NO.1教育讲义

NO.1教育学科教师辅导讲义学员编号： 年 级：初三 课时数：3课时 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课 题 期末考前压轴题模拟练习授课日期及时段 2013-01-11教学目标通过考前压轴题模拟练习，找到做压轴题的感觉，高效率做对最后几道压轴题重点、难点 通过模拟练习对各种相似题型进行总结，找出规律，熟练方法和思路教学内容1. 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与反比例函数xa y 4+=的图象交于点A (a , -3)，与y 轴交于点B .（1）试确定反比例函数的解析式;（2）若∠ABO =135︒, 试确定二次函数的解析式;（3）在（2）的条件下,将二次函数y =ax 2+ bx + c 的图象先沿x 轴翻折, 再向右平移到 与反比例函数x a y 4+=的图象交于点P (x 0, 6) . 当x 0 ≤x ≤3时, 求平移后的二次函数y 的取值范围. 1．（1）∵A (a , -3)在4a y x+=的图象上,∴43a a +=-.解得1a =-. ……………………………………1分 ∴反比例函数的解析式为3y x=. ……………………………………2分（2）过A 作AC ⊥y 轴于C .∵ A (-1, -3),∴ AC =1，OC =3. ∵ ∠ABO =135︒， ∴ ∠ABC =45︒. 可得 BC =AC =1. ∴ OB =2.∴ B (0, -2). …………………3分由抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于B ，得c = -2. ∵ a = -1,∴22y x bx =-+-.Oxy-1-111234-2-3-4-4-3-2432C BA234-2-3-4-4-3-243211-1-1y xO∵ 抛物线过A (-1，-3), ∴ 123b ---=-. ∴ b =0.∴ 二次函数的解析式为22y x =--. ……………………………………4分 （3）将22y x =--的图象沿x 轴翻折，得到二次函数解析式为22y x =+. ……………5分设将22y x =+的图象向右平移后的二次函数解析式为2()2y x m =-+ (m >0). ∵ 点P （x 0, 6）在函数3y x=上，∴036.x =∴012x =.∴2()2y x m =-+的图象过点1(,6)2P .∴62)21(2=+-m .可得1253,22m m ==-（不合题意，舍去）.∴ 平移后的二次函数解析式为25()22y x =-+. …………………………6分∵ a =1>0, ∴ 当2521≤≤x 时，62≤≤y ; 当325≤<x 时，492≤<y .∴ 当132x ≤≤时，26y ≤≤. ……………………………………7分∴ 平移后的二次函数y 的取值范围为 26y ≤≤. 2．已知抛物线2(2)2y kx k x =+--（其中0k >）．（1）求该抛物线与x 轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k 的代数式表示)； （2）若记该抛物线的顶点坐标为(,)P m n ，直接写出n 的最小值； （3）将该抛物线先向右平移12个单位长度，再向上平移1k个单位长度，随着k 的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）．2．解：（1）令0y =，则 2(2)20kx k x +--=． 整理，得 (1)(2)0x kx +-=． 解得 11x =-，22x k=．∴ 该抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)-，2(,0)k． ………………………2分Oxy -1-111234-2-3-4-4-3-2432ABC抛物线2(2)2y kx k x =+--的顶点坐标为2244(,)24k k k kk-++-． ………3分（2）|n |的最小值为 2 ． …………………………………………………………4分 （3）平移后抛物线的顶点坐标为214(,)4k k k k+-．…………………………………5分由1,14x kk y ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得 114y x =--．∴ 所求新函数的解析式为114y x=--． …………………………………7分3. 把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转α角， 旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，（1）如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为 ；（2）当CBD ∆是等边三角形时，旋转角α的度数是 （α为锐角时）；（3）如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG =CG 时，求点G 的坐标．(4) 如图③，当旋转角90α= 时，请判断矩形EDCF 的对称中心H 是否在以C 为顶点，且经过点A 的抛物线上．图① 图② 图③3. 解：（1）E （4，132） ………………………………………1分（2）︒60 …………………………………………………………………2分 （3）设x CG =，则x EG =，x FG -=6， 在Rt △FGC 中，∵222CGFGCF =+，∴222)6(4x x =-+，解得 313=x ，即313=CG .∴G （4，313）. …………………………………………………………4分（4）设以点C 为顶点的抛物线的解析式为2)4(-=x a y . 把A （0，6）代入得，2)40(6-=a . 解得， 83=a .x y αF E DBO AC xy αF ED BOAC∴此抛物线的解析式为2)4(83-=x y .……………………………………6分∵矩形EDCF 的对称中心为对角线FD 、CE 的交点H ， ∴由题意可知H 的坐标为（7，2）. 当7=x 时，2827)47(832≠=-=y ，∴点H 不在此抛物线上. ………………………………………………7分 4．已知：关于x 的方程(1)(1)20a x a x --++=.（1） 当a 取何值时，方程2(1)(1)20a x a x --++=有两个不相等的实数根； （2） 当整数a 取何值时，方程(1)(1)20a x a x --++=的根都是正整数. 4．解：（1）∵ 方程2(1)(1)20a x a x --++=有两个不相等的实数根，∴ ⎩⎨⎧>∆≠-.0,01a即 []221,(1)4(1)2(3)0.a a a a ≠⎧⎪⎨∆=----⋅=->⎪⎩ ∴ 1≠a 且3≠a . ………2分（2）① 当10a -=时，即1a =时，原方程变为220x -+=.方程的解为 1x =； …………3分② 当10a -≠时，原方程为一元二次方程2(1)(1)20a x a x --++= .[]2224(1)4(1)2(3)0b ac a a a ∆=-=-+--=-≥ .(1)(3)2(1)a a x a -±-=-1221,.1x x a ==- ………4分∵ 方程(1)(1)20a x a x --++=都是正整数根.∴ 只需21a -为正整数.∴ 当11a -=时，即2a =时，22x =；当12a -=时，即3a =时，21x =； ………6分∴ a 取1，2，3时，方程(1)(1)20a x a x --++=的根都是正整数. ………7分5.（本小题满分6分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，O 为BC 边上一点， 以O 为圆心，OB 为半径作半圆与AB 边和BC 边分别 交于点D 、点E ，连接CD ，且CD =CA ，BD =56， tan ∠ADC =2．（1）求证：CD 是半圆O 的切线； （2）求半圆O 的直径； （3）求AD 的长.（1）证明：如图，连接OD ，∵OD ＝OB ，∴∠1＝∠2. ∵CA ＝CD ，∴∠ADC ＝∠A . 在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠1＝90°. ∴∠ADC ＋∠2＝90°. ∴∠CDO ＝90°. ∵OD 为半圆O 的半径，∴CD 为半圆O 的切线. ………………………………………………………………2分 （2）解：如图，连接DE .∵BE 为半圆O 的直径， ∴∠EDB ＝90°. ∴∠1＋∠3＝90°. ∴∠ADC ＝∠3. ∴23tan ==∠EDBD .∴53=ED . ∴1522=+=DEBDEB . ………………………………………………4分（3）解：作CF ⊥AD 于点F ，∴AF ＝DF .设x DF =，∵2tan =∠ADC ，∴CF ＝2x . ∵∠1＋∠FCB ＝90°， ∴ADC FCB ∠=∠.∴2tan =∠FCB . ∴FB ＝4x . ∴BD ＝3 x ＝56. 解得52=x .∴A D ＝2D F ＝2x ＝54. ……………………………………………………………6分 6. 如图，四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠DAB ＝∠ACB ＝90°，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为F ，DE 与AB 相交于点E ．（1）求证：AB ·AF ＝CB ·CD ；（2）已知AB ＝15 cm ，BC ＝9 cm ，P 是射线DE 上的动点．设DP ＝x cm （0x >），四边形BCDP 的面积为y cm 2．①求y 关于x 的函数关系式；②当x 为何值时，△PBC 的周长最小，并求出此时y 的值．6.（1）证明：∵AD C D =，D E A C ⊥，∴DE 垂直平分AC ，∴A F C F =,∠DFA ＝∠DFC ＝90°，∠DAF ＝∠DCF ．E DOBCA321FDO EABCD P ·∵∠DAB ＝∠DAF ＋∠CAB ＝90°，∠CAB ＋∠B ＝90°， ∴∠DCF ＝∠DAF ＝∠B ．∴△DCF ∽△ABC ． …………………………………………………………1分 ∴CD CF ABCB=，即CD AF ABCB=．∴AB ·AF ＝CB ·CD ． ………………………2分（2）解：①∵AB ＝15，BC ＝9，∠ACB ＝90°， ∴222215912AC AB BC=-=-=，∴6C F AF ==．……………………3分∴1963272y x x =+⨯=+（）（0x >）． ………………………………………4分②∵BC ＝9（定值），∴△PBC 的周长最小，就是PB ＋PC 最小．由（1）知，点C 关于直线DE 的对称点是点A ，∴PB +PC ＝PB +P A ，故只要求PB +P A 最小．显然当P 、A 、B 三点共线时PB +P A 最小．此时DP ＝DE ，PB +P A ＝AB ． …………………………5分 由（1），ADF FAE ∠=∠，90D FA AC B ∠=∠=︒，得△DAF ∽△ABC ． EF ∥BC ，得11522AE BE AB ===，EF =92．∴AF ∶BC ＝AD ∶AB ，即6∶9＝AD ∶15． ∴AD ＝10．Rt △ADF 中，AD ＝10，AF ＝6， ∴DF ＝8．∴925822D E D F FE =+=+=． …………………………………………6分∴当252x =时，△PBC 的周长最小，此时1292y =． ………………………………………7分7. 已知：如图，A B 是⊙O 的直径，点E 是O A 上任意一点，过点E 作弦C D AB ⊥，点F是 BC上任一点，连结A F 交C E 于H ，连结AC 、CF 、BD 、OD ． （1）求证：AC H AFC △∽△；（2）猜想：A H A F ⋅与AE AB ⋅的数量关系，并证明你的猜想；（3）试探究：当点E 位于何处时，△A E C 的面积与△B O D 的面积之比为1:2？并加以证明．7.（1）证明：∵ 弦CD ⊥直径AB 于点E ， ∴ A D A C =．∴ ∠ACD =∠AFC ． 又 ∵ ∠CAH =∠F AC ，∴ △ACH ∽△AFC （两角对应相等的两个三角形相似）．--------------1分（2）猜想：AH ·AF =AE ·AB ．证明：连结FB ．∵ AB 为直径，∴ ∠AFB =90°． 又∵ AB ⊥CD 于点E ，∴ ∠AEH =90°．∴AEH AFB ∠=∠． ∵ ∠EAH =∠F AB ，∴ △AHE ∽△ABF ． ∴AFAB AEAH =．∴ AH ·AF =AE ·AB ．------------------------------------------------- -----3分 （3）答：当点E 位于O A 的中点（或12A E O A =）时，△A E C 的面积与△B O D 的面积之比为1:2 ．证明：设 △A E C 的面积为1S ,△B O D 的面积为2S ． ∵ 弦CD ⊥直径AB 于点E ， ∴ 1S =CE AE ⋅21，2S =DE BO ⋅21．∵E 位于O A 的中点，∴2O A A E =．又A B 是⊙O 的直径，∴ 2O B O A A E ==．∴12121222AE C ES C ES D E AE D E ⨯⋅==⨯⋅． 又 由垂径定理知 CE =ED ，∴ 1212S S =．∴ 当点E 位于O A 的中点时，△A E C 的面积与△B O D 的面积之比为1:2 ． -------------------------------------------------7分8.已知：在A B C △中，A B A C =，点D 为B C 边的中点，点F 在A B 上，连结D F 并延长到点E ,使BAE BD F ∠=∠，点M 在线段D F 上，且ABE D BM ∠=∠． （1）如图1，当45A B C ∠=°时，求证：2AE M D =；（2）如图2，当60A B C ∠=°时，则线段A E M D 、之间的数量关系为 ；（3）在（2）的条件下，延长BM 到P ，使M P B M =， 连接C P ，若727AB AE ==，，求tan EAB ∠的值． 8.（1）证明：如图1连结A D,.cos 2............................................................1...............................................245AB AC BD C D AD BC BD AB ABC AB BD AE AB D MD BABC BAE BD M ABE D BMABE D BM ==∴⊥∴=∠=∴==∠=∠=∠∠=∠∴ 即分分又°△∽△22...........................................................3AE M D ∴=分（2）2AE M D =…………………………………4分 （3）解：如图2连结A D E P 、 ,2==∠=∠∴∆∆DBAB BMBE BMD AEB DBM ABE ∽∴BM EB 2= 又B M M P = ,EB BP ∴= .∵ABE D BM ∠=∠︒=∠=∠∴60ABC EBPB E P∴△为等边三角形………………………………..5分︒=∠⊥∴90,BMD BP EM︒=∠=∠∴90BMD AEB在R t A E B △中,27AE = , 7AB =, 分分7 (2)3tan 6 (212)2=∠∴=-=∴EAB AEAB BEtan ∠EAB 的值为329.．在Rt △ABC 中，∠ACB =90 ，AC =BC ，CD ⊥AB 于点D ，点E 为AC 边上一点，联结BE 交CD 于点F ，过点E 作EG ⊥BE 交AB 于点G ，（1） 如图1，当点E 为AC 中点时，线段EF 与EG 的数量关系是 ； （2） 如图2，当12C E A E=，探究线段EF 与EG 的数量关系并且证明；（3） 如图3，当nAECE 1=，线段EF 与EG 的数量关系是 ．图1 图2 图310.．已知函数232+-=x mxy （m 是常数）．（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点；（2）若一次函数1+=x y 的图象与该函数的图象恰好只有一个交点，求m 的值 及这个交点的坐标． 解：（1）当x=0时，2y =．∴不论m 为何值，该函数图象过y 轴上的一个定点（0，2） ………………2分 （2）①当0m =时，函数232+-=x mx y 为一次函数23+-=x y ，令：123+=+-x x ，解得14x =，……………………………………………3分∴交点为（15,44）；………………………………………………………………4分 ②当0m ≠时，函数232+-=x mx y 为二次函数．若一次函数1+=x y 的图象与函数232+-=x mx y 的图象只有一个交点，令2321mx x x -+=+，即2410mx x -+=，…………………………………5分 由△=0，得4m =， ………………………………………………………………6分 此时交点为（13,22）．………………………………………………………………7分 11.如图, 已知抛物线经过坐标原点O 及)0,32(-A ，其顶点为B (m ,3),C 是AB 中点，点E 是直线OC 上的一个动点 (点E 与点O 不重合)，点D 在y 轴上, 且EO =ED . （1）求此抛物线及直线OC 的解析式；（2）当点E 运动到抛物线上时, 求BD 的长； （3）连接AD , 当点E 运动到何处时，△AED 的面积为433，请直接写出此时E 点的坐标.（1）∵ 抛物线过原点和A (23,0-)，∴ 抛物线对称轴为3-=x . ∴ B (3,3-).设抛物线的解析式为2+33y a x =+（）.∵ 抛物线经过(0, 0),∴ 0=3a +3. ∴ a =-1.∴3)3(2++-=x y =.322x x --…………………………………………1分 ∵ C 为AB 的中点, A (23,0-)、B (3,3-)， 可得 C (333,22-) .可得直线OC 的解析式为x y 33-=. ………………………………………2分（2）连结OB . 依题意点E 为抛物线x x y 322--=与直线x y 33-=的交点（点E 与点O 不重合）.由23323,y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=--⎩， CBA yxO解得53,35,3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或0,0.x y =⎧⎨=⎩（不合题意，舍）.∴ E （535,33-） …………………………3分过E 作EF ⊥y 轴于F , 可得OF =53，∵ OE =DE ，EF ⊥y 轴， ∴ OF=DF . ∴ DO =2OF =103.∴ D (0,10)3. ……………………………………………………………4分∴ BD =2210233733-+-=（）（）. ………………………………………5分（3）E 点的坐标为(333,22-)或(31,22-). ……………………………………8分说明：此问少一种结果扣1分.12.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线235y m x x m =+++与x 轴交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C （0 , 4），D 为OC 的中点.（1）求m 的值；（2）抛物线的对称轴与 x 轴交于点E ，在直线AD 上是否存在点F ，使得以点A 、B 、F 为顶点的三角形与AD E ∆ 相似？若存在，请求出点F 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点G ，使△GBC 中BC 边上的高为522？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）抛物线m m mxy +++=532与y 轴交于点C （0 , 4）， ∴ 5 4.m +=∴ 1.m =- ………1分 （2）抛物线的解析式为 234y x x =-++.可求抛物线与x 轴的交点A （-1，0），B （4，0）. 可求点E 的坐标3(,0)2.由图知，点F 在x 轴下方的直线AD 上时，ABF ∆是钝角三角形，不可能与AD E ∆相似，所以点F 一定在x 轴上方.此时ABF ∆与AD E ∆有一个公共角，两个三角形相似存在两种情况：FCD E B AyxOFxyO A BC EDE DABC xyOF① 当A B A E A FA D=时，由于E 为AB 的中点，此时D 为AF 的中点，可求 F 点坐标为（1，4）. ………3分 ② 当A B A D A FA E=时，555,=5522AF AF=解得.过F 点作FH ⊥x 轴，垂足为H .可求 F 的坐标为352（，）. ……………4分（3）（4）(3) 在抛物线的对称轴上存在符合题意的点G .由题意，可知△OBC 为等腰直角三角形，直线BC 为 4.y x =-+ 可求与直线BC 平行且的距离为522的直线为 y =-x +9或y =-x -1.∴ 点G 在直线y =-x +9或y =-x -1上. ∵ 抛物线的对称轴是直线23=x ,∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+-==.9,23x y x 解得..215,23⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 或⎪⎩⎪⎨⎧--==.1,23x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.25,23y x ∴ 点G 的坐标为31535(,)-2222或（，）. ………8分 13. 已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy 中，A ，C 两点的坐标分别为(2,3)A ，(,3)C n -（其中n ＞0），点B在x 轴的正半轴上．动点P 从点O 出发，在四边形OABC 的边上依次沿O —A —B —C 的顺序向点C 移动，当点P 与点C 重合时停止运动．设点P 移动的路径的长为l ，△POC 的面积为S ，S 与l 的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF 是等腰梯形．（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m = ； （2）求B ，C 两点的坐标及图2中OF 的长；（3）在图1中，当动点P 恰为经过O ，B 两点的抛物线W 的顶点时， ① 求此抛物线W 的解析式； ② 若点Q 在直线1y =-上方的抛物线W 上，坐标平面内另有一点R ，满足以B ，P ，Q ，R 四点为顶点的四边形是菱形，求点Q 的坐标．（1）图2中的m =13．……………………………………………………………1分（2）∵ 图11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形，点D 的坐标为(,12)D m ，∴ 12E D y y ==，此时原题图1中的点P 运动到与点B 重合，∴ 1131222BO C C S O B y O B ∆=⨯⨯=⨯⨯=．解得 8O B =，点B 的坐标为(8,0)． ……………………………………2分此时作AM ⊥OB 于点M ，CN ⊥OB 于点N ．（如图12）．∵ 点C 的坐标为(,3)C n -， ∴ 点C 在直线3y =-上．又由图11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形可知图12中的点C 在过 点O 与AB 平行的直线l 上，∴ 点C 是直线3y =-与直线l 的交点，且ABM C O N ∠=∠． 又∵ 3A C y y ==，即AM= CN ， 可得△ABM ≌△CON ．∴ ON=BM=6，点C 的坐标为(6,3)C -．……………………………………3分 ∵ 图12中 22223635AB AMBM=+=+=．∴ 图11中35DE =，221335D O F x D E =+=+． …………………4分（3）①当点P 恰为经过O ，B 两点的抛物线W 的顶点时，作PG ⊥OB 于点G ．（如图13）∵ O ，B 两点的坐标分别为(0,0)O ，(8,0)B ， ∴ 由抛物线的对称性可知P 点的横坐标为4，即OG=BG=4．由3tan 6AM PG ABM BMBG∠===可得PG=2．∴ 点P 的坐标为(4,2)P ．………………5分 设抛物线W 的解析式为(8)y ax x =-（a ≠0）． ∵ 抛物线过点(4,2)P ，∴ 4(48)2a -=． 解得 18a =-．∴ 抛物线W 的解析式为218y x x =-+．…………………………………6分②如图14．i ）当BP 为以B ，P ，Q ，R 四点为顶点的菱形的边时，∵ 点Q 在直线1y =-上方的抛物线W 上， 点P 为抛物线W 的顶点，结合抛物线的对称性可知点Q 只有一种情况，点Q 与原点重合，其坐标为1(0,0)Q ．……………………………………………………………………7分ii ）当BP 为以B ，P ，Q ，R 四点为顶点的菱形的对角线时，可知BP 的中点的坐标为(6,1)，BP 的中垂线的解析式为211y x =-． ∴ 2Q 点的横坐标是方程212118x x x -+=-的解．将该方程整理得28880x x +-=． 解得4226x =-±．图13由点Q 在直线1y =-上方的抛物线W 上，结合图14可知2Q 点的横坐标 为2264-．∴ 点2Q 的坐标是2(2264,42619)Q --． …………………………8分 综上所述，符合题意的点Q 的坐标是1(0,0)Q ，2(2264,42619)Q --．14.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6与x 轴交于A 、B 两点（点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），与y 轴交于点C ，且OB=21OC ，tan ∠ACO =61，顶点为D ．（1）求点A 的坐标．（2）求直线CD 与x 轴的交点E 的坐标.（3）在此抛物线上是否存在一点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若点M （2，y ）是此抛物线上一点，点N 是直线AM 上方的抛物线上一动点，当点N 运动到什么位置时，四边形ABMN 的面积S 最大? 请求出此时S 的最大值和点N 的坐标．（5）点P 为此抛物线对称轴上一动点，若以点P 为圆心的圆与（4）中的直线AM 及x 轴同时相切，则此时点P的坐标为 .备用图① 备用图②(朝阳期末)（1）根据题意，得C （0,6）.在Rt △AOC 中，61tan =∠ACO ，OC ＝6，∴OA ＝1. ∴A （－1,0）. ………………………………………………………1分（2）∵OC OB 21=，∴OB ＝3. ∴B （3,0）.由题意，得 ⎩⎨⎧=++=+-.0639,06b a b a 解得 ⎩⎨⎧=-=.4,2b a∴6422++-=x x y .∴D （1,8）. ………………………………………………………………2分 可求得直线CD 的解析式为62+=x y .图14xy8765-65-5-54321-1-2-3-4-1-2-3-41234Oxy8765-65-5-54321-1-2-3-4-1-2-3-41234O∴E （－3,0）. …………………………………………………………………3分 （3）假设存在以点A 、C 、F 、E 为顶点的平行四边形，则F 1（2,6），F 2（－2,6），F 3（－4,－6）.经验证，只有点（2,6）在抛物线6422++-=x x y 上，∴F （2,6）. ……………………………………………………………………4分 （4）如图，作NQ ∥y 轴交AM 于点Q ，设N （m , 6422++-m m ）.当x ＝2时，y ＝6，∴M （2,6）. 可求得直线AM 的解析式为22+=x y . ∴Q （m ，2m ＋2）.∴NQ ＝422)22(64222++-=+-++-m m m m m . ∵AMN ABM S S S ∆∆+=，其中126421=⨯⨯=∆ABM S ，∴当AMN S ∆最大时，S 值最大. ∵MNQ ANQ AMN S S S ∆∆∆+=)422(3212++-⨯⨯=m m ,6332++-=m m , 427)21(32+--=m .∴当21=m 时，AMN S ∆的最大值为427.∴S 的最大值为475.…………………………………………………………6分当21=m 时，2156422=++-m m .∴N （21，215）. …………………………………………………………7分（5）P 1（1，15-），P 2（1，15--）. …………………………………8分说明：写成P 1（1，154+），P 2（1，154--）不扣分.15.如图，矩形'''O BC A 是矩形ABCO 绕点B 顺时针旋转得到的．其中点C O ,'在x 轴负半轴上，线段OA 在y 轴正半轴上，B 点的坐标为()3,1-．（1）如果二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象经过'O O 、两点且图象顶点M 的纵坐标为1-．求这个二次函数的解析式；（2）求边''A O 所在直线的解析式；（3）在（1）中求出的二次函数图象上是否存在点P ，使得D CO M PO S S ''3∆∆=,若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（1）联结'BO 、BO ,由旋转知BO BO ='………………………………………1分OC BC ⊥∴OC C O =' ∵ ()3,1-B∴()()110,2'---，，M O ∴⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+-=02410c b a c b a c ∴⎪⎩⎪⎨⎧===021c b a∴这个二次函数的解析式为： x x y 22+= ………………………………2分 （2）设()D y D A O BC ,1''-交于点与 显然CD O Rt D BA Rt ''∆≅∆ 在CD O Rt '∆中 ()2231y y -=+，解得34=y ………………………………………3分∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-341，D∴可求边O’A ’所在直线的解析式为： 3834+=x y …………………………4分（3）由⎪⎭⎫ ⎝⎛-341，D ，易求323412121''=⨯⨯=⋅=∆CD C O S C DO若存在点P ,使得D CO M PO S S ''3∆∆=，则有23''==∆∆D CO M PO S S …………………………………………………5分 方法一（代数法）：由()()110,2'---，，M O ,可得2:'--=x y l M O 设()x x x P 2,2+过P 作直线x PQ ⊥轴，交直线M O '于Q ， 则()2,--x x Q ，''PQO PQM M PO S S S ∆∆∆-=()[]()[]()232121222122++=---⋅---+=x xx x x23'==∆DCOS即：4232=++x x ，解得2173±-=x∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-217721731，P ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-2177217-32，P ．……………7分 方法二（几何法）：∵()()110,2'---，，M O ∴ 1'==CM C O 在CM O Rt '∆中， 可求︒=∠=452''M CO M O ，设M PO '∆的边M O '上的高为h 则2221=⋅⋅h ,求得22=h过点'O 作M O '的垂线交y 轴于点E ，则︒=∠45'O EO 且2'=OO 在O EO Rt '∆中，2245cos 2'=︒=E O ，2=OE∴()2,0E ,2'=∆MEOS过点E 作M O '的平行线l 交抛物线于两点21,P P 则直线l 的解析式为2+-=x y解方程组⎩⎨⎧+=+-=x x y x y 222 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=21772173y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=21772173y x ∴二次函数图象上存在点P ，使得D CO M PO S S ''3∆∆=, 且点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-217721731，P ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-2177217-32，P ………………7分。