第六章树和二叉树

5
树的基本概念
结点
度不为0的结点 根结点 结点
分支结点
叶子结点
内部结点
B E F
A C G H D I J
度为0的结点
K
L
M
6
树的基本概念
结点的度和树的度
•结点的度即结点拥有的子树个数。
•树的度是树内各结点的度的最大值。
2 B 2 E 0 F 0 A 3 C G 0 0 1 H 1 D 3 I 0 0
32
自测题
一棵完全二叉树有1000个结点，则它必 有 (1000+1)/2 =500 个叶子结点；
有 叶子总数-1=499 个度为2的结点；
有
有
1
个结点只有非空左子树；
个结点只有非空右子树。
0
因为最后一个结点坐标是偶数，所以必为左子树。有1个结点只有非 空左子树，有0个结点只有非空右子树。
33
凹入表示
广义表
14
2.二叉树
• 为何要重点研究每结点最多只有两个“叉” 的树？
– 树太一般，子树的个数无限制，表示困难 – 二叉树的结构最简单，规律性最强 – 可以证明，所有树都能转为唯一对应的二叉树，不失 一般性。
15
二叉树的基本定义
• 二叉树的定义 – 是n≥0个结点的有穷集合 – 该集合或者为空、或者由一个根结点和两个分别称为左 子树和右子树的互不相交的二叉树组成。
I
J
10
树的基本概念
• 森林：m(m>=0)棵互不相交的树的集合
A B C D
E
K L
F
G
H
M
I
J B C D H
E
K L
F
G
I
J
M
11
树的基本概念
– 树的有序性：若树中结点的子树的相对位置不能随意 改变，则称该树为有序树，否则称该树为无序树。
有序树 无序树
A B C D
=
A C D B
12
树的基本概念
31
完全二叉树性质的推论
• n个结点的完全二叉树中：
– 度为1的结点数为(n+1)%2
– 度为0的结点数为(n+1)/2 – 度为2的结点数为(n+1)/2-1
– 编号最大的分支结点是n/2
– 编号最小的叶子结点是n/2+1 • 具有n0个叶子结点的完全二叉树中共有2n0个结点或2n0-1个 结点。
n0=1+n2+2n3+…+(m-1)nm
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特殊形态的二叉树
• 满二叉树(Full Binary Tree)
– 深度为k，结点数为2k-1
8 2 4 9 5 6 1 3 7
– 即结点数达到最大值
10 11 12 13 14 15
• 完全二叉树(Complete Binary Tree)
– 树中每个结点的编号（从上到下，从左到右）都与一个同 深度的满二叉树的结点一一对应 – 叶子结点只可能在层次最大的两层上出现
提问：第i层上至少有 1 个结点？
21
二叉树的性质
• 性质2： – 深度为k的二叉树最多有2k-1个结点(k>=1)
– 证明： • 由性质1可知：第i层最多有2i-1个结点 • 所以总的结点数最多为
1 2 3 4
k=4
22
二叉树的性质
4
1 2 5 9 10 11 12 6 3 7
• 性质3：
8
– 对任何一棵二叉树T，若叶子结点数(即度为0的结点数) 为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1
1 2 4 5 9 6 3 7
23-1 24-1
– 证明：
• 由此推出：2k-1 <= n <2k
8
10 11 12 13 14 15
• 设深度为k，则：2k-1-1< n <=2k-1
• 两边求对数：k-1 <= log2n < k
• 所以：
27
1
二叉树的性质
4
2 5 9 10 6
3 7
• 性质5：
7 8
8
9
10
9 10
10 11 12 13 14 15
BT[3]的双亲为3/2=1，即在BT[1]中； 其左孩子在BT[2i]=BT[6]中； 其右孩子在BT[2i+1]=BT[7]中。
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一般二叉树的顺序存储结构
1 2 4 7 8 9 5 3 6 10
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
– 当集合为空时，称该二叉树为空二叉树。
– 逻辑结构：一对二(1:2) – 基本特征:
树的一种 每个结点最多有2棵子树(即度<=2)
D
A
B
E
C
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二叉树与树的区别
• 树至少应有一个结点，而二叉树可以为空；
• 树的孩子结点没有限制，而二叉树中的每个结点最多有2个 孩子结点；
• 树的子树没有顺序，但如果二叉树的根结点只有一棵子树， 必须明确区分它是左子树还是右子树，因为两者将构成不同 形态的二叉树。
– 证明： • 总结点数n=n0+n1+n2
结点无外乎度为0、1、2三种情况 • 解方程组： • ”五个手指四个叉”
• 设分支数为B，则n=B+1
• 又B=n1+2n2
n n 0 n 1 n 2 • 除了树根，其余每个结 n B 1 点”上方”都有一个分 B n 1 2n 2 支 • 度为2的结点“下方”有2个分支 得：n0=n2+1 • 度为1的结点“下方”有1个分支
39
1 2 4 8 9 5 6 3 7
10 11 12 3
4 4
5 0
6 6
7 7
8 8
9 10 11 12 13 14 15 9 0 0 12 0 0 15
BT[6]的双亲为6/2=3，即在BT[3]中！
其左孩子在BT[2i]=BT[12]中；
其右孩子在BT[2i+1]=BT[13]中，而BT[13]＝0，表示无右孩子。
有序树的第一个孩子和最后一个孩子
有序树中最左边的子树的根称其第一个孩子，最右边的 子树的根称其最后一个孩子。 A
B
老大
C
D 老三
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老二
树的常用表示法
A
E F B A D J G C A B C D
B E F
C G J
D H I
E F G H I
H
I
J
嵌套集合
A(B(E,F),C,D(G(J),H,I))
• n个结点的树：高最多为n，最低为2。
• n个结点的二叉树： – 高最多为n(单支树)，最低为log2n+1(完全二叉树)。
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自测题
3.有关二叉树下列说法正确的是( ) A.二叉树的度为2
B.一棵二叉树的度可以小于2
C.二叉树中至少有一个结点的度为2 D.二叉树中任何一个结点的度都为2 4.已知一棵完全二叉树的第6层(设根是第1层)有8个叶结点， 则该完全二叉树的结点个数最多是( ) A. 39 B. 52 C. 111 D. 119
1种
20
二叉树的性质
• 性质1： – 在二叉树的第i层最多有2i-1个结点(i>=1)
– 证明： • 当i=1时，显然成立 • 假设当i=k时，也成立，即第k层最多2k-1个结点
• 当i=k+1时，由于二叉树的每个结点最多有2个孩子，所 以第k+1层最多有2*2k-1=2(k+1)-1个结点
• 故对于任意i(i>=1)，二叉树的第i层最多有2i-1个结点
•结点的子树的根称为结点的孩子。 •该结点称为其孩子的双亲。 •同一双亲的孩子间互称兄弟。
双亲
B E K L F
A C G H M D I J
孩子
9
树的基本概念
祖先、子孙
结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点； 以某结点为根的子树中的任一结点都称该结点的子孙。
A
B C D
E
K L
F
G
H
M
1
完全二叉树和和满二叉树相比，就是最 底层最右边连续缺少一些结点
2 4 8 9 5 6
3 7
10 11 12 13 14 15
25
特殊形态的二叉树
思考：深度为h的完全二叉树至少有多少个结点？ 2h1
结论： 深度为h且具有2h-1个结点的二叉树为满二叉树。
26
二叉树的性质
• 性质4：
– 具有n个结点的非空完全二叉树的深度为
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二叉树的五种基本形态
A
1.空树Φ
3.只有左子树
D
B E A
4.只有右子树 2.只有树根
A
B D
E A B D E
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5.左右子树都有
C
二叉树的基本形态
Φ
问：具有3个结点的二叉树可能有几种不同形态？
有5种
19
1.度为2的树是二叉树。 2.度为2的有序树是二叉树。
3.具有三个结点的树可以有以下五种形态：
8.已知一棵度为3的树有2个度为1的结点，3个度为2的结点， 4个度为3的结点，则该树有______ 个叶子结点。 12
35
二叉树
• 本节小结
– 二叉树的概念和类型定义
• 注意和树的类型定义的对比 – 二叉树的性质 • 要求自己能推导、应用、推广
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3.二叉树的存储结构
• 二叉树的顺序存储结构 – 用一维数组来表示 #define MAX_TREE_SIZE 100 typedef datatype SqBiTree[MAX_TREE_SIZE]; SqBiTree Bt; – 按照满二叉树的顺序存放