(全国通用版)2019版高考数学一轮复习第九单元不等式教材复习课“不等式”相关基础知识一课过课件理

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(全国通用版)2019版高考数学一轮复习第九单元不等式高考研究课(一)不等式性质、一元二次不等

[即时演练]
1．(2018·泰安调研)设a，b∈R，若p：a<b，q：
1 b
<
1 a
<0，则p
是q的
()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：当a<b时， 1b
<
1a<0不一定成立；当
1 b<
1a<0时，a<b<0.综
上可得，p是q的必要不充分条件．
答案：B
即mΔ＝＜40－，4m1－m＜0，不等式组的解集为空集，即m无解．综上可知不存在这样的m.
[方法技巧] 对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．
角度二：形如 f(x)≥0(≤0)(x∈[a，b])确定参数的范围 2．(2018·西安八校联考)设函数 f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对
B＝{x|－1<x<1}，所以B A. 答案：B
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高考研究课(一) 不等式性质、一元二次不等式
[全国卷 5 年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
不等式性质
5年2考
比较大小
一元二次不等式解法
5年8考与集合交汇命题考查解法
不等式恒成立问题 5年1考利用不等式恒成立求参数
01 题型一不等式的性质及应用
02 题型二一元二次不等式的解法
03 题型三一元二次不等式恒成立问题
－2≤x＜2}，则 A∩B＝
()

全国版2019版高考数学一轮复习不等式选讲第1讲绝对值不等式学案20180509275

第1讲绝对值不等式板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 绝对值不等式的解法1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方转化为二次不等式求解．2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式(1)绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．考点2 绝对值不等式的应用1．定理：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．3．由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式(1)|a 1＋a 2＋…＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.(2)||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |.(3)||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |.[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|ax ＋b |≤c (c ≥0)的解等价于－c ≤ax ＋b ≤c .( )(2)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( )(3)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( )(4)|x －a |＋|x －b |的几何意义是表示数轴上的点x 到点a ，b 的距离之和．( )(5)不等式|a －b |≤|a |＋|b |等号成立的条件是ab ≤0.( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．[课本改编]不等式3≤|5－2x |<9的解集为( )A ．[－2,1)∪[4,7)B ．(－2,1]∪(4,7]C ．(－2，－1]∪[4,7)D ．(－2,1]∪[4,7) 答案 D解析由题得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9，|2x －5|≥3⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x <7，x ≥4或x ≤1，得解集为(－2,1]∪[4,7)． 3．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)答案 A解析 ∵|x ＋3|－|x －1|≤|(x ＋3)－(x －1)|＝4，∴a 2－3a ≥4恒成立，∴a ∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)．4．[课本改编]不等式|x －1|<4－|x ＋2|的解集是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32 解析由|x －1|<4－|x ＋2|，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x ＋2＋x －1<4或 ⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x <1，x ＋2＋1－x <4或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－2，－(x ＋2)＋1－x <4，解得1≤x <32或－2<x <1或－52<x ≤－2.所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32. 5．[2018·南宁模拟]若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．答案 [－2,4]解析 ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|，要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.6．[课本改编]不等式|x ＋3|－|2x －1|<x 2＋1的解集为________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－25或x >2 解析 ①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <10，所以x <－3.②当－3≤x ＜12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <－25，所以－3≤x <－25. ③当x ≥12时，原不等式化为x ＋3＋1－2x <x 2＋1，解得x >2，所以x >2. 综上可知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－25或x >2. 板块二典例探究·考向突破考向绝对值不等式的解法例 1 [2017·全国卷Ⅲ]已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集；(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f (x )≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f (x )≥1，解得x ＞2.所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}．(2)由f (x )≥x 2－x ＋m ，得 m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x .而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－322＋54≤54，且当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54. 触类旁通绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对a >0，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a .(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解．(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．【变式训练1】 [2017·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1；当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0，从而1＜x ≤－1＋172. 所以f (x )≥g (x )的解集为(2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1,1]．考向绝对值三角不等式的应用例 2 (1)[2018·江西模拟]已知函数f (x )＝|2x －1|.①求不等式f (x )<4的解集； ②若函数g (x )＝f (x )＋f (x －1)的最小值为a ，且m ＋n ＝a (m >0，n >0)，求2m ＋1n的取值范围．解 ①不等式f (x )<4，即|2x －1|<4，即－4<2x －1<4，求得－32<x <52，故不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－32<x <52. ②若函数g (x )＝f (x )＋f (x －1)＝|2x －1|＋|2(x －1)－1|＝|2x －1|＋|2x －3|≥|(2x －1)－(2x －3)|＝2，故g (x )的最小值为a ＝2，∵m ＋n ＝a ＝2(m >0，n >0)，则2m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n 2n ＝1＋n m ＋m 2n ＋12＝32＋n m ＋m 2n ≥32＋2n m ·m 2n ＝32＋2，当且仅当m ＝4－22，n ＝22－2时等号成立，故2m ＋1n 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32＋2，＋∞. (2)[2018·太原模拟]已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.①解不等式：|g (x )|<5；②若对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．解 ①由||x －1|＋2|<5，得－5<|x －1|＋2<5，所以－7<|x －1|<3，解不等式得－2<x <4，所以原不等式的解集是{x |－2<x <4}．②因为对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围是{a |a ≥－1或a ≤－5}．触类旁通绝对值三角不等式的应用利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R )，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以(1)求最值．(2)证明不等式．【变式训练2】 (1)[2018·江西模拟]设f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|(x ∈R )，①求证：f (x )≥2；②若不等式f (x )≥|2b ＋1|－|1－b ||b |对任意非零实数b 恒成立，求x 的取值范围．解 ①证明：f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝|1－x |＋|x ＋1|≥|1－x ＋x ＋1|＝2.②令g (b )＝|2b ＋1|－|1－b ||b |，g (b )＝|2b ＋1|－|1－b ||b |≤|2b ＋1－1＋b ||b |＝3， ∴f (x )≥3，即|x －1|＋|x ＋1|≥3，x ≤－1时，－2x ≥3，∴x ≤－1.5；－1<x ≤1时，2≥3不成立；x >1时，2x ≥3，∴x ≥1.5.综上所述x ≤－1.5或x ≥1.5.(2)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，a ∈R .①若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围；②当a <2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值．解 ①由题f (x )≤2－|x －1|，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≤1. 而由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1，由不等式f (x )≤2－|x －1|有解，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1≤1，即0≤a ≤4.故实数a 的取值范围是[0,4]．②函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，当a <2，即a2<1时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x <a 2，x －a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤x ≤1，3x －a －1(x >1).所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a2＋1＝3，得a ＝－4<2(符合题意)，故a ＝－4.考向与绝对值不等式有关的求参问题例 3 [2018·安徽模拟]已知函数f (x )＝|x －4|，g (x )＝a |x |，a ∈R .(1)当a ＝2时，解关于x 的不等式f (x )>2g (x )＋1；(2)若不等式f (x )≥g (x )－4对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，不等式f (x )>2g (x )＋1为|x －4|>4|x |＋1，x <0，不等式化为4－x >－4x ＋1，解得x >－1，∴－1<x <0；0≤x ≤4，不等式化为4－x >4x ＋1，解得x <35， ∴0≤x <35； x >4，不等式化为x －4>4x ＋1，解得x <－53，无解；综上所述，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <35. (2)若不等式f (x )≥g (x )－4对任意x ∈R 恒成立，即|x －4|≥a |x |－4对任意x ∈R 恒成立，当x ＝0时，不等式|x －4|≥a |x |－4恒成立；当x ≠0时，问题等价于a ≤|x －4|＋4|x |对任意非零实数恒成立．∵|x －4|＋4|x |≥|x －4＋4||x |＝1， ∴a ≤1，即a 的取值范围是(－∞，1]．触类旁通(1)当a ＝2时，不等式f (x )>2g (x )＋1为|x －4|>4|x |＋1，分类讨论求得x 的范围．(2)由题意可得|x －4|≥a |x |－4对任意x ∈R 恒成立．当x ＝0时，不等式显然成立；当x ≠0时，采用分离参数法，问题等价于a ≤|x －4|＋4|x |对任意非零实数恒成立，再利用绝对值三角不等式求得a 的范围．含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想．(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．【变式训练3】 (1)已知函数f (x )＝|1－2x |－|1＋x |.①若不等式f (x )<4的解集为{x |a <x 12，当x <－1时，－x ＋2<4，∴－2<x <－1；当－1≤x ≤12时，－3x <4，∴－1≤x ≤12；当x >12时，x －2<4，∴12<x <6. 故由f (x )<4得－2<x <6，∴a ＝－2，b ＝6.②不等式f (x )≤k －f (－2x )有解，即|1－2x |－|1＋x |≤k －|1＋4x |＋|1－2x |，即k ≥|1＋4x |－|1＋x |有解，∵|1＋4x |－|1＋x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－1，－5x －2，－1≤x ≤－14，3x ，x ≥－14，∴|1＋4x |－|1＋x |的最小值为－34， ∴实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞. (2)[2018·凉山州模拟]已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x |＋a .①若不等式f (x )≥0的解集为空集，求实数a 的取值范围；②若方程f (x )＝x 有三个不同的解，求实数a 的取值范围．解 ①令g (x )＝|x ＋1|－|x |，则由题意可得f (x )≥0的解集为∅，即g (x )≥－a 的解集为∅，即g (x )<－a 恒成立．∵g (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1，x <－1，2x ＋1，－1≤x <0，1，x ≥0，作出函数g (x )的图象，如图：由图可知，函数g (x )min ＝－1；g (x )max ＝1.∴－a >1，即a <－1.综上，实数a 的取值范围为(－∞，－1)．②在同一坐标系内作出函数g (x )＝|x ＋1|－|x |图象和y ＝x 的图象如图所示，由题意可知，把函数y ＝g (x )的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与y ＝x 的图象始终有3个交点，从而－1<a <0.核心规律含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法(1)分离参数法：运用“f (x )≤a ⇔f (x )max ≤a ，f (x )≥a ⇔f (x )min ≥a ”可解决恒成立中的参数范围问题． (2)更换主元法：不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．(3)数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题．满分策略1．在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题，能有效避免分类讨论不全面的问题．若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．2．绝对值不等式|a ±b |≤|a |＋|b |，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件.板块三模拟演练·提能增分[基础能力达标]1．[2018·宜春模拟]设函数f (x )＝|x －4|，g (x )＝|2x ＋1|.(1)解不等式f (x )<g (x )；(2)若2f (x )＋g (x )>ax 对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f (x )<g (x )等价于(x －4)2<(2x ＋1)2，∴x 2＋4x －5>0，∴x <－5或x >1，∴不等式的解集为{x |x<－5或x >1}．(2)令H (x )＝2f (x )＋g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －7，x >4，9，－12≤x ≤4，－4x ＋7，x <－12，G (x )＝ax ， 2f (x )＋g (x )>ax 对任意的实数x 恒成立，即H (x )的图象恒在直线G (x )＝ax 的上方，故直线G (x )＝ax 的斜率a 满足－4≤a <94，即a 的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4，94. 2．[2018·深圳模拟]已知函数f (x )＝|x －5|－|x －2|.(1)若∃x ∈R ，使得f (x )≤m 成立，求m 的取值范围；(2)求不等式x 2－8x ＋15＋f (x )≤0的解集．解 (1)f (x )＝|x －5|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x ≤2，7－2x ，2<x <5.－3，x ≥5，当2<x <5时，－3<7－2x <3，所以－3≤f (x )≤3.所以m 的取值范围是[－3，＋∞)．(2)原不等式等价于－f (x )≥x 2－8x ＋15，由(1)可知，当x ≤2时，－f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，－f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}；当x ≥5时，－f (x )≥x 2－8x ＋15 的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，原不等式的解集为{x |5－3≤x ≤6}．3．[2018·福州模拟]已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的定义域为实数集R .(1)当a ＝5时，解关于x 的不等式f (x )>9；(2)设关于x 的不等式f (x )≤|x －4|的解集为A ，B ＝{x ∈R ||2x －1|≤3}，如果A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝5时，f (x )＝|x ＋5|＋|x －2|.①当x ≥2时，由f (x )>9，得2x ＋3>9，解得x >3；②当－5≤x <2时，由f (x ) >9，得7>9，此时不等式无解；③当x <－5时，由f (x )>9，得－2x －3>9，解得x <－6.综上所述，当a ＝5时，关于x 的不等式f (x )>9的解集为{x ∈R |x <－6或x >3}．(2)∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又B ＝{x ∈R ||2x －1|≤3}＝{x ∈R |－1≤x ≤2}，关于x 的不等式f (x )≤|x －4|的解集为A ，∴当－1≤x ≤2时，f (x )≤|x －4|恒成立．由f (x )≤|x －4|得|x ＋a |≤2.∴当－1≤x ≤2时，|x ＋a |≤2恒成立，即－2－x ≤a ≤2－x 恒成立．∴实数a 的取值范围为[－1,0]．4．[2018·泉州模拟]已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x －4|.(1)解关于x 的不等式f (x )<9；(2)若直线y ＝m 与曲线y ＝f (x )围成一个三角形，求实数m 的取值范围，并求所围成的三角形面积的最大值．解 (1)x ≤－1，不等式可化为－x －1－2x ＋4<9，∴x >－2，∴－2<x ≤－1；－1<x <2，不等式可化为x ＋1－2x ＋4<9，∴x >－4，∴－1<x <2；x ≥2，不等式可化为x ＋1＋2x －4<9，∴x <4，∴2≤x ＜4；综上所述，不等式的解集为{x |－2<x <4}．(2)f (x )＝|x ＋1|＋2|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －3，x ≥2，5－x ，－1≤x <2，3－3x ，x <－1.由题意作图如下，结合图象可知，A (3,6)，B (－1,6)，C (2,3)；故3<m ≤6，且m ＝6时面积最大为12×(3＋1)×3＝6. 5．[2018·长春模拟]已知函数f (x )＝|2x ＋4|＋|x －a |.(1)当a <－2时，f (x )的最小值为1，求实数a 的值；(2)当f (x )＝|x ＋a ＋4|时，求x 的取值范围．解 (1)f (x )＝|2x ＋4|＋|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋a －4(x <a )，－x －a －4(a ≤x ≤－2)，3x －a ＋4(x >－2).可知，当x ＝－2时，f (x )取得最小值，最小值为f (－2)＝－a －2＝1，解得a ＝－3.(2)f (x )＝|2x ＋4|＋|x －a |≥|(2x ＋4)－(x －a )|＝|x ＋a ＋4|，当且仅当(2x ＋4)(x －a )≤0时，等号成立，所以若f (x )＝|x ＋a ＋4|，则当a <－2时，x 的取值范围是{x |a ≤x ≤－2}；当a ＝－2时，x 的取值范围是{x |x ＝－2}；当a >－2时，x 的取值范围是{x |－2≤x ≤a }．6．[2018·辽宁大连双基考试]设函数f (x )＝|x －1|＋12|x －3|. (1)求不等式f (x )>2的解集；(2)若不等式f (x )≤a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的解集非空，求实数a 的取值范围．解 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －32x ＋52>2，x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋12>2，1<x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ 32x －52>2，x >3，∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(3，＋∞)．(2)f(x)＝|x－1|＋12|x－3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x＋52，x≤1，12x＋12，1<x≤3，32x－52，x>3.f(x)的图象如图所示，其中A(1,1)，B(3,2)，直线y＝a⎝⎛⎭⎪⎫x＋12绕点⎝⎛⎭⎪⎫－12，0旋转，由图可得不等式f(x)≤a⎝⎛⎭⎪⎫x＋12的解集非空时，a的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫47，＋∞.。

2019版高考数学一轮回顾专题三数列与不等式配套教案理

(1)求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{nbn}的前n项和Tn.
解：(1)由 2Sn＋an＝n2＋2n＋2， ① 得 2S1＋a1＝5，解得 a1＝53. 2Sn＋1＋an＋1＝(n＋1)2＋2(n＋1)＋2. ② ②－①，得 3an＋1－an＝2n＋3. ∵bn＝an－n，∴an＝bn＋n，an＋1＝bn＋1＋n＋1. ∴3bn＋1＝bn.又∵b1＝a1－1＝23. ∴{bn}是以23为首项，13为公比的等比数列. ∴bn＝32n.
例 2: (2015 年广东梅州调研)若数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12.
(1)求证：S1n成等差数列； (2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明：当 n≥2 时，由 an＋2SnSn－1＝0，得 Sn－Sn－1＝－2SnSn－1.所以S1n－Sn1－1＝2. 又S11＝a11＝2，故S1n是首项为 2，公差为 2 的等差数列. (2)解：由(1)，可得S1n＝2n，则 Sn＝21n. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝21n－2n1－1
(2)由(1)，得 bn＝32n.∴nbn＝23nn. ∴Tn＝213＋322＋333＋…＋3nn. ∴13Tn＝2312＋323＋334＋…＋n－3n 1＋3nn＋1，两式相减，得23Tn＝213＋312＋313＋…＋31n－3nn＋1 ＝21311－－1331n－3nn＋1＝1－23nn＋＋13.∴Tn＝321－23nn＋＋13.
因为 an＞0，所以 an－an－1＝2. 所以数列{an}是首项为 3，公差为 2 的等差数列. 所以 an＝2n＋1. (2)由(1)知，bn＝2n＋112n＋3＝122n1＋1－2n1＋3. 所以数列{bn}的前 n 项和为 b1＋b2＋…＋bn＝ 1213－15＋15－17＋…＋2n1＋1－2n1＋3＝16－4n1＋6.

(全国通用版)2019版高考数学一轮复习第九单元不等式高考研究课(三)基本不等式课件理

2 2 a a ＋ b 1 1 所以lg a＝－lg b，b＝ a ，a－b＝a－ a >0，则＝ a－ b 2
1 ＋a2
1 a－a
2＋ 6 1 2 1 2 ＝a－ a ＋ ≥2 2 (当且仅当a－ a ＝，即a＝ 1 1 2 a－a a－a 时，等号成立)．答案：2 2
[方法技巧]
角度一：通过配凑法求最值 1．(2018· 泉州检测)已知0<x<1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为 1 A. 3 1 B. 2 3 C. 4 2 D. 3 ( )
x＋1－x 2 3 解析：∵0<x<1，∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤3 ＝4. 2
1 当且仅当x＝1－x，即x＝时，“＝”成立． 2 答案：B
利用给定条件变形，消去其中一元，变为一元变量函数，再配凑后使用基本不等式求最值．
基本不等式的实际应用
[典例] 某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形
公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m(如图所示)．
高考研究课(三) 基本不等式
[全国卷 5 年命题分析]
考点基本不等式求最值
考查频度未考查
考查角度
基本不等式的实际应用
未考查
01
题型一利用基本不等式求最值
题型二基本不等式的实际应用
02
目录
03
高考达标检测
利用基本不等式求最值
利用基本均值不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定值求其和的最小值，高考对其考查的频率较低，但也要引起重视.,常见的命题角度有： 1通过配凑法求最值； 2通过常值代换法求最值； 3通过消元法求最值.

人教版高考文科数学一轮复习资料选修-不等式的证明

第2讲不等式的证明一、知识梳理 1．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥ na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．2．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．常用结论基本不等式及其推广1．a 2≥0(a ∈R )．2．(a －b )2≥0(a ，b ∈R )，其变形有a 2＋b 2≥2ab ，⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab ，a 2＋b 2≥12(a ＋b )2.3．若a ，b 为正实数，则a ＋b 2≥ab .特别地，b a ＋ab ≥2.4．a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 二、教材衍化求证：3＋7<2＋ 6. 证明：3＋7<2＋6 ⇐(3＋7)2<(2＋6)2 ⇐10＋221<10＋46⇐21<26⇐21<24.故原不等式成立．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．()(3)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、易错纠偏常见误区不等式放缩不当致错.已知三个互不相等的正数a ，b ，c 满足abc ＝1.试证明： a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.证明：因为a ，b ，c >0，且互不相等，abc ＝1，所以a ＋b ＋c ＝1bc＋1ac＋1ab<1b ＋1c 2＋1a ＋1c 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c ，即a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.用综合法、分析法证明不等式(师生共研)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明： (1)1a ＋1b ＋1c ≤a 2＋b 2＋c 2； (2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.证明：(1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33（a ＋b ）3（b ＋c ）3（a ＋c ）3 ＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac )＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提．充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野．1．若a ，b ∈R ，ab >0，a 2＋b 2＝1.求证：a 3b ＋b 3a≥1. 证明：a 3b ＋b 3a ＝a 4＋b 4ab ＝（a 2＋b 2）2－2a 2b 2ab ＝1ab －2ab .因为a 2＋b 2＝1≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以0<ab ≤12.令h (t )＝1t －2t ，0<t ≤12，则h (t )在(0，12]上递减，所以h (t )≥h (12)＝1.所以当0<ab ≤12时，1ab －2ab ≥1.所以a 3b ＋b 3a≥1.2．(一题多解)(2020·宿州市质量检测)已知不等式|2x ＋1|＋|2x －1|<4的解集为M . (1)求集合M ；(2)设实数a ∈M ，b ∉M ，证明：|ab |＋1≤|a |＋|b |.解：(1)当x <－12时，不等式化为－2x －1＋1－2x <4，即x >－1，所以－1<x <－12；当－12≤x ≤12时，不等式化为2x ＋1－2x ＋1<4，即2<4，所以－12≤x ≤12；当x >12时，不等式化为2x ＋1＋2x －1<4，即x <1，所以12<x <1.综上可知，M ＝{x |－1<x <1}．(2)法一：因为a ∈M ，b ∉M ，所以|a |<1，|b |≥1. 而|ab |＋1－(|a |＋|b |) ＝|ab |＋1－|a |－|b | ＝(|a |－1)(|b |－1)≤0，所以|ab |＋1≤|a |＋|b |. 法二：要证|ab |＋1≤|a |＋|b |，只需证|a ||b |＋1－|a |－|b |≤0，只需证(|a |－1)(|b |－1)≤0，因为a ∈M ，b ∉M ，所以|a |<1，|b |≥1，所以(|a |－1)(|b |－1)≤0成立．所以|ab |＋1≤|a |＋|b |成立．放缩法证明不等式(师生共研)若a ，b ∈R ，求证：|a ＋b |1＋|a ＋b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.【证明】当|a ＋b |＝0时，不等式显然成立．当|a ＋b |≠0时，由0＜|a ＋b |≤|a |＋|b |⇒1|a ＋b |≥1|a |＋|b |，所以|a ＋b |1＋|a ＋b |＝11|a ＋b |＋1≤11＋1|a |＋|b |＝|a |＋|b |1＋|a |＋|b |＝|a |1＋|a |＋|b |＋|b |1＋|a |＋|b |≤|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |.在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有： (1)变换分式的分子和分母，如1k 2＜1k （k －1），1k 2＞1k （k ＋1），1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1上面不等式中k ∈N ＋，k ＞1.(2)利用函数的单调性．(3)真分数性质“若0＜a ＜b ，m ＞0，则a b ＜a ＋mb ＋m ”．[注意] 在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n<1.证明：由2n ≥n ＋k >n (k ＝1，2，…，n )，得12n ≤1n ＋k <1n .当k ＝1时，12n ≤1n ＋1<1n ；当k ＝2时，12n ≤1n ＋2<1n ；…当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n <1n，所以12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n <n n ＝1.所以原不等式成立．反证法证明不等式(师生共研)设0<a ，b ，c <1，求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能同时大于14.【证明】设(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )b ·(1－b )c ·(1－c )a >164，①又因为0<a ，b ，c <1，所以0<(1－a )a ≤⎣⎡⎦⎤（1－a ）＋a 22＝14. 同理：(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤14，以上三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤164，与①矛盾．所以(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能同时大于14.利用反证法证明问题的一般步骤(1)否定原结论．(2)从假设出发，导出矛盾． (3)证明原命题正确．已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0，求证：a ，b ，c >0.证明：①设a <0，因为abc >0，所以bc <0.又由a ＋b ＋c >0，则b ＋c >－a >0，所以ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc <0，与题设矛盾． ②若a ＝0，则与abc >0矛盾，所以必有a >0. 同理可证：b >0，c >0. 综上可证a ，b ，c >0.[基础题组练]1．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，求证：1a ＋1b ≥4.证明：由3是3a 与3b 的等比中项得 3a ·3b ＝3，即a ＋b ＝1，要证原不等式成立，只需证a ＋b a ＋a ＋b b ≥4成立，即证b a ＋a b ≥2成立，因为a ＞0，b ＞0，所以b a ＋ab≥2b a ·ab＝2， (当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，“＝”成立)，所以1a ＋1b≥4.2．求证：112＋122＋132＋…＋1n 2＜2.证明：因为1n 2＜1n （n －1）＝1n －1－1n，所以112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋11×2＋12×3＋13×4＋…＋1（n －1）×n＝1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝2－1n ＜2. 3．(2020·蚌埠一模)已知函数f (x )＝|x |＋|x －3|. (1)解关于x 的不等式f (x )－5≥x ；(2)设m ，n ∈{y |y ＝f (x )}，试比较mn ＋4与2(m ＋n )的大小．解：(1)f (x )＝|x |＋|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2x ，x <0，3，0≤x ≤3，2x －3，x >3.f (x )－5≥x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x <0，3－2x ≥x ＋5或⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，3≥x ＋5或⎩⎪⎨⎪⎧x >3，2x －3≥x ＋5，解得x ≤－23或x ∈∅或x ≥8.所以不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－23∪[8，＋∞)． (2)由(1)易知f (x )≥3，所以m ≥3，n ≥3.由于2(m ＋n )－(mn ＋4)＝2m －mn ＋2n －4＝(m －2)(2－n )．且m ≥3，n ≥3，所以m －2>0，2－n <0，即(m －2)(2－n )<0，所以2(m ＋n )<mn ＋4.4．(2020·开封市定位考试)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －m |(m >1)，若f (x )>4的解集是{x |x <0或x >4}．(1)求m 的值；(2)若正实数a ，b ，c 满足1a ＋12b ＋13c ＝m3，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)因为m >1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋m ＋1，x <1m －1，1≤x ≤m 2x －m －1，x >m ，作出函数f (x )的图象如图所示，由f (x )>4的解集及函数f (x )的图象得⎩⎪⎨⎪⎧－2×0＋m ＋1＝42×4－m －1＝4，得m ＝3.(2)由(1)知m ＝3，从而1a ＋12b ＋13c＝1，a ＋2b ＋3c ＝(1a ＋12b ＋13c )(a ＋2b ＋3c )＝3＋(a 2b ＋2b a )＋(a 3c ＋3c a )＋(2b 3c ＋3c2b )≥9，当且仅当a ＝3，b ＝32，c ＝1时“＝”成立．5．(2020·原创冲刺卷)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋(x －1)2的最小值为s .(1)试求s 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝s ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥3.解：(1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋(x －1)2≥|x ＋1|＋|2－x |≥|(x ＋1)＋(2－x )|＝3，即f (x )≥3. 当且仅当x ＝1，且(x ＋1)(2－x )≥0，即x ＝1时，等号成立，所以f (x )的最小值为3，所以s ＝3.(2)证明：由(1)知a ＋b ＋c ＝3.故a 2＋b 2＋c 2＝(a 2＋12)＋(b 2＋12)＋(c 2＋12)－3 ≥2a ＋2b ＋2c －3＝2(a ＋b ＋c )－3＝3(当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立)． 6．设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14； (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小．解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ≤1，－3，x ＞1，由－2＜－2x －1＜0解得－12＜x ＜12，即M ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，所以⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14. (2)由(1)得a 2＜14，b 2＜14，因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0，故|1－4ab |2＞4|a －b |2，即|1－4ab |＞2|a －b |.[综合题组练]1．(2020·江西八所重点中学联考)已知不等式|ax －1|≤|x ＋3|的解集为{x |x ≥－1}． (1)求实数a 的值；(2)求12－at ＋4＋t 的最大值．解：(1)|ax －1|≤|x ＋3|的解集为{x |x ≥－1}，即(1－a 2)x 2＋(2a ＋6)x ＋8≥0的解集为{x |x ≥－1}．当1－a 2≠0时，不符合题意，舍去．当1－a 2＝0，即a ＝±1时，x ＝－1为方程(2a ＋6)x ＋8＝0的一解，经检验a ＝－1不符合题意，舍去， a ＝1符合题意．综上，a ＝1.(2)(12－t ＋4＋t )2＝16＋2（12－t ）（4＋t ）＝16＋2－t 2＋8t ＋48，当t ＝82＝4时，(12－t ＋4＋t )2有最大值，为32.又12－t ＋4＋t ≥0，所以12－t ＋4＋t 的最大值为4 2. 2．(2019·高考全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.解：(1)由于[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，故由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明：由于[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，故由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥（2＋a ）23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立．因此(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为（2＋a ）23. 由题设知（2＋a ）23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.。

2019届一轮复习理数：第9单元高考研究课(1) 不等式性质、一元二次不等式

03
目录
04
课堂真题集中演练高考达标检测
05
[方法技巧]
[即时演练]
[方法技巧]
[方法技巧]
[方法技巧]
课堂真题集中演练
“高考达标检测”见“高考达标检测（二十
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高考研究课(一) 不等式性质、一元二次不等式
[全国卷 5 年命题分析]
考点
考查频度
考查角度
不等式性质
一元二次不等式解法不等式恒成立问题
5年2考
5年8考 5年1考
比较大小
与集合交汇命题考查解法利用不等式恒成立求参数
01 02
题型一不等式的性质及应用题型二一元二次不等式的解法
题型三一元二次不等式恒成立问题

高考数学第一轮复习教案-专题9不等式

3
(5) 若ab 0,则 b a 2 （当仅当 a=b 时取等号）
ab (6)a 0时，| x | a x2 a2 x a 或 x a; | x | a x2 a2 a x a
（7）若a、b R,则 || a | | b ||| a b || a | | b | 4.几个著名不等式
f (x) g(x)
（6）含绝对值不等式
○1 应用分类讨论思想去绝对值； ○2 应用数形思想；
○3 应用化归思想等价转化
|
f
(x)
|
g(x)

g
(x) g(x)
0
f
(x)

g(x)
|
f
(x) |
g(x)

g(x)

0(
f
(
x),
g
(
x)不同时为0)或gf ((xx))
专题九不等式
一、考试内容：不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式．二、考试要求：（1）理解不等式的性质及其证明．（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．（4）掌握简单不等式的解法．（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ 三、命题热点
(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.
(3)那么，满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做
可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（ x1, y1 ）和

2019届一轮复习理数：第9单元教材复习课 “不等式”相关基础知识一课过

第九单元
不等式
教材复习课课过
“不等式”相关基础知识一
01 02
知识点一不等式、一元二次不等式
知识点二简单的线性规划问题知识点三基本不等式双基过关检测
03
目录
04
[过双基]
[小题速通]
[清易错]
[过双基]名称意义ຫໍສະໝຸດ 约束条件线性约束条件
由变量x，y组成的__________
在线性约束条件下求线性目标函数的 ______ 或_______问题
[小题速通]
[清易错]
[过双基]
[小题速通]
[清易错]
“双基过关检测”见“不等式” (单击进入电子文档)
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由x，y的_____不等式(或方程)组成的不等式 (组 )
目标函数
线性目标函数可行解可行域最优解线性规划问题
关于x，y的函数_______，如z＝2x＋3y等
关于x，y的_____解析式满足线性约束条件的解_______ 所有可行解组成的_____ 使目标函数取得_______或_______的可行解

2019年高考数学一轮复习热点难点精讲精析选修系列(第2部分：不等式选讲)

2019年高考一轮复习热点难点精讲精析：选修系列（第2部分：不等式选讲）一、绝对值不等式（一）绝对值三角不等式性质定理的应用〖例〗“|x-a|＜m,且|y-a|＜m 是“|x-y|＜2m ”(x,y,a,m ∈R)的（A ）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件思路解析：利用绝对值三角不等式，推证||||x a m y a m-<⎧⎨-<⎩与|x-y|＜2m 的关系即得答案。

解答：选A 。

|||()()|||||2,||,||||23,1,2, 2.5,||252,||5,|| 2.5,||||||2.x y x a y a x a y a m m m x a m y a m x y m x y a m x y m x a x a m x a m y a m x y m -=---≤-+-<+=∴-<-<-<===-=-=<=-=-<=-<-<-<且是的充分条件.取则有但不满足故且不是的必要条件（二）绝对值不等式的解法〖例〗解下列不等式： 2(1)1|2|3;(2)|25|7;(3)|9|3;(4)|1||2| 5.x x x x x x x <-≤+>+-≤+-++<思路解析：（1）利用公式或平方法转化为不含绝对值的不等式。

（2）利用公式法转化为不含绝对值的不等式。

（3）利用绝对值的定义或|()|(0)|()|f x a a a f x a ≤>⇒-≤≤去掉绝对值符号或利用数形结合思想求解。

（4）不等式的左边含有绝对值符号，要同时去掉这两个绝对值符号，可以采用“零点分段法”，此题亦可利用绝对值的几何意义去解。

解答：（1）方法一：原不等式等价于不等式组|2|1,|2|3x x ->⎧⎨-≤⎩即13,15x x x <>⎧⎨-≤≤⎩或解得-1≤x ＜1或3＜x ≤5,所以原不等式的解集为{x|-1≤x ＜1或3＜x ≤5}.（2）由不等式|25|7x x +>+，可得250257x x x +≥⎧⎨+>+⎩或250,25(7)x x x +<⎧⎨+<-+⎩解得x>2或x<-4.∴原不等式的解集是{x| x<-4或x>2}（3）原不等式⇔①229093x x x ⎧-≥⎪⎨-≤+⎪⎩或②2290,93x x x ⎧-<⎪⎨-≤+⎪⎩ 不等式①⇔3333 4.34x x x x x ≤-≥⎧⇔=-≤≤⎨-≤≤⎩或或不等式②⇔332 3.32x x x x -<<⎧⇔≤<⎨≤-≥⎩或∴原不等式的解集是{x|2≤x ≤4或x=-3}.(4)分别求|x-1|,|x+2|的零点，即1，-2。

2019年高考数学(理科)一轮复习通用版：第九单元不等式

第九单元不等式教材复习课“不等式”相关基础知识一课过1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a 1⇔a >b (a ∈R ，b >0)，ab ＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b >0)，a b<1⇔a 0).2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ； a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方性：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)． 3．三个“二次”间的关系ax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集 {x |x 1＜x ＜x 2} ∅∅1．若a >b >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A.b a >b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋1b C ．a ＋1b >b ＋1aD.2a ＋b a ＋2b >a b解析：选C 由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1a ，故选C.2．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M ＜ND ．M ≤N解析：选A 由题意知，M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝2a 2－4a －(a 2－2a －3)＝(a －1)2＋2>0恒成立，所以M >N .3．已知一元二次不等式f (x )＞0的解集为xx ＜－1或x ＞12，则f (10x )＞0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞lg 2}B ．{x |－1＜x ＜lg 2}C ．{x |x ＞－lg 2}D ．{x |x ＜－lg 2}解析：选C 一元二次不等式f (x )＞0的解集为xx ＜－1或x ＞12，则不等式f (10x )＞0可化为10x ＜－1或10x ＞12，解得x ＞lg 12，即x ＞－lg 2，所以所求不等式的解集为{x |x ＞－lg 2}．4．不等式－6x 2＋2＜x 的解集是________．解析：不等式－6x 2＋2＜x 可化为6x 2＋x －2＞0，即(3x ＋2)(2x －1)＞0，解不等式得x <－23或x >12，所以该不等式的解集是⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ [清易错]1．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．2．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形．3．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别a 的符号． 1．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞) 解析：选C ①当m ＝－1时，不等式为2x －6<0，即x <3，不符合题意．②当m ≠－1时，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ<0，解得m <－1311，符合题意．故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－1311. 2．对于实数a ，b ，c ，有下列命题： ①若a ＞b ，则ac ＜bc ； ②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ； ③若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2； ④若c ＞a ＞b ＞0，则a c －a ＞bc －b； ⑤若a ＞b ，1a ＞1b ，则a ＞0，b ＜0.其中真命题的序号是________．解析：当c ＝0时，若a ＞b ，则ac ＝bc ，故①为假命题；若ac 2＞bc 2，则c ≠0，c 2＞0，故a ＞b ，故②为真命题；若a ＜b ＜0，则a 2＞ab 且ab ＞b 2，即a 2＞ab ＞b 2，故③为真命题；若c ＞a ＞b ＞0，则c a ＜c b ，则c －a a ＜c －b b ，则a c －a ＞bc －b ，故④为真命题；若a ＞b ，1a ＞1b ，即b －a ab >0，故ab ＜0，则a ＞0，b ＜0，故⑤为真命题．故②③④⑤为真命题．答案：②③④⑤3．若不等式ax 2－bx ＋c ＜0的解集是(－2,3)，则不等式bx 2＋ax ＋c ＜0的解集是________．解析：∵不等式ax 2－bx ＋c ＜0的解集是(－2,3)， ∴a ＞0，且对应方程ax 2－bx ＋c ＝0的实数根是－2和3，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧ca ＝－2×3，ba ＝－2＋3，即ca＝－6，ba＝1，∴b＞0，且ab＝1，cb＝－6，∴不等式bx2＋ax＋c＜0可化为x2＋x－6＜0，解得－3＜x＜2，∴该不等式的解集为(－3,2)．答案：(－3,2)1．一元二次不等式(组)表示的平面区域[小题速通]1．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()解析：选C 由(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.结合图形可知选C.2．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，平移直线y ＝－x ，当直线经过点A (3,0)时，z ＝x ＋y 取得最大值，此时z max ＝3＋0＝3.3．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2 B.13 C.12D ．1解析：选D 作出可行域如图中阴影部分所示，当点P 位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝1的交点(1,1)时，(k OP )max ＝1.4．已知z ＝2x ＋y ，实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m的值是( )A.14B.15C.16D.17解析：选A 根据题意画出如图所示的可行域如图中阴影部分所示．平移直线l ：2x ＋y ＝0，当l 过点A (m ，m )时z 最小，过点B (1,1)时z 最大，由题意知，z max ＝4z min ，即3＝4×3m ，解得m ＝14.[清易错]1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先把二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ≥0，|x ＋y |≤1，使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，则z 1＝ax ＋y ＋1的最小值为( )A ．0B ．－2C ．1D ．－1解析：选A 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，∵z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，∴－a ＝1，a ＝－1，∴当x ＝1，y ＝0或x ＝0，y ＝－1时，z ＝ax ＋y ＝－x ＋y 有最小值－1，∴ax ＋y ＋1的最小值是0.基本不等式 [过双基]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)； (4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． [小题速通]1．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C 由1a ＋2b ＝ab ，知a ＞0，b ＞0，所以ab ＝1a ＋2b≥22ab，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.2．已知直线2ax ＋by －2＝0(a ＞0，b ＞0)过点(1,2)，则1a ＋1b 的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．1解析：选C 由直线2ax ＋by －2＝0(a ＞0，b ＞0)过点(1,2)，可得2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1.则1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋a b ＋b a ≥2＋2 b a ×a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号． ∴1a ＋1b的最小值为4. 3．已知x ，y ∈R 且2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围为________．解析：根据题意知，2x ＞0,2y ＞0，所以1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ，即2x ＋y ≤14＝2－2，x ＋y ≤－2，所以x ＋y 的取值范围为(－∞，－2]．答案：(－∞，－2][清易错]1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件． 2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性． 1．在下列函数中，最小值等于2的函数是( ) A ．y ＝x ＋1x B ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝e x ＋4ex －2解析：选D 当x <0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错误；因为0<x <π2，所以0<cos x <1，所以y ＝cos x ＋1cos x >2，故B 错误；因为x 2＋2≥2，所以y ＝x 2＋2＋1x 2＋2>2，故C 错误；因为e x >0，所以y ＝e x ＋4e x －2≥2e x ·4e x －2＝2，当且仅当e x ＝4ex ，即e x ＝2时等号成立，故选D.2．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为ab >0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab 的最小值是4. 答案：4一、选择题1．(2018·洛阳统考)已知a <0，－1ab >ab 2 B ．ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a解析：选D ∵－1ab 2>a .2．下列不等式中正确的是( ) A ．若a ∈R ，则a 2＋9>6aB ．若a ，b ∈R ，则a ＋bab≥2 C ．若a >0，b >0，则2lg a ＋b2≥lg a ＋lg bD ．若x ∈R ，则x 2＋1x 2＋1>1 解析：选C ∵a 2－6a ＋9＝(a －3)2≥0，∴A 错误；显然B 不正确；∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab .∴2lg a ＋b 2≥2lg ab ＝lg(ab )＝lg a ＋lg b ，∴C 正确；∵当x ＝0时，x 2＋1x 2＋1＝1，∴D 错误，故选C.3．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－3π2，3π2B.⎝⎛⎭⎫－3π2，0 C.⎝⎛⎭⎫0，3π2 D.⎝⎛⎭⎫－π2，0 解析：选B ∵－π2<α<π，－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2.又∵α<β，∴α－β<0，从而－3π2<α－β<0.4．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154D.152 解析：选A 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0，(a >0)的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，解得a ＝52.5．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A ．1 B.12 C.13D.14解析：选D 作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(2－1)×12＝14.6．(2018·成都一诊)已知x ，y ∈(0，＋∞)，且log 2x ＋log 2y ＝2，则1x ＋1y 的最小值是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选D 1x ＋1y ＝x ＋y xy ≥2xy xy ＝2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号．∵log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )＝2，∴xy ＝4.∴1x ＋1y ≥2xy ＝1.故1x ＋1y 的最小值为1. 7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2解析：选A 法一：将z ＝y －2x 化为y ＝2x ＋z ，作出可行域和直线y ＝2x (如图所示)，当直线y ＝2x ＋z 向右下方平移时，直线y ＝2x ＋z 在y 轴上的截距z 减小，数形结合知当直线y ＝2x ＋z 经过点A (5，3)时，z 取得最小值3－10＝－7.法二：易知平面区域的三个顶点坐标分别为B (1,3)，C (2,0)，A (5,3)，分别代入z ＝y －2x ，得z 的值为1，－4，－7，故z 的最小值为－7.8．(2017·山东高考改编)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为( )A ．4B ．3＋2 2C ．8D ．4 2解析：选C ∵直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,2)，∴1a ＋2b ＝1，∵a ＞0，b ＞0， ∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4ab ＝8，当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝2，b ＝4时等号成立， ∴2a ＋b 的最小值为8.二、填空题9．(2018·沈阳模拟)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________．解析：因为x 2＋y 2－xy ＝1，所以x 2＋y 2＝1＋xy .所以(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3×⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时等号成立，即(x ＋y )2≤4，解得－2≤x ＋y ≤2. 所以x ＋y 的最大值为2. 答案：210．(2017·郑州二模)某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a ＜7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，招聘的教师最多，此时x ＝a ＋b ＝13.答案：1311．一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________ m ，宽为________ m 时菜园面积最大．解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号．答案：1515212．(2018·邯郸质检)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，y ≤kx ＋3，0≤x ≤3表示的平面区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k 的取值范围是________．解析：直线y ＝kx ＋3恒过定点(0,3)，作出不等式组表示的可行域知，要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线y ＝kx ＋3的斜率在0与1之间，即k ∈(0,1)．答案：(0,1) 三、解答题13．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6 ＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，故⎩⎨⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.14．(2018·济南一模)已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．解：(1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy 时等号成立．∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 高考研究课(一)不等式性质、一元二次不等式 [全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度不等式性质 5年2考比较大小一元二次不等式解法 5年8考与集合交汇命题考查解法不等式恒成立问题5年1考利用不等式恒成立求参数不等式的性质及应用利用不等式性质比较大小或判断命题真假，一般直接利用性质推导或特殊值法验证. [典例] 若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>lnb 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④[解析] 法一：用“特值法”解题因为1a <1b <0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A 、B 、D ，选C.法二：用“直接法”解题由1a <1b<0，可知b <a <0. ①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b<1ab ，故①正确；②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误； ③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b ，故③正确；④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确．[答案] C[方法技巧]不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用． (3)与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法． [即时演练]1．(2018·泰安调研)设a ，b ∈R ，若p ：a <b ，q ：1b <1a <0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当a <b 时，1b <1a <0不一定成立；当1b <1a <0时，a <b <0.综上可得，p 是q 的必要不充分条件．2．若a ＜b ＜0，给出下列不等式：①a 2＋1＞b 2；②|1－a |＞|b －1|；③1a ＋b ＞1a ＞1b ，其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 因为a ＜b ＜0，所以－a ＞－b ＞0，则1－a ＞1－b ＞1，所以①a 2＋1＞b 2正确；②|1－a |＞|b －1|正确；因为a ＜b ＜0，所以a ＋b ＜a ＜b ＜0，所以③1a ＋b ＞1a ＞1b 正确，故选D.3．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0， ∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a2≥1a ＋1b[典例] (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4；(3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．[解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0. 解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，故原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. (3)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1. [方法技巧]解一元二次不等式的4个步骤[即时演练]1．若(x －1)(x －2)＜2，则(x ＋1)(x －3)的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．[－4，－3) C ．[－4,0)D ．(－3,4]解析：选C 解不等式(x －1)(x －2)＜2，可得0＜x ＜3，(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3，由二次函数的性质可得(x ＋1)(x －3)的取值范围是[－4,0)．2．(2018·昆明、玉溪统考)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax 的解集为( )A ．{x |－2<x <1}B ．{x |x <－2或x >1}C ．{x |0<x <3}D ．{x |x <0或x >3}解析：选C 由题意a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax ，整理得ax 2＋(b －2a )x ＋(a ＋c －b )>0 ①，又不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则a <0，且－1,2分别为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎨⎧－1＋2＝－ba ，(－1)×2＝ca ，即⎩⎨⎧ba ＝－1，ca ＝－2②，将①两边同除以a 得x 2＋⎝⎛⎭⎫b a －2x ＋⎝⎛⎭⎫1＋c a －b a <0，将②代入得x 2－3x <0，解得0<x <3.1．(2018·南昌一模)已知函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1，是否存在实数m 对所有的实数x ，f (x )<0恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：f (x )＝mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m (1－m )＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的m . [方法技巧]对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．角度二：形如f (x )≥0(≤0)(x ∈[a ，b ])确定参数的范围2．(2018·西安八校联考)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，则m ＜0.综上所述，m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67. [方法技巧]解决一元二次不等式的恒成立问题常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．角度三：形如f (x )≥0(≤0)(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ≥0恒成立，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零． [方法技巧]解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．1．(2014·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,2) C ．[－1,1]D ．[1,2)解析：选A A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝[－2，－1]．2．(2014·全国卷Ⅱ)设集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( ) A ．{1} B ．{2} C ．{0,1}D ．{1,2}解析：选D N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{0,1,2}，所以M ∩N ＝{1,2}． 3．(2012·全国卷)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1<x <1}，则( ) A ．A BB ．B AC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅解析：选B A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}， B ＝{x |－1<x <1}，所以B A .一、选择题1．(2018·唐山一模)下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若1a <1b <0，则|a |＋b <0D ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：选C 取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；当c <0时，ac >bc ⇒a －a >0，故－b >|a |，即|a |＋b <0，故C 正确；取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误．2．(2017·山东高考)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b C ．a ＋1b <log 2(a ＋b )1，因此a ＋1b >log 2(a ＋b )>b 2a .3．已知集合M ＝{x |x 2－4x >0}，N ＝{x |m <x <8}，若M ∩N ＝{x |6<x <n }，则m ＋n ＝( ) A ．10 B ．12 C ．14D ．16解析：选C ∵M ＝{x |x 2－4x >0}＝{x |x >4或x <0}，N ＝{x |m <x <8}，由于M ∩N ＝{x |6<x <n }，∴m ＝6，n ＝8，∴m ＋n ＝14.4．(2018·重庆检测)不等式2x ＋1<1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,1)解析：选A ∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1.5．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：选B 由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－c a ＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，对称轴为x ＝12，结合图象知选B. 6．(2018·合肥一模)若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．7．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.8．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320，即x 2－28x ＋192＜0，解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．二、填空题9．(2018·武汉一模)已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是__________．解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<11，此式无解．综上可得实数b 的取值范围为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)10．关于x 的不等式x 2－(t ＋1)x ＋t ≥0对一切实数x 成立，则实数t 的取值范围是________．解析：因为不等式x 2－(t ＋1)x ＋t ≥0对一切实数x 成立，所以Δ＝(t ＋1)2－4t ≤0，整理得(t －1)2≤0，解得t ＝1. 答案：{1}11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x <0为奇函数，则不等式f (x )<4的解集为________．解析：当x >0时，－x <0，即f (－x )＝bx 2＋3x ，因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即－bx 2－3x ＝x 2＋ax ，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x <0.当x ≥0时，由x 2－3x <4，解得0≤x <4；当x <0时，由－x 2－3x <4，解得x <0，所以不等式f (x )<4的解集为(－∞，4)．答案：(－∞，4)12．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ＝0时，不等式恒成立，当x ≠0时，将问题转化为－a ≤1|x |＋|x |，由1|x |＋|x |≥2，故－a ≤2，即a ≥－2.所以实数a 的取值范围为[－2，＋∞)．答案：[－2，＋∞) 三、解答题13．已知a ∈R ，解关于x 的方程ax 2－(a ＋2)x ＋2＜0. 解：原不等式等价于(ax －2)(x －1)＜0.(1)当a ＝0时，原不等式为－(x －1)＜0，解得x ＞1. 即原不等式的解集为(1，＋∞)．(2)若a ＞0，则原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x －1)＜0，对应方程的根为x ＝1或x ＝2a.当2a ＞1，即0＜a ＜2时，不等式的解为1＜x ＜2a ；当a ＝2时，不等式的解集为∅；当2a ＜1，即a ＞2时，不等式的解为2a ＜x ＜1. (3)若a ＜0，则原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x －1)＞0，所以2a ＜1，所以不等式的解为x ＞1或x ＜2a .综上，当a ＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)．当0＜a ＜2时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1，2a . 当a ＝2时，不等式的解集为∅. 当a ＞2时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫2a ，1.当a ＜0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，2a ∪(1，＋∞)． 14．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解：(1)由题意得，y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000(1＋0.6x )(0<x <1)，整理得y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧y －(12－10)×10 000>0，0<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x >0，0<x <1，解得0<x <13，所以投入成本增加的比例应在⎝⎛⎭⎫0，13范围内． 15．已知函数f (x )＝2kxx 2＋6k(k ＞0)． (1)若f (x )＞m 的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}，求不等式5mx 2＋kx ＋3＞0的解集； (2)若存在x ＞3，使得f (x )＞1成立，求k 的取值范围．解：(1)由不等式f (x )＞m ⇔2kxx 2＋6k ＞m ⇔mx 2－2kx ＋6km ＜0，∵不等式mx 2－2kx ＋6km ＜0的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}， ∴－3，－2是方程mx 2－2kx ＋6km ＝0的根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k m ＝－5，6k ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，m ＝－25，故有5mx 2＋kx ＋3＞0⇔2x 2－x －3＜0⇔－1＜x ＜32， ∴不等式5mx 2＋kx ＋3＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，32. (2)f (x )＞1⇔2kxx 2＋6k＞1⇔x 2－2kx ＋6k ＜0⇔(2x －6)k ＞x 2.存在x ＞3，使得f (x )＞1成立，即存在x ＞3，使得k ＞x 22x －6成立．令g (x )＝x 22x －6，x ∈(3，＋∞)，则k ＞g (x )min .令2x －6＝t ，则x ＝t ＋62，则t ∈(0，＋∞)，y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋622t＝t 4＋9t ＋3≥2 t 4·9t＋3＝6，当且仅当t 4＝9t ，即t ＝6时等号成立．当t ＝6时，x ＝6，∴g (x )min ＝g (6)＝6，故k 的取值范围为(6，＋∞)．1．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为(－∞，0]，若关于x 的不等式f (x )＞c －1的解集为(m －4，m ＋1)，则实数c 的值为________．解析：∵函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为(－∞，0]，∴Δ＝a 2＋4b ＝0， ∴b ＝－a 24.∵关于x 的不等式f (x )＞c －1的解集为(m －4，m ＋1)， ∴方程f (x )＝c －1的两根分别为m －4，m ＋1，即－x 2＋ax －a 24＝c －1的两根分别为m －4，m ＋1，∵－x 2＋ax －a 24＝c －1的根为x ＝a2±1－c ，∴两根之差为：21－c ＝(m ＋1)－(m －4)，解得c ＝－214.答案：－2142．已知实数x ，y ，z 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ＋2z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝5，则xyz 的最小值为________．解析：由xy ＋2z ＝1，可得z ＝1－xy2，则5＝x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫1－xy 22≥2|xy |＋(1－xy )24.当xy ≥0时，不等式可化为x 2y 2＋6xy －19≤0；当xy <0时，不等式可化为x 2y 2－10xy －19≤0. 由x 2y 2＋6xy －19≤0，解得0≤xy ≤－3＋27. 由x 2y 2－10xy －19≤0，解得5－211≤xy <0，所以5－211≤xy ≤－3＋27. 则xyz ＝xy ·1－xy 2＝－12⎝⎛⎭⎫xy －122＋18，根据二次函数的单调性可得当xy ＝5－211时，xyz 取得最小值为911－32. 答案：911－32 高考研究课(二) 简单的线性规划问题 [全国卷5年命题分析][典例] (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，2x －y ≤4，x －y ≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．32B ．6 2C ．6D ．3(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥0表示的平面区域被直线2x ＋y －k ＝0平分成面积相等的两部分，则实数k 的值为________．[解析] (1)如图，不等式组所围成的平面区域为△ABC ，其中A (2,0)，B (4,4)，C (1,1)，所求平面区域的面积为S △ABO －S △ACO ＝12(2×4－2×1)＝3.(2)画出可行域如图中阴影部分所示，其面积为12×1×(1＋1)＝1，可知直线2x ＋y －k ＝0与区域边界的交点A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫k －13，k ＋23及⎝⎛⎭⎫k2，0，要使直线2x ＋y －k ＝0把区域分成面积相等的两部分，必有12×⎝⎛⎭⎫k2＋1×k ＋23＝12，解得k ＝6－2. [答案] (1)D (2)6－2 [方法技巧]确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧1．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤2，x ≤y 所表示的平面区域的面积为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选A 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，A (1,1)，B (0,2)，则平面区域的面积为＝12×2×1＝1.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，2x ＋y <6所表示的平面区域内的整点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 由不等式2x ＋y <6得y <6－2x ，且x >0，y >0，则当x ＝1时，0<y <4，则y ＝1,2,3，此时整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)；当x ＝2时，0<y <2，则y ＝1，此时整点有(2,1)；当x ＝3时，y 无解．故平面区域内的整点个数为4.3．在直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤2x ，y ≤k (x －1)－1，表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(0，＋∞)C ．(0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞)解析：选A 直线y ＝k (x －1)－1过定点A (1，－1)．当这条直线的斜率为负值时，如图1所示，若不等式组表示一个三角形区域，则该直线的斜率k ∈(－∞，－1)；当这条直线的斜率为正值时，如图2所示，y ≤k (x －1)－1所表示的区域是直线y ＝k (x －1)－1及其右下方的半平面，这个区域和另外两个半平面的交集是一个无界区域，不能构成三角形．因此k 的取值范围是(－∞，－1)．1．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.法二：易求可行域顶点A (0,1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15,9，故最小值为－15.角度二：非线性目标函数的最值2．(2018·太原一模)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，则z ＝x 2＋y 2的取值范围为( )A ．[1,13]B ．[1,4]C.⎣⎡⎦⎤45，13 D.⎣⎡⎦⎤45，4解析：选C 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，所以z min ＝⎝⎛⎭⎫252＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，z max ＝|OA |2＝(－2)2＋32＝13.3．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＞0，y ≤2，则z ＝2y2x ＋1的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤43，4 B.⎣⎡⎭⎫43，4 C ．[2,4] D ．(2,4]解析：选B作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，设z ＝2y 2x ＋1＝yx ＋12，则z 的几何意义是区域内的点P 与点M ⎝⎛⎭⎫－12，0连线的斜率．又k MA ＝43，k MB ＝4，且B (0,2)不在平面区域内，所以2y2x ＋1的取值范围是⎣⎡⎭⎫43，4. 角度三：求线性规划中参数值或范围 4．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －3y ＋5≥0，kx －y －5k ≤0，若目标函数z 1＝3x ＋y 的最小值的7倍与z 2＝x ＋7y 的最大值相等，则实数k 的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2解析：选A作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由图知，当z 1＝3x ＋y 过点A 时取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5＝0，x －3y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，所以z 1＝3x ＋y 的最小值为5，故z 2＝x ＋7y 的最大值为35，由图知z 2＝x ＋7y 过点B 时取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y ＝35，x －3y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝4，代入kx －y －5k ＝0，得k ＝2. 5．(2018·汉中质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A ．[－4,2]B ．(－4,2)C ．[－4,1]D ．(－4,1)解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a 2，从图中可以看出，当－1＜－a2＜2，即－4＜a ＜2时，目标函数仅在点(1,0)处取得最小值．角度四：线性规划的实际应用6．(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，它的图象是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元． [方法技巧]1．求目标函数的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常见的3类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a. 3．解答线性规划实际问题的3步骤(1)根据题意设出变量，找出约束条件和目标函数； (2)准确作出可行域，求出最优解；(3)将求解出来的结论反馈到实际问题当中，设计最佳方案． [提醒] 注意转化的等价性及几何意义．1．(2014·全国卷Ⅰ)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2，p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3，p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3解析：选C 画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝x ＋2y 经过可行域内的点A (2，－1)时，取得最小值0，故x ＋2y ≥0，因此p 1，p 2是真命题，选C.2．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x －z 2过点A 时，在y轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.∴z min ＝－5. 答案：－53．(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x －4y ＝0，平移直线l ，当直线z ＝3x －4y 经过点A (1,1)时，z 取得最小值，最小值为3－4＝－1.答案：－14．(2016·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．平移直线x ＋y ＝0，当直线经过A 点时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0得A ⎝⎛⎭⎫1，12，z max ＝1＋12＝32. 答案：325．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解析：画出可行域如图阴影部分所示，∵yx 表示过点(x ，y )与原点(0,0)的直线的斜率，∴点(x ，y )在点A 处时yx 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. ∴A (1,3)． ∴yx 的最大值为3. 答案：36．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，由已知可得约束条件为。

全国通用近年高考数学一轮复习第九单元不等式双基过关检测理(2021年整理)

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“不等式”双基过关检测一、选择题1．（2018·洛阳统考）已知a〈0，－1<b<0，那么（)A．a>ab>ab2B．ab2〉ab>aC．ab>a>ab2D．ab>ab2〉a解析：选D ∵－1〈b<0，∴b〈b2<1，又a〈0，∴ab>ab2>a。

2．下列不等式中正确的是（)A．若a∈R，则a2＋9>6aB．若a,b∈R，则错误!≥2C．若a>0，b>0,则2lg错误!≥lg a＋lg bD．若x∈R，则x2＋错误!>1解析:选C ∵a2－6a＋9＝(a－3）2≥0，∴A错误;显然B不正确；∵a〉0，b>0，∴错误!≥错误!。

∴2lg错误!≥2lg错误!＝lg（ab)＝lg a＋lg b,∴C正确；∵当x＝0时，x2＋错误!＝1，∴D错误，故选C.3．若角α,β满足－错误!〈α<β<π，则α－β的取值范围是( ）A。

错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!解析：选B ∵－错误!<α<π，－错误!〈β<π，∴－π〈－β<错误!,∴－错误!〈α－β〈错误!。

又∵α<β，∴α－β<0,从而－错误!〈α－β〈0.4．若关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0）的解集为（x1，x2),且x2－x1＝15,则a＝( ) A。

标题20182019学年高中三维设计一轮复习文数通用版第九单元不等式 (1)

第九单元不等式教材复习课“不等式”相关基础知识一课过不等式、一元二次不等式 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a 1⇔a >b (a ∈R ，b >0)，ab ＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b >0)，a b<1⇔a 0).2．不等式的性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a ； (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； (3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ； a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)； (6)可开方性：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)． 3．三个“二次”间的关系判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根 ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集{x |x >x 2或x <x 1}ax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅A.b a >b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋1b C ．a ＋1b >b ＋1aD.2a ＋b a ＋2b >a b解析：选C 由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1a ，故选C.2．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M ＜ND ．M ≤N解析：选A 由题意知，M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝2a 2－4a －(a 2－2a －3)＝(a －1)2＋2>0恒成立，所以M >N .3．已知一元二次不等式f (x )＞0的解集为xx ＜－1或x ＞12，则f (10x )＞0的解集为( )A ．{x |x ＜－1或x ＞lg 2}B ．{x |－1＜x ＜lg 2}C ．{x |x ＞－lg 2}D ．{x |x ＜－lg 2}解析：选C 一元二次不等式f (x )＞0的解集为xx ＜－1或x ＞12，则不等式f (10x )＞0可化为10x ＜－1或10x ＞12，解得x ＞lg 12，即x ＞－lg 2，所以所求不等式的解集为{x |x ＞－lg 2}．4．不等式－6x 2＋2＜x 的解集是________．解析：不等式－6x 2＋2＜x 可化为6x 2＋x －2＞0，即(3x ＋2)(2x －1)＞0，解不等式得x <－23或x >12，所以该不等式的解集是⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ [清易错]1．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．2．对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． 3．当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集为R 还是∅，要注意区别a 的符号．1．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－1311∪(1，＋∞) 解析：选C ①当m ＝－1时，不等式为2x －6<0，即x <3，不符合题意．②当m ≠－1时，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ<0，解得m <－1311，符合题意．故实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－1311. 2．对于实数a ，b ，c ，有下列命题： ①若a ＞b ，则ac ＜bc ； ②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ； ③若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2； ④若c ＞a ＞b ＞0，则a c －a ＞bc －b； ⑤若a ＞b ，1a ＞1b ，则a ＞0，b ＜0. 其中真命题的序号是________．解析：当c ＝0时，若a ＞b ，则ac ＝bc ，故①为假命题；若ac 2＞bc 2，则c ≠0，c 2＞0，故a ＞b ，故②为真命题；若a ＜b ＜0，则a 2＞ab 且ab ＞b 2，即a 2＞ab ＞b 2，故③为真命题；若c ＞a ＞b ＞0，则c a ＜c b ，则c －a a ＜c －b b ，则a c －a ＞bc －b ，故④为真命题；若a ＞b ，1a ＞1b ，即b －a ab >0，故ab ＜0，则a ＞0，b ＜0，故⑤为真命题．故②③④⑤为真命题．答案：②③④⑤3．若不等式ax 2－bx ＋c ＜0的解集是(－2,3)，则不等式bx 2＋ax ＋c ＜0的解集是________．解析：∵不等式ax 2－bx ＋c ＜0的解集是(－2,3)， ∴a ＞0，且对应方程ax 2－bx ＋c ＝0的实数根是－2和3，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧ca ＝－2×3，ba ＝－2＋3，即c a ＝－6，ba ＝1，∴b ＞0，且a b ＝1，cb＝－6，∴不等式bx 2＋ax ＋c ＜0可化为x 2＋x －6＜0，解得－3＜x ＜2，∴该不等式的解集为(－3,2)．答案：(－3,2)简单的线性规划问题 1．一元二次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax ＋By ＋C ＞0不包括边界直线 Ax ＋By ＋C ≥0 直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分名称意义约束条件由变量x ，y 组成的不等式(组)线性约束条件由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等线性目标函数关于x ，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题( )解析：选C 由(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.结合图形可知选C.2．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤3，x －y ≥1，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，平移直线y ＝－x ，当直线经过点A (3,0)时，z ＝x ＋y 取得最大值，此时z max ＝3＋0＝3.3．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2 B.13 C.12D ．1解析：选D 作出可行域如图中阴影部分所示，当点P 位于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝1的交点(1,1)时，(k OP )max ＝1.4．已知z ＝2x ＋y ，实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥m ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m的值是( )A.14 B.15 C.16D.17解析：选A 根据题意画出如图所示的可行域如图中阴影部分所示．平移直线l ：2x ＋y ＝0，当l 过点A (m ，m )时z 最小，过点B (1,1)时z 最大，由题意知，z max ＝4z min ，即3＝4×3m ，解得m ＝14.[清易错]1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先把二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ≥0，|x ＋y |≤1，使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，则z 1＝ax ＋y ＋1的最小值为( )A ．0B ．－2C ．1D ．－1解析：选A 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，∵z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有2个，∴－a ＝1，a ＝－1，∴当x ＝1，y ＝0或x ＝0，y ＝－1时，z ＝ax ＋y ＝－x ＋y 有最小值－1，∴ax ＋y ＋1的最小值是0.基本不等式 [过双基]1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥ 2ab (a ，b ∈R)； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)； (4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)． 1．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C 由1a ＋2b ＝ab ，知a ＞0，b ＞0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a ＝2b，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.2．已知直线2ax ＋by －2＝0(a ＞0，b ＞0)过点(1,2)，则1a ＋1b 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．1解析：选C 由直线2ax ＋by －2＝0(a ＞0，b ＞0)过点(1,2)，可得2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1.则1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋a b ＋b a ≥2＋2 b a ×a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号． ∴1a ＋1b的最小值为4. 3．已知x ，y ∈R 且2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围为________．解析：根据题意知，2x ＞0,2y ＞0，所以1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y ，即2x ＋y ≤14＝2－2，x ＋y ≤－2，所以x ＋y 的取值范围为(－∞，－2]．答案：(－∞，－2][清易错]1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件． 2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性． 1．在下列函数中，最小值等于2的函数是( ) A ．y ＝x ＋1x B ．y ＝cos x ＋1cos x ⎝⎛⎭⎫0<x <π2C ．y ＝x 2＋3x 2＋2D ．y ＝e x ＋4ex －2解析：选D 当x <0时，y ＝x ＋1x ≤－2，故A 错误；因为0<x <π2，所以0<cos x <1，所以y ＝cos x ＋1cos x >2，故B 错误；因为x 2＋2≥2，所以y ＝x 2＋2＋1x 2＋2>2，故C 错误；因为e x >0，所以y ＝e x ＋4e x －2≥2e x ·4e x －2＝2，当且仅当e x ＝4ex ，即e x ＝2时等号成立，故选D.2．(2017·天津高考)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．解析：因为ab >0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab 的最小值是4. 答案：4 一、选择题1．(2018·洛阳统考)已知a <0，－1ab >ab 2 B ．ab 2>ab >a C ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a解析：选D ∵－1ab 2>a .2．下列不等式中正确的是( ) A ．若a ∈R ，则a 2＋9>6a B ．若a ，b ∈R ，则a ＋bab≥2 C ．若a >0，b >0，则2lg a ＋b2≥lg a ＋lg bD ．若x ∈R ，则x 2＋1x 2＋1>1 解析：选C ∵a 2－6a ＋9＝(a －3)2≥0，∴A 错误；显然B 不正确；∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab .∴2lg a ＋b 2≥2lg ab ＝lg(ab )＝lg a ＋lg b ，∴C 正确；∵当x ＝0时，x 2＋1x 2＋1＝1，∴D 错误，故选C.3．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－3π2，3π2B.⎝⎛⎭⎫－3π2，0 C.⎝⎛⎭⎫0，3π2 D.⎝⎛⎭⎫－π2，0 解析：选B ∵－π2<α<π，－π2<β<π，∴－π<－β<π2，∴－3π2<α－β<3π2.又∵α<β，∴α－β<0，从而－3π2<α－β<0.4．若关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154D.152解析：选A 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0，(a >0)的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，解得a ＝52.5．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A ．1 B.12 C.13D.14解析：选D 作出不等式组对应的区域为△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1，得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(2－1)×12＝14.6．(2018·成都一诊)已知x ，y ∈(0，＋∞)，且log 2x ＋log 2y ＝2，则1x ＋1y 的最小值是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选D 1x ＋1y ＝x ＋y xy ≥2xy xy ＝2xy ，当且仅当x ＝y 时取等号．∵log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )＝2，∴xy ＝4.∴1x ＋1y ≥2xy ＝1.故1x ＋1y 的最小值为1.7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2解析：选A 法一：将z ＝y －2x 化为y ＝2x ＋z ，作出可行域和直线y ＝2x (如图所示)，当直线y ＝2x ＋z 向右下方平移时，直线y ＝2x ＋z 在y 轴上的截距z 减小，数形结合知当直线y ＝2x ＋z 经过点A (5，3)时，z 取得最小值3－10＝－7.法二：易知平面区域的三个顶点坐标分别为B (1,3)，C (2,0)，A (5,3)，分别代入z ＝y －2x ，得z 的值为1，－4，－7，故z 的最小值为－7.8．(2017·山东高考改编)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为( )A ．4B ．3＋2 2C ．8D ．4 2解析：选C ∵直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1,2)，∴1a ＋2b ＝1，∵a ＞0，b ＞0， ∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4ab ＝8，当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝2，b ＝4时等号成立，∴2a ＋b 的最小值为8. 二、填空题9．(2018·沈阳模拟)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________．解析：因为x 2＋y 2－xy ＝1，所以x 2＋y 2＝1＋xy .所以(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3×⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时等号成立，即(x ＋y )2≤4，解得－2≤x ＋y ≤2. 所以x ＋y 的最大值为2. 答案：210．(2017·郑州二模)某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ≥5，a －b ≤2，a ＜7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝________.解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，招聘的教师最多，此时x ＝a ＋b ＝13.答案：1311．一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________ m ，宽为________ m 时菜园面积最大．解析：设矩形的长为x m ，宽为y m ．则x ＋2y ＝30，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号．答案：1515212．(2018·邯郸质检)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，y ≤kx ＋3，0≤x ≤3表示的平面区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k 的取值范围是________．解析：直线y ＝kx ＋3恒过定点(0,3)，作出不等式组表示的可行域知，要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线y ＝kx ＋3的斜率在0与1之间，即k ∈(0,1)．答案：(0,1) 三、解答题13．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6 ＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3.∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，故⎩⎨⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.14．(2018·济南一模)已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．解：(1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy 时等号成立． ∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 高考研究课(一)不等式性质、一元二次不等式 [全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度不等式性质 5年2考比较大小一元二次不等式解法 5年8考与集合交汇命题考查解法不等式恒成立问题 5年1考利用不等式恒成立求参数不等式的性质及应用[典例] 若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>lnb 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④[解析] 法一：用“特值法”解题因为1a <1b <0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A 、B 、D ，选C.法二：用“直接法”解题由1a <1b <0，可知b <a <0.①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b<1ab ，故①正确；②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误；③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故③正确；④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确．[答案] C [方法技巧]不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充要条件相结合问题用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用． (3)与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法． [即时演练]1．(2018·泰安调研)设a ，b ∈R ，若p ：a <b ，q ：1b <1a <0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 当a <b 时，1b <1a <0不一定成立；当1b <1a <0时，a <b <0.综上可得，p 是q 的必要不充分条件．2．若a ＜b ＜0，给出下列不等式：①a 2＋1＞b 2；②|1－a |＞|b －1|；③1a ＋b ＞1a ＞1b ，其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D 因为a ＜b ＜0，所以－a ＞－b ＞0，则1－a ＞1－b ＞1，所以①a 2＋1＞b 2正确；②|1－a |＞|b －1|正确；因为a ＜b ＜0，所以a ＋b ＜a ＜b ＜0，所以③1a ＋b ＞1a ＞1b 正确，故选D.3．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a2与1a ＋1b 的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b一元二次不等式的解法[典例] 解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4；(3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．[解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0. 解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，故原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. (3)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a .综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1. [方法技巧]解一元二次不等式的4个步骤[即时演练]1．若(x －1)(x －2)＜2，则(x ＋1)(x －3)的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．[－4，－3) C ．[－4,0)D ．(－3,4]解析：选C 解不等式(x －1)(x －2)＜2，可得0＜x ＜3，(x ＋1)(x －3)＝x 2－2x －3，由二次函数的性质可得(x ＋1)(x －3)的取值范围是[－4,0)．2．(2018·昆明、玉溪统考)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax 的解集为( )A ．{x |－2<x <1}B ．{x |x <－2或x >1}C ．{x |0<x <3}D ．{x |x <0或x >3}解析：选C 由题意a (x 2＋1)＋b (x －1)＋c >2ax ，整理得ax 2＋(b －2a )x ＋(a ＋c －b )>0 ①，又不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则a <0，且－1,2分别为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎨⎧－1＋2＝－b a ，(－1)×2＝ca ，即⎩⎨⎧ba ＝－1，ca ＝－2②，将①两边同除以a 得x 2＋⎝⎛⎭⎫b a －2x ＋⎝⎛⎭⎫1＋c a －ba <0，将②代入得x 2－3x <0，解得0<x <3.一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.,常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(≤0)(x ∈R )确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(≤0)(x ∈[a ，b ])确定参数范围； (3)形如f (x )≥0(≤0)(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围. 1．(2018·南昌一模)已知函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1，是否存在实数m 对所有的实数x ，f (x )<0恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：f (x )＝mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数，需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m (1－m )＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的m . [方法技巧]对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．角度二：形如f (x )≥0(≤0)(x ∈[a ，b ])确定参数的范围2．(2018·西安八校联考)设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0. 所以m ＜6，则m ＜0.综上所述，m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，67. [方法技巧]解决一元二次不等式的恒成立问题常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．角度三：形如f (x )≥0(≤0)(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ≥0恒成立，求x 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x ∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零． [方法技巧]解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．1．(2014·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,2) C ．[－1,1]D ．[1,2)解析：选A A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝[－2，－1]．2．(2014·全国卷Ⅱ)设集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( ) A ．{1} B ．{2} C ．{0,1}D ．{1,2}解析：选D N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{0,1,2}，所以M ∩N ＝{1,2}． 3．(2012·全国卷)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1<x <1}，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅解析：选B A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}， B ＝{x |－1<x <1}，所以B A . 一、选择题1．(2018·唐山一模)下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若ac >bc ，则a >bC ．若1a <1b <0，则|a |＋b <0D ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析：选C 取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；当c <0时，ac >bc ⇒a －a >0，故－b >|a |，即|a |＋b <0，故C 正确；取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误．2．(2017·山东高考)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1b C ．a ＋1b <log 2(a ＋b )1，因此a ＋1b >log 2(a ＋b )>b 2a .3．已知集合M ＝{x |x 2－4x >0}，N ＝{x |m <x <8}，若M ∩N ＝{x |6<x <n }，则m ＋n ＝( ) A ．10 B ．12 C ．14D ．16解析：选C ∵M ＝{x |x 2－4x >0}＝{x |x >4或x <0}，N ＝{x |m <x <8}，由于M ∩N ＝{x |6<x <n }，∴m ＝6，n ＝8，∴m ＋n ＝14.4．(2018·重庆检测)不等式2x ＋1<1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,1)解析：选A ∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1.5．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( ) 解析：选B 由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－c a ＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，对称轴为x ＝12，结合图象知选B. 6．(2018·合肥一模)若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．7．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.8．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320，即x 2－28x ＋192＜0，解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．二、填空题9．(2018·武汉一模)已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是__________．解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<11，此式无解．综上可得实数b 的取值范围为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)10．(2018·河南六市一联)不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. ∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x <0为奇函数，则不等式f (x )<4的解集为________．解析：当x >0时，－x <0，即f (－x )＝bx 2＋3x ，因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即－bx 2－3x ＝x 2＋ax ，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x <0.当x ≥0时，由x 2－3x <4，解得0≤x <4；当x <0时，由－x 2－3x <4，解得x <0，所以不等式f (x )<4的解集为(－∞，4)．答案：(－∞，4)12．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当x ＝0时，不等式恒成立，当x ≠0时，将问题转化为－a ≤1|x |＋|x |，由1|x |＋|x |≥2，故－a ≤2，即a ≥－2.所以实数a 的取值范围为[－2，＋∞)．答案：[－2，＋∞) 三、解答题13．已知a ∈R ，解关于x 的方程ax 2－(a ＋2)x ＋2＜0. 解：原不等式等价于(ax －2)(x －1)＜0.(1)当a ＝0时，原不等式为－(x －1)＜0，解得x ＞1. 即原不等式的解集为(1，＋∞)．(2)若a ＞0，则原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x －1)＜0，对应方程的根为x ＝1或x ＝2a .当2a ＞1，即0＜a ＜2时，不等式的解为1＜x ＜2a ；当a ＝2时，不等式的解集为∅；当2a ＜1，即a ＞2时，不等式的解为2a ＜x ＜1. (3)若a ＜0，则原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x －1)＞0，所以2a ＜1，所以不等式的解为x ＞1或x ＜2a . 综上，当a ＝0时，不等式的解集为(1，＋∞)．当0＜a ＜2时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫1，2a . 当a ＝2时，不等式的解集为∅. 当a ＞2时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫2a ，1.当a ＜0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，2a ∪(1，＋∞)． 14．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解：(1)由题意得，y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000(1＋0.6x )(0<x <1)，整理得y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧y －(12－10)×10 000>0，0<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x >0，0<x <1，解得0<x <13，所以投入成本增加的比例应在⎝⎛⎭⎫0，13范围内． 15．已知函数f (x )＝2kxx 2＋6k(k ＞0)． (1)若f (x )＞m 的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}，求不等式5mx 2＋kx ＋3＞0的解集； (2)若存在x ＞3，使得f (x )＞1成立，求k 的取值范围．解：(1)由不等式f (x )＞m ⇔2kxx 2＋6k ＞m ⇔mx 2－2kx ＋6km ＜0，∵不等式mx 2－2kx ＋6km ＜0的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}， ∴－3，－2是方程mx 2－2kx ＋6km ＝0的根，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k m ＝－5，6k ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，m ＝－25，故有5mx 2＋kx ＋3＞0⇔2x 2－x －3＜0⇔－1＜x ＜32， ∴不等式5mx 2＋kx ＋3＞0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，32. (2)f (x )＞1⇔2kxx 2＋6k＞1⇔x 2－2kx ＋6k ＜0⇔(2x －6)k ＞x 2.存在x ＞3，使得f (x )＞1成立，即存在x ＞3，使得k ＞x 22x －6成立．令g (x )＝x 22x －6，x ∈(3，＋∞)，则k ＞g (x )min .令2x －6＝t ，则x ＝t ＋62，则t ∈(0，＋∞)，y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋622t＝t 4＋9t＋3≥2 t 4·9t＋3＝6，当且仅当t 4＝9t ，即t ＝6时等号成立．当t ＝6时，x ＝6，∴g (x )min ＝g (6)＝6，故k 的取值范围为(6，＋∞)．1．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为(－∞，0]，若关于x 的不等式f (x )＞c －1的解集为(m －4，m ＋1)，则实数c 的值为________．解析：∵函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为(－∞，0]， ∴Δ＝a 2＋4b ＝0， ∴b ＝－a 24.∵关于x 的不等式f (x )＞c －1的解集为(m －4，m ＋1)， ∴方程f (x )＝c －1的两根分别为m －4，m ＋1，即－x 2＋ax －a 24＝c －1的两根分别为m －4，m ＋1，∵－x 2＋ax －a 24＝c －1的根为x ＝a2±1－c ， ∴两根之差为：21－c ＝(m ＋1)－(m －4)，解得c ＝－214.答案：－2142．已知实数x ，y ，z 满足⎩⎪⎨⎪⎧xy ＋2z ＝1，x 2＋y 2＋z 2＝5，则xyz 的最小值为________．解析：由xy ＋2z ＝1，可得z ＝1－xy2，则5＝x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫1－xy 22≥2|xy |＋(1－xy )24.当xy ≥0时，不等式可化为x 2y 2＋6xy －19≤0；当xy <0时，不等式可化为x 2y 2－10xy －19≤0. 由x 2y 2＋6xy －19≤0，解得0≤xy ≤－3＋27. 由x 2y 2－10xy －19≤0，解得5－211≤xy <0，所以5－211≤xy ≤－3＋27. 则xyz ＝xy ·1－xy 2＝－12⎝⎛⎭⎫xy －122＋18，根据二次函数的单调性可得当xy ＝5－211时，xyz 取得最小值为911－32. 答案：911－32 高考研究课(二) 简单的线性规划问题 [全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度线性规划求最值 5年10考求最大值、最小值线性规划实际应用 5年1考实际应用(整点)二元一次不等式(组)表示平面区域[典例] (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，2x －y ≤4，x －y ≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．32B ．6 2C ．6D ．3(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥0表示的平面区域被直线2x ＋y －k ＝0平分成面积相等的两部分，则实数k 的值为________．[解析] (1)如图，不等式组所围成的平面区域为△ABC ，其中A (2,0)，B (4,4)，C (1,1)，所求平面区域的面积为S △ABO －S △ACO ＝12(2×4－2×1)＝3.(2)画出可行域如图中阴影部分所示，其面积为12×1×(1＋1)＝1，可知直线2x ＋y －k ＝0与区域边界的交点A ，B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫k －13，k ＋23及⎝⎛⎭⎫k2，0，要使直线2x ＋y －k ＝0把区域分成面积相等的两部分，必有12×⎝⎛⎭⎫k2＋1×k ＋23＝12，解得k ＝6－2. [答案] (1)D (2)6－2 [方法技巧]确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧直线定界即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线特殊点定域即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．常选(0,0)，(1,0)或(0,1)点1．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤2，x ≤y 所表示的平面区域的面积为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选A 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，A (1,1)，B (0,2)，则平面区域的面积为＝12×2×1＝1.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，2x ＋y <6所表示的平面区域内的整点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 由不等式2x ＋y <6得y <6－2x ，且x >0，y >0，则当x ＝1时，0<y <4，则y ＝1,2,3，此时整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)；当x ＝2时，0<y <2，则y ＝1，此时整点有(2,1)；当x ＝3时，y 无解．故平面区域内的整点个数为4.3．在直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤2x ，y ≤k (x －1)－1，表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(0，＋∞)C ．(0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞)解析：选A 直线y ＝k (x －1)－1过定点A (1，－1)．当这条直线的斜率为负值时，如图1所示，若不等式组表示一个三角形区域，则该直线的斜率k ∈(－∞，－1)；当这条直线的斜率为正值时，如图2所示，y ≤k (x －1)－1所表示的区域是直线y ＝k (x －1)－1及其右下方的半平面，这个区域和另外两个半平面的交集是一个无界区域，不能构成三角形．因此k 的取值范围是(－∞，－1)．目标函数最值的求法及应用线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.,常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标函数的最值； (3)求线性规划中的参数值或范围； (4)线性规划的实际应用. 1．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.法二：易求可行域顶点A (0,1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15,9，故最小值为－15.角度二：非线性目标函数的最值2．(2018·太原一模)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3≥0，2x －y ＋2≤0，x ＋2y －4≤0，则z ＝x 2＋y 2的取值范围为( )A ．[1,13]B ．[1,4] C.⎣⎡⎦⎤45，13 D.⎣⎡⎦⎤45，4解析：选C 画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由此得z ＝x 2＋y 2的最小值为点O 到直线BC ：2x －y ＋2＝0的距离的平方，所以z min ＝⎝⎛⎭⎫252＝45，最大值为点O 与点A (－2,3)的距离的平方，z max ＝|OA |2＝(－2)2＋32＝13.3．如果实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1≥0，2x ＋y －4≤0，y －1≥0，则z ＝2x －yx的最大值为________．解析：作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示， z ＝2x －y x ＝2－yx. 设k ＝yx，则z ＝2－k ，k 的几何意义是区域内的点到原点的斜率，要求z ＝2－k 的最大值，即求k 的最小值，由图象知OC 的斜率最小，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝0，2x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝1，即C ⎝⎛⎭⎫32，1，则k ＝132＝23，所以z max ＝2－23＝43.答案：43角度三：求线性规划中参数值或范围 4．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －3y ＋5≥0，kx －y －5k ≤0，若目标函数z 1＝3x ＋y 的最小值的7倍与z 2＝x ＋7y 的最大值相等，则实数k 的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2解析：选A作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由图知，当z 1＝3x ＋y 过点A 时取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －5＝0，x －3y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，所以z 1＝3x ＋y 的最小值为5，故z 2＝x ＋7y 的最大值为35，由图知z 2＝x ＋7y 过点B 时取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y ＝35，x －3y ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝4，代入kx －y －5k ＝0，得k ＝2. 5．(2018·汉中质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，且目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是( )A ．[－4,2]B ．(－4,2)C ．[－4,1]D ．(－4,1)解析：选B 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，直线z ＝ax ＋2y 的斜率为k ＝－a 2，从图中可以看出，当－1＜－a2＜2，即－4＜a ＜2时，目标函数仅在点(1,0)处取得最小值．角度四：线性规划的实际应用6．(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料A B C 甲 4 8 3 乙5510现有A 种原料200吨，种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，它的图象是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线，z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．根据x ，y 满足的约束条件，由图②可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)，所以z max ＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元． [方法技巧]1．求目标函数的最值3步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． 2．常见的3类目标函数 (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a. 3．解答线性规划实际问题的3步骤(1)根据题意设出变量，找出约束条件和目标函数；。

2023年高考数学一轮复习课件第九单元不等式

①直接使用不等式的性质,逐个验证;②用特殊值法排除.
16
目录
考点2 不等式的基本性质
【典例迁移】
例 1 (2022·安徽合肥模拟)已知 a,b,c∈R,则下列说法中错误的是
( D ).
A.a>b⇒ac2≥bc2

B. > ,c<ห้องสมุดไป่ตู้⇒ab ,ab>0⇒ <

C.a3>b3,ab>0⇒ <
17
目录
【解析】对于 A,∵c2≥0,则由 a>b 可得 ac2≥bc2,∴A 说法正确;

-
对于 B,由 > ,得 - = >0,当 c<0 时,有 a-b<0,则 a<b,∴B 说法正确;

1
1
1 1
3
3
对于 C,∵a >b ,ab>0,∴ 3 > 3 ,即 < ,∴C 说法正确;
1
.
30
目录
【解析】设蔬菜水果类和肉食水产类店面的间数分别为 a,b.
（1）由题意知,0.85×2400≥28a+20b≥0.8×2400,化简得 480≤7a+5b≤510,
又 a+b=80,∴480≤7a+5(80-a)≤510,解得 40≤a≤55,
∴a=40,41,…,55,共有 16 种.
2023届
2022届
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数学
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