高二数学选修2-2 函数的单调性与导数(2课时)1

合集下载

高中数学教学课例《函数的单调性与导数》课程思政核心素养教学设计及总结反思

变式 3：求函数 f(x)=√x-ln(x+1)的单调增区间. 针对学生易错点：忽视使导数为零的点的讨论而造成解题不完整而设计的．还是首先让学生自己解决，交流解题方法．很多学生会出现错误答案：单调增区间为(0,1)和 (1,+∞) 为了说明问题，把问题特殊化．提出新的问题：我们通过函数图像或利用函数单调性的定义已经证实了函数 y=x3 在 R 上为单调增函数，请同学们利用导数再探求该函数的单调区间，看有什么发现．部分同学得到单调增区间是(-∞,0),(0,+∞)，这与以前学习的结论出现矛盾，怎样解决呢？再思考问题：我们已证明了反比例函数 y=1x 的单调性，请同学们利用导数再探求该函数的单调区间，看有什么发现．
一步熟练导数研究单调性的方法，规范解题格式步骤；其次，三个导函数题都与二次函数有关，且用到指数函数的性质，进一步强化二次不等式的解法和指数函数性质，让学生体会导数问题的综合性．再次，第 3 题中设置了参数 a，在此不需单独讨论，但在老师的追问下，有些学生已经意识到有时要对 a 进行讨论，为下面针对参数的分类讨论埋下伏笔．
解：若函数在上是增函数，则大于或等于零在上恒成立恒成立，解得实数的取值范围为[2，4]. 针对变式 4 中学生出现的两种思路，教师再提出问题：请同学们思考下面这个问题：变式 5、（1）若函数的单调递减区间为（）求实数的取值范围．（2）若函数的在区间（）上单调递减，求实数的取值范围．我的思考：“单调递减区间为（）”与“在区间（）上单调递减”是两个截然不同的问题情境．设计这个变式题组，一是让学生辨析这两种不同叙述的含义，二是对变式 4 两种思路的进一步明晰．学生独立思考，然后进行生生交流，最后统一答案．（1）解：令导数，即，再讨论的符号，当>0 时，解得，所以函数的单调减区间为，函数的减区间为（），则（），所以，即；当 a=0 时，函数的导数恒成立．所以 a=0 时函数不存在单调减区间；当时，函数的导数总成立．

1.3.1函数的单调性与导数2-人教A版高中数学选修2-2课件

三、证明不等式例4、证明不等式ex≥1＋x.(x ≥ 0)
提示：构造函数f(x)＝ex－1－x，利用导数证明函数f(x)＝ex－1－x是增函数， ∴ex≥1＋x.
三、课堂练习 1、已知函数f(x)=2ax-x3，x∈(0,1]，a>0，若f(x)在 (0,1]上是增函数，求a的取值范围
[ 3 , ) 2
注：
在某个区间上f'(x)>0(或<0)⇒f(x)单调递增(递减)；但由f(x)在这个区间上单调递增(递减)而仅仅得到 f'(x)>0(或<0)是不够的。还有可能导数等于0也能使f(x)在这个区间上单调，因此在已知f(x)在这个区间上单调递增(递减)时；应令f'(x)≥0(或≤0)恒成立，解出参数的范围。
f '(x)
2x
a x2
2x3 a x2
∵ f ( x)在[2, )上是单调递增， f '( x) 0在[2, )上恒成立
即 2x 3 a 0在[2, )上恒成立， x2
∵ x 2 0,所以2x 3 a 0在[2, )上恒成立
a 2 x 3在[2, )上恒成立，即a (2 x 3 )min ∵ x [2, )，所以y 2x 3是单调递增函数
例1、如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.
(B)
(A)
(D)
(C)
h
h
h
h
O
t
(A)
O
t
(B)
O
t
(C)

人教版高中数学选修2-2第一章函数的单调性与导数同步教案

知识梳理1.一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内的变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图像就“平缓”.例题精讲例1.如图所示，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.【方法技巧】解决这类问题时，应先明确自变量与应变量的关系，结合导数的绝对值大小与原函数图象变化趋势的关系进行判断.注意：当自变量与应变量的关系很难表示的时候，应从实际出发，理性分析.巩固训练1.如图：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F 分别为11A B ，CD 的中点，点M 是EF 的动点，FM x =，过M 、直线AB 的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为()V x ，则函数()V x 的大致图像为（）A. B. C. D.（三）含参数的函数单调性讨论知识梳理1在参数范围内讨论单调性的解题的主体思路或步骤：（1）先明确定义域（通常针对的是对数函数）（2）求导，这时需要判断导数在定义域范围内是否存在恒正或恒负的情况（对于二次函数型的通过判别式来明确分类讨论的主体框架，对于含有对数函数的，可能需要通过二次求导来判定）；即在定义域范围内恒单调递增或递减。

（3）当在定义域范围内导数有正有负，即存在极值点，这时令导函数的值为零，求出极值点（一般会含有2个极值点，这时要比较这2个极值点的相对大小，还有在定义域的相对位置）（4）根据参数的范围划分好单调区间例题精讲例1.试判断函数()32()4f x x ax x a R =+-∈的单调性.例2.求函数()324()(2)3f x x a x x a R =+-+∈的单调区间.A.(2,+∞)B.(0,2)C.(2,+∞)D.(0, 2)2.函数()ln f x x x =在区间（0，1）上是（）A.单调增函数B. 在（0，e 1）上是减函数，在（e1,1）上是增函数 C. 单调减函数 D.在（0, e 1）上是增函数，在（e 1,1)上是减函数 3. 设2()(2)f x x x =-则()f x 的单调增区间是（）A .(0,)34B .(,34+∞)C .(-∞,0)D .(-∞,0)∪(34,+∞）4. ()f x '是()f x 的导函数，()f x '的图象如图所示，则()f x 的图象只可能是（）5.函数()2sin f x x x =+的增区间为___________.6.函数2()32x f x x x =-+的增区间为___________. 7.求下列函数的单调区间：（1）32)(24+-=x x x f ；（2）22)(x x x f -=.8.求下列函数的单调区间：（1）2()ln(32)f x x x =-+- （2）2ln ()x f x x=9. 设函数3()3(0)f x x ax b a =-+≠；求函数()f x 的单调区间.2222 D.C.B.A.O x y O x y y x O Ox y 2yxO教案解读本次课的内容较为简单基础，结合考纲要求系统梳理知识点，让学生正确地把握知识的重难点；同时，添加了含参数的函数单调性讨论问题的处理方法与技巧。

高二数学(选修2-2人教A版)-函数的单调性与导数

2
2
由f (x) 0，得 1 17 x 1 17 .
2
2
所以 f (x) 2x3 3x2 24x 1 的单调递增区间是
(, 1 17 )和 ( 1 17 , ) ；
2
2
单调递减区间是( 1 17 , 1 17 ).
2
2
【反思】能否说f (x)在 (, 1 17 ) ( 1 17 , )
函数的单调性与导数
高二年级数学
1.请同学们根据基本初等函数导数公式填空.
①若 f (x) c（ c 为常数），则 f (x) __________.
1.请同学们根据基本初等函数导数公式填空.
①若 f (x) c（ c 为常数），则 f (x) _0_________.
1.请同学们根据基本初等函数导数公式填空.
f (x) x3 3x的单调区间.
解：求导得 f (x) 3x2 3 .
因为 f (x) 0在R上恒成立，所以 f (x)在 R上单调递增.
例2 利用函数的单调性与导数的关系，求函数
f (x) x3 3x的单调区间.
【反思】同学们还有其它方法吗？
例3 求函数 f (x) sin x x, x (0, )的单调区间.
不一定，常值函数就是反例.
思考3：函数 f (x)在区间(a,b) 内单调递增，能否得到 f (x) 0 在此区间内恒成立呢？
思考3：函数 f (x)在区间(a,b) 内单调递增，能否得到 f (x) 0 在此区间内恒成立呢？
不能.
例1 已知导函数f (x) 的下列信息：
当1 x 4时，f (x) 0 ；当 x 4 或 x 1 时，f (x) 0；当 x 4 或 x 1 时，f (x) 0.

1.3.1函数的单调性与导数1-人教A版高中数学选修2-2课件

令(x
1)(x x2
1)
0，解得 1
x
0或0
x
1
y x 1 的单调减区间是(1,0)和(0,1) x
注: 如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间一般不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”分开。
四、课堂练习 1、判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f ( x) x 2 2x 4; (2) f ( x) e x x;
2
3
3
因此，函数f ( x)的递增区间是(2k 2 ,2k 2 )(k Z );
3
3
递减区间是(2k 2 ,2k 4 )(k Z ).
3
3
(2) f ( x) x ln(1 x) 1 2
解：函数的定义域是(1,)，f ( x) 1 1 x 1 . 2 1 x 2(1 x)
2
2
归纳： 1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、单调区间较简便？
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。
2°求可导函数f(x)单调区间的步骤： ①求定义域
②求f'(x)
③令f'(x)>0解不等式⇒f(x)的递增区间 f'(x)<0解不等式⇒f(x)的递减区间
(2) f ( x) x 2 2x 3;
(3) f ( x) sin x x, x (0, );
(4) f ( x) 2x 3 3x 2 24x 1.
解:
(3)因为f ( x) sin x x, x (0, )，所以f ( x) cos x 1 0.
因此，函数f ( x) sin x x在x (0, )上单调递减

1.3.1函数的单调性与导数-人教A版高中数学选修2-2课件

已知导函数的下列信息：
分析：
当2 x 3时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递减
当x 3或x 2时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递增
当x 3或x 2时，f '( x) 0. f ( x)图象在此两处
附近几乎没有升降
试画出函数 f ( x) 图象的大致形状。变化,切线平行x轴
内的图象平缓.
设 f '(x)是函数 f ( x) 的导函数，y f '(x)的图象如
右图所示,则 y f (x) 的图象最有可能的是( C )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '(x)
o 1 2x o 1 2x
o
2x
(A)
(B)
y y f (x)
y y f (x)
2
o1
x o 12
2：求函数 y 3x2 3x 的单调区间。
解： y' 6x 3
令y ' 0得x 1 , 令y ' 0得x 1
2
2
y 3x2 3x 的单调递增区间为 (1 , ) 2
单调递减区间为 (, 1) 2
变1：求函数 y 3x3 3x2 的单调区间。
解： y' 9x2 6x 3x(3x 2)
步骤：
（1）求函数的定义域（2）求函数的导数（3）令f’(x)>0以及f’(x)<0,求自变量x的取值范围，即函数的单调区间。
练习:判断下列函数的单调性
• (1)f(x)=x3+3x; • (2)f(x)=sinx-x,x∈(0,π); • (3)f(x)=2x3+3x2-24x+1; • (4)f(x)=ex-x;

人教A版高中数学选修2-2《导数与函数的单调性》说课课件(共31张ppt)

解不等式f ' (x)>0 得函数单调递增区间
解不等式f ' (x)<0 得函数单调递减区间
规范写出单调区间
1 h
2 h
h 3
h 4
o A to B t o C t o D t
分析以容器 2 为例,由于容器
上细下粗,所以水以常速注入时,
开始阶段高度增加得慢,以后高
度增加得越来越快.反映在图象
探究学习
教学过程
微课
问题1．函数单调性的定义是什么？判断函数单调性的常用方法有哪些？问题2．导数的定义与几何意义是什么？
问题3.能否用学过的方法求下列函数的单调性?
用定义法讨论（1）函数单调性虽然可行，但十分麻烦，（2）（3）我们就操作不了了。那么本节课我们一起来探究单调性的新世界？
绕着点P逐渐转
动的情况.
o
y=f(x) Q
割线
T 切线
P

x
（3）深入思考，揭示本质
问题4：既然是“任取”，那么我们干脆把两个点无限靠近，
大家觉得可以得到什么.
瞬时变化率，就是某点切线的斜率，也就是区间内任意一点
处的导数都大于零.
f (x1) f (x2 ) 0 f '(x) 0 f (x)为增函数 x1 x2
本节课将两者结合，重新认识单调性。对研究复杂函数的单调性及函数极值最值问题，至关重要。
因此，本节内容具有承上启下的作用。
教学目标
1、知识与能力：理解函数单调性与导数的关系，会用导数确定函数的单调区间，进而确定函数的大致图像。 2、过程与方法：通过导数研究单调性问题，体会从特殊到一般、数形结合的研究方法。通过导数研究单调性的基本步骤，体会算法思想。 3、情感态度与价值观：通过导数研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，认识到数学是一个有机整体。体会导数的实用价值。

高中数学人教A版选修2-2第一章1.3.1《函数的单调性与导数》教案(2课时)

"福建省长乐第一中学2014高中数学第一章《1.3.1函数的单调性与导数（2课时）》教案新人教A 版选修2-2 "教学目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图 3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x =试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+；（2）2()23f x x x =--（3）()sin (0,)f x x x x π=-∈；（4）32()23241f x x x x =+-+（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=- 当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增；当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减；函数2()23f x x x=--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin(0,)f x x x xπ=-∈，所以，'()cos10f x x=-<因此，函数()sinf x x x=-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示．例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C→→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数()y f x=在()0,b或(),0a内的图像“陡峭”，在(),b+∞或(),a-∞内的图像“平缓”．例4．求证：函数3223121y x x x=+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x=+-=+-=-+当()2,1x∈-即21x-<<时，'0y<，所以函数3223121y x x x=+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x在(),a b内的单调性步骤：（1）求导函数()'f x；（2）判断()'f x在(),a b内的符号；（3）做出结论：()'0f x>为增函数，()'0f x<为减函数．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．例6．已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间.五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()y f x =单调区间（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性六．教后反思：。

高二数学人教A版选修2-2课件：1.3.1 函数的单调性与导数

B.y=xex D.y=-x+ln x
答案:B
解析:A.y'=2cos 2x在(0,+∞)上符号不定. B.∵y'=ex+xex=ex(x+1)>0,∴y=xex在(0,+∞)上为增函数. C.y'=3x2-1在(0,+∞)上符号不定.
D.y'=-1+1�� = 1��-��在(0,+∞)上符号不定.
案例探究
误区警示
防范措施
案例探究
误区警示
防范措施
1.定义域问题
求函数的单调区间首先要确定函数的定义域,在求出使导数的值为正或负的x的范围时,要与定义域求交集,
如本例中f(x)定义域为(0,+∞).
2.单调区间的记法
函数的单调区间分段的时候不能用“∪”符号,如本例f(x)在区间
0,
1 2
和(2,+∞)内是增函数.
由 f'(x)>0 结合 x>0,得 0<x<12或 x>2,由于 f'(x)<0 结合 x>0,得12<x<2,
所以 f(x)在区间
0,
1 2
和(2,+∞)内是增函数②,在区间
1 2
,2
内是减函数.
(2)若 f(x)在定义域上是增函数,则 f'(x)≥0 对 x>0 恒成立,
因为
f'(x)=a+��2
1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数
目标导航
预习导引
学习目标
重点难点

(完整word版)高中数学选修2-2函数的单调性与导数

1.3.1函数的单调性与导数［学习目标］1•结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函.3.会求函数的单调区间(其中多项式数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式函数的最高次数一般不超过三次).尸知识梳理自主学习知识点一函数的单调性与其导数的关系在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系:导数函数的单调性f' (x)>0单调递增f' (x)<0单调递减—f' (x) = 0常函数思考以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设X i V X2的前提下，比较f(x i)与f(X2)的大小，在函数y= f(x)比较复杂的情况下，比较f(x i)与f(x2)的大小并不很容易，如何利用导数来判断函数的单调性？答案根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减知识点二利用导数求函数的单调区间利用导数确定函数的单调区间的步骤：(1) 确定函数f(x)的定义域.⑵求出函数的导数f' (x).(3)解不等式f' (x)>0,得函数的单调递增区间；解不等式f' (x)v0,得函数的单调递减区间.知识点三导数绝对值的大小与函数图象的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度如图，函数y= f(x)在(a,0)和(0, b)内的图象“陡峭”，在(一® a)和(b,+^ )内的图象“平题型一利用导数确定函数的单调区间例1求下列函数的单调区间.(1)f(x) = 3X2—2ln x; (2)f(x)= x2• e e；1(3)f(x) = x+ x .解⑴函数的定义域为 D = (0 ,+^). T f' (x)= 6x—2,令f (x) = 0，得x i = ¥, X2= —申x 3 3 (舍去)，用x i分割定义域D，得下表:x0,号3+ 8 3 ,+f' (x)一0+f(x)•••函数f(x)的单调递减区间为0,呼，单调递增区间为.3 3⑵函数的定义域为D = (— 8,+^). •/ f' (x)= (x2)' e—x+ x2(e—x)' = 2xe—x—x2e—x= e—x(2x —x2)，令f' (x)= 0，由于e x> 0, • x i = 0, x2= 2,用x i, x2分割定义域D，得下表：x(—8, 0)0(0,2)2(2, +8)f' (x)一0+ 0一f' (x)• f(x)的单调递减区间为(—8, 0)和(2, +8)，单调递增区间为(0,2).(3)函数的定义域为D = (—8 , 0)U (0, +8).1f ' (x)= 1 —~2,令f' (x)= 0，得x i=—1, X2= 1，用x i , X2 分割定义域D，得下表:xx(—8,—1)—1(—1,0)(0,1)1(1 ,+ 8 )f' (x)+0一一0+f(x)•••函数f(x)的单调递减区间为(一1,0)和(0,1)，单调递增区间为(一8,—1)和(1,+8).反思与感悟首先确定函数定义域，然后解导数不等式，最后写成区间的形式，注意连接同类单调区间不能用“U”.跟踪训练1 求函数f(x)= x3—3x的单调区间.解f' (x)= 3x2—3 = 3(x2—1).当f' (x)> 0 时，x v—1 或x> 1,此时函数f(x)单调递增；当f' (x)v 0时，一1 v x v 1,此时函数f(x)单调递减.•函数f(x)的递增区间是(—8,—1), (1,+ 8 )，递减区间是(一1,1).题型二利用导数确定函数的大致图象例2 画出函数f(x) = 2x3—3x2—36x+ 16的大致图象.解f' (x) = 6x2—6x—36= 6(x2—x—6)= 6(x—3)(x+ 2).由f' (x)> 0 得x v — 2 或x> 3,•函数f(x)的递增区间是(一8,—2)和(3,+ 8).由f' (x)v 0 得一2v x v 3,•函数f(x)的递减区间是(一2,3).由已知得f( —2) = 60, f(3)=—65, f(0) = 16.•结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一).反思与感悟利用导数可以判定函数的单调性，而函数的单调性决定了函数图象的大致走向当函数的单调区间确定以后，再通过描出一些特殊点，就可以画出一个函数的大致图象跟踪训练2已知导函数f' (x)的下列信息：当2v x v 3 时，f' (x)v 0;当x> 3 或x v 2 时，f' (x)> 0;当x= 3 或x= 2 时，f' (x)= 0;试画出函数f(X )图象的大致形状•解当2 v X V 3时，f' (x)v 0，可知函数在此区间上单调递减；当x> 3或x v 2时，f' (x)> 0，可知函数在这两个区间上单调递增；当x= 3或x= 2时，f' (x)= 0，在这两点处的两侧，函数单调性发生改变综上可画出函数f(x)图象的大致形状，如图所示(答案不唯一).例3 已知函数f(x)= 2ax—x3, x€ (0,1］, a>0,若函数f(x)在(0,1］上是增函数，求实数a的取值范围•解f' (x) = 2a —3x2,又f(x)在(0,1］上是增函数等价于f' (x)>0对x€ (0,1］恒成立，且仅有有限个点使得f' (x) = 0,3••• x€ (0,1］时，2a —3x2>0,也就是a>3x2恒成立.3 3又x€ (0,1］时，/2€ 0, ,3• a的取值范围是-,+ ^反思与感悟已知函数在某个区间上的单调性，求参数的范围，是近几年高考的热点问题，解决此类问题的主要依据就是导数与函数的单调性的关系，其常用方法有三种：①利用充要条件将问题转化为恒成立问题，即f' (x)> 0(或f' (x) w 0)在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；②利用子区间(即子集思想)，先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求出的增或减区间的子集；③利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置•1跟踪训练 3 已知函数f(x)= In x, g(x)= 2ax2+ 2x, a^ 0.(1)若函数h(x) = f(x)—g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围;⑵若函数h(x) = f(x)—g(x)在［1,4］上单调递减，求a的取值范围1解(1)h(x) = In x —?ax2—2x, x€ (0, + ),1• h' (x)= -一ax— 2.xh(x)在(0, + m)上存在单调递减区间,1•••当 x € (0,+^)时，-一ax — 2v 0 有解，x 1 2即a >X — 2有解. 1 2设 G(x) = x 2-X ，只要a >G(x)min 即可. 工1 2而 G(x) = - — 1 2— 1,x--G (x)min = 一 1 , a > — 1.(2) •/ h(x)在［1,4］上单调递减，1• x € ［1,4］时，h ' (x) = 一一 ax — 2< 0 恒成立,x 1 2即a > £— 2恒成立，x 2 x- 1 …--a 》G(X )max ，而 G(x)= x 一 1 一 1 ,• ■ • a 》—16.1 1错解 y ' = 1 — i,令y ' = 1 —1 >0,得x > 1或x v 0,所以函数y = x — ln x 的单调递增区x x 1间为(1, + m ), (—g, 0).令y ' = 1 — _v 0,得0 v x v 1,所以函数y = x — In x 的单调递减 x 区间为(0,1).错因分析在解与函数有关的问题时，一定要先考虑函数的定义域，这是最容易忽略的地方. 正解函数y = x — ln x 的定义域为(0, + g ), 又 y ' = 1 —-,X ，1令y ' = 1 — ->0,得x > 1或x v 0(舍去)，所以函数y = x — ln x 的单调递增区间为(1, + g ). x 1令y ' = 1 — _v 0,得0v x v 1,所以函数y = x — ln x 的单调递减区间为(0,1). x 防范措施在确定函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域--G (x)max =_7 16,例4 求函数y = x — ln x 的单调区间m当堂检测宜查自纠1•函数f(x) = x + In x 在(0,6)上是()A. 单调增函数B. 单调减函数1 1C. 在0,-上是减函数，在-，6上是增函数e e1 1D. 在0, -上是增函数，在-，6上是减函数e e答案A1解析•/ x€ (0,6)时，f，(x) = 1 + -> 0,•••函数f(x)在(0,6)上单调递增.x2. f，(x)是函数y= f(x)的导函数，若y= f，(x)的图象如图所示，则函数y= f(x)的图象可能是( )答案D解析由导函数的图象可知，当x v 0时，f，(x)>0，即函数f(x)为增函数；当0v x v 2时, f，(x)< 0，即f(x)为减函数；当x> 2时，f，(x)> 0，即函数f(x)为增函数•观察选项易知D正确•3•若函数f(x)= x3—ax2- x+ 6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是()A. [1,+旳B.a= 1C.(—s, 1]D.(0,1)答案A解析T f，(x) = 3x2—2ax—1,且f(x)在(0,1)内单调递减，•不等式3x2—2ax—K 0在(0,1)内恒成立，• f，(0)w 0,且f，(1)w 0, • a> 1.4•函数y = x 2— 4x + a 的增区间为 ________ ，减区间为 ________ . 答案(2,+^ )( — 8, 2)解析 y ' = 2x — 4,令 y ' > 0,得 x > 2;令 y ' v 0,得 x v 2, 所以y = x 2— 4x + a 的增区间为(2,+ g )，减区间为(一^, 2).1 一5•已知函数 f(x) = 2ax — -, x € (0,1］.若f(x)在x € (0,1］上是增函数，则 a 的取值范围为x1答案—2，+m1解析由已知条件得f ' (x) = 2a +采.••• f(x)在 (0,1］上是增函数，1而g(x) = — 2"2在 (0,1］上是增函数,1f ' (x)=— 1 + p 对 x € (0,1］有 f ' (x)>0,且仅在 x = 1 时, —1• a =— 时，f(x)在(0,1］上是增函数一 1• a 的取值范围是一夕+g ._课堂小结 ------------------判断函数单调性的方法如下：(1)定义法.在定义域内任取 X 1 , x 2,且X 1V X 2，通过判断f(X 1)—f(x 2)的符号来确定函数的单调性.⑵图象法.利用函数图象的变化趋势进行直观判断.图象在某个区间呈上升趋势，则函数在这个区间内是增函数；图象在某个区间呈下降趋势，则函数在这个区间内是减函数 (3)导数法.利用导数判断可导函数 f(x)在区间(a , b)内的单调性，步骤是：①求f ' (x);②确定f ' (x)在(a , b)内的符号；③确定单调性.(x)> 0, 12护在x € (0,1］上恒成立g(X )max = g(1)=— 12.f ' (x) = 0.求函数y = f(x)的单调增区间、减区间分别是解不等式f' (x) > 0和f' (x) v 0所得的x的取值集合.反过来，如果已知f(x)在区间D上单调递增，求f(x)中参数的值，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即f' (x)>0在D上恒成立且仅在有限个点上等号成立，求f(x)中参数的值.同样可以解决已知f(x)在区间D上单调递减，求f(x)中参数的值的问题.课时精练一、选择题1•函数y=(3 —x1 2)e x的单调递增区间是()A. ( —g, 0)B.(0 ,+s )C.( — g,—3)和(1 ,+g )D.( —3,1)答案D解析求导函数得y' = (—x2—2x+ 3)e x.令y' = (—x2—2x+ 3)e x>0,可得x2+ 2x—3v 0,—3v x v 1.•••函数y = (3 —x2)e x的单调递增区间是(—3,1).2.已知函数f(x) = —x3+ ax2—x—1在(一g, +g )上单调递减，则实数a的取值范围是()A. ( —g,—.3] U [ 3,+g )B. [ —.3, .3]C. ( — g,—.3) U ( 3,+g )D. ( —. 3, .3)答案B解析由题意得f' (x) = —3x2+ 2ax—1< 0在(—g , + g)上恒成立，且仅在有限个点上f' (x)=0，则有△= 4a2—12W 0,解得—.3W a w 3.3. 下列函数中，在(0,+g )内为增函数的是()A.y= sin xB.y= xe2C. y= x3—xD.y= In x—x答案B解析显然y= sin x在(0, + g)上既有增又有减，故排除A；对于函数y= xe2,因e2为大于零的常数，1对于 D , y' = —— 1 (x> 0).x故函数在(1, + g)上为减函数，在(0,1)上为增函数.故选B.不用求导就知y= xe2在(0 ,+g)内为增函数；对于C, y' = 3x2— 1 = 3 x+于x —_33,故函数在—g,——3, -3, + g上为增函数，3 3在—专，专上为减函数；3 34•设f(x), g(x)在［a, b］上可导，且f' (x)>g ' (x),则当a v x v b 时，有()A. f(x)> g(x)B. f(x)v g(x)C. f(x) + g(a)> g(x) + f(a)D. f(x) + g(b)> g(x) + f(b)答案C解析■/ f' (x) - g' (x) > 0,•••(f(x)—g(x))' >0,••• f(x)- g(x)在［a, b］上是增函数，•••当a v x v b 时f(x)- g(x)> f(a)- g(a),• f(x) + g(a)> g(x) + f(a).5. 函数y= ln_|x|的图象大致是()x答案C解析T y= f(—x)= ln~! =—f(x),—x•- y= f(x) = ln |x l为奇函数,x• y= f(x)的图象关于原点成中心对称，可排除 B.又•••当x> 0 时，f(x)=乎，f' (x)= 1-x2l x,•当x> e 时，f' (x)v 0,•函数f(x)在(e,+s)上单调递减；当O v x v e 时，f' (x)>0,•函数f(x)在(0, e)上单调递增.故可排除A , D，而C满足题意.6. 定义在R上的函数f(x)满足：f' (x)> 1 —f(x) ,f(O)= 6 ,f' (x)是f(x)的导函数，则不等式e x f(x) >e x+ 5(其中e为自然对数的底数)的解集为()A.(O,+s )B.( 0) U (3 ,+s )C.( — f, 0)U (1 ,+s )D.(3 ,+s )答案A解析由题意可知不等式为e x f(x) —e x—5> 0,设g(x) = e x f(x)—e x—5,••• g' (x)= ef(x)+ e x f' (x) —e x=e x[f(x) + f'x)—1] > 0.•函数g(x)在定义域上单调递增.又••• g(0) = 0, • g(x)> 0 的解集为(0,+^).二、填空题7•若函数f(x)= 2x2—In x在定义域内的一个子区间(k —1, k+ 1)上不是单调函数，贝U实数k的取值范围是__________________ .3答案1, 31 4x2—1解析显然函数f(x)的定义域为(0, + f), f' (x) = 4x — - = --- •由f' (x)> 0,得函数f(x)x x1 1的单调递增区间为2,+ m；由f'(x)< 0，得函数f(x)单调递减区间为0, 2 •因为函数在1 1 3区间(k—1, k+ 1)上不是单调函数，所以k—1v 2< k + 1,解得一2< k v3，又因为(k—1, k3+1)为定义域内的一个子区间，所以k— 1 >0，即k> 1•综上可知，K k<3.38•函数y= f(x)在其定义域—2, 3内可导，其图象如图所示，记y= f(x)的导函数为y= f' (x),则不等式f' (x)< 0的解集为__________ •1答案—3, 1 U [2,3)9.函数y= In(x2—x—2)的递减区间为________ •答案(— R, —1)2x—1 1解析f' (x)= -，令f' (x)< 0得x<—1或1<x< 2,注意到函数定义域为(―8,—x2—x— 2 2 4 4 U (2, + f)，故递减区间为(一8,—1)・1 110•若函数f(x)= x 2+ ax + -在2，+m上是增函数，则a 的取值范围是 _________X 2 答案 [3 ,+^ )1 1解析因为f(x)= x 2 + ax + -在2,+ m上是增函数,'X. 厶1 1故f ' (x)= 2x + a —采》0在2，+g 上恒成立， 1 1即a ＞尹—2x 在-,+ 上恒成立•2则 h ' (x)=— --3 — 2,入1当x € 2，+ g 时，h ' (x) v 0,贝U h(x)为减函数, 1所以 h(x) v h 2 = 3,所以 a >3. 三、解答题11. 已知函数f(x) = ax 3+ bx 2的图象经过点 M(1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线垂直.(1) 求实数a , b 的值；⑵若函数f(x)在区间[m , m + 1]上单调递增，求 m 的取值范围.解 (1) •••函数 f(x)= ax 3 + bx 2 的图象经过点 M(1,4)，二 a + b = 4.① f ' (x)= 3ax 2+ 2bx ,则 f ' (1) = 3a + 2b.1由条件 f ' (1) •— 9 =— 1,即 3a + 2b = 9.② 由①②解得a = 1, b = 3.(2) f(x) = x 3 + 3x 2，则 f ' (x)= 3x 2 + 6x. 令 f ' (x)= 3x 2 + 6x >0,得 x >0 或 x < — 2. •••函数f(x)在区间[m , m + 1]上单调递增， •••[m , m + 1]?(—g,— 2] U [0,+ g) /• m >0或 m + K — 2, • m >0 或 m W — 3.12. 已知函数f(x)= a x + x 2— xln a — b(a , b € R , a > 1), e 是自然对数的底数. (1)试判断函数f(x)在区间(0,+g )上的单调性；⑵当a = e , b = 4时，求整数k 的值，使得函数f(x)在区间(k , k + 1)上存在零点解 (1)f ' (x) = a x ln a + 2x — In a = 2x + (a x — 1)ln a.•/a > 1, •••当 x € (0, + g )时，ln a >0 , a x — 1>0 ,1令 h(x)=护—2x ,x + 9y = 0• f' (x)> 0,•函数f(x)在(0 , +g)上单调递增.⑵•/ f(x) = e x+ x2- X—4, ••• f (x) = e x+ 2x—1,••• f' (0) = 0.当x> 0 时，e x> 1, • f' (x) >0,• f(x)是(0, + g)上的增函数.同理，f(x)是(-g, 0)上的减函数•又f(0) =—3v 0, f(1) = e—4v 0, f(2) = e2—2>0, 当x>2 时，f(x)>0,•••当x> 0时，函数f(x)的零点在(1,2)内，•- k= 1满足条件.1 1f(0) = —3V0, f(—1)=——2V 0, f( —2) = -2+ 2>0, e e当x v—2 时，f(x)>0,•••当x v 0时，函数f(x)零点在(一2,—1)内，•- k=—2满足条件.综上所述，k= 1或—2.13. 求下列函数的单调区间.(1) y= In (2x+ 3) + x2;x一1(2) f(x) = aln x+ (a 为常数).x+ 13解(1)函数y= In (2x+ 3) + x2定义域为一§, + g •/y= In (2x+ 3) + x2, , 2 4x2+ 6x+ 2 2 2x+ 1 x+ 1…y = + 2x= =y 2x+ 3 2x+ 3 2x+ 3当y' > 0,即一3v x v —1 或x>—丄时，2 2函数y= In(2x+ 3) + x2单调递增.1当y' v 0,即一1 v x v —时，函数y= In(2x+ 3) + x2单调递减.3 1故函数y = In(2x + 3) + x 2的单调递增区间为一2, — 1 , — ?, 当a >0时，f ' (x)> 0,函数f(x)在(0,+s )上单调递增当 a v 0 时，令 g(x)= ax 2 + (2a + 2)x + a , 由于 △= (2a + 2尸一4a 2= 4(2a + 1),1①当 a =-㊁时，A= 0, g(x )w 0,1② 当 a v -号时,Av 0, g(x)v 0, f ' (x)v 0，函数f(x )在(0 ,+a )上单调递减 1③当一2< a v 0 时，A> 0.设x 1, X 2(X 1< X 2)是函数g(x)的两个零点, Qa 2+ 2a + — 2a + 1 >。

高中数学 §131函数的单调性与导数教案新人教A版选修2-2 教案

§函数的单调性与导数（2课时）教学目标：1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图 3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 3.3-3，导数'0()f x 如图表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数． 3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息：当14x <<时，'()0f x >；当4x >，或1x <时，'()0f x <；当4x =，或1x =时，'()0f x = 试画出函数()y f x =图像的大致形状．解：当14x <<时，'()0f x >，可知()y f x =在此区间内单调递增；当4x >，或1x <时，'()0f x <；可知()y f x =在此区间内单调递减；当4x =，或1x =时，'()0f x =，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数()y f x =图像的大致形状如图3.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x =+；（2）2()23f x x x =-- （3）()sin (0,)f x x x x π=-∈；（4）32()23241f x x x x =+-+解：（1）因为3()3f x x x =+，所以，'22()333(1)0f x x x =+=+>因此，3()3f x x x =+在R 上单调递增，如图3.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x =--，所以， ()'()2221f x x x =-=-当'()0f x >，即1x >时，函数2()23f x x x =--单调递增；当'()0f x <，即1x <时，函数2()23f x x x =--单调递减；函数2()23f x x x =--的图像如图3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x π=-∈，所以，'()cos 10f x x =-< 因此，函数()sin f x x x =-在(0,)π单调递减，如图3.3-5（3）所示．（4）因为32()23241f x x x x =+-+，所以．当'()0f x >，即时，函数2()23f x x x =--；当'()0f x <，即时，函数2()23f x x x =--；函数32()23241f x x x x =+-+的图像如图3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：()()()()()()()()1,2,3,4B A D C →→→→思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一X 围内导数的绝对值较大，那么函数在这个X 围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数()y f x =在()0,b 或(),0a 内的图像“陡峭”，在(),b +∞或(),a -∞内的图像“平缓”．例4．求证：函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．证明：因为()()()'22661262612y x x x x x x =+-=+-=-+当()2,1x ∈-即21x -<<时，'0y <，所以函数3223121y x x x =+-+在区间()2,1-内是减函数．说明：证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性步骤：（1）求导函数()'fx ；（2）判断()'f x 在(),a b 内的符号；（3）做出结论：()'0f x >为增函数，()'0f x <为减函数．例5．已知函数 232()4()3f x x ax x x R =+-∈在区间[]1,1-上是增函数，某某数a 的取值X 围．解：'2()422f x ax x =+-，因为()f x 在区间[]1,1-上是增函数，所以'()0f x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，即220x ax --≤对[]1,1x ∈-恒成立，解之得：11a -≤≤所以实数a 的取值X 围为[]1,1-．说明：已知函数的单调性求参数的取值X 围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．例6．已知函数y =x +x1，试讨论出此函数的单调区间. 解：y ′=(x +x1)′=1－1·x －2=222)1)(1(1xx x x x -+=- 令2)1)(1(x x x -+＞0.解得x ＞1或x ＜－1. ∴y =x +x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令2)1)(1(x x x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1.∴y =x +x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)四．课堂练习1．求下列函数的单调区间 1.f (x )=2x 3－6x 2+7 2.f (x )=x1+2x 3. f (x )=sin x ,x ]2,0[π∈ 4.y=xlnx 2．课本练习五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()y f x =单调区间（3）证明可导函数()f x 在(),a b 内的单调性六．布置作业。

苏教版数学高二- 选修2-2教案 1.3.1《函数的单调性与导数》

1.3.1 函数的单调性与导数教案一、教学目的1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.二、教学重点利用导数判断函数单调性. 三、教学难点利用导数判断函数单调性. 四、教学过程【复习引入】1. 常见函数的导数公式：0'=C ； 1)'(-=n n nx x ； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=x x 1)'(ln =； e xx a a log 1)'(log =； x x e e =)'( ； a a a xx ln )'(= 2.法则1 '''[()()]()()f x g x f x g x ±=±．法则2 [()()]'()()()'()f x g x f x g x f x g x '=+, [()]'()cf x cf x '=法则3 '2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ⎛⎫-=≠⎪⎝⎭【讲解新课】函数单调性：函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时: 1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )，则 f ( x ) 在G 上是减函数.导数与函数的单调性有什么关系？【问题探究】1. 函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342+-=x x y 的图像可以看到：在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x 的增大而增大，即/y >0时，函数y=f(x) 在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小，即/y <0时，函数y=f(x) 在区间（－∞，2）内为减函数.定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数【构建数学】一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，f(x 1)<f(x 2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.即x 1-x 2与f(x 1)-f(x 2)同号，即：1212()()00f x f x yx x x-∆>>-∆也即:增函数时有1212()()00f x f x yx x x -∆>>-∆也即:减函数时有1212()()00f x f x yx x x-∆<<-∆也即结论：一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导，则函数在该区间：如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数.【数学应用】例1 确定函数f(x)=x 2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(x 2－2x+4)′=2x －2. 令2x －2＞0，解得x ＞1.∴当x ∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数. 令2x －2＜0，解得x ＜1.∴当x ∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.例2 确定函数f(x)=2x 3－6x 2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数. 解：f′(x)=(2x 3－6x 2+7)′=6x 2－12x 令6x 2－12x ＞0，解得x ＞2或x ＜0∴当x ∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数. 当x ∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数. 令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2.∴当x ∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数. 例3 证明函数f(x)=x1在(0，+∞)上是减函数. 证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x 1，x 2∈(0，+∞)设x 1＜x 2. f(x 1)－f(x 2)=21122111x x x x x x -=- ∵x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＞0 ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0， ∴2112x x x x -＞0 ∴f(x 1)－f(x 2)＞0，即f(x 1)＞f(x 2) ∴f(x)=x1在(0，+∞)上是减函数. 证法二：(用导数方法证)∵/()f x =(x 1)′=(－1)·x －2=－21x，x ＞0，∴x 2＞0，∴－21x＜0. ∴/()0f x <， ∴f(x)=21x在(0，+∞)上是减函数. 点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.例4 已知函数y=x+x1，试讨论出此函数的单调区间. 解：y′=(x+x1)′ =1－1·x －2=222)1)(1(1x x x x x -+=- 令2)1)(1(xx x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1. ∴y=x+x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令2)1)(1(xx x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴y=x+x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1) 四、课堂练习1．确定下列函数的单调区间 (1)y=x 3－9x 2+24x (2)y=x －x 3(1)解：y′=(x 3－9x 2+24x)′=3x 2－18x+24=3(x －2)(x －4) 令3(x －2)(x －4)＞0，解得x ＞4或x ＜2.∴y=x 3－9x 2+24x 的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x －2)(x －4)＜0，解得2＜x ＜4.∴y=x 3－9x 2+24x 的单调减区间是(2，4) (2)解：y′=(x －x 3)′=1－3x 2=－3(x 2－31)=－3(x+33)(x －33)令－3(x+33)(x －33)＞0，解得－33＜x ＜33. ∴y=x －x 3的单调增区间是(－33，33). 令－3(x+33)(x －33)＜0，解得x ＞33或x ＜－33. ∴y=x －x 3的单调减区间是(－∞，－33)和(33，+∞) 2.讨论二次函数y=ax 2+bx+c(a ＞0)的单调区间. 解：y′=(ax 2+bx+c)′=2ax+b, 令2ax+b ＞0，解得x ＞－ab2 ∴y=ax 2+bx+c(a ＞0)的单调增区间是(－ab2，+∞) 令2ax+b ＜0，解得x ＜－ab 2. ∴y=ax 2+bx+c(a ＞0)的单调减区间是(－∞，－ab 2) 3.求下列函数的单调区间(1)y=x x 2+ (2)y=92-x x(3)y=x +x (1)解：y′=(x x 2+)′=2222x x x x -=--∵当x≠0时，－22x＜0，∴y′＜0. ∴y=xx 2+的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞) (2)解：y′=(92-x x )′222)9(29-⋅--=x x x x 222222)9(9)9(9-+-=---=x x x x 当x≠±3时，－222)9(9-+x x ＜0，∴y′＜0.∴y=92-x x的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞). (3)解：y′=(x +x)′12112121+=+=-xx .当x ＞0时x21+1＞0，∴y′＞0. ∴y=x +x 的单调增区间是(0，+∞)五、小结根据导数确定函数的单调性 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数.3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间；解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.六、课后作业。

人教A版高中数学选修2-2课件高二下学期函数的单调性与导数(1)(2)(理)

例5.(2)求函数f ( (1)函数f ( x)，g( x)在R上可导，且有f ( x) g( x)，证明：当x a时，f ( x) g(a) g( x) f (a).
例6.(2)函数f ( x) ln(1 x),
证明：任取0

x1

x2 ,有
f
( x2 ) x2

f ( x1 ) x1

1.
家庭作业：对应的课时作业
高中数学课件
灿若寒星整理制作
1.3.1函数的单调性与导数
y
y x2
f ( x1 ) 0 x1 O
f ( x2 ) 0
x2
x
当x (a,b), 若f ( x) 0,则f ( x)在(a,b)内单增；若f ( x) 0,则f ( x)在(a,b)内单减.
例1. 考察函数f ( x) x3 3x2 1的单调性，并画出其简图.
练1. 考察下列函数的单调性，并画出简图：
(1) f ( x) x3 3x;
(2) f (x) sin x x, x (0, );
(3) f ( x) ex x.
例2. 完成课本P25的例3.
练2. 完成课本P26的练习2.
例3. 求函数f ( x) 1 的单调区间，并画出简图. x ln x
练3. 讨论函数f ( x) ln(2x 3) x2的单调性，并画出简图
例4.判断对错： (1)当x (a, b), 若f ( x)在(a, b)内单增,则f ( x) 0.
(2)当x (a,b),若f ( x) 0,则f ( x)在(a,b)内单增.
例5.(1)函数f ( x) x3 -ax在[1, )上是增函数，求a的取值范围.

人教版选修2-2第一章函数的单调性与导数2(共20张PPT)教育课件

所以 f( x ) 的单调减区间为（ 2 a ， 0 )
例求1参：数求的参取数值范的围范围若函数f(x) ax3 - x2 x - 5在(-,+)上单调递增，求a的取值范围
a1 3
求参数
已知函数（f x） 2ax
1
，x (0,1],若（f x）在
x2
x (0,1]上是增函数，求a的取值范围.
解：由已知得
f
'(x)
2a
2 x3
因为函数在（0，1]上单调递增
f '(x)>0,即a - 2 在x （0，1]上恒成立
而g(x)
1
x3
在（0，1]上单调递增，
x3
g(x)max g(1)=-1 a〉- 1
已知函数（ f x） 2ax 1 ，x (0,1],若（ f x）在 x2
x (0,1]上是增函数，求a的取值范围.
练习2
已知函数f(x)=2ax - x3，x (0,1],a 0,
若f(x)在（0，1]上是增函数，求a的取值范围。
[
3 2
,)
已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数，求a的取值范围。
；陌陌红包群 / 陌陌红包群；
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '(x)
o 1 2x o 1 2x
o
2x
(A)
(B)
y y f (x)
y y f (x)
2
o1
x o 12
x
(C)
(D)
函数 yxcosxsinx在下面哪个区间内是增函数 (B )

《函数的单调性与导数》人教版高中数学选修2-2PPT课件(第1.3.1课时)

新知探究
例4 如图1.3-6，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，试分别找出与各容器对应的高度h与时间t的函数关系图像.
1 h
2 h
3 h
o A t
o B t
o C t
图1.3 6
4 h
o D t
新知探究
解 1 → B, 2 → A, 3 → D, 4 → C.
（-∞，0）
函数在R上
（-∞，0）
f '(x) 1 0 f '(x) 2x 0 f '(x) 3x2 0 f '(x) x2 0
（0，+∞）
（0，+∞）
f '(x) 2x 0
f '(x) x2 0
新知探究
函数单调性与导数的关系在某个区间（a，b）内， ①如果f’(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增. ②如果f’(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.
当f ' x 0,即
时,函数f x
;
当f ' x 0,即
时,函数f x
.
fx 2x3 3x2 24x 1的图象如图1.3 54所示.
y
f x 2x3 3x2 24 x 1
51
O
x
图1.3 54
新知探究
你能小结求解函数单调区间的步骤吗？（1）确定函数y=f(x)的定义域；（2）求导数f’(x)；（3）解不等式f’(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式f’(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．
A.a 1 3
B.a 1
C.a 0

高中数学选修2-2优质课件：1.3.1 函数的单调性与导数

挑战自我，点点落实重点难点，个个击破当堂训练，体验成功
[知识链接] 以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1＜x2的前提下，比较f(x1)与f(x2)的大小，在函数y＝f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1) 与f(x2)的大小并不很容易.如何利用导数来判断函数的单调性？答根据导数的几何意义，可以用曲线切线的斜率来解释导数与单调性的关系，如果切线的斜率大于零，则其倾斜角是锐角，函数曲线呈上升的状态，即函数单调递增；如果切线的斜率小于零，则其倾斜角是钝角，函数曲线呈下降的状态，即函数单调递减.
1234
象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
1234
解析由导函数的图象可知，当x＜0时，f′(x)＞0，即函数f(x)为增函数；当0＜x＜2时，f′(x)＜0，即f(x)为减函数；当x＞2时，f′(x)＞0，即函数f(x)为增函数.观察选项易知D正确. 答案 D
3.若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，
跟踪演练 1 证明：函数 f(x)＝lnxx在区间(0，e)上是增函数. 证明 ∵f(x)＝lnxx，
∴f′(x)＝x·1x－x2ln
x 1－ln ＝ x2
x .
又0<x<e，
∴ln x<ln e＝1.
1－ln x ∴f′(x)＝ x2 >0，
故f(x)在区间(0，e)上是单调递增函数.
要点二利用导数求函数的单调区间例2 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝2x3＋3x2－36 x＋1；解 f′(x)＝ 6x2＋6x－36，由f′(x)>0得6x2＋6x－36>0，解得x< －3或x>2；由f′(x)＜0解得－3<x<2. 故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3,2).