分式、一元二次方程
5年中考第一轮复习：一元二次方程 分式方程
美博教育中考复习之一元二次方程、分式方程【课标要求】(1)了解一元二次方程的概念。
(2) 理解配方法，会用因式分解法、十字相乘法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程．(3) 能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．(4) 掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，并能灵活运用．（5）了解分式方程的概念。
（6）掌握分式方程的解法，并会检验。
（7）用应用分式方程解决相关实际问题。
【知识回顾】1、知识脉络（教材相应章节重要内容的结构与联系）2、考点详解（教材相应章节重要内容整理）（1）一元二次方程①只含有一个未知数，且未知项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．它的一般形式为02=++c bx ax (c b a ,,是已知数，0≠a )，其中bx ax ,2分别叫做二次项，一次项；c b a ,,分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项．②一元二次方程的解法.其基本思想是降次．其常用方法:直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、十字相乘法．③一元二次方程02=++c bx ax (c b a ,,是已知数，0≠a )的根的判别式（ac b 42-=∆）：(ⅰ)当0>∆时，一元二次方程有两个不相等的实数根；(ⅱ)当0=∆时，一元二次方程有两个相等的实数根；(ⅲ)当0<∆时，一元二次方程没有实数根．以上结论，反之亦成立．④一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：若一元二次方程02=++c bx ax (c b a ,,是已知数，0≠a )的两根为1x 、2x ，则ac x x a b x x =⋅-=+2121,． （2）分式方程①分母中含有未知数的方程叫做分式方程．②分式方程的解法．其基本思想是将分式方程转化为整式方程．其方法是运用等式性质在方程两边同乘以最简公分母．解分式方程必须要验根．列方程（组）解应用题的一般步骤：①审清题意；②找出等量关系；③设出直（间）接未知数；④列出方程（组）；⑤解方程（组）；⑥验方程（组）的根；⑦答出完整的语句．3、典例剖析考点预测一：一元二次方程根的概念（以选择、填空出现）例1(2008 山东 聊城)已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则a 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．3【分析】把1x =代入方程220x ax ++=即可得到关于a 的一元一次方程，解方程即可求解。
第五课时：一元二次方程(分式方程)及应用
知识梳理：知识点1 分式方程的概念及解法1.分式方程的概念;分母中含有 的方程叫做分式方程 【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程根本依据】2.分式方程的解法步骤(1)去分母：给方程两边都乘以________，把它化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)________．3.增根(无解）：在进行分式方程去分母的变形时，有时可产生使原方程分母为 的根称为方程的增根。
因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是增根应舍去。
【名师提醒：分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不能省略】提分必练：1.分式方程3x ＝2x －1的解是( )A ．x ＝－3B ．x ＝－35C ．x ＝3D ．无解2.若分式方程x x －1－m 1－x＝2有增根，则这个增根是________．m=___________。
3.解分式方程2x －1＋x ＋21－x＝3知识点 2 分式方程的应用(高频考点) 1．列分式方程解应用题的六个步骤 (1)审：弄清题目中涉及的已知量和未知量以及量与量之间的等量关系；(2)设：设未知数，根据等量关系用含未知数的代数式表示其他未知量；(3)列：根据等量关系，列出方程； (4)解：求出所列方程的解； (5)检：双检验．A .检验是否是分式方程的解； B ．检验是否符合实际问题； (6)答：写出答案． 2．常见关系 分式方程的应用题主要涉及工作量问题，行程问题等常见的公式及数量关系. 知识点3 一元二次方程的概念 1. 概念：只含有_____个未知数，未知数的最高次数是_____的________方程叫一元二次方程．2.一般形式是：_______________________． ____________________________________。
【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a ≠o 这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并且一般首项为正】知识点4 一元二次方程的解法 直接开平方法：这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如ax 2=b 或(x ＋m)2＝n(n>0)的方程. 配方法：1、化二次项系数为 即方程两边都 二次项的系数。
一元二次方程 分式方程知识点
一元二次方程1、一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
一元二次方程的解法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x 4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
一元二次方程根的判别式与根与系数的关系根的判别式1.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆2.如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，ac x x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
一元二次方程分式方程
联系
一元二次方程和分式方程都是常见的数学方程类型，可以应用于各种实际问题。
一元二次方程的应用
曲线绘制
一元二次方程可以用于描述抛物 线和其他曲线的形状。
物体运动
通过解一元二次方程，可以确定 物体在空中的轨迹和碰撞时间。
求根公式
一元二次方程的求根公式可用于 精确计算方程的根。
分式方程的应用
1 比例问题
通过解分式方程，可以确定两个量之间的比例关系。
2 混合物问题
分式方程可用于计算不同成分混合物的比例和成分。
高阶方程
定义
高阶方程是含有三个或更多个未知量的方程，如三 元方程和四元方程。
联系和区别
高阶方程和低阶方程的主要区别在于未知量的个数， 但它们都是数学方程，可以使用类似的解法。
高阶方程的解法
1
高斯消元法
高斯消元法可用于求解线性方程组，从而解高阶方程。
2
逆序消元法
逆序消元法是高阶方程解法中常用的一种策略。
3
相邻相消法
相邻相消法是一种简便的高阶方程解法，适用于特定情况。
结论
一元二次方程和分式方程
这个演示总结了一元二次方程和分式方程的概念、解法和应用。
高阶方程
我们还介绍了高阶方程的定义和解法，以及与低阶方程的区别。
应用
一元二次方程在实际生活中的 应用非常广泛，例如用于解决 物体运动、跳跃和曲线绘制的 问题。
分式方程
1
解法
2
可以使用通分法和消元法来解分式方程，
使方程两边的表达式相等。
3
概念
分式方程是包含分数的方程，其中包含 了未知量或变量。
应用
一元二次方程与分式方程
——一元二次方程与分式方程1．一元二次方程（1）判断方程是否是一元二次方程的方法：一元二次方程必须具备三个条件①必须是整式方程；②必须只含有1个未知数；③所含未知数的最高次数是2．（在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程）（2）一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法当给出一个一元二次方程时，如何选取上述方法更快更好的解方程：i）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解；ii）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；iii）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数或常数项非常大,可考虑用配方法求解；iiii）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解．用公式法求解时必须化为一般形式；用配方法求解时必须两边同时加上一次项的系数一半的平方．（3）一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）：i）b2−4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根；ii）b2−4ac=0⇔方程有两个相等的实数根；iii）b2−4ac<0⇔方程没有实数根．温馨提示：若只是判断方程解的情况则根据一元二次方程的根的判别式判断即可．应用一元二次方程的根的判别式时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况①有两个相等的实数根；②有两个不相等的实数根．（4）一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根分别为x 1，x 2，则有x 1+x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．2．分式方程分式方程的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根（增根的判别方法：i ）这个数是化成的整式方程的根；ii ）使最简公分母为零），应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．注意事项：解分式方程首先是将方程转化为整式方程求解，其次注意一定要验根． 3．用分式方程与一元二次方程解应用题的一般步骤（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系． （2）设未知数，一般求什么就设什么，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程． （4）解方程．（5）检验，看方程的解是否符合题意． （6）写出答案．解应用题的书写格式：设→根据题意列方程→解这个方程→答．1．（2015·重庆）一元二次方程220x x -=的根是A.120,2x x ==- B.121,2x x == C.121,2x x ==- D.120,2x x ==2．（2015·天津）分式方程233x x=-的解为 A.x = 0 B.x = 3 C.x =5 D.x = 93．（2015·广东）若关于x 的方程2904xx a +-+=有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 A.2a ≥B.2a ≤C.2a ＞D.2a ＜4． （2015·安徽）我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x ，则下列方程正确的是A.1.4（1＋x ）＝4.5B.1.4（1＋2x ）＝4.5C.1.4（1＋x ）2＝4.5 D.1.4（1＋x ）＋1.4（1＋x ）2＝4.5 5．（2015·北京）关于x 的一元二次方程2104ax bx ++=有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a ，b 的值a ＝____，b ＝____.6．（2015·四川自贡）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用长58 m 的篱笆围成一个面积为200 m 2的矩形场地.求矩形的长和宽. 7．（2015·陕西）解分式方程：23133x x x --=+-. 8．（2015·北京）为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用.到2013年底，全市已有公租自行车25 000辆，租赁点600个.预计到2015年底，全市将有公租自行车50 000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.预计到2015年底，全市将有租赁点多少个? 9．（2015·河南）已知关于x 的一元二次方程(3)(2)x x m --=.（1）求证：对于任意实数m ，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m 的值及方程的另一个根..1．如果关于x 的一元二次方程22(21)10k x k x -++=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是A.14k>-B.14k >-且0k ≠C.14k <-D.14k ≥-且0k ≠ 2．某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x 件，则x 应满足的方程为A.72072054848x -=+ B.72072054848x +=+ C.720720548x -= D.72072054848x-=+3．已知点(12,2)P a a --关于原点的对称点在第一象限内，且a 为整数，则关于x 的分式方程12x x a+=-的解是 A.3 B.1 C.5 D.不确定 4．） 关于x 的一元二次方程22(1)5320m xx m m -++-+=的常数项为0，则m 的值等于A.1B.2C.1或2D.05．股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x ，则x 满足的方程是 ． 6．如果3-是分式方程32a x a a x+=++的增根，则a = ． 7．已知αβ、是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m的值是 .8．有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，则使关于x 的分式方程11222ax x x-+=--有正整数解的概率为 ． 9．解方程：2363193xx x++=---.10． 解方程：（1）2220xx --=；（2）2(2)3(2)=0x x ---．11．某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，陈老师从少年宫带回来两条信息：信息一：按原来报名参加的人数，共需要交费用320元，如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，就可以享受优惠，此时只需交费用480元；信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元． 根据以上信息，原来报名参加的学生有多少人？ 12．已知关于x 的一元二次方程22(2)360xm x m +-+-=.（1）若x ＝1是此方程的一根，求m 的值及方程的另一根； （2）试说明无论m 取什么实数，此方程总有实数根．1．关于x 的一元二次方程0)1(222=+-+m x m x 的两个实数根分别为1x ，2x ，且0,02121>⋅>+x x x x ，则m 的取值范围是 A.21≤mB.21≤m 且0≠m C.1<m D.1<m 且0≠m 2．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a b c d，定义a b ad bc c d=-，上述记号就叫做2阶行列式，若11411x x x x --=-+，则x = ．3．解分式方程：（1）214111x x x +-=--；（2）1132422x x+=--. 4．已知关于x 的一元二次方程()222320xm x m -+++=．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程的两个实数根分别为12,x x ，且满足22121231x x x x +=+，求实数m 的值．5．2015年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年.某商家用1 200元购进了一批抗战主题纪念衫，上市后果然供不应求，商家又用2 800元购进了第二批这种纪念衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元. （1）该商家购进的第一批纪念衫是多少件？（2）若两批纪念衫按相同的标价销售，最后剩下20件按八折优惠卖出，且两批纪念衫全部售完利润率不低于16％（不考虑其他因素），那么每件纪念衫的标价至少是多少元？1.【答案】B【解析】根据题意得20k ≠且22=(2+1)40k k ∆->，解得14k >-且0k ≠．故选B. 2.【答案】D【解析】按照客户要求，每天应做（48+x ）件，则所用的时间为72048x +天，又每天做48件，完成的时间为72048，则可以列出方程72072054848x-=+．故选D ． 3.【答案】A【解析】因为点(12,2)P a a --关于原点的对称点在第一象限内，所以点(12,2)P a a --在第三象限内，所以1220a a -⎧⎨-⎩＜0＜，所以122a ＜＜，又a 为整数，所以a =1，所以分式方程12x x a +=-是121x x +=-，解得x =3，经检验可知x =3是分式方程的解，故选A. 4.【答案】B【解析】∵关于x 的一元二次方程22(1)5320m xx m m -++-+=的常数项为0，∴210320m m m -≠⎧⎨-+=⎩，解得m =2．故选B ．5.【答案】2(110%)(1)1x -+=【解析】股票一次跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能≤10%，设这两天此股票股价的平均增长率为x ，每天相对于前一天上涨到1+x ，由此列方程得2(110%)(1)1x -+=．6.【答案】3【解析】将分式方程32a x a a x +=++去分母得223a x a ++=，由题意知分式方程32a x a a x+=++ 有增根3-，把x =3-代入223a x a ++=，可得623a a -+=，解得3a =.7.【答案】3【解析】由判别式大于零，得22(23)40m m +->，解得34m >-． ∵111αβ+=-，即1αβαβ+=-，∴αβαβ+=-． 又(23)m αβ+=-+，2m αβ=，∴223m m --=-，解得123,1m m ==-．∵2314m =-<-，∴舍去．故3m =． 8.【答案】14【解析】解分式方程11222ax x x -+=--得22x a =-，∵x 为正整数，∴22a -=1或22a -=2（是增根，舍去），解得a =0，把a 的值代入方程11222ax x x -+=--，解方程得到方程的根为1，∴能使分式方程11222ax x x -+=--有正整数解的有1个，∴使关于x 的分式方程11222ax x x -+=--有正整数解的概率为14． 9.【解析】方程两边同乘以29x -，得2236699x x x ---=-+ ，即618x =，则3x =.经检验3x =不是原方程的解，则2363193xx x++=---无实数解．10.【解析】（1）2220x x --=，即2213x x -+=，即2(1)3x -=，则1x -=，∴1211x x ==（2）2(2)3(2)=0x x ---，即(2)(23)=0x x ---，则20x -=或50x -=，解得122,5x x ==.11.【解析】设原来报名参加的学生有x 人，依题意，得32048042x x-=，解得x =20． 经检验，x =20是原方程的解且符合题意． 答：原来报名参加的学生有20人． 12.【解析】（1）把x ＝1代入方程22(2)360xm x m +-+-=，得1＋4－2m ＋3－6m ＝0，∴m ＝1. 此时原方程为2230x x +-=，解得121,3x x ==-.故方程的另一根为－3.（2）∵∆＝4（2－m ）2－4（3－6m ）＝4（m ＋1）2≥0，∴无论m 取什么实数，方程总有实数根．1.【答案】B 【解析】[]222(1)4840,m m m ∆=--=-+≥1.2m ∴≤122(1)0,x x m +=-->2120,x x m ⋅=>1,0,m m ∴<≠12m ∴≤且0.m ≠故选B ． 2.【答案】1-或2【解析】利用新定义得11(1)(1)(1)(1)411x x x x x x x x --=-+---=-+，即221214x x x -+-+= ，解得121,2x x =-=. 3.【解析】（1）方程两边同时乘以(1)(1)x x +-得22(1)41x x +-=-，即222141x x x ++-=-，解得1x =，检验：当1x =时，210x-=，∴1x =不是原方程的解，∴原方程无解.（2）方程两边同时乘以2(2)x -得1(2)6x +-=-，解得5x =-，检验：当5x =-时，240x -≠， ∴5x =-是原方程的解．4.【解析】（1）∵关于x 的一元二次方程()222320x m x m -+++=有实数根，∴∆≥0，即22(23)4(2)0m m +-+≥，解得112m ≥-. （2）由题意得1223x x m +=+，2122x x m =+＞0，∵22121231x x x x +=+，∴()2121212231x x x x x x +-=+，即()21212331x x x x +-=，∴()()22233231m m +-+=，即212280m m +-=，∴114m =-，22m =，∵112m ≥-，∴2m =． 5.【解析】（1）设该商家购进第一批纪念衫x 件，则购进第二批纪念衫2x 件. 由题意，可得2800120052x x-=，解得x =40. 经检验x =40是原方程的解，故商家购进第一批纪念衫40件. （2）设每件纪念衫的标价至少是a 元.由（1）得第一批的进价为1 200÷40=30（元/件）， 第二批的进价为35（元/件）.由题意，可得40(30)(8020)(35)20(0.835)16%4000a a a ⨯-+-⨯-+⨯-≥⨯，解得116a≥4 640，所以a≥40. 即每件纪念衫的标价至少是40元.。
一元二次方程和分式方程小结
分析：方程的增根是使最简公分母为零的 的值 的值， 分析：方程的增根是使最简公分母为零的X的值， 解： 两边同乘以X（X+1）整理方程得 两边同乘以X X+1） 本题中若有增根X只能为 只能为-1和 ， 本题中若有增根 只能为 和0，所以只要先将 X2 - 2 X- a-2=0 该分式方程化为整式方程，求出X取-1和0时 该分式方程化为整式方程，求出 取 和 时 对应的a值即可 对应的 值即可 时，a =-2 当X =0时 当X=-1时， a=1 时 时该方程会产生增根。 ∴当a =-2或 a=1时该方程会产生增根。 或 时该方程会产生增根
中考第一轮复习
徐万春
一元二次方程的 概念 一 元 二 次 方 程 一元二次方程 的解法 一元二次 方程的应用
直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 一元二次方程的根的判别式
根于系数的关系 二次三项式的因式分解 列方程解应用题
概念 分式方程 解法
思想
一般步骤 列分式方程解应用题
例1 解方程 ：X2 - X- 2 =0 解： (X-2)(X+1)=0 X-2=0 或 X+1=0 ∴ X 1=2，X2= - 1 ， 解方程： 又例 解方程： （X-1）2= X-1 ） 解： X-1=0 解得X=1 解得 （X-1） -（ X-1）=0 ） （ ） 正 确 (X-1)( X-2)=0 解 (X-1)=0 或 ( X-2)=0 法： ∴ X =1，X = 2 ， 2 1
① X2-5x+3
② 3x2+4xyБайду номын сангаасy2
解分式方程的基本思想是什么？ 解分式方程的基本思想是什么？ 将分式方程转化为整式方程 解分式方程常用的方法是什么？ 解分式方程常用的方法是什么？ 去分母法和换元法 解分式方程应注意什么问题？ 解分式方程应注意什么问题？ 解分式方程时，可能会产生增根， 解分式方程时，可能会产生增根，所以解 完方程必须进行验根， 完方程必须进行验根，舍去使最简公分母 为零的增根 增根。 为零的增根。
一元二次方程 不等式 分式方程
中考总复习：一元一次不等式（组）—知识讲解【知识网络】【考点梳理】考点一、不等式的相关概念 1．不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式．常见的不等号有五种： “≠”、 “＞” 、 “＜” 、 “≥”、 “≤”． 2．不等式的解与解集不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左. 3．解不等式求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式.要点诠释：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的：不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 考点二、不等式的性质性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c ．性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc （或a c ＞bc ）． 性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc （或a c ＜b c）． 要点诠释：（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号.概念 基本性质不等式的定义 不等式的解法 一元一次不等式 的解法一元一次不等式组 的解法 不等式 实际应用 不等式的解集（2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ⇔a ＞b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ． 不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c . 考点三、一元一次不等式（组） 1．一元一次不等式的概念只含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其标准形式：ax+b ＞0(a ≠0)或ax+b ≥0(a ≠0) ，ax+b ＜0(a ≠0)或ax+b ≤0(a ≠0)． 2．一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，•但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向．解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1． 要点诠释：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 3．一元一次不等式组及其解集含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定． 要点诠释：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多． 4．一元一次不等式组的解法由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示. 不等式组 （其中a ＞b ）图示解集口诀x ax b >⎧⎨>⎩ bax a > （同大取大）x ax b <⎧⎨<⎩ b ax b <（同小取小） x ax b <⎧⎨>⎩ bab x a << （大小取中间）x ax b>⎧⎨<⎩ ba无解 （空集） （大大、小小 找不到）5．一元一次不等式（组）的应用列一元一次不等式（组）解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式（组）解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要．要点诠释：列一元一次不等式组解决实际问题是中考考查的一个重要内容，在列不等式解决实际问题时，应掌握以下三个步骤：（1）•找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合来解决），设出未知数，列出不等式组（•或不等式与方程的混合组）；（2）解不等式组；（3）从不等式组（或不等式与方程的混合组）•的解集中求出符合题意的答案． 6．一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系一次函数(0)y kx b k =+≠，当函数值0y =时，一次函数转化为一元一次方程；当函数值0y ＞或0y ＜时，一次函数转化为一元一次不等式，利用函数图象可以确定x 的取值范围.【典型例题】类型一、解不等式（组）1．解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来 （1）2x ﹣1＜3x+2 （2）．举一反三：【变式】131321≤---x x 解不等式：.2．解不等式组352,1212x x x x -<⎧⎪⎨-≤+⎪⎩并将其解集在数轴上表示出来.举一反三：【变式1】解不等式组312(1)2(1)4x x x x +≥-⎧⎨+>⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．【变式2】解不等式组24x ≤⎧⎪⎨+⎪⎩（x-1）+33x x-2＞3，并写出不等式组的整数解；类型二、一元一次不等式（组）的特解问题3．若不等式组的正整数解有3个，那么a 必须满足（ ） A ．5＜a ＜6 B ．5≤a＜6 C ．5＜a≤6 D ．5≤a≤6举一反三：【变式1】关于x 的方程，如果3(x ＋4)－4＝2a ＋1的解大于3)43(414-=+x a x a 的解，求a 的取值范围．【变式2】若不等式-3x+n ＞0的解集是x ＜2，则不等式-3x+n ＜0的解集是_______．类型三、一元一次不等式（组）的应用4．仔细观察下图，认真阅读对话：根据对话内容，试求出一盒饼干和一袋牛奶的标价各是多少元．举一反三：【变式】某牛奶乳业有限公司经过市场调研，决定从明年起对甲、乙两种产品实行“限产压库”，要求这两种产品全年共新增产量20件，这20件的总产值p（万元）满足：110＜p＜120．已知有关数据如表所示，•那么该公司明年应怎样安排新增产品的产量？产品每件产品的产值甲 4.5万元乙7.5万元类型四、一元一次不等式（组）与方程的综合应用5．某钱币收藏爱好者，想把3．50元纸币兑换成的1分，2•分，5分的硬币；他要求硬币总数为150枚，2分硬币的枚数不少于20枚且是4的倍数，5•分的硬币要多于2分的硬币；请你根据此要求，设计所有的兑换方案．6．某校组织学生到外地进行综合实践活动，共有680名学生参加，并携带300件行李．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共20辆．经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．⑴如何安排甲、乙两种汽车可一次性地将学生和行李全部运走？有哪几种方案？⑵如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案【巩固练习】一、选择题1. 不等式-x-5≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A B C D2．若实数a＞1，则实数M=a，N=23a+，P=213a+的大小关系为（）A．P＞N＞M B．M＞N＞P C．N＞P＞M D．M＞P＞N3．如图所示，一次函数y=kx+b的图象经过A ，B两点，则不等式kx+b＞0•的解集是（）A．x＞0 B．x＞2 C．x＞-3 D．-3＜x＜24．如果不等式213x++1＞13ax-的解集是x＜53，则a的取值范围是（）A．a＞5 B．a=5 C．a＞-5 D．a=-55．已知整数x满足是不等式组，则x的算术平方根为（）A．2 B．±2 C． D．46．不等式组3(2)423xa xxx+--≤⎧>⎪⎨⎪⎩无解，则a的取值范围是（）A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1二、填空题7．若不等式ax＜a的解集是x＞1，则a的取值范围是__ ____．8．若（m﹣1）x|2m﹣1|﹣8＞5是关于x的一元一次不等式，则m= ．9．已知3x+4≤6+2（x-2），则│x+1│的最小值等于__ ____．10．若不等式a（x-1）＞x-2a+1的解集为x＜-1，则a的取值范围是____ __．11．满足22x+≥213x-的x的值中，绝对值不大于10的所有整数之和等于__ ____．12．有10名菜农，每个可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，•已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若要总收入不低于15.6万元，•则最多只能安排_______人种甲种蔬菜．三、解答题13．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．（1）x-3≥354x-．（2）解不等式组14. 若0231<-+x x ，求x 的取值范围．15．某电器商场销售A 、B 两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A 型号和1台B 型号计算器，可获利润76元；销售6台A 型号和3台B 型号计算器，可获利润120元．（1）求商场销售A 、B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格）（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A 、B 两种型号计算器共70台，问最少需要购进A 型号的计算器多少台？16. 如图所示，一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个，•则剩下9个；如果每人分6个，则最后一个儿童分得的橘子数少于3个，问共有几个儿童，•分了多少个橘子？中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为20ax bx c ++=(a ≠0)． 2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成2x m =的形式，当m ＞0时，方程的解为x m =m ＝0时，方程的解1,20x =；当m ＜0时，方程没有实数解．（2）配方法：通过配方把一元二次方程20ax bx c ++=变形为222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（3）公式法：对于一元二次方程20ax bx c ++=，当240b ac -≥时，它的解为24b b acx -±-=．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解． 要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为ac 4b 2-=∆． △>0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根； △<0⇔方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 要点诠释：△≥0⇔方程有实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系如果一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x 、，那么ac x x a b x x 2121=⋅-=+，．考点二、分式方程 1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程． 要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法． 3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公 分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”. 要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．考点三、一元二次方程、分式方程的应用 1．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．关键是寻找其中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%． 明确这几个关系式是解决这类问题的关键．(4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.(5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分问题增长量＝原有量×增长率；现有量＝原有量+增长量；现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释： 方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【典型例题】类型一、一元二次方程1．用配方法解一元二次方程：2213x x +=举一反三：【变式】用配方法解方程x 2-7x-1=0．2．已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．举一反三：【变式】已知关于x 的方程2(2)210x m x m +++-=．（1）求证方程有两个不相等的实数根．（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．类型二、分式方程 3．解分式方程：=﹣．举一反三：【变式1】解分式方程：21233x x x -+=--．【变式2】方程22123=-+--xx x 的解是x= ． 4．若解分式方程2111(1)x m x x x x x ++-=++产生增根，则m 的值是（ ） A.B. C. D.举一反三： 【变式】若关于x 的方程2332+-=--x m x x 无解，则m 的值是 ．类型三、一元二次方程、分式方程的应用5．轮船在一次航行中顺流航行80千米，逆流航行42千米，共用了7小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺流航行40千米，逆流航行70千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.举一反三：【变式】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？6．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？【巩固练习】一、选择题1. 用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=2．关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、，且22127x x +=，则212()x x -的值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．25 3．关于x 的一元二次方程kx 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞﹣1B ．k≥﹣1C ．k≠0D ．k ＜1且k≠04．若关于x 的一元二次方程0235)1(22=+-++-m m x x m 的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．05．在一幅长为80cm ，宽为50cm 的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程是（ ）.A ．213014000x x +-=B ．2653500x x +-=C ．213014000x x --=D ．2653500x x --=6．甲、乙两地相距S 千米，某人从甲地出发，以v 千米/小时的速度步行，走了a 小时后改乘汽车，又过b 小时到达乙地，则汽车的速度（ ）A.B. C. D.二、填空题 7．方程﹣=0的解是 ． 8．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实根，则实数a 的取值范围是___ ___．9．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x ，可列方程为 __ ．10．当m 为 时，关于x 的一元二次方程02142=-+-m x x 有两个相等的实数根；此时这两个实数根是 . 11．如果分式方程1+x x =1+x m 无解, 则 m = . 12．已知关于x 的方程 x 1 － 1-x m = m 有实数根，则 m 的取值范围是 .三、解答题13. （1）解方程：x x x x 4143412+-=---； （2）解方程：x x x x 221103+++=.14．一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度.15．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x+m 2=0有实数根，（1）求m 的取值范围；（2）若方程的一个根为1，求m 的值；（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m 使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．16．如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？（2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？。
中考专题之分式方程,一元二次方程,一元一次不等式
第七讲 一元二次方程 知识点一：一元二次方程及其解法1. 一元二次方程：等号的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二的方程 叫做一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式：）为常数，（0,,2≠++=a c b a c bx ax y 。
3. 一元二次方程的解法：知识点二：一元二次方程)0,,(02≠=++a c b a c bx ax 为常数，根的判别式 1.当,042≥-ac b 时，方程有两个不相等的实数根。
2.当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根。
3.当042 ac b -时，方程没有实数根。
知识点三：根与系数的关系若关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根分别为21,x x ，则ab x x -=+21，a cx x =⋅21知识点四：用一元二次方程解决实际问题的步骤用一元二次方程解决实际问题的步骤可归结为六个字：“设，找，列，解，验，答”，即（1）设元；（2）找等量关系；（3）列方程；（4）解方程；（5）检验；（6）写答案。
第八讲 分式方程知识点一：分式方程：分母中含有未知数的方程叫分式方程。
知识点二：增根（1）定义：在方程变形的过程中，产生的不适合原方程的根叫做方程的增根，增根应该舍去。
（2）验根：可以把求出的根代入原方程检验，如果求出的根使原方程的一个字母的值是0，那么这个根就是方程的增根。
知识点三：解分式方程的基本思想和步骤 （1）基本思想：分式方程−−−→−去分母转化整式方程。
（2）一般步骤：①去分母，化为整式方程②解整式方程③写出分式方程的根。
知识点四：分式方程的应用分式方程的应用题与列其他方程解应用题一样，不同之处是所列方程为分式方程且必须验根。
用分式方程解决实际问题的步骤可归结为六个字：“设，找，列，解，验，答”，即（1）设元；（2）找等量关系；（3）列方程；（4）解方程；（5）检验；（6）写答案。
第九讲 一元一次不等式(组) 知识点一：不等式的相关概念（1）不等式：用不等号连接起来的式子。
求解含分式的一元二次方程
求解含分式的一元二次方程一元二次方程是高中数学中的重要内容，求解一元二次方程是解数学问题的常见方法之一。
当方程中含有分式时，需要采用一定的方法和技巧来求解。
本文将介绍求解含分式的一元二次方程的步骤和注意事项。
一、引言一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知实数，x是未知数。
当方程中含有分式时，我们需要将其转化为一般形式，然后再进行求解。
二、求解步骤1. 将含有分式的一元二次方程转化为一般形式。
例如，若方程中含有形如1/(x-a)的分式，我们可以将其乘以(x-a)，得到x-a = 1，然后将方程中的分式项消去。
2. 将方程化简为一元二次方程的标准形式。
标准形式为ax^2 + bx +c = 0。
根据之前的转化，我们应该得到一个形如x^2 + px + q = 0的方程。
3. 利用求根公式求解一元二次方程。
求根公式为x = (-b ± √(b^2 -4ac))/(2a)。
将标准形式中的a、b、c带入求根公式，即可得到方程的解。
三、注意事项1. 在整理方程过程中，需要特别注意分母不为0的情况。
若分母为0，则解不存在或者方程无解。
2. 在应用求根公式时，需要特别注意判别式的值。
判别式的值为Δ = b^2 - 4ac。
若Δ > 0，则方程有两个不相等的实根；若Δ = 0，则方程有两个相等的实根；若Δ < 0，则方程无实根。
3. 当方程中含有更复杂的分式时，可以尝试进行化简或变量代换，以便将方程转化为一般形式。
四、示例题目假设我们需要求解方程(x + 1)/(x - 2) + 2 = 3x - 1。
首先，我们将分式部分化简，得到(x + 1) + 2(x - 2) = (3x - 1)(x - 2)。
然后，将其展开并整理为一般形式，即x^2 - 10x + 21 = 0。
应用求根公式，我们可以得到x = 3或x = 7，这两个值分别满足方程。
五、总结本文介绍了求解含分式的一元二次方程的步骤和注意事项。
初中数学解方程的常用方法
初中数学解方程的常用方法解方程是数学学科中的一个重要内容，也是提高学生思维能力和解决实际问题的重要手段。
初中数学的解方程一般包括一元一次方程、一元二次方程以及一些简单的分式方程等。
下面介绍一些初中解方程的常用方法。
一、一元一次方程的解法：1.移项法：根据方程的性质，可以将等式两边的项按照要求进行移项，最终得到x的值；2.合并同类项法：如果等式两边有相同的项，可以将它们合并为一项，再进行移项；3.约分法：对于含有分式的方程，可以通过约分的方式来简化等式，使得方程更容易求解；4.消元法：对于多元一次方程组，可以通过将方程组中的一部分方程进行消元，再进行移项求解；5.代入法：有时候可以通过将方程的一些已知值代入方程，从而求出未知数的值；6.增补法：对于一些特殊的方程，可以补充一个方程使得方程组成为一个容易解的方程；二、一元二次方程的解法：1. 公式法：使用求根公式来解一元二次方程，即x=(-b±√(b^2-4ac))/2a；2.完全平方式：将方程进行变形，使得其两边均为完全平方，从而可以直接求解方程；3.分解因式法：对于一些特殊的一元二次方程，可以通过将其转化为两个一元一次方程来进行求解；4.图像法：通过画出方程的二次函数的图像来找到方程的解；5.试值法：通过试探合适的值来求解方程的解；三、分式方程的解法：1.通分法：对于含有分式的方程，可以通过通分的方式来简化等式，使得方程更容易求解；2.分解法：对于分式方程，可以通过分解方程的分子或分母，从而将方程转化为更容易解的形式；3.去分母法：通过去分母的方式来解分式方程，即可以通过对方程两边乘以分母的乘积来将方程去分母化为一元一次方程；4.奇偶法：对于一些特殊的分式方程，可以通过观察其奇偶性质来确定方程的解的情况；5.变量代换法：通过引入新的未知数进行代换，从而将分式方程转化为一次方程；以上是初中数学解方程的常用方法。
不同类型的方程需要采用不同的解法，并且需要根据具体题目的情况来选择合适的解法。
一元二次方程和分式方程
一元二次方程及其应用【考点链接】1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是221,24(40)2b b ac x b ac a-±-=-≥.（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.3．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.（3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.【典例精析】例1 选用合适的方法解下列方程：（1）)4(5)4(2+=+x x ； （2）x x 4)1(2=+；（3）22)21()3(x x -=+； （4）31022=-x x .例2 已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值.例 3 含有绝对值符号的二次方程：我们知道，方程2=x 的解为2±=x ，那么形如04122=---x x 这样的绝对值方程，又该如何解呢？第四部分 分式方程及其运用【考点链接】1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 .5．易错知识辨析：（1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.（2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母为0的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根.（3） 如何由增根求参数的值：①将原方程化为整式方程；②将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值.【典例精析】例1 （1） 1233x x x=+-- （2）121193482232222=+-++-++x x x x x x x x例2 今年五月，某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．(1) 已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成?(2) 在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的65后，工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？请说明理由．。
分式方程和一元二次方程
4.解分式方程的一般步骤 (1)去分母，化为整式方程： ①把各分母分解因式; ②找出各分母的最简公分母; ③方程两边各项乘以最简公分母; (2)解整式方程. (3)检验(检验步骤必需写出来). ①把未知数的值代入原方程(一般方法); ②把未知数的值代入最简公分母(简便方法)若使 最简公分母值为0，则这个根是原方程的增根，必须舍去. (4)结论确定分式方程的解.
(2)关于x的方程x2-x+k=0有两个相等的实数根,
则实数k的值为___0_._2_5__ (3)一元二次方程(m-1)x2-2mx=6的一个根是3,
则实数m的值是___5___
(4)解下列方程
(1) x88 1
x7
7x
无解Leabharlann (2) xx22x21641
无解
(3)(x+1)(x-3)=5
x1=-2 x2=4
(4)2x2+9x-5=0
x1=-5 x2=0.5
再见
ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
A.3＜x＜3.23 C.3.24＜x＜3.25
B.3.23＜x＜3.23 D.3.25＜x＜3.26
例3
方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一根是0,则a的 值是多少?
(1)已知2是关于x的方程1.5x2-2a=0的一个解,
则2a-1的值是___5_____
分式方程和一元二次方程
1.主要概念: 分式方程:分母中含有未知数的方程. 一元二次方程:只含有一个未知数,并且未知数的最 高次数是2的整式方程.它的一般形式是 ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数),其中a叫二次项系 数,b叫一次项系数,c叫常数项.
分式方程一元二次方程
1 k 3 2 x2 x2 x 4 1 k 3 2 x2 x2 x 4 1 k 3 2 x2 x2 x 4
无解，求k 有解，求k
变3：关于x的方程 求k的值.
的解是正数，
3、n满足什么条件时，关于x的方程有解？ 3 6 xn 0 x x 1 x( x 1)
一元二次方程
分式方程
一. 分式方程
一般步骤（增根、检验）
二. 一元二次方程 一元二次方程的解法
根的判别式
根与系数的关系
1、解分式方程：
(1)
x 3x 2 x 1 0 2 x 1 x 1
2
(2)
2x 1 3x 2 x 2x 1
1 k 3 2 2、关于x的方程 有 x2 x2 x 4 增根，求k的值.
2 mx 3 4、 m为何值时，关于x的方程 2 x2 x 4 x2 无解？
5、已知关于x的方程只有一个解，求k的值. 2k x kx 1 x 1 x( x 1) x
5、解方程： (1) (x+1)(x+2)=x+1 (2) x2 (1 2 3) x 3 3 0
7、已知关于x的方程：
(m 2) x (2m 3) x m 2 0
2
有实数根，求m的值. 8、已知关于x的方程 1 2k x 2 k 1 x 1 0
2
有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
9、填空 (1)设一元二次方程2x2-7x+1=0的两个实数根 分别为x1和x2，则x1+x2=_____,x1· x2=____. (2)方程2x2-7x+1=0 和2x2+x+5=0的所有实数
中考总复习一元二次方程分式方程的解法及应用--知识讲解
中考总复习一元二次方程分式方程的解法及应用--知识讲解一、一元二次方程的解法一元二次方程是指一个未知数的平方最高次数为2的方程。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知常数，且a≠0。
解一元二次方程的方法有以下几种：1.因式分解法：对方程进行因式分解，然后令每个因式等于0，求解得到方程的解。
2. 公式法：利用求根公式(-b±√(b^2-4ac))/2a，计算出方程的根。
3.完全平方式：对一元二次方程进行配方处理，将其化为完全平方的形式，然后求解。
4.图像法：将方程的解与图像相结合，通过观察图像的交点来确定方程的解。
二、一元二次方程的应用1.抛物线问题：一元二次方程常用来描述抛物线的形状与运动轨迹。
在物理学、工程学等领域中，抛物线的特性与运动轨迹有很多应用。
2.几何问题：一元二次方程可以用来解决与几何问题相关的计算和推理。
如求解一个平面图形的面积、找到一个图形的对称轴等。
3.速度问题：一元二次方程可以用来描述具有变速度的运动过程。
在物理学和运动学中，可以通过一元二次方程来计算运动物体的速度、加速度等相关参数。
4.财务问题：一元二次方程可以用来解决与财务相关的问题，如计算利润、成本和销售量之间的关系等。
5.人口增长问题：一元二次方程可以用来描述人口增长的模型。
通过一元二次方程的解，可以预测人口增长的趋势和规律。
总结：一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，掌握解一元二次方程的方法对于提高数学学习的能力和解决实际问题具有重要意义。
在解题过程中，要根据具体情况选择合适的方法，并灵活运用数学知识解决问题。
中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用--知识讲解(基础)
中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识解说（基础）【考大纲求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2.会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转变为整式方程，把未知问题转变为已知问题，从而浸透数学的转变思想．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程1. 一元二次方程的定义只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为ax2bx c0 (a≠0)．2. 一元二次方程的解法（ 1）直接开平方法：把方程变为x2m 的形式，当m＞ 0 时，方程的解为x m ；当m＝0时，方程的解 x1,20 ；当m＜0时，方程没有实数解．2（ 2）配方法：经过配方把一元二次方程ax 2bx c0变形为x b b24ac的形式，再利2a4a2用直接开平方法求得方程的解．（ 3）公式法：对于一元二次方程ax2bx c0 ，当 b24ac0 时，它的解为 x b b24ac ．2a （ 4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就获得两个一元一次方程，分别解这两个方程，就获得原方程的解．重点解说：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特别方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的鉴别式一元二次方程根的鉴别式为 b 24ac ．△>0方程有两个不相等的实数根；△＝ 0方程有两个相等的实数根；△<0方程没有实数根．上述由左侧可推出右侧，反过来也可由右侧推出左侧．重点解说：△≥ 0方程有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系假如一元二次方程 ax 2bx c 0 (a≠0)的两个根是 x 、 x，那么b c ．12x1 x 2， x 1 x 2a a考点二、分式方程1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．重点解说：（ 1）分式方程的三个重要特色：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的差别就在于分母中能否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：对于的方程和都是分式方程，而对于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根 .口诀：“一化二解三查验”.重点解说：解分式方程时，有可能产生增根，增根必定合适分式方程转变后的整式方程，但增根不合适原方程，可使原方程的分母为零，所以一定验根．考点三、一元二次方程、分式方程的应用1．应用问题中常用的数目关系及题型(1)数字问题 ( 包含日历中的数字规律 )重点会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题重点是弄清日历中的数字规律．(2)体积变化问题重点是找寻此中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题收益此中的几个关系式：收益＝售价- 成本价 ( 进价 ) ，收益率＝× 100%．成本价明确这几个关系式是解决这种问题的重点．(4)对于两个或多个未知量的问题重点是找寻到多个等量关系，可以设出未知数，而且可以依据所设的未知数列出方程.(5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易犯错的问题，必定要剖析此中的特色，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要剖析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分问题增加量＝原有量×增加率；现有量＝原有量 +增加量；现有量＝原有量 - 降低量．2．解应用题的步骤(1)剖析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其他的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)查验所求的答数能否切合题意，并做答．重点解说：方程的思想，转变 ( 化归 ) 思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形联合的思想用数学表达式表示与数目相关的语句的数学思想．注意：①设列一定一致，即设的未知量要与方程中出现的未知量同样；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要一致；④求出解后要双检，既查验能否合适方程，还要查验能否切合题意．【典型例题】种类一、一元二次方程1．用配方法解一元二次方程：2x2 1 3x【思路点拨】把二次项系数化为1，常数项右移，方程两边都加前一次项系数一半的平方，再用直接开平方法解出未知数的值.【答案与分析】移项，得 2x23x1二次项系数化为1，得x23x12222配方x23x3132424321x164由此可得x 31 4 4 1x1 1 ， x22【总结升华】用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右侧；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加前一次项系数一半的平方；④再把方程左侧配成一个完整平方式，右侧化为一个常数；⑤若方程右侧是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右侧是一个负数，则判断此方程无实数解 .贯通融会：【变式】用配方法解方程x2-7x-1=0 ．【答案】将方程变形为x2-7x=1 ，两边加一次项系数的一半的平方，得x2-7x+=1+，所以有=1+．直接开平方，得x- =或x-=-．所以原方程的根为 x= 7+53 或x= 7- 53 ．222．对于 x 的方程kx2(k 2) x k0 有两个不相等的实数根.4(1)求 k 的取值范围 .(2) 能否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明原因【思路点拨】鉴别式大于0，二次项系数不等于0.【答案与分析】（1）由△ =(k+2) 2－4k·k＞ 0 4∴k＞－ 1又∵ k≠0∴k的取值范围是k＞－ 1，且 k≠0（ 2）不存在切合条件的实数k原因：设方程 kx2+(k+2)x+k=0 的两根分别为x1、x2，由根与系数关系有：4x1+x2=k 2， x 121，k·x=4又110=0则k 2=0∴ k2 x1x2k由（ 1）知，k 2 时，△＜0，原方程无实解∴不存在切合条件的k 的值 .【总结升华】（ 1）注意隐含条件k≠0；（ 2）由根与系数关系的应用，求出k 的值，要考证k 的值能否切合题意 .贯通融会：【变式】已知对于x 的方程x2(m 2) x 2m 1 0 ．（1）求证方程有两个不相等的实数根．（2）当m为什么值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．【答案】（ 1）证明 : 由于△ =( m2) 24(2m 1)=(m2) 24所以不论 m 取何值时，△>0，所以方程有两个不相等的实数根．（ 2）解：由于方程的两根互为相反数，所以x1x20 ，依据方程的根与系数的关系得m 20，解得 m 2 ，所以原方程可化为x 250 ，解得x5， x25.1种类二、分式方程3．解方程：【思路点拨】 先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行查验 .【答案与分析】方程两边都乘以 ，得x( x 1) 2( x 1) ，(x 1)(x 1)即 2 x 2x x 2， x 1 2x 3经查验： x 3是原方程的根 .【总结升华】第一要确立各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记住要验根.贯通融会：【变式 1】解分式方程：2 x 2 1 ．x 3x3【答案】 方程两边同乘以x 3 ，得2 x 2( x 3) 1 ． 2 x2 x 6 1．x 5 ．经查验： x 5 是原方程的解，所以原方程的解是x5 ．【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用高清 ID 号： 405754关系的地点名称（播放点名称） ：例 1（1）】【变式 2】方程 x3 1 x2 的解是 x=．【答案】 x0 . x224．若解分式方程2x m 1 x 1产生增根，则 m 的值是（）x 1 x(x 1)xA.B.C.D.【思路点拨】 先把原方程化为整式方程，再把可能的增根分别代入整式方程即可求出 m 的值 .【答案】 D ；【分析】 由题意得增根是：化简原方程为： 把代入解得 m2或1，应选择 D.【总结升华】 分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值 .贯通融会：【高清课程名称： 一元二次方程、分式方程的解法及应用 高清 ID 号：405754关系的地点名称（播放点名称） ：例 1（2）- 例 2】【变式 】若对于 x 的方程 x2 m 2无解，则 m 的值是．x3x3【答案】 1.种类三、一元二次方程、分式方程的应用5．轮船在一次航行中顺水航行80 千米，逆流航行 42 千米，共用了 7 小时；在另一次航行中，用相同的时间，顺水航行40 千米，逆流航行 70 千米 . 求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.【思路点拨】在航行问题中的等量关系是 “顺水速度＝静水速度＋水流速度； 逆流速度＝静水速度－水流速度” ，两次航行供给了两个等量关系 .【答案与分析】设船在静水中的速度为x 千米 / 小时，水流速度为 y 千米 / 小时由题意，得解得：x 17 y 3经查验：x17是原方程的根y 3答：水流速度为 3 千米 / 小时，船在静水中的速度为17 千米 / 小时 .【总结升华】流水问题公式：顺水速度＝静水速度＋水流速度；逆流速度＝静水速度－水流速度；静水速度＝ ( 顺水速度＋逆流速度 ) ÷2；水流速度＝( 顺水速度－逆流速度 ) ÷2 .贯通融会：【变式 】甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2 棵树，甲班种 60 棵所用的时间与乙班种 66 棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各样多少棵树？【答案】 设甲班每小时种 x 棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，由题意得：答：甲班每小时种树20 棵，乙班每小时种树22 棵 .6．某服饰厂生产一批西服，本来每件的成本价是500 元，销售价为625 元，经市场展望，该产品销售价第一个月将降低 20%，第二个月比第一个月提升6%，为了使两个月后的销售收益达到本来水平，该产品的成本价均匀每个月应降低百分之几？【思路点拨】设该产品的成本价均匀每个月降低率为x，那么两个月后的销售价钱为625（1-20%）（1+6%），两个月后的成本价为 500（1-x ）2，而后依据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果．【答案与分析】设该产品的成本价均匀每个月应降低的百分数为x．625（ 1-20%）（ 1+6%） -500 （ 1-x ）2=625-500整理，得 500（ 1-x ）2 =405，（ 1-x ）2=0.81 ．1-x=± 0.9 ，x=1± 0.9 ，x12=1.9 （舍去）， x =0.1=10%．答：该产品的成本价均匀每个月应降低10%．【总结升华】题目中该产品的成本价在不停变化，销售价也在不停变化，?要求变化后的销售收益不变，即收益仍要达到125 元， ?重点在于计算和表达改动后的销售价和成本价．。
初中数学 方程的分类有哪些
初中数学方程的分类有哪些在初中数学中，方程可以按照不同的特征进行分类。
以下是几种常见的方程分类：1. 一元一次方程：一元一次方程是最简单的方程形式，它只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为1。
一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a和b 是已知数，x是未知数。
解一元一次方程的方法通常是通过移项、合并同类项和求解一元一次方程的一般步骤。
2. 一元二次方程：一元二次方程是包含一个未知数的二次方程。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是已知数，x是未知数。
解一元二次方程的方法可以通过配方法、因式分解、求根公式等。
3. 多元一次方程：多元一次方程是包含多个未知数的一次方程。
多元一次方程的一般形式为a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b，其中a1、a2、...、an和b是已知数，x1、x2、...、xn是未知数。
解多元一次方程的方法通常是通过消元、代入、求解一元一次方程等。
4. 分式方程：分式方程是包含有分数的方程。
分式方程的一般形式为P(x) / Q(x) = R(x) / S(x)，其中P(x)、Q(x)、R(x)和S(x)是多项式，x是未知数。
解分式方程的方法通常是通过通分、消去分母、求解一元一次方程等。
5. 绝对值方程：绝对值方程是包含有绝对值符号的方程。
绝对值方程的一般形式为|ax + b| = c，其中a、b和c是已知数，x是未知数。
解绝对值方程的方法可以通过列出正负两种情况，再求解一元一次方程等。
6. 指数方程：指数方程是包含有指数的方程。
指数方程的一般形式为a^x = b，其中a和b是已知数，x是未知数。
解指数方程的方法可以通过取对数、换底公式等。
以上是初中数学中常见的方程分类。
了解不同类型的方程有助于我们在解题过程中选择合适的解法和方法，提高解题的效率和准确性。
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分式、一元二次方程
1．若非零实数a，b（a≠b）满足a2﹣a﹣2007=0，b2﹣b﹣2007=0，则：=．2．若关于x的方程x2+kx﹣12=0的两根均是整数，则k的值可以是．3．若m、n是关于x的方程x2+（p﹣2）x+1=0的两实根，则代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值等于．
4．解分式方程：
（1）﹣=﹣．（2）+=+．
5．当k为何值时，关于x的方程=+1，（1）有增根；（2）解为非负数．
6．已知+=4，+=3，+=2，则x+5y+7z的值．
7．已知|ab﹣2|和|b﹣1|互为相反数，求：
（1）求a、b的值．
（2）求+++…+的值．
8．若不等实数a，b满足5（a﹣b）+（b﹣c）+（c﹣a）=0，求的
值．
9．利用+1=先对下列方程化简，然后再解方程+=+．
10．已知方程a（2x+a）=x（1﹣x）的两个实数根为x 1，x2，设．（1）当a=﹣2时，求S的值；
（2）当a取什么整数时，S的值为1；
（3）是否存在负数a，使S2的值不小于25？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
11．已知：x2+a2x+b=0的两个实数根为x1、x2；y1、y2是方程y2+5ay+7=0的两个实数根，且x1﹣y1=x2﹣y2=2．求a、b的值．
12．阅读下列材料：求函数的最大值．
解：将原函数转化成x的一元二次方程，得．
∵x为实数，∴△==﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．
根据材料给你的启示，求函数的最小值．。