2016年浙江省高考数学试卷(文科)(同名12541)
2016年高考文科数学浙江卷-答案
【解析】
{2,4,6}U
P =){2,4,6}{1,2,4}{1,2,4,6}(U P Q ==【提示】先求出
U
P ,再得出()U P Q
【考点】集合运算. 交于直线l ,
n
d h,可
211
n n n n
S S S S
+++
=
--,则数列{}
n
S为等差数列,故选A.
体积为28
=cm;所以几何体的表面积为64242280
+-⨯=cm,体积为32840
+=cm
定理求出D F '的最小值即可得出.
||||||||
a e
b e
a e
b e e e +=
+,其几何意义为a 在e 上的投影的绝对值与b 在e 上投影的绝对值的和,当e 与a b +共线时,取得最大值.∴22max (||||)||||||27a e b e a b a b a b +=+=++=.
||||a e b e +为a 在e 上的投影的绝对值与b 在e 上投影的绝对值的和,e 与a b +共线时,||||a e b e +取得最大值,即||a b +
【考点】平面向量的数量积运算. 三、解答题
⊥.所以BF⊥平面ACFD.为等边三角形,且F为CK的中点,则BF CK
+∞.
,0)(2,)
)利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程,进一步求得的方程,与抛物线联立,求出
三点共线,可求出M。
浙江省高考数学试卷 文科
2016年浙江省高考数学试卷(文科)一、选择题1.(5分)(2016?浙江)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,P)∪Q=()5},Q={1,2,4},则(?UA.{1} B.{3,5} C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5}2.(5分)(2016?浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n3.(5分)(2016?浙江)函数y=sinx2的图象是()A.B.C.D.4.(5分)(2016?浙江)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A .B .C .D .5.(5分)(2016?浙江)已知a ,b >0且a≠1,b≠1,若log a b >1,则( ) A .(a ﹣1)(b ﹣1)<0 B .(a ﹣1)(a ﹣b )>0 C .(b ﹣1)(b ﹣a )<0 D .(b ﹣1)(b ﹣a )>06.(5分)(2016?浙江)已知函数f (x )=x 2+bx ,则“b<0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件7.(5分)(2016?浙江)已知函数f (x )满足:f (x )≥|x|且f (x )≥2x ,x∈R.( )A .若f (a )≤|b|,则a≤bB .若f (a )≤2b ,则a≤bC .若f (a )≥|b|,则a≥bD .若f (a )≥2b ,则a≥b8.(5分)(2016?浙江)如图,点列{A n }、{B n }分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n ≠A n+1,n∈N *,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n ≠B n+1,n∈N *,(P≠Q 表示点P 与Q 不重合)若d n =|A n B n |,S n 为△A n B n B n+1的面积,则( )A.{Sn }是等差数列B.{Sn2}是等差数列C.{dn }是等差数列D.{dn2}是等差数列二、填空题9.(6分)(2016?浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.10.(6分)(2016?浙江)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.11.(6分)(2016?浙江)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= .12.(6分)(2016?浙江)设函数f (x )=x 3+3x 2+1,已知a≠0,且f (x )﹣f (a )=(x ﹣b )(x ﹣a )2,x∈R,则实数a= ,b= .13.(4分)(2016?浙江)设双曲线x 2﹣=1的左、右焦点分别为F 1、F 2,若点P 在双曲线上,且△F 1PF 2为锐角三角形,则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是 .14.(4分)(2016?浙江)如图,已知平面四边形ABCD ,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD′,直线AC 与BD′所成角的余弦的最大值是 .15.(4分)(2016?浙江)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是 .三、解答题16.(14分)(2016?浙江)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知b+c=2acosB . (1)证明:A=2B ;(2)若cosB=,求cosC的值.17.(15分)(2016?浙江)设数列{an }的前n项和为Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.(Ⅰ)求通项公式an;(Ⅱ)求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和.18.(15分)(2016?浙江)如图,在三棱台ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.19.(15分)(2016?浙江)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1,(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.20.(15分)(2016?浙江)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1],证明:(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2(Ⅱ)<f(x)≤.2016年浙江省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题1.(5分)(2016?浙江)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,P)∪Q=()5},Q={1,2,4},则(?UA.{1} B.{3,5} C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5}【考点】交、并、补集的混合运算.P={2,4,6},【解答】解:?UP)∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}={1,2,4,6}.(?U故选C.【点评】本题考查了集合的运算,属于基础题.2.(5分)(2016?浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n【考点】直线与平面垂直的判定.【解答】解:∵互相垂直的平面α,β交于直线l,直线m,n满足m∥α,∴m∥β或m?β或m⊥β,l?β,∵n⊥β,∴n⊥l.故选:C.【点评】本题考查两直线关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.3.(5分)(2016?浙江)函数y=sinx2的图象是()A.B.C.D.【考点】函数的图象.【解答】解:∵sin(﹣x)2=sinx2,∴函数y=sinx2是偶函数,即函数的图象关于y轴对称,排除A,C;由y=sinx2=0,则x2=kπ,k≥0,则x=±,k≥0,故函数有无穷多个零点,排除B,故选:D【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键.比较基础.4.(5分)(2016?浙江)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.B. C.D.【考点】简单线性规划.【解答】解:作出平面区域如图所示:∴当直线y=x+b分别经过A,B时,平行线间的距离相等.联立方程组,解得A(2,1),联立方程组,解得B(1,2).两条平行线分别为y=x﹣1,y=x+1,即x﹣y﹣1=0,x﹣y+1=0.∴平行线间的距离为d==,故选:B.【点评】本题考查了平面区域的作法,距离公式的应用,属于基础题.5.(5分)(2016?浙江)已知a,b>0且a≠1,b≠1,若logb>1,则()aA.(a﹣1)(b﹣1)<0 B.(a﹣1)(a﹣b)>0 C.(b﹣1)(b﹣a)<0 D.(b﹣1)(b﹣a)>0【考点】不等关系与不等式.【解答】解:若a >1,则由log a b >1得log a b >log a a ,即b >a >1,此时b ﹣a >0,b >1,即(b ﹣1)(b ﹣a )>0,若0<a <1,则由log a b >1得log a b >log a a ,即b <a <1,此时b ﹣a <0,b <1,即(b ﹣1)(b ﹣a )>0, 综上(b ﹣1)(b ﹣a )>0, 故选:D .【点评】本题主要考查不等式的应用,根据对数函数的性质,利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键.比较基础.6.(5分)(2016?浙江)已知函数f (x )=x 2+bx ,则“b<0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【解答】解:f (x )的对称轴为x=﹣,f min (x )=﹣.(1)若b<0,则﹣>﹣,∴当f(x)=﹣时,f(f(x))取得最小值f(﹣)=﹣,即f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等.∴“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分条件.(2)若f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等,(x)≤﹣,即﹣≤﹣,解得b≤0或b≥2.则fmin∴“b<0”不是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的必要条件.故选A.【点评】本题考查了二次函数的性质,简易逻辑关系的推导,属于基础题.7.(5分)(2016?浙江)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b【考点】函数恒成立问题.【解答】解:A.若f(a)≤|b|,则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|,即|a|≤|b|,则a≤b 不一定成立,故A 错误, B .若f (a )≤2b, 则由条件知f (x )≥2x ,即f (a )≥2a ,则2a ≤f(a )≤2b , 则a≤b,故B 正确,C .若f (a )≥|b|,则由条件f (x )≥|x|得f (a )≥|a|,则|a|≥|b|不一定成立,故C 错误,D .若f (a )≥2b ,则由条件f (x )≥2x ,得f (a )≥2a ,则2a ≥2b ,不一定成立,即a≥b 不一定成立,故D 错误, 故选:B【点评】本题主要考查不等式的判断和证明,根据条件,结合不等式的性质是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.8.(5分)(2016?浙江)如图,点列{A n }、{B n }分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n ≠A n+1,n∈N *,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n ≠B n+1,n∈N *,(P≠Q 表示点P 与Q 不重合)若d n =|A n B n |,S n 为△A n B n B n+1的面积,则( )A .{S n }是等差数列B .{S n 2}是等差数列C .{d n }是等差数列D .{d n 2}是等差数列 【考点】数列与函数的综合.【解答】解:设锐角的顶点为O ,|OA 1|=a ,|OB 1|=b , |A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b ,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d , 由于a ,b 不确定,则{d n }不一定是等差数列, {d n 2}不一定是等差数列,设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n ,由三角形的相似可得==,==,两式相加可得,==2,即有h n +h n+2=2h n+1,由S n =d?h n ,可得S n +S n+2=2S n+1,即为S n+2﹣S n+1=S n+1﹣S n , 则数列{S n }为等差数列. 故选:A .【点评】本题考查等差数列的判断,注意运用三角形的相似和等差数列的性质,考查化简整理的推理能力,属于中档题.二、填空题9.(6分)(2016?浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的表面积是 80 cm 2,体积是 40 cm 3.【考点】由三视图求面积、体积.【解答】解:根据几何体的三视图,得;该几何体是下部为长方体,其长和宽都为4,高为2,表面积为2×4×4+2×42=64cm2,体积为2×42=32cm3;上部为正方体,其棱长为2,表面积是6×22=24 cm2,体积为23=8cm3;所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2,体积为32+8=40cm3.故答案为:80;40.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题,也考查了空间想象和计算能力,是基础题.10.(6分)(2016?浙江)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是(﹣2,﹣4),半径是 5 .【考点】圆的一般方程.【解答】解:∵方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,∴a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2.当a=﹣1时,方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,所得圆的圆心坐标为(﹣2,﹣4),半径为5;当a=2时,方程化为,此时,方程不表示圆,故答案为:(﹣2,﹣4),5.【点评】本题考查圆的一般方程,考查圆的一般方程化标准方程,是基础题.11.(6分)(2016?浙江)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= 1 .【考点】两角和与差的正弦函数.【解答】解:∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+(cos2x+sin2x)+1=sin(2x+)+1,∴A=,b=1,故答案为:;1.【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用,熟练掌握公式是解题的关键.12.(6分)(2016?浙江)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,x∈R,则实数a= ﹣2 ,b= 1 .【考点】函数与方程的综合运用.【解答】解:∵f(x)=x3+3x2+1,∴f(x)﹣f(a)=x3+3x2+1﹣(a3+3a2+1)=x3+3x2﹣(a3+3a2)∵(x﹣b)(x﹣a)2=(x﹣b)(x2﹣2ax+a2)=x3﹣(2a+b)x2+(a2+2ab)x ﹣a2b,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,∴,解得或(舍去),故答案为:﹣2;1.【点评】本题考查函数与方程的应用,考查化简能力和方程思想,属于中档题.13.(4分)(2016?浙江)设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.【考点】双曲线的简单性质.【解答】解:如图,由双曲线x2﹣=1,得a2=1,b2=3,∴.不妨以P在双曲线右支为例,当PF2⊥x轴时,把x=2代入x2﹣=1,得y=±3,即|PF2|=3,此时|PF1|=|PF2|+2=5,则|PF1|+|PF2|=8;由PF1⊥PF2,得,又|PF1|﹣|PF2|=2,①两边平方得:,∴|PF1||PF2|=6,②联立①②解得:,此时|PF1|+|PF2|=.∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是().故答案为:().【点评】本题考查双曲线的简单性质,考查双曲线定义的应用,考查数学转化思想方法,是中档题.14.(4分)(2016?浙江)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是.【考点】异面直线及其所成的角.【解答】解:如图所示,取AC的中点O,∵AB=BC=3,∴BO⊥AC,在Rt△ACD′中,=.作D′E⊥AC,垂足为E,D′E==.CO=,CE===,∴EO=CO﹣CE=.过点B作BF∥BO,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC与BD′所成的角.则四边形BOEF为矩形,∴BF=EO=.EF=BO==.则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.则D′F2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥,cosθ=1时取等号.∴D′B的最小值==2.∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===.故答案为:.【点评】本题考查了空间位置关系、空间角,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于难题.15.(4分)(2016?浙江)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是.【考点】平面向量数量积的运算.【解答】解:||+||=,其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,当与共线时,取得最大值.∴=.故答案为:.【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量在向量方向上的投影的概念,考查学生正确理解问题的能力,是中档题.三、解答题16.(14分)(2016?浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=,求cosC的值.【考点】正弦定理.【解答】(1)证明:∵b+c=2acosB,∴sinB+sinC=2sinAcosB,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),∴0<A﹣B<π,∴B=A﹣B,或B=π﹣(A﹣B),化为A=2B,或A=π(舍去).∴A=2B.(II)解:cosB=,∴sinB==.cosA=cos2B=2cos2B﹣1=,sinA==.∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=.【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.17.(15分)(2016?浙江)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 2=4,a n+1=2S n +1,n∈N *.(Ⅰ)求通项公式a n ;(Ⅱ)求数列{|a n ﹣n ﹣2|}的前n 项和. 【考点】数列递推式.【解答】解:(Ⅰ)∵S 2=4,a n+1=2S n +1,n∈N *. ∴a 1+a 2=4,a 2=2S 1+1=2a 1+1, 解得a 1=1,a 2=3,当n≥2时,a n+1=2S n +1,a n =2S n ﹣1+1, 两式相减得a n+1﹣a n =2(S n ﹣S n ﹣1)=2a n , 即a n+1=3a n ,当n=1时,a 1=1,a 2=3, 满足a n+1=3a n ,∴=3,则数列{a n }是公比q=3的等比数列,则通项公式a n =3n ﹣1.(Ⅱ)a n ﹣n ﹣2=3n ﹣1﹣n ﹣2,设b n =|a n ﹣n ﹣2|=|3n ﹣1﹣n ﹣2|, 则b 1=|30﹣1﹣2|=2,b 2=|3﹣2﹣2|=1, 当n≥3时,3n ﹣1﹣n ﹣2>0,则b n =|a n ﹣n ﹣2|=3n ﹣1﹣n ﹣2,此时数列{|a n ﹣n ﹣2|}的前n 项和T n =3+﹣=,则T n ==.【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算,根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{a n }是等比数列是解决本题的关键.求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和.18.(15分)(2016?浙江)如图,在三棱台ABC ﹣DEF 中,平面BCFE⊥平面ABC ,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定.【解答】解:(Ⅰ)证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示:∵平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC;∴AC⊥平面BCK,BF?平面BCK;∴BF⊥AC;又EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2;∴△BCK为等边三角形,且F为CK的中点;∴BF⊥CK,且AC∩CK=C;∴BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)∵BF⊥平面ACFD;∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角;∵F为CK中点,且DF∥AC;∴DF为△ACK的中位线,且AC=3;∴;又;∴在Rt△BFD中,,cos;即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为.【点评】考查三角形中位线的性质,等边三角形的中线也是高线,面面垂直的性质定理,以及线面垂直的判定定理,线面角的定义及求法,直角三角形边的关系,三角函数的定义.19.(15分)(2016?浙江)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1,(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.【考点】直线与椭圆的位置关系;抛物线的简单性质.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离,由抛物线定义得,,即p=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设(t2,2t),t≠0,t≠±1,∵AF不垂直y轴,∴设直线AF:x=sy+1(s≠0),联立,得y2﹣4sy﹣4=0.y 1y2=﹣4,∴B(),又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为,从而得FN:,直线BN:y=﹣,则N(),设M(m,0),由A、M、N三点共线,得,于是m==,得m<0或m>2.经检验,m<0或m>2满足题意.∴点M的横坐标的取值范围为(﹣∞,0)∪(2,+∞).【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查数学转化思想方法,属中档题.20.(15分)(2016?浙江)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1],证明:(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2(Ⅱ)<f(x)≤.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用.【解答】解:(Ⅰ)证明:因为f(x)=x3+,x∈[0,1],且1﹣x+x2﹣x3==,所以≤,所以1﹣x+x2﹣x3≤,即f(x)≥1﹣x+x2;(Ⅱ)证明:因为0≤x≤1,所以x3≤x,所以f(x)=x3+≤x+=x+﹣+=+≤;由(Ⅰ)得,f(x)≥1﹣x+x2=+≥,且f()=+=>,所以f(x)>;综上,<f(x)≤.【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值,分段函数等基础知识,也考查了推理与论证,分析问题与解决问题的能力,是综合性题目.参与本试卷答题和审题的老师有:zhczcb;zlzhan;maths;双曲线;742048;sxs123;gongjy;沂蒙松(排名不分先后)菁优网2016年6月18日。
2016年浙江省高考数学试卷及答案(文科)
绝密★考试结束前2016年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(文科)本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共5页,选择题部分1至3页,非选择题部分4至5页。
满分150分,考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分(共50分)注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
参考公式 台体的体积公式121()3V h S S =其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积,h 表示台体的高 柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径如果事件,A B 互斥 ,那么()()()P A B P A P B +=+一、选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目求的).1.已知全集{}12,3456U =,,,,,集合{}13,5P =,,{}124Q =,,,则()U P Q =U ð( ).A.{}1B.{}3,5C.{}1,2,4,6 D.{}1,2,3,4,52.已知互相垂直的平面α,β交于直线l .若直线m ,n 满足//m α,n β⊥,则( ). A. //m lB. //m nC. n l ⊥D. m n ⊥3.函数2sin y x =的图像是( ).A. B. C. D.4.若平面区域30230230x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩…„… 夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是().5.已知a ,0b >,且1a ≠,1b ≠,若log >1a b ,则( ). A.()()110a b --< B. ()()10a a b --> C.()()10b b a --<D. ()()10b b a -->6.已知函数()2f x x bx =+,则“0b <”是“()()f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.已知函数()f x 满足:()f x x …且()2,xf x x ∈R …. A.若()f a b „,则a b „ B.若()2bf a „,则a b „ C.若()f a b …,则a b … D.若()2b f a …,则a b … 8.如图所示,点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上,且*1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ,*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N (P Q ≠表示点P 与Q 不重合) .若n n n d A B =,n S 为1n n n A B B +△的面积,则( ).A .{}n S 是等差数列 B.{}2n S 是等差数列 C.{}n d 是等差数列 D.{}2n d 是等差数列二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.) 9. 某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的表面积是______2cm , 体积是______3cm.10. 已知a ∈R ,方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆,则圆心坐标是_____, 半径是______.11. 已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>,则A =________,b =________. 12.买《全归纳》即赠完整word 版高考真题设函数()3231f x x x =++.已知0a ≠,且()()()()2–––f x f a x b x a =,x ∈R ,则实数a =_____,b =______.13.设双曲线22–13y x =的左、右焦点分别为1F ,2F .若点P 在双曲线上,且12F PF △为锐角三角形,则12PF PF +的取值范围是_______.14.如图所示,已知平面四边形ABCD ,3AB BC ==,1CD =,AD =90ADC ∠=︒.沿直线AC 将ACD △翻折成ACD '△,直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是______.俯视图D 'ABCD •••n+115.已知平面向量a ,b ,1=a ,2=b ,·1=a b .若e 为平面单位向量,则··+a e b e 的最大值是______. 三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.(本题满分14分)在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知2cos b c a B +=. (1)证明:2A B =; (2)若2cos 3B =,求cosC 的值.17.(本题满分15分)设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知24S =,121n n a S +=+,*n ∈N . (1)求通项公式n a ;(2)求数列{}2n a n --的前n 项和.18.(本题满分15分)如图所示,在三棱台ABC DEF -中,平面BCFE ⊥平面ABC ,90ACB ∠=︒,1BE EF FC ===,2BC =,3AC =.(1)求证:BF ⊥平面ACFD ;(2)求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.FEBCDA19.(本题满分15分)如图所示,设抛物线()220y px p =>的焦点为F ,抛物线上的点A 到y 轴的距离等于1AF -. (1)求p 的值;(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ,过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ,AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.NF M BAx yO20. (本题满分15分)设函数()311f x x x=++,[]0,1x ∈.证明: (1)()21f x x x -+…; (2)。
2016年浙江省高考数学试卷(文科)
2016年浙江省高考数学试卷(文科)一、选择题1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁U P)∪Q=()A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}2.(5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n3.(5分)函数y=sinx2的图象是()A.B.C.D.4.(5分)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.B.C.D.5.(5分)已知a,b>0且a≠1,b≠1,若log a b>1,则()A.(a﹣1)(b﹣1)<0 B.(a﹣1)(a﹣b)>0 C.(b﹣1)(b﹣a)<0 D.(b ﹣1)(b﹣a)>06.(5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.(5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b8.(5分)如图,点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+1,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+1,n∈N*,(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则()A.{S n}是等差数列B.{S n2}是等差数列C.{d n}是等差数列 D.{d n2}是等差数列二、填空题9.(6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.10.(6分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.11.(6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.12.(6分)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x ﹣a)2,x∈R,则实数a=,b=.13.(4分)设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.14.(4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是.15.(4分)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是.三、解答题16.(14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=,求cosC的值.17.(15分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.(Ⅰ)求通项公式a n;(Ⅱ)求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和.18.(15分)如图,在三棱台ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.19.(15分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y 轴的距离等于|AF|﹣1,(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.20.(15分)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1],证明:(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2(Ⅱ)<f(x)≤.2016年浙江省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁U P)∪Q=()A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}【分析】先求出∁U P,再得出(∁U P)∪Q.【解答】解:∁U P={2,4,6},(∁U P)∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}={1,2,4,6}.故选:C.【点评】本题考查了集合的运算,属于基础题.2.(5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n【分析】由已知条件推导出l⊂β,再由n⊥β,推导出n⊥l.【解答】解:∵互相垂直的平面α,β交于直线l,直线m,n满足m∥α,∴m∥β或m⊂β或m与β相交,l⊂β,∵n⊥β,∴n⊥l.故选:C.【点评】本题考查两直线关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.3.(5分)函数y=sinx2的图象是()A.B.C.D.【分析】根据函数奇偶性的性质,以及函数零点的个数进行判断排除即可.【解答】解:∵sin(﹣x)2=sinx2,∴函数y=sinx2是偶函数,即函数的图象关于y轴对称,排除A,C;由y=sinx2=0,则x2=kπ,k≥0,则x=±,k≥0,故函数有无穷多个零点,排除B,故选:D.【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键.比较基础.4.(5分)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.B.C.D.【分析】作出平面区域,找出距离最近的平行线的位置,求出直线方程,再计算距离.【解答】解:作出平面区域如图所示:∴当直线y=x+b分别经过A,B时,平行线间的距离相等.联立方程组,解得A(2,1),联立方程组,解得B(1,2).两条平行线分别为y=x﹣1,y=x+1,即x﹣y﹣1=0,x﹣y+1=0.∴平行线间的距离为d==,故选:B.【点评】本题考查了平面区域的作法,距离公式的应用,属于基础题.5.(5分)已知a,b>0且a≠1,b≠1,若log a b>1,则()A.(a﹣1)(b﹣1)<0 B.(a﹣1)(a﹣b)>0 C.(b﹣1)(b﹣a)<0 D.(b ﹣1)(b﹣a)>0【分析】根据对数的运算性质,结合a>1或0<a<1进行判断即可.【解答】解:若a>1,则由log a b>1得log a b>log a a,即b>a>1,此时b﹣a>0,b>1,即(b﹣1)(b﹣a)>0,若0<a<1,则由log a b>1得log a b>log a a,即b<a<1,此时b﹣a<0,b<1,即(b﹣1)(b﹣a)>0,综上(b﹣1)(b﹣a)>0,故选:D.【点评】本题主要考查不等式的应用,根据对数函数的性质,利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键.比较基础.6.(5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】求出f(x)的最小值及极小值点,分别把“b<0”和“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”当做条件,看能否推出另一结论即可判断.【解答】解:f(x)的对称轴为x=﹣,f min(x)=﹣.(1)若b<0,则﹣>﹣,∴当f(x)=﹣时,f(f(x))取得最小值f(﹣)=﹣,即f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等.∴“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分条件.(2)设f(x)=t,则f(f(x))=f(t),∴f(t)在(﹣,﹣)上单调递减,在(﹣,+∞)上单调递增,若f(f(x))=f(t)的最小值与f(x)的最小值相等,则﹣≤﹣,解得b≤0或b≥2.∴“b<0”不是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的必要条件.故选:A.【点评】本题考查了二次函数的性质,简易逻辑关系的推导,属于基础题.7.(5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b【分析】根据不等式的性质,分别进行递推判断即可.【解答】解:A.若f(a)≤|b|,则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|,即|a|≤|b|,则a≤b不一定成立,故A错误,B.若f(a)≤2b,则由条件知f(x)≥2x,即f(a)≥2a,则2a≤f(a)≤2b,则a≤b,故B正确,C.若f(a)≥|b|,则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|,则|a|≥|b|不一定成立,故C错误,D.若f(a)≥2b,则由条件f(x)≥2x,得f(a)≥2a,则2a≥2b,不一定成立,即a≥b不一定成立,故D错误,故选:B.【点评】本题主要考查不等式的判断和证明,根据条件,结合不等式的性质是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.8.(5分)如图,点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+1,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+1,n∈N*,(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则()A.{S n}是等差数列B.{S n2}是等差数列C.{d n}是等差数列 D.{d n2}是等差数列【分析】设锐角的顶点为O,再设|OA1|=a,|OB1|=c,|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d,由于a,c不确定,判断C,D不正确,设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n,运用三角形相似知识,h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n,可得S n+S n+2=2S n+1,进而得到数列{S n}为等差数列.【解答】解:设锐角的顶点为O,|OA1|=a,|OB1|=c,|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d,由于a,c不确定,则{d n}不一定是等差数列,{d n2}不一定是等差数列,设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n,由三角形的相似可得==,==,两式相加可得,==2,即有h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n,可得S n+S n+2=2S n+1,即为S n+2﹣S n+1=S n+1﹣S n,则数列{S n}为等差数列.另解:可设△A1B1B2,△A2B2B3,…,A n B n B n+1为直角三角形,且A1B1,A2B2,…,A n B n为直角边,即有h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n,可得S n+S n+2=2S n+1,即为S n+2﹣S n+1=S n+1﹣S n,则数列{S n}为等差数列.故选:A.【点评】本题考查等差数列的判断,注意运用三角形的相似和等差数列的性质,考查化简整理的推理能力,属于中档题.二、填空题9.(6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是80 cm2,体积是40cm3.【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体下部为长方体,上部为正方体的组合体,结合图中数据求出它的表面积和体积即可.【解答】解:根据几何体的三视图,得;该几何体是下部为长方体,其长和宽都为4,高为2,表面积为2×4×4+2×42=64cm2,体积为2×42=32cm3;上部为正方体,其棱长为2,表面积是6×22=24 cm2,体积为23=8cm3;所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2,体积为32+8=40cm3.故答案为:80;40.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题,也考查了空间想象和计算能力,是基础题.10.(6分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是(﹣2,﹣4),半径是5.【分析】由已知可得a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2,把a=﹣1代入原方程,配方求得圆心坐标和半径,把a=2代入原方程,由D2+E2﹣4F<0说明方程不表示圆,则答案可求.【解答】解:∵方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,∴a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2.当a=﹣1时,方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,所得圆的圆心坐标为(﹣2,﹣4),半径为5;当a=2时,方程化为,此时,方程不表示圆,故答案为:(﹣2,﹣4),5.【点评】本题考查圆的一般方程,考查圆的一般方程化标准方程,是基础题.11.(6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=1.【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边,即可得到答案.【解答】解:∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+(cos2x+sin2x)=sin(2x+)+1,∴A=,b=1,故答案为:;1.【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用,熟练掌握公式是解题的关键.12.(6分)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x ﹣a)2,x∈R,则实数a=﹣2,b=1.【分析】根据函数解析式化简f(x)﹣f(a),再化简(x﹣b)(x﹣a)2,根据等式两边对应项的系数相等列出方程组,求出a、b的值.【解答】解:∵f(x)=x3+3x2+1,∴f(x)﹣f(a)=x3+3x2+1﹣(a3+3a2+1)=x3+3x2﹣(a3+3a2)∵(x﹣b)(x﹣a)2=(x﹣b)(x2﹣2ax+a2)=x3﹣(2a+b)x2+(a2+2ab)x﹣a2b,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,∴,解得或(舍去),故答案为:﹣2;1.【点评】本题考查函数与方程的应用,考查化简能力和方程思想,属于中档题.13.(4分)设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.【分析】由题意画出图形,以P在双曲线右支为例,求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值,可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围.【解答】解:如图,由双曲线x2﹣=1,得a2=1,b2=3,∴.不妨以P在双曲线右支为例,当PF2⊥x轴时,把x=2代入x2﹣=1,得y=±3,即|PF2|=3,此时|PF1|=|PF2|+2=5,则|PF1|+|PF2|=8;由PF1⊥PF2,得,又|PF1|﹣|PF2|=2,①两边平方得:,∴|PF1||PF2|=6,②联立①②解得:,此时|PF1|+|PF2|=.∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是().故答案为:().【点评】本题考查双曲线的简单性质,考查双曲线定义的应用,考查数学转化思想方法,是中档题.14.(4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是.【分析】如图所示,取AC的中点O,AB=BC=3,可得BO⊥AC,在Rt△ACD′中,AC=.作D′E⊥AC,垂足为E,D′E=.CO=,CE==,EO=CO﹣CE=.过点B作BF∥AC,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC与BD′所成的角.则四边形BOEF为矩形,BF=EO=.EF=BO=.则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.利用余弦定理求出D′F2的最小值即可得出.【解答】解:如图所示,取AC的中点O,∵AB=BC=3,∴BO⊥AC,在Rt△ACD′中,=.作D′E⊥AC,垂足为E,D′E==.CO=,CE===,∴EO=CO﹣CE=.过点B作BF∥AC,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC与BD′所成的角.则四边形BOEF为矩形,∴BF=EO=.EF=BO==.则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.则D′F2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥,cosθ=1时取等号.∴D′B的最小值==2.∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===.也可以考虑利用向量法求解.故答案为:.【点评】本题考查了空间位置关系、空间角,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于难题.15.(4分)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是.【分析】由题意可知,||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,由此可知,当与共线时,||+||取得最大值,即.【解答】解:||+||=,其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,当与共线时,取得最大值.∴=.故答案为:.【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量在向量方向上的投影的概念,考查学生正确理解问题的能力,是中档题.三、解答题16.(14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=,求cosC的值.【分析】(1)由b+c=2acosB,利用正弦定理可得:sinB+sinC=2sinAcosB,而sinC=sin (A+B)=sinAcosB+cosAsinB,代入化简可得:sinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),可得0<A﹣B<π,即可证明.(II)cosB=,可得sinB=.cosA=cos2B=2cos2B﹣1,sinA=.利用cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB即可得出.【解答】(1)证明:∵b+c=2acosB,∴sinB+sinC=2sinAcosB,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),∴0<A﹣B<π,∴B=A﹣B,或B=π﹣(A﹣B),化为A=2B,或A=π(舍去).∴A=2B.(II)解:cosB=,∴sinB==.cosA=cos2B=2cos2B﹣1=,sinA==.∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=.【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.17.(15分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.(Ⅰ)求通项公式a n;(Ⅱ)求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和.【分析】(Ⅰ)根据条件建立方程组关系,求出首项,利用数列的递推关系证明数列{a n}是公比q=3的等比数列,即可求通项公式a n;(Ⅱ)讨论n的取值,利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和.【解答】解:(Ⅰ)∵S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.∴a1+a2=4,a2=2S1+1=2a1+1,解得a1=1,a2=3,=2S n+1,a n=2S n﹣1+1,当n≥2时,a n+1两式相减得a n﹣a n=2(S n﹣S n﹣1)=2a n,+1即a n=3a n,当n=1时,a1=1,a2=3,+1=3a n,满足a n+1∴=3,则数列{a n}是公比q=3的等比数列,则通项公式a n=3n﹣1.(Ⅱ)a n﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2,设b n=|a n﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|,则b1=|30﹣1﹣2|=2,b2=|3﹣2﹣2|=1,当n≥3时,3n﹣1﹣n﹣2>0,则b n=|a n﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2,此时数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和T n=3+﹣=,则T n==.【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算,根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{a n}是等比数列是解决本题的关键.求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和.18.(15分)如图,在三棱台ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.【分析】(Ⅰ)根据三棱台的定义,可知分别延长AD,BE,CF,会交于一点,并设该点为K,并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK,进而得出BF⊥AC.而根据条件可以判断出点E,F分别为边BK,CK的中点,从而得出△BCK为等边三角形,进而得出BF⊥CK,从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF为直线BD和平面ACFD所成的角,根据条件可以求出BF=,DF=,从而在Rt△BDF中可以求出BD的值,从而得出cos∠BDF的值,即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值.【解答】解:(Ⅰ)证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示:∵平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC;∴AC⊥平面BCK,BF⊂平面BCK;∴BF⊥AC;又EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2;∴△BCK为等边三角形,且F为CK的中点;∴BF⊥CK,且AC∩CK=C;∴BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)∵BF⊥平面ACFD;∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角;∵F为CK中点,且DF∥AC;∴DF为△ACK的中位线,且AC=3;∴;又;∴在Rt△BFD中,,cos;即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为【点评】考查三角形中位线的性质,等边三角形的中线也是高线,面面垂直的性质定理,以及线面垂直的判定定理,线面角的定义及求法,直角三角形边的关系,三角函数的定义.19.(15分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y 轴的距离等于|AF|﹣1,(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.【分析】(Ⅰ)利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程,进一步求得p值;(Ⅱ)设出直线AF的方程,与抛物线联立,求出B的坐标,求出直线AB,FN 的斜率,从而求出直线BN的方程,根据A、M、N三点共线,可求出M的横坐标的表达式,从而求出m的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离,由抛物线定义得,,即p=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设(t2,2t),t≠0,t≠±1,∵AF不垂直y轴,∴设直线AF:x=sy+1(s≠0),联立,得y2﹣4sy﹣4=0.y1y2=﹣4,∴B(),又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为,从而得FN:,直线BN:y=﹣,则N(),设M(m,0),由A、M、N三点共线,得,于是m==,得m<0或m>2.经检验,m<0或m>2满足题意.∴点M的横坐标的取值范围为(﹣∞,0)∪(2,+∞).【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查数学转化思想方法,属中档题.20.(15分)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1],证明:(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2(Ⅱ)<f(x)≤.【分析】(Ⅰ)根据题意,1﹣x+x2﹣x3=,利用放缩法得≤,即可证明结论成立;(Ⅱ)利用0≤x≤1时x3≤x,证明f(x)≤,再利用配方法证明f(x)≥,结合函数的最小值得出f(x)>,即证结论成立.【解答】解:(Ⅰ)证明:因为f(x)=x3+,x∈[0,1],且1﹣x+x2﹣x3==,所以≤,所以1﹣x+x2﹣x3≤,即f(x)≥1﹣x+x2;(Ⅱ)证明:因为0≤x≤1,所以x3≤x,所以f(x)=x3+≤x+=x+﹣+=+≤;由(Ⅰ)得,f(x)≥1﹣x+x2=+≥,且f()=+=>,所以f(x)>;综上,<f(x)≤.【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值,分段函数等基础知识,也考查了推理与论证,分析问题与解决问题的能力,是综合性题目.。
浙江省高考数学试卷(文科)
2016年浙江省高考数学试卷(文科)一、选择题1.(5分)(2016•浙江)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁U P)∪Q=()A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5}2.(5分)(2016•浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n ⊥β,则()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n3.(5分)(2016•浙江)函数y=sinx2的图象是()A.B.C.D.4.(5分)(2016•浙江)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.B.C.D.5.(5分)(2016•浙江)已知a,b>0且a≠1,b≠1,若log a b>1,则()A.(a﹣1)(b﹣1)<0 B.(a﹣1)(a﹣b)>0 C.(b﹣1)(b﹣a)<0 D.(b﹣1)(b﹣a)>06.(5分)(2016•浙江)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.(5分)(2016•浙江)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b8.(5分)(2016•浙江)如图,点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+1,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+1,n∈N*,(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则()A.{S n}是等差数列B.{S n2}是等差数列C.{d n}是等差数列D.{d n2}是等差数列二、填空题9.(6分)(2016•浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.10.(6分)(2016•浙江)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.11.(6分)(2016•浙江)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.12.(6分)(2016•浙江)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,x∈R,则实数a=,b=.13.(4分)(2016•浙江)设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.14.(4分)(2016•浙江)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是.15.(4分)(2016•浙江)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是.三、解答题16.(14分)(2016•浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=,求cosC的值.17.(15分)(2016•浙江)设数列{a n}的前n项和为S n,已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.(Ⅰ)求通项公式a n;(Ⅱ)求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和.18.(15分)(2016•浙江)如图,在三棱台ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.19.(15分)(2016•浙江)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1,(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.20.(15分)(2016•浙江)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1],证明:(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2(Ⅱ)<f(x)≤.2016年浙江省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题1.(5分)(2016•浙江)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁U P)∪Q=()A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5}【分析】先求出∁U P,再得出(∁U P)∪Q.【解答】解:∁U P={2,4,6},(∁U P)∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}={1,2,4,6}.故选C.【点评】本题考查了集合的运算,属于基础题.2.(5分)(2016•浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n ⊥β,则()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n【分析】由已知条件推导出l⊂β,再由n⊥β,推导出n⊥l.【解答】解:∵互相垂直的平面α,β交于直线l,直线m,n满足m∥α,∴m∥β或m⊂β或m⊥β,l⊂β,∵n⊥β,∴n⊥l.故选:C.【点评】本题考查两直线关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.3.(5分)(2016•浙江)函数y=sinx2的图象是()A.B.C.D.【分析】根据函数奇偶性的性质,以及函数零点的个数进行判断排除即可.【解答】解:∵sin(﹣x)2=sinx2,∴函数y=sinx2是偶函数,即函数的图象关于y轴对称,排除A,C;由y=sinx2=0,则x2=kπ,k≥0,则x=±,k≥0,故函数有无穷多个零点,排除B,故选:D【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键.比较基础.4.(5分)(2016•浙江)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.B.C.D.【分析】作出平面区域,找出距离最近的平行线的位置,求出直线方程,再计算距离.【解答】解:作出平面区域如图所示:∴当直线y=x+b分别经过A,B时,平行线间的距离相等.联立方程组,解得A(2,1),联立方程组,解得B(1,2).两条平行线分别为y=x﹣1,y=x+1,即x﹣y﹣1=0,x﹣y+1=0.∴平行线间的距离为d==,故选:B.【点评】本题考查了平面区域的作法,距离公式的应用,属于基础题.5.(5分)(2016•浙江)已知a,b>0且a≠1,b≠1,若log a b>1,则()A.(a﹣1)(b﹣1)<0 B.(a﹣1)(a﹣b)>0 C.(b﹣1)(b﹣a)<0 D.(b﹣1)(b﹣a)>0【分析】根据对数的运算性质,结合a>1或0<a<1进行判断即可.【解答】解:若a>1,则由log a b>1得log a b>log a a,即b>a>1,此时b﹣a>0,b>1,即(b﹣1)(b﹣a)>0,若0<a<1,则由log a b>1得log a b>log a a,即b<a<1,此时b﹣a<0,b<1,即(b﹣1)(b﹣a)>0,综上(b﹣1)(b﹣a)>0,故选:D.【点评】本题主要考查不等式的应用,根据对数函数的性质,利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键.比较基础.6.(5分)(2016•浙江)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【分析】求出f(x)的最小值及极小值点,分别把“b<0”和“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”当做条件,看能否推出另一结论即可判断.【解答】解:f(x)的对称轴为x=﹣,f min(x)=﹣.(1)若b<0,则﹣>﹣,∴当f(x)=﹣时,f(f(x))取得最小值f(﹣)=﹣,即f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等.∴“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分条件.(2)若f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等,则f min(x)≤﹣,即﹣≤﹣,解得b≤0或b≥2.∴“b<0”不是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的必要条件.故选A.【点评】本题考查了二次函数的性质,简易逻辑关系的推导,属于基础题.7.(5分)(2016•浙江)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b【分析】根据不等式的性质,分别进行递推判断即可.【解答】解:A.若f(a)≤|b|,则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|,即|a|≤|b|,则a≤b不一定成立,故A错误,B.若f(a)≤2b,则由条件知f(x)≥2x,即f(a)≥2a,则2a≤f(a)≤2b,则a≤b,故B正确,C.若f(a)≥|b|,则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|,则|a|≥|b|不一定成立,故C 错误,D.若f(a)≥2b,则由条件f(x)≥2x,得f(a)≥2a,则2a≥2b,不一定成立,即a≥b 不一定成立,故D错误,故选:B【点评】本题主要考查不等式的判断和证明,根据条件,结合不等式的性质是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.8.(5分)(2016•浙江)如图,点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+1,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+1,n∈N*,(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则()A.{S n}是等差数列B.{S n2}是等差数列C.{d n}是等差数列D.{d n2}是等差数列【分析】设锐角的顶点为O,再设|OA1|=a,|OB1|=c,|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d,由于a,c不确定,判断C,D不正确,设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n,运用三角形相似知识,h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n,可得S n+S n+2=2S n+1,进而得到数列{S n}为等差数列.【解答】解:设锐角的顶点为O,|OA1|=a,|OB1|=c,|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d,由于a,c不确定,则{d n}不一定是等差数列,{d n2}不一定是等差数列,设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n,由三角形的相似可得==,==,两式相加可得,==2,即有h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n,可得S n+S n+2=2S n+1,即为S n+2﹣S n+1=S n+1﹣S n,则数列{S n}为等差数列.故选:A.【点评】本题考查等差数列的判断,注意运用三角形的相似和等差数列的性质,考查化简整理的推理能力,属于中档题.二、填空题9.(6分)(2016•浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是80cm2,体积是40cm3.【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体下部为长方体,上部为正方体的组合体,结合图中数据求出它的表面积和体积即可.【解答】解:根据几何体的三视图,得;该几何体是下部为长方体,其长和宽都为4,高为2,表面积为2×4×4+2×42=64cm2,体积为2×42=32cm3;上部为正方体,其棱长为2,表面积是6×22=24 cm2,体积为23=8cm3;所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2,体积为32+8=40cm3.故答案为:80;40.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题,也考查了空间想象和计算能力,是基础题.10.(6分)(2016•浙江)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是(﹣2,﹣4),半径是5.【分析】由已知可得a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2,把a=﹣1代入原方程,配方求得圆心坐标和半径,把a=2代入原方程,由D2+E2﹣4F<0说明方程不表示圆,则答案可求.【解答】解:∵方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,∴a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2.当a=﹣1时,方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,所得圆的圆心坐标为(﹣2,﹣4),半径为5;当a=2时,方程化为,此时,方程不表示圆,故答案为:(﹣2,﹣4),5.【点评】本题考查圆的一般方程,考查圆的一般方程化标准方程,是基础题.11.(6分)(2016•浙江)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b= 1.【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边,即可得到答案.【解答】解:∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+(cos2x+sin2x)+1=sin(2x+)+1,∴A=,b=1,故答案为:;1.【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用,熟练掌握公式是解题的关键.12.(6分)(2016•浙江)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,x∈R,则实数a=﹣2,b=1.【分析】根据函数解析式化简f(x)﹣f(a),再化简(x﹣b)(x﹣a)2,根据等式两边对应项的系数相等列出方程组,求出a、b的值.【解答】解:∵f(x)=x3+3x2+1,∴f(x)﹣f(a)=x3+3x2+1﹣(a3+3a2+1)=x3+3x2﹣(a3+3a2)∵(x﹣b)(x﹣a)2=(x﹣b)(x2﹣2ax+a2)=x3﹣(2a+b)x2+(a2+2ab)x﹣a2b,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,∴,解得或(舍去),故答案为:﹣2;1.【点评】本题考查函数与方程的应用,考查化简能力和方程思想,属于中档题.13.(4分)(2016•浙江)设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.【分析】由题意画出图形,以P在双曲线右支为例,求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值,可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围.【解答】解:如图,由双曲线x2﹣=1,得a2=1,b2=3,∴.不妨以P在双曲线右支为例,当PF2⊥x轴时,把x=2代入x2﹣=1,得y=±3,即|PF2|=3,此时|PF1|=|PF2|+2=5,则|PF1|+|PF2|=8;由PF1⊥PF2,得,又|PF1|﹣|PF2|=2,①两边平方得:,∴|PF1||PF2|=6,②联立①②解得:,此时|PF1|+|PF2|=.∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是().故答案为:().【点评】本题考查双曲线的简单性质,考查双曲线定义的应用,考查数学转化思想方法,是中档题.14.(4分)(2016•浙江)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是.【分析】如图所示,取AC的中点O,AB=BC=3,可得BO⊥AC,在Rt△ACD′中,AC=.作D′E⊥AC,垂足为E,D′E=.CO=,CE==,EO=CO﹣CE=.过点B 作BF∥AC,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC与BD′所成的角.则四边形BOEF为矩形,BF=EO=.EF=BO=.则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.利用余弦定理求出D′F2的最小值即可得出.【解答】解:如图所示,取AC的中点O,∵AB=BC=3,∴BO⊥AC,在Rt△ACD′中,=.作D′E⊥AC,垂足为E,D′E==.CO=,CE===,∴EO=CO﹣CE=.过点B作BF∥AC,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC 与BD′所成的角.则四边形BOEF为矩形,∴BF=EO=.EF=BO==.则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.则D′F2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥,cosθ=1时取等号.∴D′B的最小值==2.∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===.故答案为:.【点评】本题考查了空间位置关系、空间角,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于难题.15.(4分)(2016•浙江)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是.【分析】由题意可知,||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,由此可知,当与共线时,||+||取得最大值,即.【解答】解:||+||=,其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,当与共线时,取得最大值.∴=.故答案为:.【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量在向量方向上的投影的概念,考查学生正确理解问题的能力,是中档题.三、解答题16.(14分)(2016•浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=,求cosC的值.【分析】(1)由b+c=2acosB,利用正弦定理可得:sinB+sinC=2sinAcosB,而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,代入化简可得:sinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),可得0<A ﹣B<π,即可证明.(II)cosB=,可得sinB=.cosA=cos2B=2cos2B﹣1,sinA=.利用cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB即可得出.【解答】(1)证明:∵b+c=2acosB,∴sinB+sinC=2sinAcosB,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),∴0<A﹣B<π,∴B=A﹣B,或B=π﹣(A﹣B),化为A=2B,或A=π(舍去).∴A=2B.(II)解:cosB=,∴sinB==.cosA=cos2B=2cos2B﹣1=,sinA==.∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=.【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.17.(15分)(2016•浙江)设数列{a n}的前n项和为S n,已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.(Ⅰ)求通项公式a n;(Ⅱ)求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和.【分析】(Ⅰ)根据条件建立方程组关系,求出首项,利用数列的递推关系证明数列{a n}是公比q=3的等比数列,即可求通项公式a n;(Ⅱ)讨论n的取值,利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和.【解答】解:(Ⅰ)∵S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.∴a1+a2=4,a2=2S1+1=2a1+1,解得a1=1,a2=3,当n≥2时,a n+1=2S n+1,a n=2S n﹣1+1,两式相减得a n+1﹣a n=2(S n﹣S n﹣1)=2a n,即a n+1=3a n,当n=1时,a1=1,a2=3,满足a n+1=3a n,∴=3,则数列{a n}是公比q=3的等比数列,则通项公式a n=3n﹣1.(Ⅱ)a n﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2,设b n=|a n﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|,则b1=|30﹣1﹣2|=2,b2=|3﹣2﹣2|=1,当n≥3时,3n﹣1﹣n﹣2>0,则b n=|a n﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2,此时数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和T n=3+﹣=,则T n==.【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算,根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{a n}是等比数列是解决本题的关键.求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和.18.(15分)(2016•浙江)如图,在三棱台ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.【分析】(Ⅰ)根据三棱台的定义,可知分别延长AD,BE,CF,会交于一点,并设该点为K,并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK,进而得出BF⊥AC.而根据条件可以判断出点E,F分别为边BK,CK的中点,从而得出△BCK为等边三角形,进而得出BF⊥CK,从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF为直线BD和平面ACFD所成的角,根据条件可以求出BF=,DF=,从而在Rt△BDF中可以求出BD的值,从而得出cos∠BDF的值,即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值.【解答】解:(Ⅰ)证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示:∵平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC;∴AC⊥平面BCK,BF⊂平面BCK;∴BF⊥AC;又EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2;∴△BCK为等边三角形,且F为CK的中点;∴BF⊥CK,且AC∩CK=C;∴BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)∵BF⊥平面ACFD;∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角;∵F为CK中点,且DF∥AC;∴DF为△ACK的中位线,且AC=3;∴;又;∴在Rt△BFD中,,cos;即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为.【点评】考查三角形中位线的性质,等边三角形的中线也是高线,面面垂直的性质定理,以及线面垂直的判定定理,线面角的定义及求法,直角三角形边的关系,三角函数的定义.19.(15分)(2016•浙江)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1,(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.【分析】(Ⅰ)利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程,进一步求得p值;(Ⅱ)设出直线AF的方程,与抛物线联立,求出B的坐标,求出直线AB,FN的斜率,从而求出直线BN的方程,根据A、M、N三点共线,可求出M的横坐标的表达式,从而求出m的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离,由抛物线定义得,,即p=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设(t2,2t),t≠0,t≠±1,∵AF不垂直y轴,∴设直线AF:x=sy+1(s≠0),联立,得y2﹣4sy﹣4=0.y1y2=﹣4,∴B(),又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为,从而得FN:,直线BN:y=﹣,则N(),设M(m,0),由A、M、N三点共线,得,于是m==,得m<0或m>2.经检验,m<0或m>2满足题意.∴点M的横坐标的取值范围为(﹣∞,0)∪(2,+∞).【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查数学转化思想方法,属中档题.20.(15分)(2016•浙江)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1],证明:(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2(Ⅱ)<f(x)≤.【分析】(Ⅰ)根据题意,1﹣x+x2﹣x3=,利用放缩法得≤,即可证明结论成立;(Ⅱ)利用0≤x≤1时x3≤x,证明f(x)≤,再利用配方法证明f(x)≥,结合函数的最小值得出f(x)>,即证结论成立.【解答】解:(Ⅰ)证明:因为f(x)=x3+,x∈[0,1],且1﹣x+x2﹣x3==,所以≤,所以1﹣x+x2﹣x3≤,即f(x)≥1﹣x+x2;(Ⅱ)证明:因为0≤x≤1,所以x3≤x,所以f(x)=x3+≤x+=x+﹣+=+≤;由(Ⅰ)得,f(x)≥1﹣x+x2=+≥,且f()=+=>,所以f(x)>;综上,<f(x)≤.【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值,分段函数等基础知识,也考查了推理与论证,分析问题与解决问题的能力,是综合性题目.参与本试卷答题和审题的老师有:zhczcb;zlzhan;maths;双曲线;742048;sxs123;gongjy;沂蒙松(排名不分先后)菁优网2016年8月16日。
最新2016年高考数学浙江(文科)试题及答案【解析版】
2016年浙江省高考数学试卷(文科)12一.选择题(共8小题)31.【2016浙江(文)】已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},4Q={1,2,4},则(∁U P)∪Q=()5A.{1} B.{3,5} C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5} 6【答案】C7【解析】解:∁U P={2,4,6},8(∁U P)∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}={1,2,4,6}.92.【2016浙江(文)】已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,10n满足m∥α,n⊥β,则()11A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n12【答案】C13【解析】解:∵互相垂直的平面α,β交于直线l,直线m,n满足m∥α,14∴m∥β或m⊂β或m⊥β,l⊂β,15∵n⊥β,∴n⊥l.163.【2016浙江(文)】函数y=sinx2的图象是()171A .B .C .18D .19【答案】D20【解析】解:∵sin(﹣x)2=sinx2,21∴函数y=sinx2是偶函数,即函数的图象关于y轴对称,排除A,C;22由y=sinx2=0,23则x2=kπ,k≥0,24则x=±,k≥0,25故函数有无穷多个零点,排除B,26274.【2016浙江(文)】若平面区域,夹在两条斜率为1的平28行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()29A .B .C .D .30【答案】B312【解析】解:作出平面区域如图所示:3233∴当直线y=x+b分别经过A,B时,平行线间的距离相等.34联立方程组,解得A(2,1),35联立方程组,解得B(1,2).36两条平行线分别为y=x﹣1,y=x+1,即x﹣y﹣1=0,x﹣y+1=0.37∴平行线间的距离为d==,38395.【2016浙江(文)】已知a,b>0且a≠1,b≠1,若loga b>1,则()40A.(a﹣1)(b﹣1)<0 B.(a﹣1)(a﹣b)>0 C.(b﹣1)(b﹣a)<0 41D.(b﹣1)(b﹣a)>042【答案】D433【解析】解:若a>1,则由loga b>1得logab>logaa,即b>a>1,此时b44﹣a>0,b>1,即(b﹣1)(b﹣a)>0,45若0<a<1,则由loga b>1得logab>logaa,即b<a<1,此时b﹣a<0,b46<1,即(b﹣1)(b﹣a)>0,47综上(b﹣1)(b﹣a)>0,486.【2016浙江(文)】已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))49的最小值与f(x)的最小值相等”的()50A.充分不必要条件B.必要不充分条件51C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件52【答案】A53【解析】解:f(x)的对称轴为x=﹣,fmin (x)=﹣.54(1)若b<0,则﹣>﹣,∴当f(x)=﹣时,f(f(x))取得最小值55f (﹣)=﹣,56即f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等.57∴“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分条件.58(2)若f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等,59则fmin (x )≤﹣,即﹣≤﹣,解得b≤0或b≥2.60∴“b<0”不是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的必要条61件.6247.【2016浙江(文)】已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,63x∈R.()64A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤b65C.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b66【答案】B67【解析】解:A.若f(a)≤|b|,则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|,68即|a|≤|b|,则a≤b不一定成立,故A错误,69B.若f(a)≤2b,70则由条件知f(x)≥2x,71即f(a)≥2a,则2a≤f(a)≤2b,72则a≤b,故B正确,73C.若f(a)≥|b|,则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|,则|a|≥|b|74不一定成立,故C错误,75D.若f(a)≥2b,则由条件f(x)≥2x,得f(a)≥2a,则2a≥2b,不一76定成立,即a≥b不一定成立,故D错误,778.【2016浙江(文)】如图,点列{An }、{Bn}分别在某锐角的两边上,且78|An An+1|=|An+1An+2|,An≠An+1,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+1,n∈N*,(P≠Q表79示点P与Q不重合)若dn =|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则()805681 A .{S n }是等差数列 B .{S n 2}是等差数列 82C .{d n }是等差数列D .{d n 2}是等差数列 83【答案】A84【解析】解:设锐角的顶点为O ,|OA 1|=a ,|OB 1|=b , 85|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b ,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d , 86由于a ,b 不确定,则{d n }不一定是等差数列, 87{d n 2}不一定是等差数列,88设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n ,89由三角形的相似可得==,90==,91两式相加可得,==2,92即有h n +h n+2=2h n+1,93由S n =d•h n ,可得S n +S n+2=2S n+1,94即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn,95则数列{Sn }为等差数列.96故选:A.979899二.填空题(共7小题)1009.【2016浙江(文)】某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何101体的表面积是cm2,体积是cm3.102103【答案】80;40.104【解析】解:根据几何体的三视图,得;105该几何体是下部为长方体,其长和宽都为4,高为2,106表面积为2×4×4+2×42=64cm2,体积为2×42=32cm3;107上部为正方体,其棱长为2,1087表面积是6×22=24 cm2,体积为23=8cm3;109所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2,110体积为32+8=40cm3.11110.【2016浙江(文)】已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示112圆,则圆心坐标是,半径是.113【答案】(﹣2,﹣4),5114【解析】解:∵方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,115∴a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2.116当a=﹣1时,方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0,117配方得(x+2)2+(y+4)2=25,所得圆的圆心坐标为(﹣2,﹣4),半径为5;118当a=2时,方程化为,119此时,方程不表示圆,12012111.【2016浙江(文)】已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则122A= ,b= .123【答案】;1.124【解析】解:∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x125=1+(cos2x+sin2x)+11268=sin(2x+)+1,127∴A=,b=1,12812.【2016浙江(文)】设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)﹣129f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,x∈R,则实数a= ,b= .130【答案】﹣2;1.131【解析】解:∵f(x)=x3+3x2+1,132∴f(x)﹣f(a)=x3+3x2+1﹣(a3+3a2+1)133=x3+3x2﹣(a3+3a2)134∵(x﹣b)(x﹣a)2=(x﹣b)(x2﹣2ax+a2)=x3﹣(2a+b)x2+(a2+2ab)x 135﹣a2b,136且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,137∴,解得或(舍去),13813.【2016浙江(文)】设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2,若139点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.140【答案】().141【解析】解:如图,1429由双曲线x2﹣=1,得a2=1,b2=3,143∴.144不妨以P在双曲线右支为例,当PF2⊥x轴时,145把x=2代入x2﹣=1,得y=±3,即|PF2|=3,146此时|PF1|=|PF2|+2=5,则|PF1|+|PF2|=8;147由PF1⊥PF2,得,148又|PF1|﹣|PF2|=2,①149两边平方得:,150∴|PF1||PF2|=6,②151联立①②解得:,152此时|PF1|+|PF2|=.153∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是().1541551014.【2016浙江(文)】如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,156∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦157的最大值是.158159【答案】160【解析】解:如图所示,取AC的中点O ,∵AB=BC=3,∴BO⊥AC,161在Rt△ACD′中,=.162作D′E⊥AC,垂足为E ,D′E==.163CO=,CE===,164∴EO=CO﹣CE=.165过点B作BF∥BO,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′166为直线AC与BD′所成的角.167则四边形BOEF 为矩形,∴BF=EO=.168EF=BO==.169则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.17011则D′F2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥,171cosθ=1时取等号.172∴D′B的最小值==2.173∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===.174故答案为:.17517615.【2016浙江(文)】已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若177为平面单位向量,则||+||的最大值是.178【答案】179【解析】解:||+||=,180其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,181当与共线时,取得最大值.182∴=.18318412三.解答题(共5小题)18516.【2016浙江(文)】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,186已知b+c=2acosB.187(1)证明:A=2B;188(2)若cosB=,求cosC的值.189【解析】(1)证明:∵b+c=2acosB,190∴sinB+sinC=2sinAcosB,191∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,192∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),193∴0<A﹣B<π,∴B=A﹣B,或B=π﹣(A﹣B),化为A=2B,或A=π(舍去).194∴A=2B.195(II)解:cosB=,∴sinB==.196cosA=cos2B=2cos2B﹣1=,sinA==.197∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=.19817.【2016浙江(文)】设数列{an }的前n项和为Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,199n∈N*.200(Ⅰ)求通项公式an ;201(Ⅱ)求数列{|an ﹣n﹣2|}的前n项和.20213【解析】解:(Ⅰ)∵S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.203∴a1+a2=4,a2=2S1+1=2a1+1,204解得a1=1,a2=3,205当n≥2时,an+1=2Sn+1,an=2Sn﹣1+1,206两式相减得an+1﹣an=2(Sn﹣Sn﹣1)=2an,207即an+1=3an,当n=1时,a1=1,a2=3,208满足an+1=3an,209∴=3,则数列{an }是公比q=3的等比数列,210则通项公式an =3n﹣1.211(Ⅱ)an ﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2,212设bn =|an﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|,213则b1=|30﹣1﹣2|=2,b2=|3﹣2﹣2|=1,214当n≥3时,3n﹣1﹣n﹣2>0,215则bn =|an﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2,216此时数列{|an ﹣n﹣2|}的前n项和Tn=3+﹣217=,21814219则Tn ==.22022118.【2016浙江(文)】如图,在三棱台ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,222∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.223(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;224(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.225226【解析】解:(Ⅰ)证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示:227∵平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC;228∴AC⊥平面BCK,BF⊂平面BCK;229∴BF⊥AC;230又EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2;231∴△BCK为等边三角形,且F为CK的中点;232∴BF⊥CK,且AC∩CK=C;233∴BF⊥平面ACFD;23415(Ⅱ)∵BF⊥平面ACFD;235∴∠BD F是直线BD和平面ACFD所成的角;236∵F为CK中点,且DF∥AC;237∴DF为△ACK的中位线,且AC=3;238∴;239又;240∴在Rt△BFD 中,,cos;241即直线BD和平面ACFD 所成角的余弦值为.24224324419.【2016浙江(文)】如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物245线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1,246(Ⅰ)求p的值;247(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB 248垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.24916250【解析】解:(Ⅰ)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于A到251直线x=﹣1的距离,252由抛物线定义得,,即p=2;253(Ⅱ)由(Ⅰ)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设(t2,2t),t≠0,254t≠±1,255∵AF不垂直y轴,256∴设直线AF:x=sy+1(s≠0),257联立,得y2﹣4sy﹣4=0.258y1y2=﹣4,259∴B(),260又直线AB 的斜率为,故直线FN 的斜率为,261从而得FN :,直线BN:y=﹣,26217则N (),263设M(m,0),由A、M、N 三点共线,得,264于是m==,得m<0或m>2.265经检验,m<0或m>2满足题意.266∴点M的横坐标的取值范围为(﹣∞,0)∪(2,+∞).26726820.【2016浙江(文)】设函数f(x)=x3+,x∈[0,1],证明:269(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2270(Ⅱ)<f(x )≤.271【解析】解:(Ⅰ)证明:因为f(x)=x3+,x∈[0,1],272且1﹣x+x2﹣x3==,273所以≤,274所以1﹣x+x2﹣x3≤,275即f(x)≥1﹣x+x2;27618(Ⅱ)证明:因为0≤x≤1,所以x3≤x,277所以f(x)=x3+≤x+=x+﹣+=+≤;278由(Ⅰ)得,f(x)≥1﹣x+x2=+≥,279且f ()=+=>,280所以f(x )>;281综上,<f(x )≤.282283284285286287288289290291292293294绝密★启封前2952016年浙江省高考数学试卷(文科)296一、选择题(本大题8小题,每题5分,共40分)2971.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},298则(∁U P)∪Q=()299A.{1} B.{3,5} C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,3005}301192.已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥302β,则()303A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n3043.函数y=sinx2的图象是()305A .B .306C .D .3074.若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两308条平行直线间的距离的最小值是()309A .B .C .D .3105.已知a,b>0且a≠1,b≠1,若loga b>1,则()311A.(a﹣1)(b﹣1)<0 B.(a﹣1)(a﹣b)>0312C.(b﹣1)(b﹣a)<0 D.(b﹣1)(b﹣a)>03136.已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)314的最小值相等”的()315A.充分不必要条件 B.必要不充分条件31620C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3177.已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()318A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤b 319C.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b 3203213228.如图,点列{An }、{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An323≠An+1,324n∈N*,|Bn Bn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+1,n∈N*,(P≠Q表示点P与Q不重合)若325dn =|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则()326 327A.{Sn }是等差数列 B.{Sn2}是等差数列 C.{dn}是等差数列328D.{dn 2}是等差数列329330二、填空题(本大题7小题,9、10、11、12每题6分,13、14、15每题4 331分,共36分)3329.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是333cm2,体积是cm3.3342133533610.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标337是,半径是.33833911.已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,340b= .34134212.设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x 343﹣a)2,x∈R,则实数a= ,b= .34434513.设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,346且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.3473483493503513522214.如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,353沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值354是.35535635715.已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,358则||+||的最大值是.359360三、解答题(本大题5小题,共74分)36116.(14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.362(1)证明:A=2B;363(2)若cosB=,求cosC的值.36436536636736836937037137237317.(15分)设数列{an }的前n项和为Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.37423(Ⅰ)求通项公式an ;375(Ⅱ)求数列{|an ﹣n﹣2|}的前n项和.37637737837938038138238338438538638738838918.(15分)如图,在三棱台ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,390BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.391(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;392(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.39339439539639739839919.(15分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A 400到y轴的距离等于|AF|﹣1,40124(Ⅰ)求p的值;402(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB 403垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.40440540620.(15分)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1],证明:407(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2408(Ⅱ)<f(x )≤.4094104114124134144154164172016年浙江省高考数学试卷(文科)418419一、选择题4201.【解答】解:∁U P={2,4,6},(∁UP)∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}={1,2,4214,6}.42225故选C.4234242.【解答】解:∵互相垂直的平面α,β交于直线l,直线m,n满足m∥425α,426∴m∥β或m⊂β或m⊥β,l⊂β,∵n⊥β,∴n⊥l.427故选:C.4284293.【解答】解:∵sin(﹣x)2=sinx2,430∴函数y=sinx2是偶函数,即函数的图象关于y轴对称,排除A,C;431由y=sinx2=0,则x2=kπ,k≥0,则x=±,k≥0,故函数有无穷多个432零点,排除B,433故选:D4344354.【解答】解:作出平面区域如图所示:43643726∴当直线y=x+b分别经过A,B时,平行线间的距离相等.438联立方程组,解得A(2,1),439联立方程组,解得B(1,2).440两条平行线分别为y=x﹣1,y=x+1,即x﹣y﹣1=0,x﹣y+1=0.441∴平行线间的距离为d==,442故选:B.4434444454465.【解答】解:若a>1,则由loga b>1得logab>logaa,即b>a>1,447此时b﹣a>0,b>1,即(b﹣1)(b﹣a)>0,448若0<a<1,则由loga b>1得logab>logaa,即b<a<1,449此时b﹣a<0,b<1,即(b﹣1)(b﹣a)>0,450综上(b﹣1)(b﹣a)>0,451故选:D.4524536.【解答】解:f(x)的对称轴为x=﹣,fmin (x)=﹣.454(1)若b<0,则﹣>﹣,45527∴当f(x)=﹣时,f(f(x))取得最小值f (﹣)=﹣,456即f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等.457∴“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分条件.458(2)若f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等,459则fmin (x )≤﹣,即﹣≤﹣,解得b≤0或b≥2.460∴“b<0”不是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的必要条461件.462故选A.4634647.【解答】解:A.若f(a)≤|b|,则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|,465即|a|≤|b|,则a≤b不一定成立,故A错误,466B.若f(a)≤2b,则由条件知f(x)≥2x,即f(a)≥2a,则2a≤f(a)467≤2b,468则a≤b,故B正确,469C.若f(a)≥|b|,则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|,则|a|≥|b| 470不一定成立,故C错误,471D.若f(a)≥2b,则由条件f(x)≥2x,得f(a)≥2a,则2a≥2b,不一472定成立,即a≥b不一定成立,故D错误,473故选:B4742829475 8.【解答】解:设锐角的顶点为O ,|OA 1|=a ,|OB 1|=c , 476|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b ,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d ,477由于a ,c 不确定,则{d n }不一定是等差数列,{d n 2}不一定是等差数列, 478设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n ,479由三角形的相似可得==,480==,两式相加可得,==2,481即有h n +h n+2=2h n+1,由S n =d•h n ,可得S n +S n+2=2S n+1, 482483 即为S n+2﹣S n+1=S n+1﹣S n , 484则数列{S n }为等差数列. 485故选:A .486487488 二、填空题4899.【解答】解:根据几何体的三视图,得;490该几何体是下部为长方体,其长和宽都为4,高为2,491表面积为2×4×4+2×42=64cm2,体积为2×42=32cm3;492上部为正方体,其棱长为2,表面积是6×22=24 cm2,体积为23=8cm3;493所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2,体积为32+8=40cm3.494故答案为:80;40.49549610.【解答】解:∵方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,497∴a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2.498当a=﹣1时,方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0,499配方得(x+2)2+(y+4)2=25,所得圆的圆心坐标为(﹣2,﹣4),半径为5;500当a=2时,方程化为,501此时,方程不表示圆,502故答案为:(﹣2,﹣4),5.50350411.【解答】解:∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+(cos2x+sin2x)505+1506=sin(2x+)+1,∴A=,b=1,507故答案为:;1.5083050912.【解答】解:∵f(x)=x3+3x2+1,510∴f(x)﹣f(a)=x3+3x2+1﹣(a3+3a2+1)=x3+3x2﹣(a3+3a2)511∵(x﹣b)(x﹣a)2=(x﹣b)(x2﹣2ax+a2)=x3﹣(2a+b)x2+(a2+2ab)x 512﹣a2b,513且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,514∴,解得或(舍去),515故答案为:﹣2;1.51613.【解答】解:如图,由双曲线x2﹣=1,得a2=1,b2=3,∴.517不妨以P在双曲线右支为例,当PF2⊥x轴时,518把x=2代入x2﹣=1,得y=±3,即|PF2|=3,519此时|PF1|=|PF2|+2=5,则|PF1|+|PF2|=8;520由PF1⊥PF2,得,521又|PF1|﹣|PF2|=2,①两边平方得:,522∴|PF1||PF2|=6,②联立①②解得:,523此时|PF1|+|PF2|=.52431∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是().故答案525为:().52652752814.【解答】解:如图所示,取AC的中点O,∵AB=BC=3,∴BO⊥AC,529在Rt △ACD′中,=.作D′E⊥AC,垂足为E,530D′E==.531CO=,CE===,∴EO=CO﹣CE=.532过点B作BF∥AC,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′533为直线AC与BD′所成的角.534则四边形BOEF为矩形,∴BF=EO=.EF=BO==.535则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.536则D′F2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥,537cosθ=1时取等号.538∴D′B的最小值==2.53932∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===.故答案为:.54015.【解答】解:||+||=,541其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,542当与共线时,取得最大值.543∴=.故答案为:.544545三、解答题54616.【解答】(1)证明:∵b+c=2acosB,∴sinB+sinC=2sinAcosB,547∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,548∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),549∴0<A﹣B<π,∴B=A﹣B,或B=π﹣(A﹣B),化为A=2B,或A=π(舍去).550∴A=2B.551(II)解:cosB=,∴sinB==.552cosA=cos2B=2cos2B﹣1=,sinA==.553∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=.5545553317.【解答】解:(Ⅰ)∵S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.556∴a1+a2=4,a2=2S1+1=2a1+1,解得a1=1,a2=3,557当n≥2时,an+1=2Sn+1,an=2Sn﹣1+1,两式相减得an+1﹣an=2(Sn﹣Sn﹣1)=2an,558即an+1=3an,当n=1时,a1=1,a2=3,满足an+1=3an,559∴=3,则数列{an }是公比q=3的等比数列,则通项公式an=3n﹣1.560(Ⅱ)an ﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2,561设bn =|an﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|,562则b1=|30﹣1﹣2|=2,b2=|3﹣2﹣2|=1,563当n≥3时,3n﹣1﹣n﹣2>0,564则bn =|an﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2,565此时数列{|an ﹣n﹣2|}的前n项和566Tn =3+﹣= ,567则Tn ==.56856918.【解答】解:(Ⅰ)证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示:570∵平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC;57134∴AC⊥平面BCK,BF⊂平面BCK;∴BF⊥AC;572又EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2;573∴△BCK为等边三角形,且F为CK的中点;574∴BF⊥CK,且AC∩CK=C;∴BF⊥平面ACFD;575(Ⅱ)∵BF⊥平面ACFD;576∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角;577∵F为CK中点,且DF∥AC;578∴DF为△ACK的中位线,且AC=3;∴;579又;580∴在Rt△BFD 中,,cos;581即直线BD和平面ACFD 所成角的余弦值为.5825835843519.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于A 585到直线x=﹣1的距离,由抛物线定义得,,即p=2;586(Ⅱ)由(Ⅰ)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设(t2,2t),t≠0,587t≠±1,588∵AF不垂直y轴,∴设直线AF:x=sy+1(s≠0),589联立,得y2﹣4sy﹣4=0. y1y2=﹣4,∴B (),590又直线AB 的斜率为,故直线FN 的斜率为,591从而得FN :,直线BN:y=﹣,则N (),592设M(m,0),由A、M、N 三点共线,得,593于是m==,得m<0或m>2.594经检验,m<0或m>2满足题意.595∴点M的横坐标的取值范围为(﹣∞,0)∪(2,+∞).59659720.【解答】解:(Ⅰ)证明:因为f(x)=x3+,x∈[0,1],59836且1﹣x+x2﹣x3==,所以≤,599所以1﹣x+x2﹣x3≤,即f(x)≥1﹣x+x2;600(Ⅱ)证明:因为0≤x≤1,所以x3≤x,601所以f(x)=x3+≤x+=x+﹣+=+≤;602由(Ⅰ)得,f(x)≥1﹣x+x2=+≥,603且f ()=+=>,所以f(x )>;604综上,<f(x )≤.60560660760860937。
2016年全国高考浙江数学文科试卷及解析
2016年全国高考浙江数学〔文科〕选择题局部〔共40分〕一、选择题:本大题共8小题,每题5分,共40分。
在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的。
1.全集{}1,2,3,4,5,6U =,集合{}1,3,5P =,{}1,2,4Q =,那么()U P Q = 〔 〕A .{}1B .{}3,5C .{}1,2,4,6D .{}1,2,3,4,52.互相垂直的平面α,β交于直线l .假设直线m ,n 满足m ‖α,n β⊥,那么 〔 〕 A .m ‖l B .m ‖n C .n l ⊥ D .m n ⊥3.函数2sin y x =的图象是 〔 〕A .B .C .D .4.假设平面区域30230230x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≥,≤,≥夹在两条斜率为1的平行直线之间,那么这两条平行直线间的距离的最小值是 〔 〕 A.5 BC. 2D5.a ,0b >且1a ≠,1b ≠.假设log 1a b >,那么 〔 〕 A .(1)(1)0a b --< B .(1)()0a a b --> C .(1)()0b b a --< D .(1)()0b b a -->6.函数2()f x x bx =+,那么“0b <〞是“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等〞的〔 〕 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.函数()f x 满足:()||f x x ≥且()2x f x ≥,x ∈R . 〔 〕 A .假设()||f a b ≤,那么a b ≤ B .假设()2b f a ≤,那么a b ≤ C .假设()||f a b ≥,那么a b ≥ D .假设()2b f a ≥,那么a b ≥ 8.如图,点列{}n A ,{}n B 分别在某锐角的两边上,且 112||||n n n n A A A A +++=,2n n A A +≠,n *∈N , 112||||n n n n B B B B +++=,2n n B B +≠,n *∈N . (P Q ≠表示点P 与Q 不重合.)假设||n n n d A B =,n S 为△1n n n A B B +的面积,那么 (第8题图) 〔 〕 A .{}n S 是等差数列 B .{}2n S 是等差数列 C .{}n d 是等差数列 D .{}2n d 是等差数列非选择题局部〔共110分〕二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。
2016年浙江省高考数学试卷文科【精】
2016年浙江省高考数学试卷(文科)一、选择题1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁U P)∪Q=()A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}2.(5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n3.(5分)函数y=sinx2的图象是()A.B.C.D.4.(5分)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.B.C.D.5.(5分)已知a,b>0且a≠1,b≠1,若log a b>1,则()A.(a﹣1)(b﹣1)<0 B.(a﹣1)(a﹣b)>0 C.(b﹣1)(b﹣a)<0 D.(b ﹣1)(b﹣a)>06.(5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.(5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b8.(5分)如图,点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+1,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+1,n∈N*,(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则()A.{S n}是等差数列B.{S n2}是等差数列C.{d n}是等差数列 D.{d n2}是等差数列二、填空题9.(6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.10.(6分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.11.(6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.12.(6分)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x ﹣a)2,x∈R,则实数a=,b=.13.(4分)设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.14.(4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是.15.(4分)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是.三、解答题16.(14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=,求cosC的值.17.(15分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.(Ⅰ)求通项公式a n;(Ⅱ)求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和.18.(15分)如图,在三棱台ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.19.(15分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y 轴的距离等于|AF|﹣1,(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.20.(15分)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1],证明:(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2(Ⅱ)<f(x)≤.2016年浙江省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁U P)∪Q=()A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}【分析】先求出∁U P,再得出(∁U P)∪Q.【解答】解:∁U P={2,4,6},(∁U P)∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}={1,2,4,6}.故选:C.【点评】本题考查了集合的运算,属于基础题.2.(5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n【分析】由已知条件推导出l⊂β,再由n⊥β,推导出n⊥l.【解答】解:∵互相垂直的平面α,β交于直线l,直线m,n满足m∥α,∴m∥β或m⊂β或m与β相交,l⊂β,∵n⊥β,∴n⊥l.故选:C.【点评】本题考查两直线关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.3.(5分)函数y=sinx2的图象是()A.B.C.D.【分析】根据函数奇偶性的性质,以及函数零点的个数进行判断排除即可.【解答】解:∵sin(﹣x)2=sinx2,∴函数y=sinx2是偶函数,即函数的图象关于y轴对称,排除A,C;由y=sinx2=0,则x2=kπ,k≥0,则x=±,k≥0,故函数有无穷多个零点,排除B,故选:D.【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键.比较基础.4.(5分)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.B.C.D.【分析】作出平面区域,找出距离最近的平行线的位置,求出直线方程,再计算距离.【解答】解:作出平面区域如图所示:∴当直线y=x+b分别经过A,B时,平行线间的距离相等.联立方程组,解得A(2,1),联立方程组,解得B(1,2).两条平行线分别为y=x﹣1,y=x+1,即x﹣y﹣1=0,x﹣y+1=0.∴平行线间的距离为d==,故选:B.【点评】本题考查了平面区域的作法,距离公式的应用,属于基础题.5.(5分)已知a,b>0且a≠1,b≠1,若log a b>1,则()A.(a﹣1)(b﹣1)<0 B.(a﹣1)(a﹣b)>0 C.(b﹣1)(b﹣a)<0 D.(b ﹣1)(b﹣a)>0【分析】根据对数的运算性质,结合a>1或0<a<1进行判断即可.【解答】解:若a>1,则由log a b>1得log a b>log a a,即b>a>1,此时b﹣a>0,b>1,即(b﹣1)(b﹣a)>0,若0<a<1,则由log a b>1得log a b>log a a,即b<a<1,此时b﹣a<0,b<1,即(b﹣1)(b﹣a)>0,综上(b﹣1)(b﹣a)>0,故选:D.【点评】本题主要考查不等式的应用,根据对数函数的性质,利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键.比较基础.6.(5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】求出f(x)的最小值及极小值点,分别把“b<0”和“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”当做条件,看能否推出另一结论即可判断.【解答】解:f(x)的对称轴为x=﹣,f min(x)=﹣.(1)若b<0,则﹣>﹣,∴当f(x)=﹣时,f(f(x))取得最小值f(﹣)=﹣,即f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等.∴“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分条件.(2)设f(x)=t,则f(f(x))=f(t),∴f(t)在(﹣,﹣)上单调递减,在(﹣,+∞)上单调递增,若f(f(x))=f(t)的最小值与f(x)的最小值相等,则﹣≤﹣,解得b≤0或b≥2.∴“b<0”不是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的必要条件.故选:A.【点评】本题考查了二次函数的性质,简易逻辑关系的推导,属于基础题.7.(5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b【分析】根据不等式的性质,分别进行递推判断即可.【解答】解:A.若f(a)≤|b|,则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|,即|a|≤|b|,则a≤b不一定成立,故A错误,B.若f(a)≤2b,则由条件知f(x)≥2x,即f(a)≥2a,则2a≤f(a)≤2b,则a≤b,故B正确,C.若f(a)≥|b|,则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|,则|a|≥|b|不一定成立,故C错误,D.若f(a)≥2b,则由条件f(x)≥2x,得f(a)≥2a,则2a≥2b,不一定成立,即a≥b不一定成立,故D错误,故选:B.【点评】本题主要考查不等式的判断和证明,根据条件,结合不等式的性质是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.8.(5分)如图,点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+1,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+1,n∈N*,(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则()A.{S n}是等差数列B.{S n2}是等差数列C.{d n}是等差数列 D.{d n2}是等差数列【分析】设锐角的顶点为O,再设|OA1|=a,|OB1|=c,|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d,由于a,c不确定,判断C,D不正确,设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n,运用三角形相似知识,h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n,可得S n+S n+2=2S n+1,进而得到数列{S n}为等差数列.【解答】解:设锐角的顶点为O,|OA1|=a,|OB1|=c,|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d,由于a,c不确定,则{d n}不一定是等差数列,{d n2}不一定是等差数列,设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n,由三角形的相似可得==,==,两式相加可得,==2,即有h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n,可得S n+S n+2=2S n+1,﹣S n+1=S n+1﹣S n,即为S n+2则数列{S n}为等差数列.另解:可设△A1B1B2,△A2B2B3,…,A n B n B n+1为直角三角形,且A1B1,A2B2,…,A n B n为直角边,即有h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n,可得S n+S n+2=2S n+1,即为S n﹣S n+1=S n+1﹣S n,+2则数列{S n}为等差数列.故选:A.【点评】本题考查等差数列的判断,注意运用三角形的相似和等差数列的性质,考查化简整理的推理能力,属于中档题.二、填空题9.(6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是80 cm2,体积是40cm3.【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体下部为长方体,上部为正方体的组合体,结合图中数据求出它的表面积和体积即可.【解答】解:根据几何体的三视图,得;该几何体是下部为长方体,其长和宽都为4,高为2,表面积为2×4×4+2×42=64cm2,体积为2×42=32cm3;上部为正方体,其棱长为2,表面积是6×22=24 cm2,体积为23=8cm3;所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2,体积为32+8=40cm3.故答案为:80;40.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题,也考查了空间想象和计算能力,是基础题.10.(6分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是(﹣2,﹣4),半径是5.【分析】由已知可得a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2,把a=﹣1代入原方程,配方求得圆心坐标和半径,把a=2代入原方程,由D2+E2﹣4F<0说明方程不表示圆,则答案可求.【解答】解:∵方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,∴a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2.当a=﹣1时,方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,所得圆的圆心坐标为(﹣2,﹣4),半径为5;当a=2时,方程化为,此时,方程不表示圆,故答案为:(﹣2,﹣4),5.【点评】本题考查圆的一般方程,考查圆的一般方程化标准方程,是基础题.11.(6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=1.【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边,即可得到答案.【解答】解:∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+(cos2x+sin2x)=sin(2x+)+1,∴A=,b=1,故答案为:;1.【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用,熟练掌握公式是解题的关键.12.(6分)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x ﹣a)2,x∈R,则实数a=﹣2,b=1.【分析】根据函数解析式化简f(x)﹣f(a),再化简(x﹣b)(x﹣a)2,根据等式两边对应项的系数相等列出方程组,求出a、b的值.【解答】解:∵f(x)=x3+3x2+1,∴f(x)﹣f(a)=x3+3x2+1﹣(a3+3a2+1)=x3+3x2﹣(a3+3a2)∵(x﹣b)(x﹣a)2=(x﹣b)(x2﹣2ax+a2)=x3﹣(2a+b)x2+(a2+2ab)x﹣a2b,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,∴,解得或(舍去),故答案为:﹣2;1.【点评】本题考查函数与方程的应用,考查化简能力和方程思想,属于中档题.13.(4分)设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.【分析】由题意画出图形,以P在双曲线右支为例,求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值,可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围.【解答】解:如图,由双曲线x2﹣=1,得a2=1,b2=3,∴.不妨以P在双曲线右支为例,当PF2⊥x轴时,把x=2代入x2﹣=1,得y=±3,即|PF2|=3,此时|PF1|=|PF2|+2=5,则|PF1|+|PF2|=8;由PF1⊥PF2,得,又|PF1|﹣|PF2|=2,①两边平方得:,∴|PF1||PF2|=6,②联立①②解得:,此时|PF1|+|PF2|=.∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是().故答案为:().【点评】本题考查双曲线的简单性质,考查双曲线定义的应用,考查数学转化思想方法,是中档题.14.(4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是.【分析】如图所示,取AC的中点O,AB=BC=3,可得BO⊥AC,在Rt△ACD′中,AC=.作D′E⊥AC,垂足为E,D′E=.CO=,CE==,EO=CO﹣CE=.过点B作BF∥AC,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC与BD′所成的角.则四边形BOEF为矩形,BF=EO=.EF=BO=.则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.利用余弦定理求出D′F2的最小值即可得出.【解答】解:如图所示,取AC的中点O,∵AB=BC=3,∴BO⊥AC,在Rt△ACD′中,=.作D′E⊥AC,垂足为E,D′E==.CO=,CE===,∴EO=CO﹣CE=.过点B作BF∥AC,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC与BD′所成的角.则四边形BOEF为矩形,∴BF=EO=.EF=BO==.则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.则D′F2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥,cosθ=1时取等号.∴D′B的最小值==2.∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===.也可以考虑利用向量法求解.故答案为:.【点评】本题考查了空间位置关系、空间角,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于难题.15.(4分)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是.【分析】由题意可知,||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,由此可知,当与共线时,||+||取得最大值,即.【解答】解:||+||=,其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,当与共线时,取得最大值.∴=.故答案为:.【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量在向量方向上的投影的概念,考查学生正确理解问题的能力,是中档题.三、解答题16.(14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=,求cosC的值.【分析】(1)由b+c=2acosB,利用正弦定理可得:sinB+sinC=2sinAcosB,而sinC=sin (A+B)=sinAcosB+cosAsinB,代入化简可得:sinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),可得0<A﹣B<π,即可证明.(II)cosB=,可得sinB=.cosA=cos2B=2cos2B﹣1,sinA=.利用cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB即可得出.【解答】(1)证明:∵b+c=2acosB,∴sinB+sinC=2sinAcosB,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),∴0<A﹣B<π,∴B=A﹣B,或B=π﹣(A﹣B),化为A=2B,或A=π(舍去).∴A=2B.(II)解:cosB=,∴sinB==.cosA=cos2B=2cos2B﹣1=,sinA==.∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=.【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.17.(15分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.(Ⅰ)求通项公式a n;(Ⅱ)求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和.【分析】(Ⅰ)根据条件建立方程组关系,求出首项,利用数列的递推关系证明数列{a n}是公比q=3的等比数列,即可求通项公式a n;(Ⅱ)讨论n的取值,利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和.【解答】解:(Ⅰ)∵S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.∴a1+a2=4,a2=2S1+1=2a1+1,解得a1=1,a2=3,=2S n+1,a n=2S n﹣1+1,当n≥2时,a n+1﹣a n=2(S n﹣S n﹣1)=2a n,两式相减得a n+1即a n=3a n,当n=1时,a1=1,a2=3,+1=3a n,满足a n+1∴=3,则数列{a n}是公比q=3的等比数列,则通项公式a n=3n﹣1.(Ⅱ)a n﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2,设b n=|a n﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|,则b1=|30﹣1﹣2|=2,b2=|3﹣2﹣2|=1,当n≥3时,3n﹣1﹣n﹣2>0,则b n=|a n﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2,此时数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和T n=3+﹣=则T n==.【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算,根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{a n}是等比数列是解决本题的关键.求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和.18.(15分)如图,在三棱台ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.【分析】(Ⅰ)根据三棱台的定义,可知分别延长AD,BE,CF,会交于一点,并设该点为K,并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK,进而得出BF⊥AC.而根据条件可以判断出点E,F分别为边BK,CK的中点,从而得出△BCK为等边三角形,进而得出BF⊥CK,从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF为直线BD和平面ACFD所成的角,根据条件可以求出BF=,DF=,从而在Rt△BDF中可以求出BD的值,从而得出cos∠BDF的值,即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值.【解答】解:(Ⅰ)证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示:∵平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC;∴AC⊥平面BCK,BF⊂平面BCK;∴BF⊥AC;又EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2;∴△BCK为等边三角形,且F为CK的中点;∴BF⊥CK,且AC∩CK=C;∴BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)∵BF⊥平面ACFD;∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角;∵F为CK中点,且DF∥AC;∴DF为△ACK的中位线,且AC=3;∴;又;∴在Rt△BFD中,,cos;即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为【点评】考查三角形中位线的性质,等边三角形的中线也是高线,面面垂直的性质定理,以及线面垂直的判定定理,线面角的定义及求法,直角三角形边的关系,三角函数的定义.19.(15分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y 轴的距离等于|AF|﹣1,(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.【分析】(Ⅰ)利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程,进一步求得p值;(Ⅱ)设出直线AF的方程,与抛物线联立,求出B的坐标,求出直线AB,FN 的斜率,从而求出直线BN的方程,根据A、M、N三点共线,可求出M的横坐标的表达式,从而求出m的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离,由抛物线定义得,,即p=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设(t2,2t),t≠0,t≠±1,∵AF不垂直y轴,∴设直线AF:x=sy+1(s≠0),联立,得y2﹣4sy﹣4=0.y1y2=﹣4,∴B(),又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为,从而得FN:,直线BN:y=﹣,则N(),设M(m,0),由A、M、N三点共线,得,于是m==,得m<0或m>2.经检验,m<0或m>2满足题意.∴点M的横坐标的取值范围为(﹣∞,0)∪(2,+∞).【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查数学转化思想方法,属中档题.20.(15分)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1],证明:(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2(Ⅱ)<f(x )≤.【分析】(Ⅰ)根据题意,1﹣x+x2﹣x3=,利用放缩法得≤,即可证明结论成立;(Ⅱ)利用0≤x≤1时x3≤x,证明f(x )≤,再利用配方法证明f(x )≥,结合函数的最小值得出f(x )>,即证结论成立.【解答】解:(Ⅰ)证明:因为f(x)=x3+,x∈[0,1],且1﹣x+x2﹣x3==,所以≤,所以1﹣x+x2﹣x3≤,即f(x)≥1﹣x+x2;(Ⅱ)证明:因为0≤x≤1,所以x3≤x,所以f(x)=x3+≤x +=x +﹣+=+≤;由(Ⅰ)得,f(x)≥1﹣x+x2=+≥,且f ()=+=>,所以f(x )>;综上,<f(x )≤.【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值,分段函数等基础知识,也考查了推理与论证,分析问题与解决问题的能力,是综合性题目.第21页(共21页)。
2016年浙江省高考数学试卷(文科)
2016年浙江省高考数学试卷(文科)一、选择题1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁U P)∪Q=()A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}2.(5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n3.(5分)函数y=sinx2的图象是()A.B.C.D.4.(5分)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.B.C.D.5.(5分)已知a,b>0且a≠1,b≠1,若log a b>1,则()A.(a﹣1)(b﹣1)<0 B.(a﹣1)(a﹣b)>0 C.(b﹣1)(b﹣a)<0 D.(b ﹣1)(b﹣a)>06.(5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.(5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b8.(5分)如图,点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+1,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+1,n∈N*,(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则()A.{S n}是等差数列B.{S n2}是等差数列C.{d n}是等差数列 D.{d n2}是等差数列二、填空题9.(6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.10.(6分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.11.(6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.12.(6分)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x ﹣a)2,x∈R,则实数a=,b=.13.(4分)设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.14.(4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是.15.(4分)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是.三、解答题16.(14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=,求cosC的值.17.(15分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.(Ⅰ)求通项公式a n;(Ⅱ)求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和.18.(15分)如图,在三棱台ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.19.(15分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y 轴的距离等于|AF|﹣1,(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.20.(15分)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1],证明:(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2(Ⅱ)<f(x)≤.2016年浙江省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁U P)∪Q=()A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}【分析】先求出∁U P,再得出(∁U P)∪Q.【解答】解:∁U P={2,4,6},(∁U P)∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}={1,2,4,6}.故选:C.【点评】本题考查了集合的运算,属于基础题.2.(5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n【分析】由已知条件推导出l⊂β,再由n⊥β,推导出n⊥l.【解答】解:∵互相垂直的平面α,β交于直线l,直线m,n满足m∥α,∴m∥β或m⊂β或m与β相交,l⊂β,∵n⊥β,∴n⊥l.故选:C.【点评】本题考查两直线关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.3.(5分)函数y=sinx2的图象是()A.B.C.D.【分析】根据函数奇偶性的性质,以及函数零点的个数进行判断排除即可.【解答】解:∵sin(﹣x)2=sinx2,∴函数y=sinx2是偶函数,即函数的图象关于y轴对称,排除A,C;由y=sinx2=0,则x2=kπ,k≥0,则x=±,k≥0,故函数有无穷多个零点,排除B,故选:D.【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键.比较基础.4.(5分)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.B.C.D.【分析】作出平面区域,找出距离最近的平行线的位置,求出直线方程,再计算距离.【解答】解:作出平面区域如图所示:∴当直线y=x+b分别经过A,B时,平行线间的距离相等.联立方程组,解得A(2,1),联立方程组,解得B(1,2).两条平行线分别为y=x﹣1,y=x+1,即x﹣y﹣1=0,x﹣y+1=0.∴平行线间的距离为d==,故选:B.【点评】本题考查了平面区域的作法,距离公式的应用,属于基础题.5.(5分)已知a,b>0且a≠1,b≠1,若log a b>1,则()A.(a﹣1)(b﹣1)<0 B.(a﹣1)(a﹣b)>0 C.(b﹣1)(b﹣a)<0 D.(b ﹣1)(b﹣a)>0【分析】根据对数的运算性质,结合a>1或0<a<1进行判断即可.【解答】解:若a>1,则由log a b>1得log a b>log a a,即b>a>1,此时b﹣a>0,b>1,即(b﹣1)(b﹣a)>0,若0<a<1,则由log a b>1得log a b>log a a,即b<a<1,此时b﹣a<0,b<1,即(b﹣1)(b﹣a)>0,综上(b﹣1)(b﹣a)>0,故选:D.【点评】本题主要考查不等式的应用,根据对数函数的性质,利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键.比较基础.6.(5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】求出f(x)的最小值及极小值点,分别把“b<0”和“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”当做条件,看能否推出另一结论即可判断.【解答】解:f(x)的对称轴为x=﹣,f min(x)=﹣.(1)若b<0,则﹣>﹣,∴当f(x)=﹣时,f(f(x))取得最小值f(﹣)=﹣,即f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等.∴“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分条件.(2)设f(x)=t,则f(f(x))=f(t),∴f(t)在(﹣,﹣)上单调递减,在(﹣,+∞)上单调递增,若f(f(x))=f(t)的最小值与f(x)的最小值相等,则﹣≤﹣,解得b≤0或b≥2.∴“b<0”不是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的必要条件.故选:A.【点评】本题考查了二次函数的性质,简易逻辑关系的推导,属于基础题.7.(5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b【分析】根据不等式的性质,分别进行递推判断即可.【解答】解:A.若f(a)≤|b|,则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|,即|a|≤|b|,则a≤b不一定成立,故A错误,B.若f(a)≤2b,则由条件知f(x)≥2x,即f(a)≥2a,则2a≤f(a)≤2b,则a≤b,故B正确,C.若f(a)≥|b|,则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|,则|a|≥|b|不一定成立,故C错误,D.若f(a)≥2b,则由条件f(x)≥2x,得f(a)≥2a,则2a≥2b,不一定成立,即a≥b不一定成立,故D错误,故选:B.【点评】本题主要考查不等式的判断和证明,根据条件,结合不等式的性质是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.8.(5分)如图,点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+1,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+1,n∈N*,(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则()A.{S n}是等差数列B.{S n2}是等差数列C.{d n}是等差数列 D.{d n2}是等差数列【分析】设锐角的顶点为O,再设|OA1|=a,|OB1|=c,|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d,由于a,c不确定,判断C,D不正确,设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n,运用三角形相似知识,h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n,可得S n+S n+2=2S n+1,进而得到数列{S n}为等差数列.【解答】解:设锐角的顶点为O,|OA1|=a,|OB1|=c,|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d,由于a,c不确定,则{d n}不一定是等差数列,{d n2}不一定是等差数列,设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n,由三角形的相似可得==,==,两式相加可得,==2,即有h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n,可得S n+S n+2=2S n+1,即为S n+2﹣S n+1=S n+1﹣S n,则数列{S n}为等差数列.另解:可设△A1B1B2,△A2B2B3,…,A n B n B n+1为直角三角形,且A1B1,A2B2,…,A n B n为直角边,即有h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n,可得S n+S n+2=2S n+1,即为S n+2﹣S n+1=S n+1﹣S n,则数列{S n}为等差数列.故选:A.【点评】本题考查等差数列的判断,注意运用三角形的相似和等差数列的性质,考查化简整理的推理能力,属于中档题.二、填空题9.(6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是80 cm2,体积是40cm3.【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体下部为长方体,上部为正方体的组合体,结合图中数据求出它的表面积和体积即可.【解答】解:根据几何体的三视图,得;该几何体是下部为长方体,其长和宽都为4,高为2,表面积为2×4×4+2×42=64cm2,体积为2×42=32cm3;上部为正方体,其棱长为2,表面积是6×22=24 cm2,体积为23=8cm3;所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2,体积为32+8=40cm3.故答案为:80;40.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题,也考查了空间想象和计算能力,是基础题.10.(6分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是(﹣2,﹣4),半径是5.【分析】由已知可得a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2,把a=﹣1代入原方程,配方求得圆心坐标和半径,把a=2代入原方程,由D2+E2﹣4F<0说明方程不表示圆,则答案可求.【解答】解:∵方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,∴a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2.当a=﹣1时,方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,所得圆的圆心坐标为(﹣2,﹣4),半径为5;当a=2时,方程化为,此时,方程不表示圆,故答案为:(﹣2,﹣4),5.【点评】本题考查圆的一般方程,考查圆的一般方程化标准方程,是基础题.11.(6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=1.【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边,即可得到答案.【解答】解:∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+(cos2x+sin2x)=sin(2x+)+1,∴A=,b=1,故答案为:;1.【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用,熟练掌握公式是解题的关键.12.(6分)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x ﹣a)2,x∈R,则实数a=﹣2,b=1.【分析】根据函数解析式化简f(x)﹣f(a),再化简(x﹣b)(x﹣a)2,根据等式两边对应项的系数相等列出方程组,求出a、b的值.【解答】解:∵f(x)=x3+3x2+1,∴f(x)﹣f(a)=x3+3x2+1﹣(a3+3a2+1)=x3+3x2﹣(a3+3a2)∵(x﹣b)(x﹣a)2=(x﹣b)(x2﹣2ax+a2)=x3﹣(2a+b)x2+(a2+2ab)x﹣a2b,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,∴,解得或(舍去),故答案为:﹣2;1.【点评】本题考查函数与方程的应用,考查化简能力和方程思想,属于中档题.13.(4分)设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.【分析】由题意画出图形,以P在双曲线右支为例,求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值,可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围.【解答】解:如图,由双曲线x2﹣=1,得a2=1,b2=3,∴.不妨以P在双曲线右支为例,当PF2⊥x轴时,把x=2代入x2﹣=1,得y=±3,即|PF2|=3,此时|PF1|=|PF2|+2=5,则|PF1|+|PF2|=8;由PF1⊥PF2,得,又|PF1|﹣|PF2|=2,①两边平方得:,∴|PF1||PF2|=6,②联立①②解得:,此时|PF1|+|PF2|=.∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是().故答案为:().【点评】本题考查双曲线的简单性质,考查双曲线定义的应用,考查数学转化思想方法,是中档题.14.(4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是.【分析】如图所示,取AC的中点O,AB=BC=3,可得BO⊥AC,在Rt△ACD′中,AC=.作D′E⊥AC,垂足为E,D′E=.CO=,CE==,EO=CO﹣CE=.过点B作BF∥AC,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC与BD′所成的角.则四边形BOEF为矩形,BF=EO=.EF=BO=.则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.利用余弦定理求出D′F2的最小值即可得出.【解答】解:如图所示,取AC的中点O,∵AB=BC=3,∴BO⊥AC,在Rt△ACD′中,=.作D′E⊥AC,垂足为E,D′E==.CO=,CE===,∴EO=CO﹣CE=.过点B作BF∥AC,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC与BD′所成的角.则四边形BOEF为矩形,∴BF=EO=.EF=BO==.则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.则D′F2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥,cosθ=1时取等号.∴D′B的最小值==2.∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===.也可以考虑利用向量法求解.故答案为:.【点评】本题考查了空间位置关系、空间角,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于难题.15.(4分)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是.【分析】由题意可知,||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,由此可知,当与共线时,||+||取得最大值,即.【解答】解:||+||=,其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,当与共线时,取得最大值.∴=.故答案为:.【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量在向量方向上的投影的概念,考查学生正确理解问题的能力,是中档题.三、解答题16.(14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=,求cosC的值.【分析】(1)由b+c=2acosB,利用正弦定理可得:sinB+sinC=2sinAcosB,而sinC=sin (A+B)=sinAcosB+cosAsinB,代入化简可得:sinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),可得0<A﹣B<π,即可证明.(II)cosB=,可得sinB=.cosA=cos2B=2cos2B﹣1,sinA=.利用cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB即可得出.【解答】(1)证明:∵b+c=2acosB,∴sinB+sinC=2sinAcosB,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),∴0<A﹣B<π,∴B=A﹣B,或B=π﹣(A﹣B),化为A=2B,或A=π(舍去).∴A=2B.(II)解:cosB=,∴sinB==.cosA=cos2B=2cos2B﹣1=,sinA==.∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=.【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.17.(15分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.(Ⅰ)求通项公式a n;(Ⅱ)求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和.【分析】(Ⅰ)根据条件建立方程组关系,求出首项,利用数列的递推关系证明数列{a n}是公比q=3的等比数列,即可求通项公式a n;(Ⅱ)讨论n的取值,利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和.【解答】解:(Ⅰ)∵S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.∴a1+a2=4,a2=2S1+1=2a1+1,解得a1=1,a2=3,=2S n+1,a n=2S n﹣1+1,当n≥2时,a n+1﹣a n=2(S n﹣S n﹣1)=2a n,两式相减得a n+1即a n=3a n,当n=1时,a1=1,a2=3,+1=3a n,满足a n+1∴=3,则数列{a n}是公比q=3的等比数列,则通项公式a n=3n﹣1.(Ⅱ)a n﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2,设b n=|a n﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|,则b1=|30﹣1﹣2|=2,b2=|3﹣2﹣2|=1,当n≥3时,3n﹣1﹣n﹣2>0,则b n=|a n﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2,此时数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和T n=3+﹣=,则T n==.【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算,根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{a n}是等比数列是解决本题的关键.求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和.18.(15分)如图,在三棱台ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.【分析】(Ⅰ)根据三棱台的定义,可知分别延长AD,BE,CF,会交于一点,并设该点为K,并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK,进而得出BF⊥AC.而根据条件可以判断出点E,F分别为边BK,CK的中点,从而得出△BCK为等边三角形,进而得出BF⊥CK,从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF为直线BD和平面ACFD所成的角,根据条件可以求出BF=,DF=,从而在Rt△BDF中可以求出BD的值,从而得出cos∠BDF的值,即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值.【解答】解:(Ⅰ)证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示:∵平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC;∴AC⊥平面BCK,BF⊂平面BCK;∴BF⊥AC;又EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2;∴△BCK为等边三角形,且F为CK的中点;∴BF⊥CK,且AC∩CK=C;∴BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)∵BF⊥平面ACFD;∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角;∵F为CK中点,且DF∥AC;∴DF为△ACK的中位线,且AC=3;∴;又;∴在Rt△BFD中,,cos;即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为【点评】考查三角形中位线的性质,等边三角形的中线也是高线,面面垂直的性质定理,以及线面垂直的判定定理,线面角的定义及求法,直角三角形边的关系,三角函数的定义.19.(15分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y 轴的距离等于|AF|﹣1,(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.【分析】(Ⅰ)利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程,进一步求得p值;(Ⅱ)设出直线AF的方程,与抛物线联立,求出B的坐标,求出直线AB,FN 的斜率,从而求出直线BN的方程,根据A、M、N三点共线,可求出M的横坐标的表达式,从而求出m的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离,由抛物线定义得,,即p=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设(t2,2t),t≠0,t≠±1,∵AF不垂直y轴,∴设直线AF:x=sy+1(s≠0),联立,得y2﹣4sy﹣4=0.y1y2=﹣4,∴B(),又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为,从而得FN:,直线BN:y=﹣,则N(),设M(m,0),由A、M、N三点共线,得,于是m==,得m<0或m>2.经检验,m<0或m>2满足题意.∴点M的横坐标的取值范围为(﹣∞,0)∪(2,+∞).【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查数学转化思想方法,属中档题.20.(15分)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1],证明:(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2(Ⅱ)<f(x)≤.【分析】(Ⅰ)根据题意,1﹣x+x2﹣x3=,利用放缩法得≤,即可证明结论成立;(Ⅱ)利用0≤x≤1时x3≤x,证明f(x)≤,再利用配方法证明f(x)≥,结合函数的最小值得出f(x)>,即证结论成立.【解答】解:(Ⅰ)证明:因为f(x)=x3+,x∈[0,1],且1﹣x+x2﹣x3==,所以≤,所以1﹣x+x2﹣x3≤,即f(x)≥1﹣x+x2;(Ⅱ)证明:因为0≤x≤1,所以x3≤x,所以f(x)=x3+≤x+=x+﹣+=+≤;由(Ⅰ)得,f(x)≥1﹣x+x2=+≥,且f()=+=>,所以f(x)>;综上,<f(x)≤.【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值,分段函数等基础知识,也考查了推理与论证,分析问题与解决问题的能力,是综合性题目.。
2016年浙江省高考数学试卷(文科)(同名12541)
2016年浙江省高考数学试卷(文科)(同名12541)2016年浙江省高考数学试卷(文科)一、选择题1.(5分)(2016•浙江)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁U P)∪Q=()A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}2.(5分)(2016•浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n3.(5分)(2016•浙江)函数y=sinx2的图象是()A.B. C.D.8.(5分)(2016•浙江)如图,点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+1,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+1,n ∈N*,(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则()A.{S n}是等差数列B.{S n2}是等差数列C.{d n}是等差数列D.{d n2}是等差数列二、填空题9.(6分)(2016•浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.10.(6分)(2016•浙江)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.11.(6分)(2016•浙江)已知2cos2x+sin2x=Asin (ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.12.(6分)(2016•浙江)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,x∈R,则实数a=,b=.13.(4分)(2016•浙江)设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.14.(4分)(2016•浙江)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是.15.(4分)(2016•浙江)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是.三、解答题16.(14分)(2016•浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=,求cosC的值.17.(15分)(2016•浙江)设数列{a n}的前n项和为S n,已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.(Ⅰ)求通项公式a n;(Ⅱ)求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和.18.(15分)(2016•浙江)如图,在三棱台ABC ﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.19.(15分)(2016•浙江)如图,设抛物线y2=2px (p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1,(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.20.(15分)(2016•浙江)设函数f(x)=x 3+,x∈[0,1],证明:(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2(Ⅱ)<f(x)≤.2016年浙江省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题1.(5分)(2016•浙江)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁U P)∪Q=()A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}【分析】先求出∁U P,再得出(∁U P)∪Q.【解答】解:∁U P={2,4,6},(∁U P)∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}={1,2,4,6}.故选C.【点评】本题考查了集合的运算,属于基础题.2.(5分)(2016•浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n【分析】由已知条件推导出l⊂β,再由n⊥β,推导出n⊥l.【解答】解:∵互相垂直的平面α,β交于直线l,直线m,n满足m∥α,∴m∥β或m⊂β或m⊥β,l⊂β,∵n⊥β,∴n⊥l.故选:C.【点评】本题考查两直线关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.3.(5分)(2016•浙江)函数y=sinx2的图象是()A.B. C.D.【分析】根据函数奇偶性的性质,以及函数零点的个数进行判断排除即可.【解答】解:∵sin(﹣x)2=sinx2,∴函数y=sinx2是偶函数,即函数的图象关于y 轴对称,排除A,C;由y=sinx2=0,则x2=kπ,k≥0,则x=±,k≥0,故函数有无穷多个零点,排除B,故选:D【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键.比较基础.4.(5分)(2016•浙江)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A. B.C. D.【分析】作出平面区域,找出距离最近的平行线的位置,求出直线方程,再计算距离.【解答】解:作出平面区域如图所示:∴当直线y=x+b分别经过A,B时,平行线间的距离相等.联立方程组,解得A(2,1),联立方程组,解得B(1,2).两条平行线分别为y=x﹣1,y=x+1,即x﹣y﹣1=0,x﹣y+1=0.∴平行线间的距离为d==,故选:B.【点评】本题考查了平面区域的作法,距离公式的应用,属于基础题.5.(5分)(2016•浙江)已知a,b>0且a≠1,b≠1,若log a b>1,则()A.(a﹣1)(b﹣1)<0 B.(a﹣1)(a﹣b)>0 C.(b﹣1)(b﹣a)<0 D.(b﹣1)(b﹣a)>0【分析】根据对数的运算性质,结合a>1或0<a<1进行判断即可.【解答】解:若a>1,则由log a b>1得log a b>log a a,即b>a>1,此时b﹣a>0,b>1,即(b ﹣1)(b﹣a)>0,若0<a<1,则由log a b>1得log a b>log a a,即b <a<1,此时b﹣a<0,b<1,即(b﹣1)(b﹣a)>0,综上(b﹣1)(b﹣a)>0,故选:D.【点评】本题主要考查不等式的应用,根据对数函数的性质,利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键.比较基础.6.(5分)(2016•浙江)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】求出f(x)的最小值及极小值点,分别把“b<0”和“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”当做条件,看能否推出另一结论即可判断.【解答】解:f(x)的对称轴为x=﹣,f min(x)=﹣.(1)若b<0,则﹣>﹣,∴当f(x)=﹣时,f(f(x))取得最小值f(﹣)=﹣,即f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等.∴“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分条件.(2)若f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等,则f min(x)≤﹣,即﹣≤﹣,解得b≤0或b ≥2.∴“b<0”不是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的必要条件.故选A.【点评】本题考查了二次函数的性质,简易逻辑关系的推导,属于基础题.7.(5分)(2016•浙江)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b【分析】根据不等式的性质,分别进行递推判断即可.【解答】解:A.若f(a)≤|b|,则由条件f (x)≥|x|得f(a)≥|a|,即|a|≤|b|,则a≤b不一定成立,故A错误,B.若f(a)≤2b,则由条件知f(x)≥2x,即f(a)≥2a,则2a≤f(a)≤2b,则a≤b,故B正确,C.若f(a)≥|b|,则由条件f(x)≥|x|得f (a)≥|a|,则|a|≥|b|不一定成立,故C错误,D.若f(a)≥2b,则由条件f(x)≥2x,得f (a)≥2a,则2a≥2b,不一定成立,即a≥b不一定成立,故D错误,故选:B【点评】本题主要考查不等式的判断和证明,根据条件,结合不等式的性质是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.8.(5分)(2016•浙江)如图,点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+1,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+1,n(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,∈N*,S n为△A n B n B n+1的面积,则()A.{S n}是等差数列B.{S n2}是等差数列C.{d n}是等差数列D.{d n2}是等差数列【分析】设锐角的顶点为O,再设|OA1|=a,|OB1|=c,|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d,由于a,c不确定,判断C,D不正确,设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n,运用三角形相似知识,h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n,可得S n+S n+2=2S n+1,进而得到数列{S n}为等差数列.【解答】解:设锐角的顶点为O,|OA1|=a,|OB1|=c,|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d,由于a,c不确定,则{d n}不一定是等差数列,{d n2}不一定是等差数列,设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n,由三角形的相似可得==,==,两式相加可得,==2,即有h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n,可得S n+S n+2=2S n+1,即为S n+2﹣S n+1=S n+1﹣S n,则数列{S n}为等差数列.故选:A.【点评】本题考查等差数列的判断,注意运用三角形的相似和等差数列的性质,考查化简整理的推理能力,属于中档题.二、填空题9.(6分)(2016•浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是80 cm2,体积是40cm3.【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体下部为长方体,上部为正方体的组合体,结合图中数据求出它的表面积和体积即可.【解答】解:根据几何体的三视图,得;该几何体是下部为长方体,其长和宽都为4,高为2,表面积为2×4×4+2×42=64cm2,体积为2×42=32cm3;上部为正方体,其棱长为2,表面积是6×22=24 cm2,体积为23=8cm3;所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2,体积为32+8=40cm3.故答案为:80;40.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题,也考查了空间想象和计算能力,是基础题.10.(6分)(2016•浙江)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是(﹣2,﹣4),半径是5.【分析】由已知可得a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2,把a=﹣1代入原方程,配方求得圆心坐标和半径,把a=2代入原方程,由D2+E2﹣4F<0说明方程不表示圆,则答案可求.【解答】解:∵方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,∴a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2.当a=﹣1时,方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,所得圆的圆心坐标为(﹣2,﹣4),半径为5;当a=2时,方程化为,此时,方程不表示圆,故答案为:(﹣2,﹣4),5.【点评】本题考查圆的一般方程,考查圆的一般方程化标准方程,是基础题.11.(6分)(2016•浙江)已知2cos2x+sin2x=Asin (ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=1.【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边,即可得到答案.【解答】解:∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+(cos2x+sin2x)+1=sin(2x+)+1,∴A=,b=1,故答案为:;1.【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用,熟练掌握公式是解题的关键.12.(6分)(2016•浙江)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,x∈R,则实数a=﹣2,b=1.【分析】根据函数解析式化简f(x)﹣f(a),再化简(x﹣b)(x﹣a)2,根据等式两边对应项的系数相等列出方程组,求出a、b的值.【解答】解:∵f(x)=x3+3x2+1,∴f(x)﹣f(a)=x3+3x2+1﹣(a3+3a2+1)=x3+3x2﹣(a3+3a2)∵(x﹣b)(x﹣a)2=(x﹣b)(x2﹣2ax+a2)=x3﹣(2a+b)x2+(a2+2ab)x﹣a2b,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,∴,解得或(舍去),故答案为:﹣2;1.【点评】本题考查函数与方程的应用,考查化简能力和方程思想,属于中档题.13.(4分)(2016•浙江)设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.【分析】由题意画出图形,以P在双曲线右支为例,求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值,可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围.【解答】解:如图,由双曲线x2﹣=1,得a2=1,b2=3,∴.不妨以P在双曲线右支为例,当PF2⊥x轴时,把x=2代入x2﹣=1,得y=±3,即|PF2|=3,此时|PF1|=|PF2|+2=5,则|PF1|+|PF2|=8;由PF 1⊥PF2,得,又|PF1|﹣|PF2|=2,①两边平方得:,∴|PF1||PF2|=6,②联立①②解得:,此时|PF 1|+|PF2|=.∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是().故答案为:().【点评】本题考查双曲线的简单性质,考查双曲线定义的应用,考查数学转化思想方法,是中档题.14.(4分)(2016•浙江)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是.【分析】如图所示,取AC的中点O,AB=BC=3,可得BO⊥AC,在Rt△ACD′中,AC=.作D′E⊥AC,垂足为E,D′E=.CO=,CE==,EO=CO﹣CE=.过点B作BF ∥AC,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC与BD′所成的角.则四边形BOEF为矩形,BF=EO=.EF=BO=.则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.利用余弦定理求出D′F2的最小值即可得出.【解答】解:如图所示,取AC的中点O,∵AB=BC=3,∴BO⊥AC,在Rt△ACD′中,=.作D′E⊥AC,垂足为E,D′E==.CO=,CE===,∴EO=CO﹣CE=.过点B作BF∥AC,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC 与BD′所成的角.则四边形BOEF为矩形,∴BF=EO=.EF=BO==.则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.则D′F 2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥,cosθ=1时取等号.∴D′B的最小值==2.∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===.故答案为:.【点评】本题考查了空间位置关系、空间角,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于难题.15.(4分)(2016•浙江)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是.【分析】由题意可知,||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,由此可知,当与共线时,||+||取得最大值,即.【解答】解:||+||=,其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,当与共线时,取得最大值.∴=.故答案为:.【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量在向量方向上的投影的概念,考查学生正确理解问题的能力,是中档题.三、解答题16.(14分)(2016•浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=,求cosC的值.【分析】(1)由b+c=2acosB,利用正弦定理可得:sinB+sinC=2sinAcosB,而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,代入化简可得:sinB=sin (A﹣B),由A,B∈(0,π),可得0<A﹣B <π,即可证明.(II)cosB=,可得sinB=.cosA=cos2B=2cos 2B﹣1,sinA=.利用cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB即可得出.【解答】(1)证明:∵b+c=2acosB,∴sinB+sinC=2sinAcosB,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),∴0<A﹣B<π,∴B=A﹣B,或B=π﹣(A﹣B),化为A=2B,或A=π(舍去).∴A=2B.(II)解:cosB=,∴sinB==.cosA=cos2B=2cos 2B﹣1=,sinA==.∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=.【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.17.(15分)(2016•浙江)设数列{a n}的前n项和为S n,已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.(Ⅰ)求通项公式a n;(Ⅱ)求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和.【分析】(Ⅰ)根据条件建立方程组关系,求出首项,利用数列的递推关系证明数列{a n}是公比q=3的等比数列,即可求通项公式a n;(Ⅱ)讨论n的取值,利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和.【解答】解:(Ⅰ)∵S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.∴a1+a2=4,a2=2S1+1=2a1+1,解得a1=1,a2=3,当n≥2时,a n+1=2S n+1,a n=2S n﹣1+1,两式相减得a n+1﹣a n=2(S n﹣S n﹣1)=2a n,即a n+1=3a n,当n=1时,a1=1,a2=3,满足a n+1=3a n,∴=3,则数列{a n}是公比q=3的等比数列,则通项公式a n=3n﹣1.(Ⅱ)a n﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2,设b n=|a n﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|,则b1=|30﹣1﹣2|=2,b2=|3﹣2﹣2|=1,当n≥3时,3n﹣1﹣n﹣2>0,则b n=|a n﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2,此时数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和T n=3+﹣=,则T n==.【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算,根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{a n}是等比数列是解决本题的关键.求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和.18.(15分)(2016•浙江)如图,在三棱台ABC ﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.【分析】(Ⅰ)根据三棱台的定义,可知分别延长AD,BE,CF,会交于一点,并设该点为K,并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK,进而得出BF⊥AC.而根据条件可以判断出点E,F分别为边BK,CK的中点,从而得出△BCK为等边三角形,进而得出BF⊥CK,从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF为直线BD和平面ACFD所成的角,根据条件可以求出BF=,DF=,从而在Rt△BDF中可以求出BD的值,从而得出cos∠BDF的值,即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值.【解答】解:(Ⅰ)证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示:∵平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC;∴AC⊥平面BCK,BF⊂平面BCK;∴BF⊥AC;又EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2;∴△BCK为等边三角形,且F为CK的中点;∴BF⊥CK,且AC∩CK=C;∴BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)∵BF⊥平面ACFD;∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角;∵F为CK中点,且DF∥AC;∴DF为△ACK的中位线,且AC=3;∴;又;∴在Rt△BFD中,,cos;即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为.【点评】考查三角形中位线的性质,等边三角形的中线也是高线,面面垂直的性质定理,以及线面垂直的判定定理,线面角的定义及求法,直角三角形边的关系,三角函数的定义.19.(15分)(2016•浙江)如图,设抛物线y2=2px (p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1,(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.【分析】(Ⅰ)利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程,进一步求得p值;(Ⅱ)设出直线AF的方程,与抛物线联立,求出B的坐标,求出直线AB,FN的斜率,从而求出直线BN的方程,根据A、M、N三点共线,可求出M的横坐标的表达式,从而求出m的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得,抛物线上点A 到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离,由抛物线定义得,,即p=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设(t2,2t),t≠0,t≠±1,∵AF不垂直y轴,∴设直线AF:x=sy+1(s≠0),联立,得y2﹣4sy﹣4=0.y1y2=﹣4,∴B(),又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为,从而得FN:,直线BN:y=﹣,则N(),设M(m,0),由A、M、N三点共线,得,于是m==,得m<0或m>2.经检验,m<0或m>2满足题意.∴点M的横坐标的取值范围为(﹣∞,0)∪(2,+∞).【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查数学转化思想方法,属中档题.20.(15分)(2016•浙江)设函数f(x)=x 3+,x∈[0,1],证明:(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2【分析】(Ⅰ)根据题意,1﹣x+x2﹣x3=,利用放缩法得≤,即可证明结论成立;(Ⅱ)利用0≤x≤1时x 3≤x,证明f(x)≤,再利用配方法证明f(x)≥,结合函数的最小值得出f(x)>,即证结论成立.【解答】解:(Ⅰ)证明:因为f(x)=x 3+,x ∈[0,1],且1﹣x+x2﹣x3==,所以≤,所以1﹣x+x 2﹣x3≤,即f(x)≥1﹣x+x2;(Ⅱ)证明:因为0≤x≤1,所以x3≤x,所以f(x)=x 3+≤x+=x+﹣+=+≤;由(Ⅰ)得,f(x)≥1﹣x+x 2=+≥,且f()=+=>,所以f(x)>;【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值,分段函数等基础知识,也考查了推理与论证,分析问题与解决问题的能力,是综合性题目.参与本试卷答题和审题的老师有:zhczcb;zlzhan;maths;双曲线;742048;sxs123;gongjy;沂蒙松(排名不分先后)菁优网2016年8月16日。
2016年高考文数真题试卷(浙江卷)及解析
2016年高考文数真题试卷(浙江卷)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷(选择题)一、选择题3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁UP)∪Q=()A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}2.若平面区域{x+y−3≥02x−y−3≤0x−2y+3≥0,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.3√55B.√2C.3√25D.√53.已知a,b>0且a≠1,b≠1,若logab>1,则()A.(a﹣1)(b﹣1)<0B.(a﹣1)(a﹣b)>0C.(b﹣1)(b﹣a)<0D.(b﹣1)(b﹣a)>04.已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤bB.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥bD.若f(a)≥2b,则a≥b答案第2页,总12页…○…………装……………○…………线…………○※※请※※不※※要※※在※※题※※…○…………装……………○…………线…………○6.如图,点列{A n }、{B n }分别在某锐角的两边上且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n ≠A n+1 , n∈N * , |B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n ≠B n+1 , n∈N * , (P≠Q 表示点P 与Q 不重合)若d n =|A n B n |,S n 为△A n B n B n+1的面积,则( )A.{S n }是等差数列B.{S n 2}是等差数列C.{d n }是等差数列D.{d n 2}是等差数列第II 卷(非选择题)二、填空题(题型注释)2+(a+2)y 2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 , 半径是 . 8.设函数f (x )=x 3+3x 2+1,已知a≠0,且f (x )﹣f (a )=(x ﹣b )(x ﹣a )2 , x∈R,则实数a= , b= . 9.设双曲线x2﹣ y 23 =1的左、右焦点分别为F 1、F 2 , 若点P 在双曲线上,且△F 1PF 2为锐角三角形,则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是 .10.如图,已知平面四边形ABCD ,AB=BC=3,CD=1,AD= √5 ,∠ADC=90°,沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD′,直线AC 与BD′所成角的余弦的最大值是 .11.已知平面向量 a →, b →,| a →|=1,| b →|=2, a →×b →=1,若 e →为平面单位向量,则|a →×e →|+| b →×e →|的最大值是 .三、解答题(题型注释)A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知b+c=2acosB . (1)证明:A=2B ;(2)若cosB= 23 ,求cosC 的值.…○…………订…………○…………线………___班级:___________考号:___________…○…………订…………○…………线………13.设数列{a n }的前n 项和为S n , 已知S 2=4,a n+1=2S n +1,n∈N * . (1)求通项公式a n ;(2)求数列{|a n ﹣n ﹣2|}的前n 项和.14.如图,在三棱台ABC ﹣DEF 中,平面BCFE⊥平面ABC ,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求证:BF⊥平面ACFD ;(2)求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值. 15.如图,设抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF|﹣1,(1)求p 的值;(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ,过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ,AN 与x 轴交于点M ,求M 的横坐标的取值范围. 16.设函数f (x )=x 3+ 1x+1 ,x∈[0,1],证明: (1)f (x )≥1﹣x+x 2 (2)34<f (x )≤ 32 .答案第4页,总12页……○…………装…………○…………订………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题……○…………装…………○…………订………参数答案1.C【解析】1.解:∁U P={2,4,6},(∁U P )∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}={1,2,4,6}. 故选C .【考点精析】利用交、并、补集的混合运算对题目进行判断即可得到答案,需要熟知求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法. 2.B【解析】2.解:作出平面区域如图所示:∴当直线y=x+b 分别经过A ,B 时,平行线间的距离相等. 联立方程组,解得A (2,1),联立方程组,解得B (1,2).两条平行线分别为y=x ﹣1,y=x+1,即x ﹣y ﹣1=0,x ﹣y+1=0. ∴平行线间的距离为d==,故选:B . 3.D【解析】3.解:若a >1,则由log a b >1得log a b >log a a ,即b >a >1,此时b ﹣a >0,b >1,即(b ﹣1)(b ﹣a )>0,若0<a <1,则由log a b >1得log a b >log a a ,即b <a <1,此时b ﹣a <0,b <1,即(b ﹣1)(b ﹣a )>0,综上(b ﹣1)(b ﹣a )>0, 故选:D .…………外…………○…………装学校:___________姓名…………内…………○…………装 4.A【解析】4.解:f (x )的对称轴为x=﹣ b 2 ,f min (x )=﹣ b 24 .(1)若b <0,则﹣ b2 >﹣b 24,∴当f (x )=﹣ b2 时,f (f (x ))取得最小值f (﹣ b 2 )=﹣ b 24 ,即f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等.∴“b<0”是“f(f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分条件.(2)若f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等, 则f min (x )≤﹣ b 2 ,即﹣ b 24 ≤﹣ b2 ,解得b≤0或b≥2.∴“b<0”不是“f(f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的必要条件. 故选A . 5.B【解析】5.解:A .若f (a )≤|b|,则由条件f (x )≥|x|得f (a )≥|a|, 即|a|≤|b|,则a≤b 不一定成立,故A 错误, B .若f (a )≤2b ,则由条件知f (x )≥2x ,即f (a )≥2a , 则2a ≤f(a )≤2b , 则a≤b,故B 正确,C .若f (a )≥|b|,则由条件f (x )≥|x|得f (a )≥|a|,则|a|≥|b|不一定成立,故C 错误,D .若f (a )≥2b , 则由条件f (x )≥2x , 得f (a )≥2a , 则2a ≥2b , 不一定成立,即a≥b 不一定成立,故D 错误, 故选:B 6.A【解析】6.解:设锐角的顶点为O ,|OA 1|=a ,|OB 1|=b , |A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b ,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d ,由于a ,b 不确定,则{d n }不一定是等差数列, {d n 2}不一定是等差数列,设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n ,由三角形的相似可得 = = , = = ,两式相加可得, = =2,即有h n +h n+2=2h n+1 ,由S n = 12 d•h n , 可得S n +S n+2=2S n+1 , 即为S n+2﹣S n+1=S n+1﹣S n , 则数列{S n }为等差数列.答案第6页,总12页○…………外………○…………装………○…………订…………○………线…………○※※请※※不※※要※※在※※※※订※※线※※内※※答※※题※※○…………内………○…………装………○…………订…………○………线…………○故选:A .7.(﹣2,﹣4);5【解析】7.解:∵方程a 2x 2+(a+2)y 2+4x+8y+5a=0表示圆, ∴a 2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2.当a=﹣1时,方程化为x 2+y 2+4x+8y ﹣5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,所得圆的圆心坐标为(﹣2,﹣4),半径为5;当a=2时,方程化为 ,此时 ,方程不表示圆,所以答案是:(﹣2,﹣4),5.【考点精析】关于本题考查的圆的一般方程,需要了解圆的一般方程的特点:(1)①x2和y2的系数相同,不等于0.②没有xy 这样的二次项;(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ,因之只要求出这三个系数,圆的方程就确定了;(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显才能得出正确答案. 8.-2;1【解析】8.解:∵f(x )=x 3+3x 2+1,∴f(x )﹣f (a )=x 3+3x 2+1﹣(a 3+3a 2+1) =x 3+3x 2﹣(a 3+3a 2)∵(x ﹣b )(x ﹣a )2=(x ﹣b )(x 2﹣2ax+a 2)=x 3﹣(2a+b )x 2+(a 2+2ab )x ﹣a 2b , 且f (x )﹣f (a )=(x ﹣b )(x ﹣a )2 ,∴ ,解得 或 (舍去),所以答案是:﹣2;1. 9.(2√7,8)【解析】9.解:如图,由双曲线x 2﹣ =1,得a 2=1,b 2=3,∴ .不妨以P 在双曲线右支为例,当PF 2⊥x 轴时,把x=2代入x 2﹣ =1,得y=±3,即|PF 2|=3,此时|PF 1|=|PF 2|+2=5,则|PF 1|+|PF 2|=8;……外…………○…………装…………○………订…………○…………线…………○…学校:___________姓名:___________班级:_____考号:___________……内…………○…………装…………○………订…………○…………线…………○…由PF 1⊥PF 2 , 得,又|PF 1|﹣|PF 2|=2,①两边平方得: ,∴|PF 1||PF 2|=6,② 联立①②解得:,此时|PF 1|+|PF 2|= .∴使△F 1PF 2为锐角三角形的|PF 1|+|PF 2|的取值范围是().所以答案是:().10.√66【解析】10.解:如图所示,取AC 的中点O ,∵AB=BC=3,∴BO⊥AC,在Rt△ACD′中,=.作D′E⊥AC,垂足为E ,D′E==.CO=,CE== = ,∴EO=CO﹣CE= .过点B 作BF∥BO,作FE∥BO 交BF 于点F ,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC 与BD′所成的角.则四边形BOEF 为矩形,∴BF=EO=.EF=BO==.则∠FED′为二面角D′﹣CA ﹣B 的平面角,设为θ. 则D′F 2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥,cosθ=1时取等号.∴D′B 的最小值= =2.∴直线AC 与BD′所成角的余弦的最大值= = = .所以答案是: .答案第8页,总12页…○…………外…………订……○…………线…………○订※※线※※内※※答※※…○…………内…………订……○…………线…………○【考点精析】掌握异面直线及其所成的角是解答本题的根本,需要知道异面直线所成角的求法:1、平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线;2、补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系. 11.√7【解析】11.解:||+||=, 其几何意义为 在 上的投影的绝对值与 在 上投影的绝对值的和,当 与共线时,取得最大值.∴ =.所以答案是:.12.(1)证明:∵b+c=2acosB, ∴sinB+sinC=2sinAcosB,∵sinC=sin(A+B )=sinAcosB+cosAsinB ,∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin (A ﹣B ),由A ,B∈(0,π),∴0<A ﹣B <π,∴B=A﹣B ,或B=π﹣(A ﹣B ),化为A=2B ,或A=π(舍去). ∴A=2B.(2)解:cosB= 23 ,∴sinB= √1−cos 2B = √53 . cosA=cos2B=2cos 2B ﹣1= −19,sinA= √1−cos 2A =4√59. ∴cosC=﹣cos (A+B )=﹣cosAcosB+sinAsinB= −23×(−19)+√53×4√59= 2227 .【解析】12.(1)由b+c=2acosB ,利用正弦定理可得:sinB+sinC=2sinAcosB ,而sinC=sin (A+B )=sinAcosB+cosAsinB ,代入化简可得:sinB=sin (A ﹣B ),由A ,B∈(0,π),可得0<A ﹣B <π,即可证明.(2)cosB= ,可得sinB= .cosA=cos2B=2cos 2B﹣1,sinA=.利用cosC=﹣cos (A+B )=﹣cosAcosB+sinAsinB 即可得出.本线…………○…线…………○…题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.【考点精析】掌握正弦定理的定义是解答本题的根本,需要知道正弦定理:.13. (1)解:∵S 2=4,a n+1=2S n +1,n∈N *. ∴a 1+a 2=4,a 2=2S 1+1=2a 1+1, 解得a 1=1,a 2=3,当n≥2时,a n+1=2S n +1,a n =2S n ﹣1+1, 两式相减得a n+1﹣a n =2(S n ﹣S n ﹣1)=2a n , 即a n+1=3a n ,当n=1时,a 1=1,a 2=3, 满足a n+1=3a n , ∴a n+1a n=3,则数列{a n }是公比q=3的等比数列,则通项公式a n =3n ﹣1(2)解:a n ﹣n ﹣2=3n ﹣1﹣n ﹣2,设b n =|a n ﹣n ﹣2|=|3n ﹣1﹣n ﹣2|,则b 1=|30﹣1﹣2|=2,b 2=|3﹣2﹣2|=1, 当n≥3时,3n ﹣1﹣n ﹣2>0,则b n =|a n ﹣n ﹣2|=3n ﹣1﹣n ﹣2, 此时数列{|a n ﹣n ﹣2|}的前n 项和T n =3+ 9(1−3n−2)1−3 ﹣ (5+n+2)(n−2)2 = 3n −n 2−5n+112,则T n = {2,n =13,n =23n n 2−5n+112,n ≥3.【解析】13.(1)根据条件建立方程组关系,求出首项,利用数列的递推关系证明数列{a n }是公比q=3的等比数列,即可求通项公式a n ;(2)讨论n 的取值,利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|a n ﹣n ﹣2|}的前n 项和.本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算,根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{a n }是等比数列是解决本题的关键.求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和.【考点精析】认真审题,首先需要了解数列的通项公式(如果数列a n 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式). 14. (1)证明:延长AD ,BE ,CF 相交于一点K ,如图所示:答案第10页,总12页…○…………外…………○………线…………○※…○…………内…………○………线…………○∵平面BCFE⊥平面ABC ,且AC⊥BC; ∴AC⊥平面BCK ,BF ⊂平面BCK ; ∴BF⊥AC;又EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2;∴△BCK 为等边三角形,且F 为CK 的中点; ∴BF⊥CK,且AC∩CK=C; ∴BF⊥平面ACFD(2)∵BF⊥平面ACFD ;∴∠BDF 是直线BD 和平面ACFD 所成的角; ∵F 为CK 中点,且DF∥AC;∴DF 为△ACK 的中位线,且AC=3;∴ DF =32;又 BF =√3 ;∴在Rt△BFD 中, BD =√3+94=√212,cos ∠BDF =DF BD=32√212=√217;即直线BD 和平面ACFD 所成角的余弦值为√217.【解析】14.(1)根据三棱台的定义,可知分别延长AD ,BE ,CF ,会交于一点,并设该点为K ,并且可以由平面BCFE⊥平面ABC 及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK ,进而得出BF⊥AC.而根据条件可以判断出点E ,F 分别为边BK ,CK 的中点,从而得出△BCK 为等边三角形,进而得出BF⊥CK,从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD ;(2)由BF⊥平面ACFD 便可得出∠BDF 为直线BD 和平面ACFD 所成的角,根据条件可以求出BF=,DF= 32 ,从而在Rt△BDF 中可以求出BD 的值,从而得出cos∠BDF 的值,即得出直线BD 和平面ACFD 所成角的余弦值.考查三角形中位线的性质,等边三角形的中线也是高线,面面垂直的性质定理,以及线面垂直的判定定理,线面角的定义及求法,直角三角形边的关系,三角函数的定义.【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识点,需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;第11页,总12页线…………○…线…………○…注意点:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想;已知为两异面直线,A ,C 与B ,D 分别是上的任意两点,所成的角为,则才能正确解答此题.15. (1)解:由题意可得,抛物线上点A 到焦点F 的距离等于A 到直线x=﹣1的距离, 由抛物线定义得, P2=1 ,即p=2(2)解:由(1)得,抛物线方程为y 2=4x ,F (1,0),可设(t 2,2t ),t≠0,t≠±1, ∵AF 不垂直y 轴,∴设直线AF :x=sy+1(s≠0),联立 {y 2=4xx =sy +1,得y 2﹣4sy ﹣4=0.y 1y 2=﹣4, ∴B (1t2,−2t ) ,又直线AB 的斜率为 2tt 2−1 ,故直线FN 的斜率为t 2−12t, 从而得FN : y =−t 2−12t(x −1) ,直线BN :y=﹣ 2t ,则N ( t 2+3t 2−1,−2t ),设M (m ,0),由A 、M 、N三点共线,得 2tt 2−m=2t+2tt 2−t 2+3t 2−1, 于是m= 2t 2t 2−1 = 21−1t 2,得m <0或m >2.经检验,m <0或m >2满足题意.∴点M 的横坐标的取值范围为(﹣∞,0)∪(2,+∞).【解析】15.(1)利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程,进一步求得p 值; (2)设出直线AF 的方程,与抛物线联立,求出B 的坐标,求出直线AB ,FN 的斜率,从而求出直线BN 的方程,根据A 、M 、N 三点共线,可求出M 的横坐标的表达式,从而求出m 的取值范围.本题考查抛物线的简单性质,考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查数学转化思想方法,属中档题. 16. (1)答案第12页,总12页○…………装………※※请※※不※※要※※在※※○…………装………证明:因为f (x )=x 3+ 1x+1 ,x∈[0,1], 且1﹣x+x 2﹣x3= 1−(−x)41−(−x)=1−x 41+x, 所以 1−x 41+x ≤ 1x+1 ,所以1﹣x+x 2﹣x 3≤ 1x+1 , 即f (x )≥1﹣x+x 2;(2)证明:因为0≤x≤1,所以x 3≤x,所以f (x )=x 3+ 1x+1 ≤x+ 1x+1 =x+ 1x+1 ﹣ 32 + 32 = (x−1)(2x+1)2(x+1) + 32 ≤ 32;由(1)得,f (x )≥1﹣x+x 2= (x −12)2 + 34 ≥ 34 ,且f ( 12 )= (12)3 + 11+12= 1924 > 34 ,所以f (x )> 34 ; 综上, 34 <f (x )≤ 32 .【解析】16.(1)根据题意,1﹣x+x 2﹣x 3=,利用放缩法得≤ 1x+1 ,即可证明结论成立;(2)利用0≤x≤1时x 3≤x,证明f (x )≤ ,再利用配方法证明f (x )≥ ,结合函数的最小值得出f (x )> ,即证结论成立.本题主要考查了函数的单调性与最值,分段函数等基础知识,也考查了推理与论证,分析问题与解决问题的能力,是综合性题目.。
2016年浙江省高考数学试卷(文科)
2016年浙江省高考数学试卷(文科)一、选择题1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁U P)∪Q=()A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}2.(5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n3.(5分)函数y=sinx2的图象是()A.B.C.D.4.(5分)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.B.C.D.5.(5分)已知a,b>0且a≠1,b≠1,若log a b>1,则()A.(a﹣1)(b﹣1)<0 B.(a﹣1)(a﹣b)>0 C.(b﹣1)(b﹣a)<0 D.(b ﹣1)(b﹣a)>06.(5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.(5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b8.(5分)如图,点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+1,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+1,n∈N*,(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则()A.{S n}是等差数列B.{S n2}是等差数列C.{d n}是等差数列 D.{d n2}是等差数列二、填空题9.(6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.10.(6分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.11.(6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.12.(6分)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x ﹣a)2,x∈R,则实数a=,b=.13.(4分)设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.14.(4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是.15.(4分)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是.三、解答题16.(14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=,求cosC的值.17.(15分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.(Ⅰ)求通项公式a n;(Ⅱ)求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和.18.(15分)如图,在三棱台ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.19.(15分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y 轴的距离等于|AF|﹣1,(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.20.(15分)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1],证明:(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2(Ⅱ)<f(x)≤.2016年浙江省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁U P)∪Q=()A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}【分析】先求出∁U P,再得出(∁U P)∪Q.【解答】解:∁U P={2,4,6},(∁U P)∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}={1,2,4,6}.故选:C.【点评】本题考查了集合的运算,属于基础题.2.(5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n【分析】由已知条件推导出l⊂β,再由n⊥β,推导出n⊥l.【解答】解:∵互相垂直的平面α,β交于直线l,直线m,n满足m∥α,∴m∥β或m⊂β或m与β相交,l⊂β,∵n⊥β,∴n⊥l.故选:C.【点评】本题考查两直线关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.3.(5分)函数y=sinx2的图象是()A.B.C.D.【分析】根据函数奇偶性的性质,以及函数零点的个数进行判断排除即可.【解答】解:∵sin(﹣x)2=sinx2,∴函数y=sinx2是偶函数,即函数的图象关于y轴对称,排除A,C;由y=sinx2=0,则x2=kπ,k≥0,则x=±,k≥0,故函数有无穷多个零点,排除B,故选:D.【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键.比较基础.4.(5分)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.B.C.D.【分析】作出平面区域,找出距离最近的平行线的位置,求出直线方程,再计算距离.【解答】解:作出平面区域如图所示:∴当直线y=x+b分别经过A,B时,平行线间的距离相等.联立方程组,解得A(2,1),联立方程组,解得B(1,2).两条平行线分别为y=x﹣1,y=x+1,即x﹣y﹣1=0,x﹣y+1=0.∴平行线间的距离为d==,故选:B.【点评】本题考查了平面区域的作法,距离公式的应用,属于基础题.5.(5分)已知a,b>0且a≠1,b≠1,若log a b>1,则()A.(a﹣1)(b﹣1)<0 B.(a﹣1)(a﹣b)>0 C.(b﹣1)(b﹣a)<0 D.(b ﹣1)(b﹣a)>0【分析】根据对数的运算性质,结合a>1或0<a<1进行判断即可.【解答】解:若a>1,则由log a b>1得log a b>log a a,即b>a>1,此时b﹣a>0,b>1,即(b﹣1)(b﹣a)>0,若0<a<1,则由log a b>1得log a b>log a a,即b<a<1,此时b﹣a<0,b<1,即(b﹣1)(b﹣a)>0,综上(b﹣1)(b﹣a)>0,故选:D.【点评】本题主要考查不等式的应用,根据对数函数的性质,利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键.比较基础.6.(5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】求出f(x)的最小值及极小值点,分别把“b<0”和“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”当做条件,看能否推出另一结论即可判断.【解答】解:f(x)的对称轴为x=﹣,f min(x)=﹣.(1)若b<0,则﹣>﹣,∴当f(x)=﹣时,f(f(x))取得最小值f(﹣)=﹣,即f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等.∴“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分条件.(2)设f(x)=t,则f(f(x))=f(t),∴f(t)在(﹣,﹣)上单调递减,在(﹣,+∞)上单调递增,若f(f(x))=f(t)的最小值与f(x)的最小值相等,则﹣≤﹣,解得b≤0或b≥2.∴“b<0”不是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的必要条件.故选:A.【点评】本题考查了二次函数的性质,简易逻辑关系的推导,属于基础题.7.(5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b【分析】根据不等式的性质,分别进行递推判断即可.【解答】解:A.若f(a)≤|b|,则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|,即|a|≤|b|,则a≤b不一定成立,故A错误,B.若f(a)≤2b,则由条件知f(x)≥2x,即f(a)≥2a,则2a≤f(a)≤2b,则a≤b,故B正确,C.若f(a)≥|b|,则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|,则|a|≥|b|不一定成立,故C错误,D.若f(a)≥2b,则由条件f(x)≥2x,得f(a)≥2a,则2a≥2b,不一定成立,即a≥b不一定成立,故D错误,故选:B.【点评】本题主要考查不等式的判断和证明,根据条件,结合不等式的性质是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.8.(5分)如图,点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+1,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+1,n∈N*,(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则()A.{S n}是等差数列B.{S n2}是等差数列C.{d n}是等差数列 D.{d n2}是等差数列【分析】设锐角的顶点为O,再设|OA1|=a,|OB1|=c,|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d,由于a,c不确定,判断C,D不正确,设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n,运用三角形相似知识,h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n,可得S n+S n+2=2S n+1,进而得到数列{S n}为等差数列.【解答】解:设锐角的顶点为O,|OA1|=a,|OB1|=c,|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d,由于a,c不确定,则{d n}不一定是等差数列,{d n2}不一定是等差数列,设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n,由三角形的相似可得==,==,两式相加可得,==2,即有h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n,可得S n+S n+2=2S n+1,即为S n+2﹣S n+1=S n+1﹣S n,则数列{S n}为等差数列.另解:可设△A1B1B2,△A2B2B3,…,A n B n B n+1为直角三角形,且A1B1,A2B2,…,A n B n为直角边,即有h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n,可得S n+S n+2=2S n+1,即为S n+2﹣S n+1=S n+1﹣S n,则数列{S n}为等差数列.故选:A.【点评】本题考查等差数列的判断,注意运用三角形的相似和等差数列的性质,考查化简整理的推理能力,属于中档题.二、填空题9.(6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是80 cm2,体积是40cm3.【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体下部为长方体,上部为正方体的组合体,结合图中数据求出它的表面积和体积即可.【解答】解:根据几何体的三视图,得;该几何体是下部为长方体,其长和宽都为4,高为2,表面积为2×4×4+2×42=64cm2,体积为2×42=32cm3;上部为正方体,其棱长为2,表面积是6×22=24 cm2,体积为23=8cm3;所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2,体积为32+8=40cm3.故答案为:80;40.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题,也考查了空间想象和计算能力,是基础题.10.(6分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是(﹣2,﹣4),半径是5.【分析】由已知可得a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2,把a=﹣1代入原方程,配方求得圆心坐标和半径,把a=2代入原方程,由D2+E2﹣4F<0说明方程不表示圆,则答案可求.【解答】解:∵方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,∴a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2.当a=﹣1时,方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,所得圆的圆心坐标为(﹣2,﹣4),半径为5;当a=2时,方程化为,此时,方程不表示圆,故答案为:(﹣2,﹣4),5.【点评】本题考查圆的一般方程,考查圆的一般方程化标准方程,是基础题.11.(6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=1.【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边,即可得到答案.【解答】解:∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+(cos2x+sin2x)=sin(2x+)+1,∴A=,b=1,故答案为:;1.【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用,熟练掌握公式是解题的关键.12.(6分)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x ﹣a)2,x∈R,则实数a=﹣2,b=1.【分析】根据函数解析式化简f(x)﹣f(a),再化简(x﹣b)(x﹣a)2,根据等式两边对应项的系数相等列出方程组,求出a、b的值.【解答】解:∵f(x)=x3+3x2+1,∴f(x)﹣f(a)=x3+3x2+1﹣(a3+3a2+1)=x3+3x2﹣(a3+3a2)∵(x﹣b)(x﹣a)2=(x﹣b)(x2﹣2ax+a2)=x3﹣(2a+b)x2+(a2+2ab)x﹣a2b,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,∴,解得或(舍去),故答案为:﹣2;1.【点评】本题考查函数与方程的应用,考查化简能力和方程思想,属于中档题.13.(4分)设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.【分析】由题意画出图形,以P在双曲线右支为例,求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值,可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围.【解答】解:如图,由双曲线x2﹣=1,得a2=1,b2=3,∴.不妨以P在双曲线右支为例,当PF2⊥x轴时,把x=2代入x2﹣=1,得y=±3,即|PF2|=3,此时|PF1|=|PF2|+2=5,则|PF1|+|PF2|=8;由PF1⊥PF2,得,又|PF1|﹣|PF2|=2,①两边平方得:,∴|PF1||PF2|=6,②联立①②解得:,此时|PF1|+|PF2|=.∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是().故答案为:().【点评】本题考查双曲线的简单性质,考查双曲线定义的应用,考查数学转化思想方法,是中档题.14.(4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是.【分析】如图所示,取AC的中点O,AB=BC=3,可得BO⊥AC,在Rt△ACD′中,AC=.作D′E⊥AC,垂足为E,D′E=.CO=,CE==,EO=CO﹣CE=.过点B作BF∥AC,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC与BD′所成的角.则四边形BOEF为矩形,BF=EO=.EF=BO=.则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.利用余弦定理求出D′F2的最小值即可得出.【解答】解:如图所示,取AC的中点O,∵AB=BC=3,∴BO⊥AC,在Rt△ACD′中,=.作D′E⊥AC,垂足为E,D′E==.CO=,CE===,∴EO=CO﹣CE=.过点B作BF∥AC,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC与BD′所成的角.则四边形BOEF为矩形,∴BF=EO=.EF=BO==.则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.则D′F2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥,cosθ=1时取等号.∴D′B的最小值==2.∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===.也可以考虑利用向量法求解.故答案为:.【点评】本题考查了空间位置关系、空间角,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于难题.15.(4分)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是.【分析】由题意可知,||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,由此可知,当与共线时,||+||取得最大值,即.【解答】解:||+||=,其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,当与共线时,取得最大值.∴=.故答案为:.【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量在向量方向上的投影的概念,考查学生正确理解问题的能力,是中档题.三、解答题16.(14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=,求cosC的值.【分析】(1)由b+c=2acosB,利用正弦定理可得:sinB+sinC=2sinAcosB,而sinC=sin (A+B)=sinAcosB+cosAsinB,代入化简可得:sinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),可得0<A﹣B<π,即可证明.(II)cosB=,可得sinB=.cosA=cos2B=2cos2B﹣1,sinA=.利用cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB即可得出.【解答】(1)证明:∵b+c=2acosB,∴sinB+sinC=2sinAcosB,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),∴0<A﹣B<π,∴B=A﹣B,或B=π﹣(A﹣B),化为A=2B,或A=π(舍去).∴A=2B.(II)解:cosB=,∴sinB==.cosA=cos2B=2cos2B﹣1=,sinA==.∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=.【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.17.(15分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.(Ⅰ)求通项公式a n;(Ⅱ)求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和.【分析】(Ⅰ)根据条件建立方程组关系,求出首项,利用数列的递推关系证明数列{a n}是公比q=3的等比数列,即可求通项公式a n;(Ⅱ)讨论n的取值,利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和.【解答】解:(Ⅰ)∵S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.∴a1+a2=4,a2=2S1+1=2a1+1,解得a1=1,a2=3,当n≥2时,a n=2S n+1,a n=2S n﹣1+1,+1﹣a n=2(S n﹣S n﹣1)=2a n,两式相减得a n+1=3a n,当n=1时,a1=1,a2=3,即a n+1=3a n,满足a n+1∴=3,则数列{a n}是公比q=3的等比数列,则通项公式a n=3n﹣1.(Ⅱ)a n﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2,设b n=|a n﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|,则b1=|30﹣1﹣2|=2,b2=|3﹣2﹣2|=1,当n≥3时,3n﹣1﹣n﹣2>0,则b n=|a n﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2,此时数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和T n=3+﹣=,则T n==.【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算,根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{a n}是等比数列是解决本题的关键.求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和.18.(15分)如图,在三棱台ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.【分析】(Ⅰ)根据三棱台的定义,可知分别延长AD,BE,CF,会交于一点,并设该点为K,并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK,进而得出BF⊥AC.而根据条件可以判断出点E,F分别为边BK,CK的中点,从而得出△BCK为等边三角形,进而得出BF⊥CK,从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF为直线BD和平面ACFD所成的角,根据条件可以求出BF=,DF=,从而在Rt△BDF中可以求出BD的值,从而得出cos∠BDF的值,即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值.【解答】解:(Ⅰ)证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示:∵平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC;∴AC⊥平面BCK,BF⊂平面BCK;∴BF⊥AC;又EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2;∴△BCK为等边三角形,且F为CK的中点;∴BF⊥CK,且AC∩CK=C;∴BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)∵BF⊥平面ACFD;∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角;∵F为CK中点,且DF∥AC;∴DF为△ACK的中位线,且AC=3;∴;又;∴在Rt△BFD中,,cos;即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为【点评】考查三角形中位线的性质,等边三角形的中线也是高线,面面垂直的性质定理,以及线面垂直的判定定理,线面角的定义及求法,直角三角形边的关系,三角函数的定义.19.(15分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y 轴的距离等于|AF|﹣1,(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.【分析】(Ⅰ)利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程,进一步求得p值;(Ⅱ)设出直线AF的方程,与抛物线联立,求出B的坐标,求出直线AB,FN 的斜率,从而求出直线BN的方程,根据A、M、N三点共线,可求出M的横坐标的表达式,从而求出m的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离,由抛物线定义得,,即p=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设(t2,2t),t≠0,t≠±1,∵AF不垂直y轴,∴设直线AF:x=sy+1(s≠0),联立,得y2﹣4sy﹣4=0.y1y2=﹣4,∴B(),又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为,从而得FN:,直线BN:y=﹣,则N(),设M(m,0),由A、M、N三点共线,得,于是m==,得m<0或m>2.经检验,m<0或m>2满足题意.∴点M的横坐标的取值范围为(﹣∞,0)∪(2,+∞).【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查数学转化思想方法,属中档题.20.(15分)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1],证明:(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2(Ⅱ)<f(x )≤.【分析】(Ⅰ)根据题意,1﹣x+x2﹣x3=,利用放缩法得≤,即可证明结论成立;(Ⅱ)利用0≤x≤1时x3≤x,证明f(x )≤,再利用配方法证明f(x )≥,结合函数的最小值得出f(x )>,即证结论成立.【解答】解:(Ⅰ)证明:因为f(x)=x3+,x∈[0,1],且1﹣x+x2﹣x3==,所以≤,所以1﹣x+x2﹣x3≤,即f(x)≥1﹣x+x2;(Ⅱ)证明:因为0≤x≤1,所以x3≤x,所以f(x)=x3+≤x +=x +﹣+=+≤;由(Ⅰ)得,f(x)≥1﹣x+x2=+≥,且f ()=+=>,所以f(x )>;综上,<f(x )≤.【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值,分段函数等基础知识,也考查了推理与论证,分析问题与解决问题的能力,是综合性题目.第21页(共21页)。
2016年浙江省高考数学试卷(文科)
2016年浙江省高考数学试卷(文科)一、选择题1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},P)∪Q=()则(∁UA.{1} B.{3,5} C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5}2.(5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n ⊥β,则()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n3.(5分)函数y=sinx2的图象是()A.B.C.D.4.(5分)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.B.C.D.b>1,则()5.(5分)已知a,b>0且a≠1,b≠1,若logaA.(a﹣1)(b﹣1)<0 B.(a﹣1)(a﹣b)>0 C.(b﹣1)(b﹣a)<0 D.(b ﹣1)(b﹣a)>06.(5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.(5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b8.(5分)如图,点列{An }、{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,A n ≠An+1,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+1,n∈N*,(P≠Q表示点P与Q不重合)若dn =|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则()A.{Sn }是等差数列 B.{Sn2}是等差数列C.{dn }是等差数列 D.{dn2}是等差数列二、填空题9.(6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.10.(6分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.11.(6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= .12.(6分)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,x∈R,则实数a= ,b= .13.(4分)设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.14.(4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是.15.(4分)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是.三、解答题16.(14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=,求cosC的值.17.(15分)设数列{an }的前n项和为Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.(Ⅰ)求通项公式an;(Ⅱ)求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和.18.(15分)如图,在三棱台ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.19.(15分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y 轴的距离等于|AF|﹣1,(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.20.(15分)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1],证明:(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2(Ⅱ)<f(x)≤.2016年浙江省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁UP)∪Q=()A.{1} B.{3,5} C.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5}【分析】先求出∁U P,再得出(∁UP)∪Q.【解答】解:∁UP={2,4,6},(∁UP)∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}={1,2,4,6}.故选:C.【点评】本题考查了集合的运算,属于基础题.2.(5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n ⊥β,则()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n【分析】由已知条件推导出l⊂β,再由n⊥β,推导出n⊥l.【解答】解:∵互相垂直的平面α,β交于直线l,直线m,n满足m∥α,∴m∥β或m⊂β或m与β相交,l⊂β,∵n⊥β,∴n⊥l.故选:C.【点评】本题考查两直线关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.3.(5分)函数y=sinx2的图象是()A.B.C.D.【分析】根据函数奇偶性的性质,以及函数零点的个数进行判断排除即可.【解答】解:∵sin(﹣x)2=sinx2,∴函数y=sinx2是偶函数,即函数的图象关于y轴对称,排除A,C;由y=sinx2=0,则x2=kπ,k≥0,则x=±,k≥0,故函数有无穷多个零点,排除B,故选:D.【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键.比较基础.4.(5分)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.B.C.D.【分析】作出平面区域,找出距离最近的平行线的位置,求出直线方程,再计算距离.【解答】解:作出平面区域如图所示:∴当直线y=x+b分别经过A,B时,平行线间的距离相等.联立方程组,解得A(2,1),联立方程组,解得B(1,2).两条平行线分别为y=x﹣1,y=x+1,即x﹣y﹣1=0,x﹣y+1=0.∴平行线间的距离为d==,故选:B.【点评】本题考查了平面区域的作法,距离公式的应用,属于基础题.5.(5分)已知a,b>0且a≠1,b≠1,若logab>1,则()A.(a﹣1)(b﹣1)<0 B.(a﹣1)(a﹣b)>0 C.(b﹣1)(b﹣a)<0 D.(b ﹣1)(b﹣a)>0【分析】根据对数的运算性质,结合a>1或0<a<1进行判断即可.【解答】解:若a>1,则由loga b>1得logab>logaa,即b>a>1,此时b﹣a>0,b>1,即(b﹣1)(b﹣a)>0,若0<a<1,则由loga b>1得logab>logaa,即b<a<1,此时b﹣a<0,b<1,即(b﹣1)(b﹣a)>0,综上(b﹣1)(b﹣a)>0,故选:D.【点评】本题主要考查不等式的应用,根据对数函数的性质,利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键.比较基础.6.(5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】求出f(x)的最小值及极小值点,分别把“b<0”和“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”当做条件,看能否推出另一结论即可判断.(x)=﹣.【解答】解:f(x)的对称轴为x=﹣,fmin(1)若b<0,则﹣>﹣,∴当f(x)=﹣时,f(f(x))取得最小值f (﹣)=﹣,即f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等.∴“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分条件.(2)设f(x)=t,则f(f(x))=f(t),∴f(t)在(﹣,﹣)上单调递减,在(﹣,+∞)上单调递增,若f(f(x))=f(t)的最小值与f(x)的最小值相等,则﹣≤﹣,解得b≤0或b≥2.∴“b<0”不是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的必要条件.故选:A.【点评】本题考查了二次函数的性质,简易逻辑关系的推导,属于基础题.7.(5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b【分析】根据不等式的性质,分别进行递推判断即可.【解答】解:A.若f(a)≤|b|,则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|,即|a|≤|b|,则a≤b不一定成立,故A错误,B.若f(a)≤2b,则由条件知f(x)≥2x,即f(a)≥2a,则2a≤f(a)≤2b,则a≤b,故B正确,C.若f(a)≥|b|,则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|,则|a|≥|b|不一定成立,故C错误,D.若f(a)≥2b,则由条件f(x)≥2x,得f(a)≥2a,则2a≥2b,不一定成立,即a≥b不一定成立,故D错误,故选:B.【点评】本题主要考查不等式的判断和证明,根据条件,结合不等式的性质是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.8.(5分)如图,点列{An }、{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,A n ≠An+1,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+1,n∈N*,(P≠Q表示点P与Q不重合)若dn =|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则()A.{Sn }是等差数列 B.{Sn2}是等差数列C.{dn }是等差数列 D.{dn2}是等差数列【分析】设锐角的顶点为O,再设|OA1|=a,|OB1|=c,|AnAn+1|=|An+1An+2|=b,|Bn Bn+1|=|Bn+1Bn+2|=d,由于a,c不确定,判断C,D不正确,设△AnBnBn+1的底边B n Bn+1上的高为hn,运用三角形相似知识,hn+hn+2=2hn+1,由Sn=d•hn,可得S n +Sn+2=2Sn+1,进而得到数列{Sn}为等差数列.【解答】解:设锐角的顶点为O,|OA1|=a,|OB1|=c,|An An+1|=|An+1An+2|=b,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d,由于a,c不确定,则{dn}不一定是等差数列,{dn2}不一定是等差数列,设△An BnBn+1的底边BnBn+1上的高为hn,由三角形的相似可得==,==,两式相加可得,==2,即有hn +hn+2=2hn+1,由Sn =d•hn,可得Sn+Sn+2=2Sn+1,即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn,则数列{Sn}为等差数列.另解:可设△A1B1B2,△A2B2B3,…,AnBnBn+1为直角三角形,且A1B1,A2B2,…,AnBn为直角边,即有hn +hn+2=2hn+1,由Sn =d•hn,可得Sn+Sn+2=2Sn+1,即为Sn+2﹣Sn+1=Sn+1﹣Sn,则数列{Sn}为等差数列.故选:A.【点评】本题考查等差数列的判断,注意运用三角形的相似和等差数列的性质,考查化简整理的推理能力,属于中档题.二、填空题9.(6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是80 cm2,体积是40 cm3.【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体下部为长方体,上部为正方体的组合体,结合图中数据求出它的表面积和体积即可.【解答】解:根据几何体的三视图,得;该几何体是下部为长方体,其长和宽都为4,高为2,表面积为2×4×4+2×42=64cm2,体积为2×42=32cm3;上部为正方体,其棱长为2,表面积是6×22=24 cm2,体积为23=8cm3;所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2,体积为32+8=40cm3.故答案为:80;40.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题,也考查了空间想象和计算能力,是基础题.10.(6分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是(﹣2,﹣4),半径是 5 .【分析】由已知可得a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2,把a=﹣1代入原方程,配方求得圆心坐标和半径,把a=2代入原方程,由D2+E2﹣4F<0说明方程不表示圆,则答案可求.【解答】解:∵方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,∴a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2.当a=﹣1时,方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,所得圆的圆心坐标为(﹣2,﹣4),半径为5;当a=2时,方程化为,此时,方程不表示圆,故答案为:(﹣2,﹣4),5.【点评】本题考查圆的一般方程,考查圆的一般方程化标准方程,是基础题.11.(6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= 1 .【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边,即可得到答案.【解答】解:∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+(cos2x+sin2x)=sin(2x+)+1,∴A=,b=1,故答案为:;1.【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用,熟练掌握公式是解题的关键.12.(6分)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,x∈R,则实数a= ﹣2 ,b= 1 .【分析】根据函数解析式化简f(x)﹣f(a),再化简(x﹣b)(x﹣a)2,根据等式两边对应项的系数相等列出方程组,求出a、b的值.【解答】解:∵f(x)=x3+3x2+1,∴f(x)﹣f(a)=x3+3x2+1﹣(a3+3a2+1)=x3+3x2﹣(a3+3a2)∵(x﹣b)(x﹣a)2=(x﹣b)(x2﹣2ax+a2)=x3﹣(2a+b)x2+(a2+2ab)x﹣a2b,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,∴,解得或(舍去),故答案为:﹣2;1.【点评】本题考查函数与方程的应用,考查化简能力和方程思想,属于中档题.13.(4分)设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.【分析】由题意画出图形,以P在双曲线右支为例,求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值,可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围.【解答】解:如图,由双曲线x2﹣=1,得a2=1,b2=3,∴.不妨以P在双曲线右支为例,当PF2⊥x轴时,把x=2代入x2﹣=1,得y=±3,即|PF2|=3,此时|PF1|=|PF2|+2=5,则|PF1|+|PF2|=8;由PF1⊥PF2,得,又|PF1|﹣|PF2|=2,①两边平方得:,∴|PF1||PF2|=6,②联立①②解得:,此时|PF1|+|PF2|=.∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是().故答案为:().【点评】本题考查双曲线的简单性质,考查双曲线定义的应用,考查数学转化思想方法,是中档题.14.(4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是.【分析】如图所示,取AC的中点O,AB=BC=3,可得BO⊥AC,在Rt△ACD′中,AC=.作D′E⊥AC,垂足为E,D′E=.CO=,CE==,EO=CO ﹣CE=.过点B作BF∥AC,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC与BD′所成的角.则四边形BOEF为矩形,BF=EO=.EF=BO=.则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.利用余弦定理求出D′F2的最小值即可得出.【解答】解:如图所示,取AC的中点O,∵AB=BC=3,∴BO⊥AC,在Rt△ACD′中,=.作D′E⊥AC,垂足为E,D′E==.CO=,CE===,∴EO=CO﹣CE=.过点B作BF∥AC,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC与BD′所成的角.则四边形BOEF为矩形,∴BF=EO=.EF=BO==.则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.则D′F2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥,cosθ=1时取等号.∴D′B的最小值==2.∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===.也可以考虑利用向量法求解.故答案为:.【点评】本题考查了空间位置关系、空间角,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于难题.15.(4分)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是.【分析】由题意可知,||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,由此可知,当与共线时,||+||取得最大值,即.【解答】解:||+||=,其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,当与共线时,取得最大值.∴=.故答案为:.【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量在向量方向上的投影的概念,考查学生正确理解问题的能力,是中档题.三、解答题16.(14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=,求cosC的值.【分析】(1)由b+c=2acosB,利用正弦定理可得:sinB+sinC=2sinAcosB,而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,代入化简可得:sinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),可得0<A﹣B<π,即可证明.(II)cosB=,可得sinB=.cosA=cos2B=2cos2B﹣1,sinA=.利用cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB即可得出.【解答】(1)证明:∵b+c=2acosB,∴sinB+sinC=2sinAcosB,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),∴0<A﹣B<π,∴B=A﹣B,或B=π﹣(A﹣B),化为A=2B,或A=π(舍去).∴A=2B.(II)解:cosB=,∴sinB==.cosA=cos2B=2cos2B﹣1=,sinA==.∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=.【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.17.(15分)设数列{an }的前n项和为Sn,已知S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.(Ⅰ)求通项公式an;(Ⅱ)求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和.【分析】(Ⅰ)根据条件建立方程组关系,求出首项,利用数列的递推关系证明数列{an }是公比q=3的等比数列,即可求通项公式an;(Ⅱ)讨论n的取值,利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|an﹣n﹣2|}的前n项和.【解答】解:(Ⅰ)∵S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*.∴a1+a2=4,a2=2S1+1=2a1+1,解得a1=1,a2=3,当n≥2时,an+1=2Sn+1,an=2Sn﹣1+1,两式相减得an+1﹣an=2(Sn﹣Sn﹣1)=2an,即an+1=3an,当n=1时,a1=1,a2=3,满足an+1=3an,∴=3,则数列{an}是公比q=3的等比数列,则通项公式an=3n﹣1.(Ⅱ)an﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2,设bn =|an﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|,则b1=|30﹣1﹣2|=2,b2=|3﹣2﹣2|=1,当n≥3时,3n﹣1﹣n﹣2>0,则bn =|an﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2,此时数列{|an ﹣n﹣2|}的前n项和Tn=3+﹣=,则Tn==.【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算,根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{an}是等比数列是解决本题的关键.求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和.18.(15分)如图,在三棱台ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠A CB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.【分析】(Ⅰ)根据三棱台的定义,可知分别延长AD,BE,CF,会交于一点,并设该点为K,并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK,进而得出BF⊥AC.而根据条件可以判断出点E,F分别为边BK,CK的中点,从而得出△BCK为等边三角形,进而得出BF⊥CK,从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF为直线BD和平面ACFD所成的角,根据条件可以求出BF=,DF=,从而在Rt△BDF中可以求出BD的值,从而得出cos ∠BDF的值,即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值.【解答】解:(Ⅰ)证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示:∵平面BCFE ⊥平面ABC,且AC⊥BC;∴AC⊥平面BCK,BF⊂平面BCK;∴BF⊥AC;又EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2;∴△BCK为等边三角形,且F为CK的中点;∴BF⊥CK,且AC∩CK=C;∴BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)∵BF⊥平面ACFD;∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角;∵F为CK中点,且DF∥AC;∴DF为△ACK的中位线,且AC=3;∴;又;∴在Rt△BFD中,,cos;即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为【点评】考查三角形中位线的性质,等边三角形的中线也是高线,面面垂直的性质定理,以及线面垂直的判定定理,线面角的定义及求法,直角三角形边的关系,三角函数的定义.19.(15分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y 轴的距离等于|AF|﹣1,(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.【分析】(Ⅰ)利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程,进一步求得p值;(Ⅱ)设出直线AF的方程,与抛物线联立,求出B的坐标,求出直线AB,FN 的斜率,从而求出直线BN的方程,根据A、M、N三点共线,可求出M的横坐标的表达式,从而求出m的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离,由抛物线定义得,,即p=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设(t2,2t),t≠0,t ≠±1,∵AF不垂直y轴,∴设直线AF:x=sy+1(s≠0),联立,得y2﹣4sy﹣4=0.y 1y2=﹣4,∴B(),又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为,从而得FN:,直线BN:y=﹣,则N(),设M(m,0),由A、M、N三点共线,得,于是m==,得m<0或m>2.经检验,m<0或m>2满足题意.∴点M的横坐标的取值范围为(﹣∞,0)∪(2,+∞).【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查数学转化思想方法,属中档题.20.(15分)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1],证明:(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2(Ⅱ)<f(x )≤.【分析】(Ⅰ)根据题意,1﹣x+x2﹣x3=,利用放缩法得≤,即可证明结论成立;(Ⅱ)利用0≤x≤1时x3≤x,证明f(x )≤,再利用配方法证明f(x )≥,结合函数的最小值得出f(x )>,即证结论成立.【解答】解:(Ⅰ)证明:因为f(x)=x3+,x∈[0,1],且1﹣x+x2﹣x3==,所以≤,所以1﹣x+x2﹣x3≤,即f(x)≥1﹣x+x2;(Ⅱ)证明:因为0≤x≤1,所以x3≤x,所以f(x)=x3+≤x+=x+﹣+=+≤;由(Ⅰ)得,f(x)≥1﹣x+x2=+≥,且f ()=+=>,所以f(x )>;综上,<f(x )≤.【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值,分段函数等基础知识,也考查了推理与论证,分析问题与解决问题的能力,是综合性题目.第21页(共21页)。
2016年浙江省高考数学试卷(文科)
2016年浙江省高考数学试卷(文科)一、选择题1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁P)∪Q=()UA.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}2.(5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n3.(5分)函数y=sinx2的图象是()A.B.C.D.4.(5分)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.B.C.D.5.(5分)已知a,b>0且a≠1,b≠1,若log a b>1,则()A.(a﹣1)(b﹣1)<0 B.(a﹣1)(a﹣b)>0 C.(b﹣1)(b﹣a)<0 D.(b﹣1)(b ﹣a)>06.(5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.(5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b8.(5分)如图,点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+1,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+1,n∈N*,(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则()A.{S n}是等差数列B.{S n2}是等差数列C.{d n}是等差数列 D.{d n2}是等差数列二、填空题9.(6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.10.(6分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.11.(6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.12.(6分)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,x∈R,则实数a=,b=.13.(4分)设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.14.(4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是.15.(4分)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是.三、解答题16.(14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=,求cosC的值.17.(15分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.(Ⅰ)求通项公式a n;(Ⅱ)求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和.18.(15分)如图,在三棱台ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.19.(15分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1,(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.20.(15分)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1],证明:(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2(Ⅱ)<f(x)≤.2016年浙江省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁P)∪Q=()UA.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}【分析】先求出∁U P,再得出(∁U P)∪Q.【解答】解:∁U P={2,4,6},(∁U P)∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}={1,2,4,6}.故选:C.【点评】本题考查了集合的运算,属于基础题.2.(5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n【分析】由已知条件推导出l⊂β,再由n⊥β,推导出n⊥l.【解答】解:∵互相垂直的平面α,β交于直线l,直线m,n满足m∥α,∴m∥β或m⊂β或m与β相交,l⊂β,∵n⊥β,∴n⊥l.故选:C.【点评】本题考查两直线关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.3.(5分)函数y=sinx2的图象是()A.B.C.D.【分析】根据函数奇偶性的性质,以及函数零点的个数进行判断排除即可.【解答】解:∵sin(﹣x)2=sinx2,∴函数y=sinx2是偶函数,即函数的图象关于y轴对称,排除A,C;由y=sinx2=0,则x2=kπ,k≥0,则x=±,k≥0,故函数有无穷多个零点,排除B,故选:D.【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键.比较基础.4.(5分)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A.B.C.D.【分析】作出平面区域,找出距离最近的平行线的位置,求出直线方程,再计算距离.【解答】解:作出平面区域如图所示:∴当直线y=x+b分别经过A,B时,平行线间的距离相等.联立方程组,解得A(2,1),联立方程组,解得B(1,2).两条平行线分别为y=x﹣1,y=x+1,即x﹣y﹣1=0,x﹣y+1=0.∴平行线间的距离为d==,故选:B.【点评】本题考查了平面区域的作法,距离公式的应用,属于基础题.5.(5分)已知a,b>0且a≠1,b≠1,若log a b>1,则()A.(a﹣1)(b﹣1)<0 B.(a﹣1)(a﹣b)>0 C.(b﹣1)(b﹣a)<0 D.(b﹣1)(b ﹣a)>0【分析】根据对数的运算性质,结合a>1或0<a<1进行判断即可.【解答】解:若a>1,则由log a b>1得log a b>log a a,即b>a>1,此时b﹣a>0,b >1,即(b﹣1)(b﹣a)>0,若0<a<1,则由log a b>1得log a b>log a a,即b<a<1,此时b﹣a<0,b<1,即(b ﹣1)(b﹣a)>0,综上(b﹣1)(b﹣a)>0,故选:D.【点评】本题主要考查不等式的应用,根据对数函数的性质,利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键.比较基础.6.(5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】求出f(x)的最小值及极小值点,分别把“b<0”和“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”当做条件,看能否推出另一结论即可判断.【解答】解:f(x)的对称轴为x=﹣,f min(x)=﹣.(1)若b<0,则﹣>﹣,∴当f(x)=﹣时,f(f(x))取得最小值f(﹣)=﹣,即f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等.∴“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分条件.(2)设f(x)=t,则f(f(x))=f(t),∴f(t)在(﹣,﹣)上单调递减,在(﹣,+∞)上单调递增,若f(f(x))=f(t)的最小值与f(x)的最小值相等,则﹣≤﹣,解得b≤0或b≥2.∴“b<0”不是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的必要条件.故选:A.【点评】本题考查了二次函数的性质,简易逻辑关系的推导,属于基础题.7.(5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b【分析】根据不等式的性质,分别进行递推判断即可.【解答】解:A.若f(a)≤|b|,则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|,即|a|≤|b|,则a≤b不一定成立,故A错误,B.若f(a)≤2b,则由条件知f(x)≥2x,即f(a)≥2a,则2a≤f(a)≤2b,则a≤b,故B正确,C.若f(a)≥|b|,则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|,则|a|≥|b|不一定成立,故C错误,D.若f(a)≥2b,则由条件f(x)≥2x,得f(a)≥2a,则2a≥2b,不一定成立,即a≥b不一定成立,故D错误,故选:B.【点评】本题主要考查不等式的判断和证明,根据条件,结合不等式的性质是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.8.(5分)如图,点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+1,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+1,n∈N*,(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则()A.{S n}是等差数列B.{S n2}是等差数列C.{d n}是等差数列 D.{d n2}是等差数列【分析】设锐角的顶点为O,再设|OA1|=a,|OB1|=c,|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d,由于a,c不确定,判断C,D不正确,设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n,运用三角形相似知识,h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n,可得S n+S n+2=2S n+1,进而得到数列{S n}为等差数列.【解答】解:设锐角的顶点为O,|OA1|=a,|OB1|=c,|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d,由于a,c不确定,则{d n}不一定是等差数列,{d n2}不一定是等差数列,设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n,由三角形的相似可得==,==,两式相加可得,==2,即有h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n,可得S n+S n+2=2S n+1,即为S n+2﹣S n+1=S n+1﹣S n,则数列{S n}为等差数列.另解:可设△A1B1B2,△A2B2B3,…,A n B n B n+1为直角三角形,且A1B1,A2B2,…,A n B n为直角边,即有h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n,可得S n+S n+2=2S n+1,即为S n+2﹣S n+1=S n+1﹣S n,则数列{S n}为等差数列.故选:A.【点评】本题考查等差数列的判断,注意运用三角形的相似和等差数列的性质,考查化简整理的推理能力,属于中档题.二、填空题9.(6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是80cm2,体积是40cm3.【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体下部为长方体,上部为正方体的组合体,结合图中数据求出它的表面积和体积即可.【解答】解:根据几何体的三视图,得;该几何体是下部为长方体,其长和宽都为4,高为2,表面积为2×4×4+2×42=64cm2,体积为2×42=32cm3;上部为正方体,其棱长为2,表面积是6×22=24 cm2,体积为23=8cm3;所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2,体积为32+8=40cm3.故答案为:80;40.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题,也考查了空间想象和计算能力,是基础题.10.(6分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是(﹣2,﹣4),半径是5.【分析】由已知可得a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2,把a=﹣1代入原方程,配方求得圆心坐标和半径,把a=2代入原方程,由D2+E2﹣4F<0说明方程不表示圆,则答案可求.【解答】解:∵方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,∴a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2.当a=﹣1时,方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,所得圆的圆心坐标为(﹣2,﹣4),半径为5;当a=2时,方程化为,此时,方程不表示圆,故答案为:(﹣2,﹣4),5.【点评】本题考查圆的一般方程,考查圆的一般方程化标准方程,是基础题.11.(6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=1.【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边,即可得到答案.【解答】解:∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+(cos2x+sin2x)=sin(2x+)+1,∴A=,b=1,故答案为:;1.【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用,熟练掌握公式是解题的关键.12.(6分)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,x∈R,则实数a=﹣2,b=1.【分析】根据函数解析式化简f(x)﹣f(a),再化简(x﹣b)(x﹣a)2,根据等式两边对应项的系数相等列出方程组,求出a、b的值.【解答】解:∵f(x)=x3+3x2+1,∴f(x)﹣f(a)=x3+3x2+1﹣(a3+3a2+1)=x3+3x2﹣(a3+3a2)∵(x﹣b)(x﹣a)2=(x﹣b)(x2﹣2ax+a2)=x3﹣(2a+b)x2+(a2+2ab)x﹣a2b,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,∴,解得或(舍去),故答案为:﹣2;1.【点评】本题考查函数与方程的应用,考查化简能力和方程思想,属于中档题.13.(4分)设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.【分析】由题意画出图形,以P在双曲线右支为例,求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值,可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围.【解答】解:如图,由双曲线x2﹣=1,得a2=1,b2=3,∴.不妨以P在双曲线右支为例,当PF2⊥x轴时,把x=2代入x2﹣=1,得y=±3,即|PF2|=3,此时|PF1|=|PF2|+2=5,则|PF1|+|PF2|=8;由PF1⊥PF2,得,又|PF1|﹣|PF2|=2,①两边平方得:,∴|PF1||PF2|=6,②联立①②解得:,此时|PF1|+|PF2|=.∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是().故答案为:().【点评】本题考查双曲线的简单性质,考查双曲线定义的应用,考查数学转化思想方法,是中档题.14.(4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是.【分析】如图所示,取AC的中点O,AB=BC=3,可得BO⊥AC,在Rt△ACD′中,AC=.作D′E⊥AC,垂足为E,D′E=.CO=,CE==,EO=CO﹣CE=.过点B作BF∥AC,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC与BD′所成的角.则四边形BOEF为矩形,BF=EO=.EF=BO=.则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.利用余弦定理求出D′F2的最小值即可得出.【解答】解:如图所示,取AC的中点O,∵AB=BC=3,∴BO⊥AC,在Rt△ACD′中,=.作D′E⊥AC,垂足为E,D′E==.CO=,CE===,∴EO=CO﹣CE=.过点B作BF∥AC,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC与BD′所成的角.则四边形BOEF为矩形,∴BF=EO=.EF=BO==.则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.则D′F2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥,cosθ=1时取等.∴D′B的最小值==2.∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===.也可以考虑利用向量法求解.故答案为:.【点评】本题考查了空间位置关系、空间角,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于难题.15.(4分)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是.【分析】由题意可知,||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,由此可知,当与共线时,||+||取得最大值,即.【解答】解:||+||=,其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,当与共线时,取得最大值.∴=.故答案为:.【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量在向量方向上的投影的概念,考查学生正确理解问题的能力,是中档题.三、解答题16.(14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=,求cosC的值.【分析】(1)由b+c=2acosB,利用正弦定理可得:sinB+sinC=2sinAcosB,而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,代入化简可得:sinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),可得0<A ﹣B<π,即可证明.(II)cosB=,可得sinB=.cosA=cos2B=2cos2B﹣1,sinA=.利用cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB即可得出.【解答】(1)证明:∵b+c=2acosB,∴sinB+sinC=2sinAcosB,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),∴0<A﹣B<π,∴B=A﹣B,或B=π﹣(A﹣B),化为A=2B,或A=π(舍去).∴A=2B.(II)解:cosB=,∴sinB==.cosA=cos2B=2cos2B﹣1=,sinA==.∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=.【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.17.(15分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.(Ⅰ)求通项公式a n;(Ⅱ)求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和.【分析】(Ⅰ)根据条件建立方程组关系,求出首项,利用数列的递推关系证明数列{a n}是公比q=3的等比数列,即可求通项公式a n;(Ⅱ)讨论n的取值,利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|a n ﹣n﹣2|}的前n项和.【解答】解:(Ⅰ)∵S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.∴a1+a2=4,a2=2S1+1=2a1+1,解得a1=1,a2=3,=2S n+1,a n=2S n﹣1+1,当n≥2时,a n+1﹣a n=2(S n﹣S n﹣1)=2a n,两式相减得a n+1=3a n,当n=1时,a1=1,a2=3,即a n+1=3a n,满足a n+1∴=3,则数列{a n}是公比q=3的等比数列,则通项公式a n=3n﹣1.(Ⅱ)a n﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2,设b n=|a n﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|,则b1=|30﹣1﹣2|=2,b2=|3﹣2﹣2|=1,当n≥3时,3n﹣1﹣n﹣2>0,则b n=|a n﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2,此时数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和T n=3+﹣=,则T n==.【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算,根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{a n}是等比数列是解决本题的关键.求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和.18.(15分)如图,在三棱台ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.【分析】(Ⅰ)根据三棱台的定义,可知分别延长AD,BE,CF,会交于一点,并设该点为K,并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK,进而得出BF⊥AC.而根据条件可以判断出点E,F分别为边BK,CK的中点,从而得出△BCK 为等边三角形,进而得出BF⊥CK,从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF为直线BD和平面ACFD所成的角,根据条件可以求出BF=,DF=,从而在Rt△BDF中可以求出BD的值,从而得出cos∠BDF的值,即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值.【解答】解:(Ⅰ)证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示:∵平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC;∴AC⊥平面BCK,BF⊂平面BCK;∴BF⊥AC;又EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2;∴△BCK为等边三角形,且F为CK的中点;∴BF⊥CK,且AC∩CK=C;∴BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)∵BF⊥平面ACFD;∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角;∵F为CK中点,且DF∥AC;∴DF为△ACK的中位线,且AC=3;∴;又;∴在Rt△BFD中,,cos;即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为【点评】考查三角形中位线的性质,等边三角形的中线也是高线,面面垂直的性质定理,以及线面垂直的判定定理,线面角的定义及求法,直角三角形边的关系,三角函数的定义.19.(15分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1,(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.【分析】(Ⅰ)利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程,进一步求得p值;(Ⅱ)设出直线AF的方程,与抛物线联立,求出B的坐标,求出直线AB,FN的斜率,从而求出直线BN的方程,根据A、M、N三点共线,可求出M的横坐标的表达式,从而求出m的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离,由抛物线定义得,,即p=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设(t2,2t),t≠0,t≠±1,∵AF不垂直y轴,∴设直线AF:x=sy+1(s≠0),联立,得y2﹣4sy﹣4=0.y1y2=﹣4,∴B(),又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为,从而得FN:,直线BN:y=﹣,则N(),设M(m,0),由A、M、N三点共线,得,于是m==,得m<0或m>2.经检验,m<0或m>2满足题意.∴点M的横坐标的取值范围为(﹣∞,0)∪(2,+∞).【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查数学转化思想方法,属中档题.20.(15分)设函数f(x)=x3+,x∈[0,1],证明:(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2(Ⅱ)<f(x)≤.【分析】(Ⅰ)根据题意,1﹣x+x2﹣x3=,利用放缩法得≤,即可证明结论成立;(Ⅱ)利用0≤x≤1时x3≤x,证明f(x)≤,再利用配方法证明f(x)≥,结合函数的最小值得出f(x)>,即证结论成立.【解答】解:(Ⅰ)证明:因为f(x)=x3+,x∈[0,1],且1﹣x+x2﹣x3==,所以≤,所以1﹣x+x2﹣x3≤,即f(x)≥1﹣x+x2;(Ⅱ)证明:因为0≤x≤1,所以x3≤x,所以f(x)=x3+≤x+=x+﹣+=+≤;由(Ⅰ)得,f(x)≥1﹣x+x2=+≥,且f()=+=>,所以f(x)>;综上,<f(x)≤.【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值,分段函数等基础知识,也考查了推理与论证,分析问题与解决问题的能力,是综合性题目.。
2016年浙江省高考数学文科试题含答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(文科)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集U ={1,2,3,4,5,6},集合P ={1,3,5},Q ={1,2,4},则U P Q ()ð=A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}2.已知互相垂直的平面αβ,交于直线l .若直线m ,n 满足m ∥α,n ⊥β,则A.m ∥lB.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n 3.函数y =sin x 2的图象是4.若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是A.5C.25.已知a ,b >0,且a ≠1,b ≠1,若4log >1b ,则A.(1)(1)0a b --<B.(1)()0a ab -->C.(1)()0b b a --< D.(1)()0b b a -->6.已知函数f (x )=x 2+bx ,则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知函数()f x 满足:()f x x ≥且()2,xf x x ≥∈R .A.若()f a b ≤,则a b≤ B.若()2b f a ≤,则a b ≤C.若()f a b ≥,则a b ≥ D.若()2b f a ≥,则a b ≥8.如图,点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上,且*1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ,*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N .(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)若n n n d A B =,n S 为1n n n A B B +△的面积,则A.{}n S 是等差数列B.{}2n S 是等差数列C.{}n d 是等差数列D.{}2n d 是等差数列二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.)9.某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的表面积是______cm 2,体积是______cm 3.10.已知a ∈R ,方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆,则圆心坐标是_____,半径是______.11.某几何体的三视图如图所示(单位:cm ),则该几何体的表面积是cm 2,体积是cm 3.12.设函数f (x )=x 3+3x 2+1.已知a ≠0,且f (x )–f (a )=(x –b )(x –a )2,x ∈R ,则实数a =_____,b =______.13.设双曲线x 2–23y =1的左、右焦点分别为F 1,F 2.若点P 在双曲线上,且△F 1PF 2为锐角三角形,则|PF 1|+|PF 2|的取值范围是_______.14.如图,已知平面四边形ABCD ,AB =BC =3,CD =1,AD 5,∠ADC =90°.沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD',直线AC 与BD'所成角的余弦的最大值是______.15.已知平面向量a ,b ,|a |=1,|b |=2,a ·b =1.若e 为平面单位向量,则|a ·e |+|b ·e |的最大值是______.三、解答题(本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)16.(本题满分14分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知b +c =2a cos B .(Ⅰ)证明:A =2B ;(Ⅱ)若cos B =23,求cos C 的值.17.(本题满分15分)设数列{n a }的前n 项和为n S .已知2S =4,1n a +=2n S +1,*N n ∈.(I )求通项公式n a ;(II )求数列{2n a n --}的前n 项和.18.(本题满分15分)如图,在三棱台ABC-DEF 中,平面BCFE ⊥平面ABC ,∠ACB =90°,BE=EF=FC =1,BC =2,AC =3.(I )求证:BF ⊥平面ACFD ;(II )求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.19.(本题满分15分)如图,设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |-1.(I )求p 的值;(II )若直线AF 交抛物线于另一点B ,过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ,AN 与x 轴交于点M .求M 的横坐标的取值范围.20.(本题满分15分)设函数()f x =311x x ++,[0,1]x ∈.证明:(I )()f x 21x x ≥-+;(II )34<()f x 32≤.2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(文科)一、选择题1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】A二、填空题9.【答案】80;40.10.【答案】(2,4)--;5.11.【答案】;1.12.1.13.【答案】.14.【答案】6915.三、解答题16.【答案】(1)证明详见解析;(2)22cos C =.【解析】试题分析:本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.试题解析:(1)由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=,故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++,于是,sin sin()B A B =-,又,(0,)A B π∈,故0A B π<-<,所以()B A B π=--或B A B =-,因此,A π=(舍去)或2A B =,所以,2A B =.(2)由2cos 3B =,得sin 3B =,21cos 22cos 19B B =-=-,故1cos 9A =-,45sin 9A =,22cos cos()cos cos sin sin 27C A B A B A B =-+=-+=.考点:三角函数及其变换、正弦和余弦定理.【结束】17.【答案】(1)1*3,n n a n N -=∈;(2)2*2,13511,2,2n n n T n n n n N =⎧⎪=⎨--+≥∈⎪⎩.【解析】试题分析:本题主要考查等差、等比数列的基础知识,同时考查数列基本思想方法,以及推理论证能力.试题解析:(1)由题意得:1221421a a a a +=⎧⎨=+⎩,则1213a a =⎧⎨=⎩,又当2n ≥时,由11(21)(21)2n n n n n a a S S a +--=+-+=,得13n n a a +=,所以,数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈.(2)设1|32|n n b n -=--,*n N ∈,122,1b b ==.当3n ≥时,由于132n n ->+,故132,3n n b n n -=--≥.设数列{}n b 的前n 项和为n T ,则122,3T T ==.当3n ≥时,229(13)(7)(2)351131322n n n n n n n T --+---+=+-=-,所以,2*2,13511,2,2n n n T n n n n N =⎧⎪=⎨--+≥∈⎪⎩.考点:等差、等比数列的基础知识.【结束】18.【答案】(1)证明详见解析;(2)7.【解析】试题分析:本题主要考查空间点、线、面位置关系、线面角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力.试题解析:(1)延长,,AD BE CF 相交于一点K ,如图所示,因为平面BCFE ⊥平面ABC ,且AC BC ⊥,所以AC ⊥平面BCK ,因此BF AC ⊥,又因为//EF BC ,1BE EF FC ===,2BC =,所以BCK ∆为等边三角形,且F 为CK 的中点,则BF CK ⊥,所以BF ⊥平面ACFD .(2)因为BF ⊥平面ACK ,所以BDF ∠是直线BD 与平面ACFD 所成的角,在Rt BFD ∆中,32BF DF ==,得cos 7BDF ∠=,所以直线BD 与平面ACFD所成的角的余弦值为7.考点:空间点、线、面位置关系、线面角.【结束】19.【答案】(1)p=2;(2)()(),02,-∞+∞ .【解析】试题分析:本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题方法.试题解析:(Ⅰ)由题意可得抛物线上点A 到焦点F 的距离等于点A 到直线x=-1的距离.由抛物线的第一得1p =,即p=2.(Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为()24,F 1,0y x =,可设()2,2,0,1A t t t t ≠≠±.因为AF 不垂直于y 轴,可设直线AF:x=sy+1,()0s ≠,由241y x x sy ⎧=⎨=+⎩消去x 得2440y sy --=,故124y y =-,所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又直线AB 的斜率为212t t-,故直线FN 的斜率为21t --,从而的直线FN:()2112t y x t -=--,直线BN:2y t=-,所以2232,1t N t t ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭,设M(m,0),由A,M,N 三点共线得:222222231t t t t t m t t +=+---,于是2221t m t =-,经检验,m<0或m>2满足题意.综上,点M 的横坐标的取值范围是()(),02,-∞+∞ .考点:抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系.【结束】20.【答案】(Ⅰ)证明详见解析;(Ⅱ)证明详见解析.【解析】试题分析:本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识,同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.第一问,利用放缩法,得到41111x x x-≤++,从而得到结论;第二问,由01x ≤≤得3x x ≤,进行放缩,得到()32f x ≤,再结合第一问的结论,得到()34f x >,从而得到结论.试题解析:(Ⅰ)因为()()4423111,11x x x x x x x----+-==--+由于[]0,1x ∈,有411,11x x x -≤++即23111x x x x -≤-++,所以()21.f x x x ≥-+(Ⅱ)由01x ≤≤得3x x ≤,故()()()()312111333311222122x x f x x x x x x -+=+≤+-+=+≤+++,所以()32f x ≤.由(Ⅰ)得()221331244f x x x x ⎛⎫≥-+=-+≥ ⎪⎝⎭,又因为11932244f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,所以()34f x >,综上,()33.42f x <≤考点:函数的单调性与最值、分段函数.【结束】。
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2016年浙江省高考数学试卷(文科)(同名12541)2016年浙江省高考数学试卷(文科)一、选择题1.(5分)(2016•浙江)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁U P)∪Q=()A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}2.(5分)(2016•浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n3.(5分)(2016•浙江)函数y=sinx2的图象是()A.B. C.D.4.(5分)(2016•浙江)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A. B.C. D.5.(5分)(2016•浙江)已知a,b>0且a≠1,b≠1,若log a b>1,则()A.(a﹣1)(b﹣1)<0 B.(a﹣1)(a﹣b)>0 C.(b﹣1)(b﹣a)<0 D.(b﹣1)(b﹣a)>06.(5分)(2016•浙江)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.(5分)(2016•浙江)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b8.(5分)(2016•浙江)如图,点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+1,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+1,n ∈N*,(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则()A.{S n}是等差数列B.{S n2}是等差数列C.{d n}是等差数列D.{d n2}是等差数列二、填空题9.(6分)(2016•浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3.10.(6分)(2016•浙江)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.11.(6分)(2016•浙江)已知2cos2x+sin2x=Asin (ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.12.(6分)(2016•浙江)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,x∈R,则实数a=,b=.13.(4分)(2016•浙江)设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.14.(4分)(2016•浙江)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是.15.(4分)(2016•浙江)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是.三、解答题16.(14分)(2016•浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=,求cosC的值.17.(15分)(2016•浙江)设数列{a n}的前n项和为S n,已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.(Ⅰ)求通项公式a n;(Ⅱ)求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和.18.(15分)(2016•浙江)如图,在三棱台ABC ﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.19.(15分)(2016•浙江)如图,设抛物线y2=2px (p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1,(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.20.(15分)(2016•浙江)设函数f(x)=x 3+,x∈[0,1],证明:(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2(Ⅱ)<f(x)≤.2016年浙江省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题1.(5分)(2016•浙江)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(∁U P)∪Q=()A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}【分析】先求出∁U P,再得出(∁U P)∪Q.【解答】解:∁U P={2,4,6},(∁U P)∪Q={2,4,6}∪{1,2,4}={1,2,4,6}.故选C.【点评】本题考查了集合的运算,属于基础题.2.(5分)(2016•浙江)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n【分析】由已知条件推导出l⊂β,再由n⊥β,推导出n⊥l.【解答】解:∵互相垂直的平面α,β交于直线l,直线m,n满足m∥α,∴m∥β或m⊂β或m⊥β,l⊂β,∵n⊥β,∴n⊥l.故选:C.【点评】本题考查两直线关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.3.(5分)(2016•浙江)函数y=sinx2的图象是()A.B. C.D.【分析】根据函数奇偶性的性质,以及函数零点的个数进行判断排除即可.【解答】解:∵sin(﹣x)2=sinx2,∴函数y=sinx2是偶函数,即函数的图象关于y 轴对称,排除A,C;由y=sinx2=0,则x2=kπ,k≥0,则x=±,k≥0,故函数有无穷多个零点,排除B,故选:D【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据函数奇偶性和函数零点的性质是解决本题的关键.比较基础.4.(5分)(2016•浙江)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是()A. B.C. D.【分析】作出平面区域,找出距离最近的平行线的位置,求出直线方程,再计算距离.【解答】解:作出平面区域如图所示:∴当直线y=x+b分别经过A,B时,平行线间的距离相等.联立方程组,解得A(2,1),联立方程组,解得B(1,2).两条平行线分别为y=x﹣1,y=x+1,即x﹣y﹣1=0,x﹣y+1=0.∴平行线间的距离为d==,故选:B.【点评】本题考查了平面区域的作法,距离公式的应用,属于基础题.5.(5分)(2016•浙江)已知a,b>0且a≠1,b≠1,若log a b>1,则()A.(a﹣1)(b﹣1)<0 B.(a﹣1)(a﹣b)>0 C.(b﹣1)(b﹣a)<0 D.(b﹣1)(b﹣a)>0【分析】根据对数的运算性质,结合a>1或0<a<1进行判断即可.【解答】解:若a>1,则由log a b>1得log a b>log a a,即b>a>1,此时b﹣a>0,b>1,即(b ﹣1)(b﹣a)>0,若0<a<1,则由log a b>1得log a b>log a a,即b <a<1,此时b﹣a<0,b<1,即(b﹣1)(b﹣a)>0,综上(b﹣1)(b﹣a)>0,故选:D.【点评】本题主要考查不等式的应用,根据对数函数的性质,利用分类讨论的数学思想是解决本题的关键.比较基础.6.(5分)(2016•浙江)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】求出f(x)的最小值及极小值点,分别把“b<0”和“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”当做条件,看能否推出另一结论即可判断.【解答】解:f(x)的对称轴为x=﹣,f min(x)=﹣.(1)若b<0,则﹣>﹣,∴当f(x)=﹣时,f(f(x))取得最小值f(﹣)=﹣,即f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等.∴“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分条件.(2)若f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等,则f min(x)≤﹣,即﹣≤﹣,解得b≤0或b ≥2.∴“b<0”不是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的必要条件.故选A.【点评】本题考查了二次函数的性质,简易逻辑关系的推导,属于基础题.7.(5分)(2016•浙江)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b【分析】根据不等式的性质,分别进行递推判断即可.【解答】解:A.若f(a)≤|b|,则由条件f (x)≥|x|得f(a)≥|a|,即|a|≤|b|,则a≤b不一定成立,故A错误,B.若f(a)≤2b,则由条件知f(x)≥2x,即f(a)≥2a,则2a≤f(a)≤2b,则a≤b,故B正确,C.若f(a)≥|b|,则由条件f(x)≥|x|得f (a)≥|a|,则|a|≥|b|不一定成立,故C错误,D.若f(a)≥2b,则由条件f(x)≥2x,得f (a)≥2a,则2a≥2b,不一定成立,即a≥b不一定成立,故D错误,故选:B【点评】本题主要考查不等式的判断和证明,根据条件,结合不等式的性质是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.8.(5分)(2016•浙江)如图,点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+1,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+1,n(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,∈N*,S n为△A n B n B n+1的面积,则()A.{S n}是等差数列B.{S n2}是等差数列C.{d n}是等差数列D.{d n2}是等差数列【分析】设锐角的顶点为O,再设|OA1|=a,|OB1|=c,|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d,由于a,c不确定,判断C,D不正确,设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n,运用三角形相似知识,h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n,可得S n+S n+2=2S n+1,进而得到数列{S n}为等差数列.【解答】解:设锐角的顶点为O,|OA1|=a,|OB1|=c,|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d,由于a,c不确定,则{d n}不一定是等差数列,{d n2}不一定是等差数列,设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n,由三角形的相似可得==,==,两式相加可得,==2,即有h n+h n+2=2h n+1,由S n=d•h n,可得S n+S n+2=2S n+1,即为S n+2﹣S n+1=S n+1﹣S n,则数列{S n}为等差数列.故选:A.【点评】本题考查等差数列的判断,注意运用三角形的相似和等差数列的性质,考查化简整理的推理能力,属于中档题.二、填空题9.(6分)(2016•浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是80 cm2,体积是40cm3.【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体下部为长方体,上部为正方体的组合体,结合图中数据求出它的表面积和体积即可.【解答】解:根据几何体的三视图,得;该几何体是下部为长方体,其长和宽都为4,高为2,表面积为2×4×4+2×42=64cm2,体积为2×42=32cm3;上部为正方体,其棱长为2,表面积是6×22=24 cm2,体积为23=8cm3;所以几何体的表面积为64+24﹣2×22=80cm2,体积为32+8=40cm3.故答案为:80;40.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积的应用问题,也考查了空间想象和计算能力,是基础题.10.(6分)(2016•浙江)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是(﹣2,﹣4),半径是5.【分析】由已知可得a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2,把a=﹣1代入原方程,配方求得圆心坐标和半径,把a=2代入原方程,由D2+E2﹣4F<0说明方程不表示圆,则答案可求.【解答】解:∵方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,∴a2=a+2≠0,解得a=﹣1或a=2.当a=﹣1时,方程化为x2+y2+4x+8y﹣5=0,配方得(x+2)2+(y+4)2=25,所得圆的圆心坐标为(﹣2,﹣4),半径为5;当a=2时,方程化为,此时,方程不表示圆,故答案为:(﹣2,﹣4),5.【点评】本题考查圆的一般方程,考查圆的一般方程化标准方程,是基础题.11.(6分)(2016•浙江)已知2cos2x+sin2x=Asin (ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=1.【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边,即可得到答案.【解答】解:∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+(cos2x+sin2x)+1=sin(2x+)+1,∴A=,b=1,故答案为:;1.【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用,熟练掌握公式是解题的关键.12.(6分)(2016•浙江)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,x∈R,则实数a=﹣2,b=1.【分析】根据函数解析式化简f(x)﹣f(a),再化简(x﹣b)(x﹣a)2,根据等式两边对应项的系数相等列出方程组,求出a、b的值.【解答】解:∵f(x)=x3+3x2+1,∴f(x)﹣f(a)=x3+3x2+1﹣(a3+3a2+1)=x3+3x2﹣(a3+3a2)∵(x﹣b)(x﹣a)2=(x﹣b)(x2﹣2ax+a2)=x3﹣(2a+b)x2+(a2+2ab)x﹣a2b,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x﹣a)2,∴,解得或(舍去),故答案为:﹣2;1.【点评】本题考查函数与方程的应用,考查化简能力和方程思想,属于中档题.13.(4分)(2016•浙江)设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.【分析】由题意画出图形,以P在双曲线右支为例,求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值,可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围.【解答】解:如图,由双曲线x2﹣=1,得a2=1,b2=3,∴.不妨以P在双曲线右支为例,当PF2⊥x轴时,把x=2代入x2﹣=1,得y=±3,即|PF2|=3,此时|PF1|=|PF2|+2=5,则|PF1|+|PF2|=8;由PF 1⊥PF2,得,又|PF1|﹣|PF2|=2,①两边平方得:,∴|PF1||PF2|=6,②联立①②解得:,此时|PF 1|+|PF2|=.∴使△F1PF2为锐角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是().故答案为:().【点评】本题考查双曲线的简单性质,考查双曲线定义的应用,考查数学转化思想方法,是中档题.14.(4分)(2016•浙江)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是.【分析】如图所示,取AC的中点O,AB=BC=3,可得BO⊥AC,在Rt△ACD′中,AC=.作D′E⊥AC,垂足为E,D′E=.CO=,CE==,EO=CO﹣CE=.过点B作BF ∥AC,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC与BD′所成的角.则四边形BOEF为矩形,BF=EO=.EF=BO=.则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.利用余弦定理求出D′F2的最小值即可得出.【解答】解:如图所示,取AC的中点O,∵AB=BC=3,∴BO⊥AC,在Rt△ACD′中,=.作D′E⊥AC,垂足为E,D′E==.CO=,CE===,∴EO=CO﹣CE=.过点B作BF∥AC,作FE∥BO交BF于点F,则EF⊥AC.连接D′F.∠FBD′为直线AC 与BD′所成的角.则四边形BOEF为矩形,∴BF=EO=.EF=BO==.则∠FED′为二面角D′﹣CA﹣B的平面角,设为θ.则D′F 2=+﹣2×cosθ=﹣5cosθ≥,cosθ=1时取等号.∴D′B的最小值==2.∴直线AC与BD′所成角的余弦的最大值===.故答案为:.【点评】本题考查了空间位置关系、空间角,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于难题.15.(4分)(2016•浙江)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是.【分析】由题意可知,||+||为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,由此可知,当与共线时,||+||取得最大值,即.【解答】解:||+||=,其几何意义为在上的投影的绝对值与在上投影的绝对值的和,当与共线时,取得最大值.∴=.故答案为:.【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查向量在向量方向上的投影的概念,考查学生正确理解问题的能力,是中档题.三、解答题16.(14分)(2016•浙江)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=,求cosC的值.【分析】(1)由b+c=2acosB,利用正弦定理可得:sinB+sinC=2sinAcosB,而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,代入化简可得:sinB=sin (A﹣B),由A,B∈(0,π),可得0<A﹣B <π,即可证明.(II)cosB=,可得sinB=.cosA=cos2B=2cos 2B﹣1,sinA=.利用cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB即可得出.【解答】(1)证明:∵b+c=2acosB,∴sinB+sinC=2sinAcosB,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin(A﹣B),由A,B∈(0,π),∴0<A﹣B<π,∴B=A﹣B,或B=π﹣(A﹣B),化为A=2B,或A=π(舍去).∴A=2B.(II)解:cosB=,∴sinB==.cosA=cos2B=2cos 2B﹣1=,sinA==.∴cosC=﹣cos(A+B)=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=.【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.17.(15分)(2016•浙江)设数列{a n}的前n项和为S n,已知S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.(Ⅰ)求通项公式a n;(Ⅱ)求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和.【分析】(Ⅰ)根据条件建立方程组关系,求出首项,利用数列的递推关系证明数列{a n}是公比q=3的等比数列,即可求通项公式a n;(Ⅱ)讨论n的取值,利用分组法将数列转化为等比数列和等差数列即可求数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和.【解答】解:(Ⅰ)∵S2=4,a n+1=2S n+1,n∈N*.∴a1+a2=4,a2=2S1+1=2a1+1,解得a1=1,a2=3,当n≥2时,a n+1=2S n+1,a n=2S n﹣1+1,两式相减得a n+1﹣a n=2(S n﹣S n﹣1)=2a n,即a n+1=3a n,当n=1时,a1=1,a2=3,满足a n+1=3a n,∴=3,则数列{a n}是公比q=3的等比数列,则通项公式a n=3n﹣1.(Ⅱ)a n﹣n﹣2=3n﹣1﹣n﹣2,设b n=|a n﹣n﹣2|=|3n﹣1﹣n﹣2|,则b1=|30﹣1﹣2|=2,b2=|3﹣2﹣2|=1,当n≥3时,3n﹣1﹣n﹣2>0,则b n=|a n﹣n﹣2|=3n﹣1﹣n﹣2,此时数列{|a n﹣n﹣2|}的前n项和T n=3+﹣=,则T n==.【点评】本题主要考查递推数列的应用以及数列求和的计算,根据条件建立方程组以及利用方程组法证明列{a n}是等比数列是解决本题的关键.求出过程中使用了转化法和分组法进行数列求和.18.(15分)(2016•浙江)如图,在三棱台ABC ﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(Ⅰ)求证:BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.【分析】(Ⅰ)根据三棱台的定义,可知分别延长AD,BE,CF,会交于一点,并设该点为K,并且可以由平面BCFE⊥平面ABC及∠ACB=90°可以得出AC⊥平面BCK,进而得出BF⊥AC.而根据条件可以判断出点E,F分别为边BK,CK的中点,从而得出△BCK为等边三角形,进而得出BF⊥CK,从而根据线面垂直的判定定理即可得出BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)由BF⊥平面ACFD便可得出∠BDF为直线BD和平面ACFD所成的角,根据条件可以求出BF=,DF=,从而在Rt△BDF中可以求出BD的值,从而得出cos∠BDF的值,即得出直线BD和平面ACFD所成角的余弦值.【解答】解:(Ⅰ)证明:延长AD,BE,CF相交于一点K,如图所示:∵平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC;∴AC⊥平面BCK,BF⊂平面BCK;∴BF⊥AC;又EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2;∴△BCK为等边三角形,且F为CK的中点;∴BF⊥CK,且AC∩CK=C;∴BF⊥平面ACFD;(Ⅱ)∵BF⊥平面ACFD;∴∠BDF是直线BD和平面ACFD所成的角;∵F为CK中点,且DF∥AC;∴DF为△ACK的中位线,且AC=3;∴;又;∴在Rt△BFD中,,cos;即直线BD和平面ACFD所成角的余弦值为.【点评】考查三角形中位线的性质,等边三角形的中线也是高线,面面垂直的性质定理,以及线面垂直的判定定理,线面角的定义及求法,直角三角形边的关系,三角函数的定义.19.(15分)(2016•浙江)如图,设抛物线y2=2px (p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|﹣1,(Ⅰ)求p的值;(Ⅱ)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M,求M的横坐标的取值范围.【分析】(Ⅰ)利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程,进一步求得p值;(Ⅱ)设出直线AF的方程,与抛物线联立,求出B的坐标,求出直线AB,FN的斜率,从而求出直线BN的方程,根据A、M、N三点共线,可求出M的横坐标的表达式,从而求出m的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得,抛物线上点A 到焦点F的距离等于A到直线x=﹣1的距离,由抛物线定义得,,即p=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设(t2,2t),t≠0,t≠±1,∵AF不垂直y轴,∴设直线AF:x=sy+1(s≠0),联立,得y2﹣4sy﹣4=0.y1y2=﹣4,∴B(),又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为,从而得FN:,直线BN:y=﹣,则N(),设M(m,0),由A、M、N三点共线,得,于是m==,得m<0或m>2.经检验,m<0或m>2满足题意.∴点M的横坐标的取值范围为(﹣∞,0)∪(2,+∞).【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与圆锥曲线位置关系的应用,考查数学转化思想方法,属中档题.20.(15分)(2016•浙江)设函数f(x)=x 3+,x∈[0,1],证明:(Ⅰ)f(x)≥1﹣x+x2【分析】(Ⅰ)根据题意,1﹣x+x2﹣x3=,利用放缩法得≤,即可证明结论成立;(Ⅱ)利用0≤x≤1时x 3≤x,证明f(x)≤,再利用配方法证明f(x)≥,结合函数的最小值得出f(x)>,即证结论成立.【解答】解:(Ⅰ)证明:因为f(x)=x 3+,x ∈[0,1],且1﹣x+x2﹣x3==,所以≤,所以1﹣x+x 2﹣x3≤,即f(x)≥1﹣x+x2;(Ⅱ)证明:因为0≤x≤1,所以x3≤x,所以f(x)=x 3+≤x+=x+﹣+=+≤;由(Ⅰ)得,f(x)≥1﹣x+x 2=+≥,且f()=+=>,所以f(x)>;【点评】本题主要考查了函数的单调性与最值,分段函数等基础知识,也考查了推理与论证,分析问题与解决问题的能力,是综合性题目.参与本试卷答题和审题的老师有:zhczcb;zlzhan;maths;双曲线;742048;sxs123;gongjy;沂蒙松(排名不分先后)菁优网2016年8月16日。