x 2+2x+c ，那么（0，0）适合这个解析式，解得c=0 故平移后抛物线的一个解析式y=x 2+2x （答案不唯一）.考点：二次函数的图象与几何变换点评：解题的关键是熟练掌握抛物线在平移过程中不改变a 的值.12．()1,3【分析】把抛物线解析式整理成关于t 的形式，然后令t 的系数为0即可求解．【详解】()()22212y x t x t x x t x =+-+=+-+，当10x -=，即1x =时，y 的值与t 无关， 此时y=1+2=3，∴抛物线()22y x t x t =+-+总经过一个固定的点(1，3)，故答案为：(1，3)． 【点睛】本题考察二次函数图像上点的坐标特征，此类题目，关键是整理成关于t 的形式． 13．24． 【解析】连接AC 交BD 于点O ，则可设BO=3x ，AO=4x ，从而在Rt △ABO 中利用勾股定理求出AB ，结合菱形的周长为20cm 可得出x 的值，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得出答案： 连接AC 交BD 于点O ，则AC ⊥BD ，AO=OC ，BO=DO ． ∵tan ∠ABD=43，∴可设BO=3x ，AO=4x ，则AB=5x ．又∵菱形ABCD 的周长为20，∴4×5x=20，解得：x=1． ∴AO=4，BO=3．∴AC=2AO=8，BD=2BO=6． ∴菱形ABCD 的面积为12AC×BD=24（cm 2）．14．12 【详解】过点D 作DE OA ⊥， 则ODE OBA ~， 由相似三角形性质得， 29()25ODE OBA S OD S OB ==， 而110050233OBAS =⨯=， 则6ODES =，由于62k=， 所以12k = 故答案为：12． 15．154【详解】∵在Rt △ABC 中，BC=6，sinA=35∴AB=10∴AC 8==．∵D 是AB 的中点，∴AD=12AB=5． ∵∠C=∠EDA=90°,∠A=∠A ∴△ADE ∽△ACB ， ∴DE ADBC AC = 即DE 568= 解得：DE=154．16．1213【分析】根据余弦的定义进行解答 【详解】在Rt △ABC 中，AC ， BC 12cosC==AC 13，故填1213．【点睛】本题考查三角函数的定义，余弦值＝角的邻边与斜边之比．17．与x 轴交点坐标为(2，0)，(3，0)，与y 轴交点坐标为(0，6)，最小值为14-【分析】根据二次函数与x 轴相交时y=0，与y 轴相交时x=0，即可求出与坐标轴的交点坐标；把二次函数的一般式化成顶点式，然后根据二次函数图像的性质即可求出最小值． 【详解】解：对于二次函数256y x x =-+， 当x=0时，y=6，当y=0时，方程2560x x -+=的解，即为二次函数与x 轴的交点，解得：1223x x ==，，所以与x 轴的交点坐标为：(2，0)，(3，0)，与y 轴的交点坐标为(0，6)；∵22515624y x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，抛物线开口向上，有最小值， ∴最小值为：14-．【点睛】本题考察二次函数最值及二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 18．菱形的周长是35cm 【详解】∵AMNP 是菱形，∴PN//AB ，∴△CPN ∽△CAB ， ∴CP ：CA=PN ：AB ，∵PN=PA ，∴CP ：CA=PA ：AB ， 即CP ：15=PA ：21， ∴CP ：PA=15：21=5：7， ∴（CP+PA ）：PA=（5+7）：7， ∴AC ：PA=12：7， 即15：PA=12：7， 解得PA=354， ∴菱形AMNP 的周长是：354×4=35cm 19．（1）13 （2）35【详解】解：（1）∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴AD AB＝DE BC ， 又∵DE ＝3，BC ＝9， ∴AD AB＝39＝13. （2）根据（1）AD AB＝DEBC 得： AD AD BD+＝DEBC ， ∵BD ＝10，DE ＝3，BC ＝9， ∴10AD AD +＝39，∴AD ＝5， ∴AB ＝15，∴sin∠A＝BCAB＝915＝35.20．(1)1或2；(2)MN的长度最大值为94，点M的坐标为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝b2－4ac＝4－4×12k-＞0，然后解不等式得到k的范围，再在k的取值范围内找出正整数即可；（2）先把x＝0代入x2＋2x＋12k-＝0中求出k＝−1，从而得到二次函数解析式为y＝x2＋2x，根据二次函数图象上点的坐标特征，设M(m，m＋2)，（−2＜m＜1），则N(m，m2＋2m)，所以MN可表示为－m2－m＋2，然后根据二次函数的性质求解．【详解】解：(1)∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△＝b2－4ac＝4－4×12k-＞0，∴k－1＜2．则k＜3，∵k为正整数，∴k＝1或2．(2)把x＝0代入方程x2＋2x＋12k-＝0得k＝1，则二次函数为y＝x2＋2x，则直线y＝x＋2与二次函数y＝x2＋2x的交点为A(－2，0)，B(1，3)．由题意可设M(m，m＋2)，其中－2＜m＜1，则N(m，m2＋2m)，MN＝m＋2－(m2＋2m)＝－m2－m＋2＝－(m＋12)2＋94．∴当m＝－12时，MN的长度最大值为94．此时点M的坐标为1322⎛⎫-⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，理解根的判别式的意义和一元二次方程根的定义等相关知识是解题的关键．21．（1）证明见解析；（2）15【分析】（1）由等腰三角形的性质可知∠ABD=∠ADB，由AD∥BC可知，∠ADB=∠DBC，由此可得∠ABD=∠DBC ，又因为∠AEB=∠C=90°，所以可证△ABE ∽△DBC ；（2）由等腰三角形的性质可知，BD=2BE ，根据△ABE ∽△DBC ，利用相似比求BE ，在Rt △ABE 中，利用勾股定理求AE 即可． 【详解】（1）证明：∵AB=AD=25， ∴∠ABD=∠ADB ， ∵AD ∥BC ， ∴∠ADB=∠DBC ， ∴∠ABD=∠DBC ， ∵AE ⊥BD ， ∴∠AEB=∠C=90°， ∴△ABE ∽△DBC ；（2）解：∵AB=AD ，又AE ⊥BD ， ∴BE=DE ， ∴BD=2BE ， 由△ABE ∽△DBC ， 得AB BEBD BC＝ ， ∵AB=AD=25，BC=32， ∴25232BE BE ＝ ， ∴BE=20，∴． 【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质及勾股定理解题．22．古塔的高约为28.2米． 【分析】延长BD 交AE 于点F ，作FG ⊥ED 于点G ，Rt △FGD 中利用锐角三角函数求得FD 的长，从而求得FB 的长，然后在直角三角形ABF 中利用锐角三角函数求得AB 的长即可． 【详解】延长BD交AE于点F，作FG⊥ED于点G，∵斜坡的顶部CD是水平的，斜坡与地面的夹角为30°，∴∠FDE=∠AED=30°．∴FD=FE．∵DE=18米，∴EG=GD=ED=9米．在Rt△FGD中，cos30DGDF===︒，∴FB=（）米．在Rt△AFB中，AB=FB•tan60°=（）（≈28.2（米）．∴古塔的高约为28.2米．23．（1）①反比例函数解析式为4yx=（x＞0）；直线l的解析式为y=﹣x+5；②当m=1时，直线l与双曲线有且只有一个交点；（2）2nbn1 =-．【分析】（1）①运用待定系数法可分别得到直线l与双曲线的解析式．②直线l向下平移m（m＞0）个单位得到y=﹣x+5﹣m，根据题意得方程组4y{xy x5m==-+-只有一组解时，化为关于x的方程得x2+（5﹣m）x+4=0，则△=0，求解即可求得答案；（2）作DF⊥x轴，由DF∥OB得到△ADF∽△ABO，根据相似比可得到a b AF DFn n==，，则D点坐标为（aan-，bn），然后把D点坐标代入反比例函数解析式中即可得到b的值．【详解】（1）①把D （4，1）代入ay x=得a=1×4=4， ∴反比例函数解析式为4y x=（x ＞0）． 设直线l 的解析式为y=kx+t ，把D （4，1），E （1，4）代入得4k t 1{k t 4+=+=，解得k 1{t 5=-=．∴直线l 的解析式为y=﹣x+5．②直线l 向下平移m （m ＞0）个单位得到y=﹣x+5﹣m ，当方程组4y {x y x 5m==-+-只有一组解时，直线l 与双曲线有且只有一个交点， 化为关于x 的方程得x 2+（5﹣m ）x+4=0， △=（m ﹣5）2﹣4×4=0，解得m 1=1，m 2=9． 而m=9时，解得x=﹣2，故舍去．∴当m=1时，直线l 与双曲线有且只有一个交点． （2）如图，作DF ⊥x 轴于点F ，∵点D 为线段AB 的n 等分点，∴DA ：AB=1：n ． ∵DF ∥OB ，∴△ADF ∽△ABO ． ∴AF DF AD AO BO AB ==，即AF DF 1a b n==． ∴a b AF DF n n==，．∴OF=a a n -．∴D 点坐标为（aa n -，b n）． 把D （a a n -，b n ）代入a y x =得（a a n -）•b n =a ，解得2n b n 1=-．【点睛】本题是反比例函数综合题，涉及了待定系数法点的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键24． 【分析】如图作CH ⊥AB 于H ．在Rt △BHC 求出CH 、BH ，在Rt △ACH 中求出AH 、AC 即可解决问题； 【详解】解：如图作CH ⊥AB 于H ．在Rt △BCH 中，∵BC ＝12，∠B ＝30°，∴CH ＝12BC ＝6，BH 在Rt △ACH 中，tan A ＝34＝CH AH ，∴AH ＝8，∴AC 10， 【点睛】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．25．(1)314y x =-+；(2)存在，M 点坐标为133,4⎛⎫- ⎪⎝⎭或⎝⎭或⎝⎭【分析】(1)先把点C 的横坐标代入214y x =解得C 点的纵坐标，再把点C 和点F 的坐标代入y ＝kx ＋b (k ≠0)联立方程求解即可．(2)先由题意设出M 和D 点的坐标，再表示出MD 的长度，根据平行四边形的对边相等的性质建立方程，求解即可．【详解】解：(1) ∵点C 在抛物线214y x =上， 把x =1代入214y x =， 解得y =14，所以C 点坐标为（1，14），把C （1，14），F (0，1)代入直线y ＝kx ＋b (k ≠0)可得：141k bb⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 解得341k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴314y x =-+；(2)要使以M 、D 、O 、F 为顶点的四边形为平行四边形，则MD ＝OF ，如图所示，设M (x ，314x -+)，则D (x ，214x )，∵MD ∥y 轴，∴MD ＝|314x -+-214x |，由MD ＝OF ，可得|314x -+-214x |=1，①当314x -+-214x =1时，解得x 1＝0(舍)或x 1＝－3， 所以M (－3，134)， ②当314x -+-214x =-1时，解得，x， 所以点M 坐标为133,4⎛⎫- ⎪⎝⎭或⎝⎭或⎝⎭【点睛】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与几何的综合及平行四边形存在性问题，求出一次函数的解析式并设出M和D点的坐标是解决本题的关键．21。
沪科版九年级上册数学期末考试试卷含答案
沪科版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．2cos60︒的值等于（ ）A ．1BCD ．22．已知△ABC ∽△DEF ，相似比为3：1，且△ABC 的周长为18，则△DEF 的周长为（） A ．2 B ．3 C ．6 D ．54 3．抛物线y=x 2﹣2x+2的顶点坐标为（ ）A ．（1，1）B ．（﹣1，1）C ．（1，3）D ．（﹣1，3） 4．若α 为锐角，且cos α=0.6，则（ ）A ．0︒ <α< 30︒B ．30︒<α< 45︒C ．45︒<α< 60︒D ．60︒<α< 90︒5．若点 A （x 1， -6）， B （x 2，-2 ），C （x 3，3）在反比例函数1y x=-的图象上，则 x 1，x 2，x 3的大小关系是（ ）A ．x 1<x 2<x 3B ．x 3<x 1<x 2C ．x 2<x 1<x 3D ．x 3<x 2<x 1 6．点 P 是长度为 1 的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（ ）A B ．C 35 D 7．△ABC 在网格中的位置如图所示（每个小正方形的边长均为 1）， AD ⊥ BC 于 D ．下列选项中，错误的是（ ）A ．sin α=cos αB ．tanC=2C ．tan α=1D ．sin β=cos β 8．已知二次函数 y =4x 2+4x -1，当自变量x 取两个不同的值x 1，x 2时，函数值相等，则当x 取122x x +时的函数值为（ ） A ．-1 B ．-2 C ．2 D ．19．如图，已知点A 是反比例函数 y = 1 x（x>0 ）的图象上的一个动点，连接OA ，OB ⊥OA ，且OB =2OA．那么经过点B的反比例函数的表达式为（）A．y=-2xB．y=2xC．y=-4xD．y=4x10．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，且AP=2.8，过点P 沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，则不同的剪法有（）A．2种B．3种C．4种D．5种二、填空题11．已知α为锐角，tanα=2sin 30︒，那么α=_____°．12．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线x＝1，且经过点(﹣1，y1)，(2，y2)，则y1_____y2．(填“＞”“＜”或“＝”)13．如图，△ABC的面积为84，平行于BC的矩形将AB截成三等分，则图中阴影部分的面积为_____．14．如图，平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,∠ABC=90︒，CA⊥x轴，点C在函数y=kx（x>0）的图象上.若AB=1，则k的值为_____．15．如图，AG：GD=4∶1，BD ：DC=2∶3，则AE∶EC的值为_____．16．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，则sin ∠ABC的值为_____．17．已知二次函数y=x2+bx+c（b，c均为常数），当x=1时，函数有最小值．甲乙丙三位同学继续研究，得出以下结论：甲：该函数的最小值为3；乙：-1是方程x2+bx+c=0的一个根；丙：当x=2时，y=4.若这三个结论中只有一个是错误的，那么得出错误结论的同学是___. 18．矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为数___________.三、解答题19．在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(-1，0)，B(4，0)，C(0，-4)三点．求这个二次函数的解析式．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点坐标分别为A（-2，4），B（-2，1），C（-5，2）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．（2）以原点O为位似中心，在第一象限画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，相似比为1：2．21．某班数学兴趣小组利用数学活动课时间测量位于烈山山顶的炎帝雕像高度，已知烈山坡面与水平面的夹角为30°，山高857.5尺，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进1620尺到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．22．某购物中心试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价且获利不得高于50%．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）的关系符合一次函数y=-x+140．（1）若销售该服装获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少元？（2）当获得利润为1200元时，求销售单价．23．已知：如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在线段CD上，且∠ACD=∠B=∠BAE（1）求证：AD DE BC AC=；（2）当点E为CD中点时，求证：22AE AB CE AD.24．如图，在Rt ABC中，90ACB∠=，CD AB⊥于D．（1）写出图中的两对相似三角形；（2）选择其中的一对相似三角形说明它们相似的理由．25．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．（1）求证：△ADE∽△MAB；（2）求DE的长．参考答案1．A 【分析】根据cos60°=12进行计算即可得解【详解】2cos60°=2×12=1．故选A2．C【分析】因为△ABC∽△DEF，相似比为3：1，根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长．【详解】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：1∴△ABC的周长：△DEF的周长＝3：1∵△ABC的周长为18∴△DEF的周长为6．故选：C．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．3．A【详解】分析：把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．详解：∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1，∴顶点坐标为（1，1）．故选A．点睛：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．4．C【分析】根据锐角的余弦随着角度的增大而减小，判断出12＜0.6＜2，然后解答即可． 【详解】根据特殊的三角函数值,得cos 45°=2，cos 60°=12由于12＜0.6 故45°＜α＜60°所以选C.【点睛】本题主要是对三角函数的相关知识的考查.在解答此类问题时,特殊角的三角函数值及锐角三角函数的特点是关键.锐角的三角函数的特点为:(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大;(2)锐角的余弦值随角度的增大而减小;(3)锐角的正切值随角度的增大而增大.如本题,即是根据(2)进行解答的.5．B【解析】【分析】先根据反比例函数y=1x-的系数-1<0判断出函数图象在二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，再根据y 1＜y 2＜0＜y 3，判断出x 1，x 2，x 3的大小．【详解】∵k=-1<0，∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，又∵y 1＜y 2＜0＜y 3，∴点A （x 1，-6），B （x 2，-2）在第四象限，点C （x 3，y 3）在第二象限，∴x 3<x 1<x 2．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．6．C【解析】【分析】根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，叫做黄金比，分别进行计算即可．【详解】点P是长度为1 的线段上的黄金分割点，∴，则较短的线段的长度为：故选C．【点睛】此题考查了黄金分割，熟记黄金分割的公式：较短的线段==是本题的关键．7．D【解析】【分析】直接利用锐角三角函数关系分别判断各选项得出答案．【详解】如图所示：AD=BD，则∠α=45°，故A 正确，不合题意； tanC=AD DC=2，故选项B 正确，不合题意； tanα=1，故选项C 正确，不合题意；sinβ=DC AC =cosβ=AD AC ,∴sin β≠cos β，故选项D 错误，符合题意； 故选D ．【点睛】此题主要考查了解直角三角形，正确掌握边角关系是解题关键．8．B【解析】【分析】根据二次函数的性质和二次函数图象具有对称性，可以求得x 1+x 2的值，从而可以求得相应的y 的值．【详解】∵y =4x 2+4x -1，当x 分别取x 1、x 2两个不同的值时，函数值相等，∴x 1+x 2=-1， ∴122x x +=12-, ∴当x 取122x x +时，y=4×（12-）2+4×(12-)-1=1-2-1=-2， 故选B ．【点睛】本题考查二次函数图象上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．9．C【分析】过A 作AC ⊥y 轴，BD ⊥y 轴，可得∠ACO=∠BDO=90°，利用三角关系得到三角形相似，由相似得比例求出相似比，确定出面积比，求出三角形AOC 面积，进而确定出三角形OBD 面积，利用反比例函数k 的几何意义确定出所求k 的值，即可确定出解析式．【详解】过A 作AC ⊥y 轴，BD ⊥y 轴，可得∠ACO=∠BDO=90°，∵∠AOC+∠OAC=90°，∠AOC+∠BOD=90°，∴∠OAC=∠BOD ，∴△AOC ∽△OBD ，∵OB=2OA ，∴△AOC 与△OBD 相似比为1：2，∴AOC S ：OBD S =1：4，∵点A 在反比例1y x =的图象上，∴△AOC 面积为12， ∴△OBD 面积为2，经过点B 的反比例函数的表达式为k y x =， ∴122k =，即4k =， ∵0k <，∴4k =-，则经过点B 的反比例解析式为4y x=-． 故选：C ．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k 的几何意义是解本题的关键．10．B【解析】【分析】分三种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到不同的剪法．【详解】如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，故选B．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．11．45【解析】【分析】先由特殊角三角函数值求出tanα，再求出α的值即可.【详解】∵tanα=2sin 30︒，∴tanα=2×12=1，∴α=45°.故答案为：45.【点睛】本题考查了锐角三角函数.熟记三角函数值是解答此题的关键.12．>【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线x＝1，且经过点(﹣1，y1)，(2，y2)和二次函数的性质可以判断y1和y2的大小关系．【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线x＝1，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，∵该函数经过点(﹣1，y 1)，(2，y 2)，|﹣1﹣1|＝2，|2﹣1|＝1，∴y 1＞y 2，故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次函数的增减性问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．13．28【解析】【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比平方，可求出△AEH 及△AFG 的面积，根据S 阴影=S △AEG -S △ADF ，可求出阴影部分的面积．【详解】∵△ABC 被一平行于BC 的矩形所截，∴EH ∥FG ∥BC ，∴△ADF ∽△AEG ∽△ABC ，又∵AB 被截成三等份， ∴219ADF ABC S AD S AB ==（），249AEG ABC S AE S AB ==（）， ∴S 3193S ABC ==∆阴影， ∵S △ABC =84∴S 阴影=184=283⨯． 故答案为28．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题关键是掌握：相似三角形的面积比等于相似比平方，难度一般．14．1【解析】【分析】作BD ⊥AC 于D ，如图，先利用等腰直角三角形的性质得到，BD=AD=CD=AC ⊥x 轴得到C ），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k 的值．【详解】作BD ⊥AC 于D ，如图，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴，∴ ∵AC ⊥x 轴，∴C ，把C 2）代入y=k x 得×2=1． 故答案为1．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=k x （k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．也考查了等腰直角三角形的性质．15．8:5【解析】【分析】过点D 作DF ∥CA 交BE 于F ，如图，利用平行线分线段成比例定理，由DF ∥CE 得到25DF BD CE BC ==，则CE=52DF ，由DF ∥AE 得到14DF DG DF AE AG AE ===，则AE=4DF ，然后计算AE EC的值． 【详解】过点D作DF∥CA交BE于F，如图，∵DF∥CE，∴DF BD CE BC=，而BD：DC=2：3，∴25DFCE=，则CE=52DF，∵DF∥AE，∴DF DG AE AG=，∵AG：GD=4：1，∴14DFAE=，则AE=4DF，∴48552AE DFEC DF==．故答案为85．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.16【解析】【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据正弦函数的定义，可得答案．【详解】如图，，sin ∠ABC=CD BC ==【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．17．乙【解析】【分析】假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论（本题选择的甲和丙，利用顶点坐标求出b 、c 的值，然后利用二次函数图象上点的坐标特征验证乙和丁的结论）．【详解】假设甲和丙的结论正确，则212434b c b ⎧-⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＝＝， 解得：24b c -⎧⎨⎩＝＝， ∴抛物线的解析式为y=x 2-2x+4．当x=-1时，y=x 2-2x+4=7，∴乙的结论不正确；当x=2时，y=x 2-2x+4=4，∴丙的结论正确．∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的，∴假设成立．故答案为乙．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质求出b、c值是解题的关键．18．3或1.2【分析】由△PBE∽△DBC，可得∠PBE=∠DBC，继而可确定点P在BD上，然后再根据△APD是等腰三角形，分DP=DA、AP=DP两种情况进行讨论即可得.【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6，BC=8，∴BD=10，∵△PBE∽△DBC，∴∠PBE=∠DBC，∴点P在BD上，如图1，当DP=DA=8时，BP=2，∵△PBE∽△DBC，∴PE：CD=PB：DB=2：10，∴PE：6=2：10，∴PE=1.2；如图2，当AP=DP时，此时P为BD中点，∵△PBE∽△DBC，∴PE：CD=PB：DB=1：2，∴PE：6=1：2，∴PE=3；综上，PE的长为1.2或3，故答案为1.2或3.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质等，确定出点P在线段BD 上是解题的关键.19．y =x2 - 3x -4.【分析】由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式.【详解】由二次函数的图象交横坐标轴于 A （-1 ，0）， B （4，0），可设y =a(x +1)(x - 4) ，将C（0，-4 ）代入解析式，得a ⨯1⨯(-4) = -4 ，即a =-1故此函数的解析式为y =-(x +1)(x - 4) =-x2- 3x - 4【点睛】注意待定系数法的应用.20．（1）作图见解析；（2）作图见解析.【解析】【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．【详解】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．【点睛】本题考查了轴对称变换、位似变换等知识，根据题意得出对应点位置是解题关键．21．雕像AB的高度为95尺．【详解】试题分析：过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，在Rt△DEG中，求得EG的长，即可得BF的长；在Rt△BEF中，可得，在Rt△AEF中，∠AEF=60°，设AB=x，根据锐角三角函数求得x即可.试题解析：如图，过点E作EF⊥AC，EG⊥CD，在Rt△DEG中，∵DE=1620，∠D=30°，=810，∴EG=DEsin∠D=1620×12∵BC=857.5，CF=EG，∴BF=BC﹣CF=47.5，在Rt △BEF 中，tan ∠BEF=，∴， 在Rt △AEF 中，∠AEF=60°，设AB=x ，∵tan ∠AEF=，∴AF=EF×tan ∠AEF ，∴x+47.5=3×47.5，∴x=95，答：雕像AB 的高度为95尺．考点：解直角三角形的应用．22．（1）销售单价为 90 元时，可获得最大利润，最大利润是 1500 元；（2）此时的销售单价为 80 元．【分析】（1）根据利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式，（2）令函数关系式W=1200，解得x.【详解】（1）由题意，得W = (x - 60) y = (x - 60)(-x +140) = -x 2+ 200x - 8400即W = -x 2 + 200x - 8400 = -(x -100)2 +1600 ，由题意，得()6060150%x x ≥⎧⎨≤⨯+⎩，解得60≤x≤90. 故当x = 90 时， y 最大= 1500 ，即销售单价为90元时，可获得最大利润，最大利润是1500元．（2）当W = -(x -100)2 +1600 = 1200 ，解得，x 1=80，x 2=120,由于60 ≤ x ≤ 90 ，故 x 2 = 120 应舍去．∴ x = 80即此时的销售单价为 80 元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式，求最值，运用二次函数解决实际问题，比较简单．23．（1）证明见解析，（2）证明见解析..【解析】【分析】（1）欲证明AD DE BC AC＝，只要证明△AED ∽△BAC 即可解决问题； （2）由△DAE ∽△DCA ，推出AE DE AC AD =，由DE=EC ，可得AE AC CE AD =，推出2222AE AC CE AD=，再证明AD 2=AD•AB 即可解决问题；【详解】（1）∵∠ACD=∠B=∠BAE ，∠BAC=∠BAE+∠CAE ，∠AED=∠ACD+∠CAE ， ∴∠AED=△BAC ，∵∠DAE=∠B ，∴△AED ∽△BAC ， ∴ADDEBC AC ＝．（2）∵∠ADE=∠CDA ，∠DAE=∠ACD ，∴△DAE ∽△DCA ， ∴AEDEAC AD =，∵DE=EC ， ∴AE ACCE AD =， ∴2222AE AC CE AD =，∵∠DAC=∠BAC ，∠ACD=∠B ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC 2=AD•AB ， ∴222•AE AD AB AB EC AD AD ==．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题. 24．（1）ACD ABC ∽，CDB ACB ∽；（2）详见解析【分析】（1）根据相似三角形的判定定理，结合图形可得出ACD ABC △∽△，CDB ACB ∽△△，ACD CBD △∽△；（2）根据题意可选择证明ACD ABC △∽△，利用等角代换得出B ACD ∠=∠，从而利用两角法判断ACD ABC △∽△．【详解】解：()1根据相似三角形的判定定理可知：图中的两对相似三角形为：ACD ABC △∽△和CDB ACB ∽△△； （2）∵90A B ∠+∠=，90A ACD ∠+∠=，∴B ACD ∠=∠，又∵90ACB ADC CDB ∠=∠=∠=，∴ACD ABC △∽△．【点睛】本题考查有两组对应角相等的两三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．25．（1）见解析；（2）DE ＝125． 【分析】（1）要证△ADE ∽△MAB ，只要找出两个三角形相似的条件即可，根据题意好矩形的性质可以证明△ADE ∽△MAB ；（2）根据题意和（1）中△ADE ∽△MAB ，利用对应边的相似比相等和勾股定理可以解答本题．【详解】证明：（1）∵在矩形ABCD 中，DE ⊥AM 于点E ，∴∠B ＝90°，∠BAD ＝90°，∠DEA ＝90°，∴∠BAM +∠EAD ＝90°，∠EDA +∠EAD ＝90°，∴∠BAM ＝∠EDA ，在△ADE 和△MAB 中，∵∠AED ＝∠B ，∠EDA ＝∠BAM ，∴△ADE ∽△MAB ；（2）∵在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，M 是BC 的中点， ∴BM ＝32，∴AM 52=，由（1）知，△ADE∽△MAB，∴AM AB DA DE=，∴5223DE =，解得，DE＝125．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和数形结合的思想解答．。
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B
A
C D 第2题 y x O A 第6题
2018年九年级第一学期期末考试数学试题
2018年1月12日，考试时间100分钟，满分150分
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．符号tan A 表示（）．
(A)∠A 的正弦； (B)∠A 的余弦； (C)∠A 的正切； (D)∠A 的余切．
2．如图△ABC 中∠C ＝90°，如果CD ⊥AB 于D ，那么（）．
(A)CD ＝12AB ； (B) BD ＝12
AD ； (C) CD 2＝AD ·BD ； (D) AD 2＝BD ·AB ．
3．已知a 、b 为非零向量，下列判断错误的是（）． (A) 如果a ＝2b ，那么a ∥b ；(B)如果a ＝b ，那么a ＝b 或a ＝－b ；
(C) 0的方向不确定，大小为0； (D) 如果e 为单位向量且a ＝2e ，那么a ＝2．
4．二次函数y ＝x 2＋2x ＋3的图像的开口方向为（）．
(A) 向上； (B) 向下； (C) 向左； (D) 向右．
5．如果从某一高处甲看低处乙的俯角为30°，那么从乙处看甲处，甲在乙的（）．
(A)俯角30°方向； (B)俯角60°方向；
(C)仰角30°方向； (D)仰角60°方向．
6．如图，如果把抛物线y ＝x 2沿直线y ＝x 向上方平移22个单位
后，其顶点在直线y ＝x 上的A 处，那么平移后的抛物线解析式
是（）．
(A) y ＝(x ＋22)2＋22； (B) y ＝(x ＋2)2＋2；
(C) y ＝(x －22)2＋22； (D)y ＝(x －2)2＋2．
二、填空题（每小题4分，共48分）
7．已知2a ＝3b ，那么a ∶b ＝_________．
8．如果两个相似三角形的周长之比1∶4，那么它们的某一对对应角的角平分线之比为_________．
9．如图，D 、E 为△ABC 的边AC 、AB 上的点，当_________时，△ADE ∽△ABC 其中D 、E 分别对应B 、
C ．（填一个条件）
10．计算：()
134522a b b -+=_________． 11．如图，在锐角△ABC 中，BC ＝10，BC 上的高AD ＝6，正方形EFGH 的顶点E 、F 在BC 边上，G 、H 分别在AC 、AB 边上，则此正方形的边长为_________．
12．如果一个滚筒沿斜坡向正下直线滚动13米后，其水平高度下降了5米，那么该斜坡的坡度i ＝_________．
13．如图，四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形，则tan ∠CAF ＝_________．
14．抛物线y ＝5 (x －4)2＋3的顶点坐标是_________．
15．二次函数y ＝－2(x －1)2＋3的图像与y 轴的交点坐标是_________．
16．如果点A (0，2)和点B (4，2)都在二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像上，那么此抛物线在直线_________的部分是上升的．（填具体某直线的某侧）
17．如图，点D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点，如果△ABC 的面积为S ，那么以AD 、BE 、CF 为边的三角形的面积是__________．
18．如图，点M 是正方形ABCD 的边BC 的中点，联结AM ，将BM 沿某一过M 的直线翻折，使B 落在AM 上的E 处，将线段AE 绕A 顺时针旋转一定角度，使E 落在F 处，如果E 在旋转过程中曾经交AB 于G ，当EF ＝BG 时，旋转角∠EAF 的度数是______________．
三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）
19．（本题满分10分） 计算：
01sin60tan60cos45sin30π︒︒︒︒
－＋(＋)－
20．（本题满分10分，每小题各5分）
如图，AB ∥CD ∥EF ，而且线段AB 、CD 、EF 的长度分别为5、3、2．
（1）求AC ：CE 的值；
（2）如果AE 记作a ，BF 记作b ，求CD （用a 、b 表示）．
21．（本题满分10分）
已知在港口A 的南偏东75°方向有一礁石B ，轮船从港口出发，沿正东北方向（北偏东45°方向）前行10里到达C 后测得礁石B 在其南偏西15°处，求轮船行驶过程中离礁石B 的最近距离．
22．（本题满分10分，每小题各5分）
如图，在直角坐标系中，已知直线y＝
1
2
x＋4与y轴交于A点，与x轴交于B点，
C点坐标为(－2，0)．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）如果M为抛物线的顶点，联结AM、BM，
求四边形AOBM的面积．
23．（本题满分12分，每小题各6分）
如图，△ABC中，AB＝AC，过点C作CF∥AB交△ABC的中位线DE的延长线于F，联结BF，交AC于点G．
（1）求证：G
AE AC EG C ＝； （2）若AH 平分∠BAC ，交BF 于H ，求证：BH 是HG 和HF 的比例中项．
24．（本题共12分，每小题各4分）
设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b ]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时，有m ≤y ≤n ，我们就称此函数是闭区间[m ，n ]上的“闭函数”．如函数y ＝－x ＋4，当x ＝1时，y ＝3；当x ＝3时，y ＝1，即当1≤x ≤3时，恒有1≤y ≤3，所以说函数y ＝－x ＋4是闭区间[1，3]上的“闭函数”，同理函数y ＝x 也是闭区间[1，3]上的“闭函数”．
（1）反比例函数2018y x
是闭区间[1，2018]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）如果已知二次函数y ＝x 2－4x ＋k 是闭区间[2，t ]上的“闭函数”，求k 和t 的值；
（3）如果（2）所述的二次函数的图像交y 轴于C 点，A 为此二次函数图像的顶点，B 为直线x ＝1上的一点，当△ABC 为直角三角形时，写出点B 的坐标．
25．（本题共14分，其中（1）（2）小题各3分，第（3）小题8分）
如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD＝7，AB＝CD＝15，BC＝25，E为腰AB上一点且AE：BE ＝1：2，F为BC一动点，∠FEG＝∠B，EG交射线BC于G，直线EG交射线CA于H．
（1）求sin∠ABC；
（2）求∠BAC的度数；
（3）设BF＝x，CH＝y，求y与x的函数关系式及其定义域．
参考答案。