2017-2018年湖北省鄂州市鄂城区八年级上学期期中数学试卷及参考答案

2017-2018学年湖北省鄂州市鄂城区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列体育运动标志中，从图案看不是轴对称图形的有（）个．A．4 B．3 C．2 D．12．（3分）三条线段a，b，c分别满足下列条件，其中能构成三角形的是（）A．a+b=4，a+b+c=9 B．a：b：c=1：2：3C．a：b：c=2：3：4 D．a：b：c=2：2：43．（3分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：1，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形4．（3分）能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是（）A．中线B．角的平分线C．高线D．三角形的角平分线5．（3分）如图，已知∠BAC=∠DAE=90°，AB=AD，下列条件能使△ABC≌△ADE 的是（）A．∠E=∠C B．AE=ACC．BC=DE D．ABC三个答案都是6．（3分）如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AC，AE，若AB=AC，AE=CD，AD=CE，则图中的全等三角形有（）A．0对 B．1对 C．2对 D．3对7．（3分）下列各组所述几何图形中，一定全等的是（）A．一个角是45°的两个等腰三角形B．腰长相等的两个等腰直角三角形C．两个等边三角形D．各有一个角是40°，腰长都是8cm的两个等腰三角形8．（3分）下列条件中，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EFC．∠B=∠E，∠A=∠D，AC=EF D．∠B=∠E，∠A=∠D，AB=DE9．（3分）△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=9厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD与△CQP 全等时，v的值为（）A．2.5 B．3 C．2.25或3 D．1或510．（3分）如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=2，则五边形ABCDE的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11．（3分）将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形，设最长的一段的长度为x厘米，则x的取值范围为．12．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，AC=4，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是．13．（3分）如图，一块试验田的形状是三角形（设其为△ABC），管理员从BC 边上的一点D出发，沿DC→CA→AB→BD的方向走了一圈回到D处，则管理员从出发到回到原处在途中身体转过°．14．（3分）如图，在△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，则∠A n﹣1BC CD的平分线相交于点A n，则∠A n的度数为．与∠A n﹣115．（3分）如图，某同学把三角形玻璃打碎三块，现在他要去配一块完全一样的，你帮他想一想，带片去，应用的原理是（用字母表示）．16．（3分）如图，在等边△ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1．点P是AB 上一点，连接OP，以线段OP为一边作正△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是．17．（3分）若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线共有k条，则代数式的值为．18．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PN+PM+MN的最小值是5cm，则∠AOB的度数是．19．（3分）如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为．20．（3分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AC=BQ；④DE=DP；⑤CP=CQ；⑥∠AOB=60°．一定成立的结论有（把你认为正确的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共60分）21．（8分）已知△ABC三边长都是整数且互不相等，它的周长为12，当BC为最大边时，求△ABC三边长．22．（8分）在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm．（1）求BC的长；（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．23．（8分）四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80度．（1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；（3）如图3，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．24．（12分）我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）．对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C l，∠C=∠C l．求证：△ABC≌△A1B1C1．（请你将下列证明过程补充完整．）证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1．则∠BDC=∠B1D1C1=90°，∵BC=B1C1，∠C=∠C1，∴△BCD≌△B1C1D1，∴BD=B1D1．（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论．25．（12分）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动过程中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，请证明你的结论．26．（12分）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），不用说明理由．2017-2018学年湖北省鄂州市鄂城区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列体育运动标志中，从图案看不是轴对称图形的有（）个．A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：（1）（2）（4）都不是轴对称图形，只有（3）是轴对称图形．故选：B．2．（3分）三条线段a，b，c分别满足下列条件，其中能构成三角形的是（）A．a+b=4，a+b+c=9 B．a：b：c=1：2：3C．a：b：c=2：3：4 D．a：b：c=2：2：4【解答】解：A、当a+b=4时，c=5，4＜5，故该选项错误．B、设a，b，c分别为1X，2X，3X，则有a+b=c，不符合三角形任意两边大于第三边，故错误；C、正确；D、设a，b，c分别为2X，2X，4X，则有a+b=c，不符合三角形任意两边大于第三边，故错误．故选：C．3．（3分）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：1，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：1，∴可以假设∠A=x，∠B=2x，∠C=x，则有：4x=180°，x=45°，∴∠A=45°，∠B=90°，∠C=45°，故选：D．4．（3分）能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是（）A．中线B．角的平分线C．高线D．三角形的角平分线【解答】解：∵三角形的中线把三角形分成的两个三角形，底边相等，高是同一条高，∴分成的两三角形的面积相等．故选：A．5．（3分）如图，已知∠BAC=∠DAE=90°，AB=AD，下列条件能使△ABC≌△ADE 的是（）A．∠E=∠C B．AE=ACC．BC=DE D．ABC三个答案都是【解答】解：添加A选项中条件可用AAS判定两个三角形全等；添加B选项中条件可用SAS判定两个三角形全等；添加C选项中条件可用HL判定两个三角形全等；故选：D．6．（3分）如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AC，AE，若AB=AC，AE=CD，AD=CE，则图中的全等三角形有（）A．0对 B．1对 C．2对 D．3对【解答】解：在△ABE和△AEC中，，∴△ABE≌△AEC（SSS），在△AEC和△ADC中，，∴△AEC≌△ADC（SSS），∴△ABE≌△ADC，故选：D．7．（3分）下列各组所述几何图形中，一定全等的是（）A．一个角是45°的两个等腰三角形B．腰长相等的两个等腰直角三角形C．两个等边三角形D．各有一个角是40°，腰长都是8cm的两个等腰三角形【解答】解：A、因为没有指出该角是顶角还是底角则无法判定其全等，故本选项错误；B、因为符合SAS，故本选项正确；C、因为没有指出其边长相等，而全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误；D、因为没有说明该角是顶角还是底角，故本选项错误．故选：B．8．（3分）下列条件中，能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EFC．∠B=∠E，∠A=∠D，AC=EF D．∠B=∠E，∠A=∠D，AB=DE【解答】解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠D不能判定两三角形全等，故本选项错误；B、根据∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF才能得出两三角形全等，故本选项错误；C、根据∠B=∠E，∠A=∠D，AC=DF才能得出两三角形全等，故本选项错误；D、∵在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA），故本选项正确；故选：D．9．（3分）△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=9厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD与△CQP 全等时，v的值为（）A．2.5 B．3 C．2.25或3 D．1或5【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=12厘米，点D为AB的中点，∴BD=6厘米，若△BPD≌△CPQ，则需BD=CQ=6厘米，BP=CP=BC=×9=4.5（厘米），∵点Q的运动速度为3厘米/秒，∴点Q的运动时间为：6÷3=2（s），∴v=4.5÷2=2.25（厘米/秒）；若△BPD≌△CQP，则需CP=BD=6厘米，BP=CQ，∴，解得：v=3；∴v的值为：2.25或3，故选：C．10．（3分）如图，已知五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，AB=CD=AE=BC+DE=2，则五边形ABCDE的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF，∵AB=CD=AE=BC+DE，∠ABC=∠AED=90°，由题中条件可得Rt△ABC≌Rt△AEF，△ACD≌△AFD，∴S ABCDE=2S△ADF=2וDF•AE=2××2×2=4．故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）11．（3分）将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段，以这5小段为边可以围成一个五边形，设最长的一段的长度为x厘米，则x的取值范围为2≤x ＜5．【解答】解：设最长的一段AB的长度为x厘米（如上图），则其余4段的和为（10﹣x）厘米．∵它是最长的边，假定所有边相等，则此时它最小为2，又由线段基本性质知x＜10﹣x，所以x＜5，∴2≤x＜5．即最长的一段AB的长度必须大于等于2厘米且小于5厘米．故答案为：2≤x＜5．12．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，AC=4，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是1．【解答】解：由翻转变换的性质可知：BC=CB′=3，∵CB′长度固定不变，∴当AB′+CB′有最小值时，AB′的长度有最小值．根据两点之间线段最短可知：A、B′、C三点在一条直线上时，AB′有最小值，∴AB′=AC﹣B′C=4﹣3=1．故答案为：1．13．（3分）如图，一块试验田的形状是三角形（设其为△ABC），管理员从BC 边上的一点D出发，沿DC→CA→AB→BD的方向走了一圈回到D处，则管理员从出发到回到原处在途中身体转过360°．【解答】解：∵管理员走过一圈正好是三角形的外角和，∴从出发到回到原处在途中身体转过360°．故答案为：360．14．（3分）如图，在△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，则∠A n﹣1BC与∠A nCD的平分线相交于点A n，则∠A n的度数为96°•（）n．﹣1【解答】解：∵A1B、A1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠A1CD，∠ABC=2∠A1BC，而∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠A1=96°，∴∠A1=48°，同理可得∠A1=2∠A2，即∠A=22∠A2=96°，∴∠A2=24°，∴∠A=2n∠A n，∴∠An=96°×（）n．故答案为96°（）n15．（3分）如图，某同学把三角形玻璃打碎三块，现在他要去配一块完全一样的，你帮他想一想，带3片去，应用的原理是ASA（用字母表示）．【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．故答案为3，ASA．16．（3分）如图，在等边△ABC中，AC=3，点O在AC上，且AO=1．点P是AB 上一点，连接OP，以线段OP为一边作正△OPD，且O、P、D三点依次呈逆时针方向，当点D恰好落在边BC上时，则AP的长是2．【解答】解：∵∠C=∠A=∠DOP=60°，OD=OP，∴∠CDO+∠COD=120°，∠COD+∠AOP=120°，∴∠CDO=∠AOP．∴△ODC≌△POA．∴AP=OC．∴AP=OC=AC﹣AO=2．故答案为：2．17．（3分）若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线共有k条，则代数式的值为200．【解答】解：由题意得，m﹣3=7，n=3，=k，解得，m=10，n=3，k=5，则==200，故答案为：200．18．（3分）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PN+PM+MN的最小值是5cm，则∠AOB的度数是30°．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵PN+PM+MN的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°．故答案为：30°．19．（3分）如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为7．【解答】解：∵ABCD是正方形∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°∵∠ABC+∠ABF=∠BAD+∠DAE∴∠ABF=∠DAE在△AFB和△AED中∠ABF=∠DAE，∠AFB=∠AED，AB=AD∴△AFB≌△AED∴AF=DE=4，BF=AE=3∴EF=AF+AE=4+3=7．故答案为：7．20．（3分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AC=BQ；④DE=DP；⑤CP=CQ；⑥∠AOB=60°．一定成立的结论有①、②、⑤、⑥（把你认为正确的序号都填上）【解答】证明：①∵△ABC和△CDE为等边三角形∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCB=60°∴∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE∴AD=BE，②又∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，∠ADC=∠BEC，∴△CDP≌△CEQ（ASA）．∴CP=CQ，∴∠CPQ=∠CQP=60°，∴∠QPC=∠BCA，∴PQ∥AE，（故②正确）；③∵AC=BC，在△BCQ中，∠BCQ=60°∠BQC＞60°，∴BC＞BQ，∴AC＞BQ，（故③错误）；④∵DE＞QE，且DP=QE，∴DE＞DP，（故④错误）；⑤由（1）中的全等得∠CBE=∠DAC，又∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，又AC=BC，∴△CQB≌△CPA（ASA），∴CP=CQ；（故⑤正确）⑥∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∵等边△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠DEO，∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，∴⑥正确．故答案为：①②⑤⑥．三、解答题（本大题共6小题，共60分）21．（8分）已知△ABC三边长都是整数且互不相等，它的周长为12，当BC为最大边时，求△ABC三边长．【解答】解：根据题意，设BC、AC、AB边的长度分别是a、b、c，则a+b+c=12；∵BC为最大边，∴a最大，又∵b+c＞a，∴a＜6，∵△ABC三边长都是整数，∴a=5，又∵△ABC三边长互不相等，∴其他两边分别为3，4，∴三角形的三边长为AB=4，BC=5，AC=3或AB=3，BC=5，AC=4．22．（8分）在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为6cm．（1）求BC的长；（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．【解答】解：（1）如图，∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴AD=BD，AE=CE，∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，∴BC=6cm；（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，∴OA=OC=OB，∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC=16，∴OC+OB=16﹣6=10cm，∴OC=5cm，∴OA=OC=OB=5cm．23．（8分）四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80度．（1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；（3）如图3，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．【解答】解：（1）因为∠A+∠B+∠C+∠D=360，∠B=∠C，所以∠B=∠C=．（2）∵BE∥AD，∴∠BEC=∠D=80°，∠ABE=180°﹣∠A=180°﹣140°=40°．又∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=∠ABE=40°，∴∠C=180°﹣∠EBC﹣∠BEC=180°﹣40°﹣80°=60°．或解：∵BE∥AD，∴∠ABE=180°﹣∠A=180°﹣140°=40°，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE=80°，∴∠C=360°﹣∠ABC﹣∠A﹣∠D=60°．（3）∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，∴∠ABC+∠BCD=360°﹣∠A﹣∠D=360°﹣140°﹣80°=140°．∵∠EBC=∠ABC，∠BCE=∠BCD，∴∠E=180﹣∠EBC﹣∠BCE=180°﹣（∠ABC+∠BCD）=180°﹣×140°=110°．24．（12分）我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？（1）阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）．对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1C l，∠C=∠C l．求证：△ABC≌△A1B1C1．（请你将下列证明过程补充完整．）证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1．则∠BDC=∠B1D1C1=90°，∵BC=B1C1，∠C=∠C1，∴△BCD≌△B1C1D1，∴BD=B1D1．（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论．【解答】证明：（1）证明：分别过点B，B1作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1．则∠BDC=∠B1D1C1=90°，∵BC=B1C1，∠C=∠C1，∴△BCD≌△B1C1D1，∴BD=B1D1．补充：∵AB=A1B1，∠ADB=∠A1D1B1=90°．∴△ADB≌△A1D1B1（HL），∴∠A=∠A1，又∵∠C=∠C1，BC=B1C1，在△ABC与△A1B1C1中，∵，∴△ABC≌△A1B1C1（AAS）；（2）解：若两三角形（△ABC、△A1B1C1）均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，则它们全等（AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1，则△ABC≌△A1B1C1）．25．（12分）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动过程中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，请证明你的结论．【解答】解：（1）点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系是OA=OB=OC；（2）△OMN的形状是等腰直角三角形，证明：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC中点，∴OA=OB=OC，AO平分∠BAC，AO⊥BC，∴∠AOB=90°，∠B=∠C=45°，∠BAO=∠CAO=45°，∴∠CAO=∠B，在△BOM和△AON中∵，∴△BOM≌△AON（SAS），∴OM=ON，∠AON=∠BOM，∵∠AOB=∠BOM+∠AOM=90°，∴∠AON+∠AOM=90°，即∠MON=90°，∴△OMN是等腰直角三角形．26．（12分）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为垂直，线段CF、BD的数量关系为相等；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足45°条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），不用说明理由．【解答】解：（1）①CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等，理由是：如图2，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∴∠DAC+∠CAF=90°，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°，且∠B=∠ACB=45°，∴∠CAF=∠BAD，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF，∠B=∠ACF=45°，∴∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即∠BCF=90°，∴BC⊥CF，即BD⊥CF；故答案为：垂直，相等；②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立，理由是：如图3，由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=∠ABC=45°∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD；（2）当∠BCA=45°时，CF⊥BD，理由是：如图4，过点A作AQ⊥AC，交BC于点Q，∵∠BCA=45°，∴∠AQC=45°，∴∠AQC=∠BCA，∴AC=AQ，∵AD=AF，∠QAC=∠DAF=90°，∴∠QAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，∴∠QAD=∠CAF，∴△QAD≌△CAF，∴∠ACF=∠AQD=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。