考点26 基本不等式 2015年高考分类题库

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2015年文科高考数学题分类汇编. 不等式

1.【2015高考天津，文2】设变量,y x 满足约束条件2020280x x y x y ì-?ïï-?íï+-?ïî,则目标函数3y z x =+的最大值为（）(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)142.【2015高考浙江，文6】有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++3.【2015高考重庆，文10】若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为（） (A)-3 (B) 1 (C) 注意运算的准确性及对结果的检验. 4.【2015高考湖南，文7】若实数,a b满足12a b+=，则ab 的最小值为( ) AB 、2C 、D 、45.【2015高考四川，文9】设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为( )(A )252 (B )492(C )12 (D )14【考点定位】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识，考查知识的整合与运用，考查学生综合运用知识解决问题的能力.【名师点睛】本题中，对可行域的处理并不是大问题，关键是“求xy 最大值”中，xy 已经6.【2015高考广东，文4】若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（）A ．10B ．8C ．5D ．2 7.【2015高考重庆，文14】设,0,5a b a b >+=,________.8.【2015高考新课标1，文15】若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为．9.【2015高考陕西，文11】某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元.4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元10.【2015高考湖南，文4】若变量x y ，满足约束条件111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为( )A 、1-B 、0C 、1D 、211.【2015高考福建，文10】变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 12.【2015高考福建，文5】若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（）A ．2B ．3C ．4D ．513.【2015高考安徽，文5】已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则y x z +-=2的最大值是（）（A ）-1 （B ）-2 （C ）-5 （D ）114.【2015高考天津，文12】已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为时()22log log 2a b ⋅取得最大值.15.【2015高考山东，文12】若,x y 满足约束条件13,1y x x y y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最大值为 .16.【2015高考湖北，文12】若变量,x y 满足约束条件4,2,30,x y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最大值是_________．17.【2015高考广东，文11】不等式2340x x --+>的解集为．（用区间表示） 18.【2015高考北京，文13】如图，C ∆AB 及其内部的点组成的集合记为D ，(),x y P 为D 中任意一点，则23z x y =+的最大值为．19.【2015高考浙江，文14】已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是．由图可知当22y x ≥-时，满足的是如图的AB 劣弧，则22z x y =+-在点(1,0)A 处取得20.【2015高考上海，文9】若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最大值为 .21.【2015高考上海，文16】下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（）. A. 2)32)(8(2<+++x x x B. )32(282++<+x x xC. 823212+<++x x x D. 218322>+++x x x。

2015年全国各地高考数学试题(卷)与解答分类汇编大全(05_不等式)

2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（05不等式）一、选择题：1.（2015文）已知x，y满足约束条件401x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则yxz+-=2的最大值是（）（A）-1 （B）-2（C）-5 （D）12.（2015理）若x，y满足1x yx yx-⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y=+的最大值为（）A．0 B．1 C．32D．2【答案】D【解析】试题分析：如图，先画出可行域，由于2z x y=+，则1122y x z=-+，令0Z=，作直线12y x=-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z取得最小值2.考点：线性规划；3．（2015文）若直线1(0,0)x ya ba b+=>>过点(1,1)，则a b+的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C考点：基本不等式．4．（2015理）若变量,x y满足约束条件20,0,220,x yx yx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y=-的最小值等于 ( ) A．52- B．2- C．32- D．2【答案】A【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为2y x z=-，当z最小时，直线2y x z=-的纵截距最大，故将直线2y x=经过可行域，尽可能向上移到过点1(1,)2B-时，z取到最小值，最小值为152(1)22z=⨯--=-，故选A．考点：线性规划．5．（2015文）变量,x y满足约束条件220x yx ymx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2z x y=-的最大值为2，则实数m等于（）A．2- B．1-C．1 D．2【答案】C【解析】x–1–2–3–41234–1–2–3–4123BOC试题分析：将目标函数变形为2y x z =-，当z 取最大值，则直线纵截距最小，故当0m ≤时，不满足题意；当0m >时，画出可行域，如图所示，其中22(,)2121mB m m --．显然(0,0)O 不是最优解，故只能22(,)2121m B m m --是最优解，代入目标函数得4222121mm m -=--，解得1m =，故选C ．考点：线性规划．6.（2015文）若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（）A ．10B ．8C ．5D ．2 【答案】C考点：线性规划．7．（2015理）若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x 则y x z 23+=的最小值为（）A ．531 B. 6 C. 523D. 4【答案】C ．【解析】不等式所表示的可行域如下图所示，由32z x y =+得322z y x =-+，依题当目标函数直线l ：322z y x =-+经过41,5A ⎛⎫⎪⎝⎭时，z 取得最小值即min42331255z =⨯+⨯=，故选C【考点定位】本题考查二元一次不等式的线性规划问题，属于容易题．8. （2015文）不等式2340x x --+>的解集为．（用区间表示）【答案】()4,1- 【解析】试题分析：由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-．考点：一元二次不等式．9、(2015文)若变量x 、y 满足约束条件111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则z=2x-y 的最小值为( )A 、-1B 、0C 、1D 、2【答案】AxyOA l考点：简单的线性规划10. (2015理)若变量x，y满足约束条件1 211 x yx yy+≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y=-的最小值为（）A.-7B.-1C.1D.2【答案】A.而可知当2-=x，1=y时，min3(2)17z=⨯--=-的最小值是7-，故选A.【考点定位】线性规划.【名师点睛】本题主要考查了利用线性规划求线性目标函数的最值，属于容易题，在画可行域时，首先必须找准可行域的围，其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小，从而确定目标函数取到最优解时所经过的点，切忌随手一画导致错解.11、(2015文)若实数a，b满足12aba b+=，则ab的最小值为( )A2 B、2 C、2 D、4【答案】C考点：基本不等式12.(2015理)已知,x y满足约束条件2x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y=+的最大值为4，则a=（）（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3 【答案】B【解析】不等式组2xyx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若z ax y=+的最大值为4，则最优解可能为1,1x y==或2,0x y==，经检验，2,0x y==是最优解，此时2a=；1,1x y==不是最优解.故选B.【考点定位】简单的线性规划问题.【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数a的值，考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力.13.(2015理)设()ln,0f x x a b=<<，若)p f ab=，()2a bq f+=，1(()())2r f a f b=+，则下列关系式中正确的是（）A．q r p=< B．q r p=> C．p r q=< D．p r q=>【答案】C考点：1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性．14. (2015文)设()ln ,0f x x a b =<<，若()p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 【答案】C 【解析】试题分析：1()ln ln 2p f ab ab ab ===；()ln22a b a bq f ++==；11(()())ln 22r f a f b ab =+=因为2a b ab +>，由()ln f x x =是个递增函数，()()2a b f f ab +>所以q p r >=，故答案选C考点：函数单调性的应用.15. (2015文) 某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128万元【答案】D当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值324318z =⨯+⨯=故答案选D考点：线性规划.16. (2015理)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）D ．18万元甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128【解析】试题分析：设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，则利润34z x y =+由题意可列32122800x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，其表示如图阴影部分区域：当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值，所以max 324318z =⨯+⨯=，故选D ．考点：线性规划．17. (2015文)下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（）.A. 2)32)(8(2<+++x x xB. )32(282++<+x x xC.823212+<++xxxD.218322>+++xxx【答案】B18、(2015理)记方程①：2110x a x++=，方程②：2220x a x++=，方程③：2340x a x++=，其中1a，2a，3a是正实数．当1a，2a，3a成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a≥<，从而4222321816,4aaa=<=即方程③：2340x a x++=无实根，选B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实根【考点定位】不等式性质19. (2015文)若不等式组2022020x yx yx y m+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m的值为（）(A)-3 (B) 1 (C)43(D)3【答案】B【解析】试题分析：如图，；由于不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形ABC ，且其面积等于43，再注意到直线AB ：x+y-2=0与直线BC:x-y+2m=0互相垂直，所以三角形ABC 是直角三角形；易知，A （2，0），B （1-m,m+1）,C(2422,33m m -+); 从而112222122223ABC m S m m m ∆+=+⋅+-+⋅=43，化简得：2(1)4m +=，解得m=-3,或m=1；检验知当m=-3时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以m=1; 故选B.考点：线性规划.20、(2015文)设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为( )(A )252(B )492 (C )12 (D )14【答案】A【考点定位】本题主要考查线性规划与基本不等式的基础知识，考查知识的整合与运用，考查学生综合运用知识解决问题的能力.【名师点睛】本题中，对可行域的处理并不是大问题，关键是“求xy 最大值”中，xy 已经不是“线性”问题了，如果直接设xy ＝k ，，则转化为反比例函数y ＝的曲线与可行域有公共点问题，难度较大，且有超出“线性”的嫌疑.而上面解法中，用基本不等式的思想，通过系数的配凑，即可得到结论，当然，对于等号成立的条件也应该给以足够的重视.属于较难题.21.(2015天津文)设变量,y x 满足约束条件2020280x x y x y ì-?ïï-?íï+-?ïî,则目标函数3y z x =+的最大值为（）(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14【答案】C考点：线性规划22.( 2015天津理)设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为（）（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40【答案】C864224681510551015AB考点：线性规划.23、(2015文)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m）分别为x，y，z，且x y z<<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m）分别为a，b，c，且a b c<<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A．ax by cz++ B．az by cx++ C．ay bz cx++ D．ay bx cz++【答案】B考点：1.不等式性质；2.不等式比较大小.二、填空题:1、（2015文）如图，C∆AB及其部的点组成的集合记为D，(),x yP为D中任意一点，则23z x y=+的最大值为．【答案】7考点：线性规划.2.（2015文）若变量,x y满足约束条件4,2,30,x yx yx y+≤⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y+的最大值是_________．【答案】10.【考点定位】本题考查线性规划的最值问题，属基础题.【名师点睛】这是一道典型的线性规划问题，重点考查线性规划问题的基本解决方法，体现了数形结合的思想在数学解题中重要性和实用性，能较好的考查学生准确作图能力和灵活运用基础知识解决实际问题的能力.3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)若x,y满足约束条件20210220x yx yx y+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z=3x+y的最大值为．【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线l：30x y+=，平移直线l，当直线l:z=3x+y 过点A时，z取最大值，由2=021=0x yx y+-⎧⎨-+⎩解得A（1,1），∴z=3x+y的最大值为4.【考点定位】简单线性规划解法【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.4.(2015全国新课标Ⅰ卷理)若x,y满足约束条件1040xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则yx的最大值为 .【答案】3【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.考点：线性规划解法5. (2015全国新课标Ⅱ卷文)若x,y满足约束条件50210210x yx yx y+-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z=2x+y的最大值为．【答案】8考点：线性规划6．(2015全国新课标Ⅱ卷理)若x，y满足约束条件1020,220,x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，则z x y=+的最大值为____________．【答案】32【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为y x z=-+，当z取到最大时，直线y x z=-+的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D，则z x y=+的最大值为32．考点：线性规划．xy–1–2–3–41234–1–2–3–41234DCBO7. (2015文)若x,y满足约束条件13,1y xx yy-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则3z x y=+的最大值为 .【答案】7【解析】试题分析：画出可行域及直线30x y+=，平移直线30x y+=，当其经过点(1,2)A时，直线的纵截距最大，所以3z x y=+最大为1327z=+⨯=.考点：简单线性规划.8. (2015文)定义运算“⊗”：22x yx yxy-⊗=（,0x y R xy∈≠，）.当00x y>>，时，(2)x y y x⊗+⊗的最小值是 .2【解析】试题分析：由新定义运算知，2222(2)4(2)(2)2y x y xy xy x xy--⊗==，因为，00x y>>，，所以，2222224222(2)2222x y y x x y xyx y y xxy xy xy xy--+⊗+⊗=+=≥=2x y=时，(2)x y y x⊗+⊗2考点：1.新定义运算；2.基本不等式.9. (2015文)若yx,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-2yyxyx，则目标函数yxz2+=的最大值为 .【答案】3【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.10. (2015天津文)已知0,0,8,a b ab>>=则当a的值为时()22log log2a b⋅取得最大值. 【答案】4【解析】试题分析：()()()()22222222log log211log log2log2log164,244a ba b ab+⎛⎫⋅≤===⎪⎝⎭当2a b=时取等号,结合0,0,8,a b ab>>=可得4, 2.a b==考点：基本不等式.11. (2015文)设,0,5a b a b>+=,1++3a b+ ________.【答案】23考点：基本不等式.12、(2015文)已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是．【答案】15 【解析】试题分析： 22,2224631034,22x y y xz x y x y x y y x+-≥-⎧=+-+--=⎨--<-⎩由图可知当22y x ≥-时，满足的是如图的AB 劣弧，则22z x y =+-在点(1,0)A 处取得最大值5；当22y x <-时，满足的是如图的AB 优弧，则1034z x y =--与该优弧相切时取得最大值，故1015z d -==，所以15z =，故该目标函数的最大值为15.考点：1.简单的线性规划；13. (2015理)若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是．三、解答题。

2015年全国高考数学试题分类汇编第十七章不等式选讲

第十七章不等式选讲考点不等式的解法及证明4.(2015课标Ⅰ,24,10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得23<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为 x23<x<2.(5分)(2)由题设可得,f(x)=x-1-2a,x<-1,3x+1-2a,-1≤x≤a, -x+1+2a,x>a.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a-13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为23(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).(10分)5.(2015课标Ⅱ,24,10分)选修4—5:不等式选讲设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d.证明:(1)若ab>cd,则a+b>c+d;(2)a+>c+是|a-b|<|c-d|的充要条件.证明(1)因为(a+b)2=a+b+2ab,(c+d)2=c+d+2cd,由题设a+b=c+d,ab>cd得(a+b)2>(c+d)2.因此a+b>c+d.(2)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(1)得a+>c+.(ii)若a+b>c+d,则(a+b)2>(c+d)2,即a+b+2ab>c+d+2cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要条件. 6.(2015陕西,24,10分)选修4—5:不等式选讲已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.(1)求实数a,b的值;(2)求at+12+.解析(1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a,则-b-a=2,b-a=4,解得a=-3,b=1.(2)-3t+12+t=34-t+t≤[(3)2+12][(4-t)2+(t)2] =24-t+t=4,当且仅当4-t3=t1,即t=1时等号成立,故(-3t+12+t)max=4.。

2015年高考数学文理真题汇编：专题_不等式(教师版0

不等式专题1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B【解析】2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，822n m --≥-即212m n +≤.26,182m n mn +≤≤∴≤ .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，8122n m --≤-即218m n +≤.2819,22n m mn +≤≤∴≤ .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以(182)(1828)816mn n n =-<-⨯⨯=，所以最大值为18.选B..2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为（）A ．0B ．1C ．32D ．2【答案】D【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y =+，则1122y x z =-+，令0Z =，作直线12y x =-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取得最小值2. 3.【2015高考陕西，理9】设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（） A ．q r p =< B ．q r p => C ．p r q =< D ．p r q =>【答案】C【解析】ln p f ==，()ln 22a b a b q f ++==，11(()())ln ln 22r f a f b ab =+==()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b +>，所以()2a b f f +>，所以q p r >=，故选C ． 4.【2015高考天津，理2】设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y=+的最大值为( )（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40【答案】C5.【2015高考山东，理5】不等式152x x ---<的解集是（）（A ）（-，4）（B ）（-，1）（C ）（1，4）（D ）（1，5）【答案】A【解析】原不等式同解于如下三个不等式解集的并集;1155()()()152152152x x x I II III x x x x x x <≤<≥⎧⎧⎧⎨⎨⎨-+-<-+-<--+<⎩⎩⎩解（I ）得：1x < ,解（II ）得：14x ≤< ,解（III ）得：x φ∈ , 所以，原不等式的解集为{}4x x < .故选A. 6.【2015高考山东，理6】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a = （）（A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-3【答案】B【解析】不等式组020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，若z ax y =+的最大值为4，则最优解可能为1,1x y == 或2,0x y == ，经检验，2,0x y ==是最优解，此时2a = ；1,1x y ==不是最优解.故选B.【2015高考浙江，理14】若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是．【答案】3.7.【2015高考江苏，7】不等式224x x -<的解集为________. 【答案】(1,2).-8.【2015高考上海，理17】记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根【答案】B9.【2015高考湖南，文7】若实数,a b 满足12a b+=，则ab 的最小值为( )A B 、2 C 、 D 、4【答案】C【解析】121200a b ab a b a b +=∴=+≥=∴≥ ＞，＞，，（当且仅当2b a =时取等号），所以ab 的最小值为，故选C.10.【2015高考重庆，文14】设,0,5a b a b >+=,________.【答案】23 【解析】由222ab a b ≤+两边同时加上22a b +得222()2()a b a b +≤+两边同时开方即得：a b +≤（0,0a b >>且当且仅当a b =时取“=”），≤==13a b +=+,即73,22a b ==时，“=”成立），故填：23. 11.【2015高考福建，文5】若直线1(0,0)x y a b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【解析】由已知得111a b +=，则11=()()a b a b a b +++2+b a a b=+，因为0,0a b >>，所以+b a a b ≥，故4a b +≥，当=b a a b，即2a b ==时取等号． 12.【2015高考天津，文12】已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为时()22log log 2a b ⋅取得最大值.【答案】4【解析】()()()()22222222log log 211log log 2log 2log 164,244a b a b ab +⎛⎫⋅≤=== ⎪⎝⎭当2a b =时取等号,结合0,0,8,a b ab >>=可得4, 2.a b ==。

历年高三数学高考考点之基本不等式必会题型及答案

历年高三数学高考考点之<基本不等式>必会题型及答案体验高考1．(2015·四川)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.812答案 B解析 ①当m ＝2时，∵f (x )在[12，2]上单调递减， ∴0≤n ＜8，mn ＝2n ＜16.②m ≠2时，抛物线的对称轴为x ＝－n －8m －2. 据题意得，当m ＞2时，－n －8m －2≥2，即2m ＋n ≤12， ∵2m ·n ≤2m ＋n 2≤6， ∴mn ≤18，由2m ＝n 且2m ＋n ＝12得m ＝3，n ＝6.当m ＜2时，抛物线开口向下，据题意得，－n －8m －2≤12，即m ＋2n ≤18， ∵2n ·m ≤2n ＋m 2≤9， ∴mn ≤812，由2n ＝m 且m ＋2n ＝18得m ＝9＞2，故应舍去．要使得mn 取得最大值，应有m ＋2n ＝18(m ＜2，n ＞8)．∴mn ＝(18－2n )n ＜(18－2×8)×8＝16，综上所述，mn 的最大值为18，故选B.2．(2015·陕西)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q 答案 C解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b ) ＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p .故p ＝r ＜q .选C.3．(2015·天津)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．答案 4解析 log 2a ·log 2(2b )＝log 2a ·(1＋log 2b )≤⎝⎛⎭⎪⎫log 2a ＋1＋log 2b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2ab ＋122 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 28＋122＝4，当且仅当log 2a ＝1＋log 2b ，即a ＝2b 时，等号成立，此时a ＝4，b ＝2.4．(2016·江苏)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________．答案 8解析在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，由已知，sin A ＝2sin B sin C ，∴sin(B ＋C )＝2sin B sin C .∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ，A ，B ，C 全为锐角，两边同时除以cos B cos C 得：tan B ＋tan C ＝2tan B tan C .又tan A ＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝tan B ＋tan C tan B tan C －1. ∴tan A (tan B tan C －1)＝tan B ＋tan C .则tan A tan B tan C －tan A ＝tan B ＋tan C ，∴tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ， ∴tan A tan B tan C ≥22，∴tan A tan B tan C ≥8.5．(2016·上海)设a ＞0，b ＞0.若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析由已知，ab ＝1，且a ≠b ，∴a ＋b ＞2ab ＝2.高考必会题型题型一利用基本不等式求最大值、最小值1．利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键．(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错．2．结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式．常见的转化方法有：(1)x ＋bx －a ＝x －a ＋bx －a ＋a (x >a )．(2)若a x ＋b y ＝1，则mx ＋ny ＝(mx ＋ny )×1＝(mx ＋ny )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ≥ma ＋nb ＋2abmn (字母均为正数)．例1 (1)已知正常数a ，b 满足1a ＋2b＝3，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值是________．答案 509解析由1a ＋2b ＝3，得b ＋2a ＝3ab ， ∴(a ＋1)(b ＋2)＝2a ＋b ＋ab ＋2＝4ab ＋2，又a ＞0，b ＞0，∴1a ＋2b ≥22ab ，∴ab ≥89(当且仅当b ＝2a 时取等号)， ∴(a ＋1)(b ＋2)的最小值为4×89＋2＝509. (2)求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x ＞－1)的最小值．解设x ＋1＝t ，则x ＝t －1(t ＞0)，∴y ＝t －12＋7t －1＋10t＝t ＋4t＋5≥2 t ·4t ＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2，且此时x ＝1时，取等号， ∴y min ＝9.点评求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式．在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值．等号能够取得．变式训练1 已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋5y ＝20，(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵x ＞0，y ＞0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x ＞0，y ＞0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2x y时等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10 10－203，y ＝20－4103. ∴1x ＋1y 的最小值为7＋2 1020. 题型二基本不等式的综合应用例2 (1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件答案 B 解析平均每件产品的费用为y ＝800＋x 28x ＝800x ＋x 8≥2 800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x 8，即x ＝80时取等号，所以每批应生产产品80件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小．(2)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解设铁栅长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积S ＝xy ，依题设，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得 3 200≥2 40x ·90y ＋20xy ＝120 xy ＋20xy ＝120 S ＋20S ，则S ＋6S －160≤0，即(S －10)·(S ＋16)≤0，故0＜S ≤10，从而0＜S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，解得x ＝15，即铁栅的长应设计为15米．点评基本不等式及不等式性质应用十分广泛，在最优化实际问题，平面几何问题，代数式最值等方面都要用到基本不等式，应用时一定要注意检验“三个条件”是否具备．变式训练2 (1)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是________．答案 92 解析圆的方程变形为(x －1)2＋(y －2)2＝5，由已知可得直线ax ＋by －6＝0过圆心O (1,2)，∴a ＋2b ＝6(a ＞0，b ＞0)，∴6＝a ＋2b ≥22ab ，∴ab ≤92(当且仅当a ＝2b 时等号成立)，故ab 的最大值为92. (2)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． ①写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；②当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 ①当0＜x ＜80时， L (x )＝1 000x ×0.05－(13x 2＋10x )－250＝－13x 2＋40x －250. 当x ≥80时， L (x )＝1 000x ×0.05－(51x ＋10 000x －1 450)－250 ＝1 200－(x ＋10 000x)． ∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －13x 2＋40x －2500＜x ＜80，1 200－x ＋10 000x x ≥80.②当0＜x ＜80时，L (x )＝－13x 2＋40x －250. 对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )最大＝950(万元)．当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x)≤1 200－2 10 000＝1 000(万元)，当且仅当x ＝100时，L (x )最大＝1 000(万元)，综上所述，当x ＝100时，年获利最大．高考题型精练1．已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( ) A ．有最大值e B ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e答案 C解析 ∵x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，∴ln x ·ln y ＝14≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋ln y 22，∴ln x ＋ln y ＝ln xy ≥1⇒xy ≥e.2．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C ．5D ．6答案 C解析方法一由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x5y ＋12y5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，∴3x ＋4y 的最小值是5.方法二由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y5y －1，∵x ＞0，y ＞0，∴y ＞15，∴3x ＋4y ＝9y5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15 ≥135＋2 3625＝5，当且仅当y ＝12时等号成立， ∴3x ＋4y 的最小值是5.3．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( ) A ．1B ．6C ．9D ．16 答案 B解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b＝1， ∴b ＝a a －1＞0，解得a ＞1.同理可得b ＞1， ∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1 ＝1a －1＋9(a －1)≥2 1a －1·9a －1＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立， ∴最小值为6.故选B.4．已知a ＞0，b ＞0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b≤0恒成立，则m 的最大值为( ) A ．4 B ．16 C ．9 D ．3答案 B解析因为a ＞0，b ＞0，所以由m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立得m ≤(3a ＋1b )(3a ＋b )＝10＋3b a ＋3a b恒成立．因为3b a ＋3a b ≥23b a ·3a b＝6，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以10＋3b a ＋3a b≥16，所以m ≤16，即m 的最大值为16，故选B.5．已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋m y(m ＞0)的最小值为3，则m 等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．4答案 D解析由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3， 1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y) ＝13(1＋m ＋y x ＋mx y) ≥13(1＋m ＋2m )(当且仅当y x ＝mx y时取等号) ∴13(1＋m ＋2m )＝3，解得m ＝4，故选D. 6．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2答案 A解析圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)，因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c)＝4c b ＋b c ＋5. 因为b ，c ＞0，所以4c b ＋b c ≥24cb ·b c＝4. 当且仅当4c b ＝b c时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. 7．已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．答案 6解析由已知得x ＝9－3y 1＋y.方法一 (消元法)∵x ＞0，y ＞0，∴0＜y ＜3，∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝121＋y ＋3(y ＋1)－6 ≥2121＋y ·3y ＋1－6＝6，当且仅当121＋y＝3(y ＋1)，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6.方法二 ∵x ＞0，y ＞0,9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y 时等号成立．设x ＋3y ＝t ＞0，则t 2＋12t －108≥0，∴(t －6)(t ＋18)≥0，又∵t ＞0，∴t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.8．已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，则a ＋cb ＋b a ＋c 的最小值为________．答案 52解析由条件可知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且b 2＝ac ，即b ＝ac ，故a ＋c b ≥2ac b ＝2，令a ＋c b ＝t ，则t ≥2，所以y ＝t ＋1t在[2，＋∞)上单调递增，故其最小值为2＋12＝52. 9．已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________．答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22， ∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)，又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)，综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.10．当x ∈(0,1)时，不等式41－x ≥m －1x 恒成立，则m 的最大值为________．答案 9解析方法一 (函数法)由已知不等式可得 m ≤1x ＋41－x，设f (x )＝1x ＋41－x ＝1－x ＋4x x 1－x ＝3x ＋1－x 2＋x ，x ∈(0,1)．令t ＝3x ＋1，则x ＝t －13，t ∈(1,4)，则函数f (x )可转化为g (t )＝t－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋t －13＝t －19t 2＋59t －49＝9t －t 2＋5t －4＝9－t ＋4t＋5，因为t ∈(1,4)，所以5＞t ＋4t≥4， 0＜－(t ＋4t )＋5≤1，9－t ＋4t ＋5≥9，即g (t )∈[9，＋∞)，故m 的最大值为9.方法二 (基本不等式法)由已知不等式可得m ≤1x ＋41－x，因为x ∈(0,1)，则1－x ∈(0,1)，设y ＝1－x ∈(0,1)，显然x ＋y ＝1.故1x ＋41－x ＝1x ＋4y ＝x ＋y x ＋4x ＋y y＝5＋(y x ＋4x y )≥5＋2y x ·4x y＝9，当且仅当y x ＝4x y ，即y ＝23，x ＝13时等号成立．所以要使不等式m ≤1x ＋41－x恒成立，m 的最大值为9. 11．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解 (1)设所用时间为t ＝130x(小时)， y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]．(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝13x 18，即x ＝1810时等号成立．故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．12．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．解 (1)设每件定价为t 元，依题意，有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解， ∵150x ＋16x ≥2150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2， ∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．。

2015年高考数学试题分类汇编-----专题七(不等式)-推荐下载

【答案】A 【解析】
2
2
满足约束条件
试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为 y 2x z ，当 z 最小时，直线
y 2x z 的纵截距最大，故将直线 y 2x 经过可行域，尽可能向上移到过点
B(1, 1 ) 时， z 取到最小值，最小值为 2
z 2 (1) 1 5 ，故选 A． 22
【答案】7
．
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

2015江苏高考数学基本不等式复习

大方向教育个性化辅导教案教师：徐琨学生：学科：数学时间：课题（课型）基本不等式教学方法：知识梳理、例题讲解、归纳总结、巩固训练自主梳理1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：__________.(2)等号成立的条件：当且仅当______时取等号． 2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥______ (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab≥____(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22____a 2＋b 22.3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为__________，几何平均数为________，基本不等式可叙述为：____________________________________. 4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当______时，x ＋y 有最____值是______(简记：积定和最小)． (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当______时，xy 有最____值是________(简记：和定积最大)．【典型例题】例1、若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则12a b+的最小值为．变式1：若正数y x ,满足211=+yx ，则y x z 2+=的最小值为变式2：若正数y x ,满足082=-+xy y x ，则y x z +=的最小值为变式3：已知b a ,是给定的正数，则2222sin cos a b z αα=+的最小值为变式4：1()()9ax y x y++≥对任意正实数x ，y 恒成立,则正实数a 的最小值为．例2、若正数,a b 满足条件3ab a b =++，则ab 的取值范围是。

基本不等式--历年高考题汇编-含详细解析

基本不等式--历年高考题汇编一、选择题（本大题共3小题，共15.0分）1.已知过点(1,3)的直线l的倾斜角为135°，设点(x,y)是直线l在第一象限内的部分上的一点，则1x +4y的最小值是()A. 92B. 2 C. 94D. 42.已知正数x，y满足x+4y=2，则x+40y+43xy的最小值为()A. 852B. 24C. 20D. 183.设x>0、y>0、z>0，则三个数1x +4y、1y+4z、1z+4x()A. 都大于4B. 至少有一个大于4C. 至少有一个不小于4D. 至少有一个不大于4二、填空题（本大题共13小题，共65.0分）4.设x，y∈R+且1x +4y=2，则x+y的最小值为______．5.若2a+b=2(a>0,b>0)，则1a +1b的最小值是______．6.函数y=x2+6x2+1的最小值是______．7.已知x>0，y>0，x+2y=1，则2x +1y的最小值为______．8.已知a>3，则4a−3+a−316的最小值为______．9.已知m+n=2，其中mn>0，则1m +1n的最小值为______．10.若正数a，b满足ab−2a−b=0，则ab的最小值为______．11.已知a+b=4，则2a+2b的最小值为______．12.设a+b=2，b>0，则14|a|+2|a|b的最小值为______．13.已知x>0，y>0，x+2y+2xy=3，则x+2y的最小值为______．14.已知x，y∈R+，求z=(x+2y)(2x +4y)的最值．甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：甲：z=(x+2y)(2x+4y)=2+4x y+4y x+8≥18乙：z=(x+2y)(2x +4y)≥2√2xy⋅2√8xy=16①你认为甲、乙两人解法正确的是______．②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确．15.已知a，b∈R，且a−2b+8=0，则2a+14b的最小值为______．16.若a，b均为正实数，则ab+ba2+b2+1的最大值为______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17.已知a，b为正整数，且a+b=1，求证：1a +1b≥4．18.已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：θ=m⋅2t+21−t(t≥0，并且m>0)．(1)如果m=2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．19.已知函数f(x)=m−|2−x|，且f(x+2)>0的解集为(−1,1)．(1)求m的值；(2)若正实数a、b，满足a+2b=m.求1a +12b的最小值．20.已知函数f(x)=|x−1|−|x+a|(a∈N∗)，f(x)≤2恒成立．(1)求a的值；(2)若正数x，y满足1x +2y=a.证明：1xy+x+12y≥√2答案和解析1.【答案】C【解析】解：过点(1,3)的直线l 的倾斜角为135°，可得直线方程：y −3=−(x −1)，化为：x +y =4．设点(x,y)是直线l 在第一象限内的部分上的一点，∴x +y =4，且x ，y >0．则1x +4y =14(x +y)(1x +4y )=14(5+y x +4x y )≥14(5+2√y x ⋅4x y )=94，当且仅当y =2x =83时取等号．故选：C ．过点(1,3)的直线l 的倾斜角为135°，可得直线方程：x +y =4.再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了直线方程、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵正数x ，y 满足x +4y =2，12x +2y =1，∴x+40y+43xy=x+40y+2x+8y 3xy =3x+48y 3xy =x+16y xy =1y +16x ， ∴1y +16x =(1y +16x )(12x +2y)=10+x 2y +32y x ≥10+2√x 2y ⋅32y x =10+8=18，当且仅当x 2y =32y x 时，x =43，y =16 故x+40y+43xy 的最小值为18，故选：D ．由题意可得x+40y+43xy =1y +16x ，再利用乘“1”法，根据基本不等式即可求出本题主要考查了基本不等式的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：假设三个数1x +4y <4且1y +4z <4且1z +4x <4，相加得：1x+4x +1y +4y +1z +4z <12，由基本不等式得： 1x+4x ≥4；1y +4y ≥4；1z +4z ≥4；相加得：1x +4x +1y +4y +1z +4z ≥12，与假设矛盾；所以假设不成立，三个数1x +4y 、1y +4z 、1z +4x 至少有一个不小于4．故选：C ．由题意知利用反证法推出矛盾，即可得正确答案．本题考查反证法和基本不等式的应用，属于简单题．4.【答案】92【解析】解：∵x ，y ∈R +且1x +4y =2，∴x +y =12(x +y)(1x +4y) =52+2x y +y 2x ≥52+2√2x y ⋅y 2x =92 当且仅当2x y =y 2x 即x =32且y =3时取等号，∴x +y 的最小值为92故答案为：92由题意可得x +y =12(x +y)(1x +4y )=52+2x y +y 2x ，下面由基本不等式可得．本题考查基本不等式，变形为基本不等式的情形是解决问题的关键，属基础题．5.【答案】32+√2【解析】解：2a +b =2(a >0,b >0)，则1a +1b =(1a +1b )(a +b 2)=1+12+b 2a +a b ≥32+2√b 2a ⋅a b =32+√2，当且仅当b 2a =a b 时，即a =2−√2，b =2√2−2时取等号，故1a +1b 的最小值是32+√2，故答案为：32+√2利用乘“1”法，可得1a +1b =(1a +1b )(a +b 2)=1+12+b 2a +a b ，再根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，考查了转化与划归思想，属于基础题 6.【答案】2√6−1【解析】解：y =x 2+6x 2+1=x 2+1+6x 2+1−1≥2√(x 2+1)⋅6x 2+1−1=2√6−1，当且仅当x 2=√6+1时取等号，故答案为：2√6−1．由y =x 2+6x 2+1=x 2+1+6x 2+1−1，根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．7.【答案】8【解析】解：∵2x +1y=(x+2y)(2x+1y)=4+4yx+xy≥4+2√4yx⋅xy=8(当且仅当x=12，y=14时取等)故答案为：8先变形：2x +1y=(x+2y)(2x+1y)=4+4yx+xy，然后根据基本不等式可求得最小值．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．8.【答案】1【解析】解：∵a>3，∴a−3>0，∴4a−3+a−316≥2√4a−3⋅a−316=1，当且仅当4a−3=a−316，即a=11时取等号，故答案为：1根据基本不等式即可求出最小值．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．9.【答案】2【解析】解：∵m+n=2，其中mn>0，则1m +1n=12(m+n)(1m+1n)=12(2+nm+mn)≥12(2+2)=2当且仅当m=n=1时取得最小值2．故答案为：2．由已知可得，1m +1n=12(m+n)(1m+1n)，利用基本不等式即可求解本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题关键是对应用条件的配凑，1的代换是求解条件配凑的关键10.【答案】8【解析】解：∵正数a，b满足ab−2a−b=0，∴ab=2a+b≥2√2ab，∴a2b2≥8ab，∴ab≥8．∴ab的最小值为8．故答案为：8．推导出ab=2a+b≥2√2ab，从而a2b2≥8ab，由此能求出ab的最小值．本题考查两数积的最小值的求法，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】8【解析】解：∵a+b=4，∴2a+2b≥2√2a+b=2√24=8，当且仅当a=b=2时取等号，∴2a+2b的最小值为8．故答案为：8．利用基本不等式直接求解．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．12.【答案】78【解析】解：a+b=2，b>0，则14|a|+2|a|b=a+b8a|+2|a|b=a8|a|+b8|a|+2|a|b≥a8|a|+2√b8|a|⋅2|a|b=a8|a|+1≥−18+1=78．当且仅当b8|a|=2|a|b，a<0且a+b=2即a=−23，b=83时取等号．故答案为：78．由已知可得，14|a|+2|a|b=a+b8a|+2|a|b=a8|a|+b8|a|+2|a|b，利用基本不等式即可求解本题主要考查了基本不等式在求解最值的应用，基本不等式条件的配凑是求解本题的难点．13.【答案】2【解析】解：考察基本不等式：x+2y=3−x⋅(2y)≥3−(x+2y2)2(当且仅当x=2y时取等号)，整理得：(x+2y)2+4(x+2y)−12≥0，即：(x+2y−2)(x+2y+6)≥0，又：x+2y>0，所以：x+2y≥2(当且仅当x=2y时取等号)，则：x+2y的最小值是2．故答案为：2．首先分析题目由已知x >0，y >0，x +2y +2xy =3，求x +2y 的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a +b ≥2√ab 代入已知条件，化简为函数求最值．此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a +b ≥2√ab 在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．14.【答案】甲【解析】解：①甲正确，乙解法中两次不等式中取等的条件不相同；②已知x ，y ∈R +，求z =(a +b)(1a +1b )的最小值．甲：z =(a +b)(1a +1b )=1+b a +a b +1≥4，乙：z =(a +b)(1a +1b )≥2√ab ⋅2√1a ⋅1b=4．故填甲．乙解法中两次不等式取等条件不同，故乙错误．本题考查了基本不等式及其应用，属中档题． 15.【答案】18【解析】解：∵a −2b +8=0，则2a +14b ≥2√2a ⋅14b =2√2a−2b =2√2−8=18 当且仅当a =−2b 即b =2，a =−4时取等号，故答案为：18．由基本不等式可得，2a +14b ≥2√2a ⋅14b ，结合已知即可求解．本题主要考查了指数的运算性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．16.【答案】√22【解析】解：∵a 2+12b 2≥2√a 2⋅b 22=√2ab ，当且仅当a =√22b 时取等号， 12b 2+1≥2√12b 2=√2b ，当且当且仅当b =√2时取等号， ∴ab+b a 2+b 2+1=ab+b a 2+b 22+b 22+12≤√2ab+√2b =√2=√22，当且仅当a =1，b =√2时取等号，故ab+b a 2+b 2+1的最大值为√22，故答案为：√22由：a2+12b2≥2√a2⋅b22=√2ab，当且仅当a=√22b时取等号，12b2+1≥2√12b2=√2b，当且当且仅当b=√2时取等号，即可求出答案．本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属于中档题．17.【答案】证明：∵a，b为正整数，且a+b=1，∴1a+1b=(1a+1b)(a+b)=2+ba +ab≥2+2√ba⋅ab=4，当且仅当ba =ab即a=b=12时取等号．【解析】由题意可得1a +1b=(1a+1b)(a+b)=2+ba+ab，由基本不等式可得．本题考查不等式的证明，涉及基本不等式求最值问题，属基础题．18.【答案】解：(1)依题意可得5=2⋅2t+21−t，即2⋅(2t)2−5⋅2t+2=0．亦即(2⋅2t−1)(2t−2)=0，又∵t≥0，得2t=2，∴t=1．故经过1分钟该物体的温度为5摄氏度．(2)问题等价于m⋅2t+21−t≥2(t≥0)恒成立．∵m⋅2t+21−t=m⋅2t+2⋅2−t≥2√2m，①∴只需2√2m≥2，即m≥12．当且仅当12⋅2t=2⋅2−t，即t=1时，①式等号成立，∴m的取值范围是[12,+∞)．【解析】(1)将m=2，θ=5代入θ=m⋅2t+21−t(t≥0)解指数方程即可求出t的值；(2)问题等价于m⋅2t+21−t≥2(t≥0)恒成立，求出m⋅2t+21−t的最小值，只需最小值恒大于等于2建立关系，解之即可求出m的范围．本题主要考查了不等式的实际应用，以及恒成立问题，同时考查了转化与划归的思想，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵f(x+2)=m−|x|∴由f(x+2)>0得|x|<m．由|x|<m有解，得m>0，且其解集为(−m,m)又不等式f(x+2)>0解集为(−1,1)，故m=1；(2)由(1)知a+2b=1，又a，b是正实数，由基本不等式得1a +12b=(1a+12b)(a+2b)=1+1+2ba+a2b≥4当且仅当a=12,b=14时取等号，故1a +12b的最小值为4．【解析】(1)由f(x+2)>0得|x|<m.由|x|<m有解，得m>0，且其解集为(−m,m)，根据解集为(−1,1)可得m；(2)由(1)知a+2b=1，则1a +12b=(1a+12b)(a+2b)然后利用基本不等式求解即可．本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式，属基础题．20.【答案】解：(1)由f(x)=|x−1|−|x+a|≤|x−1−x−a|=|a+1|，又f(x)≤2恒成立，∴|a+1|≤2，∴−3≤a≤1，∵a∈N∗，∴a=1；(2)由(1)知1x +2y=1，∴2x+y=xy，∴1xy +x+12y=1xy+12xy≥2√1xy⋅12xy=√2．【解析】(1)由f(x)=|x−1|−|x+a|≤|x−1−x−a|=|a+1|，结合已知可求a，(2)由(1)知1x +2y=1，从而有2x+y=xy，然后利用基本不等式可证．本题主要看考查了绝对值不等式的性质及基本不等式的应用，属于基础试题。

【高考聚焦】2015届高考数学(理)一轮复习题库(梳理自测+重点突破+能力提升)：6.4基本不等式]

第4课时基本不等式1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．[对应学生用书P 100]【梳理自测】一、基本不等式1．“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b2≥ab ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2＞2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b＞2abD.b a ＋a b≥23．(教材改编)函数y ＝x ＋1x(x ＞0)的值域为( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)答案：1.A 2.D 3.C◆以上题目主要考查了以下内容：基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0、b ＞0． (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．算术平均数与几何平均数(3)设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．几个重要的不等式(4)a 2＋b 2≥2ab(a ，b ∈R)； (5)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)(6)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(7)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)．二、利用基本不等式求最值1．已知m ＞0，n ＞0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( )A ．18B ．36C ．81D ．2432．已知x ＋3y ＝2(x ，y 为正实数)，则xy 的最大值为________． 3．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________．答案：1.A 2.133.5◆以上题目主要考查了以下内容：已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p24．(简记：和定积最大)【指点迷津】1．公式的两种应用运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab(a ，b ＞0)逆用就是ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．2．三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．[对应学生用书P 101]考向一利用基本不等式求最值(1)(2013·高考山东卷)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当z xy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( )A ．0B .98C ．2D .94(2)(2014·洛阳市高三统考)在△ABC 中，D 为BC 边的中点，AD ＝1，点P 在线段AD 上，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值为( )A ．－1B ．1C .12D ．－12【审题视点】 (1)利用基本不等式求出zxy 的最小值及取得最小值时，x 与y 的关系，再利用二次函数性质求结论．(2)利用向量模的意义转化为基本不等式．【典例精讲】 (1)含三个参数x ，y ，z ，消元，利用基本不等式及配方法求最值． z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ，y ，z ∈R ＋)，∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x－3≥2x y ·4yx－3＝1. 当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y 时“＝”成立，此时 z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2.∴当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2.(2)依题意得，PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝－2|PA →|·|PD →|≥－2(|PA →|＋|PD →|2)2＝－|AD →|22＝－12，当且仅当|PA →|＝|PD →|＝12时取等号，因此PA →·(PB →＋PC →)的最小值是－12，选D.【答案】 (1)C (2)D【类题通法】 (1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．(2)若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．(3)若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解．1．(2014·山东青岛二模)设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是________．解析：AB →＝OB →－OA →＝(a －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)， ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →与AC →共线， ∴2(a －1)＋b ＋1＝0，即2a ＋b ＝1. ∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b)＝4＋b a ＋4ab ≥4＋4＝8，当且仅当b a ＝4ab ，即b ＝2a 时等号成立．答案：8考向二基本不等式的实际应用(2014·河北省普通高中质检)如图，有一块边长为1(单位：百米)的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ 始终为45°(其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上)，设∠PAB ＝θ，tan θ＝t.(1)用t 表示出PQ 的长度，并探求△CPQ 的周长l 是否为定值； (2)问探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 最大为多少？【审题视点】利用Rt △DAQ 和Rt △PAB ，分别求解PB 和DQ ，在Rt △PCQ 中求PQ.把面积表示为t 的函数，求其最值．【典例精讲】 (1)由tan θ＝BPAB＝t ，得BP ＝t(0≤t ≤1)，可得CP ＝1－t. ∵∠DAQ ＝45°－θ，∴DQ ＝tan (45°－θ)＝1－t1＋t， CQ ＝1－1－t 1＋t ＝2t1＋t ，∴PQ ＝CP 2＋CQ 2＝（1－t ）2＋（2t 1＋t）2＝1＋t 21＋t， ∴△CPQ 的周长l ＝CP ＋PQ ＋CQ ＝1－t ＋2t 1＋t ＋1＋t21＋t ＝2为定值．(2)∵S ＝S 正方形ABCD －S △ABP －S △ADQ ＝1－t 2－12×1－t 1＋t＝2－12(t ＋1＋2t ＋1)≤2－2，当且仅当t ＋1＝2t ＋1，即t ＝2－1时等号成立．∴探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 最大为(2－2)平方百米．【类题通法】在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)设变量时一般把求最大值或最小值的变量定义为函数； (2)建立相应的函数关系式，确定函数的定义域；(3)在定义域内只需再利用基本不等式，求出函数的最值； (4)回到实际问题中去，写出实际问题的答案．2．(2012·高考江苏卷改编)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．求炮的最大射程．解析：令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．[对应学生用书P 102]忽视基本不等式成立条件致误设a ＋b ＝2，b ＞0，则12|a|＋|a|b 的最小值为________．【正解】分a ＞0和a ＜0，去掉绝对值符号，用均值不等式求解．当a ＞0时，12|a|＋|a|b ＝12a ＋a b ＝a ＋b 4a ＋a b＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 4a ＋a b ≥54；当a ＜0时，12|a|＋|a|b ＝1－2a ＋－a b ＝a ＋b －4a ＋－a b＝－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －4a ＋－a b ≥－14＋1＝34. 综上所述，12|a|＋|a|b 的最小值是34.【答案】 34【易错点】 ①直接利用基本不等式，把b 当做定值：12|a|＋|a|b ≥212|a|×|a|b＝212b为最小值，忽视乘积为定值致误． ②变形不等价.a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥14＋2b 4|a|×|a|b ＝54，忽视a ＜0致误．【警示】 1.利用基本不等式求最值需关注以下三个方面：①各数(式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立这三个条件缺一不可，为便于记忆简述为：“一正、二定、三相等”．2．对于不符合条件的式，要经过“变正号”、“拆分项”、“配凑因式或系数”等方法，使之符合三个条件．1．(2013·高考福建卷)若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[－2，0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选D .利用基本不等式转化为关于x ＋y 的不等式，求解不等式即可． ∵2x＋2y≥22x ＋y，2x ＋2y＝1，∴22x ＋y ≤1，∴2x ＋y≤14＝2－2， ∴x ＋y ≤－2，即(x ＋y)∈(－∞，－2]．2．(2012·高考陕西卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b(a ＜b)，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝abC .ab ＜v ＜a ＋b 2 D ．v ＝a ＋b2解析：选A .设甲乙两地的距离为s ，则v ＝2ss a ＋s b ＝21a ＋1b . 由于a ＜b ，∴1a ＋1b ＜2a ，∴v ＞a ，又1a ＋1b＞21ab，∴v ＜ab. 故a ＜v ＜ab ，选A .3．(2012·高考浙江卷)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A .245 B .285C ．5D ．6解析：选C .由x ＋3y ＝5xy ，得3x ＋1y ＝5(x ＞0，y ＞0)，则3x ＋4y ＝15(3x ＋4y)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1y＝15⎝⎛⎭⎪⎫13＋12y x ＋3x y ≥15⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋212y x ·3x y ＝15×(13＋12)＝5，当且仅当12y x ＝3xy，即x ＝2y 时，“＝”成立．此时，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，x ＋3y ＝5xy ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12.故选C .4．(2013·高考四川卷)已知函数f(x)＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．解析：借助基本不等式求最值的条件求解． f(x)＝4x ＋ax≥24x ·a x ＝4a(x ＞0，a ＞0)，当且仅当4x ＝a x ，即x ＝a 2时等号成立，此时f(x)取得最小值4 a.又由已知x ＝3时，f(x)min ＝4a ，∴a2＝3，即a ＝36. 答案：36。

基本不等式--历年高考题汇编-含详细解析

基本不等式--历年高考题汇编-含详细解析基本不等式--历年高考题汇编一、选择题（本大题共3小题，共15.0分）1.已知过点(1,3)的直线l的倾斜角为135°，设点(x,y)是直线l在第一象限内的部分上的一点，则1x +4y的最小值是()A. 92B. 2 C. 94D. 42.已知正数x，y满足x+4y=2，则x+40y+43xy的最小值为()A. 852B. 24C. 20D. 183.设x>0、y>0、z>0，则三个数1x +4y、1y+4z、1z+4x()A. 都大于4B. 至少有一个大于4C. 至少有一个不小于4D. 至少有一个不大于4二、填空题（本大题共13小题，共65.0分）4.设x，y∈R+且1x +4y=2，则x+y的最小值为______．5.若2a+b=2(a>0,b>0)，则1a +1b的最小值是______．6.函数y=x2+6x2+1的最小值是______．7.已知x>0，y>0，x+2y=1，则2x +1y的最小值为______．8.已知a>3，则4a?3+a?316的最小值为______．9.已知m+n=2，其中mn>0，则1m +1n的最小值为______．10.若正数a，b满足ab?2a?b=0，则ab的最小值为______．11.已知a+b=4，则2a+2b的最小值为______．12.设a+b=2，b>0，则14|a|+2|a|b的最小值为______．13.已知x>0，y>0，x+2y+2xy=3，则x+2y的最小值为______．14.已知x，y∈R+，求z=(x+2y)(2x +4y)的最值．甲、乙两位同学分别给出了两种不同的解法：甲：z=(x+2y)(2x+4y)=2+4x y+4y x+8≥18乙：z=(x+2y)(2x +4y)≥2√2xy?2√8xy=16①你认为甲、乙两人解法正确的是______．②请你给出一个类似的利用基本不等式求最值的问题，使甲、乙的解法都正确．15.已知a，b∈R，且a?2b+8=0，则2a+14b的最小值为______．16.若a，b均为正实数，则ab+ba2+b2+1的最大值为______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17.已知a，b为正整数，且a+b=1，求证：1a +1b≥4．18.已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：θ=m?2t+21?t(t≥0，并且m>0)．(1)如果m=2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．19.已知函数f(x)=m?|2?x|，且f(x+2)>0的解集为(?1,1)．(1)求m的值；(2)若正实数a、b，满足a+2b=m.求1a +12b的最小值．20.已知函数f(x)=|x?1|?|x+a|(a∈N?)，f(x)≤2恒成立．(1)求a的值；(2)若正数x，y满足1x +2y=a.证明：1xy+x+12y≥√2答案和解析1.【答案】C【解析】解：过点(1,3)的直线l 的倾斜角为135°，可得直线方程：y ?3=?(x ?1)，化为：x +y =4．设点(x,y)是直线l 在第一象限内的部分上的一点，∴x +y =4，且x ，y >0．则1x +4y =14(x +y)(1x +4y )=14(5+y x +4x y )≥14(5+2√y x ?4x y )=94，当且仅当y =2x =83时取等号．故选：C ．过点(1,3)的直线l 的倾斜角为135°，可得直线方程：x +y =4.再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了直线方程、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵正数x ，y 满足x +4y =2，12x +2y =1，∴x+40y+43xy=x+40y+2x+8y 3xy =3x+48y 3xy =x+16y xy =1y +16x ，∴1y +16x =(1y +16x )(12x +2y)=10+x 2y +32y x ≥10+2√x 2y ?32y x =10+8=18，当且仅当x 2y =32y x 时，x =43，y =16 故x+40y+43xy 的最小值为18，故选：D ．由题意可得x+40y+43xy =1y +16x ，再利用乘“1”法，根据基本不等式即可求出本题主要考查了基本不等式的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：假设三个数1x +4y <4且1y +4z <4且1z +4x <4，相加得：1x+4x +1y +4y +1z +4z <12，由基本不等式得： 1x+4x ≥4；1y +4y ≥4；1z +4z ≥4；相加得：1x +4x +1y +4y +1z +4z ≥12，与假设矛盾；所以假设不成立，三个数1x +4y 、1y +4z 、1z +4x 至少有一个不小于4．故选：C ．由题意知利用反证法推出矛盾，即可得正确答案．本题考查反证法和基本不等式的应用，属于简单题．4.【答案】92【解析】解：∵x ，y ∈R +且1x +4y =2，∴x +y =12(x +y)(1x +4y) =52+2x y +y 2x ≥52+2√2x y ?y 2x =92 当且仅当2x y =y 2x 即x =32且y =3时取等号，∴x +y 的最小值为92故答案为：92由题意可得x +y =12(x +y)(1x +4y )=52+2x y +y 2x ，下面由基本不等式可得．本题考查基本不等式，变形为基本不等式的情形是解决问题的关键，属基础题．5.【答案】32+√2【解析】解：2a +b =2(a >0,b >0)，则1a +1b =(1a +1b )(a +b 2)=1+12+b 2a +a b ≥32+2√b 2a ?a b =32+√2，当且仅当b 2a =a b 时，即a =2?√2，b =2√2?2时取等号，故1a +1b 的最小值是32+√2，故答案为：32+√2利用乘“1”法，可得1a +1b =(1a +1b )(a +b 2)=1+12+b 2a +a b ，再根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，考查了转化与划归思想，属于基础题 6.【答案】2√6?1【解析】解：y =x 2+6x 2+1=x 2+1+6x 2+1?1≥2√(x 2+1)?6 x 2+1?1=2√6?1，当且仅当x 2=√6+1时取等号，故答案为：2√6?1．由y =x 2+6x 2+1=x 2+1+6x 2+1?1，根据基本不等式即可求出．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．7.【答案】8【解析】解：∵2x +1y=(x+2y)(2x+1y)=4+4y+xy≥4+2√4yxxy=8(当且仅当x=12，y=14时取等)故答案为：8先变形：2x +1y=(x+2y)(2x+1y)=4+4yx+xy，然后根据基本不等式可求得最小值．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．8.【答案】1 【解析】解：∵a>3，∴a?3>0，∴4a?3+a?3≥2√4a?3a?316=1，当且仅当4a?3=a?316，即a=11时取等号，故答案为：1根据基本不等式即可求出最小值．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．9.【答案】2 【解析】解：∵m+n=2，其中mn>0，则1m +1n=12(m+n)(1m+1n)=12(2+nm+mn)≥1(2+2)=2当且仅当m=n=1时取得最小值2．故答案为：2．由已知可得，1m +1n=12(m+n)(1m+1n)，利用基本不等式即可求解本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题关键是对应用条件的配凑，1的代换是求解条件配凑的关键10.【答案】8【解析】解：∵正数a，b满足ab?2a?b=0，∴ab=2a+b≥2√2ab，∴a2b2≥8ab，∴ab≥8．∴ab的最小值为8．故答案为：8．推导出ab=2a+b≥2√2ab，从而a2b2≥8ab，由此能求出ab的最小值．本题考查两数积的最小值的求法，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】8【解析】解：∵a+b=4，∴2a+2b≥2√2a+b=2√24=8，当且仅当a=b=2时取等号，∴2a+2b的最小值为8．故答案为：8．利用基本不等式直接求解．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．12.【答案】78【解析】解：a+b=2，b>0，则14|a|+2|a|b=a+b8a|+2|a|b=a8|a|+b8|a|+2|a|b≥a8|a|+2√b8|a|2|a|b=a8|a|+1≥?18+1=78．当且仅当b8|a|=2|a|b，a<0且a+b=2即a=?2 3，b=83时取等号．故答案为：78．由已知可得，14|a|+2|a|b=a+b8a|+2|a|b=a8|a|+b8|a|+2|a|b，利用基本不等式即可求解本题主要考查了基本不等式在求解最值的应用，基本不等式条件的配凑是求解本题的难点．13.【答案】2【解析】解：考察基本不等式：x+2y=3?x?(2y)≥3?(x+2y2)2(当且仅当x=2y时取等号)，整理得：(x+2y)2+4(x+2y)?12≥0，即：(x+2y?2)(x+2y+6)≥0，又：x+2y>0，所以：x+2y≥2(当且仅当x=2y时取等号)，则：x+2y的最小值是2．故答案为：2．首先分析题目由已知x >0，y >0，x +2y +2xy =3，求x +2y 的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a +b ≥2√ab 代入已知条件，化简为函数求最值．此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a +b ≥2√ab 在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．14.【答案】甲【解析】解：①甲正确，乙解法中两次不等式中取等的条件不相同；②已知x ，y ∈R +，求z =(a +b)(1a +1b )的最小值．甲：z =(a +b)(1a +1b )=1+b a +a b +1≥4，乙：z =(a +b)(1a +1b )≥2√ab ?2√1a ?1b=4．故填甲．乙解法中两次不等式取等条件不同，故乙错误．本题考查了基本不等式及其应用，属中档题． 15.【答案】18【解析】解：∵a ?2b +8=0，则2a +14b ≥2√2a ?14b =2√2a?2b =2√2?8=18 当且仅当a =?2b 即b =2，a =?4时取等号，故答案为：18．由基本不等式可得，2a +14b ≥2√2a ?14b ，结合已知即可求解．本题主要考查了指数的运算性质及基本不等式在求解最值中的应用，属于基础试题．16.【答案】√22【解析】解：∵a 2+12b 2≥2√a 2?b 22=√2ab ，当且仅当a =√22b 时取等号，12b 2+1≥2√12b 2=√2b ，当且当且仅当b =√2时取等号，∴ab+b a 2+b 2+1= ab+b a 2+b 22+b 22+12≤2ab+2b =2=√22，当且仅当a =1，b =√2时取等号，故ab+b a 2+b 2+1的最大值为√22，故答案为：√22由：a2+12b2≥2√a2?b22=√2ab，当且仅当a=√22b时取等号，12b2+1≥2√12b2=√2b，当且当且仅当b=√2时取等号，即可求出答案．本题考查了基本不等式的应用，考查了转化思想，属于中档题．17.【答案】证明：∵a，b为正整数，且a+b=1，∴1a+1b=(a+1b)(a+b)=2+ba +ab≥2+2√baab=4，当且仅当ba =ab即a=b=12时取等号．【解析】由题意可得1 a +1b=(1a+1b)(a+b)=2+ba+a，由基本不等式可得．本题考查不等式的证明，涉及基本不等式求最值问题，属基础题．18.【答案】解：(1)依题意可得5=2?2t+21?t，即2?(2t)2?5?2t+2=0．亦即(2?2t?1)(2t?2)=0，又∵t≥0，得2t=2，∴t=1．故经过1分钟该物体的温度为5摄氏度．(2)问题等价于m?2t+21?t≥2(t≥0)恒成立．∵m?2t+21?t=m?2t+2?2?t≥2√2m，①∴只需2√2m≥2，即m≥12．当且仅当122t=2?2?t，即t=1时，①式等号成立，∴m的取值范围是[12,+∞)．【解析】(1)将m=2，θ=5代入θ=m?2t+21?t(t≥0)解指数方程即可求出t的值；(2)问题等价于m?2t+21?t≥2(t≥0)恒成立，求出m?2t+21?t的最小值，只需最小值恒大于等于2建立关系，解之即可求出m的范围．本题主要考查了不等式的实际应用，以及恒成立问题，同时考查了转化与划归的思想，属于中档题．19.【答案】解：(1)∵f(x+2)=m?|x|∴由f(x+2)>0得|x|<m．< p="">由|x|0，且其解集为(?m,m)又不等式f(x+2)>0解集为(?1,1)，故m=1；(2)由(1)知a+2b=1，又a，b是正实数，由基本不等式得1a +12b=(1a+12b)(a+2b)=1+1+2ba+a2b≥4当且仅当a=12,b=14时取等号，故1a +12b的最小值为4．【解析】(1)由f(x+2)>0得|x|<m.由|x|0，且其解集为(?m,m)，根据解集为(?1,1)可得m；</m.由|x|(2)由(1)知a+2b=1，则1a +12b=(1a2b)(a+2b)然后利用基本不等式求解即可．本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式，属基础题．20.【答案】解：(1)由f(x)=|x?1|?|x+a|≤|x?1?x?a|=|a+1|，又f(x)≤2恒成立，∴|a+1|≤2，∴?3≤a≤1，∵a∈N?，∴a=1；(2)由(1)知1x +2y=1，∴2x+y=xy，∴1xy +x+12y=1xy+12xy≥2√1xy12xy=√2．【解析】(1)由f(x)=|x?1|?|x+a|≤|x?1?x?a|=|a+1|，结合已知可求a，(2)由(1)知1y=1，从而有2x+y=xy，然后利用基本不等式可证．本题主要看考查了绝对值不等式的性质及基本不等式的应用，属于基础试题</m．<>。

基本不等式练习题带答案

• a. 假设 a > b，则 ab > b^2（反面结论）； • b. 根据已知条件，推导出 ab - b^2 = b(a - b) < 0（矛盾）； • c. 否定反面结论，得出 a ≤ b，从而证明原命题成立。
06
基本不等式的扩展知识
基本不等式的推广形式
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平方和与平方差形式：a²+b² ≥ 2ab 和 a²-b² ≥ 2ab
• 题目：已知 x > 0，y > 0，且 xy = 4，则下列结论正确的是 ( ) A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 答案： A
• A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 • C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 • 答案：A
基本不等式的应用：在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，用于解决最优化问题、估计值域和解决一些数学竞赛问题等。
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基本不等式的形式：常见的形式有AM-GM不等式、CauchySchwarz不等式和Holder不等式等。
基本不等式的证明方法：可以通过代数、几何和概率统计等方法证明基本不等式。
• 题目：若 a > b > c，且 a + b + c = 1，则下列结论正确的是 ( ) A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab 答案：B
• A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab • C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab

2015年高考试题分类汇编(不等式)

2015年高考试题分类汇编（不等式）考点1 不等式的性质1.（2015·北京卷·理科）设{}n a 是等差数列.下列结论中正确的是 A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则2123()()0a a a a -->2.（2015·四川卷·文科）设,a b 为正实数，则“1a b >>”是“22log log 0a b >>”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.（2015·浙江卷·理科）已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则A.140,0a d dS >>B.140,0a d dS <<C.140,0a d dS ><D.140,0a d dS <>考点2 解不等式或证明不等式考法1 一元二次不等式1.（2015·全国卷Ⅱ·理科）已知集合{}2,1,0,2A =--，{}(1)(2)0A x x x =-+<,则A B =IA.{}1,0-B.{}0,1C.{}1,0,1-D.{}0,12， 2.（2015·天津卷·理科）设x R ∈，则“21x -<”是“220x x +->”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.（2015·重庆卷·文科）函数22(x)log (23)f x x =+-的定义域是A.[3,1]-B.(3,1)-C.(,3][1,)-∞-+∞D.(,3)(1,)-∞-+∞ 4.（2015·山东卷·理科）已知集合{}2430A x x x =-+<，{}24B x x =<<,则A B =IA.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)5.（2015·山东卷·文科）已知集合{}24A x x =<<，{}(1)(3)0B x x x =--<，则A B =IA.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)6.（2015·四川卷·理科）设集合{}(1)(2)0A x x x =+-<，集合{}13B x x =<<，则A B =UA.{}13x x -<<B.{}11x x -<<C.{}12x x <<D.{}23x x <<7.（2015·浙江卷·文科）已知集合{}223P x x x =-≥，{}24Q x x =<<，则P Q =A ．[)3,4B ．(]2,3C ．()1,2-D ．(]1,3- 8.（2015·浙江卷·理科）已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-≥=<≤，则()R P Q =ðA.[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2]9.（2015·广东卷·文科）不等式2340x x --+>的解集为．（用区间表示）考法2 分式不等式或高次不等式考法3 含有绝对值符号的不等式1.（2015·重庆卷·理科）若函数()12f x x x a =++-的最小值为5，则实数a =__.2.（2015·山东卷·理科）不等式152x x ---<的解集是 A.(,4)-∞ B.(,1)-∞ C.(1,4) D.(1,5) 考法4 数的大小比较1.（2015·天津卷·文科）已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-(m 为实数)为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则,,a b c ,的大小关系为 A.c a b << B.c a b << C.a c b << D.c b a <<2.（2015·山东卷·文科）设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则,,a b c 的大小A.a b c <<B.a c b <<C.b a c <<D.b c a <<考点3 基本不等式1.（2015·天津卷·文科）已知0a >，0b >，8ab =，则当a 的值为时，()22log log 2a b ⋅取得最大值.2.（2015·重庆卷·文科）设,0a b >，5a b +=，的最大值为 .3.（2015·山东卷·文科）定义运算“⊗”：22x y x y xy-⊗=（,x y R ∈,0xy ≠）.当0x >，0y >时，(2)x y y x ⊗+⊗的最小值是＿＿＿.4.（2015·天津卷·文科）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点1,1（），则a b +的最小值为A.2B.3C.4D.55.（2015·陕西卷·理科）设()ln f x x =，0a b <<，若p f =，()2a bq f +=， 1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是 A.q r p =< B.q r p => C.p r q =< D.p r q => 6.（2015·湖南卷·理科）设0,0a b >>，11a b a b+=+.证明：（Ⅰ）2a b +≥；（Ⅱ）22a a +<与22b b +<不可能同时成立.考点4 线性规划类型11.（2015·安徽卷·文科）已知,x y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-+的最大值是A.-1B.-2C.-5D.12.（2015·福建卷·理科）若变量,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值等于A.52- B.2- C.32- D.23.（2015·湖南卷·理科）若变量,x y满足约束条件1211x yx yy+≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y=-的最小值为A.-7B.-1C.1D.24.（2015·湖南卷·文科）若变量,x y满足约束条件111x yy xx+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2z x y=-的最小值为A.-1B.0C.1D.2 类型21.（2015·全国卷Ⅰ·理科）若,x y满足约束条件20210220x yx yx y+-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≤⎩，则3z x y=+的最大值为 .2.（2015·全国卷Ⅱ·文科）若,x y满足约束条件50210210x yx yx y+-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y=+的最大值为．3.（2015·全国卷Ⅱ·理科）若,x y满足约束条件1020220x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y=+的最大值为______.4.（2015·北京卷·理科）若,x y满足1x yx yx-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y=+的最大值为A．0 B．1 C．32D．25.（2015·天津卷·文科）设变量,x y满足约束条件2020280xx yx y-≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数的最大值为3z x y=+A.7B.8C.9D.146.（2015·天津卷·理科）设变量,x y满足约束条件2030230xx yx y+≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数6z x y=+的最大值为A.3B.4C.18D.407.（2015·山东卷·文科）若x，y满足约束条件131y xx yy-≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则3z x y=+的最大值为 .8.（2015·广东卷·理科）若变量x，y满足约束条件4581302x yxy+≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则32z x y=+的最小值为A．4 B．235C．6 D．3159.（2015·广东卷·文科）若变量x，y满足约束条件224x yx yx+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y=+的最大值为A．10 B．8 C．5 D．2类型31.（2015·全国卷Ⅰ·理科）若,x y满足约束条件1040xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则yx的最大值为 .2.（2015·四川卷·文科）设实数,x y满足2102146x yx yx y+≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy的最大值为A.252B.492C.12D.163.（2015·重庆卷·文科）若不等式组2022020x yx yx y m+-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为A.3-B.1C.43D.3 4.（2015·山东卷·理科）已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =A.3B.2C.2-D.3-5.（2015·福建卷·文科）变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩ ,若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于A.-2B.-1C.1D.2考点5不等式选讲1.（2015·全国卷Ⅰ·文理科）已知函数()12f x x x a =+--，0a >. （Ⅰ）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（Ⅱ）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 2.（2015·全国卷Ⅱ·文理科）设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+,证明：（Ⅰ）若ab cd >>；>是a b c d -<-的充要条件.3.（2015·陕西卷·文理科）已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<. （Ⅰ）求实数,a b 的值；的最大值.4.（2015·湖南卷·理科）设0,0a b >>，11a b a b+=+.证明（Ⅰ）2a b +≥；（Ⅱ）22a a +<与22b b +<不可能同时成立.。

2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：不等式一元二次不等式及其解法(含答案)

第六章不等式第1课时一元二次不等式及其解法1. 若不等式(m ＋1)x 2－(m ＋1)x ＋3(m －1)<0对一切实数x 均成立、则m 的取值范围为________。

答案：(－∞、－1]解析：当m ＋1＝0、即m ＝－1时、不等式变为－6<0恒成立；当m ＋1≠0时、由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ＝（m ＋1）2－12（m ＋1）（m －1）<0，解不等式组得m<－1、从而知m ≤－1. 2. 不等式x>1x的解集为 ________.答案：(－1、0)∪(1、＋∞)解析：∵ x －1x >0、∴ x 2－1x>0、∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>0，x>0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0，x<0， ∴ 解集为{x|x>1或－1<x<0}。

3. 若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集为(1、m)、则实数m ＝________ . 答案：2解析：由题意易知1、m 为ax 2－6x ＋a 2＝0的根且a ＞0、m ＞1、∴ a ＝2、m ＝2. 4. 已知集合A ＝{x|x 2－3x －4>0}、B ＝{x||x －3|>4}、则A ∩(∁R B)＝________。

答案：(4、7]解析：A ＝{x|x<－1或x>4}、B ＝{x|x<－1或x>7}、∁R B ＝{x|－1≤x ≤7}、A ∩(∁R B)＝(4、7]。

5. 当x ∈(1、3)时、不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立、则m 的取值范围是________。

答案：(－∞、－5]解析：(解法1)设f(x)＝x 2＋mx ＋4或不等式x 2＋mx ＋4＜0在x ∈(1、3)时恒成立、则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （3）≤0，解得m ≤－5. (解法2)m<－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 在x ∈(1、3)恒成立、故m ≤－5. 6. 不等式x(x －a ＋1)>a 的解集是{x|x<－1或x>a}、则实数a 的取值范围是________。

2015年全国高考数学试题分类汇编8不等式(理)

一、选择题：1.（北京2）若x ，y 满足010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．0B ．1C ．32D ．22.（福建5）若变量x ，y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值等于 ( )A ．52-B ．2-C ．32- D ．2 3.（广东6）若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x ，则y x z 23+=的最小值为（）A ．531 B ．6 C ．523 D ．4 4.（福建文5）若直线1(0,0)x y a b a b +=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．55.（湖南文7）若实数a ，b满足12a b+=ab 的最小值为（） AB ．2C ．D ．46.（浙江文6）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：2m ）分别为x ，y ，z ，且x y z <<，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/2m ）分别为a ，b ，c ，且a b c <<．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是（）A ．ax by cz ++B ．az by cx ++C ．ay bz cx ++D ．ay bx cz ++7.（重庆文10）若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为（）A ．-3B ．1C ．43D ．38.（福建文10）变量x ，y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于（）A ．2-B ．1-C ．1D ．29.（山东6）已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =( )A ．3B ．2C ．2-D ．3-二、填空题：1.（新课标2，14）若x ，y 满足约束条件1020,220,x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，则z x y =+的最大值为____________．2.（新课标1，15）若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 .33.（天津文12）已知0a >，0b >，8ab =，则当a 的值为时()22log log 2a b ⋅取得最大值.4.（重庆文14）设,0a b >，5a b +=________.5.（山东文14）定义运算“⊗ ”：()22,,0x y x y x y R xy xy-⊗=∈≠，当0,0x y >>时，()2x y y x ⊗+⊗的最小值为 .6.（浙江文14）已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是．7.（浙江14）若实数x ，y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是．3答案：D A C C C ；B B C B ；32，3，4，，15，3。

高中数学考点26 基本不等式(含2015高考试题)

考点26 基本不等式一、选择题1．(2015·四川高考文科·T9）设实数,x y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为（ )(A)252 (B) 492（C) 12 （D ）14 【解题指南】利用基本不等式解题【解析】选A 由条件得：()25y x ≤-。

于是,()252525222x x xy x x +-⎛⎫≤-≤= ⎪⎝⎭.xy 当且仅当5,52x y ==时取到最大值252。

经验证，5,52x y ==在可行域内。

故选A 。

2．。

（2015·四川高考理科·T9)如果函数f （x)=21(m-2)x 2+(n-8)x+1(m ≥0，n ≥0)在区间[21,2]上单调递减,那么mn 的最大值为（ ) A 。

16 B.18 C 。

25 D 。

281【解析】选B 。

)(x f '=（m-2）x +n-8=0得28---=m n x 。

当m>2时,抛物线的对称轴为28---=m n x ，据题意，28---m n ≥2,即2m+n ≤12.因为6222≤+≤nm mn ，所以m ·n ≤18,由2m+n=12且2m=n 得m=3，n=6。

当m<2时,抛物线开口向下,根据题意得：—2128≤--m n ,即2n+m ≤18，因为9222≤+≤mn mn ,所以m ·n ≤281，由2n+m=18且2n=m 得m=9(舍）.要使得mn 取最大值，应有2n+m=18(m<2,n>8),所以m ·n=（18-2n)·n 〈(18-2×8）×8=16，所以最大值为18。

3.(2015·福建高考文科·T5）若直线x a +yb =1（a>0,b>0）过点(1,1),则a+b 的最小值等于（ ) A 。

2015届高考数学专项精析精炼考点26一元二次不等式及其解法

考点26一元二次不等式及其解法（2014年）一、填空题1.（2014·浙江高考理科·Ｔ15）设函数若，则实数的取值范围是______.【解析】由题意，或，解得，所以或，解得答案：（2013年）一、选择题1. （2013·重庆高考文科·Ｔ7）关于的不等式（）的解集为，且，则( )A. B. C. D.【解题指南】直接求出不等式的解集,根据求出的值.【解析】选A.由题意知,不等式（）的解集为,因为,所以,解得.2.（2013·江西高考文科·Ｔ6）下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是（）A.（，-1）B. （-1，0）C.（0，1）D.（1，）【解题指南】转化为不等式组，应注意x>0与x<0的区别.【解析】选A.当时不等式化为，此时无解；当时不等式化为，此时解得.3.（2013·安徽高考理科·Ｔ6）已知一元二次不等式的解集为，则的解集为（）A ． B. C. D.【解题指南】根据一元二次不等式、指数函数、对数函数的图像与性质进行判断.【解析】选D 。

由的解集为，可得，当时，有，即。

4. （2013·陕西高考理科·Ｔ9）在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m )的取值范围是 ( )A. [15,20]B. [12,25]C. [10,30]D. [20,30]【解题指南】设出矩形的高y ，由题目已知列出x ，y 的关系式，整理得x 的一元二次不等式，解之可得x 的取值范围.【解析】选C. 设矩形高为y, 由三角形相似得: 整理得2y x 40,y 40x 30040x 30001030.将代入xy ，整理得x ，解之得x +==-≥-+≤≤≤ 5. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ4）不等式（）A. B. C. D.【解题指南】利用绝对值不等式，则，去掉绝对值.【解析】选D.由得，，即，所以不等式的解集为.二、填空题6. （2013·重庆高考文科·Ｔ15）设，不等式对恒成立，则的取值范围为．【解题指南】因为不等式恒成立,所以判别式小于等于零,直接求解即可. 【解析】因为不等式对恒成立，所以,即,解得因为,所以【答案】7.（2013·上海高考文科·T1）不等式＜0的解为.【解析】【答案】8.（2013·广东高考理科·Ｔ9）不等式的解集为. 【解题指南】本题考查二次不等式的解法，注意应用口诀“小于取中间”.【解析】，解得，解集为.【答案】.（2012年）一、选择题1.（2012·天津高考文科·Ｔ5）设，则“”，是“”的（）(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【解题指南】理解充要条件，求出的解集是关键.【解析】选A..显然A正确.2.（2012·陕西高考文科·Ｔ1）与（2012·陕西高考理科·Ｔ1）相同集合,,则( )(A)(1,2) (B) (C) (D)[1,2]【解题指南】对于集合与不等式的综合,描述法表示集合通常是先化简集合,再结合数轴求交集.【解析】选C. ∵,∴.∵,∴,∴,即.二、填空题3.（2012·江苏高考·Ｔ13）已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数的值为 .【解题指南】以一元二次不等式的解法为主，兼顾二次方程的判别式、根的存在性及二次函数的图象与性质等知识.解题关键是不等式解集的端点是对应方程的两根.【解析】由题意，所以，可换为【答案】94.（2012·湖南高考文科·Ｔ12）不等式-5x+6≤0的解集为______. 【解题指南】先求方程x2-5x+6=0的两根，再取两根之间.【解析】由x2-5x+6≤0，得，从而得不等式x2-5x+6≤0的解集为. 【答案】5.（2012·山东高考理科·Ｔ13）若不等式的解集为，则实数__________. 【解题指南】本题可将绝对值不等式两边平方，即可得到一元二次不等式，由解集来求对应的系数.【解析】不等式两边平方可得即的解集为，所以的两根为1, 3.由一元二次方程根与系数的关系知解得k=2.【答案】26.（2012·天津高考理科·Ｔ11）已知集合集合，且（-1，n），则【解题指南】化简集合，求出x的取值范围，根据（-1，n）求得. 【解析】由已知可解得，又（-1，n），借助数轴可得【答案】-1 1。

2015高考数学(理)(新课标)二轮复习配套试题第七章不等式基本不等式

精品题库试题理数1. (2014四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.D.1.B1.依题意不妨设A(x1,),B(x2,-),·=2⇒x1x2-=2⇒=2或=-1(舍去).当x1=x2时,有x1=x2=2,则S△ABO+S△AFO=2+=;当x1≠x2时,直线AB的方程为y-=(x-x1),则直线AB与x轴的交点坐标为(2,0).于是S△ABO+S△AFO=×2×(+)+×=+≥2=3当且仅当=时取“=”,而>3.故选B.2.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，4）已知实数满足，则的值域为（）（A）（B）（C）（D）2. C2. 由得，所以.3. (2014湖北黄冈高三4月模拟考试，7) 若实数、、满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.3. A3.因为，所以，所以，即；又因为，所以，所以的取值范围是.4. (2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 10) 已知，是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数，的最小值是（）A. 2B.C. 4D.4. B4.是互相垂直的单位向量，设，，，由，，即，，，，，，当且仅当时取等号，，故的最小值为.5. (2014四川,14,5分)设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________.5.55.易知A(0,0),B(1,3),且PA⊥PB,∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,∴|PA|·|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|时取“=”).6. (2014福建,13,4分)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________(单位:元).6.1606.设底面的边长分别为x m,y m,总造价为T元,则V=xy·1=4⇒xy=4.T=4×20+(2x+2y)×1×10=80+20(x+y)≥80+20×2=80+20×4=160.(当且仅当x=y时取等号)故该容器的最低总造价是160元.7. (2014湖北,14,5分)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a, f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为M f(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得M f(a,b)=c=,即M f(a,b)为a,b的算术平均数.(Ⅰ)当f(x)=________(x>0)时,M f(a,b)为a,b的几何平均数;(Ⅱ)当f(x)=________(x>0)时,M f(a,b)为a,b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)7.(Ⅰ)(Ⅱ)x7.(Ⅰ)若M f(a,b)是a,b的几何平均数,则c=.由题意知,(a, f(a)),(,0),(b,-f(b))共线,∴=,∴=,∴可取f(x)=.(Ⅱ)若M f(a,b)是a,b的调和平均数,则c=,由题意知,(a, f(a)),,(b,-f(b))共线,∴=,化简得=,∴可取f(x)=x.8.(2014陕西,15(A),5分)A.(不等式选做题)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为________.8.8.根据柯西不等式得=·≥|ma+nb|=,当且仅当=(a2+b2=5,ma+nb=5),即m=a=n=b=时取等号,故的最小值为.9.(2014山东青岛高三第一次模拟考试, 14) 已知均为正实数，且，则的最小值为__________.9. 99. 因为均为正数，且，所以，解得或（舍去），所以9，当且仅当时取等号.故的最小值为9.10. (2014广东广州高三调研测试，12) 已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是_______.10.10. 由导数的几何意义，又因为，所以，故.11.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，13）若，则的最大值为．11.11.(当且仅当时等号成立).12.（2014湖北八校高三第二次联考数学（理）试题，12）已知正数x, y, z满足x+2y+3z=1, 则的最小值为．12. 1812.，而，所以的最小值为18.13. (2014湖南株洲高三教学质量检测（一），10) 已知是内的一点，且，，若，和的面积分别为，，，则的最小值是.13. 1813. 由已知得，，，即，而.14. (2014天津七校高三联考, 12) 若点(-2, -1) 在直线上，其中，则的最小值为．14. 814. 点在直线上，，即，又，，当且仅当，即时取等号.故的最小值为8.15.(2014广州高三调研测试, 12) 已知点在曲线（其中为自然对数的底数）上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是．15.15. ，又，，即的取值范围是.16.(2014江苏苏北四市高三期末统考, 21C) 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为. 由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.16.查看解析16.因为圆的极坐标方程为，所以，所以圆的直角坐标方程为，圆心为, 半径为1, （4分）因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C 引切线长是，所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是. （10分）D. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 21D) 已知均为正数, 证明：.证法一因为均为正数，由均值不等式得，因为，所以. （5分）故.又3，所以原不等式成立. （10分）证法二因为均为正数，由基本不等式得，，.所以.同理，（5分）所以.所以原不等式成立. （10分）17. (2014江苏苏北四市高三期末统考, 17)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示) ，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成. 按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米. 设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）.（Ⅰ）求关于的函数关系式；（Ⅱ）已知在花坛的边缘(实线部分) 进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米. 设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何值时，取得最大值？17.查看解析17. 解析（Ⅰ）设扇环的圆心角为，则，所以，（4分）（Ⅱ）花坛的面积为.装饰总费用为，（9分）所以花坛的面积与装饰总费用的比，令，则，当且仅当t=18时取等号，此时.答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大. （14分）(注：对也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)18. （本题满分12分）设关于不等式的解集为，且，.（1）, 恒成立，且，求的值；（2）若，求的最小值并指出取得最小值时的值.18.查看解析18.（1），，即,，又. (5分)（2）,当且仅当，即时上式取等号又所以，的最小值是，取最小值时. (12分)。

2015届高考数学大一轮复习配套精品试题：基本不等式]

精品题库试题文数1.(安徽省合肥市2021届高三第二次教学质量检测) 圆与圆相外切，那么的最大值为〔〕D.A. B. C.[解析] 1.由题意圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，由两圆外切知，即，所以，.2.〔江西省重点中学协作体2021届高三第一次联考〕“〞是“〞的〔〕A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析] 2.假设，那么，反之，假设，那么，得，所以是充要条件.3.〔天津市蓟县第二中学2021届高三第一次模拟考试〕假设直线平分圆, 那么的最小值是( )A.1B.5C.D.[解析] 3.由题意知圆心在直线上，所以，即，当且仅当取得等号.4.(天津市蓟县邦均中学2021届高三第一次模拟考试) 以下四个命题中，真命题的序号有〔写出所有真命题的序号〕①假设那么“〞是“a> b〞成立的充分不必要条件；②当时，函数的最小值为2；③命题“假设，那么〞的否命题是“假设〞；④函数在区间〔1，2〕上有且仅有一个零点[解析] 4. ①中由“可得，反之可能为0，不成立，所以是充分不必要条件，②中根本不等式的等号取不到，故②错误，否命题是将条件和揭露同时否认，或的否认为，故③正确，因为为增函数，且，，所以在区间上有且仅有一个零点.5.〔河北衡水中学2021届高三上学期第五次调研〕在中，内角，边，那么的面积的最大值为．[解析] 5.，由余弦定理得，即，6.〔吉林市普通高中2021—2021学年度高中毕业班上学期期末复习检测〕正数满足，使得取最小值的实数对是A．(5，10〕B．〔6，6〕C．〔10，5〕D．〔7，2〕[解析] 6.因为，所以，当且仅当时取得等号，代入中得7.(江西省七校2021届高三上学期第一次联考) 以下说法：①命题“存在〞的否认是“对任意的〞；②关于的不等式恒成立，那么的取值范围是；③函数为奇函数的充要条件是；其中正确的个数是〔〕A．3 B．2 C．1 D．0[解析] 7.①正确，量词和结论同时否认；②错误，因为，所以a的范围为；③中为偶函数，要使为奇函数，那么，为奇函数等价于，所以③正确8.(2021年兰州市高三第一次诊断考试) 设, ，假设，，那么的最大值为( )A．1B．2C．3D．4[解析] 8.因为，所以，因为，所以，9.〔成都市2021届高中毕业班第一次诊断性检测〕某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下跌，后期价格在原有价格根底之上继续下跌．假设用函数f〔x〕＝－x2＋4x＋7 进行价格模拟〔注x=0表示4月1号，x=1表示5月1号，…，以此类推，通过多年的统计发现，当函数，取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，那么可以预测明年拓展外销市场的时间为〔A〕5月1日〔B〕6月1日〔C〕7月1日〔D〕8月1日[解析] 9.依题意，设，，当且仅当，即时取得最大值10.〔广东省汕头市2021届高三三月高考模拟〕假设(其中), 那么的最小值等于[解析] 10. 因为，那么，当且仅当，即时取等号，此时，.11.(吉林省实验中学2021届高三年级第一次模拟考试) 假设直线被圆截得的弦长为4, 那么的最小值是.[解析] 11.由题意知圆的方程为，又因为直线被圆截得的弦长为4，所以直线经过圆心，即，，所以，当且仅当时取得等号．12.(山东省青岛市2021届高三第一次模拟考试) ，那么的最小值_________; [解析] 12.因为，所以，当且仅当时取等号.13.(江苏省苏、锡、常、镇四市2021届高三数学教学情况调查) 正数满足，那么的最小值为▲．[解析] 13.因为，而，所以当且仅当时取得等号.14.(山东省潍坊市2021届高三3月模拟考试) a> b> 0, ab=1，那么的最小值为．[解析] 14.因为，所以，最小值为，当且仅当时取得等号.15.〔上海市嘉定区2021-2021学年高三年级第一次质量检测〕在平面直角坐标系中，动点到两条直线与的距离之积等于，那么到原点距离的最小值为_________．[解析] 15.两条直线与垂直，设到的距离为，到的距离为，那么，到原点的距离为，所以16.〔天津七校联考高三数学〔文〕学科试卷〕函数的图象恒过定点, 且点在直线上，其中，那么的最小值为______________[解析] 16.由题意知点M的坐标为，所以，17.〔重庆南开中学高2021级高三1月月考)实数满足，那么的最大值是。

【高考解码】(新课标)2015届高考数学二轮复习基本不等式及其应用

【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习基本不等式及其应用基本不等式及其应用【例3】 (1)(2013·天津高考)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b的最小值为________．(2)(2014·湖北高考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000 vv 2＋18 ＋20l.①如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/小时；②如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．【解析】 (1)分a >0和a <0，去掉绝对值符号，用均值不等式求解．当a >0时，12|a |＋|a |b ＝12a ＋a b ＝a ＋b 4a ＋a b ＝14＋(b 4a ＋a b )≥54；当a <0时，12|a |＋|a |b ＝1－2a ＋－a b ＝a ＋b －4a ＋－a b ＝－14＋(b －4a ＋－a b )≥－14＋1＝34.综上所述，12|a |＋|a |b 的最小值是34.(2)①F ＝76 000v ＋20×6.05v＋18≤76 0002121＋18＝1 900，当且仅当v ＝11时等号成立． ②F ＝76 000v ＋20×5v＋18≤76 0002100＋18＝2 000，当且仅当v ＝10时等号成立，2 000－1 900＝100.【答案】 (1)34(2)①1 900 ②100【规律方法】利用基本不等式求函数最值应注意的问题：(1)一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．注意：在使用基本不等式时，一般要把求最值的函数或代数式化为ax ＋b x的形式，常用的方法是变量分离和配凑法．[创新预测]3．(1)(2014·洛阳统考)若正实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＝z ＋3xy ，则当xy z取最大值时，1x＋12y －1z的最大值为( ) A ．2 B.32 C ．1 D.12【解析】 ∵z ＝x 2＋4y 2－3xy ，x ，y ，z ∈(0，＋∞)，∴xy z ＝xy x 2＋4y 2－3xy ＝1x y ＋4yx－3≤1(当且仅当x ＝2y 时等号成立)，此时1x ＋12y －1z ＝1y －12y 2，令1y ＝t >0，则1x ＋12y －1z ＝t －12t 2≤12(当且仅当t ＝1时等号成立)．故选D.【答案】 D(2)(2014·潍坊联考)已知不等式x ＋2x ＋1<0的解集为{x |a <x <b }，点A (a ，b )在直线mx ＋ny＋1＝0上，其中mn >0，则2m ＋1n的最小值为( )A ．4 2B ．8C ．9D ．12【解析】易知不等式x ＋2x ＋1<0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b ＝－1，则2m ＋n ＝1，2m ＋1n ＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2n m ≥5＋4＝9(当且仅当m ＝n ＝13时取等号)，所以2m ＋1n 的最小值为9.【答案】 C[总结提升] 通过本节课的学习，需掌握如下三点：失分盲点1．(1)不等式变形时，不等号的方向易出错．(2)二次项的系数中含有参数时，该不等式不一定是二次不等式． (3)同向不等式可以相加，但能否相乘是有条件的． 2．(1)不等式(组)表示的区域确定错误．(2)线性目标函数的斜率与可行域的边界斜率大小分不清．(3)y ＝a b x ＋z b中截距的符号弄反，导致平移时上下方向错误．3．利用基本不等式求最值时，一定要注意基本不等式的适用条件，否则容易出错．答题指导1．(1)看到不等式需要变形，想到用性质有根有据进行． (2)看到解含参数的不等式，想到参数对求解过程的影响．(3)看到求不等式中的参数，想到数形结合(画数轴或画函数图象)． 2．(1)看到不等式组的表示区域，想到“直线定界，特殊点定域”． (2)看到求线性目标函数最值，想到平移目标函数等直线进行观察．(3)看到求约束条件或目标函数中的参数，想到由目标函数的最值列方程(组)求解． 3．(1)看到和为定值，想到积是否有最值． (2)看到积为定值，想到和是否有最值．方法规律一元二次不等式的解法，分离参数法解决不等式恒成立问题，利用“穿根法”求解高次不等式.运算的合理性与转化思想的体现运算能力不仅要求会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，还要求能根据问题的条件寻找合理的简捷的运算途径，这也是在实施运算过程中遇到障碍而调整运算能力的具体表现．【例1】设实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝x 2＋y 2xy的取值范围是________．【解析】画出的可行域为点(1,2)，(3,1)，(4,2)形成的三角形，u ＝x 2＋y 2xy ＝x y ＋y －0x －0，设k ＝y x ，则k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，所以u ＝k ＋1k 在k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时，u min ＝2，u max ＝3＋13＝103.所以u ＝x 2＋y 2xy 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103【规律感悟】形如u ＝x 2＋y 2xy的式子在可行域确定的前提下需要进行适当转化，化为具有几何意义的算式，如直线的斜率、点到直线的距离等，从而求得相应的取值范围．【例2】 (2014·浙江高考)已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________．【解析】利用不等式求解．因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a .因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ，所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2，所以3a 2≤2，所以a 2≤23，所以－63≤a ≤63.所以a max ＝63. 【答案】63【规律感悟】形如本题已知含有两个条件和三个变量的问题，要想求某个变量的取值范围，一般采用消元法．本题还可消b 或c 后利用方程求a 的最大值．(把c ＝－(a ＋b )代入a 2＋b 2＋c 2＝1得2b 2＋2ab ＋2a 2－1＝0，由Δ≥0得3a 2≤2，所以a max ＝63.)。

考点26 基本不等式 2015年高考分类题库

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