吉林省实验中学_学年高一数学上学期期末考试试题

吉林省实验中学2015---2016学年度上学期高一年级数学学科期末考试试题第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1． 已知全集{}1234567U =，，，，，，，{}245A =，，，{}1357B =，，，，则()UA B =ð（A ）{}5（B ）{}24， （C ）{}25， （D ）{}2456，，， 2． 函数()31log 32y x =-的定义域为（A ）23⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，（B ）()1+∞， （C ）()2113+⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，，（D ）255333+⎛⎫⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，3． 若幂函数()1m f x x +=在()0+∞，单调递增，则实数m 的取值范围是 （A ）()0∞，+（B ）()0-∞， （C ）()1-∞，+ （D ）()1-∞-， 4． 函数()2x f x x =+的零点所在的一个区间是（A ）()21--， （B ）()10-， （C ）()01， （D ）()12， 5． 若α是第三象限角，则2α是 （A ）第二象限角（B ）第四象限角（C ）第二或第三象限角 （D ）第二或第四象限角6． 若角α的终边过点()2cos120225P ︒︒，则sin α=（A ）（B ）12-（C（D ）7． 将函数sin y x =的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向左平移6π个单位后，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 的解析式为 （A ）()sin 23πf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （B ）()sin 26πf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（C ）()1sin 23πf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （D ）()1sin 26πf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8． 函数()()sin 03πf x ωx ω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭相邻两个对称中心间的距离为2π，以下哪个区间是函数()f x 的递减区间 （A ）03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， （B ）03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（C ）122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（D ）526ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，9． 已知a b c d ，，，为非零向量，且+=a b c ，-=a b d ，则下列说法正确的个数为（1）若=a b ，则0⋅=c d ； （2）若0⋅=c d ，则=a b ； （3）若=c d ，则0⋅=a b ； （4）若0⋅=a b ，则=c d ． （A ）1（B ）2（C ）3（D ）410．已知函数()()sin f x A ωx φ=+002πA ωφ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示，下列说法正确的是（A ）()f x 的最小正周期为2π （B ）()f x 的图象关于直线23πx =-对称 （C ）()f x 的图象关于点5012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称（D ）当(2m ∈-，时，方程()f x m =在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上有两个不相等的实数根11．已知sin sin 3παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭2cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（A ）45-（B ）45（C ）35-（D ）3512．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[]35x ∈，时，()24f x x =--，则下列不等式成立的是（A ）sin cos 66ππf f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（B ）()()sin1cos1f f > （C ）22sin cos 33ππf f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（D ）()()sin 2cos2f f >第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．） 13． 已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为CD 的中点，则AE BD ⋅= ． 14． 已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为 ．15．已知α，02πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()3sin 5αβ-=，12cos 13β=，则sin α= ．16．已知函数()2log 02sin 2104≤≤x x f x πx x ⎧<<⎪=⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩，，，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则()()341211x x x x --的取值范围是 ． 三、解答题：（本大题共6小题，其中17小题10分，18~22小题每小题12分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17． （本小题10分）已知向量()43=a ，，()12b =-，． （Ⅰ）求a 与b 的夹角的余弦值；（Ⅱ）若向量λ-a b 与2+a b 平行，求λ的值． 18． （本小题12分）求证：)22tan tan 2sin cos 2sin 2tan 2tan 3ααπααααα⋅⎛⎫+-=- ⎪-⎝⎭．19．（本小题12分）已知函数()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x R ∈．（Ⅰ）列表并画出函数()f x 在922ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的简图；（Ⅱ）若()32f α=，922ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求α．20． （本小题12分）已知1tan 42πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求()()22sin 22sin 21cos 2sin παπαπαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭--+的值． 21．（本小题12分）已知函数()22sin cos 1f x x x x =-++． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及对称中心；（Ⅱ）若63ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，求()f x 的最大值和最小值．22． （本小题12分）设函数()()21x xa t f x a --= (0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数．（Ⅰ）求t 的值；（Ⅱ）若()10f >，求使不等式()()210f kx x f x -+-<对一切x ∈R 恒成立的实数k 的取值范围；（Ⅲ）若函数()f x 的图象过点312⎛⎫⎪⎝⎭，，是否存在正数m ()1m ≠，使函数()()22log x xm g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21log 3，上的最大值为0，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．吉林省实验中学2015---2016学年度上学期 高一年级数学学科期末考试参考答案第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）第Ⅱ卷 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．） 13．2；14．4；15．5665；16．()921，三、解答题：（本大题共6小题，其中17小题10分，18~22小题每小题12分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．解：（Ⅰ）(4,3),(1,2)Q ==-a b()41322,5,a b a b ∴⋅=⨯-+⨯=====r r r r∴cos ,25⋅<>===a b a b a b ； ……（5分） （Ⅱ） ∵(4,3),(1,2).==-a b ∴(4,32)2(7,8)λλλ-=+-+=，a b a b ∵向量λ-a b 与2+a b 平行， ∴()()483270λλ+⋅--⋅= 解得：12λ=-． ……（10分）18．证明：左边sin sin 2sin 2cos cos2sin ααααααα=-sin 2αα=2sin 23πα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭右边． ……（12分）19．解：（Ⅰ）由“五点作图法”列表如下：……（3分）图象如下：……（6分）（Ⅱ）由()133sin 242πf αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得11sin 242πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以12246ππαk π-=+或152246ππαk π-=+，()k Z ∈即546παk π=+或1346παk π=+， ……（9分）又因为922ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以k 取0，得56πα=或136π． ……（12分）20．解：（Ⅰ）tantan 1tan 14tan()41tan 21tantan 4παπααπαα+++===--，解得31tan -=α； ……（5分）（Ⅱ）22sin(22)sin ()21cos(2)sin παπαπαα+----+=22sin 2cos 1cos 2sin αααα-++ 2222sin cos cos 2cos sin ααααα-=+22tan 1152tan 19αα-==-+． ……（12分） 21．解：（Ⅰ）()2cos 22sin(2)6f x x x x π=+=+∴()f x 的最小正周期为22T ππ==， ……（3分） 令sin(2)06x π+=，则()212k x k Z ππ=-∈， ∴()f x 的对称中心为(,0),()212k k Z ππ-∈； ……（6分） （Ⅱ）∵[,]63x ππ∈- ∴52666x πππ-≤+≤ ∴1sin(2)126x π-≤+≤∴1()2f x -≤≤ ∴当6x π=-时，()f x 的最小值为1-； ……（9分）当6x π=时，()f x 的最大值为2． ……（12分）22．解：（Ⅰ）f （x ）是定义域为R 的奇函数∴f （0）=0，∴t =2； ……（2分）（Ⅱ）由（1）得x x a a x f --=)(由0)1(>f 得01>-aa 又0>a 1>∴a ， 由0)1()(2<-+-x f x kx f 得)1()(2--<-x f x kx f ，)(x f 为奇函数∴)1()(2x f x kx f -<-1>a ，x x a a x f --=∴)(为R 上的增函数，x x kx -<-∴12对一切R x ∈恒成立，即01)1(2>++-x k x 对一切R x ∈恒成立，故04)1(2<-+=∆k 解得13<<-k ； ……（6分）（Ⅲ）假设存在正数m ()1m ≠符合题意，由2=a 得)]([log )(22x mf a a x g x x m -+=-=)]22(22[log 22x x x x m m ----+ ]2)22()22[(log 2+---=--x x x x m m ，设x x t --=22，则22)22()22(22+-=+-----mt t m x x x x ，]3log ,1[2∈x ，]38,23[∈∴t 记2)(2+-=mt t t h ，函数)]([log )(22x mf a a x g x x m -+=-在]3log ,1[2上的最大值为0，∴（ⅰ）若10<<m ，则函数2)(2+-=mt t t h 在]38,23[有最小值为1，对称轴212<=m t ，123417)23()(min =-==∴m h t h 613=⇒m ，不合题意； （ⅱ）若1>m ，则函数02)(2>+-=mt t t h 在]38,23[上恒成立，且最大值为1，最小值大于0，①2473247362511)38()(1225221max =⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≤<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≤<m m m h t h m ， 又此时⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=38,2348732m ，0)4873()(min <=h t h 又，故)(x g 无意义所以应舍去2473=m ； ②m m m h t h m ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=>⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==>6136251)23()(12252max 无解， 综上所述：故不存在正数m ()1m ≠，使函数)]([log )(22x mf a a x g x x m -+=-在]3log ,1[2上的最大值为0． ……（12分）。