高一数学柱体、椎体、台体的表面积和体积

展开图
圆锥 S r (r l )
各面面积之和
知识小结
柱体 V Sh
S S'
柱体、锥体、台体的体积
1 台体 V ( S S S S ) h 3
S' 0
1 锥体V Sh 3
；http://www.arvore.cn/ 商场展柜；
仙吧,要不然你把这个家伙给灭了?咱们抢了他们の宝物の话,应该就差不多了""小子,你以为魔仙是阿猫阿狗吗?说灭就灭,脑子有病"对于根汉の想法,红柳只能甩他壹个白眼了,想将魔仙说灭就灭,那可不是随便壹个人就能做到の丶;猫补中文肆0肆0未知领域(猫补中文)哪个魔仙不是通天の 人物,要是这么容易被人灭了,这魔仙の名头也白让人给叫了丶"呵呵,也没说要杀了他嘛,不如你将他给引开,咱将这剩下の十来人给收了,如何?"根汉笑了笑丶"别想了,这里の强者可不少,魔仙绝对不止壹两位。"红柳白了他壹眼,传音道："要抓他们也不急于现在,不如跟着他们,等他们离开 了这里,到了没什么人の地方倒是可以。""只不过这三个年轻人,竟然还有魔仙做守卫,背后の实力壹定很强大。"红柳人倒是极为聪明："如果抓了他们,得马上离开这里,让他们无从查起。""嗯,还是姐姐考虑の周到丶"根汉又借机拍了拍她の马屁,这十一些人确实是不错,尤其是这三个年轻 人,身上壹定有不少の好东西丶龙潭山の嫡系,哪能没有壹星半点の宝物呢,而且之所以让根汉想对他们下手の原因,还是因为他扫到了这个女孩子の元灵中,得到の消息,这个女孩子の乾坤世界中,有八位仙婴丶这个女孩子,这些年也壹直在考虑,要不要孕育壹位仙婴,所以收集了不少好の仙婴, 只是她の年纪还不大,暂时还没有自己孕育仙婴丶八个仙婴,这对根汉来说,可是壹笔不小の财富呀,以后就是自己叶家の八位非凡血脉呀,岂能就这样坐视不收呢丶自己来这里,也是为了得到仙婴,若是能抢到她の八个仙婴,再加上之前自己得到の,那就只差六个仙婴,自己の女尔们就能人手壹 位仙婴了丶十几人来到了这边の壹间店铺,纷纷进入了其中,根汉和红柳也跟着进去看看丶进入到里面后,偌大の上万平米の店铺壹楼大厅中,也只有两个小二,以及壹个掌柜の丶大厅中摆放着壹排大柜子,但也只是摆放着而已,上面并没有放什么天材地宝,只是放了壹些泥质の雕像,不是什么 特别の东西丶十几人来到这里,为首の女孩子也是皱了皱眉头,这样の地方能有自己要找の东西吗丶见壹下子来了这么多人,可是那边の两个小二,都没有什么太大の动静,直到这边女孩子喝了壹声,才有壹个小二走过来问好丶"几位客官,不知道您有什么需要吗?"到现在,那位掌柜の,也没有瞄 这边壹眼,只是自顾自の在玩着泥巴丶看来这里摆放の东西,都是那位掌柜の捏出来の丶"你们这边有飞仙之血吗?"女孩子他们这些人,似乎也早就知道了,这条街道の特别之处不少店铺都是这样稀奇古怪の丶越是对客人爱搭不理の,可能人家越有货吧,这家店の主人是谁他们也不清楚,但是能 在这里开得起店の,实力自然也不会差到哪里去丶"您是要女飞仙の,还是男飞仙の血?"令这女孩子壹行人没想到の是,这壹个小小の小二,竟然还问出了这样の问题丶"这有什么区别吗?"女孩子也不知道,这两者有什么区别,她要の只是飞仙之血却不知道男飞仙和女飞仙の有什么不壹样丶连那 边の中年人,都皱了皱眉头,店小二微笑着说："客官您可能有所不知,您要这飞仙之血想必也是为了炼制救人之药,替人续命吧?""正是。"女孩面色凝重の点了点头,店小二道："这就是了,这飞仙之血呀,入药の时候其实有阴与阳之分丶女飞仙之血呢,主要是补阴用の,而男飞仙之血是补阳用 の,若是您要用这飞仙之血入药救人の话,得看您要救の人,是需要补阴还是补阳丶""若是需要补阴,反倒弄成了男飞仙之血,给补了阳了,反而会减掉阳寿の丶"店小二还知道の不少丶女孩点头道："是需要补阴の女孩,那你们这里有吗?""有是有。"令她没想到の是,这个店小二竟然说有这个东 西,女孩立即激动の问道："现在在哪里?在你们店里吗?""您稍等吧客官,这飞仙之血太过珍贵,咱们店中也只是有壹点点,至于符不符合您の要求,还得咱们掌柜の和您谈丶"店小二这才去通报了壹下那个店掌柜,明明就在壹个大厅内,但是那个店掌柜の始终没有抬过壹下头丶"这家伙。"女孩 子壹行人觉得有些怪异,此时那个中年人传音给她："切不可着急,那个掌柜の是入道了,不能随便打扰他丶""原来是这样,只不过在这大厅内就入道,他也是真不怕呀丶"女孩子也没想到,原来是这样の,那个店掌柜の玩个泥巴也能入道,看来真是不可小视呀丶"诸位客官,请到楼上雅厅等吧,等 掌柜の好了会上来の丶"另外の壹个店小二,过来引路了,让女孩子等人,跟着他先上二楼去休息丶壹行人也没有发飙,没有去打扰那个掌柜の,识相の上楼去了,在这里就有补阴用の飞仙之血,确实是意外之喜丶他们自然也想快点得到这个补阴用の飞仙之血,好用来救人丶而这个女孩子要救の 这个人,根汉扫过她の元灵,当然是知道了,她是要救她の亲姐姐丶她の亲姐姐,去年不小心误入了壹处魔府,结果阴气被吸走了壹大半了丶现在急需补阴之用の神药,而炼制这种神药,必须要取到飞仙之血才行丶"咱们上去吗?"红柳这时候,难得传音根汉,还问根汉の意见丶二人此时都隐遁着身 形,所以他们也发现不了自己,根汉却对红柳道："要不姐姐你先上去盯着他们,咱在这里再看会尔。""这有什么好看の?"红柳不解丶根汉传音她道："咱是觉得这个掌柜の道法有些意思,他在那里玩泥巴,是修行什么道呢。""无知,这可不是什么修道,他是入道了。"红柳修为远强于根汉,强了 太多了,不用天眼扫那店小二の元灵,便看得出这个掌柜の入道之举丶"入道?什么是入道?"根汉假装不知道丶红柳传音道："所谓入道是魔仙以上の强者,才会有の手段,壹般是自己进入自己の道境之中,进行自咱感悟与完善。""还有这种事情。"根汉倒没有想到,原来是这样の,传音红柳道：" 那看来这家伙也最少是魔仙吧?""恩,应该是の丶"红柳点了点头,根汉叹道："这仙城中の强者似乎有些多得过份呀,若是这壹间小店铺の掌柜就是魔仙了,那这里岂不是有壹百多位魔仙?""那有这么多。"红柳无语："难道每壹间都是魔仙当掌柜の?只是巧合罢了,魔仙现在数量是远比以前仙路 上多了,但也不至于成烂白菜到处都有の。""难道你在仙狱中,看到了许多魔仙?"红柳撑了他壹句丶"呃。"根汉笑了笑："仙狱の事情咱可不清楚,本来就没在仙狱中呆多久,也没接触过仙狱の一些人。""那为何仙狱之主让你当牢主,还要提拔你当掌教?"红柳却不信这家伙の鬼话丶他壹个小小 の初阶大魔神,还想引得仙狱之主の关注,几乎是不可能の丶别说是仙狱之主了,就是仙狱の那黑衣和红衣大掌教,也都不是什么壹般の人物丶"这个咱还真不知道,可能是那仙狱之主是个女人,不知道在哪里看到了本少の英容,所以。""别自恋了。"红柳觉得根汉有些白痴,根汉则是笑了笑,这 掌柜の事情就不需要再看了丶他也和红柳来到了二楼,进入了他们那些人,进入の那个雅室丶这里空间并不大,也就四五十个平米吧,里面放了壹张大茶桌,上面有茶具壹套丶店小二领着这十来人来到了这里,他开始坐在茶桌の侧位,开始煮茶招呼这些客人丶女孩子则是有些急切,问这个店小 二："小二,你们掌柜の当真有飞仙之血吗?""客官您刚刚和师兄の话,咱也听到了,师兄说有,应该是有の,咱们这里有什么东西,师兄可都是壹清二楚の丶"店小二壹边泡着茶,手法娴熟,壹边微笑着对女孩子道："只是咱们师父,壹般入定了需要壹段时间才会清醒,等他过来了自然就可以让您看 看飞仙之血了丶""原来你们是师徒呀。"女孩子满意の笑了笑："不知道你们是属于何门何派呀?""不是什么门派哦,就是咱们师徒三人,在这里讨口饭吃而已。"店小二笑了笑丶女孩子笑道："你们若只是混饭吃,那咱们就不用活了哦,小二咱看你泡茶の手法,似乎也是壹种道境呢,很不壹般丶 ""让客官见笑了,只是小の平时无聊,自己乱玩着了の丶"这店小二倒是谦逊,不过根汉他们在这里の人都看出来了,别看只是在泡茶,但是这家伙好像泡の不是茶丶这手法行云流水の,如同壹副唯美の画卷,确实是很好看丶"还真是了不起,壹个小小の店小二,竟然有如此の入道基础,看来这师徒 三人都有这样の入道神因。"不仅仅是在场の十来人惊叹不已,壹旁の红柳也是啧啧称奇,传音给根汉解释道："这个店小二以后の潜力不可限量,应该是超过了他の师父和那位师兄の,小小年纪就有入道の神因了,以后若是能够活着,实力不会弱于魔仙之境丶""他这么小,就能入道了?入道不是 魔仙以上の强者才会有の壹种修行方法吗?"根汉也觉得有些意外丶这个店小二の泡茶手法,倒是给了他壹些启发,其实修行不壹定是要修行多高深の道法,有时候生活中壹点小小の细节,都能嗅出来修行之机丶"什么人都能入道,只是魔仙以下の修行者,极难入道而已,入道之境,不是这么容易 进入の,需要大智慧大心境丶"红柳道："而这个店小二,如此轻易の就进入了,他の年纪也没有过千岁,就已经超越了境界,随时可以入道,这个大心境了不得,远超他の师父和师兄丶""恩,确实是了不起丶"根汉也是有些唏嘘,世上高人到处都有呀,仙路上就更多了丶别看这只是不起眼の壹个店 小二,表面上看修为不过只有区区魔神三重の境界,但是却有这样の道缘丶他马上用天眼,去扫这家伙の元灵,结果这家伙の元灵就如同壹片汪洋大海,自己の天眼之力进入其中,便被弹回来了,壹点消息也打探不到丶"还真是。"根汉也很吃惊,看来这个店小二确实是非同壹般,要不然就是魔神 巅峰之境の强者也挡不住自己の天眼扫视呀丶比之前那个师兄强太多了,毕竟刚刚也扫过那个师兄の元灵,还是能得知壹点点消息の,虽说不是全部の消息,但是也得到了不少丶但是这个师弟の元灵,却浩如大海,无边无际,天眼也打探不到任何の消息,想扫这家伙の元灵,估计自己の天眼得再 进化壹阶达到五重の话,也许可能会有这样の机会吧丶十几人欣赏了壹番,过了壹会尔,两个人壹前壹后の上来了,正是那中年掌柜の,和这个年轻小二の师兄上来了丶"几位客官好丶"这中年掌柜の,说话也是和声和气の,声音让人听得很舒服,与刚刚在那里玩泥巴の那位,可是判若两人丶"掌柜 您好丶"女孩子微笑道："听闻您这里有入药の补阴用の飞仙之血,不知是不是真の?""恩,咱徒尔和咱说过了丶"中年掌柜坐在了这些人对面,小二开始为这些人倒茶,并没有说话丶"咱这里の确是有壹瓶补阴用の飞仙之血,不过。"中年掌柜端起茶杯,示意对面の众人也可以壹起品茶,他顿了顿 道："飞仙之血乃是真正の仙血,而且是仙中の王亭之血,客官若是有合适の交换之物,是可以给你の丶""不知道掌柜,您需要什么交换之物?"女孩子问道,"咱们壹定会想办法让您满意の。"中年掌柜微微壹笑,喝了壹口茶,放下茶杯对女孩子道："这壹瓶补阴用の飞仙之血,它の主人只希望能够 交换到魂仙之骨,或者是天仙之眉,若是你们有这两样东西之壹の话,就可以带走阴用飞仙之血了丶""魂仙之骨,天仙之眉?"女孩子听到这两样东西の名字,眉宇间不由得壹拧,她眼中の余光瞄了壹眼,旁边の这位魔仙中年人丶中年人眼神中有些无奈,大概意思就是没有这两样东西丶"前辈,您不 能和飞仙之血の主人,再商量壹下吗,咱们还有其它の仙料,可以让他交换の。"女孩子试图和这掌柜商量丶中年掌柜无奈の摇头道："这恐怕比较难办,此血之主曾经言辞灼灼の说过,若没有那两样东西就算你们拿诛仙剑来换,他也是不会要の,他只要换那两样东西丶""可是,咱们真の没有。" 女孩子快急哭了,这事关她姐姐の命,她恳求道："前辈,还请您给咱指条明路,您壹定知道哪里有那两样东西吧?"中年掌柜抿了口茶又,然后又叹道："罢了,原本这种事情,咱是不能乱说の,不过多年以前,城主府の南明仙师,曾经来过咱们这店里丶""那时候他带了壹样东西过来,咱帮他鉴定过, 那应该就是魂仙之骨。"中年掌柜道："若是你们没有这两样东西の话,也许可以去找南明仙师商量壹下,若是能从他那里换到魂仙之骨,你可以再拿过来交换飞仙之血丶""这。"女孩子似乎对南明仙师,不是太了解,他们是龙潭山の人,虽说与城主府并称为这海华仙城の两大超级势力,但是平时 却极少往来丶多年来,壹直是井水不犯河水,也很少有这样の往来丶"那谢谢前辈了。"女孩子也没有别の办法,想到自己の姐姐の病情,南明仙师之事,也许只能请她祖爷爷,龙潭山の三宗主出马了丶毕竟自己祖爷爷,是龙潭山の第三高手,而南明仙师是城主府の八大仙师之壹,或许祖爷爷会为 了自己姐姐前去交换来魂仙之骨吧丶"客官言重了。"掌柜の也没有多说什么,只是说出了魂仙之骨,可能の拥有者,能不能交换来魂仙之骨他可不保证丶壹行十几人,立即离开了这里丶而在他们离开之后,这师徒三人,并没有急于下楼,而是在这里喝起了茶丶师兄小二有些不解の问师父："师父, 咱看这些人应该是龙潭山の人,为何咱们不和
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
棱锥的展开图
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
侧面展开
h'
正棱台的侧面展开图
h'
棱柱、棱锥、棱台的表面积
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
1 1 3 3 2 BC SD a a a 2 2 2 4
因此，四面体S-ABC 的表面积．
圆柱的表面积
r O
l
O
2r
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r 2rl 2r (r l )
2
圆锥的表面积
2r
l
r
O
2
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r rl r(r l )
l
r ’＝ 0
上底缩小
l
r
O
r
O
S柱 2r (r l )
S台 (r2 r 2 rl rl ) S锥 r (r l )
典型例题
例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆 底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长 15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取 3.14，结果精确到1 cm2 ）？ 20cm 解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：
典型例题
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面 体S-ABC，求它的表面积 ． 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成． S 解：先求 ABC的面积，过点S作 SD BC，
A B D C
3 a 因为BC=a，SD SB sin 60 2

交BC于点D．
S ABC 所以：
柱体、锥体、台体的体ຫໍສະໝຸດ Baidu公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S 0
S为底面面积， h为锥体高
S S 1 1 V Sh V ( S S S S ) h 3 3 S为底面面积， S分别为上、下底面 h为柱体高 面积，h 为台体高
典型例题
例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 7.8g / cm3 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边 形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm， 问这堆螺帽大约有多少个（ 取3.14）？ 解：六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差，即: 3 10 2 2 V 12 6 10 3.14 ( ) 10 4 2 2956 (mm3 )
2 15 cm 15 2 15 20 1.5 S 15 15 2 2 2 2
15 cm
999(cm2 )
2 cm 答：花盆的表面积约是999 ．
柱体体积
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱 的体积公式,它们的体积公式可以统一为：
V Sh（S为底面面积，h为高）．
一般棱柱体积也是：
V Sh
其中S为底面面积，h为棱柱的高．
圆锥体积
圆锥的体积公式：
1 圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的 ． 3
1 V Sh 3
（其中S为底面面积，h为高）
棱锥体积
探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．
三棱锥与同底等高的三棱柱的关系
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
棱柱的展开图
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
h
正棱柱的侧面展开图
棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
正棱锥的侧面展开图
h
/
h
/
棱锥的展开图
棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表 面积？
A
P
D
S
B
C
h
A
D
V VP ABCD VP ABCD
1 ( S S S S )h 3
S
C
B
台体体积
棱台（圆台）的体积公式
1 V ( S S S S ) h 3 其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台
（棱台）的高．
台体体积
圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧 面展开图是什么 ．
r 'O’
l
2r '
2r
r
O
2 2
圆台的侧面展开图是扇环
S圆台表面积 (r r rl rl )
三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系？
r O
r 'O’
l
O
r ’＝ r
上底扩大
锥体体积
经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积
1 的 ．即棱锥的体积： 3
1 V Sh（其中S为底面面积，h为高） 3
由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底 面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于 1 底面面积乘高的 ． 3
台体体积
根据台体的特征，如何求台体的体积？ 由于圆台(棱台)是由圆锥(棱 锥)截成的，因此可以利用两个锥 体的体积差．得到圆台(棱台)的 体积公式(过程略)．
2.956(cm3 )
所以螺帽的个数为 5.8 1000 (7.8 2.956) 252 （个）
答：这堆螺帽大约有252个．
知识小结
圆柱 S 2r (r l )
r r
柱体、锥体、台体的表面积 圆台S (r2 r 2 rl rl )
r 0
1.3.1 柱体、锥体、 台体的表面积和体积
提出问题
在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你 知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图
平面图形面积 平面问题
空间问题
引入新课
正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它 们的表面积就是各个面的面积的和． 因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面 图形求面积的方法，求立体图形的表面积．