2018年秋九年级数学上册 第2章 对称图形—圆总结提升试题 (新版)苏科版

第2章对称图形—圆本章总结提升问题1 圆的基本性质垂直于弦的直径有什么性质？在同圆或等圆中，两个圆心角以及它们所对的弧、弦有什么关系？这些关系和圆的对称性有什么联系？同弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？圆的内接四边形有什么性质？例1 2017·西宁如图2－T－1，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD ＝120°，则∠DCE＝________°．图2－T－1例2 如图2－T－2，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是________(填序号)．图2－T－2[全品导学号：16052091]【归纳总结】圆中的性质：圆的对称性；圆心角、弧、弦之间的关系；垂径定理；圆内接四边形的性质等．在利用圆的性质解题时，经常会涉及直角三角形、勾股定理、等腰三角形等知识．问题2 切线的性质与判定圆的切线有哪些性质？如何判定一条直线是圆的切线？例3 2017·河南如图2－T－3，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD.(1)求证：BD＝BF；(2)若AB＝10，CD＝4，求BC的长．图2－T－3【归纳总结】圆的切线的性质：(1)与圆只有一个公共点；(2)圆心到这条直线的距离等于圆的半径；(3)垂直于经过切点的半径．例4 如图2－T－4，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP＝CB.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为5，OP＝1，求BC的长．[全品导学号：16052092]图2－T－4【归纳总结】圆的切线的判定方法有：(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ①若已知直线与圆有公共点，则证明经过这点与圆心的半径垂直于这条直线；②若未明确指出直线与圆是否有公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长度等于半径．(2)定义：直线与圆有唯一公共点，则直线是圆的切线． 问题3 正多边形与圆正多边形和圆有什么关系？你能用直尺和圆规作出一个三角形的外接圆和内切圆吗？ 例5 2016·秦淮区月考如图2－T －5，⊙O 是正方形ABCD 与正六边形AEFCGH 的外接圆． (1)正方形ABCD 与正六边形AEFCGH 的边长之比为________．(2)连接BE ，BE 是否为⊙O 的内接正n 边形的一边？如果是，求出n 的值；如果不是，请说明理由．图2－T －5例6 如图2－T －6，P 是⊙O 上的一点．(1)在⊙O 上求作一点B ，使PB 是⊙O 的内接正三角形的一边； (2)在BP ︵上求作一点A ，使PA 是⊙O 的内接正方形的一边； (3)求作⊙O 的内接正十二边形．图2－T －6【归纳总结】正多边形的画法：(1)要作正n 边形，只要把一个圆n 等分，然后顺次连接各等分点即可．(2)用量角器等分圆：先用量角器画一个等于360°n的圆心角，这个角所对的弧就是圆周长的1n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n 等分点，从而作出正n 边形．(3)尺规作图法等分圆：对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺作出图形．如正方形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形等．问题4 与扇形的弧长和面积有关的计算怎样由圆的周长和面积公式得到弧长公式和扇形面积公式？例7 如图2－T －7，阴影部分是两个半径为1的扇形．若α＝120°，β＝60°，则大扇形与小扇形的面积之差为( )图2－T －7A.π3B.π6C.5π3D.5π6[全品导学号：16052094] 例8 如图2－T －8，有一长为4 cm 、宽为3 cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向)，木板上的顶点A 的位置变化为A →A 1→A 2，其中第二次翻滚被桌面上的一小木块挡住，使木板边沿A 2C 与桌面成30°角，求点A 翻滚到A 2位置走过的路径长．[全品导学号：16052095]图2－T －8问题5 圆中的数形结合思想点和圆有怎样的位置关系？直线和圆呢？你能举出这些位置关系的一些实例吗？你能用哪些方法刻画这些位置关系？例9 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3 cm ，AC ＝4 cm ，以点C 为圆心，2.5 cm 为半径画圆，则⊙C 与直线AB 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定【归纳总结】对点与圆、直线与圆位置关系的研究，反映了圆的位置关系与相应的数量关系之间的内在联系：由圆的位置关系决定数量关系，由数量关系判定圆的位置关系，体现了数形结合思想．问题6 圆中的转化思想在圆的计算中，常常遇到求一个不规则图形的面积问题，你是怎么处理的？例10 2017·贵阳如图2－T－9，C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连接AD，AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F.(1)求∠AFE的度数；(2)求阴影部分的面积(结果保留π和根号)．图2－T－9【归纳总结】在有关圆的面积计算问题中：如果是规则图形，那么按规则图形的面积公式去求；如果是不规则图形，那么需采用“转化”的数学思想方法，把不规则图形采用“割补法”“等积变形法”“平移法”“旋转法”等转化为规则图形，再求面积．“滚动”中的数学数学来源于生活，滚动处处可见．在千姿百态的滚动中，如果我们稍加留神，将会发现很多有趣的数学问题就在我们身边．1．沿直线滚动例1 如图2－T－10所示，一枚直径为d的硬币沿着一条直线l滚动一圈，圆心经过的距离是多少？图2－T－10解：圆心经过的距离是πd.例2 如图2－T－11所示，边长为a的正方形四边贴着直线l向右“图2－T－11滚动”，当正方形“滚动”一周时，正方形的中心O经过的路程是多少？正方形的顶点A经过的路程又是多少？解：(1)如图2－T －12所示，当正方形四边贴着直线l “滚动”一周时，正方形的中心O 所经过的路程为14· 2a π·4＝2a π.图2－T －12(2)如图2－T －13所示，当正方形ABCD 四边贴着直线l “滚动”一周时，顶点A 所经过的路程为14·2 2a π＋2·14·2a π＝（2＋2）a π2.图2－T －13例3 如图2－T －14，边长为b 的等边三角形ABC 的三边贴着直线l 向右“滚动”一周，等边三角形ABC 的中心O 经过的路程是多少？等边三角形ABC 的顶点A 经过的路程又是多少？图2－T －14解：(1)如图2－T －15所示，当等边三角形ABC 的三边贴着直线l “滚动”一周时，三角形的中心O 所经过的路程为13·2 33b π·3＝2 33πb .图2－T －15(2)如图2－T －16所示，当等边三角形ABC 的三边贴着直线l “滚动”一周时，它的顶点A 所经过的路程为120πb 180·2＝43πb .图2－T －162．沿圆周滚动例4 如图2－T －17所示，已知两圆，其中大圆半径是小圆半径的5倍，将大圆固定，小圆在大圆外面贴着大圆边缘滚动一周，那么小圆自身旋转了几圈？若小圆在大圆内部贴着大圆边缘无滑动地滚动一周，则小圆自身旋转了几圈？图2－T －17解：(1)如图2－T －18所示，设小圆半径为R ，则大圆半径为5R .当小圆在大圆外贴着大圆边缘滚动，自身旋转一周时，小圆圆心相对于大圆圆心的张角的度数为n °，则2πR ＝n π·6R180，n ＝60.又因为360÷60＝6.所以当小圆在大圆外贴着大圆滚动一周时，小圆自身旋转了6圈．图2－T －18图2－T －19(2)如图2－T －19所示，设小圆自转一周时，小圆圆心转过的角度为m °，则 2πR ＝m π·4R180，m ＝90，360÷90＝4.所以当小圆在大圆内贴着大圆滚动一周时，小圆自身旋转了4圈． 3．沿正方形滚动例5 已知半径为1的⊙O 与边长为10的正方形ABCD ，当⊙O 在正方形ABCD 的内部沿四边无滑动地滚动一周时，⊙O 经过的面积是多少？当⊙O 在正方形ABCD 的外部沿四边滚动时，⊙O 经过的面积又是多少？解：(1)当⊙O 在正方形ABCD 内沿四边滚动一周时，⊙O 所经过的面积为S ＝102－(10－4)2－4⎝⎛⎭⎪⎫1－π4＝60＋π.(2)当⊙O 在正方形ABCD 外沿四边滚动一周时，⊙O 所经过的面积为S ′＝(10＋4)2－102－4⎝⎛⎭⎪⎫22－14·22π＝80＋4π.4．沿正多边形滚动例6 如图2－T －20所示，平面内一个正五边形与一个正方形的边长正好相等，在它们相接的地方形成一个完整的“苹果”图案，如果让正方形沿着正五边形的四周滚动，并且始终保持正方形和正五边形有两条边邻接，那么第一次恢复“苹果”的图案时，正方形要绕正五边形转________圈( )图2－T －20A ．10B ．5C ．4D ．上述答案均不正确[解析] C 由正方形有4条边，根据旋转的性质，可得当正方形要绕正五边形转4圈时，第一次恢复“苹果”的图案．详解详析【整合提升】 例1 [答案] 60[解析] ∵∠BOD＝120°，∴∠BAD ＝60°.又∵∠BAD＋∠BCD＝180°，∠DCE ＋∠BCD＝180°，∴∠DCE ＝∠BAD＝60°.例2 [解析] ①③④⑤①∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°， ∴AD ⊥BD.②∠AOC ≠∠AEC. ③∵OC ∥BD ，∴∠OCB ＝∠DBC. ∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC，∴∠OBC ＝∠DBC，∴BC 平分∠ABD.④∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°， ∴AD⊥BD.∵OC∥BD，∴∠AFO ＝90°. ∵点O 为圆心，∴AF ＝DF.⑤由④，有AF ＝DF.∵O 为AB 的中点， ∴OF 是△ABD 的中位线，∴BD ＝2OF. ⑥∵△CEF 和△BED 中没有相等的边， ∴不能判定△CEF 与△BED 全等． 故答案为①③④⑤.例3 解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BDA ＝90°，∴BD ⊥AC ，∠BDC ＝90°. ∵BF 切⊙O 于点B ，∴AB ⊥BF.∵CF ∥AB ，∴CF ⊥BF ，∠FCB ＝∠ABC. 又∵AB＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC， ∴∠ACB ＝∠FCB.在△BCD 和△BCF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC＝∠BFC＝90°，∠DCB ＝∠FCB，BC ＝BC ，∴△BCD ≌△BCF ，∴BD ＝BF.(2)∵AB＝10，AB ＝AC ，∴AC ＝10. ∵CD ＝4，∴AD ＝10－4＝6.在Rt △ADB 中，由勾股定理，得BD ＝102－62＝8.在Rt △BDC 中，由勾股定理，得BC ＝82＋42＝4 5.例4 解：(1)证明：如图，连接OB.∵OP ⊥OA ，∴∠OAP ＋∠OPA＝90°. ∵CP ＝CB ，∴∠CPB ＝∠CBP. 又∵∠OPA＝∠CPB，∴∠OPA ＝∠CBP.∵OA＝OB ，∴∠OAP ＝∠OBP，∴∠OBP ＋∠CBP＝90°，即∠OBC＝90°， ∴OB ⊥BC.又∵OB 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线．(2)设CP ＝CB ＝x ，在Rt △OBC 中，(5)2＋x 2＝(x ＋1)2，∴x ＝2，∴BC ＝2. 例5 解：(1)设此圆的半径为R ，则它的内接正方形的边长为2R ，内接正六边形的边长为R ，∴内接正方形和内接正六边形的边长比为2R∶R＝2∶1.故答案为2∶1. (2)BE 是⊙O 的内接正十二边形的一边．理由：如图，连接OA ，OB ，OE.在正方形ABCD 中，∠AOB ＝90°，在正六边形AEFCGH 中，∠AOE ＝60°，∴∠BOE ＝30°.∵n ＝360°30°＝12，∴BE 是⊙O 的内接正十二边形的一边．例6 解：(1)如图①，以P 为圆心，OP 长为半径在⊙O 上依次截取两条弧，第二条弧与⊙O 的交点为B ，连接PB ，则PB 即为所求．(2)如图①，作直径PH ，过圆心O 作直径PH 的垂线与BP ︵交于点A ，则PA 即为所求．(3)如图②，以P 为圆心，OP 长为半径在⊙O 上依次截取6条弧得6个点，则这6个点是圆的六等分点，作各弧的中点，顺次连接12个点，得到⊙O 的内接正十二边形．例7 [解析] B（360－60）π×12360－（360－120）π×12360＝π6，故选B .例8 [解析] 将点A 翻滚到A 2位置的路径长分成两部分：第一部分是以点B 为旋转中心，BA 长为半径旋转90°，第二部分是以点C 为旋转中心，3 cm 长为半径旋转60°，根据弧长的公式计算即可．解：设从点A 翻滚到A 1位置的路径为L 1，L 1是以点B 为旋转中心，BA 长为半径旋转90°形成的．∵长方形的长为4 cm ，宽为3 cm ，∴BA 的长为5 cm .11∴路径长L 1＝90π×5180＝2.5π(cm )． 设从点A 1翻滚到A 2位置的路径为L 2，L 2是以点C 为旋转中心，3 cm 长为半径旋转60°形成的，∴路径长L 2＝60π×3180＝π(cm )， ∴总路径长＝L 1＋L 2＝3.5π(cm )．例9 [解析] A 过点C 作CD⊥AB 于点D ，如图所示．∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5 cm .∵△ABC 的面积＝12AC·BC＝12AB·CD，∴3×4＝5CD ， ∴CD ＝2.4 cm ＜2.5 cm ，即d ＜r ，∴以2.5 cm 为半径的⊙C 与直线AB 的位置关系是相交．故选A .例10 解：(1)如图，连接OD ，OC. ∵C ，D 是半圆O 上的三等分点，∴∠AOD ＝∠COB＝13×180°＝60°，∴∠CAB ＝12∠COB ＝30°.∵DE ⊥AB ，∴∠AFE ＝90°－30°＝60°.(2)S 阴影＝S 扇形OAD －S △AOD ＝60π·22360－34×22＝23π－ 3.。