成都树德中学数学几何模型压轴题单元测试卷附答案

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成都树德中学数学几何模型压轴题单元测试卷附答案

一、初三数学旋转易错题压轴题(难)

1.探究:如图①和②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E、F分别在BC、CD 上,∠EAF=45°.

(1)如图①,若∠B、∠ADC都是直角,把ABE

△绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合,则能得EF=BE+DF,请写出推理过程;

(2)如图②,若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足数量关系时,仍有

EF=BE+DF;

(3)拓展:如图③,在ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=22,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°.若BD=1,求DE的长.

【答案】(1)见解析;(2)∠B+∠D=180°;(3)5 3

【解析】

【分析】

(1)根据已知条件证明△EAF≌△GAF,进而得到EF=FG,即可得到答案;

(2)先作辅助线,把△ABE绕A点旋转到△ADG,使AB和AD重合,根据(1),要使EF=BE+DF,需证明△EAF≌△GAF,因此需证明F、D、G在一条直线上,即

180

ADG ADF

∠+∠=︒,即180

B D

∠+∠=︒;

(3)先作辅助线,把△AEC绕A点旋转到△AFB,使AB和AC重合,连接DF,根据已知条件证明△FAD≌△EAD,设DE=x,则DF=x,BF=CE=3﹣x,然后再Rt BDF中根据勾股定理即可求出x的值,即DE的长.

【详解】

(1)解:如图,

∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合,

∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG,

∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,

∴∠BAE+∠DAF=45°,

∴∠DAG+∠DAF=45°,

即∠EAF=∠GAF=45°,

在△EAF和△GAF中

AF AF

EAF GAF

AE AG

=

∠=∠

⎪=

∴△EAF≌△GAF(SAS),

∴EF=GF,

∵BE=DG,

∴EF=GF=BE+DF;

(2)解:∠B+∠D=180°,

理由是:

如图,把△ABE绕A点旋转到△ADG,使AB和AD重合,则AE=AG,∠B=∠ADG,∠BAE=∠DAG,

∵∠B+∠ADC=180°,

∴∠ADC+∠ADG=180°,

∴F、D、G在一条直线上,

和(1)类似,∠EAF=∠GAF=45°,

在△EAF和△GAF中

AF AF

EAF GAF

AE AG

=

∠=∠

⎪=

∴△EAF≌△GAF(SAS),

∴EF=GF,

∵BE=DG,

∴EF=GF=BE+DF;

故答案为:∠B+∠D=180°;

(3)解:∵△ABC中,2BAC=90°,

∴∠ABC=∠C=45°,由勾股定理得:22

AB AC

+,

如图,把△AEC 绕A 点旋转到△AFB ,使AB 和AC 重合,连接DF .

则AF=AE ,∠FBA=∠C=45°,∠BAF=∠CAE ,

∵∠DAE=45°,

∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC ﹣∠DAE=90°﹣45°=45°,

∴∠FAD=∠DAE=45°,

在△FAD 和△EAD 中

AD AD FAD EAD AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△FAD ≌△EAD ,

∴DF=DE ,

设DE=x ,则DF=x ,

∵BD=1,

∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x ,

∵∠FBA=45°,∠ABC=45°,

∴∠FBD=90°,

由勾股定理得:222DF BF BD =+,

22(3)1x x =-+, 解得:x=

53, 即DE=53

. 【点睛】

本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识,解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形.

2.已知:如图①,在矩形ABCD 中,3,4,AB AD AE BD ==⊥,垂足是E .点F 是点E 关于AB 的对称点,连接AF 、BF .

(1)求AF 和BE 的长;

(2)若将ABF 沿着射线BD 方向平移,设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度).当点F 分别平移到线段AB AD 、上时,直接写出相应的m 的值. (3)如图②,将ABF 绕点B 顺时针旋转一个角1(080)a a ︒<<︒,记旋转中ABF 为''A BF ,在旋转过程中,设''A F 所在的直线与直线AD 交于点P ,与直线BD 交于点Q .是否存在这样的P Q 、两点,使DPQ 为等腰三角形?若存在,求出此时DQ 的长;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)129,55AF BF =

=;(2)95

m =或165m =;(3)存在4组符合条件的点P 、点Q ,使DPQ 为等腰三角形; DQ 的长度分别为2或25891055或35105

【解析】

【分析】

(1)利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解; (2)依题意画出图形,如图①-1所示.利用平移性质,确定图形中的等腰三角形,分别求出m 的值;

(3)在旋转过程中,等腰△DPQ 有4种情形,分别画出图形,对于各种情形分别进行计算即可.

【详解】

(1)∵四边形ABCD 是矩形,

∴∠BAD=90°,

在Rt △ABD 中,AB=3,AD=4,

由勾股定理得:2222345AB AD +=+=, ∵S △ABD 12=

BD•AE=12AB•AD , ∴AE=AB AD 3412BD 55

⋅⨯==, ∵点F 是点E 关于AB 的对称点, ∴AF=AE 125=

,BF=BE , ∵AE ⊥BD ,

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