福建省龙岩市2014年中考数学试题(word版,含解析)
2014年福州市中考数学试卷(含答案)
二O一四年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试卷（全卷共4页，三大题，22小题，满分150分；考试时间120分钟）友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效。
毕业学校姓名考生号一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．-5的相反数是A．-5 B．5 C．15D．-152．地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学记者数法表示为A．11⨯104B．1.1⨯105C．1.1⨯104D．0.11⨯1063．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是A．三棱柱B．长方体C．圆柱D．圆锥4．下列计算正确的是A．x4·x4=x16B．(a3)2=a5C．(ab2)3=ab6D．a+2a=3a5．若7名学生的体重（单位：kg）分别是：40，42，43，45，47，47，58，则这组数据的平均数是A．44 B．45 C．46 D．476．下列命题中，假命题是A．对顶角相等B．三角形两边的和小于第三边C．菱形的四条边都相等D．多边形的外角和等于360︒7．若(m-1)2+2n+=0，则m+n的值是A．-1 B．0 C．1 D．28．某工厂现在平均每天比原计算多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是A．60045050x x=+B．60045050x x=-C．60045050x x=+D．60045050x x=-9．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为A．45︒B．55︒C．60︒D．75︒10．如图，已知直线y=-x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y=kx交于E，F两点，若AB=2EF，则k的值是A．-1 B．1 C．12D．34二、填空题（共5小题，每题4分，满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置）11．分解因式：ma+mb=.12．若5件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，则抽到不合格产品的概率是.13．计算：（2+1）（2-1）=.14．如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则□ABCD的周长是.15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90︒，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=12BC .若AB=10，则EF的长是.三、解答题（满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置.作图或添加辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑）16．（每小题7分，共14分）（1）计算：9+12014⎛⎫⎪⎝⎭0+|-1|.（2）先化简，再求值：(x+2)2+x(2-x)，其中x=1 3 .17．（每小题7分，共14分）（1）如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证：∠A=∠D.（2）如图，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上.①sin B的值是；②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（A与A1，B与B1，C与C1相对应）.连接AA1，BB1，并计算梯形AA1B1B的面积.18．（满分12分）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分.规定：85≤x≤100为A级，75≤x<85为B级，60≤x<75为C级，x<60为D级.现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了名学生，a=%；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为度；（4）若该校共有2000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？19．（满分12分）现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A 商品和2件B商品共用了160元.（1）求A，B两种商品每件多少元？（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？20．（满分11分）如图，在△ABC中，∠B=45︒，∠ACB=60︒，AB=32，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆.（1）求BC的长；（2）求⊙O的半径.21．（满分13分）如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60︒，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒.（1）当t=12秒时，则OP=，S△ABP=；（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ·BP=3.22.（满分14分）如图，抛物线y=12(x-3)2-1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D了.（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD.求证：∠AEO=∠ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标.数学试卷参考答案1．B 2．B 3．D 4．D 5．C 6．B 7．A 8．A 9．C 10．D11．m (a +b )12．1513．1 14．20 15．5 16．（1）解：原式=3+1+1=5. （2）解：原式=x 2+4x +4+2x -x 2 =6x +4. 当x =13时，原式=6⨯13+4=6.17．（1）证明：∵BE =CF ， ∴BE +EF =CF +EF 即BF =CE .又∵AB =DC ，∠B =∠C ， ∴△ABF ≌△DCE .∴∠A =∠E .（2）【答案】①35；②如图所示.由轴对称的性质可得，AA 1=2，BB 1=8，高是4.∴11AA B B S 梯形 =12(AA 1+BB 1)⨯4=20.18．解：（1）50，24；（2）如图所示；（3）72；（4）该校D级学生有：2000⨯450=160人.19．解：（1）设A商品每件x元，B商品每件y元.依题意，得290 32160.x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得2050. xy=⎧⎨=⎩，答：A商口每件20元，B商品每件50元.（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品(10-a)件.依题意，得2050(10)300 2050(10)350.a aa a+-≥⎧⎨+-≤⎩，解得5≤a≤62 3 .根据题意，a的值应为整数，所以a=5或a=6.方案一：当a=5时，购买费用为20⨯5+50⨯(10-5)=350元；方案二：当a=6时，购买费用为20⨯6+50⨯(10-6)=320元.∵350>320，∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低.答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件.其中方案二费用最低.20．解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E.∴∠AEB=∠AEC=90︒.在Rt△ABE中，∵sin B=AE AB，∴AB=AB·sin B=32·sin45︒= 32·22=3.∵∠B=45︒，∴∠BAE=45︒. ∴BE=AE=3.在Rt△ACE中，∵tan∠ACB=AE EC，∴EC=333 tan tan603AEACB===∠︒.∴BC =BE +EC =3+3.（2）由（1）得，在Rt △ACE 中，∵∠EAC =30︒，EC =3， ∴AC =23.解法一：连接AO 并延长交⊙O 于M ，连接CM . ∵AM 为直径， ∴∠ACM =90︒.在Rt △ACM 中，∵∠M =∠D =∠ACB =60︒，sin M =ACAM， ∴AM =sin AC M=23sin 60︒=4. ∴⊙O 的半径为2.解法二：连接OA ，OC ，过点O 作OF ⊥AC ，垂足为F ，则AF =12AC =3. ∵∠D =∠ACB =60︒， ∴∠AOC =120︒.∴∠AOF =12∠AOC =60︒. 在Rt △OAF 中，sin ∠AOF =AFAO， ∴AO =sin AFAOF∠=2，即⊙O 的半径为2.21．解：（1）1，334； （2）①∵∠A <∠BOC =60︒，∴∠A 不可能是直角. ②当∠ABP =90︒时， ∵∠BOC =60︒， ∴∠OPB =30︒.∴OP =2OB ，即2t =2. ∴t =1.③当∠APB =90︒时，作PD ⊥AB ，垂足为D ，则∠ADP =∠PDB =90︒. ∵OP =2t ，∴OD =t ，PD =3t ，AD =2+t ，BD =1-t （△BOP 是锐角三角形）.解法一：∴BP 2=（1-t ）2 +3t 2，AP 2=(2+t )2+3t 2. ∵BP 2+AP 2=AB 2，∴(1-t )2+3t 2+(2+t )2+3t 2=9， 即4t 2+t -2=0.解得t 1=1338-+，t 2= 1338--（舍去）. 解法二：∵∠APD +∠BPD =90︒，∠B +∠BPD =90︒，∴∠APD =∠B . ∴△APD ∽△PBD . ∴.AD PDPD BD = ∴PD 2=AD ·BD .于是(3t )2=(2+t )(1-t )，即 4t 2+t -2=0. 解得t 1=1338-+，t 2= 1338--（舍去）. 综上，当△ABP 为直角三角形时，t =1或1338-+. （3）解法一：∵AP =AB ， ∴∠APB =∠B .作OE ∥AP ，交BP 于点E ， ∴∠OEB =∠APB =∠B . ∵AQ ∥BP ，∴∠QAB +∠B =180︒. 又∵∠3+∠OEB =180︒， ∴∠3=∠QAB .又∵∠AOC =∠2+∠B =∠1+∠QOP ， 已知∠B =∠QOP ， ∴∠1=∠2.∴△QAO ∽△OEP .∴AQ AOEO EP=，即AQ·EP=EO·AO.∵OE∥AP，∴△OBE∽△ABP.∴13 OE BE BOAP BP BA===.∴OE=13AP=1，BP=32EP.∴AQ·BP=AQ·32EP=32AO·OE=32⨯2⨯1=3.解法二：连接PQ，设AP与OQ相交于点F. ∵AQ∥BP，∴∠QAP=∠APB.∵AP=AB，∴∠APB=∠B.∴∠QAP=∠B.又∵∠QOP=∠B，∴∠QAP=∠QOP.∵∠QFA=∠PFO，∴△QFA∽△PFO.∴FQ FAFP FO=，即FQ FPFA FO=.又∵∠PFQ=∠OFA，∴△PFQ∽△OFA.∴∠3=∠1.∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，已知∠B=∠QOP，∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∴△APQ∽△BPO.∴AQ AP BO BP=.∴AQ·BP=AP·BO=3⨯1=3.22.【答案】（1）顶点D的坐标为（3，-1）.令y=0，得12(x-3)2-1=0，解得x1=3+2，x2=3-2.∵点A在点B的左侧，∴A点坐标(3-2，0)，B点坐标（3+2，0）.（2）过D作DG⊥y轴，垂足为G.则G（0，-1），GD=3.令x=0，则y=72，∴C点坐标为（0，72）.∴GC=72-(-1)=92.设对称轴交x轴于点M. ∵OE⊥CD，∴∠GCD+∠COH=90︒.∵∠MOE+∠COH=90︒，∴∠MOE=∠GCD.又∵∠CGD=∠OMN=90︒，∴△DCG∽△EOM.∴9323CG DGOM EM EM==，即.∴EM=2，即点E坐标为(3，2)，ED=3.由勾股定理，得AE2=6，AD2=3，∴AE2+AD2=6+3=9=ED2.∴△AED是直角三角形，即∠DAE=90︒.设AE交CD于点F.∴∠ADC+∠AFD=90︒.又∵∠AEO+∠HFE=90︒，∴∠AFD=∠HFE，∴∠AEO=∠ADC.（3）由⊙E的半径为1，根据勾股定理，得PQ2=EP2-1. 要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小.设P坐标为（x，y），由勾股定理，得EP2=(x-3)2+(y-2)2.精品文档11 / 11 ∵y =12(x -3)2-1， ∴(x -3)2=2y +2.∴EP 2=2y +2+y 2-4y +4=(y -1)2+5.当y =1时，EP 2最小值为5. 把y =1代入y =12(x -3)2-1，得12(x -3)2-1=1， 解得x 1=1，x 2=5.又∵点P 在对称轴右侧的抛物线上， ∴x 1=1舍去.∴点P 坐标为(5，1). 此时Q 点坐标为（3，1）或(191355，).。
【精校】2014年福建省龙岩市中考真题数学
2014年福建省龙岩市中考真题数学一、选择题(共10小题，每小题4分，满分40分)1.(4分)计算：-2+3=( )A.1B.-1C.5D.-5解析：-2+3=+(3-2)=1.答案：A.2.(4分)下列运算正确的是( )A. a3+a3=a6B. a6÷a2=a4C. a3·a5=a15D. (a3)4=a7解析：A、a3+a3=2a3，故A错误；B、a6÷a2=a4，故B正确；C、a3·a5=a8，故C错误；D、(a3)4=a12，故D错误.答案：B.3.(4分)下列图形中既是轴对称又是中心对称的是( )A.B.C.D.解析：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D正确.答案：D.4.(4分)不等式组的解集是( )A. ＜x≤2B. -＜x＜2C. -＜x≤2D. -≤x≤2解析：，解①得：x≤2，解②得：x＞-，则不等式组的解集是：-＜x≤2.答案：C.5.(4分)如图所示几何体的俯视图是( )A.B.C.D.解析：从上往下看，俯视图如下.答案：C.6.(4分)下列叙述正确的是( )A. “打开电视机，中央一套正在直播巴西世界杯足球赛.”是必然事件B. 若甲乙两人六次跳远成绩的方差为S甲2=0.1，S乙2=0.3，则甲的成绩更稳定C. 从一副扑克牌中随即抽取一张一定是红桃KD. 任意一组数据的平均数一定等于它的众数解析：A、“打开电视机，中央一套正在直播巴西世界杯足球赛.”是随机事件，故A错误；B、若甲乙两人六次跳远成绩的方差为S甲2=0.1，S乙2=0.3，则甲的成绩更稳定，利用方差的意义，故B正确；C、从一副扑克牌中随即抽取一张不一定是红桃K，故C错误；D、任意一组数据的平均数不一定等于它的众数，故D错误.答案：B.7.(4分)如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于( )A. 40°B. 50°C. 70°D. 80°解析：∵∠1=∠2，∠3=40°，∴∠1=×(180°-∠3)=×(180°-40°)=70°，∵a∥b，∴∠4=∠1=70°.答案：C.8.(4分)如图分别是某班全体学生上学时乘车、步行、骑车人数的分布直方图和扇形统计图(两图都不完整)，下列结论错误的是( )A. 该班总人数为50人B. 步行人数为30人C. 乘车人数是骑车人数的2.5倍D. 骑车人数占20%解析：A、总人数是：25÷50%=50(人)，故A正确；B、步行的人数是：50×30%=15(人)，故B错误；C、骑车人数所占的比例是：1-50%-30%=20%，故D正确；D、乘车人数是骑车人数倍数是：50%÷20%=2.5，故C正确.由于该题选择错误的，答案：B.9.(4分)某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务.设原计划每天铺设x米，下面所列方程正确的是( )A. -=2B. -=2C. -=2D. =解析：设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设(1+20%)x米，由题意得，-=2.答案：A.10.(4分)定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a.如：min{1，-3}=-3，min{-4，-2}=-4.则min{-x2+1，-x}的最大值是( )A.B.C. 1D. 0解析：在同一坐标系xOy中，画出函数二次函数y=-x2+1与正比例函数y=-x的图象，如图所示.设它们交于点A、B.令-x2+1=-x，即x2-x-1=0，解得：x=或，∴A(，)，B(，).观察图象可知：①当x≤时，min{-x2+1，-x}=-x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；②当＜x≤时，min{-x2+1，-x}=-x，函数值随x的增大而减小，没有最大值；③当x＞时，min{-x2+1，-x}=-x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为. 综上所示，min{-x2+1，-x}的最大值是.答案：A.二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)11.(3分)据统计，2014年全国约有939万人参加高考，939万人用科学记数法表示为人.解析：939万=9 390 000=9.39×106.答案：9.39×106.12.(3分)因式分解：x2-4x+4= .解析：x2-4x+4=(x-2)2.答案：(x-2)213.(3分)若圆锥的侧面展开图的弧长为24πcm，则此圆锥底面的半径为cm.解析：设圆锥的底面半径为r，∵圆锥的侧面展开图的弧长为24π cm，∴2πr=24π，解得：r=12，答案：12.14.(3分)若一组数据3，4，x，5，8的平均数是4，则该组数据的中位数是.解析：根据题意可得，=4，解得：x=0，这组数据按照从小到大的顺序排列为：0，3，4，5，8，则中位数为：4.答案：4.15.(3分)如图，A、B、C是半径为6的⊙O上三个点，若∠BAC=45°，则弦BC= .解析：连接OB，OC，∵∠BAC=45°，∴∠BOC=2∠BAC=90°，∵OB=OC=6，∴BC==6.答案：6.16.(3分)如图，△ABC中，∠B=70°，∠BAC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC.当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE=.解析：∵△ABC中，∠B=70°，则∠BAC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC，点B的对应点D恰好落在AC上，∴∠BCA=180°-70°-30°=80°，AC=CE，∴∠BCA=∠DCE=80°，∴∠CAE=∠AEC=(180°-80°)×=50°.答案：50°.17.(3分)如图，∠AOB=60°，O1，O2，O3…是∠AOB平分线上的点，其中OO1=2，若分别以O1，O2，O3…为圆心作圆，使得⊙O1，⊙O2，⊙O3…均与∠AOB的两边相切，且相邻两圆相外切，则⊙O2014的面积是(结果保留π)解析：设⊙O1，⊙O2，⊙O3…与OB的切点分别为C，D，E…连接CO1，DO2，EO3，∴CO1⊥BO，DO2⊥BO，EO3⊥BO，∵∠AOB=60°，O1，O2，O3…是∠AOB平分线上的点，其中OO1=2，∴∠O1OC=30°，∴CO1=1，∴，∴DO2=3，同理可得出：EO3=9，∴⊙O2014的半径为：32013，∴⊙O2014的面积是π×(32013)2=92013π.答案：92013π.三、解答题(共8小题，满分89分)18.(10分)(1)计算：(π-2014)0-2sin45°+|-2|+(2)解方程：+1=.解析：(1)本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点.针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；(2)根据解分式方程的一般步骤，可得答案.答案：(1)原式=1-+2-+2=3；(2)方程两边都乘以(x-2)得2x+(x-2)=-3，解得x=-，经检验x=-是原分式方程的解.19.(8分)先化简，再求值：(+)·，其中a=-2.解析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值.答案：原式=·=·=，当a=-2时，原式=.20.(10分)如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF 交于点P.(1)求证：CE=BF；(2)求∠BPC的度数.解析：(1)欲证明CE=BF，只需证得△BCE≌△ABF；(2)利用(1)中的全等三角形的性质得到∠BCE=∠ABF，则由图示知∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，所以根据三角形内角和定理求得∠BPC=120°.答案：(1)证明：如图，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，∴在△BCE与△ABF中，，∴△BCE≌△ABF(SAS)，∴CE=BF；(2)∵由(1)知△BCE≌△ABF，∴∠BCE=∠ABF，∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，∴∠BPC=180°-60°=120°.即：∠BPC=120°.21.(10分)某校九年级有10个班，每班50名学生，为调查该校九年级学生一学期课外书籍的阅读情况，准备抽取50名学生作为一个样本经行分析，并规定如下：设一个学生一学期阅读课外书籍本书为n，当0≤n＜5时为一般读者；当5≤n＜10时为良好读者；当n≥10时为优秀读者.(1)下列四种抽取方法最具有代表性的是；A.随机抽取一个班的学生B.随机抽取50名学生C.随机抽取50名男生D.随机抽取50名女生(2)由上述最具代表性的抽取方法抽取50名学生一学期阅读本数的数据如下：8 10 6 9 7 16 8 11 0 13 10 5 82 6 9 7 5 7 6 4 12 10 11 6 814 15 7 12 13 8 9 7 10 12 11 8 1310 4 6 8 13 6 5 7 11 12 9根据以上数据回答下列问题①求样本中优秀读者的频率；②估计该校九年级优秀读者的人数；③在样本为一般读者的学生中随机抽取2人，用树形图或列表法求抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的概率.解析：(1)根据抽取方法的代表性可求得答案；(2)①由样本中优秀读者20人，即可求得样本中优秀读者的频率；②由①可求得该校九年级优秀读者的人数；③首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的情况，再利用概率公式即可求得答案.答案：(1)∵A、C、D不具有全面性，答案：B；(2)①∵样本中优秀读者20人，∴样本中优秀读者的频率为：=；②该校九年级优秀读者的人数为：10×50×=200(人)；③画树状图得：∵共有12种等可能的结果，抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的有2种情况，∴抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的概率为：=.22.(12分)如图，我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形.(1)若四边形ABCD是菱形，则它的中点四边形EFGH一定是；A.菱形B.矩形C.正方形D.梯形(2)若四边形ABCD的面积为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是S1= S2；(3)在四边形ABCD中，沿中点四边形EFGH的其中三边剪开，可得三个小三角形，将这三个小三角形与原图中未剪开的小三角形拼接成一个平行四边形，请画出一种拼接示意图，并写出对应全等的三角形.解析：(1)连接AC、BD.先根据三角形中位线的性质得出EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG= BD，EF=HG=AC，则四边形EFGH为平行四边形，再由菱形的对角线互相垂直，得出EF⊥FG，从而证明▱EFGH是矩形；(2)由E为AB中点，且EF平行于AC，EH平行于BD，得到△BEK与△ABM相似，△AEN 与△ABM相似，利用面积之比等于相似比的平方，得到△EBK面积与△ABM面积之比为1：4，且△AEN与△EBK面积相等，进而确定出四边形EKMN面积为△ABM的一半，同理得到四边形MKFP面积为△MBC面积的一半，四边形QMPG面积为△DMC面积的一半，四边形MNHQ面积为△ADM面积的一半，四个四边形面积之和即为四个三角形面积之和的一半，即为四边形ABCD面积的一半；(3)利用中点四边形的性质得出拼接方法，进而得出全等三角形.答案：(1)如图1，连接AC、BD.∵E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，∴四边形EFGH为平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥FG，∴▱EFGH是矩形；答案：B.(2)如图2，设AC与EH、FG分别交于点N、P，BD与EF、HG分别交于点K、Q，∵E是AB的中点，EF∥AC，EH∥BD，∴△EBK∽△ABM，△AEN∽△EBK，∴=，S△AEN=S△EBK，∴=，同理可得=，=，=，∴=，∴四边形ABCD的面积为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是S1=2S2；(3)如图3，四边形NEHM是平行四边形；△MAH≌△GDH，△NAE≌△FBE，△CFG≌△ANM.23.(12分)随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视倡导节约用水.某市民生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，人均月生活用水收费标准如图所示，图中x表示人均月生活用水的吨数，y表示收取的人均月生活用水费(元).请根据图象信息，回答下列问题：(1)该市人均月生活用水的收费标准是：不超过5吨，每吨按元收取；超过5吨的部分，每吨按元收取；(2)请写出y与x的函数关系式；(3)若某个家庭有5人，五月份的生活用水费共76元，则该家庭这个月用了多少吨生活用水？解析：(1)由图可知，用水5吨是8元，每吨按8÷5=1.6元收取；超过5吨的部分，每吨按(20-8)÷(10-5)=2.4元收取；(2)根据图象分x≤5和x＞5，分别设出y与x的函数关系式，代入对应点，得出答案即可；(3)把y=76代入x＞5的y与x的函数关系式，求出x的数值即可.答案：(1)该市人均月生活用水的收费标准是：不超过5吨，每吨按1.6元收取；超过5吨的部分，每吨按2.4元收取；(2)当0≤x≤5时，设y=kx，代入(5，8)得8=5k，解得k=∴y=x；当x＞5时，设y=kx+b，代入(5，8)、(10，20)得，解得k=，b=-4，∴y=x-4；综上所述，y=；(3)把y=代入y=x-4得x-4=，解得x=8，5×8=40(吨).答：该家庭这个月用了40吨生活用水.24.(13分)如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D、E分别是边BC、AB的中点，P是BC边上的动点(不与B、C重合).设BP=x.(1)当x=6时，求PE的长；(2)当△BPE是等腰三角形时，求x的值；(3)当AD平分EP时，试判断以EP为直径的圆与直线AC的位置关系，并说明理由.解析：(1)根据等腰三角形的性质得BD=CD=6，AD⊥BC，所以x=6时，点P在D点处，根据直角三角形斜边上的中线性质得PE=AB=5；(2)先得到BE=5，再分类讨论：当BP=BE=5，易得x=5；当EP=EB，作EM⊥BD于M，如图1，根据等腰三角形的性质得BM=PM，由点E为AB的中点，EM∥AD得到M点为BD的中点，则PB=BD=6，即x=6；当PB=PE，如图2，作PN⊥BE于N，根据等腰三角形的性质得BN=EN=BE=，再证明Rt△BPN∽Rt△BAD，理由相似可计算出PB=，即x=；(3)EP交AD于O，作OH⊥AC于H，EF⊥AD于F，如图3，在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AD=8，由点E为AB的中点，EF∥BD得到EF为△ABD的中位线，则EF=BD=3，AF=DF=AD=4，再利用“AAS”证明△OEF≌△OPD，则OF=OD=DF=2，所以AO=AF+OF=6，然后在Rt△OEF中，根据勾股定理计算出OE=，证明Rt△AOH∽Rt△ACD，利用相似比计算出OH=，再比较OE与OH的大小，然后根据直线与圆的位置关系进行判断.答案：(1)∵AB=AC=10，BC=12，D为边BC的中点，∴BD=CD=6，AD⊥BC，∴当x=6时，点P在D点处，∴PE为Rt△ABD斜边上的中线，∴PE=AB=5；(2)∵点E为AB的中点，∴BE=5，当BP=BE=5，则x=5；当EP=EB，作EM⊥BD于M，如图1，则BM=PM，∵点E为AB的中点，而EM∥AD，∴M点为BD的中点，∴PB=BD=6，∴x=6；当PB=PE，如图2，作PN⊥BE于N，则BN=EN=BE=，∵∠PBN=∠DBA，∴Rt△BPN∽Rt△BAD，∴PB：AB=BN：BD，即x：10=：6，∴x=，综上所述，当△BPE是等腰三角形时，x的值为5或6或；(3)以EP为直径的圆与直线AC相交.理由如下：EP交AD于O，作OH⊥AC于H，EF⊥AD 于F，如图3，在Rt△ABD中，AB=10，BD=6，∴AD==8，∵点E为AB的中点，而EF∥BD，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=BD=3，AF=DF=AD=4，∵AD平分EP，∴OE=OP，在△OEF和△OPD中，，∴△OEF≌△OPD，∴OF=OD，∴OF=DF=2，∴AO=AF+OF=6，在Rt△OEF中，EF=3，OF=2，∴OE==，∵∠OAH=∠CAD，∴Rt△AOH∽Rt△ACD，∴OH：CD=AO：AC，即OH：6=6：10，解得OH=，∵OE===，OH===，∴OE＞OH，∴以EP为直径的圆与直线AC相交.25.(14分)如图①，双曲线y=(k≠0)和抛物线y=ax2+bx(a≠0)交于A、B、C三点，其中B(3，1)，C(-1，-3)，直线CO交双曲线于另一点D，抛物线与x轴交于另一点E.(1)求双曲线和抛物线的解析式；(2)抛物线在第一象限部分是否存在点P，使得∠POE+∠BCD=90°？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图②，过B作直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，BD与OF交于点N，求的值. 解析：(1)用待定系数法即可求得.(2)过O作OM⊥BC，则OM=，因为OB=，根据勾股定理求得MB=2，进而求得tan∠COM===2，所以tan∠POE=2，从而求得P点的坐标.(3)根据勾股定理求得DF、OB的长，根据DF∥OB得出=即可求得.答案：(1)∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)过B(3，1)，C(-1，-3)，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=-x2+x，把B(3，1)代入y=(k≠0)得：1=，解得：k=3，∴双曲线的解析式为：y=.(2)存在点P，使得∠POE+∠BCD=90°；∵B(3，1)，C(-1，-3)，设直线BC为y=kx+b，∴，解得k=1，b=-2，∴直线BC为：y=x-2，∴直线BC与坐标轴的交点(2，0)，(0，-2)，过O作OM⊥BC，则OM=，∵B(3，1)，C(-1，-3)，∴OB=OC=，∴BM===2，∴tan∠COM===2，∵∠COM+∠BCD=90°，∠POE+∠BCD=90°，∴∠POE=∠COM，∴tan∠POE=2，∵P点是抛物线上的点，设P(m，-m2+m)，∴=2，解得：m=，∴P(，1).综上所述，存在点P(，1)，使得∠POE+∠BCD=90°.(3)∵直线CO过C(-1，-3)，∴直线CO的解析式为y=3x，解，解得，∴D(1，3)，∵B(3，1)，∴直线OB的斜率=，∵直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，∴DF∥OB，∴直线l的斜率=-3，直线DF的斜率=，∵直线l过B(3，1)，直线DF过D(1，3)，∴直线l的解析式为y=-3x+10，直线DF解析式为y=x+，解，解得，∴F(，)，∴DF==，∵DF∥OB，OB=，∴△DNF∽△BNO，∴===.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
2014-2015年福建省龙岩市永定二中、三中、城关中学九年级上学期期中数学试卷及参考答案
2014-2015学年福建省龙岩市永定二中、三中、城关中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一个符合题意．）1．（4分）下列方程为一元二次方程的是（）A．2x﹣B．2x2﹣y+5=0C．ax2+bx+c=0 D．4x2﹣+7=02．（4分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1•x2的值是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣23．（4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（）A．（x+1）2=0 B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x﹣1）2=24．（4分）如图，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（）A．1mm B．2mm C．3mm D．4mm5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△EFC的位置，其中E、F分别是A、B的对应点，且点B在斜边EF上，直角边EC交AB于点D，则旋转角等于（）A．70°B．80°C．60°D．50°6．（4分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形7．（4分）将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A．y=（x﹣4）2﹣6 B．y=（x﹣4）2﹣2 C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x﹣1）2﹣3 8．（4分）在同一直角坐标系中，函数y=（x﹣1）2+2与y=2x+1的图象的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．09．（4分）若一元二次方程式a（x﹣b）2=7的两根为±，其中a、b为两数，则a+b之值为何？（）A．B．C．3 D．510．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）11．（3分）方程x2=x的解是．12．（3分）如果点P（﹣3，1），那么点P（﹣3，1）关于原点的对称点P′的坐标是．13．（3分）抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点坐标是．14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，将△ABC绕点C 逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为．15．（3分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程：．16．（3分）为迎接元旦活跃校园气氛，我校组织班际三人篮球赛，比赛采用双循环赛制（即参加球赛的每两队之间都进行两次比赛），共要比赛56场，则有个班级参加比赛．17．（3分）P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O的半径为5cm，则经过P点的最短弦长为cm，最长弦长为cm．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是．三、解答题：（本大题共8题，共86分．）19．（12分）解下列方程：（1）x2+4x=6；（2）x（x﹣3）=﹣x+3．20．（8分）如图，△AOB中，OA=OB，以O为圆心的圆经过AB上两点C、D，则AC与BD相等吗？请说明理由．21．（8分）已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．22．（8分）已知二次函数y=x2+（m+1）x﹣2m2﹣m．（1）证明：无论m为何值，函数图象与x轴都有交点；（2）当图象的对称轴为直线x=1时，求它与坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积．23．（12分）在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy．△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别是A（4，4 ）、B（1，2 ）、C（3，2 ），请解答下列问题．（1）将△ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；（3）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的△A3B3C3．并写出点A3的坐标：A3（，）．24．（12分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．（1）设每天盈利w元，求出w关于x的函数关系式，并说明每天盈利是否可以达到8000元？（2）若该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？25．（12分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．△DCF26．（14分）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，﹣3）．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=﹣x+m过点C，交y轴于D点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．2014-2015学年福建省龙岩市永定二中、三中、城关中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一个符合题意．）1．（4分）下列方程为一元二次方程的是（）A．2x﹣B．2x2﹣y+5=0C．ax2+bx+c=0 D．4x2﹣+7=0【解答】解：A、2x﹣x2﹣=0是一元二次方程，所以A选项正确；B、2x2﹣y+5=0，含有两个未知数，所以B选项错误；C、a=0时，不是一元二次方程，所以C选项错误；D、方程不是整式方程，所以D选项错误．故选：A．2．（4分）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则x1•x2的值是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，∴x1•x2==﹣3．故选：B．3．（4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（）A．（x+1）2=0 B．（x﹣1）2=0 C．（x+1）2=2 D．（x﹣1）2=2【解答】解：把方程x2﹣2x﹣1=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=1+1配方得（x﹣1）2=2．故选：D．4．（4分）如图，已知⊙O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（）A．1mm B．2mm C．3mm D．4mm【解答】解：作OD⊥AB于D．根据垂径定理知OD垂直平分AB，所以AD=4mm，又因为OA=5mm，根据勾股定理可得，OD=3mm．故选：C．5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△EFC的位置，其中E、F分别是A、B的对应点，且点B在斜边EF上，直角边EC交AB于点D，则旋转角等于（）A．70°B．80°C．60°D．50°【解答】解：∵将△ABC旋转到△EFC的位置，其中E、F分别是A、B的对应点，∴BC=FC，∠ABC=∠F，∠A=∠E，∴∠F=∠FBC，∵∠A=∠E=40°，∠ACB=∠ECF=90°，∴∠F=∠FBC=90°﹣40°=50°，∴∠BCF=180°﹣50°﹣50°=80°，即旋转角等于80°．故选：B．6．（4分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形【解答】解：A、B、C既是轴对称图形，也是中心对称图形；D、不是轴对称图形，只是中心对称图形．故选：D．7．（4分）将抛物线y=x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A．y=（x﹣4）2﹣6 B．y=（x﹣4）2﹣2 C．y=（x﹣2）2﹣2 D．y=（x﹣1）2﹣3【解答】解：y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2），所以平移后得到的抛物线解析式为y=（x﹣4）2﹣2．故选：B．8．（4分）在同一直角坐标系中，函数y=（x﹣1）2+2与y=2x+1的图象的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：根据题意得，消去y得到（x﹣1）2=2x+1，整理得x2﹣4x=0，因为△=（﹣4）2﹣4×1×0=16，方程有两个不相等的实数解，所以方程组有两组解，所以抛物线y=（x﹣1）2+2与y=2x+1的图象有两个交点．故选：B．9．（4分）若一元二次方程式a（x﹣b）2=7的两根为±，其中a、b为两数，则a+b之值为何？（）A．B．C．3 D．5【解答】解：a（x﹣b）2=7，两边同时除以a得：（x﹣b）2=，两边直接开平方可得：x﹣b=±，则x=±+b，∵两根为±，∴a=4，b=，∴a+b=4=，故选：B．10．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴x=﹣＜0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，（故①正确）；∵﹣1＜﹣＜0，∴﹣2a＞﹣b，∴2a﹣b＜0，（故②正确）；∵当x=﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，（故③正确）；∵当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∵当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c﹣b）（a+c+b）＜0，∴（a+c）2﹣b2＜0，（故④正确）．综上所述，正确的个数有4个；故选：D．二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）11．（3分）方程x2=x的解是x1=0，x2=1．【解答】解：x2=x，移项得：x2﹣x=0，分解因式得：x（x﹣1）=0，可得x=0或x﹣1=0，解得：x1=0，x2=1．故答案为：x1=0，x2=112．（3分）如果点P（﹣3，1），那么点P（﹣3，1）关于原点的对称点P′的坐标是（3，﹣1）．【解答】解：点P（﹣3，1）关于原点的对称点P′的坐标是（3，﹣1）．故答案为：（3，﹣1）．13．（3分）抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点坐标是（1，﹣4）．【解答】解：∵原抛物线可化为：y=（x﹣1）2﹣4，∴其顶点坐标为（1，﹣4）．故答案为：（1，﹣4）．14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，∴A′C=AC=1，AB=2，BC=，∵∠A=60°，∴△AA′C是等边三角形，∴AA′=AB=1，∴A′C=A′B，∴∠A′CB=∠A′BC=30°，∵△A′B′C是△ABC旋转而成，∴∠A′CB′=90°，BC=B′C，∴∠B′CB=90°﹣30°=60°，∴△BCB′是等边三角形，∴BB′=BC=．故答案为：．15．（3分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程：125×（1﹣x）2=80．【解答】解：第一次降价后的价格为125×（1﹣x），第二次降价后的价格为125×（1﹣x）×（1﹣x）=55×（1﹣x）2，∴列的方程为125×（1﹣x）2=80，故答案为125×（1﹣x）2=80．16．（3分）为迎接元旦活跃校园气氛，我校组织班际三人篮球赛，比赛采用双循环赛制（即参加球赛的每两队之间都进行两次比赛），共要比赛56场，则有8个班级参加比赛．【解答】解：设有x队参加比赛．x（x﹣1）=56，（x﹣8）（x+7）=0，解得x=8，x=﹣7（不合题意，舍去）．故答案为：8．17．（3分）P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O的半径为5cm，则经过P点的最短弦长为8cm，最长弦长为10cm．【解答】解：当弦与OP垂直时，弦最短，最短弦为8cm，过P点经过圆心的弦最长为直径，最长弦为10cm．18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是﹣2．【解答】解：设正方形的对角线OA长为2m，则B（﹣m，m），C（m，m），A（0，2m）；把A，C的坐标代入解析式可得：c=2m①，am2+c=m②，①代入②得：m2a+2m=m，解得：a=﹣，则ac=﹣•2m=﹣2．三、解答题：（本大题共8题，共86分．）19．（12分）解下列方程：（1）x2+4x=6；（2）x（x﹣3）=﹣x+3．【解答】解：（1）x2+4x=6，x2+4x﹣6=0，∵△=16﹣4×1×（﹣6）=40，∴x==﹣2；（2）x（x﹣3）=﹣x+3，x（x﹣3）+x﹣3=0，（x﹣3）（x+1）=0，x﹣3=0，或x+1=0，x1=3，x2=﹣1．20．（8分）如图，△AOB中，OA=OB，以O为圆心的圆经过AB上两点C、D，则AC与BD相等吗？请说明理由．【解答】解：AC与BD相等．理由如下：作OH⊥CD于H，如图，∵OH⊥CD，∴CH=DH，∵OA=OB，∴AH=BH，∴AH﹣CH=BH﹣DH，即AC=BD．21．（8分）已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．【解答】解：∵关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m，∴，解得，，即m，n的值分别是1、﹣2．22．（8分）已知二次函数y=x2+（m+1）x﹣2m2﹣m．（1）证明：无论m为何值，函数图象与x轴都有交点；（2）当图象的对称轴为直线x=1时，求它与坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积．【解答】（1）证明：∵b2﹣4ac=（m+1）2﹣4（﹣2m2﹣m）=（3m+1）2≥0，∴无论m取何值，函数图象与x轴都有交点；（2）解：由对称轴x=1得：﹣=1，解得m=﹣3，∴二次函数为y=x2﹣2x﹣15=（x﹣5）（x+3）．∴与x轴的两交点是（0，5），（﹣3，0），与y轴的交点为（0，﹣15），∴它与坐标轴的三个交点所围成的三角形的面积为：×8×15=60．23．（12分）在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy．△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别是A（4，4 ）、B（1，2 ）、C（3，2 ），请解答下列问题．（1）将△ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；（3）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的△A3B3C3．并写出点A3的坐标：A3（﹣4，4）．【解答】解：（1）（2）（3）所作图形如图所示：，点A3的坐标为（﹣4，4），故答案为：﹣4，4．24．（12分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．（1）设每天盈利w元，求出w关于x的函数关系式，并说明每天盈利是否可以达到8000元？（2）若该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？【解答】解：（1）设每千克水果应涨价x元，根据题意得：w=（500﹣20x）（10+x）=﹣20x2+300x+5000=﹣20（x﹣7.5）2+6125，∵6125＜8000，∴盈利不能达到8000元；（2）设每千克水果应涨价x元，依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）=6000，整理，得x2﹣15x+50=0，解这个方程，得x1=5，x2=10．要使顾客得到实惠，应取x=5．答：每千克水果应涨价5元．25．（12分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是DE∥AC；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是S1=S2．（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S=S△BDE，请直接写出相应的BF的长．△DCF【解答】解：（1）①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；故答案为：DE∥AC；S1=S2；（2）如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，=S△BDE；此时S△DCF1过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×4÷cos30°=2÷=，∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的长为或．26．（14分）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，﹣3）．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y=﹣x+m过点C，交y轴于D点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．【解答】解：（1）设抛物线的函数表达式为y=a（x﹣1）（x+3）∵抛物线交y轴于点E（0，﹣3），将该点坐标代入上式，得a=1∴所求函数表达式为y=（x﹣1）（x+3），即y=x2+2x﹣3；（2）∵点C是点A关于点B的对称点，点A坐标（﹣3，0），点B坐标（1，0），∴点C坐标（5，0），∴将点C坐标代入y=﹣x+m，得m=5，∴直线CD的函数表达式为y=﹣x+5，设K点的坐标为（t，0），则H点的坐标为（t，﹣t+5），G点的坐标为（t，t2+2t ﹣3），∵点K为线段AB上一动点，∴﹣3≤t≤1，∴HG=（﹣t+5）﹣（t2+2t﹣3）=﹣t2﹣3t+8=﹣（t+）2+，∵﹣3＜﹣＜1，∴当t=﹣时，线段HG的长度有最大值；（3）∵点F是线段BC的中点，点B（1，0），点C（5，0），∴点F的坐标为（3，0），∵直线l过点F且与y轴平行，∴直线l的函数表达式为x=3，∵点M在直线l上，点N在抛物线上，∴设点M的坐标为（3，m），点N的坐标为（n，n2+2n﹣3），∵点A（﹣3，0），点C（5，0），∴AC=8，分情况讨论：①若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，则需MN∥AC，且MN=AC=8．当点N在点M的左侧时，MN=3﹣n，∴3﹣n=8，解得n=﹣5，∴N点的坐标为（﹣5，12），当点N在点M的右侧时，MN=n﹣3，∴n﹣3=8，解得n=11，∴N点的坐标为（11，140），②若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C与点A 关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为（﹣1，0）过P点作NP⊥x轴，交抛物线于点N，将x=﹣1代入y=x2+2x﹣3，得y=﹣4，过点N作直线NM交直线l于点M，在△BPN和△BFM中，∠NBP=∠MBF，BF=BP，∠BPN=∠BFM=90°，∴△BPN≌△BFM，∴NB=MB，∴四边形ANCM为平行四边形，∴坐标（﹣1，﹣4）的点N符合条件，∴当N的坐标为（﹣5，12），（11，140），（﹣1，﹣4）时，以点A、C、M、N 为顶点的四边形为平行四边形．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
2014年福建省福州市中考数学试卷及答案
数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前福建省福州市2014年初中毕业会考、高级中等学校考试数学........................................... 1 福建省福州市2014年初中毕业会考、高级中等学校考试 .................................................. 4 数学答案解析 . (4)福建省福州市2014年初中毕业会考、高级中等学校考试数学本试卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.5-的相反数是( ) A .5-B .5C .15D .15-2.地球绕太阳公转的速度约是110 000千米/时,将110 000用科学记数法表示为 ( ) A .41110⨯B .51.110⨯C .41.110⨯D .60.1110⨯3.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是( )A .三棱柱B .长方体C .圆柱D .圆锥 4.下列计算正确的是( )A .4416x x x =B .325()a a =C .236()ab ab =D .23a a a +=5.若7名学生的体重(单位：kg )分别是：40,42,43,45,47,47,58,则这组数据的平均数是( )A .44B .45C .46D .47 6.下列命题中,假命题是( ) A .对顶角相等B .三角形两边的和小于第三边C .菱形的四条边都相等D .多边形的外角和等于360 7.若2(1)0m -=,则m n +的值是( ) A .1-B .0C .1D .28.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x 台机器,根据题意,下面所列方程正确的是( )A .60045050x x =+ B .60045050x x =- C .60045050x x =+D .60045050x x =- 9.如图,在正方形ABCD 外侧,作等边三角形,,ADE AC BE 相交于点F ,则BFC ∠为( )A .45B .55C .60D .7510.如图,已知直线2y x =-+分别与x 轴、y 轴交于,A B 两点,与双曲线ky x=交于,E F 两点.若2AB EF =,则k 的值是 ( ) A .1- B .1 C .12D .34第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.请把答案填在题中的横线上)毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）11.分解因式：ma mb += .12.若5件外观相同的产品中有1件不合格,现从中任意抽取1件进行检测,则抽到不合格产品的概率是 . 13.计算：1)= .14.如图,在□ABCD 中,DE 平分,6,2A D C A D B E ∠==,则□ABCD 的周长是 .15.如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=,点,D E 分别是边,AB AC 的中点,延长BC 到点F ,使12CF BC =.若10AB =,则EF 的长是 .三、解答题(本大题共7小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分14分,每题7分)(1)019+()+|1|2014-.(2)先化简,再求值：2((2))2x x x ++-,其中13x =.17.(本小题满分14分,每题7分)(1)如图1,点,E F 在BC 上,BE CF =,AB DC =,B C ∠=∠求证：A D ∠=∠. (2)如图2,在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中,ABC △的顶点均在格点上.①sin B 的值是 ；②画出ABC △关于直线l 对称的111A B C △(A 与1A ,B 与1B ,C 与1C 相对应),连接11,AA BB ,并计算梯形11AA B B 的面积.18.(本小题满分12分)设中学生体质健康综合评定成绩为x 分,满分为100分.规定：85100x ≤≤为A 级,7585x ≤＜为B 级,6075x ≤＜为C 级,60x ＜为D 级.现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩,整理绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中的信息,解答下列问题：(1)在这次调查中,一共抽取了 名学生,a = %； (2)补全条形统计图；(3)扇形统计图中C 级对应的圆心角为 度；(4)若该校共有2 000名学生,请你估计该校D 级学生有多少名？19.(本小题满分12分)现有,A B 两种商品,买2件A 商品和1件B 商品用了90元,买3件A 商品和2件B商数学试卷 第5页（共16页） 数学试卷 第6页（共16页）品用了160元.(1)求,A B 两种商品每件各是多少元？(2)如果小亮准备购买,A B 两种商品共10件,总费用不超过350元,且不低于300元,问有几种购买方案,哪种方案费用最低？20.(本小题满分11分)如图,在ABC △中,45B ∠=,60ACB ∠=,AB =D 为BA 延长线上的一点,且,D ACB O ∠=∠为ACD △的外接圆. (1)求BC 的长； (2)求O 的半径.21.(本小题满分13分)如图1,点O 在线段AB 上,2,1,AO OB OC ==为射线,且60BOC ∠=,动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发,沿射线OC 做匀速运动,设运动时间为t 秒.(1)当12t =秒时,则OP = ,ABP S △= ； (2)当ABP △是直角三角形时,求t 的值；(3)如图2,当AP AB =时,过点A 作AQ BP ∥,并使得Q O P B ∠=∠,求证：3AQ BP =.22.(本小题满分14分)如图,抛物线2)12(31y x =--与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,顶点为D .(1)求点,,A B D 的坐标；(2)连接CD ,过原点O 作OE CD ⊥,垂足为H ,OE 与抛物线的对称轴交于点E ,连接,AE AD .求证：AEO ADC ∠=∠；(3)以(2)中的点E 为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ,过点P 作E 的切线,切点为Q ,当PQ 的长最小时,求点P 的坐标,并直接写出点Q 的坐标.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------。
福建省 2014年龙岩市一级达标学校联盟高中毕业班联合考试 高三答案
2014年龙岩市一级达标学校联盟高中毕业班联合考试数学（理科）参考答案及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并指出了一种或者几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分50分. 1-5 DDCAD 6-10 ABAAB二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分,满分20分 11．-1 12．1或127 13．-1或0 14．2 15．34m ≤≤三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．本小题主要考查二倍角公式、降幂公式、向量的数量积、递推数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想，函数与方程思想．满分13分． 解：（Ⅰ）(4,1)m x = ,2(cos (),tan 2)8n παα=+, ()f x m n =⋅2()4cos ()tan 28f x x παα∴=++()2(1c o s (2))t a n 24f x x παα∴=+++ ……………………………………4分由1)12(1)12(2tan 1tan 22tan 22=---=-=ααa α 是锐角， 42πα=∴cos(2)04πα∴+= 12)(+=∴x x f . ………………………………7分（Ⅱ）)(,111n n a f a a ==+ ，121+=∴+n n a a ， ……………………………9分)1(211+=+∴+n n a a , 2111=+++n n a a , {}1+∴n a 是首项为11+12a ==，公比2=q 的等比数列,12-=∴n n a (11)分n n S n n n --=---=+2212)12(21. ………………………………………13分17．本小题主要考查茎叶图、样本中位数、古典概型，独立重复试验等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）由题意可知4524440=++x 解得6=x . ………………………………3分（Ⅱ）没有一天空气质量超标的概率为37310724C C =至少有一天空气质量超标的概率为71712424-=. …………………………7分 （Ⅲ）3,2,1,0=ξ ………………………8分12527)53()0(3===ξP 12554)53)(52()1(213===C P ξ12536)53()52()2(223===C P ξ 1258)52()3(3===ξPξ∴的分布列为∴数学期望 368601231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………13分 18．本小题主要考查直线与直线、平面与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等．满分13分．解：（Ⅰ）由ABC ADC ≅可知AC 既是等腰ABD ∆也是等边BCD ∆的角平分线，也是高，所以AO ⊥BD ，CO ⊥BD ………………………………………2分 由于在平面图形中，AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，折起后这种关系不变，且AO CO O ⋂= 所以折起后BD ⊥平面AOC ， ……………………………………………4分 又AC ⊂平面AOC ，故BD ⊥AC ，即不论(0,)θπ在内为何值，均有AC BD ⊥.……………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD ⊥平面AOC ，又BD ⊂平面BCD ，所以平面AOC ⊥平面BCD过点A 作AE ⊥OC 于点E ，因为平面AOC ⋂平面BCD OC =， 所以AE ⊥平面BCD ，即AE 是三棱锥A BCD -的高， 在Rt AOE ∆中，sin 2sin AE AO θθ==，14422BCD S ∆=⨯⨯⨯…7分故三棱锥A BCD -的体积为12sin 3V θθ=⨯=， 当三棱锥A BCD -时，sin 1θ=，此时点E 与点O 重合. ……9分 解法一：由上面证明易得CO ⊥平面ABD ，过O 点作OF ⊥AD 于点F ，连接CF ， 因为AD ⊂平面ABD ，所以AD ⊥OC ，又OF ⋂OC =O ， 所以AD ⊥平面OFC ，所以AD ⊥CF ，则∠OFC 就是二面角B AD C --的平面角. ……………11分 在Rt OFC ∆中，OFOC=CF所以cos OF OFC CF ===∠ 所以二面角B AD C --的余弦值为7. ……………………………………13分 解法二：根据上面的证明过程可知OC 、OD 、OA 两两垂直，则分别以OC 、OD 、OA 所在的直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则C（0，0），D （0，2，0），A （0，0，2），(232,0),(02,2)C D A D =-=-，设平面ACD的法向量为(,,)m x y z =则0203,(3,3,3)22003x m CD y y m y z m AD z ⎧=⎧⎧=⎪-+=⎪⎪⇒⇒==⎨⎨⎨-=⎪=⎪⎩⎪⎩=⎩取. ………………11分 又平面ABD 的一个法向量(1,0,0)n=， 所以7cos ,7||||m n m n m n <>==显然所求角是锐二面角，所以二面角B AD C --的余弦值为7. ………13分19．本小题主要考查椭圆标准方程与性质、直线与圆锥曲线位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想等．满分13分． 解：（Ⅰ） )1,0(),1,0(-B A ，)21,(m M ∴13(,),BM (,)22AM m m =-=. …………2分（第18题图）又BM AM ⊥∴0=⋅即432=m ，解得23±=m . …………5分 （Ⅱ）直线AM 的斜率为m k 211-=，直线BM 斜率为m k 232=.∴直线AM 的方程为121+-=x m y ，直线BM 的方程为123-=x my . ……6分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+,121.1422x m y y x 得04)1(22=-+mx x m ，14,0221+==∴m m x x .)11,14(222+-+∴m m m m C ………………………………………………8分由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+1231422x m y y x 得012)9(22=-+mx x m ， 912,0221+==∴m m x x )99,912(222+-+∴m m m m D ……………………………10分据已知，3,02≠≠m m .∴直线CD 的斜率m m m m m m m m m m m m m m k 43)3(4)3)(3(9121499112222222222+-=---+=+-++--+-= ∴直线CD 的方程为)14(43112222+-+-=+--m mx m m m m y . ……………12分 令0=x ，得,2=y ∴CD 与y 轴交点的位置与m 无关. ……………13分20．本小题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等．满分14分． 解：（Ⅰ）2()33(1)33(1)()f x x t x t x x t '=-++=--，又()f x 在(0,2)无极值1t ∴= ………………………………………………………3分（Ⅱ）①当0t ≤时，()f x 在(0,1)单调递减，在(1,2)单调递增，()f x ∴在[]0,2的最小值为13(1)22f t =+ ②当01t <<时，()f x 在(0,)t 单调递增，在(,1)t 单调递减，在(1,2)单调递增，(1)(0)f f ∴≤或()(2)f t f ≥由()(2)f t f ≥得：3234t t -+≥在01t <<时无解(1)(0)01f f t ≤⎧∴⎨<<⎩ 103t ∴<≤ ③当1t =时，不合题意；④当12t <<时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,)t 单调递减，在(,2)t 单调递增，(1)(2)12f f t ≥⎧∴⎨<<⎩或()(0)12f t f t ≤⎧⎨<<⎩ 即1332212t t ⎧+≥⎪⎨⎪<<⎩或3213112212t t t ⎧-++≤⎪⎨⎪<<⎩ 523t ∴≤<或3t ≤（舍去） ⑤当2t ≥时，()f x 在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，max 13()(1)22f x f t ∴==+ 综上：15,,33t ⎛⎤⎡⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭时，存在0(0,2)x ∈，使得0()f x 是()f x 在[]0,2上的最值. …………………………………………………………………8分（Ⅲ）当1t =时，若2()552x f x xe x x m ≤-+-+对任意[)0,x ∈+∞恒成立即322331552xx x x xe x x m -++≤-+-+对任意[)0,x ∈+∞恒成立32221x m xe x x x ∴≤--++，即2(22)1xm x e x x ≤--++对任意[)0,x ∈+∞恒成立令2()22xg x e x x =--+，[)0,x ∈+∞()22x g x e x '=--,若000()220x g x e x '=--=，即0022x e x =+则002x <<022min 000000()()222222x g x g x e x x x x x ∴==--+=+--+2040x =->()0xg x ∴≥，()11xg x ∴+≥，1m ∴≤. …………………………14分21．（1）本小题主要考查矩阵的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分７分．（Ⅰ）设矩阵,a b B c d ⎛⎫=⎪⎝⎭则由 1A PBP -=得AP PB =即531313,201212a b c d --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭整理得32392226a cb d ac bd -+=-⎧⎪-+=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩ 解得2,0,0,3a b c d ====，即20.03B ⎛⎫= ⎪⎝⎭……………………………4分（Ⅱ）由（1）知2202040,030309B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以324020*********B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (7)分（2）本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．满分７分．解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为：22(1)1x y -+=直线l 的直角坐标方程：y x =. ……………………………………3分（Ⅱ）圆心（1，0）到直线l的距离2d =， 则圆上的点到直线的最大距离为d r +||AB = 所以ABM ∆面积的最大值为11(1)222ABM S ∆=+=. ………7分（3）本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想．满分７分．解：（Ⅰ）当1a =时,得211x -≥, 即112x -≥, 解得3122x x ≥≤或,∴不等式的解集为13(,][,)22-∞+∞． ……………… 3分（Ⅱ）∵11,ax ax a a -+-≥- ∴原不等式解集为R 等价于1 1.a -≥ ∴2,0.a a ≥≤或∵0a >，∴ 2.a ≥ ∴实数a 的取值范围为),2[+∞． ………………… 7分。
2014-2015年福建省龙岩二中八年级(上)数学期中试卷及参考答案
2014-2015学年福建省龙岩二中八年级（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题3分，共30分）1．（3分）计算：|3.14﹣π|=．2．（3分）在平面直角坐标系内点P（﹣3，a）与点Q（b，﹣1）关于y轴对称，则a+b的值为．3．（3分）等腰三角形的一个角是96°，则它的另外两个角的度数是．4．（3分）请你写出3个字（可以是数字、字母、汉字）要求它们都是轴对称图形、、．5．（3分）如图，AC=BD，要使△ABC≌△DCB，只要添加一个条件．6．（3分）如图，△ABC中，AB=AC=14cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，△DBC的周长是25cm，则BC=．7．（3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD 的面积是．8．（3分）如图，把锐角△ABC绕点C顺时针旋转至△CDE处，且点E恰好落在AB上，若∠ECB=40°，则∠AED=．9．（3分）如下图，在△ABC中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，若AD=2cm，则CD=cm．10．（3分）观察下列各式：…请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的代数式表达出来．二.选择题：（每小题3分，共18分）11．（3分）在3.14，，，，π，，3.141141114中，无理数的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．（3分）一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像（如图所示），此时，它所看到的全身像是（）A．B．C．D．13．（3分）如图，在∠AOB的两边上截取AO=BO，OC=OD，连接AD、BC交于点P，连接OP，则图中全等三角形共有（）对．A．2 B．3 C．4 D．514．（3分）下列语句：①的算术平方根是4；②；③平方根等于本身的数是0和1；④=，其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．415．（3分）如图所示，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出（）个．A．2 B．4 C．6 D．816．（3分）如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）A．1 B．2 C．3 D．4三．（16题62分，17、18题各7分，共20分）17．（7分）若+|x2+3y﹣13|=0，求x+y的平方根．18．（7分）已知：BE⊥AD，CF⊥AD，BE=CF，请判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请说明理由．19．（6分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，BC为边，在Rt△ABC外作两个等边三角形△ACE和△BCF，连接BE，AF．求证：BE=AF．四．（每小题8分，共24分）20．（8分）如图，已知∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，E在AB上，连接CE、DE （1）请你找出与点E有关的所有全等的三角形．（2）选择（1）中的一对全等三角形加以证明．21．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在BC上，且∠BAD=15°．（1）求∠CAD的度数；（2）若AC=m，BD=n，求AD的长．22．（8分）如图，EG∥AF，请你从下面三个条件中再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况），并给予证明．①AB=AC，②DE=DF，③BE=CF，已知：EG∥AF，（）=（），（）=（）五．（每小题6分，共18分）23．（6分）如图，阴影部分是由5个大小相同的小正方形组成的图形，请分别在图中方格内涂两个小正方形，使涂后所得阴影部分图形是轴对称图形．24．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？25．（6分）学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①；②；③．并对②，③的判断，选择一个给出证明．2014-2015学年福建省龙岩二中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题3分，共30分）1．（3分）计算：|3.14﹣π|=π﹣3.14．【解答】解：|3.14﹣π|=π﹣3.14，故答案为：π﹣3.14．2．（3分）在平面直角坐标系内点P（﹣3，a）与点Q（b，﹣1）关于y轴对称，则a+b的值为2．【解答】解：∵点P（﹣3，a）与点Q（b，﹣1）关于y轴对称，∴a=﹣1，b=3，∴a+b=﹣1+3=2．故答案为：2．3．（3分）等腰三角形的一个角是96°，则它的另外两个角的度数是42°和42°．【解答】解：∵96°＞90°，∴该角为钝角，∴这个角为等腰三角形的顶角，∴两底角为：=42°，故答案为：42°和42°．4．（3分）请你写出3个字（可以是数字、字母、汉字）要求它们都是轴对称图形田、H、3．【解答】解：例如：田，H，3．故答案可为：田，H，3．5．（3分）如图，AC=BD，要使△ABC≌△DCB，只要添加一个条件AB=DC．【解答】解：∵AC=BD，BC=CB，AB=CD，∴△ABC≌△DCB．故答案为AB=CD．6．（3分）如图，△ABC中，AB=AC=14cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，△DBC的周长是25cm，则BC=11cm．【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于D，∴AD=BD，∵AB=AC=14cm，△DBC的周长是25cm，∴BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=25cm，∴BC=11cm．故答案为：11cm．7．（3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD 的面积是5．【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴点D到AB的距离=CD=2，∴△ABD的面积是5×2÷2=5．故答案为：5．8．（3分）如图，把锐角△ABC绕点C顺时针旋转至△CDE处，且点E恰好落在AB上，若∠ECB=40°，则∠AED=．【解答】解：由题意得：∠DEC=∠ABC；CE=CB；∴∠CEB=∠ABC；∵∠ECB=40°，∴∠CEB=∠ABC=，∴∠AED=180°﹣2×70°=40°，故答案为40°．9．（3分）如下图，在△ABC中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，若AD=2cm，则CD=4cm．【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，∠A=90°，DE是BC的垂直平分线，∴AD=DE，BD=CD，∴∠C=∠DBC=∠ABD，而∠C+∠DBC+∠ABD=180°﹣∠A=90°，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴CD=2DE，而AD=DE=2，∴CD=4．故填4．10．（3分）观察下列各式：…请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的代数式表达出来（n≥1）．【解答】解：∵=（1+1）；=（2+1）；∴=（n+1）（n≥1）．故答案为：=（n+1）（n≥1）．二.选择题：（每小题3分，共18分）11．（3分）在3.14，，，，π，，3.141141114中，无理数的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：在3.14，，，，π，，3.141141114中，无理数有，π，一共3个．故选：C．12．（3分）一只小狗正在平面镜前欣赏自己的全身像（如图所示），此时，它所看到的全身像是（）A．B．C．D．【解答】解：根据图中所示，镜面对称后，应该为第一个图象．故选：A．13．（3分）如图，在∠AOB的两边上截取AO=BO，OC=OD，连接AD、BC交于点P，连接OP，则图中全等三角形共有（）对．A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵AO=BO，OC=OD，∠AOB=∠BOA，∴△AOD≌△BOC∴AD=BC，∠A=∠B，AC=BD，∠ACP=∠BDP∴△ACP≌△BDP从而可得CP=DP，∴可得△OCP≌△ODP同理可证得△APO≌△BPO故选：C．14．（3分）下列语句：①的算术平方根是4；②；③平方根等于本身的数是0和1；④=，其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①的算术平方根是2，故说法错误；②=2，故说法错误；③平方根等于本身的数是0，故说法错误；④=，故说法正确．故正确的有1个．故选：A．15．（3分）如图所示，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D、E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出（）个．A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：如图：这样的三角形最多可以画出4个．故选：B．16．（3分）如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEH=∠ADB=90°；∵∠EAH+∠AHE=90°，∠DHC+∠BCH=90°，∵∠EHA=∠DHC（对顶角相等），∴∠EAH=∠DCH（等量代换）；∵在△BCE和△HAE中，∴△AEH≌△CEB（AAS）；∴AE=CE；∵EH=EB=3，AE=4，∴CH=CE﹣EH=AE﹣EH=4﹣3=1．故选：A．三．（16题62分，17、18题各7分，共20分）17．（7分）若+|x2+3y﹣13|=0，求x+y的平方根．【解答】解：由题意，得：，解得；∴x+y=1，故x+y的平方根是±=±1．18．（7分）已知：BE⊥AD，CF⊥AD，BE=CF，请判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请说明理由．【解答】解：AD是△ABC的中线．理由如下：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD=90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵BE=CF，∠BDE=∠CDF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴BD=CD．故AD是△ABC的中线．19．（6分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，BC为边，在Rt△ABC外作两个等边三角形△ACE和△BCF，连接BE，AF．求证：BE=AF．【解答】证明：∵△ACE和△BCF是等边三角形，∴∠ACE=∠FCB=60°，CE=AC，CF=CB，∴∠ACF=∠ECB=60°+∠ACB．在△CEB与△CAF中，，∴△CEB≌△CAF（SAS），∴BE=AF．四．（每小题8分，共24分）20．（8分）如图，已知∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，E在AB上，连接CE、DE （1）请你找出与点E有关的所有全等的三角形．（2）选择（1）中的一对全等三角形加以证明．【解答】（1）△ACE≌△ADE，△BCE≌△BDE；（2）在RT△ABC和RT△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（HL），∴∠CAB=∠DAB，在△ACE和△ADE中，，∴△ACE≌△ADE（SAS）．21．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D在BC上，且∠BAD=15°．（1）求∠CAD的度数；（2）若AC=m，BD=n，求AD的长．【解答】解：（1）∵AC=BC，∴∠CAB=∠B．∵∠C=90°，∴∠CAB=∠B=45°．∵∠BAD=15°，∴∠CAD=30°；（2）∵AC=BC=m，∴DC=BC﹣BD=m﹣n．∵∠CAD=30°，∠C=90°，∴CD=AD，即AD=2CD=2（m﹣n）．22．（8分）如图，EG∥AF，请你从下面三个条件中再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况），并给予证明．①AB=AC，②DE=DF，③BE=CF，已知：EG∥AF，（）=（），（）=（）【解答】解：可选①AB=AC，②DE=DF，作为已知条件，③BE=CF作为结论；证明：∵EG∥AF，∴∠GED=∠CFD，∠BGE=∠BCA．∵AB=AC，∴∠B=∠BCA（等边对等角），∵∠BGE=∠BCA（已证），∴∠B=∠BGE（等量代换）．∴BE=EG．在△DEG和△DFC中∵∠GED=∠CFD，DE=DF，∠EDG=∠FDC，∴△DEG≌△DFC．∴EG=CF．∵EG=BE，∴BE=CF．若选①AB=AC，③BE=CF为条件，同样可以推得②DE=DF．五．（每小题6分，共18分）23．（6分）如图，阴影部分是由5个大小相同的小正方形组成的图形，请分别在图中方格内涂两个小正方形，使涂后所得阴影部分图形是轴对称图形．【解答】解：如图所示：24．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？【解答】（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C，在△BDE与△CEF中∴△BDE≌△CEF．∴DE=EF，即△DEF是等腰三角形．（2）解：由（1）知△BDE≌△CEF，∴∠BDE=∠CEF∵∠CEF+∠DEF=∠BDE+∠B∴∠DEF=∠B（9分）∵AB=AC，∠A=40°∴∠DEF=∠B=．（3）解：△DEF不可能是等腰直角三角形．∵AB=AC，∴∠B=∠C≠90°∴∠DEF=∠B≠90°，∴△DEF不可能是等腰直角三角形．25．（6分）学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60度．（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N 分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①是；②是；③否．并对②，③的判断，选择一个给出证明．【解答】（1）证明：在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．（2）①是；②是；③否．②的证明：如图，在△ACM和△BAN中，，∴△ACM≌△BAN（SAS），∴∠AMC=∠BNA，∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°，∴∠BQM=60°．③的证明：如图，在Rt△ABM和Rt△BCN中，，∴Rt△ABM≌Rt△BCN（SAS），∴∠AMB=∠BNC．又∵∠NBM+∠BNC=90°，∴∠QBM+∠QMB=90°，∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．。
2014龙岩数学质检试题(含答案)
2014年龙岩市九年级学业（升学）质量检查数 学 试 题（满分：150分 考试时间：120分钟）注意事项：1. 答题前，考生务必先将自己的准考证号、姓名、座位号填写在答题卡上.2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效；按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区书写的答案无效.3. 选择题答题使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5mm 的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分. 每题的四个选项中，只有一个符合题意，请将正确的选项填涂到答题卡．．．上） 1．4-的相反数是 A ．4B ．4-C ．41 D ．41-2．下列运算正确的是 A ．235a b ab +=B ．235()a a a -⋅=C ．824a a a ÷=D ．222()a b a b -=-3．若要判断小刚的数学考试成绩是否稳定，则需要知道他最近连续几次数学考试成绩的 A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差4．顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是 A ．矩形B ．直角梯形C ．菱形D ．正方形5．从0，2，4三个数中随机抽取两个数相乘，积为正数的概率是 A ．0B ．31 C ．32 D ．16．如图，若圆锥的母线长等于底面的直径，则圆锥的侧面展开图的圆心角 的度数为A ．60︒B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错（第10题图）yx1P 2P 3P1A 2A 3AO误！未找到引用源。
7．下面四个几何体中，主视图与俯视图相同的是A B C D 8．边长为3，4，5的三角形的内切圆半径是A ．1B ．32 C ．2 D ．529．函数1y ax =+与函数21(0)y ax x a =-+≠在同一坐标系内的图象可能是ABCD10．如图，在平面直角坐标系中，11POA ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，…，1n n n P A A -∆是等边三角形，其中1P ，2P ，3P ，…，n P 在反比例函数ky x=的图象上，1A ，2A ，3A ，…，n A 在x 轴的正半轴上，且11POA ∆的边长为2，据此推测，1n n n P A A -∆的面积是 A ．23(1)n - B ．23(1)n n -- C ．223[(1)]n n --D ．23(1)n n +-二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分.） 11．若式子2x -有意义，则x 的取值范围是__________． 12．因式分解：231212a a -+= ．13．据统计，2014年福建省约有25.5万人报名参加高考，25.5万人用科学记数法表示为人.OOy y yy1111xxxxOO14．已知数据：2，1-，3，5，6，5，则这组数据的极差是 ． 15．分式方程213x =+的解是 ． 16．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ， 对角线AC BC ⊥， 60B ∠=︒，2BC cm =，则DC = cm ． 17．对于实数m ，n ，定义一种运算“※”为：m ※n =mn +n . 若关于x 的方程x ※（a ※x ）=14-有两个相同的实数根，则满足条件的实数a 的值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共89分.） 18．（10分）（1）计算：0(2014)8|12|2sin 45π++--︒.（2）先化简，后求值：2(1)(2)1(1)11x x x x --÷-+-，其中15x =+. 19．（8分）解不等式组2(3)31324x x x +≥-⎧⎪⎨+->⎪⎩，并将解集在数轴上表示出来. 20．（10分）如图，在ABC ∆中，点D ,E 分别在边BC ,AC 上， 连接AD ,DE ，且1B C ∠=∠=∠．（1）请找出图中一对相似三角形：__________________； （2）若3AE =，2EC =，求线段AD 的长．（精确到0.01）21．（10分）某市为了解中心城区外来务工人员的专业技术状况，劳动部门随机抽查一批外来务工人员，并根据所收集的数据绘制了如下两幅不完整的统计图：请回答问题：（1）本次共抽查了 名外来务工人员，其中有中级技术的务工人员人数占抽查人数的百分比是 ；（第16题图）A BCD （第20题图）ACBDE1（第21题图）高级技术中级技术初级技术 无技术70%（第22题图） （2）将条形图补充完整；（3）若在本次抽查的具备中级技术和高级技术的外来务工人员中随机抽取两名去某公司应聘，请计算所抽取的两人都是具备中级技术人员的概率. 22．（12分）（1）如图①，把一个等腰直角ABC ∆沿斜边上的中线CD 剪开，先将ADC ∆绕点D 顺时针旋转 度，再沿直线DB 平移至'A BD ∆，拼成一个四边形'A BCD ，则四边形'A BCD 是 ．（填“平行四边形”或“菱形”）（2）按上述的裁剪方法，请你拼一个与图①不同的四边形，并在图②中画出示意图；则你所画的四边形（ ） A ．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B ．是中心对称图形，但不是轴对称图形 C ．既是轴对称图形，又是中心对称图形 D ．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 （3）请你尝试与上述不同的裁剪方法，在等腰直角ABC ∆中沿一条直线剪开，把剪开的两部分拼成一个特殊四边形．请分别在图③、图④中画出你拼得的两个特殊四边形的示意图，并在图下方写出相应的特殊四边形的名称．（注：以上有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明）23．（12分）上周末，九年级（3）班班主任组织部分同学从学校出发 去看望生病在家的小江同学．由于人数较多，校车只好分两组 运送．其中甲组先乘车、乙组在学校等待；校车行至途中A 处， 甲组下车匀速步行，校车返回学校接乙组，最后两组同时到达． 已知汽车的速度是甲组步行速度的15倍，乙组离小江家距离(km)s 与乙组出发后的时间(h)t 之间的函数关系如图所示．（假设校车匀速前进，且甲乙两组上下车时间忽略不计）（1）学校与小江家距离是 km ，校车速度为 km /h ； （2）求A 处离小江家距离．24．（13分）如图，将一块三角板放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的 直角顶点P 在对角线AC 上滑动，一直角边始终经过点B ，另一直角 边与射线．．DC 相交于点Q .设AP x =.（第23题图）ABP① ② C B C B A A 'A D D③ ④A CBC B A/kms /ht（1）当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 有怎样的数量关系？试证明你观察得到的结论；（2）是否存在点P （P 不与A 重合），使PCQ ∆为等腰三角形？若存在，请求出相应的x 值；若不存在，请说明理由；（3）设以点B ，C ，P ，Q 为顶点的多边形的面积为y ，试确定y与x 之间的函数关系式.25．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点(3,0)A ，点(1,0)B -，与y 轴的正半轴交于点C ，且tan 3OBC ∠=.（1）求抛物线的解析式；（2）请在抛物线的对称轴上找出点P ，使P 到A 、C 两点的距离之差最大；（3）若有一条平行于x 轴的直线与抛物线交于E 、F 两点，且以EF 为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆圆心的 坐标．2014年龙岩市九年级学业（升学）质量检查数学试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案ABDCBDDACB二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11．2x ≥ 12．23(2)a - 13．52.5510⨯ 14．7 15．1x =- 16．2 17．0a =三、解答题（本大题共8小题，共89分） 18．解：（1）原式21222122=++--⨯………………………………………3分 322=- ………………………………………………………4分（第25题图）ABCOxy22= (5)分（2）原式22(1)(2)11(1)(1)(2)1(1)1112x x x x x x x x x x x x ----+---=÷==-+-+- ………9分 当15x =+时，原式2(151)5=+-= …………………………………………10分19．解：2(3)31324x x x +≥-⎧⎪⎨+->⎪⎩①② 解不等式①得：1x ≥- ………………………………………………………………2分解不等式②得：3x < ………………………………………………………………4分 所以原不等式组的解集为13x -≤< ……………………………………………5分 在数轴上表示为：（注：端点实心空心错一个扣1分）……………………………8分 20．（1）ABDDCE ∆∆或ADE ACD ∆∆ ……………………………………3分（2）在ADE ∆与ACD ∆中，1DAE CADC∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，所以ADEACD ∆∆ ………6分所以AE ADADAC =，所以23(32)3515AD AE AC ==⨯+=⨯=， …………8分 所以15 3.87AD =≈. ……………………………………………………9分答：AD 的长为3.87. ……………………………………………………10分21．（1）50；6% …………………………………………………………………………4分（2）………………………6分（3）解：4321-2-1O O 人数专业技术情况高级技术中级技术初级技术无技术2351015202530350A BP C Q D （第24题图）E F 1234从树形图可知，所有可能的结果有20种，两名都是中级技术人员的结果有6种，所抽取 的两名都是具备中级技术人员的概率为63()2010P A == ……………………………10分 22．解：（1）90，平行四边形. ………………………………………………………4分（2）如图①所示；C ． ………………………………………………………8分（3）如图②－⑧所示．（画其中两个即可）平行四边形、矩形、等腰梯形或者直角梯形． ………………12分 23．解：（1）16（2分） 60（3分）（2）设A 处离小江家距离为km x则由已知及（1）可得步行速度为4km /h依题意得161646060x x -=+ …………………………………………………9分 解得2x = …………………………………………………………………11分答：A 处离小江家距离为2km …………………………………………12分24．解：（1）PQ PB =. 证明如下：过点P 作//EF AD ，分别交AB 、CD 于点E 、F 因为四边形ABCD 是正方形，所以90BAD D ∠=∠=︒,AD AB =，345∠=︒所以90BEP PFQ ∠=∠=︒，四边形AEFD 为矩形，3445∠=∠=︒所以AE PE =，AB AD EF ==，所以BE PF =， 又因为90BPQ ∠=︒，所以1290EPB EPB ∠+∠=∠+∠=︒，所以12∠=∠所以()PEB QFP ASA ∆∆≌，所以PQ PB = …………………………4分ABDC'D ⑤ ⑥ ⑦ ⑧① ② ③ ④'D DAC BE D EAAC BD E'A CB 'A ADCEB 'D E'E D B CD E 'A A BADCBE 'C 2k k k 2kC y 'P P （2）存在. ………………………………………………………………………5分理由如下：当点Q 在线段DC 上时，PCQ ∆不可能为等腰三角形 ………6分 当点Q 在DC 的延长线上时，PCQ ∠为钝角， 所以当PC QC =时，PCQ ∆为等腰三角形.因为在Rt ADC ∆中，1AD DC ==，所以2AC =， 又因为AP x =，所以2PC x =-，按（1）的方法可得22(1)2122CQ x x x =--=- 又因为PC QC =，所以221x x -=-，所以1x = ………………8分（3）当点Q 在线段CD 上时，PEB PFQ y S S S ∆∆=-矩形BEFC -由（1）得，PEB QFP ∆∆≌，AP x =，1BC AB AD ===，所以212BE PF x ==-22PE FQ x ==， 所以212S x =-矩形BEFC ，122(1)222PEB PFQ S S x x ∆∆==⨯⋅-所以221221212(1)21(0)222222y x x x x x x =--⨯⨯⋅-=-+≤≤…………………………………………………………………………10分②当点Q 在DC 延长线上时，PCB BCQ y S S ∆∆=+因为212FC x =-，21CQ x =-，1BC =， 所以1212(1)1(21)12224y x x x =-⨯+-⨯=2(2)2x <≤………12分 综上所述，y 与x 之间的函数关系式为：21221,02222,242x x x y x x ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩……………………………………………………………………………13分25．解：（1）如图1，由(1,0)B -知1OB =，因为tan 3OBC ∠=，所以33OC OB ==所以点C 的坐标为(0,3) ………………………………………………1分设抛物线的解析式为23y ax bx =++，因为抛物线经过(3,0)A ,(1,0)B -，则933030a b a b ++=⎧⎨-+=⎩， ………………2分解得12a b =-⎧⎨=⎩…………………………………3分 所以抛物线的解析式为223y x x =-++ …………4分(1,)F r r +-yC B A x 图2 （第25题图）EE (1,)F r r +(1,)D r (1,)D r -（2）如图1，抛物线的对称轴为1x = ………………5分延长BC ，与对称轴1x =交于点P ，则点P 即为所求 此时，||||PA PC PB PC BC -=-= …………6分 设'P 为抛物线对称轴上不同于P 的任意一点， 则有|'||'|P A PC P B PC BC -=-< 所以|'|||P A PC PA PC -<-，即||PA PC -最大 ……………………………7分设直线BC 的解析式为y kx m =+，则03k m m -+=⎧⎨=⎩，解得33k b =⎧⎨=⎩所以直线BC 的解析式为33y x =+ (8)分令1x =，得6y =，所以点P 的坐标为(1,6) ………………………………9分（3）如图2，圆与x 轴相切有两种情况： ①当直线EF 在x 轴上方时，假定点F 在点E 的右侧，设圆心为D ，半径为r ，则点(1,)D r因为圆D 与x 轴相切，所以点F 为(1,)r r + ………………………………………10分因为点(1,)F r r +在抛物线223y x x =-++上，所以2(1)2(1)3r r r =-++++ ……11分即240r r +-=， 解得11172r -+=，21172r --=（舍去）所以圆心D 的坐标为117(1,)2-+ ………12分 ②当直线EF 在x 轴下方时，由①可知(1,)D r -，F 为(1,)r r +-代入抛物线解析式可得：2(1)2(1)3r r r -=-++++解得31172r +=，41172r -=（舍去） ……………………………13分 所以圆心D 的坐标为117(1,)2+- 综上所述，此圆的圆心坐标为117(1,)2-+或117(1,)2+- ……………14分。
2014年福建省福州市中考数学试卷及解析(word版)
2014年福建省福州市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（2014年福建福州）﹣5的相反数是（）A．﹣5 B．5C．D．﹣分析：根据相反数的定义直接求得结果．解：﹣5的相反数是5．故选：B．点评：本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．2．（2014年福建福州）地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学记数法表示为（）A．11×104B．1.1×105C．1.1×104D．0.11×105分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将110000000用科学记数法表示为：1.1×105．故选：B．点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（2014年福建福州）某几何体的三视图如图，则该几何体是（）A．三棱柱B．长方体C．圆柱D．圆锥分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．故选D．点评：考查了由三视图判断几何体的知识，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为锥体．4．（2014年福建福州）下列计算正确的是（）A．x4•x4=x16B．（a3）2=a5C．（ab2）3=ab6D．a+2a=3a分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，幂的乘方，底数不变指数相乘，积的乘方，先把积的每一个因式分别乘方，再把所得到幂相乘，合并同类项，即把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．对各小题计算后利用排除法求解．解；A．x4•x4=x16，故本小题错误；B．（a3）2=a5，故本小题错误；C．（ab2）3=ab6故本小题错误；D．a+2a=3a，正确．故选：D．点评：本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项，熟练掌握运算性质并理清指数的变化是解题的关键．5．（2014年福建福州）若7名学生的体重（单位：kg）分别是：40，42，43，45，47，47，58，则这组数据的平均数是（）A．44 B．45 C．46 D．47分析：先求出这组数的和，然后根据“总数÷数量=平均数”进行解答即可；解：平均数为：（40+42+43+45+47+47+58）÷7=322÷7=46（千克）；故选C．点评：此题考查了平均数的计算方法，牢记计算方法是解答本题的关键，难度较小．6．（2014年福建福州）下列命题中，假命题是（）A．对顶角相等B．三角形两边的和小于第三边C．菱形的四条边都相等D．多边形的外角和等于360°分析：分别利用对顶角的性质、三角形的三边关系、菱形的性质及多边形的外角和对四个选项分别判断后即可确定正确的选项．解：A、对顶角相等，正确，是真命题；B、三角形的两边之和大于第三边，错误，是假命题；C、菱形的四条边都相等，正确，是真命题；D、多边形的外角和为360°，正确，为真命题，故选B．点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟知对顶角的性质、三角形的三边关系、菱形的性质及多边形的外角和定理，属于基础知识，难度较小．7．（2014年福建福州）若（m﹣1）2+=0，则m+n的值是（）A．﹣1 B．0C．1D．2分析：根据非负数的性质，可求出m、n的值，然后将代数式化简再代值计算．解：∵（m﹣1）2+=0，∴m﹣1=0，n+2=0；∴m=1，n=﹣2，∴m+n=1+（﹣2）=﹣1故选：A．点评：考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．8．（2014年福建福州）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．=B．=C．=D．=分析：根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．解：设原计划每天生产x台机器，则现在可生产（x+50）台．依题意得：=．故选：A．点评：此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键．9．（2014年福建福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°分析：根据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD又∵△ADE是等边三角形，∴AE=AD=DE，∠DAE=60°∴AD=AE∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°∴∠ABE=（180°﹣150°）÷2=15°又∵∠BAC=45°∴∠BFC=45°+15°=60°故选：C．点评：本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出∠ABE=15°．10．（2014年福建福州）如图，已知直线y=﹣x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y=交于E，F两点，若AB=2EF，则k的值是（）A．﹣1 B．1C．D．分析：作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，先利用一次函数图象上点的坐标特征得到A（2，0），B（0，2），易得△AOB为等腰直角三角形，则AB=OA=2，所以EF=AB=，且△DEF为等腰直角三角形，则FD=DE=EF=1；设F点坐标为（t，﹣t+2），则E点坐标为（t+1，﹣t+1），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到t（﹣t+2）=（t+1）•（﹣t+1），解得t=，这样可确定E点坐标为（，），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=×．解：作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，如图，A点坐标为（2，0），B点坐标为（0，2），OA=OB，∴△AOB为等腰直角三角形，∴AB=OA=2，∴EF=AB=，∴△DEF为等腰直角三角形∴FD=DE=EF=1，设F点坐标为（t，﹣t+2），则E点坐标为（t+1，﹣t+1），∴t（﹣t+2）=（t+1）•（﹣t+1），解得t=，∴E点坐标为（，），∴k=×=．故选D．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（2014年福建福州）分解因式：ma+mb=．分析：这里的公因式是m，直接提取即可．解：ma+mb=m（a+b）．点评：本题考查了提公因式法分解因式，公因式即多项式各项都含有的公共的因式．12．（（2014年福建福州）若5件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，则抽到不合格产品的概率是．分析：根据不合格品件数与产品的总件数比值即可解答．解：∵在5个外观相同的产品中，有1个不合格产品，∴从中任意抽取1件检验，则抽到不合格产品的概率是：．故答案为：．点评：本题主要考查概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．13．（2014年福建福州）计算：（+1）（﹣1）=．分析：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．就可以用平方差公式计算．结果是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．解：（+1）（﹣1）=．点评：本题应用了平方差公式，使计算比利用多项式乘法法则要简单．14．（2014年福建福州）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则▱ABCD的周长是．分析：根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD 的周长．解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE=∠CED，∴∠CDE=∠CED，∴CE=CD，∵在▱ABCD中，AD=6，BE=2，∴AD=BC=6，∴CE=BC﹣BE=6﹣2=4，∴CD=AB=4，∴▱ABCD的周长=6+6+4+4=20．故答案为：20．点评：本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．15．（2014年福建福州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=BC．若AB=10，则EF的长是．分析：根据三角形中位线的性质，可得DE与BC的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得DC与EF的关系，根据直角三角形的性质，可得DC与AB的关系，可得答案．解：如图，连接DC．DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=，∵CF=BC，∴DE∥CF，DE=CF，∴CDEF是平行四边形，∴EF=DC．∵DC是Rt△ABC斜边上的中线，∴DC==5，∴EF=DC=5，故答案为：5．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．三、解答题（满分90分）16．（2014年福建福州）（1）计算：+（）0+|﹣1|；（2）先化简，再求值：（x+2）2+x（2﹣x），其中x=．分析：（1）本题涉及零指数幂、绝对值、二次根式化简三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）根据完全平方公式、单项式成多项式，可化简整式，根据代数式求值，可得答案．解：（1）原式=3+1+1=5；（2）原式=x2+4x+4+2x﹣x2=6x+4，当x=时，原式=6×+4=2+4=6．点评：本题考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂、绝对值、二次根式的运算．17．（2014年福建福州）（1）如图1，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：∠A=∠D．（2）如图2，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上．①sinB的值是；②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（A与A1，B与B1，C与C1相对应），连接AA1，BB1，并计算梯形AA1B1B的面积．分析：（1）根据全等三角形的判定与性质，可得答案；（2）根据正弦函数的定义，可得答案；根据轴对称性质，可作轴对称图形，根据梯形的面积公式，可得答案．（1）证明：BE=CF，∴BE+EF=CF+EF．即BF=CE．在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS）．∴∠A=∠D；（2）解：①∵AC=3，BC=4，∴AB=5．sinB=；②如图所示：由轴对称性质得AA1=2，BB1=8，高是4，∴==20．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等式的性质，全等三角形的判定与性质．18．（2014年福建福州）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85≤x≤100为A级，75≤x≤85为B级，60≤x≤75为C级，x＜60为D级．现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了名学生，α=%；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为度；（4）若该校共有2000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？分析：（1）根据B级的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用A级的人数除以总数即可求出a；（2）用抽取的总人数减去A、B、D的人数，求出C级的人数，从而补全统计图；（3）用360度乘以C级所占的百分比即可求出扇形统计图中C级对应的圆心角的度数；（4）用D级所占的百分比乘以该校的总人数，即可得出该校D级的学生数．解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生数是：=50（人），a=×100%=24%；故答案为：50，24；（2）等级为C的人数是：50﹣12﹣24﹣4=10（人），补图如下：（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为×360°=72°；故答案为：72；（4）根据题意得：2000×=160（人），答：该校D级学生有160人．点评：此题考查了是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19．（2014年福建福州）现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了160元．（1）求A，B两种商品每件各是多少元？（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，但不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？分析：（1）设A商品每件x元，B商品每件y元，根据关系式列出二元一次方程组．（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品（10﹣a）件，根据关系式列出二元一次不等式方程组．求解再比较两种方案．解：（1）设A商品每件x元，B商品每件y元，依题意，得，解得．答：A商品每件20元，B商品每件50元．（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品（10﹣a）件解得5≤a≤6根据题意，a的值应为整数，所以a=5或a=6．方案一：当a=5时，购买费用为20×5+50×（10﹣5）=350元；方案二：当a=6时，购买费用为20×6+50×（10﹣6）=320元；∵350＞320∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低．答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件，其中方案二费用最低．点评：此题主要考查二元一次方程组及二元一次不等式方程组的应用，根据题意得出关系式是解题关键．20．（2014年福建福州）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆．（1）求BC的长；（2）求⊙O的半径．分析：（1）根据题意得出AE的长，进而得出BE=AE，再利用tan∠ACB=，求出EC的长即可；（2）首先得出AC的长，再利用圆周角定理得出∠D=∠M=60°，进而求出AM的长，即可得出答案．解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴∠AEB=∠AEC=90°，在Rt△ABE中，∵sinB=，∴AE=ABsinB=3sin45°=3×=3，∵∠B=45°，∴∠BAE=45°，∴BE=AE=3，在Rt△ACE中，∵tan∠ACB=，∴EC====，∴BC=BE+EC=3+；（2）连接AO并延长到⊙O上一点M，连接CM，由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=，∴AC=2，∵∠D=∠M=60°，∴sin60°===，解得：AM=4，∴⊙O的半径为2．点评：此题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数关系应用，根据题意正确构造直角三角形是解题关键．21．（2014年福建福州）如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．（1）当t=秒时，则OP=1，S△ABP=；（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ•BP=3．分析：（1）如答图1所示，作辅助线，利用三角函数或勾股定理求解；（2）当△ABP是直角三角形时，有三种情形，需要分类讨论；（3）如答图4所示，作辅助线，构造一对相似三角形△OAQ∽△PBO，利用相似关系证明结论．（1）解：当t=秒时，OP=2t=2×=1．如答图1，过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△POD中，PD=OP•sin60°=1×=，∴S△ABP=AB•PD=×（2+1）×=．（2）解：当△ABP是直角三角形时，①若∠A=90°．∵∠BOC=60°且∠BOC＞∠A，∴∠A≠90°，故此种情形不存在；②若∠B=90°，如答图2所示：∵∠BOC=60°，∴∠BPO=30°，∴OP=2OB=2，又OP=2t，∴t=1；③若∠APB=90°，如答图3所示：过点P作PD⊥AB于点D，则OD=OP•cos30°=t，PD=OP•sin60°=t，∴AD=OA+OD=2+t，BD=OB﹣OD=1﹣t．在Rt△ABP中，由勾股定理得：PA2+PB2=AB2∴（AD2+PD2）+（BD2+PD2）=AB2，即[（2+t）2+（t）2]+[（1﹣t）2+（t）2]=32解方程得：t=或t=（负值舍去），∴t=．综上所述，当△ABP是直角三角形时，t=1或t=．（3）证明：如答图4，过点O作OE∥AP，交PB于点E，则有，∴PE=PB．∵AP=AB，∴∠APB=∠B，∵OE∥AP，∴∠OEB=∠APB，∴∠OEB=∠B，∴OE=OB=1，∠3+∠B=180°．∵AQ∥PB，∴∠OAQ+∠B=180°，∴∠OAQ=∠3；∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B，∠QOP=∠B，∴∠1=∠2；∴△OAQ∽△PBO，∴，即，化简得：AQ•PB=3．点评：本题是运动型综合题，考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程等多个知识点．第（2）问中，解题关键在于分类讨论思想的运用；第（3）问中，解题关键是构造相似三角形，本问有多种解法，可探究尝试．22．（2014年福建福州）如图，抛物线y=（x﹣3）2﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO=∠ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．分析：（1）根据二次函数性质，求出点A、B、D的坐标；（2）如何证明∠AEO=∠ADC？如答图1所示，我们观察到在△EFH与△ADF中：∠EHF=90°，有一对对顶角相等；因此只需证明∠EAD=90°即可，即△ADE为直角三角形，由此我们联想到勾股定理的逆定理．分别求出△ADE三边的长度，再利用勾股定理的逆定理证明它是直角三角形，由此问题解决；（3）依题意画出图形，如答图2所示．由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．利用二次函数性质求出EP2最小时点P的坐标，并进而求出点Q的坐标．（1）解：顶点D的坐标为（3，﹣1）．令y=0，得（x﹣3）2﹣1=0，解得：x1=3+，x2=3﹣，∵点A在点B的左侧，∴A（3﹣，0），B（3+，0）．（2）证明：如答图1，过顶点D作DG⊥y轴于点G，则G（0，﹣1），GD=3．令x=0，得y=，∴C（0，）．∴CG=OC+OG=+1=，∴tan∠DCG=．设对称轴交x轴于点M，则OM=3，DM=1，AM=3﹣（3﹣）=．由OE⊥CD，易知∠EOM=∠DCG．∴tan∠EOM=tan∠DCG==，解得EM=2，∴DE=EM+DM=3．在Rt△AEM中，AM=，EM=2，由勾股定理得：AE=；在Rt△ADM中，AM=，DM=1，由勾股定理得：AD=．∵AE2+AD2=6+3=9=DE2，∴△ADE为直角三角形，∠EAD=90°．设AE交CD于点F，∵∠AEO+∠EFH=90°，∠ADC+AFD=90°，∠EFH=∠AFD（对顶角相等），∴∠AEO=∠ADC．（3）解：依题意画出图形，如答图2所示：由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．设点P坐标为（x，y），由勾股定理得：EP2=（）2+（y﹣2）2．∵y=（x﹣3）2﹣1，∴（x﹣3）2=2y+2．∴EP2=2y+2+（y﹣2）2=（y﹣1）2+5当y=1时，EP2有最小值，最小值为5．将y=1代入y=（x﹣3）2﹣1，得（x﹣3）2﹣1=1，解得：x1=1，x2=5．又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x1=1舍去．∴P（5，1）．此时点Q坐标为（3，1）或（，）．点评：本题是二次函数压轴题，涉及考点众多，难度较大．第（2）问中，注意观察图形，将问题转化为证明△ADE为直角三角形的问题，综合运用勾股定理及其逆定理、三角函数（或相似形）求解；第（3）问中，解题关键是将最值问题转化为求EP2最小值的问题，注意解答中求EP2最小值的具体方法．。
2014-2015年福建省龙岩二中九年级(上)期中数学试卷及参考答案
2014-2015学年福建省龙岩二中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（3分×10=30分）1．（3分）下列方程，是一元二次方程的是（）①3x2+x=20，②2x2﹣3xy+4=0，③x2﹣=4，④x2=0，⑤x2﹣+3=0．A．①②B．①②④⑤C．①③④D．①④⑤2．（3分）在抛物线y=2x2﹣3x+1上的点是（）A．（0，﹣1）B． C．（﹣1，5）D．（3，4）3．（3分）直线与抛物线的交点个数是（）A．0个 B．1个C．2个 D．互相重合的两个4．（3分）关于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），下面几点结论中，正确的有（）①当a＞0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当a＜0时，情况相反．②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点．③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同．④一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根，就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标．A．①②③④B．①②③C．①②D．①5．（3分）方程（x﹣3）2=（x﹣3）的根为（）A．3 B．4 C．4或3 D．﹣4或36．（3分）如果代数式x2+4x+4的值是16，则x的值一定是（）A．﹣2 B．2，﹣2C．2，﹣6 D．30，﹣347．（3分）若c（c≠0）为关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的根，则c+b的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣28．（3分）从正方形铁片上截去2cm宽的一个长方形，剩余矩形的面积为80cm2，则原来正方形的面积为（）A．100cm2B．121cm2C．144cm2D．169cm29．（3分）方程x2+3x﹣6=0与x2﹣6x+3=0所有根的乘积等于（）A．﹣18 B．18 C．﹣3 D．310．（3分）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（）A．24 B．24或8C．48 D．8二、填空题（3分×10=30分）11．（3分）二次函数y=﹣3（x）2+（）的图象的顶点坐标是（1，﹣2）．12．（3分）已知y=﹣2，当x时，函数值随x的增大而减小．13．（3分）已知直线y=2x﹣1与抛物线y=5x2+k交点的横坐标为2，则k=，交点坐标为．14．（3分）用配方法将二次函数y=x2+x化成y=a（x﹣h）2+k的形式是．15．（3分）x2﹣10x+ =（x﹣）2．16．（3分）若关于x的一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m﹣3=0有一个根为0，则m=，另一根为．17．（3分）方程x2﹣3x﹣10=0的两根之比为．18．（3分）已知方程x2﹣7x+12=0的两根恰好是Rt△ABC的两条边的长，则Rt △ABC的第三边长为．19．（3分）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为．20．（3分）某超市从我国西部某城市运进两种糖果，甲种a千克，每千克x元，乙种b千克，每千克y元，如果把这两种糖果混合后销售，保本价是元/千克．三、解答题（共90分）21．（16分）用适当的方法解下列方程：（1）（3x﹣1）2=（x+1）2；（2）2x2+x﹣=0；（3）用配方法解方程：x2﹣4x+1=0；（4）用换元法解方程：（x2+x）2+（x2+x）=6．22．（15分）已知方程2（m+1）x2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m的值．（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程有两个相反的实数根；（3）方程的一个根为0．23．（12分）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）如果x1，x2满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数，求m的值．24．（12分）已知+3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴．25．（20分）已知抛物线y=ax2+bx+c，如图所示，直线x=﹣1是其对称轴，（1）确定a，b，c，△=b2﹣4ac的符号；（2）求证：a﹣b+c＞0；（3）当x取何值时，y＞0，当x取何值时y＜0．26．（15分）已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点Q（0，﹣3），图象与x轴两交点的横坐标的平方和为15，求函数解析式及对称轴．2014-2015学年福建省龙岩二中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（3分×10=30分）1．（3分）下列方程，是一元二次方程的是（）①3x2+x=20，②2x2﹣3xy+4=0，③x2﹣=4，④x2=0，⑤x2﹣+3=0．A．①②B．①②④⑤C．①③④D．①④⑤【解答】解：①符合一元二次方程的条件，正确；②含有两个未知数，故错误；③不是整式方程，故错误；④符合一元二次方程的条件，故正确；⑤符合一元二次方程的条件，故正确．故选：D．2．（3分）在抛物线y=2x2﹣3x+1上的点是（）A．（0，﹣1）B． C．（﹣1，5）D．（3，4）【解答】解：当x=0时，y=2x2﹣3x+1=1；当x=时，y=2x2﹣3x+1=2×﹣3×+1=0；当x=﹣1时，y=2x2﹣3x+1=2×1+3+1=6；当x=3时，y=2x2﹣3x+1=2×9﹣3×3+1=10；所以点（，0）在抛物线y=2x2﹣3x+1上，点（0，﹣1）、（﹣1，5）、（3，4）不在抛物线y=2x2﹣3x+1上．故选：B．3．（3分）直线与抛物线的交点个数是（）A．0个 B．1个C．2个 D．互相重合的两个【解答】解：直线y=x﹣2与抛物线y=x2﹣x的交点求法是：令x﹣2=x2﹣x，∴x2﹣3x+2=0，∴x1=1，x2=2，∴直线y=x﹣2与抛物线y=x2﹣x的个数是2个．故选：C．4．（3分）关于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），下面几点结论中，正确的有（）①当a＞0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当a＜0时，情况相反．②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点．③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同．④一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根，就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标．A．①②③④B．①②③C．①②D．①【解答】解：①当a＞0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x 的增大而增大，当a＜0时，情况相反，正确．②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的定点，正确．③只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同，正确．④一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根，就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标，正确，故选：A．5．（3分）方程（x﹣3）2=（x﹣3）的根为（）A．3 B．4 C．4或3 D．﹣4或3【解答】解：（x﹣3）2=（x﹣3）（x﹣3）2﹣（x﹣3）=0（x﹣3）（x﹣4）=0x1=4，x2=3故选：C．6．（3分）如果代数式x2+4x+4的值是16，则x的值一定是（）A．﹣2 B．2，﹣2C．2，﹣6 D．30，﹣34【解答】解：由题知x2+4x+4=16，∴x2+4x﹣12=0，∴（x﹣2）（x+6）=0，∴x1=2，x2=﹣6．故选C．7．（3分）若c（c≠0）为关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的根，则c+b的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：把x=c代入方程x2+bx+c=0，可得c2+bc+c=，0即c（b+c）+c=0，c（b+c+1）=0，又∵c≠0，∴b+c+1=0，∴c+b=﹣1．故选：B．8．（3分）从正方形铁片上截去2cm宽的一个长方形，剩余矩形的面积为80cm2，则原来正方形的面积为（）A．100cm2B．121cm2C．144cm2D．169cm2【解答】解：设正方形边长为xcm，依题意得x2=2x+80解方程得x1=10，x2=﹣8（舍去）所以正方形的边长是10cm，面积是100cm2故选：A．9．（3分）方程x2+3x﹣6=0与x2﹣6x+3=0所有根的乘积等于（）A．﹣18 B．18 C．﹣3 D．3【解答】解：方程x2+3x﹣6=0的两根之积为﹣6，x2﹣6x+3=0的两根之积为3，所以两个方程的所有根的积：﹣6×3=﹣18，故选：A．10．（3分）三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（）A．24 B．24或8C．48 D．8【解答】解：x2﹣16x+60=0⇒（x﹣6）（x﹣10）=0，∴x=6或x=10．当x=6时，该三角形为以6为腰，8为底的等腰三角形．∴高h==2，=×8×2=8；∴S△当x=10时，该三角形为以6和8为直角边，10为斜边的直角三角形．∴S=×6×8=24．△∴S=24或8．故选：B．二、填空题（3分×10=30分）11．（3分）二次函数y=﹣3（x﹣1）2+（﹣2）的图象的顶点坐标是（1，﹣2）．【解答】解：二次函数y=﹣3（x﹣1）2﹣2的图象的顶点坐标是（1，﹣2）．故答案为﹣1，﹣2．12．（3分）已知y=﹣2，当x＜﹣1时，函数值随x的增大而减小．【解答】解：抛物线y=﹣2，可知a=＞0，开口向上，对称轴x=﹣1，∴当x＜﹣1时，函数值y随x的增大而减小．故答案为：＜﹣1．13．（3分）已知直线y=2x﹣1与抛物线y=5x2+k交点的横坐标为2，则k=﹣17，交点坐标为（2，3）．【解答】解：将x=2代入直线y=2x﹣1得，y=2×2﹣1=3，则交点坐标为（2，3），将（2，3）代入y=5x2+k得，3=5×22+k，解得k=﹣17．故答案为：﹣17，（2，3）．14．（3分）用配方法将二次函数y=x2+x化成y=a（x﹣h）2+k的形式是y=（x+）2﹣．【解答】解：y=x2+x，=x2+x+﹣，=（x+）2﹣．故应填：y=（x+）2﹣．15．（3分）x2﹣10x+ 25=（x﹣5）2．【解答】解：∵10x=2•5•x，∴尾项为5的平方，即52=25．故x2﹣10x+25=（x﹣5）2．16．（3分）若关于x的一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m﹣3=0有一个根为0，则m=1，另一根为﹣．【解答】解：把x=0代入方程得：m2+2m﹣3=0，m+3≠0，解得：m=1，当m=1时，原方程为：4x2+5x=0，解得：x1=0，x2=﹣，方程的另一根为x=﹣．故m的值是1，方程的另一根是x=﹣．故答案为1，﹣．17．（3分）方程x2﹣3x﹣10=0的两根之比为或．【解答】解：∵x2﹣3x﹣10=0∴（x﹣5）（x+2）=0∴x1=5，x2=﹣2∴方程x2﹣3x﹣10=0的两根之比为或．18．（3分）已知方程x2﹣7x+12=0的两根恰好是Rt△ABC的两条边的长，则Rt △ABC的第三边长为5或．【解答】解：方程x2﹣7x+12=0的两个根是3和4．也就是Rt△ABC的两条边的长是3和4．当3和4都是直角边时，第三边==5．当4为斜边时，第三边=．故第三边长是5或．故答案为：5或．19．（3分）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为25或36．【解答】解：设十位数字为x，则个位数字为（x+3），由题意，得（x+3）2=10x+x+3，解得：x1=2，x2=3，∴个位数字为：5或6，∴这个两位数为：25或36．故答案为：25或36．20．（3分）某超市从我国西部某城市运进两种糖果，甲种a千克，每千克x元，乙种b千克，每千克y元，如果把这两种糖果混合后销售，保本价是元/千克．【解答】解：甲种a千克，每千克x元，乙种b千克，每千克y元，保本价=（ax+by）÷（a+b）=．三、解答题（共90分）21．（16分）用适当的方法解下列方程：（1）（3x﹣1）2=（x+1）2；（2）2x2+x﹣=0；（3）用配方法解方程：x2﹣4x+1=0；（4）用换元法解方程：（x2+x）2+（x2+x）=6．【解答】解：（1）将方程（3x﹣1）2=（x+1）2移项得，（3x﹣1）2﹣（x+1）2=0，∴（3x﹣1+x+1）（3x﹣1﹣x﹣1）=0，∴4x（2x﹣2）=0，∴x（x﹣1）=0，解得x1=0，x2=1．（2）∵2x2+x﹣=0，可得，a=2，b=1，c=，∴x=﹣±．（3）∵x2﹣4x+1=0，∴（x﹣2）2=3，解得x1=2+，x2=2﹣．（4）设x2+x=y，则y2+y=6，y1=﹣3，y2=2，则x2+x=﹣3无解，∴x2+x=2，解得x1=﹣2，x2=1．22．（15分）已知方程2（m+1）x2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m的值．（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程有两个相反的实数根；（3）方程的一个根为0．【解答】解：（1）∵△=16m2﹣8（m+1）（3m﹣2）=﹣8m2﹣8m+16，而方程有两个相等的实数根，∴△=0，即﹣8m2﹣8m+16=0，求得m1=﹣2，m2=1；（2）因为方程有两个相反的实数根，所以两根之和为0且△≥0，则﹣=0，求得m=0；（3）∵方程有一根为0，∴3m﹣2=0，∴m=．23．（12分）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1=0的两个实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）如果x1，x2满足不等式7+4x1x2＞x12+x22，且m为整数，求m的值．【解答】解：（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4×2×（m+1）≥0，解得m≤﹣；（2）根据题意得x1+x2=1，x1x2=，∵7+4x1x2＞x12+x22，∴7+4x1x2＞（x1+x2）2﹣2x1x2，即7+6x1x2＞（x1+x2）2，∴7+6•＞1，解得m＞﹣3，∴﹣3＜m≤﹣，∴整数m的值为﹣2，﹣1．24．（12分）已知+3x+6是二次函数，求m的值，并判断此抛物线开口方向，写出顶点坐标及对称轴．【解答】解：由题意得，m﹣2≠0，且m2﹣m=2，解得m=﹣1，所以y=﹣3x2+3x+6，∵﹣3＜0，∴抛物线开口向下，∵y=﹣3x2+3x+6=﹣3（x2﹣x+）++6=﹣3（x﹣）2+，∴顶点坐标为（，），对称轴是x=．25．（20分）已知抛物线y=ax2+bx+c，如图所示，直线x=﹣1是其对称轴，（1）确定a，b，c，△=b2﹣4ac的符号；（2）求证：a﹣b+c＞0；（3）当x取何值时，y＞0，当x取何值时y＜0．【解答】解：（1）∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴x=﹣=﹣1，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2﹣4ac＞0；（2）证明：∵抛物线的顶点在x轴上方，对称轴为x=﹣1，∴当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0；（3）根据图象可知，当﹣3＜x＜1时，y＞0；当x＜﹣3或x＞1时，y＜0．26．（15分）已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点Q（0，﹣3），图象与x轴两交点的横坐标的平方和为15，求函数解析式及对称轴．【解答】解：由点Q（0，﹣3）知c=﹣3，则该抛物线的解析式为y=x2+bx﹣3．设α、β是关于x的方程x2+bx﹣3=0的两根，则α+β=﹣b，αβ=﹣3，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=b2+6=15，解得b=±3，∴所求函数解析式为：y=x2+3x﹣3或y=x2﹣3x﹣3．∴对称轴分别为：x=﹣或x=．。
2014年福建省龙岩市长汀县中考一模数学试卷(解析版)
2014年福建省龙岩市长汀县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请填在答题卡的相应位置）1．（4分）2的相反数是（）A．﹣2B．2C．﹣D．2．（4分）下列x的值能使有意义的是（）A．x＝1B．x＝3C．x＝5D．x＝73．（4分）下列事件中必然发生的是（）A．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数B．地球上，抛出的铁球最后总往下落C．购买一张彩票，中奖D．篮球队员在罚球线上投篮一次，投中4．（4分）如图，由6个形状相同的小正方体搭成的一个几何体，此几何体的左视图是（）A．B．C．D．5．（4分）不等式组的解集是（）A．x＜5B．x＜﹣1C．x＜2D．﹣1＜x＜5 6．（4分）下列各组数据能组成一个三角形的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．5，5，11D．4，5，9 7．（4分）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）A．1B．2C．3D．68．（4分）如图，P是反比例函数y＝在第一象限分支上的一个动点，P A⊥x轴，随着x的逐渐增大，△APO的面积将（）A．增大B．减小C．不变D．无法确定9．（4分）已知⊙O1的半径是5cm，⊙O2的半径是3cm，O1O2＝6cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A．相交B．外切C．外离D．内含10．（4分）如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长度为（）A．2B．2C．D．2二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分．请将答案填入答题卡的相应位置）11．（3分）（a2）3＝．12．（3分）计算：﹣＝．13．（3分）因式分解：x2+2x＝．14．（3分）广州某慈善机构全年共募集善款5250000元，将5250000用科学记数法表示为．15．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连结DE，若BC ＝2，则DE＝．16．（3分）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是．17．（3分）将长方形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处D′，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤），则图⑤中∠α＝．三、解答题（本大题共8小题，共89分．请在答题卡的相应位置作答）18．（10分）（1）计算：2﹣1﹣（2013+π）0+﹣tan45°；（2）解方程：＝．19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝﹣2．20．（10分）我市开展了“寻找雷锋足迹”的活动，某中学为了了解七年在“学雷锋活动月”中做好事的情况，随机调查了七年级50名学生在一个月内做好事的次数，并将所得数据绘制成统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：①所调查的七年级50名学生在这个月内做好事次数的平均数是，众数是，极差是．②根据样本数据，估计该校七年级800名学生在“学雷锋活动月”中做好事不少于4次的人数．21．（9分）已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．求证：△ABC≌△CDE．22．（12分）某中学为了绿化校园，计划购买一批榕树和香樟树，经市场调查榕树的单价比香樟树少20元，购买3棵榕树和2棵香樟树共需340元．（1）请问榕树和香樟树的单价各多少？（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵数不少于榕树的1.5倍，请你算算，该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案．23．（13分）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC ＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：AB＝AC；（2）若⊙O的半径为4，∠BAC＝60°，求DE的长．24．（13分）正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF．（1）如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为：；（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FQ，连接EQ，请猜想BF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．（3）若点P为CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出BF、EQ、BP三者之间的数量关系：．25．（14分）如图，直线AD对应的函数关系式为y＝﹣x﹣1，与抛物线交于点A （在x轴上）、点D，抛物线与x轴另一交点为B（3，0），抛物线与y轴交点C（0，﹣3），（1）求抛物线的解析式；（2）P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）若点F是抛物线的顶点，点G是直线AD与抛物线对称轴的交点，在线段AD上是否存在一点P，使得四边形GFEP为平行四边形；（4）点H抛物线上的动点，在x轴上是否存在点Q，使A、D、H、Q这四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；如果不存在，请说明理由．2014年福建省龙岩市长汀县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请填在答题卡的相应位置）1．（4分）2的相反数是（）A．﹣2B．2C．﹣D．【解答】解：2的相反数等于﹣2．故选：A．2．（4分）下列x的值能使有意义的是（）A．x＝1B．x＝3C．x＝5D．x＝7【解答】解：由题意得：x﹣6≥0，解得：x≥6，故选：D．3．（4分）下列事件中必然发生的是（）A．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数B．地球上，抛出的铁球最后总往下落C．购买一张彩票，中奖D．篮球队员在罚球线上投篮一次，投中【解答】解：A．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数，是随机事件，不符合题意；B．地球上，抛出的铁球最后总往下落，是必然事件，符合题意；C．购买一张彩票，中奖，是随机事件，不符合题意；D．篮球队员在罚球线上投篮一次，投中，是随机事件，不符合题意．故选：B．4．（4分）如图，由6个形状相同的小正方体搭成的一个几何体，此几何体的左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从左面看得到1列上下3个正方形．故选：A．5．（4分）不等式组的解集是（）A．x＜5B．x＜﹣1C．x＜2D．﹣1＜x＜5【解答】解：，由①得，x＜4，由②得，x＜﹣1，所以，不等式组的解集是x＜﹣1．故选：B．6．（4分）下列各组数据能组成一个三角形的是（）A．1，2，3B．3，4，5C．5，5，11D．4，5，9【解答】解：A、2+1＝3，不能组成三角形；B、3+4＞5，能够组成三角形；C、5+5＜11，不能够组成三角形；D、4+5＝9，不能够组成三角形．故选：B．7．（4分）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（）A．1B．2C．3D．6【解答】解：扇形的弧长＝＝4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2．故选：B．8．（4分）如图，P是反比例函数y＝在第一象限分支上的一个动点，P A⊥x轴，随着x的逐渐增大，△APO的面积将（）A．增大B．减小C．不变D．无法确定【解答】解：依题意有△APO的面积＝|k|＝3，所以随着x的逐渐增大，△APO 的面积将不变．故选：C．9．（4分）已知⊙O1的半径是5cm，⊙O2的半径是3cm，O1O2＝6cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A．相交B．外切C．外离D．内含【解答】解：∵R+r＝3+5＝8，R﹣r＝5﹣3＝2，∴2＜6＜8．∴两圆相交．故选：A．10．（4分）如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长度为（）A．2B．2C．D．2【解答】解：连接OE和OC，且OC与EF的交点为M．∵∠EDC＝30°，∴∠COE＝60°．∵AB与⊙O相切，∴OC⊥AB，又∵EF∥AB，∴OC⊥EF，即△EOM为直角三角形．在Rt△EOM中，EM＝sin60°×OE＝×2＝，∵EF＝2EM，∴EF＝．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分．请将答案填入答题卡的相应位置）11．（3分）（a2）3＝a6．【解答】解：原式＝a6．故答案为a6．12．（3分）计算：﹣＝1．【解答】解：原式＝＝1．故答案为：1．13．（3分）因式分解：x2+2x＝x（x+2）．【解答】解：原式＝x（x+2），故答案为：x（x+2）．14．（3分）广州某慈善机构全年共募集善款5250000元，将5250000用科学记数法表示为 5.25×106．【解答】解：将5250000用科学记数法表示为：5.25×106．故答案为：5.25×106．15．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连结DE，若BC ＝2，则DE＝1．【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝×2＝1．故答案为：1．16．（3分）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣1＜x＜3．【解答】解：由图象得：对称轴是x＝1，其中一个点的坐标为（3，0）∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）利用图象可知：ax2+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，∴﹣1＜x＜3故填：﹣1＜x＜317．（3分）将长方形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点处D′，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤），则图⑤中∠α＝22.5°．【解答】解：根据题意得：如图③：四边形ABFE是正方形，∴∠AEB＝∠FEB＝45°，如图⑤：∵EG是折痕，∴∠BEG＝DEG，∵∠AEB＝45°，∠AEB+∠BEG+∠DEG＝180°，∴∠DEG＝67.5°，∴∠α＝90°﹣∠DEG＝22.5°．故答案为：22.5°．三、解答题（本大题共8小题，共89分．请在答题卡的相应位置作答）18．（10分）（1）计算：2﹣1﹣（2013+π）0+﹣tan45°；（2）解方程：＝．【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣2﹣，＝﹣3；（2）2（x﹣2）＝x﹣1，2x﹣4＝x﹣1x＝3；经检验：x＝3是原分式方程的解．19．（8分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝﹣2．【解答】解：（1﹣）÷＝（）＝×＝，把a＝﹣2代入上式得：原式＝＝．20．（10分）我市开展了“寻找雷锋足迹”的活动，某中学为了了解七年在“学雷锋活动月”中做好事的情况，随机调查了七年级50名学生在一个月内做好事的次数，并将所得数据绘制成统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：①所调查的七年级50名学生在这个月内做好事次数的平均数是 4.4，众数是5，极差是4．②根据样本数据，估计该校七年级800名学生在“学雷锋活动月”中做好事不少于4次的人数．【解答】解：（1）①平均数＝（2×5+3×6+4×13+5×16+6×10）÷50＝4.4；5出现了16次，次数最多，所以众数为5次；极差＝6﹣2＝4；故答案为4.4，5，4；②800×＝624，所以估计该校七年级800名学生在“学雷锋活动月”中做好事不少于4次的人数为624人．21．（9分）已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．求证：△ABC≌△CDE．【解答】证明：∵AC∥DE，∴∠ACB＝∠E，∠ACD＝∠D，∵∠ACD＝∠B，∴∠D＝∠B，在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△CDE（AAS）．22．（12分）某中学为了绿化校园，计划购买一批榕树和香樟树，经市场调查榕树的单价比香樟树少20元，购买3棵榕树和2棵香樟树共需340元．（1）请问榕树和香樟树的单价各多少？（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵数不少于榕树的1.5倍，请你算算，该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案．【解答】解：（1）设榕树的单价为x元/棵，香樟树的单价是y元/棵，根据题意得，，解得，答：榕树和香樟树的单价分别是60元/棵，80元/棵；（2）设购买榕树a棵，则购买香樟树为（150﹣a）棵，根据题意得，，解不等式①得，a≥58，解不等式②得，a≤60，所以，不等式组的解集是58≤a≤60，∵a只能取正整数，∴a＝58、59、60，因此有3种购买方案：方案一：购买榕树58棵，香樟树92棵，方案二：购买榕树59棵，香樟树91棵，方案三：购买榕树60棵，香樟树90棵．23．（13分）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC ＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：AB＝AC；（2）若⊙O的半径为4，∠BAC＝60°，求DE的长．【解答】（1）证明：连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵DC＝BD，∴AB＝AC．（2）解：∵∠BAC＝60°，由（1）知AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．在Rt△BAD中，∠BAD＝30°，AB＝8，∴BD＝4，即DC＝4．又∵DE⊥AC，∴DE＝DC•sin C＝4•sin60°＝4×＝2．24．（13分）正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF．（1）如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为：EF⊥FG，EF＝FG；（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FQ，连接EQ，请猜想BF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论．（3）若点P为CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出BF、EQ、BP三者之间的数量关系：BF+BP＝EQ．【解答】解：（1）∵点E、F分别是边AD、AB的中点，G是BC的中点，∴AE＝AF＝BF＝BG，在△AEF和△BFG中，，∴△AEF≌△BFG（SAS），∴EF＝FG，∠AFE＝∠BFG＝45°，∴EF⊥FG，EF＝FG；（2）BF+EQ＝BP．理由：如图2，取BC的中点G，连接FG，则EF⊥FG，EF＝FG，∴∠1+∠2＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，在△FQE和△FPG中，，∴△FQE≌△FPG（SAS），∴QE＝PG且BF＝BG，∵BG+GP＝BP，∴BF+EQ＝BP；（3）如图3所示，BF+BP＝EQ．25．（14分）如图，直线AD对应的函数关系式为y＝﹣x﹣1，与抛物线交于点A （在x轴上）、点D，抛物线与x轴另一交点为B（3，0），抛物线与y轴交点C（0，﹣3），（1）求抛物线的解析式；（2）P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）若点F是抛物线的顶点，点G是直线AD与抛物线对称轴的交点，在线段AD上是否存在一点P，使得四边形GFEP为平行四边形；（4）点H抛物线上的动点，在x轴上是否存在点Q，使A、D、H、Q这四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x﹣1＝0，解得x＝﹣1，所以，点A的坐标为（﹣1，0），设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，∵B（3，0），C（0，﹣3）在抛物线上，∴，解得，所以，抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，∴设点P（x，﹣x﹣1），则点E的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3），＝﹣x﹣1﹣x2+2x+3，＝﹣x2+x+2，＝﹣（x﹣）2+，联立，解得，，所以，点D的坐标为（2，﹣3），∵P是线段AD上的一个动点，∴﹣1＜x＜2，∴当x＝时，PE有最大值，最大值为；（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴点F的坐标为（1，﹣4），点G的横坐标为1，y＝﹣1﹣1＝﹣2，∴点G的坐标为（﹣1，﹣2），∴GF＝﹣2﹣（﹣4）＝﹣2+4＝2，∵四边形GFEP为平行四边形，∴PE＝GF，∴﹣x2+x+2＝2，解得x1＝0，x2＝1（舍去），此时，y＝﹣1，∴点P的坐标为（0，﹣1），故，存在点P（0，﹣1），使得四边形GFEP为平行四边形；（4）存在．理由如下：①当点H在x轴下方时，∵点Q在x轴上，∴HD∥AQ，∴点H的纵坐标与点D相同，是﹣3，此时，x2﹣2x﹣3＝﹣3，整理得，x2﹣2x＝0，解得x1＝0，x2＝2（舍去），∴HD＝2﹣0＝2，∵点A的坐标为（﹣1，0），﹣1﹣2＝﹣3，﹣1+2＝1，∴点Q的坐标为（﹣3，0）或（1，0）；②当点H在x轴上方时，根据平行四边形的对称性，点H到AQ的距离等于点D到AQ的距离，∵点D的纵坐标为﹣3，∴点H的纵坐标为3，∴x2﹣2x﹣3＝3，整理得，x2﹣2x﹣6＝0，解得x1＝1﹣，x2＝1+，∵点A的横坐标为﹣1，点D的横坐标为2，2﹣（﹣1）＝2+1＝3，根据平行四边形的性质，1﹣+3＝4﹣，1++3＝4+，∴点Q的坐标为（4﹣，0）或（4+，0），综上所述，存在点Q（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0），使A、D、H、Q这四个点为顶点的四边形是平行四边形．。
福建省龙岩市2014年中考数学试卷(WORD解析版)
福建省龙岩市2014年中考数学试卷一、选择题〔共10小题，每题4分，总分值40分〕1．〔4分〕〔2014•龙岩〕计算：﹣2+3=〔〕A．1B．﹣1 C．5D．﹣5考点：有理数的加法．分析：根据异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值，可得答案．解答：解：﹣2+3=+〔3﹣2〕=1．故选：A．点评：此题考查了有理数的加法，先确定和的符号，再进行绝对值得运算．2．〔4分〕〔2014•龙岩〕以下运算正确的选项是〔〕A．a3+a3=a6B．a6÷a2=a4C．a3•a5=a15D．〔a3〕4=a7考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．解答：解：A、a3+a3=2a3，故A选项错误；B、a6÷a2=a4，故B选项正确；C、a3•a5=a8，故C选项错误；D、〔a3〕4=a12，故D选项错误．故选：B．点评：此题考查了合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方等知识，解题要注意细心．3．〔4分〕〔2014•龙岩〕以下图形中既是对称轴又是中心对称的是〔〕A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．故选D．点评：此题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．〔4分〕〔2014•龙岩〕不等式组的解集是〔〕A．＜x≤2 B．﹣＜x≤2C．﹣＜x≤2D．﹣≤x≤2考点：解一元一次不等式组．分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．解答：解：，解①得：x≤2，解②得：x ＞﹣，则不等式组的解集是：﹣＜x≤2．故选C．点评：此题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，假设x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．5．〔4分〕〔2014•龙岩〕如下图几何体的俯视图是〔〕A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：根据俯视图的定义，找出从上往下看到的图形．解答：解：从上往下看，俯视图为．故选C．点评：此题考查了三视图的知识，俯视图是从物体上面看所得到的图形．6．〔4分〕〔2014•龙岩〕以下表达正确的选项是〔〕A．“打开电视机，中央一套正在直播巴西世界杯足球赛．”是必然事件B．假设甲乙两人六次跳远成绩的方差为S甲2=0.1，S乙2=0.3，则甲的成绩更稳定C．从一副扑克牌中随即抽取一张一定是红桃KD．任意一组数据的平均数一定等于它的众数考点：随机事件；算术平均数；众数；方差．分析：根据随机事件以及众数和和算术平均数的求法分别分析得出即可．解答：解：A、“打开电视机，中央一套正在直播巴西世界杯足球赛．”是随机事件，故此选项错误；B、假设甲乙两人六次跳远成绩的方差为S甲2=0.1，S乙2=0.3，则甲的成绩更稳定，利用方差的意义，故此选项正确；C、从一副扑克牌中随即抽取一张不一定是红桃K，故此选项错误；D、任意一组数据的平均数不一定等于它的众数，故此选项错误．故选：B．点评：此题主要考查了随机事件以及众数和和算术平均数的求法等知识，正确把握相关概念是解题关键．7．〔4分〕〔2014•龙岩〕如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，假设∠3=40°，则∠4等于〔〕A．40°B．50°C．70°D．80°考点：平行线的性质．分析：根据平角的定义求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等解答．解答：解：∵∠1=∠2，∠3=40°，∴∠1=〔180°﹣∠3〕=〔180°﹣40°〕=70°，∵a∥b，∴∠4=∠1=70°．故选C．点评：此题考查了平行线的性质，平角等于180°，熟记性质并求出∠1是解题的关键．8．〔4分〕〔2014•龙岩〕如图分别是某班全体学生上学时乘车、步行、骑车人数的分布直方图和扇形统计图〔两图都不完整〕，以下结论错误的选项是〔〕A．该班总人数为50人B．步行人数为30人C．乘车人数是骑车人数的2.5倍D．骑车人数占20%考点：频数〔率〕分布直方图；扇形统计图．分析：根据乘车人数是25人，而乘车人数所占的比例是50%，即可求得总人数，然后根据百分比的含义即可求得步行的人数，以及骑车人数所占的比例．解答：解：总人数是：25÷50%=50〔人〕，故A正确；步行的人数是：50×30%=15〔人〕，故B错误；骑车人数所占的比例是：1﹣50%﹣30%=20%，故D正确；乘车人数是骑车人数倍数是：50%÷20%=2.5，故C正确．故选B．点评：此题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．9．〔4分〕〔2014•龙岩〕某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务．设原计划每天铺设x米，下面所列方程正确的选项是〔〕A．﹣=2B．﹣=2C．﹣=2D．=考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设〔1+20%〕x米，根据实际施工比原计划提前2天完成，列出方程即可．解答：解：设原计划每天铺设x米，则实际施工时每天铺设〔1+20%〕x米，由题意得，﹣=2．故选A．点评：此题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．10．〔4分〕〔2014•龙岩〕定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b 时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是〔〕A．B．C．1D．0考点：二次函数的最值；正比例函数的性质．专题：新定义．分析：由定义先求出其解析式，再利用单调性即可求出其最大值．解答：解：由﹣x2+1≤﹣x，解得x≤或x≥．故函数min{﹣x2+1，﹣x}=，由上面解析式可知：①x≤x≤时，函数min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x，其最大值为；②当x≤或x≥时，函数min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x2+1，其最大值为1．综上可知：函数min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．故选B．点评：此题考查了二次函数的最值，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的单调性是解题的关键．二、填空题〔共7小题，每题3分，总分值21分〕11．〔3分〕〔2014•龙岩〕据统计，2014年全国约有939万人参加高考，939万人用科学记数法表示为9.39×106人．考科学记数法—表示较大的数．点：分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于939万有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．解答：解：939万=9 390 000=9.39×106．故答案为：9.39×106．点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．12．〔3分〕〔2014•龙岩〕因式分解：x2﹣4x+4=〔x﹣2〕2．考点：因式分解-运用公式法．分析：直接运用完全平方公式分解因式即可．完全平方公式：a2±2ab+b2=〔a±b〕2．解答：解：x2﹣4x+4=〔x﹣2〕2．点评：此题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．13．〔3分〕〔2014•龙岩〕假设圆锥的侧面展开图的弧长为24πcm，则此圆锥底面的半径为12cm．考点：圆锥的计算．分析：利用扇形的弧长等于圆锥的底面周长列出等式求得圆锥的底面半径即可．解答：解：设圆锥的底面半径为r，∵圆锥的侧面展开图的弧长为24πcm，∴2πr=24π，解得：r=12，故答案为：12．点评：此题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记扇形的弧长等于圆锥的底面周长．14．〔3分〕〔2014•龙岩〕假设一组数据3，4，x，5，8的平均数是4，则该组数据的中位数是4．考点：中位数；算术平均数．分析：首先根据平均数为4，求出x的值，然后根据中位数的概念求解．解答：解：根据题意可得，=4，解得：x=0，这组数据按照从小到大的顺序排列为：0，3，4，5，8，则中位数为：4．点评：此题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大〔或从大到小〕的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．15．〔3分〕〔2014•龙岩〕如图，A、B、C是半径为6的⊙O上三个点，假设∠BAC=45°，则弦BC=6．考点：圆周角定理；等腰直角三角形．分析：首先连接OB，OC，易得△BOC是等腰直角三角形，继而求得答案．解答：解：连接OB，OC，∵∠BAC=45°，∴∠BOC=2∠BAC=90°，∵OB=OC=6，∴BC==6．=故答案为：6．点评：此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．16．〔3分〕〔2014•龙岩〕如图，△ABC中，∠B=70°，则∠BAC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC．当点B的对应点D恰好落在AC上时，∠CAE=50°．考点：旋转的性质．分析：利用旋转的性质得出AC=CE，以及利用三角形内角和得出∠BCA的度数，利用等腰三角形的性质得出答案．解答：解：∵△ABC中，∠B=70°，则∠BAC=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转得△EDC，点B的对应点D恰好落在AC上，∴∠BCA=180°﹣70°﹣30°=80°，AC=CE，∴∠BCA=∠DCE=80°，∴∠CAE=∠AEC=100°×=50°．故答案为：50°．点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，得出∠CAE=∠AEC是解题关键．17．〔3分〕〔2014•龙岩〕如图，∠AOB=60°，O1，O2，O3…是∠AOB平分线上的点，其中OO1=2，假设O1，O2，O3…分别以为圆心作圆，使得⊙O1，⊙O2，⊙O3…均与∠AOB的两边相切，且相邻两圆相外切，则⊙O2014的面积是34026π〔结果保留π〕考点：相切两圆的性质．专题：规律型．分析：根据相切两圆的性质得出，∠O1OC=30°，得出CO1=1，进而求出⊙O2014的半径，即可得出答案．解答：解：设⊙O1，⊙O2，⊙O3…与OB的切点分别为C，D，E，连接CO1，DO2，EO3，∴CO1⊥BO，DO2⊥BO，EO3⊥BO，∵∠AOB=60°，O1，O2，O3…是∠AOB平分线上的点，其中OO1=2，∴∠O1OC=30°，∴CO1=1，∴DO2=〔2+1+DO2〕，∴DO2=3，同理可得出：EO3=9，∴⊙O2014的半径为：32013，∴⊙O2014的面积是π×〔32013〕2=34026π．故答案为：34026π．点评：此题主要考查了相切两圆的性质以及数字变化规律，得出⊙O2014的半径长是解题关键．三、解答题〔共8小题，总分值89分〕18．〔10分〕〔2014•龙岩〕〔1〕计算：〔π﹣2014〕0﹣2sin45°+|﹣2|+〔2〕解方程：+1=．考点：实数的运算；零指数幂；解分式方程；特殊角的三角函数值．分析：〔1〕此题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；〔2〕根据解分式方程的一般步骤，可得答案．解答：解：〔1〕原式=1﹣+2﹣+2 =3；〔2〕方程两边都乘以〔x﹣2〕得2x+〔x﹣2〕=﹣3，解得x=﹣，经检验x=﹣是原分式方程的解．点评：此题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算；解分式方程要检验．19．〔8分〕〔2014•龙岩〕先化简，再求值：〔+〕•，其中a=﹣2．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=•=•=，当a=﹣2时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．20．〔10分〕〔2014•龙岩〕如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P〔1〕求证：CE=BF；〔2〕求∠BPC的度数．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：〔1〕欲证明CE=BF，只需证得△BCE≌△ABF；〔2〕利用〔1〕中的全等三角形的性质得到∠BCE=∠ABF，则由图示知∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，所以根据三角形内角和定理求得∠BPC=120°．解答：〔1〕证明：如图，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，∴在△BCE与△ABF中，，∴△BCE≌△ABF〔SAS〕，∴CE=BF；〔2〕∵由〔1〕知△BCE≌△ABF，∴∠BCE=∠ABF，∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，∴∠BPC=180°﹣60°=120°．即：∠BPC=120°．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．21．〔10分〕〔2014•龙岩〕某校九年级有10个班，每班50名学生，为调查该校九年级学生一学期课外书籍的阅读情况，准备抽取50名学生作为一个样本惊醒分析，并规定如下：设一个学生一学期阅读课外书籍本书为n，当0≤n＜5时为一般读者；当5≤n＜10时为良好读者；当n≥10时为优秀读者．〔1〕以下四种抽取方法最具有代表性的是B；A．随机抽取一个班的学生B．随机抽取50名学生C．随机抽取50名男生D．随机抽取50名女生〔2〕由上述最具代表性的抽取方法抽取50名学生一学期阅读本数的数据如下：8 10 6 9 7 16 8 11 0 13 10 5 82 6 9 7 5 7 6 4 12 10 11 6 814 15 7 12 13 8 9 7 10 12 11 8 1310 4 6 8 13 6 5 7 11 12 9根据以上数据答复以下问题①求样本中优秀读者的频率；②估计该校九年级优秀读者的人数；③在样本为一般读者的学生中随机抽取2人，用树形图或列表法求抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的概率．考点：列表法与树状图法；抽样调查的可靠性；用样本估计总体；频数与频率．分〔1〕根据抽取方法的代表性可求得答案；析：〔2〕①由样本中优秀读者20人，即可求得样本中优秀读者的频率；②由①可求得该校九年级优秀读者的人数；③首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：〔1〕∵A、C、D不具有全面性，∴选B；〔2〕①∵样本中优秀读者20人，∴样本中优秀读者的频率为：=；②该校九年级优秀读者的人数为：10×50×=200〔个〕；③画树状图得：∵共有12种等可能的结果，抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的有2种情况，∴抽得2人的课外书籍阅读本数都为4的概率为：=．点评：此题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．〔12分〕〔2014•龙岩〕如图，我们把依次连接任意四边形ABCD各边中点所得四边形EFGH叫中点四边形．〔1〕假设四边形ABCD是菱形，则它的中点四边形EFGH一定是B；A．菱形B．矩形C．正方形D．梯形〔2〕假设四边形ABCD的面积为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是S1=2S2〔3〕在四边形ABCD中，沿中点四边形EFGH的其中三边剪开，可得三个小三角形，将这三个小三角形与原图中未剪开的小三角形拼接成一个平行四边形，请在答题卡的图形上画出一种拼接示意图，并写出对应全等的三角形．考点：中点四边形；作图—应用与设计作图．分析：〔1〕连接AC、BD．先根据三角形中位线的性质得出EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，则四边形EFGH为平行四边形，再由菱形的对角线互相垂直，得出EF⊥FG，从而证明▱EFGH是矩形；〔2〕由E为AB中点，且EF平行于AC，EH平行于BD，得到△BEK与△ABM相似，△AEN与△ABM相似，利用面积之比等于相似比的平方，得到△EBK面积与△ABM面积之比为1：4，且△AEN与△EBK面积相等，进而确定出四边形EKMN 面积为△ABM的一半，同理得到四边形MKFP面积为△MBC面积的一半，四边形QMPG面积为△DMC面积的一半，四边形MNHQ面积为△ADM面积的一半，四个四边形面积之和即为四个三角形面积之和的一半，即为四边形ABCD面积的一半；〔3〕利用中点四边形的性质得出拼接方法，进而得出全等三角形．解答：解：〔1〕如图1，连接AC、BD．∵E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，∴四边形EFGH为平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥FG，∴▱EFGH是矩形；故选：B．〔2〕如图2，设AC与EH、FG分别交于点N、P，BD与EF、HG分别交于点K、Q，∵E是AB的中点，EF∥AC，EH∥BD，∴△EBK∽△ABM，△AEN∽△EBK，∴=，S△AEN=S△EBK，∴=，同理可得=，=，=，∴=，∴四边形ABCD的面积为S1，中点四边形EFGH的面积记为S2，则S1与S2的数量关系是S1=2S2；〔3〕如图3，四边形NEHM是平行四边形；△MAH≌△GDH，△NAE≌△FBE，△CFG≌△ANM．点评：此题主要考查了中点四边形以及相似三角形的判定与性质和矩形的判定以及菱形的性质等知识，利用三角形中位线的性质得出是解题关键．23．〔12分〕〔2014•龙岩〕随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视倡导节约用水．某市民生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，人均月生活用水收费标准如下图，图中x 表示人均月生活用水的吨数，y表示收取的人均月生活用水费〔元〕．请根据图象信息，答复以下问题：〔1〕该市人均月生活用水的收费标准是：不超过5吨，每吨按 1.6元收取；超过5吨的部分，每吨按 2.4元收取；〔2〕请写出y与x的函数关系式；〔3〕假设某个家庭有5人，五月份的生活用水费共76元，则该家庭这个月人均用了多少吨生活用水？考点：一次函数的应用．分析：〔1〕由图可知，用水5吨是8元，每吨按8÷5=1.6元收取；超过5吨的部分，每吨按〔20﹣8〕÷〔10﹣5〕=2.4元收取；〔2〕根据图象分x≤5和x＞5，分别设出y与x的函数关系式，代入对应点，得出答案即可；〔3〕把y=76代入x＞5的y与x的函数关系式，求出x的数值即可．解答：解：1〕该市人均月生活用水的收费标准是：不超过5吨，每吨按1.6元收取；超过5吨的部分，每吨按2.4元收取；〔2〕当x≤5时，设y=kx，代入〔5，8〕得8=5k，解得k=1.6∴y=1.6x；当x＞5时，设y=kx+b，代入〔5，8〕、〔10，20〕得解得k=2.4，b=﹣4∴y=2.4x﹣4；〔3〕把y=76代入y=2.4x﹣4得2.4x﹣4=76解得x=答：该家庭这个月用了吨生活用水．点评：此题考查一次函数的实际运用，结合图形，利用基本数量关系，得出函数解析式，进一步利用解析式解决问题．24．〔13分〕〔2014•龙岩〕如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D，E分别是边BC，AB的中点，P是BC边上的动点〔不与B，C重合〕．设BP=x．〔1〕当x=6时，求PE的长；〔2〕当△BPE是等腰三角形时，求x的值；〔3〕当AD平分EP时，试判断以EP为直径的圆与直线AC的位置关系，并说明理由．考点：圆的综合题．专题：综合题．分析：〔1〕根据等腰三角形的性质得BD=CD=6，AD⊥BC，所以x=6时，点P在D点处，根据直角三角形斜边上的中线性质得PE=AB=5；〔2〕先得到BE=5，再分类讨论：当BP=BE=5，易得x=5；当EP=EB，作EM⊥BD 于M，如图1，根据等腰三角形的性质得BM=PM，由点E为AB的中点，EM∥AD 得到M点为BD的中点，则PB=BD=6，即x=6；当PB=PE，如图2，作PN⊥BE于N，根据等腰三角形的性质得BN=EN=BE=，再证明Rt△BPN∽Rt△BAP，理由相似可计算出PB=，即x=；〔3〕EP交AD于O，作OH⊥AC于H，EF⊥AD于F，如图3，在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AD=8，由点E为AB的中点，EF∥BD得到EF为△ABD的中位线，则EF=BD=3，AF=DF=AD=4，再利用“AAS”证明△OEF≌△OPD，则OF=OD=DF=2，所以AO=AF+OF=6，然后在Rt△OEF中，根据勾股定理计算出OE=，证明Rt△AOH∽Rt△ACD，利用相似比计算出OH=，再比较OE与OH 的大小，然后根据直线与圆的位置关系进行判断．解答：解：〔1〕∵AB=AC=10，BC=12，D为边BC的中点，∴BD=CD=6，AD⊥BC，∴当x=6时，点P在D点处，∴PE为Rt△ABD斜边上的中线，∴PE=AB=5；〔2〕∵点E为AB的中点，∴BE=5，当BP=BE=5，则x=5；当EP=EB，作EM⊥BD于M，如图1，则BM=PM，∵点E为AB的中点，而EM∥AD，∴M点为BD的中点，∴PB=BD=6，∴x=6；当PB=PE，如图2，作PN⊥BE于N，则BN=EN=BE=，∵∠PBN=∠DBA，∴Rt△BPN∽Rt△BAP，∴PB：AB=BN：BD，即x：10=：6，∴x=，综上所述，当△BPE是等腰三角形时，x的值为5或6或；〔3〕以EP为直径的圆与直线AC相交．理由如下：EP交AD于O，作OH⊥AC于H，EF⊥AD于F，如图3，在Rt△ABC中，AB=10，BD=6，∴AD==8，∵点E为AB的中点，而EF∥BD，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=BD=3，AF=DF=AD=4，∵AD平分EP，∴OE=OF，在△OEF和△OPD中，∴△OEF≌△OPD，∴OF=OD，∴OF=DF=2，∴AO=AF+OF=6，在Rt△OEF中，EF=3，OF=2，∴OE==，∵∠OAH=∠CAD，∴Rt△AOH∽Rt△ACD，∴OH：CD=AO：AC，即OH：6=6：10，解得OH=，∵OE===，OH===，∴OE＞OH，∴以EP为直径的圆与直线AC相交．点评：此题考查了圆的综合题：熟练掌握直线与圆的位置关系的判定方法和等腰三角形的性质；利用三角形全等解决线段相等的问题；利用三角形相似求线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．25．〔14分〕〔2014•龙岩〕如图①，双曲线y=〔k≠0〕和抛物线y=ax2+bx〔a≠0〕交于A、B、C三点，其中B〔3，1〕，C〔﹣1，﹣3〕，直线CO交双曲线于另一点D，抛物线与x轴交于另一点E．〔1〕求双曲线和抛物线的解析式；〔2〕抛物线在第一象限部分是否存在点P，使得∠POE+∠BCD=90°？假设存在，请求出满足条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由；〔3〕如图②过B作直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，BD与OF交于点N，求的值．考点：二次函数综合题．分析：〔1〕用待定系数法即可求得．〔2〕过O作OM⊥BC，则OM=，因为OB=，根据勾股定理求得MB=2，进而求得tan∠COM===2，所以tan∠POE=2，从而求得P点的坐标．〔3〕根据勾股定理求得DF、OB的长，根据DF∥OB得出=即可求得．解答：解：〔1〕∵抛物线y=ax2+bx〔a≠0〕过B〔3，1〕，C〔﹣1，﹣3〕，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x，把B〔3，1〕代入y=〔k≠0〕得：1=，解得：k=3，∴双曲线的解析式为：y=．〔2〕∵B〔3，1〕，C〔﹣1，﹣3〕，设直线BC为y=kx+b，∴，解得k=1，b=﹣2，∴直线BC为：y=x﹣2，∴与坐标轴的交点〔2，0〕，〔0，﹣2〕，过O作OM⊥BC，则OM=，∵B〔3，1〕，C〔﹣1，﹣3〕，∴OB=OC=，∴BM=2，∴tan∠COM===2，∵∠COM+∠BCD=90°，∠POE+∠BCD=90°，∴∠POE=∠COM，∴tan∠POE=2，∵P点是抛物线上的点，设P〔m，﹣m2+m〕，∴=2，解得：m=，∴P〔，1〕，〔3〕∵直线CO过C〔﹣1，﹣3〕，∴直线CO的解析式为y=3x，解，解得，∴D〔1，3〕，∵B〔3，1〕，∴直线OB的斜率=，∵直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，∴DF∥OB，∴直线l的斜率=﹣3，直线DF的斜率=，∵直线l过B〔3，1〕，直线DF过D〔1，3〕，∴直线l的解析式为y=﹣3x+10，直线DF解析式为y=x+，解，解得，∴F〔，〕，∴DF==，∵DF∥OB，OB=，∴===．点评：此题考查了待定系数法求解析式，勾股定理的运用，平行线的斜率的特点，以及图象的交点等．。
福建省龙岩市中考数学试题及答案(word版)
福建省龙岩市中考数学试题及答案(word版)2013年龙岩市初中毕业、升学考试一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）1．计算：5+(-2)=( )A．3A B CD 正面326 -a***-*****)=-a?aa3．下列计算正确的是( )A．a B．a C．( D．a ?aa+a=a4．下列图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正六边形B．3 C．7 D．72．右图是由四个相同的小正方体组合而成的立体图形，它的俯视图是(5．在九年级某次体育测试中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）成绩如下（单位：次/、45、46、48、45，则这组数据的平均数、众数分别为( ) A．44、45B．45、45C．44、46D．45、466．如图，A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为( ) A B．2 C．D．47．若我们把十位上的数字比个位和百位上的数字都大的三位数称为凸数，如：786，465．则由成的，数字不重复的三位数是“凸数”的概率是( )A．B．C．D．28．若二次函数y（a0）的图象如图所示，则下列选项正确的是( ) =ax+bx+cA．a0B．c0 D．bc09．如图，边长分别为4和8EG于点T，交FG于点P，则GT ＝( ) A B．C．2 D．110．如图，在平面直角坐标系xoy中，A(0，2)，B(0，6)，动点C在直线y＝x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是( )A．2 B．3 C．4 二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）11．分解因式a2 2a＝______________．2-6x+k=012．已知x＝3是方程x的一个根，则k=______．D．5 -2|013．已知|a，则ab＝____________.14．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，B是⊙O上一点，BC⊥AP于点C，且OB=BP=6，则BC=_____________．15．如图，AB∥CD，BC与AD相交于点M，N是射线CD 若∠B＝65°，∠MDN＝135°，则∠AMB＝_________．（第15题图）16．下列说法：①对顶角相等；②打开电视机，“正在播放《新闻联播》”是必然事件；1③若某次摸奖活动中奖的概率是，则摸5次一定会中奖；5④想了解端午节期间某市场粽子的质量情况，适合的调查方式是抽样调查；⑤若甲组数据的方差s2＝0.01，乙组数据的方差s2＝0.05，则乙组数据比甲组数据更稳定．其中正确的说法是________________．（写出所有正确说法的序号）17．对于任意非零实数a、b，定义运算“”，使下列式子成立：*****，2?1，(-2)?5，5?(2，，则a?b___________．)=-102102三、解答题（本大题共8小题，共89分）18．(本题满分10分)4x02013( 3) ( 1)|（1（2）解方程：．=+1;2x+12x+11?2-19．(本题满分8分)先化简，再求值：20．(本题满分10分)如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2．（1）求证：AE=CF；（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．21．(本题满分10分)某市在2013年义务教育质量监测过程中，为了解学生的家庭教育情况，就八年级学生平时主要和，其中x=2．谁在一起生活进行了抽样调查.下面是根据这次调查情况制作的不完整的频数分布表和扇形统计图．频数分布表请根据上述信息，回答下列问题:（1）a _______________，b _______________;（2）在扇形统计图中，和外公外婆一起生活的学生所对应扇形圆心角的度数是________; （3）若该市八年级学生共有3万人，估计不与父母一起生活的学生有_______________人. 22．(本题满分12分)如图①，在矩形纸片ABCD中，A．1A（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D 恰好落在AB边上的D处，压平折痕交CD于点E，则折痕AE的长为_______________；沿DD CED（2）如图③，再将四边形B,BC交AE于点F，则四边形BFE向左翻折，压平后得四边形BCEED的面积为_______________；的长.（3）如图④，将图②中的D绕点E顺时针旋转a角，得D，使得EA恰好经过顶点B，求弧DD AEDAED（结果保留）图① 图② 图③ 图④（第22题图）23．(本题满分12分)某公司欲租赁甲、乙两种设备，用来生产A产品80件、B产品100件．已知甲种设备每天租赁费为400元，每天满负荷可生产A产品12件和B产品10件；乙种设备每天租赁费为300元，每天满负荷可生产A产品7件和B产品10件．（1）若在租赁期间甲、乙两种设备每天均满负荷生产，则需租赁甲、乙两种设备各多少天恰好完成生产任务？（2）若甲种设备最多只能租赁5天，乙种设备最多只能租赁７天，该公司为确保完成生产任务，决定租赁这两种设备合计10天（两种设备的租赁天数均为整数），问该公司共有哪几种租赁方案可供选择？所需租赁费最少是多少？24．(本题满分13分)如图，将边长为４的等边三角形AOB 放置于平面直角坐标系xoy中，F是AB边上的动点（不与kC^x轴于点C，连结端点A、B重合），过点F的反比例函数y=(k0,x0)与OA边交于点E，过点F作FxEF、OF．（1）若S;（2）在（1）的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴DOCF的位置关系，并说明理由;（3）AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF：FA的值；若不存在，请说明理由．25．(本题满分14分)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且A，C=80．动点M、N分别以每秒１个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿AOD和DA运动，当点NBD=60到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）求菱形ABCD的周长；DMN的面积为S, 求S关于t的解析式，并求S的最大值；（2）记D（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO＝∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．2013年龙岩市初中毕业、升学考试参考答案及评分标准数学说明：评分最小单位为1分，若学生解答与本参考答案不同，参照给分．11．a(a 2)12．9 13．814．315．70 16．①④a2 b217．．ab三、解答题（本大题共8题，共89分）18．(10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分)（1）解：原式=2 4分1(1 ) = 2 5分（2）解：方程两边同乘（2x+1），得4=x+2x+1 2分3=3xx=1 3分检验：把x=1代入2x+1=3≠0 4分∴原分式方程的解为x=1. 5分19．（8分）解：原式=x(2x 3)(2x 3)14分2x 332x 3x= 6分32当x=2时，原式=. 8分320．(10分)(1)证明：（法一）如图：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，AD∥BC，∠3=∠4 1∵∠1=∠3+∠5, ∠2=∠4+∠6 2分∠1=∠2∴∠5=∠6 3分∴△ADE≌△CBF 5分∴AE=CF 6分（法二）如图：连接BD交AC于点O 1在平行四边形ABCD中OA=OC，OB=OD 2∵∠1=∠2,∠7=∠8∴△BOF≌△DO E 4分∴OE=OF 5分∴OA－OE=OC －OF即AE=CF. 6分(2) )证明：（法一）∵∠1=∠2,∴DE∥BF 7分∵△ADE≌△CBF∴DE=BF 9分∴四边形EBFD是平行四边形. 10分（法二）∵OE=OF，OB=OD 9分∴四边形EBFD是平行四边形. 10分其他证法，请参照标准给分.21．（10分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题3分）（1）0.11 ，540 ；（注：每空2分）（2）36 ；（3）9000．22．（12分，每小题4分）（14分（218分2（3）∵∠C＝90 ，EC＝1BCCE∴∠BEC＝60 9分由翻折可知：∠DEA＝45 10分∴＝11分AEA75 DED∴tan∠BEC＝∴l75312分2 *****23．（12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）解：（1）设需租赁甲、乙两种设备分别为x、y天．1分12x 7y 80 则依题意得3分10x 1y0 100x 2解得4分y 8答：需租赁甲种设备2天、乙种设备8天. 5分（2）设租赁甲种设备a天、乙种设备(10－a)天，总费用为元．6分依题意得∴3≤a≤5．∵a为整数，a 510 a 712a 7(10 a) 80 10a 10(10 a)100∴ 8分a＝3、4、5．方法一：∴共有三种方案．方案（1）甲3天、乙7天，总费用400×3+300×7＝3300; 9分方案（2）甲4天、乙6天，总费用400×4+300×6＝3400; 10分方案（3）甲5天、乙5天，总费用400×5+300×5＝3500. 11分∵***-*****3500 ∴方案（1）最省，最省费用为3300元．12分方法二：则＝400a+300(10－a)＝100a+3000 10分∵100＞0，随a的增大而增大．∴∴当a＝3时，最小＝3300．11分答：共有3种租赁方案：①甲3天、乙7天；②甲4天、乙6天；③甲5天、乙5天.最少租赁费用3300元．12分方法三：能用穷举法把各种方案枚举出来，并得出三种符合条件的方案，求出最省费用的，参照标准酌情给分．24.（1）设F（x，y），(x＞0，y＞0) ．则OC=x, CF=y 1分1y ∴S 2分OCFx2∴xy=∴k=．3分(x＞0) ．4分（2）该圆与y轴相离．5分理由：过点E作EH⊥x轴，垂足为H，过点E作EG⊥y轴，垂足为G．在△AOB中，OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60 ．EHan AOB 设OH=m,则tOH∴反比例函数解析式为y∴EH，OE=2m．∴E坐标为（m, ∵E在反比例y．6分）图像上，∴m1m2=舍去)．∴OE=EA=47分∵4∴EA＜EG．∴以E为圆心，EA垂为半径的圆与y轴相离．8分（3）存在．9分方法一：假设存在点F，使AE⊥FE．过点F作FC⊥OB于点C，过E点作EH⊥OB于点H．设BF= x.∵△AOB是等边三角形，∴AB=OA=OB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60 ．1∴BC=FBcos∠FBC＝x2FC=FBsin∠FBC1∴AF=4－x，OC=OB －BC=4－x2∵AE⊥FE1∴AE=AFcos∠A=2－x21∴OE=O A－AE=x+221∴OH=OEcos∠AOB=x 1，4EH=OEsin∠AOBx 11，F(4－x) ∴E(x1 11分42k∵E、F都在双曲线y=的图象上，x114－x∴（x 1）424解得x1=4，x2=．12分5当BF=4时，AF=0，当BF=BF不存在，舍去．AF164BF1时，AF=，13分．55AF4方法二：假设存在点F，使AE⊥FE．过E点作EH⊥OB于H. ∵△AOB是等边三角形，设E(m, )，则OE=2m, AE=4－2m．∴AB=OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60 ．AE1os A ，∵CAF2∴AF=2AE=8－4m，FB=4m－4．∴FC=FBsin∠FBC=m－，BC=FBcos∠FBC=2m－2．∴OC=6－2m∴F(6－2m, m－)．11分∵E、F都在双曲线y=k上，x∴m=(6－2m)(m－)化简得：5m2-16m+12=06解得：m1=2，m2=．12分5当m＝2时，AF=8－4m=0，BF=4，F与B重合，不合题意，舍去．*****当m＝时，AF=8－4m＝BF=4－=．5，555F:FA 1:4 ∴B．13分1125. (1)在菱形ABCD中，OAC 40,OBD 3022∵AC⊥BD∴AD=50.∴菱形ABCD的周长为200. 4分(2) 过点M作MP⊥AD，垂足为点P. ①当0＜t≤40MPOD3inO AD ∵SAMAD53∴MP=t51N MP ∴S D232t 6分10D 80-t ②当40t 50时，∴M =MPAO∵Sin *****4∴MP=(70 t)51∴S N MP DMND222228分t 28t(t 35) 49055 32t,0 t 40 10∴S22 (t 35) 490,40 t 50 5当0＜t≤40时，S随t的增大而增大，当t＝40时，最大值为480. 当40＜t≤50时，S随t的增大而减小，当t＝40时，最大值为480. 综上所述，S的最大值为480. 9分（3）存在2个点P，使得∠DPO=∠DON. 10分方法一：过点N作NF⊥OD 于点F，***-*****0ND CosO DA 3 18.则NF ND Sin ODA 3 24DF=*****，NF24an NOD 2∴OF=12，∴t 11分OF12NOD的平分线交NF于点G，过点G作GH⊥ON于点H. 作1111(OF ON) FGOF FGONG H∴SOF NFS S ONF OGN OFG 222OFN F∴FG=OF ONGFtan GOF∴ OF设OD中垂线与OD的交点为K，由对称性可知：11DP DP DON FOG∴22DK15tan DPK∴ PKP 13分根据菱形的对称性可知，在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点P'.∴PK. 分方法二：如图，作ON的垂直平分线，交EF于点I，连结OI，IN.∴存在两个点P到OD过点N作NG⊥OD，NH⊥EF,垂足分别为G，H. 当t=30时，DN=OD=30，易知△DNG∽△DAO，∴DNNGDG．DAAOOD30NGDG 即．*****∴NG=24,DG=18．分∵EF垂直平分OD，∴OE= ED＝15，EG=NH=3．11分设OI=R，EI=x,则在Rt△OEI中，有R2=152+x2 ① 在Rt△NIH中，有R2=32+(24-x)2 ②15 x 2由①、②可得：R ．13分根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P'也满足条件．∴PE=PI+IE∴存在两个点P，到OD. 14分(注：只求出一个点P并计算正确的扣1分.)。
2014年福建省福州市中考数学试卷及解析(word版)
2014年福建省福州市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（2014年福建福州）﹣5的相反数是（）A．﹣5 B．5C．D．﹣分析：根据相反数的定义直接求得结果．解：﹣5的相反数是5．故选：B．点评：本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．2．（2014年福建福州）地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学记数法表示为（）A．11×104B．1.1×105C．1.1×104D．0.11×105分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将110000000用科学记数法表示为：1.1×105．故选：B．点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（2014年福建福州）某几何体的三视图如图，则该几何体是（）A．三棱柱B．长方体C．圆柱D．圆锥分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．故选D．点评：考查了由三视图判断几何体的知识，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为锥体．4．（2014年福建福州）下列计算正确的是（）A．x4•x4=x16B．（a3）2=a5C．（ab2）3=ab6D．a+2a=3a分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，幂的乘方，底数不变指数相乘，积的乘方，先把积的每一个因式分别乘方，再把所得到幂相乘，合并同类项，即把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．对各小题计算后利用排除法求解．解；A．x4•x4=x16，故本小题错误；B．（a3）2=a5，故本小题错误；C．（ab2）3=ab6故本小题错误；D．a+2a=3a，正确．故选：D．点评：本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项，熟练掌握运算性质并理清指数的变化是解题的关键．5．（2014年福建福州）若7名学生的体重（单位：kg）分别是：40，42，43，45，47，47，58，则这组数据的平均数是（）A．44 B．45 C．46 D．47分析：先求出这组数的和，然后根据“总数÷数量=平均数”进行解答即可；解：平均数为：（40+42+43+45+47+47+58）÷7=322÷7=46（千克）；故选C．点评：此题考查了平均数的计算方法，牢记计算方法是解答本题的关键，难度较小．6．（2014年福建福州）下列命题中，假命题是（）A．对顶角相等B．三角形两边的和小于第三边C．菱形的四条边都相等D．多边形的外角和等于360°分析：分别利用对顶角的性质、三角形的三边关系、菱形的性质及多边形的外角和对四个选项分别判断后即可确定正确的选项．解：A、对顶角相等，正确，是真命题；B、三角形的两边之和大于第三边，错误，是假命题；C、菱形的四条边都相等，正确，是真命题；D、多边形的外角和为360°，正确，为真命题，故选B．点评：本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟知对顶角的性质、三角形的三边关系、菱形的性质及多边形的外角和定理，属于基础知识，难度较小．7．（2014年福建福州）若（m﹣1）2+=0，则m+n的值是（）A．﹣1 B．0C．1D．2分析：根据非负数的性质，可求出m、n的值，然后将代数式化简再代值计算．解：∵（m﹣1）2+=0，∴m﹣1=0，n+2=0；∴m=1，n=﹣2，∴m+n=1+（﹣2）=﹣1故选：A．点评：考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．8．（2014年福建福州）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．=B．=C．=D．=分析：根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．解：设原计划每天生产x台机器，则现在可生产（x+50）台．依题意得：=．故选：A．点评：此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键．9．（2014年福建福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°分析：根据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD又∵△ADE是等边三角形，∴AE=AD=DE，∠DAE=60°∴AD=AE∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°∴∠ABE=（180°﹣150°）÷2=15°又∵∠BAC=45°∴∠BFC=45°+15°=60°故选：C．点评：本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出∠ABE=15°．10．（2014年福建福州）如图，已知直线y=﹣x+2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线y=交于E，F两点，若AB=2EF，则k的值是（）A．﹣1 B．1C．D．分析：作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，先利用一次函数图象上点的坐标特征得到A（2，0），B（0，2），易得△AOB为等腰直角三角形，则AB=OA=2，所以EF=AB=，且△DEF为等腰直角三角形，则FD=DE=EF=1；设F点坐标为（t，﹣t+2），则E点坐标为（t+1，﹣t+1），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到t（﹣t+2）=（t+1）•（﹣t+1），解得t=，这样可确定E点坐标为（，），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=×．解：作FH⊥x轴，EC⊥y轴，FH与EC交于D，如图，A点坐标为（2，0），B点坐标为（0，2），OA=OB，∴△AOB为等腰直角三角形，∴AB=OA=2，∴EF=AB=，∴△DEF为等腰直角三角形∴FD=DE=EF=1，设F点坐标为（t，﹣t+2），则E点坐标为（t+1，﹣t+1），∴t（﹣t+2）=（t+1）•（﹣t+1），解得t=，∴E点坐标为（，），∴k=×=．故选D．点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（2014年福建福州）分解因式：ma+mb=．分析：这里的公因式是m，直接提取即可．解：ma+mb=m（a+b）．点评：本题考查了提公因式法分解因式，公因式即多项式各项都含有的公共的因式．12．（（2014年福建福州）若5件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，则抽到不合格产品的概率是．分析：根据不合格品件数与产品的总件数比值即可解答．解：∵在5个外观相同的产品中，有1个不合格产品，∴从中任意抽取1件检验，则抽到不合格产品的概率是：．故答案为：．点评：本题主要考查概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．13．（2014年福建福州）计算：（+1）（﹣1）=．分析：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．就可以用平方差公式计算．结果是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）．解：（+1）（﹣1）=．点评：本题应用了平方差公式，使计算比利用多项式乘法法则要简单．14．（2014年福建福州）如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则▱ABCD的周长是．分析：根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD 的周长．解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∵▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE=∠CED，∴∠CDE=∠CED，∴CE=CD，∵在▱ABCD中，AD=6，BE=2，∴AD=BC=6，∴CE=BC﹣BE=6﹣2=4，∴CD=AB=4，∴▱ABCD的周长=6+6+4+4=20．故答案为：20．点评：本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．15．（2014年福建福州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=BC．若AB=10，则EF的长是．分析：根据三角形中位线的性质，可得DE与BC的关系，根据平行四边形的判定与性质，可得DC与EF的关系，根据直角三角形的性质，可得DC与AB的关系，可得答案．解：如图，连接DC．DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=，∵CF=BC，∴DE∥CF，DE=CF，∴CDEF是平行四边形，∴EF=DC．∵DC是Rt△ABC斜边上的中线，∴DC==5，∴EF=DC=5，故答案为：5．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．三、解答题（满分90分）16．（2014年福建福州）（1）计算：+（）0+|﹣1|；（2）先化简，再求值：（x+2）2+x（2﹣x），其中x=．分析：（1）本题涉及零指数幂、绝对值、二次根式化简三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）根据完全平方公式、单项式成多项式，可化简整式，根据代数式求值，可得答案．解：（1）原式=3+1+1=5；（2）原式=x2+4x+4+2x﹣x2=6x+4，当x=时，原式=6×+4=2+4=6．点评：本题考查了实数的运算，熟练掌握零指数幂、绝对值、二次根式的运算．17．（2014年福建福州）（1）如图1，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求证：∠A=∠D．（2）如图2，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上．①sinB的值是；②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（A与A1，B与B1，C与C1相对应），连接AA1，BB1，并计算梯形AA1B1B的面积．分析：（1）根据全等三角形的判定与性质，可得答案；（2）根据正弦函数的定义，可得答案；根据轴对称性质，可作轴对称图形，根据梯形的面积公式，可得答案．（1）证明：BE=CF，∴BE+EF=CF+EF．即BF=CE．在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS）．∴∠A=∠D；（2）解：①∵AC=3，BC=4，∴AB=5．sinB=；②如图所示：由轴对称性质得AA1=2，BB1=8，高是4，∴==20．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等式的性质，全等三角形的判定与性质．18．（2014年福建福州）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85≤x≤100为A级，75≤x≤85为B级，60≤x≤75为C级，x＜60为D级．现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了名学生，α=%；（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为度；（4）若该校共有2000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？分析：（1）根据B级的人数和所占的百分比求出抽取的总人数，再用A级的人数除以总数即可求出a；（2）用抽取的总人数减去A、B、D的人数，求出C级的人数，从而补全统计图；（3）用360度乘以C级所占的百分比即可求出扇形统计图中C级对应的圆心角的度数；（4）用D级所占的百分比乘以该校的总人数，即可得出该校D级的学生数．解：（1）在这次调查中，一共抽取的学生数是：=50（人），a=×100%=24%；故答案为：50，24；（2）等级为C的人数是：50﹣12﹣24﹣4=10（人），补图如下：（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为×360°=72°；故答案为：72；（4）根据题意得：2000×=160（人），答：该校D级学生有160人．点评：此题考查了是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19．（2014年福建福州）现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了160元．（1）求A，B两种商品每件各是多少元？（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，但不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？分析：（1）设A商品每件x元，B商品每件y元，根据关系式列出二元一次方程组．（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品（10﹣a）件，根据关系式列出二元一次不等式方程组．求解再比较两种方案．解：（1）设A商品每件x元，B商品每件y元，依题意，得，解得．答：A商品每件20元，B商品每件50元．（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品（10﹣a）件解得5≤a≤6根据题意，a的值应为整数，所以a=5或a=6．方案一：当a=5时，购买费用为20×5+50×（10﹣5）=350元；方案二：当a=6时，购买费用为20×6+50×（10﹣6）=320元；∵350＞320∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低．答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件，其中方案二费用最低．点评：此题主要考查二元一次方程组及二元一次不等式方程组的应用，根据题意得出关系式是解题关键．20．（2014年福建福州）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆．（1）求BC的长；（2）求⊙O的半径．分析：（1）根据题意得出AE的长，进而得出BE=AE，再利用tan∠ACB=，求出EC的长即可；（2）首先得出AC的长，再利用圆周角定理得出∠D=∠M=60°，进而求出AM的长，即可得出答案．解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴∠AEB=∠AEC=90°，在Rt△ABE中，∵sinB=，∴AE=ABsinB=3sin45°=3×=3，∵∠B=45°，∴∠BAE=45°，∴BE=AE=3，在Rt△ACE中，∵tan∠ACB=，∴EC====，∴BC=BE+EC=3+；（2）连接AO并延长到⊙O上一点M，连接CM，由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=，∴AC=2，∵∠D=∠M=60°，∴sin60°===，解得：AM=4，∴⊙O的半径为2．点评：此题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数关系应用，根据题意正确构造直角三角形是解题关键．21．（2014年福建福州）如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．（1）当t=秒时，则OP=1，S△ABP=；（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ•BP=3．分析：（1）如答图1所示，作辅助线，利用三角函数或勾股定理求解；（2）当△ABP是直角三角形时，有三种情形，需要分类讨论；（3）如答图4所示，作辅助线，构造一对相似三角形△OAQ∽△PBO，利用相似关系证明结论．（1）解：当t=秒时，OP=2t=2×=1．如答图1，过点P作PD⊥AB于点D．在Rt△POD中，PD=OP•sin60°=1×=，∴S△ABP=AB•PD=×（2+1）×=．（2）解：当△ABP是直角三角形时，①若∠A=90°．∵∠BOC=60°且∠BOC＞∠A，∴∠A≠90°，故此种情形不存在；②若∠B=90°，如答图2所示：∵∠BOC=60°，∴∠BPO=30°，∴OP=2OB=2，又OP=2t，∴t=1；③若∠APB=90°，如答图3所示：过点P作PD⊥AB于点D，则OD=OP•cos30°=t，PD=OP•sin60°=t，∴AD=OA+OD=2+t，BD=OB﹣OD=1﹣t．在Rt△ABP中，由勾股定理得：PA2+PB2=AB2∴（AD2+PD2）+（BD2+PD2）=AB2，即[（2+t）2+（t）2]+[（1﹣t）2+（t）2]=32解方程得：t=或t=（负值舍去），∴t=．综上所述，当△ABP是直角三角形时，t=1或t=．（3）证明：如答图4，过点O作OE∥AP，交PB于点E，则有，∴PE=PB．∵AP=AB，∴∠APB=∠B，∵OE∥AP，∴∠OEB=∠APB，∴∠OEB=∠B，∴OE=OB=1，∠3+∠B=180°．∵AQ∥PB，∴∠OAQ+∠B=180°，∴∠OAQ=∠3；∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B，∠QOP=∠B，∴∠1=∠2；∴△OAQ∽△PBO，∴，即，化简得：AQ•PB=3．点评：本题是运动型综合题，考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程等多个知识点．第（2）问中，解题关键在于分类讨论思想的运用；第（3）问中，解题关键是构造相似三角形，本问有多种解法，可探究尝试．22．（2014年福建福州）如图，抛物线y=（x﹣3）2﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求点A，B，D的坐标；（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，求证：∠AEO=∠ADC；（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标．分析：（1）根据二次函数性质，求出点A、B、D的坐标；（2）如何证明∠AEO=∠ADC？如答图1所示，我们观察到在△EFH与△ADF中：∠EHF=90°，有一对对顶角相等；因此只需证明∠EAD=90°即可，即△ADE为直角三角形，由此我们联想到勾股定理的逆定理．分别求出△ADE三边的长度，再利用勾股定理的逆定理证明它是直角三角形，由此问题解决；（3）依题意画出图形，如答图2所示．由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．利用二次函数性质求出EP2最小时点P的坐标，并进而求出点Q的坐标．（1）解：顶点D的坐标为（3，﹣1）．令y=0，得（x﹣3）2﹣1=0，解得：x1=3+，x2=3﹣，∵点A在点B的左侧，∴A（3﹣，0），B（3+，0）．（2）证明：如答图1，过顶点D作DG⊥y轴于点G，则G（0，﹣1），GD=3．令x=0，得y=，∴C（0，）．∴CG=OC+OG=+1=，∴tan∠DCG=．设对称轴交x轴于点M，则OM=3，DM=1，AM=3﹣（3﹣）=．由OE⊥CD，易知∠EOM=∠DCG．∴tan∠EOM=tan∠DCG==，解得EM=2，∴DE=EM+DM=3．在Rt△AEM中，AM=，EM=2，由勾股定理得：AE=；在Rt△ADM中，AM=，DM=1，由勾股定理得：AD=．∵AE2+AD2=6+3=9=DE2，∴△ADE为直角三角形，∠EAD=90°．设AE交CD于点F，∵∠AEO+∠EFH=90°，∠ADC+AFD=90°，∠EFH=∠AFD（对顶角相等），∴∠AEO=∠ADC．（3）解：依题意画出图形，如答图2所示：由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．设点P坐标为（x，y），由勾股定理得：EP2=（）2+（y﹣2）2．∵y=（x﹣3）2﹣1，∴（x﹣3）2=2y+2．∴EP2=2y+2+（y﹣2）2=（y﹣1）2+5当y=1时，EP2有最小值，最小值为5．将y=1代入y=（x﹣3）2﹣1，得（x﹣3）2﹣1=1，解得：x1=1，x2=5．又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，∴x1=1舍去．∴P（5，1）．此时点Q坐标为（3，1）或（，）．点评：本题是二次函数压轴题，涉及考点众多，难度较大．第（2）问中，注意观察图形，将问题转化为证明△ADE为直角三角形的问题，综合运用勾股定理及其逆定理、三角函数（或相似形）求解；第（3）问中，解题关键是将最值问题转化为求EP2最小值的问题，注意解答中求EP2最小值的具体方法．。
2014年福建省龙岩市中考化学试卷(化学中考真题含答案)
2014年福建省龙岩市中考化学试卷一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分．每题的四个选项中，只有一个选项符合题意）1. 下列过程只涉及物理变化的是（）A 酒精挥发B 蜡烛燃烧C 食物腐败D 食醋除水垢2. 氧化铟锡是触摸屏技术重要材料，它由氧化锡和氧化铟熔融而成．氧化铟(In2O3)中，铟元素(In)的化合价为（）A 0B +2C +3D +63. 下列有关物质应用的叙述，错误的是（）A 用日用洗涤剂去除油污B 用碳酸钠做面点发酵粉C 用石油炼制汽油与煤油 D 用甲醛溶液泡制海产品4. 近期我国部分地区发生洪涝灾害，饮用水源受到污染。
为保证居民正常生活，必须对饮用水源净化处理。
若用下述方法处理饮用水源：①消毒②自然沉降③过滤，处理先后顺序是（）A ②③①B ②①③C ③②①D ③①②5. 维生素C(C6H8O6)是人体不可缺少的营养物质．下列说法错误的是（）A 维生素C不属于氧化物B 维生素C中碳、氧元素质量比为1:1C 维生素C能增强人体抗病能力 D 新鲜水果和蔬菜中富含维生素C6. O2、H2O和CO2都是身边常见的物质。
下列说法正确的是（）A O2能支持燃烧，可用作燃料B H2O由氢分子和氧原子构成C 可用带火星的木条鉴别O2和CO2 D CO2是光合作用的原料，空气中含量越高越好7. 下列事实与对应的解释不相符的是（）A 墙内开花墙外香--分子不断运动B 水烧开后，壶盖被顶开--分子体积变大C 甘蔗甜，柠檬酸--不同分子性质不同D 物质热胀冷缩--微粒间的间隙变化8. Mg(OH)2分解需吸收热量，生成耐高温的MgO和水蒸气．利用这一性质，可将Mg(OH)2添加到易燃性材料中做阻燃剂．关于Mg(OH)2能起阻燃作用的叙述，错误的是（）A Mg(OH)2分解要吸热，降低了可燃物的着火点B Mg(OH)2分解能够降温，使可燃物不易达到着火点 C Mg(OH)2分解生成的MgO覆盖在可燃物表面，隔绝了空气 D Mg(OH)2分解生成大量水蒸气，降低可燃物周围氧气的浓度9. “接龙”是化学扑克（和普通扑克相似，牌面标注物质的化学式）的一种游戏，其规则是：当上家出牌时，下家跟出的牌所标注的物质必须能与上家的反应．某局游戏中，甲到戊五人各有一张不同的牌，牌面标注“CuSO4”“H2SO4”“NaOH”“Fe”“Fe2O3”．若甲的牌为“Fe2O3”，且按甲-乙-丙-丁-戊依次出牌时能满足“接龙”规则，则丁的牌是（）A NaOHB FeC H2SO4D CuSO410. 如图为硫酸钠和氯化钠的溶解度曲线。
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福建省龙岩市2014年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．（4分）（2013•龙岩）计算：5+（﹣2）=（）
2．（4分）（2013•龙岩）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（）
3．（4分）（2013•龙岩）下列计算正确的是（）
4．（4分）（2013•龙岩）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
C
、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
5．（4分）（2013•龙岩）在九年级某次体育测试中，某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8人）成绩如下（单位：次/分）：45、44、45、42、45、46、48、45，则这组数据的平均数、众数分别为（ ）
组数据的平均数，由于数据中
最多的数据叫做众数．也考查了平均数．
6．（4分）（2013•龙岩）如图，A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（）
OA=2．
此题考查了圆周角定理以及等腰直角三角形性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
7．（4分）（2013•龙岩）若我们把十位上的数字比个位和百位上的数字都大的三位数称为凸数，如：786，465．则由1，2，3这三个数字构成的，数字不重复的三位数是“凸数”的概率是（）
C
”
∴数字不重复的三位数是“凸数”的概率是：=
8．（4分）（2013•龙岩）若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项正确的是（）
9．（4分）（2013•龙岩）如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（）
2
，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍求×4=2．
10．（4分）（2013•龙岩）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）
=3
＞
二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
11．（3分）（2013•龙岩）因式分解：a2+2a= a（a+2）．
12．（3分）（2013•龙岩）已知x=3是方程x2﹣6x+k=0的一个根，则k= 9 ．
13．（3分）（2013•龙岩）若|a﹣2|+=0，则a b= 8 ．
2|+
=0
14．（3分）（2013•龙岩）如图，PA是⊙O的切线，A为切点，B是⊙O上一点，BC⊥AP于点C，且OB=BP=6，则BC= 3 ．
OA=3
（2013•龙岩）如图，AB∥CD，BC与AD相交于点M，N是射线CD上的一点．若∠B=65°，∠MDN=135°，（3分）
15．
则∠AMB=70°．
16．（3分）（2013•龙岩）下列说法：
①对顶角相等；
②打开电视机，“正在播放《新闻联播》”是必然事件；
③若某次摸奖活动中奖的概率是，则摸5次一定会中奖；
④想了解端午节期间某市场粽子的质量情况，适合的调查方式是抽样调查；
⑤若甲组数据的方差s2=0.01，乙组数据的方差s2=0.05，则乙组数据比甲组数据更稳定．
其中正确的说法是①④．（写出所有正确说法的序号）
方差；对顶角、邻补角；全面调查与
：①对顶角相等，正确；
，则摸
17．（3分）（2013•龙岩）对于任意非零实数a、b，定义运算“⊕”，使下列式子成立：1⊕2=﹣，2⊕1=，
（﹣2）⊕5=，5⊕（﹣2）=﹣，…，则a⊕b=．
根据已知数字等式得出变化规律，即可得出答
=，2⊕1==）⊕5=，5⊕（﹣=
∴a⊕b=
故答案为：
三、解答题（本大题共8小题，共89分）
18．（10分）（2013•龙岩）（1）计算：﹣（π﹣3）0+（﹣1）2013+|2﹣|；（2）解方程：．
；
19．（8分）（2013•龙岩）先化简，再求值：，其中x=2．
••
=
20．（10分）（2013•龙岩）如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．（1）求证：AE=CF；
（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．
本题考查了全等三角形的判定与性质
21．（10分）（2013•龙岩）某市在2013年义务教育质量监测过程中，为了解学生的家庭教育情况，就八年级学生平时主要和谁在一起生活进行了抽样调查．下面是根据这次调查情况制作的不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表
请根据上述信息，回答下列问题：
（1）a= 0.11 ，b= 540 ；
（2）在扇形统计图中，和外公外婆一起生活的学生所对应扇形圆心角的度数是36°；
（3）若该市八年级学生共有3万人，估计不与父母一起生活的学生有9000 人．
3
22．（12分）（2013•龙岩）如图①，在矩形纸片ABCD中，AB=+1，AD=．
（1）如图②，将矩形纸片向上方翻折，使点D恰好落在AB边上的D′处，压平折痕交CD于点E，则折痕
AE的长为；
（2）如图③，再将四边形BCED′沿D′E向左翻折，压平后得四边形B′C′ED′，B′C′交AE于点F，
则四边形B′FED′的面积为﹣；
（3）如图④，将图②中的△AED′绕点E顺时针旋转α角，得△A′ED″，使得EA′恰好经过顶点B，求弧D′D″的长．（结果保留π）
，故可得出
∴AD′=AD=D′E=DE=
==
，
AD′=AD=D′E=DE=，
﹣
（B′F+D′E）•B′D′=（1+）×1=﹣
，
=
==
故答案为：；．
23．（12分）（2013•龙岩）某公司欲租赁甲、乙两种设备，用来生产A产品80件、B产品100件．已知甲种设备每天租赁费为400元，每天满负荷可生产A产品12件和B产品10件；乙种设备每天租赁费为300元，每天满负荷可生产A产品7件和B产品10件．
（1）若在租赁期间甲、乙两种设备每天均满负荷生产，则需租赁甲、乙两种设备各多少天恰好完成生产任务？
（2）若甲种设备最多只能租赁5天，乙种设备最多只能租赁7天，该公司为确保完成生产任务，决定租赁这两种设备合计10天（两种设备的租赁天数均为整数），问该公司共有哪几种租赁方案可供选择？所需租赁费最少是多少？
则依题意得
，
，
24．（13分）（2013•龙岩）如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xoy中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数y=（k＞0，x＞）与OA边交于点E，过点F作FC⊥x 轴于点C，连结EF、OF．
（1）若S△OCF=，求反比例函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并说明理由；（3）AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF：FA的值；若不存在，请说明理由．
=xy=
，
，
y=
=
m
，
图象上，m=
，（舍去）
，，，
＜，
∴BC=FB•cos∠FBC=
﹣
∴AE=AF•cosA=2﹣
x+2
∴OH=OE•cos∠AOB=x+ x+1，）x
的图象上，
x+1（）x
，
，
时，，
25．（14分）（2013•龙岩）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）记△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；
（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．
=50
==
∴MP=AM•sin∠OAD=
DN•MP=×t×t=
==，∴MP=（
=DN•MP=×t×（t+28t=（
=24ND•cos∠ODA=30×=18
==2
=OF•FG+ON•GH=（
==
=
，由对称性可知：∠DPK=∠DPO=∠DON=∠FOG ==
的垂直平分线，交
，即．
的距离都是
O。