高数第七章

习题7.1

1．求点)3,2,4(- M 与原点及各坐标面间的距离.

解 M 与原点的距离

,29)03()02()04(222=--+-+-=

M 与x 轴的距离

,4))3(3()22()04(222=---+-+-=x d

M 与y 轴的距离

,2))3(3()02()44(222=---+-+-=y d

M 与z 轴的距离

.3)03()22()44(222=--+-+-=z d

2. 求yz 面上与已知三点)2,1,3( A ,)2,2,4(-- B 和)1,5,0( C 等距离的点. 解 设所求点M 的坐标为(0，y ，z ). 则

(),)1()5(2)2(4)2()1()03(222

22222z y z y z y -+-=--+--+=-+-+- 即

.

16)2()2()1()5(,

16)2()2(9)2()1(22222222++++=-+-++++=+-+-z y z y z y z y

化简得 ⎩

⎨⎧=+-=+.2614,1086z y z y 所以,

⎩⎨⎧-==.

2,1z y 故所求点为（0，1，－2）.

3. 已知平面过点(1,0,0),(0,2,0)和(0,0,3). 试求该平面.

解 设平面方程为0Ax By Cz D +++=。则

⎪⎩

⎪⎨⎧=+⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅,0300,0020,0001D C B A D C B A D C B A

即

⎪⎩

⎪⎨⎧=+=+=+,03,02,0D C D B D A

故

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=.31,21,D C D B D A 故所求平面方程为.06236=-++z y x

4. 试绘出以下柱面的图形（图形略）:

(1) 准线: 22

1,9250x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩

母线平行于y 轴;

(2) 准线：⎩

⎨⎧==0,22x z y 母线平行于x 轴; (3) 准线：⎪⎩⎪⎨⎧==-0

,19422z y x 母线平行于z 轴 5. 已知准线为222

1,49252x y z z ⎧++=⎪⎨⎪=⎩

母线平行于z 轴，试求此柱面方程，并绘出其图形. 解 准线方程可写为

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+.

3,25219422z y x 它表示一个椭圆. 故所求柱面为椭圆柱面，其方程为25219422=+y x （图形略）.