成都树德中学数学几何模型压轴题单元测试卷附答案

成都树德中学数学几何模型压轴题单元测试卷附答案

一、初三数学旋转易错题压轴题（难）

1．探究：如图①和②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在BC、CD 上，∠EAF=45°．

（1）如图①，若∠B、∠ADC都是直角，把ABE

△绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，则能得EF=BE+DF，请写出推理过程；

（2）如图②，若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足数量关系时，仍有

EF=BE+DF；

（3）拓展：如图③，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE的长．

【答案】（1）见解析；（2）∠B+∠D=180°；（3）5 3

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件证明△EAF≌△GAF，进而得到EF=FG，即可得到答案；

（2）先作辅助线，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，根据（1），要使EF=BE+DF，需证明△EAF≌△GAF，因此需证明F、D、G在一条直线上，即

180

ADG ADF

∠+∠=︒，即180

B D

∠+∠=︒；

（3）先作辅助线，把△AEC绕A点旋转到△AFB，使AB和AC重合，连接DF，根据已知条件证明△FAD≌△EAD，设DE=x，则DF=x，BF=CE=3﹣x，然后再Rt BDF中根据勾股定理即可求出x的值，即DE的长．

【详解】

（1）解：如图，

∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合，

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠DAG+∠DAF=45°，

即∠EAF=∠GAF=45°，

在△EAF和△GAF中

AF AF

EAF GAF

AE AG

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF=GF，

∵BE=DG，

∴EF=GF=BE+DF；

（2）解：∠B+∠D=180°，

理由是：

如图，把△ABE绕A点旋转到△ADG，使AB和AD重合，则AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，

∵∠B+∠ADC=180°，

∴∠ADC+∠ADG=180°，

∴F、D、G在一条直线上，

和（1）类似，∠EAF=∠GAF=45°，

在△EAF和△GAF中

AF AF

EAF GAF

AE AG

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴△EAF≌△GAF（SAS），

∴EF=GF，

∵BE=DG，

∴EF=GF=BE+DF；

故答案为：∠B+∠D=180°；

（3）解：∵△ABC中，2BAC=90°，

∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：22

AB AC

+，

如图，把△AEC 绕A 点旋转到△AFB ，使AB 和AC 重合，连接DF ．

则AF=AE ，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE ，

∵∠DAE=45°，

∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC ﹣∠DAE=90°﹣45°=45°，

∴∠FAD=∠DAE=45°，

在△FAD 和△EAD 中

AD AD FAD EAD AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

∴△FAD ≌△EAD ，

∴DF=DE ，

设DE=x ，则DF=x ，

∵BD=1，

∴BF=CE=4﹣1﹣x=3﹣x ，

∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，

∴∠FBD=90°，

由勾股定理得：222DF BF BD =+，

22(3)1x x =-+， 解得：x=

53， 即DE=53

． 【点睛】

本题综合考查三角形的性质和判定、正方形的性质应用、全等三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题关键在于正确做出辅助线得出全等三角形．

2．已知：如图①，在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AE BD ==⊥，垂足是E .点F 是点E 关于AB 的对称点，连接AF 、BF ．

（1）求AF 和BE 的长；

（2）若将ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度)．当点F 分别平移到线段AB AD 、上时，直接写出相应的m 的值． （3）如图②，将ABF 绕点B 顺时针旋转一个角1(080)a a ︒<<︒，记旋转中ABF 为''A BF ，在旋转过程中，设''A F 所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ．是否存在这样的P Q 、两点，使DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）129,55AF BF =

=；（2）95

m =或165m =；（3）存在4组符合条件的点P 、点Q ，使DPQ 为等腰三角形； DQ 的长度分别为2或25891055或35105

【解析】

【分析】

（1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解； （2）依题意画出图形，如图①-1所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m 的值；

（3）在旋转过程中，等腰△DPQ 有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可．

【详解】

（1）∵四边形ABCD 是矩形，

∴∠BAD=90°，

在Rt △ABD 中，AB=3，AD=4，

由勾股定理得：2222345AB AD +=+=， ∵S △ABD 12=

BD•AE=12AB•AD ， ∴AE=AB AD 3412BD 55

⋅⨯==， ∵点F 是点E 关于AB 的对称点， ∴AF=AE 125=

，BF=BE ， ∵AE ⊥BD ，