华师大版九年级数学第24章解直角三角形复习(精品)

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华师大版九年级上册数学第24章解直角三角形含答案【完整版】

华师大版九年级上册数学第24章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列各组长度的线段能构成三角形的是（）A.1,2,4B.4,5,9C.4,6,8D.5,5,112、如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于，则sin∠CAB=（）A. B. C. D.3、如图，已知菱形ABCD，DF1BC交AC于点，交C于点F，若tan∠BDF= ，AB=30，则CE的长是（）A. B. C. D.4、在△ABC中，AB=6，AC=8，则BC边上中线AD的取值范围为（）（提示：可以构造平行四边形）A.2＜AD＜14B.1＜AD＜7C.6＜AD＜8D.12＜AD＜165、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB的长为2，则AC长为（）A.4B.2C.1D.6、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，且BE∥AC，CE∥DB，连接DE，则tan∠EDC＝（）A. B. C. D.7、如图，小颖身高为160cm，在阳光下影长AB=240cm，当她走到距离墙角（点D）150cm处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子DE的长度为（）A.50B.60C.70D.808、将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的一组是（）A.2、4、6B.4、6、8C.8、10、12D.6、8、109、如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形顶点上，则tan∠ACB的值为（）A. B. C. D.310、如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；② ；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（）A.①②③B.②③C.①③④D.②④11、在下面四根木棒中，选一根能与长为4cm，9cm的两根木棒首尾依次相接钉成一个三角形的是（）A.4cmB.5cmC.9cmD.13cm12、下列是无理数的是（）A. B. C.0.202002000… D.13、已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为二次方程x2-14x+48=0的一根，则这个三角形的周长为( )A.11B.17C.17或19D.1914、在△ABC中，∠C=90°，cosA=， AC=6，则AB的长度为（）A.8B.10C.12D.1415、如图，⊙O的直径AB=2，点C在⊙O上，弦AC=1，则∠D的度数是（）A.30°B.60°C.45°D.75°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8．若∠BPC= ∠BAC，则tan∠BPC=________．17、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，CM是斜边AB的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A=________.18、点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，已知AB=1，∠ADC=120°, 点M，N分别是AB，BC边上的中点，则△MPN的周长最小值是________.19、一个直角三角形斜边上的高与中线分别是5㎝和6㎝，则它的面积是________ .20、等腰三角形的两边长为3 和，那么它的周长为________．21、如图，已知，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE.点P，C，E在一条直线上，，M、N分别是对角线AC、BE的中点.当点P在线段AB上移动时，点M、N之间的距离最短为________.22、在扇形纸片AOB中，∠AOB=90°，OA=4，将扇形纸片AOB按如图所示折叠，使对折后点A与点O重合，折痕为DE，则的长度为________．23、如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=2BC=4，点P为AB边中点，点D为AC 边上不与端点重合的一动点，将△ADP沿着直线PD折叠得△PDE，若DE⊥AB，则AD的长度为________。

华东师大版九年级数学上册《24章解直角三角形复习题》精品课件_8

60º
A
C
45º
DB
测评反馈
1、某人在B处测得山顶A的仰角为30°，向前走200米来到山脚C处，测得山坡AC的坡度为 i=1：1.5，则山的高度为多少米？（不计测角仪的高度， 3 ≈1.7，结果保留整数）
A
30o
B
C
C D
一、解直角三角形的基本思想：1.数形结合思想
2.转化（化归）思想
3.方程思想
铅
常 1.仰角、俯角
垂线Biblioteka c a应Ａ bＣ用
向上视线
（
水平线步
向下视线
骤
用概 2.方位角
北A
30°
）
念
西
45°
O
东
3.坡度、坡角 B 南
α
h
L
合作探究
1、一物体沿坡度为1 : 3 的山坡的向上移动10米，则
物体升高了
米．10米 A
？
B
图1
C
2、在图1条件下，若点C向正东方向运动，观测到点A位于点C
的西北方向停止运动（如图2），AC=
AA
10米
45°
米。
A
10米 45°
B
图2 D
B CC
图3 C
D
3、在图1条件下，若点C向正西方向运动，从A点测得点C的俯角
为45°时，点C停止运动（如图3），AC= 米。
展示交流
1、某市准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路，经测量,在A地的北偏东60º方向，B 地的北偏西45º方向的C处有一个半径为0.7千米的公园,问计划修筑的这条公路会不会穿过公园? ( 3 ≈1.732)
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2020华师大版九年级数学上册第24章解直角三角形专题复习

【文库独家】华师大版九年级上册第24章解直角三角形专题复习一. 本周教学内容：直角三角形边角关系专题复习一. 知识体系：1. 三种三角函数与直角三角形中边与角的关系，在Rt △中 ①的对边的斜边tan ααα=∠∠②的对边的斜边sin ααα=∠∠③的邻边的斜边cos ααα=∠∠在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数，一定要先把这个角放在直角三角形中 2. 特殊角的三角函数值，可用表格来说明注：此表可借助特殊直角三角形三边的关系来记忆3. 三角函数的有关计算（对于一般角的三角函数值可利用计算器）41234.三角函数的应用（）测山的高度（）测楼的高度（）测塔的高度（）其它⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪二. 例题分析例1. 如图在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=6，D 是AC 上一点，若tan ∠=DBA AD 15，求的长。

A E B分析：解三角函数题目最关键的是要构造合适的直角三角形，把已知角放在所构造的直角三角形中。

本题已知所以可以过作于把放于tan ,,∠=⊥∠DBA D DE AB E DBA Rt DBE 15∆中，然后根据正切函数的定义，即可弄清DE 与BE 的长度关系，再结合等腰Rt △的性质，此题就不难解答了。

解：过D 作DE ⊥AB 于E ∴△DBE 和△DEA 为Rt △tan ∠==∴==DBE DE BE DE x BE x 155设则∴=+=AB DE BE x 6又为等腰为等腰∆∆∆∆ACB Rt A Rt DEA Rt ∴∠=∴45∴==∴=AE DE xAD x 2又， AC AB AC x x =∴==∴=∴=62626622∴==⋅==AD x AD 22222即例2. 如图湖泊的中央有一个建筑物AB ，某人在地面C 处测得其顶部A 的仰角为60°，然后，自C 处沿BC 方向行100m 到D 点，又测得其顶部A 的仰角为30°，求建筑物的高（结果保留根号）A分析：本题的关键在于（1）DB-CB=100（2）Rt △ABC 与Rt △ADB 有一条共同的线段AB ，因此只要利用Rt △ABC 和Rt △ADB 分别用AB 表示出DB 和CB 即可列出方程DB-CB=100，问题便可迎刃而解。

华师大版九年级上册数学第24章解直角三角形含答案

华师大版九年级上册数学第24章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M（，2），那么cosα的值是（）A. B. C. D.2、已知：△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，AB=3，那么的值是（）A. B. C. D.3、定义：在同一平面内画两条相交、有公共原点的数轴x轴和y轴，交角a≠90°，这样就在平面上建立了一个斜角坐标系，其中w叫做坐标角，对于坐标平面内任意一点P，过P作y轴和x轴的平行线，与x轴、y轴相交的点的坐标分别是a和b，则称点P的斜角坐标为(a，b)．如图，w=60°，点P的斜角坐标是(1，2)，过点P作x轴和y轴的垂线，垂足分别为M、N，则四边形OMPN 的面积是( )A. B. C. D.34、在△ABC中,∠C=90°,BC=5,AB=13,用科学计算器求∠A约等于( )A.24°38'B.65°22'C.67°23'D.22°37'5、如图，在的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则的值是（）A. B. C. D.6、A，B，C分别表示三个村庄，AB=1300米，BC=500米，AC=1200米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A.AB中点B.BC中点C.AC中点D.∠C的平分线与AB的交点7、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sin B=（）A. B. C. D.8、如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC=（）A.6B.6C.6D.129、下列各组长度的线段能构成三角形的是（）A.1，4，2B.3，6，3C.6，1，6D.4，10，410、在海上，灯塔位于一艘船的北偏东方向，那么这艘船位于这个灯塔的（）A.南偏西50°B.南偏西40°C.北偏东50°D.北偏东40°11、cos60°的值等于（）A. B.1 C. D.12、已知三角形的两边长分别为3和4,则下列长度的线段能作为其第三边的是（）A.1B.5C.7D.913、已知三角形的两边长分别为2和4，第三边的长是方程x2﹣4x+3=0的解，则这个三角形的周长为（）A.3B.9C.7或9D.714、三角形的两边长分别为3cm和5cm，下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A.2cmB.4cmC.8cmD.10cm15、已知等腰三角形的一边等于3，一边等于7，那么它的周长等于（）A.13B.13或17C.17D.14或17二、填空题(共10题，共计30分)16、比较下列各对数的大小，并提出你的猜想：①sin30°________ 2sin15°cos15°；②sin36°________ 2sin18°cos18°；③sin45°________ 2sin22.5°cos22.5°；④sin60°________ 2sin30°cos30°；⑤sin80°________ 2sin40°cos40°．猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α________ 2sinαcosα．17、已知一个三角形三边分别为5cm，7cm，xcm，则x的取值范围为________.18、如图所示，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③CD＝3CF；④S△ABE＝4S△．其中正确的有________（填序号）．ECF19、三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程一个实数根，则.该三角形的周长是________.20、如图，已知直线：，过点作直线的垂线交轴于点，过点作轴的垂线交直线于点；再过点作直线的垂线交轴于点，过点作轴的垂线交直线于点；…；按此作法继续下去，则点的坐标是________.21、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A=30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点F.点D为AC的中点，以点D为圆心，DC为半径画弧，交AB于点E，若BC＝2，则图中阴影部分的面积为________（结果保留π）.22、如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________m．23、如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则cos∠BAC的值是________。

(精练)华师大版九年级上册数学第24章解直角三角形含答案

华师大版九年级上册数学第24章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知三角形三边的长为a、b、c，则代数式（a-b）2-c2的值为（）A.正数B.负数C.0D.非负数2、长度分别为3，8，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可能是( )A.11B.5C.7D.43、在□ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，AC＝10，BD＝8，则AD长的取值范围是（）A.AD＞1B.AD＜9C.1＜AD＜9D.AD＞104、如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A.200米B.200 米C.220 米D.100（+1）米5、平行四边形的一边长是12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（）A.10和34B.18和20C.14和10D.10和126、如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A.（）米B.（）米C.（）米 D.（）米7、活动课上，老师给出长度分别是3cm，4cm，7cm，10cm的四根木棒，要求从中任选三根围成一个三角形，下面是四位同学分别选择的结果，你认为能围成三角形的是（）A.3cm，4cm，7cmB.3cm，4cm，10cmC.3cm，7cm，10cm D.4cm，7cm，10cm8、如图，某超市自动扶梯的倾斜角为，扶梯长为米，则扶梯高的长为（）A. 米B. 米C. 米D. 米9、一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O 为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（）A.（30 -50，30）B.（30，30 -50）C.（30 ，30） D.（30，30 ）10、若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（）A.3：1B.4：1C.5：1D.6：111、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB=，则tanA的值为A. B. C. D.212、如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC =" 4" cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（）．A.相离B.相切C.相交D.相切或相交13、若平行四边形的两条对角线长为6 cm和16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是（）A.5cmB.8cmC.12cmD.16cm14、AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，如果AE：CF=3：2，则sin∠BAC：sin∠ACB等于（）A.3：2B.2：3C.9：4D.4：915、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、定义；在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a，θ）变换。

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华师大版九年级上册数学第24章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、﹣sin60°的倒数为（）A.﹣2B.C.﹣D.﹣2、如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，其坐标为（8，y），且OA 与x轴正半轴的夹角α的正切值为，则y的值为（）A.4B.C.5D.63、对于任意△ （见示意图）．若是△ 的边上的中线，、的角平分线分别交、于点，连接，那么之间的数量关系正确的是（）A. B. C. D.4、在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列等式中正确的是（）A.cosA=B.sinB=C.tanB=D.cotA=5、下列命题中，真命题有（）①同旁内角互补；②长度为2、3、5的三条线段可以构成三角形；③平方根、立方根是它本身的数是0和1；④和﹣|﹣2|互为相反数；⑤4＜＜5；⑥在同一平面内，如果a∥b，a⊥c．那么b⊥c．A.0个B.1个C.2个D.3个6、tan35°•cotα=1，则α等于（）A.65°B.35°C.75°D.55°7、△ABC中，∠ABC=30°，边AB=10，边AC可以从4，5，7，9，11取一值．满足这些条件的互不全等三角形的个数是（）A.6B.7C.5D.48、sin45°的值等于( )A. B. C. D.9、以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A.1cm，2cm，3cmB.2cm，5cm，8cmC.3cm，4cm，5cm D.4cm，5cm，11cm10、如图，已知△ABC，AB=5，∠ABC=60°，D为BC边上的点，AD=AC，BD=2，则DC=（）A.0.5B.1C.1.5D.211、在△ABC中，若|sinB﹣|与（﹣cosA）2互为相反数，则∠C等于（）A.120°B.90°C.60°D.45°12、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3cm，点P在边AC上以1cm/s的速度从点A向终点C运动，与此同时点Q在边AB上以同样的速度从点B向终点A运动，各自到达终点后停止运动，设运动时间为t（s），则当△APQ 是直角三角形时，t的值为（）A.2sB.4sC.2s或4.5sD.2s或4s13、如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C 到航线AB的距离CD是（）A.20海里B.40海里C.20 海里D.40 海里14、方程x2－9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A.12B.12或15C.15D.不能确定15、如图，AB是⊙O的直径，弦BC=2cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜3），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为（）A. B.1 C. 或1 D. 或1 或二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，已知∠AOB=30°，在射线OA上取点O1，以O1为圆心的圆与OB相切；在射线O1A上取点O2，以O2为圆心，O2O1为半径的圆与OB相切；在射线O 2A上取点O3，以O3为圆心，O3O2为半径的圆与OB相切；…；在射线O9A上取点O10，以O10为圆心，O10O9为半径的圆与OB相切．若⊙O1的半径为1，则⊙O10的半径长是________．17、下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A求作：，使得=30°做法：如图①作射线AB②在射线AB上取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C③以C为圆心，OC为半径作弧，与圆O交于点D，作射线AD，∠DAB即为所求的角请回答：该尺规作图的依据是________．18、如图，AB是斜靠在墙角的长梯，梯角B距墙0.8m，长梯上一点D距墙0.7m，BD长0.55m，则梯子的长度是________ m．19、如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦BC的长________.20、位于湖北省荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明熹靖年间，周边风景秀丽.随着年代的增加，目前塔底低于地面约7米.某校学生先在地面处侧得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进米后到达处，在处侧得塔顶的仰角为45°(如图所示)，已知古塔的整体高度约为40米，那么的值为________米.(结果保留根式)21、如图，在△ABC中，∠A=45°，AB= ，AC=6，点D，E为边AC上的点，AD=1，CE=2，点F为线段DE上一点（不与D，E重合），分别以点D、E为圆心，DF、EF为半径作圆.若两圆与边AB，BC共有三个交点时，线段DF长度的取值范围是________.22、如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD=________．23、直角三角形两直角边的垂直平分线交于点P，则P点在________（填点P 的位置）．24、某人沿坡度i=1：的坡面向上走50米，则此人离地面的高度为________米．25、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是BC边上的中线，cos∠CAM=，则tan∠B的值为________三、解答题(共5题，共计25分)26、化简，并求值，其中a与2，3构成△ABC的三边，且a为整数．27、小敏同学测量一建筑物CD的高度，她站在B处仰望楼顶C，测得仰角为30°，再往建筑物方向走30m，到达点F处测得楼顶C的仰角为45°（B，F，D 在同一条直线上）。

第24章解直角三角形华东师大版数学九年级上册单元复习题(含解析)

;华东师大版九年级数学上册第24章解直角三角形单元复习题一、选择题1．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2m，AB：AC=1：9，则建筑物CD的高是（）A．9.6m B．10.8m C．12m D．14m2．如图，在矩形中，已知于，，，则的长为（）A．3B．2C．D．3．已知，是锐角，则的度数为（）A．B．C．D．4．用计算器求的值，以下按键顺序正确的是（）A．B．C．D．5．如图，在中，，，则的值为（）A．2B．3C．D．6．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆高，测得.则建筑物的高是（）A．B．C．D．7．边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（）.A．90°B．150°C．135°D．120°8．如图，在中，，若，，点是上一点，且，则的值为（）.A．B．C．D．9．如图，某超市电梯的截面图中，的长为15米，与的夹角为，则高是（）A．米B．米C．米D．米10．如图，在一笔直的沿湖道路l上有、两个游船码头，观光岛屿在码头北偏东的方向，在码头北偏西的方向，.游客小张准备从观光岛屿乘船沿回到码头或沿回到码头，设开往码头、的游船速度分别为、，若回到、所用时间相等，则（）A．B．C．4D．6二、填空题11．如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度为米.12．已知在中，，，，，则BC的长等于 .13．如图，已知大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，那么 .14．河堤横断面如图所示，斜坡的坡度（即BC：AC），，则的长是 .三、解答题15．为测量一棵大树的高度，设计的测量方案如图所示：标杆高度，人的眼睛A、标杆的顶端C和大树顶端M在一条直线上，标杆与大树的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，B、D、N三点共线，，求大树的高度.16．如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，，求这个矩形对角线的长．17．先化简，再求代数式的值，其中．18．如图，小聪全家自驾到某风景区旅游，到达A景点后，导航显示沿北偏西方向行驶8千米到达B景点，在B景点查询C景点显示在北偏东方向上，到达C景点，小聪发现C景点恰好在A 景点的正北方向，求B，C两景点的距离.四、综合题19．小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为16米，的影长为20米，小明的影长为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且，．已知小明的身高为1.8米．（1）求建筑物OB的高度；（2）求旗杆的高AB．20．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点.（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝8，AB＝12，求的值.21．如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上.（1）求证：；（2）若，，求的值.22．如图，在一片海域中有三个岛屿，标记为，，.经过测量岛屿在岛屿的北偏东，岛屿在岛屿的南偏东，岛屿在岛屿的南偏东.（1）直接写出的三个内角度数；（2）小明测得较近两个岛屿，求、的长度（最终结果保留根号，不用三角函数表示）.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴，即，∴CD=10.8（米）.故答案为：B.【分析】利用EB∥CD可证得△ABE∽△ACD，利用相似三角形的对应边成比例，可得比列式，即可求出CD的长.2．【答案】B【解析】【解答】解：四边形为矩形，，，，，，故答案为：B．【分析】由矩形的性质求出∠ABD=90°，利用三角形内角和求出∠BAE=30°，再根据含30°角的直角三角形的性质即可求解.3．【答案】A【解析】【解答】解：∵，且是锐角，∴，故答案为：A.【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答.4．【答案】A【解析】【解答】解：先按键“sin”，再输入角的度数24°37′，按键“=”即可得到结果．故答案为：A．【分析】利用计算器的使用步骤得到结论。

九年级数学上册第24章解直角三角形知识归纳 (新版)华东师大版

第24章解直角三角形考点一、直角三角形的性质1. 直角三角形的两个锐角互余．可表示如下：∠C =90°⇒∠A +∠B =90°2. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．301902A BCD AB C ∠=︒⎫⇒=⎬∠=︒⎭ 3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．9012ACB CD AB BD AD D AB ∠=︒⎫⇒===⎬⎭为的中点 4. 勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+．5. 摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项．22290CD AD BD ACB AC AD AB CD AB BC BD AB⎧=•∠=︒⎫⎪⇒=•⎬⎨⊥⎭⎪=•⎩ 6. 常用关系式由三角形面积公式可得：AB •CD =AC •BC考点二、直角三角形的判定1. 有一个角是直角的三角形是直角三角形．2. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．3. 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形．考点三、锐角三角函数的概念1. 如图，在△ABC 中，∠C =90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即A a sin A c∠==的对边斜边 ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cos A ，即A b cos A c∠==的邻边斜边 ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tan A ，即A a tan A A b ∠==∠的对边的邻边 ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cot A ，即A b cot A A a∠==∠的邻边的对边 2. 锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数．3. 各锐角三角函数之间的关系〔1〕互余关系：sin A =cos(90°—A )，cos A =sin(90°—A )tan A =cot(90°—A )，cot A =tan(90°—A )〔2〕平方关系：1cos sin 22=+A A〔3〕倒数关系：tan A •cot A =1〔4〕弦切关系：tan A =A A cos sin ；cot A =cos sin A A4. 锐角三角函数的增减性：当角度在0°~90°之间变化时，〔1〕正弦值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕〔2〕余弦值随着角度的增大〔或减小〕而减小〔或增大〕〔3〕正切值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕〔4〕余切值随着角度的增大〔或减小〕而减小〔或增大〕5. 一些特殊角的三角函数值三角函数0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 21 22 23 1 cosα 1 23 22 21 0 tanα 0 33 1 3 不存在 cotα不存在 3 1 33 01. 解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2. 解直角三角形的理论依据在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c〔1〕三边之间的关系：222c b a =+〔勾股定理〕〔2〕锐角之间的关系：∠A +∠B =90°〔3〕边角之间的关系：sin ,cos ,tan ,cot sin ,cos ,tan ,cot a b a b A A A A c cb a b a b a B B B Bc c a b========。

华师大版九年级上册数学第24章解直角三角形含答案(考点梳理)

华师大版九年级上册数学第24章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、由一些大小相等的小正方体组成的几何体的主视图与左视图相同如图所示，设组成这个几何体的小正方体个数最少为m，最多为n，若以m，n的值分别为某个等腰三角形的两条边长，则该等腰三角形的周长为( )A.11或13B.13或14C.13D.12或13或14或152、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）A. B. C. D.3、如图，∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB．若AE=10，则DF等于（）A.5B.4C.3D.24、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA的值为（）A. B. C. D.5、把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）A.不变B.缩小为原来的C.扩大为原来的3倍D.不能确定6、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC-BE=AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=3AD，其中正确的个数有（）A.4个B.3个C.2个D.1个7、等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（）A. 或B. 或C.D.8、如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若，则次斜坡的水平距离AC为（）A.75mB.50mC.30mD.12m9、如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB，AC于点E，D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）A.4B.C.6D.10、如图．在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A.5cosaB.C.5sinaD.11、如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠C＝（）A. B. C. D.12、用计算器求sin24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是（）A. B.C.D.13、如图，铁道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时，长臂端点升高（）A.5mB.6mC.7mD.8m14、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则下列等式正确的是( )A.sinA=B.cosA=C.tanA=D.cosA=15、如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα= ，则小车上升的高度是（）A.5米B.6米C.6.5米D.12米二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，则BD：AB________．17、将一副三角尺按图所示叠放在一起，若AB=6cm ，则阴影部分的面积是________ ．18、如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA ，PD⊥OA ，若PC=6，则PD等于________.19、荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为________米（≈1.73，结果精确到0.1）．20、边长为8,一个内角为120°的菱形的面积为________ ．21、一个三边都是整数的三角形，其中两边长分别为1和2，第三边长是________22、如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC=2BF，连接AE，EF．若AB=2，AD=3，则cos∠AEF的值是________．23、已知sinA=0.2675，则∠A=________24、如图，小丽想测量学校旗杆的高度，她在地面A点安置侧倾器，测得旗杆顶端C的仰角为30°，侧倾器到旗杆底部的距离AD为12米，侧倾器的高度AB 为1.6米，那么旗杆的高度CD为________ 米（保留根号）25、在△ABC中，AC=6 ，点D为直线AB上一点，且AB=3BD，直线CD与直线BC所夹锐角的正切值为，并且CD⊥AC，则BC的长为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：﹣﹣（）﹣1+4cos30°27、如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα=6．求灯杆AB 的长度．28、某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼五楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知CD=12米，求旗杆AB的高度．29、位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）30、如图①所示，将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，已知∠CGD=42°（1）求∠CEF的度数；（2）将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角板的顶点B，交AC边于点H，如图②所示，点H，B在直尺上的读数分别为4，13.4，求BC的长（结果保留两位小数）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、B3、A4、D6、B7、A8、A9、B10、B11、D12、A13、D14、B15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、29、。

期末复习：华师大版九年级数学上册第24章解直角三角形(解析版)

期末复习：华师大版九年级数学上册第24章解直角三角形一、单选题（共10题；共30分）1.tan30°的值等于（）A. B. C. D.2.若∠α的余角是30°，则cosα的值是（）A. B. C. D.3.（2017•白银）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（）A. 2a+2b﹣2cB. 2a+2bC. 2cD. 04.如图，一天晚上，小颖由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，当她继续往前走到D 处时，测得此时影子DE的一端E到路灯A的仰角为45º，已知小颖的身高为1.5米，那么路灯A的高度AB为( )A. 3米B. 4.5米C. 6米D. 8米5.如图，△ABC中，∠C=90°，D在CB上，E为AB之中点，AD、CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE=（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°6.已知△ABC中，∠∠∠，则它的三条边之比为（）A. B. C. D.7.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=2cm，求AB的长（）A. 4B. 6C. 8D. 108.一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是（）A. 13B. 17C. 22D. 17或229.已知一个等腰三角形的两边长x，y满足方程组，则此等腰三角形的周长为（）A. 5B. 4C. 3D. 5或410.在Rt△ABC中，∠C =90°，sin A=，则cos B的值等于( )A. B. C. D.二、填空题（共10题；共30分）11.已知一个直角三角形的两条直角边分别为6和8，则它斜边上的中线的长为________．12.在△ABC中，若AB=5，BC=2，且AC的长为奇数，则AC=________．13.已知等腰三角形的其中两边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为________．14.如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=________．15.如图，△ABC是等边三角形，AB= ，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH=________．16.如果某人沿坡度i=1：3的斜坡前进10m，那么他所在的位置比原来的位置升高了________m．17.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果AC=8，BD=14，AB=x，那么x的取值范围是________．18.在Rt△ABC中，∠C=90°，且c=2a，则∠B=________ ．19.如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为________米（精确到0.1）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）．20.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是AB的中点，点E在边AC上，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A′处，当A′E⊥AC时，A′B＝________．三、解答题（共8题；共60分）21.如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．22.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=60°,AC=10,将BC向BA方向翻折过去,使点C落在BA上的点C',折痕为BE,求EC的长度.23如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60 米的点D（点D与楼底C在同一水平上）出发，沿斜面坡度为i=l：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53 °，求楼房AC的高度（参考数据：sin53 °= , cos53 °= , tan53 °= ，≈1.732，结果精确到0.1米）24.中考英语听力测试期间T需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由．（≈1.732）25. “蘑菇石”是我国著名的自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1890m．如图，DE∥BC，BD=1800m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果精确到0.1m，可参考数据sin29°≈0.4848，sin80°≈0.9848，cos29°≈0.8746，cos80°≈0.1736）26.尼泊尔发生8.1级地震，震源深度20千米．中国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧某面上选两探测点A、B，AB相距2米，探测线与该面的夹角分别是30°和45°（如图）．试确定生命所在点C与探测面的距离．（参考数据≈1.41，≈1.73）27.如图，在△ABC中，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，M是BC的中点，连接EM，FM．求证：EM=FM．28.如图，大楼AD与塔CB之间的距离AC长为27m，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D 处测得塔顶B的仰角为30°，分别求大楼AD的高与塔BC的高（结果精确到0.1m，参考数据：≈2.24，≈1.732，≈1.414）答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】特殊角的三角函数值【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【解答】解°．故选C．【点评】本题考查特殊角的三角函数值，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主，比较简单．2.【答案】A【考点】特殊角的三角函数值【解析】【分析】先根据题意求得α的值，再求它的余弦值．【解答】∠α=90°-30°=60°，cosα=cos60°=．故选A．【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．3.【答案】D【考点】三角形三边关系【解析】【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三条边长，∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，∴原式=a+b﹣c+（c﹣a﹣b）=0．故选D．【分析】先根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c与c﹣b+a的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．4.【答案】B【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】根据已知得出∠E=∠EAB=45°，得出AB=BE，再进而利用△DCM∽△DBA，得出，进而求出即可．【解答】解：∵当她继续往前走到D处时，测得此时影子DE的长刚好是自己的身高，∴DF=DE=1.5m，∴∠E=∠EAB=45°，∴AB=BE，∵MC∥AB，∴△DCM∽△DBA，∴，设AB=x，则BD=x-1.5=x-1.5，∴，解得：x=4.5．∴路灯A的高度AB为4.5m．故选：B．5.【答案】C【考点】直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AE=BE=EC，AD=DB，∴∠BAD=20°，∠ADC=40°，∠DAC=∠ECA=50°．∴∠ECD=20°，∠FDC=40°．∴∠DFE=60°．故选C．【分析】在直角△ABC中，由AE=BE=EC，AD=DB可以推出∠BAD=20°，∠ADC=40°然后利用三角形的外角和内角的关系即可求出∠DFE=60°．6.【答案】B【考点】含30度角的直角三角形，勾股定理【解析】【分析】根据给出的条件和三角形的内角和定理计算出三角形的角，再计算出它们的边的比．【解答】∵∠∠∠，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，∴c=2a，，∴三条边的比是故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理，通过知道角的度数计算特殊三角形边的比．7.【答案】C【考点】含30度角的直角三角形【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，又CD是高，∴∠BCD=30°，∴BC=2BD=4cm，∵∠A=30°，∴AB=2BC=8cm，故答案为：C．【分析】30°所对的直角边等于斜边的一半。

华师大数学九年级上第24章解直角三角形综合复习

解直角三角形综合复习题型一：解直角三角形从直角三角形中的已知元素（至少有一条是边）探求其未知的一些元素的问题叫做解直角三角形.解直角三角形的关键是合理选用边角关系，它包括勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的概念，解直角三角形的应用主要有以下两方面：（1）求线段的长、角的度数许多几何计算问题都可归结为解直角三角形.（2）解决实际问题应用三角函数解决的实际问题主要涉及测量、建筑、工程技术和物理学中，解决问题的关键是在理解有关名词意义的基础上，把实际问题抽象为几何图形，转化为解直角三角形.典题精练【例1】⑴如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（）B ．C ．D ．A．⑵如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（）A ．B ．C ．D ．⑶如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则（）A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°sin54°D．点A到OC的距离为cos36°sin54°⑷如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E，F分别在边AB，BC上，EF与BD交于G，且∠DEF=60°，若AD=3，AE=2，则sin∠BEF=．【例2】一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，求BC、CD的长．题型二：解直角三角形的应用典题精练【例3】(1)在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度为米．（结果保留根号）(2)为解决都市停车难的问题，计划在一段长为56米的路段规划出如图所示的停车位，已知每个车位是长为5米，宽为2米的矩形，且矩形的宽与路的边缘成45°角，则该路段最多可以划出个这样的停车位．（取=1.4，结果保留整数）【例4】某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度i=1：2，且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条件求出树DE的高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）【例5】如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间．【例6】如图，在海面上产生了一股强台风，台风中心（记为点M）位于滨海市（记作点A）的南偏西15︒，距离为612B）正西方向372千米/时的速度沿北偏东60︒的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．⑴滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由．⑵若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？A(滨海市)M B(临海市)巩固练习1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（）A．B．C．D．2．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（）A．75°B．90°C．105°D．120°3．如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（）A．msin35°B．mcos35°C．D．4．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），那么sinα的值是（）A． B．C．D．5．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC 的值为（）A．2+B．2C．3+D．36．如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于A．B．C．D．7．如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE=0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB=3m，则石坝的坡度为（）A．B．3 C．D．48．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（）m．A．20B．30 C．30D．409．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．C．D．10．如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm211．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，则sin=．12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E．设∠A=α，且tanα=，则tan2α=．13．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．14．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=15，tanA=，则AB=．15．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB=500米，则这名滑雪运动员的高度下降了米．（参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）16．网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC每个顶点都在网格的交点处，则sinA=．17．小明沿着坡度i为1：的直路向上走了50m，则小明沿垂直方向升高了m．18．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE、DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=米，背水坡CD的坡度i=1：（i为DF与FC的比值），则背水坡CD的坡长为米．19．如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在码头西端M的正西方向30 千米处有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向，且与O相距千米的A 处；经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处．（1）求该轮船航行的速度；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：，）20．今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到A港口正西方的B处时，发现在B的北偏东60°方向，相距150海里处的C点有一可疑船只正沿CA方向行驶，C点在A港口的北偏东30°方向上，海监船向A港口发出指令，执法船立即从A港口沿AC方向驶出，在D处成功拦截可疑船只，此时D点与B点的距离为75海里．（1）求B点到直线CA的距离；（2）执法船从A到D航行了多少海里？（结果保留根号）1.如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sinα=（）A．B．C．D．2．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是（）B．C．D．A．3．如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于（）A．B．C．D．4．如图，在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树梢D 的仰角分别是45°与60°，∠CAD=60°，在屋顶C处测得∠DCA=90°．若房屋的高BC=6米，求树高DE的长度．。

【新华东师大版】九年级数学上册：24《解直角三角形》章末复习学案(含答案)

第24章知识升华一、知识脉络：二、典例分析：例1 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，CD ⊥AB 于点D ，求∠BCD 的四个三角函数值．【分析】求∠BCD 的四个三角函数值，关键要弄清其定义，由于∠BCD 是在Rt △BCD 中的一个内角，根据定义，仅一边BC 是已知的，此时有两条路可走，一是设法求出BD 和CD ，二是把∠BCD 转化成∠A ，显然走第二条路较方便，因为在Rt △ABC 中，三边均可得出，利用三角函数定义即可求出答案．【解】在Rt △ABC 中，∵ ∠ACB ＝90°∴∠BCD ＋∠ACD ＝90°，∵CD ⊥AB ，∴∠ACD ＋∠A ＝90°，∴∠BCD ＝∠A ．在Rt △ABC 中，由勾股定理得，AB ＝22AC BC ＝10，∴sin ∠BCD =sinA =BC AB =45 ，cos ∠BCD =cosA =AC AB =35 ，tan ∠BCD =tanA =BC AC =43 ，cot ∠BCD =cotA =AC BC =34．【说明】本题主要是要学生了解三角函数定义，把握其本质，应强调转化的思想，即本题中角的转换．例2 如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪离AB为1.5米，求拉线CE的长．（结果保留根号）【分析】求CE的长，此时就要借助于另一个直角三角形，故过点A作AG⊥CD，垂足为G，在Rt△ACG中，可求出CG，从而求得CD，在Rt△CED中，即可求出CE的长．【解】过点A作AG⊥CD，垂足为点G，在Rt△ACG中，∵∠CAG＝30°，BD＝6，∴tan30°=CGAG，∴CG=6×33=2 3 ，∴CD=2 3 +1.5，在Rt△CED中，sin60°=CDEC，∴EC=CDsin60°=23+1.53=4+ 3 ．答：拉线CE的长为4+ 3 米．【说明】在直角三角形的实际应用中，利用两个直角三角形的公共边或边长之间的关系，往往是解决这类问题的关键，在复习过程中应加以引导和总结．例3 如图，某县为了加固长90米，高5米，坝顶宽为4米的迎水坡和背水坡，它们是坡度均为1∶0.5，橫断面是梯形的防洪大坝，现要使大坝顺势加高1米，求⑴坡角的度数；⑵完成该大坝的加固工作需要多少立方米的土？【分析】大坝需要的土方＝橫断面面积×坝长；所以问题就转化为求梯形ADNM的面积，在此问题中，主要抓住坡度不变，即MA与AB的坡度均为1∶0.5．【解】⑴∵i=tanB，即tanB=10.5=2，∴∠B=63.43°．⑵过点M、N分别作ME⊥AD，NF⊥AD，垂足分别为E、F．由题意可知：ME＝NF＝5，∴MEAE＝10.5，∴AE＝DF＝2.5，∵AD=4，∴MN=EF=1.5，∴S梯形ADNM＝12(1.5+4)×1＝2.75．∴需要土方为2.75×90=247.5 (m3) ．【说明】本题的关键在于抓住前后坡比不变来解决问题，坡度＝垂直高度水平距离＝坡角的正切值．例4 某风景区的湖心岛有一凉亭A ，其正东方向有一棵大树B ，小明想测量A 、B 之间的距离，他从湖边的C 处测得A 在北偏西45°方向上，测得B 在北偏东32°方向上，且量得B 、C 间距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A 、B 之间的距离．（结果精确到1米，参考数据：sin 32°≈0.5299，cos 32°≈0.8480，tan s 32°≈0.6249，cot 32°≈1.600）【分析】本题涉及到方位角的问题，要解出AB 的长，只要去解Rt △ADC 和Rt △BDC 即可．【解】过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．由题知：∠α=45°，∠β=32°．在Rt △BDC 中，sin 32°=BD BC ，∴BD ＝100sin 32°≈52.99．cos 32°=CDBC，∴CD =100 cos 32°≈84.80．在Rt △ADC 中，∵∠ACD =45°，∴AD =DC =84.80． ∴AB =AD +BD ≈138米．答：AB 间距离约为138米．【说明】本题中涉及到方位角的问题，画图是本题的难点，找到两个直角三角形的公共边是解题的关键，在复习中应及时进行归纳、总结由两个直角三角形构成的各种情形．例5 在某海滨城市O 附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P 处，并以20千米/ 时的速度向西偏北25°的PQ 的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/ 时速度不断扩张．(1)当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米；又台风中心移动t 小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米．(2)当台风中心移动到与城市O 距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由(参考数据2 1.41≈，3 1.73≈)．【分析】先要计算出OH 和PH 的长，即可求得台风中心移动时间，而后求出台风侵袭的圆形区域半径，此圆半径与OH 比较即可．【解】⑴100； (6010)t +．⑵作OH ⊥PQ 于点H ，可算得1002141OH =（千米），设经过t 小时时，台风中心从P 移动到H ，则201002PH t ==，算得52t =（小时），此时，受台风侵袭地区的圆的半径为：601052130.5+⨯≈（千米）＜141（千米）．∴城市O 不会受到侵袭．【说明】本题是在新的情境下涉及到方位角的解直角三角形问题，对于此类问题常常要构造直角三角形，利用三角函数知识来解决．第24章测试题设计一、选择题：1、某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（） A ．8米B ．83米C ．833米 D ．433米 2、如图，ABC △中BC 边上的高为1h ，DEF △中DE 边上的高为2h ，下列结论正确的是（） A ．12h h >B ．12h h <C ．12h h =D ．无法确定3、已知在ABC △中，90C ∠=，设sinB n =，当B ∠是最小的内角时，n 的取值范围是 A ．202n <<B ．102n << C ．303n << D ．302n << 4、如图，矩形ABCD 中，AB ＞AD ，AB =a ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点M ，CN ⊥AN 于点N ．则DM +CN 的值为（用含a 的代数式表示）( )A ．aB ．a 54C ．a 22D ． a 23 5、已知α为锐角，则m =sinα+cosα的值（） A ．m ＞1B ．m =1C ．m ＜1D ．m ≥16、如果方程2430x x -+=的两个根分别是Rt△ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，那么tan A 的值为（）． A、34或13B 、24C 、13D 、13或247、已知α为锐角，且cos （90°－α）＝3，则α的度数为（） A ．30° B ．60° C ．45° D ．75° 8、如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°， AM 是BC 边上的中线，53sin =∠CAM ，则B ∠tan 的值为( )．A 、32 B 、34 C 、12D 、139、在△ABC 中，AB =8，∠ABC =30°，AC =5，那么BC 的长等于（）A 、43B 、43+3C 、43－3D 、43+3或43－3 10、如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（） A ．（5332+）m B ．（3532+）m C ． 53m D ．4m二、填空题：11、如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点．C 点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC 为_____________米(精确到0.1米)．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)12、长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m ．13、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，则tanA 的值为．14、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个坡面的坡度为_________.15、如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一球从点M （点M 在长边CD 上）出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点. 如果MC n =，CMN α∠=.那么P 点与B 点的距离为 .16、如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC AD ∥，迎水坡AB 长13米，且12tan 5BAE ∠=，则河堤的高BE 为米．17、如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上，在A 处东500米的B 处，测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上，则灯塔P 到环海路的距离PC ＝米（用根号表示）．18、水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），需计算带子的缠绕角度α（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD 时的∠ABC ，其中AB 为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1，水管直径为2，则α的余弦值为 .19、如图，在Rt △ABC 中，∠CAB =90°，AD 是∠CAB 的平分线，tan B =21，则CD ∶DB = .20、若等腰梯形ABCD 的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为60，则该等腰梯形的面积为（结果保留根号的形式）．三、解答题：21、计算：（1）1sin 60cos302⋅-；（233602cos 458-+；22、一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变ADC ∠的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A 、C 之间的距离）.若AB=40cm ，当ADC ∠从60︒变为120︒时，千斤顶升高了多少？2 1.414,3 1.732，结果保留整数）23、某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A、B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45°、B地北偏西60°方向上有一牧民区C.一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案I：从A地开车沿公路到离牧民区C最近的D 处，再开车穿越草地沿DC方向到牧民区C.方案II：从A地开车穿越草地沿AC方向到牧民区C.已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍.（1）求牧民区到公路的最短距离CD.（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由.（结果精确到0.1，参考数据：3取1.73，2取1.41）24、如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ 延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC 约为多少？（结果可保留根号）25、某大学计划为新生配备如图（1）所示的折叠椅．图（2）是折叠椅撑开后的侧面示意图，其中椅腿AB 和CD 的长相等，O 是它们的中点．为使折叠椅既舒适又牢固，厂家将撑开后的折叠椅高度设计为32cm ，∠DOB ＝100°，那么椅腿的长AB 和篷布面的宽AD 各应设计为多少cm ？（结果精确到0.1cm ）26、路边的路灯的灯柱BC 垂直于地面，灯杆BA 的长为2米，灯杆与灯柱BC 成120°角，锥形灯罩的轴线AD 与灯杆AB 垂直，且灯罩轴线AD 正好通过道路里面的中心线（D 在中心线上），已知C 点与D 点之间的距离为12米，求灯柱BC 的高（结果保留根号）27、如图，家住江北广场的小李经西湖桥到教育局上班，路线为A →B →C →D ．因西湖桥维修封桥，他只能改道经临津门渡口乘船上班，路线为A →F →E →D ．已知BC EF ∥，BF CE ∥，AB BF ⊥，CD DE ⊥，200AB =米，100BC =米，37AFB ∠=°，53DCE ∠=°．请你计算小李上班的路程因改道增加了多少？（结果保留整数）温馨提示：sin370.60cos370.80tan370.75︒°≈，≈，°≈．28、如图，在小山的西侧A 处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空，40分钟后到达C 处，这时热气球上的人发现，在A 处的正东方向有一处着火点B ，十分钟后，在D 处测得着火点B 的俯角为15°，求热气球升空点A 与着火点B 的距离.（结果保留根号，参考数据：(42615sin -=︒，42615cos +=︒，3215tan -=︒，3215cot +=︒）.参考答案：一、选择题： 1、C 2、C 3、A 4、C 5、A 6、D 7、B 8、A 9、D 10、A二、填空题：11、3.512、2(32)- 13、33 14、1:215、tan tan m n αα-⋅ 16、1217、325018、π21 19、1∶2 20、43或433 三、解答题：21、（1）14；（2）2.5 22、解: 连结AC ，与BD 相交于点O ，四边形ABCD 是菱形，AC BD ，ADB =CDB ，AC =2AO ，当ADC =60时，△ADC 是等边三角形，AC =AD =AB =40 . 当ADC =120时，ADO =60，AO =AD sinADO =40×32=203，AC =403 ，因此增加的高度为40340=400.73229（cm ）23、解：（1）设CD 为x 千米，由题意得，∠CBD=30°，∠CAD=45°，∴AD=CD=x.在Rt △BCD 中，tan30°=BDx ，所以BD=3x. ∵AD ＋DB=AB=40，∴x ＋3x=40.解得 x ≈14.7，所以，牧民区到公路的最短距离CD 为14.7千米.（2）设汽车在草地上行驶的速度为v ，则在公路上行驶的速度为3v ，在Rt △ADC 中，∠CAD=45°，∴AC=2CD ，方案I 用的时间t 1=v CD v CD AD v CD v AD 34333=+=+；方案II 用的时间t 2=v CD v AC 2=；所以t 1－t 2=v CD v CD 342-=vCD 3)423(-.因为32－4>0，所以t 1－t 2>0.所以方案I 用的时间少，方案I 比较合理.24、解：(1) 在Rt△BPQ 中，PQ =10米，∠B =30°，则BQ =cot30°×PQ ＝103，又在Rt△APQ 中，∠PAB =45°，则AQ =cot45°×PQ =10，即：AB =(103+10)(米)；(2) 过A 作AE ⊥BC 于E ，在Rt△ABE 中，∠B =30°，AB =103+10，∴ AE =sin30°×AB =12（103+10）=53+5，∵∠CAD =75°，∠B =30°，∴ ∠C =45°，在Rt△CAE 中，sin45°＝AE AC，∴AC =2（53+5）=(56+52)(米)25、解：连接AC ，BD ， ∵OA=OB=OC=OB ，∴四边形ACBD 为矩形∵∠DOB=100º， ∴∠ABC=50º，由已知得AC=32，在Rt △ABC 中，sin∠ABC=AB AC，∴AB=ABC AC ∠sin =︒50sin 32≈41.8（cm ），tan∠ABC=BC AC ，∴BC=ABC AC ∠tan =︒50tan 32≈26.9（cm ），∴AD=BC =26.9 （cm ）答：椅腿AB 的长为41.8cm ，篷布面的宽AD 为26.9cm .26、解：设灯柱BC 的长为h 米，过点A 作AD ⊥CD 于点H ，过B 作BE ⊥AH 于点E ，∴四边形BCHE 为矩形，∵∠ABC ＝120°，∴∠ABE ＝30°，又∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∴∠ADC ＝60°，在Rt △AEB 中，∴AE ＝AB sin30°＝1，BE ＝AB cos303∴CH 3，又CD ＝12，∴DH ＝123，在Rt △AHD 中，tan ∠ADH ＝AH HD 3123=-h ＝3－4（米），∴灯柱BC 的高为（34）米．27、解：在Rt ABF △中， 37200333sin 37AB AFB AB AF ∠===°，，≈，°267tan 37AB BF =≈°， BC EF BF CE ∴∥，∥，四边形BCEF 为平行四边形．267CE BF ∴==，100BC EF ==．在Rt CDE △中，53DCE ∠=°，CD DE ⊥，37CED ∴∠=°，cos37214DE CE =≈·°，sin37160CD CE =︒≈·，∴ 增加的路程∴ =()()AF EF DE AB BC DC ++-++(333100214)++≈-(200100160)187++=（米）．28、解：由题意可知，AD ＝(40＋10)×30＝1500（米）过点D 作DH ⊥BA ，交BA 延长线于点H. 在Rt △DAH 中，DH ＝AD ·sin60°＝1500×23＝7503（米）.AH ＝AD ·cos60°＝1500×21＝750（米）.在Rt △DBH 中， BH ＝DH ·cos15°＝7503×(2＋3)＝（15003＋2250）（米），∴BA ＝BH －AH ＝15003＋2250－750＝1500（3＋1）（米）.答：热气球升空点A 与着火点B 的距离为1500（3＋1）（米）。

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