2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题01(学生版)

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2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试卷(二)(学生版)

2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟卷（二）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不给分.）1.已知集合{}2|320A x x x =-+=，集合{}|05,B x x x N =<<∈，则AB =（）A.{}1,2B.{}1C.{}2,3D.{}1,4 2.若[1,1]x ∈-，则函数22xy =-的值域为（） A.[1,1]- B.[2,0]- C.3[,0]2-D.[1,0]- 3.已知等差数列{}n a 满足7916a a +=，若41a =，则12a =（）A.64B.31C.24D.15 4.经过点(1,2)A -且垂直于直线2340x y -+=的直线l 的方程为（）A.3210x y ++=B.3210x y +-=C.2350x y -+=D.2380x y -+=5.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3，则其渐近线方程为（）A.2y x =±B.3y x =±C.22y x =±D.32y x =±6.函数111y x =+-的图象是下列图象中的（）7.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知1,3,60c b B ===，则C 的大小为（）A.30B.45C.150D.30或1508.已知向量(,2),(1,1)a b λλ=-=+，则“1λ=”是“a b ⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.若实数,x y 满足约束条件5630,32,1x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最小值是（）A.10B.3C.272 D.11310.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中所给的数据，可得该几何体的体积为（） A.52 B.2 C.3 D.3211.已知函数1()2(0)f x x x x=+-<，则()f x 有（） A.最大值0 B.最小值0 C.最大值4- D.最小值4-12.若点G 为ABC ∆的重心（三角形三边中线的交点），设,BG a GC b ==，则AB =（）A.3122a b - B.3122a b + C.2a b - D.2b a - 13.已知3sin 5α=，且α是第二象限角，则tan(2)4πα+的值为（）A.195-B.519-C.3117-D.1731-14.已知,,m n l 为三条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A.//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ B.//,l l αβαβ⊥⇒⊥ C.,//m m n n αα⊥⊥⇒ D.,//l l βαβα⊥⊥⇒15.已知数列{}n a 满足0n a >，221114n n n n a a a a ++++=+，且112a =，则该数列的前2020项的和为（）A.30272 B.1514 C.30292 D.151516.已知正数,x y 满足1x y +=，则1114x y++的最小值为（） A.73 B.2 C.95D.4317.设椭圆M 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，若斜率为1的直线与椭圆M 相切同时也与圆2:C x2()(y b b +-为椭圆的短半轴）相切，设椭圆的离心率为e ，则2e 的值为（）A.32- B.21- C.12+ D.32+ 18.已知矩形ABCD 中，4,2,,AB BC E F ==分别为边,AB CD 的中点.现沿直线DE 将ADE ∆翻折成PDE ∆，在点P 从A 到F 的运动过程中，CP 的中点G 的轨迹长度为（） A.2π B.2π C.22π D.12π 二、填空题（本大题共5小空，每空3分，合计15分）19.已知圆C 的方程为22240x y x y +--=，则该圆的圆心坐标为，该圆的面积为 .20.若函数21()(27)(0)m f x m m xm -=-->是幂函数，则实数m = .21.如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，P 是棱BC 上的动点.记直线1A P 与平面ABC 所成的角为1θ，与直线BC 所成的角为2θ，则1θ 2θ（填“>”、“=”或“<”）.22.已知函数2()()323x nf x m x nx =-++，函数()y f x =的零点构成的集合为A ，函数[()]y f f x =的零点构成的集合为B ，若A B =，则m n +的取值范围是 . 三、（本大题共3小题，共31分.） 23.已知函数()sin()sin f x x x π=+. (1)求()12f π的值；(2)若3()10f α=-，04πα<<.求()8f πα+的值.24.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线220x y -+= 交抛物线C 于,A B 两点,P 是线段AB 的中点,过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q . (1)若直线AB 过焦点F ，求AF BF ⋅的值；(2)是否存在实数p ，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由．25.已知函数2()(0,1)axf x a b x b=>>+满足(1)1f =，且()f x 在R 上有最大值324. (1)求()f x 的解析式；(2)当[1,2]x ∈时，不等式23()(2)mf x x x m≤+-恒成立，求实数m 的取值范围.。

2021年浙江省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷(1)

，则边 c＝（
A．2
B．
C．
12．如图，某港口某天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足
）
） D．1
据此图象可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）
函数，
A．10
B．8
C．6
D．5
13．在△ABC 中，“cosA＜cosB”是“sinA＞sinB”的（）条件
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充要
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每空 3 分，共 15 分。）
19．已知数列{an}的通项公式 an＝4n﹣1，则它的第 7 项是
20．若
，则 2sin2α+sinαcosα＝
．
，a2020﹣a2019＝
．
21．已知平面向量
，满足
，则的
最大值为
．
22．已知 f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝2x﹣2，若同时满足条件：
①对于任意 x∈R，f（x）＜0 或 g（x）＜0 成立；
②存在 x∈（﹣∞，﹣4），使得 f（x）•g（x）＜0 成立．
则 m 的取值范围是
．
三、解答题（本大题共 3 小题，共 31 分。）
23．已知函数
，直线
的图象交点之间的最短距离为π．（1）求 f（x）的解析式及其图象的对称中心；
与 f（x）
D．，若数列
，则的
A．81
B．80
C．64
D．63
17．已知斜率为 k（k＞0）的直线过抛物线 C：y2＝4x 的焦点 F 且与抛物线 C 相交于 A，B
两点，过 A，B 分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为 A1，B1，若

2021年1月浙江省普通高中学业水平考试仿真模拟卷(五)数学试题(解析版)

绝密★启用前2021年1月浙江省普通高中学业水平考试仿真模拟卷(五)数学试题 (解析版)一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1.已知集合A 满足{}{}1,21,2,3,4A ⊆⊆，则集合A 的个数为（） A.2 B.3 C.4 D.8解析：选C 由题可得，集合A 的可能性有{}{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4,1,2,3,4,所以有4个.故选C.2.经过点(1,2)A -且垂直于直线2340x y -+=的直线l 的方程为（） A.3210x y +-= B.3270x y ++= C.2350x y -+= D.2380x y -+=解析：选 A 设所求直线方程为:320l x y n ++=过点(1,2)A -，所以340n -++=，解得1n =-，所以:3210l x y +-=.故选A. 3.下列各函数中，与函数y x =是同一个函数的是（）A.2y =B.y =C.y =D.0y x x =⋅解析：选 C 通过化简后可知,选项A 中2,(0)y x x ==≥,选项B 中,(0)y x x ==≥,选项C 中y x ==,选项D 中0,(0)y x x x x =⋅=≠.故选C. 4.已知tan(3)2x π+=-,则sin cos 2sin 3cos x xx x-+的值为（）A.4B.3C.3-D.4- 解析：选B 由tan(3)2x π+=-可得tan 2x =-,所以sin cos tan 12sin 3cos 2tan 3x x x x x x --=++2132(2)3--==⨯-+.故选B. 5.下列各式化简错误的是（）A.21153151a a a -= B.269463()a b a b ---=C.122111333442()()()x y x y x y y --= D.113324115324153525a b cac a b c---=-解析：选 D 由题得,2112110531553151a a a aa --++===,所以成立；2226()9()69333()a b ab-⨯--⨯--=46a b -=,所以成立；122122*********33333442442()()()x y x y x y xyx y y--++-+-===,所以成立；113111135324()2332244115324151533255525a b ca b c ac ac a b c---------=-=-≠-,所以不成立.故选D.6.若实数,x y 满足约束条件3010350x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则y z x =的取值范围是（）A.14[,]23B.1[,2]2C.4[,2]3D.3[,2]4解析：选B 由题可得,该约束条件表示的平面区域是一个三角形区域,其三个顶点坐标分别为(1,2),(3,4),(2,1),代入目标函数,求得函数值分别为412,,32,所以该目标函数的取值范围是1[,2]2.故选B.7.已知直线,m n 是异面直线,则过直线n 且与直线m 垂直的平面（）A.有且只有一个B.至多有一个C.有一个或无数多个D.不存在解析：选B 若两条异面直线互相垂直,则过直线n 且与直线m 垂直的平面存在,且只有一个；若两条异面直线不垂直,则过直线n 且与直线m 垂直的平面不存在.所以满足的条件的平面至多有一个.故选B.。

2021年1月浙江省普通高中学业水平考试仿真模拟卷(一)数学试题(解析版)

绝密★启用前2021年1月浙江省普通高中学业水平考试仿真模拟卷(一)数学试题(解析版)一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.函数()f x = ）A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,1]-∞D ．(,1)-∞ 解析：选C 由10x -≥可得1x ≤，所以函数的定义域为(,1]-∞.故选C ．2.若数列{}n a 是等比数列，且233,6a a ==-，则4a =（）A ．12B ．12-C ．2D ．2- 解析：选A 因为数列{}n a 是等比数列，且233,6a a ==-，所以可知322a q a ==-，所以4312a a q ==.3.直线220x y -+=的斜率为（）A ．12B ．12- C ．2 D ．2- 解析：选C 2A k B=-=. 4.已知角θ满足1sin 2θ=,则cos2θ=（） A ．12- B ．12 C ．34 D ．34- 解析：选B 因为1sin 2θ=,所以2211cos 212sin 1222θθ⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭. 5.若平面向量(1,0),(3,2)a b =-=,则()a a b ⋅-=（）A ．2B ．3-C ．4-D ．4 解析：选D 因为(1,0),(3,2)a b =-=,所以2()134a a b a a b ⋅-=-⋅=+=.6.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形,俯视图是一个圆,则这个几何体的体积为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 解析：选B 由三视图可知该几何体是一个底面半径的1,高为2的圆柱,所以该圆柱的体积为2V π=.7.若正数,a b 满足1ab =,则14a b +的最小值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选 D 因为1ab =,所以14142244a b a b+≥⋅==.当且仅当14a b =,1,22a b ==时取等号. 8.下列函数中是奇函数且在(0,)+∞上单调递增的是（）A ．2y x =B ．3y x =-C ．1y x=- D ．2log y x = 解析：选C 由题可得,函数2y x =是偶函数,且在(0,)+∞上单调递增,所以排除A ；函数3y x =-是奇函数,且在(0,)+∞上单调递减,所以排除B ；函数1y x=-是奇函数,且在(0,)+∞上单调递增,所以C 满足条件；函数2log y x =是非奇非偶函数,且在(0,)+∞上单调递增,所以排除D ．故选C ．9.实数,x y 满足约束条件1,3415,x x y y a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若该约束条件满足的可行域的面积为15,则实数a 的值为（）A ．3-B ．1-C ．1D ．3解析：选A 由题可得,该约束条件表示的平面区域是如图所示的三正视图侧视图俯视图。

2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题(解析版)

2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题一、单选题1．已知集合{4,5,6},{3,5,7}A B ==，则A B =（）A ．∅B ．{5}C ．{4,6}D ．{3,4,5,6,7}【答案】B【分析】根据题意，找两个集合的公共元素，即可得A B .【详解】因为{4,5,6},{3,5,7}A B ==，所以{}5A B =.故选：B.2．函数1()2f x x =+的定义域是（） A ．[3,)-+∞ B ．(3,)-+∞ C ．[3,2)(2,)---+∞D ．[3,2)(2,)-⋃+∞【答案】C【分析】根据函数解析式，列不等式组3020x x +≥⎧⎨+≠⎩求解即可.【详解】根据题意可得3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，所以[)()3,22,x ∈---+∞.故选：C.3．33log 18log 2-=（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】利用对数的运算性质计算即可得答案. 【详解】333318log 18log 2log log 922-===. 故选：B.4．以(2,0),(0,4)A B 为直径端点的圆方程是（） A ．22(1)(2)20x y +++=B ．22(1)(2)20x y -+-=C ．22(1)(2)5x y +++=D ．22(1)(2)5x y -+-=【答案】D【分析】由中点坐标公式求圆心坐标()1,2，再求半径即可得答案. 【详解】解：根据题意得AB 的中点即为圆心坐标，为()1,2，半径为()()2221025r =-+-=，所以以(2,0),(0,4)A B 为直径端点的圆方程是22(1)(2)5x y -+-=. 故选：D.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．2B ．4C ．23D ．43【答案】A【分析】根据三视图知该几何体为三棱柱，由三视图得几何元素的长度，由三棱柱的体积公式求出几何体的体积.【详解】如图，由三视图可知该几何体是一个平放的三棱柱，底面三角形的底边长为2，高为1，几何体的高为2，所以三棱柱的体积为112222V Sh ==⨯⨯⨯=.故选：A.6．不等式|1|24x -<的解集是（） A ．(1,3)- B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．(3,1)-D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞【答案】A【分析】根据题意得12x -<，再解绝对值不等式即可得答案. 【详解】解：由指数函数2xy =在R 上单调递增，12242x -<=，所以12x -<，进而得212x -<-<，即13x .故选：A.7．若实数,x y 满足不等式组3,1,1,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩，则2x y +的最大值是（）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】根据实数,x y 满足的约束条件画出可行域，将2z x y =+，转化为2y x z =-+，平移直线2y x =-，由直线在y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值求解.【详解】由实数,x y 满足约束条件3,1,1,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪⎩，画出可行域如图所示阴影部分：将2z x y =+，转化为2y x z =-+，平移直线2y x =-，当直线经过点()2,1A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，最大值是5，故选：C8．若直线1:3410l x y 与2:320()l x ay a -+=∈R 平行，则1l 与2l 间的距离是（）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】C【分析】根据1l 与2l 平行，列式求解得4a =，利用平行线间的距离公式代入求解即可. 【详解】因为1l 与2l 平行，所以3120a -+=，得4a =，所以2:3420l x y -+=，所以1l 与2l 间的距离为35d ==.故选：C.9．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2sin b A =，则B =（） A ．6πB ．6π或56πC ．3πD ．3π或23π【答案】D【分析】根据2sin b A =，利用正弦定理得到2sin sin B A A =求解.【详解】因为在ABC 中，2sin b A =，所以2sin sin B A A = 因为sin 0A ≠，所以sin 2B =，因为则()0,B π∈,B =3π或23π故选：D10．已知平面,αβ和直线l ，则下列说法正确的是（） A ．若//,//l l αβ，则//αβ B ．若//,l l αβ⊂，则//αβ C ．若,l l αβ⊥⊂，则αβ⊥ D ．若,l l αβ⊥⊥，则αβ⊥【答案】C【分析】根据线面位置关系依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，若//,//l l αβ，则//αβ或相交，故A 选项不正确；对于B 选项，若//,l l αβ⊂，则//αβ或相交，故B 选项不正确；对于C 选项，若,l l αβ⊥⊂，则αβ⊥，为面面垂直的判定定理，故C 选项正确；对于D 选项，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ，故D 选项不正确. 故选：C.11．若,a b ∈R ，则“14ab ≥”是“2212a b +≥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合,a b ∈R ，222a b ab +≥和充分，必要条件的概念求解即可. 【详解】解：当14ab ≥，由于,a b ∈R ，22112242a b ab +≥≥⨯=，故充分性成立；当,a b ∈R ，不妨设1,1a b =-=，2212a b +≥成立，114ab =-≥不成立，故必要性不成立. 故“14ab ≥”是“2212a b +≥”的充分不必要条件. 故选：A. 12．函数()2sin ()ln 2xf x x =+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先根据条件分析出()f x 的奇偶性，然后取特殊值计算函数值分析得到()f x 的大致图象.【详解】因为()()()()()22sin sin ln +2ln 2x xf x f x x x ---===-⎡⎤-+⎣⎦，且()f x 的定义域为R关于原点对称，所以()f x 是奇函数，所以排除BC ，又因为当0x >且x 较小时，可取0.1x =，所以()()()sin 0.10.10ln 20.01f =>+，所以排除D ，故选：A.【点睛】本题考查根据函数解析式辨别函数图象，难度一般.辨别函数图象的常用方法：分析函数的奇偶性、单调性，计算特殊值的大小等.13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*1112,1,n na a n a +=-=-∈N ，则（） A ．40100a a < B ．40100a a > C ．40100S S < D ．40100S S >【答案】D【分析】首先通过列举数列的项，得到数列{}n a 是周期数列，利用周期判断选项. 【详解】211312a a =-=，321113a a =-=，43112a a =-=-，541312a a =-=，…… 所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列，前三项和316S =-， 40313112a a a ⨯+∴===-，100333112a a a ⨯+===-，所以40100a a =，4034025136S S a =+=-，100310015332S S a =+=-，所以40100S S >. 故选：D【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据递推公式，列举数列{}n a 中的项，判断数列是周期数列.14．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱1111,C D A D 的中点，则异面直线DE 与AF 所成角的余弦值是（）A ．45B ．35C ．31010D ．1010【答案】A【分析】取11A B 的中点N ，连接,EN FN ,可得四边形ANED 为平行四边形，所以//AN DE ，则FAN ∠（或其补角）为异面直线DE 与AF 所成角，在ANF 中由余弦定理可求解.【详解】取11A B 的中点N ，连接,,EN FN AN由,E N 分别为1111,C D A B 的中点，则11//EN A D 且11EN A D = 在正方体中11//AD A D 且11AD A D =,所以//EN AD 且EN AD = 所以四边形ANED 为平行四边形，所以//AN DE 则FAN ∠（或其补角）为异面直线DE 与AF 所成角. 设正方体的棱长为2，则在ANF 中，11122NF D B ==,415AN AF ==+= 所以2225524cos 25255AF AN FN FAN AF AN +-+-∠===⋅⨯⨯ 故选：A【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．15．某简谐运动的图象如图所示.若,A B 两点经过x 秒后分别运动到图象上,E F 两点，则下列结论不一定成立的是（）A ．AB GB EF GB ⋅=⋅ B ．AB AG EF AG ⋅>⋅C ．AE GB BF GB ⋅=⋅D ．AB EF BF AG ⋅>⋅【答案】B【分析】简谐运动的图象求出三角函数的表达式，设出,E F 两点的坐标，利用数量积的坐标表示逐一验证四个选项即可得正确答案. 【详解】设()sin f x A x ω=，由图知1A =，24T πω==，解得2πω=，所以()sin2f x x π=，假设00,sin2E x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()001,sin 12F x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭即001,cos 2F x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()1,1AB =，()1,0GB =，001,cos sin 22EF x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,1AG =，00,sin 2AE x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，00,cos 12BF x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭对于选项A ：11101AB GB ⋅=⨯+⨯=，00cos si 110n212EF x G x B ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⋅=⨯+⨯，所以AB GB EF GB ⋅=⋅，故选项A 成立；对于选项B ：10111AB AG ⋅=⨯+⨯=，000cossin22224x x F AG x E ππππ⋅=⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭显然EF AG ⋅2，AB AG EF AG ⋅>⋅不成立，故选项B 不成立；对于选项C ：0AE GB x ⋅=，0BF GB x ⋅=，所以AE GB BF GB ⋅=⋅，故选项C 成立；对于选项D ：0coss 221inx AB EF x ππ⋅=+-，0cos12F x B AG π-⋅=所以00cossincos 12sin 21222x x AB EF AG x x BF ππππ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭⋅-⋅=+，因为sin12x π≤，所以2sin02x π->，即0AB EF BF AG ⋅-⋅>，所以AB EF BF AG ⋅>⋅，故选项D 成立，故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出三角函数的表达式()sin2f x x π=，根据点B 与点A 时间间隔相差1秒，若设00,sin 2E x x π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()001,sin 12F x x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭这是解题的关键点.16．已知函数()21ln ,02,0x x f x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪+≤⎩，则函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数是（） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】令()1t f x =+，利用代数式法结合零点存在定理得出函数()f t 的零点()11,2t ∈，22t =-，30t =，然后作出函数()1t f x =+，直线1t t =、2t =-、0t =的图象，观察三条直线1t t =、2t =-、0t =与函数()1t f x =+的图象的交点个数，由此可得出结论.【详解】令()()21ln 1,011,0x x x t f x x x ⎧-+>⎪=+=⎨⎪+≤⎩. ①当0t >时，()1ln f t t t=-，则函数()f t 在()0,∞+上单调递增，由于()110f =-<，()12ln 202f =->，由零点存在定理可知，存在()11,2t ∈，使得()10f t =；②当0t ≤时，()22f t t t =+，由()220f t t t =+=，解得22t =-，30t =.作出函数()1t f x =+，直线1t t =、2t =-、0t =的图象如下图所示：由图象可知，直线1t t =与函数()1t f x =+的图象有两个交点；直线0t =与函数()1t f x =+的图象有两个交点；直线2t =-与函数()1t f x =+的图象有且只有一个交点. 综上所述，函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数为5. 故选：D.【点睛】思路点睛：求解复合函数的零点个数，步骤如下：（1）确定内层函数与外层函数；（2）求出外层函数的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数的交点个数()1,2,3,,i a i n =，由此可得到原函数的零点个数为123n a a a a ++++.17．如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为,,F A B 分别为椭圆的上､下顶点，P是椭圆上一点，//,||||AP BF AF PB =，记椭圆的离心率为e ，则2e =（）A ．2 B 171- C ．12D 151-【答案】B【分析】首先求直线AP 方程，并求点P 的坐标，根据222PB AF a ==，整理为关于,a c 的齐次方程，再求2e .【详解】()()0,,,0B b F c -，则BF b k c=，所以直线:bAP y x b c =+，与椭圆方程联立()222220a c x a cx ++=，所以点P 的横坐标是2222a c x a c =-+，322b y ac =-+，即2322222,a c b P a c a c ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，222322222222a c b PB a b a a c a c ⎛⎫⎛⎫=⇒+-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理为：6244264321c a c a c a --+=，两边同时除以6a 得：64243210e e e --+=，()()2421410ee e -+-=，210e -≠，所以42410e e +-=，得21178e -+=，或21178e -=（舍）. 故选：B【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆离心率，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.18．如图，在三棱锥D ABC -中，AB BC CD DA ===，90,,,ABC E F O ︒∠=分别为棱,,BC DA AC 的中点，记直线EF 与平面BOD 所成角为θ，则θ的取值范围是（）A ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】补全底面为正方形ABCG ，由正方形性质有面GDB ⊥面ABCG ，进而可证ECHF 为平行四边形，则(0,)2CHO πθ∠=∈为直线EF 与平面BOD 所成角，△ABD 中由余弦定理知21cos 1tan DAB θ∠=-，结合棱锥侧面为全等三角形知(0,)2DAB π∠∈，即可求θ的取值范围.【详解】由AB BC =，90ABC ︒∠=，将底面补全为正方形ABCG ，如下图示，O 为ABCG 对角线交点且GB AC ⊥，又CD DA =有DO AC ⊥，DO GB O ⋂=， ∴AC ⊥面GDB ，而AC ⊂面ABCG ，故面GDB ⊥面ABCG ，若H 为DG 的中点，连接FH ，又,E F 为棱,BC DA 的中点，则//FH AG 且2AG FH =，而//BC AG ，2BC AG EC ==，有,EC FH 平行且相等，即ECHF 为平行四边形. ∴可将EF 平移至HC ，直线EF 与平面BOD 所成角为(0,)2CHO πθ∠=∈，且Rt CHO △中90COH ∠=︒，令2AB BC CD DA ====，OC =22tan tan OC BD OH θθ===， ∴△ABD 中，2222cos AB BD AB BD DAB BD +-⋅⋅∠=，即21cos 1tan DAB θ∠=-， ∵DAB DAG DCB DCG ≅≅≅，即(0,)2DAB π∠∈，∴21011tan θ<-<，解得tan 1θ>（tan 1θ<-舍去），综上有(,)42ππθ∈，故选：C【点睛】关键点点睛：补全几何体，应用正方形、中位线、平行四边形性质，根据线面角的定义确定对应的平面角，结合余弦定理及空间角的范围，求线面角的范围.二、填空题19．已知平面向量,a b 满足||2,||1,1a b a b ==⋅=-，则||a b +=______.【分析】根据||2,||1,1a b a b ==⋅=-，由()2||a b a b+=+求解.【详解】因为||2,||1,1a b a b ==⋅=-，所以()2||a b a b +=+，222a a b b =+⋅+，==20．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8，则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_______.【答案】22【分析】由题得双曲线的渐近线方程为y x =±，48c =，故,2a b c ==，进而得2a =，故实轴为22.【详解】解：以两焦点所在直线为y 轴，两焦点所在线段的中垂线为x 轴建立直角坐标系，设双曲线的焦距为2c ，由题意得双曲线的渐近线方程为y x =±，48c =，所以,2a b c ==，进而得2a =.故双曲线的实轴长为：22. 故答案为：22【点睛】本题解题的关键在于根据建立适当坐标系，进而根据题意得该双曲线的渐近线为y x =±，48c =，进而求解，考查数学建模能力与运算求解能力，是中档题. 21．已知,0a b ∈>R ，若存在实数[0,1)x ∈，使得2||bx a b ax --成立，则ab的取值范围是________.【答案】211,2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】不等式两边同除以b ，先将题意转化为2x t tx -≤-在[0,1)x ∈上有解，即22111111x t x x t xx +⎧≤⎪⎪+⎨--⎪≥=⎪-+⎩在[0,1)x ∈上有解，设1()1f x x -=+，21()1x g x x +=+，[0,1)x ∈，即min ()t f x ≥且max ()t g x ≤，再求出函数对应最值即得结果. 【详解】解：因为0b >，故不等式两边同除以b ，得21a a x x b b -≤-，令at b=∈R ，即不等式21x t tx -≤-在[0,1)x ∈上有解.去绝对值即得2211tx x t tx -≤-≤-，即2211tx x t x t tx ⎧-≤-⎨-≤-⎩ 即22111111x t x x t xx +⎧≤⎪⎪+⎨--⎪≥=⎪-+⎩在[0,1)x ∈上有解，设1()1f x x -=+，21()1x g x x +=+，[0,1)x ∈，即min ()t f x ≥且max ()t g x ≤即可，由1()1f x x -=+在[0,1)x ∈上，1[1,2)x +∈，11,112x ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦，即()11,2f x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，故min ()1t f x ≥=-；由()()()22111()211221121x x g x x x x x x ++===+++-+++-+，利用基本不等式()211x x ++≥+211x x +=+即,)11[0x ∈=时等号成立，故1()2g x ≤=，即max 1()2g x =，故12t ≤，综上：t的取值范围是1t -≤≤，即a b的取值范围是1ba-≤≤.故答案为：12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数（或范围）时的常用方法：（1）对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，求出函数的最值，进而可求出结果；（2）根据不等式，直接构成函数，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.三、双空题22．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S .若141,64a a ==，则q =____，3S =____.【答案】4 21 【分析】首先根据341a q a =得到4q =，再计算3S 即可. 【详解】因为34164a q a ==，所以4q =. 33142114S -==-.故答案为：4；21四、解答题23．已知函数1()sin cos 2626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R . （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的最小正周期；（3）当20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域. 【答案】（1）2（2）2π；（3）[0,1]. 【分析】（1）本题将3x π=代入()f x 中进行计算即可得出结果；（2）本题首先可通过两角和的正弦公式将函数()f x 转化为()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后通过周期计算公式即可得出结果；（3）本题首先可根据20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，然后通过正弦函数性质即可求出值域.【详解】（1）313sin cos 322222f πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即332f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （2）31()sin cos sin sin 2626663f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()f x 的最小正周期2T π=. （3）因为20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当3x ππ+=，即23x π=时，min ()sin 0f x π==；当32x ππ+=，即6x π=时，max ()1f x =，故()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,1]. 24．如图，直线l 与圆22:(1)1E x y ++=相切于点P ，与抛物线2:4C x y =相交于不同的两点,A B ，与y 轴相交于点(0,)(0)T t t >.（1）若T 是抛物线C 的焦点，求直线l 的方程；（2）若2||||||TE PA PB =⋅，求t 的值.【答案】（1）31y x =±+；（2）212. 【分析】（1）由(0,)(0)T t t >为抛物线焦点，即可设直线l 的方程为1y kx =+，根据直线l 与圆相切可求k 值，写出直线方程.（2）设直线l 的方程为y kx t =+，()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由直线上两点距离公式可知()()0022||||14PA PB kxy ⋅==+-，根据直线l 与圆相切、2||||||TE PA PB =⋅求0y ，切线性质：直线l 与PE 互相垂直及00t y kx =-即可求t 的值.【详解】（1）因为(0,)(0)T t t >是抛物线2:4C x y =的焦点，所以1t =，即(0,1)T ，设直线l 的方程为1y kx =+，由直线l 与圆E1=，即k =所以，直线l的方程为1y =+.（2）设直线l 的方程为y kx t =+，()00,P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，由24y kx t x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx t --=，124x x k +=，124x x t ⋅=-，∴1020||||PA PB x x ⋅=--()()221201201k x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦()()220014k x kx t ⎡⎤=+-+⎣⎦()()220014k x y =+-.由直线l 与圆E1=，即221(1)k t +=+.由||1TE t =+，2||||||TE PA PB =⋅，得()()2220014(1)kxy t +-=+.所以20041x y -=，又()220011x y ++=，解得03y =-+由直线l 与PE 互相垂直，得0011PE xk k y =-=-+， 200001i x t y kx y y =-=++220000001112x y y y y y ++--===++. 【点睛】关键点点睛：（1）由过抛物线焦点的直线与圆相切求斜率，写出直线方程.（2）由直线与抛物线、圆的位置关系，结合弦长公式、点线距离公式、两直线垂直的性质求参数值.25．设[]0,4a ∈，已知函数24(),1x af x x x -=∈+R . （1）若()f x 是奇函数，求a 的值；（2）当0x >时，证明：()22af x x a ≤-+；（3）设12,x x ∈R ，若实数m 满足()()212f x f x m ⋅=-，证明：1()(1)8f m a f --<. 【答案】（1）0a =；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）由于函数的定义域为x ∈R ，进而结合奇函数()()f x f x -=-即可得0a =；（2）采用作差比较大小，整理化简得()222412(4)(1)01221x a a x a ax x x x -⎛⎫--+=-+- ⎪++⎝⎭≤；（3）令4t x a =-，222416()1216x a ty t x t at a -==∈++++R，进而得()f x ≤≤再结合题意即可得22m -≤≤，再分0m a -≤和0m a ->两种情况讨论，其中当0m a ->时，结合（2）的结论得1()(1)(1)(1)228a a f m a f m a a --≤--≤-≤，等号不能同时成立. 【详解】解：（1）由题意，对任意x ∈R ，都有()()f x f x -=-，即224()4()11x a x a x x ---=--++，亦即44x a x a --=-+，因此0a =；（2）证明：因为0x >，04a ≤≤，()222421422121a x a x a x x a a x a x x ⎛⎫---++ ⎪-⎛⎫⎝⎭--+= ⎪++⎝⎭()()()22212142121ax x x x x x ⎡⎤=--++-+⎣⎦+()221(4)(1)021ax x x =-+-≤+. 所以，()22af x x a ≤-+. （3）设4t x a =-，则222416()1216x a ty t x t at a -==∈++++R ，当0t =时，0y =；当0t ≠时，216162y a t at =+++；max ()0f x =>，min ()0 f x =<，()f x ≤≤由()()212f x f x m ⋅=-得2max min ()()4 m f x f x -⋅=-≥，即22m -≤≤.①当0m a -≤时，()0f m a -≤，4(1)02a f -=≥，所以1()(1)8f m a f --<；②当0m a ->时，由（2）知，4()(1)()222a a f m a f m a a ---≤--+-1(1)(1)228a a m a a =--≤-≤，等号不能同时成立.综上可知1()(1)8f m a f --<. 【点睛】本题第二问解题的关键在于作差法比较大小，第三问在于换元法求得函数的值()f x ≤≤进而结合题意得22m -≤≤，再结合第二问的结论分类讨论求解.考查换元思想和运算求解能力，是难题.。

2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题(解析版)

2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题(解析版)2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题一、单选题1.已知集合 $A=\{4,5,6\}$，$B=\{3,5,7\}$，则 $A\capB$ 为XXXB。

$\{5\}$C。

$\{4,6\}$D。

$\{3,4,5,6,7\}$分析】根据题意，找两个集合的公共元素，即可得$A\cap B=\{5\}$。

改写】给定集合 $A=\{4,5,6\}$ 和 $B=\{3,5,7\}$，求它们的交集 $A\cap B$。

根据定义，$A\cap B$ 是包含 $A$ 和$B$ 共有元素的集合，因此 $A\cap B=\{5\}$。

2.函数 $f(x)=\dfrac{x+3}{x+2}$ 的定义域是A。

$[-3,+\infty)$B。

$(-\infty,-2)\cup(-2,+\infty)$C。

$[-3,-2)$D。

$[-3,2)\cup(2,+\infty)$分析】根据函数解析式，列不等式组$\begin{cases}x+2\neq 0\\ x+3\geq 0\end{cases}$，求解即可。

改写】考虑函数 $f(x)=\dfrac{x+3}{x+2}$ 的定义域。

由于分母 $x+2$ 不能为 $0$，因此 $x\neq -2$。

又因为分子$x+3$ 需要非负，即 $x+3\geq 0$，解得 $x\geq -3$。

综上，函数 $f(x)$ 的定义域为 $[-3,-2)\cup(-2,+\infty)$。

3.$\log_3 18-\log_3 2=$A。

$1$B。

$2$C。

$3$D。

$4$分析】利用对数的运算性质计算即可得答案。

改写】计算 $\log_3 18-\log_3 2$。

根据对数的定义，$\log_3 18=2$，$\log_3 2=\dfrac{1}{\log_2 3}$，因此 $\log_3 18-\log_3 2=2-\dfrac{1}{\log_2 3}=2$。

浙江省年高中数学1月学业水平考试试题

【详解】设底面圆的半径为 , ,以所在直线为轴,以垂直于所在直线为轴,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,如下列图所示:
那么由
可得 ,
, 是的两个三等分点
那么
所以
设平面的法向量为
那么 ,代入可得
化简可得
令 ,解得
所以
平面的法向量为
由图可知,二面角的平面角为锐二面角,所以二面角的平面角满足
，那么“ 〞是“ 〞的〔〕
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据立方和公式,结合充分必要条件的判断即可得解.
【详解】因为
当时, ,所以 .即“ 〞是“ 〞的充分条件.
当时,由于成立,所以 ,即“ 〞是“ 〞的必要条件.
综上可知, “ 〞是“ 〞的充要条件
所以
所以
故答案为: ;
【点睛】此题考查了等比数列通项公式的简单应用,前n项和的求法,属于根底题.
，分别是平面，的法向量，， .假设，那么实数 ______.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据两个平面平行时,其法向量也平行,即可求得参数m的值.
【详解】因为 ,且 , 分别是平面 , 的法向量
那么
的图象大致是〔〕
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性及特殊值,可判断函数的图像.
【详解】因为
而为偶函数, 为奇函数,所以为奇函数,所以排除C,D.
当时, , ,所以 ,所以排除B选项.
应选:A
【点睛】此题考查了根据函数解析式判断函数图像,利用函数的奇偶性、单调性和特殊值,可排除选项,属于根底题.

浙江省普通高中2021年高中数学1月学业水平考试仿真模拟试题(四)(含解析)

浙江省普通高中2021年高中数学1月学业水平考试仿真模拟试题（四）（含解析）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．）1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则()U A B =（） A.{}1,2,4 B.{}2,3,4 C.{}0,2,4 D.{}0,2,3,4解析：选C 由题可得，{}0,4U A =，所以()U A B ={}0,2,4.故选C. 2.若(0,)απ∈，则“1sin 2α=”是“6πα=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B 当6πα=时，1sin sin62πα==，所以是必要条件，当1sin 2α=，因为(0,)απ∈，所以6πα=或56πα=，所以是不充分条件.所以“1sin 2α=”是“6πα=”的必要不充分条件.故选B.3.函数()2(0)x f x x =≤的值域为（）A.(0,1]B.[0,1]C.[1,2]D.(1,2)解析：选A 因为0x ≤，所以0221x ≤=，又20x >，所以可知函数的值域为(0,1].故选A.4.将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括（） A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆锥、一个圆柱C.两个圆台、一个圆柱D.一个圆柱、两个圆锥解析：选D 将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在直线旋转一周，所得几何体为一个圆柱和两个圆锥，故选D.5.设13log 2a =，121log 3b =，0.312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A.a b c <<B.a c b <<C.b c a <<D.b a c <<解析：选B 由题可得，00.3111122331111log log 10log 1log 23222b c a ⎛⎫⎛⎫=>==>=>=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B.6.不等式2320x x -+<的解集为（）A.(,2)(1,)-∞--+∞B.(2,1)--C.(,1)(2,)-∞+∞D.(1,2) 解析：选D 因为232(1)(2)0x x x x -+=--<等价于10,20,x x ->⎧⎨-<⎩或10,20,x x -<⎧⎨->⎩解得12x <<.所以不等式的解集为(1,2).故选D.7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.12π-B.122π-C.6π-D.4π-解析：选A 由图可知，该几何体是一个长方体挖去一个圆柱后的组合体，所以该几何体的体积为44116V ππ=⨯⨯-=-.故选A.8.过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 的直线与椭圆上方交于点A .若12AF F ∆为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（） 3221- C.223解析：选 B 由题可得，因为12AF F ∆为等腰直角三角形，故1212F F AF c ==，所以222AF c =.因为122AF AF a +=，所以2222c c a +=，即2121c e a ===+.故选B. 9.函数2()23f x x x =-的单调递减区间是（）A.3[,)4+∞ B.3(,]4-∞- C.3[,0]4-和3[,)4+∞ D.3(,]4-∞-和3[0,]4解析：选D 由题可得，当0x ≥时，2239()232()48f x x x x =-=--，此时函数在3[,)4+∞上单调递增，在3[0,]4上单调递减；当0x <时，2239()232()48f x x x x =+=+-，此时函数在3(,]4-∞-上单调递减，在3[,0)4-上单调递增.所以函数的单调递减区间是3(,]4-∞-和3[0,]4.故选D.10.已知点00(,)P x y 和点(1,2)Q 位于直线:3280l x y +-=的两侧，则（） A.00320x y +> B.00320x y +< C.00328x y +> D.00328x y +<解析：选C 将点(1,2)Q 代入直线方程所在代数式，得3480+-<，因为点00(,)P x y 和点(1,2)Q 位于直线:3280l x y +-=的两侧，所以003280x y +->，即00328x y +>.故选C.11.函数()2sin(4)3f x x π=-的一个对称中心为（）A.(,0)3πB.(,0)12πC.5(,0)24π D.(,0)12π-解析：选 B 由题得，令43x k ππ-=，解得,412k x k Z ππ=+∈.所以函数的对称中心为(,0)412k ππ+.对比选项，当0k =时，该函数的一个对称中心为(,0)12π.故选B. 12.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确．．的是（）A.若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则m n ⊥B.若,m n αβ⊥⊥且m n ⊥，则αβ⊥C.若/,/n m αβ⊥且n β⊥，则//m αD.若,m n αβ⊂⊂且//m n ，则//αβ解析：选A 由题可得，选项A 中，可以有//m n 情况存在；选项C 中，可以有m α⊂；选项D 中，这两个平面可以相交.故选B.13.若直线34(0)x y m m -=>与坐标轴围成的三角形的面积为24，则实数m 的值为（） A.12 B.24 C.24- D.24或24-解析：选B 由题可得，该三角形为直角三角形，直线与坐标轴的交点分别为(,0),(0,)34m m-，所以212423424m m m S =⨯⨯-==，解得24m =.故选B.14.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且2342,,2a S a +成等差数列，则数列{}2n a 的前n 项和为（）A.413n -B.2(21)n -C.413n - D.41n -解析：选 A 设等比数列的公比为q ，因为11a =，且2342,,2a S a +成等差数列，所以324222S a a =++，即232q q =，所以2q =，所以12n n a -=，所以2121(2)4n n n a --==.所以1441143n n n T --==-.故选A.15.已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=.向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β=（）A.3 B.13C.3解析：选A 因为219423293a =+-⨯⨯⨯=，219123183b =+-⨯⨯⨯=，19291183a b ⋅=+-⨯⨯⨯=，所以cos 3β==.故选A. 16.若点(,)P x y 在圆22410x y x +-+=上，则1yx +的最大值为（）A.2 B.12C.1解析：选A 设1yk x =+，则(1)y k x =+，代入圆方程，有2222(1)(24)10k x k x k +--++=，该方程有解，所以2222(24)4(1)0k k ∆=--+≥，化简得212k ≤，即22k -≤≤.所以1y x +的.故选A. 17.设函数21,0,()0,0,21,0,x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩若不等式(1)()0m f x f x -+>对任意0x >恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.11(,)44- B.1(0,)4 C.1(,)4+∞D.(1,)+∞解析：选C 由题可得，函数()f x 是奇函数且是递增函数，因为(1)()0m f x f x-+>，所以1m x x ->-，即2m x x -<-对任意的0x >恒成立，所以14m -<-，解得14m >.故选C.18.ABC ∆是边长为6的正三角形，D 在AB 上，且满足2AD DB =，现沿着CD 将ACD ∆折起至'ACD ∆，使得'A 在平面BCD 上的投影在BDC ∆内部（包括边界），则二面角'A CD B--所成角的余弦值的取值范围是（）A.2[0,5B.2[0,]5C.2[0,]5D.2[,1]5解析：选C 由题可得，如图，在ABC ∆中，过点A 作AO CD ⊥交CD 于点O ，交BC 于点H .因为点'A 在平面BCD 上的投影在BDC ∆内部（包括边界）.所以可知其投影在线段OH 上.过点'A 作'A M OH ⊥，垂足为M ，则有'A M ⊥平面BDC .所以'AOH∠为二面角'A CD B --所成角的平面角.因为4,6,60AD AC CAD ==∠=，所以6217AO =.以BC 所在直线的为x 轴，BC 中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则有(0,33),(3,0),(3)A C D -，设(,0)H a .因为AH CD ⊥，所以0AH CD ⋅=，即5330a --=，解得33a =所以6215AH =，所以6216211221OH ==，所以1221OM ∈.在'AOM ∆中，''2cos[0,]5621OM AOH AO ∠==∈.故选C.二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分，其中第一道填空题两个空）19.双曲线2214x y -=的渐近线方程为，离心率为 .解析：152y x =±因为双曲线的方程为2214x y -=，所以可知2,1a b ==，所以5c =所以双曲线的渐近线方程为12b y x x a ==±=±；其离心率为5c e a ==. 20.已知数列{}n a 中，1111,2(1,)3n n n n a a a a a n n N --==->∈，则数列{}n a 的通项公式为 . 解析：152n a n =- 因为112(1,)n n n n a a a a n n N --=->∈，所以有1112n n a a --=-，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2-为公差，首项为113a =的等差数列，所以152n n a =-，即152n a n=-. 21.在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点，若2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ= . 解析：23 因为2AD DB =，所以可知,,A D B 三点共线，因为13CD CA CB λ=+，所以可知113λ+=，解得23λ=.22.已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)f x -的图象关于(1,0)点对称，且当0x ≥时恒有(2)()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()1x f x e =-，则()()20162015f f +-= .解析：1e - 因为(1)f x -的图象关于(1,0)点对称，所以()f x 的图象关于点(0,0)对称.因为当0x ≥时恒有(2)()f x f x +=，所以()()20162015f f +-(0)(1)f f =-0(1)e =--1e =-. 三、解答题23.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知132,,S S S 成等差数列. (1)求{}n a 的公比q ； (2)若133a a -=，求n S .解：(1)因为132,,S S S 成等差数列，所以3122S S S =+，所以1231122()a a a a a a ++=++，即22(1)2q q q ++=+，解得12q =-或0q =. 因为0q ≠，所以12q =-.(2)因为133a a -=，所以11113344a a a -==，解得14a =.所以14[1()]812[1()]13212n n n S --==--+. 24.已知抛物线C ：22(0)x py p =>上一点(,4)S s 到其焦点F 的距离为174，O 为原点. (1)过点(0,)T t 作倾斜角为45︒的直线与抛物线C 相交于B A ,两点，若90AOB ∠=︒，求实数t 的值；(2)设抛物线C 上一点P 的横坐标为1，过P 的直线l 交x 轴于点M ，过点P 作PM 的垂线交C 于另一点N ,若MN 的中点为Q ,且MN PQ ⊥，求直线l 的方程．解：(1)17424p +=，解得12p =，所以抛物线的方程为2x y =. 将直线方程y x t =+代入2x y =，得20x x t -+=，设1212(,),(,)A x y B x y ，则12x x t =-，所以2221212y y x x t ==，由90AOB ∠=︒，得212120,OA OB x x y y x t t =+==-= 因为0t ≠，所以1t =.(2)由题意知，过点(1,1)P 的直线MP 斜率存在且不为0，设其为k则直线PM 方程为(1)1y k x =-+，当10,1y x k ==-+ 则1(1,0)M k-+.而PM PN ⊥，所以直线NP 斜率为1k -，直线PN 方程为1(1)1y x k=--+，代入2x y =，得21110x x k k +--=,由11N P x x k=--，得2112(1,1)N kk k--++由MN PQ ⊥得,PN PM =111111k k+-=--，解得1k =-或13k =-求得直线l 的方程为20x y +-=或340x y +-=.25.已知函数2()()1x af x a R x +=∈+. (1)当1a =时，解不等式()1f x >；(2)对任意的(0,1)b ∈，当(1,2)x ∈时，()b f x x>恒成立，求实数a 的取值范围. 解：(1)因为1a =，所以21()1x f x x +=+. 所以21()11x f x x +=>+，即为211x x +<+. 即210,11x x x +≥⎧⎨+<+⎩或210,1(1)x x x +<⎧⎨+<-+⎩ 解得01x <<.所以不等式的解集为(0,1). (2)2()1x a b f x x x +=>+恒成立等价于1()x a b x x+>+恒成立，即1()x a b x x+>+或1()x a b x x+<-+恒成立. 所以有(1)b a b x x >-+或(1)b a b x x<-+-恒成立. 所以21a b ≥-或5(2)2a b ≤-+对任意(0,1)b ∈恒成立，解得1a ≥或92a ≤-.所以实数a 的取值范围是9(,][1,)2-∞-+∞.。

普通高中学业水平模拟考试数学仿真模拟试题-A(解析版)

2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题A ⦁解析版考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两局部，共4页，总分值100分，考试时间80分钟。

2．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。

3．选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。

4．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。

选择题局部一、选择题〔本大题共18小题，每题3分，共54分，每题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多项选择、错选均不得分〕1．集合{1,2}P =，{2,3}Q =，全集{1,2,3}U =，那么()UP Q 等于A ．{3}B ．{2,3}C ．{2}D ．{1,3}2．圆2246110x y x y +-++=的圆心和半径分别是A ．(2,3)-B ．(2,3)-；2C ．(2,3)-；1D ．(2,3)-3．向量(0,1),(k ==-=a b c ，假设(2)-⊥a b c ，那么k =A ．B ．2C ．3-D ．14．假设π1cos()123θ-=，那么5πsin()12θ+＝A ．13 B ．3C ．13-D ．3-5，那么()f x 的定义域是 A ．[1,2)- B ．[1,)-+∞ C ．(2,)+∞ D ．[1,2)(2,)-+∞6．假设双曲线221x y a-=的一条渐近线方程为3y x =，那么正实数a 的值为 A ．9B ．3C ．13D ．197．假设直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=垂直，那么l 的方程为A ．3210x y +-=B ．2310x y +-=C ．3210x y ++=D ．2310x y --=8．(1,1,0)AB =-，(0,1,2)C -，假设2CD AB =，那么点D 的坐标为 A ．(2,3,2)-- B ．(2,3,2)- C ．(2,1,2)- D ．(2,1,2)--9．平面α，β和直线m ，直线m 不在平面α，β内，假设α⊥β，那么“m ∥β〞是“m ⊥α〞的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．将函数πsin(2)3y x =+的图象经怎样平移后，所得的图象关于点π(,0)12-成中心对称 A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位11．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设π3C =，7c =，3b a =，那么ABC △的面积为A ．234- B ．334 C ．2 D ．2+3412．函数331x x y =-的图象大致是A ．B ．C ．D ．13．假设实数x ，y 满足约束条件22390x y x y x +≤-≤≥⎧⎪⎨⎪⎩，那么22z x y =+的最大值是A ．10B ．4C ．9D ．1014．等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差d 不等于零，假设236,,a a a 成等比数列，那么A ．130,0a d dS >>B ．130,0a d dS ><C ．130,0a d dS <>D ．130,0a d dS <<15．如下图，在正三角形ABC 中，,,D E F 分别为各边的中点，,,,G H I J 分别为,,,AF AD BE DE 的中点.将ABC △沿,,DE EF DF 折成三棱锥以后，HG 与IJ 所成角的度数为A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．0︒16．图中的网格是由边长为1的小正方形组成的，一个几何体的三视图如图中的粗实线和粗虚线所示，那么这个几何体的体积为A ．64B ．643C ．1283D ．12817．过抛物线2(0)y mx m =>的焦点作直线交抛物线于,P Q 两点，假设线段PQ 中点的横坐标为3，5||4PQ m =，那么m = A ．8 B ．6 C ．12D ．1018．函数2(4)log (01)a y x bx x a a =+->≠且，假设对任意0x >，恒有0y ≤，那么a b 的取值范围是A ．[1，3)B ．(1，3]C ．(0，3)D ．(1，3)非选择题局部二、填空题〔本大题共4小题，每空3分，共15分〕19．设公比不为1的等比数列{}n a 满足12318a a a =-，且243,,a a a 成等差数列，那么公比q =___________，数列{}n a 的前4项的和为___________． 20．设函数()()f x x ∈R 满足2213|(),|()144||f x x f x x -≤+-≤，那么(1)f =___________．21．假设半径为10的球面上有A 、B 、C O 到平面ABC 的距离为___________.22．动点P 是边长为2的正方形ABCD 的边上任意一点，MN 是正方形ABCD 的外接圆O 的一条动弦，且MN ，那么PM PN ⋅的取值范围是___________.三、解答题〔本大题共3小题，共31分〕 23．〔本小题总分值10分〕ABC △的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .假设222sin sin sin sin sin A B C A B +-=.〔1〕求角C 的大小；〔2〕假设ABC △的面积为c =ABC △的周长. 24．〔本小题总分值10分〕如图，直线l 与椭圆C :22142x y +=交于M ，N 两点，且|MN |=2，点N 关于原点O 的对称点为P.〔1〕假设直线MP 的斜率为12-，求此时直线MN 的斜率k 的值；〔2〕求点P 到直线MN 的距离的最大值. 25．〔本小题总分值11分〕函数2()(1)||f x x x x a =+-⋅-. 〔1〕假设0a =，解方程()3f x =；〔2〕假设函数()f x 在R 上单调递减，求实数a 的取值范围；〔3〕假设函数()f x 在[2,2]a a +的最小值为()g a ，求()g a 的解析式.精品文档11欢送下载。

浙江省普通高中2021年高中数学1月学业水平考试仿真模拟试题(一)(含解析)

浙江省普通高中2021年高中数学1月学业水平考试仿真模拟试题（一）（含解析）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1.函数()f x ）A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,1]-∞D ．(,1)-∞ 解析：选C 由10x -≥可得1x ≤，所以函数的定义域为(,1]-∞.故选C ． 2.若数列{}n a 是等比数列，且233,6a a ==-，则4a =（）A ．12B ．12-C ．2D ．2- 解析：选 A 因为数列{}n a 是等比数列，且233,6a a ==-，所以可知322a q a ==-，所以4312a a q ==.3.直线220x y -+=的斜率为（）A ．12B ．12- C ．2 D ．2-解析：选C 2Ak B =-=. 4.已知角θ满足1sin 2θ=，则cos 2θ=（）A ．12-B ．12C ．34D ．34-解析：选B 因为1sin 2θ=，所以2211cos 212sin 1222θθ⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭.5.若平面向量(1,0),(3,2)a b =-=，则()a a b ⋅-=（）A ．2B ．3-C ．4-D ．4 解析：选D 因为(1,0),(3,2)a b =-=，所以2()134a a b a a b ⋅-=-⋅=+=.6.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正视图侧视图正方形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选B 由三视图可知该几何体是一个底面半径的1，高为2的圆柱，所以该圆柱的体积为2V π=.7.若正数,a b 满足1ab =，则14ab+的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：选 D 因为1ab =，所以14142244a b a b+≥⋅==.当且仅当14a b =，1,22a b ==时取等号.8.下列函数中是奇函数且在(0,)+∞上单调递增的是（）A ．2y x =B ．3y x =-C ．1y x=- D ．2log y x = 解析：选C 由题可得，函数2y x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，所以排除A ；函数3y x =-是奇函数，且在(0,)+∞上单调递减，所以排除B ；函数1y x=-是奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，所以C 满足条件；函数2log y x =是非奇非偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，所以排除D ．故选C ．9.实数,x y 满足约束条件1,3415,x x y y a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若该约束条件满足的可行域的面积为15，则实数a的值为（）A ．3-B ．1-C ．1D ．3 解析：选 A 由题可得，该约束条件表示的平面区域是如图所示的三角形区域，该三角形的三个顶点分别为(1,3),(1,),(5,)3aa a -，因为该区域的面积为15，所以1341523aS a =⨯-⨯-=，由3a <，解得3a =-.故选A ．10.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若3,30b c B ===，则a =（） A ．6 B ．3 C ．6或3 D ．6或4解析：选 C 因为3,30b c B ===，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可知，29180a a -+=，解得6a =或3a =.故选C ．11.双曲线2213y x -=的两条渐近线的夹角为（）A ．30B ．60C ．90D ．120解析：选B 由题可得，双曲线的渐近线方程为y =，其与x 轴的夹角为60，所以由夹角的定义可知，这两条渐近线的夹角为60.故选B ． 12.已知函数()3sin(2)6f x x π=+，则下列说法正确的是（）A ．图象关于点(,0)6π对称 B ．图象关于点(,0)3π对称C ．图象关于直线6x π=对称 D ．图象关于直线3x π=对称解析：选C 由题可得，设26x k ππ+=，解得212k x ππ=-，所以可知函数的对称中心为(,0)212k ππ-()k Z ∈.设262x k πππ+=+，解得26k x ππ=+，所以可知函数的对称中心为()26k x k Z ππ=+∈，通过对比选项可知，图象关于直线6x π=对称成立.故选C ．13.已知:23p x ->，:5q x >，则q 是p 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由23x ->可得1x <-或5x >，所以q 是p 的充分不必要条件.故选A ． 14.已知直线//l 平面α，动直线m 与直线l 所成角的大小为3π，则平面α截动直线l 运动所成的轨迹得到的图形是（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：选C 由题可得，动直线按条件运动所得轨迹被平面α截得的图形是双曲线.故选C ．15.已知点(1,2,5),(3,4,1)A B --，若点C 在x 轴上，且满足AC BC =，则点C 的横坐标为（） A ．2- B ．2 C ． 12D ． 12-解析：选D 设(,0,0)C a ，因为AC BC =，所以22222(1)25(3)(4)1a a +++=-+-+，化简得12a =-.故选D ．16.曲线214y x =+-与直线(2)4y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是（） A ．53(,]124 B ． 53(,)124 C ．13(,)34 D ．5(0,)12 解析：选 A 由题可得，曲线214y x =+-对应的图象是如图的半圆，要使曲线214y x =+-与直线(2)4y k x =-+有两个交点，则直线(2)4y k x =-+过点(2,1)-，代入可得34k =，且处于切线的临界点，此时512k =，所以实数k 的取值范围是53(,]124.故选A ．17.若向量,a b 满足22a a b =+=，则a 在b 方向上投影的最大值是（） A ．1 B ．1- C ．3 D ．3-解析：选 D 设(2,0),(,)a b x y ==.由22a b +=可得22(4)4x y ++=.所以a 在b 方向上的投影为222cos 23a b xx a x x y b θ⋅===--+.令23t x =--，则232t x +=-，所以原式为2332t t+-≤-.故选D ．18.如图，在棱长为1的正四面体D ABC -中，O 为ABC ∆的中心，过点O 作做直线分别与线段,AB AC 交于,M N （可以是线段的端点），连接DM ，点P 为DM 的中点，则以下说法正确的是（）A ．存在某一位置，使得NP DAC ⊥面B ．DMN S ∆的最大值为34C ．22tan tan DMN DNM ∠+∠的最小值为12D ．D MNC D MNBA V V --的取值范围是4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：选D 本题考查空间几何体的综合问题.由题可得，选项A 中，当线段MN 变化时，MN DN ≠，所以排除；1663226624DMN S MN DO MN ∆=⋅=≤⨯=，所以排除B ；对于选项D ，因为34ABC S ∆=，3398MNC S ∆≤≤，又因为MNBA ABC MNC S S S ∆∆=-，所以4[,1]5D MNC MNC MNC D MNBA MNBA ABC MNC V S S V S S S -∆∆-∆∆==∈-.故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19.设全集为R ，若集合(0,2]P =，[1,1]Q =-，则P Q = ，()R P Q = . 解析：[1,2]-；[1,0]- 因为(0,2]P =，[1,1]Q =-，[1,2]P Q =-，又因为(,0](2,)RP =-∞+∞，所以()[1,0]R P Q =-.20.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =，则5a = . 解析：8 因为数列是等差数列，所以95972S a ==，解得58a =.21.已知直线l 过圆22(1)(2)4x y -+-=的圆心，当原点到直线l 距离最大时，该直线l 的方程为 .解析：250x y +-= 设圆心为(1,2)A ，要使原点到直线l 距离最大时，则OA l ⊥，所以112l OA k k =-=-.所以直线l 的方程为12(1)2y x -=--，即250x y +-=.22.若至少存在一个0x >，使得关于x 的不等式22x x a <--成立，则实数a 的取值范围是 .解析：92,4⎛⎫- ⎪⎝⎭要使不等式成立，即22x a x -<-成立，令2(),()2f x x a g x x =-=-，函数()f x x a =-与x 轴交于点(,0)a ，与y 轴交于点(0,)a .当函数()f x x a =-的左支与y 轴交于点(0,)a ，此时有0a <，若2a ≥，解得2a ≥或2a ≤-，则当2a ≤-时，在y 轴右侧，函数()f x x a =-的图象在函数2()2g x x =-的上方，不合题意；在y 轴右侧，当函数()f x x a =-的左支与曲线2()2g x x =-相切时，函数()f x x a =-左支图象对应的解析式为y a x =-，将y a x =-代入22y x =-，得22a x x -=-，即2(2)0x x a -+-=，由判别式为零可得940a -=，解得94a =，则当94a ≥时，如图（一）所示，在y 轴右侧，函数()f x x a =-的图象在函数2()2g x x =-的上方或相切，则不等式22x a x -≥-在(0,)+∞上恒成立，不合于题意；当924a -<<时，如图（二）所示，在y 轴右侧，函数()f x x a =-的图象的左支或右支与函数()22g x x =-相交，在y 轴右侧，函数()f x 的图象中必有一部分图象在函数()22g x x =-的下方，即存在0x >，使得不等式22x a x -<-成立，故实数a 的取值范围是92,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.图一图二三、解答题（本大题共3小题，共31分）23．（本小题满分10分）在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，公比为q ，且2212b S +=，22S q b =．（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）证明：1211123n S S S +++<．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，因为222212,b S S q b +=⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以612,6q d d q q ++=⎧⎪+⎨=⎪⎩] 解得3q =或4q =-（舍去），3d =. 所以33(1)3n a n n =+-=，13n n b -=. （II ）因为3n a n =，所以(33)2n n n S +=，所以12211()3(1)31n S n n n n ==-++，所以12111nS S S +++ 21111111(1)3223341n n =-+-+-++-+ 212(1)313n =-<+. 24.（本小题满分10分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>短轴的一个端点与椭圆C 的两个焦点构成面积为3的直角三角形．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）过圆22:2E x y +=上任意一点P 作圆E 的切线l ，若l 与椭圆C 相交于,A B 两点．求证：以AB 为直径的圆恒过坐标原点O . 解：（I ）设椭圆C 的焦距为2c ，由题意得2222,13,2b c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2226,3a b c ===.所以椭圆C 的方程为22163x y +=.（II ）圆E 的方程为222x y +=，设O 为坐标原点，当直线l 的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为x =则A B ,所以2AOB π∠=.此时，以AB 为直径的圆过坐标原点．当直线l 的斜率存在时，设其方程设为y kx m =+，设1122(,),(,)A x y B x y . 因为直线l 与圆E相切，所以d ==2222m k =+.联立方程组22,26y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消元化简得222(12)4260k x kmx m +++-= 22222164(12)(26)8(41)0k m k m k ∆=-+-=+>，由韦达定理得2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++，所以2222121212122(1)(26)(1)()12k m OA OB x x y y k x x km x x m k+-⋅=+=++++=+ 2222222436601212k m m k m k k---+==++. 所以OA OB ⊥，此时，以AB 为直径的圆恒过坐标原点O ．综上可知，以AB 为直径的圆恒过坐标原点O ． 25.（本小题满分11分）已知函数2()()f x x ax a R =+∈.（I ）若()f x 在[0,1]上单调递增，求实数a 的取值范围；（II ）记()M a 为()f x 在[0,1]上的最大值，求()M a 的最小值. 解：（I ）因为[0,1]x ∈.当0a ≥时，2()f x x ax =+在区间[0,1]上单调递增；当0a <时，222(),0,(),x ax x a f x x ax x ax x a ⎧-+≤<-=+=⎨+>-⎩所以要使()f x 在[0,1]上单调递增，则需12a-≥，即2a ≤-.所以满足条件的实数a 的取值范围是(,2][0,)-∞-+∞.（II ）由（I ）知，当2a ≤-或0a ≥时，()f x 在[0,1]上单调递增，则()(1)1M a f a ==+.当20a -<<时，2()max (),(1)max ,124a a M a f f a ⎧⎫⎧⎫=-=+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭.在20a -<<时解不等式214a a >+，解得22(1a -<<，所以此时2,22(14()1,2(10a a M a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+-<<⎩综上可知，2,22(14()1,22(1a a M a a a a ⎧-<<⎪=⎨⎪+≤-≥-⎩或所以当22(1a a ≤-≥或时，()213M a ≥-=-当22(1a -<<时，21()(234M a ≥-=- 所以()M a的最小值为3-.。

浙江省普通高中2021年高中数学1月学业水平考试仿真模拟试题(二)(含解析)

浙江省普通高中2021年高中数学1月学业水平考试仿真模拟试题（二）（含解析）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不给分.）1.已知集合{}2|320A x x x =-+=，集合{}|05,B x x x N =<<∈，则A B =（） A.{}1,2 B.{}1 C.{}2,3 D.{}1,4解析：选 A 因为{}{}2|3201,2A x x x =-+==，{}{}|05,1,2,3,4B x x x N =<<∈=，所以A B ={}1,2.故选A.2.若[1,1]x ∈-，则函数22x y =-的值域为（）A.[1,1]-B.[2,0]-C.3[,0]2- D.[1,0]- 解析：选C 因为[1,1]x ∈-，所以12[,2]2x ∈，所以322[,0]2x -∈-.故选C. 3.已知等差数列{}n a 满足7916a a +=，若41a =，则12a =（）A.64B.31C.24D.15解析：选D 因为数列是等差数列，所以79412a a a a +=+，所以1216115a =-=.故选D. 4.经过点(1,2)A -且垂直于直线2340x y -+=的直线l 的方程为（）A.3210x y ++=B.3210x y +-=C.2350x y -+=D.2380x y -+=解析：选B 由题可得，设垂直于直线2340x y -+=的直线l 的方程为320x y c ++=，因为直线过点(1,2)A -，所以340c -++=，解得1c =-，所以直线l 的方程为3210x y +-=.故选B.5.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> ）A.y =B.y =C.y x =D.32y x =±解析：选 A 因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为3，所以3ca =，即223c a =22a b =+，解得2b a =，所以2b a =，所以双曲线的渐近线方程为2by x x a=±=±.故选A. 6.函数111y x =+-的图象是下列图象中的（）解析：选B 由题可得，函数111y x =+-的图象可由函数1y x=的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，结合函数1y x=的图象可知，选项B 满足条件，故选B.7.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知1,3,60c b B ==，则C 的大小为（）A.30B.45C.150D.30或150解析：选A 因为1,3,60c b B ===，所以由正弦定理sin sin b c B C =可得sin 1sin 2c B C b ==.因为b c >，所以B C >，知90C <，解得30C =.故选A.8.已知向量(,2),(1,1)a b λλ=-=+，则“1λ=”是“a b ⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：A 因为(,2),(1,1)a b λλ=-=+，且a b ⊥，所以(1)20a b λλ⋅=+-=，解得1,2λ=-.所以可知是充分不必要条件.故选A.9.若实数,x y 满足约束条件5630,32,1x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最小值是（）A.10B.3C.272 D.113解析：选B 由题可得，约束条件表示的平面区域如图所示，是一个以2251020(1,),(1,),(,)3639为顶点的三角形及其内部区域.由线性规划的特点可知，目标函数3z x y =+在点2(1,)3处取得最小值，其最小值为3.故选B.10.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中所给的数据，可得该几何体的体积为（） A.52B.2C.3D.32解析：选D 由题可得，结合三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱，所以其体积为13(12)1122V =⨯+⨯⨯=.故选D . 11.已知函数1()2(0)f x x x x=+-<，则()f x 有（）A.最大值0B.最小值0C.最大值4-D.最小值4-解析：选 C 因为0x <，所以0x ->，所以111()2()2()x x x x x x -+=-+≥-⋅=--，所以12x x +≤-，所以124x x +-≤-.当且仅当1x x=，1x =-时，()f x 有最大值4-.故选C. 12.若点G 为ABC ∆的重心（三角形三边中线的交点），设,BG a GC b ==，则AB =（） A.3122a b - B.3122a b + C.2a b - D.2b a -解析：选D 因为点G 为ABC ∆的重心，所以有0GA GB GC ++=.因为,BG a GC b ==，所以GA BG GC a b =-=-，所以22AB GB GA GC BG b a =-=-=-.故选D. 13.已知3sin 5α=，且α是第二象限角，则tan(2)4πα+的值为（）A.195-B.519-C.3117-D.1731- 解析：选 D 因为3sin 5α=，且α是第二象限角，所以可得3tan 4α=-，所以22tan tan 21tan ααα=- 324297116-==--，所以241tan 21177tan(2)2441tan 23117πααα-++===--+.故选D. 14.已知,,m n l 为三条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒B.//,l l αβαβ⊥⇒⊥C.,//m m n n αα⊥⊥⇒D.,//l l βαβα⊥⊥⇒解析：选B 对于选项A ，由两平行平面内的各一条直线平行或异面可知，选项A 错误，排除；对于选项C ，,m m n α⊥⊥可以得到//n α或n α⊂，选项C 错误，排除；对于选项D ，,l βαβ⊥⊥可以得到//l α或l α⊂，选项D 错误，排除；对于选项B ，//,l l αβαβ⊥⇒⊥成立，故选B.15.已知数列{}n a 满足0n a >，221114n n n n a a a a ++++=+，且112a =，则该数列的前2020项的和为（） A.30272 B.1514 C.30292D.1515解析：选D 因为2211111,24n n n n a a a a a ++=++=+，所以当1n =时，解得21a =；当2n =时，解得312a =；所以可知该数列是以2为周期的周期数列，所以该数列的前2020项和为202011010101015152S =+⨯=.故选D.16.已知正数,x y 满足1x y +=，则1114x y++的最小值为（）A.73B.2C.95D.43解析：选C 由题可得，()414144141141144145x y x y x y x y ⎛⎫+⋅++ ⎪+⎝⎭+=+=++ 4(14)4415249414555y xx y ++++++=≥=，当且仅当4(14)4414y x x y+=+，51,66x y ==时取得好.故选C.17.设椭圆M 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，若斜率为1的直线与椭圆M 相切同时也与圆2:C x2()(y b b +-为椭圆的短半轴）相切，设椭圆的离心率为e ，则2e 的值为（）A.322- B.21- C.122+ D.323+ 解析：选A 设直线方程为y x m =+，因为直线与椭圆相切，所以代入椭圆方程，可得22222222()20b a x a mx a m a b +++-=，所以由0∆=可得222m a b =+.又因为直线与圆相切，所以2b m b -=，解得(12)m b =+，所以2222(12)b a b +=+，由222b ac =-，所以有22(221)(222)a c +=+，解得222222322221c e a +-===+.故选A. 18.已知矩形ABCD 中，4,2,,AB BC E F ==分别为边,AB CD 的中点.现沿直线DE 将ADE ∆翻折成PDE ∆，在点P 从A 到F 的运动过程中，CP 的中点G 的轨迹长度为（） A.2π B.2π C.22π D.12π 解析：选C 连接AF 交DE 于点O ，由已知条件易知AF DE ⊥，翻折后可得PO DE ⊥，且2OP ，所以有DE ⊥平面POA ，所以点P 的轨迹是在平面POA 内的半圆.连接OC ，取OCD 中点，连接GH ，由中位线可得1//,2GH PO GH PO =，所以点G 是GH 为半径的半圆轨迹.因为122GH PO ==2.故选C.二、填空题（本大题共5小空，每空3分，合计15分）19.已知圆C 的方程为22240x y x y +--=，则该圆的圆心坐标为，该圆的面积为 .解析：(1,2);5π 由题可得，22(1)(2)5x y -+-=，所以可知该圆的圆心为(1,2)，半径为5r =，所以其面积为25r ππ=.20.若函数21()(27)(0)m f x m m x m -=-->是幂函数，则实数m = .解析：4 因为函数是幂函数，所以2271m m --=，解得4m =或2-.因为0m >，所以4m =.棱21.如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，P 是所BC 上的动点.记直线1A P 与平面ABC 所成的角为1θ，与直线BC成的角为2θ，则1θ 2θ（填“>”、“=”或“<”）.解析：< 连接AP ，则11A PA θ∠=，12A PC θ∠=或2πθ-，设APC θ∠=，则122sin sin sin sin θθθθ=<，所以12θθ<.22.已知函数2()()323x nf x m x nx =-++，函数()y f x =的零点构成的集合为A ，函数[()]y f f x =的零点构成的集合为B ，若A B =，则m n +的取值范围是 .解析：8[0,)3设()t f x =，()y f t =，因为A B =，所以()0f t =时，0t =，即(0)0f =，所以03n m -=，所以3n m =，所以43n m n +=.因为2()2(2)f x x nx x x n =+=+，由()0f t =得0,2t t n ==-，而()2f x n =-无解，即2220x nx n ++=无解，所以2480n n ∆=-<，解得02n <<.又0n =时符合题意.综上可知02n ≤<，所以48[0,)33n m n +=∈. 三、（本大题共3小题，共31分.） 23.已知函数()sin()sin f x x x π=+. (1)求()12f π的值；(2)若3()10f α=-，04πα<<.求()8f πα+的值.解：1()sin()sin sin cos sin 22f x x x x x x π=+=-=-.(1)所以11()sin12264f ππ=-=-.(2)因为13()sin 2210f αα=-=-，所以3sin 25α=.因为04πα<<，所以022πα<<.所以4cos 25α=.所以()sin 2()sin(2)884f πππααα+=-+=-+sin 2cos cos 2sin44ππαα=--324272525210=-⨯-⨯=-. 24.已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，直线220x y -+= 交抛物线C 于,A B 两点,P 是线段AB 的中点,过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)若直线AB 过焦点F ，求AF BF ⋅的值；(2)是否存在实数p ，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出p 的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为()0,2F ，4p =，所以抛物线方程为y x 82=，与直线22y x =+联立消去y 得：016162=--x x ，设),(),,(2211y x B y x A ，则16,162121-==+x x x x ，所以1212||||(2)(2)(24)(24)AF BF y y x x ⋅=++=++=80.(2)假设存在，由抛物线py x 22=与直线22y x =+联立消去y 得：0442=--p px x 设),(),,(2211y x B y x A ，则p x x p x x 4,42121-==+，可得),2,2(p p Q由0=⋅QB QA 得：0)2)(2()2)(2(2121=--+--p y p y p x p x ，即0)22)(222()2)(2(2121=-+-++--p x p x p x p x ，所以0488))(64(522121=+-++-+p p x x p x x ，代入得01342=-+p p ，解得14p =或1p =-（舍）． 25.已知函数2()(0,1)ax f x a b x b =>>+满足(1)1f =，且()f x 在R上有最大值4. (1)求()f x 的解析式；(2)当[1,2]x ∈时，不等式23()(2)mf x x x m≤+-恒成立，求实数m 的取值范围.解：(1)(1)11af b==+，所以1a b =+. 因为当0x >时，2()4ax a f x b x b x x==≤=++，所以1b +=，解得2b =或12b =.因为1b >，所以2b =，所以3a =. 所以23()2xf x x =+. (2)因为23(2)mx x m+-在[1,2]上恒有意义，所以1m <或2m >. 问题即为22332(2)x mx x x m≤++-对[1,2]x ∈恒成立，即mx x m≤-对[1,2]x ∈恒成立，所以有m m x m x x-≤-≤. (i)当1x =时显然成立，当1x ≠时，21x m x ≤-，所以4m ≤(ii)对于21x m x ≥+对[1,2]x ∈恒成立，等价于2max1x m x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭.令1t x =+，则1[2,3]x t =-∈，所以22(1)121x t t x t t -==+-+，其在[2,3]上单调递增，所以2max4=13x x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，即43m ≥. 综上可得，实数m 的取值范围是(2,4].。

2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试卷(三)(学生版)

2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟卷（三）（原卷版）一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个备选项中只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不给分.）1.函数22101y x x =-+的值域为A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．[0,)+∞D ．[4,)+∞2.1和4的等比中项为（）A.2B.2-C.2±D.4±3.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若222a b c bc =++，则角A 的大小为（）A.60B.120C.45D.1354.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） 2π2π22π D.π 5.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数sin()3y x π=+的图象（） A.向左平移3π个单位长度 B.向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度 D.向右平移6π个单位长度 6.已知经过(2,1),(1,)A B m 两点的直线的倾斜角为锐角，则实数m 的取值范围是（）A.1m <B.1m >-C.11m -<<D.1m >或1m <- 7.设平面向量(2,),(3,1)a x b ==-，若//a b ，则实数x 的值为（） A.32 B.23 C.32- D.23- 8.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知6636,324,144(6)n n S S S n -===>，则n 为（） A.16 B.17 C.18 D.199.已知抛物线2:C y x =的焦点为00,(,)F A x y 是C 上一点，032AF x =，则0x =（） A.14 B.12C.1D.2 10.点(3,1,5),(4,3,1)A B -的中点坐标为（） A.1(,2,3)2 B.7(,1,2)2- C.(12,3,5)- D.14(,,2)3311.若x 、y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为A.5B.4C.2 212.设,a b R ∈，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件13.在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是（）A.11AC AD ⊥B.11D C AB ⊥C.1AC 与DC 成45角D.11A C 与1B C 成60角14.设,0a b >，则4(1)(1)ba a b++的最小值为（）A.5B.7C.9D.1315.设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A.若,l m m α⊥⊂，则l α⊥B.若,//l l m α⊥，则m α⊥C.若//,l m αα⊂，则//l mD.若//,//l m αα，则//l m16.下列四个命题中正确的是( ) A.若,a b R ∈，则a b a b -<+ B.若,a b R ∈，则a b a b -<+ C.若实数,a b 满足a b a b -=+，则0ab ≤ D.若实数,a b 满足a b a b -<+，则0ab <17.已知F 是双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（）A.(1,)+∞B.(1,2)C.(1,12)+D.(2,12)+18.如图所示，平行四边形ABCD 中，4,2AB AD ==，60DAB ∠=.,E F 在边CD ，CB 上，且满足CDCE CD =，CBCF CB =.若将CEF ∆沿EF 折起，使得平面CEF 与平面ABFED垂直.则直线AC 与直线BE 所成角的余弦值为（）A.35B.25C.110D.310二、填空题（本大题共5小空，每空3分，合计15分）19.已知集合{}{}21,2,,3A B a a ==+，若{}1A B =，则实数a = ，A B = .20.在ABC ∆中，AB AC ⊥，2,4AB AC ==，则AB BC ⋅=. 21.若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=恒有公共点，则实数a 的取值范围是 .22.已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()3x f x g x +=.若对[1,2]x ∈，恒有()(2)0af x g x +≥，则实数a 的取值范围是 .三、（本大题共3小题，共31分.）23.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若222b a c ac =+-.(1)求角B 的大小；(2)求sin sin A C +的取值范围.24.已知椭圆2222:1(0)x y C m n m n+=<<的离心率为32，且经过点3(,1)2P . (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线:(0)l y kx t k =+≠交椭圆C 于,A B 两点，D 为AB 的中点，OD k 为直线OD 的斜率，求证：OD k k ⋅为定值.25.已知函数2()()1x a f x a R x +=∈+. (1)当1a =时，解不等式()1f x >； (2)对任意的(0,1)b ∈，当(1,2)x ∈时，()b f x x>恒成立，求实数a 的取值范围.。

2021届浙江省新高考测评第一模拟考试数学试题(解析版)

2021届浙江省新高考测评第一模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合12M x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}11N x x =-≤≤，则M N =（）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】根据集合交集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，集合12M x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}11N x x =-≤≤，根据集合交集的概念及运算，可得112M N x x ⎧⎫⋂==<≤⎨⎬⎩⎭. 故选：B. 2．已知复数231z i =-（i 为虚数单位），则z 的虚部是（） A ．15i - B ．35i - C ．15-D ．35【答案】D【分析】先化简求出z ，即可得出虚部. 【详解】由题意得：()()()23121331313155i z i i i i +===----+，则z 的虚部为35．故选：D3．已知椭圆2224x y +=上一点P 到其左焦点F 的距离为1，则PF 的中点M 到坐标原点O 的距离为（） A ．3 B ．32C ．1D ．12【答案】B【分析】由椭圆定义求得P 到右焦点1F 的距离，由中位线定理得112OM PF =，从而可得结论．【详解】易知椭圆的标准方程为22142x y +=．设椭圆的长轴长为2a ，则2a =，设椭圆的右焦点为1F ，连接1PF ，则由椭圆的定义得123PF a PF =-=．在1PFF 中，易知OM 为1PFF 的中位线，所以11322OM PF ==，故选：B ．4．若实数x ，y 满足不等式组10,210,240,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，且z x y =-，则max min z z -=（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线得最大值和最小值，从而得结论．【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中()3,2A --，()1,2B -，()1,0C ．在直线z x y =-中，y x z =-，z -表示直线的纵截距．作出直线y x =并平移，数形结合知当平移后的直线经过点()1,2B -时，z 取得最小值，且min 123z =--=-；当平移后的直线经过点()1,0C 时，z 取得最大值，且max 101z =-=．所以()max min 134z z -=--=.故选：A ．5．已知a ，b 是实数，则“1a >且1b >”是“1ab a b +>+”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分必要条件的关系,结合不等式性质即可判断. 【详解】当1a >且1b >时,()()()1110ab a b a b +-+=-->,即1a >且1b >时1ab a b +>+成立.当1ab a b +>+时,即()()()1110ab a b a b +-+=-->解得1a >且1b >,或1a <且1b <综上可知, “1a >且1b >”是“1ab a b +>+”的充分不必要条件故选:A【点睛】本题考查了不等式比较大小,充分必要条件的关系及判断,属于基础题. 6．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．()1sin 1x x e f x x e +=⋅-B ．()1sin 1x x e f x x e +=⋅-C ．()1cos 1x x e f x x e +=⋅-D ．()1cos 1x x f x x e e +=⋅-【答案】D【分析】确定函数的奇偶性，特殊的函数值及函数值的正负排除错误选项，得正确结论．【详解】由题意可知函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，其图象关于坐标原点对称，故函数()f x 是奇函数，而选项A 中的函数是偶函数，故排除选项A ；又()π0f ≠，故可排除选项B ；又当()0,x ∈+∞时，()0f x ≥，当(),0x ∈-∞时，()0f x ≤，故排除选项C ．故选：D ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．已知随机变量X 的分布列是（）则下列说法正确的是（） A ．对任意的a ，10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()116E X ≤ B ．存在a ，10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()18E X > C ．对任意的a ，10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()D X E X < D ．存在a ，10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()18D X >【答案】C【分析】求得()E X 的表达式，由此确定AB 选项的正确性.求得()D X 的表达式，利用差比较法确定CD 选项的正确性. 【详解】由题意可知a ，10,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12a b +=，所以12b a =-，所以()1022E X ab ab ab =+⨯+==2211222811248a a a a a ⎛⎫=- -⎪⎛⎫-=-≤⎪+⎝⎭ ⎭⎝，故选项A ，B 错误．由方差的计算公式得()()()222222111222222D X a a aa a a a a a a⎛⎫⎛⎫=-+⋅-+-⋅+--+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭243423111111424222222222a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-+-+-⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦122a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2124a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以()()2111122222422D X E X a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+--=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2324a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．因为10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1202a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，()233221044a a a a --=--<，所以()()0D X E X -<，()()18D XE X <≤，故选项C 正确，选项D 错误．故选：C8．已知F 是双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，直线43y x =与双曲线E交于A ，B 两点，O 为坐标原点，AF ，BF 的中点分别为P ，Q ，若0OP OQ ⋅=，则双曲线E 的离心率为（） A．BC．D．【答案】A【分析】设A 位于第一象限，由0OP OQ ⋅=，得到OP OQ ⊥，连接2AF ，得到22AOF AF F ∠=∠，根据题意得到4tan 3AOF ∠=，求得21tan 2AF F ∠=，得出22cos sin AF F AF F ∠∠，的值，结合双曲线的定义和离心率的计算公式，即可求解.【详解】如图所示，不妨设点A 位于第一象限，因为0OP OQ ⋅=，所以OP OQ ⊥，设2F 为双曲线E 的左焦点，连接2AF ，因为O ，P ，Q 分别为AB ，AF ，BF 的中点，所以//OQ AF ，2//OP AF ，所以290FAF ∠=︒，所以2OA OF OF==，所以22AOF AF F ∠=∠，又直线AB 的方程为43y x =，所以4tan 3AOF ∠=，所以22222tan 4tan tan 21tan 3AF F AOF AF F AF F ∠∠=∠==-∠，得21tan 2AF F ∠=，所以2cos 5AF F ∠=2sin 5AF F ∠=，所以222cos 255AF FF AF F c c =⨯∠=⨯=， AF=22sin 2FF AF F c ⨯∠==，由双曲线的定义可知22AF AF a -==，所以双曲线E的离心率ce a==．故选：A【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.9．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC 是边长为1的等边三角形，12AA =，E ，F 分别在侧面11AA B B 和侧面11AAC C 内运动（含边界），且满足直线1AA 与平面AEF 所成的角为30°，点1A 在平面AEF 上的射影H 在AEF 内（含边界）．令直线BH 与平面ABC 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（）A ．(323+B ．33C 3D ．(323【答案】A【分析】点H 为1A 在平面AEF 上的射影，得1A HAH ⊥，首先得H 在以1AA 为直径的球面上．1AA 与平面AEF 所成的角为30°，所以130HAA ∠=︒，过H 作11HO AA ⊥于点1O ，计算得111,,,HA HA HO AO ，知H 在圆锥1AO 的底面圆周上，再由H 在AEF 内（含边界），得H 在三棱柱111ABC A B C -及其内部，其轨迹是以1O 为圆心，1O H 为半径的圆中圆心角为60°的圆弧，且H 在底面ABC 上的射影H '的轨迹（以A 为圆心，3为半径的一段圆弧），HBH θ'=∠，求出tan HH BH θ'='得BH '最小时，tan θ最大，由点与圆的位置关系可得结论．【详解】因为点H 为1A 在平面AEF 上的射影，所以1A H ⊥平面AEF ，连接AH ，则1A HAH ⊥，故H 在以1AA 为直径的球面上．又1AA 与平面AEF 所成的角为30°，所以130HAA ∠=︒，过H 作11HO AA ⊥于点1O ，如图1所示，则易得11HA =，3HA =，132HO =，132AO =，所以H 在如图2所示的圆锥1AO 的底面圆周上，又H 在AEF 内（含边界），故H 在三棱柱111ABC A B C -及其内部，其轨迹是以1O 为圆心，1O H 为半径的圆中圆心角为60°的圆弧，且H 在底面ABC 上的射影H '的轨迹（以A 为圆心，3为半径的一段圆弧）如图3所示，连接BH '，易知直线BH 与平面ABC 所成的角HBH θ'=∠，且13tan 2O A HH BH BH BH θ'==='''，故当BH '最小时，tan θ最大，A 是圆弧圆心，则当H '在AB 上时，BH '最小，最小值为323122--=，所以()()max 3tan 323223θ=⨯=+-．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与平面所成的角，解题关键是确定动点的轨迹，利用球面的性质，圆锥的性质，可得轨迹是圆弧，并得出其在底面上的射影，由射影的定义得出线面角，并求出其正切值，分析后可得最值． 10．已知正项数列{}n a 满足110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()2*11ln 2n n n a a a n N +-=∈，则（）A ．对任意的*n N ∈，都有01n a <<B ．对任意的*n N ∈，都有10n n a a +≥>C ．存在*n N ∈，使得112n n a a +<D ．对任意的*n N ∈，都有112n n a a +≥【答案】D【分析】特值法可以排除A 、B 选项，再令()()()ln 11f x x x x =+->-，可求出函数的单调性，从而可以得出212n n n a a a +≤，再根据累乘法可得112n n a a +≥，由此得出答案．【详解】解：∵110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴可取112a e =，则由()211ln 2nn n a a a +-=得22211ln ln 14a a e e-==-， ∴22121ln 014a a a e=>⇒>>，故选项A ，B 错误；令()()()ln 11f x x x x =+->-，则()1111x f x x x -'=-=++，故()f x 在()1,0-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，∴()()00f x f ≤=，即()ln 1x x ≤+，当且仅当0x =时等号成立，∴()()21111ln 2ln 21121n n n n n n n a a a a a a a +++-==+-≤-，即212n n n a a a +≤，∴112n n a a +≥，累乘可得11211112n n n n n n a a a a a a a a ++-⋅⋅⋅⋅=≥， ∴112n n a a +≥，故选项C 错误，选项D 正确．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列与不等式，解题的关键是构造函数()()()ln 11f x x x x =+->-，从而得到212nn n a a a +≤，进一步用累乘法可以得到112n n a a +≥，考查了转化与化归思想，考查数学运算能力，属于中档题．二、填空题11．某省派出由4名医生、5名护士组成的医疗小组前往疫区支援，要求将这9名医护人员平均派往某地的A ，B ，C 3家医院，且每家医院至少要分到一名医生和一名护士，则不同的分配方案有______种．（用数字作答）【答案】1080【分析】假设A 医院分配的是2名医生1名护士，则B ，C 医院均分配1名医生2名护士，求出此时的方法数，再计算总共的不同的分配方案.【详解】由题可知，4名医生要分配到3家医院，且每家医院至少有一名医生，则必有一家医院有2名医生，其余2家医院各有1名医生．假设A 医院分配的是2名医生1名护士，则B ，C 医院均分配1名医生2名护士，则分配方案有21124524C C C C 360=（种），故不同的分配方案有36031080⨯=（种）．故答案为：1080【点睛】方法点睛：排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.要根据已知灵活选择方法求解.12．已知平面向量a ，b ，c 满足23a a b b ==-=，()()2c a c b -⋅-=-．若存在实数λ，使得c a λ-取得最小值，则λ的值为______．【答案】34【分析】记a GA =，b GB =，c GC =，a b GD +=，建立直角坐标系，求出设(),C x y ，求出各向量的坐标，结合已知条件求出点C 的轨迹方程，从而确定何时c a λ-取得最小值，进而可求出λ的值.【详解】记a GA =，b GB =，c GC =，a b GD +=，则四边形OADB 为平行四边形，∵23a a b b ==-=，∴OADB 为菱形，且,60a b =︒，如图建立直角坐标系．设(),C x y ，则())()(),,0,3,0,3A BG D -，所以()3,3a =--，()3,3b =-，(),3c x y =-，则()()3,,3,c a x y c b x y -=+-=-，则()()(22232x x y x c c b y a -⋅+=-+-==-，即221x y +=，所以点C 在以原点为圆心，1为半径的圆上，设E 在AG 所在的直线上，且GE a λ=，c a λ-可看作是EC ，即圆上一点到直线AG 的距离，当CE AG ⊥时，该距离最小，此时cos303GE OG =︒==3cos30OG GA ===︒所以34GE GA λ===故答案为：34【点睛】关键点睛:本题考查了向量的线性运算，考查了向量数量积的坐标表示，考查了向量的共线定理.本题的关键是建立坐标系后，结合已知条件求出C 的轨迹方程.13．已知不等式11ln a x a x e x x-+≥对任意()0,1x ∈恒成立，则实数a 的最小值为___________. 【答案】e -【分析】先将不等式11ln a xe x xx a -≥-变形为11ln ln x x a a x e e x -≥-，再构造函数()()ln 0f x x x x =->，利用函数单调性可得，1a x e x ≥，再分离参数转化为 ()101ln a x x x≥<<，然后求出函数()()()ln 0,1h x x x x =∈的最小值，即解出．【详解】由题意，不等式可变形为11ln a xe x xx a -≥-，得11ln ln x x a a x e e x -≥-对任意()0,1x ∈恒成立. 设()ln f x x x =-，则1()ax f e f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭对任意()0,1x ∈恒成立，()111x f x x x-'=-=，当01x <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递增. 当()0,1x ∈时，1x e e >，因为求实数a 的最小值，所以考虑0a <的情况，此时1a x >，因为函数()f x 在()1,+∞上单调递增，所以要使()1a x f e f x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，只需1a x e x ≥，两边取对数，得上1ln a x x≥，由于()0,1x ∈，所以1ln a x x≥. 令()()()ln 0,1h x x x x =∈，则()ln 1h x x '=+，令()0h x '=，得1=x e，易得()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()min 11h x h e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()max 1e h x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以a e ≥-，所以实数a 的最小值为e -. 故答案为：e -【点睛】关键点睛：求解不等式问题的关键：（1）适当变形，灵活转化，结合题设条件，有时需要对不等式进行“除法”变形，从而分离参数，有时需要进行移项变形，可使不等式两边具有相同的结构特点；（2）构造函数，利用导数求解，若分离参数，则直接构造函数，并借助导数加以求解，若转化为不等式两边具有相同的结构特点，则可根据该结构特点构造函数，并借助导数加以求解.三、双空题 14．已知π1sin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______，sin 2α=______．【答案】1379-【分析】由诱导公式直接求得cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，然后诱导公式变形sin 2α，然后由余弦的二倍角公式计算．【详解】ππππ1cos cos sin 42443ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 2217sin 2cos 2cos 22cos 12124439πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为：13；79-.15．由于柏拉图及其追随者对正多面体有系统深入的研究，因此我们把正多面体又称为柏拉图多面体．如图，网格中小正方形的边长为1，粗线画出的是某柏拉图多面体的三视图，则该多面体的表面积为______，体积为______．【答案】163323【分析】由三视图知原几何体是正八面体，根据三视图尺寸可计算出表面积和体积．【详解】由三视图可知，该多面体是棱长为22的正八面体，其中每个面的面积为()2322234⨯=，所以该多面体的表面积为163，体积为()2132222233⨯⨯⨯=．故答案为：163；323.16．已知523450123451322x a a x a x a x a x a x ⎛⎫-=+++++ ⎪⎝⎭，则2a =______，123452345a a a a a ++++=______．【答案】13516-52【分析】由二项式定理求得2x 的系数得2a ，已知等式两边同时求导，然后令1x =可得123452345a a a a a ++++．【详解】由二项式定理知，2332513135C 2216a ⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．对已知等式两边同时求导可得42341234511352345222x a a x a x a x a x ⎛⎫⨯-=++++ ⎪⎝⎭，令1x =，得12345523452a a a a a ++++=．故答案为：13516-；52. 【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理，考查赋值法的应用，在二项展开式中求与系数有关的和时，常常用赋值法求解，观察和的形式，有时可能对已知展开式进行求导又得出另一等式，赋值后又可得出一些系数有关的和．17．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，AC 与DE 交于点O ，已知2AD =，7DE =，60DAE ∠=︒，21sin 7ACB ∠=，则AE AB =______，DOC ∠=______．【答案】34120° 【分析】在DAE △中，由余弦定理可知3AE =,进而在ABC 中,由内角和定理得()sin sin 120CAB ACB ∠=∠+︒2114=,由正弦定理得4AB =,27AC =故34AE AB =;再根据AOE △与COD △相似得477DO =，877CO =，4DC =，进而由余弦定理可知，1cos 2DOC ∠=-，故120DOC ∠=︒. 【详解】在DAE △中，2AD =，7DE =60DAE ∠=︒，由余弦定理可知2222cos DE AD AE AD AE DAE =+-⋅∠，即:2724AE AE =-+,解得:3AE =．因为四边形ABCD 为平行四边形，所以2BC AD ==，120ABC ∠=︒．又sin 7ACB ∠=，所以cos ACB ∠= 所以()()sin sin 180sin 120CAB ACB ABC ACB ∠=︒-∠+∠=∠+︒⎡⎤⎣⎦1727214⎛⎫=⨯-+⨯=⎪⎝⎭，由正弦定理可知sin 4sin 7BC AB ACB CAB =⋅∠==∠，sin120sin 14BC AC CAB =⋅︒=∠=故34AE AB =．在平行四边形ABCD 中，由AOE △与COD △相似，所以47DO DE ==477CO AC ==，4DC AB ==，故在COD △中，由余弦定理可知，1cos 2DOC ∠=-，故120DOC ∠=︒．故答案为：34；120°. 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，解题的关键是根据题意，将问题放在特定三角形ABC 中，利用边角关系结合正弦定理得4AB =,AC =解借助三角形相似，放到COD △，结合余弦定理求解.四、解答题18．已知函数()2π2sin cos 62f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设锐角ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知()14f A =，1a =，求ABC 的面积的取值范围．【答案】（1）ππππ,62122k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）12⎛ ⎝⎦.【分析】（1）把函数利用二倍角公式、两角和的正弦公式化为一个角的一个三角函数形式，然后结合sin y x =的单调性求()f x 的增区间；（2）由(A)f 求得A 角，利用正弦定理把,b c 用sin ,sin B C 表示，从而求得ABCS，并转化为B 的函数，注意转化为一个角的一个三角函数形式，由锐角三角形及A 角大小求得B 角范围，从而得面积的范围．【详解】（1）由题意知()2πcos 21π32sin cos sin 26222x f x x x x x ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭=++-=⋅+- ⎪⎝⎭111πcos 22sin 2sin 2cos 2sin 22224423x x x x x x ⎫⎛⎫=-+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．令ππ2π,π32x k k ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，则ππππ,62122k k x ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，所以()f x 的单调递增区间为ππππ,62122k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．（2）因为()14f A =，所以1π1sin 2234A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π1sin 232A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ22π36A k +=+或5π2π6k +，k Z ∈，即ππ12A k =-+或ππ4k +，k Z ∈．又ABC 为锐角三角形，故π4A =，因为1a =，所以由正弦定理可知，b B =，c C =．所以11πsin sin sin sin 222224ABC S bc A B C B C B B ⎛⎫==⨯==+ ⎪⎝⎭△()()21111cos 21sin sin cos sin sin cos sin 222222B B B B B B B B -⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭()11π1sin 2cos 2sin 244444B B B ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．因为ABC 是锐角三角形，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3π0,42C B π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，所以ππ,42B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3π2,444B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，π2sin 2,142B ⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以2π1112sin 2,44424ABC S B ⎛⎤+⎛⎫=-+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦△．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的性质，正弦定理等．解题方法一般是由二倍角公式降幂，由辅助角公式化函数为()sin()f x A x ωϕ=+形式，然后结合正弦函数性质求解单调性、对称性、周期性、最值等等． 19．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知//AB CD ，122AB AD CD ===，23PA =，10PB =，60BAD ∠=︒，PAB PAD ∠=∠，E 为PD 上的动点．（1）探究：当PEPD为何值时，//PB 平面AEC ？（2）在（1）的条件下，求直线AE 与平面ABCD 所成角的正弦值．【答案】（1）当13PE PD =时，//PB 平面AEC ，理由见解析；（2）34. 【分析】（1）当13PE PD =时，//PB 平面AEC ．连接BD ，与AC 交于点O ，连接OE ，证明//PB EO 即得证；（2）证明PG ⊥平面ABCD ，易知GA ，GB ，GP 两两垂直，故可以以G 为坐标原点，分别以GA ，GB ，GP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求出直线AE 与平面ABCD 所成角的正弦值．【详解】（1）当13PE PD =时，//PB 平面AEC ．理由如下：如图，连接BD ，与AC 交于点O ，连接OE ，因为12//AB DC ，所以AOB COD ∽，12BO DO =，当12PE DE =，即13PE PD =时，有//PB EO ，又EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC ．（2）取BD 的中点G ，连接PG ，AG ，因为PAB PAD ∠=∠，2AD AB ==，PA PA =，所以PAB PAD △△≌，所以10PB PD ==，所以PG BD ⊥．因为2AB AD ==，60BAD ∠=︒，所以2BD =，AG BD ⊥，3AG =，1DG BG ==，所以223PG PB BG =-=．又23PA =，所以222PA PG AG =+，所以PG AG ⊥．因为BD AG G ⋂=，所以PG ⊥平面ABCD ．易知GA ，GB ，GP 两两垂直，故可以以G 为坐标原点，分别以GA ，GB ，GP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,0,0A，()0,1,0D -，()0,0,3P ．由（1）可知()2220,1,30,,2333DE DP →→⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故10,,23E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以13,,23AE →⎛⎫=- ⎪⎝⎭．易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1n =．设直线AE 与平面ABCD 所成的角为θ，则3sin cos ,4AE n θ→→===，即直线AE 与平面ABCD 所成角的正弦值为34．【点睛】方法点睛：直线和平面所成的角的求法：方法一：（几何法）找→作（定义法）→证（定义）→指→求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法）sin AB nAB nα→→→→=，其中AB →是直线l 的方向向量，n →是平面的法向量，α是直线和平面所成的角.20．已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，且满足4223a a =-，2S 是11S -与42S +的等比中项．（1）求数列{}na 的通项公式；（2）若nb =121122n b b b n ++⋅⋅⋅+<+．【答案】（1）43n a n =+；（2）证明见解析.【分析】（1）由等比中项定义得出等式，并用1a 和公差d 表示，结合4223a a =-，可解得1,a d ，得通项公式；（2）由（1）得n b ，利用基本不等式放缩为14322n n n b ++≤+，然后用错位相减法对不等式右边式子求和．得和n T 的不等关系，从而证得结论成立．【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为4223a a =-，所以()11323a d a d +=+-，即13a d =+．又2S 是11S -与42S +的等比中项，所以()()221412S S S =-+，即()()()211121462a d a a d +=-++，即()()()23621014d d d +=++，解得4d =或2d =-．因为{}n a 为递增数列，所以0d >，所以4d =，137a d =+=．故43n a n =+．（2）由（1）得114343132222n n n n n b +++⎛⎫==≤++=+ ⎪⎝⎭．令23171143222n n n T ++=++⋅⋅⋅+，则2711432222n nn T +=++⋅⋅⋅+，两式相减得12311111711143743422441222222212n n n n n n n n n T T T -++⎛⎫- ⎪++⎛⎫⎝⎭=-=+++⋅⋅⋅+-=+⨯- ⎪⎝⎭-11141122n n ++=-，所以121114111122222n n n b b b n n ++++⋅⋅⋅+≤+-<+．【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，错位相减法求和．放缩法是证明数列不等式的常用方法（目的是为求和），数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；（2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法；（3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法；（4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 21．如图，已知抛物线()220y px p =>，过点()(),00P m m >的直线交抛物线于A ，B 两点，过点B 作抛物线的切线交y 轴于点M ，过点A 作AN 平行PM 交y 轴于点N ，交直线BM 于点Q ．（1）若1p m ==，求AB 的最小值；（2）若AOB 的面积为1S ，MNQ △的面积为2S ，求12S S 的值．【答案】（1）22（2）2.【分析】（1）设直线AB ：x ty m =+，211,2y A y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y p ⎛⎫⎪⎝⎭，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，表示出弦长，即可求出弦长的最小值；（2）不妨设点B 位于x 轴下方，由2y px =-，求出导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线BM 的方程，即可求出M 的坐标，再表示出直线AN 的方程，求出N 的坐标，则21214S m y y =-，11212S m y y =-，即可得解；【详解】解：（1）由题意可知，直线AB 的斜率不为0，故可设直线AB ：x ty m =+，211,2y A y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立，得2,2,x ty m y px =+⎧⎨=⎩，得2220y pty pm --=，所以12122,2.y y pt y y pm +=⎧⎨=-⎩因为1p m ==，所以12122,2,y y t y y +=⎧⎨=-⎩ 所以()22222121212114148AB t y y t y y y y t t =+-=++-=++()()22212t t =++易知()()22122t t ++≥，故22AB ≥，当且仅当0t =时，等号成立．故AB 的最小值为（2）不妨设点B位于x轴下方，由y=，得122py py'=-⋅==．因为直线BM与抛物线相切，所以直线BM的斜率2BMpky=，故直线BM的方程为22222222y yp py x y xy p y⎛⎫=-+=+⎪⎝⎭，令0x=，得22yy=，所以20,2yM⎛⎫⎪⎝⎭，则22202PMyykm m-==--．又//AN PM，所以22AN PMyk km==-，所以直线AN的方程为2221212112224y y y y yy x y x ym p m mp⎛⎫=--+=-++⎪⎝⎭，令0x=，得21214y yy ymp=+，故21214Ny yy ymp=+．又122y y pm=-，所以2121142Ny y yy ymp=+=，所以10,2yN⎛⎫⎪⎝⎭，连接PN，则11222222PN BMpmyy y pk km m m y-=====---，所以//PN BM，又//AN PM，所以四边形MQNP是平行四边形，所以1221211122224QMN MNP N My yS S S OP y y OP m y y ===⋅-=⋅-=-△△．又易知112121122AOBS S OP y y m y y==⋅-=-△，所以122SS=．【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．22．已知函数()()lnxxef x a x x=+-，a R∈．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的零点个数．【答案】（1）11y e=-；（2）答案不唯一，见解析. 【分析】（1）求出导函数()'f x ，得切线斜率(1)f '，从而可得切线方程；（2）定义域是(0,)+∞，在0a ≤时直接由函数()f x 的解析式确定无零点（需用导数证明ln 0x x -<），在1a >时，由导函数()'f x ，得单调性，确定函数的最大值为(1)f ，根据(1)f 的正负分类讨论．在(1)0f >时，通过证明()0f a <和1()0f a<，得零点个数．【详解】（1）当1a =时，()ln x x e f x x x =+-，()111f e=-，()111xe xf x x -'=+-，()10f '=，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为11y e=-．（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()1111111e e e x x x x x x a f x a a x x x x ---⎛⎫⎛⎫'=+-=+⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ①当0a =时，()0ex xf x =>，()f x 无零点． ②当0a >时，10e x ax+>，令()0f x '>，得01x <<，令()0f x '<，得1x >，所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()f x 有最大值()11ef a =-．当10ea -<，即1e >a 时，()f x 无零点．当10e a -=，即1a e =时，()f x 只有一个零点．当10a e ->，即10a e<<时，()10f >，()()ln a ae f a a a a =+-，令()ln 1g x x x =-+，则()111xg x x x-'=-=，则()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 10g x g ==，所以()ln 10g x x x =-+≤，因此当10a e <<时，ln 1a a -<-，()()1ln 1a a aa a f a a a a a a e e e ⎛⎫=+-<-=- ⎪⎝⎭．因为0a >，所以1a e >，于是()110a f a a e ⎛⎫<-<⎪⎝⎭．又()f x 在()0,1上单调递增，()10f >，且1a <，所以()f x 在()0,1上有唯一零点．1111111ln ln 1a aa a f a a a a a e a e ⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当10a e<<时，1e a >，令()2e x h x x =-，其中x e >，则()2xh x e x '=-，令()2xx e x ϕ=-，x e >，则()20xx e ϕ'=->，所以()h x '在(),e +∞上单调递增，()20eh x e e '>->，所以()h x 在(),e +∞上单调递增，()20eh x e e >->，故当x e >时，2x e x >．因为1e a >，所以211ae a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即11aa e a <，所以111ln 1ln 1aa f a a a a a a e ⎛⎫=--<-- ⎪⎝⎭．由ln 10x x -+≤，得11ln 10a a -+<，即1ln 10a a--+<，得ln 10a a a --<，于是10f a ⎛⎫<⎪⎝⎭．又()10f >，11a>，()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()f x 在()1,+∞上有唯一零点．故10ea <<时，()f x 有两个零点． ③当0a <时，由ln 10x x -+≤，得ln 10x x -≤-<，则()ln 0a x x ->，又当0x >时，0e xx>，所以()0f x >，()f x 无零点．综上可知，0a ≤或1a e >时，()f x 无零点；1a e =时，()f x 只有一个零点；10a e<<时，()f x 有两个零点．【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的零点个数．解题关键是求出函数的导数()'f x ，由()'f x 确定单调性和最值，本题在最大值(1)f 0>的情况下，通过证明()f a 0<和10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，结合零点存在定理得出零点个数．难度较大，对学生的要求较高，属于困难题．。