连续时间系统的LTI系统的时域仿真
连续时间系统的时域分析
B1 cos t B2 sin t
t pe t sin t B1t p B2t p1 Bpt Bp1 e t cos t t pe t cos t D1t p D2t p1 Dpt Dp1 e t sin t
结论（不做要求）：
第
17
页
LCCDE具有一组全部为零的初始条件可以描述
经典法
齐次解：由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式 n Ak ekt 注意重根情况处理方法。 k 1
特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式→代入原方程，比较系数 定出特解。
全 解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解 Ak 。
我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ，响应
方程右端自由项为 44,因此令特解 ip t B, 代入式(1)
10B 4 4 要求系统的完全响应为
B 16 8 10 5
i t
A1e2t
A2e5t
8 5
t 0
(3)
确定换路后的i0
和
d dt
i
0
换路前
et 4V
2 S R1 1
1 it iC t
C 1F
et 2V
iL t
将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换
域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、
频域分析法和变换域分析法。
5
2.2 用微分方程描述的因果LTI系统
第
页
( Causal LTI Systems Described by Differential and Difference Equations )
L
iL (0 )
22
二．系统响应划分
信号与系统分析第二章 连续时间系统的时域分析
第二章 连续时间系统的时域分析
2.1.1
对系统进行分析时, 首先要建立系统的数学模型。 对于电的系统, 只要利用理想的电路元件, 根据基尔霍 夫定律, 就可以列出一个或一组描述电路特征的线性 微分方程。 现举例来说明微分方程的建立方法。
第二章 连续时间系统的时域分析
例2.1 图2.1所示为RLC串联电路, 求电路中电流i(t) 与激励e(t)之间的关系。
第二章 连续时间系统的时域分析
(3)
y(t) C 1 e t C 2 e 6 t5 2c 0 1o 2 t)s 5 3 (s0i2 n t) (
D(p)y(t)=N(p)f(t)
y(t) N(p) f (t) D(P)
式(2.15)中的 N ( p ) 定义为转移算子, 用H(p)表示,
D (P)
(2.14) (2.15)
H (p ) N D ( (P p ) ) b a m n p p m n a b n m 1 1 p p n m 1 1 a b 1 1 p p a b 0 0 (2.16)
t0
解 (1) 齐次解。 由例2.4 yh (t)=C1e-t+C2e-6t
第二章 连续时间系统的时域分析
(2) 特解。 查表2.2, yp(t)=B1cos (2t)+B2sin(2t)
－14B1+2B2－6=0 2B1+14B2=0
于是,
B15201,
B2530
yp(t)5 20 c 1o2ts) (530 si2 nt)(
第二章 连续时间系统的时域分析
3. 用算子符号表示微分方程, 不仅书写简便, 而且在建 立系统的数学模型时也很方便。 把电路中的基本元件R、 L、 C的伏安关系用微分算子形式来表示, 可以得到相应 的算子模型, 如表2.1所示。
系统的时域分析 线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应
y x (t ) K1e 2t K 2 e 3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y' (0)= y'x(0)= 2K13K2 =3
解得 K1= 6，K2= 5
y x (t ) 6e 2t 5e 3t , t 0
18
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 2f ' (t )+3f(t), t>0 系统的初始状态为y(0) = 2，y'(0) = 1， 求系统的零输入响应yx(t)。 解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
2t
Be
4t
1 y (0) A B 1 3 解得 A=5/2，B= 11/6 1 y ' (0) 2 A 4 B 2 3
5 2t 11 4t 1 t y(t ) e e e , t 0 2 6 3
12
1 t e 3
系统的几个概念：
9
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， 求系统的完全响应y(t)。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
11
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
MATLAB与信号实验——连续LTI系统的时域分析
MATLAB与信号实验——连续LTI系统的时域分析连续LTI系统的时域分析是信号与系统学中的重要课题。
MATLAB作为一种强大的科学计算软件，提供了丰富的工具和函数来进行信号与系统的分析。
下面将介绍MATLAB在连续LTI系统时域分析中的应用。
首先，我们需要了解连续LTI系统的基本概念。
一个连续域线性时不变系统（LTI系统）可以由它的冲激响应完全描述。
冲激响应是系统对单位冲激信号的响应。
在MATLAB中，可以使用impulse函数来生成单位冲激信号。
假设我们有一个连续LTI系统的冲激响应h(t)，我们可以使用conv 函数来计算系统对任意输入信号x(t)的响应y(t)。
conv函数实现了卷积运算，可以将输入信号与冲激响应进行卷积运算得到输出信号。
例如，我们假设一个连续LTI系统的冲激响应为h(t) = exp(-t)u(t)，其中u(t)是单位阶跃函数。
我们可以使用以下代码生成输入信号x(t)和计算输出信号y(t)：```matlabt=-10:0.1:10;%时间范围x = sin(t); % 输入信号h = exp(-t).*heaviside(t); % 冲激响应y = conv(x, h, 'same'); % 计算输出信号```这段代码首先定义了时间范围t，然后定义了输入信号x(t)和冲激响应h(t)。
接下来，使用conv函数计算输入信号和冲激响应的卷积，设置参数’same’表示输出信号与输入信号长度相同。
最后，得到了输出信号y(t)。
在得到输出信号后，我们可以使用MATLAB的绘图功能来可视化结果。
例如，使用以下代码可以绘制输入信号和输出信号的图像：```matlabfigure;plot(t, x, 'b', 'LineWidth', 2); % 绘制输入信号hold on;plot(t, y, 'r', 'LineWidth', 2); % 绘制输出信号xlabel('时间');ylabel('幅度');legend('输入信号', '输出信号');```除了卷积运算外，MATLAB还提供了许多其他函数来进行连续LTI系统的时域分析。
精选LTI系统的时域频率复频域分析资料
k 0
k 0
由于 Y ( j) X ( j)H ( j)
故有：
N
bk ( j )k
H ( j )
k 0 N
7
例：考虑一个因果LTI 系统，其输入x[n]和输出y[n]的关系由
差分方程给出: y[n] 1 y[n 1] x[n]。若x[n] [n 1], 求y[n]。
4
解：
0, n 1
x[n] [n 1] 1, n[n] 0, n 1.
y ''(t)
y '(t)
x(t )
+
y(t)
3 -2
解 由图可知第一个和第二个积分器的输入分别为 y''(t), y'(t)，根 据加法器的输入输出关系有
y ''(t) x(t) 3y '(t) 2y(t)
所以系统的微分方程为: y"(t) 3y '(t) 2y(t) x(t)
线性时不变系统的时域、频域 与复频域分析
本章主要内容：
• LTI系统的差分/微分方程描述和框图描述 • LTI系统的频域分析 • LTI系统的复频域分析
1
LTI系统的描述
1.用 h(t)、h[n] 描述系统；
2.用线性常系数微分或差分方程（LCCDE）描述； 3.用方框图描述系统（等价于LCCDE描述）； 4.用系统频率响应 H ( jω) 或系统函数 H(s)
一般的线性常系数差分方程可表示为：
N
M
ak y[n k] bk x[n k]
k 0
k 0
一阶系统
a0 y[n] a1y[n 1] b0x[n] b1x[n 1], a1, a0,b1,b0为常数
实验三 线性时不变(LTI)连续系统的时域分析
执行结果
实验任务 1：LTI系统的微分方程y''(t)+2y'(t)+y(t)=f'(t)+2f(t)，激励f (t)=e-2tε(t)，
（1） 利用 impulse 函数获得冲激响应； （2） 利用 lsim 函数求取零状态响应； （3） 用卷积分析法计算其零状态响应； 要求：在一个图形窗口里以 3 个子图形式绘制冲激响应和两种方法得到的零状 态响应的波形。 （4）改变系统的 a 系数矩阵，观察冲激响应和零状态响应时域波形的变化情况。 建议 a 系数向量分别如下取值讨论。
用。
一、实验目的
1. 掌握系统时域分析常用函数的使用方法； 2. 理解系统特征根对系统时域特性的影响；
二、实验原理及内容 2.1 连续系统的时域分析 2.1.1 连续系统时域分析的几个常用函数
设 LTI 连续时间系统的微分方程为
a 2 y''(t)+a 1 y'(t)+a 0 y(t)=b 2 f''(t)+b 1 f'(t)+b 0 f(t)
将积分变量离散化即将用n替代d用替代只要时域取样间隔足够小上式可近似为再把观察响应时刻离散化即将t用k替换只要足够小通常将fn简记为fnhkn简记为hknyk简记为yk这样上式便可表示为因此两个连续信号ft和ht的卷积yt可用ft和ht的取样信号f均取整数
实验三 线性时不变（LTI）连续系统的时域分析
2.1.2 连续信号卷积的近似计算
连续系统的零状态响应 y(t)可通过输入信号 f(t)与系统冲激响应 h(t)的卷积求 得；但是计算机只能处理数字信号，不能直接处理模拟信号，因此，卷积积分不 能直接用计算机计算。为了解决这个问题，可以将连续信号用取样信号来近似表 示，利用卷积和近似求得卷积积分。下面就连续信号卷积积分的近似计算进行简 单推导。
《MATLAB》连续时间信号的频域分析和连续时间系统的时域分析实验报告
《MATLAB 》连续时间信号的频域分析和连续时间系统的时域分析实验报告1、编写程序Q3_1，绘制下面的信号的波形图：其中，ω0 = 0.5π，要求将一个图形窗口分割成四个子图，分别绘制cos(ω0t)、cos(3ω0t)、cos(5ω0t) 和x(t) 的波形图，给图形加title ，网格线和x 坐标标签，并且程序能够接受从键盘输入式中的项数ｎ。
2、给程序例3_1增加适当的语句，并以Q3_2存盘，使之能够计算例题3-1中的周期方波信号的傅里叶级数的系数，并绘制出信号的幅度谱和相位谱的谱线图。
-+-=)5cos(51)3cos(31)cos()(000t t t t x ωωω∑∞==10)cos()2sin(1n t n n nωπ3.3反复执行程序例3_2，每次执行该程序时，输入不同的N值，并观察所合成的周期方波信号。
通过观察，你了解的吉布斯现象的特点是什么？3.4分别手工计算x1(t) 和x2(t) 的傅里叶级数的系数。
1．利用MATLAB 求齐次微分方程，，起始条件为，，时系统的零输入响应、零状态响应和全响应。
2． 已知某LTI 系统的方程为：其中，。
利用MATLAB 绘出范围内系统零状态响应的波形图。
3．已知系统的微分方程如下，利用MATLAB 求系统冲激响应和阶跃响应的数值解，并绘出其时域波形图。
（1）'''()2''()'()'()y t y t y t x t ++=()()t x t e u t -=(0)1y -='(0)1y -=''(0)2y -=''()5'()6()6()y t y t y t x t ++=()10sin(2)()x t t u t π=05t ≤≤''()3'()2()()y t y t y t x t ++=（2）''()2'()2()'()y t y t y t x t ++=。
LTI系统的时域频率复频域分析
a2y''(t)a 1y'(t)a0y(t)b 2x''(t)b 1x'(t)b 0x(t), a2,a 1,a0,b 2,b 1,b 0为常数
5
（2）线性常系数差分方程
(Linear Constant-Coefficient Difference Equation ，LCCDE)
一般的线性常系数差分方程可表示为：
2
2
频域分析法：也是建立在线性系统具有叠加性、齐次性基础 上，与时域分析法不同处在于信号分解的基本函数不同。 17
由于h ( t ) 的傅氏变换 H ( j ) 就是频率为 的复指
数信号 e j t 通过LTI系统时，系统对输入信号在幅
度上产生的影响，所以称为系统的频率响应。
鉴于h ( t ) 与 H ( j ) 是一一对应的，因而LTI系统 可以由其频率响应完全表征。
6
（3）线性常系数差分方程的时域递归解法
对于差分方程，可以将其改写为：
y[n]a 1 0 kM 0bkx[nk]kN 1aky[nk]
可以看出：要求出y[0]，不仅要知道所有x[n] (-M≤n ≤0 )，还要知 道y[-1]、y[-2]、…、y[-N]，这称为一组初始条件。对于因果LTI系 统，若当n<0时，x[n]=0，则有y[-1]、y[-2]… y[-N]都为0，于是可 以求得y[0]=b0x[0]/a0。进一步，又可以通过y[0]和x[0]、x[1]求得 y[1],依次类推可求出所有y[n]。
右端加法器的输出:
y(t) 2f'(t)4f(t) (2)
由(2)可得y’(t)，y’’(t)为:
;(t)2f''(t)4f'(t) (3) y''(t)2f'''(t)4f''(t) (4)
信号与系统连续时间LTI系统的几种响应求解方法及例题
谢谢您的聆听
THANKS
优点
能够直接得到系统在任意 时刻的响应值。
缺点
计算量大，需要逐个时间 点进行计算。
拉普拉斯变换法
定义
拉普拉斯变换法是一种将时域函 数转换为复频域函数的数学工具。
01
描述ห้องสมุดไป่ตู้
02 通过拉普拉斯变换，将系统的微 分方程转化为代数方程，然后求 解得到系统在复频域的响应。
优点
能够方便地求解高阶微分方程， 适用于具有复杂特性的系统。 03
拉普拉斯变换法
能够求解系统的零状态响应，但需要 已知系统传递函数，且变换过程可能 较为复杂。
05
结论
总结
本文介绍了求解连续时间LTI系统响应的几种方法，包括时域法和频域法。 通过具体实例，展示了这些方法在求解系统响应中的应用和优势。
时域法通过建立和求解微分方程来获取系统输出，具有直观和物理意义 明确的优点。而频域法则通过分析系统函数的频域特性来求解响应，具
信号与系统连续时间LTI系统的 几种响应求解方法及例
CONTENTS
• 引言 • 几种响应求解方法 • 例题解析 • 方法比较与选择 • 结论
01
引言
背景介绍
01
信号与系统是电子工程和通信工 程的重要基础学科，主要研究信 号和系统在时域和频域的行为和 特性。
02
在信号与系统中，线性时不变 （LTI）系统是最基本、最重要的 系统之一，其响应求解是研究的重 要内容。
LTI系统的基本概念
LTI系统是指系统的输出仅与输入和系统 的状态有关，而与时间无关。
LTI系统具有线性、时不变和因果性等基 本特性。
《信号与系统》第二版第二章：LTI连续时间系统的时域分析
零状态（zero state）响应 yzs (t ) ：不考虑起始时刻系统储能的作用，即Y(0-) ≡0，由系统的外加激励信号 v (t ) = v (t )u (t ) ≠ 0 所产生的响应。
零输入响应 yzi (t ) ：
5
《信号与系统》
第二章：LTI 连续时间系统的时域分析
∏(p −αi )
i =1
（αi 为互异特征根）
= N (p) ⎡⎣eαnt ∗ ∗ eα1t ∗ v (t )⎤⎦
（2-19）
n
∑ yzs (t ) = 齐次解 Aieαit ＋特解 B (t ) i =1
（2-20）
特解 B (t ) 反映系统输入对输出的强迫。
非零状态线性系统： 定义（非零状态线性系统）：系统 T 的初始状态为X(0-)≠0
令： D (p) pn + an−1pn−1 + ... + a1p + a0
N (p) bmpm + ... + b1p + b0
4
《信号与系统》
有：
第二章：LTI 连续时间系统的时域分析
y
(t)
=
N (p) D(p)
v(t
)
H (p)v(t)
（2-13）
其中，
H
(p)
=
N (p) D(p)
称为系统算子。
≤ ∫ ∫ f (τ ) g (t −τ ) dτ dt ΩΩ
= ∫ f (τ ) ∫ g (t −τ ) dtdτ
Ω
Ω
=∫
f (τ )
g (t ) dτ = 1
f (t) 1
g (t ) 1
信号与系统实验报告实验三 连续时间LTI系统的频域分析
实验三 连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义;2、掌握系统频率响应特性的计算方法与特性曲线的绘制方法,理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用;3、学习与掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义;4、掌握用MA TLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。
基本要求:掌握LTI 连续与离散时间系统的频域数学模型与频域数学模型的MATLAB 描述方法,深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义,理解滤波与滤波器的概念,掌握利用MATLAB 计算与绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。
二、实验原理及方法1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性,也称为频率响应特性,简称频率响应(Frequency response),就是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况,包括响应的幅度随频率的变化情况与响应的相位随频率的变化情况两个方面。
上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号与响应信号,h(t)就是系统的单位冲激响应,它们三者之间的关系为:)(*)()(t h t x t y =,由傅里叶变换的时域卷积定理可得到:)()()(ωωωj H j X j Y =3、1或者: )()()(ωωωj X j Y j H =3、2)(ωj H 为系统的频域数学模型,它实际上就就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。
即⎰∞∞--=dt e t h j H tj ωω)()( 3、3由于H(j ω)实际上就是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换,如果h(t)就是收敛的,或者说就是绝对可积(Absolutly integrabel)的话,那么H(j ω)一定存在,而且H(j ω)通常就是复数,因此,也可以表示成复数的不同表达形式。
在研究系统的频率响应时,更多的就是把它表示成极坐标形式:)()()(ωϕωωj ej H j H = 3、4上式中,)j (ωH 称为幅度频率相应(Magnitude response),反映信号经过系统之后,信号各频率分量的幅度发生变化的情况,)(ωϕ称为相位特性(Phase response),反映信号经过系统后,信号各频率分量在相位上发生变换的情况。
实验二连续时间LTI系统的时域分析
实验二连续时间LTI系统的时域分析一、实验目的：1、学会使用符号法求解连续系统的零输入响应和零状态响应2、学会使用数值法求解连续系统的零状态响应3、学会求解连续系统的冲激响应和阶跃响应二、实验原理及实例分析1、连续时间系统零输入响应和零状态响应的符号求解连续时间系统可以使用常系数微分方程来描述，其完全响应由零输入响应和零状态响应组成。
MATLAB符号工具箱提供了dsolve函数，可以实现对常系数微分方程的符号求解，其调用格式为：dsolve(‘eq1,eq2…’,’cond1,cond2,…’,’v’)其中参数eq表示各个微分方程，它与MATLAB符号表达式的输入基本相同，微分和导数的输入是使用Dy，D2y，D3y来表示y的一价导数，二阶导数，三阶导数；参数cond表示初始条件或者起始条件；参数v表示自变量，默认是变量t。
通过使用dslove函数可以求出系统微分方程的零输入响应和零状态响应，进而求出完全响应。
2、连续时间系统零状态响应的数值求解在实际工程中使用较多的是数值求解微分方程。
对于零输入响应来说，其数值解可以通过函数initial 来实现，而该函数中的参量必须是状态变量所描述的系统模型，由于现在还没有学习状态变量相关内容，所以此处不做说明。
对于零状态响应，MATLAB 控制系统工具箱提供了对LTI 系统的零状态响应进行数值仿真的函数lsim ，利用该函数可以求解零初始条件下的微分方程的数值解。
其调用格式为：y=lsim(b,a,f,t)，其中t 表示系统响应的时间抽样点向量，f 是系统的输入向量； b 和a 分别为微分方程右端和左端的系数向量，若不带返回参数y ，则直接在屏幕上绘制输入信号x 和响应信号的波形。
例如，对于微分方程)()()()()()()()(0'1''2'''30'1''2'''3t f b t f b t f b f f b t y a t y a t y a t y a +++=+++可以使用32103210[,,,];[,,,]a a a a a b b b b b ==注意，如果微分方程的左端或者右端表达式有缺项，则其向量a 或者b 中对应元素应该为零，不能省略不写。
MATLAB仿真之连续时间LTI系统仿真和时域分析
r=conv(h,e);t=-10:l/a:10;PlOt(I.r);title('零状态响应r(t)'); xlabel('t');ylabel('r');零输入程序及仿真建模当UT系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的其次解（即令微分方程的等号右端为零），其形式为（设特征根均为单根）Mf）=GeR÷Ge网+••••+”'其中PbP2,,∙∙,Pn是特征方程alλn+a2λn-l+∙∙∙+anλ+an=O的根，它们可以用rool（八）语句求得。
各系数IIIy及其各阶导数的初始值来确定。
对此有G+G+•…+G=NOp l C l+p2C2+--+P ll C n=Dy0PFG+〃2”工+•…3Y写成矩阵形式为：PJC+IY1C J+∙∙∙+PJC=D"*PlPi - P nC*-∣C∣t-∣JU-IP∣Pi…P…V为范德蒙矩阵，在matlab的特殊矩阵库中有Vandero以下面式子为例：√(r)+5y(0+4y(r)=2∕(∕)-4∕(r)y(OJ=l,y(OJ=5:MAT1.AB程序：a=input(,输入分母系数a=[al,a2,...]=');n=length（八）-l;YO=inputC输入初始条件向量YO=[yO,DyO,D2yO,.p=roots（八）;V=rot90(vander(p));c=V∖Y0';dt=inρut('dt=');te=inpιιt('te-);t=O:dt:te;y=zeros(1,length(t));fork=kny=y÷c(k)*exp(p(k)*t);endplot(t,y);gridon：xlabel(,t');ylabel('y');litle('零输入响应');程序运行结果：用这个通用程序来解一个三阶系统，运行此程序并输入a=[l,5,4]Y0=[l,5]dt=O.Olte=6结果如下列图：依据图可以分析零输入响应，它的起始值与输入函数无关，只与它的初始状态值有关，其起始值等于y(0_)的值。
信号与系统MATLAB仿真——LTI连续系统的时域分析
信号与系统MATLAB仿真——LTI连续系统的时域分析1. 知识回顾（1）经典时域分析⽅法线性时不变（LTI）系统是最常见最有⽤的⼀类系统，描述这类系统的输⼊-输出特性的是常系数线性微分⽅程。
\begin{array}{l} {y^{(n)}}(t) + {a_{n - 1}}{y^{(n - 1)}}(t) + \cdot \cdot \cdot + {a_1}{y^{(1)}}(t) + {a_0}y(t) = \\ {b_m}{f^{(m)}}(t) + {b_{m - 1}}{f^{(m - 1)}}(t) + \cdot \cdot \cdot + {b_1}{f^{(1)}}(t) + {b_0}f(t) \end{array}齐次解：{y^{(n)}}(t) + {a_{n - 1}}{y^{(n - 1)}}(t) + \cdot \cdot \cdot + {a_1}{y^{(1)}}(t) + {a_0}y(t) = 0特征⽅程：{\lambda ^n} + {a_{n - 1}}{\lambda ^{n - 1}} + \cdot \cdot \cdot + {a_1}\lambda + {a_0} = 0均为单根：{y_h}(t) = \sum\limits_{i = 1}^n {{C_i}{e^{{\lambda _i}t}}}有重根（r重根）：{y_h}(t) = \sum\limits_{i = 1}^r {{C_i}{t^{i - 1}}{e^{{\lambda _1}t}}}共轭复根（{\lambda _{1,2}} = \alpha \pm j\beta ）：{e^{\alpha t}}({C_1}\cos \beta t + {C_2}\sin \beta t)r重复根：{e^{\alpha t}}(\sum\limits_{i = 1}^r {{C_{1i}}{t^{i - 1}}} \cos \beta t + \sum\limits_{i = 1}^r {{C_{2i}}{t^{i - 1}}} \sin \beta t)特解：f(t) = {t^m}所有的特征根均不等于0：{y_p}(t) = {P_m}{t^m} + {P_{m - 1}}{t^{m - 1}} + \cdot \cdot \cdot + {P_1}t + {P_0}有r重等于0的特征根：{y_p}(t) = {t^r}[{P_m}{t^m} + {P_{m - 1}}{t^{m - 1}} + \cdot \cdot \cdot + {P_1}t + {P_0}] f(t) = {e^{\alpha t}}：\alpha 不是特征根：{y_p}(t) = P{e^{\alpha t}}\alpha 是特征单根：{y_p}(t) = {P_1}t{e^{\alpha t}} + {P_0}{e^{\alpha t}}\alpha 是r重特征根：{y_p}(t) = ({P_r}{t^r} + {P_{r - 1}}{t^{r - 1}} + \cdot \cdot \cdot + {P_1}t + {P_0}){e^{\alpha t}} f(t) = \cos \beta t或\sin \beta t：所有特征根均不等于 \pm j\beta ：{y_p}(t) = {P_1}\cos \beta t + {P_2}\sin \beta t\pm j\beta 是特征单根：{y_p}(t) = t[{P_1}\cos \beta t + {P_2}\sin \beta t]全解：y(t) = {y_h}(t) + {y_p}(t)（2）零输⼊响应与零状态响应y(t) = {y_{zi}}(t) + {y_{zs}}(t)（3）冲激响应和阶跃响应\left\{ \begin{array}{l} \delta (t) = \frac{{{\rm{d}}\varepsilon (t)}}{{{\rm{d}}t}}\\ \varepsilon (t) = \int_{ - \infty }^t {\delta (\tau ){\rm{d}}\tau } \end{array} \right. \left\{ \begin{array}{l} h(t) = \frac{{{\rm{d}}g(t)}}{{{\rm{d}}t}}\\ g(t) = \int_{ - \infty }^t {h(\tau ){\rm{d}}\tau } \end{array} \right.（4）卷积积分y(t) = {f_1}(t) * {f_2}(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{f_1}(\tau ){f_2}(t - } \tau ){\rm{d}}\tau系统的零状态响应：{y_{zs}}(t) = f(t) * h(t)卷积积分的性质：交换律分配率结合律任意函数与单位冲激函数卷积的结果仍是函数本⾝：f(t) * \delta (t) = f(t)2. 利⽤MATLAB求LTI连续系统的响应LTI连续系统以常微分⽅程描述，如果系统的输⼊信号及初始状态已知，便可以求出系统的响应。
第2章-连续时间信号与系统的时域分析PPT课件
第二章 连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号 第二节 LTI连续系统的时域响应 第三节 冲激响应与阶跃响应 第四节 卷积积分及其应用
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第二章连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号
一、单位阶跃函数与单位冲激函数
单位阶跃信号 (unit step function)用(t)表
求：当f(t)=t2,y(0+)=1,y’(0+)=1时的全解。
例5：已知某LTI连续系统的方程为
y ( t ) 4 y ( t ) 4 y ( t ) 2 f ( t ) 8 f ( t )
求：当f(t)=e-t,y(0+)=3,y’(0+)=4时的全响应。
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第二章连续时间信号与系统的时域分析
例6：如图所示电路图，其中R=5，L=1H，
C=1/6F,is(t)=4A,uc(0-)=0,i(0-)=0，电感电流
为i(t)为响应，求系统全响应。
+ uR(t) -
解：激励is(t)，响应i(t)
ic(t)is(t)i(t)
iS(t)
ic(t)
R
+
C vc(t)
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i(t) + L uL(t) -
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第二章连续时间信号与系统的时域分析
例9：描述某线性时不变系统的微分方程为： y”(t)+4y’(t)+3y(t)=f’(t)+4f(t)
已知输入： f(t)=2e-2t(t)
y(0+)=1 y’(0+)=7 (1)求系统的零状态响应yf(t)； (2)求系统的零输入响应yx(t)； (3)全响应y(t)。
实验3连续系统的时域及复频域分析
实验三 连系统的时域及复频域分析一、实验目的1、熟悉LTI 连续时间系统的时域及复频域分析方法；2、熟悉系统的零输入响应、零状态响应及冲激响应的求解步骤；3、熟悉拉普拉斯变换的原理及性质，熟悉常见信号的拉氏变换。
3、学会用MA TLAB 进行部分分式展开，学会用MATLAB 进行Laplace 正、反变换。
4、学会用MA TLAB 分析LTI 系统的特性。
二、实验环境计算机，Matlab 软件三、实验原理（一）连续系统的时域分析LTI 连续时间系统以常系数微分方程描述，系统的零状态响应可通过求解初始状态为零的微分方程得到。
MATLAB 提供了专门用于求解零初始状态微分方程数值解的函数以及专门用于求连续系统冲激响应及阶跃响应并绘制其时域波形的函数，利用其可以方便的计算系统的响应。
1、连续时间系统零状态响应的求解LTI 连续时间以常系数微分方程描述,系统的零状态响应可通过求解初始状态为零的微分方程得到.在MATLAB 的控制系统工具箱提供了一个用于求解零初始状态微分方程数值解的函数lsim.其调用方式为： y=lsim(sys,f,t)式中，t 表示计算系统响应的抽样点向量；f 是系统输入信号向量；sys 是LTI 系统模型，用来表示微分方程、差分方程、状态方程。
在求解微分方程时，微分方程的LTI 系统模型sys 要借助tf 函数获得（Create transfer function model ），其调用方式为：sys=tf(b,a)式中，b 和a 分别为微分方程右端和左端各项的系数向量。
（注意：微分方程中为零的系数一定要写入向量a 和b 中。
）例1：系统的微分方程为：)()(100)('2)(''t x t y t y t y =++，已知输入信号)π2sin(10)(t t x =。
ts=0;te=5;dt=0.01;sys=tf([1],[1 2 100]);%注意系数与微分方程系数的对应关系t=ts:dt:te;f=10*sin(2*pi*t);y=lsim(sys,f,t); %LSIM Simulate time response of dynamic systems toarbitrary inputs. 注意调用格式。
信号与系统实验报告实验三连续时间LTI系统的频域分析
实验三 连续时间LTI 系统的频域分析一、实验目的1、掌握系统频率响应特性的概念及其物理意义；2、掌握系统频率响应特性的计算方法和特性曲线的绘制方法，理解具有不同频率响应特性的滤波器对信号的滤波作用；3、学习和掌握幅度特性、相位特性以及群延时的物理意义；4、掌握用MATLAB 语言进行系统频响特性分析的方法。
基本要求：掌握LTI 连续和离散时间系统的频域数学模型和频域数学模型的MATLAB 描述方法，深刻理解LTI 系统的频率响应特性的物理意义，理解滤波和滤波器的概念，掌握利用MATLAB 计算和绘制LTI 系统频率响应特性曲线中的编程。
二、实验原理及方法1 连续时间LTI 系统的频率响应所谓频率特性，也称为频率响应特性，简称频率响应（Frequency response ），是指系统在正弦信号激励下的稳态响应随频率变化的情况，包括响应的幅度随频率的变化情况和响应的相位随频率的变化情况两个方面。
上图中x(t)、y(t)分别为系统的时域激励信号和响应信号，h(t)是系统的单位冲激响应，它们三者之间的关系为：)(*)()(t h t x t y =，由傅里叶变换的时域卷积定理可得到：)()()(ωωωj H j X j Y =3.1或者： )()()(ωωωj X j Y j H =3.2)(ωj H 为系统的频域数学模型，它实际上就是系统的单位冲激响应h(t)的傅里叶变换。
即⎰∞∞--=dt et h j H tj ωω)()( 3.3由于H(j ω)实际上是系统单位冲激响应h(t)的傅里叶变换，如果h(t)是收敛的，或者说是绝对可积（Absolutly integrabel ）的话，那么H(j ω)一定存在，而且H(j ω)通常是复数，因此，也可以表示成复数的不同表达形式。
在研究系统的频率响应时，更多的是把它表示成极坐标形式：)()()(ωϕωωj ej H j H = 3.4上式中，)j (ωH 称为幅度频率相应（Magnitude response ），反映信号经过系统之后，信号各频率分量的幅度发生变化的情况，)(ωϕ称为相位特性（Phase response ），反映信号经过系统后，信号各频率分量在相位上发生变换的情况。
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信号与系统课程设计报告书
课题名称
连续时间系统的LTI 系统的时域仿真
-----冲激响应与阶跃响应的仿真
姓 名
学 号 院、系、部 电气系 专 业 电子信息工程 指导教师
孙秀婷，康朝红
2011年 1 月12日
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2008级信号与系统 课程设计
连续时间系统的LTI系统的时域仿真
-----冲激响应与阶跃响应的仿真
一、设计目的
掌握信号经过LTI系统的时域分析方法。
巩固已经学过的知识，加深对知识的理解和应用，加强学科间的横向联系，学会应用MATLAB对实际问题进行仿真。
二、设计要求
（1）根据实际问题建立系统的数学模型（可以以课本第二章例2-1或例2-2为例）；
（2）用MATLAB描述此系统；
（3）在输入和电路参数已知的情况下，理论推导出系统的冲激响应与阶跃响应。
用MATLAB函数仿真实现系统的冲激响应与阶跃响应，绘制输出信号的波形。
三、设计内容
（1）建立数学模型：
对y(n)+0.2y(n-1)-0.24(n-2)=x(n)+(n-1)求出阶跃响应与冲激响应，matlab
中提供了3种方法。
Y = FILTER(B,A,X)是用来求出差分方程，输入X为滤波前序列，Y为滤波结果序列，B/A 提供滤波器系数，B为分子， A为分母
y=impz(B,A,N)是用来实现冲击响应的，B/A 提供滤波器系数，B为分子， A为分母，N表示冲激响应输出的序列个数。
y=stepz(B,A,N) ，B/A 提供滤波器系数，B为分子， A为分母，N表示阶跃响应输出的序列个数。
(2)用MATLAB描述此系统：
程序如下：
N=50;
b=[1,1];
a=[1,0.2,-0.24];
%求单位冲激响应
%用filter函数用单位冲激响应
x1=[1,zeros(1,N-1)]; %产生单位冲激序列
y1=filter(b,a,x1);
n=[0:N-1];
subplot(2,2,1)
stem(y1)
xlabel('n');ylabel('y(n)');
title('Filter函数求得的单位冲激响应') %用impz函数求单位冲激响应
y2=impz(b,a);
subplot(2,2,2)
stem(y2)
xlabel('n');ylabel('y(n)');
title('Impz函数求得的单位冲激响应')
%用Filter函数求单位阶跃响应
x2=ones(1,N);
y3=filter(b,a,x2);
subplot(2,2,3)
stem(y3)
xlabel('n');ylabel('y(n)');
title('Filter函数求得的单位阶跃响应') %用stepz函数求单位阶跃响应
y4=stepz(b,a,N);
subplot(2,2,4)
stem(y4)
xlabel('n');ylabel('y(n)');
title('stepz函数求得的单位阶跃响应') 该图为filter函数求出单位冲激响应的图形
该图为impz函数求出单位冲击响应的图形
该图为filter函数求出的单位阶跃响应的图形
该图为stepz函数求出的单位阶跃响应的图形
（3）simulink仿真
对冲击响应的仿真
图形为
对阶跃反映的仿真
图形为
四、设计总结：
通过本次试验，我掌握了通过matlab求冲击响应与阶跃响应的分析方法。
巩固了已经学过的知识，加深了对知识的理解和应用，加强了学科间的横向联系，学会应用MATLAB对信号经过LTI系统的时域进行仿真。
熟悉了用函数实现冲激响应与阶跃响应，并用课本上的结果进行验证；掌握了MATLAB常用函数的功能和使用方法；掌握了用simulink仿真的方法；并且能够判断系统的稳定性及实现的功能。
五、参考文献：
《信号与系统引论》郑君里等著，高等教育出版社。
《MATLAB程序设计及应用》刘卫国主编，高等教育出版社。