三角函数基本知识总结[1]

三角函数基本知识总结
一、基本概念、定义;
1. 角的概念推广后，包括 、 、 ，与α终边相同的角 。

①终边相同的角：（用集合表示终边在下列范围内的角）
x 轴上 ，y 轴上 ，这两种角被称为称为： 。

第一象限 ，第二象限 ，
第三象限 ，第四象限 ，称为： 。

直线y ＝x 上 ，
直线y =上 。

②区间角：将角{}
1203012060,k k k Z αα+<<+∈
在坐标系①中表示出来，并在坐标
系中作好必要的标记。

把坐标系②中终边在阴影部分的角用集合表示出来是 。

2. 弧度制：把 叫1弧度的角。

公式：|α|＝ ；
换算：
180°＝ 弧度； 1弧度＝ 度； 1°＝ 弧度； 扇形：弧长L ＝ ＝ ，面积S ＝ ＝ . 3. 任意角的三角函数：
①定义：角α终边上任意一点P(x ，y)，则r ＝ ，六个三角函数的定义依次是 、 、 、 、 、 。

②三角函数线：角的终边与单位圆交于点P ，过点P 作 轴的垂线，垂足为M ，则 。

过点A(1,0)作 ，交 于点T ，
o
x
y ①
②
x -
则 。

作出角13
4
π
α=-
③同角三角函数关系式： 平方关系（3个）：
商数关系（2个）：
倒数关系（3个）：
④诱导公式：
二、基本三角公式（1～2要求能熟练运用：顺用、逆用、变形用，3～6要求能证明）;
1．和、差角公式：
=±)sin(βα =±)cos(βα =±)tan(βα
2．二倍角公式：
=α2sin ，=α2cos ＝ ＝ ， =α2tan
倍角公式变形：降幂公式（升幂公式）：
=ααcos sin =α2sin =α2cos
2(sin cos )αα±=
3．半角公式：
2cos 12sin αα-±=, 2cos 12cos αα+±=, αα
αααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan -=
+=+-±= 4．积化和差公式：
)]sin()[sin(2
1
cos sin βαβαβα-++=；)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=； )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=；)]cos()[cos(2
1
sin sin βαβαβα--+-=．
5．和差化积公式：
2
cos 2sin 2sin sin β
αβαβα-+=+； 2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-；
2cos 2cos 2cos cos β
αβαβα-+=+； 2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-．
三、应用公式解题的基本题型：化简、求值、证明;
1、基本技巧：
①1的妙用：1＝ ＝ ＝ ＝ ②凑角：()()x y x y ++-= ()()x y x y +--=
α＝ ＝ ＝ 等等。

③化异为同：a 、 b 、 c 、 ④化一：sin cos a x b x += ＝ 其中：
⑤联系：要注意tan ,tan αβ是二次方程2
0ax bx c ++=的两根的应用。

例如：设,2
2
π
π
αβ-
<<
， tan ,tan αβ是方程2
40x -+=的两根，求αβ+。

2、化简的标准：
3、用诱导公式化简求值的原则：
四、三角函数的性质；
1、三角函数的性质表：
2、有关三角函数的最值的类型：①.sin cos y a x b x =+型；②.sin sin y a x b x c =++型；
③.sin cos a x c y b x d
+=
+型；④.22
sin sin cos cos y a x b x x c x =++型；⑤.sin cos y x x =型；
⑥.关于sin ,cos x x 的齐次式型；
第⑥种类型的解决思路：a 、运用公式2
(sin cos)1sin 2x x ±=±；b 、构造对偶式； 例：求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值；
五、sin()y A x ωϕ=+的图像和性质；
1、作图：五点法，依次取x ωϕ+＝
2、周期：T ＝
3、单调区间：
0A ω> 时，增区间：解不等式 ≤x ωϕ+≤
减区间：解不等式 ≤x ωϕ+≤
0A ω< 时，增区间：解不等式 ≤x ωϕ+≤
减区间：解不等式 ≤x ωϕ+≤
4、最大值：0A >时，当x ωϕ+＝ 时，y 取最大值A 。

最小值：0A <时，当x ωϕ+＝ 时，y 取最小值A -。

5、对称轴：解等式x ωϕ+＝
6、对称中心：解等式x ωϕ+＝
7、奇偶性：当ϕ＝ 时，y 是奇函数；当ϕ＝ 时，y 是偶函数； 8、 概念：当x R +
∈时，振幅 ；周期T ＝ ；频率f ＝ ；初相 ；相位 。

9、根据图像求函数的解析式：①第一零点：
②第一零点的选择原则：
例如：①如图是函数sin()(0)y A x A ωϕ=+>的图像，求解析式；
②如图是函数cos()(0)y A x A ωϕ=+>的图像，求解析式； 10、三角变换： (0,0A ω>>)
将sin y x =的图像——————————>sin()y x ϕ=+——————————>sin()y x ωϕ=+————————————>sin()y A x ωϕ=+；
或者：将sin y x =的图像————————>sin()y x ω=————————>sin()y x ωϕ=+——————————>sin()y A x ωϕ=+；
原则：在对横坐标进行伸缩或平移时，只对 进行变换；
11、联系：1、对于cos()y A x ωϕ=+，其性质同样可以由图像类似的给出。

2、tan()y x ωϕ=+的周期是T ＝ ，单调 区间是解不等式 得到 。

12、典型例题：
y
o
12
π 1112
π
-
3
已知22sin sin cos 2cos ()y x x x x x R =++∈，求解下列各题： ①、若已知tan 3x =，试求y 的值；
②、用两种以上的方法化简这个函数解析式； ③、用两种以上的方法求这个函数的值域； ④、求这个函数的单调区间；
⑤、求这个函数的对称轴和对称中心； ⑥、求当0x >时的振幅； ⑦、求周期和频率；
六、反三角函数的定义：
1.定义：
在闭区间 上，符合条件sin (11)x a a =-≤≤的角x 叫a 的反正弦，记作：x ＝ ； 在闭区间 上，符合条件cos (11)x a a =-≤≤的角x 叫a 的反余弦，记作：x ＝ ； 在开区间 上，符合条件tan ()x a a R =∈的角x 叫a 的反正切，记作：x ＝ ； 2、求解反三角问题的一般步骤：①、 ②、 ③
例如：已知sin x =①、若[0,]2x π∈，求x ；②、若[,]2x ππ∈，求x ；③、若3[,]2x ππ∈，
求x ；④、若3[
,2]2
x π
π∈，求x ；⑤、若[0,]x π∈，求x ；⑥、若x R ∈，求x ； 七、数学思想方法：
1、方程思想：例、已知tan x a =，用a 表示x 的其他三角函数。

2、数形结合思想：例、解三角不等式可以用 或 ；
3、整体思想：例、研究函数sin()y A x ωϕ=+的图像和性质时可以把 看成整体。