安徽省合肥市第一中学2017届高三第三阶段考试数学(理)试题 Word版含答案

数学（理科）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知R 是实数集，集合2=1M x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭，{N y y ==，则()R C M N = （ ） A ．()1,2B ．[]0,2C ．(]0,2D ．[]1,22.下列命题中正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题；B ．“0a >，0b >”是“2b aa b+≥”的充分必要条件； C ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”；D ．命题p ：0x R ∃∈，使得20010x x +-<，则p ⌝：x R ∀∈，都有210x x +-≥．3.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（ ） A ．若m αP ，m βP ，则αβP B ．若m αP ，αβP ，则m βP C ．若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥D ．若m α⊂，αβ⊥，则m β⊥4.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（ ） A ．23B ．815C ．2031D ．355.函数y =）A ．B ．C ．D ．6.设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+D ．4133AD AB AC =-7.已知实数x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，若函数z ax by =+（0a >，0b >）的最大值为1，则816ab+的最小值为（ ） AB ．4C ．2D．8.已知函数42412sin 422x x x f x x ++⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，则122016201720172017f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．4032B ．2016C ．4034D ．20179.tan 204sin 20︒+︒的值为（ ） ABC ．12D．210.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角B 为锐角，且22sin sin sin A C B =，则a cb+的取值范围为（ ） A．(B．C．12⎛⎝⎭D．⎝⎭11.定义在R 上的可导函数()f x 满足()11f =，且()21f x '>，当3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，不等式()232cos 2sin 22xf x >-的解集为（ ） A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．4,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 12.如图，点列{}n A ，{}n B 分别在某个锐角的两边上，且112n n n n A A A A +++=，2n n A A +≠，*n N ∈，112n n n n B B B B +++=，2n n B B +≠，*n N ∈（P Q ≠表示P 与Q 不重合）．若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +∆的面积，则（ ）A ．{}n d 是等差数列B ．{}2n d 是等差数列 C ．{}n S 是等差数列D ．{}2n S 是等差数列第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量a ，b 的夹角为3π，且1b =，2a b -= 则a = ．14.将函数()sin f x x ω=（0ω>）的图象向右平移4π个单位长度，所得图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值是 ．15.已知数列{}n a 是各项为正数且首项为1的等差数列，n S 为其前n 项和，若数列也为等差数列，则81n n S a ++的最小值是 ． 16.已知()22log ,02185,233x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若a ，b ，c ，d 互不相同，且()()()()f a f b f c f d ===，则a b c d +++的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）已知向量()1,sin a x = ，cos 2,sin 3b x x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()1cos 22f x a b x =- ． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式及其单调递增区间； （Ⅱ）当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域． 18. （本小题满分12分）已知两数列{}n a ，{}n b 满足13n n n b a =+（*n N ∈），11310b a =，其中{}n a 是公差大于零的等差数列，且2a ，7a ，21b -成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AB AD ⊥，AB CD P ，22CD AD AB AP ===．（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）在侧棱PC 上是否存在点E ，使得BE P 平面PAD ，若存在，确定点E 位置；若不存在，说明理由．20. （本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且cos sin 0a C C b c --=．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若AD 为BC 边上的中线，1cos 7B =，AD =，求ABC ∆的面积． 21. （本小题满分12分） 已知函数()1ln f x x a x x=-+（a R ∈）． （Ⅰ）若函数()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）已知()()21112g x x m x x =+-+，m ≤()()()h x f x g x =+，当1a =时，()h x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()()12h x h x -的最小值．22. （本小题满分12分）已知函数()222xf x e ax a =+-，a R ∈．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0x ≥时，()23f x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．合肥一中段三数学试卷答案（理科）一、选择题1-5:B D C C A 6-10:A D A B B 11、12：D C 二、填空题13.3 14.2 15.176 16.2110,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 三、解答题17.（本小题满分10分）解：（1）()211cos 2sin cos 2sin 23226f x a b x x x x ππ⎛⎫⎛⎫==++-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ +3分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d （0d >），11310b a = ，()1131310a a ∴+=，13a ∴=． 又213a a d d =+=+，()716312a a d d =+=+，()221993b a d -==+， 由2a ，7a ，21b -成等比数列，得()()2291293d d +=+，0d > ，123d d ∴+=+，2d =，()31221n a n n ∴=+-⨯=+． ……………………6分（Ⅱ）因为21n a n =+，所以()1213nn b n =++，于是，()()()()21331531213nn S n =+⨯++⨯++++⨯ ，令()123353213nT n =⨯+⨯+++⨯ ①则()23133353213n T n +=⨯+⨯+++⨯ ②①-②，得()1231233232323213nn T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯()211133922132313n n n n n +++-=+⨯-+=-⨯-，13n T n +∴= ，故()11313n n n S n n n ++=+⨯=+． ……………………12分19.（本小题满分12分）解：（1）证明：PA ⊥ 平面ABCDPA CD ∴⊥①又AB AD ⊥ ，AB CD P ，CD AD ∴⊥②且PA AD A = ③由①②③可得CD ⊥平面PAD ，又CD ⊂平面PCD∴平面PCD ⊥平面PAD (6)（2）解：当点E 是PC 的中点时，BE P 平面PAD ． 证明如下：设PD 的中点为F ，连接EF ，AF 易得EF 是PCD ∆的中位线，EF CD ∴P ，12EF CD = 由题设可得AB CD P ，12AF CD =，EF AB ∴P ，EF AB = ∴四边形ABEF 为平行四边形，BE AF ∴P ，又BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PADBE ∴P 平面PAD (12)20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为cos sin 0a C C b c --=，由正弦定理得：sin cos sin sin sin A C A C B C =+，即()sin cos sin sin sin A C A C A C C =++，……3分cos 1A A -=，所以()1sin 302A -︒=．……5分 在ABC ∆中，0180A ︒<<︒，所以3030A -︒=︒，得60A =︒．……6分（Ⅱ）在ABC ∆中，1cos 7B =，得sin B =．……7分则()11sin sin 72C A B =+=+=．……8分 由正弦定理得sin 7sin 5a A c C ==．……9分 设7a x =，5c x =，在ABD ∆中，由余弦定理得：2222cos AD AB BD AB BD B =+- ，则2212911125492574427x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯，解得1x =，即7a =，5c =，……11分故1sin 2ABC S ac B ∆==．……12分21.（本小题满分12分）解：（1）由已知可得()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，()222111a x ax f x x x x ++'=++= ，210x ax ∴++≥恒成立，21x a x--∴≥，记()2112x x x x x ϕ--⎛⎫==-+≤- ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，2a ∴≥-．………………+4分（2）()21ln 2h x a x x mx =++，当1a =时，由 ()21ln 2h x x x mx =++，()211x mx h x x m x x++'=++=，由已知210x mx ++=有两互异实根1x ，2x ，由根与系数的关系得12x x m +=-，1x ，21x =．()()221211122211ln ln 22h x h x x x mx x x mx ⎛⎫⎛⎫∴-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()221212121ln ln 2x x m x x x x =-+-+- ()()()()222211212121212211ln ln ln 22x x x x x x x x x x x x =--+-+-=--+ 1212121ln 2x x x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭． (7)令12x t x =，()0,1t ∴∈，()2222121212922x x x x x x m +=++=≥ ，221252x x ∴+≥，221212122152x x x x x x x x +∴=+≥，152t t +≥，10,2t ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦，()()()1211ln 2h x h x t t t t ϕ⎛⎫∴-=--= ⎪⎝⎭，()()2212t t t ϕ-'∴=-， ()t ϕ∴10,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦单调递减，()min 13ln 224t ϕϕ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭． (12)22.（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）()22x f x e a '=+，①0a ≥时，()0f x '>恒成立，此时()f x 在R 上单调递增； ②当0a <时，由()0f x '>，得()ln x a >-； 由()0f x '<，得()ln x a <-，此时()f x 在()(),ln a -∞-上递减，在())ln ,a -+∞⎡⎣上递增． (4)（Ⅱ）令()()()22323xg x f x x e x a =-+=--+，0x ≥，则()()2x g x e x a '=-+，又令()()2x h x e x a =-+，则()()210xh x e '=-≥，()h x ∴在[)0,+∞上递增，且()()021h a =+．①当1a ≥-时，()0g x '≥恒成立，即函数()g x 在[)0,+∞上递增，从而须满足()2050g a =-≥，解得a ≤又1a ≥-，1a ∴-≤≤②当1a <-时，则00x ∃>，使()00h x =，且()00,x x ∈时，()0h x <， 即()0g x '<，即()g x 递减，()0,x x ∈+∞时，()0h x >， 即()0g x '>，即()g x 递增．()()()0200min 230x g x g x e x a ∴==--+≥，又()()00020xh x e x a =-+=，从而()002230x xe e -+≥，解得00ln3x <≤，由0000x xe x a a x e =-⇒=-，令()xM x x e =-，0ln 3x <≤，则()10xM x e '=-<，()M x ∴在(]0,ln3上递减，则()()ln3ln33M x M ≥=-，又()()01M x M <=-， 故ln 331a -≤<-，综上ln 335a -≤≤． (12)。