第3课时 充分条件和必要条件2

第3课时 充分条件和必要条件（2）
教学目标：1．进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；
2．掌握判断命题的条件的充要性的方法.
教学重点、难点：理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断．
教学过程：
一.问题情境
一般地，如果已知p q ⇒，那么我们就说p 是q 成立的充分条件，q 是p 的必要条件. 如果p q ⇒,且q p ⇒,那么称p 是q 的充分必要条件,简称为p 是q 的充要条件,记作p q ⇔. 练习：
⑴“a b c >>”是“()()()0a b b c c a ---<”的 条件．充分不必要
⑵若a 、b 都是实数，从①0ab >；②0a b +>；③0ab =；④0a b +=；⑤220a b +>；⑥22
0a b +=中选出使a 、b 都不为0的充分条件是 ．①②⑤
二.数学运用
条件充要性的判定结果有四种，判定的方法很多，但针对各种具体情况，应采取不同的策略，灵活判断．下面我们来看几个充要性的判断及其证明的例题．
1．要注意转换命题判定，培养思维的灵活性
例1：已知p ：2x y +≠-；q ：x 、y 不都是1-，p 是q 的什么条件？ 分析：要考虑p 是q 的什么条件，就是判断“若p 则q ”及“若q 则p ”的真假性
从正面很难判断其真假性，我们从它们的逆否命题来判断其真假性
“若p 则q ”的逆否命题是“若x 、y 都是1-，则2x y +=-”真的.
“若q 则p ”的逆否命题是“若2x y +=-，则x 、y 都是1-”假的.
故p 是q 的充分不必要条件
注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手．
练习：已知p ：2x >或23x <
；q ：2x >或1x <-，则p ⌝是q ⌝的什么条件？ 方法一：2:23
p x ⌝≤≤; :12q x ⌝-≤≤. 显然p ⌝是q ⌝的的充分不必要条件.
方法二：要考虑p ⌝是q ⌝的什么条件，就是判断“若p ⌝则q ⌝”及“若q ⌝则p ⌝”的真假性.
“若p ⌝则q ⌝”等价于“若q 则p ”真的;
“若q ⌝则p ⌝”等价于“若p 则q ”假的;
故p ⌝是q ⌝的的充分不必要条件.
2．要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性
例2：若M 是N 的充分不必要条件，N 是P 的充要条件，Q 是P 的必要不充分条件，则M 是Q
的什么条件？
分析：命题的充分必要性具有传递性.M N P Q ⇒⇔⇒. 显然M 是Q 的充分不必要条件.
3．充要性的求解是一种等价的转化
例3：求关于x 的不等式2
1ax ax +>于一切实数x 都成立的充要条件.
分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化 由题可知等价于0
00004040a a a a a a ≠⎧⎪=>⇔=<<⇔≤<⎨⎪∆<⎩
或或.
4．充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么
例4：证明：对于x 、y ∈R ，0xy =是22
0x y +=的必要不充分条件．
分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件.
必要性：对于x 、y ∈R ，如果220x y +=, 则0x =，0y = 即0xy =
故0xy =是220x y +=的必要条件.
不充分性：对于x 、y ∈R ，如果0xy =，如0x =，1y =，此时220x y +≠
故0xy =是220x y +=的不充分条件.
综上所述：对于x 、y ∈R ，0xy =是220x y +=的必要不充分条件．
例5：p ：210x -≤≤；q ：()110m x m m -≤≤+>．若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
解：由于p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件
于是有
12
101m m
-≤-⎧⎨≤+⎩, 9m ∴≥
四.回顾小结:理解充要条件的意义, 掌握判断命题的条件的充要性的方法.
五. 常用逻辑用语作业3答案:
1.从“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件” 中选择填空.
(1)“0a =”是“函数2()()f x x ax x R =+∈为偶函数”的 . 充要条件
（2）“s i n s i n αβ>”是“αβ>”的 . 既不充分又不必要条件
（3）“M N >”是“22log log M N >”的 . 必要不充分条件
（4）“x M N ∈⋂”是“x M N ∈⋃”的 . 充分不必要条件
(5) 已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的 . 答案:充分不必要条件; :12,31p x x ⌝+≤-≤≤，
22:56,560,3,2q x x x x x x ⌝-≤-+≥≥≤或
p q ⌝⇒⌝，充分不必要条件.
(6)设集合A ＝｛x |11
+-x x ＜0},B ＝｛x || x －1|＜a }，则“a ＝1”是“A ∩B ≠”
的 .
答案：充分不必要条件；解析：由题意得A ：－1<x<1，B ：1－a<x<a+1，
1)由a=1. A ：－1<x<1.B ：0<x<2. 则A {}∅≠<<=⋂10x x B 成立，即充分性成立.
2)反之:A ∅≠⋂B ,不一定推得a =1,如a 可能为21
.
综合得“a=1”是“A ∅≠⋂B ”的充分非必要条件.
2．已知,p q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件,q 是s 的充分条件，
则s 是q 的 ______条件，r 是q 的 条件，p 是s 的 条件. 答案:充要，充要，必要 ,;,;q s r q q s r q s r r q s r p ⇒⇒⇒⇔⇒⇒⇒⇔⇒⇒
3. 在下列四个命题中，正确的有________．（填序号）①②④
①若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件
②“⎩⎨⎧≤-=∆>04,
02
ac b a ”是“一元二次不等式20ax bx c ++≥的解集为R 的充要条件 ③“1x ≠”是“21x ≠”的充分不必要条件
④“0x ≠”是“0x x +>”的必要不充分条件
4．从“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分又不必要条件” 中选择填空.
(1)在△ABC 中，“︒>30A ”是“2
1
sin >A ”的 .
(2)在△ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的 . 答案(1)必要不充分条件; 当0170A =时，001sin 170sin 102=<
，所以“过不去”；但是在△ABC 中，
000
1
sin 30150302A A A >⇒<<⇒>，即“回得来”. (2)充要条件.(利用三角形中大角对大边并结合正弦定理)
5．命题：“若220(,)a b a b R +=∈，则0a b ==”的逆否命题是 .
①若0(,)a b a b R ≠≠∈，则220a b +≠,②若0(,)a b a b R =≠∈，则220a b +≠, ③若0,0(,a b a b R ≠≠∈
且，则220a b +≠,④若0,0(,a b a b R
≠≠∈或，则220a b +≠. 答案:④; 0a b ==的否定为,a b 至少有一个不为0.
(注意:0,0,0,0,0,0,0,0a b a b a b a b ==≠==≠≠≠,其中之一的否定是另外三个.)
6.已知),0(012:,64:2
2>≥-+-≤-a a x x q x p 若非p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围. 解：{}:46,10,2,|10,2p x x x A x x x ⌝->><-=><-或或
{}22:2101,1,|1,1q x x a x a x a B x x a x a -+-≥≥+≤-=≥+≤-，或记或 而,p q A
⌝⇒
∴B ，即12110,030a a a a -≥-⎧⎪+≤∴<≤⎨⎪>⎩.。