2.6正多边形与圆(1).6正多边形与圆(1)测评练习

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正多边形与圆副标题题号一二总分得分一、选择题（本大题共5小题，共15.0分）1.有一边长为4的正n 边形，它的一个内角为，则其外接圆的半径为 120∘()A. B. 4 C. D. 24323【答案】B【解析】解：经过正n 边形的中心O 作边AB 的垂线OC ，则度，度，∠B =60∠O =30在直角中，根据三角函数得到．△OBC OB =4故选B ．根据正n 边形的特点，构造直角三角形，利用三角函数解决．正多边形的计算一般要经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为解直角三角形．2.如图，的外切正六边形ABCDEF 的边长为2，则图中⊙O 阴影部分的面积为 ()A.3−π2B.3−32πC. 2−π3D. 3−π3【答案】A【解析】解：六边形ABCDEF 是正六边形，∵，∴∠AOB =60∘是等边三角形，，∴△OAB OA =OB =AB =2设点G 为AB 与的切点，连接OG ，则，⊙O OG ⊥AB ，∴OG =OA ⋅sin 60∘=2×32=3∴S 阴影=S △OAB −S 扇形OMN =12×2×3−60π×(3)2360=3−π2．故选A ．由于六边形ABCDEF 是正六边形，所以，故是等边三角形，∠AOB =60∘△OAB ，设点G 为AB 与的切点，连接OG ，则，OA =OB =AB =2⊙O OG ⊥AB ，再根据，进而可得出结论．OG =OA ⋅sin 60∘S 阴影=S △OAB −S 扇形OMN 本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出是等边三角形是解答此△OAB 题的关键．3.如图，是等边三角形ABC 的外接圆，的半径为2，则⊙O ⊙O 等边的边长为 △ABC ()A. 1B.C.D. 2323【答案】D【解析】解：作于D ，连接OB ，如图所示：OD ⊥BC 则，BD =CD =12BC 是等边三角形ABC 的外接圆，∵⊙O ，∴∠OBD =12∠ABC =30∘，∴OD =12OB =1，∴BD =3OD =3，∴BC =2BD =23即等边的边长为；△ABC 23故选：D ．作于D ，连接OB ，由垂径定理得出，由等边三角形的性质和OD ⊥BC BD =CD =12BC 已知条件得出，求出OD ，再由三角函数求出BD ，即可得出∠OBD =12∠ABC =30∘BC 的长．本题考查了等边三角形的性质、垂径定理、含角的直角三角形的性质、三角函数；30∘熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．4.如图，正六边形ABCDEF 内接于，半径为4，则这⊙O 个正六边形的边心距OM 和的长分别为 BC⏜()A. 2，π3B. ，23πC. ，32π3D. ，234π3【答案】D【解析】解：连接OB ，，∵OB =4，∴BM =2，∴OM =23，BC ⏜=60π×4180=43π故选：D ．正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM ，再利用弧长公式求解即可．本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．5.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是 ()A. B. C. D. 223223【答案】A【解析】解：如图1，，∵OC =2；∴OD =2×sin 30∘=1如图2，，∵OB =2；∴OE =2×sin 45∘=2如图3，，∵OA =2，∴OD =2×cos 30∘=3则该三角形的三边分别为：1，，，23，∵(1)2+(2)2=(3)2该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是：．∴12×1×2=22故选：A ．由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．二、填空题（本大题共1小题，共3.0分）6.已知一个正六边形的边心距为，则它的半径为______ ．3【答案】2【解析】解：如图，在中，，，Rt △AOG OG =3∠AOG =30∘ ；∴OA =OG ÷cos 30∘=3÷32=2故答案为：2．设正六边形的中心是O ，一边是AB ，过O 作与G ，在直OG ⊥AB 角中，根据三角函数即可求得OA ．△OAG 本题主要考查正多边形的计算问题，常用的思路是转化为直角三角形中边和角的计算，属于常规题．。

(2021年整理)正多边形和圆练习题及答案

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正多边形和圆练习一、课前预习 (5分钟训练)1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比（ ) A 。

扩大了一倍 B.扩大了两倍 C.扩大了四倍 D 。

没有变化2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( ）A.3∶2∶1 B 。

4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶33.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴。

4。

中心角是45°的正多边形的边数是__________。

5。

已知△ABC 的周长为20，△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D ，AD=4,那么BC=__________。

二、课中强化(10分钟训练)1。

若正n 边形的一个外角是一个内角的32时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 2。

同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（ ) A 。

26 B 。

43 C 。

36 D 。

343。

周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是( ） A.S 3>S 4〉S 6 B.S 6>S 4〉S 3 C.S 6〉S 3〉S 4 D.S 4>S 6〉S 34.已知⊙O 和⊙O 上的一点A(如图24-3—1)。

（1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)在(1）题的作图中,如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边.图24-3-1三、课后巩固（30分钟训练）1。

2020九年级数学上册 2.6 正多边形与圆课堂学习检测题一 (新版)苏科版

第二章第六节正多边形与圆1．如图，半径为2的正六边形ABCDEF 的中心为原点O ，顶点A 、D 在x 轴上，则点C 坐标为（）A 、(1,2)-B 、(1,2)-C 、(1,3)-D 、(1,3)--2．如图，正六边形ABCDEF 中，阴影部分面积为2123cm ，则此正六边形的边长为()n nA ． 2cmB ． 4cmC ． 6cmD ． 8cm3．3．以下说法：①若直角三角形的两边长为3与4，则第三次边长是5；②两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°④反比例函数y=﹣2x，当＞0时y 随x 的增大而增大，正确的有（）A ． ①② B． ②③ C． ②④ D． ③④4．如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，则下列关系式错误的是（）A ． R 2﹣r 2=a 2B ． a=2Rsin36° C． a=2rtan36° D． r=Rcos36°5．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，过点A 的切线与CB 的延长线相交于点F ，则∠F=（）A ． 18°B ． 36°C ． 54°D ． 72°6．半径为R 的圆内接正三角形的面积是（）A ．232RB ．2πRC ．2332RD ．2334R 7．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，AB=2，则图中阴影部分的面积为（）A ． πB ． 2πC ．D ． 4π8．如图，正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的边长为2，正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2的外接圆与正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的各边相切，正六边形A 3B 3C 3D 3E 3F 3的外接圆与正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2的各边相切，…按这样的规律进行下去，A 11B 11C 11D 11E 11F 11的边长为（）A ．B ．C ．D ．9．圆内接四边形ABCD 的四个内角的度数之比∠A ：∠B ：∠C ：∠D 可以是（）A ．3：2：4：1B ．1：3：4：2C ．3：3：1：4D ．4：1：2：310．如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需（）个五边形．A ．6B ．7C ．8D ．911．如图，正三角形的边长为12cm，剪去三个角后成为一个正六边形，则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为 cm．12．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．cm．A．圆内接正六边形的边心距为23，则这个正六边形的面积为__________2︒-=__________．（结果精确到0.1）B．用科学计算器计算：sin38213．13．若等边三角形的边长为4 cm，则它的外接圆的面积为．14．正六边形的边长为4cm，它的边心距等于__________cm；15．如图所示，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接六边形的面积为 _____16．如图，在⊙O中，∠D=70°，∠ACB=50°，则∠BAC= .DO CAB17．有底面为正方形的直四棱柱容器A和圆柱形容器B，容器材质相同，厚度忽略不计.如果它们的主视图是完全相同的矩形，那么将B容器盛满水，全部倒入A容器，问：结果会（“溢出”、“刚好”、“未装满”，选一个）18．正六边形的每个中心角为_________度．19．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是_____。

中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题(含答案)

中考数学复习----《正多边形与圆》知识点总结与练习题（含答案）知识点总结1.正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆。

2.正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。

②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。

③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

练习题1、（2022•长春）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB＝27厘米，则这个正六边形的周长为厘米．【分析】根据对称性和周长公式进行解答即可．【解答】解：由图象的对称性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六边形的周长为9×6＝54（厘米），故答案为：54．2、（2022•营口）如图，在正六边形ABCDEF中，连接AC，CF，则∠ACF＝度．【分析】设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角为120°，在△ABC中，根据等腰三角形两底角相等得到∠BAC＝30°，从而∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，过点B作BM⊥AC于点M，根据含30°的直角三角形的性质求出BM，根据勾股定理求出AM，进而得到AC的长，根据tan∠ACF＝＝＝即可得出∠ACF＝30°．【解答】解：设正六边形的边长为1，正六边形的每个内角＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，∵AB＝BC，∠B＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠BAF＝120°，∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，如图，过点B作BM⊥AC于点M，则AM＝CM（等腰三角形三线合一），∵∠BMA＝90°，∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝，∴AM＝＝＝，∴AC＝2AM＝，∵tan∠ACF＝＝＝，∴∠ACF＝30°，故答案为：30．3、（2022•呼和浩特）如图，从一个边长是a的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为（用含π的代数式表示）；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为．【分析】先求出正五边形的内角的度数，根据扇形面积的计算方法进行计算即可；扇形的弧长等于圆锥的底面周长，可求出底面直径．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BCD＝＝108°，∴S扇形＝＝；又∵弧BD的长为＝，即圆锥底面周长为，∴圆锥底面直径为，故答案为：；．4、（2022•绥化）如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于⊙O，且有公共顶点A，则∠BOH的度数为度．【分析】求出正六边形的中心角∠AOB和正五边形的中心角∠AOH，即可得出∠BOH的度数．【解答】解：如图，连接OA，正六边形的中心角为∠AOB＝360°÷6＝60°，正五边形的中心角为∠AOH＝360°÷5＝72°，∴∠BOH＝∠AOH﹣∠AOB＝72°﹣60°＝12°．故答案为：12．5、（2022•梧州）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大1OA的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交⊙O于点E，F．若OA 于2＝1，则BE⌒，AE，AB所围成的阴影部分面积为．【分析】连接OE、OB．由题意可知，∴△AOE为等边三角形，推出S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE ﹣S△AOB，即可求出答案．【解答】解：连接OE、OB，由题意可知，直线MN垂直平分线段OA，∴EA＝EO，∵OA＝OE，∴△AOE为等边三角形，∴∠AOE＝60°，∵四边形ABCD是⊙O的内接正四边形，∴∠AOB＝90°，∴∠BOE＝30°，∵S弓形AOE＝S扇形AOE﹣S△AOE，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S弓形AOE﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣（S扇形AOE﹣S△AOE）﹣S△AOB＝S扇形AOB﹣S扇形AOE+S△AOE﹣S△AOB＝S扇形BOE+S△AOE﹣S△AOB＝+﹣＝．故答案为：．6、（2022•宿迁）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2．若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是．【分析】设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l 将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M作MH ⊥OF于点H，连接OA，由正六边形的性质得出AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，进而得出△OAF是等边三角形，得出OA＝OF＝AF＝6，由AM＝2，得出MF＝4，由MH⊥OF，得出∠FMH＝30°，进而求出FH＝2，MH＝2，再求出OH＝4，利用勾股定理求出OM＝2，即可求出MN的长度，即可得出答案．【解答】解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，过点M、O作直线l交CD于点N，则直线l将正六边形的面积平分，直线l被正六边形所截的线段长是MN，连接OF，过点M 作MH⊥OF于点H，连接OA，∵六边形ABCDEF是正六边形，AB＝6，中心为O，∴AF＝AB＝6，∠AFO＝∠AFE＝×＝60°，MO＝ON，∵OA＝OF，∴△OAF是等边三角形，∴OA＝OF＝AF＝6，∵AM＝2，∴MF＝AF﹣AM＝6﹣2＝4，∵MH⊥OF，∴∠FMH＝90°﹣60°＝30°，∴FH＝MF＝×4＝2，MH＝＝＝2，∴OH＝OF﹣FH＝6﹣2＝4，∴OM＝＝＝2，∴NO＝OM＝2，∴MN＝NO+OM＝2+2＝4，故答案为：4．。

正多边形与圆知识点+例题+练习(非常好分类全面)

§ 2.6 正多边形与圆一、概念知识点1 正多边形及其有关概念★正多边形：________相等、________也相等的多边形叫做正多边形.注：边数3n 的多边形必须同时满足“各边相等”和“各角相等”这两个条件，才能判定它是正多边形.例1 下列说法正确的是（）A.正三角形不是正多边形B.平行四边形是正多边形C.正方形是正多边形D.各角相等的多边形是正多边形知识点2 正多边形的对称性（重点）1.正多边形都是________图形.一个正n边形共有_______条对称轴，每一条对称轴都经过正n边形的_________.2.一个正多边形，如果有偶数条边，那么它是________________图形，也是_________________图形；如果有奇数条边，那么是_______________图形.注：（1）如果一个正多边形是中心对称图形，那么它的中心就是对称中心；（2）正n边形的内角和等于________________，每一个内角都等于___________________，每一个外角都等于_________________.知识点3 正多边形的判定例2 如图，在正∆ABC中，E,F,G,H,L,K分别是各边的三等分点，试说明六边形EFGHLK是正六边形.二、经典题型题型1 根据正多边形的性质求角例1 如图，正方形ABCD是O的内接正方形，点P是弧CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC等于___________.题型2 利用正多边形的性质求图形的面积例 2 如图，正六边形内接于O，O的半径为10，则图中阴影面积_________.典例精讲：1．下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面( ) 、(1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A ．(1)(2)B ．(2)(4)C ．(1)(3)D ．(1)(4)2. 若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )A ．1:2:3B ．3:2:1C ．1:2:3D ． 3:2:13．已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O的半径为______________________．（第4题）（第5题）4．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在AD 上，则∠BEC= ．5．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是度．OB CDA EF E D C A O6．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为．7.如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则AB B A 11的值为（）A ．21 B ．22 C ．41D ．42。

(含答案)九年级数学苏科版上册课时练第2单元《2.6 正多边形与圆》(1)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练2.6正多边形与圆1．已知正六边形的边长是2，则该正六边形的边心距是（）A．1B．C．2D．2．若一个圆内接正多边形的中心角是36°，则这个多边形是（）A．正五边形B．正八边形C．正十边形D．正十八边形3．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，过点O作OM⊥边BC于点M，若⊙O的半径为4，则边心距OM的长为（）A．B．C．2D．4．边长为2的正六边形的面积为（）A．6B．6C．6D．5．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（）A．cm B．5cm C．3cm D．10cm6．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠BOQ＝．7．已知正六边形的半径是4，则这个正六边形的周长为．8．若一个正六边形的周长为24，则该六边形的面积为．9．已知⊙O的内接正六边形的边心距为，则⊙O的周长为．10．已知正六边形的半径是3，则这个正六边形的边长是．11．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．（1）求∠CPD的度数；（2）当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．12．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：P A ＝PB+PC；（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：；（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究P A、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．13．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD＝5cm，求⊙O的半径R．14．如图，点G，H分别是正六边形ABCDEF的边BC，CD上的点，且BG＝CH，AG交BH于点P．（1）求证：△ABG≌△BCH；（2）求∠APH的度数．15．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：（1）通过计算（结果保留根号与π）．（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为cm；（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为cm；（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为cm；（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．16．阅读材料：如图，△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB•r1+AC•r2＝AB•h，∴r1+r2＝h（1）理解与应用如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r 1，r2，r3，试证明：．（2）类比与推理边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于；（3）拓展与延伸若边长为2的正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离为r1，r2，…r n，请问r1+r2+…r n是否为定值（用含n的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值．17．如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧上（不与C点重合）．（1）求∠BPC的度数；（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．18．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的长度．19．如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图1中∠APN的度数是；图2中，∠APN的度数是，图3中∠APN的度数是．（2）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）．20．如图，⊙O的周长等于8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O．（1）求圆心O到AF的距离；（2）求正六边形ABCDEF的面积．21．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．22．如图，⊙O外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且AP＝1，PC＝3，求正方形ABCD 的边长和PB的长．23．中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．24．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t＝s时，四边形PBQE为菱形；②当t＝s时，四边形PBQE为矩形．25．如图，以△ABC的一边AC为直径的⊙O交AB边于点D，E是⊙O上一点，连接DE，∠E＝∠B．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠E＝45°，AC＝4，求⊙O的内接正四边形的边长．参考答案1．B．2．C．3．A．4．A．5．B．6．15°．7．24．8．24．9．4π．10．3．11．解：（1）连接OD，OC，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠DOC＝90°．∴；（2）连接PO，OB，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠COB＝90°，∵点P为BC的中点，∴＝，∴，∴n＝360÷45＝8．12．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE．∵A、B、P、C四点共圆，∴∠BAC+∠BPC＝180°，∵∠BPC+∠EPC＝180°，∴∠BAC＝∠CPE＝60°，PE＝PC，∴△PCE是等边三角形，∴CE＝PC，∠E＝60°；又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，∴∠BCE＝∠ACP，∵△ABC、△ECP为等边三角形，∴CE＝PC，AC＝BC，∴△BEC≌△APC（SAS），∴P A＝BE＝PB+PC．（2）过点B作BE⊥PB交P A于E．∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°∴∠1＝∠3，∴∠APB＝45°，∴BP＝BE，∴；又∵AB＝BC，∴△ABE≌△CBP，∴PC＝AE．∴．（3）答：；证明：过点B，作BM⊥AP，在AP上截取AQ＝PC，连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，∴△ABQ≌△CBP，∴BQ＝BP．∴MP＝QM，又∵∠APB＝30°，∴cos30°＝，∴PM＝PB，∴∴13．解：连接OB，OC，OD，∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，∴∠BOC＝×360°＝120°，∠BOD＝×360°＝30°，∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝45°，∴OC＝CD•cos45°＝5×＝5（cm）．即⊙O的半径R＝5cm．14．（1）证明：∵在正六边形ABCDEF中，AB＝BC，∠ABC＝∠C＝120°，在△ABG与△BCH中，∴△ABG≌△BCH；（2）解：由（1）知：△ABG≌△BCH，∴∠BAG＝∠HBC，∴∠BPG＝∠ABG＝120°，∴∠APH＝∠BPG＝120°．15．解：（1）（Ⅰ）连接BD，∵AD＝3×5＝15cm，AB＝5cm，∴BD＝＝cm；（Ⅱ）如图所示，∵三个正方形的边长均为5，∴A、B、C三点在以O为圆心，以OA为半径的圆上，∴OA＝＝5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为10cm；（Ⅲ）如图所示，∵CE⊥AB，AC＝BC，∴AD是过A、B、C三点的圆的直径，∵OA＝OB＝OD，∴O为圆心，∴⊙O的半径为OA，OA＝＝5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为5×2＝10cm；（2）如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG＝x，则OP＝10﹣x，则有：，解得：，（8分）则ON＝，∴直径为．16．解：（1）分别连接AP，BP，CP，作AD⊥BC于D，∴∠ADB＝90°，∵△ABC是等边三角形∴AB＝BC＝AC＝2，∠ABC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴BD＝1，在Rt△ABD中，由勾股定理，得∴AD＝∵S△ABP +S△BCP+S△ACP＝S△ABC．∴AB•r1+BC•r2+AC•r3＝BC×AD，∵BC＝AC＝AB，∴r1+r2+r3＝AD．∴r1+r2+r3＝（2）如图2，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝2．∵PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥DC，PH⊥AD，∴四边形PEBF是矩形，四边形PFCG是矩形，四边形PGDH是矩形，四边形PHAE是矩形，∴PE＝AH，PF＝BE，PG＝HD，PH＝AE，∴PE+PF+PG+PH＝AH+BE+HD+AE＝AD+AB＝4．故答案为4．（3）设正n边形的边心距为r，且正n边形的边长为2，∴S正n边形＝×2×r×n．r＝，∵S正n边形＝×2×r1+×2×r2+×2×r1+…+×2×r n，∴×2×r1+×2×r2+×2×r1+…+×2×r n＝×n，∴r1+r2+…+r n＝nr＝（为定值）．17．解：（1）连接OB，OC，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BOC＝90°，∴∠P＝∠BOC＝45°；（2）过点O作OE⊥BC于点E，∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴∠OBE＝45°，∴OE＝BE，∵OE2+BE2＝OB2，∴BE＝＝＝4∴BC＝2BE＝2×4＝8．解法二：如图，连接BD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，BC＝CD，∴∠CBD＝45°，∴BC＝BD•cos45°＝16×＝8．18．解：（1）如图1中，连接OA、OD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD＝90°，∴∠AED＝∠AOD＝45°．（2）如图2中，连接CF，CE，CA，BD，作DH⊥AE于H．∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠BDE＝∠DBF，∠BDC＝∠ABD，∴∠ABF＝∠CDE，∵∠CF A＝∠AEC＝90°，∴∠DEC＝∠AFB＝135°，∵CD＝AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF＝CE＝1，∴AC＝＝，∴AD＝AC＝，∵∠DHE＝90°，∴∠HDE＝∠HED＝45°，∴DH＝HE，设DH＝EH＝x，在Rt△ADH中，∵AD2＝AH2+DH2，∴＝（4﹣x）2+x2，解得x＝或（舍弃），∴DE＝DH＝19．解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，∴∠BAM＝∠CBN，又∵∠APN＝∠BPM，∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN+∠BAM＝∠ABN+∠CBN＝∠ABC＝60°；同理可得：在图2中，∠APN＝90°；在图3中，∠APN＝108°．（2）由（1）可知，∠APN＝所在多边形的内角度数，故在图n中，．20．解：（1）连接OC、OD，作OH⊥CD于H，∵⊙O的周长等于8πcm，∴半径OC＝4cm，∵六边形ABCDE是正六边形，∴∠COD＝60°，∴∠COH＝30°，∴圆心O到CD的距离＝4×cos30°＝2，∴圆心O到AF的距离为2cm；（2）正六边形ABCDEF的面积＝×4×2×6＝24cm2．21．（1）证明：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∵OB＝2，∴OD＝1，∴等边△ABC的边心距为1．22．解：连接AC，作AE⊥PB于E，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BCD＝90°，∠ACB＝45°，∴AC是⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形，∴∠APC＝90°，AC＝AB，∴AC＝＝＝，∴AB＝＝，∵∠APB＝∠ACB＝45°，AE⊥PB，∴△APE是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝AP＝，∴BE＝＝＝，∴PB＝PE+BE＝+＝2．23．（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝F A，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，在△ABP和△DEQ中，，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB，∴四边形PEQB为平行四边形．（2）解：连接BE、OA，则∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：则∠EAF＝∠AEF＝30°，∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：同法可知∠BFE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，∴AE＝＝6，∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6＝36；∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×矩形ABDE的面积＝6××36＝54，∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比＝．24．（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝F A，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝4﹣t，在△ABP和△DEQ中，，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB，∴四边形PEQB是平行四边形．（2）解：①当P A＝PF，QC＝QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t＝2s．②当t＝0时，∠EPF＝∠PEF＝30°，∴∠BPE＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形PBQE是矩形．当t＝4时，同法可知∠BPE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t＝0s或4s时，四边形PBQE是矩形．故答案为2s，0s或4s．25．解：（1）证明：连接CD，∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∵∠E＝∠ACD，∠E＝∠B．∴∠ACD＝∠B，∴∠ACD+∠CAD＝∠B+∠CAD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）如图，连接OD、CE，若∠E＝45°，则∠AOD＝90°，∵AC＝4，∴OA＝OD＝2，∴AD＝2．∴⊙O的内接正四边形的边长为AD的长为2．。

沪科版数学九年级下册同步测试(优选5年真题,含解析)24.6正多边形与圆

24.6 正多边形与圆一．选择题（共20小题）1．（2019•雅安）如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝2，则该圆的内接正三角形ACE的面积为（）A．2 B．4 C．6D．4 2．（2019•贵阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°3．（2019•河池）如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2，则它的边长是（）A．1 B．C．D．2 4．（2019•湖州）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（）A．60°B．70°C．72°D．144°5．（2019•成都）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（）A．30°B．36°C．60°D．72°6．（2019•衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为（）A．1 B．C．D．2 7．（2018•广元）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．72°8．（2018•德阳）已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A．2 B．1 C．D．9．（2017•莱芜）如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC 和AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG＝18°；②FG＝3﹣；③（S四边形CDEF）2＝9+2；④DF2﹣DG2＝7﹣2．其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．410．（2017•河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（）A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5 11．（2017•沈阳）正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）A．B．2 C．2D．2 12．（2017•株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形13．（2017•日照）下列说法正确的是（）A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点C．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定有实数根D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等14．（2017•达州）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．15．（2017•滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）A．B．2C．D．1 16．（2016•泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距（圆心到边的距离）为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．17．（2016•莱芜）正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为：2，则这个正多边形为（）A．正十二边形B．正六边形C．正四边形D．正三角形18．（2016•曲靖）如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（）A．2个B．4个C．6个D．8个19．（2016•南平）若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（）A．4 B．2 C．2D．4 20．（2016•南京）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1 B．C．2 D．2二．填空题（共20小题）21．（2019•陕西）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为．22．（2019•柳州）在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为．23．（2019•海南）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为度．24．（2019•南充）如图，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH，连接DH，则∠ADH＝度．25．（2019•扬州）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n＝．26．（2019•青岛）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是°．27．（2019•滨州）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．28．（2018•河北）如图1，作∠BPC平分线的反向延长线P A，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC＝90°，而＝45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．图2中的图案外轮廓周长是；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是．29．（2018•温州）小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB＝5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为cm．30．（2018•贵阳）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM ＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是度．31．（2018•陕西）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为．32．（2018•玉林）如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2＝．33．（2018•呼和浩特）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为．34．（2018•株洲）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝．35．（2017•兴安盟）如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点C、F在x轴上，顶点A的坐标为（1，），则顶点D的坐标为．36．（2017•贵阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为．37．（2017•吉林）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB＝1，则阴影部分图形的周长为（结果保留π）．38．（2017•上海）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6＝．39．（2017•玉林）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是．40．（2017•绥化）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为．三．解答题（共2小题）41．（2019•镇江）在三角形纸片ABC（如图1）中，∠BAC＝78°，AC＝10．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．（1）∠ABC＝°；（2）求正五边形GHMNC的边GC的长．参考值：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7．42．（2018•无锡）如图，已知五边形ABCDE是正五边形，连结AC、AD．证明：∠ACD＝∠ADC．24.6 正多边形与圆参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2019•雅安）如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝2，则该圆的内接正三角形ACE的面积为（）A．2 B．4 C．6D．4解：如图所示，连接OC、OB，过O作ON⊥CE于N，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠COB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴∠OCM＝60°，∴OM＝OC•sin∠OCM，∴OC＝＝．∵∠OCN＝30°，∴ON＝OC＝，CN＝2，∴CE＝2CN＝4，∴该圆的内接正三角形ACE的面积＝3×＝4，故选D．2．（2019•贵阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，故选A．3．（2019•河池）如图，在正六边形ABCDEF中，AC＝2，则它的边长是（）A．1 B．C．D．2解：如图，过点B作BG⊥AC于点G．正六边形ABCDEF中，每个内角为（6﹣2）×180°÷6＝120°，∴∠ABC＝120°，∠BAC＝∠BCA＝30°，∴AG＝AC＝，∴GB＝1，AB＝2，即边长为2．故选D．4．（2019•湖州）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连结BD，则∠ABD的度数是（）A．60°B．70°C．72°D．144°解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠ABC＝∠C＝＝108°，∵CD＝CB，∴∠CBD＝＝36°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，故选C．5．（2019•成都）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（）A．30°B．36°C．60°D．72°解：如图，连接OC，OD．∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故选B．6．（2019•衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为（）A．1 B．C．D．2解：边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，所以原来的纸带宽度＝×2＝．故选C．7．（2018•广元）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．72°解：如图，连接OC，OD．∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，故选B．8．（2018•德阳）已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A．2 B．1 C．D．解：如图（1），O为△ABC的中心，AD为△ABC的边BC上的高，则OD为边心距，∴∠BAD＝30°，又∵AO＝BO，∴∠ABO＝∠BAD＝30°，∴∠OBD＝60°﹣30°＝30°，在Rt△OBD中，BO＝2DO，即AO＝2DO，∴OD：OA：AD＝1：2：3．在正△ABC中，AD是高，设BD＝x，则AD＝BD•tan60°＝BD＝x．∵正三角形ABC面积为cm2，∴BC•AD＝，∴×2x•x＝，∴x＝1．即BD＝1，则AD＝，∵OD：OA：AD＝1：2：3，∴AO＝cm．即这个圆的半径为cm．所以该圆的内接正六边形的边心距×sin60°＝，故选B．9．（2017•莱芜）如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC 和AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG＝18°；②FG＝3﹣；③（S四边形CDEF）2＝9+2；④DF2﹣DG2＝7﹣2．其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①∵五方形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣＝108°，∴∠BAC＝∠ACB＝36°，∴∠ACD＝108°﹣36°＝72°，同理得∠ADE＝36°，∵∠BAE＝108°，AB＝AE，∴∠ABE＝36°，∴∠CBF＝108°﹣36°＝72°，∴BC＝FC，∵BC＝CD，∴CD＝CF，∴∠CDF＝∠CFD＝＝54°，∴∠FDG＝∠CDE﹣∠CDF﹣∠ADE＝108°﹣54°﹣36°＝18°；所以①正确；②∵∠ABE＝∠ACB＝36°，∠BAC＝∠BAF，∴△ABF∽△ACB，∴，∵BC＝ED，BF＝EG，∴，∴AB•ED＝AC•EG，∵AB＝ED＝2，AC＝BE＝BG+EF﹣FG＝2AB﹣FG＝4﹣FG，EG＝BG﹣FG＝2﹣FG，∴22＝（2﹣FG）（4﹣FG），∴FG＝3+＞2（舍），FG＝3﹣；所以②正确；③如图1，∵∠EBC＝72°，∠BCD＝108°，∴∠EBC+∠BCD＝180°，∴EF∥CD，∵EF＝CD＝2，∴四边形CDEF是平行四边形，过D作DM⊥EG于M，∵DG＝DE，∴EM＝MG＝EG＝（EF﹣FG）＝（2﹣3+）＝，由勾股定理得DM＝＝＝，∴（S四边形CDEF）2＝EF2•DM2＝4×＝10+2；所以③不正确；④如图2，连接EC，∵EF＝ED，∴▱CDEF是菱形，∴FD⊥EC，∵EC＝BE＝4﹣FG＝4﹣（3﹣）＝1+，∴S四边形CDEF＝FD•EC＝2×，×FD×（1+）＝，FD2＝10﹣2，∴DF2﹣DG2＝10﹣2﹣4＝6﹣2，所以④不正确；本题正确的有两个，故选B．10．（2017•河北）已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…在这样连续6次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（）A．1.4 B．1.1 C．0.8 D．0.5解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1，故选C．11．（2017•沈阳）正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（）A．B．2 C．2D．2解：连接OB，OC，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC，∵正六边形的周长是12，∴BC＝2，∴⊙O的半径是2，故选B．12．（2017•株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3＝120°，正方形一条边所对的圆心角是360°÷4＝90°，正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5＝72°，正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6＝60°，∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形，故选A．13．（2017•日照）下列说法正确的是（）A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点C．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定有实数根D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等解：如图∠AOB＝＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA，∴圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等，A正确；在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示不同一点，B错误；一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）不一定有实数根，C错误；根据旋转变换的性质可知，将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC 与△ADE全等，D错误；故选A．14．（2017•达州）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．解：如图1，∵OC＝2，∴OD＝2×sin30°＝1；如图2，∵OB＝2，∴OE＝2×sin45°＝；如图3，∵OA＝2，∴OD＝2×cos30°＝，则该三角形的三边分别为1，，，∵（1）2+（）2＝（）2，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是×1×＝．故选A．15．（2017•滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（）A．B．2C．D．1解：如图所示，连接OA、OE，∵AB是小圆的切线，∴OE⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝OE，∴△AOE是等腰直角三角形，∴OE＝OA＝．故选A．16．（2016•泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距（圆心到边的距离）为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．解：如图1，∵OC＝1，∴OD＝1×sin30°＝；如图2，∵OB＝1，∴OE＝1×sin45°＝；如图3，∵OA＝1，∴OD＝1×cos30°＝，则该三角形的三边分别为，，，∵（）2+（）2＝（）2，∴该三角形是直角三角形，∴该三角形的面积是××＝，故选D．17．（2016•莱芜）正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为：2，则这个正多边形为（）A．正十二边形B．正六边形C．正四边形D．正三角形解：正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为：2，则半径之比为：2，设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，则OC＝，OA＝OB＝2，在直角△AOC中，cos∠AOC＝＝，∴∠AOC＝30°，∴∠AOB＝60°，则正多边形边数是＝6．故选B．18．（2016•曲靖）如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（）A．2个B．4个C．6个D．8个解：如图，∵AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，∴OA＝OE＝AF＝EF，∴四边形AOEF是平行四边形，同理：四边形DEFO，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形F ABOD都是平行四边形，共6个，故选C．19．（2016•南平）若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（）A．4 B．2 C．2D．4解：正六边形的中心角为360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的外接圆半径等于4，则正六边形的边长是4．故选A．20．（2016•南京）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A．1 B．C．2 D．2解：如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝AB＝2，∴OG＝OA•sin60°＝2×＝，∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为．故选B．二．填空题（共20小题）21．（2019•陕西）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为6．解：如图所示为正六边形最长的三条对角线，由正六边形性质可知，△AOB，△COD为两个边长相等的等边三角形，∴AD＝2AB＝6，故答案为6．22．（2019•柳州）在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为5．解：如图所示，连接OB、OC，过O作OE⊥BC，设此正方形的边长为a，∵OE⊥BC，∴OE＝BE＝，即a＝5．故答案为5．23．（2019•海南）如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小为144度．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝＝108°．∵AB、DE与⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，故答案为144．24．（2019•南充）如图，以正方形ABCD的AB边向外作正六边形ABEFGH，连接DH，则∠ADH＝15度．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，在正六边形ABEFGH中，∵AB＝AH，∠BAH＝120°，∴AH＝AD，∠HAD＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴∠ADH＝∠AHD＝（180°﹣150°）＝15°，故答案为15．25．（2019•扬州）如图，AC是⊙O的内接正六边形的一边，点B在上，且BC是⊙O的内接正十边形的一边，若AB是⊙O的内接正n边形的一边，则n＝15．解：连接BO，∵AC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠AOC＝360°÷6＝60°，∵BC是⊙O内接正十边形的一边，∴∠BOC＝360°÷10＝36°，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝60°﹣36°＝24°，∴n＝360°÷24°＝15；故答案为15．26．（2019•青岛）如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是54°．解：∵AF是⊙O的直径，∴＝，∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴＝，∠BAE＝108°，∴＝，∴∠BAF＝∠BAE＝54°，∴∠BDF＝∠BAF＝54°，故答案为54．27．（2019•滨州）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．解：如图，连接OA、OB，作OG⊥AB于G；则OG＝2，∵六边形ABCDEF正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB＝60°，∴OA＝＝＝，∴正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为．故答案为．28．（2018•河北）如图1，作∠BPC平分线的反向延长线P A，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC＝90°，而＝45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．图2中的图案外轮廓周长是14；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是21．解：图2中的图案外轮廓周长是8﹣2+2+8﹣2＝14；设∠BPC＝2x，∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为＝，以∠APB为内角的正多边形的边数为，∴图案外轮廓周长是＝﹣2+﹣2+﹣2＝+﹣6，根据题意可知：2x的值只能为60°，90°，120°，144°，当x越小时，周长越大，∴当x＝30时，周长最大，此时图案定为会标，则会标的外轮廓周长是＝+﹣6＝21，故答案为14，21．29．（2018•温州）小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2所示的图形．图2中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六边形，若PQ所在的直线经过点M，PB＝5cm，小正六边形的面积为cm2，则该圆的半径为8cm．解：设两个正六边形的中心为O，连接OP，OB，过O作OG⊥PM，OH⊥AB，由题意得∠MNP＝∠NMP＝∠MPN＝60°，∵小正六边形的面积为cm2，∴小正六边形的边长为cm，即PM＝7cm，∴S△MPN＝cm2，∵OG⊥PM，且O为正六边形的中心，∴PG＝PM＝cm，OG＝PM＝，在Rt△OPG中，根据勾股定理得OP＝＝7cm，设OB＝xcm，∵OH⊥AB，且O为正六边形的中心，∴BH＝x，OH＝x，∴PH＝（5﹣x）cm，在Rt△PHO中，根据勾股定理得OP2＝（x）2+（5﹣x）2＝49，解得x＝8（负值舍去），则该圆的半径为8cm．故答案为830．（2018•贵阳）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的两边AB、BC上的点．且AM ＝BN，点O是正五边形的中心，则∠MON的度数是72度．解：连接OA、OB、OC，∠AOB＝＝72°，∵∠AOB＝∠BOC，OA＝OB，OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBC，在△AOM和△BON中，∴△AOM≌△BON，∴∠BON＝∠AOM，∴∠MON＝∠AOB＝72°，故答案为72．31．（2018•陕西）如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为72°．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB＝∠ABC＝＝108°，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，同理∠ABE＝36°，∴∠AFE＝∠ABF+∠BAF＝36°+36°＝72°，故答案为72°．32．（2018•玉林）如图，正六边形ABCDEF的边长是6+4，点O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2＝12+4．解：过A作AM⊥BF于M，连接O1F、O1A、O1B，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠A＝＝120°，AF＝AB，∴∠AFB＝∠ABF＝（180°﹣120°）＝30°，∴△AFB边BF上的高AM＝AF＝（6+4）＝3+2，FM＝BM＝AM＝3+6，∴BF＝3+6+3+6＝12+6，设△AFB的内切圆的半径为r，∵S △AFB＝++，∴×（12+6）×（3+2）＝×r+×r+×（12+6）×r，解得r＝3，即O1M＝r＝3，∴O1O2＝2×3+6+4＝12+4，故答案为12+4．33．（2018•呼和浩特）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为：1．解：设⊙O的半径为R，⊙O的内接正方形ABCD，如图，过O作OQ⊥BC于Q，连接OB、OC，即OQ为正方形ABCD的边心距，∵四边形BACD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴O为正方形ABCD的中心，∴∠BOC＝90°，∵OQ⊥BC，OB＝CO，∴QC＝BQ，∠COQ＝∠BOQ＝45°，∴OQ＝OC×cos45°＝R；设⊙O的内接正△EFG，如图，过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH为正△EFG的边心距，∵正△EFG是⊙O的外接圆，∴∠OGF＝∠EGF＝30°，∴OH＝OG×sin30°＝R，∴OQ：OH＝（R）：（R）＝：1，故答案为：1．34．（2018•株洲）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝48°．解：连接OA，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝＝72°，∵△AMN是正三角形，∴∠AOM＝＝120°，∴∠BOM＝∠AOM﹣∠AOB＝48°，故答案为48°．35．（2017•兴安盟）如图，以正六边形ABCDEF的中心为坐标原点建立平面直角坐标系，顶点C、F在x轴上，顶点A的坐标为（1，），则顶点D的坐标为（﹣1，﹣）．解：根据图形得D（﹣1，﹣），故答案为（﹣1，﹣）36．（2017•贵阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为3．解：连接OB，∵六边形ABCDEF是⊙O内接正六边形，∴∠BOM＝＝30°，∴OM＝OB•cos∠BOM＝6×＝3；故答案为3．37．（2017•吉林）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB＝1，则阴影部分图形的周长为π+1（结果保留π）．解：∵五边形ABCDE为正五边形，AB＝1，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA＝1，∠A＝∠D＝108°，∴＝＝•πAB＝π，∴C阴影＝++BC＝π+1．故答案为π+1．38．（2017•上海）我们规定：一个正n边形（n为整数，n≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”，记为λn，那么λ6＝．解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．易知BE是正六边形最长的对角线，EC是正六边形的最短的对角线，∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝∠BOC＝60°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∵∠BOC＝∠OEC+∠OCE，∴∠OEC＝∠OCE＝30°，∴∠BCE＝90°，∴△BEC是直角三角形，∴＝cos30°＝，∴λ6＝，故答案为．39．（2017•玉林）如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是8+8．解：由题意可得，AD＝2+×2＝2+2，∴四边形ABCD的周长是4×（2+2）＝8+8，故答案为8+8．40．（2017•绥化）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为1：：．解：由题意可得，正三角形的边心距是2×sin30°＝2×＝1，正四边形的边心距是2×sin45°＝2×，正六边形的边心距是2×sin60°＝2×，∴半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为1：：，故答案为1：：．三．解答题（共2小题）41．（2019•镇江）在三角形纸片ABC（如图1）中，∠BAC＝78°，AC＝10．小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形（如图2）．（1）∠ABC＝30°；（2）求正五边形GHMNC的边GC的长．参考值：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.7．解：（1）∵五边形ABDEF是正五边形，∴∠BAF＝＝108°，∴∠ABC＝∠BAF﹣∠BAC＝30°，故答案为30；（2）作CQ⊥AB于Q，在Rt△AQC中，sin∠QAC＝，∴QC＝AC•sin∠QAC≈10×0.98＝9.8，在Rt△BQC中，∠ABC＝30°，∴BC＝2QC＝19.6，∴GC＝BC﹣BG＝9.6．42．（2018•无锡）如图，已知五边形ABCDE是正五边形，连结AC、AD．证明：∠ACD＝∠ADC．证明：∵正五边形ABCDE中，∴AB＝AE＝BC＝ED，∠B＝∠E，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC．。

正多边形与圆(八大题型)( 原卷版)

为（）
A．1B．2C． D．
解题技巧提炼
主要考查了正多边形和圆，正六边形的性质、正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，正确掌握它们的性质是解决问题的关键．
【变式3-1】（2022•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（）
A． B． C．3D．2
正多边形.
◆2等于的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，得到圆的n个等分点；
（2）顺次连接各等分点.
【例题1】下列命题正确的是（）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．正多边形一定是中心对称图形
C．各角相等的圆内接多边形是正多边形
D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径
半径
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
边心距
内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
中心角
正多边形每一条边对应所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
◆2、正多边形的判定：
一个多边形必须同时满足各边相等，各角也相等才能判定其是正多边形，两个条件缺一不可，如菱形的各边相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各边不一定相等，因此它们不是正多边形.
解题技巧提炼
根据正多边形的相关概念进行判断即可，正n边形（n≥3，n为整数）都是轴对称图形，都有n条对称轴，且这些对称轴都交于一点，当n为偶数时，正n边形为中心对称图形.
【变式1-1】下列说法中，错误的是（）
A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心
B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径
C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距
（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》

苏科版九年级数学上册 2.6：正多边形和圆同步练习

2.6正多边形与圆一、基础训练1．一个正十边形，绕它的中心至少度，才能与原正十边形重合． 2．一个正多边形的内角和是12600，那么它是边形．3．如果正多边形的一个外角是400，那么它的内角和是． 4．正六边形的两条平行的边相距6cm,则它的边长是 cm ．二、典型例题例1．已知圆的内接正六边形的面积是．分析：首先求出以正六边形的中心为顶点，一边为底边的一个等腰三角形的面积，然后求出该圆的半径．例2．如图，有一个圆O 和两个正六边形1T ，2T ．1T 的6个顶点都在圆周上，2T 的6条边都和圆O 相切（我们称1T ，2T 分别为圆O 的内接正六边形和外切正六边形）．（1）设1T ，2T 的边长分别为a ，b ，圆O 的半径为r ，求a r :及b r :（2）求正六边形1T ，2T 的面积比21:S S 的值．分析：连结圆心和正六边形的顶点，可得等边三角形．利用等边三角形边与边的关系解决问题．三．拓展提升：（1）如图1，把等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个六角星，则这个六角星的边数是．（2）如图2，在5×5的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正方形，并去掉居中的那条线段．请你把得到的图形画在图3中，并写出这个图形的边数．（3）现有一个正五边形，把正五边形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正五边形，并去掉居中的那条线段，得到的图形的边数是多少？分析：图1所得六角星是在原来三角形基础上，多出3×3条边，图2在原来正方形基础上多出4×4条边，图3在原来五边形基础上多出5×5条边，所以所得图形为30条边．四、课后作业1．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为．（图1）（图2）（图3）2．已知圆的半径为6cm，则它的内接正三角形的边长是，内接正方形的边长是，内接正六边形的边长是．3．已知正六边形的边长为6，则正六边形的面积为．4．若正四边形的外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，则rR的值等于．5．正六边形的内切圆的半径为r，求这个正六边形的面积．6．已知:如图，正方形ABCD的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积．7．已知：如图，正方形ABCD内接于⊙O，E、F分别为DA、DC的中点，过E、F作弦MN，若⊙O的半径为12．（1）求弦MN的长；（2）连结OM、ON，求圆心角∠MON的度数．一．基础训练1．360，2．9 3．126004．C A二．典型例题例1． 32，即该圆的半径为2．例2．1）连接圆心O 和T 1的6个顶点可得6个全等的正三角形．所以r ∶a=1∶1;连接圆心O 和T 2相邻的两个顶点，得以圆O 半径为高的正三角形，所以r ∶b=3∶2;（2） T 1∶T 2的边长比是3∶2，所以S 1∶S 2=4:3):(2=b a ．三．拓展提升（1）12．（2）这个图形的边数是20．（3）得到的图形的边数是30 四．课后作业1．2 2．3 62 6 3．3 4．225．223r 6．边长为424 面积为32232 7．123MN = 0120MON ∠=。

(2021年整理)正多边形和圆练习题

正多边形和圆练习题编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（正多边形和圆练习题）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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正多边形和圆练习题1、如图,点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角,借助点O(使该角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是（)A． 4 B． 5 C． 6 D． 72、下面给出五个命题（1）正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形(3)各角相等的圆内接多边形是正多边形（4）正多边形既是轴对�。

图形又是中心对称图形（5）正n边形的中心角，且与每一个外角相等其中真命题有（)A．2个B．3个C．4个D．5个3、正五边形ABCDE中，已知△ABC面积为1，则这正五边形面积是（）A．B．C．D．4、如果一个正三角形与一个正六边形的面积相等，那么它们的周长之比是( ）A．1:2B．:2C．:2D．：35、正n边形的一个外角为60°，外接圆半径为4，则它的边长为( ）A．4B．2C．4D．26、如图,在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论正确的是( ）①弦AB的长等于圆内接正六边形的边长;②弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长；③弧AC=弧BC；④∠BAC=30°．A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③7、以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长为三边作三角形，则( ）A．这个三角形是等腰三角形B．这个三角形是直角三角形C．这个三角形是锐角三角形D．不能构成三角形8、如图，一正方形同时外切和内接于两个同心圆，当小圆的半径为r时，大圆的半径为( ）A．rB．1.5rC．rD．2r9、下列命题中的真命题是（）A．三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为2:1B．正六边形的边长等于其外接圆的半径C．圆外切正方形的边长等于其边A心距的倍D．各边相等的圆外切多边形是正方形10、圆的内接正四边形的边长与半径的比为（）A．2：1B．:lC．：lD．3：111、如图,⊙O的内接多边形周长为3，⊙O的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）A．B．C．D．12、一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周。

苏科版九年级数学上册2-6《正多边形与圆》同步能力提升训练【含答案】

苏科版九年级数学上册2.6《正多边形与圆》同步能力提升训练1．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，点P在⊙O上（P不与A，B重合），则∠APB的度数为（）A．30°或150°B．60°或120°C．30°D．60°2．如图，点O为正六边形的中心，P、Q分别从点A（﹣1，0）同时出发，沿正六边形按图示方向运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，则第2021次相遇地点的坐标为（）A．B．（1，0）C．D．（﹣1，0）3．如图，正方形ABCD内接于⊙O．点E为上一点，连接BE、CE，若∠CBE＝15°，BE＝3，则BC的长为（）A．B．C．D．4．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为1，分别以其对角线AD、CE为边作正方形，则两个阴影部分的面积差a﹣b的值为（）A．0B．2C．1D．5．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，BE，BD，AC与BE，BD分别交于点F，G，若AB ＝2，则FG的长为（）A．3﹣B．﹣1C．D．2﹣36．已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距为（）A．2B．1C．D．7．已知⊙O的半径是2，一个正方形内接于⊙O，则这个正方形的边长是（）A．2B．2C．D．48．如图，AB，BC和AC分别为⊙O内接正方形，正六边形和正n边形的一边，则n是（）A．六B．八C．十D．十二9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，过点O作OM⊥边BC于点M，若⊙O的半径为4，则边心距OM的长为（）A．B．C．2D．10．如图边长为2+的正方形，剪去四个角成为一个正八边形，则这个正八边形边长为（）A．0.5B．C．1D．11．半径为3的正六边形的周长为（）A．18B．C．D．12．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．8B．10C．12D．1513．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA、OE分别交于点F、G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝2，则⊙O的半径为（）A．2B．C．2D．214．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP+BP的值最小时，BP与HG的夹角（锐角）度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°15．正方形外接圆的半径为4，则其内切圆的半径为（）A．2B．C．1D．16．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，以C为圆心，CB为半径画弧交AD于点F，连接CF，则∠CFD＝°．17．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，若AC＝4，则点O到AC距离为．18．如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝20mm，则边长a＝mm．19．如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和矩形ABFG，则∠EAG＝．20．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD＝5cm，求⊙O的半径R．21．在图中，试分别按要求画出圆O的内接正多边形．22．【阅读理解】[阅读与思考]如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC ＝；如图②，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD ＝；如图③，在正五边形ABCDE中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝；[理解与运用]在正六边形ABCDEF中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝FM，∠NOF＝；在正十边形ABCDEFGHIJ中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝JM，∠NOJ ＝；[归纳与总结]根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…A n中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N 是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与A n M相交于O．也会有类似的结论，你的结论是．答案1．解：连接OA，OB，如图所示：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝＝60°，当点P不在上时，∠APB＝∠AOB＝30°，当点P在上时，∠APB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣30°＝150°，故选：A．2．解：连接OB，如图所示：∵A（1，0），O为正六边形的中心，∴OA＝1，∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝1，过B作BG⊥OA于点G，则AG＝OA＝，BG＝AG＝，∴B，∴C，E（，﹣），∵正六边形的边长＝1，∴正六边形的周长＝6，∵点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，∴第1次相遇需要的时间为：6÷（1+2）＝2（秒），此时点P的路程为1×2＝2，点的Q路程为2×2＝4，此时P，Q相遇地点的坐标在点C，以此类推：第二次相遇地点在点E（，﹣），第三次相遇地点在点A（﹣1，0），…如此下去，∵2021÷3＝673…2，∴第2021次相遇地点在点E，E的坐标为（，﹣），故选：C．3．解：连接OA，OB，OE，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴OA＝OB＝OE，∠AOB＝＝90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝45°，∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°，∵∠CBE＝15°，∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°，∴△OBE是等边三角形，∴OB＝BE＝3，∴OA＝3，∴AB＝＝3，∴BC＝3，故选：D．4．解：∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴AD＝2，EC＝，∴AD为边的正方形的面积为4，EC为边的正方形的面积为3，∴两个阴影部分的面积差a﹣b＝4﹣3＝1，故选：C．5．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAF＝∠ABF＝∠DBE＝36°，∴F A＝FB，∴∠ABG＝∠AGB＝∠BFG＝72°，∴AB＝AG＝2，BG＝BF，设AF＝BF＝BG＝x，∵∠BGF＝∠AGB，∠GBF＝∠GAB，∴△BGF∽△AGB，∴BG2＝GF•GA，∴x2＝（2﹣x）×2，∴x2+2x﹣4＝0，∴x＝﹣1+或﹣1﹣（舍弃），∴FG＝AG﹣AF＝2﹣（﹣1+）＝3﹣，故选：A．6．解：连接OA，作OM⊥AB，得到∠AOM＝30°，AB＝2，则AM＝1，因而OM＝，∴正六边形的边心距是．故选：C．7．解：如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，AB＝BC，∴AC是⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝4，AB＝BC＝AC＝2，故选：A．8．解：连接OA，OB，OC．由题意，∠AOB＝＝90°，∠BOC＝＝60°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝30°，∴n＝＝12，故选：D．9．解：如图，连接OB、OC．∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°，OB＝OC＝4，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC＝4，∵OM⊥BC，∴BM＝CM＝2，在Rt△OBM中，OM＝＝＝2，故选：A．10．解：设正八边形的边长为x，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为x，∵正方形的边长为2+，∴x+x+x＝2+，解得x＝＝，∴正八边形的边长为，故选：D．11．解：∵正六边形的半径等于边长，∴正六边形的边长a＝3，正六边形的周长l＝6a＝18，故选：A．12．解：连接OA、OD、OF，如图，∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，∴∠AOD＝＝90°，∠AOF＝＝120°，∴∠DOF＝∠AOF﹣∠AOD＝30°，∴n＝＝12，即DF恰好是同圆内接一个正十二边形的一边．故选：C．13．解：如图，连接OM，∵正六边形OABCDE，∴∠FOG＝120°，∵点M为劣弧FG的中点，∴∠FOM＝60°，OM＝OF，∴△OFM是等边三角形，∴OM＝OF＝FM＝2．则⊙O的半径为2．故选：C．14．解：如图，连接PF，BF，BF交GH于点P′，连接AP′．∵正六边形ABCDEF中，G，H分别是AF和CD的中点，∴GH是正六边形的对称轴，∴P A＝PF，∴P A+PB＝PB+PF，∵PB+PF≥BF，∴当点P与点P′重合时，P A+PB的值最小，∵∠BAF＝120°，AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB＝30°，∵∠FGP′＝90°，∴∠FP′G＝60°，故选：C．15．解：如图所示，连接OA、OE，∵AB是小圆的切线，∴OE⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OAE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，AE＝OE，∴OE＝OA＝×4＝2，故选：A．16．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠CDE＝∠E＝＝108°，AE＝DE，∴∠EDA＝∠EAD＝（180°﹣∠E）＝54°，∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDA＝108°﹣36°＝72°，∵CF＝CD，∴∠CFD＝∠CDF＝72°，故72．17．解：连接OB交AC于M，∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，∴∠AOB＝∠BOC＝＝45°，AB＝BC，∴＝，∠AOC＝90°，∴AM＝CM＝AC＝2，OM⊥AC，∵OA＝OC，∠OAM＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝45°，∴∠OAM＝∠AOB，∴AM＝OM，在Rt△AOC中，∵OA＝OC，OA2+OC2＝AC2，∴2OA2＝AC2＝42＝16，∴OA＝2，在Rt△AOM中，∵OM2+AM2＝OA2，∴2OM2＝（2）2，∴OM＝2，∴点O到AC距离为2，故2．18．解：如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H．∵∠COD＝＝60°，OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴∠COH＝90°﹣60°＝30°，∵OH⊥CD，∴CH＝DH＝CD，OH＝b＝10（mm），∴CH＝（mm），∴a＝2CH＝（mm），故．19．解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB＝108°，∵四边形ABFG是矩形，∴∠BAG＝90°，∴∠EAG＝∠EAB﹣∠GAB＝108°﹣90°＝18°，故18°．20．解：连接OB，OC，OD，∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，∴∠BOC＝×360°＝120°，∠BOD＝×360°＝30°，∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝45°，∴OC＝5（cm）．即⊙O的半径R＝5cm．21．解：如图所示：22．解：[阅读与思考]∵在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，∴∠B＝∠CAM，AB＝AC，∵在△ABN和△CAM中，∴△ABN≌△CAM（SAS），∴AN＝CM，∠BAN＝∠MCA，∴∠NOC＝∠OAC+∠MCA＝∠OAC+∠BAN＝∠BAC＝60°，故60°；∵在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AN＝DM，∴AD＝AB，在△ABN和△DAM中，，∴△ABN≌△DAM（SAS），∴∠AMD＝∠ANB，∠ADM＝∠BAN，∴∠DON＝∠DAN+∠ADM＝90°，90°；∵在正五边形ABCDE中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∴AB＝AE，∠EAM＝∠ABN，∵在△AEM和△BAN中，，∴△ABN≌△EAM（SAS），∴AN＝EM，∠AEM＝∠BAN，∴∠EON＝∠AEM+∠EAO＝108°，故108°；[理解与运用]∵正三角形的内角度数为：60°，正方形的内角度数为：90°，正五边形的内角度数为：108°，所以同理可得：在正六边形ABCDEF中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝FM，∠NOF＝120°；故120°；同理可得：在正十边形ABCDEFGHIJ中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝JM，∠NOJ ＝144°；故144°；[归纳与总结]根据以上所求的角恰好等于正n边形的内角，所以所求的角恰好等于正n边形的内角．故以上所求的角恰好等于正n边形的内角。

新苏科版九年级上册初中数学2-6 正多边形与圆课时练(课后作业设计)

第二章对称图形——圆2.6 正多边形与圆（1）一、选择题1．已知一个圆的半径为5 cm，则它的内接正六边形的边长为（）A．4 cm B．5 cm C．5.5 cm D．6 cm2．已知△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形．若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为（）A．7 B．8 C．9 D．103．如果正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）A．2 B．3 C． D．4．如图，要拧开一个边长为a=6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）A．mm B．12 mm C．mm D．mm5．已知⊙O的内接多边形的周长为3，⊙O的外切多边形的周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）A． B． C． D．6．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定边AB如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（）A．4个 B．6个 C．8个 D．10个7．如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD，AC与EB分别交于点M，N，则下列说法错误的是（）A．四边形ED是菱形 B．四边形MNCD是梯形C．△AEM与△CBN均为等腰三角形 D．△EAN≌△EDM8．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ=（）A．60° B．65° C．72° D．75°二、填空题9．将一块正五边形纸片（如图①）做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，如图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图1中的四边形ABCD，则∠BAD的度数是．⌒上不同于点C的10．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，P是CD任意一点，则∠BPC的度数是．11．已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是．12.如图，等边三角形ABC的边长为a，则其内切圆的内接正方形DEFG的面积为．13．如图是7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是．三、解答题14．如图，在正五边形ABCDE中，点F、G分别是BC、CD的中点，AF与BG相交于H．（1）求证：△ABF≌△BCG；（2）求∠AHG的度数．15．如图，在正八边形ABCDEFGH中，四边形BCFG的面积为20cm2，求正八边形的面积．参考答案一、1.B 2.C 3.D 4.C 5.C 6.D 7.D 8.D二、9.72° 10.45° 11. 12. 13.23三、14．（1）证明略；（2）108°15．40 cm22.6 正多边形与圆（2）一、选择题1．如果一个正多边形绕它的中心旋转36°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（）A．是轴对称图形，但不是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形2．画五角星，通常把圆五等分，然后连接五个等分点（如图所示），则五角星的每一个内角的度数为（）A．30° B．35° C．36° D．37°第2题第4题3．用一张圆形的纸剪一个边长为4 cm 的正方形，则这个圆形纸片的半径最小应为（）A．2 cm B．4 cm C．cm D．cm4．如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的，则⊙O与半圆P的半径的比为（）A．5﹕3 B．4﹕1 C．3﹕1 D．2﹕15．已知⊙O 为正三角形ABC 的内切圆，D 为切点，四边形EFGD 是⊙O 的内接正方形，EF=2，则正三角形的边长为（）A ．4B ．C ．23D ．226．半径相等的圆内接正三角形、正方形和正六边形的边长之比为（）A ．3：2：1B ．1：：C ．3：2：1 D ．6：4：37．如果正八边形与正方形的外接圆的半径均为2 cm ，那么这个正八边形的面积比正方形的面积多（）A ．（）cm 2 B ．（）cm 2 C ．（）cm 2 D ．（）cm 28．小敏在作⊙O 的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：①作⊙O 的两条互相垂直的直径，再作OA 的垂直平分线交OA 于点M ，如图1所示；②以点M 为圆心，BM 长为半径作圆弧，交CA 于点D ，连结BD ，如图2所示．若⊙O 的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD 的等式是（）•A．BD2=OD B．BD2=ODC．BD2=OD D．BD2=OD二、填空题9．正八边形有条对称轴，它不仅是对称图形，还是对称图形．10．已知正n边形的每条对角线的长都相等，那么n的值为．11．如图是对称中心为点O的正六边形．如果用一个含30°角的直角三角板的角，借助点O（使角的顶点落在点O处），把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能的值是．三、解答题12．如图，已知正三角形ABC．求作：正三角形ABC的外接圆和内切圆（要求：保留作图痕迹，不写作法）13．已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，若有一圆过A、D、E三点，求该圆的半径．14．在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法：①如图，作直径AD；②作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；③连接AB、AC、BC，那么△ABC为所求的三角形．请你判断两位同学的作法是否正确？如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是正三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由．参考答案一、1. C 2.C 3.D 4.D 5.C 6.C 7.A 8.C二、9．8 轴中心 10．4和5 11． 2，3，4，6，12三、12．画图略13．214．作法正确，画图略，证明略。

27.6 正多边形与圆(作业)(解析版)

27.6 正多边形与圆（作业）一、单选题1．（2019·上海江湾初级中学九年级三模）⊙O 是一个正n 边形的外接圆，若⊙O 的半径与这个正n 边形的边长相等，则n 的值为（）A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】根据题意可以求出这个正n 边形的中心角是60°，即可求出边数.【详解】⊙O 是一个正n 边形的外接圆，若⊙O 的半径与这个正n 边形的边长相等，则这个正n 边形的中心角是60°，360606¸°=on 的值为6，故选C【点睛】考查正多边形和圆，求出这个正多边形的中心角度数是解题的关键.2．（2020·上海）如果正十边形的边长为a ，那么它的半径是（）A ．sin 36a°B ．cos36a°C ．2sin18a°D ．2cos18a°【答案】C【分析】如图，画出图形，在直角三角形OAM 中，直接利用三角函数即可得到OA.【详解】如图，正十边形的中心角∠AOB=360°÷10=36°，AB=a∴∠AOM=∠BOM=18°，AM=MB=12a ；∴OA=AM sin OAM Ð=218a sin °故选C.【点睛】本题考查三角函数，能够画出图形，找到正确的三角函数关系是解题关键.3．（2020·上海九年级二模）如果一个正多边形的中心角等于72°，那么这个多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°【答案】B【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算可求出这个多边形的边数，然后根据多边形的内角和公式（n-2）×180°可得出结果．【详解】解：根据题意可得，这个多边形的边数为：360÷72=5，∴这个多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．故选：B．【点睛】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算以及多边形的内角和公式，掌握正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等是解题的关键．4．（2019·上海市嘉定区丰庄中学九年级二模）（）D．A．2B．4C．【答案】A【分析】设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OG⊥AB与G，在直角△OAG中，根据三角函数即可求得OA．【详解】如图，AOG＝30°，在Rt△AOG中，OG÷2；∴OA＝OG÷cos 30°故选A．【点睛】本题主要考查正多边形的计算问题，常用的思路是转化为直角三角形中边和角的计算．5．（2020·上海九年级专题练习）正六边形的半径与边心距之比为（）B1C2D．2A．1【答案】D【分析】边心距：是指正多边形的每条边到其外接圆的圆心的距离,正六边形的边长就等于其外接圆的半径...正多边形的边心距就是其内切圆的半径.【详解】∵正六边形的半径为R，∴边心距r，2D．∴R：r＝1【点睛】本题主要考查了正多边形的半径与边心距之比，解决本题的关键是掌握边心距的求法.6．（2019·上海市嘉定区唐行九年制学校九年级二模）下列四个命题中，错误的是（）A．所有的正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴B．所有的正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心C．所有的正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角D．所有的正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补【答案】B【分析】利用正多边形的性质、对称性、中心角的定义及中心角的性质作出判断即可．【详解】A 、正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴，正确，故此选项不符合题意；B 、正奇数多边形不是中心对称图形，错误，故此选项符合题意；C 、正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角，正确，故此选项不符合题意；D 、正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补，正确，故此选项不符合题意．故选B ．【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是正确的理解正多边形的有关的定义．7．（2019·上海市西南模范中学九年级二模）若一个正九边形的边长为a ，则这个正九边形的半径是( )A ．cos 20a°B ．sin 20a°C ．2cos 20a°D ．2sin 20a°【答案】D【分析】先根据题意画出图形，经过圆心O 作圆的内接正n 边形的一边AB 的垂线OC ，垂足是C ．接OA ，则在直角△OAC 中，∠AOB=3609°．OC 是边心距，OA 即半径．根据三角函数即可求解．【详解】解答：如图所示，过O 作OC ⊥AB 于C ，则OC 即为正九边形的边心距，连接OA ，∵此多边形是正九边形，∴∠AOB=3609°=40°，OA=OB ，∴∠AOC=12∠AOB=12×40°=20°，∵AB=a ，∴AC=12a ，∴OA=sin AOCAC Ð=2sin20a °=2sin20a°．故选D ．【点睛】本题考查了正多边形和圆，关键是构造直角三角形，利用圆内接正多边形的性质及直角三角形中三角函数的定义解答．8．（2020·上海九年级一模）如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A ．pB ．p -C ．2pD ．2p -【答案】D 【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【详解】过A 作AD ⊥BC 于D ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵AD ⊥BC ，∴BD=CD=1，∴△ABC 的面积为12BC•AD=122´，S扇形BAC =2602360p´=23p，∴莱洛三角形的面积S=3×23p﹣﹣，故选D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．二、填空题9．（2019·上海交大附中九年级）如图，ABCDE是边长为1的正五边形，则它的内切圆与外接圆所围圆环的面积为________．【答案】4p【分析】假设圆心为O，正五边形的内切圆与AB的切点为F，连接OA、OF，设OA=R，OF=r，则根据切线定理、勾股定理及圆环的面积公式可直接求解．【详解】连接OA、OF，设OA=R，OF=r；Q AB与⊙O相切，五边形ABCDE是正五边形，AB=1，\90AFOÐ=°，AF=1122AB=\在Rt AFO △中，222AF AO FO =-即2221124R r æö=-=ç÷èø又Q ()22=S R r p -圆环，\1=4S p 圆环．故答案为4p ．【点睛】本题主要考查正多边形与圆的关系，熟练掌握正多边形的性质及圆的性质是解题的关键．10．（2020·上海大学附属学校九年级三模）正五边形绕着它的中心至少旋转_______度，能与它本身重合．【答案】72【分析】如图（见解析），先根据正五边形的性质可得，正五边ABCDE 至少旋转的度数为AOB Ð的度数，再根据正五边形的性质求解即可得．【详解】如图，由题意可知，所求的问题为AOB Ð的度数由正五边形的性质得：AOB BOC COD DOE AOEÐ=Ð=Ð=Ð=Ð又360AOB BOC COD DOE AOE Ð+Ð+Ð+Ð+Ð=°Q 1360725AOB \Ð=´°=°故答案为：72．【点睛】本题考查了图形的旋转、正五边形的性质，理解题意，掌握正五边形的性质是解题关键．11．（2020·上海九年级二模）已知正三角形的边心距为1，那么它的边长为________．【答案】【分析】此题由题意做出图，做出边心距根据勾股定理求解即可．【详解】由题意作图，再作OP ⊥BC ，OP 的长即为边心距，即OP=1，由△ABC 是正三角形，∴∠ABC=60°，又∵OP 平分∠ABC ，则∠OBP=30°，∴OB=2OP ，由勾股定理知：，∴BC=，即边长为，故答案为【点睛】本题考查三角形外接圆与圆心的关系，中间用勾股定理解题是关键．12．（2020·上海九年级二模）如图，在正六边形ABCDEF 中，如果向量AB a =uuu r r ，AF b =uuu r r ，那么向量AD uuu r 用向量a r ，b r 表示为____．【答案】2a +r 2b r ．【分析】如图，连接BE 交AD 于O ．则AOB D 是等边三角形，OA OD =，根据三角形法则求出AO uuu r即可解决问题．【详解】如图，连接BE 交AD 于O ．∵ABCDEF 是正六边形，∴△AOB 是等边三角形，AO =OD ，∴∠FAO =∠AOB =60°，OB =AB =AF ，∴AF ∥OB ，∴BO AF b ==uuu r uuu r r ，∵AO AB BO a b =+=+uuu r uuu r uuu r r r ，∵AD =2AO ，∴AD =uuu r 2a +r 2b r ．故答案为：2a +r 2b r ．【点睛】本题考查正多边形与圆，平面向量，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．三、解答题13．（2020·上海九年级一模）如图,在⊙O 中,AB 、CD 是两条弦,⊙O 的半径长为rcm,弧AB 的长度为1l cm,弧CD 的长度为2l cm(温馨提醒:弧的度数相等,弧的长度相等,弧相等,有联系也有区别) 当1l =2l 时,求证:AB=CD【分析】利用弧长公式得出圆心角相等，再利用圆心角，弧，弦之间的关系即可证明.【详解】解：令∠AOB=α，∠COD=β.∵1l =2l ，∴12180180r r ap bp =∵AB 和CD 在同圆中，r 1=r 2 ，∴α=β，∴AB=CD【点睛】本题主要考查弧长公式及圆心角，弧，弦之间的关系，掌握圆心角，弧，弦之间的关系是解题的关键.14．（2014·上海）如图，已知AD 既是△ABC 的中线，又是角平分线，请判断：（1）△ABC 的形状；（2）AD 是否过△ABC 外接圆的圆心O ，⊙O 是否是△ABC 的外接圆，并证明你的结论．试题分析：（1）过点D 作DE⊥AB于点E ，DF⊥AC于点F ，根据HL 定理可得出△BDE≌△CDF，进而得出结论；（2）根据等腰三角形三线合一的性质可知AD⊥BC，再由BD=CD ，可知AD 过圆心O ，故可得出结论．试题解析：（1）答：△ABC是等腰三角形．证明：过点D 作DE⊥AB于点E ，DF⊥AC于点F ．∵AD是角平分线，∴DE=DF．又∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在Rt△BDE与Rt△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（HL）．∴∠B=∠C，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形；（2）答：AD过△ABC的外接圆圆心O，⊙O是△ABC的外接圆．证明：∵AB=AC，AD是角平分线，∴AD⊥BC，又∵BD=CD，∴AD过圆心O．作边AB的中垂线交AD于点O，交AB于点M，则点O就是△ABC的外接圆圆心，∴⊙O是△ABC的外接圆．考点：1.三角形的外接圆与外心；2.全等三角形的判定与性质．。

初三数学正多边形和圆同步测试题含答案新人教版

适用精选文件资料分享初三数学正多边形和圆同步测试题（含答案新人教版）初三数学正多边形和圆同步测试题（含答案新人教版）知识点相等，______________也相等的多边形叫做正多边形 . 2 ．把一个圆分成几等份，连接各点所获得的多边形是________________，它的中心角等于______________________________________________. 3.一个正多边形的外接圆的 ____________叫做这个正多边形的中心，外接圆的__________叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的 __________叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的____________叫做正多边形的边心距 . 4. 正 n 边形的半径为 R，边心距为 r ，边长为 a，（1）中心角的度数为： ______________. （2）每个内角的度数为：_______________________. （3）每个外角的度数为： ____________.（4）周长为： _________，面积为： _________. 5. 正 n 边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴有 _______条，而且还是中心对称图形；当边数为奇数时，它不过 _______________.（填“轴对称图形”或“中心对称图形”）一、选择题 1. 以下说法正确的选项是（）A. 各边相等的多边形是正多边形B. 各角相等的多边形是正多边形C.各边相等的圆内接多边形是正多边形 D. 各角相等的圆内接多边形是正多边形 2.（2013?天津）正六边形的边心距与边长之比为（）A．：3 B．：2 C． 1 ：2 D．：2 3.(2013山东滨州)若正方形的边长为 6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为 ( ) A．6，B ．，3 C．6，3 D．， 4. 以以下图，正六边形 ABCDEF内接于⊙ O，则∠ADB的度数是（）． A ．60° B ．45° C．30° D． 22．5°5.半径相等的圆的内接正三角形，正方形，正六边形的边长的比为（）A. B. C.3:2:1 D.1:2:36.圆内接正五边形 ABCDE中，对角线 AC和 BD订交于点 P，则∠ APB 的度数是（）． A ．36° B ．60° C．72° D．108°7. （2013?自贡）如图，点 O是正六边形的对称中心，假如用一副三角板的角，借助点O（使该角的极点落在点O处），把这个正六边形的面积n 均分，那么 n 的全部可能取值的个数是（）A.4B.5C.6D. 78.如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O 的内接正方形，BC∥QR，则∠ AOQ的度数是（）°°°°二、填空题 9. 一个正 n 边形的边长为 a，面积为 S，则它的边心距为__________. 10. 正多边形的一此中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于 __________度. 11. 若正六边形的面积是cm 2，则这个正六边形的边长是__________. 12.已知正六边形的边心距为，则它的周长是 _______. 13. 点 M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC 上的点，且 AM=BN，点 O是正八边形的中心，则∠ MON=_____________.14.边长为 a 的正三角形的边心距、半径（外接圆的半径）和高之比为_________________. 15. 要用圆形铁片截出边长为 4cm的正方形铁片，则采纳的圆形铁片的直径最小要__________cm. 16. 若正多边形的边心距与边长的比为 1:2 ，则这个正多边形的边数是 __________. 17.一个正三角形和一个正六边形的周长相等，则它们的面积比为__________.18.(2 013? 徐州 ) 如图，在正八边形 ABCDEFGH中，四边形 BCFG的面积为 20cm2，则正八边形的面积为 ________cm2.三、解答题 19. 比较正五边形与正六边形，可以发现它们的同样点与不一样点 .正五边形正六边形比方它们的一个同样点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等 . 它们的一个不一样点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形 . 请你再写出它们的两个同样点和不一样点 . 同样点：（1）___________________________________________________________ _________; （2）___________________________________________________________ ________. 不一样点：（1）___________________________________________________________ _________; （2）__________________________________________________________________. 20. 已知，如，正六形ABCDEF的 6cm，求个正六形的外接半径R、心距 r6 、面 S6.21.如，⊙O的半径，⊙O的内接一个正多形，心距 1，求它的中心角、、面 .22.已知⊙O和⊙O上的一点A. （1）作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六形 AEFCGH；（2）在（ 1）的作中，假如点 E 在弧 AD上，求： DE是⊙O内接正十二形的一 .23.如 1、 2、 3、⋯、 n，M、N分是⊙O 的内接正三角形ABC、正方形 ABCD、正五形 ABCDE、⋯、正 n 形 ABCDE⋯的 AB、BC 上的点，且 BM=CN， OM、ON.(1)求 1 中∠ MON的度数； (2) 2 中∠ MON的度数是 _________， 3 中∠ MON的度数是 _________；(3) 研究∠ MON的度数与正 n形数 n 的关系 ( 直接写出答案 ).24.3 正多形和知点 1. 各各角 2.正多形正多形每一所的心角 3. 心半径心角距离称形一、解：依据内接正多形的性可知，只要把此正六形再化正多形即可，即周角除以 30 的倍数就可以解决． 360÷30=12； 360÷60=6； 360÷90=4；360÷120=3； 360÷180=2．所以 n 的全部可能的共五种状况，故B． 8.D 二、填空 9. 10.144 11.4cm 12.12 13.45 ° 14.1:2:315.16. 四 17.2:3 18.40 三、解答题 19. 同样点：（1）每个内角都相等（或每个外角都相等或对角线都相等）；（2）都是轴对称图形（或都有外接圆和内切圆） . 不一样点：（1）正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°；（2）正五边形的对称轴是5 条，正六边形的对称轴是 6 条. 20. 21. 解：连接 OB ∵在 Rt△AOC 中，AC==1 ∴AC=OC∴∠ AOC=∠OAC=45° ∵OA=OBOC⊥AB∴AB=2AC=2 ∠AOB=2∠OAC=2×45°=90° ∴这个内接正多边形是正方形 . ∴面积为 22=4 ∴中心角为 90°，边长为 2，面积为 4. 22. (1) 作法：①作直径 AC; ②作直径 BD⊥AC; ③挨次连接 A、B、C、D 四点 ,四边形ABCD即为⊙O的内接正方形 ; ④分别以 A、C为圆心，以 OA长为半径作弧，交⊙O于 E、H、F、G; ⑤按序连接 A、E、F、C、G、H 各点 . 六边形 AEFCGH即为⊙O的内接正六边形 . (2) 证明：连接 OE、DE.∵∠ AOD＝＝90°，∠ AOE＝＝60°，∴∠ DOE＝∠ AOD－∠ AOE＝90°- 60°=30°. ∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边 . 23.(1) 方法一：连接 OB、OC. ∵正△ ABC内接于⊙ O，∴∠ OBM=∠OCN＝30°，∠ BOC=120°. 又∵ BM=CN， OB=OC，∴△ OBM≌△ OCN（SAS）. ∴∠ BOM ＝∠ CON.∴∠ MON=∠BOC=120°. 方法二：连接 OA、OB. ∵正△ ABC 内接于⊙ O，∴AB=AC，∠ OAM=∠OBN=30°, ∠AOB=120°. 又∵ BM＝CN，∴AM=BN.又∵ OA=OB,∴△ AOM≌△ BON（SAS）. ∴∠ AOM=∠BON.∴∠ MON=∠AOB=120°. (2)90° 72° (3)∠MON= .。

人教版九年级上册数学《正多边形和圆》同步辅导与测试(含解析)

九年级数学同步指导与测试正多边形和圆要点、难点：1.正多边形的定义：各边相等、各内角也相等的多边形叫正多边形。

2. 正多边形与圆的关系（ 1）把圆分红 n （ n ≥ 3）等份，有以下结论：其一：挨次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形，这圆是正n 边形的外接圆。

其二：经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为极点的多边形是这个圆的外切正边形，这圆是正 n 边形的内切圆。

n（ 2）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是齐心圆。

3.相关的观点（ 1）正多边形的中心（ 2）正多边形的半径（ 3）正多边形的边心距（ 4）正多边形的中心角4.正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分红 2n 个全等的直角三角形。

这里我们设：正 n 边形的中心角为 α，半径为 R ，边心距为 r ，边长为 a n ，周长为 P n ，面积为 S n ，则有（）360 ；（ 2 ） a n2 R180 ；（）180 ；1nsin3 rR cosnn22 1 211（ 4）Rr4an ；（ 5）P n n a n ；（ 6） S n2n r an2r Pn ；（ 7 ）正多边形的每一个内角( n2) 180，内角和(n 2) 180 .n5. 每一个正多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它仍是中心对称图形。

6.要点和难点：（ 1）要点是正多边形的计算问题，计算往常是经过解直角三角形来解决的，所以在解这种题时，要尽量创建直角三角形，把所求的问题放到直角三角形中去，特别是含30°、 60°角的直角三角形和等腰直角三角形更重要。

（ 2）难点是灵巧运用正多边形的知识和观点解题。

〖知识总结〗正多边形的定义要理解后记牢，这里各边都相等，各角都相等，缺一不行，边数同样多的正多边形是相像多边形。

关于随意三角形来讲都有外接圆和内切圆，但注意只有正三角形的外接圆和内切圆是齐心圆。

相关正多边形的计算本质是把问题转变为解直角三角形的计算，所以这里要用到三角函数及勾股定理等相关知识。

2020_2021学年九年级数学第24章圆24.6正多边形与圆作业设计沪科版

24.6 正多边形与圆一．选择题（共14小题）1．正六边形的外接圆的半径为2，则它的内切圆的半径为（）A． B． C．2 D．12．如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（）（第2题图）A．△OAB是等边三角形B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C．OC平分弦ABD．∠BAC=30°3．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（）A． B．2 C．3 D．24．如图，边长为a的六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点O所经过的路径长为（）（第4题图）A．6a B．5a C．2aπ D．5．已知正六边形的周长是12a，则该正六边形的半径是（）A．6a B．4a C．2a D．6．正六边形的边心距与边长之比为（）A．：3 B．：2 C．1：2 D．：27．如图，已知边长为2的正三角形ABC的顶点A的坐标为（0，6），BC的中点D在y轴上，且在点A的下方，点E是边长为2、中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程中DE的最小值为（）（第7题图）A．3 B．4﹣ C．4 D．6﹣28．如图，MN是⊙O的直径，∠A=20°，∠PMQ=50°，以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是（）（第8题图）A．正七边形 B．正八边形C．正六边形D．正十边形9．半径相等的圆的内接正三角形和正方形，正三角形与正方形的边长之比为（）A．1： B．： C．3：2 D．1：210．一个平面封闭图形内（含边界）任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形（依次为正三角形、正方形、正六边形、圆）的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系正确的是（）（第10题图）A．a4＞a2＞a1 B．a4＞a3＞a2 C．a1＞a2＞a3 D．a2＞a3＞a411．中心角为60°的正多边形的边数是（）A．3 B．6 C．8 D．1212．如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（）（第12题图）A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C．D．∠BAC=30°13．一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是（）A．2 B． C．1 D．14．如图，把正△ABC的外接圆对折，使点A与劣弧的中点M重合，若BC=5，则折痕在△ABC 内的部分DE的长为（）（第14题图）A． B． C． D．二．填空题（共10小题）15．正五边形的中心角的度数是．16．已知正六边形的边心距为，则这个正六边形的边长为．17．若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为．18．如图，正方形ABCD内接于半径为的⊙O，E为DC的中点，连接BE，则点O到BE的距离等于．（第18题图）19．正六边形的半径与边长的比为．20．△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A，B与它的中心O为顶点的三角形，若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为．21．设A0，A1，…，A n﹣1依次是面积为整数的正n边形的n个顶点，考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形的面积之和是231，那么n的最大值是，此时正n边形的面积是．22．如图，已知在⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O及半径OM、OP 上，并且∠POM=45°，则AB的长为．（第22题图）23．一元钱的硬币的直径约为24mm，则它完全覆盖住的正三角形的边长最大不能超过 mm （保留根号）．24．边长为6的正六边形外接圆的半径是．三．解答题（共1小题）25．已知圆的半径为R，试求圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比．参考答案一．1．【解析】如答图.连接OA，OB，OG.∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB 是等边三角形，∴∠OAB=60°，∴OG=OA•sin60°=2×=，∴半径为2的正六边形的内切圆的半径为．故选A．（第1题答图）【点评】本题考查了正多边形和圆、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正多边形的性质，证明△OAB是等边三角形是解决问题的关键．2．【解析】∵OA=AB=OB，∴△OAB是等边三角形，故选项A正确，∴∠AOB=60°.∵OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=30°，AC=BC，弧AC=弧BC，∴=12，∠BAC=∠BOC=15°，∴选项B、C正确，选项D错误.故选D．【点评】本题考查了正多边形的性质、垂径定理、圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，要熟练应用．3．【解析】如答图.∵正六边形的边心距为，∴OB=，AB=OA.∵OA2=AB2+OB2，∴OA2=（OA）2+（）2，解得OA=2．故选B．（第3题答图）【点评】本题主要考查了正六边形和圆，注意：外接圆的半径等于正六边形的边长．4．【解析】如答图.∵正六边形的内角为120°，∴∠BAF=120°，∴∠FAF′=60°，∴==πa，∴六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点O所经过的路径长为πa×6=2aπ．故选C．（第4题答图）【点评】此题考查了正六边形与弧长公式等知识．解答此题的关键是抓住圆心O的运动路线相当于6个弧FF′的长．注意数形结合思想的应用．5．【解析】∵正六边形可以由其半径分为六个全等的正三角形，而三角形的边长就是正六边形的半径.又∵正六边形的周长为12a，∴正六边形边长为2a，∴正六边形的半径等于2a．故选C．【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题，解题的关键是利用了等边三角形的性质及三角形的面积公式．6．【解析】如答图，设六边形的边长是a，则半径也是a；经过正六边形的中心O作边AB 的垂线OC，则AC=AB=a，∴OC==a，∴正六边形的边心距与边长之比为a：a=：2．故选B．（第6题答图）【点评】此题考查了正多边形和圆的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7．【解析】如答图.当点E旋转至y轴上时DE最小.∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，∴AD⊥BC.∵AB=BC=2，∴AD=AB•sin∠B=.∵正六边形的边长等于其半径，正六边形的边长为2，∴OE=OE′=2.∵点A的坐标为（0，6），∴OA=6，∴DE′=OA﹣AD﹣OE′=4﹣.故选B．（第7题答图）【点评】本题考查了正多边形的计算及等边三角形的性质，解题的关键是从图形中整理出直角三角形．8．【解析】连接QO，PO，如答图.∵QO=PO，∴∠OPQ=∠OQP.∵∠PMQ=50°，∴∠POQ=100°，∴∠OPQ+∠OQP=180°﹣100°=80°，∴∠OPQ=∠OQP=40°，∴∠A+∠APO=∠POM=20°+40°=60°.∵PO=OM，∴△POM是等边三角形，∴PM=OP=OM，∴以PM为边作圆的内接正多边形，则这个正多边形是正六边形．故选C．（第8题答图）【点评】此题主要考查了正六边形的性质以及圆周角定理和外角的性质等知识，根据已知得出△POM是等边三角形是解题关键．9．【解析】设其半径是R，则其正三角形的边长是R，正方形的边长是R，则它们的比是：．故选B．【点评】能够构造一个由正多边形的半径、边心距和半边组成的直角三角形．该正多边形的半径即是圆的半径，其半边所对的角是它的中心角的一半，即．10．【解析】设等边三角形的边长是a，则等边三角形的周率a1==3.设正方形的边长是x，由勾股定理，得对角线是x，则正方形的周率是a2==2≈2.828.设正六边形的边长是b，过点F作FQ∥AB交BE于点Q，得到平行四边形ABQF和等边三角形EFQ，直径是b+b=2b，∴正六边形的周率是a3==3，圆的周率是a4==π，∴a4＞a3＞a2．故选B．（第10题答图）【点评】本题主要考查对正多边形与圆，多边形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，理解题意并能根据性质进行计算是解此题的关键．11．【解析】∵360°÷60°=6，∴中心角为60°的正多边形的边数是6．故选B．【点评】本题考查了正多边形和圆，熟记正多边形的边数和圆心角的关系是解题的关键．12．【解析】A、因为OA=OB，OA=AB，所以OA=OB=AB，所以△ABO为等边三角形，∠AOB=60°，以AB为一边可构成正六边形，故A正确；B、因为OC⊥AB，根据垂径定理可知，=；再根据A中结论，弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故B正确；C、根据垂径定理，=，故C正确；D、根据圆周角定理，圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，∠BAC=∠BOC=×∠BOA=×60°=15°，故D错误．故选D．【点评】此题主要考查正多边形和圆的计算问题，属于常规题，要注意圆周角定理的应用．13．【解析】设多边形的边数为n．因为正多边形的内角和为（n﹣2）•180°，正多边形的外角和为360°，根据题意，得（n﹣2）•180°=360°×2，n﹣2=2×2，n=6．故正多边形为六边形．边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，所以正多边形的半径等于2.故选A．【点评】本题考查学生对正多边形的概念的掌握和计算的能力，要注意利用特殊角的正多边形，以简化计算．14．【解析】如答图.连接AM，与DE、BC分别交于点F、点S，则点F是圆心，又是三角形的内心.∵S是BC的中点，F是DE的中点，则有DE∥BC，∴AF：AS=DE：BC=2：3，∴DE=．故选C．（第14题答图）【点评】本题利用了圆的内接正三角形的内心到每个顶点的距离是等边三角形的高的的性质，进行求解．二．15．72°【解析】正五边形的中心角为=72°．【点评】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．16．2【解析】如答图.∵正六边形的边心距为，∴OB=，∠OAB=60°，∴AB===1，∴AC=2AB=2．（第16题答图）【点评】此题主要考查正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．17．【解析】如答图.连接OA、OB、OC、OD、OE、OF.∵正六边形ABCDEF，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，∴∠AOB=×360°=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2.∵OM⊥AB，∴AM=BM=1.在△OAM中，由勾股定理，得OM==．（第17题答图）【点评】本题主要考查对正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出OA、AM的长是解此题的关键．18．【解析】如答图，连接EO，BO，作OF⊥BE.由正方形ABCD 内接于半径为的⊙O，可得CD=AD=BC=2.∵E是CD中点，∴DE=CE=1.在△BCE中由勾股定理，得BE=，则BE×OF=OE×CE×FO=1×1，解得OF=.（第18题答图）【点评】此题主要考查了垂径定理，勾股定理，正方形的性质等知识点，关键是求出EC，BE的长．19．1：1【解析】正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，∴正六边形的半径=边长，∴正六边形的半径与边长的比为1：1.【点评】本题考查了正多边形和圆，解答此题的关键是正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形．20．9【解析】当∠OAB=70°时，∠AOB=40°，则多边形的边数是360÷40=9；当∠AOB=70°时，360÷70结果不是整数，故不符合条件．【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题．21．23，1【解析】用找规律找出P与n的关系式，不难发现，P与n有下表所列的关系.3 4 5 61（0+1）=（3﹣3）×3÷2+13（2+1）=（4﹣3）×4÷2+16（5+1）=（5﹣3）×5÷2+110（6+3+1）=（6﹣3）×6÷2+1因此，P=（n﹣3）•n÷2+1，即P=n2﹣n+1．P=n2﹣n+1可以化为P=（n ﹣）2+，由于n≥3，故P值越大，n取值越大．在凸多边形面积之和为231时，由于正n边形的面积为整数，故其面积取最小值1时，P值最大代入各值，得231÷1=n2﹣n+1，整理，得n2﹣3n﹣460=0 解得n=23或n=﹣20（不合题意，舍去）故n=23为最大值，此时正23边形的面积为1．【点评】本题考查了正多边形和圆以及面积及等积变换．解题的关键是得出P与n的关系式，确定面积取最小值1时，P的值最大．22．【解析】如答图.∵∠POM=45°，∠DCO=90°，∴∠DOC=∠CDO=45°，∴△CDO为等腰直角三角形，那么CO=CD．连接OA，可得到直角三角形OAB，∴AB=BC=CD=CO，BO=BC+CO=BC+CD=2AB，那么AB2+OB2=52，∴AB2+（2AB）2=52，∴AB的长为．（第22题答图）【点评】解决本题的关键是构造直角三角形，注意先得到OB=2AB．23．12【解析】如答图.已知此圆的半径为12，则OB=12mm．在直角△OBD中，BD=OB•sin60°=6mm．则可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正三角形的边长最大．（第23题答图）【点评】此题所求结果有些新颖，要注意题目问题的真正含义．24．6【解析】正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，∴边长为6的正六边形外接圆半径是6．【点评】正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形．三．25．解：如答图①.连接O1 A，作O1 E⊥AD于点E.∵O1 A=R，∠O1 AE=45°，∴AE=O1 A•cos45°=R，∴AD=2AE=R.如答图②.连接O2 A，O2 B，则O2 B⊥AC.∵O2 A=R，∠O2 AF=30°，∠AO2 B=60°，∴△AO2 B是等边三角形，AF=O2A•cos30°=R，∴AB=R，AC=2AF=R；∴圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比R：R：R=：：1．（第25题答图）【点评】本题考查的是正多边形和圆、解直角三角形，熟知正三角形、正方形和正六边形的性质是解答此题的关键．赠送：第二十八章检测卷(150分,90分钟)题号一二三总分得分一、选择题(每题4分，共40分)1.cos 45°的值等于( )A.12B.22C.32D. 32.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则cos A的值是( )A.45B.35C.34D.133.如图，要测量河两岸A，C两点间的距离，已知AC⊥AB，测得AB＝a，∠ABC＝α，那么AC等于( )A.a·sin αB.a·cos αC.a·tan αD.a sin α(第3题) (第5题) (第6题)4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列式子一定成立的是( )A.a ＝c·sin BB.a ＝c·cos BC.b ＝c·sin AD.b ＝atan B5.如图，在平面直角坐标系中，P 是第一象限内的点，其坐标是(3，m)，且OP 与x 轴正半轴的夹角α的正切值是43，则sin α的值是( )A.45B.54C.35D.53 6.如图，在△ABC 中， cos B ＝22，sin C ＝35，BC ＝7，则△ABC 的面积是( ) A.212B.12C.14D.21 7.如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A ＝35，BE ＝2，则tan ∠DBE 的值是( )A.12 B ．2 C.52 D.558.如图，△ABC 是等边三角形，点D 是BC 边上任意一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.若BC ＝2，则DE ＋DF ＝( )A.1B.233C. 3D.433(第7题) (第8题) (第10题) 9.阅读材料：因为cos 0°＝1，cos 30°＝32，cos 45°＝22，cos 60°＝12，cos 90°＝0，所以当0°＜α＜90°时，cos α随α的增大而减小．解决问题：已知∠A 为锐角，且cos A ＜12，那么∠A 的取值范围是( )A.0°＜∠A＜30° B ．30°＜∠A＜60° C ．60°＜∠A＜90° D ．30°＜∠A＜90°10.如图，小叶与小高欲测量公园内某棵树DE 的高度．他们在这棵树正前方的一座楼亭前的台阶上的点A 处测得这棵树顶端D 的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C 处，测得这棵树顶端D 的仰角为60°.已知点A 的高度AB 为3 m ，台阶AC 的坡度为1∶3，且B ，C ，E 三点在同一条直线上，那么这棵树DE 的高度为( )A.6 mB.7 m C ．8 m D ．9 m 二、填空题(每题5分，共20分)11.若∠A 是锐角，且sin A 是方程2x 2－x ＝0的一个根，则sin A ＝________． 12.如图，在等腰三角形ABC 中，tan A ＝33，AB ＝BC ＝8，则AB 边上的高CD 的长是________．(第12题) (第13题)13.如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，M ，N 两点关于对角线AC 对称，若DM ＝1，则tan ∠ADN ＝________．14.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且sin 30°＝12，sin 45°＝22，sin 60°＝32，cos30°＝32，cos 45°＝22，cos 60°＝12.观察上述等式，当∠A 与∠B 互余时，请写出∠A的正弦函数值与∠B 的余弦函数值之间的关系：______________．三、解答题(19～21题每题12分，22题14分，其余每题10分，共90分) 15.计算：(1)2sin 30°＋2cos 45°－3tan 60°； (2)tan 230°＋cos 230°－sin 245°×tan 45°.16.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，∠B ＝60°，解这个直角三角形．17.如图，AD 是△ABC 的中线，tan B ＝13，cos C ＝22，AC ＝ 2.求：(1)BC 的长； (2)sin ∠ADC 的值．(第17题)18.如图，在△A BC 中，AD 是BC 边上的高，tan B ＝cos ∠DAC. (1)求证：AC ＝BD.(2)若sin C ＝1213，BC ＝12，求△ABC 的面积．(第18题)19.如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D＝90°，AB ＝BC ，AD ＝7，tan A ＝2.求CD 的长．(第19题)20.如图，某塔观光层的最外沿点E为蹦极项目的起跳点，已知点E离塔的中轴线AB 的距离OE为10米，塔高AB为123米(AB垂直地面BC)，在地面C处测得点E的仰角α＝45°，从点C沿CB方向前行40米到达D点，在D处测得塔尖A的仰角β＝60°，求点E 离地面的高度EF.(结果精确到1米，参考数据2≈1.4，3≈1.7)(第20题)21.为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，如图是一辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC与CD的长分别为45 cm和60 cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为20 cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB＝75°.(参考数据：sin 75°≈0.966，cos 75°≈0.259，tan 75°≈3.732)(1)求车架档AD的长；(2)求车座点E到车架档AB的距离(结果精确到1 cm)．(第21题)22.某水库大坝的横截面是如图的四边形ABCD，其中AB∥CD.大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．(1)求两渔船M，N之间的距离(结果精确到1米)．(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25.为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i＝1∶1.75.施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备．工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？(参考数据：tan 31°≈0.60，sin 31°≈0.52)(第22题)参考答案一、1.B2.B 解析：由余弦的定义可得cos A ＝AC AB .因为AB ＝10，AC ＝6，所以cos A ＝610＝35，故选B.3.C 解析：因为tan α＝AC AB，所以AC ＝AB·tan α＝a ·tan α. 4.B 解析：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，根据余弦的定义可得，cos B ＝a c，即a ＝ c ·cos B.5.A 解析：由题意可知m ＝4.根据勾股定理可得OP ＝5，所以sin α＝45. 6.A 解析：过点A 作AD⊥BC 于点D.设AD ＝3x .∵cos B ＝22，∴∠B ＝45°，则BD ＝AD ＝3x .又sin C ＝AD AC ＝35，∴AC ＝5x ，则CD ＝4x .∵BC＝BD ＋CD ＝3x ＋4x ＝7，∴x ＝1，AD ＝3，故S △ABC ＝12AD·BC＝212. 7.B8.C 解析：设BD ＝x ，则CD ＝2－x.∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，∴DE ＝BDsin 60°＝32x ，DF ＝CDsin 60°＝23－3x 2.∴DE ＋DF ＝32x ＋23－3x 2＝ 3.9.C 解析：由0＜cos A ＜12，得cos 90°＜cos A ＜cos 60°，故60°＜∠A＜90°. 10.D 解析：过点A 作AF⊥DE 于点F ，则四边形ABEF 为矩形，∴AF ＝BE ，EF ＝AB ＝3 m ．设DE ＝x m ，在Rt △CDE 中，CE ＝DE tan 60°＝33x （m ）．在Rt △ABC 中，∵AB BC ＝13，AB ＝3 m ，∴BC ＝3 3 m ．在Rt △AFD 中，DF ＝DE －EF ＝x －3（m ），∴AF ＝DF tan 30°＝3(x －3) （m ）．∵AF ＝BE ＝BC ＋CE ，∴3(x －3)＝33＋33x ，解得x ＝9，∴这棵树DE 的高度为9 m. 二、11.12 解析：解方程2x 2－x ＝0，得x ＝0或x ＝12.因为∠A 是锐角，所以0＜sin A ＜1，所以sin A ＝12. 12. 4 3 解析：∵tan A ＝33，∴∠A ＝30°.又AB ＝BC ，∴∠ACB ＝∠A ＝30°， ∴∠DBC ＝60°，∴CD ＝BC·sin ∠DBC ＝8×32＝4 3. 13. 43解析：如图，过N 作NG⊥AD 于点G.∵正方形ABCD 的边长为4，M ，N 关于AC 对称，DM ＝1，∴MC ＝NC ＝3，∴GD ＝3.而GN ＝AB ＝4，∴tan ∠ADN ＝GN GD ＝43.(第13题)14.sin A ＝cos B三、15.解：(1)原式＝2×12＋2×22－3× 3 ＝ 1＋1－3＝－1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－⎝ ⎛⎭⎪⎫222×1 ＝ 13＋34－12＝ 712. 16.解：因为∠B＝60°，所以∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.因为sin A ＝BCAB ，所以12＝6AB ，得AB ＝12.因为tan B ＝ACBC ，所以3＝AC6，得AC ＝6 3.17．解：(1)如图，过点A 作AE⊥BC 于点E.∵cos C ＝22，∴∠C ＝45°.在Rt △ACE 中，CE ＝AC·cos C ＝1，∴AE ＝CE ＝1.在Rt △ABE 中，∵tan B ＝13，∴AE BE ＝13.∴BE ＝3AE ＝3.∴BC＝BE ＋CE ＝3＋1＝4.(第17题)(2)∵AD 是△ABC 的中线，∴CD ＝12BC ＝2.∴DE ＝CD －CE ＝2－1＝1.∴DE＝AE.又∵AE⊥BC，∴∠ADC ＝45°.∴sin ∠ADC ＝22. 18.(1)证明：∵AD⊥BC，∴tan B ＝AD BD ，cos ∠DAC ＝AD AC. 又tan B ＝cos ∠DAC ，∴AD BD ＝AD AC，∴AC ＝BD. (2)解：由sin C ＝AD AC ＝1213，可设AD ＝12x ，则AC ＝13x ，由勾股定理得CD ＝5x .由(1)知AC ＝BD ，∴BD ＝13x ，∴BC ＝5x ＋13x ＝12，解得x ＝23，∴AD ＝8，∴△ABC 的面积为12×12×8＝48.19．解：如图，延长AB ，DC 交于点E.∵∠ABC ＝∠D＝90°，∴∠A ＋∠DCB＝180°，∴∠A ＝∠ECB，∴tan A ＝tan ∠ECD ＝2.∵AD＝7，∴DE ＝14，设BC ＝AB ＝x ，则BE ＝2x ，∴AE ＝3x ，CE ＝5x .在Rt △ADE 中，由勾股定理得：(3x )2＝72＋142，解得x ＝735， ∴CE ＝5×735＝353，则CD ＝14－353＝73.(第19题)20．解：在Rt △ADB 中，tan 60°＝123DB ，∴DB ＝1233＝413（米）．又∵FB＝OE ＝10米，∴CF ＝DB －FB ＋CD ＝413－10＋40＝413＋30(米)．∵α＝45°，∴EF ＝CF≈100米．答：点E 离地面的高度EF 约为100米．21.解：(1)在Rt △ACD 中，AC ＝45 cm ，DC ＝60 cm ，∴AD ＝452＋602＝75(cm)，∴车架档AD 的长是75 cm.(2)过点E 作EF⊥AB ，垂足为F.∵AE ＝AC ＋CE ＝45＋20＝65(cm)，∴EF ＝AEsin 75°＝65 sin 75°≈62.79≈63(cm)，∴车座点E 到车架档AB 的距离约为63 cm.22.解：(1)由题意得∠E＝90°，∠PME ＝α＝31°，∠PNE ＝β＝45°，PE ＝30米．在Rt △PEN 中，PE ＝NE ＝30米，在Rt △PEM 中，tan 31°＝PE ME ，∴ME ≈300.60＝50(米)． ∴MN ＝EM －EN≈50－30＝20(米)．答：两渔船M ，N 之间的距离约为20米．(2)如图，过点D 作DG⊥AB 于G ，坝高DG ＝24米．(第22题)∵背水坡AD 的坡度i ＝1∶0.25，∴DG ∶AG ＝1∶0.25，∴AG ＝24×0.25＝6(米)． ∵背水坡DH 的坡度i ＝1∶1.75，∴DG ∶GH ＝1∶1.75，∴GH ＝24×1.75＝42(米)．∴AH ＝GH －GA ＝42－6＝36(米)．∴S △ADH ＝12AH·DG＝12×36×24＝432(平方米)． ∴需要填筑的土石方为432×100＝43 200(立方米)．设施工队原计划平均每天填筑土石方x 立方米 .根据题意，得10＋43 200－10x 2x ＝43 200x－20.解方程，得x＝864.经检验：x＝864是原方程的根且符合题意．答：施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米．。