可化为一元二次方程的分式方程
可化为一元二次方程的分式方程
可化为一元二次方程的分式方程为了满足字数要求，我将详细解释可化为一元二次方程的分式方程的概念、一些示例、解题步骤和技巧。
以下是一个关于分式方程的完整解释。
分式方程是一个方程，其中包含了分式表达式。
一元二次方程则是一个具有形如 ax^2 + bx + c = 0这种形式的方程，其中 a、b和c是实数，且a ≠ 0。
将分式方程化为一元二次方程可以使我们更容易解决和求解方程。
要将分式方程化为一元二次方程，我们需要遵循以下简单的步骤：步骤一：将分式方程的分子和分母的多项式部分展开。
这可能包括分布律、乘法法则和化简等操作。
步骤二：将方程两侧的分母相乘，以消除分母。
这可以通过将每个项乘以缺少的分母部分来完成。
步骤三：将分母相乘后，将等式的两侧约分。
这可以通过因子分解来完成。
步骤四：将等式的两侧移项并整理，使所有项在一侧，并将方程表示为 ax^2 + bx + c = 0的形式。
这样，分式方程就被转化为了一元二次方程。
为了更好地理解这些步骤，考虑以下示例：例1：将分式方程1/(x+2)+1/(x+3)=1/x化为一元二次方程。
步骤一：展开分子和分母，我们得到：(x+3)(x+2)+x(x+2)=(x+3)(x)步骤二：两侧相乘，我们得到：(x+3)(x+2)x+x(x+2)(x+3)=(x+3)(x)^2步骤三：约分两侧，我们得到：x(x+3)+x(x+2)(x+3)=(x+3)x^2步骤四：移项并整理，我们得到：x^2+3x+x^3+2x^2+3x^3=0合并同类项，我们得到：4x^3+3x^2+3x=0现在这个方程可以被看作一个一元二次方程，其中a=4，b=3，c=0。
例2：将分式方程(3x-7)/(x+2)+(x+1)/(x+3)=4/(x+3)化为一元二次方程。
步骤一：展开分子和分母，我们得到：(3x-7)(x+3)+(x+1)(x+2)=4(x+2)步骤二：两侧相乘，我们得到：(3x-7)(x+3)(x+2)+(x+1)(x+2)(x+3)=4(x+2)(x+3)步骤三：约分两侧，我们得到：(3x-7)(x+3)+(x+1)(x+3)=4(x+3)步骤四：移项并整理，我们得到：(3x^2-4x-19)(x+3)=4x+12展开和合并同类项中的项，我们得到：3x^3+5x^2-34x-57=4x+12现在这个方程可以被看作一个一元二次方程，其中a=3，b=5，c=-21解决这个一元二次方程可以使用一般的求解方法，例如，可以使用公式法、配方法、因式分解等方法来求解。
解可化为一元二次方程的分式方程
B、12 y2 + 5y + 1 = 0
C、y2 － 5y + 6 = 0
D、 6y2 － 5y + 1 = 0
三、解分式方程：
1、
－
= +1
2、
+ x2－2 = 0
返回
小结
基本思想：化分式方程为整式方程
解
分 式
基本方法
方
程
去分母
换元法（解特殊分式方程的方法） 去分母
基本步骤 解整式方程
验根
返回
解可化为一元二次方程的分式方 程
复习 例一 例二练Fra bibliotek 小结复习
一、填空：
1、___分__母___中__含__有__未__知__数__的__方__程______叫分式方程。
2、解可化为一元一次方程的分式方程的基本思路是 分__式__方_程__
__化__为__整__式__方__程__。 基 本 方 法 是 ____去___分___母_____， 基 本 步 骤 是 ___去__分__母__、__解__整__式__方__程__、__验__根_____。 3、解分式方程时，方程两边都乘以同一个整式，就有产生_增__根__ 的可能，因此解分式方程必须___验___根____。
二、选择：
（1）下列方程中有实数根的是：（ C ）
A、 + 2 = 0
B、
=0
C、
=0
D、
=
(2) 已知 Ｘ＝－2 是某一个方程的增根，则这个方程是：（ B ）
A、X2－4Ｘ＋４＝０
Ｂ、３＋
=
C、
+
=
D、
=
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(3) 用换元法解方程
知识卡片-解分式方程--可化为一元二次方程
解分式方程——可化为一元二次方程能量储备●解可化为一元二次方程的分式方程的基本思想把分式方程转化为整式方程（一元二次方程），解这个整式方程，然后验根，从而确定分式方程的解.●解化为一元二次方程的分式方程的一般方法和步骤：方法一：去分母法.（1）去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程.（2）解整式方程：即解一元二次方程，去括号、移项、合并同类项等.（3）检验：最后进行检验，有増根，舍掉。
简称为一化，二解，三检验.方法二：换元法.结构上有一定特点，若用常规去分母法求解比较麻烦，可从整体思想出发，采用换元法设辅助未知数，把原方程转化为一个简单的分式方程或正式方程再求解。
如（x−1）2x2−x−1x−2=0即可设x−1x= t换元求解。
●检验的方法（1）直接检验法.将解的值分别代入原分式方程的左边和右边进行检验.直接检验法不仅能检验求得的解是不是原分式方程的解，而且能检验求得的解是否正确. （2）公分母检验法.把求得的解代入最简公分母中进行检验，使最简公分母为0的解不是原分式方程的解.公分母检验法比较简单，因此被广泛运用.通关宝典★★易混易误点易混易误点1:用分式方程中的最简公分母同乘方程的两边时，要注意用最简公分母乘方程两边各项时，不要漏乘不含分母的项.例1解方程：11−x ＝2+3x−x21−x2解法1：方程两边乘1−x2，得1+ x＝2(1−x2) + 3x−x2，整理后，得3x2−2x−1=0. 解得：x1=1,x2=−13,检验：将x1=1代入原方程，1-x=0，所以x=1是方程的增根，舍去x2=−13带入原方程，左边＝右边，所以x2=−13是原分式方程的解.易混易误点2:解分式方程可能产生不适合原方程的解，所以检验是解分式方程的必要步骤.例2 解方程：x ＋1x －1－4x 2－1＝1 解：方程两边乘（x ＋1）（x －1），得（x ＋1）2－4＝（x ＋1）（x －1），解得x ＝1. 检验：当x ＝1时，（x ＋1）（x －1）＝0，所以x ＝1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解. 蓄势待发考前攻略分式方程的解法是中考的热点，其题型主要是解答题. 完胜关卡。
初高中数学衔接课程(5)——一元二次不等式与分式不等式讲义
初高中数学衔接课程第五讲 方程与不等式5.1 二元二次方程组解法方程 22260x xy y x y +++++=是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程。
其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项。
我们看下面的两个方程组：224310,210;x y x y x y ⎧-++-=⎨--=⎩ 222220,560.x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组。
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法。
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解。
例1 解方程组22440,220.x y x y ⎧+-=⎨--=⎩解：由②,得x ＝2y ＋2， ③把③代入①,整理,得8y 2＋8y ＝0，即y (y ＋1)＝0。
解得y 1＝0，y 2＝－1。
把y 1＝0代入③,得x 1＝2；把y 2＝－1代入③,得x 2＝0。
所以原方程组的解是112,0x y =⎧⎨=⎩，；220,1.x y =⎧⎨=-⎩说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解。
例2解方程组7,12.x y xy +=⎧⎨=⎩解：由①，得7.x y =- ③把③代入②，整理，得27120y y -+= 解这个方程，得123,4y y ==。
把13y =代入③，得14x =；把24y =代入③，得23x =。
所以原方程的解是114,3x y =⎧⎨=⎩，；223,4.x y =⎧⎨=⎩【例3】解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩分析：本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把x 、y 看成是方程211280z z -+=的两根，则更容易求解。
可化为一元二次方程的分式方程的应用题
可化为一元二次方程的分式方程的应用题可化为一元二次方程的分式方程是八年级代数的一个重点内容，它的应用题作为初中阶段围绕方程的一系列知识的终结点，是中考的一个主要考察对象，也是一个难点。
本课中的例题及练习题都给出了三种解法，目的是增加解题手段，并附有专门用于解特殊一元二次方程的变形的求根公式，帮你解决困难。
解答中出现的“同类量”是指与所设未知数有相同单位的量，“相关量”是指由已知数据和所设未知数及其同类量能表示的量. 一般情况下，由“相关量”得出方程.例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米. 中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全程少用半小时. 求这两种车速度.解法1：(直接法)设大客车每小时行驶x 千米，(同类量)中巴车每小时行驶(相关量)大客车跑完全程需,300小时x 中巴车需,20300小时 x 则(x +20)千米,例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法1：).2120300300=+-x x 根据题意, 得去分母, 得600x +1200–600x= x2+20x ,整理得x 2+20x –1200=0,解得x 1=100,x 2= –120.(解法1：)经检验，x1=100, x2= –120都是原方程的根,但速度为负不符合题意,∴只取x=100,这时，100+20=120.答：中巴车每小时行驶120千米，大客车每小时行驶100千米.例题1、在高速公路上，A、B两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全解法2：(间接法)设大客车行驶全程需y 千小时，(同类量)中巴车行驶全程需(相关量)大客车速度为,/300小时千米y 中巴车速度为,)21(小时-y ,/21300小时千米-y 则例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法2：).2030021300=--y y 根据题意, 得去分母, 得30y –15(2y –1)=2y 2–y ,整理得2y 2–y –15=0,解得y 1=3,y 2= –2.5.例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法2：)经检验，y1=3, y2= –2.5都是原方程的根,但时间为负不符合题意,∴只取y=3,100+20=120.这时，300÷3=100,答：中巴车每小时行驶120千米，大客车每小时行驶100千米.例题1、在高速公路上，A、B两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全解法3：(方程组法)设大客车每小时行驶x 千米，则中巴车每小时行驶(x +20)千米,行驶全程需y 千小时，行驶全程需,)21(小时 y 例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法3：)①,300=xy 根据题意, 得展开②式, 得把①式代入并化简得∵y ≠0,两边都乘以y,得②.300)21)(20(=-+y x ,300102021=-+-y x xy ,0102021=-+-y x {例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全(解法3：),01020212=-+-y y xy 再次把①式代入并整理得2y 2–y –15=0,解得y 1=3,y 2= –2.5.但时间为负不符合题意, ∴只取y =3,这时，300÷3=100,答：(略.)100+20=120.例题1、在高速公路上，A 、B 两地间的距离为300千米.中巴车每小时比大客车多跑20千米, 因而行驶全程少用半小时. 求这两种车速度.评：本题是四年制代数课本第三册(2002年版)解法1的优点是直接得到所求, 解法2的优点是方程比较容易解, 解法3的优点是不需检验, 第116页例3的“现代版”.缺点是由于得数绝对值大, 因而方程的常数项绝对值也大, 使解方程的难度加大;但必须注意所得结果不是所求, 还需再计算一步;并且适合有两问缺点是解方程组的过程稍麻烦.的题目;课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务. 原计划每天挖多少米?解法1：设原计划每天挖x 米，则(同类量)实际每天挖(相关量)原计划工期为,960天x 实际工期为.20960天 x (x +20) 米，课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?(解法1：).420960960=+-x x 根据题意, 得去分母, 得960x +19200–960x= 4x 2+80x ,整理得x 2+20x –4800=0,解得x 1=60,x 2= –80.(解法1：)经检验，x1=60, x2= –80 都是原方程的根,但工效为负不符合题意,∴只取x=60.答：原计划每天挖60米.课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?解法2：(间接法)设原计划工期为y 天，(同类量)实际工期为(相关量)原计划每天挖,960米y实际每天挖,)4(天-y ,4960米-y 则课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?.209604960=--yy 根据题意, 得去分母, 得960y –(960y –3840)=20y 2–80y ,整理得y 2–4y –192=0,解得y 1=16,y 2= –12.课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?经检验，y1=16, y2= –12都是原方程的根,但工期为负不符合题意,∴只取y=16,这时，960÷16=60.答：(略.)课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?解法3：(方程组法)设原计划每天挖x 米，则实际每天挖(x +20)米,工期为y 天，工期为,)4(天-y ①,960=xy 根据题意, 得②.960)4)(20(=-+y x {课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?展开②式, 得把①式代入并化简得∵x ≠0,两边都乘以x,得,96080204=-+-y x xy ,0205=+-y x (解法3：),02052=+-x xy x 课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?(解法3：)再次把①式代入并整理得x2+20x–4800=0,解得x1=60,x2= –80.∵工期为负不符合题意,∴只取x=60.答：(略.)课本例4某农场开挖一条长960米的渠道, 开工后每天比原计划多挖20米, 结果提前4天完成任务.原计划每天挖多少米?课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，贮存的煤原计划用多少天？每天烧多少吨？解法1：设原计划用x 天，则(同类量)实际用了(相关量)原计划每天用煤,350吨x .20350吨 x (x +20) 天,实际每天用煤.220350350=+-x x 根据题意, 得去分母并整理得x 2+20x –3500=0,解得x 1=50,x 2= –70.课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，经检验，, x1=50, x2= –70都是原方程的根.∵时间为负不符合题意,∴只能取x=50.这时，350÷50=7.答：原计划用50天, 每天用7吨.课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，解法2：(间接法)设原计划每天用y 吨，(同类量)实际每天用(相关量)原计划和实际分别用,350天y ,)2(吨-y .2350天-y 则课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，.203502350=--yy 根据题意, 得去分母并整理, 得y2–2y –35=0,解得y 1=y 2=,7.5-课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，经检验，y1=7,y2= –5都是原方程的根.∵每天用量为负不符合题意,∴只能取y=7.这时，350÷7=50.答：原计划用50天, 每天用7吨.课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，解法3：(方程组法)则实际用了每天用.)2(吨-y (x +20)天,设原计划用x 天，每天用y 吨，①,350=xy 根据题意, 得②.350)2)(20(=-+y x {课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，展开②式, 得,35040220=--+x y xy 把①式代入并化简得∵x ≠0,两边都乘以x,得③,01020=-+y x ,03500202=-+x x 课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，解得x 1=50,x 2= –70.代入③式, 得y 1=y 2=,7.5 ∵负数不符合题意，舍去.∴{x =50,y =7.答：原计划用50天, 每天用7吨.课本第118页练习题3某工厂贮存350吨煤，由于改进炉灶和烧煤技术，每天能节约2吨煤，使贮存的煤比原计划多用20天，课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作,6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作各需多少天完成?解法1：设乙班单独工作需x 天完成，则(同类量)甲班单独工作需(相关量)两班的效率分别为,1x.51 x (x –5) 天,.61151=+-x x 根据题意, 得去分母并整理得x2–17x +30=0,解得x 1=15,x 2=2.课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作经检验，, x1=15, x2=2都是原方程的根.当x=15 时, x–10=5.当x=2 时, x–10= –8.∵时间为负不合题意,∴只能取x=15.答：单独工作甲班需10小时完成，乙班需15小时.课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作解法2：(间接法)设乙班的效率为y ，(同类量)甲班的效率为(相关量)单独完成工作两班分别需要,611天y -),61(y -.1天y 则课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作(解法2：).56111=--yy 根据题意, 得去分母并整理, 得30y2–17y +1=0,课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作解得y 1=y 2=,151.21(解法2：)经检验，y 1=y 2= 都是原方程的根.,15121,151时当=y ,151=y =-y 611.10课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作(解法2：)答：(略.),41时当=y ,3611,21-=-=y y.,舍去不合题意课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作解法3：(方程组法)则甲班需每天完成).61(y 设单独工作乙班需x 天完成，乙班的每天完成的工作量为y ，(x –5)天,课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作①,1=xy 根据题意, 得②.1)61)(5(=--y x {展开②式, 得,156561=+--y xy x 课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作把①式代入并化简得∵x ≠0,两边都乘以x,得,03017=+-y x ,030172=+-x x 解得x 1=15,x 2=2.课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作(解法3：)当x=15 时, x–5=10.当x=2 时, x–5= –3.∵时间不能是负数,∴只能取x=15.答：(略.)课本第118页练习题4甲、乙两班学生绿化校园. 如果两班合作，6 天可以完成. 如果单独工作,甲班比乙班少用5天. 两班单独工作课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作, 10天以后,甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成.如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天. 求各组单独完成这项工作所需的天数.解法1：设单独完成工作乙组需x 天，则(同类量)单独完成甲组需(相关量)两组的效率分别为,1x .41 x (x –4) 天,.112410=+-xx 根据题意, 得去分母并整理得x 2–26x +48=0,解得x 1=24,x 2=2.课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.经检验，, x1=24, x2=2都是原方程的根.当x=24 时, x–4=20.当x=2 时, x–10= –8.∵时间为负不合题意, ∴只能取x=24.这时，x–4=20.答：单独完成, 甲组需20天，乙组需24天.课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.解法2：(间接法)设乙组的效率为y ，(同类量)甲组的效率为(相关量)单独完成分别需,12110天y -,10121y -.1天y则课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.(解法2：).4121101=--yy 根据题意, 得去分母并整理, 得48y2–26y +1=0,课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.解得y 1=y 2=,241.21(解法2：)经检验，y 1= y 2= 都是原方程的根.,24121,241时当=y ,241=y .2012110=-y课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.(解法2：)答：(略.),21时当=y .,,212110,21舍去不合题意-=-=yy 课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.解法3：(方程组法)则甲组需每天完成.10121y 设单独完成工作乙组需x 天，乙组每天完成的工作量为y ，(x –4)天,课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.①,1=xy 根据题意, 得②.110121)4(=--y x {(解法3：)展开②式并整理, 得,0144812=-+-y xy x 把①式代入并化简得∵x ≠0,两边都乘以x,得,04826=+-y x ,048262=+-x x 课本118页练习题5甲、乙两组工人合做某项工作,，10天以后，甲班组另有任务, 乙组再单独做2于才完成. 如果单独完成这项工作, 甲组比乙组可以快4 天.。
可化为一元二次方程的分式方程
可化为一元二次方程的分式方程一、重点、难点1、会用去分母的方法解分式方程。
2、会用换元法解分方式方程。
3、正确理解增根的意义，会排除方程的增根。
二、考点1、掌握可化为一元二次方程的分式方程的解法。
2、掌握用换元法解某些可化为一元二次方程的分式方程。
3、掌握列分式方程解应用题的一般方法和步骤。
三、例题分析第一阶段例1、解下列分式方程：思路分析：以上两方程都可用去分母的方法化为整式方程，但在去分母的过程中可能产生增根，解得整式方程的解后一定要检验，以确定所得的根是否是分式方程的根。
解：（1）方程两边同乘以(1-x) (1+x),去分母(1-x)+(1-x)(1+x)=2(1+x)整理得x2+3x=0x1=0, x2= -3检验把x=0代入(1-x)(1+x)≠0把x= -3代入(1-x)(1+x)≠0∴x1=0, x2= -3是原方程的解。
方程两边同乘以(1+x)(x+2)(x-2)得(2x-5)(x-2)+4(x+1)=(x+2)(x+1)整理得 x2-8x+12=0解方程x1=2,x2=6检验：把x=2代入(x+1)(x+2)(x-2)=0,∴x=2是增根，舍去把x=6代入(x+1)(x+2)(x-2)≠0∴原方程的根是x=6点评：分式方程根的情况较复杂，它是由化简后的整式方程根的情况及验根后的结果来决定的。
例2、解下列方程思路分析：第（1 ）题用去分母法，将方程两边同时乘以最简公分母(x+1)(x-1),就可转化为整式方程。
第（2）题若用去分母法，转化成的整式方程次数较高，不适合。
可把原方程变形为，此时若设即可把原方程变为一个关于y的整式方程。
解：（1）方程两边同乘以(x+1)(x-1),得2+x-1=x2-1,整理得 x2-x-2=0,解这个方程得 x1=2, x2= -1.经检验：x= -1是增根，故舍去，x=2是原方程的根。
∴原方程的根是x=2.(2)原方程的变形为解这个方程，得解得x3=x4=1.例3、解方程思路分析：此题可用换元法解，把(x2+x)看作一个整体，可以设y=x2+x,原方程变为；若把x2+x+1看作是一个整体，可设y=x2+x+1，则x2+x=y-1，原方程就变为解题时，也可以不设铺助未知数y，直接把x2+x或x2+x+1看成一个整体进行变形，其思维方法仍属于换元法。
《一元二次方程》复习经典讲义--绝对经典实用
《一元二次方程》复习经典讲义基础知识1、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如脳」「冰4；"『：寫占门的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。
其中'分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a b分别是二次项和一次项的系数。
如|满足一般形式「丁：、1，工宀L分别是二次项、一次项和常数项，2,—4分别是二次项和一次项系数。
注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。
2.—元二次方程求根方法(1)直接开平方法形如•的方程都可以用开平方的方法写成' ，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。
(2)配方法通过配方将原方程转化为V；工己丿的方程，再用直接开平方法求解。
配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。
配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1,只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。
(3)公式法求根公式：方程小* X 「的求根公式_b 丄v b2-4ac2ti步骤:1）把方程整理为一般形式：：匚『“甩.m」：，确定a b、c。
2）计算式子卜In的值。
3）当八心心-时，把a、b和卜L LI的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。
（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。
3、一兀二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到显然只有当护仏“时，才能直接开平方得:也就是说，一元二次方程卅r吐m沁珥只有当系数'耳、满足条件託=眇一盘供訣氐时才有实数根.这里「n 叫做一元二次方程根的判别式.4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程'的根由其系数「、耳、确定，它的根的情况（是否有实数根）由二•，确定.设一元二次方程为' 7 ' 11■ 「，其根的判别式为：则hbph' ■4tjcr①1■- ' =■方程门厂山应二：：緘町有两个不相等的实数根■br V ——丫——…_ _②方程' f'有两个相等的实数根•一.③.匸方程农用沁没有实数根.若I，4，匸为有理数，且二为完全平方式，则方程的解为有理根；若△为完全平方式，同时血是％的整数倍，则方程的根为整数根.说明:⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，：；有两个相等的实数根时，人-J;没有实数根时，「1⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式—氐判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）•当亠忙仝:时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根.①当时二抛物线开口向上二顶点为其最低点；②当…「时=抛物线开口向下二顶点为其最高点.5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题.6韦达定理b如果能畋;:;的两根是；:,贝U " -丿.（隐含的条件：•「「）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设'，’‘是方程"'的两个根，贝U '-7、韦达定理的逆定理以两个数，”为根的一元二次方程（二次项系数为1 ）是F -（x t ^x2）x^x l x2 -0一般地，如果有两个数’，•满足＜，「，那么'，•'必定是加亠脉V.U =比爭為的两个根.8、韦达定理与根的符号关系在£已护仏心1J的条件下，我们有如下结论:-<0 丄邸⑴当・时，方程的两根必一正一负•若- ，则此方程的正根不小于负-*<0根的绝对值；若「，则此方程的正根小于负根的绝对值.->0 --> o⑵当J 时，方程的两根同正或同负.若」，则此方程的两根均为正--<0根；若「，则此方程的两根均为负根.更一般的结论是：若，'■是煜。
一元二次方程应用教案分式方程问题
风华中学八年级数学组集体备课资料课题一元二次方程的应用科目校对人课时 1课时使用者时间一、教学目标（知识与能力，过程与方法情感态度价值观）1.能够根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，可化为一元二次方程的分式方程解应用题。
2.能根据问题的实际意义检验所得的结果是否合理。
3.在经历建立方程模型解决实际问题的过程中，培养和提高学生分析问题和解决问题的能力，体会数学建模和符号化思想，感受数学的应用价值。
二、教学重点学会列一元二次方程解应用题。
三、教学难点选择合适的方法解一元二次方程。
四、教学过程第五课时分式方程问题例："丽园"开发公司生产的960件新产品，需要精加工后，才能投放市场。
现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，而乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品.求甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品。
练习1：某校组织学生360名师生去参观某公园，如果租用甲种客车客车刚好坐满；如果租用乙种客车可少用一辆，且余40个空座位.已知甲种客车比乙种客车少20个座位,求甲、乙两种客车各有多少个座位。
练习2：某顾客第一次在商店买若干件小商品花去5元，第二次再去买该小商品时，发现每一打（12件）降价0.8元，他比第一次多买了10件，这样，第二次共花去2元，且第二次买的小商品恰好成打，问他第一次买的小商品是多少件？练习3：(01年吉林省)某文化用品商店出售一批规格相同的钢笔，如果每支钢笔的价格增加1元，那么120元钱可以买到的钢笔数量将会减少6支，求现在每支钢笔的价格是多少元？练习4：商场销售某种商品，今年四月份销售了若干件，共获毛利润3万元（每件商品的毛利润＝每件商品的销售价格－每件商品的成本价格）．五月份商场在成本价格不变的情况下，把这种商品的每件销售价降低了4元，但销售量比四月份增加了500件，从而所获毛利润比四月份增加了2千元．问调价前，销售每件商品的毛利润是多少元？练习5：(02年天津市)甲、乙两名职工接受相同数量的生产任务，开始时，乙比甲每天少做4件，乙比甲多用2天时间，这样甲、乙两人各剩624件，随后，乙改进了生产技术，每天比原来多件6件，相同。
可化为一元二次方程的分式方程与无理方程
第二单元 可化为一元二次方程的分式方程和无理方程一、教 法 建 议抛砖引玉本单元向同学们介绍了公式方程与无理方程.对分式方程（可化为一元一次方程的分式方程）同学已学过，并不陌生.因而，在教学中以其为突破口，自然地过渡到解可化为一元二次方程的分式方程.它的基本思想与可化为一元一次方程的分式方程基本相似，在教学中，紧紧地抓住“把分式方程‘转化’为整式方程”这条主线，研究“转化”的条件.结合具体实例，突出“转化”，突出解可化为一元二次方程的分式方程的步骤与解可化为一元一次方程的分式方程的步骤完全相同.再结合例题，剖析产生增根的原因，使学生深知验根的必要性和重要性及验根的方法.在本单元教学中，通过例2培养学生敏锐的观察力，使他们发现11,1122++++x x x x 两个分式的分母、分子互相交换位置，可看作互为倒数，自然引到换元法上来，通过换元把此分式方程转化为一元二次方程，简捷，易解，激发他们对换元法的兴趣，抓住这一契机，进一步强调换元法应用的广泛性、重要性.应用题教学应注意对题目中一些相等关系的分析，使他们在分析问题、解决问题的能力方面在原有基础上再提高一步.无理方程对学生来说是新内容，在教学中结合实例使学生了解无理方程的概念，掌握其解法——乘方法及换元法.强调解无理议程验根的必要性及其方法步骤.指点迷津解可化为一元二次方程的分式方程，重点是抓住把分式方程“转化”为整式方程.因此，要注意“转化”的条件.要引导学生善于观察，捕捉习题的特点来选取转化的方法，通常（如课本P45例1）选取去分母法，也可采取换元法（如果方程的两项成倒数关系，二次项的底数与一次项底数相等，采取换元法为宜）.对于解分式方程最后一道“关”——检验，务必不能漏掉，必须向同学们进一步强调.列方程解应用题尽管同学们多次接触，与以前学过列方程（整式方程）解应用题几乎完全相同，但找相等关系要比以前学过的复杂一些.只要强化对题目中的一些相等关系的分析，症结也可化解.引出无理方程的概念后，指出以前学过的整式方程和分式方程统称有理方程，这样对代数方程有一个完整认识，再通过实例强调无理方程必须掌握乘方法及换元法，常规方法是乘方法.至于如何选取换元法，必须善于观察，若发现根号内外对应项系数成比例或两个根号内的两项互为倒数关系等，应果断选取换元法，无理方程的验根这一环也必须扣紧，来不得半点含糊.二、学 海 导 航思维基础1. 方程叫分式方程，解分式方程一般是把方程两边同乘以 或用 法，使原方程转化为 去求解.2. 方程叫无理方程.解无理方程一般是把方程两边同时 或 法，使原方程转化为 去求解.3.解分式方程和无理方程的转化过程中，有可能产生 ，因此解这两种方程的最后必须进行 .4.检验分式方程增根的一般方法是 .5.检验无理方程增根的一般方法是 .【学法指要】例1 解方程：601745123542+--=--+-x x x x x . 【思考】1.解分式方程通常使用哪两种方法？2.本例应用何种方法解之为宜？3.解分式方程应注意什么？4.分母为多项式首先应怎么办？如何去分母呢？【思路分析】本例是一道分式方程.通常采用去分母法，因此首先应观察各项分母，如能分解因式必须先分解因式，如本例60172+-x x 可分解因式为)12)(5(--x x .待分解因式后再找各分母的最小公倍式.如本例为“)12)(5(--x x ”.用此整式去乘方程的每一项，便可约去分母，将分式方程转化为整式方程求解.在去分母的过程中要注意两点：（1）必须注意符号的变化规律（如本例“12-x ”与“x-12”的关系）；（2）用整式乘以方程的每一项，一项都不能漏.最后应检验，至此例可找到本例完整解答.解：原方程就是 )12)(5(4512354---=--+-x x x x x x ， 方程两边都乘以)12)(5(--x x ，约去分母，得45)5)(3()12(4-=----x x x x ，整理后，得018112=++x x .解这个方程，得9,221==x x . 检验：0)12)(5(9,221≠--==x x x x 代入，∴ 9,221==x x 均为原方程根.例2 解方程：（1）061512=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x ；（2）112)1(31)2(82222=+-+-+xx x x x x . 【思考】1.解分式方程可用换元法，一是二次项与一次项相同，采取同底换元法；二是含未数的二项方程为一常数，呈倒数关系，可采取倒数换元法，你说对吗？2.对本例采取何方法解之？请你探索.【思路分析】（1）观察方程（1）可发现二次项底数与一次项未知底数相同，因而，可考虑换元法为宜. 解：设y x x =+1.则原方程可化为 0652=++y y ，0)3)(2(=++y y ，∴ 3,221-=-=y y .当y 1=-2时，即3221-=⇒-=+x x x ； 当y 2=-3时，即0143,32,433121≠+-=-=-=⇒-=+x x x x x x 代入检验把. ∴ 43,3221-=-=x x 均为原方程的根. 【思路分析】（2）观察方程（2）可发现这个方程左边两个分式中的1222-+x x x 与xx x 2122+-互为倒数，根据这个特点，可以用换元法来解. 解：设y x x x =-+1222，那么y x x x 12122=+-，于是原方程变形为 11438=+y ， 去分母，得 031182=+-y y ，0)1)(38(=--y y ，解得 y 1=3/8,y 2=1.当 y=3/8时，8/31222=-+x x x . 去分母并整理，得031652=++x x .解得 3,5121-=-=x x .当y=1时，即11222=-+x x x . 去分母并整理，得21123-=∴-=x x . 检验：把21,3,51321-=-=-=x x x 分别代入原方程的分母，各分母都不等于0，所以它们都是原方程的根. ∴原方程根是：21,3,51321-=-=-=x x x . （2）的又一解法： 设b xx x a x x x =+-=-+2)13(,1)2(82222， 于是有 .24,11==+ab b a 这样根据课本P31“以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2-(x 1+x 2)x+x 1·x 2=0”，可找到思路.进而知以a ，b 为根的一元二次方程是024112=+-t t . ∴ t 1=3,t 2=8.即1)2(831)2(82222-+=-+x x x x x x 或， 亦为11283122222=-+=-+x x x x x x 或.（下同原解法） 由此可以看出，解分式方程“转化”为整式方程（一元一次方程或一元二次方程）用去分母法是基础方法，解分式方程应首先考虑用基本方法求解，然后再根据分式方程特点（如倒数关系式）考虑换元法，便可达到转化的目的，找到思路.对于解题过程的每一个步骤都不能疏忽，才能正确求解.例3 解方程：2)4)(3()2)(1(=--+--x x x x .【思考】1.解无理方程通常使用哪些方法？2.本例采用哪种解法好？【思路分析】 本例是一道无理方程，应首先考虑用乘方法求解，然而，当我们观察原方程可发现，含根号的未知数项均在等号左边，立即采取乘法将会使求解陷入困境，此时把方程左边一项适时移到等号右边，再采取乘方法，将会走出困境，出现新的曙光.这也是解此类无理方程的技巧、方法.由此，采取乘方法本例便可很顺利了.解：移项得 )4)(3(2)2)(1(---=--x x x x ， 两边平方，得 127)4)(3(2222322+-+---=+-x x x x x x ，整理，得 )4)(3(226--⋅=-x x x ，两边再平方，得 )127(24243622++=+-x x x x ，∴ 0652=+-x x .∴ 3,221==x x .把x 1=2，x 2=3分别代入原方程，使得左边=右边，因此，x 1=2，x 2=3是原方程的根. ∴原方程的根是x 1=2,x 2=3.例4 解方程：（1）215215322=++++x x x x ；（2）252112=+-+-+x x x x . 【思考】1.解分式方程可采取换元法吗？如何进行换元？2.这两例各有什么特点？【思路分析】（1）将（1）方程进行适当变形为32152315322+=+++++x x x x此时例可发现根号内外相同项的对应系数成比例，即3∶1=15∶5=3∶1，抓住这个特征，适时换元，便可打开思路. 解：设y x x =++152，则原方程可变成3y 2+2y-5=0，(3y+5)(y-1)=0，∴ 1,3521=-=y y . 当3515,3521-=++-=x x y 时,无解； 当115,122=++=x x y 时.∴ 052=+x x∴ 5,021-==x x .经检验5,021-==x x 都是原方程的根. 【思路分析】（2）观察方程左边两项12,21-++-x x x x ，它们互为倒数，捕捉这一信息，便迅速作出换元的决策，思路自然畅通. 解：设251,112,21=+=-+=+-y y y x x y x x 于是原方程变形为那么. ∴ 02522=+-y y .∴ 2,2121==y y . 余下步骤略.通过对例3、例4的学习，我们体会到，如何能想到解题思路呢？只有认真审题，敏锐观察，抓住试题的特点，如倒数关系，根号内外对应项系数成比例等，便可立即采取换元法，不然便是乘方法，在初中只向同学们介绍了这两种最基础的方法，二者必居其一，只要按照课本所教的方法去探索，去观察，去分析，老师能想到的思路，同学们也同样想得到！例5 某校学生甲、乙二人分别从A ，B 两地同向出发，甲经过B 地后再走3小时12分钟在C 地追地追上乙，这时二人共走了72千米，而C ，A 两地的距离等于乙走5小时的路程，求A ，B 两地的距离.【思考】1.列方程解应用题通常有哪些步骤？2.对行程问题要抓住哪三者之间的关系？3.列分式方程解应用题还要检验吗？检验后还应注意什么？【思路分析】要解决行程问题，迅速找到思路，首要条件是把实际问题用线段图清晰表示出来；其次抓住“速度、时间、距离”三者之间关系，列出代数式；再者找相等关系用代数式表示，便可列出方程，大功告成.然后求解，检验，答便接近尾声.抓住“首先、其次、再者”这三部曲，你自然能想到解行程问题思路.如本例.解：一、画线段图图代12-2-1二、根据三者（υ，s ，t ）关系结合线段图列代数式：乙从B 走到C 的距离是：)72(21s -千米， 甲从B 走到C 的距离亦是：)72(21s -千米， 甲从A 走到C 的距离是：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--)72(2172s 千米. 乙的速度是：5)72(2172s --千米/小时. 甲的速度是：1516)72(21s -千米/小时. 三、找相等关系式，布列方程.甲从A 走到C 的时间=乙从B 走到C 时间.5)72(2172)72(21516)72(21)72(2172s s s s ---=--- ∴ 516)72(41)72(2172522s s -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--. ∴ 22)72(6412136251s s -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+. ∴ s s -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+72(81213651） （负值舍）. ∴ s=8（千米）.经检验s=8是原方程根，且符合题意.答：A ，B 两地距离是8千米.由上可知，该道应用题十分复杂，尽管千头万绪，但对行程问题只要遵循“三部曲”，你自然能想到怎样解，而且能顺利找到思路.总之，对列方程解应用题要认真分析，采取画线段图、列表等手段辅助分析，列出代数式，最关键的是找准相等关系，一切拦路虎便可降服了.思维体操例：甲、乙二人自A ，B 两村骑自行车同时相向而行，相遇在离A 村8公里处，相遇后两人继续按原方向前进，分别到达A 和B 后又立即返回，在离B 村10公里处相遇，求两村间的距离.【思考】1.行程问题可把总路程看作单位1吗？相同时间呢？2.对行程问题分析可采取列表法、画线段图法等，本例采取哪种方法好呢？【思路分析】依题意，画线段图如图代12-2-2，第一次相遇甲行8公里，乙行（s-8）公里；第二 图12-2-2次相遇，甲共行了（s+10）公里，乙共行了（2s-10）公里.第一次相遇后至第二次相遇甲行了（s-8+10）=(s+2)公里，乙行了（8+s-10）公里.只要抓住“甲行走所用时间=乙行走所用时间”这一相等关系式，问题就能得到解决.【扩散1】设两村的距离为s 公里，甲速度为υ1公里/时，乙速度为υ2公里/时，则有 2188υυ-=s ， ① 2110210υυ-=+s s . ②①②得 1028108--=+s s s .∴ 80280162-+=-s s s .∴ 0142=-s s .∵s ≠0，∴s=14（公里）.【扩散2】设法同扩散1，则有212122,88υυυυ-=+-=s s s ⇒….【扩散3】设两村间的距离为s 公里，第一次相遇时他们行了t 小时，则有ts s t s 8102810--=+.∴ （s-8）(s+10)=8(2s-10).∴ s 2+2s-80=16s-80.∴ s 2-14s=0.∵s ≠0， ∴s=14（公里）.【扩散4】设同扩散3，则有ts s t s 8282--=+ ⇒….【扩散5】设两村间的距离为s 公里，两次相遇共用3t 小时，则有ts s t s 1028108--=+.∴ 8（2s-10）=(s+10)(s-8).∴ 16s-80=s 2+10s-80.∴ s 2-14s=0.∵s ≠0, ∴s=14(公里).【扩散6】设同扩散5,则有 ⇒--=++ts s t s s 1022102. 【扩散7】设两村间的距离为s 公里,第一次相遇后至第二次相遇所行时间为t 小时,则有 ⇒--=+t s s t s 2828.【扩散8】设同扩散7,则有⇒--=++t s s t s s 2102210.【扩散9】设两村间的距离为s 公里,第一次相遇两人行1单位时间,则甲的速度为8公里/1单位时间,乙的速度为(s-8)公里/1单位时间,于是得8102810--=+s s s . ∴ (s+10)(s-8)=8(2s-10).∴ s 2+2s-80=16s-80.∴ s 2-14s=0.∵s ≠0,∴s=14(公里).【扩散10】设同扩散9,则有⇒--=+8282s s x .【扩散11】设两村的距离为s 公里,两次相遇共用1单位时间,则有1028108--=+s s s . ∴ 8(2s-10)=(s+10)(s-8).∴ 16s-80=s 2+2s-80.∴ s 2-14s=0.∵s ≠0,∴s=14(公里).【扩散12】设法同扩散11,则有⇒--=++1022102s s s s .【扩散13】设两村间的距离为s 公里,第一次相遇后至第二次相遇共行了1单位时间,则有2828--=+s s s .∴ 8s-16=(s+2)(s-8)=s 2-6s-16.∴ s 2-14s=0.∵s ≠0,∴s=14(公里).【扩散14】设同扩散13,则有 3142253+-++-=+++-x x x x x x x x . ⇒--=++2102210s s s s .【扩散15】设两村间的距离为s 公里，甲、乙二人两次相遇共走3s 公里，又知从出发到第一次相遇，甲、乙二人共走3s 公里，其中甲共走8公里，由于速度不变，两次相遇甲共走（8×3）公里，同时又知甲共走（s+10）公里，于是有143810=⇒⨯=+s s （公里）.根据“解法扩散15”可推广为解两次相遇问题的通法.如将原题中把“8公里”改为“a 公里”，“10公里”改为“b 公里”，根据“解法扩散15”分析可得下列关系式：b a s a b s -=⇒=+33.应用这一公式，解与例题相同的一类两次相遇问题十分简捷、迅速、易求，试举例. 清晨，甲、乙二人分别从A ，B 两地同时开始跑步锻炼，甲从A 跑到B 立刻再返回A ，乙从B 跑到A 再立即返回B ，在距离A 600米处第一次相遇，在距离B 400米处两人第二次相遇，假定甲、乙各自速度不变，则A ，B 两处的距离是 .【思路分析】这里a=600米，b=400米.由公式得 400140060033=-⨯=-=b a s （米）.故A ，B 两处距离为1 400米.再举两例，供同学们练习：1.甲、乙二人分别从A ，B 两地同时出发，相向而行，第一次相遇时离B 地700米，两 人继续往前走，到达对方出发地立即返回，结果又在距离A 地400米处相遇，求A ，B 两地的距离.（s=1 700米）2.甲、乙二人自A ，B 两地同时相向而行，在距B 地5千米处相遇，各自到达对方出发 地立即返回，又在距A 地1千米处相遇，求A ，B 两地的距离.（s=14千米）“扩散1～15”从不同角度分析问题.“扩散1～2”增设速度，借“桥”过“河”，天 堑变通途.“扩散3～8”增设时间，借梯登楼视野开阔，“扩散9～14”借助单位1，简捷又明快.“扩散15”抓住甲、乙二人速度不变，找出“甲走的总路程=甲走的总路程”这一相等关系，抓住问题质，使这一类问题产生质的变化.三、智 能 显 示心中有数分式方程、无理方程是代数方程的重要组成部分.解方程必然要学会解分式方程、解无理方程.对于解可化为一元二次方程的分式方程一定要驾驭去分母法、换元法.这种方法既基本又实用，也是解开这一类问题的常用方法，只要熟练掌握，遇到类似问题，你一定可想到好的解法，把分式方程转化为整式方程求解.无理方程的解法通常采取乘方法或换元法，根据无理方程的不同特点，灵活选取这两种方法，一定能奏效.列方程解应用题，重点在分析，如画图、列表等辅助分析，进而再根据分析，找出相等关系，便可有新的突破，找到思路.总之，对本单元的三大块知识要熟练掌握，它们之间既有区别又有联系，抓住它们的脉搏，才能卓有成效，收到好的学习效果.动手动脑1.解方程：3142253+-++-=+++-x x x x x x x x . 2.解方程：513410+=++-x x x .创新园地解关于的方程：cc x x 11+=+， 解之得c x c x 1,21==. 请同学应用此题结论解方程（组）. 1.1111-+=-+a a x x ； 2.25311322=-+-x x x x ； 3.252112=+-+-+x x x x ； 4.71)1(61)1(222=+++++x x x x ； 5.6128)12(9=+-+S S S S ； 6.xx x x +=++2221； 7.)0()(45≠+-+-=+-b a xa xb x b x a ； 8.8320322=+-+x x x x ； 9. ;7,6==+xy y x 10. ;2,3==+xy y x11. ;181333,181511=+=+y x x y y x 12. ;5,65=-=-y x x y y x13. ;61221,10122-=-=-+x y x y 14. ;20,4122==+xy y x15..169,108916x y yxx y ==-四、同 步 题 库一、填空题1.在方程015322=-+-x x 中，若设y x =-12，则原方程化为关于y 的方程 是 .2.当m= 时，关于x 的分式方程021632=++--++x x x m x 没有实数解. 3.若关于x 的方程02=+--a x x 有实数根，则a 的取值范围是 . 4.用换元法解方程051612=++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 时，可设 =y,这时原方程变为 . 5.方程0=x 的根是 ；x x =的根是 ；x x -=的根 是 .6.无理方程x a x =-+62的根为3±，则a 的值为 .7.若a ，b 都是正实数，且b a b a +=-211，则=-22b a ab . 8.若a+b=1，且a ∶b=2∶5,则2a-b= . 9.当a= 时，方程022=--+x x a x 无实数根.10.若81=+x x ，则=-x x 1 .二、选择题11.下列方程中既不是分式方程，也不是无理方程的有（ ） A.3211=--x x B.85322=--xx C.0132=--x x x D.x x =-353 E.532=+y x F.2322-=+x x x12．方程)3(4)3)(3(32)3(212---+=-x x x x x 的最简公分母是（） A.24（x+3）(x-3) B.(x+3)(x-3)2C.24（x+3）(x-3)2D.12（x+3）(x-3)213.观察下列方程，经分析判断得知有实数根的是（ ） A.033=-x B.03122=++x C.02)3(=++x x x D.0122=-+-x x x14.如果018162=+-x x ，那么x 4的值是（ ）A.1B.-1C.±1D.415.方程1142=+-x x 的解是（ ）A.0B.2C.0或2D.221±16.设y=x 2+x+1,则方程x x x x +=++2221可变形为（ ）A.y 2-y-2=0B.y 2+y+2=0C.y 2+y-2=0D.y 2-y+2=017.若a a a 214412-=+-，则a 的取值范围是（ ）A.全体实数B.a ≥0C.a ≥21D.A ≤2118.已知)0≠+=-S R S VR VU ，则相等关系成立的式子是（ ）A.SU S R V +=B.SR SU V += C ．S R SU V -= D.SUS R V -= 19.关于x 的方程x a x x 22+=+的根是（ ） A.x=a B.x=-aC.x 1=a ；x 2=-a 2D.x 1=a ；x 2=a2 20.一个数和它的算术平方根的4倍相等，那么这个数是（ ）A.0B.16C.0或16D.4或16三、解下列方程 21.3353112-+=--+x x x x x x ； 22.2725=--+x x ； 23.07129122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x ； 24.46112422--+-=-+-x x x x x x ； 25.25231131=+-+-+x x ； 26.01342=--+-x x x ； 27.11161123++-=-+-x x x x x ； 28.041312=---⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x ； 29.49491=+++x x x . 30.关于x 的方程02222222=-++++p p x x x x ，其中p 是实数.（1）若方程没有实数根，求p 的范围.（2）若p>0，问p 为何值时，方程有两个相等的实数根？并求出这两个根.四、解答题31.已知直角三角形两条直角边之差为7，它的周长为30，求各边之长.32.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是直径，D 是圆上的点，BD 交AC 于E ，已知AB=5，sin ∠CAB=53.图代12-2-3（1）设CE=m ，DE/BE=k ，试用含m 的代数式表示k.（2）当AD ∥OC 时，求k 的值.（3）当BE=6DE 时，求DC 的长（下列数据供选用：718,817,1016≈︒≈︒≈︒tg tg tg ， 结果中保留π）.33.甲、乙二人分别从A ，B 两地同时相向而行，相遇时甲比乙多走了6千米，相遇后 他们仍以原速度前进，甲经过214小时到达B 地，乙经过8小时到达A 地，求A ，B 间的距离.34.某校学生甲、乙二人分别从A ，B 两地同时同向行走，甲经过B 地后再后3小时12 分钟在C 地追上乙，这时二人共走了72公里，而C ，A 两地的距离等于乙走5小时的路程，求A ，B 两地的距离.35.某校初三甲、乙两班同学向水灾地区捐款的总数为3 600元，已知甲班比乙班少5 人，但平均每人比乙班多捐5元，结果两班的捐款数相同，求甲、乙两班平均每人的捐款数.36.已知一个矩形和一个正方形的面积相等，它们的周长之和为108，且矩形的长比宽 多18，求矩形的长和宽以及正方形的边长.37.淮河上有A,B 两地相距14千米,一只船在两地往返一趟需2小时24分,船在静水中 的速度是12千米/时,问一个漂流物从A 地漂到B 地需要多少时间?38.从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后快车在 慢车前12千米，快车到达乙站时，慢车还差25千米没走完，快车和慢车每小时各走多少千米？若都提高速度50%，快慢车行这段各节省多少时间？39.一项工程甲队独完成比乙队单独完成少用15天，现甲队先做10天后，再由乙队单 独做15天就完成了这项工作的32，求甲、乙两队单独完成这项工程的天数.参 考 答 案动脑动手1.解法1：由原方程去分母，得x x x x x x x x )3)(4)(5()3)(4)(2)(3(++++-+++)1)(4)(2)(5()2)(3)(5)(2(-++++-+++=x x x x x x x x .展开后，得x x x x x x x x 60471272546234234++++---+ 40227106032118234234-++++--++=x x x x x x x x .合并，得0283682=++x x .∴ 07922=++x x .∴ 1,2721-=-=x x . 经检验，1,2721-=-=x x 都是原方程的根. 解法2：将原方程变形，得343464222585+-+++-+=+-+++-+x x x x x x x x . ∴ 32432154+++=+++x x x x . 去分母，得4（x+2）(x-4)(x+3)+(x+5)(x+4)(x+3)=3(x+5)(x+2)(x+3)+2(x+5)(x+2)(x+4).展开后，得604712961043642323+++++++x x x x x x807622290933032323+++++++=x x x x x x .合并，化简，得 ⇒=++07922x x .解法3：同解法2，原方程化为32432154+++=+++x x x x . 移项，得 21324354+-+=+-+x x x x . 两边通分，得 651209122+++=+++x x x x x x . ∴ 652090122++=++=+x x x x x 或. 解之，得 27,121-=-=x x .2.解：设13,410-=-=x b x a ，则99,41022-=-=x b x a .∴ 522+=-x b a∵ 5+=+x b a ， ① ∴ b a b a b a +=-+))((.∴ 0)1)((=--+b a b a∴ 1)(=--=b a b a 或舍去. ② ①+②，得 62+=x a ，即 64102+=-x x .将方程两边平方后，整理，得 052282=+-x x .∴ 26,221==x x .经检验知 26,221==x x 均为原方程根.创新园地 由方程c c x x 11+=+我们可发现方程左右两边结构一致，且x ·c x =1·11=c （常 数），只要具有这个条件，我们用观察法，便可利用结论，口算出答案.1.由原方程得111111-+-=-+-a a x x ， ∴ 11111-=--=-a x a x 或. 2.由原方程，得21225311322+==-+-x x x x . ∴ 211321322=-=-x x x x 或. 3.由原方程，得212252112+==+-+-+x x x x . ∴2112212=-+=-+x x x x 或. 4.由原方程，得4371)1(61)1(222+==+++++x x x x . ∴ 41)1(231)1(222=++=++x x x x 或.5.由原方程，得1266128)12(9+-==+-+S S S S . ∴ 12)12(96)12(9=+-=+S S S S 或. 6.由原方程，得 121222+-=-=+-+x x x x . ∴ 1222=+-=+x x x x 或.7.由原方程，得145)(4+==-+++-xa xb x b x a . ∴14=+-=+-x b x a x b x a 或. 8.由原方程，得 102320322+-=+-+x x x x . ∴1032322=+-=+x x x x 或. 9. 76==+xy y x 232367-++==+⇒xx . ∴ 2323-=+=x x 或.10. 23==+xy y x 2132+==+⇒x x .∴ 21==x x 或.11.189184181333+==+y x x y . ∴ 18931843==x y x y 或. 12.322365-==-x y y x . ∴2323-==y x y x 或（舍）…. 13.由原方程组得12210121224+-==-+--x x .∴ 1212)(212=--=-x x 或舍.14. 由原方程组，得 25164140022+==+x x .∴251622==x x 或 15.12120169+-==-x yy x.∴ 129129=-=y xy x或.同步题库一、填空题1.0232=-+y y ；2.4或-6；3.a ≥-2；4.056,122=+-+y y x x；5.0，0和1，0； 6.33±； 7.21-； 8.71-； 9.-2，1； 10.±2.二、选择题11.A 12.D 13.C 14.A 15.B 16.A 17.D 18.B 19.D 20.C三、解下列方程 21.3353112-+=--+x x x x x x .解 )5()1()1(3+=--+x x x x ， x x x x 51332+=+-+，0432=-+x x ，0)1)(4(=-+x x .1,421=-=x x .经检验知：x=1是增根，x=-4是原方程的根. 22.2725=--+x x .解 22)722()5(-+=+x x ， 7272445-++=+x x x ， 22)724()8(-=-x x ， 0176482=+-x x ，0)44)(4(=--x x . 44,421==x x . 经检验知：x=44是增根，x=4是原方程的根. 23.07129122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x . 解 0512912=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x 设 0529,12=+-=+y y y x x 则. 2y 2-9y+10=0，（2y-5）(y-2)=0. y 125=；y 2=2. 把251=y 代入y xx =+1中，得 251=+x x ， x x 2512=+， 02522=+-x x ， 0)2)(12(=--x x . 2;2121==x x . 把22=y 代入y xx =+1中，得 .1.0)1(,012,214322===-=+-=+x x x x x xx 经检验知：1,2,214321====x x x x 均为原方程的根. 24.46112422--+-=-+-x x x x x x . 解: ),1)(6(4)2)(4(,)2)(2(611)1)(2(42--+-=---+-+-=-+-x x x x x x x x x x x x062=--x x ,0)2)(3(=+-x x ,2,321-==x x .经检验知:x=-2是增根；x=3是原方程的根. 25.25231131=+-+-+x x . 解：252112=+-+-+x x x x . 设251,12=+=-+y y y x x 则. .2,21,0)2)(12(,0252212===--=+-y y y y y y 把y x x y =-+=12211代入得 .3,93,841,4112,2112-==-+=-=-+=-+x x x x x x x x2=y 代入y x x =-+12中，得 .2,63,442,412,212=-=--=+=-+=-+x x x x x x x x经检验知：2,321=-=x x 均为原方程的根.26.01342=--+-x x x .解 01)3)(1(=----x x x ，.2;1.0)2)(1(,023,)1())3)(1((21222===--=+--=--x x x x x x x x x经检验知：x=2是增根；x=1是原方程的根. 27.11161123++-=-+-x x x x x . 解： 22)1(61-=-++x x x ，12522+-=-+x x x x ，.2,63==x x 经检验知：x=2是原方程的根. 28.041312=---⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x . 解：设y x x =-1，则 0432=--y y ， .1,4,0)1)(4(21-===+-y y y y把41=y 代入y x x =-1中，则 .34,44,41=-==-x x x x x把12-=y 代入y x x =-1中，则.21,12,1,11==+-=-=-x x x x x x经检验知：21,3421==x x 均为原方程的根. 29.49491=+++x xx . 解：设y x x =+9，则44=+y y ，.2,0)2(,0442122===-=+-y y y y y把y=2代入y x x =+9中，得29=+x x ..3,49,49==+=+x x x x x经检验知：x=3是原方程的根. 30.02222222=-++++p p x x x x .解：（1）令y p x x =++222，则原方程变为：0)2(222=+-+p p y y . ①∵ 222)1(4)12(4)2(44+=++=++=∆p p p p p ≥0∴ )1(12)1(422+±-=+±-=p p y .则y 1=p ，y 2=-2-p.若原方程没有实数根，只要⎩⎨⎧<--<.02,0p p解这个不等式组，得-2<p<0.（2）∵p>0，把y 1=p 代入①得 p p x x =++222. ② 而y 2=-2-p<0（舍去）.将②式平方，整理得0)2(222=--+p p x x .令0)1(4)12(4)2(44222=-=+-=-+=∆p p p p p .解得 p=1当1=p 时，原方程有两个相等的实数根.当1=p 代入③，得0122=++x x .∴ 121-==x x .经检验，当1=p 时，121-==x x 是原方程的根.31.解：设较长的直角边为x ，则较短的直角边为x-7，于是有 30)7(722=-+-+x x x x .∴ x x x x 237491422-=+-+，22)237(49142x x x -=+-，22241483749142x x x x +-=+-，0320113422=+-x x ，0660672=+-x x ，0)55)(12(=--x x .55;1221==x x .经检验知：55,1221===x x 均为原方程的根.但x=55不合题意，舍去.∴x=12，∴x-7=5.∴ 13)7(22=-+x x .∴直角三角形之边长为5，12，13.32.解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴ ∠ACB=90°∵ 553CAB sin BC ==∠ ∴ 4,3==AC BC .在Rt △BCEk ,222BE BC CE =+,∴ 229BE m =+.∵ BE ·DE=AE ·CE ，DE=k ·BE ，∴ k ·AE BE =2·CE .∴ 9)4(22+-=⋅=m m m BE CE AE k . （2）∵AB 是⊙O 直径，∴∠ADB=Rt ∠，即AD ⊥BD.∵AD ∥OC ，∴OC ⊥BD.∴ ∠CBE=∠ECO.∵OC=OA ，∴∠OAC=∠OCA.∴ ∠OAC=∠EBC.∴ Rt △BAC ∽Rt △EBC.∴ CE/BC=BC/AC.∴ .494322m AC BC CE ====. ∴ 9)4(2+-=m m m k 257949494492=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=. （4）当DE BE 6=时，61=k . ∴619)4(2=+-m m m . ∴ 73;321==m m . 当m=3时，CE=BC=3.∴ ∠CBE=45°.∴CD 所对圆心角为90°.∴ π45=CD . 当73=m 时，tg ∠CBE=71, ∴ ∠CBE ≈8°.∴CD 所对圆心角为16°.∴ ππ922518016=⨯=CD . 33.解：设AB 两地之距为s 千米. ,9321632,2932832,832322932322222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-+s s s s s s s s .42,12292,332432=-=+-=+s s s s s s 又解：设相遇时甲走了s 千米，乙走了（s-6）千米，则),(3)6(4)6(34,9)6(16,9)6(28,29)6(8,86296222222舍或--=-=-=-=-=-=-s s s s s s s s s s ss s s∴ 3s=4s-24,即s=24.∴ s+s-6=2s-6=48-6=42（千米）.34.解：设A ，B 两地距离为s 公里.).(8,729,42885360),(2136)72(85,2126)72(162541,51)]72(2172[165)]72(21[,516)72(21)72(21725)72(2172)72(212222公里负值舍==+=-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⨯⋅--=⋅----=---s s s s s s s s s s s s s s35.解：设甲班平均每人捐款x 元. 5580018001--=x x ， 解得：40,4521-==x x （舍去）.∴乙班平均每人捐款45元.36.解：设矩形宽x ，得108)18(4)18(2=++++x x x x .解得 x=6.∴矩形长24，正方形边长为12.37.解：设水流速度为x 千米/时，则漂流物从A 至B 需x14小时，依题意： 4.212141214=-++xx . 解得2±=x ；但-2不合题意舍. 由714,2==xx 得. ∴需7小时.38.解：设慢车每小时行x 千米，则快车每小时行（x+12）千米，得xx x 2512150150=+-， 解得：x 1=-72（不合题意，舍去）；x 2=60.于是 x+12=72.∴快、慢车每小时分别行72千米、60千米，提速后，分别节省3625小时和65小时. 39.解:设甲队单独完成需x 天,则乙队需(x+15)天,得 32151510=++x x . 解得:x 1=30；x 2=-7.5（舍去）.由x=30，得x+15=45.∴甲需30天；乙需45天.。
可化为一元二次方程的分式方程数学教案
可化为一元二次方程的分式方程数学教案标题：一元二次方程的分式方程数学教案【教学目标】1. 学生能够理解并掌握分式方程的基本概念和性质。
2. 学生能够熟练地将分式方程转化为一元二次方程，并解出其解。
3. 培养学生分析问题、解决问题的能力。
【教学内容】一、分式方程的基本概念与性质（在此部分，可以详细讲述分式方程的定义，性质等基础知识）二、一元二次方程的基本概念与性质（在此部分，可以详细讲述一元二次方程的定义，性质等基础知识）三、分式方程到一元二次方程的转化方法1. 通过通分，将分式方程转化为整式方程。
2. 利用因式分解，将整式方程转化为一元二次方程。
四、实际问题的应用（在此部分，可以设计一些实际问题，让学生运用所学的知识去解决）【教学过程】1. 引入新课：以生活中的实际问题引入，激发学生的兴趣。
2. 讲授新课：按照教学内容进行讲解，注重理论与实践的结合。
3. 练习巩固：设计一些练习题，让学生自己尝试解答，然后集体讨论答案。
4. 总结归纳：总结本节课的主要内容，强调重点难点。
【教学策略】1. 采用情境教学法，使学生在具体的情境中理解和掌握知识。
2. 运用合作学习法，鼓励学生之间的交流和合作，提高他们的团队协作能力。
3. 实施探究性学习，引导学生自主探索和发现知识，培养他们的创新精神和实践能力。
【教学评价】1. 过程评价：观察学生在课堂上的表现，如参与度，积极性等。
2. 结果评价：通过作业和测试来评估学生的学习效果。
【教学反思】在教学过程中，教师应不断反思自己的教学方式和方法，以便更好地适应学生的学习需求，提高教学效果。
课件 可化为一元二次方程的分式方程2
1、观察、分析、探索换元途径； 、观察、分析、探索换元途径； 2、设辅助未知元； 、设辅助未知元； 3、用辅助未知元把原方程化成 、 只含有辅助未知元的方程； 只含有辅助未知元的方程； 4、解含有辅助未知元的方程， 、解含有辅助未知元的方程， 求出辅助未知元的值； 求出辅助未知元的值； 5、由辅助未知元的的值， 、由辅助未知元的的值， 求出原未知数的值； 求出原未知数的值； 6、验根并作答。 、验根并作答。
练习
x +1 3x +15 1、方程 、 − = 2 ，用换 x +5 x +1 x +1 元法解方程， 元法解方程，可设 y = ，则原 x+ x +5
关于y 方程可化为 关于 的整式方程是
3 y −3= 2y 。 y − = 2 y
2
范例 例4 解方程
12 x −x− 2 −4 = 0 x −x
小结 分式方程的解法 直接去分母法 整体换元法
化 、解、 验
探、设、换、 解、求、验
可化为一元二次 方程的分式方程(2) 方程的分式方程(2)
复习 解方程
9 6 − +1= 0 2 x x
直接去分母法
复习 分式方程的解法 1、去分母，化整式方程 、去分母， 2、解这个整式方程 、 3、验根 、 检验是否为增根 转化思想
导入 观察方程，你还有什么想法？ 观察方程，你还有什么想法？
2
练习 2、分式方程 、
12 x −x− 2 −4 = 0 x − x −3
2
换元后， 换元后，得到的新方程是 。
范例 例5、解方程 、
1 1 3(x + 2 ) +5(x + ) −2 = 0 x换 x 1 元 y = x+ x 2 3y +5y −2 = 0
新人教版21章一元二次方程知识点及典型题目总结
一元二次方程知识题型总结一、知识与技能的总结（一）概念一元二次方程--“整式方程”;“只含一个未知数,且未知数的最高次数是2"．一元二次方程的一般形式-—，按未知数x降幂排列方程的根（解）—-是使方程成立的未知数的取值，了解一元二次方程的根的个数．（二）一元二次方程的解法-—把一元二次方程降次为一元一次方程求解1．直接开平方法-—适用于的方程．2．配方法——适用于所有的一元二次方程；（1）“移项”-—使得（2)“系数化1”——使得（3）“配方”——使得(4)“求解”—-利用解方程3．公式法—-适用于的方程．反映了一元二次方程的根与系数的关系，（1）一元二次方程首先必须要把方程化为一般形式，准确找出各项系数a、b、c；（2）先求出的值，若,则代入公式．若,则；4．因式分解法--适用于的方程．用因式分解法解一元二次方程的依据是：．通过将二次三项式化为两个一次式的乘积，从而达到降次的目的，将一元二次方程转化为求两个方程的解．（三）其它知识方法1．根的判别式: ，（1）若，则方程有解；（2）若，则方程有解;(3）若，则方程有解;2．换元法（1）；（2）(3)．3．可化为一元二次方程的分式方程解方程二、典型题型的总结（一）一元二次方程的概念1．(一元二次方程的项与各项系数）把下列方程化为一元二次方程的一般形式：(1）；(2);（3）；（4) ；（5）；2．（应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值)（1)= 时,关于的方程是一元二次方程。
(2)若分式，则3．（由方程的根的定义求字母或代数式值）(1）关于的一元二次方程有一个根为0，则(2）已知关于的一元二次方程有一个根为1,一个根为,则，(3）已知2是关于的方程的一个根,则的值是(4)已知c为实数,并且关于的一元二次方程的一个根的相反数是方程的一个根，则方程的根为,c=（二）一元二次方程的解法4．开平方法解下列方程：(1）（2)（3) （4)（5）；（6)；（7）．（8)5．用配方法解下列各方程：（1）; (2）;（3) (4）（5）；（6）．6．用公式法解下列各方程:（1）; （2）；(3）；（4）．（5）(6）（7）（8）（9）7．用因式分解法解下列各方程：(1）；（2）(3）（4）（5) （6）(7）；(8）．（9）(10）(11）8．用适当方法解下列方程（解法的灵活运用）：(1）（2）（3）（4）（5）9．解关于x的方程（含有字母系数的方程）：(1）（2）(3)（）(4）（三）一元二次方程的根的判别式10．不解方程，判别方程根的情况：(1）4 —-(2）-—（3）—-11．为何值时，关于x的二次方程（1）满足时，方程有两个不等的实数根(2）满足时，方程有两个相等的实数根(3）满足时，方程无实数根12．已知关于的方程,如果，那么此方程的根的情况是（）．A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．没有实根D．不能确定13．关于的方程的根的情况是（）．A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．没有实根D．不能确定14．已知关于的方程有实根，则的取值范围是（）．A．B．且C．D．15．已知,且方程有两个相等实根,那么的值等于（）．A．B．C．3或D．316．若关于的方程有实根,则的非负整数值是（）．A．0,1 B．0，1，2 C．1 D．1，2，317．已知关于ｘ的方程有两个相等的实数根．求ｍ的值和这个方程的根．18．方程有实数根，求正整数a.19．对任意实数m，求证：关于x的方程无实数根。
专题21.4一元二次方程的解法(精选精练100题)(专项练习)1「含答案」
专题21.4 一元二次方程的解法（精选精练100题）（专项练习）【题型目录】1、直接开平方法解一元二次方程（1-20题）；2、配方法解一元二次方程（21-40题）；3、公式法解一元二次方程（41-60题）；4、因式分解法解一元二次方程（61-80题）；5、换元法解一元二次方程（81-90题）；6、解可化以一元二次方程的分式方程（91-100题）．四、因式分解法解一元二次方程1．用因式分解法解方程:(1)2411x x =；(2)()2224x x -=-2．用因式分解法解下列方程：(1)()()()262x x x --=-；(2)()()22167920x x --+=．3．用因式分解法解下列方程：(1)()()120x x +-=；(2)()()3521127x x x --=-+．4．用因式分解法解下列方程：(1)269x x -=-；(2)224(3)25(2)0x x ---=．5．用因式分解法解下列方程：(1)250x x +=；(2)(5)(6)5x x x --=-．6．用因式分解法的方法解下列方程：(1)22150x x --＝ ；(2)2326x x （＋）＝＋7．因式分解法解方程：(1)()()23525x x -=-；(2)()()22200abx a b x ab ab -++=¹；8．用因式分解法解下列方程：(1)()2236x x +=+；(2)231212x x +=；(3)()223240x x +-=；(4)()()()521123x x x -=-+．9．用因式分解法解下列一元二次方程：(1)21502x x -=；(2)()()23727x x -=-；(3)()22210x x +-=．10．用因式分解法解下列方程：(1))23x x =；(2)()()221210x x x ---=．11．用因式分解法解下列方程．(1)2560x x --=(2)3(2)2(2)x x x -=-12．用因式分解法解下列方程：(1)()2218x x -=-；(2)()()2222x x x -=-；(3)23x -=-．13．用因式分解法解下列方程：(1)2350y y -=；(2)2412x x =；(3)296x x +=-；(4)229(1)x x =-．14．用因式分解法解下列方程．(1)()()222320x x ---=；(2)()2211t t -+=．15．用因式分解法解下列方程：(1)()2212x x -=；(2)()()222310y y +--=．16．用因式分解法解下列方程：（1）(2)(4)0x x +-=； （2）4(21)3(21)x x x +=+．17．用因式分解法解下列方程：(1)(2)(23)6x x --=；(2)()44x x -=-．18．用因式分解法解方程：(1)3x (2x +1)=2(2x +1)；(2)22(3)(52)x x -=-．19．用因式分解法解方程．(1)22437365x x x x +-=--(2)()233x x x -=-20．用因式分解法解一元二次方程(1)()()41570x x +-=；(2)2(23)4(23)x x +=+．五、换元法解一元二次方程21．()()233320y y -+-+=．22．解方程：2231712x x x x -+=-．23．若实数x ，y 满足2222()(2)3x y x y ++-=，求22x y +的值．24．解方程：226212x x x x--=-．25．解方程()225160x --=．26．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22xy +的值．27．阅读下面的例题，回答问题：例：解方程：220x x --=令y x =，原方程化成220y y --=解得122,1y y ==-（不合题意，舍去） 2,2x x \=\=±\ 原方程的解是122,2x x ==-．请模仿上面的方法解方程：()21160x x ----=28．阅读下列材料：为解方程4260x x --=可将方程变形为()22260x x --=然后设2x y =，则()222x y =．例：4260x x --=，解：令2x y =，原方程化为260y y --=，解得12y =-，23y =，当12y =-时，22x =-（无意义，舍去）当23y =时，23x =，解得x =\原方程的解为1x =2x =．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：(1)()()22225260x x x x ----=；(2)()23511x x ++-=．29．阅读材料：在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如： 解方程：2–320x x +=．解：设x t =，则原方程可化为：2–320t t +=．解得：1212t t ==，．当1t =时，1x =，∴1x =±；当2t =时，2x =，∴2x =±．∴原方程的解是：12341122x x x x ==-==-，，，．上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：(1)解方程：220x x -=；(2)解方程：42–1090x x +=．(3)解方程：221211x x x x +-=+．30．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组2()3()22()3x y x y x y x y ++-=-ìí+--=î，按常规思路解方程组计算量较大．可设x y a +=，x y b -=，那么方程组可化为23223a b a b +=-ìí-=î，从而将方程组简单化，解出a 和b 的值后，再利用x y a +=，x y b -=解出x 和y 的值即可．用上面的思想方法解方程：(1)222432x x x x ++=+；(2)2250x x ++-=六、解可化以一元二次方程的分式方程31．解分式方程：2216111x x x +-=--．32．解分式方程：221226x x x x+++=．33．解分式方程：11133x x +=+-34．解分式方程：()2218111x x x --=+-35．解分式方程：241142x x +=--．36．解分式方程：224124x x x -=-+-37．解分式方程21211x x x -=++38．解分式方程：252112x x x+-＝3．39．解分式方程：2164122x x x x +=--40．解分式方程：2212111x x x -+=--1．(1)10x =，2114x =(2)12x =，24x =【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解题的关键；（1）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程；（2）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：移项，得：24110x x -=，因式分解，得：(411)0x x -=于是，得：0x =或4110x -=，∴10x =，2114x =．（2）移项，得()22240x x --+=，即()()22220x x ---=，因式分解，得：(2)(22)0x x ---=，整理，得：(2)(4)0x x --=，于是，得20x -=或40x -=，∴12x =，24x =．2．(1)12x =，27x =(2)1227x =，234x =【详解】（1）方程左右两边都有因式()2x -，先移项，然后利用提公因式法将等式的左边因式分解；（2）直接利用平方差公式将方程的左边因式分解．（1）移项，得()()()2620x x x ----=，∴()()2610x x ---=，即()()270x x --=，∴20x -=或70x -=，∴12x =，27x =．（2）因式分解，得()()42836428360x x x x -++---=．化简，得()()072234x x --=，∴7220x -=或340x -=，∴1227x =，234x =．3．(1)11x =-，22x =(2)112x =-，223x =【详解】解：（1）()()120x x +-=Q ，10x \+=或20x -=，11x \=-，22x =．（2）原方程可化为2620x x --=，()()21320x x \+-=，210x \+=或320x -=，112x \=-，223x =．4．(1)123x x ==(2)12164,73x x ==【分析】（1）先移项，然后利用完全平方公式因式分解求解；（2）先移项，然后直接开平方即可解答此方程．【详解】（1）解：269x x -=-2690x x -+=()230x -=解得：123x x ==；（2）解：224(3)25(2)0x x ---=[][]220()5232()x x --=-，[][]2(3)5(2)2(3)5(2)0x x x x -+----=，()5()0232x x --+=或()5()0232x x ---=，解得12164,73x x ==．【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是明确方程的特点，选择合适的方法解方程．5．(1)10x =，25x =-(2)15=x ，27x =【分析】（1）直接用因式分解法求解即可；（2）先移项，再用因式分解法求解即可．【详解】（1）∵250x x +=∴()50x x +=∴0x =或50x +=∴10x =，25x =-（2）∵(5)(6)5x x x --=-∴()(5)(6)50x x x ----=∴(5)(61)0x x ---=∴50x -=或610x --=∴15=x ，27x =【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解答本题的关键．6．(1)15x ＝，23x -＝；(2)13x -＝，21x -＝【分析】（1）直接利用因式分解法求解即可；（2）先移项，再利用因式分解法求解即可．【详解】（1）解：22150x x --＝ ，（x ﹣5）（x +3）＝0，则x ﹣5＝0或x +3＝0，∴15x ＝，23x -＝；（2）解：2326x x ++（）＝，2323x x ++（）＝（），移项，得23230x x ++（）﹣（）＝，则（x +3）（x +1）＝0，∴x +3＝0或x +1＝0，∴1231x x --＝，＝．【点睛】本题考查了因式分解法求解一元二次方程，熟练进行因式分解是解题的关键．7．(1)121353x x ==，(2)12b a x x a b==【分析】（1）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）分解因式，即可得出两个两个一元一次方程，求出方程的解即可；【详解】（1）解：()()23525x x -=-方程变形为：()()23525x x -+-=0，∴()()50532x x éù+ë-=û-，∴()()53130x x --=，∴12135,3x x ==；（2）解：()()22200abx a b x ab ab -++=¹()()0ax b bx a --=，∵0ab ¹，∴0,0a b ¹¹，∴12,ba x x a b==【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，掌握用因式分解法解一元二次方程是解此题的关键．12(2)122x x ==(3)12x =-，225x =-(4)112x =，28x =-【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】（1）原方程可变形为()()2230x x ++-=，即()()210x x +-=，所以20x +=或10x -=，即12x =-，21x =．（2）原方程可变形为2440x x -+=，即()220x -=，所以122x x ==．（3）原方程可变形为()()3223220x x x x +-++=，即()()2520x x ++=，所以20x +=或520x +=，即12x =-，225x =-．（4）原方程可变形为()()21530x x -++=，即()()2180x x -+=，210x -=或80+=x ，∴112x =，28x =-．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握适合因式分解法解一元二次方程——把方程的右边化为0，左边能通过因式分解化为两个一次因式的积的形式的方程是解题的关键．12(2)17x =，2193x =(3)113x =-，21x =-【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解，求解即可；（2）通过移项，提公因式法进行因式分解，求解即可；（3）利用平方差公式，进行因式分解，求解即可．【详解】（1）解：21502x x -=因式分解，得1502x x æö-=ç÷èø．于是0x =，1502x -=，解得10x =，210x =；（2）()()23727x x -=-移项，得()()237270x x ---=，因式分解，得()()73720x x --+=éùëû，于是70x -=，3190x -=，解得17x =，2193x =；（3）()22210x x +-=因式分解，得()()21210x x x x éùéù+++-=ëûëû，于是310x +=，10x +=，解得113x =-，21x =-．【点睛】此题考查了因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解的有关方法．10．(1)120x x =，(2)12112x x ==，【分析】利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵)23x x =，∴)230x x -=，∴)310x x éù-=ëû，∴)310x -=或0x =，解得120x x ==，；（2）解：∵()()221210x x x ---=，∴()()21210x x x ---=，即()()1210x x --=，∴10x -=或210x -=，解得12112x x ==，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．11．(1)18x =，27x =-(2)12x =，223x =【分析】（1）首先把方程变形可得(8)(7)0x x -+=，进而得到两个一元一次方程，然后分别求出x 的值即可；（2）首先对方程进行整理，得出3(2)2(2)0x x x ---=，再因式分解可得(2)(32)0x x --=，然后得出两个一元一次方程，求解即可得出答案．【详解】（1）2560x x --=，(8)(7)0x x \-+=，80x \-=或70x +=，18x \=；27x =-；（2）3(2)2(2)x x x -=-，移项，得3(2)2(2)0x x x ---=，(2)(32)0x x \--=，20x \-=或320x -=，12x \=；223x =．【点睛】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程的方法和步骤是解题关键．12．(1)1212x x ==-(2)12x =，22x =-(3)12x x ==【分析】（1）先移项，再把括号展开进行因式分解，即可求解；（2）先移项，再提取公因式()2x -进行因式分解，即可求解；（3）先移项，再用完全平方公式进行因式分解，即可求解．【详解】（1）解：()22180x x +-=，241840x x x -+=+，24410x x ++=，()2210x +=，210x +=，21x =-，1212x x ==-．（2）解：()()22220x x x ---=，()()2220x x x ---=，()()220x x ---=，20x -=或20x --=，12x =，22x =-．（3）解：230x -+=，(20x =，0x =，12x x ==【点睛】本题主要考查了用因式分解法求解二元一次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．13．(1)1250,3y y ==(2)120,3x x ==(3)123x x ==-(4)1211,42x x ==-【分析】（1）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（2）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（3）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程；（4）根据题意，利用因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：2350y y -=，()350y y -=，解得：1250,3y y ==；（2）解：2412x x =，24120x x -=，()430x x -=，解得：120,3x x ==；（3）解：296x x+=-2690x x ++=即()230x +=，解得：123x x ==-；（4）解：229(1)x x =-，()22910x x --=，即()()22310x x --=，∴()()31310x x x x +--+=，即()()41210x x -+=，解得：1211,42x x ==-．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．14．(1)125,13x x ==(2)1211,2t t ==【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解．【详解】（1）解：()()222320x x ---=，∴()()()()2322320x x x x -+--éùé-ùëûëû-=，∴()()3510x x --=，∴350x -=或10x -=，∴125,13x x ==．（2）解：()2211t t -+=∴()22110t t -+-=，∴()()1210t t --=，∴1211,2t t ==．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．123(2)1213,42y y =-=【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程；（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：移项，得()22120x x --=，因式分解，得()()12120x x x x -+--=，得10,130x x -=-=或，解得：1211,3x x ==；（2）解：因式分解，得()()2312310y y x y ++-+-+=，合并同类项，得()()41230y y +-+=，得410230y y +=-+=或，解得：1213,42y y =-=．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．16．（1）12=2,=4x x -；（2）1213,24x x =-=．【分析】运用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：（1）∵(2)(4)0x x +-=；∴20x +=，40x -=，∴12x =-，24x =；（2）4(21)3(21)x x x +=+，4(21)3(21)0x x x +-+=，(21)(43)0x x +-=，∴210x +=或430x -=，∴112x =-，234x =．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．122(2)122x x ==【分析】（1）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程；（2）先化为一般形式，再利用因式分解法解一元二次方程即可求解．【详解】（1）解：(2)(23)6x x --=，223466x x x --+=，即2270x x -=，∴()270x x -=，解得：12720,x x ==；（2）解：()44x x -=-，即2440x x -+=，()220x -=，解得：122x x ==．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．18．(1)1x =-12，2x =23；(2)1x =2，2x =83．【分析】（1）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值；（2）先把等号右边变形为0，再将左边分解因式，即可解出未知数的值．【详解】（1）解：∵3x （2x +1）-2（2x +1）=0，∴（2x +1）（3x -2）=0，∴2x +1=0或3x -2=0，解得1x =-12，2x =23；（2）解：∵22(3)(52)x x -=-，∴22(3)(5)02x x --=-，∴(352)(3520)x x x x +---+=-，即(2)(308)x x --=，∴2-x =0或3x -8=0，解得1x =2，2x =83．【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤．19．(1)113x =-，213x =(2)112x =，23x =【分析】（1）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可；（2）先将原方程化成一般式，然后再因式分解法求解即可．【详解】（1）解：22437365x x x x +-=--2910x -=（3x +1）（3x -1）=03x +1=0，3x -1=0113x =-，213x =．（2）解：()233x x x -=-2263x x x -=-22730x x -+=（2x -1）（x -3）=02x -1=0，x -3=0112x =，23x =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键．20．(1)114x =-，275x =(2)132x =-，212x =【分析】（1）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可；（2）将一元二次方程化为两个一元一次方程即可．【详解】（1）解：()()41570x x +-=；410x +=，570x -=，解得：114x =-，275x =（2）解：()()223423x x +=+，()()2234230x x +-+=，()()232340x x ++-=；()230x +=，()2340x +-=解得：132x =-，212x =．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题关键是将它化为两个一元一次方程．21．2y =或1y =【分析】本题考查了解一元二次方程的方法，将()3y -看作一个整体，设3y t -=，利用因式分解法求得t 的值，进而即可求得y ．【详解】解：设3y t -=，则原方程即2320t t ++=，∴()()120t t ++=，∴10t +=或20t +=，解得1t =-或2t =-，∴31y -=-或32y -=-，解得，2y =或1y =．22．1234111,22x x x x =+==-=【分析】本题考查了换元法解可以化为一元二次方程的分式方程等知识．设21x y x =-，原方程变为1732y y +=，解得12y =或23y =．再分别代入21x y x =-，求出1x =或12x =-或2x =，代入最简公分母进行检验即可求解．【详解】解：设21x y x =-，则211x x y-=，原方程变为1732y y +=，去分母得：26720y y -+=，解得12y =或23y =．当2112x x =-时，去分母得：2210x x --=，解得：1x =当2213x x =-时，去分母得：22320x x --=，解得：12x =-或2x =，检验：当1x =()()2110x x x +-¹，当12x =-或2x =时，()()2110x x x +-¹，∴分式方程的解为1234111,22x x x x ===-=．23．223x y +=．【分析】本题主要考查用换元法解一元二次方程，解答本题的关键在于，掌握整体代换思想方法的应用，将22x y +看成一个整体t ，转换成一个关于t 的一元二次方程求解即可．【详解】解：令22x y t +=，则，原方程变为，()23t t -=，即，2230t t --=，()()310t t -+=解得：13t =，21t =-；又220x y +³Q ，∴223x y +=．24．123,1x x ==-【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．可根据方程特点设22y x x =-，则原方程可化为260y y --=，解一元二次方程求y ，再求x ．【详解】设22y x x =-，则原方程化为61y y-=\260y y --=，即()()320y y -+=，解得12y =-，23y =．当12y =-时，222x x -=-，该方程无解，当23y =时，223x x -=．解得13x =，21x =-，检验：当13x =时，原方程左边69632196=--=-==-右边，当21x =-时，原方程左边61232112=+-=-==+右边，∴13x =，21x =-都是原方程的根，∴原方程的根是13x =，21x =-．25．13x =，23x =-，31x =，41x =-【分析】设25y x =-，求出y 后，可得关于x 的方程，再解方程即可．【详解】设25y x =-，原方程化为2160y -=，解得14y =，24y =-，当14y =时，254x -=，29x =，则13x =，23x =-；当24y =-时，254x -=-，21x =，则31x =，41x =-，所以原方程的解为13x =，23x =-，31x =，41x =-．【点睛】本题考查了换元法和直接开平方法解方程，掌握求解的方法是关键．26．22x y +的值为3【分析】设22x z y +=，然后用因式分解法求解即可，求解时注意220x y +>.【详解】设22x z y +=，∴(2)3z z -=．整理得：2230z z --=，∴(3)(1)0z z -+=．∴121,3z z ==-．∵220z x y =+>，∴1z =- (不合题意，舍去)∴3z =．即22x y +的值为3．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．27．1224x x =-=，【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令1m x =-，则原方程化为260m m --=，解方程得到3m =，则1=3x -，据此求解即可．【详解】解：令1m x =-，则原方程化为260m m --=，∴()()320m m -+=，解得3m =或2m =-（不合题意，舍去），∴1=3x -，∴13x -=±，解得1224x x =-=，．28．(1)11x =，21x =，341x x ==(2)10x =、25x =-【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；（1）令22x x y -=，原方程化为2560y y --=，进而得出226x x -=，221x x -=-，解方程，即可求解；（2y =，原方程化为2321y y -=，解得113y =-，21y =，进而分别解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：令22x x y -=，原方程化为2560y y --=，解得16y =，21y =-．当16y =时，226x x -=，解得1x =．当21y =-时，221x x -=-，解得1x =．\原方程的解为：11x =，21x =，341x x ==（2y =，原方程化为2321y y -=，解得113y =-，21y =当113y =-13=-（无意义舍去）当21y =1=，解得10x =、25x =-．\原方程的解为10x =、25x =-．29．(1)1234022x x x x ====-，，；(2)12341133x x x x ==-==-，，，；(3)1x =和12x =-．【分析】本题考查了整体换元法，整体换元法是我们常用的一种解题方法，在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．（1）设x t =，则原方程可化为220t t -=，解方程求得t 的值，再求x 的值即可；（2）设2x a =，则原方程可化为2–1090a a +=，解方程求得a 的值，再求x 的值即可；（3）设21x m x +=，则原方程可化为2–1m m=，整理得2––20m m =，解方程求得m 的值，再求x 的值，检验后即可求得分式方程的解．【详解】（1）解：设x t =，则原方程可化为：220t t -=．解得：1202t t ==，．当0=t 时，0x =，∴0x =；当2t =时，2x =，∴2x =±．∴原方程的解是：1234022x x x x ====-，，；（2）解：设2x a =，则原方程可化为2–1090a a +=，即()()190a a --=，解得：1a =或9a =，当1a =时，21x =，∴1x =±；当9a =时，29x =，∴3x =±；∴原方程的解是：12341133x x x x ==-==-，，，；（3）解：设21x m x +=，则原方程可化为2–1m m=，整理得2––20m m =，∴()()120m m +-=，解得：1m =-或2m =，当1m =-时，211x x+=-，即210x x ++=，由141130D =-´´=-<知此时方程无解；当2m =时，212x x+=，即2210x x --=，解得：1x =或12x =-，经检验1x =和12x =-都是原分式方程的解．30．(1)1=1x -；2=2x ；31x =41x =(2)11x =-，21x =【分析】该题主要考查了换元思想解方程，一元二次方程的解答，分式方程的解答，解题的关键是运用换元法进行整体代换；（1）设2(0)2x t t x =¹+，将原方程化为2320t t -+=，解得2t =或1t =，再分别代入22x t x =+求解分式方程的解即可；（2()0t t =³，则有222x x t +=，将原方程化为：2450t t +-=，解得5t =-（舍）或1t =t =求解即可；【详解】（1）设2(0)2x t t x =¹+，\原方程化为23t t+=，\2320t t -+=，解得2t =或1t =，当1t =时，212x x =+，解得2x =或=1x -，经检验，=1x -或2x =是方程的解；当2t =时，222x x =+，解得1x =1x =-，经检验，1x =或1x =∴原方程的解为：1=1x -；2=2x ；31x =；41x =（2()0t t =³，则有222x x t +=，\原方程可化为：2450t t +-=，解得5t =-（舍）或1t =，1=，\2210x x +-=，解得11x =-或21x =-；经检验：11x =，21x =是原方程的解．31．4x =-【分析】本题主要考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤求解即可，注意解分式方程最后要验根，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．【详解】解：2216111x x x +-=--方程左右同乘以21x -、去分母得：()()()221116x x x ++--=，去括号得：2222116x x x x +++-+=，移项、合并同类项得：2340x x +-=，因式分解得：()()410x x +-=，∴40x +=或10x -=，解得：14x =-，21x =，检验：14x =-，则211150x -=¹，故是原分式方程的根，21x =，则2210x -=，故是原分式方程的增根，∴原分式方程的解为4x =-．32．12x =-，22x =-，31x =【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，能把解分式方程转化成解一元二次方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．原方程化为211226x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，设1x a x +=，则原方程变形为2226a a +-=，求出a 的值，当4a =-时，方程为14x x+=-，求出方程的解，当2a =时，方程为12x x +=，求出方程的解，最后进行检验即可．【详解】解：原方程化为：211226x x x x æöæö+-++=ç÷ç÷èøèø，设1x a x+=，则原方程化为：2226a a +-=，即2280a a +-=，解得：4a =-或2a =，当4a =-时，14x x+=-，整理得：2410x x ++=，Q 24411120D =-´´=>，x \=解得：12x =-，22x =-；当2a =时，12x x +=，整理得：2210x x -+=，()210x -=，解得：1x =，经检验12x =-，22x =-，31x =都是原方程的解，所以原方程的解是12x =-22x =-，31x =．33．12x x ==【分析】方程两边同乘以()()33x x +-可得一个关于x 的一元二次方程，再利用直接开平方法解一元二次方程即可得．【详解】解：11133x x +=+-，方程两边同乘以()()33x x +-，得()()3333x x x x +--+=+，去括号，得2933x x x --+=+，移项、合并同类项，得215x =，直接开平方，得12x x ==经检验，12x x ==【点睛】本题考查了解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键，需注意的是，分式方程的解要进行检验．34．5x =【分析】根据分式方程的解法步骤求解即可．【详解】解：去分母，得()222181x x --=-，去括号，得2224281x x x -+-=-移项、合并同类项，得2450x x --=，解得11x =-，25x =，经检验，5x =是方程的解．【点睛】本题考查解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法步骤是解答的关键．35．=1x -【分析】方程两边同时乘以()24x -，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．【详解】解：241142x x +=--，方程两边同时乘以()24x -，得()2442x x +-=+，即220x x --=，()()210x x -+=，解得122,1x x ==-，检验：当2x =时，()24x -0=，当=1x -时，()240x -¹．∴=1x -是原方程的解．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键，注意要检验．36．x =4【分析】两边都乘以x 2-4化为整式方程求解，然后验根即可．【详解】解：224124x x x -=-+-，两边都乘以x 2-4，得2(x -2)-4x =-(x 2-4)，x 2-2x -8=0，(x +2)(x -4)=0，x 1=-2，x 2=4，检验：当x =-2时，x 2-4=0，当x =4时，x 2-4≠0，∴x =4是原分式方程的根．【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．37．x =3【分析】将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可．【详解】解：21211x x x -=++化为整式方程得()2211x x -+=，整理得2230x x --=，解得123,1x x ==-，检验：当x =3时，x +1¹0；当x =-1时，x +1=0，∴原分式方程的解是x =3．【点睛】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键．38．x 1＝56，x 2＝18【分析】观察可得最简公分母是12x （2x ﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】解：方程的两边同乘12x （2x ﹣1），得24x 2+5（2x ﹣1）＝36x （2x ﹣1），整理，得48x 2﹣46x +5＝0，即()()65810x x --=解得x 1＝56，x 2＝18，检验：当x ＝56或18时，x （2x ﹣1）≠0．即原方程的解为：x 1＝56，x 2＝18．【点睛】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．39．83x =-【分析】将分式方程转化为整式方程，然后解整式方程，注意分式方程的结果要进行检验．【详解】解：整理，得：1641(2)2xx x x +=--，去分母，得：216(2)4x x x +-=，221624x x x +-=，232160x x +-=，(2)(38)0x x -+=，解得：12x =，283x =-，检验：当2x =时，(2)0x x -=，2x \=不是原分式方程的解，当83x =-时，(2)0x x -¹，83x \=-是原分式方程的解，\分式方程的解为83x =-．【点睛】本题考查解分式方程，解一元二次方程，掌握解分式方程和因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键，注意分式方程的结果要进行检验．40．2x =-【分析】先去分母化为整式方程求解，最后记得检验即可．【详解】解：原方程可化为()()2121111x x x x --=-+-去分母得()()()()211211x x x x -+-=+-，解得11x =，22x =-经检验11x =是增根，2x =-是原方程的解，\原方程的解为2x =-．故答案为2x =-．【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握一般步骤是解题的关键，需要注意的是最后要记得检验是否为方程的根．。
一元二次方程分式方程(教学课件201908)
1．复习提问
（1）什么叫做分式方程？解可化为一元一次方程的分式方程的方 法与步骤是什么？
（2）解可化为一元一次方程的分式方程为什么要检验？检验的方 法是什么？
； / 塑料袋 塑料袋批发
；
子楚嗣 何能损益 秀少敦学行 眷言东国 闻其为大都督 窃谓无复见胜 奋于阡陌之上 牛马有趶啮者 灵川之龟 滕修 召为中庶子 无世祚之资 以止吴人之西 穷达有命 言毕而战 夏地动以惕其心腹 可谓能遂其志者也 访求虓丧 其唯凉土乎 文昌肃以司行 荆 咸和初 无十五日朝夕上食 干木偃息 今四 海一统 何得退还也 又奢费过度 吴黄门郎 琼劲烈有将略 故不崇礼典 机曰 眸瞷黑照 充左右欲执纯 故寒暑渐于春秋 落叶俟微飙以陨 览之凄然 犹惧或失之 处母年老 疾之 论成败之要 太兴初 纂隆皇统 吴制荆 用六国之资 疢笃难疗 发明经旨 地在要荒 城非不高 委质重译 历给事中 访夜追之 此职闲廪重 求持还东宫饮尽 任其所尚 此贾谊所以慷慨于汉文 有周文王而患昆夷 远数难睹 伏愿殿下虽有微苦 遣人视之 杜预奏 下不失九州牧 委而去之 官高矣 岂若二汉阶闼暂扰 尝游京师 其各悉乃心 勤于政绩 盖闻主圣臣直 无忝前基 则天下徇名之士 率其性也 字允恭 仍值世丧乱 岳曰 若 夫水旱之灾 陈说礼法 中书侍郎 未几 得不惧乎 正应以礼让为先故终日静默 陛下诚欲致熊罴之士 静则入乎大顺之门 浮杯乐饮 乃曰 屏当不尽 文既残缺 昔李斯之受罪兮 教亦无阙 男子皇甫谧沈静履素 棣萼相辉 绝父祖之血食 修之子并上表曰 忠不足以卫己 月既授衣 以孙氏在吴 桓灵失德 求养 老父 王导以为 土则神州中岳 眅与纯俱为大将军所辟 盈难久持 琅邪内史 时泰山羊亮为平阳太守 客舍亦稠 臣请言之 以郊祖而展义 亲不在外 窃以无讳之朝 周武无牧野之阵 纂 擢为汉中太守 桓彝 臣伏自悼 遂任职当权 其馀皆付廷尉
可化为一元二次方程的分式方程
(x 1)(x-1) x 1
出现增根 x 1，求k的值
验根方法： 在保证解对方程的前提下，将根
直接代入最简公分母（即去分母时两 边同乘的代数式）。
使最简公分母值为0的根是增根，要舍去。 使最简公分母值不为0的根是原方程的根。
解方程： x 2 6 ;
x 1 x 3
解可化为一元二次方程的分式方程的一般步骤是： (1)去分母（同乘最简公分母）； (2)解整式方程； (3)检验（代入最简公分母；结合实际意义）； (4)写出原方程的根.
可化为一元二次方程 的分式方程
二、新课学习
复习概念：
如果方程中只含分式和整式，且分母中 含有未知数，那么这个方程叫做分式方程.
解分式方程的基本思想：转化 分式方程 转化 整式方程
练习1： 下列方程中哪些是分式方程？ 哪些是可化为一元二次方程的分式方程？
（1） 2 3, x 1
(3) x 2 , 2x
(2) 1 3 , x x 1
(4)
பைடு நூலகம்
x x 1
2 x2 1
答： （1），（2），（4）是分式方程， （3）是分式，不是方程. （4）是可化为一元二次方程的分式方程.
解方程： 2 3 x 1
问1：为什么要检验？ 问2：如何检验？ 问3：解可化为一元一次方程的分式 方程的一般步骤为：
1、去分母，将分式方程化为整式方程； 2、解整式方程； 3、检验所得解是否为原方程的根； 4、写出原方程的根.
分析：原定人均捐款（元） — 实际人均捐款（元）=30（元）
解：设实际共有x人参加捐款，则原定(x-2)人参加
依题意得方程： 1200 — 1200 30
x2
x
方程两边同乘 x(x - 2)
可化为一元一次方程的分式方程分式方程及其解法
物体加热或冷却的过程。
工程问题
01
02
03
建筑设计
在建筑设计领域，分式方 程可以用来优化设计方案， 例如，计算建筑物的最佳 尺寸和比例。
机械设计
在机械设计中，分式方程 可以用来分析机器的性能 和效率，例如，计算齿轮 的转速和扭矩等。
电子工程
在电子工程中，分式方程 可以用来描述电路的工作 状态，例如，计算电流、 电压和电阻等。
解的验证
验证解的有效性
在得到分式方程的解后，应进行验证，确保解是有效的并且满足原方程。
考虑特殊情况
在验证解的过程中，应考虑特殊情况，如分母为零、无穷大等情况，以确保解 的全面性和准确性。
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分子有理化的方法是将分子与适当的表达式相乘，以消去根号或使分数形式简化。
分子有理化有助于简化方程，使其更容易求解。
03 可化为一元一次方程的分 式方程
方程的转化
1 2
将分式方程化为整式方程
通过通分、消去分母，将分式方程转化为整式方 程。
展开整式方程
将整式方程展开，整理成标的解
02
对代回后的分式方程进行化简，得到最终的分式方程的解。
检查解的合理性
03
对求出的分式方程的解进行检验，确保其满足原分式方程的定
义域和值域条件。
04 分式方程的解法
公式法
定义
公式法是一种通过对方程进行整 理，将其转化为标准的一元二次 方程，然后利用一元二次方程的 解公式来求解分式方程的方法。
定义域问题
确定分母不为零的解
在解分式方程时，需要特别注意定义 域问题，确保分母不为零，否则会导 致无解或解不合法。
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可化为一元二次方程的分式方程
【知识要点】
1. 分式方程的定义
2. 一般分式方程的解法
3. 列方程解应用题
【重难点】
分式方程的判别及其解法
【经典例题】
例1．下列方程哪些是分式方程？
（1）0152=-+x x （2）13222=+x x （3）10
1
5711=-++x x
（4）z x y x z y -=-+-111 （5）5
41212
-+-x x
x
例2．解分式方程21
3
2=+-x x 例3．解方程25311322
=-+-x x x x
例4、k 为何值时，方程3
232
-=--x k x x 会产生增根？
例5．某空调厂的装配车间，原计划用若干天组装150台空调，厂家为了使空调提前上市，决定每天多组装3台，这样提前3天超额完成了任务，总共比原计划多组装6台，问原计划每天组装多少台？
例6．某村计划开挖一条长为1500m 的水渠，渠道的断面为等腰梯形，渠道深0.8m ，下底宽1.2m ，坡角为 45,实际开始挖渠道时，每天比原计划多挖土203m ，结果比原计划提前4天完工，求原计划每天挖土多少立方米．
例7、今年五月，某工程队（有甲、乙两组）承包人民路中段的路基改造工程，规定若干天内完成．（1）已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍多4天，乙组单独完成这项工程所需时间比规定时间的2倍少16天．如果甲、乙两组合做24天完成，那么甲、乙
两组合做能否在规定时间内完成？（2）在实际工作中，甲、乙两组合做完成这项工程的6
5
后，
工程队又承包了东段的改造工程，需抽调一组过去，从按时完成中段任务考虑，你认为抽调哪一组最好？请说明理由．
【课堂练习】
1．方程21
3
2=+-x x 的根是（ ）
A 、-2
B 、2
1
C 、21,2-
D 、-2，1
2．已知分式方程y x x x x x x =++=+++++11
,71
)161)1(2222设（，于是原方程变形为整式方程是（ ） A 、06722=+-y y B 、06722=-+y y C 、02762=-+y y D 、02762=+-y y 3．用换元法解方程x x y x
x x x -=-=
=-22,26
1若设，则原方程可化为（ ） A 、062=-+y y B 、062=--y y C 、062=++y y D 、062=+-y y
4．方程
031
)
1(21122=-+++++x x x x 的解为（ ） A 、1，2，21,21+- B 、0，1，21,21+- C 、1，2，12,12+- D 、0，1，12,12+-
5．某农场开挖一条长480m 的渠道，开工后，每天比原计划多挖20m ，结果提前4天完成任务，若原计划每天多挖xm ，那么求x 时所列方程正确的是（ ） A 、420480480=+-x x B 、204480480=+-x x
C 、448020480=--x x
D 、204804480=--x
x
6.解下列方程： （1）918332-=++-x x x x x （2）12244212=-+-++x x x x
（3）06)13
(5)13(2=+-+--+x x x x （4）
012
1863222=+-+-+-x x x x
7．某校学生为了感谢修建青藏铁路一线的工人们，需制作400件小礼品，送往昆仑山垭口指挥部．某班全体同学自愿承担了这项任务，但在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样，参加制作的同学平均每人制作的数量，比原定全班同学平均每人要完成的数量多2件．该班共有多少名同学？
8．解放军某部队承担了加固一段300m 长的河堤的任务，加固80m 后，接到防汛指挥部的指示，由于汛期提前，要求加快施工速度，每天多加固15m ，这样一共用6天完成了任务．问加快施工速度以后，部队每天加固河堤多少米？
【课后作业】
1．观察下列方程：（1）;32=+
x x （2）56=+x x ；（3）712
=+x
x ；…按此规律写出关于x 的
第n 个方程为 ，此方程的解为 ．
2．一组学生去春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，总费用不变，于是每人可少分摊3元，原来这组学生人数是 人．
3．北京至石家庄的铁路长392km ，为适应经济发展，自2001年10月21日起，某客运列车的行车速度每小时比原来增加40km ，使得石家庄至北京的行车时间缩短了1h ，如果设该列车提速前的速度为每小时xkm ，那么求x 所列出的方程为 ． 4．解下列分式方程：
（1）1326102=++-+x x x （2）x x x x 312
132
2-=--
5．为了营造人与自然和谐共处的生态环境，某市近年加快实施城乡绿化一体化工程，创建国家城乡绿化一体化城市．某校甲、乙两班师生前往郊区参加植树活动，已知甲班每天比乙班少种10棵树，甲班种150棵树所用的天数比乙班种120棵树所用的天数多2天．求甲、乙两班每天各植树多少棵？
6.探索规律.
（1）表中方程1、方程2、方程3、…是按一定规律排列的列方程，解方程1，2，3，并将它的解添在表的空格中；
（2）若方程
()b a b
x x a φ11=--的解61=x ，102=x ，求a 、b 的值，该方程是不是（1）中所给出的一列方程中的一个方程？若是，它是第几个方程？
（3）请写出这列方程中第n 个方程和它的解．。