成都树德中学数学几何模型压轴题单元测试卷附答案
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成都树德中学数学几何模型压轴题单元测试卷附答案
一、初三数学旋转易错题压轴题(难)
1.探究:如图①和②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,点E、F分别在BC、CD 上,∠EAF=45°.
(1)如图①,若∠B、∠ADC都是直角,把ABE
△绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合,则能得EF=BE+DF,请写出推理过程;
(2)如图②,若∠B、∠D都不是直角,则当∠B与∠D满足数量关系时,仍有
EF=BE+DF;
(3)拓展:如图③,在ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=22,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°.若BD=1,求DE的长.
【答案】(1)见解析;(2)∠B+∠D=180°;(3)5 3
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件证明△EAF≌△GAF,进而得到EF=FG,即可得到答案;
(2)先作辅助线,把△ABE绕A点旋转到△ADG,使AB和AD重合,根据(1),要使EF=BE+DF,需证明△EAF≌△GAF,因此需证明F、D、G在一条直线上,即
180
ADG ADF
∠+∠=︒,即180
B D
∠+∠=︒;
(3)先作辅助线,把△AEC绕A点旋转到△AFB,使AB和AC重合,连接DF,根据已知条件证明△FAD≌△EAD,设DE=x,则DF=x,BF=CE=3﹣x,然后再Rt BDF中根据勾股定理即可求出x的值,即DE的长.
【详解】
(1)解:如图,
∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合,
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG,
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠DAG+∠DAF=45°,
即∠EAF=∠GAF=45°,
在△EAF和△GAF中
AF AF
EAF GAF
AE AG
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△EAF≌△GAF(SAS),
∴EF=GF,
∵BE=DG,
∴EF=GF=BE+DF;
(2)解:∠B+∠D=180°,
理由是:
如图,把△ABE绕A点旋转到△ADG,使AB和AD重合,则AE=AG,∠B=∠ADG,∠BAE=∠DAG,
∵∠B+∠ADC=180°,
∴∠ADC+∠ADG=180°,
∴F、D、G在一条直线上,
和(1)类似,∠EAF=∠GAF=45°,
在△EAF和△GAF中
AF AF
EAF GAF
AE AG
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△EAF≌△GAF(SAS),
∴EF=GF,
∵BE=DG,
∴EF=GF=BE+DF;
故答案为:∠B+∠D=180°;
(3)解:∵△ABC中,2BAC=90°,
∴∠ABC=∠C=45°,由勾股定理得:22
AB AC
+,
如图,把△AEC 绕A 点旋转到△AFB ,使AB 和AC 重合,连接DF .
则AF=AE ,∠FBA=∠C=45°,∠BAF=∠CAE ,
∵∠DAE=45°,
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC ﹣∠DAE=90°﹣45°=45°,
∴∠FAD=∠DAE=45°,
在△FAD 和△EAD 中
AD AD FAD EAD AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△FAD ≌△EAD ,
∴DF=DE ,
设DE=x ,则DF=x ,
∵BD=1,
∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x ,
∵∠FBA=45°,∠ABC=45°,
∴∠FBD=90°,
由勾股定理得:222DF BF BD =+,
22(3)1x x =-+, 解得:x=
53, 即DE=53
. 【点睛】
本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识,解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形.
2.已知:如图①,在矩形ABCD 中,3,4,AB AD AE BD ==⊥,垂足是E .点F 是点E 关于AB 的对称点,连接AF 、BF .
(1)求AF 和BE 的长;
(2)若将ABF 沿着射线BD 方向平移,设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度).当点F 分别平移到线段AB AD 、上时,直接写出相应的m 的值. (3)如图②,将ABF 绕点B 顺时针旋转一个角1(080)a a ︒<<︒,记旋转中ABF 为''A BF ,在旋转过程中,设''A F 所在的直线与直线AD 交于点P ,与直线BD 交于点Q .是否存在这样的P Q 、两点,使DPQ 为等腰三角形?若存在,求出此时DQ 的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)129,55AF BF =
=;(2)95
m =或165m =;(3)存在4组符合条件的点P 、点Q ,使DPQ 为等腰三角形; DQ 的长度分别为2或25891055或35105
【解析】
【分析】
(1)利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解; (2)依题意画出图形,如图①-1所示.利用平移性质,确定图形中的等腰三角形,分别求出m 的值;
(3)在旋转过程中,等腰△DPQ 有4种情形,分别画出图形,对于各种情形分别进行计算即可.
【详解】
(1)∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠BAD=90°,
在Rt △ABD 中,AB=3,AD=4,
由勾股定理得:2222345AB AD +=+=, ∵S △ABD 12=
BD•AE=12AB•AD , ∴AE=AB AD 3412BD 55
⋅⨯==, ∵点F 是点E 关于AB 的对称点, ∴AF=AE 125=
,BF=BE , ∵AE ⊥BD ,