江苏省常州高级中学2012-2013学年高三(上)期中数学试卷(理科)(含解析)
江苏省常州市奔牛高级中学2012-2013学年高三数学上学期第一次段考试卷 (含解析)新人教A版
2012-2013学年江苏省常州市奔牛高级中学高三（上）第一次段考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案直接写在答题纸上）1．（5分）命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．考点：命题的否定．分析：根据命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意的”，“＜“改为“≥”即可得答案．解答：解：∵命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”是特称命题∴￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0故答案为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．点评：本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题．这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题．2．（5分）（2010•卢湾区一模）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，6}，B={1，2}，则（C U A）∩B{2} ．考点：补集及其运算；交集及其运算．专题：计算题．分析：根据全集和集合A求出集合A的补集，然后求出集合A补集与集合B的交集即可．解答：解：由全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，6}，得到C U A={2，4，5}，又B={1，2}，则（C U A）∩B={2}．故答案为：{2}点评：此题考查学生会进行补集及交集的运算，是一道基础题．学生在求补集时注意全集的范围．3．（5分）命题p：a∈M={x|x2﹣x＜0}；命题q：a∈N={x||x|＜2}，p是q的充分不必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．分析：命题p：a∈M={x|x2﹣x＜0}，解出0＜x＜1；命题q：a∈N={x||x|＜2}，解出﹣2＜x ＜2，然后判断充要条件．解答：解：命题p：a∈M={x|x2﹣x＜0}，可知x2﹣x＜0时M={x|0＜x＜1}；命题q：a∈N={x||x|＜2}，得到|x|＜2时N={x|﹣2＜x＜2}，显然a∈M则a∈N，即p⇒q；a∈N时则a不一定∈M，q不能推出p，p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．点评：正确解不等式是解好本题的关键，明确推理判断好充要条件．4．（5分）已知α是第二象限的角，且sin（π+α）=﹣，则tan2α的值为﹣．考点：二倍角的正切．专题：计算题．分析：利用诱导公式化简已知的sin（π+α），即可求出sinα的值，然后根据α是第二象限的角，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值，进而求出tanα的值，把所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，把tanα的值代入即可求出值．解答：解：由sin（π+α）=﹣，得sinα=，∵α是第二象限的角，∴cosα=﹣，从而得tanα=﹣，∴tan2α===﹣．故答案为：﹣．点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正切函数公式化简求值，是一道基础题．做题时注意利用α是第二象限的角这个条件．5．（5分）已知平面向量=（﹣1，1），=（x﹣3，1），且⊥，则x= 4 ．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：先计算两个向量的数量积，再利用两个向量垂直的充要条件为两向量的数量积为0，即可列方程解得x的值解答：解：∵⊥⇔•=0，∵=（﹣1，1），=（x﹣3，1），∴（﹣1，1）•（x﹣3，1）=0，即3﹣x+1=0解得x=4故答案为 4点评：本题主要考查了向量数量积的坐标运算，向量数量积运算的运算性质，向量垂直的充要条件等基础知识6．（5分）设，则a，b，c从小到大的关系为a＜b ＜c ．考点：有理数指数幂的化简求值；不等关系与不等式．专题：综合题．分析：运用指数函数的单调性得到a＜1，化简c后，运用幂函数的单调性得到c＞b＞1．解答：解：＜0.160=1，＞1.50.75＞1.50=1，所以a＜b＜c．故答案为a＜b＜c．点评：本题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了指数函数和幂函数的单调性，此题是基础题．7．（5分）（2005•江苏）已知a，b为常数，若f（x）=x2+4x+3，f（ax+b）=x2+10x+24，则5a﹣b= 2 ．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题；压轴题．分析：将ax+b代入函数f（x）的解析式求出f（ax+b），代入已知等式，令等式左右两边的对应项的系数相等，列出方程组，求出a，b的值．解答：解：由f（x）=x2+4x+3，f（ax+b）=x2+10x+24，得（ax+b）2+4（ax+b）+3=x2+10x+24，即a2x2+2abx+b2+4ax+4b+3=x2+10x+24．比较系数得求得a=﹣1，b=﹣7，或a=1，b=3，则5a﹣b=2．故答案为2点评：本题考查知f（x）的解析式求f（ax+b）的解析式用代入法．8．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则= 2 ．考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：：设幂函数y=f（x）的解析式为 f（x）=xα，根据幂函数y=f（x）的图象过点求出α的值，可得函数的解析式，从而求得的值．解答：解：设幂函数y=f（x）的解析式为 f（x）=xα，由幂函数y=f（x）的图象过点可得=3α，∴α=﹣，∴f（x）=，∴==2，故答案为 2．点评：本题主要考查幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．9．（5分）已知三次函数在R上有极值，则实数b的范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．考点：函数在某点取得极值的条件．专题：导数的综合应用．分析：先求出f′（x），根据三次函数在R上有极值⇔f′（x）=0有两个不等的实数根，解出即可．解答：解：∵，∴f′（x）=x2+bx+1．已知三次函数在R上有极值⇔f′（x）=0有两个不等的实数根⇔△=b2﹣4＞0，解得b＜﹣2，或b＞2．故答案为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．点评：正确理解函数有极值的条件是解题的关键．10．（5分）设函数，则不等式f（x）≤2的解集为[0，+∞）．考点：指、对数不等式的解法；对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：根据题意，分情况讨论：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，分别求解即可．解答：解：x≤1时，f（x）=21﹣x≤2，解得x≥0，因为x≤1，故0≤x≤1；x＞1时，f（x）=1﹣log2x≤2，解得x≥，故x＞1．综上所述，不等式f（x）≤2的解集为[0，+∞）．故答案为：[0，+∞）．点评：本题考查分段函数、解不等式问题、对数函数的单调性与特殊点，属基本题，难度不大．11．（5分）若函数y=log a（3﹣ax）在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是（1，3）．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由于函数y=log a（3﹣ax）在[0，1]上是减函数，故 a＞1，且3﹣a＞0，由此求得a 的取值范围．解答：解：由于函数y=log a（3﹣ax）在[0，1]上是减函数，故 a＞1，且3﹣a＞0，∴3＞a＞1，故答案为：（1，3）．点评：本题考查对数函数的单调性和特殊点，得到a＞1，且3﹣a＞0，是将诶提的关键．12．（5分）若函数f（x）=e x﹣2x﹣a在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（2﹣2ln2，+∞）．考点：函数的零点．专题：计算题．分析：画出函数f（x）=e x﹣2x﹣a的简图，欲使函数f（x）=e x﹣2x﹣a在R上有两个零点，由图可知，其极小值要小于0．由此求得实数a的取值范围．解解：令f，（x）=e x﹣2=0，则x=ln2，答：∴x＞ln2，f，（x）=e x﹣2＞0；x＜ln2，f，（x）=e x﹣2＜0；∴函数f（x）在（ln2，+∞）上是增函数，在（﹣∞，ln2）上是减函数．∵函数f（x）=e x﹣2x﹣a在R上有两个零点，所以f（ln2）=2﹣2ln2﹣a＜0，故a＞2﹣2ln2．故填：（2﹣2ln2，+∞）．点评：本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．13．（5分）对于二次函数f（x）=4x2﹣2（p﹣2）x﹣2p2﹣p+1，若在区间[﹣1，1]内至少存在一个数c 使得f（c）＞0，则实数p的取值范围是（﹣3，1.5）．考点：二次函数的性质．专题：计算题；转化思想．分析：由于二次函数f（x）=4x2﹣2（p﹣2）x﹣2p2﹣p+1的图象是开口方向朝上的抛物线，故二次函数f（x）=4x2﹣2（p﹣2）x﹣2p2﹣p+1在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数c，使f（c）＞0的否定为对于区间[﹣1，1]内的任意一个x都有f（x）≤0，即f（﹣1），f（1）均小于等0，由此可以构造一个关于p的不等式组，解不等式组即可求出实数p的取值范围．解答：解：二次函数f（x）在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数c，使f（c）＞0的否定是：对于区间[﹣1，1]内的任意一个x都有f（x）≤0，∴即整理得解得p≥，或p≤﹣3，∴二次函数在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数c，使f（c）＞0的实数p的取值范围是（﹣3，）．点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间[﹣1，1]内的任意一个x都有f（x）≤0时，是解答本题的关键．14．（5分）定义在R上的函数f（x）满足且为奇函数．给出下列命题：（1）函数f（x）的最小正周期为；（2）函数y=f（x）的图象关于点对称；（3）函数y=f（x）的图象关于y 轴对称．其中真命题有（2）（3）．（填序号）考点：函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．专题：计算题．分析：本题可先由恒等式得出函数的周期是3，可以判断（1），再由函数是奇函数求出函数的对称点来判断（2）（3），综合可得答案．解答：解：由题意定义在R上的函数y=f（x）满足条件，故有恒成立，故函数周期是3，故（1）错；又函数是奇函数，故函数y=f（x）的图象关于点对称，由此知（2）（3）是正确的选项，故答案为：（2）（3）点评：本题考查奇偶函数图象的对称性，求解本题的关键是由题设条件把函数的性质研究清楚，解答关键是得出函数是周期函数．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）设α为锐角，，求tanα和tanβ的值．考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：依题意，可求得sinα，从而可求得tanα；利用tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]可求得tanβ的值．解答：解：由α为锐角，cosα=得sinα=，∴tanα=﹣﹣﹣﹣﹣（3分）又tan（α﹣β）=，∴tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]===﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）点评：本题考查两角和与差的正切函数，变换出tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]是关键，考查角的变换，属于中档题．16．（14分）（1）证明函数 f（x）=x+在x∈[2，+∞）上是增函数；（2）求f（x）在[4，8]上的值域．考点：函数单调性的判断与证明；函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）用定义证明，则先在给定的区间上任取两个变量，且界大小，再作差变形看符号，若自变量与相应函数值变化一致，则为增函数，若自变量变化与相应函数值变化相反时，则为减函数．（2）已经知道f（x）为增函数，根据函数的单调性，可以求出其值域；解证明：（1）设2＜x1＜x2，则答：f（x1）﹣f（x2）=x1+﹣x2﹣=x1﹣x2+=（x1﹣x2）（1﹣）∵2＜x1＜x2∴x1﹣x2＜0，x1x2＞4即0＜＜1，∴1﹣＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）∴f（x）是增函数；（2）由（1）知f（x）在[4，8]上是增函数，f（x）max=f（8）=；f（x）min=f（4）=5，∴f（x）的值域为：[5，]；点评：本题主要考查用单调性定义如何来证明函数单调性的，要注意几点：一是自变量的任意性，二是来自相应的区间，三是变形要到位，要用上已知条件；17．（12分）（2010•韶关模拟）设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）依题意有，f'（1）=0，f'（2）=0．求解即可．（2）若对任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c2成立⇔f（x）max＜c2在区间[0，3]上成立，根据导数求出函数在[0，3]上的最大值，进一步求c的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f'（x）=6x2+6ax+3b，因为函数f（x）在x=1及x=2取得极值，则有f'（1）=0，f'（2）=0．即解得a=﹣3，b=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x3﹣9x2+12x+8c，f'（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x ﹣2）．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，3）时，f'（x）＞0．所以，当x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．则当x∈[0，3]时，f（x）的最大值为f（3）=9+8c．因为对于任意的x∈[0，3]，有f（x）＜c2恒成立，所以9+8c＜c2，解得c＜﹣1或c＞9，因此c的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．点评：本题考查了导数的应用：函数在某点存在极值的性质，函数恒成立问题题，而函数①f （x）＜c2在区间[a，b]上恒成立与②存在x∈[a，b]，使得f（x）＜c2是不同的问题．①⇔f（x）max＜c2，②⇔f（x）min＜c2，在解题时要准确判断是“恒成立”问题还是“存在”问题．在解题时还要体会“转化思想”及“方程与函数不等式”的思想的应用．18．（12分）已知函数是奇函数，是偶函数．（1）求m+n的值；（2）设，若g（x）＞h[log4（2a+1）]对任意x≥1恒成立，求实数a 的取值范围．考点：对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由g（x）为定义在R上的奇函数，得g（0）=0，解得n=1；再根据偶函数满足f（﹣x）=f（x），比较系数可得m=﹣，由此即可得到m+n的值．（2）由（1）得h（x）=log4（4x+1），易得h[log4（2a+1）]=log4（2a+2）．而定义在R上的增函数g（x）在x≥1时的最小值为g（1）=，从而不等式转化成＞log4（2a+2），由此再结合真数必须大于0，不难解出实数a的取值范围．解答：解：（1）由于g（x）为奇函数，且定义域为R，∴g（0）=0，即，…（3分）∵，∴，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），得mx=﹣（m+1）x恒成立，故，综上所述，可得；…（4分）（2）∵，∴h[log4（2a+1）]=log4（2a+2），…（2分）又∵在区间[1，+∞）上是增函数，∴当x≥1时，…（3分）由题意，得，因此，实数a的取值范围是：．…（3分）点评：本题给出含有指数和对数形式的函数，在已知奇偶性的情况下求参数m、n的值，并讨论不等式恒成立的问题，着重考查了对数函数图象与性质的综合应用、函数的奇偶性和不等式恒成立等知识点，属于中档题．19．（16分）如图，现有一个以∠AOB为圆心角、湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB．现欲在弧AB上取不同于A，B的点C，用渔网沿着弧AC（弧AC在扇形AOB的弧AB上）、半径OC和线段CD（其中CD∥OA），在该扇形湖面内隔出两个养殖区域﹣﹣养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ．若OA=1cm，，∠AOC=θ．（1）用θ表示CD的长度；（2）求所需渔网长度（即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和）的取值范围．考点：正弦定理的应用；根据实际问题选择函数类型．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）先确定∠COD，再在△OCD中，利用正弦定理，可求CD的长度；（2）根据所需渔网长度，即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和，确定函数的解析式，利用导数确定函数的最值，即可求得所需渔网长度的取值范围．解答：解：（1）由CD∥OA，∠AOB=，∠AOC=θ，得∠OCD=θ，∠ODC=，∠COD=﹣θ．在△OCD中，由正弦定理，得CD=sin（），θ∈（0，）（6分）（2）设渔网的长度为f（θ）．由（1）可知，f（θ）=θ+1+sin（）．（8分）所以f′（θ）=1﹣cos（），因为θ∈（0，），所以﹣θ∈（0，），令f′（θ）=0，得cos（）=，所以﹣θ=，所以θ=．θ（0，）（，）f′（θ）+ 0 ﹣f（θ）极大值所以f（θ）∈（2，]．故所需渔网长度的取值范围是（2，]．（14分）点评：本题考查正弦定理的运用，考查函数模型的构建，考查利用导数确定函数的最值，确定函数的解析式是关键．20．（12分）（2012•虹口区二模）已知：函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f（x）=．（1）求a、b的值及函数f（x）的解析式；（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]时恒成立，求实数k的取值范围；（3）如果关于x的方程f（|2x﹣1|）+t•（﹣3）=0有三个相异的实数根，求实数t的取值范围．考点：函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法；复合函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：综合题．分析：（1）根据函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），可知函数在区间[2，3]上是单调函数，故可建立方程组，从而可求a、b的值及函数f（x）的解析式；（2）利用分离参数法，求出函数的最值，即可得到结论；（3）根据f（|2x﹣1|）+t•（﹣3）=0，可得|2x﹣1|++﹣3t﹣2=0，利用换元法u=|2x﹣1|＞0，转化为u2﹣（3t+2）u+（4t+1）=0，当0＜u1＜1＜u2时，原方程有三个相异实根，故可求实数t的取值范围．解答：解：（1）g（x）=ax2﹣2ax+1+b，函数的对称轴为直线x=1，由题意得：①得②得（舍去）∴a=1，b=0…（4分）∴g（x）=x2﹣2x+1，…（5分）（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0，即k…（9分）设，∴，∴k≤（t﹣1）2∵（t﹣1）2min=0，∴k≤0…（11分）（3）f（|2x﹣1|）+t•（﹣3）=0，即|2x﹣1|++﹣3t﹣2=0．令u=|2x﹣1|＞0，则 u2﹣（3t+2）u+（4t+1）=0…（①…（13分）记方程①的根为u1，u2，当0＜u1＜1＜u2时，原方程有三个相异实根，记φ（u）=u2﹣（3t+2）u+（4t+1），由题可知，或．…（16分）∴时满足题设．…（18分）点评：本题考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分离参数法求解恒成立问题，考查函数与方程思想，属于中档题．。
江苏省常州一中2012届高三上学期期中考试数学(理)试卷
2011-2012学年度第一学期高三数学试卷（理科）2011．11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 1． 已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ▲ .2． 已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3． 命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4． 设定义在区间()π0, 上的函数sin 2y x =的图象与1cos y x =图象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ .5． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ . 6． 已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =，则168a =▲ .7． 若集合{}22011xx <()a ⊆-∞, ，则整数a 的最小值为 ▲ .8． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩， 已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ .9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种）10．记123k k k kk S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式：211122S n n=+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n=++-，6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-,, ，则该函数的单调减区间为 ▲ .12．已知函数e xy =的图象在点(e )k a k a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN ≤，则OM ON ⋅的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤{}m a x ()()f a f b , ，（注：{}max x y , 表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--, , , , , ,且//AD BC ．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积．（第11题图）16．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n nf x x x ωω=+(0)n ω>∈*N ,的最小正周期为T ． （1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值； （2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．17．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+．（1）求sin b Bc 的值；（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[]a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．1l2l D A BC 1l 2lD A B C（图甲） （图乙）（1）已知1()f x x=是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间； （2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分146分)设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{an}的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立． （1）若0k =，求证：数列{an}是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{an}能成等差数列．附加题部分 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲） 如图，从圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A B ,， AB 与OP 交于点M ，设CD 为过点M 且不过圆心O 的一条弦，MPA BOC D（第21—A 题）求证：O C P D 、、 、 四点共圆．B ．（矩阵与变换）设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,的值．C ．（极坐标与参数方程） 在极坐标系中，已知点()00O ,，()4P π，求以OP 为直径的圆的极坐标方程．D ．（不等式选讲）设正实数a ，b 满足2123a ab b --++=，求证：1a b -+≤2．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，设1AD =，1 (0)D D λλ=>， 若棱1C C 上存在点P 满足1A P ⊥平面PBD ，求实数λ的取值范围．23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件： ① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．2012届高三年级期中考试PAB CD 1A 1B1C 1D（第22题图）数学Ⅰ（选修物理） 2011．11参考答案及评分建议一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 1． 已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ▲ .2． 已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3． 命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4． 设定义在区间()π02, 上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则t a n α的值为 ▲ .5． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ . 6． 已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =，则168a =▲ .7． 若集合{}22011xx <()a ⊆-∞, ，则整数a 的最小值为 ▲ .8． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩， 已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ .9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ （在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、中选填一种）10．记123k k k kk S n =+++⋅⋅⋅+,当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式：211122S n n=+，322111S n n n =++，4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n=++-，6542515S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-, , ，则该函数的单调减区间为 ▲ .12．已知函数e xy =的图象在点(e )k a k a ,处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN ≤，则OM ON ⋅的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤{}max ()()f a f b , ，（注：{}max x y , 表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是▲ .【填空题答案】1.{}1 9，； 2. ； 3. 0 sin x x x ∀>>，； 4. ； 5. (01), ；6. 1；7. 11；8. 8 361，；9. 充分不必要； 10. 1；11. ⎣⎦； 12. 6-； 13. )2⎡⎣ ； 14. 1 .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--, , , , , ,且//AD BC ．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积． 【解】（1）由题意得(4 2)AD AB BC CD x y =++=+-，,()BC x y =, , ………………………2分因为//AD BC ，所以(4)(2)0x y y x +--=，即20x y +=，① …………………………………………………4分 （2）由题意得(6 1)AC AB BC x y =+=++，，(2 3)BD BC CD x y =+=--，， ………………6分 因为AC BD ⊥， 所以(6)(2)x x y y +-++-=，即2242150x y x y ++--=，② ………………………8分由①②得2 1 x y =⎧⎨=-⎩，，或6 3.x y =-⎧⎨=⎩，……………………………………………………………………10分当2 1x y =⎧⎨=-⎩，时，(8 0)AC =，，(0 4)BD =-，，则1=162A B C D S A C B D =四边形 (12)分当6 3x y =-⎧⎨=⎩，时，(0 4)AC =，，(8 0)BD =-，，则1=162ABCD S AC BD =四边形 …………………14分所以，四边形ABCD 的面积为16．16．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n n f x x x ωω=+(0)n ω>∈*N , 的最小正周期为T ． （1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值； （2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．【解】（1）当1n =，(1)1f =时，sin cos 1ωω+=(0)ω>，化简得()sin ωπ+=， ………………………………………………………………………2分因为0ω>，所以()min ωπ3π+=44，即min ωπ=， 所以，T 的最大值为8．…………………………………………………………………………6分（2）当4n =时，44()sin cos f x x x ωω=+ ()22222s i n c o s 2s i nc o sx x x x ωωωω=+-()212s i n c o sx x ωω=-211s i n 22xω=-()11c o s 4122x ω-=-13cos 4x ω=+(0)ω>， (10)分 因为244T ωπ==，所以8ωπ=， …………………………………………………………………12分此时，13()cos 424x f x π==+，所以3(1)4f =．……………………………………………………14分17．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+．（1）求sin b Bc 的值；（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．【解】（1）由222b ac bc =-+得2221cos b c a A +-==， 在△ABC 中，A π=3， ……………………………………………………………………………3分由2b ac =得sin sin b B a Bcc =， 由正弦定理得sin sin a B Ac =，所以，s i n b B =； ………………………………………………………………………………7分 （2）△ABC 为等边三角形，下证之：…………………………………………………………………9分由222b ac a c bc ==-+知不失一般性，可设1c =，则221b a a b ==+-，消去a 得241b b b =+-，即32(1)(1)0b b b -++=， 所以1b =，1a =，即证．…………………………………………………………………………14分18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=，据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．【解】（1）如图甲，设AD 与1l 所成夹角为α，则AB 与2l 所成夹角为60α-， 对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 60αα=-，………………………………………2分解得tan α=，……………………………………………………………………………………4分所以，养殖区的面积()()22231sin6091sin6042 3 (m )sin tan S αα=⋅=+⋅=； ………………1l2l D A BC 1l 2lD A B C（图甲）（图乙）6分（2）如图乙，设AD 与1l 所成夹角为α，()120 180BAD θ∠=∈，，则AB 与2l所成夹角为()180θα-+，对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 180αθα=-+，……………………………………8分 解得sin tan 2cos θαθ=+，……………………………………………………………………………10分 所以，养殖区的面积()23sin sin S θα=⋅()2191sin tan θα=+⋅()54cos 9sin θθ+=，………………12分由()()254cos 5cos 4990sin sin S θθθθ'++'==-=得4cos 5θ=-， ………………………………………………………………………………………14分经检验得，当4cos 5θ=-时，养殖区的面积2min =27(m )S ． ………………………………16分答：（1）养殖区的面积为2；（2）养殖区的最小面积为227m ．19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D⊆，（其中a b <），使得当[]x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[]a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．（1）已知1()f x x=是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间；（2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】（1）因为()f x 是[)0 +∞，上的正函数，且()f x 在[)0 +∞，上单调递增，所以当[] x a b ∈，时，()() f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即 a b =，， …………………………………………………3分解得0 1a b ==，， 故函数()f x 的“等域区间”为[]0 1，；……………………………………………………………5分（2）因为函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的减函数，所以当[] x a b ∈，时，()() g a b g b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即22a mb b m a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，， (7)分 两式相减得22a b b a-=-，即()1b a =-+， ……………………………………………………9分代入2a m b +=得210a a m +++=，由a b <<，且()1b a =-+得112a -<<-， ……………………………………………………11分故关于a 的方程210a a m +++=在区间()11 2--，内有实数解，………………………………13分 记()21h a a a m =+++，则()()10 10 2h h ->⎧⎪⎨-<⎪⎩，，解得()31 4m ∈--，． ……………………………………………………………16分20．(本小题满分146分)设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{an}的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立．（1）若0k =，求证：数列{an}是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{an}能成等差数列．【证】（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）． 因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==． 而且当2n ≥时，2n n a S +=， ① 112n n a S --+=， ② ①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥． 若an=0，则1=0n a -，…，a1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ． 故数列{an}是首项为1，公比为12的等比数列． (4)分 【解】（2）(i) 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去． (ii) 若k=1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数）， 当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+， ④③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥．……………………………………………………………7分要使数列{an}是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数），而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an =1()*n ∈N ， 故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an =1()*n ∈N ，此时1()1f n n =+． (9)分(iii) 若k=2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数），当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥ ⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， ………………………………………………12分要使数列{an}是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有 2n a an b a d =+--，且d=2a ，考虑到a1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ，此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．……………………………………………14分(iv) 当3k ≥时，若数列{an}能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列．综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列． ……………………………………16分数学Ⅱ（选修物理） 附加题部分参考答案及评分细则21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲） 如图，从圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A B ,， AB 与OP 交于点M ，设CD 为过点M 且不过圆心O 的一条弦，求证：O C P D 、、 、 四点共圆． 【证明】因为PA ，PB 为圆O 的两条切线，所以OP 垂直平分弦AB ，在Rt OAP ∆中，2OM MP AM ⋅=， …………………………4分在圆O 中，AM BM CM DM ⋅=⋅，所以，OM MP CM DM ⋅=⋅， …………………………MPA BOC D（第21—A 题）8分又弦CD 不过圆心O ，所以O C P D , , , 四点共圆． (10)分B ．（矩阵与变换）设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,的值． 【解】由题意得01110000002011mn m n ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩, , …………………………6分化简得100002m n m n =⎧⎪⋅=⎪⎨⋅=⎪⎪=⎩, , ,, 所以12m n =⎧⎨=⎩, .…………………………10分 C ．（极坐标与参数方程） 在极坐标系中，已知点()00O ,，()4P π，求以OP 为直径的圆的极坐标方程． 【解】设点()Q ρθ, 为以OP 为直径的圆上任意一点，在Rt OQP ∆中，()4ρθπ=-，故所求圆的极坐标方程为()4ρθπ=-． …………………………10分 D ．（不等式选讲）设正实数a ，b 满足2123a ab b --++=，求证：1a b -+≤2．【证明】由2123a ab b --++=得()2113ab a b --=+-， (3)分又正实数a ，b满足1a b -+≥PABCD 1A 1B 1C1D （第22题图）（第22题图）y即1ab -≤()214a b -+，（当且仅当a b =时取“=”） (6)分所以()213a b -+-≤()214a b -+，即证1a b -+≤2． …………………………10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，设1AD =，1 (0)D D λλ=>， 若棱1C C 上存在点P 满足1A P ⊥平面PBD ，求实数λ的取值范围． 【解】如图，以点D 为原点O ，1DA DC DD ,, 分别为x y z , , 轴建立 空间直角坐标系O xyz -，则()000D , , ，()110B , , ，()110A λ, , ，设()01P x , , ，其中[]0x λ∈, ， …………………………3分因为1A P ⊥平面PBD ， 所以10A P BP ⋅=， 即()()11100x x λ--⋅-=, , , , ， …………………………6分化简得210x x λ-+=，[]0x λ∈, ， …………………………8分故判别式24λ∆=-≥0，且0λ>，解得λ≥2． …………………………10分23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件： ① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．【解】（1）因为对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=，所以，22222nn n A =⨯⨯⋅⋅⋅⨯=个相乘； …………………………4分（2）因为存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠， 所以2122k k a a -+=或2122k k a a -+=-， 设所有这样的k 为12(1)m k k k m n ⋅⋅⋅≤≤,, ， 不妨设2122(1)j j k k a a j m -+=≤≤，则112122j j k k a a ++-+=-（否则12212j j k i i k a +=->∑=4）；同理，若2122(1)j j k k a a j m -+=-≤≤，则112122j j k k a a ++-+=，这说明212j j k k a a -+的值由11212k k a a -+的值（2或-2）确定， …………………………6分又其余的()n m -对相邻的数每对的和均为0，所以，11222C 22C 22C n n nn n n n B --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+ …………………………8分11222(2+C 2C 2C )22n n n n nn n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯2(12)22n n =+-⨯2(32)n n =-． …………………………10分。
数学-常州市武进区2012届高三第一学期期中统考数学试题(理科)
常州市武进区2012届高三第一学期期中统考数学试题（理科）一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．已知集合{}a A ,1-=，{}b B a,2=，若{}1=B A ，则=B A ．2．已知平面向量()1,2a = ， ()2,b m =- ， 且//a b ， 则23a b +=．3．函数ln(y e =-的定义域为 ．4．已知函数2log ,0,()2,0.x x x f x x >⎧=⎨≤⎩若1()2f a =，则a = ．5．若二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且()(0)(1)f a f f ≤<，则实数a 的取值范围是 ．6．满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+≤-+0,087032y x y x y x ，则目标函数y x k +=3的最大值为 ．7．若*,x R n N ∈∈，规定：(1)(2)(1)n xx x x x n H=++⋅⋅⋅⋅⋅+-，例如：44(4)(3)(2)(1)24H -=-∙-∙-∙-=，则函数52()x f x x H -=∙的奇偶性为 ． 8．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若7916a a +=，77S =，则12a = ． 9．在ABC ∆中，若222,8AB AC BC =+=，则ABC ∆面积的最大值为 ． 10．若sin()(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的最小值为2-，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为3π，又图像过点(0,1)，则其解析式是 ．11．若自然数n 使得作竖式加法n (n 1)(n 2)++++均不产生进位现象，则称n 为“可连数”；如：32是“可连数”，因为32+33+34不产生进位现象，23不是“可连数” ，因为23+24+25产生进位现象，那么自然数中小于100的“可连数”的个数为 ．12．已知定义在R 上偶函数)(x f ，且0)1(=f ，当0>x 时有0)()(2'>-xx f x xf ，则不等式0)(>x xf 解集为 ．13．已知)2,0(,∈y x ，且xy ＝1，则yx -+-4422的最小值是 ． 14．已知集合{}{}1,2,3,1,2,3,4M N ==，定义函数:f M N →且点(1,(1)),A f (2,(2)),(3,(3))B f C f ；若ABC∆的内切圆圆心为D ，且()DA DC DB λλ+=∈R，则下列结论正确的有 ．（填上正确命题的序号）① ABC ∆必是等腰三角形；② ABC ∆必是直角三角形； ③ 满足条件的实数λ有3个；④ 满足条件的函数有12个． 二.解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点6(,0)cos ,sin 5A P αα，（），其中20πα<<．⑴ 若,65cos =α求证：PA PO ⊥ ；⑵ 若PA PO = ，求)42sin(πα+的值．16．（本题满分14分）设函数sin ()2cos xf x x=+．⑴ 求()f x 的单调区间；⑵ 证明：对任意的0x ≥，都有()x x f 31≤．17．（本题满分14分） 我们将具有下列性质的所有函数组成集合M ：函数()()y f x x D =∈，对任意,,2x y x y D +∈均满足1()[()()]22x y f f x f y +≥+，当且仅当x y =时等号成立。
江苏省常州高级中学2013届高三上学期期中考试物理试题
江苏省常州高级中学2012～2013学年第一学期期中质量检查高三年级物 理 试 卷命题人：李灯贵 2012.11说明：1. 以下题目的答案填写在答卷纸上。
2. 本卷总分120分，考试时间100分钟。
一、单项选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分。
每小题只有一个选项符合题意。
） 1. 关于科学家和他们的贡献，下列说法中正确的是 A ．安培首先发现了电流的磁效应B ．伽利略认为自由落体运动是速度随位移均匀变化的运动C ．牛顿发现了万有引力定律，并计算出太阳与地球间引力的大小D ．法拉第提出了电场的观点，说明处于电场中电荷所受到的力是电场给予的2．用同一张底片对着小球运动的路径每隔110s 拍一次照，得到的照片如图所示，则小球在图中过程运动的平均速度大 小是A ．0.25 m/sB ．0.2 m/sC ．0.17 m/sD ．无法确定3．如图所示，真空中O 点处有一点电荷，在它产生的电场中有a 、b 两点，a 点的场强大小为E a ，电场方向由a 指向O ，且与ab 连线成60°角；b 点的场强大小为E b ，电场方向由b 指向O ，且与ab 连线成30°角。
则关于a 、b 两点场强大小及电势a ϕ、b ϕ的高低关系正确的是A ．b a b a E E ϕϕ>=,3 B ．b a b a E E ϕϕ<=,3 C ．b a ba E E ϕϕ<=,3D ．b a b aE E ϕϕ<=,3 4．竖直平面内光滑圆轨道外侧，一小球以某一水平速度v 0从A 点出发沿圆轨道运动，至B 点时脱离轨道，最终落在水平面上的C 点，不计空气阻力．下列说法中不正确．．．的是 A ．在B 点时，小球对圆轨道的压力为零 B ．B 到C 过程，小球做匀变速运动C ．在A 点时，小球对圆轨道压力大于其重力D ．A 到B 过程，小球水平方向的加速度先增加后减小 5．如图所示的电路，水平放置的平行板电容器中有一个带电液滴正好处于静止状态，现将滑动变阻器的滑片P 向左移动，则 A ．电容器上的电荷量将减少 B ．电容器中的电场强度将增大C ．电容器的电容将减少D ．液滴将向上运动6．如图所示，水平面上放置质量为M 的三角形斜劈，斜劈顶端安装光滑的定滑轮，细绳跨过定滑轮分别连接质量为m 1和m 2的物块．m 1在斜面上运动，三角形斜劈保持静止状态．下列说法中正确的是A ．若m 2向下运动，则斜劈受到水平面向左摩擦力B ．若m 1沿斜面向下加速运动，则斜劈受到水平面向右的摩擦力C ．若m 1沿斜面向下运动，则斜劈受到水平面的支持力大于（m 1+ m 2+M ）gD ．若m 2向上运动，则轻绳的拉力一定大于m 2g二、多项选择题（本题共5小题．每小题5分．共计25分．每小题有多个选项符合题意．全部选对的得5分。
2012-2013学年江苏省四校联考高三(上)期中数学试卷(含解析)
2012-2013学年江苏省四校联考高三（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知i是虚数单位，复数，则|z|=．==﹣+故答案为：2．（5分）若函数f（x）=+是偶函数，则实数a的值为2．+，可以求得=是偶函数，，+3．（5分）（2012•盐城二模）已知集合P={﹣1，m}，，若P∩Q≠∅，则整数m=0．4．（5分）（2012•盐城二模）已知向量的模为2，向量为单位向量，，则向量与的夹角大小为．设向量与的夹角为，可得•，再根据，得•﹣2与解：设向量与的夹角为∴•=∵，∴=•﹣2=0，得2cosθ﹣1=0，所以cosθ=，故答案为：本题给出单位向量与向量的差向量垂直于单位向量与5．（5分）（2012•盐城二模）若命题“∀x∈R，x2﹣ax+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是[0，4]．6．（5分）已知三角形的一边长为5，所对角为60°，则另两边长之和的取值范围是（5，10]．所以25≥，所以a+b≤10．7．（5分）（2010•南通模拟）已知数列{a n}为等差数列，若，则数列{|a n|}的最小项是第6项．绝对值的大小．解：∵＜0∵∴，|a5|＞|a6|8．（5分）已知θ是第二象限角，且，则的值为．tan的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数tan的值代入计算，即可求出值．=﹣，，即2﹣3tan﹣tan﹣tan（﹣=．故答案为：9．（5分）已知函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线为由y=2x﹣1，则函数g（x）=x2+f（x）在点（2，g（2））处的切线方程为6x﹣y﹣5=0．10．（5分）等差数列{a n}中，已知a8≥15，a9≤13，则a12的取值范围是（﹣∞，7]．，故，所以a12=a9+3d，能求出a12的取值范围．∴∴，11．（5分）在锐角△ABC中，若tanA=t+1，tanB=t﹣1，则t的取值范围为t＞．∴＞0，＞，＞12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=﹣x3+1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为．为切线的斜率，根据切点和斜率表示出切线的方程，分别令x=0和y=0求出切线与两坐标轴的交点坐标，由交点坐标表示出△AOB的面积S，利用基本不等式即可求出面积的最小值时P横坐标的值，把此时P横坐标的值代入S中即可求出S的最小值．解答：解：根据题意设P的坐标为（t，﹣t3+1），且0＜t＜1，求导得：y′=﹣3x2，故切线的斜率k=y′|x=t=﹣3t2，所以切线方程为：y﹣（﹣t3+1）=﹣3t2（x﹣t），令x=0，解得：y=2t3+1；令y=0，解得：x=，所以△AOB的面积S=（2t3+1）•=，设y=2t2+=2t2++≥3，当且仅当2t2=，即t3=，即t=取等号，把t=代入得：S min=．故答案为：点评：解本题的思路是设出切点P的坐标，求出曲线方程的导函数，把P的横坐标代入导函数中求出切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线方程，求出切线与两坐标轴的交点坐标，进而表示出三角形ABC 的面积S，变形后利用基本不等式即可求出S最小时P横坐标的值，把此时P的横坐标代入S即可求出S的最小值．要求学生掌握求导法则以及会利用基本不等式求函数的最小值．13．（5分）（2012•江苏二模）已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n和T n，若，且是整数，则n的值为15．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：在中，令n=1可得a1=13b1 ，设等差数列{a n}和{b n}的公差分别为d1和d2，再分别令n=2，3，解得b1=2d2，d1=7d2 ，a1=26d2．化简为是整数，由此可得n的值．解答：解：由题意可得===13，故a1=13b1．设等差数列{a n}和{b n}的公差分别为d1和d2，由===，把a1=13b1代入化简可得12b1=59d2﹣5d1①．再由===11，把a1=13b1代入化简可得2b1=11d2﹣d1②．解①②求得b1=2d2，d1=7d2．故有a1=26d2．由于===为整数，∴n=15，故答案为15．点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键，属于中档题．14．（5分）若关于x的方程|e x﹣3x|=kx有四个实数根，则实数k的取值范围为（0，3﹣e）．二、解答题：本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤．15．（14分）（2011•东城区二模）已知，．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求函数的值域．）先利用同角三角函数基本关系式求弦公式将cosA变换为，代入计算即可2，且所以．=所以）可得所以，因为sinx∈[﹣1，1]，所以，当时，f（x）取最大值；）的值域为16．（14分）设，，（x∈R，m∈R）．（Ⅰ）若与的夹角为钝角，求x的取值范围；（Ⅱ）解关于x的不等式．）根据已知中向量的坐标及与的夹角为钝角，根据向量数量积的定义，可得＜）根据利用平方法可得）∵，与的夹角为钝角，解得时，与所以当与的夹角为钝角时，的取值范围为）由知，又∵时，与17．（15分）（2008•湖北模拟）随着机构改革开作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（140＜2a＜420，且a为偶数），每人每年可创利b万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？分析：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，y=（2a﹣x）（b+0.01bx）﹣0.4bx，配方求y的最大值．则（5分），∴]（1）当，即70＜a≤140时，x=a﹣70，y 取到最大值；（10分））当，即x=当140＜a＜210，公司应裁员为，经济效益取到最大值（15分）18．（15分）已知函数f（x）=xlnx．（I）求函数f（x）的单调递减区间；（II）若f（x）≥﹣x2+ax﹣6在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（III）过点A（﹣e﹣2，0）作函数y=f（x）图象的切线，求切线方程．专题：综合题；压轴题．，设，由此能求出g（x）最小值g（2）=5+ln2，从而能求出，故∴∴函数f（x）的单调递减区间是；（4分）即，∴，∴19．（16分）（2012•江西模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．n}的通项公式．（II）利用等比数列的通项公式求出，进一步求出b n，根据数列{b n}通项的特点，选择错位相减解得）n前n项和，一般先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．20．（16分）已知函数f（x）=e x（x2+ax+1）．（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，求a的值；（2）求函数f（x）的极值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由平行直线的斜率相等方程求a的值即可；（2）对参数a进行分类，先研究f（x）的单调性，利用导数求解f（x）在R上的最小值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最小值即得．解答：解：f'（x）=e x[x2+（a+2）x+a+1]（2分）（1）f'（2）=e2[4+2（a+2）+a+1]=0，解得a=﹣3（4分）（2）令f'（x）=0，得x1=﹣1，x2=﹣1﹣a当a=0时，无极值（7分）当a＞0，﹣1＞﹣1﹣a，f（x）在（﹣∞，﹣1﹣a），（﹣1，+∞）上递增，（﹣1﹣a，﹣1）上递减极大值为f（﹣1﹣a）=e﹣1﹣a（a+2），极小值（10分）当a＜0时，﹣1＜﹣1﹣a，f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1﹣a，+∞）上递增，（﹣1，﹣a﹣1）上递减极大值为，极小值f（﹣1﹣a）=e﹣1﹣a（a+2）（13分）点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力．21．（10分）已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．考点：反证法与放缩法．专题：反证法．分析：本题利反证法证明：先假设a不是偶数，即a是奇数．设a=2n+1（n∈Z），平方得a2=4n2+4n+1．因4（n2+n）是偶数，导出矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．解答：证明：（反证法）假设a不是偶数，即a是奇数．设a=2n+1（n∈Z），则a2=4n2+4n+1．因4（n2+n）是偶数，∴4n2+4n+1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．点评：此题考查了反证法的定义，反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反“．22．（10分）已知曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线相同，求φ的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：导数的概念及应用．分析：分别求出两函数的导函数，根据导函数的取值范围可求出切线的斜率，从而求出切线方程，然后根据曲线在点B处的切线相同，可求出φ的值．解答：解：k=y′=，当且仅当x+2=，即x+2=1，x=﹣1时，取等号…（2分）切又k切=y′=2cos（2x+ϕ）≤2，由题意，k切=2，此时切点A（﹣1，﹣1），切线l：y=2x+1…（5分），又，23．（10分）数列{a n}的前n项和为S n，存在常数A，B，C，使得a n+S n=An2+Bn+C对任意正整数n都成立．若数列{a n}为等差数列，求证：3A﹣B+C=0．n（﹣所以A=d d24．（10分）已知函数f（x）=2（1+x）ln（1+x）﹣x2﹣2x，x∈[0，+∞），求f（x）的最大值．。
江苏省常州市武进区前黄高级中学2012届高三第一学期期中考试数学试卷
江苏省前黄高级中学2012届三第一学期期中考试数学试卷（必修 文理通用）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1、设集合{}{}{},2,1,2,1,2,3A a B A B ==⋃=,则a =2、写出命题：“,sin x R x x ∀∈<”的否定：3、已知i 是虚数单位，则1ii-的实部与虚部之积为_____________ 4、已知直线l 过点P （2,1），且与直线350x y ++=垂直，则直线l 的方程为 5、若函数231()4ax af x x +-=-为偶函数，则实数a 的值=6、设函数()3(1)(2)f x x x x =--，则导函数'()f x 共有 个零点7、将函数()3sin(2)6f x x π=+图象向左平移3π个单位后，所得图象对应的解析式为8、设矩形ABCD 在第一象限内，顶点,,A B C 分别在函数22log ,2xy x y y ⎛=-== ⎝⎭的图象上，且//AB x 轴，//AD y 轴,若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为9、在等差数列{}n a 中，465a a +=，前5项和510S =，则其公差d 的值为 10、已知关于x 的不等式2(4)(4)0ax a x --->的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为11、在ABC ∆中，90,1A AB AC ∠===,点P 在边BC 上，则2PB PC +的最大值为 12、已知函数()1sin ,([0,2))f x x x π=+∈图象在点P 处的切线与函数()(1)3xg x =+图象在点Q 处的切线平行，则直线PQ 与两坐标轴所围成的三角形的面积为 13、在ABC ∆中，两中线AD 与BE 相互垂直，则cos()A B +的最大值为 14、已知实数,,x y z 满足32,4xyz x y z =++=，则||||||x y z ++的最小值为二、解答题：本大题共6小题，共90分 15、(本小题满分14分) 已知向量13,2a ⎛= ⎝⎭，向量()1,0b =-，向量c 满足0a b c ++=. （1）求证：()a b c -⊥；（2）若a kb -与2b c +共线，求实数k 的值。
江苏省常州市高三上学期期中数学试卷(理科)
江苏省常州市高三上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·白山期末) 设集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，2，3，4}，B={3，5，6}，则A∩（∁UB）=（）A . {1，2}B . {1，2，7}C . {1，2，4}D . {1，2，3}2. （2分） (2017高二下·咸阳期末) 图中阴影部分的面积用定积分表示为（）A . 2xdxB . （2x﹣1）dxC . （2x+1）dxD . （1﹣2x）dx3. （2分） (2019高二上·龙江月考) 已知两异面直线的方向向量分别为，，且，，则两直线的夹角为（）A .B .C .D .4. （2分）从1，2，3，4，5中任取三个数，则这三个数成递增的等差数列的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高一下·邵东期末) 已知向量=(-1,2),=(3,m),,,则“m=-6”是“(+)”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）已知，则在下列区间中，有实数解的是（）．A . （－3，－2）B . （－1，0）C . （2，3）D . （4，5）7. （2分）在某次数学测验中，学号i（i=1，2，3，4）的四位同学的考试成绩f（i）∈{90，92，93，96，98}，且满足f（1）＜f（2）≤f（3）＜f（4），则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为（）A . 9种B . 5种C . 23种D . 15种8. （2分） (2016高三下·习水期中) 若a=ln2，b= ，c= sinxdx，则a，b，c的大小关系（）A . a＜b＜cB . b＜a＜cC . c＜b＜aD . b＜c＜a9. （2分） (2017高二下·高青开学考) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a2+a8=15﹣a5 ，则S9的值为（）A . 60B . 45C . 36D . 1810. （2分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图（两个矩形，一个直角三角形），则这个几何体可能为（）A . 三棱台B . 三棱柱C . 四棱柱D . 四棱锥11. （2分） (2018高三下·鄂伦春模拟) 记不等式组表示的区域为，点的坐标为 .有下面四个命题：，；，；，；， .其中的真命题是（）A . ，B . ，C . ，D . ，12. （2分） (2017高三上·商丘开学考) 设点M（x1 ， f（x1））和点N（x2 ， g（x2））分别是函数f（x）=ex﹣ x2和g（x）=x﹣1图象上的点，且x1≥0，x2＞0，若直线MN∥x轴，则M，N两点间的距离的最小值为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高二上·怀仁期末) 已知函数f（x）=tanx，则f（x）在点处的线方程为________．14. （1分） (2016高一上·杭州期中) 已知f（x）=x5+ax3+bx﹣8，若f（﹣2）=10，则f（2）=________15. （1分）由曲线y= 和直线x+y=2，y=﹣ x围成的图形的面积为________．16. （1分）若a＞0＞b＞﹣a，c＜d＜0，则下列命题：（1）①ad＞bc；② + ＜0；③a﹣c＞b﹣d；④a（d﹣c）＞b（d﹣c）其中正确的命题是________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （15分） (2016高一上·芒市期中) 已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣x（1）求f（x）的解析式；（2）画出f（x）的图象；（3）若方程f（x）=k有4个解，求k的范围．18. （10分）(2018·临川模拟) 在如图所示的五面体中，，，，四边形是正方形，二面角的大小为．（1）在线段上找出一点，使得平面，并说明理由；（2）求直线与平面所成角的正弦值．19. （10分） (2018高二上·泰安月考) 已知数列的前项和为 .其中，，且时，有成立.（1）求数列的通项公式；（2）若数列是首项与公比均为2的等比数列，求数列的前项和为 .20. （10分）做抛掷两颗骰子的试验：用（x，y）表示结果，其中x表示第一颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数．（1）写出试验的基本事件；（2）求事件“出现点数之和大于8”的概率．21. （10分）(2013·新课标Ⅰ卷理) 已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d）若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（1）求a，b，c，d的值；（2）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．22. （10分）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2 sinθ．（1）求圆C圆心的极坐标；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．23. （10分） (2019高一上·湖北期中) 经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计算），销售价格与时间（天）的函数关系近似满足，销售量与时间（天）的函数关系近似满足．（1）试写出该商品日销售金额关于时间的函数表达式；（2）求该商品的日销售金额的最大值与最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
江苏省常州市2013届高三数学上学期期末考试试题(含解析)苏教版
2012-2013学年江苏省常州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）设集合，B={a}，若B⊆A，则实数a的值为0 ．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：阅读型．分析：根据集合关系，确定元素满足的条件，再求解．解答：解：∵B⊆A，∴a=≠1⇒a=0．故答案是0点评：本题考查集合中参数的确定．要注意验证集合中元素的互异性．2．（5分）已知复数z=﹣1+i（为虚数单位），计算：= ﹣i ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把复数z以及它的共轭复数代入表达式，化简后，复数的分母实数化，即可得到所求结果．解答：解：因为复数z=﹣1+i（为虚数单位），=﹣1﹣i，所以====﹣i．故答案为：﹣i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，考查计算能力．3．（5分）已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得渐近线y=x经过点（1，2），可得b=2a，代入可得离心率e===，化简即可．解答：解：双曲线的渐近线方程为y=x，故y=x经过点（1，2），可得b=2a，故双曲线的离心率e====故答案为：点评：本题考查双曲线的离心率，涉及渐近线的方程，属中档题．4．（5分）根据如图所示的算法，可知输出的结果为11 ．考点：伪代码．专题：计算题；概率与统计．分析：根据题中的伪代码写出前几次循环的结果，得到该程序的功能是等比数列{2n﹣1}的前n项和，在S≤1023的情况下继续循环体，直到S＞1023时结束循环体并输出下一个n值．由此结合题意即可得到本题答案．解答：解：根据题中的伪代码，可得该程序经过第一次循环得到S=2°，n=1；然后经过第二次循环得到S=2°+21，n=2；然后经过第三次循环得到S=2°+21+22，n=2；…依此类推，当S=2°+21+22+…+2n＞1023时，输出下一个n值由以上规律，可得：当n=10时，S=2°+21+22+…+210=2045，恰好大于1023，n变成11并且输出由此可得，输出的结果为11故答案为：11点评：本题给出程序框图，求20+21+22+…+2n＞1023时输出的n+1，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应的数学模型再求解，从而使问题得以解决．5．（5分）已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品．某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：利用古典概型的概率计算公式即可得出．解答：解：从10幅名画中任买一件有=10种方法，若此人买入的这幅画是膺品的方法有=2．因此此人买入的这幅画是膺品的事件的概率P=．故答案为．点评：正确理解古典概型的概率计算公式是解题的关键．6．（5分）函数的最小正周期为 2 ．考点：二倍角的正弦；诱导公式的作用；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：先利用诱导公式对已知函数化简，然后利用二倍角公式，再代入周期公式可求解答：解：∵=cos=根据周期公式可得T=故答案为：2点评：本题主要考查了诱导公式、二倍角公式在三角函数化简中的应用及周期公式的应用，属于基础试题7．（5分）函数的值域为（﹣∞，2] ．考函数的值域．点：专题：函数的性质及应用．分析：利用二次函数和对数函数的单调性即可得出．解答：解：∵0＜4﹣x2≤4，∴=2．∴函数的值域为（﹣∞，2]．故答案为（﹣∞，2]．点评：熟练掌握二次函数和对数函数的单调性是解题的关键．8．（5分）已知点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C：y=ax3+bx2+d（a，b，d为常数上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3+b2+d= 7 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：曲线在点A和点B处的切线互相平行得，f′（1）=f′（﹣1），再结合点在曲线上则点的坐标适合方程建立方程组，解方程求出a、b、d值即可．解答：解：设f（x）═ax3+bx2+d，∵f′（x）=3ax2+2bx，∴f′（1）=3a+2b，f′（﹣1）=3a﹣2b．根据题意得 3a+2b=3a﹣2b，∴b=0．又点A（1，1）和点B（﹣1，﹣3）在曲线C上，∴解得：a3+b2+d=7．故答案为：7．点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道中档题．9．（5分）已知向量，满足，，则向量，的夹角的大小为π．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则、向量的数量积及夹角公式即可得出．解答：解：∵，，∴=（﹣2，4），=（2，﹣4）．∴=﹣2×2+4×（﹣4）=﹣20，==．∴==﹣1，∴．或由，得．故向量，的夹角的大小为π．故答案为π．点评：熟练掌握向量的运算法则、向量的数量积及夹角公式是解题的关键．10．（5分）给出下列命题：（1）若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；（2）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；（3）若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；（4）若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，所有真命题的序号为（1）、（3）、（4）．考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题．分析：根据面面垂直的判定定理，可判断（1）；根据平面与平面平行的判定定理，可判断（2）；根据空间直线夹角的定义，可判断（3），根据面面垂直的性质定理及反证法，可判断（4）解答：解：由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故（1）正确；如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故（2）错误；根据空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直，即（3）正确；根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故（4）正确故真命题有（1）、（3）、（4）三个故答案为：（1）、（3）、（4）点评：本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特征是解答的关键．11．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：利用数形结合和函数的单调性即可得出．解答：解：如图所示：①当x≥2时，由函数f（x）=单调递减可得：0＜f（x）=；②当0＜x＜2时，由函数f（x）=（x﹣1）3单调递增可得：﹣1＜f（x）＜1．由图象可知：由0＜2k＜1可得，故当时，函数y=kx与y=f（x）的图象有且只有两个交点，∴满足关于x的方程f（x）=kx有两个不同的实根的实数k的取值范围是．故答案为．点评：熟练掌握数形结合的思想方法和函数的单调性是解题的关键．12．（5分）已知数列{a n}满足，，则= ．数列递推式；数列的求和．考点：专计算题；等差数列与等比数列．题：分析：由，，知a n+1=，由此得到+=3（+），从而推导出=3n﹣1﹣，由此能求出．解解：∵，，答：∴a n+1=，∴==+，∴+=3（+），即=3，∴=3n﹣1，即=3n﹣1，∴=3n﹣1﹣，∴=（30+3+32+…+3n﹣1）﹣==．故答案为：．点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想、构造法、等比数列性质的合理运用．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2+y2=4分别交x轴正半轴及y轴负半轴于M，N两点，点P为圆C上任意一点，则的最大值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的数量积及三角函数的单调性即可求出．解答：解：令x=0，得y2=4，解得y=±2，取N（0，﹣2）．令y=0，得x2=4，解得x=±2，取M（2，0）．设点P（2cosθ，2sinθ）（θ∈[0，2π））．则=（2﹣2cosθ，﹣2sinθ）•（（﹣2cosθ，﹣2﹣2sinθ）=﹣2cosθ（2﹣2cosθ）+2sinθ（2+2sinθ）=4sinθ﹣4cosθ+4=φ）+4≤，当且仅当sin（θ﹣φ）=1时取等号．∴的最大值为．故答案为．点评：熟练掌握向量的数量积及三角函数的单调性是解题的关键．14．（5分）已知实数x，y同时满足，，27y﹣4x≤1，则x+y的取值范围是．考点：有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．专题：探究型；函数的性质及应用．分析：题目给出了一个等式和两个不等式，分析给出的等式的特点，得到当x=，y=时该等式成立，同时把相应的x和y的值代入后面的两个不等式等号也成立，把给出的等式的左边变负指数幂为正指数幂，分析x和y的变化规律，知道y随x的增大而减小，而当x增大y减小时，两不等式不成立，因此断定，同时满足等式和不等式的x，y取值唯一，从而可得x+y的取值范围．解答：解：当x=，y=时，，=，．由知，等式右边一定，左边y随x的增大而减小，而当y减小x增大时，log27y﹣log4x＜，当x减小y增大时，27y﹣4x＞1．均与题中所给条件不等式矛盾．综上，只有x=，y=时，条件成立，所以x+y的取值范围为{}．故答案为{}．点评：本题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了对数式的运算性质，考查了特值验证法，培养了学生的探究能力，此题是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知α，β均为锐角，且，．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）根据α、β的范围，利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α﹣β）的值．（2）由（1）可得，，，根据cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]，利用两角差的余弦公式求得结果．解答：解：（1）∵，从而．又∵，∴．…（4分）利用同角三角函数的基本关系可得sin2（α﹣β）+cos2（α﹣β）=1，且，解得．…（6分）（2）由（1）可得，．∵α为锐角，，∴．…（10分）∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）…（12分）==．…（14分）点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，，CD=3，直线PA与底面ABCD所成角为60°，点M、N分别是PA，PB的中点．（1）求证：MN∥平面PCD；（2）求证：四边形MNCD是直角梯形；（3）求证：DN⊥平面PCB．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形的中位线性质证明MN∥AB，再由已知条件和公理4证明MN∥CD，再利用直线和平面平行的判定定理证得MN∥平面PCD．（2）由（1）可得MN∥CD．先由条件利用直线和平面垂直的判定证明CD⊥平面PAD，从而证得CD⊥MD，从而得到四边形MNCD是直角梯形．（3）由条件求得∠PAD=60°，利用勾股定理求得DN⊥CN．在Rt△PDB中，由PD=DB=，N是PB的中点，证得DN⊥PB，再根据直线和平面垂直的判定定理证得DN⊥平面PCB．解答：证明：（1）因为点M，N分别是PA，PB的中点，所以MN∥AB．…（2分）因为CD∥AB，所以MN∥CD．又CD⊂平面PCD，而MN⊄平面PCD，所以MN∥平面PCD．…（4分）（2）由（1）可得MN∥CD．因为AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD．又因为PD⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PD，又AD∩PD=D，所以CD⊥平面PAD．…（6分）因为MD⊂平面PAD，所以CD⊥MD，所以四边形MNCD是直角梯形．…（8分）（3）因为PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直线PA与底面ABCD所成的角，从而∠PAD=60°．…（9分）在Rt△PDA 中，，，，．在直角梯形MNCD中，MN=1，，CD=3，，从而DN2+CN2=CD2，所以DN⊥CN．…（11分）在Rt△PDB中，PD=DB=，N是PB的中点，则D N⊥PB．…（13分）又因为PB∩CN=N，所以DN⊥平面PCB．…（14分）点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理，以及直线和平面垂直的判定定理和性质性质定理的应用，属于中档题．17．（14分）第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD，BC=a，CD=b．a，b为常数且满足b＜a．组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF建游客休息区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为（l＞2b），如图．设AE=x，△AEF的面积为S．（1）求S关于x的函数关系式；（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF的面积S最大，并求出S的最大值．考点：根据实际问题选择函数类型；函数解析式的求解及常用方法．专题：应用题．分析：（1）根据题意，分析可得，欲求，△AEF场地占地面积，只须求出图中直角三角形的周长求出另一边长AF，再结合直角三角形的面积计算公式求出它们的面积即得；（2）对于（1）所列不等式，可利用导数研究它的单调性求它的最大值，从而解决问题．解答：解：（1）设AF=y ，则，整理，得．…（3分），x∈（0，b]．…（4分）（2）∴当时，S′＞0，S在（0，b]递增，故当x=b 时，；当时，在上，S′＞0，S 递增，在上，S′＜0，S递减，故当时，．点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、函数解析式的求解及常用方法及导数的应用等基础知识，属于基础题．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1，F2分别是椭圆E ：的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）已知点D（1，0）为线段OF2的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1+λk2=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．考点：函数恒成立问题；三点共线；椭圆的简单性质．专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由，得，从而有a+c=5（a﹣c），结合离心率定义即可求得答案；（2）由点D（1，0）为线段OF2的中点可求得c值，进而可求出a值、b值，得到椭圆方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD 的方程为，与椭圆方程联立及韦达定理可把P、Q坐标用M、N坐标表示出来，再根据三点M、F1、N共线及斜率公式可得k1、k2间的关系式，由此可得答案．解答：解：（1）∵，∴．∴a+c=5（a﹣c），化简得2a=3c，故椭圆E 的离心率为．（2）存在满足条件的常数λ，．∵点D（1，0）为线段OF2的中点，∴c=2，从而a=3，，左焦点F1（﹣2，0），椭圆E 的方程为．设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD 的方程为，代入椭圆方程，整理得，．∵，∴．从而，故点．同理，点．∵三点M、F1、N 共线，∴，从而x1y2﹣x2y1=2（y1﹣y2）．从而．故，从而存在满足条件的常数λ，．点评：本题考查函数恒成立、三点共线及椭圆的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大，对能力要求较高，属难题．19．（16分）已知数列{a n}是等差数列，a1+a2+a3=15，数列{b n}是等比数列，b1b2b3=27．（1）若a1=b2，a4=b3．求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若a1+b1，a2+b2，a3+b3是正整数且成等比数列，求a3的最大值．考点：等比数列的通项公式；数列的函数特性；等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）由已知可求a2，b2，结合已知a1=b2，可得等差数列{a n}的公差d，可求a n=，然后由b3=a4，可求{b n}的公比q，进而可求b n（2）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q ，由已知可得．分别利用等差数列及等比数列的通项表示已知项可得关于d，q的方程，解方程可求d，即可求解解答：解：（1）由a1+a2+a3=15，b1b2b3=27．可得a2=5，b2=3，所以a1=b2=3，从而等差数列{a n}的公差d=2，所以a n=2n+1，从而b3=a4=9，{b n}的公比q=3所以．…（3分）（2）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，则a1=5﹣d ，，a3=5+d，b3=3q．因为a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，所以．设，m，n∈N*，mn=64，则，整理得，d2+（m﹣n）d+5（m+n）﹣80=0．解得（舍去负根）．∵a3=5+d，∴要使得a3最大，即需要d最大，即n﹣m及（m+n﹣10）2取最大值．∵m，n∈N*，mn=64，∴当且仅当n=64且m=1时，n﹣m及（m+n﹣10）2取最大值．从而最大的，所以，最大的…（16分）点评：本题主要考查了等差数列、等比数列的性质及通项公式的应用，等比数列的性质的综合应用及一定的逻辑推理运算的能力20．（16分）已知函数f（x）=x|x﹣a|﹣lnx．（1）若a=1，求函数f（x）在区间[1，e]的最大值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=1时，利用导数可判断f（x）在[1，e]上的单调性，由单调性即可求得其最大值；（2）求出f（x）的定义域，先按（ⅰ）a≤0，（ⅱ）a＞0两种情况进行讨论，其中a＞0时讨论去绝对值符号，利用导数符号即可判断单调性；（3）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞），f（x）＞0，即．根据的符号对x进行分类讨论：x∈（0，1）时，当x=1时，当x＞1时，其中x＞1时去掉绝对值符号转化为求函数最值即可解决．解答：解：（1）若a=1，则f（x）=x|x﹣1|﹣lnx．当x∈[1，e]时，f（x）=x2﹣x﹣lnx，，所以f（x）在[1，e]上单调增，∴．（2）由于f（x）=x|x﹣a|﹣lnx，x∈（0，+∞）．（ⅰ）当a≤0时，则f（x）=x2﹣ax﹣lnx，，令f′（x）=0，得（负根舍去），且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）在上单调递减，在上单调递增．（ⅱ）当a＞0时，①当x≥a时，，令f′（x）=0，得（舍），若，即a≥1，则f′（x）≥0，所以f（x）在（a，+∞）上单调增；若，即0＜a＜1，则当x∈（0，x1）时，f′（x）＜0；当x∈（x1，+∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间上是单调减，在上单调增．②当0＜x＜a时，，令f′（x）=0，得﹣2x2+ax﹣1=0，记△=a2﹣8，若△=a2﹣8≤0，即，则f′（x）≤0，故f（x）在（0，a）上单调减；若△=a2﹣8＞0，即，则由f′（x）=0得，，且0＜x3＜x4＜a，当x∈（0，x3）时，f′（x）＜0；当x∈（x3，x4）时，f′（x）＞0；当x∈（x4，+∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间上是单调减，在上单调增；在上单调减．综上所述，当a＜1时，f（x）的单调递减区间是，单调递增区间是；当时，f（x）单调递减区间是（0，a），单调的递增区间是（a，+∞）；当时，f（x）单调递减区间是（0，）和，单调的递增区间是和（a，+∞）．（3）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞）．由f（x）＞0，得．*（ⅰ）当x∈（0，1）时，|x﹣a|≥0，，不等式*恒成立，所以a∈R；（ⅱ）当x=1时，|1﹣a|≥0，，所以a≠1；（ⅲ）当x＞1时，不等式*恒成立等价于恒成立或恒成立．令，则．因为x＞1，所以h'（x）＞0，从而h（x）＞1．因为恒成立等价于a＜（h（x））min，所以a≤1．令，则．再令e（x）=x2+1﹣lnx，则在x∈（1，+∞）上恒成立，e（x）在x∈（1，+∞）上无最大值．综上所述，满足条件的a的取值范围是（﹣∞，1）．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数在闭区间上的最值及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大，对能力要求较高．选做题：21-24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．（10分）（2013•南通二模）如图，AB是⊙O的直径，C，F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．求证：DE2=DB•DA．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：欲证DE2=DB•DA，由于由切割线定理得DF2=DB•DA，故只须证：DF=DE，也就是要证：∠CFD=∠DEF，这个等式利用垂直关系通过互余角的转换即得．解答：证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．（5分）所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线，所以DF2=DB•DA．所以DE2=DB•DA．（10分）点评：本题考查的与圆有关的比例线段、切线的性质、切割线定理的运用．属于基础题．22．（10分）选修4﹣2：矩阵与变换已知矩阵，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，属于特征值1的一个特征向量为．求矩阵A的逆矩阵．考点：特征值与特征向量的计算．专题：计算题．分析：利用特征值与特征向量的定义，建立方程组，即可求得A，求出A的行列式，即可求得逆矩阵A﹣1．解答：解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为，可得=6，即c+d=6；由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为可得，=，即3c﹣2d=﹣2，解得，即A=，A逆矩阵是．点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵，正确理解特征值与特征向量是关键，属于中档题．23．已知曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为，判断两曲线的位置关系．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：把参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离大于半径，由此可得两曲线的位置关系．解答：解：将曲线C1，C2化为直角坐标方程得：，表示一条直线．曲线，即，表示一个圆，半径为．圆心到直线的距离，∴曲线C1与C2相离．点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系应用，属于基础题．24．设f（x）=x2﹣x+14，且|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a|+1）．考点：不等式的证明．专题：不等式的解法及应用．分析：先利用函数f（x）的解析式，代入左边的式子|f（x）﹣f（a）|中，再根据|f（x）﹣f（a）|=|x2﹣x﹣a2+a|=|x﹣a|•|x+a﹣1|＜|x+a﹣1|=|x﹣a+2a﹣1|≤|x﹣a|+|2a ﹣1|＜1+|2a|+1，进行放缩即可证得结果．解答：证明：由|f（x）﹣f（a）|=|x2﹣a2+a﹣x|=|（x﹣a）（x+a﹣1）|=|x﹣a||x+a﹣1|＜|x+a﹣1|=|（x﹣a）+2a﹣1|≤|x﹣a|+|2a|+1＜|2a|+2 =2（|a|+1）．∴|f（x）﹣f（a）|＜2（|a|+1）．点评：本题主要考查绝对值不等式的性质，用放缩法证明不等式，体现了化归的数学思想，属于中档题．25．（10分）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1个球，取出的球部放回，直到其中有一人去的白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E（X）．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有C92种结果，而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有C n2种结果，列出概率使它等于已知，解关于n的方程，舍去不合题意的结果．（2）用X表示取球终止时取球的总次数，由题意知X的可能取值为1，2，3，4，结合变量对应的事件，用等可能事件的概率公式做出结果，写出分布列和期望．解答：解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率的应用问题，试验发生包含的所有事件是从9个球中取2个球，共有C92种结果而满足条件的事件是从n个球中取2个，共有C n2种结果设袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，由题意知=，即，化简得n2﹣n﹣30=0．解得n=6或n=﹣5（舍去）故袋中原有白球的个数为6．（2）用X表示取球终止时取球的总次数，由题意，X的可能取值为1，2，3，4．；；；P（X=4）=．∴取球次数X的概率分布列为：∴所求数学期望为E（X ）=1×+2×+3×+4×=点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，是一个综合题，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，要引起注意．26．（10分）空间内有n个平面，设这n个平面最多将空间分成a n个部分．（1）求a1，a2，a3，a4；（2）写出a n关于n的表达式并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法；归纳推理．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）直接通过直线分平面所得部分写出a1，a2，a3，a4；（2）利用（1）写出a n关于n的表达式，直接利用用数学归纳法证明的步骤证明结论即可．解答：解：（1）一条直线把平面分成2部分，所以a1=2，两条直线把平面最多分成4部分，所以a2=4，三条直线把平面最多分成8部分，所以a3=8，四条直线最多分成15部分，所以a4=15；（2）由（1）可知，．证明如下：当n=1时显然成立，设n=k（k≥1，k∈N*）时结论成立，即，则当n=k+1时，再添上第k+1个平面，因为它和前k个平面都相交，所以可得k条互不平行且不共点的交线，且其中任3条直线不共点，这k条交线可以把第k+1个平面划最多分成个部分，每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域．因此，空间区域的总数增加了个，∴=，即当n=k+1时，结论也成立．综上，对∀n∈N*，．点评：本题考查数学归纳法在实际问题中的应用，考查数学归纳法的证明步骤的应用，考查逻辑推理能力．。
2012届江苏省常州市高三上学期期末考试数学卷
2012届江苏省常州市高三上学期期末考试数学卷 2012年1月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{102}{2}a A B =-=，，，，若B A ⊆，则实数a 的值为 ． 2．若152i 4z z z ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z = ．3．已知双曲线2221(0)9x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为3π，则b 的值为 ．4．用分层抽样的方法从某高中学校学生中抽取一个容量为55的样本参加问卷调查，其中高一年级、高二年级分别抽取10人、25人．若该校高三年级共有学生400人，则该校高一和高二年级的学生总数为 人．5．用3种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率是 ．]6．函数()cos()cos()26f x x x ππ=+⋅+的最小正周期为 ． 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，M 为线段AB 的中点，若30MOA ∠=，则该椭圆的离心率的值为 ． 8．已知等比数列{}n a 的各均为正数，且212437234a a a a a +==，，则数列{}n a 的通项公式为 ．9．设m ∈R ，已知函数22()2(12)32f x x mx m x m =--+-+-，若曲线()y f x =在0x =处的切线恒过定点P ，则点P 的坐标为 ． 10．对于函数()()y f x x =∈R ，给出下列命题：（1）在同一直角坐标系中，函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于直线0x =对称； （2）若(1)(1)f x f x -=-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称； （3）若(1)(1)f x f x +=-，则函数()y f x =是周期函数；（4）若(1)(1)f x f x -=--，则函数()y f x =的图象关于点（0，0）对称． 其中所有正确命题的序号是 ．11．设函数()y f x =在R 内有定义，对于给定的正数k ，定义函数()()()()k f x f x k f x k f x k ⎧=⎨⎩≤，，，，>若函数3()log ||f x x =，则当13k =时，函数()k f x 的单调减区间为 ．12．已知△ABC 中，AB 边上的高与AB 边的长相等，则2AC BC AB BC AC BC AC ++⋅的最大值为 ．13．已知函数()2()xf x x =∈R ，且()()()f xgx hx =+，其中()g x 为奇函数，()h x 为偶函数．若不等式2()(2)a g x h x ⋅+≥对任意[12]x ∈，恒成立，则实数a 的取值范围是 ．14．已知a b c ，，均为正实数，记11max a M b bc c ac a b ⎧⎫=+++⎨⎬⎩⎭，，，则M 的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知m 、x ∈R ，向量()((1))x m m x x =-=+，，，a b ． （1）当0m >时，若||||<a b ，求x 的取值范围；（2）若1m - >a b 对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围． 16．（本小题满分14分）如图，斜三棱柱111A B C ABC -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，侧面11AA C C 是菱形，160A AC ∠=，E 、F 分别是11AC 、AB 的中点．求证： （1）EF ∥平面11BB C C ； （2）平面CEF ⊥平面ABC ． 17．（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2843()n n n S a a n *=++∈N ，且127a a a ，，依次是等比数列{}n b 的前三项．（1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；（2）是否存在常数0a >且1a ≠，使得数列{log }()n a n a b n *-∈N 是常数列？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221x y +=与x 轴正半轴的交点为F ，AB 为该圆的一条弦，直线AB 的方程为x m =．记以AB 为直径的圆为⊙C ，记以点F 为右焦点、短半轴长为b （0b b >，为常数）的椭圆为D ． （1）求⊙C 和椭圆D 的标准方程；（2）当1b =时，求证：椭圆D 上任意一点都不在⊙C 的内部；（3）已知点M 是椭圆D 的长轴上异于顶点的任意一点，过点M 且与x 轴不垂直的直线交椭圆D 于P 、Q 两点（点P 在x 轴上方），点P 关于x 轴的对称点为N ，设直线QN 交x 轴于点L ，试判断OM OL 是否为定值？并证明你的结论．19．（本小题满分16分）如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD 是边长为2a 的正方形，周围是四个全等的弓形．已知O 为正方形的中心，G 为AD 的中点，点P 在直线OG 上，弧AD 是以P 为圆心、PA 为半径的圆的一部分，OG 的延长线交弧AD 于点H ．设弧AD 的长为l ，3()44APH θθππ∠=∈，，．（1）求l 关于θ的函数关系式；（2）定义比值OPl 为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美．证明：当角θ满足：AHDG POBCtan()4θθπ=-时，招贴画最优美．20．（本小题满分16分）设a 为实数，函数2()||f x x x a =-． （1）当1a =时，求函数()f x 在区间[11]-，上的最大值和最小值； （2）求函数()f x 的单调区间．常州市教育学会学业水平监测高三数学Ⅱ（附加题） 2012年1月 21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分） 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，延长BC 边上的高AD 交⊙O 于点E ，H 为△ABC 的垂心．求证：DH=DE ．B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）求矩阵2411⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 的特征值及对应的特征向量．C ．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，O 为极点，求过圆C ：6cos()3ρθπ=-的圆心C 且与直线OC 垂直的直线l的极坐标方程．D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）已知x y ，均为正实数，求证：1144x y+≥1x y+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．http22．已知斜率为(0)k k ≠的直线l 过抛物线24C y x =:的焦点F 且交抛物线于A 、B 两点． 设线段AB 的中点为M ．（1）求点M 的轨迹方程；（2）若21k --<<时，点M 到直线340l x y m '+-=:（m 为常数，13m <）的距离总不小于15，求m 的取值范围．23．已知正项数列{}n a 中，1111()1nn na a a n a *+==+∈+N ，．用数学归纳法证明：1()n n a a n *+∈N <．常州市教育学会学生学业水平监测 高三数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．1 2．12i 2-+ 3． 4．700 5．23 6．π 7． 8．32n9．31(,)22- 10．（3）（4） 11．(,-∞（开区间也对） 12． 13．1712a ≥-14． 2二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 解：（1）222x m =+a ，2222(1)m x x =++b ， ……………………4分因为<a b，所以22<a b．从而22222(1)x m m x x +<++．因为0m >，所以22()1m x m <+， …………………………6分[来源:学科网]解得1m x m <-+或1m x m >+． …………………………8分 （2）2(1)m x mx ⋅=+-a b ． ………………………10分由题意，得2(1)1m x mx m +->-对任意的实数x 恒成立， 即2(1)10m x mx m +-+->对任意的实数x 恒成立． 当10m +=，即1m =-时，显然不成立，从而210,4(1)(1)0.m m m m +>⎧⎨-+-<⎩ ……………………………12分解得1,m m m >-⎧⎪⎨><⎪⎩或所以m >． ………………………14分 16．（本小题满分14分）证明：（1）取BC 中点M ，连结FM ，1C M ．在△ABC 中，因为F ，M 分别为BA ，BC 的中点， 所以FM ∥12AC ． ………………………………2分[来源:]因为E 为11AC的中点，AC ∥11AC ，所以FM∥1EC ． 从而四边形1EFMC 为平行四边形，所以1EF C M ∥． …………………………………………4分 又因为1C M ⊂平面11BB C C ，EF ⊄平面11BB C C ，所以EF ∥平面11BB C C ． ………………………6分 （2） 在平面11AA C C 内，作1AO AC ⊥，O 为垂足．因为∠0160A AC =，所以11122AO AA AC ==，从而O 为AC 的中点．……8分 所以1O C A E∥，因而1E C A O∥． …………………10分因为侧面11AA C C ⊥底面ABC ，交线为AC ，1AO AC ⊥，所以1AO ⊥底面ABC ． 所以EC ⊥底面ABC ． …………………………………………12分[来源:学科网1AZXXK]又因为EC ⊂平面EFC ，所以平面CEF ⊥平面ABC ． …………………………………………14分 17．（本小题满分14分）解：（1） n =1时，2111843a a a =++，11a =或13a =． ………………………2分当2n ≥时，2111843n n n S aa ---=++，221111(44)8n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，从而11()(4)0n n n n a a a a --+--=．因为{}n a各项均为正数，所以14n n a a --=． ………………………6分所以，当11a =时，43n a n =-；当13a =时，41n a n =-． 又因为当11a =时，127,,a a a 分别为1，5，25，构成等比数列，所以43n a n =-，15n n b -=．当13a =时，127,,a a a 分别为3，7，27，不构成等比数列，舍去．………10分（2）满足条件的a 存在，a ． ………………………12分由（1）知，43n a n =-，15n n b -=，从而1log 43log 543(1)log 5n n a n a a a b n n n --=--=---=(4log 5)3log 5a a n --+．由题意，得4log 50a -=，所以a = ………………………14分18．（本小题满分16分）解：（1）圆心(,0)C m (11)m -<< ，则⊙C 的半径为r =．从而⊙C 的方程为222()1x m y m -+=-． ………………………………2分椭圆D 的标准方程为222211x y b b +=+． ………………………4分 （2）当1b =时，椭圆D 的方程为2212x y +=．设椭圆D 上任意一点11(,)S x y ，则221112x y +=，221112x y =-．因为2222222111111()()1(2)122x SC x m y x m x m m =-+=-+-=-+- ………6分≥21m -2r =，所以SC r ≥．从而椭圆D 上的任意一点都不在在⊙C 的内部． ………………………8分（3）21OM OL b ⋅=+ 为定值． ……………………………………9分 证明如下：设点P （1x ，1y ），Q （2x ，2y ），则由题意，得N （1x ，－1y ），12x x ≠，12y y ≠±． 从而直线PQ 的方程为21212112()()0y y x x x y x y x y ---+-=．令y ＝0，得122121M x y x y x y y -=-．又直线QN 的方程为21212112()()0y y x x x y x y x y +----=．令y ＝0，得211221L x y x y x y y +=+． ………………………………13分因为点P ，Q 在椭圆D 上，所以22112211x y b b +=+，22222211x y b b +=+，从而222211211b x b y b +=+-，222222211b x b y b +=+-，所以222222222221221222212222212111(1)(1)(1)()1M L b b b y y b y y b y y b b x x b y y y y +++--+-+-⋅===+-- ．所以21M L OM OL x x b ⋅=⋅=+= 定值． ……………………16分 19． （本小题满分16分）解：（1）当ππ(,)42θ∈时，点P 在线段OG 上，sin a AP θ=；当π3π(,)24θ∈时，点P 在线段GH 上，sin(π)sin a aAP θθ==-；当π2θ=时，AP a =．综上所述，sin a AP θ=，π3π(,)44θ∈． …………………………2分所以，弧AD 的长22sin a l AP θθθ=⋅=，故所求函数关系式为2sin a l θθ=，π3π(,)44θ∈．…4分 （2）当ππ(,)42θ∈时，c o s t a n s i n a a OP OG PG a a θθθ=-=-=-；当π3π(,)24θ∈时，c o s t a n (π)t a n s i n a aa O P O G G H a a a θθθθ=+=+=-=--；当π2θ=时，OP a =． 所以，cos sin a OP a θθ=-，π3π(,)44θ∈． ………………………6分 从而，sin cos 2OP l θθθ-=． …………………………………8分记sin cos ()2f θθθθ-=，π3π(,)44θ∈． 则2(cos sin )(sin cos )()2f θθθθθθθ+--'=． 令()0f θ'=，得(cos sin )sin cos θθθθθ+=-． …………………………10分因为π3π(,)44θ∈，所以cos sin 0θθ+≠，从而sin cos cos sin θθθθθ-=+． 显然π2θ≠，所以sin cos tan 1πtan()cos sin tan 14θθθθθθθθ--===-++．…………………………12分 记满足πtan()4θθ=-的0θθ=，下面证明0θ是函数()f θ的极值点． 设()(cos sin )(sin cos )g θθθθθθ=+--，π3π(,)44θ∈．则()g θ'=(cos sin )0θθθ-<在π3π(,)44θ∈上恒成立， 从而()g θ在π3π(,)44θ∈上单调递减． ……………………………14分所以，当0π(,)4θθ∈时，()0g θ>，即()0f θ'>，()f θ在0π(,)4θ上单调递增；当03π(,)4θθ∈时，()0g θ<，即()0f θ'<，()f θ在03π(,)4θ上单调递减． 故 ()f θ在0θθ=处取得极大值，也是最大值．所以，当θ满足πtan()4θθ=-时，函数()f θ即OPl 取得最大值，此时招贴画最优美． ……………………………………………………16分 20．（本小题满分16分）解：（1）当1a =时，因为[1,1]x ∈-，所以3()f x x x =-+．则2()313(f x x x x '=-+=--+．令()0f x '=，得x x ==． …………………………………2分列表： x -1 (1,-(1()f x '-+-()f x↘极小值↗极大值 ↘0[来源:]所以，函数()f x 在[1,1]x ∈-上的最小值、最大值分别为、．…………6分（2）（ⅰ）当0a =时，3()f x x =，()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；……………7分 （ⅱ）当a <0时，3()f x x ax =-．因为2()30f x x a '=->恒成立，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，从而()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞； …………9分（ⅲ） 当a >0时，①当xx ≤3()f x x ax =-．[来源:学§科§网Z§X§X§K]因为2()33(f x x a x x '=-=+，所以当xx ≤()0f x '>，从而()f x的单调增区间为(,-∞及)+∞． ……………………11分②当x <<3()f x x ax =-+．2()33(f x x a x x '=-+=-+，令()0f x '=，得x x ==． ……………………13分列表：x ((()f x '-0 + 0 - ()f x ↘↗ ↘所以，()f x 的单调增区间为()， ()f x 的单调减区间为()，． ……………………………………………………15分综上所述，当a ≤0时 ，函数()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞；当0a >时， 函数()f x 的单调增区间为(,-∞，)+∞，(， ()f x的单调减区间为(，． …………………………16分常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅱ（附加题） 参考答案21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．若答题超过2题，则以所做题的前两题计分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲解：连结CE ，CH ．因为H 为△ABC 的垂心，所以，∠ECD=∠BAD =090ABC -∠，∠HCD =090ABC -∠，从而∠ECD=∠HCD ． ………………………………4分又因为CD ⊥HE ，CD 为公共边，所以△HDC ≌△EDC ， …………8分所以DH =DE ． …………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：矩阵M 的特征多项式为224()6(3)(2)11f λλλλλλλ--==--=-+-+， ……2分令()0f λ=，得到M 的特征值13λ=，22λ=-． …………………………4分当13λ=时，矩阵M 的一个特征向量为41⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ……………………………7分当22λ=-时，矩阵M 的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． …………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解： 圆心C 的极坐标为π(3,)3， …………………………………6分设直线l 上任意一点(,)P ρθ，则πcos()33ρθ-=，即为直线l 的极坐标方程． ……………………………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为,x y 均为正实数，所以x y +≥11x y +≥，当且仅当x y =时等号成立（下同）． ……6分从而11()()4x y x y ++=≥， …………………………………8分 所以11144x y x y ++≥． …………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．解：（1）焦点(0,1)F ，直线AB 方程为(1)y k x =-，因为0k ≠，所以1y x k =+． 由21,4y x k y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2440y y k --=．设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，显然△>0恒成立，则12022y y y k +==． ……3分 又001y x k =+，消去k ，得2002(1)y x =-， 所以点M 的轨迹方程为22(1)y x =-． ……………………5分（2）由（1）知，点222(1,)M k k +． 因为13m <，所以221681683(3)55d m m k k k k =+-+=+-+． ………………7分 由题意，得21681(3)55m k k +-+≥，2682m k k ++≤对21k -<<-恒成立．因为21k -<<-时，2682k k ++的最小值是23-，所以23m ≤-． ……………10分 23．解：当1n =时，1213112a a a =+=+，12a a <，所以1n =时，不等式成立； ………4分假设当()n k k *=∈N 时，1k k a a +<成立，显然0k a >．则当1n k =+时，112111111(1)111k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++++++-=+-=+-++++=11111k k a a +-++110(1)(1)k k k k a a a a ++-=>++， ………………………………………7分所以1n k =+时，不等式成立． …………………8分综上所述，不等式1()n n a a n *+<∈N 成立． ………………………………10分。
江苏省常州一中高三数学上学期期中考试试卷 理 苏教版【会员独享】
2011-2012学年度第一学期高三数学试卷（理科）2011．11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 1． 已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ▲ .2． 已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3． 命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4． 设定义在区间()π02, 上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则tan α的值为 ▲ .5． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ .6． 已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =，则168a =▲ .7． 若集合{}22011xx <()a ⊆-∞, ，则整数a 的最小值为 ▲ .8． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩， 已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ .9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填一种）10．记123k k k kk S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式：211122S n n =+，322111S n n n=++，4323111424S n n n =++，5434111152330S n n n n =++-， 6542515S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-, , ，则该函数的单调减区间为 ▲ .12．已知函数e xy =的图象在点(e )k a k a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN ≤，则OM ON ⋅的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤{}max ()()f a f b , ，（注：{}max x y , 表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--, , , , , ,且//AD BC ．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积．（第11题图）16．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n n f x x x ωω=+(0)n ω>∈*N , 的最小正周期为T ． （1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值； （2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．17．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+．（1）求sin b B的值；（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=，请据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D⊆，（其中a b <），使得当[] x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[]a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．1l2l D A BC 1l 2lD A B C（图甲） （图乙）（1）已知1()f x x=是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间； （2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分146分)设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{an}的首项11a =，前n 项和为n S ．对于任意的正整数n ，()n n k a S f n +=都成立． （1）若0k =，求证：数列{an}是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{an}能成等差数列．附加题部分 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲） 如图，从圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A B ,， AB 与OP 交于点M ，设CD 为过点M 且不过圆心O 的一条弦，MPA BOC D（第21—A 题）求证：O C P D 、、 、 四点共圆．B ．（矩阵与变换）设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,的值．C ．（极坐标与参数方程） 在极坐标系中，已知点()00O ,，()4P π，求以OP 为直径的圆的极坐标方程． D ．（不等式选讲）设正实数a ，b 满足2123a ab b --++=，求证：1a b -+≤2．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，设1AD =，1 (0)D D λλ=>， 若棱1C C 上存在点P 满足1A P ⊥平面PBD ，求实数λ的取值范围．23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件： ① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．2012届高三年级期中考试PABCD 1A 1B 1C 1D（第22题图）数学Ⅰ（选修物理） 2011．11参考答案及评分建议一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 1． 已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =U ▲ .2． 已知复数z 的实部为1-，模为2，则复数z 的虚部是 ▲ . 3． 命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ .4． 设定义在区间()π02, 上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则t a n α的值为 ▲ .5． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的解集为 ▲ . 6． 已知数列{}n a 与{}23n a +均为等比数列，且11a =，则168a =▲ .7． 若集合{}22011xx <()a ⊆-∞, ，则整数a 的最小值为 ▲ .8． 如图，i N 表示第i 个学生的学号，i G 表示第i 个学生的成绩， 已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ .9． “tan 0α=，且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ （在“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、中选填一种）10．记123k k k kk S n =+++⋅⋅⋅+,当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式：211122S n n=+，322111S n n n =++，4323111424S n n n =++，5434111152330S n n n n =++-， 6542515S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ .11．如图，三次函数32y ax bx cx d =+++的零点为112-, , ，则该函数的单调减区间为 ▲ .12．已知函数e xy =的图象在点(e )k a k a ,处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a +，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN ≤，则OM ON ⋅的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、，都有()f a b +≤{}max ()()f a f b , ，（注：{}max x y , 表示x y , 中较大的数），则(2012)f 的可能值是▲ .【填空题答案】1.{}1 9，； 2. ； 3. 0 sin x x x ∀>>，； 4. ； 5. (01), ；6. 1；7. 11；8. 8 361，； 9. 充分不必要； 10. 14；11. ⎣⎦； 12. 6-； 13. )2⎡⎣ ； 14.1 .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)平面直角坐标系xOy 中，已知向量()()()6123AB BC x y CD ===--, , , , , ,且//AD BC ．（1）求x 与y 之间的关系式；（2）若AC BD ⊥，求四边形ABCD 的面积． 【解】（1）由题意得(4 2)AD AB BC CD x y =++=+-，,()BC x y =, , ………………………2分因为//AD BC ，所以(4)(2)0x y y x +--=，即20x y +=，① …………………………………………………4分 （2）由题意得(6A C AB B Cx=+=++，，(2 3)BD BC CD x y =+=--，， ………………6分 因为AC BD ⊥， 所以(6)(2)x x y y +-++-=，即2242150x y x y ++--=，② ………………………8分由①②得2 1 x y =⎧⎨=-⎩，，或6 3.x y =-⎧⎨=⎩，……………………………………………………………………10分当2 1x y =⎧⎨=-⎩，时，(8 0)AC =，，(0 4)BD =-，，则1=162A B C D S A C B D =四边形 (12)分当6 3x y =-⎧⎨=⎩，时，(0 4)AC =，，(8 0)BD =-，，则1=162ABCD S AC BD =四边形 …………………14分所以，四边形ABCD 的面积为16．16．(本小题满分14分)设定义在R 上的函数()sin cos n nf x x x ωω=+(0)n ω>∈*N ,的最小正周期为T ． （1）若1n =，(1)1f =，求T 的最大值； （2）若4n =，4T =，求(1)f 的值．【解】（1）当1n =，(1)1f =时，sin cos 1ωω+=(0)ω>，化简得()sin ωπ+=4， ………………………………………………………………………2分因为0ω>，所以()min ωπ3π+=44，即min ωπ=， 所以，T 的最大值为8．…………………………………………………………………………6分（2）当4n =时，44()sin cos f x x x ωω=+()22222sin cos 2sin cos x x x xωωωω=+-()212sin cos x x ωω=-211sin 2xω=-()11cos4122x ω-=-13cos 444x ω=+(0)ω>， (10)分 因为244T ωπ==，所以ωπ=， …………………………………………………………………12分此时，13()cos 424x f x π==+，所以3(1)4f =．……………………………………………………14分17．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222b ac a c bc ==-+．（1）求sin b Bc 的值；（2）试判断△ABC 的形状，并说明理由．【解】（1）由222b ac bc =-+得2221cos 22b c a A bc +-==， 在△ABC 中，A π=3， ……………………………………………………………………………3分由2b ac =得sin sin b B a B=， 由正弦定理得sin sin a B Ac =，所以，s i n b B =； ………………………………………………………………………………7分 （2）△ABC 为等边三角形，下证之：…………………………………………………………………9分由222b ac a c bc ==-+知不失一般性，可设1c =，则221b a a b ==+-，消去a 得241b b b =+-，即32(1)(1)0b b b -++=，所以1b =，1a =，即证．…………………………………………………………………………14分18．(本小题满分16分)如图，某兴趣小组测得菱形养殖区ABCD 的固定投食点A 到两条平行河岸线12l l 、的距离分别为4m 、8m ，河岸线1l 与该养殖区的最近点D 的距离为1m ，2l 与该养殖区的最近点B 的距离为2m ．（1）如图甲，养殖区在投食点A 的右侧，若该小组测得60BAD ∠=，据此算出养殖区的面积；（2）如图乙，养殖区在投食点A 的两侧，试在该小组未测得BAD ∠的大小的情况下，估算出养殖区的最小面积．【解】（1）如图甲，设AD 与1l 所成夹角为α，则AB 与2l 所成夹角为60α-， 对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 60αα=-，………………………………………2分1l2l D A BC 1l 2lD A B C（图甲）（图乙）解得tan α=，……………………………………………………………………………………4分所以，养殖区的面积()()22231sin6091sin6042 3 (m )sin tan S αα=⋅=+⋅=； ………………6分（2）如图乙，设AD 与1l 所成夹角为α，()120 180BAD θ∠=∈，，则AB 与2l所成夹角为()180θα-+，对菱形ABCD 的边长“算两次”得()36sin sin 180αθα=-+，……………………………………8分 解得sin tan θαθ=，……………………………………………………………………………10分 所以，养殖区的面积()23sin sin S θα=⋅()2191sin tan θα=+⋅()54cos 9sin θθ+=，………………12分由()()254cos 5cos 4990sin sin S θθθθ'++'==-=得4cos θ=-， ………………………………………………………………………………………14分经检验得，当4cos 5θ=-时，养殖区的面积2min =27(m )S ． ………………………………16分答：（1）养殖区的面积为2；（2）养殖区的最小面积为227m ．19．(本小题满分16分)若函数()f x 为定义域D 上单调函数，且存在区间[] a b D⊆，（其中a b <），使得当[]x a b ∈，时，()f x 的取值范围恰为[] a b ，，则称函数()f x 是D 上的正函数，区间[] a b ，叫做等域区间．（1）已知12()f x x=是[0 )+∞，上的正函数，求()f x 的等域区间；（2）试探究是否存在实数m ，使得函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的正函数？若存在，请求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】（1）因为()f x 是[)0 +∞，上的正函数，且()f x 在[)0 +∞，上单调递增，所以当[] x a b ∈，时，()() f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即 a b =，， …………………………………………………3分解得0 1a b ==，， 故函数()f x 的“等域区间”为[]0 1，；……………………………………………………………5分（2）因为函数2()g x x m =+是() 0-∞，上的减函数，所以当[] x a b ∈，时，()() g a b g b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，即22a mb b m a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，， (7)分 两式相减得22a b b a-=-，即()1b a =-+， ……………………………………………………9分代入2a m b +=得210a a m +++=，由a b <<，且()1b a =-+得112a -<<-， ……………………………………………………11分故关于a 的方程210a a m +++=在区间()11 2--，内有实数解，………………………………13分 记()21h a a a m =+++，则()()10 10 2h h ->⎧⎪⎨-<⎪⎩，，解得()31 4m ∈--，． ……………………………………………………………16分20．(本小题满分146分)设()k f n 为关于n 的k ()k ∈N 次多项式．数列{an}的首项11a =，前n 项和为n S ．对于整数n ，()n n k a S f n +=都成立． （1）若0k =，求证：数列{an}是等比数列；（2）试确定所有的自然数k ，使得数列{an}能成等差数列．【证】（1）若0k =，则()k f n 即0()f n 为常数，不妨设0()f n c =（c 为常数）． 因为()n n k a S f n +=恒成立，所以11a S c +=，即122c a ==． 而且当2n ≥时，2n n a S +=， ① 112n n a S --+=， ② ①－②得 120(2)n n a a n n --=∈N ，≥． 若an=0，则1=0n a -，…，a1=0，与已知矛盾，所以*0()n a n ≠∈N ． 故数列{an}是首项为1，公比为12的等比数列． ………………………………………………4分 【解】（2）(i) 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去． (ii) 若k=1，设1()f n bn c =+（b ，c 为常数）， 当2n ≥时，n n a S bn c +=+， ③ 11(1)n n a S b n c --+=-+， ④③－④得 12(2)n n a a b n n --=∈N ，≥．……………………………………………………………7分要使数列{an}是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有n a b d =-（常数），而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an =1()*n ∈N ， 故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an =1()*n ∈N ，此时1()1f n n =+．…9分(iii) 若k=2，设22()f n an bn c =++（0a ≠，a ，b ，c 是常数），当2n ≥时，2n n a S an bn c +=++， ⑤211(1)(1)n n a S a n b n c --+=-+-+， ⑥⑤－⑥得 122(2)n n a a an b a n n --=+-∈N ，≥， ………………………………………………12分要使数列{an}是公差为d （d 为常数）的等差数列，必须有 2n a an b a d =+--，且d=2a ，考虑到a1=1，所以1(1)2221n a n a an a =+-⋅=-+()*n ∈N ．故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为221n a an a =-+()*n ∈N ，此时22()(1)12f n an a n a =+++-（a 为非零常数）．……………………………………………14分(iv) 当3k ≥时，若数列{an}能成等差数列，则n n a S +的表达式中n 的最高次数为2，故数列{an}不能成等差数列．综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列． ……………………………………16分数学Ⅱ（选修物理） 附加题部分参考答案及评分细则21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（几何证明选讲） 如图，从圆O 外一点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A B ,， AB 与OP 交于点M ，设CD 为过点M 且不过圆心O 的一条弦，求证：O C P D 、、 、 四点共圆． 【证明】因为PA ，PB 为圆O 的两条切线，所以OP 垂直平分弦AB ，在Rt OAP ∆中，2OM MP AM ⋅=， (4)分MPA BOC D（第21—A 题）在圆O 中，AM BM CM DM ⋅=⋅，所以，OM MP CM DM ⋅=⋅， …………………………8分又弦CD 不过圆心O ，所以O C P D , , , 四点共圆． (10)分 B ．（矩阵与变换）设矩阵A 00m n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，属于特征值2的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数m n ,的值． 【解】由题意得01110000002011mn m n ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩, , …………………………6分化简得100002m n m n =⎧⎪⋅=⎪⎨⋅=⎪⎪=⎩, , ,, 所以12m n =⎧⎨=⎩, . …………………………10分C ．（极坐标与参数方程）在极坐标系中，已知点()00O ,，()4P π ，求以OP 为直径的圆的极坐标方程． 【解】设点()Q ρθ, 为以OP 为直径的圆上任意一点，在Rt OQP ∆中，()4ρθπ=-，故所求圆的极坐标方程为()4ρθπ=-． …………………………10分 D ．（不等式选讲）设正实数a ，b 满足2123a ab b --++=，求证：1a b -+≤2．PABCD 1A 1B 1C1D （第22题图）（第22题图）y【证明】由2123a ab b --++=得()2113ab a b --=+-， (3)分又正实数a ，b 满足1a b -+≥即1ab -≤()214a b -+，（当且仅当a b =时取“=”） (6)分所以()213a b -+-≤()214a b -+，即证1a b -+≤2． …………………………10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，设1AD =，1 (0)D D λλ=>，若棱1C C 上存在点P 满足1A P ⊥平面PBD ，求实数λ的取值范围．【解】如图，以点D 为原点O ，1DA DC DD ,, 分别为x y z , , 轴建立 空间直角坐标系O xyz -，则()000D , , ，()110B , , ，()110A λ, , ，设()01P x , , ，其中[]0x λ∈, ， …………………………3分因为1A P ⊥平面PBD ，所以10A P BP ⋅=， 即()()11100x x λ--⋅-=, , , , ， …………………………6分化简得210x x λ-+=，[]0x λ∈, ， …………………………8分故判别式24λ∆=-≥0，且0λ>，解得λ≥2． …………………………10分23．设n 是给定的正整数，有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，同时满足下列条件： ① {}1 1i a ∈-，,1 2 2i n =⋅⋅⋅，，，； ②对任意的1k l n ≤≤≤,都有2212li i k a =-∑≤．（1）记n A 为满足“对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n A ；（2）记n B 为满足“存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠”的有序数组122( )n a a a ⋅⋅⋅，，，的个数，求n B ．【解】（1）因为对任意的1k n ≤≤，都有2120k k a a -+=，所以，22222nn n A =⨯⨯⋅⋅⋅⨯=个相乘； …………………………4分（2）因为存在1k n ≤≤，使得2120k k a a -+≠， 所以2122k k a a -+=或2122k k a a -+=-， 设所有这样的k 为12(1)m k k k m n ⋅⋅⋅≤≤,, ， 不妨设2122(1)j j k k a a j m -+=≤≤，则112122j j k k a a ++-+=-（否则12212j j k i i k a +=->∑=4）；同理，若2122(1)j j k k a a j m -+=-≤≤，则112122j j k k a a ++-+=，这说明212j j k k a a -+的值由11212k k a a -+的值（2或-2）确定， …………………………6分又其余的()n m -对相邻的数每对的和均为0，所以，11222C 22C 22C n n nn n n n B --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+ …………………………8分11222(2+C 2C 2C )22n n n n nn n n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯2(12)22n n =+-⨯2(32)n n =-． …………………………10分。
2012-2013学年某校高三(上)期中数学试卷(理科)(附答案解析)
2012-2013学年某校高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．请把答案填写在答题卡的相应位置上．1. 已知集合M={x|x(x−3)<0}，N={x||x|<2}，则M∩N=()A.(−2, 0)B.(0, 2)C.(2, 3)D.(−2, 3)2. 函数y=√−x2−3x+4x的定义域为（）A.[−4, 1]B.[−4, 0)C.(0, 1]D.[−4, 0)∪(0, 1]3. 下列命题中是假命题的是（）A.∀Φ∈R，函数f(x)=sin(2x+Φ)都不是偶函数B.∀a>0，f(x)=ln x−a有零点C.∃α，β∈R，使cos(α+β)=cosα+sinβD.∃m∈R，使f(x)=(m−1)x m3−4m+3，且在(0, +∞)上递减4. 边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是()A.90∘B.120∘C.135∘D.150∘5. 已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n，若利用如图所示的种序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（）A.n≤8？B.n≤9？C.n≤10？D.n≤11？6. 已知函数f(x)=(x−a)(x−b)（其中a>b）的图象如图所示，则函数g(x)=a x+b的图象是（）A. B.C. D.7. 函数f(x)={x+1,(−1<x<0)cos x,(0≤x≤π2)的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（）A.32B.1C.2D.128. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈[1, 3]时，f(x)=2−|x−2|，则（）A.f(sin2π3)>f(cos2π3) B.f(sin1)>f(cos1)C.f(tan3)<f(tan6)D.f(sin2)<f(cos2)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分．请把答案填写在答题纸的相应位置上．设i为虚数单位，则1+i+i2+i3+i4+i5+i6=________．等比数列{a n}中，若log2(a2a98)=4，则a40a60等于________．已知x，y满足{x≥2x+y≤4−2x+y+c≥0，且目标函数z=3x+y的最小值是5，则z的最大值为________．数f(x)为奇函数，f(1)=12，f(x +2)=f(x)+f(2)，则f(5)=________．已知函数f(x)=cos x sin x(x ∈R )，给出下列四个命题：其中真命题是________．①若f(x 1)=−f(x 2)，则x 1=−x 2； ②f(x)的最小正周期是2π； ③在区间[−π4, π4]上是增函数； ④f(x)的图象关于直线x =3π4对称．定义一种运算a ⊗b ={a,a ≤b b,a >b 令f(x)=(cos 2x +sin x)⊗54，且x ∈[0,π2]，则函数f(x −π2)的最大值是________．三、解答题：本大题共6小题，共计80分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．已知A ，B 的横坐标分别为√55，7√210．（1）求tan (α+β)的值；（2）求2α+β的值．已知函数f(x)=(sin x +cos x)2+2cos 2x −2． （1）求f(x)函数图象的对称轴方程；（2）求f(x)的单调增区间．（3）当x ∈[π4，3π4]时，求函数f(x)的最大值，最小值．设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n ． （1）若a 11=0，S 14=98，求数列{a n }的通项公式；（2）若a 1≥6，a 11>0，S 14≤77，求所有可能的数列{a n }的通项公式．已知函数f(x)=−13x 3+x 2+ax(a ∈R)． （1）若a =3，试确定函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在其图象上任意一点（x 0, f(x 0)）处切线的斜率都小于2a 2，求实数a 的取值范围．（3）若∃x ∈[0, 2]，f(x)<0，求a 的取值范围．已知函数f(x)=g x −x （g 为自然对数的底数）． （1）求f(x)的最小值；（2）设不等式f(x)>ax 的解集为P ，若M ={x|12≤x ≤2}，且M ∩P ≠⌀，求实数a 的取值范围；（3）已知n ∈N +，且S n =∫f n0(x)dx ，是否存在等差数列{a n }和首项为f(1)公比大于0的等比数列{b n }，使得S n =∑(n k=1a k +b k )？若存在，请求出数列{a n }，{b n }的通项公式．若不存在，请说明理由．已知A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)是函数f(x)={2x1−2x ,x ≠12−1,x =12的图象上的任意两点（可以重合），点M 在直线x =12上，且AM →=MB →．(1)求x 1+x 2的值及y 1+y 2的值(2)已知S 1=0，当n ≥2时，S n =f(1n)+f(2n)+f(3n)+⋯+f(n−1n)，求S n ；(3)在(2)的条件下，设a n =2S n ，T n 为数列{a n }的前n 项和，若存在正整数c ，m ，使得不等式T m −cT m+1−c<12成立，求c 和m 的值．参考答案与试题解析2012-2013学年某校高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．请把答案填写在答题卡的相应位置上．1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】由不等式的解法，易得M、N，进而由交集的意义，可得答案．【解答】解：由不等式的解法，易得M={x|x(x−3)<0}={x|0<x<3}，N={x||x|<2}={x|−2<x<2}，根据交集的求法，易得M∩N={x|0<x<2}，即(0, 2)；故选B．2.【答案】D【考点】函数的定义域及其求法对数函数的定义域函数的值域及其求法【解析】为使得式子有意义，则偶次方根的被开方数一定非负且分母不为0．【解答】由{x≠0−x2−3x+4≥0得−4≤x<0或0<x≤1，3.【答案】A【考点】全称命题与特称命题【解析】通过正弦函数的奇偶性判断A的正误；函数的零点判断B的正误；两角和的余弦函数判断C的正误；幂函数的性质判断D的正误；【解答】解：∀Φ∈R，函数f(x)=sin(2x+Φ)都不是偶函数；当Φ=π2时函数是偶函数，所以A不正确；∀a>0，f(x)=ln x−a有零点，对数函数的值域可知，方程有零点，B正确；∃α，β∈R，使cos(α+β)=cosα+sinβ；α=β=0时，C正确；∃m∈R，使f(x)=(m−1)x m3−4m+3，且在(0, +∞)上递减，当m−1<0，m3−4m+3>0，D正确；故选A．4.【答案】B【考点】余弦定理【解析】设长为7的边所对的角为θ，根据余弦定理可得cosθ的值，进而可得θ的大小，则由三角形内角和定理可得最大角与最小角的和是180∘−θ，即可得答案．【解答】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180∘−θ，由余弦定理可得，cosθ=25+64−492×5×8=12，易得θ=60∘，则最大角与最小角的和是180∘−θ=120∘，故选B．5.【答案】B【考点】循环结构的应用【解析】n=1，满足条件，执行循环体，S=2，依此类推，当n=10，不满足条件，退出循环体，从而得到循环满足的条件．【解答】解：n=1，满足条件，执行循环体，S=1+1=2n=2，满足条件，执行循环体，S=1+1+2=4n=3，满足条件，执行循环体，S=1+1+2+3=7n=10，不满足条件，退出循环体，循环满足的条件为n≤9，故选B．6.【答案】A【考点】指数函数的图象【解析】由已知中函数f(x)=(x−a)(x−b)（其中a>b）的图象，我们易判断出a，b与0，±1的关系，根据指数函数的图象的性质及指数函数图象的平移变换，我们分析四个答案中函数的图象，即可得到结论．【解答】解：由已知中函数f(x)=(x−a)(x−b)（其中a>b）的图象可得,b<−1<0<a<1,则函数g(x)=a x+b为减函数，即函数的图象从左到右是下降的,且与Y轴的交点在X轴下方,分析四个答案只有A符合.故选A.7.【答案】A【考点】定积分微积分基本定理【解析】由题意，求出函数f(x)的积分，求得参数a的值即可．【解答】由题意a=∫0−1(x+1)d x+∫π2cos d x=( 12x2+x)|−10+sin x|π2=12+1=328.【答案】D【考点】函数的周期性函数单调性的性质【解析】先设x∈[−1, 1]，则x+2∈[1, 3]，根据f(x)=f(x+2)求出f(x)在[−1, 1]上的解析式，根据解析式可知f(x)在[0, 1]上单调减，在[−1, 0]上单调增，对选项逐一检验．【解答】解：设x∈[−1, 1]，则x+2∈[1, 3]∴f(x)=f(x+2)=2−|x+2−2|=2−|x|即f(x)={−2−x,0≤x≤1−2+x,−1≤x≤0∴f(sin2π3)−f(cos2π3)=f(√32)−f(−√32)=−2−√32+2+√32=0∴f(sin2π3)=f(cos2π3)，排除A∵1>sin1>cos1>0，f(x)在[0, 1]上单调减∴f(sin1)<f(cos1)，排除B∵−1<tan6<tan3<0，f(x)在[−1, 0]上单调增∴f(tan3)>f(tan6)，排除C故选D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共计30分．请把答案填写在答题纸的相应位置上．【答案】i【考点】虚数单位i及其性质【解析】根据i2=−1，然后把i n写成i2的几次幂的形式或i乘以i2的几次幂的形式可求得结果．【解答】解：因为i2=−1，所以1+i+i2+i3+i4+i5+i6=1+i−1+i(i2)+(i2)2+i(i4)+(i2)3=1+i−1−i+1+i−1=i．故答案为i．【答案】16【考点】等比数列的性质【解析】先利用对数的定义，再利用等比数列的性质，即可求得结论．【解答】解：由题意，∵log2(a2a98)=4∴a2a98=16等比数列{a n}中，a40a60=a2a98=16故答案为：16【答案】10【考点】简单线性规划【解析】画出满足条件的可行域，结合目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后求出此目标函数的最大值即可．【解答】解：作出x不等式组满足的可行域如下图：可得直线x=2与直线−2x+y+c=0的交点B，使目标函数z=3x+y取得最小值5，故由x=2和−2x+y+c=0，解得x=2，y=4−c，代入3x+y=5得6+4−c=5∴c=5，由x+y=4和−2x+y+5=0可得C(3, 1)当过点C(3, 1)时，目标函数z=3x+y取得最大值，最大值为10．故答案为：10【答案】52【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】先据条件得：f(5)=f(1)+2f(2)=f(−1)+3f(2)，求出f(2)的值，进而可得答案．【解答】解：∵数f(x)为奇函数，f(1)=12，∴f(−1)=−12又f(5)=f(1)+2f(2)=f(−1)+3f(2)，∴12+2f(2)=−12+3f(2)，∴f(2)=1∴f(5)=f(1)+2f(2)=12+2=52，故答案为52．【答案】③④【考点】正弦函数的对称性正弦函数的单调性三角函数的周期性及其求法【解析】化简函数f(x)=cos x sin x为：f(x)=12sin2x，利用奇函数判断①的正误；函数的周期判断②的正误；利用单调性判断③，对称性判断④的正误即可．【解答】解：函数f(x)=cos x sin x=12sin2x，因为它是奇函数，又是周期函数，所以①不正确；函数的周期是π，所以②不正确；③在区间[−π4, π4]上是增函数；正确；④f(x)的图象关于直线x=3π4对称．当x=3π4时f(x)取得最小值，是对称轴，所以正确．故答案为：③④【答案】54【考点】三角函数的最值【解析】先根据已知求函数f(x)，然后进一步求f(x−π2)的解析式，结合二次函数的值域求解可求结果．【解答】解：∵0≤x≤π2，∴0≤sin x≤1∴y=cos2x+sin x=−sin2x+sin x+1=−(sin x−12)2+54≤54由题意可得，f(x)=cos2x+sin xf(x−π2)=sin2x−cos x=−(cos x+12)2+54函数的最大值54故答案为：54三、解答题：本大题共6小题，共计80分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】解：（1）由已知得：cosα=√55，cosβ=7√210．∵α，β为锐角，∴sinα=2√55，sinβ=√210．∴tanα=2,tanβ=17．∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=2+171−2×17=3．（2）∵tan2α=2tanα1−tan2α=41−4=−43，∴tan(2α+β)=tan2α+tanβ1−tan2α⋅tanβ=−43+171−(−43)×17=−1．∵α，β为锐角，∴0<2α+β<3π2，∴2α+β=3π4．【考点】两角和与差的正切公式三角函数【解析】（1）先求出两个锐角α，β的余弦，再利用同角三角函数的关系求出其正弦，进而利用商数关系得到两角的正切值，代入正切的和角公式求值．（2）同（1）先用正切的和角公式求出2α+β的正切，再根据其正切值求2α+β的值，再确定其值前要先确定2α+β的取值范围．【解答】解：（1）由已知得：cosα=√55，cosβ=7√210．∵α，β为锐角，∴sinα=2√55，sinβ=√210．∴tanα=2,tanβ=17．∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=2+171−2×17=3．（2）∵tan2α=2tanα1−tan2α=41−4=−43，∴tan(2α+β)=tan2α+tanβ1−tan2α⋅tanβ=−43+171−(−43)×17=−1．∵α，β为锐角，∴0<2α+β<3π2，∴2α+β=3π4．【答案】解：（1）∵f(x)=(sin x+cos x)2+2cos2x−2 =1+sin2x+1+cos2x−2=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)，由2x+π4=kπ+π2，k∈Z，得：x=kπ2+π8，k∈Z；∴函数f(x)图象的对称轴方程为：x=kπ2+π8，k∈Z．（2）∵f(x)=√2sin(2x+π4)，∴由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z)得：kπ−3π8≤x≤2kπ+π8，k∈Z．∴f(x)=√2sin(2x+π4)的单调增区间为：[kπ−3π8, kπ+π8]k∈Z．（3）π4≤x≤3π4，∴2x+π4∈[3π4, 7π4]，∴f(x)=√2sin(2x+π4)∈[−√2, 1]．∴函数f(x)的最大值为：1，最小值为：−√2．【考点】三角函数中的恒等变换应用复合三角函数的单调性【解析】（1）利用三角函数中的恒等变换应用将f(x)化为f(x)=√2sin(2x+π4)即可求f(x)函数图象的对称轴方程；（2）利用正弦函数的性质可求得f(x)=√2sin(2x+π4)的单调增区间；（3）当x∈[π4, 3π4]时，可求得2x+π4的范围，从而可求得函数f(x)的最大值，最小值．【解答】解：（1）∵f(x)=(sin x+cos x)2+2cos2x−2 =1+sin2x+1+cos2x−2=sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)，由2x+π4=kπ+π2，k∈Z，得：x=kπ2+π8，k∈Z；∴函数f(x)图象的对称轴方程为：x=kπ2+π8，k∈Z．（2）∵f(x)=√2sin(2x+π4)，∴由2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z)得：kπ−3π8≤x≤2kπ+π8，k∈Z．∴f(x)=√2sin(2x+π4)的单调增区间为：[kπ−3π8, kπ+π8]k∈Z．（3）π4≤x≤3π4，∴2x+π4∈[3π4, 7π4]，∴f(x)=√2sin(2x+π4)∈[−√2, 1]．∴函数f(x)的最大值为：1，最小值为：−√2．【答案】解：（1）由S14=98得2a1+13d=14，又a11=a1+10d=0，∴解得d=−2，a1=20．∴{a n}的通项公式是a n=22−2n，（2）由{S14≤77a11⟩0a1≥6得{2a1+13d≤11a1+10d⟩0a1≥6即{2a1+13d≤11−2a1−20d⟨0−2a1≤−12由①+②得−7d<11．即d>−117．由①+③得13d≤−1即d≤−113于是−117<d≤−113又d∈Z，故d=−1④将④代入①②得10<a1≤12．又a1∈Z，故a1=11或a1=12．∴所有可能的数列{a n}的通项公式是a n=12−n和a n=13−n，【考点】等差数列的通项公式 等差数列的性质【解析】（1）本题是关于等差数列的基本量的运算，设出题目中的首项和公差，根据第十一项和前十四项的和两个数据列出方程组，解出首项和公差的值，写出数列的通项．（2）根据三个不等关系，写出关于首项和公差的不等式组，解不等式组，得到一个范围，根据{a n }的首项a 1及公差d 都为整数得到所有可能的结果，写出通项公式． 【解答】 解：（1）由S 14=98得2a 1+13d =14， 又a 11=a 1+10d =0， ∴ 解得d =−2，a 1=20．∴ {a n }的通项公式是a n =22−2n ， （2）由{S 14≤77a 11⟩0a 1≥6得{2a 1+13d ≤11a 1+10d⟩0a 1≥6即{2a 1+13d ≤11−2a 1−20d⟨0−2a 1≤−12由①+②得−7d <11． 即d >−117．由①+③得13d ≤−1 即d ≤−113 于是−117<d ≤−113又d ∈Z ，故 d =−1 ④将④代入①②得10<a 1≤12． 又a 1∈Z ，故a 1=11或a 1=12． ∴ 所有可能的数列{a n }的通项公式是 a n =12−n 和a n =13−n ， 【答案】解：（1）∵ 函数f(x)=−13x 3+x 2+ax(a ∈R)，∴ f ′(x)=−x 2+2x +a ．当a =3时，f ′(x)=−x 2+2x +3=−(x +1)(x −3)．当x ∈(−∞, −1)或(3, +∞)时，f ′(x)<0；当x ∈(−1, 3)时，f ′(x)>0．∴ 函数f(x)在区间(−∞, −1)或(3, +∞)上单调递减；在区间(−1, 3)上单调递增．（2）∵ f ′(x)=−x 2+2x +a ，∴ 函数f(x)在其图象上任意一点（x 0, f(x 0)）处切线的斜率为f ′(x 0)=−x 02+2x 0+a ，由题意可知：对任意的实数x 0，−x 02+2x 0+a <2a 2恒成立．即2a 2−a >−x 02+2x 0对任意实数x 0恒成立⇔2a 2−a >[−x 02+2x 0]max ，x ∈R ．令φ(x 0)=−x 02+2x 0，则φ(x 0)=−(x 0−1)2+1≤1，∴ [−x 02+2x 0]max =1． ∴ 2a 2−a >1，解得a >1，或a <−12．∴ a 的取值范围是(−∞, −12)∪(1, +∞)．（3）①当x =0时，f(0)=0，∵ 0<0不可能，此时不存在a 满足要求； ②当x ∈(0, 2]时，若∃x ∈(0, 2],f(x)<0，⇔∃x ∈(0, 2]，a <[13x 2−x]max ．∵ φ(x)=13x 2−x =13(x −32)2−34，∴ φ(x)在区间(0, 32)单调递减，在区间(32，2]单调递增，但是φ(0)=0>φ(2)，故φ(x)在区间(0, 2]上无最大值． 经验证a =0时适合题意． ∴ a ≤0．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）先求导，看其f ′(x)在某区间上是大于0、还是小于0．即可判断出单调区间．（2）已知问题⇔2a 2−a >−x 02+2x 0对任意实数x 0恒成立⇔2a 2−a >[−x 02+2x 0]max ，x ∈R ．解出即可． （3）对x 分x =0与x ∈(0, 2]讨论，对x ∈(0, 2]可转化为：当x ∈(0, 2]时，若∃x ∈(0, 2],f(x)<0，⇔∃x ∈(0, 2]，a <[13x 2−x]max ．求出即可． 【解答】解：（1）∵ 函数f(x)=−13x 3+x 2+ax(a ∈R)，∴ f ′(x)=−x 2+2x +a ．当a =3时，f ′(x)=−x 2+2x +3=−(x +1)(x −3)．当x ∈(−∞, −1)或(3, +∞)时，f ′(x)<0；当x ∈(−1, 3)时，f ′(x)>0．∴ 函数f(x)在区间(−∞, −1)或(3, +∞)上单调递减；在区间(−1, 3)上单调递增．（2）∵ f ′(x)=−x 2+2x +a ，∴ 函数f(x)在其图象上任意一点（x 0, f(x 0)）处切线的斜率为f ′(x 0)=−x 02+2x 0+a ，由题意可知：对任意的实数x 0，−x 02+2x 0+a <2a 2恒成立．即2a 2−a >−x 02+2x 0对任意实数x 0恒成立⇔2a 2−a >[−x 02+2x 0]max ，x ∈R ．令φ(x 0)=−x 02+2x 0，则φ(x 0)=−(x 0−1)2+1≤1，∴ [−x 02+2x 0]max =1． ∴ 2a 2−a >1， 解得a >1，或a <−12．∴ a 的取值范围是(−∞, −12)∪(1, +∞)．（3）①当x =0时，f(0)=0，∵ 0<0不可能，此时不存在a 满足要求； ②当x ∈(0, 2]时，若∃x ∈(0, 2],f(x)<0，⇔∃x ∈(0, 2]，a <[13x 2−x]max ．∵ φ(x)=13x 2−x =13(x −32)2−34，∴ φ(x)在区间(0, 32)单调递减，在区间(32，2]单调递增，但是φ(0)=0>φ(2)，故φ(x)在区间(0, 2]上无最大值． 经验证a =0时适合题意． ∴ a ≤0．【答案】 解：（1）由题意可得f′(x)=g x −1，令g x −1=0，可得x =0， 并且当x ∈(−∞, 0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x ∈(0, +∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；故在x =0处，函数f(x)取到唯一的极小值也是最小值f(0)=1 （2）由题意可得：不等式f(x)>ax 即为(a +1)x <g x ， 若M ={x|12≤x ≤2}，且M ∩P ≠⌀，则a +1<g xx在[12, 2]的最大值， 令F(x)=g x x ，x ∈[12, 2]，则F′(x)=g x (x−1)x 2=0，解得x =1，且当x ∈(12, 1)，时，F′(x)<0，f(x)单调递减；当x ∈(1, 2)时，F′(x)>0，f(x)单调递增，故F(x)在x =1处取到极小值，也是最小值e ， F(12)=2√g ，F(2)=12g 2，而且2√g <12g 2，故最大值为12g 2，即a +1<12g 2，故a <12g 2−1（3）S n =∫f n0(x)dx =(g x −x)|0n =(g n −n)−(g 0−0)=g n−n −1，不妨取a n =−1，b n =(g −1)g n−1，则有∑(n k=1a k +b k )=a 1+a 2+...+a n +b 1+b 2+...+b n =−n +(g−1)(1−g n )1−g=g n −n −1，故满足题意．【考点】微积分基本定理 数列与函数的综合【解析】（1）由导数法先求极值，即可得最值； （2）把问题转化为求函数F(x)=g xx，x ∈[12, 2]的最大值的问题，由导数法可得答案； （3）结合等差数列和等比数列的和的特点，根据定积分所得的值，可得数列{a n }，{b n }的通项公式． 【解答】解：（1）由题意可得f′(x)=g x −1，令g x −1=0，可得x =0， 并且当x ∈(−∞, 0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x ∈(0, +∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；故在x =0处，函数f(x)取到唯一的极小值也是最小值f(0)=1 （2）由题意可得：不等式f(x)>ax 即为(a +1)x <g x ， 若M ={x|12≤x ≤2}，且M ∩P ≠⌀，则a +1<g x x在[12, 2]的最大值，令F(x)=g x x ，x ∈[12, 2]，则F′(x)=g x (x−1)x 2=0，解得x =1，且当x ∈(12, 1)，时，F′(x)<0，f(x)单调递减；当x ∈(1, 2)时，F′(x)>0，f(x)单调递增，故F(x)在x =1处取到极小值，也是最小值e ， F(12)=2√g ，F(2)=12g 2，而且2√g <12g 2，故最大值为12g 2，即a +1<12g 2，故a <12g 2−1（3）S n =∫f n0(x)dx =(g x −x)|0n =(g n −n)−(g 0−0)=g n−n −1，不妨取a n =−1，b n =(g −1)g n−1，则有∑(n k=1a k +b k )=a 1+a 2+...+a n +b 1+b 2+...+b n =−n +(g−1)(1−g n )1−g=g n −n −1，故满足题意．【答案】解：(1)∵ 点M 在直线x =12上，设M(12,y M )．又AM →=MB →， 即AM →=(12−x 1,y M −y 1)，MB →=(x 2−12,y 2−y M )，∴ x 1+x 2=1．①当x 1=12时，x 2=12，y 1+y 2=f(x 1)+f(x 2)=−1−1=−2； ②当x 1≠12时，x 2≠12， y 1+y 2=2x 11+2x 22=2x 1(1−2x 2)+2x 2(1−2x 1)12=2(x 1+x 2)−8x 1x 21−2(x 1+x 2)+4x 1x 2=2(1−4x 1x 2)4x 1x 2−1=−2.综合①②得，y 1+y 2=−2．(2)由(1)知，当x 1+x 2=1时，y 1+y 2=−2． ∴ f(kn )+f(n−k n)=−2，k =1，2，3，⋯，n −1．n ≥2时，S n =f(1n)+f(2n)+f(3n)+⋯+f(n−1n)，①S n =f(n−1n)+f(n−2n)+f(n−3n)+⋯+f(1n )，②①+②得，2S n =−2(n −1)，则S n =1−n ． n =1时，S 1=0满足S n =1−n ． ∴ S n =1−n ． (3)a n =2S n =21−n ， T n =1+12+⋯+(12)n−1=2−22n，T m −c T m+1−c <12⇔2(T m −c)−(T m+1−c)2(T m+1−c)<0⇔c−(2T m −T m+1)c−T m+1<0．T m+1=2−12m，2T m −T m+1=4−42m −2+12m =2−32m ，∴ 12≤2−32m <c <2−12m <2，c ，m 为正整数， ∴ c =1，当c =1时，{2−32m <1,2−12m >1, ∴ 1<2m<3， ∴ m =1．【考点】 数列的求和 数列递推式 相等向量与相反向量分段函数的解析式求法及其图象的作法 【解析】（1）设出M 的坐标，求出AM →，MB →．利用AM →=MB →．求出x 1+x 2的值，再用f(x)={2x 1−2x，x ≠12−1,x =12求出y 1+y 2的值．（2）利用（1）的结论，f(kn )+f(n−k n)=−2，化简S n =f(1n )+f(2n )+f(3n )+⋯+f(n−1n)，可求S n ；（3）在（2）的条件下，利用a n =2S n ，T n 为数列{a n }的前n 项和，求出T n 的表达式， 结合不等式T m −cT m+1−c<12，推出c ，m 的范围，正整数c 、m ，可得c 和m 的值． 【解答】解：(1)∵ 点M 在直线x =12上，设M(12,y M )．又AM →=MB →， 即AM →=(12−x 1,y M −y 1)，MB →=(x 2−12,y 2−y M )，∴ x 1+x 2=1．①当x 1=12时，x 2=12，y 1+y 2=f(x 1)+f(x 2)=−1−1=−2；②当x 1≠12时，x 2≠12， y 1+y 2=2x 11−2x 1+2x 21−2x 2=2x 1(1−2x 2)+2x 2(1−2x 1)(1−2x 1)(1−2x 2)=2(x 1+x 2)−8x 1x 21−2(x1+x 2)+4x 1x 2=2(1−4x 1x 2)4x 1x 2−1=−2.综合①②得，y 1+y 2=−2．(2)由(1)知，当x 1+x 2=1时，y 1+y 2=−2．∴ f(k n)+f(n−k n)=−2，k =1，2，3，⋯，n −1．n ≥2时，S n =f(1n )+f(2n )+f(3n )+⋯+f(n−1n)，①S n =f(n−1n)+f(n−2n)+f(n−3n)+⋯+f(1n )，②①+②得，2S n =−2(n −1)，则S n =1−n ． n =1时，S 1=0满足S n =1−n ． ∴ S n =1−n ． (3)a n =2S n =21−n ， T n =1+12+⋯+(12)n−1=2−22n，T m −c T m+1−c <12⇔2(T m −c)−(T m+1−c)2(T m+1−c)<0⇔c−(2T m −T m+1)c−T m+1<0．T m+1=2−12m ，2T m −T m+1=4−42m −2+12m =2−32m ， ∴ 12≤2−32m<c <2−12m<2，c ，m 为正整数，∴ c =1，当c =1时，{2−32m <1,2−12m >1, ∴ 1<2m <3， ∴ m =1．。
江苏省奔牛高级中学2012-2013学年度高三第一学期第一次调研考试数学(理)试题
江苏省奔牛高级中学2012-2013学年第一学期第一次阶段考试数学试卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案直接写在答题纸上) 1.对于命题p :x R,∃∈使得210x x .++<则p ⌝为____________2.已知全集{}123456U ,,,,,,=集合{}{}13512A ,,,B ,,==则U (C A)B ⋂=_________3.命题{}20p :a M x x x ;∈=-<命题{}2q :a N x x ,∈=<p 是q 的_________条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）。
4.已知α是第二象限角，且35sin(),πα+=-则2tan α=_____________5.已知平面向量a =(-1,1),b =(x -3,1)，且a ⊥b，则x =6.设530753801615625.a .,b .,c .,===则a,b,c 从小到大的关系为___________7.已知a b 、为常数，若22()43,()1024f x x x f ax b x x =+++=++，则52a b -=__________8. 已知幂函数)(x f y =的图象过点3⎛ ⎝⎭，则1()4f ＝ 9.已知三次函数321()32b f x x x x =++在R 上有极值，则实数b 的范围为__________ 10. 设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，则满足()2f x ≤的x 的取值范围是_______11.若函数log (3)a y ax =-在[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是 12若函数()2xf x e x a =--在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是_______ 13. 若二次函数2242221f (x )x (p )x p p =----+在区间[]11,-内至少存在一点c,使得0f (c ),>则实数p 的取值范围是__________14.定义在R 上的函数()f x 满足0)()23(=++x f x f 且)43(-=x f y 为奇函数．给出下列命题：⑴函数()f x 的最小正周期为32；⑵函数()y f x =的图象关于点)0,43(对称；⑶函数()y f x =的图象关于y 轴对称．其中真命题有 ．（填序号）二、解答题(本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.设α为锐角，31cos ,tan()53ααβ=-=，求tan tan αβ和的值.16. (1) 用定义法证明函数)(x f =xx 4+在),2[+∞∈x 上是增函数； ⑵求)(x f 在]8,4[上的值域.17.设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值． （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围． 18. 已知函数()42x xn g x -=是奇函数，()()4log 41xf x mx =++是偶函数。
江苏省常州高级中学高三数学上学期试卷 理(含解析)新人教A版
2012-2013学年江苏省常州高级中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．1．（5分）已知复数，（m∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则m的值是﹣1 ．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：化简复数z为a+bi（a、b为实数）的形式，它是纯虚数，实部=0，虚部≠0求出m 即可．解答：解：复数，它是纯虚数，所以m=﹣1故答案为：﹣1点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．（5分）（2011•南京模拟）设集合，则A∪B= {x|﹣1＜x＜1} ．考点：并集及其运算．分析：集合A为指数不等式的解集，可利用指数函数的单调性求解；集合B为分式不等式的解集，可用穿根法或转化为二次不等式解决．解答：解：=；，故A∪B={x|﹣1＜x＜1}故答案为：{x|﹣1＜x＜1}点评：本题考查解指数不等式和分式不等式、以及集合的概念、运算等，属基本题．3．（5分）函数的单调递增区间是[0，] ．考点：正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：依题意，可求得2x+的范围，利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的单调递增区间．解答：解：∵0≤x≤，∴≤2x+≤，由≤2x+≤得：0≤x≤．故f（x）的单调递增区间为[0，]．故答案为：[0，]．点评：本题考查正弦函数的单调性，求得2x+的范围，再利用正弦函数的单调性是关键，属于中档题．4．（5分）过点（1，0）且倾斜角是直线2x+3y+3=0的倾斜角的两倍的直线方程是12x+5y ﹣12=0 ．考点：直线的点斜式方程．专题：计算题．分析：先求直线2x+3y+3=0的斜率，进而转化为倾斜角，用二倍角公式求过点（1，0）的斜率，再求解直线方程．解答：解：直线2x+3y+3=0的斜率为k=，倾斜角为α，所以tanα=，过点（1，0）的倾斜角为2α，其斜率为tan2α===，故所求直线方程为：y=（x﹣1），即12x+5y﹣12=0故答案为：12x+5y﹣12=0．点评：本题关键是倾斜角的二倍和斜率的关系互化，考查计算能力．5．（5分）右边是根据所输入的x值计算y值的一个算法程序，若x依次取数列（n∈N+）中的前200项，则所得y值中的最小值为 1 ．考点：程序框图．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数，即y=1+|x|的函数值，由x依次取数列（n∈N+）中的前200项，则我们易求出|x|的最小值，代入即可求出y的最小值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数，即y=1+|x|的函数值，又∵x依次取数列（n∈N+）中的前200项∴当n=100时，|x|取最小值0此时y=1+|x|有最小值1故答案为：1点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．6．（5分）设ω＞0，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；数形结合；数形结合法．分析：函数的图象向右平移个单位后与原图象重合可判断出是周期的整数倍，由此求出ω的表达式，判断出它的最小值解答：解：∵函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，∴=n×，n∈z∴ω=n×，n∈z又ω＞0，故其最小值是故答案为点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，解题的关键是判断出函数图象的特征及此特征与解析式中系数的关系，由此得出关于参数的方程求出参数的值，本题重点是判断出是周期的整数倍，则问题得解7．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用a=1判断两条直线是否平行；通过两条直线平行是否推出a=1，即可得到答案．解答：解：因为“a=1”时，“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+（a+1）y+4=0”化为l1：x+2y﹣1=0与l2：x+2y+4=0，显然两条直线平行；如果“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+（a+1）y+4=0平行”必有a（a+1）=2，解得a=1或a=﹣2，所以“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．点评：本题考查充要条件的判断，能够正确判断两个命题之间的条件与结论的推出关系是解题的关键．8．（5分）设点P是曲线上的任意一点，点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为[0°，90°]∪[120°，180°）．考点：简单复合函数的导数；直线的倾斜角．分析：先对函数进行求导，然后表示出切线的且率，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系课得到α的范围确定答案．解答：解：设点P是曲线上的任意一点，∵∴y'=3x2﹣∴点P处的切线的斜率k=3x2﹣∴k∴切线的倾斜角α的范围为：[0°，90°]∪[120°，180°）故答案为：[0°，90°]∪[120°，180°）点评：本题主要考查导数的几何意义和斜率与倾斜角的关系．考查知识的综合运用．9．（5分）若，则a的取值范围是＜a＜或a＜﹣1 ．考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：考察函数y=的单调性，讨论x的范围，利用单调性建立关于a的不等关系，可求出a的取值范围．解答：解：∵，y=在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递减∴或或解之得＜a＜或a＜﹣1．故答案为：＜a＜或a＜﹣1点评：本题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性解不等式，同时考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．10．（5分）如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是．考点：两点间的距离公式．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G，由此可得结论．解答：解：如图，过A，C作AE，CF垂直于L2，点E，F是垂足，将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L2于点G．由作图可知：∠DBG=60°，AD=CF=2．在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=1，AG=2，DG=4．∴BD=在Rt△ABD中，AB==故答案为：点评：本题考查平行线的性质，等腰三角形，直角三角形的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．11．（5分）已知△ABC中，AB边上的中线CM=2，若动点P满足，则的最小值是﹣2 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由向量式变形可推得点P在CM上，而而=，故=2，又夹角为π，由数量积的定义结合基本不等式可得答案．解答：解：由题意可得：，∴，又sin2θ+cos2θ=1所以P、M、C三点共线，即点P在CM上，而=，故=2=2cosπ=﹣2，∵，由基本不等式可得：≤=1，故﹣2≥﹣2故答案为：﹣2点评：本题考查向量的数量积的运算和基本不等式的应用，由题意得出P、M、C三点共线是解决问题的关键，属中档题．12．（5分）（2010•扬州模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若（a2﹣1）3+2010（a2﹣1）=1，（a2009﹣1）3+2010（a2009﹣1）=﹣1，则下列四个命题中真命题的序号为②③．①S2009=2009；②S2010=2010；③a2009＜a2；④S2009＜S2．考点：等差数列的性质．专题：常规题型；计算题；压轴题．分析：根据已知条件可判断a2＞1，0＜a2009＜1，0＜a2009＜1＜a2，从而公差d＜0可判断③，然后两式相加整理可得a2+a2009=2，利用等差数列的性质可知a1+a2010=a2+a2009=2可判断①②，由公差d＜0 可得a2+a2008＞a2+a2009＞a2+a2010，结合等差数列的性质，可得2a1005＞2＞2a1006，从而可得0＜a1006＜1＜a1005，可判断④的正误．解答：解：由（a2﹣1）3+2010（a2﹣1）=1，（a2009﹣1）3+2010（a2009﹣1）=﹣1 可得a2﹣1＞0，﹣1＜a2009﹣1＜0即a2＞1，0＜a2009＜1，从而可得等差数列的公差d ＜0③a2009＜a2正确把已知的两式相加可得（a2﹣1）3+2010（a2﹣1）+（a2009﹣1）3+2010（a2009﹣1）=0 整理可得（a2+a2009﹣2）•[（a2﹣1）2+（a2009﹣1）2﹣（a2﹣1）（a2009﹣1）+2010]=0结合上面的判断可知（a2﹣1）2+（a2009﹣1）2﹣（a2﹣1）（a2009﹣1）+2010＞0所以a2+a2009=2，而②正确由于d＜0，a2010＜a2009＜1，则S2009=S2010﹣a2010=2010﹣a2010＞2009①错误由公差d＜0 可得a2+a2008＞a2+a2009＞a2+a2010，结合等差数列的列的性质，可得2a1005＞2＞2a1006从而可得0＜a1006＜1＜a1005④s2009﹣s2=a3+a4+…+a2009=2007a1006＞0，故④错误故答案为：②③点评：本题注意考查了等差数列的性质的运用，灵活利用m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q，是解决问题的关键，还要求考生具备一定的推理论证能力．13．（5分）已知关于x的实系数一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＜b）的解集为R，则的最小值是8 ．考点：基本不等式；二次函数的性质．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：根据题意，由一元二次不等式的性质，可得△=b2﹣4ac≤0，a＞0，对于M，分子、分母同乘a，进而对其变形可得M=，由换元法，令，结合基本不等式分析可得答案．解答：解：由题意，ax2+bx+c≥0（a＜b）的解集为R，则必有△=b2﹣4ac≤0，a＞0，对于，分子、分母同乘a可得，=，令，则（当且仅当t=3，即b=3a时等号成立）；故答案为8．点评：本题考查基本不等式的应用，关键是对M变形，转化为基本不等式的问题．14．（5分）已知二次函数f（x）=x2﹣x+k，k∈Z，若函数g（x）=f（x）﹣2在上有两个不同的零点，则的最小值为．考点：二次函数的性质；函数的零点；一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：计算题；压轴题．分析：根据函数g（x）=x2﹣x+k﹣2在上有两个不同的零点，且k∈Z，求出k 值从而得出二次函数f（x）=x2﹣x，值域，再将=结合基本不等式即可求出的最小值．解答：解：若函数g（x）=x2﹣x+k﹣2在上有两个不同的零点，k∈Z，则k=2．∴二次函数f（x）=x2﹣x+2，其值域f（x）∈[，+∞），=≥2=2，当且仅当f（x）=即f（x）=时取等号，而∉[，+∞），∴当f （x ）=时，的最小值为．故答案为：点评：本小题主要考查二次函数的性质、函数的零点、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（10分）已知函数．（1）求f （x ）的最小正周期和值域； （2）若x=x 0为f （x ）的一个零点，求sin2x 0的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换． 专题： 计算题． 分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f （x ）的解析式为 ，由此求得最小正周期和（2）由求得，根据x 0的范围可得2x，再利用二倍角公式、两角和的正弦公式求出sin2x 0的值．解答：解：（1）易得==所以f （x ）周期π，值域为；（2）由，得，又由得，所以，故，此时，==点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域、周期性，二倍角公式、两角和的16．（10分）（2010•盐城三模）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，试求的最小值．考点：平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．专题：计算题．分析：（1）根据题目中所给的向量的数量积写出数量积的公式，得到关于三角形边和角的等式关系，根据正弦定理把变化为角，逆用两角和的正弦公式，得到角B的余弦值，根据角的范围写出角．（2）本题要求向量的数量积的最值，而这两个向量的夹角是上一问求出的B，在表示向量数量积时，只有两边之积是一个变量，因此要表示出两边之积，根据余弦定理和基本不等式得到ac的范围，得到结果．解答：解：（Ⅰ）∵，∴（2a+c）accosB+cabcosC=0，即（2a+c）cosB+bcosC=0，则（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0∴2sinAcosB+sin（C+B）=0，即，B是三角形的一个内角，∴（Ⅱ）∵，∴12=a2+c2+ac≥3ac，即ac≤4∴=，即的最小值为﹣2点评：本题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量的数量积为条件，得到三角函数的关系式，在高考时可以以解答题形式出现，本题又牵扯到解三角形，是一个综合题．17．（15分）（2005•上海）已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．（1）求a的值．（2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．考点：函数与方程的综合运用．专题：综合题；压轴题；数形结合；转化思想．分析：（1）由f（2）=2+=2+求解a．（2）先设点P的坐标为（x0，y0），则有y0=x0+，x0＞0，再由点到直线的距离公式求得|PM|，|PN|计算即可．（3）由（2）可将S四边形OMPN转化为S△OPM+S△OPN之和，分别用直角三角形面积公式求解，再构造S四边形OMPN面积模型求最值．解答：解：（1）∵f（2）=2+=2+，∴a=．（2）设点P的坐标为（x0，y0），则有y0=x0+，x0＞0，由点到直线的距离公式可知，|PM|==，|PN|=x0，∴有|PM|•|PN|=1，即|PM|•|PN|为定值，这个值为1．（3）由题意可设M（t，t），可知N（0，y0）．∵PM与直线y=x垂直，∴k PM•1=﹣1，即=﹣1．解得t=（x0+y0）．又y0=x0+，∴t=x0+．∴S△OPM=+，S△OPN=x02+．∴S四边形OMPN=S△OPM+S△OPN=（x02+）+≥1+．当且仅当x0=1时，等号成立．此时四边形OMPN的面积有最小值：1+．点评：本题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了平面图形的转化与面积模型建立与解决．18．（15分）设函数上两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），若，且P点的横坐标为（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；（2）若，n∈N*，求S n；（3）记T n为数列的前n项和，若对一切n∈N*都成立，试求实数a的取值范围．考点：数列与函数的综合．专题：综合题．分析：（1）可设，由，可得，代入解析式验证即可．（2）由（1）知，而由，可变形为两式相加可得到解决．（3）由（2）知所以可得到可变形为裂项求得T n，再研究恒成立问题．解答：解：（1）设，又∵，∴，又，∴（2）由x1+x2=1，得∴，又∴，即（3）∵，∴，∴，从而，由，∴令，易证g（n）在上是增函数，在上是减函数，我且g（3）=7，g（4）=7，∴g（n）的最大值为7，即，∴点评：本题主要考查函数与数列间的渗透，两者都有规律可循经常结合为难度较大的题目，解决思路往往是通过函数的规律，由点的坐标建立数列模型来考查数列的通项或前N 项和，进而设置不等式恒成立问题，考查数列的增减性或放缩的方法．19．（15分）（2011•南汇区二模）某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水口释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．（1）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定该投放的药剂质量m的值．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）由m=4，且y=m•f（x），可得药剂在水中释放浓度y的函数；因为函数y是分段函数，在求释放浓度不低于4（即y≥4）时，要分区间去求解．（2）由函数y是分段函数，故分区间讨论函数的单调性，从而求得y的取值范围，即药剂在水中释放浓度的大小；为使最佳净化，即4≤y≤10恒成立，只要使y的取值范围在区间[4，10]内即可，从而解出m的值．解答：解：（1）因为m=4，所以y=m•f（x）=；所以，当0＜x≤4时，x+8≥4显然成立，当x＞4时，≥4，得4＜x≤8；综上知，0＜x≤8；所以，自来水达到有效净化一共可持续8天．（2）由y=m•f（x）=知，在区间（0，4]上单调递增，即2m＜y≤3m，在区间（4，7]上单调递减，即≤y＜3m，综上知，≤y≤3m；为使4≤y≤10恒成立，只要≥4，且3m≤10即可，即m=；所以，为了使在7天之内的自来水达到最佳净化，该投放的药剂量应为．点评：本题考查了分段函数模型的灵活应用；分段函数求最值时，要在每一个区间上求出最值，再通过比较，得出函数的最值．20．（15分）（2010•徐州二模）已知函数f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．（1）当时，若存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；（2）求证：函数y=f′（x）在（﹣1，0）内至少有一个零点；（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0，关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；证明题；压轴题；转化思想．分析：（1）当时，f′（x）==，由二次函数的性质，分类讨论可得答案；（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），所以f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，．再由a，b不同时为零，所以，故结论成立；（3）将“关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根”转化为“函数f（x）与的交点”问题解决，先求函数f（x）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x为奇函数，可解得b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，再由“f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0”解得a，从而得到f（x），再求导，由，知f（x上是増函数，在上是减函数，明确函数的变化规律，再研究两个函数的相对位置求解．解答：解：（1）当时，f′（x）==，其对称轴为直线x=﹣b，当，解得，当，b无解，所以b的取值范围为；（4分）（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），∴f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，．由于a，b不同时为零，所以，故结论成立．（3）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x为奇函数，所以b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，又f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0．所以a=1，即f（x）=x3﹣x．因为所以f（x）在上是増函数，在上是减函数，由f（x）=0解得x=±1，x=0，如图所示，当时，，即，解得；当时，，解得；当t=0时，显然不成立；当时，，即，解得；当时，，故．所以所求t的取值范围是或．点评：本题主要考查利用导数法研究函数的单调性，主要涉及了函数的奇偶性，函数的图象和性质以及方程的根转化为函数图象的交点解决等问题．。
江苏省常州市武进区教育学会2012-2013学年高三数学上学期期中试卷 理(含解析)新人教A版
2012-2013学年江苏省常州市武进区教育学会高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，则C U A= {1，3，6，7} ．考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：直接利用补集的定义，求出A的补集即可．解答：解：因为全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，则C U A={1，3，5，7}．故答案为：{1，3，5，7}．点评：本题考查集合的基本运算，补集的定义的应用，考查计算能力．2．（5分）已知向量，则向量与的夹角为30°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题；平面向量及应用．分析：由平面向量模的公式和数量积计算公式，算出||=||=1且•=，再用向量的夹角公式即可算出向量与的夹角．解答：解：∵，∴||=||=1，且•=cos35°cos65°+sin35°sin65°=cos（﹣30°）=cos30°=设与的夹角为θ，可得cosθ==∵0°≤θ≤180°，∴θ=30°故答案为：30°点本题给出向量含有三角函数的坐标形式，求它们的夹角大小，着重考查了数量积表评：示两个向量的夹角的知识，属于基础题．3．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a4a10=16，则a10= 32 ．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列{a n}的首项，结合等比数列的通项公式和a4a10=16列式求出首项，然后代回等比数列的通项公式可求a10．解答：解：设等比数列{a n}的首项为a1（a1≠0），又公比为2，由a4a10=16，得：，所以，，解得：．所以，．故答案为32．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了学生的运算能力，注意的是等比数列中所有项不会为0，此题是基础题．4．（5分）不等式的解集是{x|x≥3或x=﹣1} ．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：先要看根号有意义的条件，求得x的范围，同时看x﹣2≥0求得x的范围或x﹣2＜0且=0，最后分别取交集．解答：解：不等式等价于或解得x≥3或x=﹣1 故答案为：{x|x≥3或x=﹣1}点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法．解题的时候要特别留意如根号，对数，分母等隐含的不等式关系．5．（5分）函数y=xcosx﹣sinx，x∈（0，2π）单调增区间是（π，2π）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：先求导，进而利用导数与函数的单调性的关系即可得出．解答：解：∵函数y=xcosx﹣sinx，x∈（0，2π），∴y′=﹣xsinx，由﹣xsinx＞0，x∈（0，2π），化为sinx＞0，x∈（0，2π），解得π＜x＜2π．故函数y=xcosx﹣sinx，x∈（0，2π）单调增区间是（π，2π）．故答案为（π，2π）．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性的方法是解题的关键．6．（5分）若实数x满足log2x+cosθ=2，则|x﹣8|+|x+2|= 10 ．考点：对数的运算性质；函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据给出的等式，求出x的值，由余弦函数的值域得到x的范围，取绝对值后可得结果．解答：解：由log2x+cosθ=2，得：log2x=2﹣cosθ，所以，x=22﹣cosθ，因为﹣1≤cosθ≤1，所以1≤2﹣cosθ≤3，则2≤22﹣cosθ≤8，所以2≤x≤8．则|x﹣8|+|x+2|=﹣（x﹣8）+（x+2）=8﹣x+x+2=10．故答案为10．点评：本题考查了对数的运算性质，考查了余弦函数的值域，训练了取绝对值的方法，是基础题．7．（5分）已知向量满足，．若与垂直，则k= 19 ．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由垂直可得向量的数量积为0，代入已知数值可得关于k的方程，解之即可．解答：解：∵与垂直，∴=0化简可得，代入可得5k+（1﹣3k）••﹣3×13=0化简可得解得k=19故答案为：19点评：本题考查向量的垂直，转化为数量积为0是解决问题的关键，属基础题．8．（5分）已知函数的图象与函数y=kx+2的图象没有交点，则实数k的取值范围是[﹣，0] ．考点：函数的零点；函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：利用零点分段法化简函数的解析式，并画出函数的图象，根据直线y=kx+2过定点A （0，2），数形结合可得满足条件的实数k的取值范围解答：解：函数==，直线y=kx+2过定点A（0，2），取B（1，2），k AB=0，取C（1，﹣2），k AB=﹣，根据图象可知要使函数的图象与函数y=kx+2的图象没有交点，则直线斜率满足：[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]．点评：本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系，其中画出函数的图象，并利用图象分析出满足条件时参数的范围是解答的关键．9．（5分）等差数列{a n}中，已知a2≤7，a6≥9，则a10的取值范围是[11，+∞）．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的通项公式a n=a m+（n﹣m）d，结合题意可求得其公差d≥，从而可求得a10的取值范围．解答：解：∵等差数列{a n}中，a2≤7，a6≥9，∴﹣a2≥﹣7，设该等差数列的公差为d，则a6=a2+4d≥9，∴4d≥9﹣a2≥2，∴d≥，∴4d≥2，又a6≥9，∴a10=a6+4d≥11．故a10的取值范围是[11，+∞）．故答案为：[11，+∞）．点评：本题考查等差数列的性质，求得其公差d≥是关键，着重考查等差数列的通项公式与不等式的性质，属于中档题．10．（5分）已知A、B、C是直线l上的三点，向量，，满足，则函数y=f（x）的表达式为．考点：函数解析式的求解及常用方法；向量的加法及其几何意义．专题：计算题．分析：由三点共线可得f（x）+2f′（1）x﹣lnx=1，求导数并把x=1代入可得f′（1）的值，进而可得解析式．解答：解：∵A、B、C三点共线，且，∴f（x）+2f′（1）x﹣lnx=1，两边求导数可得：f′（x）+2f′（1）﹣=0，把x=1代入可得f′（1）+2f′（1）﹣1=0，解得f′（1）=，故f（x）+x﹣lnx=1，即故答案为：点评：本题考查函数解析式的求解，涉及向量的知识和导数内容，属基础题．11．（5分）已知f（x）=log3（x﹣3），若实数m，n满足f（m）+f（3n）=2，则m+n的最小值为．考点：基本不等式；对数的运算性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知得出m、n关系式和取值范围，再利用基本不等式的性质即可求出．解答：解：∵f（x）=log3（x﹣3），f（m）+f（3n）=2，∴，解得．∴m+n==4++4=，当且仅当，m＞3，n＞1，，解得，，即当，时，取等号．∴m+n的最小值为．故答案为．点评：正确已知得出m、n关系式和取值范围和熟练掌握利用基本不等式的性质是解题的关键．12．（5分）已知函数若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f （x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，+∞）．考点：特称命题；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则说明f（x）在R 上不单调，分a=0及a≠0两种情况分布求解即可求得结论．解答：解：若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则说明f（x）在R上不单调．①当a=0时，f（x）=满足题意其其图象如图所示，满足题意②当a＜0时，函数y=﹣x2+2ax的对称轴x=a＜0，其图象如图所示，满足题意③当a＞0时，函数y=﹣x2+ax的对称轴x=a＞0，其图象如图所示，要使得f（x）在R上不单调则只要二次函数的对称轴x=a＜1，或∴0＜a＜1或a＞2，综合得：a的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，1）∪（2，+∞）．本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．点评：13．（5分）给出以下命题：（1）在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的必要不充分条件；（2）在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC一定为锐角三角形；（3）函数与函数y=sinπx，x∈{1}是同一个函数；（4）函数y=f（2x﹣1）的图象可以由函数y=f（2x）的图象按向量平移得到．则其中正确命题的序号是（2）（3）（把所有正确的命题序号都填上）．考点：命题的真假判断与应用．分析：从条件A，结论B，看A能否得到B，再看B能否得到A，来判断充要条件；从否定结论入手能否得出与条件矛盾来判断命题的真假；看两个函数是否为同一函数，要先看定义域是否相同，再看对应法则是否相同；函数图象变化，y=f（x）→y=f（x+φ）平移的向量=（﹣φ，0）．解答：解：①在△ABC中，A＞B，若A≤，∵y═sinx是增函数，∴sinA＞sinB；若A≥，＞π﹣A＞B＞0，∴sinA＞sinB．反过来若sinA＞sinB，在△ABC中，得A＞B，∴sinA＞sinB是A＞B的充要条件，∴①×．对②可用反证法证明：假设△ABC为钝角△，不妨设A＞，tanA＜0，∵A+B+C=π，∴tanA+tanB+tanC=tanA+tan（B+C）（1﹣tanBtanC）=tanA+（﹣tanA）（1﹣tanBtanC）=tanAtanBtanC＜0与题设tanAtanBtanC＞0矛盾．△ABC不是直角△，∴△ABC为锐角△，∴②√．③中y=+定义域是x∈{1}，两函数定义域、对应法则、值域相同．∴为同一函数，③√．对④中函数y=f（2x﹣1）的图象可由y=f（2x）的图象向左平移个单位得到，∴④×．故答案是②③点评：要正确理解充要条件的含义，掌握判断方法．判断命题的真假可用反证法，14．（5分）数列{a n}满足，则{a n}的前40项和为420 ．考点：数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用数列递推式，可得数列{a n}是从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于1，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以5为首项，以8为公差的等差数列，由此可得结论．解答：解：∵，∴a2﹣a1=1，a3+a2=2，a4﹣a3=3，a5+a4=4，…，a50﹣a49=49．∴a3+a1=1，a4+a2=5，a7+a5=1，a8+a6=13，a9+a11=1，a12+a10=21，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于1，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以5为首项，以8为公差的等差数列．所以{a n}的前40项和为10×1+10×5+=420故答案为：420．点本题考查数列递推式，考查数列求和，属于中档题．评：二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0）．y=f（x）图象的一条对称轴是直线．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若，试求的值．由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数解析式的求解及常用方法；函数的值．考点：三角函数的图像与性质．专题：分（1）根据是函数y=f（x）的图象的对称轴，求得，再根据ϕ的范析：围求出ϕ的值，即可求得函数的解析式．（2）由，求得sin（α﹣）和cos（α﹣）的值，利用两角和的正弦公式求得sinα的值，再利用二倍角公式求得的值．解解：（1）∵是函数y=f（x）的图象的对称轴，答：∴，∴，…（2分）∵﹣π＜ϕ＜0，∴，…（4分）故…（6分）（2）因为，所以，．…（8分）故=．…（11分）故有=．…（14分）点评： 本题主要考查利用y=Asin （ωx+∅）的图象特征，由函数y=Asin （ωx+∅）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题． 16．（14分）如图，点P 在△ABC 内，AB=CP=2，BC=3，∠P+∠B=π，记∠B=α． （1）试用α表示AP 的长；（2）求四边形ABCP 的面积的最大值，并写出此时α的值．考点： 余弦定理． 专题： 计算题． 分析： （1）在三角形ABC 中，由AB ，BC 及cosB ，利用余弦定理列出关系式，记作①；在三角形APC 中，由AP ，PC 及cosP ，利用余弦定理列出关系式，记作②，由①②消去AC ，得到关于AP 的方程，整理后可用α表示AP 的长；（2）由三角形的面积公式表示出三角形ABC 及三角形APC 的面积，两三角形面积之差即为四边形ABCP 的面积，整理后将表示出的AP 代入，根据正弦函数的图象与性质即可求出四边形ABCP 的面积的最大值，以及此时α的值． 解答： 解：（1）△ABC 与△APC 中，AB=CP=2，BC=3，∠B=α，∠P=π﹣α，由余弦定理得，AC 2=22+32﹣2×2×3cosα，①AC 2=AP 2+22﹣2×AP×2cos（π﹣α），②由①②得：AP 2+4APcosα+12cosα﹣9=0，α∈（0，π）， 解得：AP=3﹣4cosα；（2）∵AP=3﹣4cosα，α∈（0，π），∴S 四边形ABCP =S △ABC ﹣S △APC =×2×3sinα﹣×2×APsin（π﹣α） =3sinα﹣（3﹣4cosα）sinα=4sinα•cosα=2sin2α，α∈（0，π）， 则当α=时，S max =2．点评： 此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，诱导公式，以及三角函数的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 17．（14分）（2013•宁波模拟）已知f （x ）=ax ﹣lnx ，x ∈（0，e]，其中e 是自然常数，a ∈R ．（1）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；（2）若f（x）≥3恒成立，求a的取值范围．考点：函数在某点取得极值的条件；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=1时，f（x）=x﹣lnx，求出f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＜0，f′（x）＞0即可得到单调区间，由单调性即可得到极值；（2）f（x）≥3恒成立即a≥+恒成立，问题转化为求函数，x∈（0，e]的最大值，利用导数即可求得；解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣=，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）为单调递增．∴当x=1时f（x）取得极小值，f（x）的极小值为f（1）=1，f（x）无极大值；（2）∵f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，∴ax﹣lnx≥3在x∈（0，e]上恒成立，即a≥+在x∈（0，e]上恒成立，令，x∈（0，e]，则，令g′（x）=0，则，当时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增，当时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减，∴，∴a≥e2，即a的取值范围为a≥e2．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数极值及函数恒成立问题，具有一定综合性，恒成立问题往往转化为函数最值解决．18．（16分）各项均为正数的数列{a n}中，前n项和．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若恒成立，求k的取值范围；（3）对任意m∈N*，将数列{a n}中落入区间（2m，22m）内的项的个数记为b m，求数列{b m}的前m项和S m．考数列与不等式的综合；数列的求和；等差数列与等比数列的综合．点：综合题；等差数列与等比数列．专题：分析：（1）由，知，由此得到，由此能能求出a n．（2）由，，结合题设条件能求出k的取值范围．（3）对任意m∈N+，2m＜2n﹣1＜22m，由，能求出数列{b m}的前m项和S m．解解：（1）∵，答：∴，两式相减得，…（2分）整理得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵数列{a n}的各项均为正数，∴a n﹣a n﹣1=2，n≥2，∴{a n}是公差为2的等差数列，…（4分）又得a1=1，∴a n=2n﹣1．…（5分）（2）由题意得，∵，∴=…（8分）∴…（10分）（3）对任意m∈N+，2m＜2n﹣1＜22m，则，而n∈N*，由题意可知，…（12分）于是=，即．…（16分）点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，考查数列的前m 项和的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用． 19．（16分）定义在实数集上的函数f （x ）满足下列条件：①f（x ）是偶函数；②对任意非负实数x 、y ，都有f （x+y ）=2f （x ）f （y ）；③当x ＞0时，恒有．（1）求f （0）的值；（2）证明：f （x ）在[0，+∞）上是单调增函数；（3）若f （3）=2，解关于a 的不等式f （a 2﹣2a ﹣9）≤8． 考点： 抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析：（1）令x=0，y=1，易由f （x+y ）=2f （x ）f （y ）求出f （0）的值； （2）设0≤x 1＜x 2，根据当x ＞0时，恒有及f （x ）是偶函数，结合函数单调性的定义可判断出f （x ）在[0，+∞）上是单调增函数；（3）令x=y=3，则f （6）=8，由（2）中函数的单调性，可将抽象不等式具体为|a 2﹣2a ﹣9|≤6，解绝对值不等式可得答案． 解答： 解：（1）解：令x=0，y=1， 则f （1）=2f （0）•f（1），∵，∴．…（4分）（2）∵当x ＞0时，恒有，又f （x ）是偶函数， ∴当x ＜0时，，又，f （x ）＞0恒成立．…（6分）设0≤x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0，，∴f（x 2）=2f （x 1）f （x 2﹣x 1）＞f （x 1），…（9分） ∴f（x ）在[0，+∞）上是单调增函数．…（10分）（3）令x=y=3，则f （6）=2f 2（3）=8，…（12分）∴f（a2﹣2a﹣9）=f（|a2﹣2a﹣9|）≤f（6），由f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，得|a2﹣2a﹣9|≤6，…（14分）即，解得，∴﹣3≤a≤﹣1或3≤a≤5．…16 分点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的判断与证明，函数单调性的性质，熟练掌握抽象函数“凑”的思想是解答的关键，本题难度中档．20．（16分）设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d是奇函数，且当时，f（x）取得极小值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求使得方程仅有整数根的所有正实数n的值；（3）设g（x）=|f（x）+（3t﹣1）x|，（x∈[﹣1，1]），求g（x）的最大值F（t）．考点：利用导数研究函数的单调性；函数解析式的求解及常用方法；函数的零点．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）由f（x）为奇函数，知b=d=0，由及，知a=﹣1，c=1，由此能求出f（x）．（2）由方程，知x2﹣nx+4n=0，由方程仅有整数解，知n为整数，由x2=n（x﹣4）及n＞0知，x﹣4＞0，由此能求出n．（3）由g（x）=|x3﹣3tx|，x∈[﹣1，1]是偶函数，知只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可．构造函数h（x）=x3﹣3tx，利用导数性质能求出g（x）的最大值F（t）．解答：解：（1）∵f（x）为奇函数，∴b=d=0，…（2分）又由及，得a=﹣1，c=1，∴f（x）=﹣x3+x．…（4分）当时，f'（x）＜0，当时f'（x）＞0，∴f（x）在时取得极小值，∴f（x）=﹣x3+x为所求．…（5分）（2）方程，化简得：x2﹣nx+4n=0，因为方程仅有整数解，故n为整数，又由x2=n（x﹣4）及n＞0知，x﹣4＞0．…（7分）又，故x﹣4为16的正约数，…（9分）所以x﹣4=1，2，4，8，16，进而得到n=16，18，25．…（10分）（3）因为g（x）=|x3﹣3tx|，x∈[﹣1，1]是偶函数，所以只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可．记h（x）=x3﹣3tx，∵h'（x）=3x2﹣3t=3（x2﹣t），①t≤0时，h'（x）≥0，h（x）在[0，1]上单调增且h（x）≥h（0）=0．∴g（x）=h（x），故F（t）=h（1）=1﹣3t．…（12分）②t＞0时，由h'（x）=0得，，和，i．当即t≥1时，h（x）在[0，1]上单调减，∴h（x）≤h（0）=0，故g（x）=﹣h（x），F（t）=﹣h（1）=3t﹣1．…（14分）ii．当即0＜t＜1时，h（x）在单调减，单调增，（Ⅰ）当，即时，，∴，（Ⅱ）当，即时，，∴F（t）=h（1）=1﹣3t，综上可知，．…（16分）点评：本题考查函数的解析式的求法，考查所有正实数值的求法，考查函数的最大值的求法，解题时时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．。
苏教版-常州市2012-2013学年第一学期期中数学试卷
常州2012～2013学年第一学期阶段性质量调研八年级数学试题一、填空题(每小题2分，共20分)1．16的平方根是 ，38－的相反数是 . 2．|32|-＝ .3．某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为 cm .4．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，且BE 平分∠ABC ，则∠A ＝ °.5．已知AD 是等边△ABC 的高，BE 是AC 边的中线，AD 与BE 交于F ，则∠AFE ＝ °. 6．△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，则AB 边上的中线CE ＝ ，AB 边上的高CD ＝ .7．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝60°，AD ＝4，BC ＝7，则梯形ABCD 的周长是 ．8．一个正数的平方根为3x +1与x +2，则x ＝ . 9．如图，在□ABCD 中，∠ODA ＝90°，AC ＝26cm ，BD ＝10cm ，则AD ＝ cm .10．如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，直角边BC ＝2，现将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则阴影部分的面积等于 .二、选择题（每小题3分，共18分）1122,0.10100100017π-⋅⋅⋅中，无理数的个数是 --------------------------- 【 】A . 2B . 3C . 4D . 512．下列图形中不是轴对称图形的是 ------------------------------------------------------------------ 【 】A ．B ．C ．D ．第4题图DAE CBABCD第7题图AE F第5题图 2012.11OAB CD第9题图第10题图13．下列三角形：①有两个角等于60°； ②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每 个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有 ------------------------------------------------------------------------ 【 】 A ．①②③ B ．①②④C ．①③D ．①②③④14．在下列三角形中，如果AB ＝AC ，不能被一条直线分成两个三角形都是等腰三角形的是-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【 】三、解答题（第17题每小题4分，第18题5分，共17分） 17．求下列等式中的x 的值 ⑴ 228x =⑵ 2(5)160x -=＋四．作图题（19题10分，20题4分，共14分）Array 19．如图是一个由25个边长为1的小正方形组成的5×5网格，每一个小正方形的顶点叫一个格点．△ABC为格点三角形。
江苏省南通中学2012-2013学年高三数学上学期期中试卷 理(解析版)苏教版
2012-2013学年江苏省南通中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（每小题5分，共70分）1．（5分）已知集合A={x||x﹣3|≤1}，B={x|x2﹣5x+4≥0}，则A∩B={4} ．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据题意，解|x﹣3|≤1可得2≤x≤4，即可得集合A，解x2﹣5x+4≥0可得集合B，由交集的定义，即可得答案．解答：解：根据题意，对于集合A，|x﹣3|≤1⇔2≤x≤4，则A={x|2≤x≤4}，对于集合B，由x2﹣5x+4≥0⇔x≤1或x≥4，则B={x|x≤1或x≥4}，则A∩B={4}，故答案为{4}．点评：本题考查集合交集的计算，关键是正确解出不等式，得到集合A、B．2．（5分）已知a，b，c∈R，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3 ．考点：四种命题．专题：综合题．分析：若原命题是“若p，则q”的形式，则其否命题是“若非p，则非q”的形式，由原命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”，根据否命题的定义给出答案．解答：解：：根据四种命题的定义，命题“若a+b+c=3，则a2+b2+c2≥3”的否命题是“若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3”故答案为：若a+b+c≠3，则a2+b2+c2＜3点评：本题考查的知识点是四种命题，熟练掌握四种命题的定义及相互之间的关系是解答本题的关键．3．（5分）已知，则= ．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：根据诱导公式可知=sin（﹣α﹣），进而整理后，把sin（α+）的值代入即可求得答案．解答：解：=sin（﹣α﹣）=﹣sin（α+）=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．属基础题．4．（5分）函数y=x﹣2lnx的单调减区间为（0，2）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间，可以先算出函数f（x）=x﹣2lnx 的导数，再解不等式f′（x）＜0，可得出函数的单调减区间．解答：解：求出函数f（x）=x﹣2lnx的导数：而函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间由f′（x）＜0，得（0，2）因为函数的定义域为（0，+∞）所以函数的单调减区间为（0，2）故答案为：（0，2）点评：本题的考点是利用导数研究函数的单调性，解题的关键是求导函数，在做题时应该避免忽略函数的定义域而导致的错误．5．（5分）已知||=，||=3，和的夹角为45°，若向量（λ+）⊥（+λ），则实数λ的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先利用两个向量的数量积的定义求出•的值，再由两个向量垂直的性质可得（λ+）•（+λ）=0，解方程求得实数λ的值．解答：解：∵已知||=，||=3，和的夹角为45°，∴•=•3cos45°=3．由向量（λ+）⊥（+λ），可得（λ+）•（+λ）=0，即λ+（λ2+1）+λ=0，即2λ+3（λ2+1）+9λ=0，解得λ=，故答案为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于中档题．6．（5分）设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，则f（2012）﹣f（2013）= ．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）=0；对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），可得函数的周期为4，由此可得结论．解答：解：由题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0∵对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），∴函数的周期为4，∴f（2012）=f（4×503）=f（0）=0∵当x∈（﹣2，0）时，f（x）=2x，∴f（﹣1）=，∴f（1）=﹣∴f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=﹣∴f（2012）﹣f（2013）=故答案为：点评：本题考查函数的奇偶性与周期性，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分），设{a n}是正项数列，其前n项和S n满足：4S n=（a n﹣1）（a n+3），则数列{a n}的通项公式a n= 2n+1 ．考点：数列的概念及简单表示法．分析：把数列仿写一个，两式相减，合并同类型，用平方差分解因式，约分后得到数列相邻两项之差为定值，得到数列是等差数列，公差为2，取n=1代入4S n=（a n﹣1）（a n+3）得到首项的值，写出通项公式．解答：解：∵4S n=（a n﹣1）（a n+3），∴4s n﹣1=（a n﹣1﹣1）（a n﹣1+3），两式相减得整理得：2a n+2a n﹣1=a n2﹣a n﹣12，∵{a n}是正项数列，∴a n﹣a n﹣1=2，∵4S n=（a n﹣1）（a n+3），令n=1得a1=3，∴a n=2n+1，故答案为：2n+1．点评：数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．8．（5分）已知命题p：在x∈（﹣∞，0]上有意义，命题q：函数y=lg （ax2﹣x+a）的定义域为R．如果p和q有且仅有一个正确，则a的取值范围（﹣∞，]∪（1，+∞）．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数在x∈（﹣∞，0]上有意义可得p；由函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．可得ax2﹣x+a＞0恒成立，结合二次函数的性质可求q，而p和q有且仅有一个正确即是①p正确而q不正确，②q正确而p不正确，两种情况可求a 的范围解答：解：x∈（﹣∞，0]时，3x∈（0，1]，∵函数在x∈（﹣∞，0]上有意义，∴1﹣a•3x≥0，∴a≤，∴a≤1，即使p正确的a的取值范围是：a≤1．（2分）由函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．可得ax2﹣x+a＞0恒成立（1）当a=0时，ax2﹣x+a=﹣x不能对一切实数恒大于0．（2）当a≠0时，由题意可得，△=1﹣4a2＜0，且a＞0∴a＞．故q正确：a＞．（4分）①若p正确而q不正确，则，即a≤，（6分）②若q正确而p不正确，则，即a＞1，（8分）故所求的a的取值范围是：（﹣∞，]∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，]∪（1，+∞）．点评：本题考查命题的真假判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的定义域的合理运用．9．（5分）设函数y=sinx（0≤x≤π）的图象为曲线C，动点A（x，y）在曲线C上，过A 且平行于x轴的直线交曲线C于点B（A、B可以重合），设线段AB的长为f（x），则函数f（x）单调递增区间[] ．考点：正弦函数的图象；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：依题意，对x∈[0，]与x∈[，π]讨论即可．解答：解：依题意得f（x）=|AB|，（0≤|AB|≤π）．当x∈[0，]时，|AB|由π变到0，∴[0，]为f（x）单调递减区间；当当x∈[，π]时，|AB|由0变到π，∴[，π]为f（x）单调递增区间．故答案为：[，π]．点评：本题考查正弦函数的图象与性质，考查数形结合思想与分析问题的能力，属于中档题．10．（5分）（2010•苏州模拟）当时，恒成立，则实数a的取值范围是．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：由题意当时，恒成立，可得﹣≤ax﹣2x3≤，化为两个恒成立问题，从而求解．解答：解：∵当时，恒成立，∴﹣≤ax﹣2x3≤，∴ax﹣2x3+≥0和ax﹣2x3﹣≤0，在[0，]上恒成立；∴，下求出2x2﹣的最大值和2x2+的最小值，∵，∵2x2﹣在上增函数，∴2x2﹣≤2×﹣1=﹣，∴a≥﹣；∵，∵2x2+≥2×+1=，∴a≤，∴，故答案为：．点评：此题考查绝对值不等式的性质及函数的恒成立问题，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意函数的增减性．11．（5分）已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线，则实数a的取值范围是．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分由直线y=﹣x+b得直线斜率为﹣1，直线y=﹣x+b不与曲线f（x）相切知曲线f（x）析：上任一点斜率都不为﹣1，即f′（x）≠﹣1，求导函数，并求出其范围[﹣3a，+∞），得不等式﹣3a＞﹣1，即得实数a的取值范围．解答：解：设f（x）=x3﹣3ax，求导函数，可得f′（x）=3x2﹣3a∈[﹣3a，+∞），∵存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线，∴﹣1∉[﹣3a，+∞），∴﹣3a＞﹣1，即实数a的取值范围为故答案为：点评：本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12．（5分）（2008•辽宁）设，则函数的最小值为．考点：三角函数的最值．专题：计算题；压轴题．分析：先根据二倍角公式对函数进行化简，然后取点A（0，2），B（﹣sin2x，cos2x）且在x2+y2=1的左半圆上，将问题转化为求斜率的变化的最小值问题，进而看解．解答：解：∵，取A（0，2），B（﹣sin2x，cos2x）∈x2+y2=1的左半圆，如图易知．故答案为：．点评：本小题主要考查二倍角公式的应用和三角函数的最值问题．考查知识的综合运用能力和灵活能力．13．（5分）设实数a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，3a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=c，这时，实数a的取值的集合为{3} ．考点：对数的运算性质．专函数的性质及应用．题：分析：由题意可得x＞0，y＞0，，作出其图象如图所示，进而得出及a＞1，c只有一个值．解出即可．解答：解：∵log a x+log a y=c，∴x＞0，y＞0，．（a＞1），作出其函数图象：由图象可以看出：函数在区间[a，3a]上单调递减，∴必有及a＞1，c只有一个值．解得c=3，a=3．适合题意．∴实数a的取值的集合为{3}．点评：由题意确定函数的单调性和画出其图象是解题的关键．14．（5分）已知函数，把函数g（x）=f（x）﹣x+1的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和S n，则S10= 45 ．考点：数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：函数y=f（x）与y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…，（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…，可得数列通项公式．解答：解：当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1＜0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1，当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1，当2＜x≤3时，有1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2，当3＜x≤4时，有2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3，以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．然后：①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象，取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：0，1，2，3，4，…，其通项公式为：a n=n﹣1，前n项的和为 S n=，∴S10=45．故答案为：45．点评：本题考查了数列递推公式的灵活运用，解题时要注意分类讨论思想和归纳总结；本题属于较难的题目，要细心解答．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（12分）（2009•江苏）设向量（1）若与垂直，求tan（α+β）的值；（2）求的最大值；（3）若tanαtanβ=16，求证：∥．考点：平面向量数量积坐标表示的应用；平行向量与共线向量；两向量的和或差的模的最值．专题：综合题．分析：（1）先根据向量的线性运算求出，再由与垂直等价于与的数量积等于0可求出α+β的正余弦之间的关系，最后可求正切值．（2）先根据线性运算求出，然后根据向量的求模运算得到||的关系，最后根据正弦函数的性质可确定答案．（3）将tanαtanβ=16化成弦的关系整理即可得到（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，正是∥的充要条件，从而得证．解答：解：（1）∵=（sinβ﹣2cosβ，4cosβ+8sinβ），与垂直，∴4cosα（sinβ﹣2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ﹣sinαsinβ），∴sin（α+β）=2cos（α+β），∴tan（α+β）=2．（2）∵=（sinβ+cosβ，4cosβ﹣4sinβ），∴||==，∴当sin2β=﹣1时，||取最大值，且最大值为．（3）∵tanαtanβ=16，∴，即sinαsinβ=16cosαcosβ，∴（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，即=（4cosα，sinα）与=（sinβ，4cosβ）共线，∴∥．点评：本题主要考查向量的线性运算、求模运算、向量垂直和数量积之间的关系．向量和三角函数的综合题是高考的热点，要强化复习．16．（14分）已知函数f（log a x）=，其中a＞0且a≠1．（1）求函数f（x）的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）对于函数f（x），当x∈（﹣1，1）时，f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求实数m的取值范围；（3）当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣6的值恒为负数，求函数a的取值范围．考奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．点：函数的性质及应用．专题：分析：（1）根据对数式与相应指数式的关系，由函数f（log a x）=，将括号中对应的对数式化为x后，解析式中x要化为a x，求出解析式后，可根据奇偶性的定义及导数法，求出函数的奇偶性和单调性；（2）根据（1）中函数的性质，及x∈（﹣1，1）可将不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，化为﹣1＜1﹣m＜1﹣m2＜1，进而得到实数m的取值范围；（3）由当x∈（﹣∞，2）时，f（x）﹣6的值恒为负数，根据函数的单调性可得f （2）﹣6≤0整理可得a的取值范围．解答：解：（1）由f（log a x）=，得，…2’因为定义域为R，=﹣f（x）所以f（x）为奇函数，…4’因为，当0＜a＜1及a＞1时，f′（x）＞0，所以f（x）为R上的单调增函数；…6’（2）由f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，得f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2）=f（m2﹣1），，又x∈（﹣1，1），则﹣1＜1﹣m＜1﹣m2＜1，得1＜m＜；…10’（3）因为f（x）为R上的单调增函数，所以当x∈（0，2）时，f（x）﹣6的值恒为负数，所以f（x）﹣6＜0恒成立，则f（2）﹣6=≤0，…12’整理得a2﹣6a+1≤0，所以≤a≤，又a＞0且a≠1，所以实数a的取值范围是[，1）∪（1，≤]．…14’点本题是函数奇偶性与单调性的综合应用，特别是后面抽象不等式及恒成立问题，难评：度较大．17．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=2﹣a n，n=1，2，3，…．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=1，且b n+1=b n+a n，求数列{b n}的通项公式；（3）设c n=n （3﹣b n），求数列{c n}的前n项和为T n．考点：数列的求和；数列的函数特性；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：（1）利用数列中a n与 Sn 关系解决．（2）结合（1）所求得出b n+1﹣b n =．利用累加法求b n（3）由上求出c n=n （3﹣b n）=，利用错位相消法求和即可．解答：解：（1）因为n=1时，a1+S1=a1+a1=2，所以a1=1．因为S n=2﹣a n，即a n+S n=2，所以a n+1+S n+1=2．两式相减：a n+1﹣a n+S n+1﹣S n=0，即a n+1﹣a n+a n+1=0，故有2a n+1=a n．因为a n ≠0，所以=（ n∈N*）．所以数列{a n}是首项a1=1，公比为的等比数列，a n =（ n∈N*）．（2）因为b n+1=b n+a n（ n=1，2，3，…），所以b n+1﹣b n =．从而有b2﹣b1=1，b3﹣b2=，b4﹣b3=，…，b n﹣b n﹣1=（ n=2，3，…）．将这n﹣1个等式相加，得b n﹣b1=1+++…+==2﹣．又因为b1=1，所以b n=3﹣（ n=1，2，3，…）．（3）因为c n=n （3﹣b n）=，所以T n=．①=．②①﹣②，得=﹣．故T n=﹣=8﹣﹣=8﹣（ n=1，2，3，…）．点评：本题考查利用数列中a n与 Sn关系求数列通项，累加法、错位相消法求和，考查转化、变形构造、计算能力．18．（16分）（2010•盐城三模）某广告公司为2010年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分所示．其上部分是以AB为直径的半圆，点O为圆心，下部分是以AB为斜边的等腰直角三角形，DE，DF是两根支杆，其中AB=2米，∠EOA=∠FOB=2x（0＜x＜）．现在弧EF、线段DE与线段DF上装彩灯，在弧AE、弧BF、线段AD与线段BD上装节能灯．若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为2k，节能灯的比例系数为k（k＞0），假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y是所有灯“心悦效果”的和．（1）试将y表示为x的函数；（2）试确定当x取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．考点：在实际问题中建立三角函数模型；三角函数的最值．专题：计算题；新定义．分析：（1）由题意知，建立三角函数模型，根据所给的条件看出要用的三角形的边长和角度，用余弦定理写出要求的边长，表述出函数式，整理变化成最简的形式，得到结果．（2）要求函数的单调性，对上一问整理的函数式求导，利用导数求出函数的单增区间和单减区间，看出变量x取到的结果．解答：解：（1）∵∠EOA=∠FOB=2x，∴弧EF、AE、BF的长分别为π﹣4x，2x，2x连接OD，则由OD=OE=OF=1，∴，∴=；（2）∵由，解得，即，又当时，y'＞0，此时y在上单调递增；当时，y'＜0，此时y在上单调递减．故当时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳．点评：本题是一道难度较大的题，表现在以下几个方面第一需要自己根据条件建立三角函数模型写出解析式，再对解析式进行整理运算，得到函数性质，这是一个综合题，解题的关键是读懂题意．19．（16分）（2013•绵阳二模）已知函数f（x）=x3﹣2x2+3x（x∈R）的图象为曲线C．（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数与方程的综合运用．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）根据（1）可知k与﹣的取值范围，从而可求出k的取值范围，然后解不等式可求出曲线C的切点的横坐标取值范围；（3）设存在过点A（x1，y1）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x2，y2），x1≠x2，分别求出切线，由于两切线是同一直线，建立等式关系，根据方程的解的情况可得是符合条件的所有直线方程．解答：解：（1）f'（x）=x2﹣4x+3，则f′（x）=（x﹣2）2﹣1≥﹣1，即曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围是[﹣1，+∞）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）由（1）可知，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）解得﹣1≤k＜0或k≥1，由﹣1≤x2﹣4x+3＜0或x2﹣4x+3≥1得：x∈（﹣∞，2﹣]∪（1，3）∪[2+，+∞）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）设存在过点A（x1，y1）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x2，y2），x1≠x2，则切线方程是：y﹣（﹣2+3x1）=（﹣4x1+3）（x﹣x1），化简得：y=（﹣4x1+3）x+（﹣+2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）而过B（x2，y2）的切线方程是y=（﹣4x1+3）x+（﹣+2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（，由于两切线是同一直线，则有：﹣4x1+3=﹣4x1+3，得x1+x2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）又由﹣+2=﹣+2，即﹣（x1﹣x2）（+x1x2+）+（x1﹣x2）（x1+x2）=0﹣（+x1x2+）+4=0，即x1（x1+x2）+﹣12=0即（4﹣x2）×4+﹣12=0，﹣4x2+4=0得x2=2，但当x2=2时，由x1+x2=4得x1=2，这与x1≠x2矛盾．所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分）点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及互相垂直的直线的斜率关系，同时考查了运算能力，属于中档题．20．（16分）已知数列{a n}，{b n}满足b n=a n+1﹣a n，其中n=1，2，3，…．（Ⅰ）若a1=1，b n=n，求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n+1b n﹣1=b n（n≥2），且b1=1，b2=2．（ⅰ）记c n=a6n﹣1（n≥1），求证：数列{c n}为等差数列；（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a1应满足的条件．考点：数列递推式；等差关系的确定．专题：计算题；压轴题；分类讨论．分析：（Ⅰ）根据数列的基本性质以及题中已知条件便可求出数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）（ⅰ）先根据题中已知条件推导出b n+6=b n，然后求出c n+1﹣c n为定值，便可证明数列{c n}为等差数列；（ⅱ）数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列，然后分别讨论当时和当时，数列是否满足题中条件，便可求出a1应满足的条件．解答：解：（Ⅰ）当n≥2时，有a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）=a1+b1+b2+…+b n﹣1（2分）=．（3分）又因为a1=1也满足上式，所以数列{a n}的通项为．（4分）（Ⅱ）由题设知：b n＞0，对任意的n∈N*有b n+2b n=b n+1，b n+1b n+3=b n+2得b n+3b n=1，于是又b n+3b n+6=1，故b n+6=b n（5分）∴b6n﹣5=b1=1，b6n﹣4=b2=2，b6n﹣3=b3=2，b6n﹣2=b4=1，（ⅰ）c n+1﹣c n=a6n+5﹣a6n﹣1=b6n﹣1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4=（n≥1），所以数列{c n}为等差数列．（7分）（ⅱ）设d n=a6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}），所以d n+1﹣d n=a6n+6+i﹣a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=7（n≥0）所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列．（9分）设，（其中n=6k+i（k≥0），i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），当时，对任意的n=6k+i 有=；（10分）由，i∈{1，2，3，4，5，6}知；此时重复出现无数次．当时，=①若，则对任意的k∈N有f k+1＜f k ，所以数列为单调减数列；②若，则对任意的k∈N有f k+1＞f k ，所以数列为单调增数列；（12分）（i=1，2，3，4，5，6）均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多各出现一次，即数列中任意一项的值最多出现六次．综上所述：当时，数列中必有某数重复出现无数次．当a1∉B 时，数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．（14分）点评：本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时分类讨论思想和转化思想的运用，属于中档题．三、（理科附加题）21．（2012•西山区模拟）自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．专题：计算题．分析：根据MA为圆O的切线，由切割线定理得MA2=MB•MC．从而MP2=MB•MC．依据相似三角形的判定方法得：△BMP∽△PMC得出∠MPB=∠MCP．最后在△MCP中，即得∠MPB．解答：选修4﹣1：几何证明选讲，解：因为MA是圆O的切线，所以MA2=MB•MC（2分）又M是PA的中点，所以MP2=MB•MC因为∠BMP=∠PMC，所以△BMP∽△PMC（6分）于是∠MPB=∠MCP，在△MCP中，由∠MPB+∠MCP+∠BPC+∠BMP=180°，即100°+2∠MPB+40°=180°；得∠MPB=20°（10分）点评：本题考查了圆当中的比例线段，以及三角形相似的有关知识点，属于中档题．找到题中的相似三角形来得到角的相等，是解决本题的关键．22．（2009•盐城一模）如图，已知OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是线段OA上一点，直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交直线OA于点E，求证：∠OBP+∠AQE=45°．考点：圆周角定理．专题：证明题．分析：本题考查的知识点是圆周角定理，要证明：∠OBP+∠AQE=45°，我们可以连接AB，然后根据圆周角定理，得到∠OBP+∠AQE=∠OBP+∠ABP=∠AQE，进行得到结论．解答：证明：连接AB，则∠AQE=∠ABP，而OA=OB，所以∠ABO=45°所以∠OBP+∠AQE =∠OBP+∠ABP=∠ABO=45°点评：根据求证的结论，使用分析推敲证明过程中所需要的条件，进而分析添加辅助线的方法，是平面几何证明必须掌握的技能，大家一定要熟练掌握，而在（2）中根据已知条件分析转化的方向也是解题的主要思想．解决就是寻找解题的思路，由已知出发，找寻转化方向和从结论出发寻找转化方向要结合在一起使用．23．（2011•许昌三模）选修4﹣1：几何证明选讲如图：⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O 于点E，连接BE与AC交于点F．（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：（1）BE平分∠ABC．由已知中边的相等，可得∠CAD=∠D，∠ABC=∠ACB，再利用同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD=∠D=∠DBE，即有∠ABE+∠EBD=∠CAD+∠D，利用等量减等量差相等，可得∠EBD=∠D=∠ABE，故得证．（2）由（1）中的所证条件∠ABE=∠FAE，再加上两个三角形的公共角，可证△BEA∽△AEF，利用比例线段可求EF．解答：解：（1）BE平分∠ABC；证明：∵AC=CD，∴∠CAD=∠ADC∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD…（2分）又∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB=2∠CAD∵∠CAD=∠EBC，∴∠ABC=2∠EBC∴BE平分∠ABC；…（5分）（2）连接EC，由（1）BE平分∠ABC∴E是弧AC的中点∴AE=EC=6又∠EBC=∠CAD=∠ADC∴ED=BD=8…（7分）∵A、B、C、E四点共圆∴∠CED=∠ABC=∠ACB=∠AEF∴△AEF∽△DEC∴∴…（10分）点评：本题考查了圆周角定理，以及等腰三角形的性质，等边对等角，角平分线的判定，还有相似三角形的判定和性质等知识．本题解题的关键是正确读图，做题时最好自己作图以帮助理解题意．24．某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是16 ．（用数字作答）考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：分类讨论，报考的3所中，不含考试时间相同的两所与含考试时间相同的两所中的一个，利用分类计数原理，可得结论．解答：解：由题意分两种情况：若报考的3所中，不含考试时间相同的两所，则有C43=4种报考方法，若报考的3所中，含考试时间相同的两所中的一个，则有C21•C42=12种报考方法，由分类计数原理，可得该学生不同的报考方法种数12+4=16种，故答案为：16点评：本题考查组合的运用，考查分类计数原理，属于基础题．25．（2011•扬州三模）理科附加题：已知展开式的各项依次记为a1（x），a2（x），a3（x），…a n（x），a n+1（x）．设F（x）=a1（x）+2a2（x）+3a3（x），…+na n（x）+（n+1）a n+1（x）．（Ⅰ）若a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次成等差数列，求n的值；（Ⅱ）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）﹣F（x2）|≤2n﹣1（n+2）．考点：二项式定理；等差数列的性质．专题：证明题；综合题．分析：（I）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出前三项的系数，据a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次成等差数列，列出方程求出n的值．（II）先利用到序相加法求出F（2）﹣F（0）的值，利用导数判断出F（x）的单调性，得证．解答：解：（Ⅰ）依题意，k=1，2，3，…，n+1，a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次为C n0=1，，，所以，解得n=8；（Ⅱ）F（x）=a1（x）+2a2（x）+3a3（x），…+na n（x）+（n+1）a n+1（x）=F（2）﹣F（0）=2C n1+3C n2…+nC n n﹣1+（n+1）C n n设S n=C n0+2C n1+3C n2…+nC n n﹣1+（n+1）C n n，则S n=（n+1）C n n+nC n n﹣1…+3C n2+2C n1+C n0考虑到C n k=C n n﹣k，将以上两式相加得：2S n=（n+2）（C n0+C n1+C n2…+C n n﹣1+C n n）所以S n=（n+2）2n﹣1所以F（2）﹣F（0）=（n+2）2n﹣1﹣1又当x∈[0，2]时，F'（x）≥0恒成立，从而F（x）是[0，2]上的单调递增函数，所以对任意x1，x2∈[0，2]，|F（x1）﹣F（x2）|≤F（2）﹣F（0）═（n+2）2n﹣1﹣1＜（n+2）2n﹣1．点评：解决二项展开式的特定项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式；求数列的前n 项和问题关键是利用数列的通项公式的形式，选择合适的方法．。
江苏省常州二中2013届高三10月综合练习数学试题
常州二中2013高三文科周末综合练习2012-10—13一、填空题：本大题共14小题，每小题5共70分。
请把答案填写在答题．．卷．相应的位置上．．．．．．.1．321i i+-的值等于______.2．如图所示的流程图中，输出的结果是______.3．设数列{}na 是等差数列， 12324a a a ++=-, 1926a =, 则此数列{}na 前20项和等于____.4．平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)=a ,1=b ，则+=a b ______。
5．函数xy xe =的最小值是______.6．计算121(lg lg 25)100=4--÷______。
7．已知}02,0,4|),{(},0,0,6|),{(≥-≥≤=≥≥≤+=Ωy x y x y x A y x y x y x ，若向区域Ω上随机投一点P,则点P 落入区域A 的概率为______。
8．将函数2sin(2)3y x π=+的图像向左平移至少 个单位,可得一个偶函数的图像．9．对于∆ABC ，有如下四个命题：①若sin 2sin 2A B = ，则∆ABC 为等腰三角形, ②若sin cos B A =，则∆ABC 是直角三角形③若222sin sin sin A B C +>,则∆ABC 是钝角三角形④若coscoscos222a b c A B C ==， 则∆ABC 是等边三角形其中正确的命题个数是______.（第3题图）10．对于函数()f x ，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为()f x 的＂下确界＂,则函数15()14,(,)544f x x x x=-+∈-∞-的＂下确界＂等于______.11．已知2b是1-a 和1+a 的等比中项，则a +4b 的取值范围是______。
12．设G 是ABC ∆的重心，且0)sin 35()sin 40()sin 56(=++GC C GB B GA A ,则角B 的大小为______.13．已知函数3()(,,)1bx c f x a b c a >0ax +=∈+R,是奇函数,若()f x 的最小值为12-,且2(1)5f >，则b 的取值范围是__________．14．设函数2()sin (,)3sin f x x m x R m R x=++∈∈+最大值为()g m ，则()g m 的最小值为二、解答题15．已知向量(sin ,2)a θ=-与(1,cos )b θ=互相垂直，其中(0,)2πθ∈．（1）求sin θ和cos θ的值； （2）若sin()(0,)2πθϕϕ-=∈,求cos ϕ的值．16． 如图的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， △ACD 为等边三角形，22AD DE AB ===，F为CD 的中点． （1)求证：//AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE 。
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2012-2013学年江苏省常州高级中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应位置上．1．（5分）已知复数，（m∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则m的值是﹣1．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：化简复数z为a+bi（a、b为实数）的形式，它是纯虚数，实部=0，虚部≠0求出m即可．解答：解：复数，它是纯虚数，所以m=﹣1故答案为：﹣1点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，是基础题．2．（5分）（2011•南京模拟）设集合，则A∪B={x|﹣1＜x＜1}．考点：并集及其运算．分析：集合A为指数不等式的解集，可利用指数函数的单调性求解；集合B为分式不等式的解集，可用穿根法或转化为二次不等式解决．解答：解：=；，故A∪B={x|﹣1＜x＜1}故答案为：{x|﹣1＜x＜1}点评：本题考查解指数不等式和分式不等式、以及集合的概念、运算等，属基本题．3．（5分）函数的单调递增区间是[0，]．考点：正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：依题意，可求得2x+的范围，利用正弦函数的单调性即可求得f（x）的单调递增区间．解答：解：∵0≤x≤，∴≤2x+≤，由≤2x+≤得：0≤x≤．故f（x）的单调递增区间为[0，]．故答案为：[0，]．点评：本题考查正弦函数的单调性，求得2x+的范围，再利用正弦函数的单调性是关键，属于中档题．4．（5分）过点（1，0）且倾斜角是直线2x+3y+3=0的倾斜角的两倍的直线方程是12x+5y﹣12=0．考点：直线的点斜式方程．专题：计算题．k===y=5．（5分）右边是根据所输入的x值计算y值的一个算法程序，若x依次取数列（n∈N+）中的前200项，则所得y值中的最小值为1．：图表型．数，即y=1+|x|的函数值，由x依次取数列（n∈N+）中的前200项，则该程序的作用是计算分段函数，6．（5分）设ω＞0，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是．函数的图象向右平移个单位后与原图象重合可判断出解：∵函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，=n××，又ω＞0，故其最小值是故答案为征与解析式中系数的关系，由此得出关于参数的方程求出参数的值，本题重点是判断出是周期7．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）8．（5分）设点P是曲线上的任意一点，点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围为 [0°，90°]∪[120°，180°）．是曲线∵∴y'=3x2﹣2﹣k9．（5分）若，则a的取值范围是＜a＜或a＜﹣1．y=解：∵，y=在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调或或解之得＜a＜或a＜﹣1．故答案为：＜＜10．（5分）如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l3与l2间的距离是2，正△ABC的三顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长是．BD==故答案为：11．（5分）已知△ABC中，AB边上的中线CM=2，若动点P满足，则的最小值是﹣2．而而故又解：由题意可得：，又=，故=2=2，由基本不等式可得：≤≥12．（5分）（2010•扬州模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若（a2﹣1）3+2010（a2﹣1）=1，（a2009﹣1）3+2010（a2009﹣1）=﹣1，则下列四个命题中真命题的序号为②③．①S2009=2009；②S2010=2010；③a2009＜a2；④S2009＜S2．2200922009，而13．（5分）已知关于x的实系数一元二次不等式ax2+bx+c≥0（a＜b）的解集为R，则的最小值是8．，由换元法，令，结合基本不等式分析可得答对于可得，，（当且仅当14．（5分）已知二次函数f（x）=x2﹣x+k，k∈Z，若函数g（x）=f（x）﹣2在上有两个不同的零点，则的最小值为．在，值域，再将的最小值．在[，=2时取等号，∉[∴当f （x ）=时，的最小值为．故答案为：点评： 本小题主要考查二次函数的性质、函数的零点、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（10分）已知函数．（1）求f （x ）的最小正周期和值域； （2）若x=x为f （x ）的一个零点，求sin2x 0的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换． 专题：计算题． 分析： （1）利用三角函数的恒等变换化简函数f （x ）的解析式为 ，由此求得最小正周期和值域． （2）由 求得，根据x 0的范围可得2x 0﹣的范围，从而求出，再利用二倍角公式、两角和的正弦公式求出sin2x 0的值．解答：解：（1）易得===，所以f （x ）周期π，值域为；（2）由，得，又由得， 所以，故，此时，===．点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域、周期性，二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，属于中档题． 16．（10分）（2010•盐城三模）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，试求的最小值．（Ⅰ）∵，（Ⅱ）∵+c+ac≥3ac，即ac≤4∴=，的最小值为﹣17．（15分）（2005•上海）已知函数f（x）=x+的定义域为（0，+∞），且f（2）=2+．设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．（1）求a的值．（2）问：|PM|•|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．：综合题；压轴题；数形结合；转化思想．=2+（2）先设点P的坐标为（x0，y0），则有y0=x0+，x0＞0，再由点到直线的距离公式求得|PM|，|PN|=2+，∴．+=，=t=，∴，x．+1+．18．（15分）设函数上两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），若，且P 点的横坐标为（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；（2）若，n∈N*，求S n；（3）记T n为数列的前n项和，若对一切n∈N*都成立，试求实数a的取值范围．）可设，由，可得）知，可变形为两式相加可得到解决．）知可变形为裂项求得T n，再研究恒成立问题．解答：解：（1）设，又∵，∴，又，∴（2）由x1+x2=1，得∴，又∴，即（3）∵，∴，∴，从而，由，∴令，易证g（n）在上是增函数，在上是减函数，我且g（3）=7，g（4）=7，∴g（n）的最大值为7，即，∴点评：本题主要考查函数与数列间的渗透，两者都有规律可循经常结合为难度较大的题目，解决思路往往是通过函数的规律，由点的坐标建立数列模型来考查数列的通项或前N项和，进而设置不等式恒成立问题，考查数列的增减性或放缩的方法．19．（15分）（2011•南汇区二模）某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足，当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水口释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．（1）如果投放的药剂质量为m=4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？（2）如果投放的药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定该投放的药剂质量m的值．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）由m=4，且y=m•f（x），可得药剂在水中释放浓度y的函数；因为函数y是分段函数，在求释放浓度不低于4（即y≥4）时，要分区间去求解．（2）由函数y是分段函数，故分区间讨论函数的单调性，从而求得y的取值范围，即药剂在水中释放浓度的大小；为使最佳净化，即4≤y≤10恒成立，只要使y的取值范围在区间[4，10]内即可，从而解出m的值．解答：解：（1）因为m=4，所以y=m•f（x）=；所以，当0＜x≤4时，x+8≥4显然成立，当x＞4时，≥4，得4＜x≤8；综上知，0＜x≤8；所以，自来水达到有效净化一共可持续8天．（2）由y=m•f（x）=知，在区间（0，4]上单调递增，即2m＜y≤3m，在区间（4，7]上单调递减，即≤y＜3m，综上知，≤y≤3m；为使4≤y≤10恒成立，只要≥4，且3m≤10即可，即m=；所以，为了使在7天之内的自来水达到最佳净化，该投放的药剂量应为．点评：本题考查了分段函数模型的灵活应用；分段函数求最值时，要在每一个区间上求出最值，再通过比较，得出函数的最值．20．（15分）（2010•徐州二模）已知函数f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x（a，b不同时为零的常数），导函数为f′（x）．（1）当时，若存在x∈[﹣3，﹣1]使得f′（x）＞0成立，求b的取值范围；（2）求证：函数y=f′（x）在（﹣1，0）内至少有一个零点；（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0，关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题；证明题；压轴题；转化思想．分析：（1）当时，f′（x）==，由二次函数的性质，分类讨论可得答案；（2）因为f′（x）=3ax2+2bx+（b﹣a），所以f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，．再由a，b不同时为零，所以，故结论成立；（3）将“关于x的方程在[﹣1，t]（t＞﹣1）上有且只有一个实数根”转化为“函数f（x）与的交点”问题解决，先求函数f（x）因为f（x）=ax3+bx2+（b﹣a）x为奇函数，可解得b=0，所以f（x）=ax3﹣ax，再由“f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y﹣3=0”解得a，从而得到f （x），再求导，由，知fx时，=其对称轴为直线x=﹣b，当，解得，，+2bx+（b﹣a），∴f′（0）=b﹣a，f'（﹣1）=2a﹣b，．不同时为零，所以．因为上是増函数，时，解得；时，，解得时，，即，解得时，，故的取值范围是或。