作业详细解答NO.4

©西南交大物理系_2015_02《大学物理AI 》作业 No.04 机械能 机械能守恒定律班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______一、判断题：（用“T ”和“F ”表示）[ F ] 1．一个不受外力作用的系统,它的动量和机械能都守恒。

解：不受外力作用的系统，0=∑外F r，动量是守恒的。

而机械能守恒的条件是：0=+∑∑非保内外A A ，不受外力作用的系统只能保证外力做功的代数和为0，不能保证非保守内力做功的代数和为0，所以机械能不一定守恒。

[ T ] 2．质点系的内力可以改变系统的总动能，不能改变系统的总动量。

解：质点系的内力的矢量和为0，所以不会改变系统的总动量，而质点系内力做功的代数和不一定为0，因而可以改变系统的总动能。

[ F ] 3．质点运动过程中，作用于质点的某力一直没有做功，表明该力对质点的运动没有产生任何影响。

解：比如单摆运动中绳子的拉力，时刻与位移垂直，不做功，但是它对摆球的运动当然有影响。

[ F ] 4．保守力作正功时，系统内相应的势能增加。

解：保守力做功数值上等于相关势能增量的负值。

所以当保守力作正功时，系统内相应的势能会减少。

[ F ] 5．图示为连接a 点和b 点的三条路径。

作用力F v对一质点做功，经由图示方向和路径，功的示数表示在图中。

由此可以判断F v是保守力。

解：保守力做功的特点：做功与路径无关。

二、选择题：1. 一个质点同时在几个力作用下的位移为)SI (654kj i r v v v v+−=Δ, 其中一个力为恒力)SI (756kj i Fv vv v+−=，则此力在该位移过程中所作的功为[ B ] J 76)A (J 19)B ( J 71)C (J 76)D (−解：由功的定义，F r力的功为(J)91422524)654()756(=++=+−⋅+−=Δ⋅=k j i k j i r F A r rr r r r v r2. 一质点在如图所示的坐标平面内作圆周运动，有一力)(0j y i x F F vv v +=作用在质点上。

在该质点从坐标原点运动到),(R R 位置过程中，力F v对它所作的功为[ A ] 20)A (R F202)B (R F203)C (R F 204)D (R F解：由功的定义，F r力的功为∫∫∫+=⋅=y F x F r F A y x d d d rr 20000d d R F y y F xx F R R =+=∫∫3．如图，一质量为m 的物体，位于质量可以忽略的直立弹簧正上方高度为h 处，该物体从静止开始落向弹簧，若弹簧的劲度系数为k ，不考虑空气阻力，则物体下降过程中可能获得的最大动能是 [ C ] (A) mgh(B) k gm mgh 222−(C) kg m mgh 222+ (D) kg m mgh 22+解：以m 、弹簧、地球所组成的系统作为研究对象，系统机械能守恒。

物体动能最大时，位于物体所受合外力为零的地方，即弹力等于重力的地方：kmgx kx mg =⇒=，以此位置作为重力势能0点，根据机械能守恒： 22max 2121)(kx mv x h mg +=+，将kmg x =代入得到 k g m mgh k mg k k mg h mg mv 221212222max +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=4．一个作直线运动的物体，其速度v 与时间t 的关系曲线如图所示。

设时刻1t 至2t 间外力作功为1W ；时刻2t 至3t 间外力作的功为2W ；时刻3t 至4t 间外力作功为3W ， 则 [ C ] (A) 0,0,0321<<>W W W(B) 0,0,0321><>W W W(C) 0,0,0321><=W W W(D) 0,0,0321<<=WWW解：根据质点的动能定理 k E W Δ=v t t 间，~21不变, 0,01==ΔW E k 所以 减小v t t 间，~320 ,02<<ΔW E k增大v t t 间，~430,03>>ΔW E k5.如图所示，圆锥摆的小球在水平面内作匀速率圆周运动，判断下列说法中正确的是[ A ] (A)重力和绳子的张力对小球都不作功。

(B)重力和绳子的张力对小球都作功。

(C)重力对小球作功，绳子张力对小球不作功 (D)重力对小球不作功，绳子张力对小球作功。

答：(A)对。

无论是重力还是绳子张力与小球位移都时候重直，所以都不作功。

三、填空题：1．质量为kg 10的质点，在合外力作用下做曲线运动，该质点的速度为k i t v v v v 1642+=(SI) ，则在t = 1 s 到t = 2 s 时间内，合外力对该质点所做的功为 1200 J 。

解： 由k i t v v v v 1642+=：s t 1=()J v v m mv E k i v yx k 13602121164222111=+==⇒+=v v vst 2=()J v v m mv E k i v y x k 256021211616222222=+==⇒+=v v v根据动能定理：J E E E AK K K 120012=−=Δ=2．一块kg 10的砖头沿x 轴运动。

它的加速度与位置的关系如图所示。

在砖头从x =0运动至x =8.0m 的过程中，加速的力对它所做净功W = 800 J 。

解：由图可以得出：mx ma F x a2525==⇒=， ()J 800d 25d 24588080====⎟⎠⎞⎜⎝⎛∫∫mx x mx x F A3．一个质量为m 的质点，仅受到力3/r r k F rr =的作用，式中k 为常数，r r 为从某一定点到质点的矢径。

该质点在0r r =处被释放，由静止开始运动，则当它到达无穷远时的速率为 。

解：由功的定义，在该过程中变力F r作的功为200d d r k r r k r F A r r =⋅=⋅=∫∫∞∞r r根据质点的动能定理有：0212−=mv A即质点到达无穷远处的速率为22r m km A v ==4．一质量为m = 5 kg 的物体，在0到10秒内，受到如图所示的变力F 的作用，由静止开始沿x 轴正向运动，而力的方向始终为x 轴的正方向，则10秒内变力F 所做的功为 。

解：方法一：由F -t 图可知，物体各时段受力为⎩⎨⎧≤≤≤≤=)s 10s 5(20s)5s 0(8t x t F0 ~ 5 秒内应用动量定理：0d 855−=∫mvt t 得5秒末速度)s (m 20554125−⋅=×=v5 ~ 10 秒内再应用动量定理：51010d 20mv mv t −=∫得10秒末速度)s (m 4020205)510(201510−⋅=+=+−=v v 根据质点的动能定理，10秒内变力作的功为 (J)4000405210212210=××=−=mv A方法二：根据定积分的几何意义，F-t 曲线下的面积就等于物体从0-10S 内受到的冲量。

N.S20020540521d 10=×+××=∫==−tF St F I 根据动量定理：()112m.s 40−=⇒=−=Δ=v mv P P P I根据质点的动能定理，10秒内变力作的功为 (J)4000405210212210=××=−=mv A5．如图所示，质量为m 的小球系在劲度系数为k 的轻弹簧一端，弹簧的另一端固定在O 点。

初始时，弹簧在水平位置，原长为0l 处于自然状态。

小球由位置A 释放，下落到O 点正下方位置B 时，弹簧的长度变为l ，则小球到B 点时的速度大小为20)(2l l mkgl v B −−=。

解：以小球、弹簧和地球组成的系统为研究对象，系统在小球运动过程中只有保守内力----弹力作功，系统机械能守恒。

设B 点重力势能为零，弹簧原长弹性势能为零，则对于A 点，机械能为：l g m ，对于B 点，机械能为：22021)(21Bmv l l k +− ，由系统机械能守恒有：Am22021)(21Bmv l l k l g m +−=，所以 20)(2l l m k gl v B −−=6．如图所示，质量m = 2 kg 的物体从静止开始，沿1 / 4圆弧从A 滑到B ，在B 处速度的大小为1s m 6−⋅=v ， 已知圆的半径R = 4m ，则物体从A 到B 的过程中摩擦力对它所作的功A = )J (4.42−。

有人同学是-44J 也可以算对。

解：以B 点为重力势能零点，由功能原理，摩擦力作的功为)J (4.4248.9262212122−=××−××=−=mgR mv A四、计算题：1．一个力作用在一个kg 3.0的类质点物体上，物体的位置作为时间的函数为32 1.04.0-3.0t t t x +=，式中x 以m 为单位，t 以s 为单位。

求：在t =0 s 至t =4.0 s 的时间间隔内，该力对物体做的功？解：该题两种解法：其一：用变力做功233.0 4.0 1.0x t t t =−+得出：()dt t t dx 2383+−=2383t t dt dx v +−== t dtdv a 68+−==()dt t t t dx ma dx F dA 7224621654..23−+−===()()J 5287224621654423=−+−==∫∫dt t t t dA A其二：用动能定理2．某弹簧不遵守胡克定律，若施力F ，则相应伸长为x ，力与伸长量的关系为)SI (30502x x F +=，求： （1）将弹簧从定长m 50.01=x 拉伸到定长m 00.12=x 时，外力所需做的功。

（2）将弹簧放在水平光滑的桌面上，一端固定，另一端系一个质量为6.0kg 的物体，然后将弹簧拉伸到一定长m 00.12=x ，再将物体由静止释放，求当弹簧回到m 50.01=x 时物体的速率。

（3）此弹簧的弹力是保守力吗？解：(1) 由功定义，弹簧从定长m 50.01=x 拉伸到定长m 00.12=x 时，弹力F 的作功为)J (27d )3050(d d 00.150.0221−=∫+−∫=⋅−=∫⋅=xx x x F r F A x x v v弹力的大小等于拉伸外力的大小，方向相反，故外力所需做的功为)J (27。

(2) 外力f 将弹簧拉伸到一定长m 00.12=x 时，由功能原理有弹簧和物体组成的系统机械能增量为：)J (27d )3050(d d 00.150.0221=∫+=∫⋅=∫⋅=Δx x x x f r f E xx v v 故当弹簧又回到m 50.01=x 时，此机械能增量转换为物体运动动能，有系统机械能守恒，即 221mv E =Δ 于是此时物体的速率为)s (m 30.627221−⋅=×=Δ=m Ev(3) 因为弹力F 满足∫=⋅0d r F vv ，所以此弹簧的弹力是保守力。