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2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》2

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.7函数的图象最新考纲 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；②y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)．(3)伸缩变换①y ＝f (x )―――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变y ＝f (ax )．②y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )．(4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|.②y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．概念方法微思考1．函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，你能得到f (x )解析式满足什么条件？提示f (a ＋x )＝f (a －x )或f (x )＝f (2a －x )．2．若函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象关于点(a ，b )对称，求f (x )，g (x )的关系．提示g (x )＝2b －f (2a －x )题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．(×)(2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．(×)(3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．(×)(4)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．(×)题组二教材改编2．[P35例5(3)]函数f (x )＝x ＋1x的图象关于()A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称答案C 解析函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，故选C.3．[P32T2]小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是．(填序号)答案③解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除②.故③正确．4．如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是．答案(－1,1]解析在同一坐标系内作出y ＝f (x )和y ＝log 2(x ＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1,1]．题组三易错自纠5．下列图象是函数y 2，x <0，－1，x ≥0的图象的是()答案C6．把函数f (x )＝ln x 的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________________．答案y ＝解析根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y ＝7．(2018·太原调研)若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是__________．答案(0，＋∞)解析在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示．由图象知，当a >0时，方程|x |＝a －x 只有一个解．题型一作函数的图象分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2；(4)y ＝2x －1x －1.解(1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)．(2)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y ＝2x ＋1－1的图象，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，其图象如图③所示．(4)∵y ＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1x 1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．思维升华图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数．(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．题型二函数图象的辨识例1(1)函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是()答案D 解析从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x 0，1e 上单调递减，在区间1e，＋∞ D.(2)设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是()A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝－|f (x )|C ．y ＝－f (－|x |)D ．y ＝f (－|x |)答案C 解析题图中是函数y ＝－2－|x |的图象，即函数y ＝－f (－|x |)的图象，故选C.思维升华函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．跟踪训练1(1)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝12x 在同一直角坐标系下的图象大致是()答案B 解析因为函数g (x )＝12为减函数，且其图象必过点(0,1)，故排除A ，D.因为f (x )＝1＋log 2x的图象是由y ＝log 2x 的图象上移1个单位得到的，所以f (x )为增函数，且图象必过点(1,1)，故可排除C ，故选B.(2)函数y ＝1ln|e x －e －x |的部分图象大致为()答案D 解析令f (x )＝1ln|e x －e －x |，则f (－x )＝1ln|e －x －e x |＝1ln|e x －e －x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B ，C.当x >1时，y ＝1ln|e x －e －x |＝1ln (e x －e －x )，显然y >0且函数单调递减，故D 正确．题型三函数图象的应用命题点1研究函数的性质例2(1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是()A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)答案C 解析将函数f (x )＝x |x |－2x去掉绝对值，得f (x )x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)设f (x )＝|lg(x －1)|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是________．答案(4，＋∞)解析画出函数f (x )＝|lg(x －1)|的图象如图所示．由f (a )＝f (b )可得－lg(a －1)＝lg(b －1)，解得ab ＝a ＋b >2ab (由于a <b ，故取不到等号)，所以ab >4.命题点2解不等式例3函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x<0的解集为．答案－π2，－1∪1，π2解析当x ∈0，π2y ＝cos x >0.当x ∈π2，4y ＝cos x <0.结合y ＝f (x )，x ∈[0,4]上的图象知，当1<x <π2时，f (x )cos x <0.又函数y ＝f (x )cos x为偶函数，所以在[－4,0]上，f (x )cos x<0－π2，－1，所以f (x )cos x<0－π2，－1∪1，π2命题点3求参数的取值范围例4(1)已知函数f (x )12log x ，x >0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是．答案(0,1]解析作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示，由图可知k ∈(0,1]．(2)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是．答案解析先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围思维升华(1)注意函数图象特征与性质的对应关系．(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．跟踪训练2(1)(2018·昆明检测)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )()A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值答案C 解析画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A ，B 两点．由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x )．综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是．答案[－1，＋∞)解析如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．高考中的函数图象及应用问题高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提．一、函数的图象和解析式问题例1(1)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为()答案B 解析当x ∈0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A ，C ；当x ∈π4，3π4时，1＋5，22.∵22<1＋5，∴D ，故选B.(2)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是()A ．f (x )＝ln|x |x B ．f (x )＝e x xC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x答案A 解析由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.(3)(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －x x 2的图象大致为()答案B 解析∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝e x －e －x x 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e >0，排除D 选项．又e>2，∴1e <12，∴e －1e >32，排除C 选项．故选B.二、函数图象的变换问题例2已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为()答案D 解析方法一先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象；然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.方法二先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.方法三当x ＝0时，y ＝－f (2－0)＝－f (2)＝－4.故选D.三、函数图象的应用例3(1)已知函数f (x )|，x ≤m ，2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是．答案(3，＋∞)解析在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m－m 2，所以要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.(2)不等式3sin π2x－12log x<0的整数解的个数为．答案2解析不等式3sin π2x12log x<0，即3sinπ2x<12log x.设f(x)＝3sinπ2x，g(x)＝12log x，在同一坐标系中分别作出函数f(x)与g(x)的图象，由图象可知，当x为整数3或7时，有f(x)<g(x)，所以不等式3sin π2x12log x<0的整数解的个数为2.(3)已知函数f(x)sinπx，0≤x≤1，log2020x，x>1，若实数a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是．答案(2,2021)解析函数f(x)sinπx，0≤x≤1，log2020x，x>1的图象如图所示，不妨令a<b<c，由正弦曲线的对称性可知a＋b＝1，而1<c<2020，所以2<a＋b＋c<2021.1．(2018·浙江)函数y＝2|x|sin2x的图象可能是()答案D解析由y ＝2|x |sin 2x 知函数的定义域为R ，令f (x )＝2|x |sin 2x ，则f (－x )＝2|－x |sin(－2x )＝－2|x |sin 2x .∵f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数．∴f (x )的图象关于原点对称，故排除A ，B.令f (x )＝2|x |sin 2x ＝0，解得x ＝k π2(k ∈Z )，∴当k ＝1时，x ＝π2，故排除C.故选D.2.如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是()答案C解析当l 从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D 点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C 点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.3．已知函数f (x )＝log a x (0<a <1)，则函数y ＝f (|x |＋1)的图象大致为()答案A解析先作出函数f(x)＝log a x(0<a<1)的图象，当x>0时，y＝f(|x|＋1)＝f(x＋1)，其图象由函数f(x)的图象向左平移1个单位得到，又函数y＝f(|x|＋1)为偶函数，所以再将函数y＝f(x＋1)(x>0)的图象关于y轴对称翻折到y轴左边，得到x<0时的图象，故选A.4.若函数f(x)ax＋b，x<－1，ln(x＋a)，x≥－1的图象如图所示，则f(－3)等于()A．－12B．－54C．－1D．－2答案C解析由图象可得－a＋b＝3，ln(－1＋a)＝0，得a＝2，b＝5，∴f(x)2x＋5，x<－1，ln(x＋2)，x≥－1，故f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.5．函数f(x)的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝e x＋1B．f(x)＝e x－1C．f(x)＝e－x＋1D．f(x)＝e－x－1答案D解析与y＝e x的图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意，f(x)的图象向右平移一个单位，得y＝e－x的图象．∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到．∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.6．(2018·承德模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)2－x－1，x≤0，f x－1)，x>0，若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则实数a的取值范围为() A．(－∞，1)B．(－∞，1]C ．(0,1)D ．(－∞，＋∞)答案A解析当x ≤0时，f (x )＝2－x －1，当0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.类推有f (x )＝f (x －1)＝22－x －1，x ∈(1,2]，…，也就是说，x >0的部分是将x ∈(－1,0]的部分周期性向右平移1个单位得到的，其部分图象如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)．7．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为．答案{x |x ≤0或1<x ≤2}解析画出f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0>1，x )≤0<1，x )≥0.由图可知符合条件的解集为{x |x ≤0或1<x ≤2}．8．设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则实数a ＝.答案－2解析由函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a 的图象关于直线y ＝－x 对称，可得f (x )＝－a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，可得－a －log 22－a －log 24＝1，解得a ＝－2.9．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个实数根，则k 的取值范围是．答案－13，解析由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图所示，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个实数根，即函数f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点，故k AB <k <0，k AB ＝0－12－(－1)＝－13，∴－13<k <0.10．给定min{a ，b }，a ≤b ，，b <a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为．答案(4,5)解析作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．11．已知函数f (x )2(1－x )＋1，－1≤x <0，3－3x ＋2，0≤x ≤a的值域为[0,2]，则实数a 的取值范围是．答案[1，3]解析先作出函数f (x )＝log 2(1－x )＋1，－1≤x <0的图象，再研究f (x )＝x 3－3x ＋2,0≤x ≤a的图象．令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1.又f (0)＝f (3)＝2，f (1)＝0.所以1≤a ≤ 3.12．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当实数m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个实数解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个实数解．(2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，t >0，因为H (t )－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．13．已知函数f (x )2＋2x －1，x ≥0，2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是()A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0答案D解析函数f (x )的图象如图实线部分所示，且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.14．已知函数f (x )＝x |x －1|，g (x )＝1＋x ＋|x |2，若f (x )<g (x )，则实数x 的取值范围是．答案解析f (x )＋1x －1，x >1，1＋11－x，x <1，g (x )＋x ，x ≥0，，x <0，作出两函数的图象如图所示．当0≤x <1时，由－1＋11－x＝x ＋1，解得x ＝5－12；当x >1时，由1＋1x －1＝x ＋1，解得x ＝5＋12.结合图象可知，满足f (x )<g (x )的x －∞，5－12∪1＋52，＋∞15．已知函数f (x )－x 2＋x ，x ≤1，13logx ，x >1，g (x )＝|x －k |＋|x －2|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数k 的取值范围为____________．答案－∞，74∪94，＋∞解析对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x )max ≤g (x )min .观察f (x )－x 2＋x ，x ≤1，13log x ，x >1的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14.因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以g (x )min ＝|k －2|，所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94.故实数k 的取值范围是－∞，74∪94，＋∞16．已知函数f (x )(x －1)2，0≤x ≤2，14x －12，2<x ≤6.若在该函数的定义域[0,6]上存在互异的3个数x 1，x 2，x 3，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝f (x 3)x 3＝k ，求实数k 的取值范围．解由题意知，直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )(x ∈[0,6])的图象至少有3个公共点．函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图知k ，1 6.。

总复习专题二：函数及其性质(第二部分：函数的单调性与奇函数偶函数)

镇（乡）学校班级考号姓名 ……○……题……○……不……○……得……○……超……○……过……○……此……○……密……○……封……○……总复习专题二：函数及其性质(含抽象函数的性质）编辑，整理：冉春第一部分：讲义部分：第一节、函数的单调性与奇偶性1、函数的单调性函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．．（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数的单调性（同增异减）如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．．（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数例1：函数12+=x y 在区间），（∞∞+-是增函数；函数 22+-=x y 在区间），（∞∞+-是减函数。

例：证明函数12)(-=x x f 在区间），（∞∞+-是增函数。

证明：设2121),,(,x x x x <+∞-∞∈且，那么12)(,12)(2211-=-=x x f x x f )12()12()()(2121---=-x x x f x f ·)(221x x -=· 21x x <∵，021<-∴x x0)(2)()(2121<-=-∴x x x f x f ，即)()(21x f x f < ∴函数12)(-=x x f 在区间），（∞∞+-是增函数。

第4讲函数的复习(讲义)原卷版

第4讲函数的复习模块一：正反比例函数知识精讲1、正比例函数：y =kx （k ≠0）；图像是一条直线，与坐标轴仅有一个交点；k >0时，随着x 的逐渐增大，函数值y 的值越来越大；k <0时，随着x 的逐渐增大，函数值y 的值越来越小．2、反比例函数：k y x=（k ≠0），图像是双曲线，与坐标轴无交点；k >0时，在每一象限内，随着x 的逐渐增大，函数值y 的值越来越小；k <0时，在每一象限内，随着x 的逐渐增大，函数值y 的值越来越大．例题解析例1．下列函数（其中x 是自变量）中，是正比例函数的是（）A ．y=2xB ．y=（xC ．D ．y=1x例2．如果()2(3)9y k x k =-+-是正比例函数，那么k =______．例3（1）正方形的周长c 与正方形的对角线长a _______正比例（填“成”或“不成”）；（2）已知正比例函数的自变量x 减少2时，对应函数的值增加3，则这个函数的解析式为________________．例4（1）如果y =kx +2k +x 是正比例函数，求k 的值；（2）如果253(1)mm y m x -+=-是反比例函数，求m 的值．例5（1）正比例函数2231()mm y m m x -+=-经过第___________象限，y 随x 增大而_________；（2）反比例函数2231()mm y m m x -+=-经过第___________象限，在同一象限内，y 随x 增大而_________．例6.已知正比例函数y =k 1x ，函数值y 随着x 的增大而减小，反比例函数y =2k x (k 2<0)，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）.例7．已知12y y y =-，1y 与x 成正比例，2y 与()2x -成反比例，当2x =-时，7y =-；3x =时，13y =．求：y 关于x 的函数解析式例8.已知正比例函数的图像上一点P 的横坐标是2，作PD ⊥x 轴（O 是坐标原点，D 是垂足），∆OPD 的面积是6，求这个正比例函数的解析式．例9.已知如图，点A ，B 是反比例函数y =3x图像上的点，分别经过A ，B 两点向x 轴、y 轴做垂线段，若121s s s =+=阴影，则_________(12s s ，指的是空白矩形的面积)．例10.已知A （0，4）、B （6，4）、C （6，0）三点，经过原点的一条直线把矩形OABC 的面积分成1:2两部分，求这条直线的函数解析式．例11.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（1，0），在直线y =上取一点P ，使得∆OAP 是等腰三角形，求所有满足条件的点P 的坐标．例12.已知如图，矩形OABC 的顶点B （m ，2）在正比例函数12y x =的图像上，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，反比例函数的图像过BC 边上点M ，与AB 边交于点N ，且BM =3CM ，求此反比例函数的解析式及点N 的坐标．例13.正比例函数1y k x =的图像与反比例函数2k y x=的图像相交于点A 、B （如图），点A 在第一象限，且点A 的横坐标为1，作AD x ⊥轴，垂足为D 点，1AOD S ∆=.（1）求点A 的坐标；（2）求这两个函数的解析式；（3）如果OAC ∆是以OA 为腰的等腰三角形，且点C 在x 轴上，求点C 的坐标．例14.如图所示，已知正方形ABCD 的边长是3厘米，动点P 从点B 出发，沿BCDA 方向运动至点A 停止．点P 的运动的路程为x 厘米，∆ABP 的面积为y 平方厘米．（1）当点P在BC上运动时，求y关于x的解析式及定义域；（2）当点P在CD上运动时，求y关于x的解析式及其定义域；（3）当x取何值时，∆ABP的面积为1.5平方厘米?模块二：一次函数知识精讲1．函数的概念和图像及性质（1）定义：解析式形如 (0)y kx b k=+≠的函数叫做一次函数．（2）一次函数的图象满足：①形状是一条直线；②始终经过（0，b）和（bk-，0）两点；（3）定义：直线 (0)y kx b k=+≠与y轴的交点坐标是( 0 , )b，截距是b；（4）一次函数 (0)y kx b k=+≠，当0k>时，函数值y随自变量x的值增大而增大；当0k<时，函数值y随自变量x的值增大而减小．2．函数的应用（1）实际问题；（2）数形结合类．例题解析例1（1）已知一次函数y kx b =+，当x =-3时，y =1；当x =2时，y =-6，求这个一次函数的解析式；（2）已知一次函数y =f （x ），且f （-1）=-3，f （1）=1，求函数f （x ）的解析式．例2（1）若一次函数y =k （1-x ）+3的图像在y 轴上的截距是-5，求这个函数解析式；（2）若一次函数2(2)(4)y k x k =-+-的图像经过原点，求k 的值．例3（1）若直线y =kx +b 与直线y =-2x +4无交点，且直线y =kx +b 与x 轴的交点是（3，0），求此函数解析式；（2）已知一次函数的图像经过点（1，-2）、（-2，1）．求这个一次函数的解析式．例4（1）若把函数13y x =-的图像向下平移4个单位，再向右平移2个单位，求平移后的函数解析式；（2）若一次函数的图像向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到的函数解析式是13y x =-，求平移前的函数解析式．例5.已知直线y =kx +4经过点P （1，m ），且平行于直线y =-2x +1，它与x 轴相交于点A ，求∆OPA 的面积．例 6.已知一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是26x -≤≤，相应的函数值的范围是119y -≤≤，求这个函数的解析式．例7.已知直线l 过点（-2，4），且与两坐标轴围成一个等腰三角形，（1）求这个一次函数的解析式；（2）所得三角形的周长及面积．例8.某中学初二年级准备购买10只米奇品牌的笔袋，每只笔袋配x （x ≥3）支水笔作为奖品．已知A 、B 两家超市都有这个牌子的笔袋和水笔出售，而且每只笔袋的标价都为20元，每只水笔的标价都为1元，现两家超市正在促销，A 超市所有商品均打九折销售，而B 超市买1只笔袋送3支水笔，若仅考虑购买笔袋和水笔的费用，请解答下列的问题：（1）如果只在某一家超市购买所需笔袋和水笔，那么去哪家超市购买更合算?（2）当x =12时，请设计最省钱的购买方案．例9.若直线y kx b =+过35y x =-与210y x =-+的交点A ，y kx b =+与y 轴于B ，210y x =-+交x 轴于C ，若=12ABC S ∆，求直线y =y kx b =+的解析式．模块三：综合例题解析例1.已知反比例函数(0)k y k x=≠和一次函数21y x =-，其中一次函数的图像经过点（k ，5）．（1）试求反比例函数的解析式；（2）若点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求点A 的坐标．例2.如图，一次函数(0)y kx b k =+≠的图像与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，且与反比例函数(0)m y m x=≠的图像在第一象限交于C 点，CD 垂直于x 轴，垂足为D ．若OA =OB =OD =1．（1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式．例3.如图，一次函数(0)y kx b k=+≠的图像与与反比例函数8yx=-的图像交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是-2，求：（1）一次函数的解析式；（2）∆AOB的面积．例4.已知点A（m，2m）（其中m>0）在双曲线8yx=上，直线y=kx+b过点A，并且与坐标轴正方向所围成的三角形的面积是18，求直线的解析式．例5.已知一次函数与反比例函数的图像交于点P（-3，2）、Q（2，-3）．（1）求这两个函数的函数解析式；（2）在给定的直角坐标系中，画出这两个函数的大致图像；（3）当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值?当x为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值?例6.已知一次函数(2)23=-+-；y m x m（1）求证：无论m取何实数，函数的图像恒过一定点；（2）当x在12≤≤内变化时，y在45x≤≤内变化，求m的值．y随堂检测1.（1）y与x成正比例，且x=4时，y=-4，那么y与x之间的函数关系式为__________；（2）y +1与z 成正比例，比例系数为2，z 与x -1成正比例，当x =-1时，y =7，那么y与x 的函数关系式为____________ 2.已知y -3与x 成正比例，且x =2时，y =7．（1）写出y 与x 的函数关系式；（2）计算x =4时y 的值；（3）计算y =4时x 的值．3．已知正比例函数(0)y kx k =>的图像上有两点且11(,)A x y ，22(,)B x y ，且x 1＞x 2，则y 1与y 2的大小关系是（）A ．12y y <B ．12y y >C ．12y y =D ．不能确定．4．下列四个函数中，是一次函数的是（）A ．21y x =+B ．y x =C ．21y x =+D ．1y =5．下列函数中，y 随x 的增大而减少的函数是（）A ．y =－2xB ．y =1xC ．y =1x -D ．y =2x6．已知正比例函数1y k x =中，y 随x 的值的增大而减小；反比例函数2k y x=中，在每一个象限内，y 随x 的值的增大而增大，那么这两个函数在同一坐标系内的大致图像可能是（）A ．B ．C ．D ．7．在一次函数y=ax-a 中，y 随x 的增大而减小，则其图像可能是（）A ．B ．C ．D ．8．一次函数y mx n =+的图像如图所示，那么下列说法正确的是（）A ．当0x >时，2y >-B ．当1x ≥时，0y ≤C ．当1x <时，0y >D ．当0x <时，20y -<<二、填空题9．平面直角坐标系中，点A 坐标为（2），将点A 沿x 轴向左平移m 个单位后恰好落在正比例函数y ＝﹣的图象上，则m 的值为_____．10．已知函数2y mx m m =++为正比例函数，则常数m 的值为______． 11.如果正比例函数的图像经过点(4,2)-，则它的解析式为___________．12．正比例函数()21y k x =+的图像经过第二、四象限，则k ______．13．直线y kx b =+与直线5y x =-平行，并且直线与y 轴交点到原点的距离是2，则这条直线的解析式为____.14．如图，已知正比例函数图像经过点A （2，3），B （m ，6）．（1）求正比例函数的解析式及m 的值；（2）分别过点A 与点B 作y 轴的平行线，与反比例函数在第一象限内的分支分别交于点C 、D （点C ．D 均在点A 、B 下方），若BD =5AC ．求反比例函数的解析式．15．如图，一次函数y kx b =+的图像与反比例函数m y x=的图像相交于()2,2A 、()1,4B --两点．（1）求出两函数解析式；（2）根据图像回答：当x 为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值？（3）连接AO 、BO ，试求AOB ∆的面积．16.如图，在梯形ΑBCD 中，ΑB =CD =5，ΑD =7，BC =13，E 为ΑD 上一定点，ΑE =4，动点P 从D 出发沿着DC 向C 点移动，设点P 移动的距离为x ，∆ΑPE 的面积为y ，求y 与x 的函数解析式，并画出图象．17.在平面直角坐标系中，函数y =2x +12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点．过点A 的直线交y 轴正半轴于点M ，且点M 为线段OB 的中点．A B CDE PM N（1）求直线AM 的解析式；（2）试在直线AM 上找一点P ，使得ABP AOB S S ∆∆=，求出点P 的坐标．18.如图，在直角梯形COAB 中，CB ∥OA ，以O 为原点建立直角坐标系，A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，8），CB =4，D 为OA 中点，动点P 自A 点出发沿A →B →C →O 的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t 秒．（1）求AB 的长，并求当PD 将梯形COAB 的周长平分时t 的值，并指出此时点P 在哪条边上；（2）动点P 在从A 到B 的移动过程中，设△APD 的面积为S ，试写出S 与t 的函数关系式，并指出t 的取值范围；（3）几秒后线段PD 将梯形COAB 的面积分成1：3的两部分?求出此时t 的值?。

函数总复习课件

函数的性质
要点一
总结词
函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性等。
要点二
详细描述
奇偶性是指函数是否关于原点对称或关于y轴对称的性质；单调性是指函数在某一区间内随着自变量的增加，因变量是增加还是减少的性质；周期性是指函数在一定周期内重复变化的性质；有界性是指函数在一定区间内变化是有上限和下限的性质。这些性质对于理解和分析函数的性质和变化规律具有重要意义。
02
函数的分类
一次函数
总结词
线性关系，常数项为0
详细描述
一次函数的一般形式为y=kx+b（k≠0），其中k和b为常数，k是斜率，b是y轴上的截距。它表示的是一种线性关系，即函数的输出值随着输入值的增加或减少而均匀变化。
反比例函数
总结词
倒数关系，形式为y=k/x（k≠0）
详细描述
反比例函数的一般形式为y=k/x（k≠0），其中k为常数。它表示的是一种倒数关系，即函数的输出值与输入值的倒数成正比。当x增大时，y减小，反之亦然。
数学中的函数应用
解决几何问题
在几何学中，函数可以用来解决各种问题，如求圆的面积、求三角形的周长等。
解决代数问题
在代数中，函数可以用来解决各种问题，如解方程、求导数等。
解决概率统计问题
在概率统计中，函数可以用来描述概率分布、统计数据等。
科学中的函数应用
描述化学反应
在化学中，函数可以用来描述化学反应的动力学过程。
函数的表示方法
总结词
函数的表示方法有多种，包括解析法、表格法和图象法。
详细描述
解析法是通过数学表达式来表示函数关系的一种方法，如一次函数、二次函数等。表格法是通过列出函数在不同自变量下的对应值来表示函数关系的一种方法，这种方法适用于离散的函数。图象法是通过绘制函数图象来表示函数关系的一种方法，这种方法直观易懂，适用于连续的函数。

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习6 函数的概念及其表示

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题6 函数的概念及其表示考点知识1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．常用结论1．直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A ，B ，A 即为函数的定义域，值域为B 的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×)(2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．(×)(3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．(×)(4)函数f (x )＝⎩⎨⎧ x －1，x ≥0，x 2，x <0的定义域为R .(√) 教材改编题1．(多选)下列所给图象是函数图象的是()答案CD解析A 中，当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；B 中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；CD 中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．2．下列各组函数表示同一个函数的是()A ．y ＝x －1与y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x －1与y ＝－1xC ．y ＝2x 2与y ＝2xD ．y ＝2x －1与v ＝2t －1答案D解析y ＝x －1的定义域为R ，y ＝x 2－1x ＋1的定义域为{x |x ≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A 不正确；y ＝x －1＝1x 与y ＝－1x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B 不正确； y ＝2x 2＝2|x |与y ＝2x 的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C 不正确；y ＝2x －1与v ＝2t －1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选项D 正确．3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ ln x ，x >0，e x ，x ≤0，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于() A ．3B ．－3C.13D ．－13答案C解析由题意可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝ln 13＝－ln3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f (－ln3)＝e －ln3＝13.题型一函数的定义域例1(1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为()A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]答案C解析由题意得⎩⎨⎧ x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1，故定义域为(－1,1)．(2)已知函数f (x )的定义域为(－4，－2)，则函数g (x )＝f (x －1)＋x ＋2的定义域为________．答案[－2，－1)解析∵f (x )的定义域为(－4，－2)，要使g (x )＝f (x －1)＋x ＋2有意义，则⎩⎨⎧ －4<x －1<－2，x ＋2≥0，解得－2≤x <－1，∴函数g (x )的定义域为[－2，－1)．思维升华(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x 的取值集合；(2)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(3)若复合函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则函数f (x )的定义域为g (x )在[a ，b ]上的值域．跟踪训练1(1)函数f (x )＝1ln (x －1)＋3－x 的定义域为() A ．(1,3] B ．(1,2)∪(2,3]C ．(1,3)∪(3，＋∞) D．(－∞，3)答案B解析由题意知⎩⎨⎧ x －1>0，x －1≠1，3－x ≥0，所以1<x <2或2<x ≤3，所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]．(2)(2023·南阳检测)已知函数f (x )＝lg1－x 1＋x ，则函数g (x )＝f (x －1)＋2x －1的定义域是()A ．{x |x >2或x <0}B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x <2 C ．{x |x >2}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ≥12答案B解析要使f (x )＝lg1－x 1＋x 有意义，则1－x 1＋x >0，即(1－x )(1＋x )>0，解得－1<x <1，所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．要使g (x )＝f (x －1)＋2x －1有意义，则⎩⎨⎧ －1<x －1<1，2x －1≥0，解得12≤x <2，所以函数g (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x <2.题型二函数的解析式例2(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．(4)已知f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，求f (x )的解析式．解(1)(换元法)设1－sin x ＝t ，t ∈[0,2]，则sin x ＝1－t ，∵f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x ，∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]．即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)(配凑法)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2， ∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)(待定系数法)∵f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17.即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，∴⎩⎨⎧ a ＝2，5a ＋b ＝17，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝7.∴f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋7.(4)(解方程组法)∵2f (x )＋f (－x )＝3x ，①∴将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，②由①②解得f (x )＝3x .思维升华函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．跟踪训练2(1)已知f (x －1)＝x 2＋4x －5，则f (x )的解析式是()A ．f (x )＝x 2＋6xB ．f (x )＝x 2＋8x ＋7C ．f (x )＝x 2＋2x －3D ．f (x )＝x 2＋6x －10答案A解析f (x －1)＝x 2＋4x －5，设x －1＝t ，x ＝t ＋1，则f (t )＝(t ＋1)2＋4(t ＋1)－5＝t 2＋6t ，故f (x )＝x 2＋6x . (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则f (x )＝________. 答案1x －1(x ≠0且x ≠1) 解析f (x )＝1x 1－1x＝1x －1(x ≠0且x ≠1)． (3)已知函数f (x )满足f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝3x ，则f (2)等于() A ．－3B ．3C ．－1D ．1答案A解析f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝3x ，① 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＋2f (x )＝－3x ，② 联立①②解得f (x )＝－2x －x ，则f (2)＝－22－2＝－3. 题型三分段函数例3(1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ f (x －1)，x >0，－ln (x ＋e )＋2，x ≤0，则f (2024)的值为() A ．－1B ．0C ．1D ．2答案C解析因为f (x )＝⎩⎨⎧ f (x －1)，x >0，－ln (x ＋e )＋2，x ≤0，所以f (2024)＝f (2023)＝f (2022)＝…＝f (1)，又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f (2024)＝1.(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2－3x ＋2，x <－1，2x －3，x ≥－1，若f (a )＝4，则实数a 的值是________；若f (a )≥2，则实数a 的取值范围是________．答案－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)解析若f (a )＝4，则⎩⎨⎧a <－1，－a 2－3a ＋2＝4或⎩⎨⎧ a ≥－1，2a －3＝4，解得a ＝－2或a ＝5. 若f (a )≥2，则⎩⎨⎧ a <－1，－a 2－3a ＋2≥2或⎩⎨⎧ a ≥－1，2a －3≥2，解得－3≤a <－1或a ≥4，∴a 的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．思维升华分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋2，x ≤0，x ＋1x ，x >0，若f (f (a ))＝2，则a 等于() A ．0或1B ．－1或1C ．0或－2D ．－2或－1答案D解析令f (a )＝t ，则f (t )＝2，可得t ＝0或t ＝1，当t ＝0时，即f (a )＝0，显然a ≤0，因此a ＋2＝0⇒a ＝－2，当t ＝1时，即f (a )＝1，显然a ≤0，因此a ＋2＝1⇒a ＝－1，综上所述，a ＝－2或－1.(2)(2023·重庆质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >1，x 2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞解析当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)等价于x 2－1<(x ＋1)2－1，解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1，此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，x ＋1>2，f (x )<f (x ＋1)等价于log 2x <log 2(x ＋1)，此时也恒成立．综上，不等式f (x )<f (x ＋1)的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 课时精练1．函数f (x )＝lg(x －2)＋1x －3的定义域是() A ．(2，＋∞) B．(2,3)C ．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)答案D解析∵f (x )＝lg(x －2)＋1x －3， ∴⎩⎨⎧ x －2>0，x －3≠0，解得x >2，且x ≠3，∴函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．2．(2023·三明模拟)已知集合A ＝{x |－2<x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤4}，则下列对应关系中是从集合A 到集合B 的函数是()A ．f ：x →y ＝x ＋1B ．f ：x →y ＝e xC ．f ：x →y ＝x 2D ．f ：x →y ＝|x |答案B解析对于A ，当x ＝－1时，由f ：x →y ＝x ＋1得y ＝0，但0∉B ，故A 错误；对于B，因为从A＝{x|－2<x≤1}中任取一个元素，通过f：x→y＝e x在B＝{x|0<x≤4}中都有唯一的元素与之对应，故B正确；对于C，当x＝0时，由f：x→y＝x2得y＝0，但0∉B，故C错误；对于D，当x＝0时，由f：x→y＝|x|得y＝0，但0∉B，故D错误．3．已知f(x3)＝lg x，则f(10)的值为()A．1B.310C.13D.1310答案C解析令x3＝10，则x＝13 10，∴f(10)＝lg1310＝13.4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是()答案A解析水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A 符合．5．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 答案B 解析设1－2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1－t 22，所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12(t ＋1)2＋2，因为t ≥0，所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32. 6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x ＋3，x ≤2，6＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)，若函数f (x )的值域是(－∞，4]，则实数a 的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2] D ．(1，2)答案B解析当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，当x ＝1时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3取得最大值4，所以当x ≤2时，函数f (x )的值域是(－∞，4]，所以当x >2时，函数f (x )＝6＋log a x 的值域为(－∞，4]的子集，当a >1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递增，此时f (x )>f (2)＝6＋log a 2>6，不符合题意，当0<a <1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递减，此时f (x )<f (2)＝6＋log a 2≤4，即log a 2≤－2，所以a 2≥12，可得22≤a <1，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1.7．(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是() A ．y ＝－x ＋1B ．133,0,1,0x x y x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩C ．y ＝ln|x |D ．y ＝2x －1x －2答案ABD解析对A ，函数的定义域和值域都是R ；对B ，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R ；对C ，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R ；对D ，因为函数y ＝2x －1x －2＝2＋3x －2，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．所以ABD 是定义域和值域相同的函数．8．(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，则下列对应法则f 满足函数定义的有()A ．f (x 2)＝|x |B ．f (x 2)＝xC ．f (cos x )＝xD ．f (e x )＝x答案AD解析令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝|±t |＝t ，故A 符合函数定义；令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝±t ，设t ＝4，f (t )＝±2，一个自变量对应两个函数值，故B 不符合函数定义；设t ＝cos x ，当t ＝12时，x 可以取±π3等无数多个值，故C 不符合函数定义；令t ＝e x (t >0)，f (t )＝ln t ，故D 符合函数定义．9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ cos x ，x <0，f (x －π)，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π3＝________. 答案12解析由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝12.10．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________.答案x 2－1(x ≥0)解析令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．11．已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x 的定义域为__________．答案[－1,0]解析由条件可知，函数的定义域需满足⎩⎨⎧ －2≤2x ≤2，1－2x ≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]．12．已知f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ＋3，x >0，x 2－4，x ≤0，若f (a )＝5，则实数a 的值是__________；若f (f (a ))≤5，则实数a 的取值范围是__________．答案1或－3[－5，－1]解析①当a >0时，2a ＋3＝5，解得a ＝1；当a ≤0时，a 2－4＝5，解得a ＝－3或a ＝3(舍)．综上，a ＝1或－3.②设t ＝f (a )，由f (t )≤5得－3≤t ≤1.由－3≤f (a )≤1，解得－5≤a ≤－1.13．(2022·广州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，则f (1)等于()A ．－1B ．1C ．－13D.13答案B解析∵定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，∴当x ＝0时，f (1)＋2f (0)＝1，①当x ＝1时，f (0)＋2f (1)＝2，②②×2－①，得3f (1)＝3，解得f (1)＝1.14．(2023·南昌模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3，x ≤0，x ，x >0，若f (a －3)＝f (a ＋2)，则f (a )等于()A ．2B.2C ．1D ．0答案B解析作出函数f (x )的图象，如图所示．因为f (a －3)＝f (a ＋2)，且a －3<a ＋2，所以⎩⎨⎧ a －3≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3，此时f (a －3)＝a －3＋3＝a ，f (a ＋2)＝a ＋2，所以a ＝a ＋2，即a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1(不满足a ＝a ＋2，舍去)，则f (a )＝ 2.15．∀x ∈R ，用M (x )表示f (x )，g (x )中最大者，M (x )＝{|x |－1,1－x 2}，若M (n )<1，则实数n 的取值范围是()A ．(－2,2)B ．(－2,0)∪(0,2)C ．[－2,2]D ．(－2，2)答案B解析当x ≥0时，若x －1≥1－x 2，则x ≥1，当x <0时，若－x －1≥1－x 2，则x ≤－1，所以M (x )＝⎩⎨⎧ |x |－1，x ≥1或x ≤－1，1－x 2，－1<x <1，若M (n )<1，则当－1<n <1时，1－n 2<1⇒－n 2<0⇒n ≠0，即－1<n <0或0<n <1，当n ≥1或n ≤－1时，|n |－1<1，解得－2<n ≤－1或1≤n <2，综上，－2<n <0或0<n <2.16．(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数F (x )＝⎩⎨⎧ 1，x 为有理数，0，x 为无理数被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数，下列说法正确的是()A ．F (F (x ))＝0B ．对任意x ∈R ，恒有F (x )＝F (－x )成立C ．任取一个不为0的实数T ，F (x ＋T )＝F (x )对任意实数x 均成立D ．存在三个点A (x 1，F (x 1))，B (x 2，F (x 2))，C (x 3，F (x 3))，使得△ABC 为等边三角形答案BD解析∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误；因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确；若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误；取x1＝－33，x2＝0，x 3＝33，可得F(x1)＝0，F(x2)＝1，F(x3)＝0，所以A⎝⎛⎭⎪⎫－33，0，B(0,1)，C⎝⎛⎭⎪⎫33，0，恰好△ABC为等边三角形，故D正确．。

函数的性质(高考总复习)

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------函数的性质(高考总复习)函数的性质一、函数的奇偶性 1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x，都有 f(－x) ＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x) ＝－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2．奇、偶函数的性质⑴奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称．⑵奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反⑶若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0. 3. 设f(x) ， g(x) 的定义域分别是 D1， D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，偶+非零常数＝偶，奇+非零常数＝非奇非偶，奇奇＝偶，偶偶＝偶，奇偶＝奇，练习 1．若函数 f(x) ＝x2－| x＋a| 为偶函数，则实数 a＝_______.2．若函数 f(x) ＝(x＋a) (bx＋2a) (常数 a、 bR) 是偶函数，且它的值域为(－，4]，则该函数的解析式f(x) ＝_____ ___. 3．对于定义域为 R 的奇函数 f(x) ，下列结论成立的是( ) A． f(x) －f(－x) 0 C． f(x) f(－x) 0 4．如下图，给出了奇函数 y＝f(x) 的局部图象，则 f(－2) 的值为( ) B． f(x) －f(－x) 0 D． f(x) f(－x) 0 A.32 B．－32 C.12 D．－12 5．已知函数( )f x 是定义在 R 上的奇函数，若1 / 7当时，，则当时，( )f x 的表达式为（）A．．．．6．已知函数的图像关于坐标原点对称，则实数a=( ) A、 1 B、 -1 C、 0 D、．如果奇函数在区间[3， 7]上是增函数且最小值为 5，那么在区间上是 ( ) A．增函数且最小值为．增函数且最大值为．减函数且最小值为．减函数且最大值为．若偶函数)(xf在上是增函数，则下列关系式中成立的是（） A．．) 2 (f)23()．．2 (．设奇函数)(xf的定义域为，若当时， )(xf的图象如右图, 则不等式的解是 10．如果定义在区间[2－a, 4]上的函数 y＝f(x) 为偶函数，那么 a＝___ _____. 11．已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 为偶函数，其定义域为[a－1, 2a]，则 a的值为________． 12．若 f(x) ＝(m－1) x2＋6mx＋2 是偶函数，则f(0) 、f(1) 、f(－2) 从小到大的顺序是____ __． 13．已知奇函数 ( )f x 的定义域为上单调递减，且满足条件求a的取值范围。

初中数学函数三大专题复习

初中数学函数三大专题复习
一、函数的定义与性质
1. 函数的定义：函数是一个将一个集合的每一个元素映射到另
一个集合的规则。

2. 函数的性质：
- 定义域：函数定义中的所有可能输入的集合称为定义域。

- 值域：函数所有可能的输出值的集合称为值域。

- 单调性：函数是递增的或递减的，称为函数的单调性。

- 奇偶性：函数在定义域内的奇偶性可以根据函数的对称性来
确定。

二、函数的图像与性质
1. 函数的图像：函数的图像是表示函数值和自变量之间对应关
系的图形。

2. 基本函数的图像：
- 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的图像特点。

- 图像的对称性特点，如奇函数关于原点对称，偶函数关于y
轴对称。

3. 函数的性质与图像：
- 函数的最大值和最小值可以通过图像上的关键点来确定。

- 函数的奇偶性可以通过图像的对称性来判断。

三、函数的运算与应用
1. 函数之间的运算：
- 函数的加法、减法、乘法和除法的定义与性质。

- 复合函数的概念和计算方法。

2. 函数的应用：
- 实际问题中常用的函数模型，如线性函数、二次函数、指数函数等。

- 函数的图像在实际问题中的应用，如求函数的最小值、最大值等。

总结：
初中数学函数的三大专题复习包括函数的定义与性质、函数的图像与性质以及函数的运算与应用。

掌握这些知识可以帮助我们理解函数的基本概念和特点，提高数学问题的解题能力。

函数复习题及答案

函数复习题及答案一、选择题1. 函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5的图像关于哪条直线对称？A. x = -1B. x = 1C. x = 0D. x = 3答案： B2. 如果函数f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 2的导数为0，那么x的值是多少？A. -1B. 0C. 1D. 2答案： C3. 函数g(x) = 1/x在区间(0, +∞)上的单调性是？A. 单调递增B. 单调递减C. 先递增后递减D. 先递减后递增答案： B二、填空题4. 函数h(x) = 4x^3 - 5x^2 + 2x + 1的极值点是______。

答案： x = 0 或 x = 5/45. 如果函数f(x) = sin(x) + cos(x)的最大值为√2，那么x的取值范围是______。

答案：[2kπ + π/4, 2kπ + 5π/4] (k ∈ Z)三、简答题6. 描述函数y = x^2在区间[-1, 1]上的性质。

答案：函数y = x^2在区间[-1, 1]上是单调递增的，且图像是一个开口向上的抛物线，顶点在原点。

7. 解释什么是函数的周期性，并给出一个周期函数的例子。

答案：函数的周期性是指函数值在某个固定的间隔内重复出现的性质。

例如，正弦函数sin(x)就是一个周期函数，它的周期是2π。

四、计算题8. 计算函数f(x) = 3x^2 - 4x + 5在x = 2时的值。

答案： f(2) = 3 * (2)^2 - 4 * 2 + 5 = 12 - 8 + 5 = 99. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的一阶导数和二阶导数。

答案：一阶导数：f'(x) = 3x^2 - 12x + 9二阶导数：f''(x) = 6x - 12五、证明题10. 证明对于任意实数x，函数f(x) = x^3 - 3x + 2的值总是大于0。

答案：首先求导f'(x) = 3x^2 - 3，令导数为0得到x = ±1。

函数专题复习资料1：.函数定义+定义域+表示法(非常全面,非常好用)

第二讲函数的定义、定义域、表示法一、函数及映射1．在同一直角坐标系中，函数)(x f y =图象与直线k x =焦点个数为． 2．将焦点在y 轴的等轴双曲线绕坐标原点逆时针旋转︒θ后，所得图形可以看成是某个函数)(x f y =的图象，则最小正角=θ ． 3．存在函数)(x f 满足：对R x ∈∀都有（）A ．x x f sin )2(sin =B ．x x x f +=2)sin2(C ．1)1(2+=+x x fD ．1)2(2+=+x x x f4. 已知函数),2()2,(),(+∞⋃--∞∈=x x f y ，其图象上任意一点),(y x 满足4422=-y x ，则下列说法中正确的有．①)(x f y =必有奇偶性；①)(x f y =在)2,(--∞上为单调函数；①存在),2()2,(0+∞-⋃--∞∈x ，使)(2x f x <；①对任意),2()2,(+∞-⋃--∞∈x ，都有)(2x f x >．5．集合{},A a b =，{}1,0,1B =-,从A 到B 的映射f 满足()()0f a f b +=,那么这样的映射f 的个数有( ) A.2个B.3个C.5个D.8个6．已知12-+→x x x f ：是集合R 到集合A 的映射，且集合A 中的元素a 在集合R 中没有原象，则a 的取值范围是． 7．下列各选项给出的两个函数中,表示相同函数的有( ) A.()f x x =与()g x = B.()|1|f t t =-与()|1|g x x =-C.()f x x =与2()log 2xg x =D.21()1x f x x -=+与()1g x x =-二、函数的定义域1．函数)13lg(1)12()(0++--=x xx x f 的定义域是． 2．函数)(2x f y =定义域为[]2,2-，则函数)1(+=x f y 定义域为．3．(1)函数()f x R ，则实数m 的取值范围是( )A ．[]0,8B ．[)0,8C ．[)8,+∞D ．(),8-∞ (2)函数221)(2++=ax ax x f 定义域为R ，则a 的取值范围是．三、求函数解析式1．已知x xf lg )21(=+，则=)(x f ．2．已知12cos )(sin +=θθf ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛32cos πf ．3．二次函数)(x f y =满足1)2()0(==f f ，函数)(x f y =最小值为21，求函数解析式．4．(1)已知x xf x f 2)1(2)(=+，求)(x f ．(2)已知函数)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又11)()(-=+x x g x f ，求)(x f 和)(x g ．5.已知()f x 为R 上增函数,且对任意x R ∈,都有[()3]4x f f x -=,则(0)f =( ) A.1 B.4 C.3 D.26．已知函数)(x f 的导函数是)(x f '，且满足21)(2)(xx f x f x =+'，1)1(=f ，则)(x f 的最大值为( )A.2eB.eC.eD.2e7．已知函数⎩⎨⎧<-≥+=21212)(x x x x x f ，，，⎩⎨⎧<+≥=0,10,)(2x x x x x g ，求)()(x g x f ⋅与))((x f g ．8．已知函数)44sin(2)(ππ+=x x f 与函数)(x g 的图象关于直线2=x 对称，求函数)(x g 的解析式．9．已知函数)(x f 满足：1)0(=f ，对任意R y x ∈,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f ．10．某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产1百件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为5百件，产品销售数量为t (百件)时，销售所得的收入为2152t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元． (1)该公司这种产品的年生产量为x 百件，生产并销售这种产品得到的利润为当年产量x 的函数()f x ，求()f x ；(2)当该公司的年产量为多大时，当年所获得的利润最大．四、函数表示法的识别与应用 1．已知函数)(x f 与)(x g 如下表：则不等式x x g f ≥))((的解集为．2．已知实数d c b a ,,,满足1112=--=-d cb e a a ，则22)()(d bc a -+-的最小值为( ) A.4 B.8 C.12 D.18五、函数创新题1．设,S T 是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:①{()|}T f x x S =∈;①对任意12,x x S ∈当12x x <时,恒有()()12f x f x <,①对任意12,x x S ∈当12x x <时,恒有()()12f x f x <,那么称这两个集合S 和T “保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是( )A. ,A N B N *==B. {}|13,{|8A x x B x x =-≤≤==-或010}x <≤C. {}|01,A x x B R=<<=D. ,A Z B Q ==2．已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩下列说法正确的是（）A.函数sgn()y x =是奇函数B.对任意的1,sgn(ln )1x x >=C.函数sgn()x y e x =⋅-的值域为(,1)-∞D.对任意的sgn()x R x x x ∈=⋅，3．若一系列函数的解析式和值域相同,但定义域不相同,则称这些函数为“同值函数”,例如函数[]2,1,2y x x =∈与函数[]2,2,1y x x =∈--即为“同值函数”,给出下面四个函数:①y x = (x 表示不超过的最大整数值[0,1]0=);①y x =;①31log y x x =-;①1||1y x x =++. 其中能够被用来构造“同值函数”的是__________(写出所有符合条件的序号).。

高中数学函数专题复习

高中数学函数专题复习2.1 映射与函数、函数的解析式1.不能构成A到B的映射的是哪个对应法则？设集合A={x|1≤x≤2}，B={y|1≤y≤4}，则不能构成A到B的映射的对应法则是：D。

f:x→y=4-x。

2.若函数f(3-2x)的定义域为[-1,2]，则函数f(x)的定义域是什么？若函数f(3-2x)的定义域为[-1,2]，则函数f(x)的定义域为：[-5/2,1]。

3.求f(f(f(2)))的值。

设函数f(x)=x-1(x≥1)，f(f(f(2)))的值为：2.4.下面哪组函数是相同函数？下面相同函数的函数组是：C。

f(x)=(x-1)²。

g(x)=(x-1)²。

5.已知映射f：A→B，其中，集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4}。

集合B中元素的个数是多少？已知映射f：A→B，其中，集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4}，集合B中元素的个数为：7.6.已知定义在[,+∞)的函数f(x)，若f(f(f(k)))=25，则实数k 等于多少？已知定义在[,+∞)的函数f(x)：f(x) = {x+2 (x≥2)。

2 (≤x<2)。

x (x<0)}若f(f(f(k)))=25，则实数k=4.2.2 函数的定义域和值域1.已知函数f(x)=(1+x)/(1-x)，其定义域为M，f[f(x)]的定义域为N，则M∩N=什么？已知函数f(x)=(1+x)/(1-x)，其定义域为M，f[f(x)]的定义域为N，则M∩N={x|-1<x<1}。

2.若f(x)的定义域为(0,1)，-1/2<a<1/2，那么函数g(x)=f(x+a)+f(x-a)的定义域是什么？若f(x)的定义域为(0,1)，-1/2<a<1/2，则函数g(x)=f(x+a)+f(x-a)的定义域为：(a,1-a)。

3.函数y=x-2x+a在[0,3]上的最小值是4，则a=什么？若最大值是4，则a=什么？当函数y=x-2x+a在[0,3]上的最小值是4时，a=2.当最大值是4时，a=1.4.已知函数f(x)=3-4x-2x²，下列结论不正确的是哪个？已知函数f(x)=3-4x-2x²，下列结论不正确的是：C。

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》2

2024年高考数学总复习第二章《函数与基本初等函数》§2.2函数的单调性与最值最新考纲1.通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质．1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；(4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x 1，x 2∈D ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似．2．写出对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间．提示(－∞，－a ]和[a ，＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．(×)(2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．(×)(5)所有的单调函数都有最值．(×)题组二教材改编2．函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是____________．答案[1，＋∞)(或(1，＋∞))3．函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是______．答案24．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2.题组三易错自纠5．函数y ＝12log (x 2－4)的单调递减区间为________．答案(2，＋∞)6．若函数f (x )＝|x －a |＋1的增区间是[2，＋∞)，则a ＝________.答案2解析∵f (x )＝|x －a |＋1的单调递增区间是[a ，＋∞)，∴a ＝2.7．函数y ＝f (x )是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．答案[－1,1)解析－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a＋1>2a，解得－1≤a<1.8．函数f(x)1x，x≥1，－x2＋2，x<1的最大值为________．答案2解析当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.题型一确定函数的单调性命题点1求函数的单调区间例1(1)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析函数y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9图象的对称轴为直线x＝1，由x2－2x－8>0，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的一个单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．(2)函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间是__________________．答案[－1,0]，[1，＋∞)解析由题意知，当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4；当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，二次函数的图象如图．由图象可知，函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．命题点2讨论函数的单调性例2判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性．解函数f (x )＝ax 2＋1x(1<a <3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1＝(x 2－x 1)a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4，1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3，所以2<a (x 1＋x 2)<12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增．引申探究如何用导数法求解本例？解f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，所以1≤x 3≤8，又1<a <3，所以2ax 3－1>0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上是增函数．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．跟踪训练1(1)下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是()A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x －xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案C解析由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(2)函数f (x )＝(a －1)x ＋2在R 上单调递增，则函数g (x )＝a |x －2|的单调递减区间是______________．答案(－∞，2]解析因为f (x )在R 上单调递增，所以a －1>0，即a >1，因此g (x )的单调递减区间就是y ＝|x －2|的单调递减区间(－∞，2]．(3)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________．答案[1,2]解析f (x )2－2x ，x ≥2，x 2＋2x ，x <2.画出f (x )图象，由图知f (x )的单调递减区间是[1,2]．题型二函数的最值1．函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为____________．答案[－1,1)解析由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y 1－y.由x 2≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1)．2．函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为________．答案2解析由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1.可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin θ∈[0，π]，所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2.3．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．答案[3，＋∞)解析函数y 2x ＋1，x ≤－1，，－1<x <2，x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)．4．函数y ＝3x ＋1x －2的值域为________________．答案{y |y ∈R 且y ≠3}解析y ＝3x ＋1x －2＝3(x －2)＋7x －2＝3＋7x －2，因为7x －2≠0，所以3＋7x －2≠3，所以函数y ＝3x ＋1x －2的值域为{y |y ∈R 且y ≠3}．5．函数f (x )－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案3解析由于y 在[－1,1]上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.6．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ()A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关答案B 解析方法一设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.方法二由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关，故选B.思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)分离常数法：形如求y＝cx＋dax＋b(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．题型三函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，设a＝f －12，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．c>a>b B．c>b>aC．a>c>b D．b>a>c答案D解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f －12f522<52<3，所以b>a>c.命题点2解函数不等式例4(2018·四川成都五校联考)设函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)<0的解集是()A．{x|－3<x<0或x>3}B．{x|x<－3或0<x<3}C．{x|x<－3或x>3}D．{x|－3<x<0或0<x<3}答案B解析∵f(x)是奇函数，f(－3)＝0，∴f(－3)＝－f(3)＝0，解得f(3)＝0.∵函数f(x)在(0，＋∞)内是增函数，∴当0<x<3时，f(x)<0；当x>3时，f(x)>0.∵函数f(x)是奇函数，∴当－3<x<0时，f(x)>0；当x<－3时，f(x)<0.则不等式f (x )<0的解集是{x |0<x <3或x <－3}．命题点3求参数的取值范围例5(1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D ．π答案C解析∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin∴当x －π4∈－π2，π2，即x ∈－π4，3π4时，y ＝sinf (x )＝－2sin ∴－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调减区间，结合条件得[0，a ]⊆－π4，3π4，∴a ≤3π4，即a max ＝3π4.(2)已知函数f (x )2＋12a －2，x ≤1，x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案(1,2]解析由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)(2018·安徽滁州中学月考)已知函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______________．答案(－4,4]解析设g (x )＝x 2－ax ＋3a ，根据对数函数及复合函数的单调性知，g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0，2，a >0，∴－4<a ≤4，∴实数a 的取值范围是(－4,4]．思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)如果函数f (x )2－a )x ＋1，x <1，x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________．答案32，解析对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．－a >0，>1，2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是32，(2)已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)<f x 的取值范围是______________．答案12，解析因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，且满足f (2x －1)<所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．yD ．y ＝x ＋1x答案A解析函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为()A．(－∞，1]B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]D．[1，＋∞)答案B解析设t＝x2－2x－3，由t≥0，即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为[3，＋∞)．3．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)答案A解析因为f(x)是偶函数，所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，所以f(π)>f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．4．已知函数f(x)－2a)x，x≤1，a x＋13，x>1，当x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x1－x2<0，则a的取值范围是()，13 B.13，12，12 D.14，13答案A解析当x1≠x2时，f(x1)－f(x2)x1－x2<0，∴f(x)是R上的减函数．∵f(x)－2a)x，x≤1，a x＋13，x>1，－2a<1，a<1，－2a≥13，∴0<a≤13.5．设f (x )x －a )2，x ≤0，＋1x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为()A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案D 解析∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6．已知函数f (x )2x ，x ≥1，＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A 解析若函数f (x )在R 上单调递增，则需log 21≥c ＋1，即c ≤－1.由于c ＝－1，即c ≤－1，但c ≤－1不能得出c ＝－1，所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．7．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为________________．答案a >b >c 解析∵f (x )在R 上是奇函数，∴a ＝－log f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8，∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .8．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是______________．答案－14，0解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是－140.9．记min{a ，b }，a ≤b ，，a >b ，若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．答案6解析由题意知，f (x )＋2，0≤x ≤4，－x ，x >4，易知f (x )max ＝f (4)＝6.10．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)解析作函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.11．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．(1)证明当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2.设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)解设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，所以a ≤1.综上所述，0<a ≤1.12．(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )x )，x >0，f (x )，x <0.(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解(1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0，∴a ＝1.从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )x ＋1)2，x >0，(x ＋1)2，x <0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，由g (x )在[－2,2]上是单调函数，知－2－k 2≤－2或－2－k 2≥2，得k ≤－2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．13．已知函数f (x )3，x ≤0，(x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是()A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)答案D 解析∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.14．已知f (x )2－4x ＋3，x ≤0，x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案(－∞，－2)解析二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．15．已知函数f (x )＝2020x ＋ln(x 2＋1＋x )－2020－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为____________．答案解析由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上单调递增，∴2x －1>－2x ，∴x >14，∴16．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1.(1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解(1)2－1>0，x 2－1<3，得2<x <2或－2<x <－ 2.∴原不等式的解集为(－2，－2)∪(2，2)．(2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数，∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立．设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1,1]，∴(－1)≥0，(1)≥0，m ＋m 2≥0，2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。

函数知识点复习整理

函数知识点复习整理函数是数学中的基本概念之一，它在解决问题、研究现象和建模等方面起到了重要的作用。

函数的知识点主要包括函数的定义、函数的性质和函数的应用等方面。

下面就对函数的知识点进行复习整理。

一、函数的定义函数是一种特殊的关系，它把一个集合与另一个集合中的元素进行对应。

数学中常用的函数记作f(x)，其中x表示自变量，f(x)表示因变量。

函数的定义包括以下几个要素：1.自变量的定义域：自变量x的取值范围，通常用集合表示。

2.因变量的值域：因变量f(x)的取值范围，也用集合表示。

3.函数表达式：函数的具体表达形式，可以是一个公式或者一个算法。

4.函数名称：给函数取一个名称，以便于引用和表示。

二、函数的性质函数的性质主要包括函数的奇偶性、周期性、单调性、有界性、连续性和可导性等方面。

下面对这些性质进行详细讲解：1.奇偶性：如果对于函数f(x)，有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。

2.周期性：如果对于函数f(x)，存在一个正数T，使得对于任意x，有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数。

3.单调性：如果对于函数f(x)中的任意两个数a和b，当a<b时，有f(a)<f(b)；当a>b时，有f(a)>f(b)，则称函数f(x)在区间(a,b)上单调递增；反之，如果当a<b时，有f(a)>f(b)；当a>b时，有f(a)<f(b)，则称函数f(x)在区间(a,b)上单调递减。

4.有界性：如果对于函数f(x)中的任意x，存在两个常数M和N，使得当，x，>M时，有，f(x)，<N，称函数f(x)在无穷远处有界。

5.连续性：如果对于函数f(x)中的任意x0，当，x-x0，趋近于0时，有f(x)趋近于f(x0)，则称函数f(x)在点x0处连续。

6.可导性：如果对于函数f(x)中的任意x0，存在一个常数f'(x0)，使得当x趋近于x0时，有[f(x)-f(x0)]/[x-x0]趋近于f'(x0)，则称函数f(x)在点x0处可导。

中考数学总复习《函数》专项测试卷-附参考答案

中考数学总复习《函数》专项测试卷-附参考答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图所示，抛物线L：y=ax2+bx+c（a<0）的对称轴为x=5，且与x轴的左交点为（1,0）则下列说法正确的有（）①C（9,0）；②b+c＞-10；③y的最大值为-16a；④若该抛物线与直线y=8有公共交点，则a的取值范围是a≤ 1 2．A．①②③④B．①②③C．①③④D．①④2．若y+3与x-2成正比例，则y是x的()A．正比例函数B．不存在函数关系C．一次函数D．以上都有可能3．关于函数y＝2x﹣1，下列结论成立的是（）A．当x＜0时，则y＜0B．当x＞0时，则y＞0C．图象必经过点（0，1）D．图象不经过第三象限4．关于一次函数y＝x＋2，下列说法正确的是（）A．y随x的增大而减小B．经过第一、三、四象限C．与y轴交于（0，2）D．与x轴交于（2，0）5．点P(3，y1)、Q (4，y2)是二次函数y=x2−4x+5的图象上两点，则y1与y2的大小关系为（）A．y1>y2B．y1<y2C．y1=y2D．无法确定6．快、慢两车分别从甲、乙两地同时出发，相向匀速行驶，两车在途中相遇时都停留了一段时间，然后分别按原速度原方向匀速行驶，快车到达乙地后休息半小时后，再以另一速度原路匀速返回甲地（掉头的时间忽略不计），慢车到达甲地以后即停在甲地等待快车．如图所示为快、慢两车间的距离y （千米）与快车的行驶时间x（小时）之间的函数图象．则下列说法：①两车在途中相遇时都停留了1小时；②快车从甲地去乙地时每小时比慢车多行驶40km；③快车从乙地返回甲地的速度为120km/h；④当慢车到达甲地的时候，快车与甲地的距离为400km．其中正确的有（）A．4B．3C．2D．17．如图，动点A在抛物线y=−x2+2x+3(0≤x≤3)上运动，直线l经过点（0,6），且与y轴垂直，过点A做AC⊥ l于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，则另一对角线BD的取值范围正确的是（）A．2≤BD≤3B．3≤BD≤6C．1≤BD≤6D．2≤BD≤68．如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx,y=−2x的图像交于A,B两点，过A作y轴的垂线，交函数y=3x的图像于点C，连接BC，则ΔABC的面积为（）A．2B．3C．5D．69．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点是A，对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点为B（4，0）；直线AB的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝mx+n有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，则则y1＞y2，其中正确的是（）A．①②B．①③⑤C．①④D．①④⑤10．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）A．B．C．D．11．如图，在平面直角坐标系中，ΔA1A2A3，ΔA3A4A5，ΔA5A6A7，…都是等边三角形，其边长依次为2，4，6，…，其中点A1的坐标为(2，0)，点A2的坐标为(1，−√3)，点A3的坐标为(0，0)，点A4的坐标为(2，2√3)，…，按此规律排下去，则点A2020的坐标为()A．(1，−1009√3)B．(1，−1010√3)C．(2，1009√3)D．(2，1010√3)12．如图，二次函数y=-x2+bx+c 图象上有三点A(-1，y1 )、B(1，y2) 、C（2，y3），则y1，y2，y3大小关系为（）A．y1＜y3＜y2B．y3＜y1＜y2C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3二、填空题(共6题；共6分)13．点P(1,1)向左平移两个单位后恰好位于双曲线y=k x上，则k=．14．将二次函数y=−x2+3的图像向下平移5个单位长度，所得图像对应的函数表达式为．15．如图，已知A1（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1）…，则点A2021的坐标为.16．请写出一个二次函数，使它的图象同时满足下列两个条件：①开口向下，②与y轴的交点是（0，1），你写出的函数表达式是．17．若点P(n，1)，Q(n+6，3)在正比例函数图象上，请写出正比例函数的表达式. 18．在−3，−2，−1，4，5五个数中随机选一个数作为一次函数y=kx−3中k的值，则一次函数y=kx−3中y随x的增大而减小的概率是.三、综合题(共6题；共67分)19．3−√(−3)2+|√3−2|（1）计算：(−1)2021+√16+√−27（2）如图所示的是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是(−1，2)，实验室的位置是(2，3)．①根据所给条件建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示食堂，宿舍楼和大门的位置．②已知办公楼的位置是(−2，1)，教学楼的位置是(3，1)，在①中所画的图中标出办公楼和教学楼的位置．20．汽车出发1小时后油箱里有油40L，继续行驶若干小时后，在加油站加油若干升（加油时间忽略不计）．图象表示出发1小时后，油箱中剩余测量（y）与行驶时间t（h）之间的关系．（1）汽车行驶h后加油，中途加油L；（2）求加油前油箱剩余量y与行驶时间t的函数关系式；（3）若加油前后汽车都以80km/h匀速行驶，则汽车加油后最多能行驶多远？21．凤凰单丛（枞）茶，是潮汕的名茶，已有九百余年的历史．潮汕人将单丛茶按香型分为黄枝香、芝兰香、桃仁香、玉桂香、通天香、鸭屎香等多种．清明采茶季后，某茶叶店准备购买通天香和鸭屎香两种单丛茶进行销售，已知若购买4千克通天香单丛和3千克鸭屎香单丛需要2500元，购买2千克通天香单丛和5千克鸭屎香单丛需要2300元．（1）求通天香、鸭屎香两种茶叶的单价分别为多少元？（2）茶叶专卖店计划购买通天香、鸭屎香两种单丛茶共80千克，总费用不多于26000元，并且要求通天香茶叶数量不能低于10千克，那么应如何安排购买方案才能使总费用最少，最少费用应为多少元？22．为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：甲：所有商品按原价8.5折出售；乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y甲元，去乙商店购买实付y乙元，其函数图象如图所示.（1）分别求y甲，y乙关于x的函数关系式；（2）两图象交于点A，求点A坐标；（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．23．直线y=kx+b经过A（0，-3）)和B（-3，0）两点．（1）求这个一次函数的解析式；（2）画出图象，并根据图象说明不等式kx+b<0的解集．24．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场，下面的函数图象表示“龟兔再次赛跑”时，则乌龟所走路程y1（米）和兔子所走的路程y2（米）分别与乌龟从起点出发所用的时间x（分）之间的函数图象，根据图象解答下列问题：（1）“龟兔再次赛跑”的路程是米，兔子比乌龟晚走了分钟，乌龟在途中休息了分钟，“龟兔再次赛跑”获胜的是．（2）分别求出乌龟在途中休息前和休息后所走的路程y1关于时间x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）乌龟和兔子在距离起点米处相遇．参考答案1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】C 9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】D 12．【答案】A 13．【答案】-114．【答案】y =−x 2−2 15．【答案】（506，﹣505）16．【答案】y =−x 2+x +1 （不唯一） 17．【答案】y =13x 18．【答案】3519．【答案】（1）解：原式=−1+4−3−3+2−√3=−1−√3（2）解：①根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，如下：∴食堂(−4，4)，宿舍楼（-5，1），大门(1，−1) ②办公楼和教学楼的位置如图所示．20．【答案】（1）4；35（2）解：设y 与x 的函数关系式为y ＝kt+b 把（1，40）和（4，10）代入得{k +b =404k +b =10解得 {k =−10b =50∴加油前油箱剩余油量y 与行驶时间t 的函数关系式y ＝﹣10t+50（3）解：由图象知，汽车加油前行驶了3小时，则用油40﹣10＝30（L ） ∴汽车行驶1小时耗油量为 303＝10（L/h ）加油后邮箱中剩余油量45L ，可以行驶 4510 ×80＝360（km ）．∴汽车加油后最多能行驶360km ．21．【答案】（1）解：设通天香茶叶每千克为x 元，鸭屎香茶叶每千克为y 元，根据题意，得{4x +3y =25002x +5y =2300解得{x =400y =300∴通天香茶叶每千克为400元，鸭屎香茶叶每千克为300元．（2）解：设购买通天香茶叶m 千克，鸭屎香茶叶（80－m ）千克，总费用w 元根据题意，得400m +300(80−m)≤26000 解得m ≤20 ∵m ≥10∴m 的取值范围是：10≤m ≤20总费用w =400m +300(80−m)=100m +24000 ∵100>0∴w 随着m 的增大而增大∴当m ＝10时，则w 最少，w 最少＝1000＋24000＝25000（元）∴通天香茶叶购进10千克，鸭屎香茶叶购进70千克，总费用最少为25000元．22．【答案】（1）解：由题意可得，y 甲=0.85x ；乙商店：当0≤x≤300时，则y 乙与x 的函数关系式为y 乙=x ；当x ＞300时，则y 乙=300+（x-300）×0.7=0.7x+90 由上可得，y 乙与x 的函数关系式为y 乙={x(0≤x ≤300)0.7x +90(x ＞300)（2）解：由{y 甲＝0.85xy 乙＝0.7x +90，解得{x ＝600y 乙＝510点A 的坐标为（600，510）；（3）解：由点A 的意义，当买的体育商品标价为600元时，则甲、乙商店优惠后所需费用相同，都是510元结合图象可知当x ＜600时，则选择甲商店更合算；当x=600时，则两家商店所需费用相同；当x ＞600时，则选择乙商店更合算．23．【答案】（1）解：将A(0，−3)，B(−3，0)代入y =kx +b 得{b =−3−3k +b =0解得：k =−1，b =−3∴y =−x −3一次函数的解析式为：y =−x −3．（2）解：作图如下：由图象可知：直线从左往右逐渐下降，即y 随x 的增大而减小当x =−3时∴kx +b <0的解集为：x >−3．24．【答案】（1）1000；40；10；兔子（2）解：设乌龟在途中休息前所走的路程y 1关于时间x 的函数解析式为y 1＝kx ∴600＝30k ，解得k ＝20∴乌龟在途中休息前所走的路程y 1关于时间x 的函数解析式为y 1＝20x （0≤x≤30）设乌龟在途中休息后所走的路程y 1关于时间x 的函数解析式为y 1＝k′x+b∴{40k ′+b =60060k ′+b =1000，解得{k ′=20b =−200∴乌龟在途中休息后所走的路程y1关于时间x的函数解析式为y1＝20x﹣200（40≤x≤60）；（3）750第11页共11。

高中数学函数经典复习题含答案

高中数学函数经典复习题含答案1、求函数的定义域1）y=(x-1)/(x^2-2x-15)先求分母为0的解：x^2-2x-15=0x-5)(x+3)=0得到：x=5或x=-3但是x=-3不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,-3)∪(-3,5)∪(5,+∞)2）y=1-((x+1)/(x+3))-3先求分母为0的解：x+3=0得到：x=-3但是x=-3不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,-3)∪(-3,-1)∪(-1,+∞)2、设函数1/(x-1)+(2x-1)+4-x^2的定义域为[1,∞)，则函数f(x^2)的定义域为[1,∞)；函数f(x-2)的定义域为[3,∞)。

3、若函数f(x+1)的定义域为[-2,3]，则函数f(2x-1)的定义域为[-1,2]，函数f(2x-1)的值域为[-2,3]。

4、已知函数f(x)的定义域为[-1,1]，且函数F(x)=f(x+m)-f(x-m)的定义域存在，求实数m的取值范围。

因为F(x)的定义域存在，所以f(x+m)和f(x-m)的定义域必须都存在，即：1≤x+m≤11≤x-m≤1将两个不等式联立，得到：1≤x≤1m≤x≤m所以m的取值范围为[-1,1]。

二、求函数的值域5、求下列函数的值域：1）y=x+2/x-3 (x∈R)先求分母为0的解：x-3=0得到：x=3但是x=3不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,3)∪(3,+∞)当x→±∞时，y→±∞，所以值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)2）y=x+2/x-3 (x∈[1,2])先求分母为0的解：x-3=0得到：x=3但是x=3不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为[1,3)∪(3,2]∪(2,+∞)当x→1+时，y→-∞，当x→2-时，y→+∞，所以值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)3）y=22/(3x-13x-1)先求分母为0的解：3x-13x-1=0得到：x=4但是x=4不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,4)∪(4,+∞)当x→±∞时，y→0，所以值域为(0,+∞)4）y=(5x^2+9x+4)/(2x-6) (x≥5)当x→+∞时，y→+∞，当x→5+时，y→+∞，所以值域为[5,+∞)5）y=(x-3)/(x+1)+x+1先求分母为0的解：x+1=0得到：x=-1但是x=-1不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)化简得到y=x-2，所以值域为(-∞,-2]∪[-2,+∞)6）y=(x-3+x+1)/(2x-1x+2)先求分母为0的解：2x-1=0或x+2=0得到：x=1/2或x=-2但是x=1/2不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,1/2)∪(1/2,-2)∪(-2,+∞)化简得到y=1/2，所以值域为{1/2}7）y=x^2-x/(x+2)先求分母为0的解：x+2=0得到：x=-2但是x=-2不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞)化简得到y=x-2-5/(x+2)，所以值域为(-∞,-13/4]∪[1/4,+∞)8）y=(2-x^2-x)/(3x+6)先求分母为0的解：3x+6=0得到：x=-2但是x=-2不在定义域内，因为分母为0时分式无意义，所以定义域为(-∞,-2)∪(-2,+∞)化简得到y=-1/3，所以值域为{-1/3}三、求函数的解析式1、已知函数f(x-1)=x-4x，求函数f(x)，f(2x+1)的解析式。

函数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的综合应用复习

函数复习内容：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、函数的综合应用一．常见函数（基本初等函数）： 1．)(为常数C C y = 2．)0(≠+=k b kx y 3．)0(2≠++=a c bx axy 4．xy 1=5．幂函数：)(Q a x y a∈=（包括前四个函数） 6．指数函数：)10(≠>=a a a y x且 7．对数函数：)10(log≠>=a a x y a 且8．三角函数：x y sin =，x y cos =，x y tan =，x y cot =，x y sec =，x y csc =由以上函数进行四则运算、复合运算得到的函数都是初等函数。

如：d cx bxax y +++=23，xx y 2log1sin +=，xxy 513+=，试着分析以上函数的构成。

二．定义域： 1．“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、换元时易忽略定义域。

2．求定义域：例1求下列函数定义域：（1）2()lg (31)f x x =+ （2）)25(logsin )(221x x x f -+=例2设2()lg 2x f x x+=-，则2()()2x f f x+的定义域为__________变式练习：24)2(xx f -=-，求)(x f 的定义域。

三．值域：1．①432+=xx y ②11y 22+-=xx2． ①1+=x x y ②11+-=x x y③]5,1(,14522∈-+-=x xx xy ④1sin 10sin 7sin2+++=x x x y3． ①2123y x x =++； ②22422--=x xx y4． ①12-+-=x x y ； ②y x =-5． ①)3)(cos 3(sin ++=x x y②已知直角三角形的三边之和为2，求此三角形面积S 的最大值。

③1cos 2cos --=x x y ④2sin 1cos --=x x y6．函数23x x21)x (f 2+-=的定义域和值域都是]b ,1[(b>1),求b 的值。

函数复习(函数定义,性质)

函数复习1（定义，性质）1函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．4分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．例1设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于( )A．－2x＋1 B．2x－1 C．2x－3 D．2x＋7练习1已知f＝x2＋5x，则f(x)＝____________.例2设函数f(x)＝则f(f(3))＝( )A. B．3 C. D.练习1设函数f(x)＝若f(x)>4，则x的取值范围是______．练习2已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.例3若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝________.例4有以下判断：(1)f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；(3)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；其中正确判断的序号是________．练习1试判断以下各组函数是否表示同一函数．(1)y＝1，y＝x0；(2)y＝·，y＝；(3)y＝x，y＝；(4)y＝|x|，y＝()2.例5若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)＝( ) A．x－1 B．x＋1 C．2x＋1 D．3x＋3例6设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的是________．1单调函数的定义增函数减函数自左向右看图象逐渐下降2单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．3函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．4函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．[注意]　单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．例1函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A．k> B．k<C．k>－D．k<－练习1下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A． y＝ln(x＋2) B．y＝－C．y＝x D．y＝x＋练习2若函数f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f(1)＝( )A．－7 B．1 C．17 D．25练习3若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是( )A．增函数B．减函数 C．先增后减 D．先减后增例2 f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调增区间为________；f(x)max＝________.例3证明函数f(x)＝2x－在(－∞，0)上是增函数．例4函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( )A．[1,2] B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞)例5(1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2－m)<f(m2)的实数m的取值范围是________．(2)(2012·安徽高考)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.例6函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．练习1若函数y＝|2x－1|，在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________．例7求函数f(x)＝的单调区间．函数复习1（定义，性质）1函数的概念(1)函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应；那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.(2)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．2函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么称对应f：A→B为集合A到集合B的一个映射．4分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．例1设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于( )A．－2x＋1 B．2x－1 C．2x－3 D．2x＋7练习1已知f＝x2＋5x，则f(x)＝____________.解析：令t＝，则x＝.所以f(t)＝＋. 故f(x)＝(x≠0)．答案：(x≠0)例2设函数f(x)＝则f(f(3))＝( )A. B．3 C. D.练习1设函数f(x)＝若f(x)>4，则x的取值范围是______．[自主解答]　当x<1时，由f(x)>4，得2－x>4，即x<－2；当x≥1时，由f(x)>4得x2>4，所以x>2或x<－2，由于x≥1，所以x>2.综上可得x<－2或x>2.[答案]　(－∞，－2)∪(2，＋∞)练习2已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________.解析：∵f(0)＝3×0＋2＝2，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，∴a＝2.答案：2例3若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝________.解析：由已知得得即f(x)＝x2－4x＋3.所以f(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8.答案：8例4有以下判断：(1)f(x)＝与g(x)＝表示同一函数；(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个；(3)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数；其中正确判断的序号是________．[答案]　(2)(3)练习1试判断以下各组函数是否表示同一函数．(1)y＝1，y＝x0；(2)y＝·，y＝；(3)y＝x，y＝；(4)y＝|x|，y＝()2.解：(1)y＝1的定义域为R，y＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，故它们不是同一函数．(2)y ＝·的定义域为{x |x ≥2}．y ＝的定义域为{x |x ≥2，或x ≤－2}，故它们不是同一函数．(3)y ＝x ，y ＝＝t ，它们的定义域和对应关系都相同，故它们是同一函数．(4)y ＝|x |的定义域为R ，y ＝()2的定义域为{x |x ≥0}，故它们不是同一函数．例5若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋3例6设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________．解析：由函数的定义，对定义域内的每一个x 对应着唯一一个y ，据此排除①④，③中值域为{y |0≤y ≤3}不合题意．答案：②1单调函数的定义自左向右看图象逐渐下降2单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．3函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．4函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．[注意]　单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．例1函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A．k> B．k<C．k>－D．k<－练习1下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )B． y＝ln(x＋2) B．y＝－C．y＝x D．y＝x＋练习2若函数f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f(1)＝( )A．－7 B．1 C．17 D．25练习3若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是( )A．增函数B．减函数 C．先增后减 D．先减后增例2 f(x)＝x2－2x(x∈[－2,4])的单调增区间为________；f(x)max＝________.解析：函数f(x)的对称轴x＝1，单调增区间为[1,4]，f(x)max＝f(－2)＝f(4)＝8.答案：[1,4]　8例3证明函数f(x)＝2x－在(－∞，0)上是增函数．[自主解答]　设x1，x2是区间(－∞，0)上的任意两个自变量的值，且x1<x2.则f(x1)＝2x1－，f(x2)＝2x2－，f(x1)－f(x2)＝－＝2(x1－x2)＋＝(x1－x2)由于x1<x2<0，所以x1－x2<0,2＋>0，因此f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(－∞，0)上是增函数．例4函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( )A．[1,2] B．[－1,0] C．[0,2] D．[2，＋∞)解析：选A　由于f(x)＝|x－2|x＝结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．例5(1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2－m)<f(m2)的实数m的取值范围是________．(2)(2012·安徽高考)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.[自主解答]　(1)∵f(x)在R上为增函数，∴2－m<m2.∴m2＋m－2>0.∴m>1或m<－2.(2)由f(x)＝可得函数f(x)的单调递增区间为，故3＝－，解得a＝－6.[答案]　(1)(－∞，－2)∪(1，＋∞)　(2)－6例6函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．解析：y＝－(x－3)|x|＝作出该函数的图象，观察图象知递增区间为.答案：练习1若函数y＝|2x－1|，在(－∞，m]上单调递减，则m的取值范围是________．解析：画出图象易知y＝|2x－1|的递减区间是(－∞，0]，依题意应有m≤0.答案：(－∞，0]练习2求函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间；解：(1)由于y＝即y＝画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．例7求函数f(x)＝的单调区间．解：设u＝x2＋x－6，y＝.由x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.结合二次函数的图象可知，函数u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．又∵函数y＝是递增的，∴函数f(x)＝在(－∞，－3]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．。

高三函数专题复习

函数、函数与方程及函数的应用考点整合1.函数的性质(1)单调性(ⅰ)用来比较大小，求函数最值，解不等式和证明方程根的唯一性.(ⅱ)常见判定方法：①定义法：取值、作差、变形、定号，其中变形是关键，常用的方法有：通分、配方、因式分解；②图象法；③复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；④导数法.(2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )；②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0；③奇函数在关于原点对称的区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间内有相反的单调性；(3)周期性：常见结论有①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x －2a )＝f (x )(a ＞0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数；②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数；③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数；④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数. 2.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.(2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.3.求函数值域有以下几种常用方法：(1)直接法；(2)配方法；(3)基本不等式法；(4)单调性法；(5)求导法；(6)分离变量法.除了以上方法外，还有数形结合法、判别式法等.4.函数的零点问题(1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解.5.应用函数模型解决实际问题的一般程序读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答）与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.热点一函数性质的应用【例1】 (1)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为________(从小到大排序).(2)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x 与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则()∑=+mi i i y x 1＝________.探究提高 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值.(2)利用函数的对称性关键是确定出函数图象的对称中心(对称轴).【训练1】 (1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.(2)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.热点二函数图象的应用【例2】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0.若|f (x )|≥ax ，则实数a 的取值范围是________.(2)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则实数a 的取值范围是________.探究提高 (1)涉及到由图象求参数问题时，常需构造两个函数，借助两函数图象求参数范围.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.【训练2】设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ）x<0的解集为________.热点三函数与方程问题[微题型1] 函数零点个数的求解【例3－1】函数f (x )＝4cos 2x 2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________.探究提高解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.[微题型2] 由函数的零点(或方程的根)求参数【例3－2】 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1e x ，x ≥a ，－x －1，x ＜a ，g (x )＝f (x )－b .若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个零点，则实数a 的取值范围为________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－|x |，x ≤2，（x －2）2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是________.探究提高利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.【训练3】设函数f(x)＝x2＋3x＋3－a·e x(a为非零实数)，若f(x)有且仅有一个零点，则a的取值范围为________.1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f(x)＝1x ln x的定义域时，只考虑x＞0，忽视ln x≠0的限制.2.如果一个奇函数f(x)在原点处有意义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.3.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较.(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；(3)底数不同、指数也不同，或底数不同，真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小.4.对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.一、填空题1.函数f(x)＝ln x＋1－x的定义域为________.2.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________.3.函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，－x 2＋1，x ＞0的值域为________.4.定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________.5.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________.6.已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2，2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是________.7.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －[x ]，x ≥0，f （x ＋1），x ＜0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数.若直线y ＝k (x ＋1)(k ＞0)与函数y ＝f (x )的图象恰有三个不同的交点，则实数k 的取值范围是________.8.设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ，x ＜1，4（x －a ）（x －2a ），x ≥1.(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________.二、解答题9.已知函数f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)＝f(x)－h(x)，若函数k(x)在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围.。

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