曲线积分与曲面积分

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高等数学曲线积分与曲面积分

典
型
双侧
n
曲
面
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
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章曲线积分与曲面积分
一、主要内容二、线、面积分的基本计算法
一、对弧长的曲线积分的概念
1.定义设L为xoy面内一条光滑曲线,弧函数f (x, y)
在L上有界.用L上的点M1, M2,, Mn1把L分成n
个小段.设第i个小段的长度为si ,又(i ,i )为第
i个小段上任意取定的点一, y
i1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的直径的最大值0时, 这和式的极限存在,
则称此极限为函数f(x, y,z)在曲面上对面积
的曲面积分或第一类曲面积分.
记为 f(x,y,z)d.S

n
即 f(x,y,z)d S l i0im 1f(i, i, i) S i
其中 f(x, y,z)叫被积函数叫积，分曲.面
B
作乘积f (i ,i ) si ,
n
并作和 f (i ,i ) si ,
i1
L Mn1
(i,i) M i
M2
A M1
Mi1
o
x
如果当各小弧段长的度的最大值 0时, 这和的极限存, 在则称此极限为函f数 (x, y) 在曲线弧L上对弧长的曲线积分第或一类曲
线积分, 记作 f (x, y)ds, 即被积函数 L
n
f(x ,y,z)d sl i0im 1f(i,i,i) si.
注意：
1 . 若 L (或 )是分,段 (L L 光 1L 2)滑
f ( x ,y ) d sf ( x ,y ) d s f ( x ,y ) d . s
L 1 L 2

曲线积分和曲面积分

曲线积分：在数学中，曲线积分是积分的一种。

积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。

曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。

曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。

分类：曲线积分分为：（1）对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。

对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。

但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。

曲面积分：定义在曲面上的函数或向量值函数关于该曲面的积分。

曲面积分一般分成第一型曲面积分和第二型曲面积分。

第一型曲面积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。

第二型曲面积分物理意义来源对于给定的空间曲面和流体的流速，计算单位时间流经曲面的总流量。

第一型曲面积分：定义在曲面上的函数关于该曲面的积分。

第一型曲线积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲面，计算该曲面的质量。

第二型曲面积分：第二型曲面积分是关于在坐标面投影的曲面积分，其物理背景是流量的计算问题。

第二型曲线积分与积分路径有关，第二型曲面积分同样依赖于曲面的取向，第二型曲面积分与曲面的侧有关，如果改变曲面的侧(即法向量从指向某一侧改变为指另一侧)，显然曲面积分要改变符号，注意在上述记号中未指明哪侧，必须另外指出，第二型曲面积分有类似于第二型曲线积分的一些性质。

高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)

第十章曲线积分与曲面积分曲线积分一基本概念定义1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）（1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d lim(,)nkkkL AB T k f x y s f sλξη→==∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()()01(,,)d lim(,,)nkkkk L AB T k f x y z s f s λξηζ→==∆∑⎰其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段曲线弧长的最大值，(,)k k ξη或(,,)k k k ξηζ是第k 段弧上的任意一点。

物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线L 的质量，其中被积函数(,)f x y 或(,,)f x y z 表示曲线的线密度。

定义2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）（1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d (,)d lim[(,)(,)]nkkkk k k L AB T k P x y x Q x y y f xf y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()(,,)d (,,)d (,,)d L AB P x y z x Q x y z y R x y z z ++⎰()01lim[(,,)(,,)(,,)]nkkkk k k k k k k k k T k f x f y f z λξηζξηζξηζ→==∆+∆+∆∑其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段的最大弧长，(,)k k ξη是第k 段弧上的任意一点。

物理意义：第二类曲线积分表示变力F 沿曲线L 所作的功，被积函数(,),(,)P x y Q x y 或(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 表示力F 在各坐标轴上的分量。

二基本结论定理1 （第一类曲线积分的性质）（1）无向性()()(,)d (,)d L AB L BA f x y s f x y s =⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLk f x y s k f x y s =⎰⎰；(2)[(,)(,)]d (,)d (,)d LLLf x yg x y s f x y s g x y s ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰．（4）弧长公式d Ls L =⎰(L 表示曲线L 的弧长)．（5）恒等变换积函数可用积分曲线方程作变换．（6）奇偶性与对称性如果积分弧段()L AB 关于y 轴对称，()(,)d L AB f x y s ⎰存在，则()()0,(,)(,)d 2(,)d (,)L AB L OB f x y x f x y s f x y s f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰关于是奇函数,，关于是偶函数.其中O 点是曲线弧段()L AB 与y 轴的交点．定理2 （第二类曲线积分的性质）（1）有向性()()(,)d (,)d L AB L BA P x y x P x y x =-⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLkf x y x k f x y x =⎰⎰；(2) [(,)(,)]d (,)d (,)d L L Lf x yg x y x f x y x g x y x ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y x f x y x f x y x =+⎰⎰⎰．定理3 （第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系）()()d d d d d d d d d d L AB L AB xy z P x Q y R z P Q R s ss s ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰()(cos cos cos )d L AB P Q R s αβγ=++⎰()d L AB =⋅⎰F s其中cos ,cos ,cos αβγ是曲线AB 上的点的切线的方向余弦，且d cos d ,d cos d ,d cos d x s y s z s αβγ===一般地，积分曲线的方向余弦是变量。

曲线积分和曲面积分的物理意义

曲线积分和曲面积分的物理意义摘要：1.曲线积分概述2.曲面积分的物理意义3.曲线积分与曲面积分的联系与区别4.实际应用案例分析正文：一、曲线积分概述曲线积分是一种数学工具，用于计算曲线上的物理量，如力、速度、能量等。

它在物理学、工程学等领域具有广泛的应用。

曲线积分的基本思想是将曲线划分为无数小段，计算每小段上的物理量与长度的乘积之和。

根据积分路径的不同，曲线积分可分为线积分和面积分。

二、曲面积分的物理意义曲面积分是对曲面上物理量的积分，其基本思想是将曲面划分为无数小面，计算每个小面上的物理量与面积的乘积之和。

曲面积分可分为两类：法向量积分和切向量积分。

法向量积分用于计算曲面上某一点的垂直方向物理量，如压力、温度等；切向量积分用于计算曲面上某一点的切线方向物理量，如速度、力等。

曲面积分在物理学、工程学等领域具有重要的物理意义。

三、曲线积分与曲面积分的联系与区别曲线积分与曲面积分都是对物理量沿路径或曲面的积分。

它们的联系在于都是通过对路径或曲面进行划分，计算各小段或小面上物理量与长度或面积的乘积之和。

然而，它们也有明显的区别。

曲线积分主要针对曲线路径，关注沿路径的变化；而曲面积分针对曲面，关注的是曲面上各点的物理量。

此外，曲线积分可分为线积分和面积分，而曲面积分可分为法向量积分和切向量积分。

四、实际应用案例分析1.电磁学：在电磁学中，曲线积分广泛应用于计算电场线、磁感线等。

通过计算曲线上某一点的电场强度或磁场强度与弧长的乘积之和，可以得到电场线或磁感线的分布情况。

2.流体力学：在流体力学中，曲面积分可用于计算流体沿曲面的速度分布。

通过计算曲面上各点的速度与面积的乘积之和，可以得到流体的速度分布情况，进而分析流体的运动规律。

3.热传导：在热传导问题中，曲线积分可以用于计算温度沿曲线的分布。

通过计算曲线上某一点的温度与弧长的乘积之和，可以得到温度的分布情况，进而分析热传导过程。

总之，曲线积分和曲面积分在物理学、工程学等领域具有重要的应用价值。

曲线积分与曲面积分总结

第十一章：曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分⎰⎰+=LLy d x d y x f ds y x f 22),(),(若 ⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x L βα≤≤t则原式=dt t y t x t y t xf ⎰'+'βα)()())(),((22对弧长的曲线积分(,,)((),(),(LLf x y z ds f x t y t z t =⎰⎰若 ():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩βα≤≤t则原式=((),(),(f x t y t z t βα⎰常见的参数方程为：特别的：22222.2x y LLLeds e ds e ds e π+===⎰⎰⎰22=2(0)L x y y +≥为上半圆周二、对坐标的曲线积分⎰+Ldy y x q dx y x p ),(),(计算方法一：若 ⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则原式=dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'⎰βα对坐标的曲线积分(,,)(,,)(,,)LP x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点处α=t ，终点处β=t 则原式=((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt βα'''++⎰计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。

11(,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+⎰⎰1()(,)(,)L Dq pdxdy p x y dx q x y dy x y∂∂=±--+∂∂⎰⎰⎰如图：三、格林公式⎰⎰=∂∂-∂∂Ddxdy ypx q )(⎰+Ldy y x q dx y x p ),(),( 其中L 为D 的正向边界特别地：当yp x q ∂∂=∂∂时，积分与路径无关，且⎰⎰⎰+=+21212211),(),(),(),(21),(),(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p(,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=是某个函数的全微分Q Px y∂∂⇔=∂∂ 注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式。

曲线积分曲面积分公式

曲线积分曲面积分公式曲线积分和曲面积分是微积分学中重要的概念和计算方法，它们在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有广泛的应用。

本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及它们的应用。

一、曲线积分1. 概念曲线积分是沿着曲线路径的函数值在该路径上的积分，它可以用来计算曲线上的物理量或计算路径上的某个量的总和。

一条曲线通常可以用参数方程表示，即根据一个或多个参数的变化来描述曲线上的点的坐标。

2. 计算方法曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分两种。

第一类曲线积分是对曲线上的函数施加一个标量面积进行积分，计算公式为：∫f(x,y,z) ds其中，f(x,y,z)是曲线上的函数，s是弧长。

第二类曲线积分是对曲线上的矢量场进行积分，计算公式为：∫F·dr 或∫F ds其中，F是曲线上的矢量场，dr是位移矢量，ds是弧长。

3. 应用曲线积分在物理学中有广泛的应用，例如计算电场沿着路径上的功、磁场沿着闭合路径上的环流等。

它还可以用来计算空间曲线上的质心、质量等。

在工程学中，曲线积分可以用来计算管道的流量、线段上的力等。

二、曲面积分1. 概念曲面积分是对曲面上的函数的某个量在整个曲面上的积分，它可以用来计算曲面上的物理量或计算函数在曲面上的平均值。

一般情况下，曲面可以用参数方程表示，即根据两个参数的变化来描述曲面上的点的坐标。

2. 计算方法曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分两种。

第一类曲面积分是对曲面上的函数施加一个标量面积进行积分，计算公式为：∬f(x,y,z) dS其中，f(x,y,z)是曲面上的函数，dS是面积元。

第二类曲面积分是对曲面上的矢量场进行积分，计算公式为：∬F·dS 或∬F dS其中，F是曲面上的矢量场，dS是面积元。

3. 应用曲面积分在物理学中有广泛的应用，例如计算电场通过曲面的电通量、磁场通过闭合曲面的磁通量等。

它还可以用来计算物体的总质量、质心等物理量。

曲线积分和曲面积分

第八章曲线积分和曲面积分我们前面已学过定积分和重积分，当一个函数定义在空间的曲线或曲面时，则要求我们计算曲线积分或曲面积分。

由于物理背景的不同，我们还须区别曲线或曲面的方向性，因此我们要分别研究两种不同类型的积分。

§1 第一型曲线积分与曲面积分１．第一型曲线积分我们研究如下的一个理想问题，给定空间的一条曲线物体L ，L 上每点有线密度，现在我们要求它的质量。

我们对此问题作如下限制，设L 是空间的可求长曲线，端点为A 和B ，密度函数(,,)f x y z 在L 上定义。

为了求质量，象定积分一样，我们对L 作一分割，01,,,,(,1,2,,,)n j A A A A B A j n L ===L L 在上，这样我们就将L 分成n 小段，设每段的长度为j s V 。

在每段弧长上任取一点ξηςｊｊｊ（，，），作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V以此作为L 质量的近似值。

最后我们令1max{}0j j ns λ≤≤=→V ，即可得到L 质量的精确值M ，即,01lim (,)nj j j j j M f s λξης→==∑V由此我们可得到以下定义定义设L 是空间可求长曲线，(,,)f x y z 在L 上连续，L 的两个端点为A,B ，依次用分点01,,,n A A A A B ==L 将L 分成n 小段。

每小段弧及弧长均记为j s V ，在j s V 上任取一点(,,)j j j j P ξης=，作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V如果当1max{}0j j ns λ≤≤=→V 时，上述和式的极限存在，且不依赖于L 的分法及j P 的选取，则称这一极限值为(,,)f x y z 。

在L 上的第一型曲线积分，记作(,,)Lf x y z ds ∫。

第一型曲线积分也有类似于定积分的一些性质，如关于被积函数的线性及关于曲线的可加性，它与定积分的一个差别是第一型曲线积分与曲线的方向无关。

曲线积分与曲面积分的概念与计算

曲线积分与曲面积分的概念与计算在数学中，曲线积分和曲面积分是两个重要的概念，用于描述曲线和曲面上的各种物理量的计算。

本文将详细介绍这两个概念的定义以及计算方法。

1. 曲线积分的概念与计算曲线积分用于计算曲线上的矢量场或标量场沿曲线的积分值，常用于求解沿路径的功、电磁感应等问题。

曲线积分可以分为第一类和第二类，下面将分别介绍。

1.1 第一类曲线积分第一类曲线积分可以用于计算矢量场沿曲线的积分值，其计算公式如下：∮C F·ds其中，C表示曲线，F表示矢量场，ds表示曲线C上的一小段投影长度，F·ds表示矢量场F与ds的点积。

要计算第一类曲线积分，首先需要确定曲线C的参数方程，并对其进行参数化。

然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。

1.2 第二类曲线积分第二类曲线积分用于计算标量场沿曲线的积分值，其计算公式如下：∮C f ds其中，C表示曲线，f表示标量场，ds表示曲线C上的一小段投影长度。

要计算第二类曲线积分，同样需要确定曲线C的参数方程，并对其进行参数化。

然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。

2. 曲面积分的概念与计算曲面积分用于计算曲面上的矢量场或标量场通过曲面的通量或质量的计算。

曲面积分同样可以分为第一类和第二类，下面将一一介绍。

2.1 第一类曲面积分第一类曲面积分用于计算矢量场通过曲面的通量，其计算公式如下：∬S F·dS其中，S表示曲面，F表示矢量场，dS表示曲面S上的一小块面积，F·dS表示矢量场F与dS的点积。

要计算第一类曲面积分，首先需要确定曲面S的参数方程，并对其进行参数化。

然后，将参数方程代入上述公式，并对参数范围进行积分即可得到结果。

2.2 第二类曲面积分第二类曲面积分用于计算标量场通过曲面的质量，其计算公式如下：∬S f dS其中，S表示曲面，f表示标量场，dS表示曲面S上的一小块面积。

曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分是微积分中重要的概念和计算方法，它们在物理、工程和其他科学领域中的应用广泛。

本文将重点介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法和应用。

一、曲线积分曲线积分是对曲线上的函数进行积分运算的方法。

它可以用来计算曲线上的物理量或者曲线周围的环量。

曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。

1. 第一类曲线积分第一类曲线积分也叫标量场的曲线积分，是对曲线上函数的积分。

设曲线C为参数方程r(t) = {x(t), y(t), z(t)}，函数f(x, y, z)在曲线C上有定义，则第一类曲线积分的计算公式为：∫[C]f(x, y, z)ds = ∫[a,b]f(x(t), y(t), z(t))|r'(t)|dt其中ds表示曲线上的长度元素，|r'(t)|表示参数方程的导数的模。

2. 第二类曲线积分第二类曲线积分也叫矢量场的曲线积分，是对曲线上的矢量场进行积分。

设曲线C为参数方程r(t) = {x(t), y(t), z(t)}，矢量场F(x, y, z)在曲线C上有定义，则第二类曲线积分的计算公式为：∫[C]F(x, y, z)•dr = ∫[a,b]F(x(t), y(t), z(t))•r'(t)dt其中•表示矢量的点积运算。

二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分运算的方法。

曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。

1. 第一类曲面积分第一类曲面积分也叫标量场的曲面积分，是对曲面上函数的积分。

设曲面S为参数方程r(u, v) = {x(u, v), y(u, v), z(u, v)}，函数f(x, y, z)在曲面S上有定义，则第一类曲面积分的计算公式为：∬[S]f(x, y, z)dS = ∬[D]f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))|ru × rv|dudv其中dS表示曲面上的面积元素，D为参数化区域，ru和rv分别为参数方程r(u, v)对u和v的偏导数，ru × rv表示它们的叉积。

十一章曲线积分与曲面积分

- -第十一章曲线积分与曲面积分一、内容提要（一）曲线积分1．第一类曲线积分（对弧长）(1)定义：设),(y x f 是光滑曲线L 上的有界函数，把L 分成n 段，设i 段的弧长为i s ∆（最长者记{}i s ∆=max λ），在其上任取一点),(i i ηξ，则),(y x f 在L 上的第一类（对弧长）曲线积分为 ∑⎰=>-∆=ni i i i Ls f ds y x f 1),(lim ),(ηξλ.(2) 几何意义与物理意义几何意义是柱面面积，该柱面以L 为准线、其母线平行于z 轴、介于平面0=z 和曲面),(y x f z =之间的部分（图10.1）. 物理意义是线密度为),(y x f 的物质曲线L 的质量. (3)计算方法：即“定限、代入”两步法第一步（定限）：写出L 的方程及自变量的变化范围，用不等式表示，例如 βα≤≤t ，并且一定有βα<.第二步（代入）：计算出弧长的微分式ds .将L 的方程和ds 一并代人曲线积分公式，即转变为定积分.共有三种形式：参数式 L ： ⎩⎨⎧≤≤==,),(),(βαψϕt t y t x ds t t ds 22))(())((ψϕ'+'=⎰⎰'+'=Ldt t t t t f ds y x f βαψϕψϕ22))(())(())(),((),(；直角坐标把L ：)()(b x a x y ≤≤=ψ看做曲线参数表达式⎩⎨⎧==)(x y xx ψ可以得到如下公式：⎰⎰'+=Lb adx x x x f ds y x f 2))((1))(,(),(ψψ；极坐标 L ：,),(βθαθ≤≤=r r θθθd r r ds 22))(()('+=，⎰⎰'+=Ld r r r r f ds y x f βαθθθθθθθ22))(()()sin )(,cos )((),(.2．第二类曲线积分（对坐标）（1）定义：设),(y x P 和),(y x Q 是有向光滑曲线L 上的有界函数，把L 分成n 段，设第i段的- -分点为),(i i i y x M ，在弧 ⋂-i i M M 1上任取一点),(i i ηξ，设1--=∆i i i x x x , 1--=∆i i i y y y ，则),(y x P 在L 上对坐标x 的曲线积分是⎰∑=>-∆=Lni i i i x P dx y x P 1),(lim ),(ηξλ；而),(y x Q 在L 上对坐标y 的曲线积分是⎰∑=>-∆=Lni iiiyQ dy y x Q 1),(lim ),(ηξλ；在应用上往往表现为两者的和：⎰⎰⎰+=+LLLdy y x Q dx y x P dyy x Q dx y x P ),(),(),(),(（记为）.（2）物理意义第二类曲线积分的物理意义是变力j y x Q i y x P F),(),(+=沿有向曲线L 移动所作的功，即⎰⋅=Lr d F W⎰+=L dy y x Q dx y x P ),(),(.其中 j dy i dx r d+= .由微分三角形知ds dy dx r d =+=22，向量r d在切线上.（4）计算方法直接计算即“定向、代入”两步法. 第一步（定向）：写出L 的方程及自变量的变化范围，α和β分别对应L 的起点（下限）和终点（上限）.即变量“t 由α向β”积分.与第一类曲线积分不同，在这里可能出现βα>的情况.第二步（代入）：把L 的方程及dy dx ,代入被积分式中，即变为定积分，α和β分别是下限和上限.例如，（定向）L ：⎩⎨⎧==βαψϕ向由t t y t x ),(),(.（代入）⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=⎰'+'βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P )]())(),(()())(),((([.间接计算主要使用两个重要定理.格林定理设：① D 是由分段光滑曲线L 围成，L 的方向为正；② ),(y x P 和),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数.则⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=+L D dxdy y P x Q Qdy Pdx dxdy QP y x D⎰⎰∂∂∂∂. 注意：如果D 是单连通域，则L 逆时针方向为正.如果D 是复连通域，则 L 的外周界逆时针方向为正，而内周界顺针方向为正.如果L 的方向为负，那么在使用格林时时一定要补加一个负号.与路径无关定理设：① D 是单连通域，有向曲线L ∈D ；② ),(y x P 和),(y x Q 在D 中有- -连续的偏导数.则⎰+LQdy Pdx 与路径无关<=>yPx Q ∂∂=∂∂ 对于一个第二类曲线积分计算题，如果不宜直接计算或直接计算较繁，就需要计算yPx Q ∂∂∂∂和，依不同情况，或使用格林定理或改变积分路径.（5）曲线积分与全微分的关系设D 是单连通域；P 和Q 具有连续偏导数.则在D 中存在),(y x u 使yPx Q Qdy Pdx du ∂∂=∂∂⇔+= .其计算公式是 ⎰⎰⎰+=+=xx yy y x y x dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P y x u 000),(),(),(),(),(0),(),(⎰⎰+=y y x x dx y x P dy y x Q 0),(),(0. 3．两类曲线积分之间的转换设曲线了L ：)(),(t y t x ψϕ==.在曲线上L 任一点的切向量是=t {)(),(t t ψϕ''}，容易求出单位切向量{}ααsin ,cos 0=t，由微分三角形知ααsin ,cos ds dy ds dx ==.将这两式代入第二类曲线积分中得⎰⎰+=+LLds Q P Qdy Pdx ]sin cos [αα如用向量表示，{}{}{}{}ds t ds ds dy dx r d y x r Q P A 0sin ,cos ,,,,, =====αα，于是ds t A r d A LL⎰⎰⋅=⋅0（此式在三维空间也正确）.4．常用计算技巧代人技巧若计算⎰Lds y x f ,),(而L 的方程恰是a y x f =),(，则⎰⎰==LLal ads ds y x f ),(（l 是l 的长度）.注意：这种代入技巧在两类曲线积分和两类曲面积分中都适用.但是绝不可以用在重积分上.例如，设D 是由222a y x =+围成的区域，则下面的“代入”是错误的：⎰⎰⎰=+DDdxdy a dxdy y x 222)( 错误的原因是在D 的内部222a y x <+.利用奇偶对称性第一类曲线积分的奇偶对称性与二重积分类似.设L 关于y 轴对称，则- -⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=LL x y x f x y x f ds y x f 为偶函数，关于当为奇函数，关于当),(2),(,0),(1其中1L 是L 在y 轴右边的部分.若L 关于x 对称，则有结果类似. 第二类曲线积分的奇偶对称性与第一类曲线积分相反.设L 关于y 轴对称，（1L 是L 在y 轴右边的部分）则⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=LL x Q x Q dy y x Q 为偶函数。

高数：曲线积分与曲面积分总结

Q P y
则有
Pdx Q dy
L
( x
D

)d x d y
其中 L 是 D 的取正向的边界曲线,公式称为格林公式.
格林
积分与路径无关：
定理2 设D是平面单连通区域， ( x , y ), Q( x , y )及其 P 一阶偏导数在内连续，则下述四个命 D 题等价：
(2)若投影域面积是零，则积分值是零。
注：“一投,二代,三定号”
z

2
O
n
y
1
x
若是母线平行于 z 轴的柱面 , 则 Pdxdy 0 .

例如积分 I 1 : x
2 2

( x y 1 ) dxdy ,
y
2
1 , ( 0 z 1 );
: x y 1 , ( x 0 , y 0 , 0 z 1 ).
3 .如果由 y y ( z , x ) 给出 , 则有
D yz
把曲面Σ向yoz面投影，得区域D yz
把曲面Σ向xoz面投影，得区域Dxz
Q( x , y , z )dzdx Q[ x , y( z , x ), z ]dzdx
Dzx
注意:(1)对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.
f [ x , y , z ( x , y )] 1 z x z y dxdy
2 2

R ( x , y , z ) dxdy

D xy
R [ x , y , z ( x , y )] dxdy
D xy
算一投,二代,三换(与侧无关)一投,二代,三定号 (与侧有关)

曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分曲线积分和曲面积分是微积分中的重要概念，它们在物理、工程等领域中有着广泛的应用。

本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的定义、计算方法以及应用。

一、曲线积分曲线积分是沿曲线上的各点对一个矢量场进行积分的操作。

它可以帮助我们计算曲线周围矢量场的某种性质，如流量、环量等。

曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。

1. 第一类曲线积分第一类曲线积分又称为曲线上的标量场积分，它的计算只涉及到被积函数。

设曲线C的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中a≤t≤b。

对于曲线上每一点P(x,y,z)，记r(t)=x i + y j + z k为P的位置矢量，则第一类曲线积分的定义为：∫[f(x,y,z)]•ds=∫[f(x(t),y(t),z(t))•r'(t)]dt其中[f(x,y,z)]为被积函数，ds为曲线C上各点的弧长元素，r'(t)为曲线C在P点处的切向量。

2. 第二类曲线积分第二类曲线积分又称为曲线上的矢量场积分，计算是将矢量场与切向量进行点积。

设曲线C的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中a≤t≤b。

对于曲线上每一点P(x,y,z)，记r(t)=x i + y j + z k为P的位置矢量，则第二类曲线积分的定义为：∫[F(x,y,z)]•dr=∫[F(x(t),y(t),z(t))•r'(t)]dt其中[F(x,y,z)]为矢量场，dr为曲线C上各点的位置矢量元素，即dr=r'(t)dt。

二、曲面积分曲面积分是在曲面上对一个矢量场或标量场进行积分的操作。

它可以帮助我们计算曲面上矢量场的通量、曲面的面积等。

曲面积分同样可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。

1. 第一类曲面积分第一类曲面积分又称为曲面上的标量场积分，它的计算只涉及到被积函数。

设曲面S的参数方程为x=g(u,v)，y=h(u,v)，z=k(u,v)，其中D 为曲面S在(u,v)平面上的投影区域。

高等数学曲线积分和曲面积分总结

高等数学曲线积分和曲面积分总结
高等数学曲线积分和曲面积分是微积分领域中的重要概念,它们在实际应用中具有广泛的应用,例如在物理、工程、计算机科学等领域中都有重要的应用。

本文将对高等数学曲线积分和曲面积分的概念、计算方法和应用进行总结。

一、曲线积分的概念
曲线积分是指对一维曲线上的点的函数值求导的积分,也称为路径积分。

曲线积分的基本思想是通过对曲线上的点进行积分,得到曲线的面积或体积。

曲线积分的计算公式为:
∫Cf(x,y)dS = ∫∫∫Cf(x^TC(y), y^TC(z))dxdydz
其中,C是曲线,f(x,y)是曲线上的点值函数,T是曲线上的任意一点,S是曲线上的面积,z是曲线上的任意一点。

二、曲面积分的概念
曲面积分是指对三维曲面上的点的函数值求导的积分,也称为向量场积分。

曲面积分的基本思想是通过对曲面上的点进行积分,得到曲面的面积或体积。

曲面积分的计算公式为:
∫∫∫Sf(x,y,z)dsdV = ∫∫∫Sf(x^TS(y^TS(z)))dsdV
其中,S是曲面,f(x,y,z)是曲面上的点值函数,T是曲面上的任意一点,V是曲面上的任意体积,s是曲面上的任意法向量,dV是曲面上的任意体积法向量。

拓展:曲线积分和曲面积分在物理学中的应用
曲线积分和曲面积分在物理学中具有广泛的应用。

例如,在量子力学中,曲线积分被用来计算波函数的面积,而曲面积分被用来计算量子场论的场速可变的相对性原理。

在相对论中,曲线积分被用来计算相对论效应的积分,而曲面积分被用
来计算四维空间中的弯曲曲面。

曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分曲线积分：曲线积分是一种对曲线上的向量值函数进行积分的方法。

以一维平面曲线为例，设该曲线为C，它求解的是一个向量场F沿着C的积分，因为曲线上每个点都有一个切向量，所以曲线积分可以看作是向量场F与曲线C的点乘积之和。

曲线积分在物理学和工程学领域中得到广泛应用，比如在力学中用于计算质点沿着路径所受的约束力，或者用于计算磁场强度在闭合电路上的流量。

它还可以用于计算平面或曲面上的各种力场沿着路径或曲线的做功。

曲线积分的表示方法有两种，一种是路径坐标表示，即将曲线看作是指定参数范围内的一条参数曲线，即可对F进行积分;另一种是向量积分，即将曲线分解为若干段直线，则曲线积分等于每一段弧长所得到的弧长积分之和。

曲面积分：曲面积分是一种针对曲面上的向量值函数进行积分的方法，它是高维向量积分的扩展。

类似于曲线积分，曲面积分也是一种多个向量态的点积之和。

常见的曲面有球体、圆柱体、圆锥体、平面等等。

对于任意曲面而言，曲面积分就是将向量场沿着曲面的法向量进行积分所得到的积分值。

曲面积分应用广泛，因为它可以用于计算各种物理场的流量，比如电场、磁场、重力场等等。

在计算物理场相互作用时，曲面积分也是不可或缺的数学工具之一。

曲面积分的表示方法有两种，一种是分片曲面表示，即将曲面分解为若干小块，再对每一个小块进行积分求和; 另一种是参数表示，即采用参数方程表示曲面，则曲面积分等于曲面上每一个参数块所得到的面积积分之和。

最后，曲线积分和曲面积分是数学里非常重要的概念，它们在物理领域中扮演着重要的角色，既可以用来理解物理现象，也可以用来解决实际问题。

学习曲线积分和曲面积分，对于深入了解物理学、数学等领域都非常重要。

曲线积分与曲面积分的计算方法

曲线积分与曲面积分的计算方法计算曲线积分与曲面积分是数学中重要的内容，本文将介绍曲线积分和曲面积分的定义和计算方法。

一、曲线积分的定义和计算方法曲线积分是在三维空间中曲线上的函数进行积分运算的一种方法。

曲线积分的计算可以分为两种情况：第一种情况是曲线的方程已知，我们可以通过参数化曲线来计算积分；第二种情况是曲线的方程未知，我们可以通过对弧长进行积分来计算。

1. 参数化曲线的曲线积分计算对于参数化曲线C: r(t) = (x(t), y(t), z(t))，函数f(x, y, z)的曲线积分可以表示为：∮C f(x, y, z) ds = ∫f(x(t), y(t), z(t))||r'(t)|| dt其中，ds表示曲线C上的弧长元素，r'(t)表示曲线C的切向量，||r'(t)||表示切向量的模长。

通过将参数t从t0到t1进行积分，即可计算出曲线积分的结果。

2. 弧长的曲线积分计算如果曲线的方程未知，但是我们可以计算出曲线上任意两点之间的弧长，则可以通过对弧长进行积分来计算曲线积分。

∮C f(x, y, z) ds = ∫f(x, y, z) dl其中，dl表示曲线C上的弧长元素，通过将参数l从l0到l1进行积分，即可得到曲线积分的结果。

二、曲面积分的定义和计算方法曲面积分是在三维空间中曲面上的函数进行积分运算的一种方法。

曲面积分的计算可以分为两种情况：第一种情况是曲面的方程已知，我们可以通过参数化曲面来计算积分；第二种情况是曲面的方程未知，我们可以通过将曲面分成小面元然后进行求和来进行计算。

1. 参数化曲面的曲面积分计算对于参数化曲面S: r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))，函数f(x, y, z)的曲面积分可以表示为：∬S f(x, y, z) dS = ∫∫f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))||r_u × r_v|| du dv其中，dS表示曲面S上的面积元素，r_u和r_v分别表示参数u和v 方向上的切向量，r_u × r_v表示切向量的叉乘，||r_u × r_v||表示叉乘的模长。

曲线积分与曲面积分计算

曲线积分与曲面积分计算曲线积分和曲面积分是微积分中的重要概念，用于计算沿曲线的路径或曲面上的某个向量场的总体效应。

本文将介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及应用领域。

一、曲线积分曲线积分是计算沿曲线的路径的某个向量场的总体效应的方法。

当我们想要计算曲线上的某个物理量时，曲线积分可以提供有效的工具。

下面以一个简单的例子来说明曲线积分的计算方法。

设有一条光滑曲线C，其参数方程为r(t)=(x(t), y(t), z(t))，其中a≤t≤b。

在曲线C上有一个向量场F=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，我们想要计算该向量场沿曲线C的积分。

曲线积分的计算方法为∫CF·dr，其中CF=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))·(dx, dy, dz)。

由此可知，曲线积分等于向量场F与路径元素的内积，再对路径元素求累积。

在具体计算中，我们可以先求得路径元素dx, dy, dz，再分别与向量场F的各个分量进行乘法运算，最后求和即可得到曲线积分的结果。

二、曲面积分曲面积分是计算曲面上的某个向量场的总体效应的方法。

与曲线积分类似，曲面积分也可以用于计算物理量在曲面上的分布情况。

下面以一个简单的例子来说明曲面积分的计算方法。

设有一个光滑曲面S，其参数方程为r(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v))，其中(a≤u≤b, c≤v≤d)。

在曲面S上有一个向量场F=(P(x, y, z), Q(x, y, z),R(x, y, z))，我们想要计算该向量场在曲面S上的积分。

曲面积分的计算方法为∬SF·dS，其中SF=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))·(dSx, dSy, dSz)。

由此可知，曲面积分等于向量场F与曲面元素的内积，再对曲面元素求累积。

曲线积分与曲面积分

目录 1之前已经学过计算曲线长度的积分（1）对于y=y(x)（2）对于参数方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩（3）对于极坐标方程是()r r θ=，转成直角坐标()cos ()sin x r y r θθθθ== ，则'()'cos sin '()'sin cos x r r y r r θθθθθθ=-=+。

代入上面3个都是求弧长，现在求的是在弧长上对某个被积函数f(x,y)积分。

那么，如果把被积函数f(x,y)看成是密度，那么得到的就是曲线质量。

当然如果密度均匀为1，则求的弧长积分就是弧长。

如果把被积函数f(x,y)看成是高度z,那么得到的就是一个柱面表面积。

对弧长的曲线积分，称为“第一类曲线积分”。

扩展到空间，若被积函数是f(x,y,z)那么，就表示在空间曲线L 的密度，求得的结果就是空间的线质量。

定义：01(,)lim (,)niiii Lf x y ds f s λξη→==∆∑⎰ 计算步骤 1画出图形2写出L 的方程，指出自变量范围，确定积分上下限（下限必须小于上限） 3由L 类型写出对应ds 的表达式4因被积函数f(x,y)的点x ，y 在L 上变动，因此x ，y 必须满足L 的方程。

即把L 中的x ，y 代入被积函数f(x,y)中。

5写出曲线积分的定积分表达式，并计算。

注，二重积分中xy 在投影域D 内动，而被积函数的xy 在L 上动，故(x ，y)必须满足L 。

如，L 的方程y=k,则()LLf x ds kds ks ==⎰⎰（保留。

还不太懂）参数方程设曲线有参数方程()()x x t L y y t =⎧⎨=⎩，则有：显式方程设曲线为L ：y=y(x) ，则有：设曲线为L ：x=x(y) ，则有：极坐标方程设曲线为:(),([,])L rr θθαβ=∈ 则有：空间曲线方程设曲线为空间曲线():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则有：设在L 上f(x,y)<=g(x,y)，则(,)(,)LLf x y dsg x y ds ≤⎰⎰，特别的，有(,)(,)LLf x y dsg x y ds ≤⎰⎰此性质不能用于第二类曲线积分（其实和二重积分一样，完全可以自己推导）质心坐标：LLx dsx dsρρ=⎰⎰ 、LLy dsy dsρρ=⎰⎰转动惯量：I=mr^2,因此有2(,)x LI y x y ds ρ=⎰设平面力场的力为(,)(,)(,)x y P x y Q x y =+F i j 求该力沿着曲线L 从a 到b 所做的功。

高中数学中的曲线积分与曲面积分计算

高中数学中的曲线积分与曲面积分计算数学作为一门基础学科，贯穿于我们的学习生涯中。

在高中数学中，曲线积分和曲面积分是比较复杂的概念和计算方法，但却是非常重要的一部分。

本文将深入探讨曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及应用。

一、曲线积分曲线积分是对沿曲线路径的函数进行积分的过程。

在高中数学中，我们通常会遇到两种类型的曲线积分：第一类和第二类曲线积分。

第一类曲线积分是对标量函数沿曲线的积分。

具体来说，设曲线C为参数方程x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中a≤t≤b。

那么曲线积分的计算公式为：∫f(x,y,z)ds=∫f(f(t),g(t),h(t))√(dx/dt)²+(dy/dt)²+(dz/dt)²dt其中，ds表示曲线C上的微小弧长。

第二类曲线积分是对向量函数沿曲线的积分。

具体来说，设曲线C为参数方程x=f(t)，y=g(t)，z=h(t)，其中a≤t≤b。

那么曲线积分的计算公式为：∫F(x,y,z)·dr=∫F(f(t),g(t),h(t))·(dx/dt,dy/dt,dz/dt)dt其中，F(x,y,z)为向量函数，dr=(dx,dy,dz)为曲线C上的微小位移向量。

二、曲面积分曲面积分是对曲面上的函数进行积分的过程。

在高中数学中，我们通常会遇到两种类型的曲面积分：第一类和第二类曲面积分。

第一类曲面积分是对标量函数沿曲面的积分。

具体来说，设曲面S为参数方程x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中(u,v)∈D。

那么曲面积分的计算公式为：∬f(x,y,z)dS=∬f(f(u,v),g(u,v),h(u,v))|n|dudv其中，dS表示曲面S上的微小面积，n为曲面S上的单位法向量，|n|为其模长。

第二类曲面积分是对向量函数沿曲面的积分。

具体来说，设曲面S为参数方程x=f(u,v)，y=g(u,v)，z=h(u,v)，其中(u,v)∈D。