2012届高考文科数学第一轮复习课件3函数及其表示
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第一轮复习04----函数及其表示
同一பைடு நூலகம்数
下列各组函数中，表示 同一函数的是（ A. f x | x |, g x x ;
2
）
B. f x x , g x
2 2
x ;
2 2
x 1 C. f x , g x x 1; x 1 D. f x x 1 x 1, g x x 1;
2
数f M x 为f x 的“孪生函数”， 若给定函数f x 2 - x , M 1, 求f M 0 的值。
三大函数1：分段函数
2 x a , x 1 已知实数a 0，函数f x , x 2 a , x 1 若f 1 a f 1 a , 求a的值。
求函数的定义域
ln 2 x x 2 1, 求函数f x 的定义域。 | x | x f 2 x g x 的定义域。 0 x 1
2,已知函数f x 的定义域为1,2，求函数
3,已知函数f x 的定义域为0,2，求函数 1 g x f x 2 1 f x - 的定义域。 2
求函数的解析式
1,已知f x 是一次函数，且满足 3 f x 1 2 f x 1 2 x 17, 求f x .
x 1 2, 若f , 则当x 0且x 1时， x 1 x 求f x 。 1 3, 若f x 满足2 f x f 3x, 求f x x 的解析式。
3 4
三大函数1：分段函数
2 x a , x 1 已知实数a 0且a 1，函数f x , x 2 a , x 1 若f 2 a f 1 a , 求a的值。
一轮复习 3 函数.ppt
1 A.5
B．3
2
13
C.3
D. 9
解析： f(3)＝23，f(f(3))＝232＋1＝193.
答案：D
3．已知集合A＝[0,8]，集合B＝[0,4]，则下列对应关系中，
不能看作从A到B的映射的是
()
A．f：x→y＝18x
B．f：x→y＝14x
C．f：x→y＝12x
D．f：x→y＝x
解析：按照对应关系f：x→y＝x，对A中某些元素(如x
1．(教材习题改编)设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等
于
()
A．－2x＋1
B．2x－1
C．2x－3
D．2x＋7
解析：f(x)＝g(x＋2)＝2(x＋2)＋3＝2x＋7.
答案：D
x2＋1，x≤1， 2．(2012·江西高考)设函数 f(x)＝2x，x>1，
＝
则 f(f(3)) ()
答案：D
3．(2012·山东高考)函数 f(x)＝lnx1＋1＋ 4－x2的定义域
为
A．[－2,0)∪(0,2]
()
B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2]
D．(－1,2]
解析： x 满足xx＋＋11≠>01，， 4－x2≥0，
即xx≠>－0，1， －2≤x≤2.
解得－1<x<0 或 0<x≤2. 答案：B
3．(教材习题改编)函数 f(x)＝1－x11－x的最大值是 (
)
4
5
A.5
B.4
3
4
C.4
D.3
解析： ∵1－x(1－x)＝x2－x＋1＝x－122＋34≥34，∴
1－x11－x≤43.
2012高考(文科)数学一轮复习课件：第3章第1节 导数的概念及运算知识研习(新课标版)
• 1．导数概念及其几何意义 • (1)了解导数概念的实际背景． • (2)理解导数的几何意义． • 2．导数的运算 • (1)能根据导数定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝ 的导
数．
• (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法 则求简单函数的导数．
• 3．导数在研究函数中的应用 • (1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数
• 考点一 导数的定义 • 【案例1】 用导数的定义证明：偶函数的导数是奇函
数．
• 证明：设f(x)是偶函数，则
f′(x)＝liΔxm→0
fx＋Δx－fx Δx
＝liΔxm→0
f－x－Δx－f－x Δx
＝－li－Δmx→0 f－x＋－－ΔΔxx－f－x＝－f′(－x)，
• 即对函数f(x)的定义域内的任意x有f′(－x)＝－f′(x)，所以 f′(x)是奇函数．
，就是当物体的运动方程为s＝s(t)时，物体在t0时的 s′(瞬t0)时速度v，即v＝s′(t0)．
• 4．导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就
是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 f′(x0)．
，斜即率kk ＝
• 5．若y＝C，则
.
• 若y＝xn(n∈Q)，则y′＝y′＝0 .
【即时巩固 2】 求下列各函数的导数：
(1)y＝
x＋x5＋sin x2
x；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
• 解析：因为y′＝3x2－6x，所以在点(1，－1)处的切线斜 率为k＝y′|x＝1＝－3，故切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即 y＝－3x＋2.
• 答案：B
3．已知某物体的运动方程是 s＝t＋19t3，则当9 m/s
数．
• (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法 则求简单函数的导数．
• 3．导数在研究函数中的应用 • (1)了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数
• 考点一 导数的定义 • 【案例1】 用导数的定义证明：偶函数的导数是奇函
数．
• 证明：设f(x)是偶函数，则
f′(x)＝liΔxm→0
fx＋Δx－fx Δx
＝liΔxm→0
f－x－Δx－f－x Δx
＝－li－Δmx→0 f－x＋－－ΔΔxx－f－x＝－f′(－x)，
• 即对函数f(x)的定义域内的任意x有f′(－x)＝－f′(x)，所以 f′(x)是奇函数．
，就是当物体的运动方程为s＝s(t)时，物体在t0时的 s′(瞬t0)时速度v，即v＝s′(t0)．
• 4．导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就
是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的 f′(x0)．
，斜即率kk ＝
• 5．若y＝C，则
.
• 若y＝xn(n∈Q)，则y′＝y′＝0 .
【即时巩固 2】 求下列各函数的导数：
(1)y＝
x＋x5＋sin x2
x；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
• 解析：因为y′＝3x2－6x，所以在点(1，－1)处的切线斜 率为k＝y′|x＝1＝－3，故切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即 y＝－3x＋2.
• 答案：B
3．已知某物体的运动方程是 s＝t＋19t3，则当9 m/s
2012高考(文科)数学一轮复习课件第2章第1节函数的概念及其表示(新课标版)
• (2)用不等式法求函数值域时，需认真分
考点一 判断两函数是否为同一函数
【案例 1】 (2011 届·深圳高中月考下列各组函数中， 表示同一函数的是( )
A．f(x)＝|x|，g(x)＝ x2 B．f(x)＝ x2，g(x)＝( x)2 C．f(x)＝xx2－－11，g(x)＝x＋1 D．f(x)＝ x＋1· x－1，g(x)＝ x2－1
• (2)有时题中给出函数特征，求函数的解 析式，可用待定系数法．比如函数是二次
(3)已知 f(x)满足某个等式，这个等式除 f(x)是未知量
外，还出现其他未知量，如 f(－x)、f1x等．这时，必须根 据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求 出 f(x)．
• 2．求函数值域的方法
• (1)配方法：若函数类型为一元二次函数， 则采用此法求其值域，其关键在于正确配 成完全平方式．
所以 y＝900x＋1x6＋5 800 在(0，a]上是减函数， 所以当 x＝a 时，y 有最小值 900a＋1a6＋5 800.
考点五 求函数值域
【案例 5】 求下列函数的值域： (1)y＝x2x－2－x＋x 1； (2)y＝x－ 1－2x.
• 关键提示：根据函数解析式的结构，确 定采用的方法：(1)题可用配方法或判别式 法，(2)题可用换元法或单调性法．
• 考点三 函数解析式的求法
• 【案例3】 已知f(x)是二次函数，若 f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x) 的解析式．
• 关键提示：本题知道函数类型，可采用 待定系数法进行求解．
• 解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． • 由f(0)＝0知c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx. • 又因为f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， • 所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， • 即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋
考点一 判断两函数是否为同一函数
【案例 1】 (2011 届·深圳高中月考下列各组函数中， 表示同一函数的是( )
A．f(x)＝|x|，g(x)＝ x2 B．f(x)＝ x2，g(x)＝( x)2 C．f(x)＝xx2－－11，g(x)＝x＋1 D．f(x)＝ x＋1· x－1，g(x)＝ x2－1
• (2)有时题中给出函数特征，求函数的解 析式，可用待定系数法．比如函数是二次
(3)已知 f(x)满足某个等式，这个等式除 f(x)是未知量
外，还出现其他未知量，如 f(－x)、f1x等．这时，必须根 据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求 出 f(x)．
• 2．求函数值域的方法
• (1)配方法：若函数类型为一元二次函数， 则采用此法求其值域，其关键在于正确配 成完全平方式．
所以 y＝900x＋1x6＋5 800 在(0，a]上是减函数， 所以当 x＝a 时，y 有最小值 900a＋1a6＋5 800.
考点五 求函数值域
【案例 5】 求下列函数的值域： (1)y＝x2x－2－x＋x 1； (2)y＝x－ 1－2x.
• 关键提示：根据函数解析式的结构，确 定采用的方法：(1)题可用配方法或判别式 法，(2)题可用换元法或单调性法．
• 考点三 函数解析式的求法
• 【案例3】 已知f(x)是二次函数，若 f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求函数f(x) 的解析式．
• 关键提示：本题知道函数类型，可采用 待定系数法进行求解．
• 解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． • 由f(0)＝0知c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx. • 又因为f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， • 所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， • 即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋
[高三数学第一轮复习]函数的概念及其表示PPT课件
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诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
•规律方法 (1)求分段函数的函数值，要先确定要 求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段 的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内 到外依次求值．
•(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求 的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出 相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的 自变量的值是否满足相应段自 诊断·基础知识变量的取 突破·高频考点 值范围 培养·解题能力
不同而分别用几个不同的式子来并表集示，这种函
并集
数称为分段函数．
•分 段 函 数 的 定 义 域 等 于 各 段 函 数 的 定 义 域 的
，其值域等于各段函数的值域的
，分段
函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函
数．
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
• 2．函数定义域的求法
类型
x 满足的条件
突破·高频考点
培养·解题能力
•三审图形：观察y＝ax的图象总在y＝|f(x)|的下 方，则当a＞0时，不合题意；当a＝0时，符合 题意；当a＜0时，若x≤0，f(x)＝－x2＋2x≤0，
•所以|f(x)|≥ax化简为x2－2x≥ax，
(2)函数 y＝xx－ ＋31的值域为________．
诊断·基础知识
突破·高频考点
培养·解题能力
解析 (1)由题意x1＋－32＞x≥00，， 解得－3＜x≤0. (2)y＝xx－＋31＝x＋x＋1－1 4＝1－x＋4 1，因为x＋4 1≠0， 所以 1－x＋4 1≠1.即函数的值域是{y|y≠1}．
(√)
(8)已知 f( x－1)＝x，则 f(x)＝(x＋1)2.
高三一轮复习：函数及其表示
x≥－1， 即x≠1， x＜2，
－1≤x＜2， ，有 x≠1.
所以此函数的定义域是{x|－1≤x＜1，或1＜x＜2}． (2)∵f (2x＋1)的定义域为(0,1)， ∴1＜2x＋1＜3， 即f (x)的定义域是(1,3)．
考基联动 考向导析 限时规范训练
反思感悟：善于总结，养成习惯 1．求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不 等式或不等式组，然后求出它们的解集． 2．f[g(x)]的定义域为[a，b]，指的是x的取值范围为[a，b]，而不是g(x)的取值范 围为[a，b]．
(
)
解析：由x－1＞0得x＞1 答案：C 4．若f (x)＝x2 ＋bx＋c，且f(1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝________. 解析：∵f (x)＝x2 ＋bx＋c，f(1)＝0，f (3)＝0. ∴1＋3＝－b, 1×3＝c. 即b＝－4，c＝3. ∴f (x)＝x －4x＋3. ∴f (－1)＝1＋4＋3＝8. 答案：8 1 5．已知f ＝x2 ＋5x，则f (x)＝________. x 1 1 1 2 1 1＋5t 解析：∵x≠0，∴令 ＝t，即x＝ (t≠0)，∴f(t)＝ ＋5·＝ 2 (t≠0)， x t t t t 1＋5x 故f (x)＝ 2 (x≠0)． x 1＋5x 答案： 2 (x≠0) x
函数及其表示
1．了解构成函数的要素；了解映射的概念．
2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法 ( 如图
象法、列表法、解析 法)表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 4．会求一些简单函数的定义域.
考基联动
考向导析
限时规范训练
基础自查
1．函数的基本概念 (1)函数定义 给定两个非空 数集 A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何 一个数
2012届高考数学(文)一轮复习课件：函数的奇偶性与周期性(人教A版)
或 等 价 于 :f(x)1,则 f(x)为 偶 函 数 ;f(x)1,
f(x)
f(x)
则 f(x)为 奇 函 数 .ห้องสมุดไป่ตู้
(3)对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行.
2020/10/28
【 典 例1】 判 断 下 列 函 数 的 奇 偶 性 ,并 说 明 理 由.
1 f x x 2 x 1x 1, 4 ;
f(x) 周 期 为 6的 函 数 .
2020/10/28
类型四函数的奇偶性与周期性的综合问题 解题准备:奇偶性和周期性都是函数的整体性质.奇偶性是解决函
数图象的对称性问题,周期性是解决函数图象的平移问题.函数 的单调性揭示函数的局部性质,灵活运用函数性质可解决与函 数相关的方程､不等式等综合问题.
2 f x x 1 1 x x 1,1 ;
1 x
3f
x
1 ax 1
1 2
a
0, a
1 ;
4
f
x
x (1 x (1
x) x)
(x 0) .
(x 0)
2020/10/28
[分析]判断函数的奇偶性,首先要检验其定义域是否关于原点对 称,若关于原点对称,再严格按照奇偶性的定义进行推理判断.
2020/10/28
【典例4】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的x,都有 f(x+1)=-f(1-x),且方程f(x)=0在[-1,1]上只有一个根,则方程 f(x+1)=0的第2000个根是多少.(从x轴右半轴开始从左到右数 起).
[解]由f(x+2)=-f[1-(x+1)]=-f(-x)=f(x)得:f(x)是周期函数,且周期为 2.f(x+1)是把f(x)的图象向左移1个单位.由x∈R,f(x)是奇函数, 且f(x)=0在[-1,1]上只有一个根,知f(0)=0,∴方程f(x)=0的第 2000个根是4000,∴f(x+1)=0的第2000个根是3999.
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第1课时 函数及其表示精品课件
结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 奇偶性
知识点
指数与指 数函 数
对数与对 数函 数
考纲下载
1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运
算．
3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指数函数图象通 过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的函数模型．
• 4．函数的表示法： 解析法 、
图象法 、 列表法 ．
• 5．分段函数 • 若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系不 同 而 分 别 用 几 个 不
同的式子来表示．这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组 成，但它表示的是 一个 函数．
1．函数y＝ x－1＋ln(2－x)的定义域是( )
• 1．求函数定义域的步骤
• 对于给出具体解析式的函数而言，函数的定义域就是使函数解析式有
意义的自变量x取值的集合，求解时一般是先寻找解析式中的限制条 件，建立不等式，再解不等式求得函数定义域，当函数y＝f(x)由实际 问题给出时，注意自变量x的实际意义．
• 2．求抽象函数的定义域时：
• (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出．
(3)在f(x)＝2f1x x－1中，用1x代替x， 得f1x＝2f(x) 1x－1， 将f1x＝2fxx－1代入f(x)＝2f1x x－1中， 可求得f(x)＝23 x＋13.
• 【变式训练】 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； • (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的
知识点
考纲下载
1.了解构成函数的要素；了解映射的概念．
2012届高考文科数学第一轮考点复习课件(4)
1．考查形式为：选择题、填空题、解答题各种题型都有可 能．选择题、填空题一般难度不大，属于高考题中的中低档题； 解答题有一定难度，一般与函数及解析几何结合，属于高考的 中高档题．
2．2012 年高考可能涉及导数综合题．以导数为数学工具考 察，导数的物理意义及几何意义，与复合函数、数列、不等式 等知识交汇．
c′＝0(c 为常数)；(xn)′＝nxn－1(n∈R)；(sinx)′＝__c_o_s_x__； (cosx)′＝_－__s_in_x_；(lnx)′＝1x；(logax)′＝1xlogae；(ex)′＝__e_x__； (ax)′＝__a_x_ln_a__.
4．运算法则 (u±v)′＝___u_′__±_v_′__；(uv)′＝____u_′__v_＋__u_v_′___； uv′＝__u_′__v_－v_2_u_v_′___(v≠0)；(cu)′＝__c_u_′_(c 为常数)．
3．一个物体的运动方程为 s＝1－t＋t2，其中 s 的单位是米， t 的单位是秒，那么物体在 3 秒末的瞬时速度是( C )
A．7 米/秒 B．6 米/秒 C．5 米/秒 D．8 米/秒
错源：过点求切线方程应注意该点是否为切点
例 4：已知曲线 y＝13x3＋43.
(1)求曲线在 x＝2 处的切线方程； (2)求曲线过点(2,4)的切线方程． 误解分析：注意区分曲线在点 A 处的切线与过点 A 的切线 是两个不同问题． 正解：(1)∵y′＝x2， ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k＝y′|x=2＝4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
解析：
lim
Vx® 0
fx0＋h－fx0－h h
＝ lim Vx® 0
2012高考数学文一轮复习(人教A版)精品课件选考第3章
4．不等式证明的基本方法 (1)比较法； (2)综合法与分析法； (3)反证法与放缩法．
课前自测
1．若不等式|x＋1|＋|x－2|<a无实数解，则a的取值范围是________．
解析：由绝对值的几何意义知|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，而|x＋1|＋|x－2|<a无 解，知a≤3.
答案：a≤3
2．不等式|x－x2－2|>x2－3x－4的解集是________．
解析：∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2|，而x2－x＋2>0恒成立， ∴原不等式等价于x2－x＋2>x2－3x－4，即2x>－6，x>－3. ∴原不等式的解集为(－3，＋∞)． 答案：(－3，＋∞)
3．解关于x的不等式：2x－x 1<3的解集是________．
高考动态研究
感悟高考真题 检验实战技能
直指考向
本讲内容若单独命题，一般以解答题或填空题的形式出现，特别是与绝对值有 关的解法，最值及证明问题是复习的重点，注意绝对值与函数、数列相结合的证明 问题．
经典考题
[例4] (2010·江苏卷)设a、b为非负实数，求证：a3＋b3≥ ab(a2＋b2)．
≥______a_1_a_2…__a_n_______，当且仅当 ____a_1_＝__a_2＝__…__＝__a_n____时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c型不等式的解法： ①c>0，则|ax＋b|≤c的解集为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c的解集为ax＋b≥c或ax ＋b≤－c，然后根据a、b的值解出即可． ②c<0，则|ax＋b|≤c的解集为Ø.|ax＋b|≥c的解集为R. (2)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法，解这类含绝对值的不 等式的一般步骤： ①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根． ②把这些根由小到大排序，它们把实数轴分为若干个区间． ③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这 个区间上的解集． ④这些解集的并集就是原不等式的解集．
课前自测
1．若不等式|x＋1|＋|x－2|<a无实数解，则a的取值范围是________．
解析：由绝对值的几何意义知|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，而|x＋1|＋|x－2|<a无 解，知a≤3.
答案：a≤3
2．不等式|x－x2－2|>x2－3x－4的解集是________．
解析：∵|x－x2－2|＝|x2－x＋2|，而x2－x＋2>0恒成立， ∴原不等式等价于x2－x＋2>x2－3x－4，即2x>－6，x>－3. ∴原不等式的解集为(－3，＋∞)． 答案：(－3，＋∞)
3．解关于x的不等式：2x－x 1<3的解集是________．
高考动态研究
感悟高考真题 检验实战技能
直指考向
本讲内容若单独命题，一般以解答题或填空题的形式出现，特别是与绝对值有 关的解法，最值及证明问题是复习的重点，注意绝对值与函数、数列相结合的证明 问题．
经典考题
[例4] (2010·江苏卷)设a、b为非负实数，求证：a3＋b3≥ ab(a2＋b2)．
≥______a_1_a_2…__a_n_______，当且仅当 ____a_1_＝__a_2＝__…__＝__a_n____时，等号成立．
2．绝对值不等式的解法 (1)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c型不等式的解法： ①c>0，则|ax＋b|≤c的解集为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c的解集为ax＋b≥c或ax ＋b≤－c，然后根据a、b的值解出即可． ②c<0，则|ax＋b|≤c的解集为Ø.|ax＋b|≥c的解集为R. (2)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法，解这类含绝对值的不 等式的一般步骤： ①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根． ②把这些根由小到大排序，它们把实数轴分为若干个区间． ③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这 个区间上的解集． ④这些解集的并集就是原不等式的解集．
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函数及 其表示
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考 向 预 测
1.在高考试题中三种题型都可能出现,以选择、填空 为主，属于低档题目，在解答题中偶尔有对函数建模能 力的考查. 2.对函数的概念、函数的记号、分段函数的求值以及 求函数解析式等仍会重点考查.也有可能把定义一种新运 算作为考查的目的. 3.近几年对函数各种表示法的考查都涉及过，估计仍 会保持这种考查方式，熟练应用三种表示方法解决函数 的一些实际问题是高考的重中之重.
100
=lgx-2(x＞0),所
以f(x)与g(x)的对应法则、定义域和值域都分别相同 , 故它
们是同一函数. 返回目录
(1) 只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同 时,这两个函数才是同一函数,换言之就是: ①定义域不同,两个函数也就不同. ②对应法则不同,两个函数也是不同的. ③即使定义域和值域都分别相同的两个函数 , 它们也 不一定是同一函数 , 因为函数 的定义域和值域 不能唯一 地确定函数的对应法则. (2)函数的对应法则可以化简,例如题型一 (3) (4) 中的 函数,再比如函数f(x)=|x|和g(x)= x 2,从表面上看它们的 对应法则不同,但实质上是相同的. (3) 当一个函数的对应法则和定义域给定后,它的值域 便随之确定, 所以 , 函数的三要素可简化为定义域、对应 法则两要素.
A到B的映射的是（ C ） A.f:x→x3-1 C.f:x→2x-1 B.f:x→(x-1)2 D.f:x→2x
C(由映射的定义知C满足题意.故应选C.)
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考点3
求函数解析式
根据下列条件分别求出函数f(x)的解析式:
1 1 2 (1) fx x 2 ; x x (2 )f(x-2)=x2+3x+1;
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1.函数的基本概念
(1)函数定义
设集合A是一个非空的 数集 ,如果按照某种确定
的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x , 在集合 B 中都有 唯一确定 的数f(x)和它对应,那么就称f : A→B 为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x),x∈A .
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(2)函数的定义域、值域
(2)令x-2=t,则x=t+2,代入已知得
f(t)=(t+2)2+3(t+2)+1=t2+7t+11,
所以f(x)=x2+7x+11,x∈R.
x 1 1 代替①中的x,得f x x 1 (3)由已知f(x)+2f =3x.
①
3 . x
以
+2f(x)=
②
由①②解得f(x)=
则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.
∴
4a=4 4a+2b=2,
∴
a=1 b=-1,
又f(0)=3
c=3,∴f(x)=x2-x+3. 返回目录
考点4
分段函数
1 4 2 5
［2010年高考陕西卷］已知函数f(x)= 2
x
【分析】先求出f(0),再把f(0)的值作为自变量求出 + f(f(0)). 1 , x <
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【解析】 f(x)=
x2+ax,x≥1. ∵0<1,∴f(0)=20+1=2. ∵f(0)=2≥1,∴f（f(0)）=22+2a=4a, ∴a=2. 故应选C.
2x+1,x<1
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分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表 示的,处理分段函数的问题时,首先要确定自变量的数值属 于哪一个区间段,从而选相应的关系式.对于分段函数,注意 处理好各段的端点.
(3)不是映射，如A中元素1有两个象〒1. (4)是映射. 返回目录
欲判断对应法则 f : A→B是否是从 A 到 B 的映射， 必须做两点工作：①明确集合A，B中的元素. ②根据对 应法则判断 A中的每个元素是否在 B 中能找到唯一确定 的对应元素.
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下列对应法则能构成 设A={0,1,2,4}, B ,0,1,2,6,8 1 2
在函数y=f(x),x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A 叫做函数的 定义域 ；与x的值相对应的y值叫做函数值， 函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 是集合B的子集. .显然,值域 对应法则 . 相同，并
(3)函数的三要素: 定义域 、
(4)相等函数:如果两个函数的
值域
和
定义域
且 对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函
(4)A={平面α内的矩形}，B={平面α内的圆}，f:作矩 形的外接圆.
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【分析】解此题需要明确以下两点：
①集合A的元素是什么；
②什么是A到B的映射. 【解析】 (1)当x=-1时，y值不存在，所以不是映射. (2)A，B两集合分别用列举法表述为 A= {2,4,6,…},
1 1 1 1 B 1, , , ,, 由对应法则f:a→b= ，是映射. a 2 3 4
∴9ax2+(6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5.
a=1
b=-4 返回目录 c=8, ∴f(x)=x2-4x+8.
(1)求解析式的目标就是求定义域与值域中对应元素 的对应关系式. (2) 换元法求解析式时，要注意换元变量范围应保持 一致.例如:已知f(cosx)=cosx，求f(x).可求得f(x)=x，但 此处应有|x|≤1. (3)求解析式的几种常见方法: ①代入法 即已知f(x),g(x),求f(g(x))用代入法,只需将g(x)替换 f(x)中的x即得; ②换元法 已知f(g(x)),g(x),求f(x)用换元法:g(x)=t,解得x=g-1(t), 然后代入f(g(x))中即得f(t),从而求得f(x).当f(g(x))的表达 式较简单时,可用“配凑法”(其实质是换元素); 返回目录
4.由映射的定义可以看出,映射是 函数
A,B必须是 非空数集
概念的推
广, 函数是一种特殊的映射,要注意构成函数的两个集合 .
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考点1
函数的概念
下列四组函数中,f(x)与g(x)是否为同一函数,为什么?
(1) f(x)=lgx, g(x)= 1 lgx2;
(2) f(x)=x, (3) f(x)= a loga x (4) f(x)=lgx-2, g(x)=
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如图，△OAB是边长为2的正三角形，直线x=t(0<t≤2)截 这个三角形所得的位于此直线左方的图形的面积为f(t). (1) 求函数y=f(t)的解析式， 并指明它的定义域; (2) 求函数y=f(t)的值域.
学案1
函数及其表示
知识网络构建 考纲解读 考向预测
填填知学情
课内考点突破 规律探究
考点1 考点2
考点3
考点4
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考 纲 解 读
(1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义 域和值域;了解映射的概念. (2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方 法(如图象法、列表法、解析法）表示函数. (3)了解简单的分段函数,并能简单应用(函数分段不 超过三段).
下列对应是否为从A到B的映射？ (1)A=R，B=R，f:x→y=
1 ; x 1
1 1 1 (2) A a | a N *, B b | b , n N *, f : a b ; n a 2 (3)A={x|x≥0},B=R,f:x→y,y2=x;
析式.
x
(4)可用待定系数法求解析式,但此题也可采用多种方法.
1 1 1 2 【解析】 (1)因 f x x 2 x 2 x x 1x 1
2
又x
≤-2或 x ≥2, x x 则f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2)∪(2,+∞).
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2
x2 ;
x . 100
, g(x)=logaax; g(x)=lg
【分析】 判断两个函数是否为同一函数,关键是判 断它们的对应法则、定义域和值域是否分别相同.如果 有一个不同,它们便不是同一函数. 返回目录
【解析】 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)的定义域为(∞,0)∪(0,+∞),定义域不同,故f(x)与g(x)不是同一函数. (2)函数f(x)的值域为(-∞,+∞),g(x)的值域为［0,+∞),值 域不同,故f(x)与g(x)不是同一函数. (3)因为f(x)=x(x＞0),g(x)=x(x∈R),定义域不同,故f(x) 与g(x)不是同一函数. (4)因为f(x)=lgx-2(x＞0),g(x)=lg x
③待定系数法
当函数f(x)类型确定时,可用待定系数法.如:已知f(x)是 一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x). 解析:因为已知f(x)是一次函数,故可设f(x)=ax+b,从而 根据题意列3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b+2a-2b-2ax =ax+b+5a=2x+17, 所以a=2,b=7,所以f(x)=2x+7;
1 =3x; (3)f(x)+2 f x
(4)已知二次函数f(x)满足f(3x+1)=9x2-6x+5,求f(x).
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【分析】 (1)可用配凑法.
(2)可将x-2看作一个整体,根据函数的定义,寻找 x2 + 3x
+1与x-2的对应关系. (3)因考虑到x与 1 的倒数关系 , 可通过解方程组来求解