圆锥曲线离心率专题 历年真题
(完整版)圆锥曲线离心率专题历年真题
1．（福建卷）已知双曲线12222=-by a x (a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2)B. (1,2]C.[2,+∞)D.(2,+∞)2．（湖南卷）过双曲线M:2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )3．（辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率4．（全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（ ）（A ）53 (B )43 (C )54 (D )325．(陕西卷)已知双曲线x 2a 2 － y 22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3 ,则双曲线的离心率为A.2B. 3C.263D.2336. (全国卷)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）（A （B ）12（C ）2 （D 1 7. （广东卷）若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m=( )（Ｂ）32（Ｃ）83（Ｄ）238.（福建卷）已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A ．324+B ．13-C ．213+D ．13+9．[全国]设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为x y 21±=，则该双曲线的离心率=e （ ）A ．5 B ． 5 C ．25 D ．45 10．（ 福建理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A ．33B ．32 C ．22 D ．2311．（ 重庆理）已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（ ）A ．43B ．53C ．2D ．7312.（福建卷11)又曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ）A.(1,3)B.(]1,3 C.(3,+∞)D.[)3,+∞13.（江西卷 7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1) B ．1(0,]2C ．(0,2D ．,1)2 14.（全国二9）设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．(25)，D ．(215.（陕西卷8）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30o的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）ABC D16.（天津卷（7）设椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ）（A ）2211216x y += （B ）2211612x y += （C ）2214864x y += （D ）2216448x y +=17.（江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ． 18.（全国一15）在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e= ．19、（全国2理11）设F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点。
重难点专题 圆锥曲线离心率压轴题(含二级结论)十九大题型汇总(学生版)
重难点专题 圆锥曲线离心率压轴题(含二级结论)十九大题型汇总题型1直接型题型2二级结论之通径型题型3双曲线渐近线相关题型4坐标法题型5二级结论之焦点弦定比分点题型6二级结论之焦点已知底角题型7焦点三角形已知顶角型题型8焦点三角形双余弦定理题型9利用图形求离心率题型10利用椭圆双曲线的对称性求离心率题型11点差法题型12二级结论之中点弦问题题型13角平分线相关题型14圆锥曲线与圆相关题型15内切圆相关题型16与立体几何相关题型17二级结论之切线方程题型18正切公式的运用题型19圆锥曲与内心结合题型1直接型椭圆与双曲线的离心率公式为：e =ca，注意椭圆的离心率范围(0,1)，双曲线的离心率范围(1，+♾)1(2021·江西南昌·统考模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 交C 的右支于A ，B 两点，且AB ⋅AF 1 =0，12|AB |=5|AF 1|，则C 的离心率为1(2021·全国·高三开学考试)设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左､右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ,B 两点，|AF 1|=3|BF 1|，若cos ∠AF 2B =35，则椭圆E 的离心率为.2(2021·河北秦皇岛·统考二模)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，已知AF 2 +F 1F 2 ⋅AF 1 =0，AF 1 =43F 1B，则椭圆C 的离心率为()A.57B.22C.53D.133(2023·江西九江·二模)青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为P ，盘子的中心为O ，筷子与大椭圆的两交点为A 、B ，点A 关于O 的对称点为C ．给出下列四个命题：①两椭圆的焦距长相等；②两椭圆的离心率相等；③PA =PB ；④BC 与小椭圆相切.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.44(22·23下·恩施·模拟预测)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 24-y 2b2=1b >0 的左右焦点，且F 1到渐近线的距离为1，过F 2的直线l 与C 的左、右两支曲线分别交于A ,B 两点，且l ⊥AF 1，则下列说法正确的为()A.△AF 1F 2的面积为2B.双曲线C 的离心率为2C.AF 1 ⋅BF 1=10+46D.1AF 2 +1BF 2=6+2题型2二级结论之通径型椭圆与双曲线的半通径是b 2a , 通径是2b 2a1(2023·重庆·模拟预测)如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点为F 1，右顶点为A ，点Q 在y 轴上，点P 在椭圆上，且满足PQ ⊥y 轴，四边形F 1APQ 是等腰梯形，直线F 1P 与y 轴交于点N 0,34b，则椭圆的离心率为( )．A.14B.32C.22D.121(23·24高三上·湖北·阶段练习)已知A ，B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右顶点，P 是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1在第一象限上的一点，直线PA ，PB 分别交椭圆于另外的点M ，N ．若直线MN 过椭圆的右焦点F ，且tan ∠AMN =3，则椭圆的离心率为．2(2023·湖北武汉·三模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，点A ，B 分别为椭圆C 的左右顶点，点F 为椭圆C 的右焦点，Р为椭圆上一点，且PF 垂直于x 轴.过原点О作直线PA 的垂线，垂足为M ，过原点О作直线PB 的垂线，垂足为N ，记S 1，S 2分别为△MON ，△PAB 的面积.若S 2S 1=409，则椭圆C 的离心率为.3(22·23·赣州·二模)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在E 上，满足△F 1PF 2为直角三角形，作OM ⊥PF 1于点M (其中O 为坐标原点)，且有PM =2MF1，则E 的离心率为．4(2023·河北保定·统考二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,B 为虚轴上端点，M 是BF 中点，O 为坐标原点，OM 交双曲线右支于N ，若FN 垂直于x 轴，则双曲线C 的离心率为() A.2B.2C.3D.233题型3双曲线渐近线相关双曲线的渐近线求离心率可以直接使用公式：e =1+b 2a2，1(2023·山东潍坊·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，过F 1作C 的一条浙近线的垂线，垂足为D ，且DF 2 =22OD ，则C 的离心率为()A.2B.2C.5D.31(2022·贵州毕节·统考模拟预测)已知F 1，F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，点A 是C 的左顶点，过点F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，O 为坐标原点，且PO 平分∠APM ，则C 的离心率为()A.2B.2C.3D.32(多选)(2023·山东潍坊·三模)函数y =ax +bx(ab >0)的图象是双曲线，且直线x =0和y =ax 是它的渐近线．已知函数y =33x +1x，则下列说法正确的是()A.x ≠0，y ≥243B.对称轴方程是y =3x ,y =-33x C.实轴长为23D.离心率为2333(2020上·广西桂林·高三广西师范大学附属中学校考阶段练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为M ，若tan ∠MAF =12，则C 的离心率为.4(2022·陕西咸阳·统考二模)已知双曲线C ：(a >0，b >0)的左焦点为F ，过F 且与双曲线C 的一条渐近线垂直的直线l 与另一条渐近线交于点P ，交y 轴于点A ，若A 为PF 的中点，则双曲线C 的离心率为 .5(多选)(2023·河北唐山·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a2-y 24=1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作直线y =2a x 的垂线，垂足为P ，O 为坐标原点，且∠F 1PO =π6，过P 作C 的切线交直线y =-2ax 于点Q ，则()A.C 的离心率为213B.C 的离心率为133C.△OPQ 的面积为23D.△OPQ 的面积为43题型4坐标法相对运算较麻烦的一种方法，可以通过联立方程，求出点的坐标，构造等式求出离心率1(2023·河南·模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左顶点为A ，P 为C 的一条渐近线上一点，AP 与C 的另一条渐近线交于点Q ，若直线AP 的斜率为1，且A 为PQ 的三等分点，则C 的离心率为．1(2023·山东潍坊·模拟预测)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ，过F 的直线交E 的左支于点P ，交E 的渐近线于点M ，N ，且P ，M 恰为线段FN 的三等分点，则双曲线E 的离心率为()A.2B.52C.5D.32(24·25高三上·浙江·开学考试)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ，过点F 作倾斜角为π4的直线交椭圆C 于A 、B 两点，弦AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，若PF AB=14，则椭圆C 的离心率e =．3(2023·湖北襄阳·模拟预测)如图，已知有公共焦点P 1(-c ,0)、P 2(c ,0)的椭圆C 1和双曲线C 2相交于A 、B 、C 、D 四个点，且满足OA =OB =OC =OD =c ，直线AB 与x 轴交于点P ，直线CP 与双曲线C 2交于点Q ，记直线AC 、AQ 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1⋅k 2=2，则椭圆C 1的离心率为.4(22·23高三上·河南洛阳·阶段练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，过点F 1的直线l 与双曲线C 的左支交于点A ，与双曲线C 的一条渐近线在第一象限交于点B ，且F 1F 2 =2OB (O 为坐标原点).下列四个结论正确的是()①BF 1 =4c 2-BF 2 2；②若AB =2F 1A ，则双曲线C 的离心率1+102；③BF 1 -BF 2 >2a ；④c -a <AF 1 <2c -a .A.①②B.①③C.①②④D.①③④5(22·23高三上·河北石家庄·期中)椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交C 于A ，B 两点，若3OF 1 =OA +2OB ，AB =BF 2，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率为题型5二级结论之焦点弦定比分点1.点F 是椭圆的焦点，过F 的弦AB 与椭圆焦点所在轴的夹角为θ,θϵ0,π2，k 为直线AB 的斜率，且AF =λFB (λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1当曲线焦点在y 轴上时，e =1+1k 2λ-1λ+1注：λ=AF BF 或者λ=BF AF ,而不是AF AB 或者BFAB点F 是双曲线焦点，2.过F 弦AB 与双曲线焦点所在轴夹角为θ,θϵ0,π2，k 为直线AB 斜率，且AF =λFB (λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1当曲线焦点在y 轴上时，e =1+1k 2λ-1λ+1 1(23·24高三上·云南·阶段练习)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2且倾斜角为60°的直线l 与C 交于A ，B 两点．若△AF 1F 2的面积是△BF 1F 2面积的2倍，则C 的离心率为．1(2022上·辽宁鞍山·高三鞍山一中校考期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1的左焦点为F ，过F 斜率为3的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，若AF BF =32，则椭圆C 的离心率e =．2(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点，若AF =4FB，则C 的离心率为()A.58B.65C.75D.953(2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1的右焦点为F 2，过右焦点作倾斜角为π3的直线交椭圆于G ,H 两点，且GF 2 =2F 2H ，则椭圆的离心率为()A.12B.22C.23D.324(2023·贵州·统考模拟预测)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的上顶点为A ,F 是C 的一个焦点，点B 在C 上，若3AF +5BF =0，则C 的离心率为()A.12B.35C.22D.32题型6二级结论之焦点已知底角1. 已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =c a =sin (α+β)sin α+sin β2. 已知双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则e =ca =sin α+sin β|sin α-sin β|，1(2008·全国·高考真题)设△ABC 是等腰三角形，∠ABC =120°，则以A ，B 为焦点，且过点C 的双曲线的离心率为()A.1+22 B.1+32C.1+2D.1+31(2022秋·山东青岛·高二山东省青岛第五十八中学校考期中)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，焦距为2c ，若直线y =3(x +c )与椭圆C 的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于()A.3-1B.2-1C.32D.222(2020秋·贵州贵阳·高二统考期末)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y =33x +c 与椭圆的一个交点M 满足∠MF 2F 1=2∠MF 1F 2，则该椭圆的离心率等于()A.3-5B.5-3C.3+1D.3-13(2023·全国·高二专题练习)已知椭圆E 的两个焦点分别为F 1，F 2，点Р为椭圆上一点，且tan ∠PF 1F 2=23，tan ∠PF 2F 1=2，则椭圆E 的离心率为 .4(2023秋·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试)点P 是双曲线C 1：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)和圆C 2：x 2+y 2=a 2+b 2的一个交点，且2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，其中F 1，F 2是双曲线C 1的两个焦点，则双曲线C 1的离心率为．5(2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习)已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点，点A 是双曲线C 的右顶点，点P 在过点A 且斜率为334的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠PF 2F 1=120°，则双曲线的离心率为.题型7焦点三角形已知顶角型可以通过焦点三角形的特征进行解决1(20·21高二上·吉林白城·阶段练习)已知F 1,F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率e 2，则1e 21+3e 22=.1(2021·重庆·校联考三模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交双曲线C 的左支于P ，Q 两点，若PF 2 2=PF 2 ⋅QF 2，且△PQF 2的周长为12a ，则双曲线C 的离心率为() A.102B.3C.5D.222(2021·山东烟台·统考二模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 的右支上，AF 1与C 交于点B ，若F 2A ⋅F 2B =0，且|F 2A |=|F 2B|，则C 的离心率为()A.2B.3C.6D.73(2021·浙江·模拟预测)已知F 1，F 2分别是双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，直线y =kx 与E 交于A ，B 两点，且∠F 1AF 2=60°，四边形F 1AF 2B 的周长C 与面积S 满足163S =C 2，则E 的离心率为()A.62B.52C.32D.34(2023·上海崇明·一模)已知椭圆Γ1与双曲线Γ2的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点F 1、F 2，P是Γ1与Γ2在第一象限的交点，当∠F 1PF 2=π6时，双曲线Γ2的离心率等于 .5(2022上·江苏南京·高三南京师大附中校考期中)已知F 1，F 2分别为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点，过点F 2且斜率为1的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，若△F 1PQ 是等腰三角形，则双曲线C 的离心率为.题型8焦点三角形双余弦定理1(22·23高二下·河南安阳·开学考试)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点，过F 1的直线与椭圆C 交于M ,N 两点，MF 2 -MF 1 =a ,MF 1 +NF 1 =NF 2 ，则椭圆C 的离心率为()A.25B.105C.155D.641(22·23上·河南·模拟预测)双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点，且AF 2 =2F 2B，∠ABF 1=60°，则双曲线C 的离心率为()A.73B.2C.53D.432(2023·浙江·一模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，A ，B 为C 上位于x 轴上方的两点，且AF 1⎳BF 2，∠AF 1F 2=60°．记AF 2，BF 1交点为P ，过点P 作PQ ⎳AF 1，交x 轴于点Q ．若OQ =2PQ ，则双曲线C 的离心率是．3(23·24高三上·江苏淮安·开学考试)椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，上顶点为A ，直线AF 1与椭圆C 交于另一点B ，若∠AF 2B =120°，则椭圆C 的离心率为．4(22·23高三下·山东菏泽·开学考试)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左右焦点分别为F 1，F 2，点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A ⋅F 1B =0，BF 2 =35BA，则C 的离心率为．5(2023·湖南株洲·一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，若PF 1 =43F 1Q ，且PF 2 =F 1F 2，则椭圆C 的离心率为．题型9利用图形求离心率1(2023·安徽安庆·二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与双曲线C 的右支相交于点P ，过点O ,F 2作ON ⊥PF 1,F 2M ⊥PF 1，垂足分别为N ,M ，且M 为线段PN 的中点，ON =a ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.5+12C.3+12D.1321(22·23·包头·二模)双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，以C 的虚轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 的渐近线y =-b a x 交于点H ，若△F 1HO 的面积为24ac ，则C 的离心率为．2(2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习)双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a ,b >0 的左焦点为F ，直线FD 与双曲线C 的右支交于点D ，A ，B 为线段FD 的两个三等分点，且OA =OB =22a (O为坐标原点)，则双曲线C 的离心率为.3(2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测)已知F 1，F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点，A 是C 的上顶点，点P 在过A 且斜率为23的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠PF 1F 2=120°，则C 的离心率为()A.1010B.714C.39D.144(2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测)已知椭圆T :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，左顶点为A ，上顶点为B ，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，且△ABO ∼△F 1PF 2,O 为坐标原点，则椭圆的离心率为.题型10利用椭圆双曲线的对称性求离心率1(22·23高二下·湖南·期末)如图，已知F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的左､右焦点，P ,Q 为双曲线C 上两点，满足F 1P ∥F 2Q ，且F 2Q =F 2P =3F 1P ，则双曲线C 的离心率为()A.105B.52C.153D.1021(2023·河南商丘·模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，点M ,N 是C 的一条渐近线上的两点，且MN =2MO(O 为坐标原点)，MN =F 1F 2 .若P 为C 的左顶点，且∠MPN =135°，则双曲线C 的离心率为()A.3B.2C.5D.72(2023·福建宁德·模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点是F ，直线y =kx 交椭圆于A ,B 两点﹐直线AF 与椭圆的另一个交点为C ，若OA OF=AF2CF =1，则椭圆的离心率为．3(23·24高三上·山西大同·阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点P (3c ,0)作直线l 交椭圆C 于M ,N 两点，若PM =2NM ，F 2M =4F 2N则椭圆C 的离心率为4(2022·全国·校联考模拟预测)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 2的直线l 交双曲线C 于P ，Q 两点且使得PF 2 =λF 2Q 0<λ<1 ．A 为左支上一点且满足F 1A +F 2P=0 ，F 1F 2 =23AF 2 +13AQ ，△AF 2P 的面积为b 2，则双曲线C 的离心率为()A.33B.2C.102D.35(2021下·山西·高三校联考阶段练习)如图，O 是坐标原点，P 是双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)右支上的一点，F 是E 的右焦点，延长PO ，PF 分别交E 于Q ，R 两点，已知QF ⊥FR ，且|QF |=2|FR |，则E 的离心率为()A.174B.173C.214D.213题型11点差法1.根与系数关系法：联立直线方程和椭圆(或双曲线)方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2.点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆(或双曲线)方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的两个不同的点M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，x 21a 2+y 21b 2=1,=1\*GB 3\*MERGEFORMAT ①x 22a 2+y 22b 2=1,=2\*GB 3\*MERGEFORMAT ② 由①-②，得1a 2(x 21-x 22)+1b 2(y 21-y 22)=0，变形得y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2·x 1+x 2y 1+y 2=-b 2a 2·x 0y 0，(x 1-x 2≠0，x 1+x 2≠0)1(22·23·吉安·一模)椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的内接四边形ABCD 的对角线AC ,BD 交于点P 1,1 ，满足AP =2PC ，BP =2PD ，若直线AB 的斜率为-14，则椭圆的离心率等于()A.14B.32C.12D.131(2023·湖北·模拟预测)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率e ≠22，C 的左右焦点分别为F 1,F 2，点A 在椭圆C 上满足∠F 1AF 2=π2．∠F 1AF 2的角平分线交椭圆于另一点B ，交y 轴于点D ．已知AB =2BD ，则e =．2(2022下·云南昭通·高二校联考期末)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)斜率为-18的直线与E 的左右两支分别交于A ，B 两点，P 点的坐标为(-1,2)，直线AP 交E 于另一点C ，直线BP 交E 于另一点D ，如图1.若直线CD 的斜率为-18，则E 的离心率为()A.2B.72C.62D.523(22·23·河北·模拟预测)已知斜率为-2的直线l 1与双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右两支分别交于点A ，B ，l 2⎳l 1，直线l 2与E 的左、右两支分别交于点D ，C ，AC 交BD 于点P ，若点P 恒在直线l :y =-3x 上，则E 的离心率为.4(2023·云南·统考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点F (c ,0)(b >c )和上顶点B ，若斜率为65的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，且满足FB +FP +FQ =0 ，则椭圆的离心率为.5(2020上·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)如图，过原点O 的直线AB 交椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)于A ，B 两点，过点A 分别作x 轴、AB 的垂线AP ，AQ 分别交椭圆C 于点P ，Q ，连接BQ 交AP 于一点M ，若AM =34AP，则椭圆C 的离心率是.题型12二级结论之中点弦问题1.椭圆或者双曲线，已知中点时，当椭圆或双曲线的焦点在x 轴，K AB ∙K OM =e 2-12.P 为椭圆上一点，e 为离心率，①A 1，A 2为两个顶点，则k PA 1⋅k PA 2=e 2-1；②A 1，A 2为关于原点对称的两点，则k PA 1⋅k PA 2=e 2-1；以上结论也适用于双曲线.1(22·23上·徐州·期末)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，经过原点O 的直线交C 于A ，B 两点．P 是C 上一点(异于点A ，B )，直线BP 交x 轴于点D ．若直线AP ，BP 的斜率之积为49，且∠BDO =∠BOD ，则椭圆C 的离心率为．1(22·23下·安徽·一模)已知直线l 与椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)交于M ,N 两点，线段MN 中点P 在直线x =-1上，且线段MN 的垂直平分线交x 轴于点Q -34,0 ，则椭圆E 的离心率是 .2(2023·贵州·模拟预测)设О为坐标原点，A 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一个动点，过点A 作椭圆C 内部的圆E ：x 2-2mx +y 2=0m >0 的一条切线，切点为D ，与椭圆C 的另一个交点为B ，D 为AB 的中点，若OD 的斜率与DE 的斜率之积为2，则C 的离心率为.3(2021·全国·模拟预测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的短轴长为4，上顶点为B ，O 为坐标原点，点D 为OB 的中点，双曲线E ：x 2m 2-y 2n2=1(m >0，n >0)的左､右焦点分别与椭圆C 的左､右顶点A 1，A 2重合，点P 是双曲线E 与椭圆C 在第一象限的交点，且A 1，P ，D 三点共线，直线PA 2的斜率k PA 2=-43，则双曲线E 的离心率为()A.355B.32C.810-105D.5+41094(22·23下·南通·阶段练习)已知两点A ，M 在双曲C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右支上，点A 与点B 关于原点对称，BM 交y 轴于点N ，若AB ⊥AM ，且ON 2+8OA ⋅ON=0，则双曲线C 的离心率为()A.5B.6C.7D.22题型13角平分线相关1.角平分线“拆”面积：S △ABC =S △ACD +S △ABD2.角平分线定理性质：AB BD =ACCD1(22·23下·山西·模拟预测)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线E 上一点，PF 2⊥F 1F 2，∠F 1PF 2的平分线与x 轴交于点Q ，S △PF 1Q S △PF 2Q=53，则双曲线E 的离心率为()A.2B.2C.52D.31(22·23下·湖北·模拟预测)已知F 1，F 2分别是双曲线Γ:x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点，过F 1的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，CB =3F 2A，BF 2平分∠F 1BC ，则双曲线Γ的离心率为()A.7B.5C.3D.22(22·23高三·云南·阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，P 为椭圆上一点，直线AP 与直线x =a 交于点M ，∠PFB 的角平分线与直线x =a 交于点N ，若PF ⊥AB ，△MAB 的面积是△NFB 面积的6倍，则椭圆C 的离心率是.3(2023·山东烟台·校考模拟预测)设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦点为F 1-c ,0 ,F 2c ,0 ，点P 是C 与圆x 2+y 2=c 2的交点，∠PF 1F 2的平分线交PF 2于Q ，若PQ =12QF 2 ，则椭圆C 的离心率为()A.33B.2-1C.22D.3-14(2023春·江西赣州·高三统考阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2．椭圆C 在第一象限存在点M ，使得MF 1 =F 1F 2 ，直线F 1M 与y 轴交于点A ，且F 2A 是∠MF 2F 1的角平分线，则椭圆C 的离心率为()A.6-12B.5-12C.12D.3-12题型14圆锥曲线与圆相关1(2023·福建漳州·模拟预测)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 2为圆心的圆与x 轴交于F 1，B 两点，与y 轴正半轴交于点A ，线段AF 1与C 交于点M .若BM 与C 的焦距的比值为313，则C 的离心率为()A.3-12B.12C.3+14D.7-121(23·24高三上·福建福州·开学考试)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，以F 2为圆心的圆与x 轴交于F 1，B 两点，与y 轴正半轴交于点A ，线段AF 1与C 交于点M ．若BM与C 的焦距的比值为313，则C 的离心率为()A.3+12B.32C.5+12D.7+122(2023·全国·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左，右顶点分别是A 1，A 2，圆x 2+y 2=a 2与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，直线A 1M 交C 的右支于点P .设△MPA 2的内切圆圆心为I ,A 2I ⊥x 轴，则C 的离心率为()A.2B.2C.3D.53(22·23·马鞍山·三模)已知F 1 ， F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1 (a >0 ， b >0)的左，右焦点，点M 在双曲线上，MF 1⊥MF 2，圆O :x 2+y 2=32(a 2+b 2)，直线MF 1与圆O 相交于A ,B 两点，直线MF 2与圆O 相交于P ,Q 两点，若四边形APBQ 的面积为27b 2，则C 的离心率为()A.62B.324C.32D.984(22·23上·全国·阶段练习)已知圆C 1:x 2+y -2332=163过双曲线C 2:x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点F 1，F 2，曲线C 1与曲线C 2在第一象限的交点为M ，若MF 1 ⋅MF 2 =12，则双曲线C 2的离心率为()A.2B.3C.2D.3题型15内切圆相关1(22·23高三下·江西·阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2.点P 在C 上且位于第一象限，圆O 1与线段F 1P 的延长线，线段PF 2以及x 轴均相切，△PF 1F 2的内切圆为圆O 2.若圆O 1与圆O 2外切，且圆O 1与圆O 2的面积之比为9，则C 的离心率为()A.12B.35C.22D.321(2023·山东潍坊·模拟预测)已知双曲线C 1:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，点F 2与抛物线C 2:y 2=2px p >0 的焦点重合，点P 为C 1与C 2的一个交点，若△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为4，C 2的准线与C 1交于A ，B 两点，且AB =92，则C 1的离心率为()A.94B.54C.95D.742(22·23下·宁波·阶段练习)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2,P 为椭圆上不与顶点重合的任意一点，I 为△PF 1F 2的内心，记直线OP ,OI 的斜率分别为k 1,k 2，若k 1=32k 2，则椭圆E 的离心率为() A.13B.12C.33D.223(23·24高三上·云南昆明·期中)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1-c ,0 ,F 2c ,0(c >0)，过F 1作倾斜角为π4的直线交椭圆于A ,B 两点，若△ABF 2的内切圆半径r =26c ，则该椭圆的离心率为．4(2023·山西·二模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，点M x 0,y 0 x 0>c 是C 上一点，点A 是直线MF 2与y 轴的交点，△AMF 1的内切圆与MF 1相切于点N ，若|MN |=2F 1F 2 ，则椭圆C 的离心率e =．5(22·23·红河·一模)已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，若E 上存在点P ，满足OP =12F 1F 2 ，(O 为坐标原点)，且△PF 1F 2的内切圆的半径等于a ，则E 的离心率为．题型16与立体几何相关1(2023·安徽安庆·一模).如图是数学家Ger min al Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“Dandelin 双球”)；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O 1，球O 2的半径分别为4和1，球心距O 1O 2 =6，截面分别与球O 1，球O 2切于点E ，F ，(E ，F 是截口椭圆的焦点)，则此椭圆的离心率等于()A.339B.63C.22D.161(22·23高三下·河北衡水·阶段练习)已知F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过点F 2作直线AB ⊥F 1F 2交C 于A ,B 两点. 现将C 所在平面沿直线F 1F 2折成平面角为锐角α的二面角，如图，翻折后A ,B 两点的对应点分别为A ,B ，且∠A F 1B =β⋅若1-cos α1-cos β=2516，则C 的离心率为()A.3B.22C.3D.322(2023·云南大理·模拟预测)某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型(图甲)，该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板NCEM (图乙)沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形OCEF 卷后为圆柱O 1O 2的侧面．为准确画出裁剪曲线，建立如图所示的以O 为坐标原点的平面直角坐标系，设P x ,y 为裁剪曲线上的点，作PH ⊥x 轴，垂足为H ．图乙中线段OH 卷后形成的圆弧OH (图甲)，通过同学们的计算发现y 与x 之间满足关系式y =3-3cos x3(0≤x <6π)，现在另外一个纸板上画出曲线y =1-cos x2(0≤x <4π)，如图丙所示，把沿虚线裁剪后的长方形纸板卷一周，求该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为()A.255B.55C.12D.533(2022·辽宁沈阳·一模)如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为.4(22·23下·辽宁·阶段练习)如图所示圆锥，C 为母线SB 的中点，点O 为底面圆心，AB 为底面圆的直径，且SC ，OB ，SB 的长度成等比数列，一个平面过A ，C ，与圆锥面相交的曲线为椭圆，若该椭圆的短轴与圆锥底面平行，则该椭圆的离心率为．5(多选)(2023·江苏南通·模拟预测)如图，已知圆锥PO 的轴PO 与母线所成的角为α，过A 1的平面与圆锥的轴所成的角为ββ>α ，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆，椭圆的长轴为A 1A 2,短轴为B 1B 2,长半轴长为a ，短半轴长为b ，椭圆的中心为N ,再以B 1B 2为弦且垂直于PO 的圆截面，记该圆与直线PA 1交于C 1，与直线PA 2交于C 2，则下列说法正确的是()A.当β<α时，平面截这个圆锥所得的截面也为椭圆B.|NC 1|⋅|NC 2|=a 2sin β+α sin β-αcos 2αC.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e =cos βcos αD.平面截这个圆锥所得椭圆的离心率e =sin αsin β题型17二级结论之切线方程圆锥曲线切线方程的常用结论【结论1】(1)经过圆x 2+y 2=r 2上一点M x 0,y 0 的切线方程为x 0x +y 0y =r 2．(2)当M x 0,y 0 在圆外时，过M 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为x 0x +y 0y =r 2．【结论2】(1)若圆心不在原点，圆的方程：x -a 2+y -b 2=r 2，若M x 0,y 0 为圆上一点，则过M x 0,y 0 切线方程：x 0-a x -a +y 0-b y -b =r2(2)若M x 0,y 0 在圆外，过M 点切线有两条：切点弦所在直线方程：x 0-a x -a +y 0-b y -b =r2方便记忆，求切线和切点弦的方法，统一称为“代一留一”．【结论3】(1)过圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上一点M x 0,y 0 切线方程为x 0x a 2+y 0y b2=1；(2)当M x 0,y 0 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为x 0x a2+y 0yb 2=1．(3)设过椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 外一点M x 0 , y 0 引两条切线，切点分别为A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．由(1)可知过A , B 两点的切线方程分别为：x 1xa 2+y 1yb 2=1，x 2x a 2+y 2y b2=1．又因M x 0,y 0 是两条切线的交点，∴有x 1x 0a 2+y 1y 0b 2=1，x 2x 0a 2+y 2y 0b 2=1．观察以上两个等式，发现A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 满足直线x 0xa2+y 0y b 2=1，∴过两切点A , B 两点的直线方程为x 0xa 2+y 0yb 2=1．同理可得焦点在y 轴上的情形．【结论4】(1)过圆y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 上一点M x 0,y 0 切线方程为y 0y a 2+x 0x b2=1；(2)当M x 0,y 0 在椭圆y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为y 0y a 2+x 0xb2=1．【结论5】(1)过双曲线x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 上一点M x 0,y 0 处的切线方程为x 0x a 2-y 0y b2=1；(2)当M x 0,y 0 在双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：x 0x a2-y 0yb2=1．(3)设过双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 外一点M x 0,y 0 引两条切线，切点分别为A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ．由(1)可知过A , B 两点的切线方程分别为：x 1xa 2-y 1yb 2=1 , x 2x a 2-y 2y b2=1．又因M x 0,y 0 是两条切线的交点，∴有x 1x 0a 2-y 1y 0b 2=1 , x 2x 0a 2-y 2y 0b 2=1．观察以上两个等式，发现A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 满足直线x 0xa2-y 0y b 2=1，∴过两切点A , B 两点的直线方程为x 0x a 2-y 0y b 2=1．同理可得焦点在y 轴上的情形．【结论6】(1)过双曲线y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 上一点M x 0,y 0 处的切线方程为y 0y a 2-x 0x b2=1；(2)当M x 0,y 0 在双曲线y 2a 2-x 2b2=1a >0,b >0 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：y 0y a 2-x 0xb2=1．1(2023·重庆·模拟预测)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，点A x 1,y 1 为双曲线C 在第一象限的右支上一点，以A 为切点作双曲线C 的切线交x 轴于点B ，若cos ∠F 1AF 2=12，且F 1B =2BF 2 ，则双曲线C 的离心率为()A.22B.5C.2D.31(22·23高三上·全国·阶段练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 上的一点M (异于顶点)，过点M 作双曲线C 的一条切线l .若双曲线C 的离心率e =233，O 为坐标原点，则直线OM 与l 的斜率之积为()A.13B.23C.32D.32(2022·全国·统考二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 与椭圆x 24+y 23=1．过椭圆上一点P -1,32作椭圆的切线l ，l 与x 轴交于M 点，l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于N 、Q ，且N 为MQ的中点，则双曲线C 的离心率为()。
(完整版)圆锥曲线离心率专题
圆锥曲线离心率专题训练1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．（0，]D．（0，]2．二次曲线时，该曲线离心率e的范围是（）A．B．C．D．3．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（）A．[，1）B．（，1）C．[，）D．（0，）4．双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣3，0）C．（﹣12，0）D．（﹣60，﹣12）5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围（）A．B．C．D．7．已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，1）9．椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b2，4b2]，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值范围为（）A．[2，+∞）B．（，+∞）C．[，+∞）D．（，+∞）11．已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线的距离之和为S，且S，则离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．13．已知方程x3+2ax2+3bx+c=0（a，b，c∈R）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是（）A．B．C．D．14．已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．15．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．16．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5：1，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，]B．（1，）C．（2，]D．（，2]17．椭圆+=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=a，且a∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[，1]B．[，]C．[，1）D．[，]18．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A．（0，）B．（）C．（0，）D．（，1）19．已知直线l：y=kx+2（k为常数）过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=4截得的弦长为L，若，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．20．双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．21．点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（）A．B．C．D．22．在椭圆上有一点M，F1，F2是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的范围是（）A．B．C．D．23．椭圆+y2=1上存在一点P，使得它对两个焦点F1，F2的张角∠F1PF2=，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．24．椭圆（a＞b＞0）上存在点P到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，C．D．25．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．26．设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点P，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．27．已知点F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，1+）B．（1，）C．（﹣1，1+）D．（1，2）28．如图，已知A（﹣2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=﹣2|CD|，E为AC上一点，且．又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点．若，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．29．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．30．已知P为椭圆（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若使△PF1F2为直角三角形的点P 有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，+∞）参考答案与试题解析1．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则椭圆离心率的取值范围是（）A．[，1）B．[，1）C．（0，]D．（0，]解：如图所示，下面证明椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点．设椭圆上任意一点P（x0，y0），则，可得．∴|OP|2==+=≥b2，当且仅当x0=0时取等号．∴椭圆的短轴的一个端点是到椭圆的中心距离最短的点．若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则c≥b，∴c2≥b2=a2﹣c2，化为，解得．又e＜1，∴．故选B．2．二次曲线时，该曲线离心率e的范围是（）A．B．C．D．解：∵m∈[﹣2，﹣1]，∴该曲线为双曲线，a=2，b2=﹣m，∴c=离心率e==∵m∈[﹣2，﹣1]，∴∈[，]，∴e∈故选C3．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（）A．[，1）B．（，1）C．[，）D．（0，）解：可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．设P（x，y），∵∠OPA=90°，∴点P在以OA为直径的圆上．该圆为：，化为x2﹣ax+y2=0．联立化为（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，则，解得，∵0＜x＜a，∴，化为c2＞b2=a2﹣c2，∴，又1＞e＞0．解得．∴该椭圆的离心率e的范围是．故选：C．4．双曲线的离心率e∈（1，2），则k的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣3，0）C．（﹣12，0）D．（﹣60，﹣12）解：∵双曲线的离心率e∈（1，2），∴双曲线标准方程为：﹣=1∴k＜0，∴1＜e2＜4，1＜＜4，﹣12＜k＜0，故答案选C5．设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，解得x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是e∈．故选A．6．已知椭圆的内接三角形有一个顶点在短轴的顶点处，其重心是椭圆的一个焦点，求该椭圆离心率e的取值范围（）A．B．C．D．解：不防设椭圆方程：（a＞b＞0），再不妨设：B（0，b），三角形重心G（c，0），延长BG至D，使|GD|=，设D（x，y），则，，由，得：，解得：，．而D是椭圆的内接三角形一边AC的中点，所以，D点必在椭圆内部，则．把b2=a2﹣c2代入上式整理得：．即．又因为椭圆离心率e∈（0，1），所以，该椭圆离心率e的取值范围是．故选B．7．已知椭圆x2+my2=1的离心率，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．解：椭圆x2+my2=1化为标准方程为①若1＞，即m＞1，，∴，∴，∴②若，即0＜m＜1，，∴，∴，∴∴实数m的取值范围是故选C．8．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，1）解：设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），其离心率为e1，双曲线的方程为﹣=1（m＞0，n＞0），|F1F2|=2c，∵有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，∴在椭圆中，|PF1|+|PF2|=2a，而|PF2|=|F1F2|=2c，∴|PF1|=2a﹣2c；①同理，在该双曲线中，|PF1|=2m+2c；②由①②可得a=m+2c．∵e2=∈（1，2），∴＜=＜1，又e1==，∴==+2∈（，3），故选C．9．椭圆的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b2，4b2]，则该椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜）则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，由已知得：3b2≤2ab≤4b2，∴3b≤2a≤4b，平方得：9b2≤4a2≤16b2，9（a2﹣c2）≤4a2≤16（a2﹣c2），5a2≤9c2且12a2≥16c2，∴≤≤即e∈故选B．10．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e1；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e2，则e1+e2的取值范围为（）D．（，+∞）A．[2，+∞）B．（，+∞）C．[，+∞）解：BD==，∴a1=，c1=1，a2=，c2=x，∴e1=，e2=，e1e2=1但e1+e2中不能取“=”，∴e1+e2=+=+，令t=﹣1∈（0，﹣1），则e1+e2=（t+），t∈（0，﹣1），∴e1+e2∈（，+∞）∴e1+e2的取值范围为（，+∞）．故选B．11．已知双曲线的焦距为2c，离心率为e，若点（﹣1，0）与点（1，0）到直线的距离之和为S，且S，则离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：直线l的方程为，即bx﹣ay﹣ab=0．由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离d1=，同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离．d2=，s=d1+d2==．由S，即得•a≥2c2．于是得4e4﹣25e2+25≤0．解不等式，得．由于e＞1＞0，所以e的取值范围是e∈．故选A．12．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，若存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值．由此可得：∵存在点P为椭圆上一点，使得∠F1PF2=60°，∴△P0F1F2中，∠F1P0F2≥60°，可得Rt△P0OF2中，∠OP0F2≥30°，所以P0O≤OF2，即b c，其中c=∴a2﹣c2≤3c2，可得a2≤4c2，即≥∵椭圆离心率e=，且a＞c＞0∴故选C13．已知方程x3+2ax2+3bx+c=0（a，b，c∈R）的三个实根可分别作为一椭圆，一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是（）A．B．C．D．解：设f（x）=x3+2ax2+3bx+c，由抛物线的离心率为1，可知f（1）=1+2a+3b+c=0，故c=﹣1﹣2a﹣3b，所以f（x）=（x﹣1）[x2+（2a+1）x+（2a+3b+1）]的另外两个根分别是一个椭圆一个双曲线的离心率，故g（x）=x2+（2a+1）x+（2a+3b+1），有两个分别属于（0，1），（1，+∞）的零点，故有g（0）＞0，g（1）＜0，即2a+3b+1＞0且4a+3b+3＜0，则a，b满足的可行域如图所示，由于，则P（﹣1，）而表示（a，b）到（0，0）的距离，且（0，0）到P（﹣1，）的距离为d=可确定的取值范围是（，+∞）．故答案为：A．14．已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解：设点P（x，y）是椭圆上的任意一点，则，化为．∴|PA|2=x2+（y﹣b）2===f（y），∵椭圆上的点P到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），由二次函数的单调性可知：f（y）在（﹣b，b）单调递减，∴，化为c2≤b2=a2﹣c2，即2c2≤a2，∴．又e＞0．∴离心率的取值范围是．故选：C．15．已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为α，且，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．（1，2）D．解：∵双曲线的焦点在x轴上，故其渐近线方程为y=x则tanα=∵，∴1＜tanα＜，即1＜＜∴1＜=＜3求得＜＜2故选B．16．已知双曲线﹣=1的两焦点为F1、F2，点P在双曲线上，∠F1PF2的平分线分线段F1F2的比为5：1，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，]B．（1，）C．（2，]D．（，2]解：根据内角平分线的性质可得=，再由双曲线的定义可得5PF2﹣PF2=2a，PF2=，由于PF2=≥c﹣a，∴≥c，≤．再由双曲线的离心率大于1可得，1＜e≤，故选A．17．椭圆+=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=a，且a∈[，]，则该椭圆离心率的取值范围为（）A．[，1]B．[，]C．[，1）D．[，]解：∵B和A关于原点对称∴B也在椭圆上设左焦点为F′根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c又|AF|=2csinα…②|BF|=2ccosα…③②③代入①2csinα+2ccosα=2a∴=即e==∵a∈[，]，∴≤α+π/4≤∴≤sin（α+）≤1∴≤e≤故选B18．已知椭圆的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A．（0，）B．（）C．（0，）D．（，1）解：在△PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：aPF1=cPF2设点P（x0，y0）由焦点半径公式，得：PF1=a+ex0，PF2=a﹣ex0则a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解得：x0==由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则＞﹣a，整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e＜﹣﹣1或e＞﹣1，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：e∈（﹣1，1），故选D．19．已知直线l：y=kx+2（k为常数）过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆x2+y2=4截得的弦长为L，若，则椭圆离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：圆x2+y2=4的圆心到直线l：y=kx+2的距离为d=∵直线l：y=kx+2被圆x2+y2=4截得的弦长为L，∴由垂径定理，得2，即，解之得d2≤∴≤，解之得k2∵直线l经过椭圆的上顶点B和左焦点F，∴b=2且c==﹣，即a2=4+因此，椭圆的离心率e满足e2===∵k2，∴0＜≤，可得e2∈（0，]故选：B20．双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：直线l的方程为+=1，即bx+ay﹣ab=0．由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离，同理得到点（﹣1，0）到直线l的距离.，．由，得．．于是得5≥2e2，即4e4﹣25e2+25≤0．解不等式，得≤e2≤5．由于e＞1＞0，所以e的取值范围是．故选D．21．点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（）A．B．C．D．解：取双曲线的其中一条渐近线：y=x，联立⇒；故A（，）．∵点A到抛物线C1的准线的距离为p，∴+=p；∴=．∴双曲线C2的离心率e===．故选：C．22．在椭圆上有一点M，F1，F2是椭圆的两个焦点，若，则椭圆离心率的范围是（）A．B．C．D．解：由椭圆定义可知：|MF1|+|MF2|=2a，所以…①，在△MF1F2中，由余弦定理可知…②又，…③，由①②③可得：4c2=4a2﹣4b2﹣2|MF1|•|MF2|cosθ．所以|MF1|•|MF2|cosθ=0．所以c≥b，即c2≥b2=a2﹣c2，2c2≥a2，，所以e∈．故选B．23．椭圆+y2=1上存在一点P对两个焦点F1，F2的张角∠F1PF2=，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．[，1）C．（0，]D．[，1）解：∵椭圆方程为：+y2=0，∴b2=1，可得c2=a2﹣1，c=∴椭圆的离心率为e=又∵椭圆上一点P，使得角∠F1PF2=，∴设点P的坐标为（x0，y0），结合F1（﹣c，0），F2（c，0），可得=（﹣c﹣x0，﹣y0），=（c﹣x0，﹣y0），∴=+=0…①∵P（x0，y0）在椭圆+y2=1上，∴=1﹣，代入①可得+1﹣=0将c2=a2﹣1代入，得﹣a2﹣+2=0，所以=，∵﹣a≤x0≤a∴，即，解之得1＜a2≤2∴椭圆的离心率e==∈[，1）．24．如果椭圆（a＞b＞0）上存在点P，使P到原点的距离等于该椭圆的焦距，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．（0，解：设P（x，y），∵P到原点的距离等于该椭圆的焦距，∴x2+y2=4c2①∵P在椭圆上，∴②联立①②得，∵0≤x2≤a2∴∴∴∴e∈故选C25．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解：①当点P与短轴的顶点重合时，△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，以F2P作为等腰三角形的底边为例，∵F1F2=F1P，∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，存在2个满足条件的等腰△F1F2P，此时a﹣c＜2c，解得a＜3c，所以离心率e当e=时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e且e≠时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P这样，总共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形综上所述，离心率的取值范围是：e∈（，）∪（，1）26．设A1、A2为椭圆的左右顶点，若在椭圆上存在异于A1、A2的点P，使得，其中O为坐标原点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．解：A1（﹣a，0），A2（a，0），设P（x，y），则=（﹣x，﹣y），=（a﹣x，﹣y），∵，∴（a﹣x）（﹣x）+（﹣y）（﹣y）=0，y2=ax﹣x2＞0，∴0＜x＜a．代入=1，整理得（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0 在（0，a ）上有解，令f（x）=（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，∵f（0）=﹣a2b2＜0，f（a）=0，如图：△=（a3）2﹣4×（b2﹣a2）×（﹣a2b2）=a2（a4﹣4a2b2+4b4）=a2（a2﹣2c2）2≥0，∴对称轴满足0＜﹣＜a，即0＜＜a，∴＜1，＞，又0＜＜1，∴＜＜1，故选D．27．已知点F1、F2分别是双曲线=1的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，1+）B．（1，）C．（﹣1，1+）D．（1，2）：解：根据双曲线的对称性，得△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角由此可得Rt△AF1E中，∠AEF＜45°，得|AF1|＜|EF1|∵|AF1|==，|EF1|=a+c∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2∵双曲线的离心率e＞1∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）故选D．28．如图，已知A（﹣2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=﹣2|CD|，E为AC上一点，且．又以A、B为焦点的双曲线过C、D、E三点．若，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．解：如图，以AB的垂直平分线为γ轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOγ，则CD⊥γ轴．因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于γ轴对称，设c为双曲线的半焦距（c=2），依题意，记，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得，．设双曲线的方程为，则离心率，由点C、E在双曲线上，将点C、E坐标和代入双曲线的方程，得，①．②由①式得，③将③式代入②式，整理得，故由题设得，，解得，所以，双曲线的离心率的取值范围为[]．故选A．29．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．解：把x=c代入椭圆的方程可得，解得．取A，则B，∵∠OBF=∠AOF﹣∠OFB，，=∴tanα=tan∠OBF=====，∵，∴，∴．解得．故选A．30．已知P为椭圆（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若使△PF1F2为直角三角形的点P 有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，）B ．（，1）C．（1，）D．（，+∞）解：①当PF1⊥x轴时，由两个点P满足△PF1F2为直角三角形；同理当PF2⊥x轴时，由两个点P满足△PF1F2为直角三角形．∵使△PF1F2为直角三角形的点P有且只有4个，∴以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，∴c＜b，∴c2＜b2=a2﹣c2，∴，又e ＞0，解得．故选A．21。
圆锥曲线中求离心率题解
23 ，2
A． 3 23 ，＋∞
D． 3
23 ，2
B． 3
23 ，＋∞
C． 3
解析：由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于
x 轴（或 y 轴）对称。由题意知有且只有一对这样的直线，故 该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小
于或等于60°，不失一般性，设双曲线方程
x2 a2
y2 b2
AB
1 的斜率为－ ，
2
所以
b2 a2
1 2
。由
a2＝b2＋c2
可知 a2
2b2
2a2
2c2 ，即 a2
2c2
，
再两边同时除以 a2 得 ( c )2 1 即 e2 1 ，所以 e 2 ，故选 D．
a2
2
2
例 5．[2015·新课标卷Ⅱ(理)] 已知 A，B 为双曲线 E 的左， 右顶点，点 M 在 E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°， 则 E 的离心率为（ ）
4a 2
8c 2
0
，又因
e
1，解得
e
2 2
,
1
。
解法 2：（利用 x 或 y 的有界性建立不等式）可知 F（1 c，0）F（2 c，0），
设
P（x，y），则有
F1P
(x
c,
y),
F2 P
(x
c,
y) 。由
F1PF2
90
知
F1P
F2 P
，
则
F1P
F2 P
0
，即 (x
c)( x
C． (2，5)
D． (2，5)
解析：根据题意可知 e2
高中数学《圆锥曲线的离心率问题》基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《圆锥曲线的离心率问题》基础知识与练习题（含答案解析）离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数,a c 之间的联系。
一、基础知识： 1、离心率公式：ce a=（其中c 为圆锥曲线的半焦距） （1）椭圆：()0,1e ∈ （2）双曲线：()1,+e ∈∞2、圆锥曲线中,,a b c 的几何性质及联系 （1）椭圆：222a b c =+，① 2a ：长轴长，也是同一点的焦半径的和：122PF PF a += ② 2b ：短轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距 （2）双曲线：222c b a =+① 2a ：实轴长，也是同一点的焦半径差的绝对值：122PF PF a −=② 2b ：虚轴长 ③ 2:c 椭圆的焦距3、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距。
从而可求解 （2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。
如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 二、典型例题：例1：设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ∠=，则椭圆的离心率为（ ） A ．33 B ．36C ．13D ．16思路：本题存在焦点三角形12PF F ，由线段1PF 的中点在y 轴上，O 为12F F 中点可得2PF y ∥轴，从而212PF F F ⊥，又因为1230PF F ∠=，则直角三角形12PF F 中，1212::2:1:3PF PF F F =，且12122,2a PF PF c F F =+=，所以12122323F F c c e a a PF PF ∴====+ 答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O 为12F F 中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点，则有可能与O 搭配形成三角形的中位线。
圆锥曲线离心率专题 历年真题
圆锥曲线离心率专题历年真题1.题目：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b<0)$的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是？答案：D.(2,+∞)改写：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b<0)$的右焦点为F。
过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此双曲线离心率的取值范围。
答案为D.(2,+∞)。
2.题目：过双曲线M:$x-\frac{y^2}{b^2}=1$的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且$|AB|=|BC|$，则双曲线M的离心率是？答案：$\frac{10}{3}$改写：双曲线M:$x-\frac{y^2}{b^2}=1$的左顶点为A。
作斜率为1的直线l过点A，与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且$|AB|=|BC|$，求双曲线M的离心率。
答案为$\frac{10}{3}$。
3.题目：方程$2x-5x+2=$的两个根可分别作为（）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率答案：无法确定改写：方程$2x-5x+2=$的两个根可分别作为哪些图形的离心率？答案无法确定。
4.题目：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线方程为$y=x$，则双曲线的离心率为？答案：$\frac{\sqrt{3}}{3}$改写：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线方程为$y=x$，求双曲线的离心率。
答案为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。
5.题目：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>2)$的两条渐近线的夹角为$\frac{\pi}{3}$，则双曲线的离心率为？答案：D.$\frac{3}{\sqrt{23}}$改写：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>2)$的两条渐近线的夹角为$\frac{\pi}{3}$，求双曲线的离心率。
圆锥曲线离心率求法专题训练-含答案
圆锥曲线离心率求法专题训练（一）1．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点P 在椭圆上，且1230PF F ∠=︒，2160PF F ∠=︒，则椭圆的离心率等于( )A 1B 1CD -2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过右焦点2F 相交于A ，B 两点，若满足223AF F B =，则椭圆的离心率为( )A ．35B ．12C D3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在点P ，使得12||3||PF PF =，其中1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是( ) A ．1[,1)4B ．1(,1)4C ．1(,1)2D ．1[,1)24．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使得12||||2PF PF b -=，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．1(0,]2B ．1[.1)2C ．D ．5．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆2222:1(0)x y a b a bΩ+=>>，且AB ，AD 斜率之积的取值范围为43(,)54--，则椭圆Ω的离心率的取值范围为( )A ．1)2B ．C ．1(4D ．11(,)546．在椭圆222211x y m m +=-，(1)m >的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且83ABO S ∆=，则椭圆的离心率为( )A ．13B ．12C ．2D ．167．已知椭圆C 的两个焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆交椭圆于点P ，且21122PF F PF F ∠=∠，则C 的离心率为( )A ．1-B ．2-CD 18．椭圆2222:1(0,0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆M 上任一点，且12||||PF PF ⋅最大值取值范围为2[2c ，23]c （其中222)c a b =-，则椭圆M 的离心率的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．11[,]32圆锥曲线离心率求法专题训练（二）1．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆上一点M 满足1260F MF ∠=︒，则该椭圆离心率取值范围是( )A ．1(0,]2B ．1[,1)2C ．D ．2．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P ，Q 是C 上位于x 轴上方的任意两点，且12//PF QF ．若12||||PF QF b +，则C 的离心率的取值范围是( )A ．1(0,]2B ．1[,1)2C ．D ．3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，一个顶点为(2,0)A ，设(,0)B t ，点P 是椭圆C上的动点，若||||PB AB 恒成立，则t 的取值范围是( )A ．1[0,]2B ．1[,)2+∞C ．[2-，2]D ．(2,)+∞4．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上下焦点分别为1F ，2F ，过1F 作双曲线渐近线的垂线1F P ，垂足为点P ，若1POF ∆2，则双曲线的离心率为( )A ．2BC D5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若△12AF F 的内切圆半径为3b，则双曲线的离心率为( )A B ．2CD ．36．设双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，M 为双曲线上一点，且2212MF A MAF MF A ∠=∠=∠，则双曲线的离心率为( )A ．2BCD ．37．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线为1l ，2l ，若双曲线C 的右支上存在一点P ，使得点P 到1l ，2l 的距离之和为b ，则双曲线C 离心率的取值范围是( )A ．)+∞B ．C ．[2，)+∞D ．(1，2]8．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足||2||AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．12e <<B ．312e <<C ．322e << D ．1e <<圆锥曲线离心率求法专题训练（三）1．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[6πα∈，]4π，则该椭圆离心率e 的取值范围为( )A ．[2B ．[2，1) C ．[21] D ．2．椭圆22110064x y +=的焦点为1F 、2F ，椭圆上的点P 满足1260F PF ∠=︒，则△12F PF 的面积是( )A B C D ．6433．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且90OPA ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围为( )A ． B ．(2 C ．2 D ．4．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足0FA FB =，||||2||FB FA FB ，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．B ．1)C ．1]D ．1，1)5．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，若P 为椭圆上一点，且12||3||PF PF =，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(0，1]3 B ．1[3，1) C ．(0，1]2 D ．1[2，1)6．设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,1)A -为椭圆E 内一点，若椭圆E 上存在一点P ，使得||||9PA PF +=，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A ．1[,1)2B ．11[,]32C ．11[,]54D ．12[,]237．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P 满足FP AP FA AP =-，则椭圆的离心率的取值范围为( )A ．1[,1)2B ．C ．D ．8．椭圆2221x y a +=上存在一点P ，使得它对两个焦点1F ，2F 的张角122F PF π∠=，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A ．(0B ．，1)C ．(0，1]2D ．1[2，1)圆锥曲线离心率求法专题训练（四）1．设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，(2,0)A c -，(2,0)B c ，如果椭圆上存在一点P ，使得AP BP ⊥，则离心率的取值范围为( )A ．1)2B ．4)5C ．D ．2．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为1F 、2F ，若椭圆上存在一点Q ，使12120FQF ∠=︒，椭圆离心率e 的取值范围为( )A 1e <B 1e <<C ．603e< D ．112e <<3．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．4．已知点1F ，2F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在点P 使得12||2||PF PF =，则此椭圆的离心率的取值范围是( )A ．1(0,)3 B ．(0，1]2 C ．1(3，1]2D ．1[3，1)5．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，则椭圆离心率的取值范围是( )A ． B ． C ．1(0,)2D ．1(,1)26．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且12||2F F c =，若椭圆上存在点M 使得1221sin sin a cMF F MF F =∠∠，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．1)B ．1)C ．D ．1，1)7．已知椭圆的左、右焦点为1F 、2F ，若椭圆上存在点P 使1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围为()A ．，1)B ．(0C ．1[2，1)D ．(0，1]28．设1F ，2F 为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足12120F PF ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围是( )A ． B ． C ． D ．圆锥曲线离心率求法专题训练（五）1．已知椭圆：22221(,0)x y a b a b+=>和圆222:O x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．若椭圆上存在点P ，使得0PA PB =，则椭圆离心率e 的取值范围是( )A ．1[2，1)B ．(0C．，1) D ．1[22．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为1F ，2F ，若双曲线上存在一点P ，满足12||3||PF PF =，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．12e << B ．12eC ．12e <D ．12e <3．设椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别是1F ，2F ，如果在椭圆上存在一点p ，使12F PF ∠为钝角，则椭圆离心率的取值范围是 ．4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若双曲线上存在一点P 使21||||PF aPF c=，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．5．已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)xy a b ab-=>>的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 使得221||8||PF a PF =，则双曲线的离心率的取值范围是 ．圆锥曲线离心率求法专题训练（一）1．（2021秋•昌邑区校级期中）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点P 在椭圆上，且1230PF F ∠=︒，2160PF F ∠=︒，则椭圆的离心率等于( )A1B1CD-解：1230PF F ∠=︒，2160PF F ∠=︒，12||2F F c =，∴△12PF F 是直角三角形，2||PF c =，1||PF =，由椭圆的定义可得，12||||2PF PF a +=，∴2c a +=，∴1c e a ==．故选：B ． 2．（2021秋•平城区校级月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，过右焦点2F的直线与椭圆相交于A ，B 两点，若满足223AF F B =，则椭圆的离心率为( ) A ．35B ．12C．2D解：设直线方程为x y c +，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，与椭圆方程联立得222241()02a b y cy b +-=，12222y y a b+=+4122212b y y a b =-+①223AF F B =，1(c x ∴-，12)3(y x c -=-，2)y ，得123y y =-②，由①②联立可得，22213242a b c +=，即22222323c a b a c =+=-，得2243c a =，椭圆的离心率c e a ==D ． 3．（2021秋•青羊区校级月考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上存在点P ，使得12||3||PF PF =，其中1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是( )A ．1[,1)4B ．1(,1)4C ．1(,1)2D ．1[,1)2解：12||3||PF PF =，又点P 在椭圆上，∴由椭圆的定义可得，12||||2PF PF a +=， 2||2a PF ∴=，点P 在椭圆上，2||PF a c ∴-，∴2a a c -，即12ce a=， 又1e <，∴112e <，故椭圆的离心率取值范围是1[,1)2．故选：D ． 4．（2021秋•五华区校级月考）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使得12||||2PF PF b -=，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．1(0,]2B ．1[.1)2C． D． 解：由题意可得122||||2c PF PF c --，由题意可得22b c ，而222b a c =-，c e a=， 所以可得：22e，而(0,1)e ∈，故选：D ． 5．（2021春•河南期中）已知平行四边形ABCD 内接于椭圆2222:1(0)x y a b a bΩ+=>>，且AB ，AD 斜率之积的取值范围为43(,)54--，则椭圆Ω的离心率的取值范围为( )A．1)2B． C．1(4D ．11(,)54解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由平行四边形对角线互相平分可得A 与C ，B 与D 关于原点对称， 所以可得2(D x -，2)y -，所以2221121222211212AB ADy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-， 将A ，B 的坐标代入可得22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减可得22221212220x x y y a b --+=， 可得2221222212y y b x x a -=--，由题意可得：224354b a -<-<-，即223445b a <<， 可得：2234145c a <-<，解得：c e a =∈，1)2，故选：A ．6．（2021秋•洛南县校级月考）在椭圆222211x y m m +=-，(1)m >的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且83ABO S ∆=，则椭圆的离心率为( )A ．13B ．12CD ．16解：由椭圆的方程可得22a m =，221b m =-，所以2221c a b =-=，可得1c =，设A 的坐标为0(,)c y ，则220221y c a b +=，所以20||b y a =，所以20182||23AOB b S c y c a ∆=⋅⋅=⋅=，可得3a =，所以离心率13c e a ==，故选：A ．7．（2021•迎江区校级三模）已知椭圆C 的两个焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆交椭圆于点P ，且21122PF F PF F ∠=∠，则C 的离心率为( )A．1-B．2-CD1解：在△12F PF 中，1290F PF ∠=︒，2160PF F ∠=︒设2||PF m =，则1212||2,||c F F m PF ===，又由椭圆定义可知122||||1)a PF PF m =+=则离心率212c c e a a ===，故选：D ． 8．（2021•新华区校级开学）椭圆2222:1(0,0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆M 上任一点，且12||||PF PF ⋅最大值取值范围为2[2c ，23]c （其中222)c a b =-，则椭圆M 的离心率的取值范围是( )A ．2B ．[2C ．D ．11[,]32解：由题意的定义可得：12||||2PF PF a +=， 再由均值不等式可得：2221212||||2||||()()22PF PF aPF PF a +⋅==，12||||PF PF ⋅的最大值为2a ，由题意可得22223c a c 可得21132e，解得22e ，故选：A ． 圆锥曲线离心率求法专题训练（二）1．（2021•安徽开学）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，椭圆上一点M 满足1260F MF ∠=︒，则该椭圆离心率取值范围是( )A ．1(0,]2B ．1[,1)2C ．D ． 解：设11||MF r =，22||MF r =，由余弦定理得：222121212||||||2||||cos60F F MF MF MF MF =+-︒，∴22212124r r r r c +-=，又122r r a +=，即222121224r r r r a ++=，解得222212483a c r r ++=，2212443a c r r -=，2212122r r r r +，∴2222488833a c a c +-， 得224c a ，01e <<，∴1[,1)2e ∈．故选：B ．2．（2021秋•河北月考）已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P ，Q 是C 上位于x 轴上方的任意两点，且12//PF QF ．若12||||PF QF b +，则C 的离心率的取值范围是( )A ．1(0,]2B ．1[,1)2C ．D ． 解：如图，延长1PF ，交椭圆C 于M ，根据椭圆的对称性可知，21||||QF F M =，则1211||||||||||PF QF PF MF PM +=+=，因为焦点弦||PM 的最小值为22b a ，由题意可知，22b b a ，所以12b a ，则2302e <=．所以C 的离心率的取值范围．故选：C ．3．（2021春•泗县校级期末）已知椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，一个顶点为(2,0)A ，设(,0)B t ，点P 是椭圆C 上的动点，若||||PB AB 恒成立，则t 的取值范围是( )A ．1[0,]2B ．1[,)2+∞C ．[2-，2]D ．(2,)+∞解：由已知可得1c =，2a =，则2223b a c =-=，所以22143x y +=，设0(P x ，0)y ，则2200143x y +=，所以220003(22)4x y x =--，若||||PB AB 恒成立，则||2||2PB AB 恒成立，所以200()2(2)2x t y t -+-，整理可得000(2)(2)(2)8x x t x -+-，当02x =时，不等式恒成立，当022x -<，不等式可化为028x t+恒成立，因为021()82max x +=，所以12t ， 综上，t 的取值范围是1[2，)+∞．故选：B ．4．（2021秋•南充月考）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上下焦点分别为1F ，2F ，过1F 作双曲线渐近线的垂线1F P ，垂足为点P ，若1POF ∆23，则双曲线的离心率为( ) A ．2B 3C 39D 23解：焦点1(0,)F c ，设曲线的渐近线的方程为ay x b=，因为1F P OP ⊥， 所以直线1F P 的方程为b y c x a -=-，即a y x c b =+，联立b y x c aa y xb ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得ab x c =，所以121322OPF ab ab Sc c =⋅⋅=，所以3b a =2222232311()3c c b e a a a ===+=+， 故选：D ．5．（2021秋•许昌月考）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若△12AF F 的内切圆半径为3b，则双曲线的离心率为( )A ．3B ．2C ．5D ．3解：设双曲线的左、右焦点，1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 可得直线2AF 的方程()by x c a =-，联立双曲线22221(0)x y b a a b -=>>，可得22(2c a A c +，22())2b a c ac -，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的面积的等积法可得，2211()(2)22322b b c a m n c c ac-⋅++=⋅⋅，化简可得2332c m n a c a+=--①，由双曲线的定义可得2m n a -=②，在三角形12AF F 中，22()sin 2b c a n ac θ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan b a θ=，22sin cos 1θθ+=，可得22sin b b c a bθ==+，可得222c a n a -=③， 由①②③化简可得2220c ac a --=，()(2)0c a c a +-=，所以c a =-（舍)，2c a =，所以离心率2ce a==， 故选：B ．6．（2021秋•南宁月考）设双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，M 为双曲线上一点，且2212MF A MAF MF A ∠=∠=∠，则双曲线的离心率为( ) A ．2BCD ．3解：因为22MF A MAF ∠=∠，所以2||||AM MF =+，故M 在2AF 中垂线上，则M 在曲线右支上， 所以21112MAF MF A AMF MF A ∠=∠+∠=∠，所以11MF A AMF ∠=∠，所以1||||AF AM =， 所以12||||AF MF =，(,0)A a ，2(,0)F c ，故2M a cx +=，22||M MF c a a x c=-， 所以22||()2c a c a MF a c +=⋅-，1||AF c a =+，所以2()2c a c a c a a c+⋅-=+，即22ac c a c a a +-=+，即2242ac c a ac +=+，所以2()42c c c a a a+=+⋅，即240e e --=，所以e =1e >，所以e =B ． 7．（2021•浙江开学）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线为1l ，2l ，若双曲线C 的右支上存在一点P ，使得点P 到1l ，2l 的距离之和为b ，则双曲线C 离心率的取值范围是( ) A．)+∞B．C ．[2，)+∞D ．(1，2]解：由题意可得直线1l ，2l 的方程分别为：0bx ay +=，0bx ay -=，设0(P x ，0)y ，则2200221x y a b-=，所以22222200b x a y a b -=，即220000()()bx ay bx ay a b +-=， 所以220000a b bx ay bx ay +=-，设P 到直线1l ，2l 的距离分别为1d ，2d，则001||bx ay d c +==， 同理可得：002||bx ay d c-=， 由题意两点22002200000012||||||||22a b bx ay bx ay bx ay bx ay a b abd d c cc c +-++--+===， 当且仅当22200()bx ay a b -=，即00bx ay ab -=±，时取等号，由题意可得2ab b c ，所以可得2ca ，故选：C ．8．（2021秋•恩施州月考）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足||2||AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．12e <<B ．312e <<C ．322e << D ．3312e +<<解：如图，(,0)F c ，把x c =代入22221x y a b -=，得2b y a =±，不妨设B 在第一象限，则2(,)b B c a ，由题意可得22b a c a +>，即2222()a ac c a +>-，可得2230e e --<，解得：312e -<<．又1e >，∴双曲线离心率e 的取值范围是312e <<．故选：B ．圆锥曲线离心率求法专题训练（三）1．（2021•江西模拟）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且[6πα∈，]4π，则该椭圆离心率e 的取值范围为( )A ．2[3B ．2[，1) C ．2[31] D ．3[6 解：由已知，点B 和点A 关于原点对称，则点B 也在椭圆上，设椭圆的左焦点为1F ，则根据椭圆定义：1||||2AF AF a +=，根据椭圆对称性可知：1||||AF BF =，因此||||2AF BF a +=①；因为AF BF ⊥，则在Rt ABF ∆中，O 为斜边AB 中点，则||2||2AB OF c ==，那么||2sin AF c α=②，||2cos BF c α=③；将②、③代入①得，2sin 2cos 2c c a αα+=，则离心率11sin cos 2)4c e a πααα===++，由[6πα∈，]4π，5[412ππα+∈，]2π，由562sin 12π+62sin()[4πα++∈1]，则2[e ∈31]，故选：C ．2．（2020秋•潞州区校级期末）椭圆22110064x y +=的焦点为1F 、2F ，椭圆上的点P 满足1260F PF ∠=︒，则△12F PF 的面积是( )A 643B 913C 163D ．643 解：椭圆22110064x y +=的焦点为1F 、2F ，椭圆上的点P 满足1260F PF ∠=︒，∴由椭圆定义得：12||||20PF PF +=，221212||||2||||400PF PF PF PF ∴++=，① 由余弦定理得：22121212||||2||||cos 436PF PF PF PF F PF +-∠=⨯，② 联立①②，得：12256||||3PF PF =，∴△12F PF 的面积是12112563643||||sin 60223S PF PF =︒=⨯=故选：A ．3．（2020秋•尖山区校级月考）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，且90OPA ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围为( ) A ．3(B ．2(C ．2D ．3 解：设(,)P x y ，90OPA ∠=︒，∴点P 在以OA 为直径的圆上．该圆为：22()(2a x y -+=2)2a，化为220x ax y -+=．联立椭圆方程可化为222322()0b a x a x a b -+-=，解得22P ab x c=，0x a <<，220ab a c ∴<<，化为2222c b a c >=-，212e ∴>，又10e >>21e <<．故选：B ．4．（2020•镇海区校级模拟）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足0FA FB =，||||2||FB FA FB ，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A ．2[5B ．5[1) C ．2[31] D ．[31，1)解：作出椭圆的左焦点F '，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF '为平行四边形， 又0FA FB =，即FA FB ⊥，故平行四边形AFBF '为矩形，||||2AB FF c '∴==，设AF n '=，AF m =，则在直角三角形ABF 中，2m n a +=，2224m n c +=，① 得22mn b =，②①÷②得222m n c n m b +=，令mt n=，得2212c t t b +=，又由||||2||FB FA FB ，得[1m t n =∈，2]，2212[2c t t b ∴+=∈，5]2，即22[1c b ∈，5]4即22514c b ，得22415b c ， 即222415a c c -，即224115a c -，则22925a c ，即221529c a ，得1529e 得2523e 则椭圆的离心率的取值范围是2[2，5]3，故选：A ．5．（2020•永康市模拟）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F ，若P 为椭圆上一点，且12||3||PF PF =，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(0，1]3B ．1[3，1)C ．(0，1]2D ．1[2，1)解：P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 为椭圆焦点，且12||3||PF PF =，可得12||||2PF PF a +=，13||2PF a a c =+，12e ∴．∴椭圆离心率的范围是1[2，1)故选：D ．6．（2018•恩施州一模）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,1)A -为椭圆E 内一点，若椭圆E 上存在一点P ，使得||||9PA PF +=，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A ．1[,1)2B ．11[,]32C ．11[,]54D ．12[,]23解：记椭圆的左焦点为1(1,0)F -，则1||1AF =，11||||||PF PA AF +，112||||||||||1910a PF PF PA AF PF ∴=++++=，即5a ；11||||||PF PA AF -，112||||||||||918a PF PF PA AF PF ∴=+-+-=，即4a ，45a ∴，∴11[,]54c a ∈故选：C ．7．（2020秋•安顺期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c ，上顶点为(0,)A b ，直线2a x c=上存在一点P 满足FP AP FA AP =-，则椭圆的离心率的取值范围为( )A ．1[,1)2B ．2[C ．51[-D ．2] 解：设2(a P c ，)y ，由FP AP FA AP =-，可得()0FP FA AP +=，则2(a FP FA c c+=-，)(y c +-，2)(2a b c c =-，)y b +，2(a AP c =，)y b -，所以由()0FP FA AP +=，可得：22(2)()()0a a c y b y b c c -++-=，可得：4222220a a b y c--=-，整理可得：4222222()0a a c a c c ---，即42310e e -+，235352e -+，即51512e-+，由于椭圆的离心率小于1511e -<， 故选：C ．8．（2012•西安一模）椭圆2221x y a +=上存在一点P ，使得它对两个焦点1F ，2F 的张角122F PF π∠=，则该椭圆的离心率的取值范围是( ) A ．(02B ．2[，1) C ．(0，1]2D ．1[2，1)解：椭圆方程为：2220x y a +=，21b ∴=，可得221c a =-，21c a =-椭圆的离心率为21a e -=又椭圆上一点P ，使得角122F PF π∠=，∴设点P 的坐标为0(x ，0)y ，结合1(,0)F c -，2(,0)F c ，可得10(PF c x =--，0)y -，20(PF c x =-，0)y -，∴22212000PF PF x c y =-+=⋯① 0(P x ，0)y 在椭圆2221x y a+=上，∴220021x y a =-，代入①可得22200210x x c a -+-=将221c a =-代入，得22200220x x a a --+=，所以4220221a a x a -=-，0a x a -∴220x a ，即4222201a a a a --，解之得22a ∴椭圆的离心率221121[a e a -=-，1)．圆锥曲线离心率求法专题训练（四）1．（2015秋•南关区校级期末）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，(2,0)A c -，(2,0)B c ，如果椭圆上存在一点P ，使得AP BP ⊥，则离心率的取值范围为( )A ．1)2B ．4)5C ．D ． 解：椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，焦距为2c ，(2,0)A c -，(2,0)B c ，椭圆上存在一点P ，使得AP BP ⊥，∴设(cos ,sin )P a b αα，则(cos 2,sin )AP a c b αα=+，(cos 2,sin )BP a c b αα=-，AP BP ⊥，∴22222cos 4sin 0AP BP a c b αα=-+=，22222222444c a cos b sin e a a θθ+∴==222222sin 4a cos a sin c a θθθ+-=22224a c sin a θ-=，02θπ<<，∴当0θ→时，12e =；当2πθ=时，e =，∴离心率的取值范围为1)2．2．（2013秋•安吉县校级月考）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点为1F 、2F ，若椭圆上存在一点Q ，使12120FQF ∠=︒，椭圆离心率e 的取值范围为( )A 1e <B 1e <<C ．603e< D ．112e << 解：椭圆的焦点在x 轴，设椭圆的上顶点为A ，椭圆上存在一点Q ，12120FQF ∠=︒，160F AO ∴∠︒， 1tan 3c F AO b∴∠=，∴33b c∴2222222113b a c a c c c -==-，故2234c a ，32ce a ∴=，又1e <．∴1e <．故选：A ． 3．（2020•池州模拟）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．B ．C ．D ． 解：由12PF PF ⊥，知△12F PF 是直角三角形，||OP c b ∴=，即222c a c -，2ac ∴，ce a=，01e <<，∴1e <，故选：C ．4．（2015秋•晋安区校级期末）已知点1F ，2F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆上存在点P使得12||2||PF PF =，则此椭圆的离心率的取值范围是( ) A ．1(0,)3B ．(0，1]2C ．1(3，1]2D ．1[3，1)解：由题意设12||2||2PF PF x ==，则22x x a +=，解得23a x =，故14||3a PF =，22||3a PF =，当P 与两焦点1F ，2F 能构成三角形时，由余弦定理可得222121644242cos 9933a a a ac F PF =+-⨯⨯⨯∠，由12cos (1,1)F PF ∠∈-可得222212201644cos (999a a a c F PF =-∠∈，236)9a ，即222436499a a c <<，∴22119c a <<，即2119e <<，∴113e <<； 当P 与两焦点1F ，2F 共线时，可得2()a c a c +=-，解得13c e a ==；综上可得此椭圆的离心率的取值范围为1[3，1)故选：D ．5．（2015秋•西城区期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．2(0,)2 B ．2(,1)2 C ．1(0,)2D ．1(,1)2解：如图，当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角12F PF ∠渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点0P 处时，张角12F PF ∠达到最大值．由此可得：椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，∴△012P F F 中，10290F P F ∠>︒，Rt ∴△02P OF 中，0245OP F ∠>︒， 所以02P O OF <，即b c <，222a c c ∴-<，可得222a c <，22e ∴>，01e <<，∴212e <<．故选：B ．6．（2018秋•城厢区校级期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且12||2F F c =，若椭圆上存在点M 使得1221sin sin a cMF F MF F =∠∠，则该椭圆离心率的取值范围为( ) A ．(0,21)- B ．2(2，1) C ．2(0,)2D ．(21-，1)解：在△12MF F 中，由正弦定理可得，122112||||sin sin MF MF MF F MF F =∠∠， 又1221sin sin a cMF F MF F =∠∠，即有1222||2||||||MF a MF c a MF MF -==，解得222||a MF a c=+， 由于2||a c MF a c -<<+，即有22()()2()a c a c a a c -+<<+，即为2222a c a -<，显然成立； 又2a a c <+，即有(21)c a >-，则离心率(21ce a=∈-，1)．故选：D ．7．已知椭圆的左、右焦点为1F 、2F ，若椭圆上存在点P 使1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围为()A ．3[2，1) B ．(0，3]2 C ．1[2，1) D ．(0，1]2解：如图，当动点P 在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角12F PF ∠渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点0P 处时，张角12F PF ∠达到最大值．存在点P 为椭圆上一点， 使得1260F PF ∠=︒，∴△012P F F 中，10260F P F ∠︒， Rt ∴△02P OF 中，0230OP F ∠︒，所以023P OOF ，即3b c ，2223a c c ∴-，可得224a c ，∴12ca ，01e <<，∴112e <．故选：C ． 8．（2015•怀化二模）设1F ，2F 为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 满足12120F PF ∠=︒，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A ．3[,1)2B ．3(,1)2C ．3(0,)2D ．3(0,]2解：1(,0)F c -，2(,0)F c ，0c >，设1(P x ，1)y ，则11||PF a ex =+，21||PF a ex =-．在△12PF F 中，由余弦定理得2221111()()41cos12022()()a ex a ex c a ex a ex ++--︒=-=+-，解得2221243c a x e -=．21(0x ∈，2]a ，2222430c a a e -∴<，即22430c a -．且21e <32c e a ∴=． 故椭圆离心率的取范围是3[,1)2e ∈．故选：A ．圆锥曲线离心率求法专题训练（五）1．（2013•天心区校级二模）已知椭圆：22221(,0)x y a b a b+=>和圆222:O x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ．若椭圆上存在点P ，使得0PA PB =，则椭圆离心率e 的取值范围是( )A ．1[2，1) B ．(0，]2 C．[2，1) D ．1[2，2解：由0PA PB =，可得90APB ∠=︒，利用圆的性质，可得||OP =，222||2OP b a ∴=，222a c ∴ 212e ∴，01e <<∴1e <故选：C ．2．（2017秋•海淀区校级期末）若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两个焦点为1F ，2F ，若双曲线上存在一点P ，满足12||3||PF PF =，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．12e <<B ．12eC ．12e <D ．12e <解根据双曲线定义可知12||||2PF PF a -=，即223||||2PF PF a -=．2||a PF ∴=，1||3PF a = 在△12PF F 中，1212||||||F F PF PF <+，224||c PF <，22||2c PF a <=，∴2ca<， 当p 为双曲线顶点时，2ca=又双曲线1e >，12e ∴<故选：C ． 3．（2016秋•双台子区校级期中）设椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别是1F ，2F ，如果在椭圆上存在一点p ，使12F PF ∠为钝角，则椭圆离心率的取值范围是． 解：设0(P x ，0)y ，则0||x a <，又12F PF ∠为钝角，当且仅当120PF PF <有解， 即22200c x y >+有解，即22200()minc x y >+．又2222002b y b x a =-，2222220002[c x y b x b a∴+=+∈，2)a ，即2220()minx y b +=．故22c b >，222c a c >-，∴2212c a >，即e >，又01e <<，∴1e <<．故答案为：． 4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，若双曲线上存在一点P 使21||||PF aPF c=，则该双曲线的离心率的取值范围是1] ． 解：21||||PF aPF c=，P ∴在双曲线右支，设P 点的横坐标为o x ，注意到o x a ． 由双曲线第二定义得：1||o PF a ex =+，2||o PF ex a =-，则有00ex a a a ex c -=+，得()o a a c x a ec ea+=-，分子分母同时除以a ，得：2a ca e e+-，∴211ee e+-，解得121e<+．故答案为：(11]．5．（2012•江苏模拟）已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)xy a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 使得221||8||PF a PF =，则双曲线的离心率的取值范围是 (1，3] ． 解：P 为双曲线左支上一点，12||||2PF PF a ∴-=-，21||||2PF PF a ∴=+，①又221||8||PF a PF =，②∴由①②可得，1||2PF a =，2||4PF a =．1212||||||PF PF F F ∴+，即242a a c +，∴3c a ，③ 又1122||||||PF F F PF +>，224a c a ∴+>，∴1ca>．④ 由③④可得13c a <． 故答案为：(1，3]．。
高考复习圆锥曲线中的离心率问题（含详细答案）
圆锥曲线中的离心率问题（答案）圆锥曲线中的离心率问题（答案）一、直接求出a 、c ，求解e 已知标准方程或a 、c 易求时，可利用离心率公式ace =来求解。
来求解。
例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（的离心率是（ ）A. 10B. 5C. 310D. 25 分析：这里的1b ，c 1a 2+==，故关键是求出2b ，即可利用定义求解。
，即可利用定义求解。
解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。
直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b ,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ac e ==，从而选A 。
二、变用公式，整体求出e 例2. 已知双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的一条渐近线方程为x 34y =，则双曲线的离心率为（心率为（ ）A. 35B. 34C. 45D. 23 分析：本题已知=a b 34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。
，可用整体代入套用公式。
解：由22222222k 1a b 1a b a ab a ace +=+=+=+==（其中k 为渐近线的斜率）。
这里34a b =，则35)34(1a c e 2=+==，从而选A 。
三、第二定义法三、第二定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e 是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。
距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。
例 3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（则该椭圆的离心率为（ ）A. 2B. 22C. 21D. 42解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F ，则x F M ^轴，知|MF|是通径的一半，则有22|MF |=。
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1．（福建卷）已知双曲线(a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2)B. (1,2]C.[2,+∞)D.(2,+∞)2．（湖南卷）过双曲线M:的左顶点A 作斜率为1的直线,若与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( )A. B. C. D.3．（辽宁卷）方程的两个根可分别作为（ ）Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率Ｂ．两抛物线的离心率Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率Ｄ．两椭圆的离心率4．（全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )325．(陕西卷)已知双曲线x2a2－y22 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为π3,则双曲线的离心率为 A.2 B. 3 C.263 D.2336.(全国卷)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）7.（广东卷）若焦点在x 轴上的椭圆的离心率为，则m=()（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）8.（福建卷）已知F 1、F 2是双曲线的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．9．[全国]设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则该双曲线的离心率（）A．B．C．D．10．（福建理）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A．B．C．D．11．（重庆理）已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为：（）A．B．C．D．12.（福建卷11)又曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（）A.(1,3)B. C.(3,+)D.13.（江西卷7）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D．14.（全国二9）设，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．15.（陕西卷8）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．16.（天津卷（7）设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）（A）（B）（C）（D）17.（江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=．18.（全国一15）在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．19、（全国2理11）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。
若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为( ) (A)(B)(C)(D)20、（全国2 文11）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．21、（安徽理9）如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）22、（北京文4）椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．23、（江苏3）在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（）A．B．C．D．24、（江西理9文12）设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（）Ａ．必在圆内Ｂ．必在圆上Ｃ．必在圆外Ｄ．以上三种情形都有可能25、（福建理14）已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为__________；26、（福建文15）已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为。
27.(江西)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( )A.14B.55 C.12 D.5－228．(全国)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )A.2B.3C．2 D．329．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为________．30．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A.2B.3C.3＋12D.5＋1231．已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△AB E是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2，＋∞)32．已知双曲线x2a2－y2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．离心率专题解析1.解析：双曲线的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴≥，离心率e 2=，∴ e ≥2，选C2.解析：过双曲线的左顶点(1，0)作斜率为1的直线：y=x －1, 若与双曲线的两条渐近线分别相交于点, 联立方程组代入消元得，∴，x 1+x 2=2x 1x 2，又,则B 为AC 中点，2x 1=1+x 2，代入解得，∴ b 2=9，双曲线的离心率e=，选A.3.解：方程的两个根分别为2，，故选A4.解析:双曲线焦点在x 轴,由渐近线方程可得,故选A5.解：双曲线(a>2)的两条渐近线的夹角为π3，则，∴a2=6，双曲线的离心率为233，选D．6.D7.B8. D9.C 10. A 11. B12.B 13.C 14 B 15.B 16.B 17.18.19.解．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。
若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中，，∴离心率，选B。
20.解．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴，椭圆的离心率，选D。
21.解析：如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c，∴，双曲线的离心率为，选D。
22.解析：椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，，，则，该椭圆离心率e≥，选D。
23.解析：由，选A24.解析：由=得a=2c ，b=，所以，所以点到圆心（0，0）的距离为，所以点P 在圆内，选A25.解析：设c=1，则26.解析：由已知C=2，27.答案 B 解析 由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ， 且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2，所以e 2＝15，所以e ＝55. 28．答案 B 解析 设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，由于直线l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l 的方程为l ：x ＝c 或x ＝－c ，代入x2a2－y2b2＝1得y 2＝b 2(c2a2－1)＝b4a2，∴y ＝±b2a ，故|AB |＝2b2a ，依题意2b2a ＝4a ，∴b2a2＝2，∴c2－a2a2＝e 2－1＝2，∴e ＝3. 29．解析 如图，∠B 1F 1B 2＝60°，则c ＝3b ，即c 2＝3b 2，由c 2＝3(c 2－a 2)，得c2a2＝32，则e ＝62. 30．解析 设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，而k BF ＝－b c ，∴b a ·(－b c)＝－1，整理得b 2＝ac . ∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D. 31．解析 根据双曲线的对称性，若△ABE 是钝角三角形，则只要0<∠BAE <π4即可．直线AB ：x ＝－c ，代入双曲线方程得y 2＝b4a2，取点A ⎝⎛⎭⎫－c ，b2a ，则|AF |＝b2a ，|EF |＝a ＋c ，只要|AF |>|EF |就能使∠BAE <π4，故b2a >a ＋c ，即b 2>a 2＋ac ，即c 2－ac －2a 2>0，即e 2－e －2>0，得e >2或e <－1，又e >1，故e >2.故选D.32．解析 由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a .又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a2＋49a2－4c22·83a ·23a＝178－98e2.要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，。