最新人教版高中数学选修4-4《简单曲线的极坐标方程》知识讲解

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人教课标版高中数学选修4-4《简单曲线的极坐标方程》教案-新版

1.3 简单曲线的极坐标方程一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解极坐标方程的意义、能在极坐标系中给出简单曲线的方程，体会极坐标下方程与直角坐标系下曲线方程的互化，培养学生归纳类比推理、逻辑推理能力．（二）学习目标1．通过实例，了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法． 2．掌握特殊情形的直线与圆的极坐标方程．3．能进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义．（三）学习重点1．掌握特殊情形的直线与圆的极坐标方程． 2．进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化．（四）学习难点1．求曲线的极坐标方程．2．对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第12页至第15页，填空：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程． 2．预习自测（1）下列点不在曲线θρcos =上的是( )A.)3,21(πB.)32,21(π-C.)3,21(π-D.)32,21(π-【知识点】极坐标方程【解题过程】将选项中点一一代入验证可得选项D 不满足方程【思路点拨】由极坐标方程定义可得【答案】D ．（2）极坐标系中,圆心在极点,半径为2的圆的极坐标方程为( ) A.2=ρ B .4=ρ C.2cos =θρD.1sin =θρ【知识点】极坐标方程【解题过程】任取圆上一点的极坐标为),(θρ，依题意R ∈=θρ,2,所以选A 【思路点拨】根据题意寻找θρ,的等量关系式【答案】A ．（3）将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程： ①射线)0(3≤=x x y ；②圆0222=++x y x ．【知识点】直角坐标方程与极坐标方程互化【解题过程】①因为=x θρcos ，=y θρsin 代入可得3tan ,cos 3sin ==θθθ 又因为0≤x ，所以射线在第三象限，故取θ＝4π3(ρ≥0 )②将=x θρcos ，=y θρsin 代入0222=++x y x ，整理得θρcos 2-= 【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化可得【答案】①θ＝4π3(ρ≥0 ) ②θρcos 2-=．（4）极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ与圆ρ＝2的公共点个数是 .【知识点】极坐标方程、直线与圆的位置关系【解题过程】直线方程ρcos )4(πθ-＝2，即)sin 22cos 22(θθρ+＝2，所以直角坐标方程为x ＋y －2＝0.圆的方程ρ＝2，即ρ2＝2，所以直角坐标方程为x 2＋y 2＝2. 因为圆心到直线的距离为d ＝|0＋0－2|2＝2＝r ，所以直线与圆相切，即公共点个数是1.【思路点拨】将问题转化为平面直角坐标系中的问题处理【答案】 1 (二)课堂设计 1．知识回顾（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．（2）极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．（3）把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，则：=x θρcos ， =y θρsin=2ρ22y x +， =θtan )0(≠x xy2．问题探究探究一结合实例，类比认识极坐标方程★ ●活动① 类比推理概念在平面直角坐标系中，平面曲线C 可以用方程0),(=y x f 表示．曲线与方程满足如下关系：(1)曲线C 上点的坐标都是方程0),(=y x f 的解； (2)以方程0),(=y x f 的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，在极坐标系中，平面曲线是否可以用方程0),(=θρf 表示呢？我们先看一个例子半径为a 的圆的圆心坐标为)0,(a C ，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标),(θρ满足的条件吗？类比直角坐标方程的求解过程，我们先建立极坐标系，如右图所示，设圆经过极点O ,圆与极轴的另一个交点为A ，则a OA 2=，设),(θρM 为圆上除A O ,以外的任意一点，则AM OM ⊥,所以在AMO Rt ∆中，MOA OA OM ∠=cos ,即θρcos 2a =.经验证，点)0,2(),2,0(a A O π的坐标满足上式.于是上述等式为圆上任意一点的极坐标),(θρ满足的条件，反之，坐标适合上述等式的点都在这个圆上.所以我们类比直角坐标方程可以得到极坐标方程的定义，即：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程．由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即一条曲线上点的极坐标有多组表示形式，所以我们这里要求至少有一组能满足极坐标方程．则这个点在曲线上.【设计意图】利用类比的思想，从熟悉的概念得到新的数学概念，体会概念的提炼、抽象过程． ●活动② 归纳梳理、理解提升分析上述实例，你能得出求解极坐标方程的一般步骤吗？求曲线的极坐标方程的方法和步骤与求直角坐标方程的步骤类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹．将已知条件用曲线上的点的极坐标θρ,的关系式0),(=θρf 表示出来，就得到曲线的极坐标方程，具体如下：(1)建立适当的极坐标系，设),(θρM 是曲线上任意一点．(2)连接OM ,根据几何条件建立关于极径ρ和极角θ之间的关系式． (3)将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程．(4)检验并确认所得方程即为所求．若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．【设计意图】通过实例类比总结方法，培养学生数学抽象、归类整理意识．探究二探究直线的极坐标方程 ●活动互动交流、初步实践组织课堂讨论：结合极坐标方程的定义及求解极坐标方程的步骤，我们动手求解：直线l 经过极点，从极轴到直线l 的角为3π的直线的极坐标方程.M如右图，以极点O 为分界点,直线l 上的点的极坐标分成射线,OM 射线M O '两个部分，射线OM 上任意一点的极角都为3π，所以射线OM 的极坐标方程为：)0(3≥=ρπθ；而射线M O '上任意一点的极角都是34π，所以射线M O '的极坐标方程为：)0(34≥=ρπθ 综上：直线l 的极坐标方程可以用)0(3≥=ρπθ和)0(34≥=ρπθ表示现在产生一个问题：能否用一个方程来表示呢？我们定义：若0<ρ，则0>-ρ，我们规定点),(θρM 与),(θρ-P 关于极点对称.这样就可以将ρ的取值范围推广到全体实数.于是在允许R ∈ρ，那么上述直线l 的极坐标方程就可以写为： )(3R ∈=ρπθ或)(34R ∈=ρπθ 【设计意图】得到特殊直线的极坐标方程，加深对极坐标方程内涵与外延的理解，突破重点．探究三探究极坐标方程与直角坐标方程的联系★▲ ●活动① 巩固理解，加深认识在学习了极坐标方程及求解步骤后，动手做一做：在极坐标系中，圆心为)4,1(πA ,半径为1的圆的极坐标方程是多少呢？如右图所示，设),(θρP 为圆上任一点，当P A O ,,三点不共线是，在OPA ∆中利用余弦定理可得222)4cos(2AP OAOP OP OA =--+πθ1)4cos(212=--+∴πθρρ即 )4cos(2πθρ-=当P A O ,,三点共线时，点P 的坐标为)43,0(π或)4,2(π，这两点的坐标满足上式，所以上式为所求的圆的极坐标方程.在找平面曲线的极坐标方程时,就要找极径ρ和极角θ之间的关系式,常用解三角形(正弦定理,余弦定理)的知识以及利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系.【设计意图】巩固极坐标方程的求解，同时为极坐标方程与直角坐标方程的转化作准备． ●活动② 强化提升、灵活应用),(θρPO根据上节的直角坐标与极坐标的互化，先把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.，然后先求直角坐标系下的圆的方程；即由于圆心在极坐标系下为)4,1(πA ，则在直角坐标系下圆心)22,22(A ，半径1=r ，所以圆的直角坐标方程为：1)22()22(22=-+-y x ，整理得：y x y x 2222+=+，因为=x θρcos ， =y θρsin ，代入直角坐标方程得)4cos(2sin 2cos 22πθρθρθρρ-=+=化简得： )4cos(2πθρ-= 【设计意图】掌握极坐标方程与直角坐标方程的转化，进一步认识极坐标系．活动③ 巩固基础，检查反馈例1 极坐标方程2πρ=表示( )A ．直线B ．射线C ．圆D ．椭圆【知识点】曲线与极坐标方程．【解题过程】44,222222ππρπρ=+∴=∴=y x ，所以曲线表示的是圆．【思路点拨】通过转化为直角坐标方程来判断．【答案】C同类训练极坐标方程)(21sin R ∈=ρθ表示的曲线是( ) A ．两条相交直线 B ．两条射线 C ．一条直线 D ．一条射线【知识点】曲线与极坐标方程．【解题过程】∵sin θ＝21，∴)(26Z k k ∈+=ππθ或)(265Z k k ∈+=ππθ,又∵R ∈ρ，∴)(21sin R ∈=ρθ表示两条相交直线．【思路点拨】通过极坐标方程来判断．【答案】A例2 把下列直角坐标方程化成极坐标方程．（1）0132=--y x （2）0222=++y y x （3）1022=-y x【知识点】直角坐标方程化成极坐标方程．【解题过程】（1）由=x θρcos ，=y θρsin ，代入直角坐标方程0132=--y x 得，01sin 3cos 2=--θρθρ，即01)sin 3cos 2(=--θθρ（2）由上同理可得：θρsin 2-= （3）102cos 2=θρ 【思路点拨】利用直角坐标与极坐标互化公式求解．【答案】（1）01)sin 3cos 2(=--θθρ；（2）θρsin 2-=；（3）102cos 2=θρ同类训练把下列极坐标方程化为直角坐标方程．（1） 2sin =θρ （2） θθρsin 4cos 2-= 【知识点】直角坐标方程与极坐标方程互化．【解题过程】（1）由=x θρcos ， =y θρsin ，代入极坐标方程2sin =θρ得，2=y ，即02=-y （2）由θθρsin 4cos 2-=，等式两边同乘以ρ得θρθρρsin 4cos 22-=，所以y x y x 4222-=+，即：5)2()1(22=++-y x【思路点拨】极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如θρsin ，θρcos ，2ρ的形式，进行整体代换．【答案】（1）02=-y ；（2）5)2()1(22=++-y x .【设计意图】巩固极坐标方程的求解、判断以及直角坐标方程与极坐标方程的互化． ●活动4 强化提升、灵活应用例3 已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，求点)47,2(πA 到这条直线的距离．【知识点】极坐标与直角坐标互化、点到直线的距离．【解题过程】以极点为直角坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线的极坐标方程22)4sin(=+πθρ化为直角坐标方程，得：1=+y x .把点A 的极坐标)47,2(π化为直角坐标，得：)2,2(-在平面直角坐标系下，由点到直线的距离公式，得点A 到直线的距离222122=--=d ，所以点)47,2(πA 到直线22)4sin(=+πθρ的距离为22．【思路点拨】把极坐标问题转化为直角坐标系中问题．【答案】22．同类训练求极点到直线2)cos (sin =-θθρ的距离．【知识点】极坐标与直角坐标互化、点到直线的距离．【解题过程】以极点为直角坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线的极坐标方程2)cos (sin =-θθρ化为直角坐标方程，得：2=-x y . 把极点的极坐标)0,0(化为直角坐标，得：)0,0(在平面直角坐标系下，由点到直线的距离公式，得点A 到直线的距离22200=--=d ，所以极点到直线2)cos (sin =-θθρ的距离为2．【思路点拨】把极坐标问题转化为直角坐标系中问题．【答案】2． 3.课堂总结知识梳理（1）一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程．（2）求曲线的极坐标方程的一般步骤：①建立适当的极坐标系，设),(θρM 是曲线上任意一点．②连接OM ,根据几何条件建立关于极径ρ和极角θ之间的关系式． ③将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程．④检验并确认所得方程即为所求．若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．（3）若0<ρ，则0>-ρ，我们规定点),(θρM 与),(θρ-P 关于极点对称．重难点归纳（1）求解平面曲线的极坐标方程时,就要找极径ρ和极角θ之间的关系式,常用解三角形(正弦定理,余弦定理)的知识以及利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系．（2）极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．（三）课后作业基础型自主突破1．经过极点，从极轴到直线l 的夹角是4π的直线l 的极坐标方程是（）A ．)0(4≥=ρπθ B ．4πρ=C ．)0(4>=ρπθ D ．)(4R ∈=ρπθ【知识点】极坐标方程．【解题过程】将直线l 画在极坐标系中，易得选项D 正确. 【思路点拨】根据根据图像进行判断．【答案】D ．2．直线33x －y ＝0的极坐标方程(限定ρ≥0)是( ) A ．θ＝π6 B ．θ＝76π C ．θ＝π6和θ＝76πD ．θ＝56π【知识点】极坐标方程与直角坐标方程互化．【解题过程】由33x －y ＝0，得33ρcos θ－ρsin θ＝0，即tan θ＝33，∴θ＝π6和θ＝76π．又ρ≥0，因此直线的方程可以用θ＝π6和θ＝76π表示【思路点拨】极坐标方程与直角坐标方程互化．【答案】C3．极坐标方程cos θ(ρ≥0)表示的曲线是( )．A ．余弦曲线B ．两条相交直线C ．两条射线D ．一条射线【知识点】极坐标方程的求解．【解题过程】∵cos θ，∴θ＝4π±＋2k π(k ∈Z )．又∵ρ≥0，∴cos θ表示两条射线．【思路点拨】利用三角函数图像可得．【答案】C ．4．圆的极坐标方程ρ＝cos θ－2sin θ对应的直角坐标方程为( )A.45)1()21(22=+++y xB.45)1()21(22=++-y xC.45)1()21(22=-+-y xD.45)1()21(22=-++y x【知识点】极坐标方程与直角坐标方程互化．【解题过程】θρθρρθθρsin 2cos ,sin 2cos 2-=∴-= ，所以y x y x 222-=+即45)1()21(22=++-y x ，所以选B.【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解．【答案】B ．5．极坐标系内，点)2,1(π到直线ρcos θ＝2的距离是________．【知识点】极坐标与直角坐标的转化．【解题过程】点)2,1(π的直角坐标为(0，1)，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，故点(0，1)到直线x ＝2的距离是d ＝2.【思路点拨】极坐标问题转化为直角坐标问题来求解．【答案】2．6．在极坐标系中，A ，B 分别是直线3ρcos θ－4ρsin θ＋5＝0和圆ρ＝2cos θ上的动点，则A ，B 两点之间距离的最小值是________．【知识点】直线与圆的极坐标方程、点到直线的距离．【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】：由题意，得直线的平面直角坐标方程为3x －4y ＋5＝0，圆的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，则圆心(1，0)到直线的距离d ＝|3×1－4×0＋5|32＋42＝85，所以A ，B 两点之间距离的最小值为d －r ＝85－1＝35．【思路点拨】极坐标问题转化为直角坐标问题来求解．【答案】 35．能力型师生共研7．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A.)2,1(πB.)23,1(π C ．)0,1(D ．),1(π【知识点】极坐标与直角坐标互化、圆的标准方程．【解题过程】由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为)23,1(π. 【思路点拨】极坐标问题转化为直角坐标问题来求解．【答案】B ．8．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1)3cos(=-πθρ，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．【知识点】极坐标与直角坐标互化、极坐标方程．【解题过程】 (1)由1)3cos(=-πθρ，得1)sin 23cos 21(=+θθρ又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，∴点M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，∴点N )2,332(π.(2)由(1)知，M 点的坐标(2,0)，点N 的坐标)332,0(. 又P 为MN 的中点， ∴点P )33,1(，则点P 的极坐标为)6,332(π. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．【思路点拨】把极坐标化为直角坐标求解．【答案】(1)M (2,0)，N )2,332(π；(2) θ＝π6(ρ∈R ) 探究型多维突破9．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为22)4cos(=-πθρ，曲线C 的极坐标方程为),2(sin 4⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=ππθθρ，求直线l 与曲线C 的交点的极坐标．【知识点】极坐标方程的应用．【数学思想】分类讨论的思想．【解题过程】由⎪⎩⎪⎨⎧=-=22)4cos(sin 4πθρθρ 得：1sin cos sin 2=+θθθ，即：θθθ2cos cos sin = （1）当0cos =θ时，即2πθ=时，4=ρ（2）当0cos ≠θ时，即2πθ≠时，此时θθcos sin =，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=ππθθ,21tan ，所以不成立. 交点极坐标为)2,4(π【思路点拨】类比直角坐标系，联立方程组求解．【答案】)2,4(π．10．已知椭圆的中心在坐标原点O ，椭圆的方程为：12222=+b y a x ，B A ,分别为椭圆上的两点，且OB OA ⊥. （1）求证：2211OB OA +为定值；（2）求AOB ∆面积的最大值和最小值．【知识点】极坐标方程的应用．【解题过程】将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程得（ρcos θ）2a 2＋（ρsin θ）2b 2＝1，即ρ2＝a 2b 2b 2cos 2θ＋a 2cos 2 θ，由于OA ⊥OB ，可设A (ρ1，θ1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ1＋π2，则ρ21＝a 2b 2b 2cos 2 θ1＋a 2sin 2 θ1，ρ22＝a 2b 2b 2sin 2 θ1＋a 2cos 2 θ1.于是1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22＝b 2cos 2θ1＋a 2sin 2 θ1＋b 2sin 2 θ1＋a 2cos 2θ1a 2b 2＝a 2＋b 2a 2b 2.所以1|OA |2＋1|OB |2为定值．(2)解析：依题意得到S △AOB ＝12|OA ||OB |＝12ρ1ρ2＝ 12·a 2b 2（b 2cos 2θ1＋a 2sin 2θ1）（b 2sin 2θ1＋a 2cos 2θ1）＝12·a 2b 2（a 2－b 2）2sin 22θ14＋a 2b 2，当且仅当sin 22θ1＝1，S △AOB 有最小值为a 2b 2a 2＋b 2；当sin 22θ1＝0，S △AOB 有最大值为ab 2. 【思路点拨】由于涉及到长度，所以将椭圆直角坐标方程转化为极坐标方程求解．【答案】（1）1|OA |2＋1|OB |2=a 2＋b 2a 2b 2；（2）S △AOB 有最小值为a 2b 2a 2＋b 2，S △AOB有最大值为ab2. 自助餐1．过点)4,2(πA 且平行于极轴的直线的极坐标方程是（）A ．2sin =θρB ．2sin =θρC ．2cos =θρD ．2cos =θρ【知识点】极坐标方程的求解．【解题过程】如图所示，如图所示，在直线l 上任意取点M (ρ，θ)(ρ≥0)，过Mx 轴于H .⎭⎪⎫2，π4，在直线l 上任意取点),(θρM ，过M 作x MH ⊥轴于H ，)4,2(πA 24sin 2==∴πMH ，,sin sin Rt OMH MH OM θρθ∴∆=∴=，所以，选B【思路点拨】利用根据所给的几何条件，寻找θρ,的关系式．【答案】B ．2．极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是( ) A.22B.2C.1D.2 【知识点】极坐标与直角坐标互化、两圆的关系．【解题过程】:将方程化为直角坐标方程.因为ρ不恒为零,可以用ρ分别乘方程两边,得ρ2=ρcos θ和ρ2=ρsin θ.∴x 2+y 2=x 和x 2+y 2=y .它们的圆心分别是(21,0)、(0,21),圆心距是22.【思路点拨】先化为直角坐标方程，在按直角坐标求解．【答案】A ．3．在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2sin θ上的两点A ，B 对应的极角分别为2π3，π3，则弦长|AB |＝________．【知识点】极坐标与直角坐标互化、两点间的距离．【解题过程】A ，B 两点的极坐标分别为)3,3(),32,3(ππ，化为直角坐标为)23,23(),23,23(-.故3)2323()2323(22=-+--=AB 【思路点拨】先化为直角坐标方程，在按直角坐标求解．【答案】3．4．曲线θ＝0，θ＝π3(ρ≥0)和ρ＝4所围成图形的面积是__________．【知识点】极坐标与直角坐标的互化、扇形的面积．【数学思想】数形结合的思想【解题过程】将极坐标方程化为直角坐标系下的方程，分别为射线)0(3,0≥==x x y y ，圆1622=+y x ，他们围成的是一个圆心角为3πθ=，半径为4=r 的扇形，所以38212πθ==r S ．【思路点拨】先化为直角坐标方程，再在直角坐标系中画出相应的图形可得．【答案】38π． 5．把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化：(1)x 2＋(y －2)2＝4； (2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)； (3)ρ＝4；【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】(1)∵x 2＋(y －2)2＝4，∴x 2＋y 2＝4y ，代入x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρ2－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ.(2)∵ρ＝9(sin θ＋cos θ)，∴ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)， ∴x 2＋y 2＝9x ＋9y ，即281)29()29(22=-+-y x(3)∵ρ＝4，∴ρ2＝42，∴x 2＋y 2＝16.【思路点拨】用公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2进行直角坐标方程与极坐标方程的互化即可．【答案】（1）ρ＝4sin θ；（2）281)29()29(22=-+-y x ；（3）x 2＋y 2＝16．6．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积【知识点】极坐标与直角坐标互化、三角形的面积．【解题过程】：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解，且把两圆画在极坐标系中，利用ρ的几何意义求三角形的面积．【答案】（1）C 1 ρcos θ＝－2，C 2 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0；（2）12.。

人教版数学选修4-4课件1.3 简单曲线的极坐标方程

理得 sin
O∠MO AM＝sin
∠1 OMA，
即 sin
ρ
34π＝sin
1π4－θ，化简得 ρ(cos θ－sin
θ)＝1，
经检验，点 A(1,0)也适合上述方程．则直线的极坐标方程为 ρ(cos θ－sin θ)＝1.
方法二先求过点 A 且倾斜角为π4的直线的直角坐标方程为 y－0＝tan π4(x－1)，
【例题 2】求过点 A(1,0)，且倾斜角为π4的直线的极坐标方程．思维导引：作出图形，找出动点性质，运用正弦定理解三角形建立动点 M 的关系式，从而建立动点(ρ，θ)的方程．也可先求出直角坐标方程，再转换成极坐标方程．
解析：方法一由题意，设 M(ρ，θ)为直线上任意一点，则△OAM 中，由正弦定
的任意一点． • (2)由曲线上的点所合适的条件，列出曲线上
任意一点的极径ρ与极角θ之间的关系式． • (3)将(2)所得方程进行整理与化简，得出曲线
• 【例题4】 (202X·河南郑州高二检测)从极点 O作直线与另一直线l：ρcos θ＝4相交于点M，在OM上任取一点P，使OM·OP＝12.
• (1)求点P的轨迹方程；
• (1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解； • (2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线
C上． • 满足以上两点则说曲线与方程建立了一一对
应的关系，方程是曲线的方程，曲线是方程的曲线．
•要点二曲线的极坐标方程
• 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上的任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ，θ)＝0，并且坐标满足方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的____极__坐_标__方_程______．

高中数学选修4-4 1.3简单曲线的极坐标方程人教版(2)精选教学PPT课件

例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。解：如图，设点 M ( , ) M 为直线L上除点A外的任意一点，连接OM ﹚ o A x 在 Rt MOA 中有
OM cos MOA OA 即 cos a 可以验证，点A的坐标也满足上式。
求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图； 2、设点 M ( , ) 是直线上任意一点； 3、连接MO； 4、根据几何条件建立关于 , 的方程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
练习：设点A的极坐标为 ( a , 0) ，直线l过点A且与极轴所成的角为 ,求直线 l 的极坐标方程。 M 解：如图，设点 M ( , ) ﹚ 为直线 l 上异于的点 o A x 连接OM，在MOA 中有
a sin( ) sin( ) 即
sin( ) a sin
显然A点也满足上方程。
例题3设点P的极坐标为( 1 ,1 ) ，直线l过点P且与极轴所成的角为 ,求直线 l 的极坐标方程。
1 P
M
o
﹚ ﹚
1
x
解：如图，设点 M ( , ) 为直线上除点P外的任意一点，连接OM 则 OM , xOM 由点P的极坐标知 OP 1 xOP 1
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一点M，使 OM= 3 O P = /4 X
M
新课讲授例题1：求过极点，倾角为 4 的射线的极坐标方程。 M 分析：如图，所求的射线上任一点的极角都 ﹚ 4 o x 是 / 4，其极径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为 ( 0)

新人教选修4-4教案极坐标系--简单曲线的极坐标方程

三、简单曲线的极坐标方程【基础知识导学】1、极坐标方程的定义：在极坐标系中，如果平面曲线C 上任一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程。

1．直线与圆的极坐标方程① 过极点，与极轴成α角的直线极坐标议程为αθραθtan tan )(=∈=或R②以极点为圆心半径等于r 的圆的极坐标方程为 r =ρ【知识迷航指南】例1求（1）过点)4,2(πA 平行于极轴的直线。

（2）过点)3,3(πA 且和极轴成43π角的直线。

解（1）如图，在直线l 上任取一点),(θρM ，因为)4,2(πA ，所以|MH|=224sin=⋅π在直角三角形MOH 中|MH|=|OM|sin θ即2sin =θρ，所以过点)4,2(πA 平行于极轴的直线为2sin =θρ。

（2）如图，设M ),(θρ为直线l 上一点。

)3,3(πA ， OA =3，3π=∠AOBx由已知43π=∠MBx ，所以125343πππ=-=∠OAB ，所以127125πππ=-=∠OAM 又θπθ-=-∠=∠43MBx OMA 在∆MOA 中，根据正弦定理得 127sin)43sin(3πρθπ=- 又426)34sin(127sin+=+=πππ 将)43sin(θπ-展开化简可得23233)cos (sin +=+θθρ 所以过)3,3(πA 且和极轴成43π角的直线为：23233)cos (sin +=+θθρ〔点评〕求曲线方程，关键是找出曲线上点满足的几何条件。

将它用坐标表示。

再通过代数变换进行化简。

例2（1）求以C(4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程。

（2）从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程。

解：（1）设),(θρp 为圆C 上任意一点。

圆C 交极轴于另一点A 。

由已知 OA =8 在直角∆AOD 中θcos OA OD =，即 θρcos 8=，这就是圆C 的方程。

选修4-4-简单曲线的极坐标方程

2 2
4、圆＝10
cos(
)的圆心坐标是（C ）
3
A、(5,0)
B、(5, )
3
C、(5, ) D、(5, 2 )
3
3
5、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的
2 极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。
解：＝4 cos( ) 4sin
2
化为直角坐标系为 2＝4 sin
即x2 y2 4 y x2 ( y 2)2 4
例3 设点A的极坐标为 (a,0) ，直
线l 过点A且与极轴所成的角为
,求直线 l 的极坐标方程。
M
﹚ ﹚
oA
x
解：如图，建立极坐标系，设点 M ( , )
为直线 l 上异于A点的任意一点，连接OM，
在 MOA 中，由正弦定理得
a
即
sin( ) sin( )
M
化简得
sin(
)
a sin
于M的等式）
④将等式坐标化 ⑤化简（此方程f(,)=0即为曲线的方程）
[探究1] 如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？
O
C(a,0)
x
[探究1] 如图，半径为a的圆的圆心
坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式
表示圆上任意一点的极坐标(,)满
足的条件？
M (,)
O
θ0 C(a, θ0)
2a cos( 0 )
x
[例1] 已知圆O的半径为r，建立
怎样的坐标系，可以使圆的极坐
标方程更简单？
M (,)
r
O
r
x
练习1、求下列圆的极坐标方程

选修4-4第一章 2简单曲线的极坐标方程

选修4-4第一章2简单曲线的极坐标方程知识梳理：常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆ρ＝r (0≤θ<2π)圆心为(r ，0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos__θ－π2≤θ≤π2圆心为r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin__θ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线θ＝α或θ＝α＋π过点(a ，0)，与极轴垂直的直线ρcos__θ＝a－π2<θ<π2过点a ，π2，与极轴平行的直线ρsin__θ＝a (0<θ<π)圆的极坐标方程例1把下列直角坐标方程化为极坐标方程．(1)x 2＋y 2＝1；(2)x 2＋y 2－4x ＋4＝0；(3)x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.例2把下列极坐标方程化为直角坐标方程．(1)ρ2cos 2θ＝1；(2)ρ＝2cos(θ－π4)；(3)ρ＝cos θ－2sin θ；(4)ρcos(θ＋π4)＝22；直线的极坐标方程例1在极坐标系中，求过点(3，π)且与极轴的倾斜角为π4的直线的极坐标方程．例2把下列方程极、直互化．(1)θ＝π3；(2)ρsin(θ＋π4)＝22.例3在极坐标系中，直线l 的方程是ρsin(θ－π6)＝1，求点P (2，－π6)到直线l 的距离．极坐标方程的应用例1若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系．)＝0与曲线C相交于A、B，求|AB|的值．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若曲线ρsin(θ－π4跟踪训练1在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ和ρsinθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．例2从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12.(1)求点P的轨迹方程；(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值.跟踪演练2在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1，C2的极坐标方程；(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积. (2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4。

人教版A版高中数学选修4-4：简单曲线的极坐标方程

归纳:求曲线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图；
2、设点M(, )是曲线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于 , 的方程，并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求(可以省略)。
例1.已知圆O的半径为a，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？
1、求以下常见圆的极坐标方程，并作图：
满足的条件，另一方面，可以验证，坐标适合等式(1)的点都在这个圆上。
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(,)=0有如下关系：
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(,)=0 ；
(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。
则方程f(,)=0叫做曲线Ｃ的极坐标方程．
是A，那么OA＝2a,设M (, )为圆上除点O，A
以外的任意一点，那么OM AM。在RtAMO
中OM OA cosMOA即＝2a cos...........(1) 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式(1)
2
所以，等式(1)就是圆上任意一点的极坐标(, )
4
；；；
பைடு நூலகம்；。
例 2．方程互化
（1）化直角坐标方程 x 2 y 2 8 y 0 为极坐标方程
6 cos( ) （ 2）化极坐标方程
为直角坐标方程 [来源:]
3
练习：
1、把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并作图：（1） 2 ；（2） 4sin .
2、求下列圆的圆心的极坐标：
（1） 5cos ；（2） 2 sin( ) .
4
小结：知识、思想方法、数学核心素养

人教版高中数学选修4-4课件：1-3简单曲线的极坐标方程

两坐标系中取相同的长度单位.平面内的曲线(含直线) 的极坐标方程与直角坐标方程也可以进行互相转化.
(2)较简单曲线的极坐标方程可直接求,较复杂曲线的
极坐标方程可以先求直角坐标方程,然后再转化.
特别提醒:极坐标方程对应曲线的形状往往不易看出,
通常是先转化为直角坐标方程,然后再分析形状.
类型一
圆的极坐标方程
2 当O,C,M三点共线时 ,点M的极坐标也适合上式,所以圆 0
心为C(ρ0,θ0),半径为r的圆的极坐标方程为ρ2+ 2ρρ0cos(θ-θ0)-r2=0.
2 0
-
【归纳总结】
1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程
在极坐标系中,由于点的极坐标的表示形式不唯一,即
(ρ ,θ ),(ρ ,θ +2π ),(-ρ ,θ +π ),(-ρ ,θ -π )都表
示同一点,这与点的直角坐标具有唯一性明显不同.所以对于曲线上同一点的极坐标的多种表示形式,只要求
点的极坐标中至少有一个能满足曲线的极坐标方程即
可.
2.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的相互转化及应
用
(1)与点的极坐标与直角坐标的互相转化一样,以平面
直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且在
极坐标方程 ρ = __________ -2rcosθ ρ = _________ θ (-π-2rsin <θ ≤0)
3 ( ) 2 2
图
形
3 (r， ) 2
3.直线的极坐标方程(ρ ∈R) 直线位置极坐标方程图形
(1)θ =___( α ρ ∈R)或过极点,倾斜 θ =______(ρ ∈R) π + α 角为α (2)θ =α (ρ ≥0)和 θ =π +α (ρ ≥0)

人教版高中数学选修4-4教案【第5节】曲线的极坐标方程的意义

第 5 节：曲线的极坐标方程的意义教课目标：知识目标：掌握极坐标方程的意义。

能力目标：能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程。

教课要点：极坐标方程的意义。

教课难点：求简单图形的极坐标方程。

讲课种类：新讲课教课模式：启迪、引诱发现教课.教具：多媒体、实物投影仪教课过程：一、复习引入：问题情境1、直角坐标系成立能够描绘点的地点，极坐标也有相同作用？2、直角坐标系的成立能够求曲线的方程，极坐标系的成立能否能够求曲线方程？学生回首1、直角坐标系和极坐标系中如何描绘点的地点？2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义？3、求曲线方程的步骤？二、解说新课：1、引例：以极点O 为圆心 5 为半径的圆上随意一点极径为 5，反过来，极径为 5 的点都在这个圆上。

所以，以极点为圆心， 5 为半径的圆能够用方程 5 来表示。

2、发问：曲线上的点的坐标都知足这个方程吗？3、定义：一般地，在极坐标系中，假如平面曲线上 C 上随意一点的极坐标中起码有一个满足方程 f ( , ) 0 ，而且坐标合适方程 f ( , ) 0 的点都在曲线 C 上，那么方程 f ( , ) 0 称为曲线C的极坐标方程，曲线C称为这个极坐标方程的曲线。

4、求曲线的极坐标方程：例 1．求经过点A(3,0) 且与极轴垂直的直线l 的极坐标方程。

变式训练：已知点P 的极坐标为(1,) ，那么过点P 且垂直于极轴的直线极坐标方程。

例 2．求圆心在A(3,0) 且过极点的圆A的极坐标方程。

变式训练：求圆心在A(3, ) 且过极点的圆 A 的极坐标方程。

2例 3．（ 1）化在直角坐标方程x2y 28 y0 为极坐标方程，（ 2）化极坐标方程 6 cos() 为直角坐标方程。

3三、稳固与练习直角方程与极坐标方程互化2（ 1）cos（2）tan四、小结：本节课学习了以下内容：1．极坐标方程的定义；2．如何求曲线的极坐标方程。

五、课后作业：。

选修4-4第一章《简单曲线的极坐标方程》

学科教师辅导讲义
讲义编号_
学员编号：学员姓名：课题年级：辅导科目：数学简单曲线的极坐标方程 1、进一步理解极坐标系和极坐标方程。教学目的 2、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程。教学内容课时数： 3 学科教师：
授课日期及时段

, ) 的极坐标满足方程 . 4 4
5 , ) 可以表示为 ( , 2 )或( , 2 )或(- , ) 等多种形式 , 其 4 4 4 4 4 4 4 4
三、重难点突破
例 1 、在极坐标系中，如果 A(2,

4
), B (2,
cos 4, 设A(0 ,0 ),P( , ),∵点 A 在直线 cos 4 上，
∴ 0 cos 0 4 ∵⊿OPA 为等腰直角三角形，且∠OPA= ∴ 0 = 2 ，且 0 ①
4
，而|OP|= ，|OA|= 0 ，以及 POA ， 4 2
二、知识梳理
1、极坐标系的概念 (1)极坐标系
如图所示
,在平面内取一个定点 O ,叫做极点,自极点 O 引一条射线 Ox ,叫做极轴;再选定一
个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标
sin sin( ) 3

(0

3
), 即为所求极坐标方程.
例 3、如图，点 A 在直线 x=4 上移动，⊿OPA 为等腰直角三角形，⊿OPA 的顶角为∠OPA（O，P，A 依次按顺时针方向排列），求点 P 的轨迹方程，并判断轨迹形状。

人教版数学高二选修4-4讲义第1讲-3简单曲线的极坐标方程

三简单曲线的极坐标方程1．了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法．2．会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．(重点、易错点)3．能够运用直线和圆的极坐标方程解决问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 曲线与方程阅读教材P 12“圆的极坐标方程”以上部分，完成下列问题．在平面直角坐标系中，平面曲线C 可以用方程f (x ，y )＝0表示．曲线与方程满足如下关系：(1)曲线C 上点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解； (2)以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．教材整理2 极坐标方程阅读教材P 12～P 13“例1”以上部分，完成下列问题．一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程．下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2π3【解析】点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2π3的极坐标满足ρ＝12，θ＝－2π3，且ρ≠cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝－12.【答案】 D教材整理3 常见的极坐标方程阅读教材P 13～P 15，完成下列问题．曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心为(r,0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos_θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2 圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin_θ(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线θ＝α或θ＝α＋π 过点(a,0)，与极轴垂直的直线ρcos_θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin_θ＝a (0<θ<π)极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ所表示的曲线是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆【解析】 ∵ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22cos θ＋22sin θ， ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ，∴x 2＋y 2＝22x ＋22y ，这个方程表示一个圆．【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]直线或射线的极坐标方程求过点A(1,0)，且倾斜角为π4的直线的极坐标方程．【思路探究】画出草图―→设点M(ρ，θ)是直线上的任意一点―→建立关于ρ，θ的方程――→化简检验．【自主解答】法一设M(ρ，θ)为直线上除点A以外的任意一点．则∠xAM＝π4，∠OAM＝3π4，∠OMA＝π4－θ.在△OAM中，由正弦定理得|OM|sin∠OAM＝|OA|sin∠OMA，即ρsin3π4＝1sin⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ，故ρsin⎝⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22，即ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos θ－cos π4sin θ＝22，化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1，经检验点A (1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1，其中，0≤θ<π4，ρ≥0和5π4<θ<2π，ρ≥0.法二以极点O 为直角坐标原点，极轴为x 轴，建立平面直角坐标系xOy . ∵直线的斜率k ＝tan π4＝1， ∴过点A (1,0)的直线方程为y ＝x －1.将y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ代入上式，得ρsin θ＝ρcos θ－1， ∴ρ(cos θ－sin θ)＝1，其中，0≤θ<π4，ρ≥0和5π4<θ<2π，ρ≥0.法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M 所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程．[再练一题]1．若本例中条件不变，如何求以A 为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程？【解】由题意，设M (ρ，θ)为射线上任意一点，根据例题可知，ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22，化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1.经检验点A (1,0)的坐标适合上述方程．因此，以A 为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫其中ρ≥0，0≤θ<π4. 极坐标方程与直角坐标方程的互化极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝0与曲线C 相交于A 、B ，求|AB |.【导学号：91060006】【思路探究】利用极坐标化为直角坐标的公式将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程求解．【自主解答】 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以ρ2＝x 2＋y 2，由ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ ∴x 2＋y 2－4x －2y ＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝5. (2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝0，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝0，即ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x －y ＝0.由于圆(x －2)2＋(y －1)2＝5的半径为r ＝5，圆心(2,1)到直线x －y ＝0的距离为d ＝|2－1|2＝12， ∴|AB |＝2r 2－d 2＝3 2.1．直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验．2．对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用．[再练一题]2．在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．【解析】极坐标系中点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2，故所求距离为1.【答案】 1极坐标方程的应用M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值．【思路探究】 (1)建立点P 的极坐标方程，完成直角坐标与极坐标方程的互化．(2)根据直线与圆的位置关系，数形结合求|RP |的最小值．【自主解答】 (1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程． (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程，得x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322，知P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，半径为32的圆．直线l 的直角坐标方程是x ＝4. 结合图形(图略)易得|RP |的最小值为1.1．用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法．当然，因为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同．2．解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些．[再练一题]3．已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．【解】 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ分别代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2，l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ |·|OP |＝|OR |2得ρρ1＝ρ22.又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．[探究共研型]圆的极坐标方程探究如何求圆心为C (ρ1，θ1)，半径为r 的圆的极坐标方程？【提示】如图所示，设圆C 上的任意一点为M (ρ，θ)，且O 、C 、M 三点不共线，不妨以如图所示情况加以说明，在△OCM 中，由余弦定理得|OM |2＋|OC |2－2|OM |·|OC |·cos ∠COM ＝|CM |2，∴ρ2＋ρ21－2ρρ1cos(θ－θ1)＝r 2，可以检验，当O 、C 、M 三点共线时的点M的坐标也适合上式，当θ<θ1时也满足该式，所以半径为r ，圆心在C (ρ1，θ1)的圆的极坐标方程为ρ2＋ρ21－2ρρ1cos(θ－θ1)－r 2＝0.求圆心在C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6是否在这个圆上．【思路探究】解答本题先设圆上任意一点M (ρ，θ)，建立等式转化为ρ，θ的方程，化简可得，并检验特殊点．【自主解答】如图，由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连接AM ，则OM ⊥MA .在Rt △OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ，即ρ＝2r cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，∴ρ＝－4sin θ，经验证，点O (0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2的坐标满足上式，∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ. ∵sin 5π6＝12，∴ρ＝－4sin θ＝－4sin5π6＝－2，∴点⎝⎛⎭⎪⎫－2，sin5π6在此圆上．1．求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：(1)建立适当的极坐标系(本题无需建)；(2)在曲线上任取一点M(ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式；(4)用极坐标(ρ，θ)表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程(一般只要对特殊点加以检验即可)．2．求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示．[再练一题]4．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．【解析】直角坐标方程x2＋y2－2x＝0可化为x2＋y2＝2x，将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.【答案】ρ＝2cos θ[构建·体系]极坐标方程—⎪⎪⎪⎪—曲线与方程—极坐标方程—圆的极坐标方程—直线的极坐标方程1．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为()A．ρ＝1B．ρ＝cos θC ．ρ＝2cos θD ．ρ＝2sin θ【解析】圆的直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，整理得，ρ＝2cos θ，即为此圆的极坐标方程．【答案】 C2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆 B ．两条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线【解析】由题设，得ρ＝1，或θ＝π， ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线．【答案】 C3．极坐标方程分别为ρ＝2cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距为________.【导学号：91060007】【解析】两圆方程分别为x 2＋y 2＝2x ，x 2＋y 2＝y ，知两圆圆心C 1(1,0)，C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∴|C 1C 2|＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52.【答案】 524．(2016·佛山质检)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，直线θ＝π4被圆ρ＝2sin θ截得的弦长是________．【解析】直线为y ＝x (x ≥0)，圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1，交于原点和点A (1,1)，弦长为 2.【答案】25．求过(－2,3)点且斜率为2的直线的极坐标方程．【解】由题意知，直线的直角坐标方程为y －3＝2(x ＋2)，即：2x －y ＋7＝0.设M(ρ，θ)为直线上任意一点，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入直角坐标方程2x－y＋7＝0得：2ρcos θ－ρsin θ＋7＝0，这就是所求的极坐标方程．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．极坐标方程ρ＝1表示()A．直线B．射线C．圆D．椭圆【解析】由ρ＝1，得ρ2＝1，即x2＋y2＝1，故选C. 【答案】 C2．过极点且倾斜角为π3的直线的极坐标方程可以为()A．θ＝π3B．θ＝π3，ρ≥0C．θ＝4π3，ρ≥0 D．θ＝π3和θ＝4π3，ρ≥0【解析】以极点O 为端点，所求直线上的点的极坐标分成两条射线． ∵两条射线的极坐标方程为θ＝π3和θ＝43π， ∴直线的极坐标方程为θ＝π3和θ＝43π(ρ≥0)．【答案】 D3．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C ．(1,0)D ．(1，π)【解析】由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2. 【答案】 B4．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2 C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1 D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1【解析】由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.【答案】 B5．在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( )【导学号：91060008】A ．ρcos θ＝12B ．ρcos θ＝2C ．ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3D ．ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3【解析】极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，即x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由所给的选项中ρcos θ＝2知，x ＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切．【答案】 B 二、填空题6．在极坐标系中，圆ρ＝4被直线θ＝π4分成两部分的面积之比是________．【解析】 ∵直线θ＝π4过圆ρ＝4的圆心， ∴直线把圆分成两部分的面积之比是1∶1. 【答案】 1∶17．(2016·惠州模拟)若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－π4＝32，曲线C ：ρ＝1上的点到直线l 的距离为d ，则d 的最大值为________．【解析】直线的直角坐标方程为x ＋y －6＝0，曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，为圆；d 的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为d max ＝|0＋0－6|2＋1＝32＋1.【答案】 32＋18．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________．【解析】极坐标系中的圆ρ＝4sin θ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝π6转化为平面直角坐标系中的方程为y ＝33x ，即3x －3y ＝0，∴圆心(0,2)到直线3x －3y ＝0的距离为|0－3×2|3＋9＝ 3.【答案】 3三、解答题9．(2016·银川月考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．【解】 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，∴点M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，∴点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)由(1)知，M 点的坐标(2,0)，点N 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为MN 的中点，∴点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．10．(2016·南通期中)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．【解】 (1)由ρ＝cos θ＋sin θ，可得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，又⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，代入得⊙O ：x 2＋y 2－x －y ＝0，由l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，得：22ρsin θ－22ρcos θ＝22，ρsin θ－ρcos θ＝1，又⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，代入得：x －y ＋1＝0. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，x 2＋y 2－x －y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，又⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝1，tan θ不存在，又因为θ∈(0，π)，则θ＝π2，故为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2.[能力提升]1．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3关于( )A ．直线θ＝π3对称 B ．直线θ＝5π6对称 C ．点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3对称D ．极点对称【解析】由方程ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，得ρ2＝2ρsin θ－23ρcos θ，即x 2＋y 2＝2y －23x ，配方，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4.它表示圆心在(－3，1)、半径为2且过原点的圆，所以在极坐标系中，它关于直线θ＝5π6成轴对称．【答案】 B2．(2016·湛江模拟)在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为( )A ．4 B.7 C ．2 2D ．2 3【解析】 ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6化为直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为(23)2＋(2－2)2－22＝2 2.【答案】 C3．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．【解析】由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，其直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ， ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x ＝－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2y ，x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，点(－1,1)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π44．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，半径r ＝1，P 在圆C 上运动．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴)中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程．【解】 (1)设圆C 上任一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＋3＝0.(2)设Q (x ，y )，则P (2x,2y )，由于圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，P 在圆C 上，所以(2x －1)2＋(2y －3)2＝1，则Q 的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝⎛⎭⎪⎫y －322＝14.。

人教新课标版数学高二选修4-4课件第1课时圆的极坐标方程

答案
当堂训练
1.极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是
A.3
B. 2
C.1
√D.
2 2
12345
答案
2.将极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0化为直角坐标方程为
A.x2＋y2＝0或y＝1 C.x2＋y2＝0或x＝1
B.x＝1 √
D.y＝1
12345
答案
3.在极坐标系中，圆ρ＝2sin θ的圆心的极坐标是
π 4
＝ 2cos θ＋ 2sin θ，
∴ρ2＝ 2ρcos θ＋ 2ρsin θ，
∴化为直角坐标方程为 x2＋y2－ 2x－ 2y＝0.
解答
(3)ρcos(θ＋π4)＝ 22；解 ∵ρcos(θ＋4π)＝ 22， ∴ρ(cos θ·cos π4－sin θ·sin π4)＝ 22， ∴ρcos θ－ρsin θ－1＝0. 又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， ∴x－y－1＝0.
解答
反思与感悟
在进行两种坐标方程间的互化时，要注意 (1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同. (2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在 0≤θ<2π范围内求值.
跟踪训练2 把下列直角坐标方程化为极坐标方程. (1)y2＝4x；解将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ，化简，得ρsin2θ＝4cos θ. (2)x2＋y2－2x－1＝0. 解将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2－2x－1＝0，得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0.

高中数学第一讲坐标系1.3简单曲线的极坐标方程课件新人教A版选修4-4

5.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
= cos,
(1)将互化公式
代入直角坐标方程后化简整理即可得
= sin
到相应的极坐标方程;
2 = 2 + 2 ,

tan = ( ≠ 0),

(2)利用公式
将极坐标方程中涉及 ρ,θ 的式子
cos = ,
sin =
全部换成关于 x,y 的式子,化简整理后即可得到相应的直角坐标方
果不加特殊说明,就认为ρ≥0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练3 (1)极坐标方程ρ=4asin θ化为直角坐标方程
为
;
(2)极坐标方程ρ=9(cos θ+sin θ)化为直角坐标方程
为
.
(3)直角坐标方程x+y-2=0化为极坐标方程
是
;
(4)直角坐标方程2x2+2y2-3x+7=0化为极坐标方程
变式训练1
r=1的圆M的极坐标方程是
.
解析：设 P(ρ,θ)是圆上任意一点,连接 OP,PM.在△OMP 中,由余
弦定理可得 16+ρ2-2×4×ρcos -
π
6
=1,整理得 ρ2-8ρcos -
故圆 M 的极坐标方程是 ρ2-8ρcos -
答案：ρ2-8ρcos -
π
6
+15=0
π
6
+15=0.
π
6
+15=0.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究二求直线的极坐标方程
π
【例2】求过点A(1,0)且与极轴所成的角为 4的直线的极坐标方

人教版高中数学选修4-4简单曲线的极坐标方程一等奖优秀课件

练习1
求下列圆的极坐标方程（１）圆心在极点，半径为２；＝2 （２）圆心在Ｃ（a，０），半径为a；＝2acos （３）圆心在（a，／2），半径为a；＝2asin （４）圆心在Ｃ（0，０），半径为r。 2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
解:设P(ρ,θ)为圆周上任意一点,如下图所示,在
A
o
A外的任意一点，连接OM
在 Rt MOA 中有 |OM| sin∠AMO=|OA|
﹚
M
x
即 sin ＝a
可以验证，点A的坐标也满足上式。
练习2:设点A的极坐标为 ( a , 0) ，直线 l 过点 A且与极轴所成的角为 ,求直线 l 的极坐标方程。
解：如图，建立极坐标系，设点 M ( , ) 为直线 l 上异于A点的任意一点，连接OM，在 MOA 中，由正弦定理得 M a ﹚ sin( ) sin( ) ﹚ o A x 化简得

三、直线的极坐标方程：
思考：在平面直角坐标系中
过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为 x=3
过点(2,3)且与y轴垂直的直线方程为 y=3
;
在极坐标下，它们的极坐标方程是什么？
例1：
⑴求过极点，倾斜角为的射线的极坐标方程。 4

4
M
( 0)
o
﹚
4
x
5 （2）求过极点，倾斜角为 4 的射线的极坐标方程。
与直角坐标系里的情况一样
①建系（适当的极坐标系）
②设点（设M（，)为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造⊿，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化

高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《1.3简单曲线的极坐标方程》PPT教学课件

1.3简单曲线的极坐标方程
2020/12/10
1
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f(,)=0 ；
(２)方程f(,)=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。
则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
2020/12/10
A.1c0o s 6
C.1c0o s 6
B.1c0o s 6
D .1c0o s 6
2020/12/10
8
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2
探究
如图，半径为a的圆的圆心坐标为 (a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？
O
C(a,0)
x
2020/12/10
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例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？
2020/12/10
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题组练习1 求下列圆的极坐标方程
(１)中心在极点，半径为2；
＝2acos
2
(３)中心在(a,/2)，半径为a；
＝2asin Βιβλιοθήκη 22020/12/10
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练习3
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为
半径的圆的方程是 C
A.2cos4 B.2sin4
C.2cos1 D.2sin1
2020/12/10
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练习4
曲线 53co s5sin 关于极轴对
称的曲线是： C
＝2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
＝2acos

人教版高中数学选修4-4：-第一讲坐标系·三、简单曲线的极坐标方程ppt课件

经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的课后复习30分钟。
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
任意一点的极坐标(,)满足的条件吗？
O
C(a,0)
1. 圆的极坐标方程
圆经过极点O.设圆和极轴的另一个
交点是A，那么|OA|＝2a.设M(,)为圆上
除点O，A以外的任意一点，则OM⊥AM.

O
C(a,0)
1. 圆的极坐标方程
圆经过极点O.设圆和极轴的另一个