知识点集合与常用逻辑用语
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知识点——集合与常用逻辑用语【知识梳理】
一、集合及其运算
1.集合与元素
(1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种,用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集
符号N N*(或N+)Z Q R
2.集合间的基本关系
关系自然语言符号语言Venn图
子集集合A中所有元素都在集合B中(即若
x∈A,则x∈B)
A⊆B
(或B⊇A)
真子集集合A是集合B的子集,且集合B中
至少有一个元素不在集合A中
A⊊B
(或B⊋A)
集合相等集合A,B中的元素相同或集合A,B
互为子集
A=B
3.集合的基本运算
运算自然语言符号语言Venn图
交集由属于集合A且属于集合B
的所有元素组成的集合
A∩B={x|x∈A且x∈B}
并集由所有属于集合A或属于集
合B的元素组成的集合
A∪B={x|x∈A或x∈B}
补集由全集U中不属于集合A的
所有元素组成的集合
∁U A={x|x∈U且x∉A}
【知识拓展】
1.若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n-1. 2.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.
3.A∩(∁U A)=∅;A∪(∁U A)=U;∁U(∁U A)=A.
二、命题及其关系、充分条件与必要条件
1.四种命题及相互关系
2.四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件与必要条件
(1)如果p ⇒q ,则p 是q 的充分条件,同时q 是p 的必要条件; (2)如果p ⇒q ,但q
p ,则p 是q 的充分不必要条件;
(3)如果p ⇒q ,且q ⇒p ,则p 是q 的充要条件; (4)如果q ⇒p ,且p q ,则p 是q 的必要不充分条件; (5)如果p q ,且q
p ,则p 是q 的既不充分也不必要条件.
【知识拓展】
1.两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性. 2.若A ={x |p (x )},B ={x |q (x )},则 (1)若A ⊆B ,则p 是q 的充分条件; (2)若A ⊇B ,则p 是q 的必要条件; (3)若A =B ,则p 是q 的充要条件; (4)若A ⊊B ,则p 是q 的充分不必要条件; (5)若A ⊋B ,则p 是q 的必要不充分条件; (6)若A B 且A ⊉B ,则p 是q 的既不充分也不必要条件.
【易错提醒】
1.描述法表示集合时,一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如:{x |y =lg x }——函数的定义域;{y |y =lg x }——函数的值域;{(x ,y )|y =lg x }——函数图象上的点集.
2.易混淆0,∅,{0}:0是一个实数;∅是一个集合,它含有0个元素;{0}是以0为元素的单元素集合,但是0∉∅,而∅⊆{0}.
3.集合的元素具有确定性、无序性和互异性,在解决有关集合的问题时,尤其要注意元素的互异性. 4.空集是任何集合的子集.由条件A ⊆B ,A ∩B =A ,A ∪B =B 求解集合A 时,务必分析研究A =∅的情况. 5.区分命题的否定与否命题,已知命题为“若p ,则q ”,则该命题的否定为“若p ,则q ⌝”,其否命题为“若p ⌝,则q ⌝”.
6.对充分、必要条件问题,首先要弄清谁是条件,谁是结论.
【必会习题】
1.已知集合A={1,3,m},B={1,m},A∪B=A,则m等于()
A.0或 3 B.0或3 C.1或 3 D.1或3
答案 B
解析∵A∪B=A,∴B⊆A,∴m∈{1,3,m},∴m=1或m=3或m=m,
由集合中元素的互异性易知m=0或m=3.
2.设集合A={x|1 A.{a|a≥2} B.{a|a≤1} C.{a|a≥1} D.{a|a≤2} 答案 A 解析若A⊆B,则a≥2,故选A. 3.已知集合M={x|-3 A.{x|-3 解析在数轴上表示集合M、N,则M∪N={x|x<-5或x>-3},故选C. 4.满足条件{a}⊆A⊆{a,b,c}的所有集合A的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D 解析满足题意的集合A可以为{a},{a,b},{a,c},{a,b,c},共4个. 5.已知集合U=R(R是实数集),A={x|-1≤x≤1},B={x|x2-2x<0},则A∪(∁U B)等于() A.[-1,0] B.[1,2] C.[0,1] D.(-∞,1]∪[2,+∞) 答案 D 解析B={x|x2-2x<0}=(0,2), A∪(∁U B)=[-1,1]∪(-∞,0]∪[2,+∞)=(-∞,1]∪[2,+∞),故选D. 6.“x<0”是“ln(x+1)<0”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析ln(x+1)<0,解得0 ∴-1 7.给出以下四个命题: ①若ab≤0,则a≤0或b≤0; ②若a>b,则am2>bm2;