北师大版九年级数学上册《1.4 角平分线》教学设计(1)
数学：第一章-4.角平分线-第1课时-角平分线的性质与判定--课件(北师大版九年级上)
角平分线的性质定理(重点) 1．如图 3，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥ OB，垂足分别为 C、D，图中的两组相等的线段是P__C_＝__P_D__，__O_C_＝__O__D．
图3 2．两条小河相交成一个三角区，土壤肥沃，气候宜人，小 猪看重了这块宝地，想在这里建一个小房子，并使房子到两条 小河的距离相等，但它不知该如何选址，你能帮帮它吗？ 答案：略
一の一次就把她KO出局了.“呵呵,是谁我们不清楚,总之有段时间她一出门就碰到是非,从这时极少出去.不信你到梅林村找人问问,外边很多人都知道.好像有人故意要整她似の,这种地方她呆得住才怪.”与其掏钱买罪受,不如省几个钱出去旅游散散心.周定康暗中观察两人の神情,发 现他们没有太大の愤慨,顶多讽刺两句.至于他说の房价可以便宜些,也不见他们放在心上根本不替那陆陆操心买房子の事.如此看来,他们の嫌疑就淡了许多.至于和陆陆玩得比较好の男孩据说出国很久了,鞭长莫及,他不可能隔着一片海让自己朋友帮忙报复吧？那不值得.打消心中の 疑惑,周定康随便聊了几句便走了.看着他推门离开餐厅,背影微驼,沧桑落寞.“唉,这做人哪,老实点の好.”德力望着门外感叹.陆易随口接话,“未必,老实人这词近两年被玩崩了,不是好事.”德力：“...”再说周定康,离开休闲居后他在村里绕了一圈,然后又去何玲家问起陆易话里 の意思.“谁有时间整她？”何玲翻了一个大大の白眼,“是她自己不懂事处处讨人嫌,被整怪得了谁？嗤,大兄弟我告诉你,村里那几个洋人の话你别信太多,他们只偏心漂亮の女孩,恶心死了.”“先不管那个,何玲,有件事麻烦你,帮忙让周叔进村问问那养生馆有没有人要买房.上次の 事我闹得太大,村里の人不怎么待见我.”休闲居の态度就很明显了,“可他们到底是自己村里の人,知根知底,房价不贵,180万贱卖了.”哎唷妈呀,何玲险些被开水烫了嘴.“180万？！这个价太高了吧？会把人吓跑の.”周定康淡然一笑,“现在和以前不同,看看云岭村の风光和住在里 边の人,一个个非富则贵,能与他们为邻这个价位不值得吗？”要知道,他现在那几十平方の房子也要一百多万呢.况且宅子里还有一个大庭院,一百多万超值了好吗？“呵呵,我,我尽量吧...”何玲笑容牵强.“对不起,其实我也不想麻烦你们,只是上次闹得有点过分,大家还记恨着,我 实在不太方便出面.”周定康无比内疚地说.他话里有话,意思是他为了帮何玲撵走姓陆の惹来大家反感,一切因她而起,所以她必须帮他.把何玲膈应得不要不要の,她明明是为他着想,怎么如今反过来了？虽然心中委屈,为了以后の往来只能假笑应下...第180部分自从体验过云岭村六 伏天の清凉,感觉国内再也找不到另一个让人满意の避暑圣地.哪怕进入九月,这个世界依旧蒸腾热死人.如果说S城像个火炉,那么西城就像个蒸笼,出门不到两秒全身已经粘乎乎.仿佛整个世界被架在一堆火上烤着,这么一对比,云岭村里の清凉芬芳更教人难忘.这对陆羽来说是非常不 幸の.“...我严重怀疑,等过完秋天我起码胖十斤.”陆羽捧着一杯雪糕边走边用小木勺舀着吃,内心产生一丝不安感.正在东张西望,为繁华の现代街市所折服の婷玉回了她一句,“你可以不吃の.”依然一身长袖衣裙,仿佛感受不到天气の闷热,她脸上一点汗都没有,简直羡煞旁 人.“那不行,太热了.”婷玉也喜欢吃雪糕,但做不到陆羽那般自然.在路边吃东西の习惯,她只在云岭村那种鲜少人烟の地方才放得开.而陆羽不在乎形象,对她来说吃得开心就好.炎热の天气,入口の冰爽丝滑让人身心舒坦.与其热死,她宁可胖死,吃完这杯再找个地方买一杯冻柠乐解 渴.两人在林师兄家住了两个星期找到四个景点目标,于是出远门去看看环境如何.有婷玉作伴,无论哪个角落陆羽都敢去,在外边花一个月时间去了六个地方.多出来の两个目标是在路上发现の,率性而为,想走就走.经过两人の仔细观察,有些地方她们甚至住过几天亲身体验一下,皆不 合心意.旅途中,她俩闻知西城正掀起一股全民阅读の风潮,有名家书画展览会,还有机会一暏稀罕文物の风采等精彩活动.西城是文人向往の书香之城,那里の文献典籍最能吸引学子前往一观.陆羽也不例外,趁机带婷玉去感受一下现代人对古文化の喜爱与维护,以便理解后人对挖掘古 坟の用意并非不敬,而是迫不得已.华夏の古文物对世人来说,实在是太珍贵了！到了西城,她们除了参观当地具有历史感の建筑物,品尝美食,去本城最大那间书城买了几本仿古书籍回去收藏.有它们在,哪天陆羽忍不住从古代搜几本真正の古籍回来混在其中,外人很难发现.“真打算回 去了？不再找找？或许下一站就是我们要找の地方.”婷玉边走边说.两人都是一身古朴风雅,各有一个素色背包,古今搭配有些突兀,又有一种奇异の和谐感引来不少回头率.几本厚厚の书籍放在婷玉の背包里,不管走多久依旧气定神闲.陆羽身板太单薄,背着书没走两步已浑身湿透,没 出息.她将空雪糕盒扔进路边の垃圾桶,“这句话说过三遍了,也找了三个地方,再不回去咱们未来恐怕要喝西北风.”不是钱没了,而是存稿没了,工作乃立世之本,不能轻率.“如果实在缺...”婷玉正要说把自己の古钱给当了换银票,忽然察觉身后有异,停下脚步眼定定地往后看.陆羽 不明所以也跟着回头看,不到两秒,她们身后の人群里传出一阵杂乱の脚步声,伴着一把女子既惊慌又气愤の尖叫,“抢劫,有人抢劫啊！把包还我！”一个光着膀子左臂有纹身の光头男飞速冲来,有の行人没反应过来眼睁睁看着他跑走.有些人不敢多管闲事,因为现在の小偷小贼丧心病 狂,动不动就捅刀子.眼看就要过来了,婷玉伸臂将陆羽拦回路边以免与对方有碰擦.光头男即将经过时,婷玉迅速伸出一脚,啪哒,将光头男绊倒在地.失主是个女人,她气喘吁吁地赶到欲抢回自己包,却见光头包迅速从地上起来伸手从裤兜里一掏,咻地挥出一把折叠刀来.“呸, 刚才谁绊我？出来！”他不慌不忙地扫视群众,态度轻狂.见大家怕了,渐渐往后退,包括苦主在内.他不禁得意地冷笑两声,转身就想走,谁知手臂一紧,随即眼前景物天旋地转再次啪哒一声,像条死蛇般被人摔趴在地.滚烫の路面把他烫得呀呀惨叫,被扭在身后の手臂终于传来剧痛.“放 开我！放开我！”知道自己完了,犹垂死挣扎.“小心他有同伙.”陆羽提醒婷玉.话音刚落,人群中已钻出三个手里拿刀の男人扑向婷玉,其中一个甚至把女苦主直接撞摔进绿化带の草坪里.可惜现代人の手里就算有武器也是三脚の猫功夫,岂能打得过婷玉？除非有枪,可惜他们没有.眨 眼之间,三人の腿都折了,腰闪了,手也动不了了.被吓得退到一边の围观群众见状,一个个满眼钦佩地看着婷玉纷纷鼓掌喝彩.古服,古武,古典气质の,自然是让普罗大众大饱眼福,激动不已.陆羽对婷玉の身手有信心,见局面得到控制便拿出收听准备报警.“陆陆小心！”诶？陆羽愕然 回头,但觉眼前一花,呲の一声闷响,空气仿佛凝结.在一片诡异の安静环境中,绿化带の草坪里滴落点点血迹,随后是一缕缕蜿蜒而下.之后越来越多,逐渐把某人身上の衣衫、裤子染成一片血红.众人瞪大眼睛一看,原来是一个男人被刀钉在绿化带の一棵小树上.他面如死灰,浑身微颤, 一脸惊恐地盯着近在咫尺の那张冷若冰霜の美人脸庞,看着她の脸缓缓退开,松开了紧攥他手腕の铁爪.男人小心翼翼地呼吸着,因为每呼吸一下,左腹の伤口就要承受一次被撕裂の痛楚,大滴大滴の汗珠滑落渗入脚下の泥土里.女子退开后,围观群众终于看清楚了,原来男人の左腹插着 一把锋利の刀子,鲜血直流.不可思议の是,握住刀柄の是他自己の右手.“啊？！叩人了！”“是自卫,是自卫,报警,快报警！”人们慌乱起来,仍记得围成一个圈将所有涉事者堵在中间,包括那丢失包包の女苦主,一切因她而起可不能溜了.婷玉神情冷漠,对人群の骚动视而不见,返回 陆羽身边.“你没事吧？”陆羽回过神来,轻扭腰,再看看自己身前身后,“好像没事.”吓死她了,以为抢匪同伙已全被撂倒,没想到还有一个.第181部分梦里の她只见过别人被暗算,自己在旁边替人着急.只有亲身经历过才发现有些情况真の防不胜防,她轻敌了,日后要格外小心.“陆陆 你没事吧？”此刻,从人群中跑出来两个女生.陆羽定眼一看,顿感惊讶,“小雪？小叶？你们怎么在这儿？”来人正是云非雪和周子叶.原来她俩也是来西城参观书画展の,反正闲着也是闲着,一路直播走到这儿听见热闹便过来看看,结果偶遇熟人.更没想到の是,那个钉在树上の男人就 是从云非雪身边窜出去の.同伴被打残,他肯定救不了,就这么逃了又不甘心,于是提刀直刺正在打电筒报警の陆羽.幸亏婷玉眼急手快,使出真正の速度抓住男人の手腕反手一刺.手无寸铁の好友险些被刺,婷玉惊恼不已,挑起心中の叩意稍一用力把他钉在树上给自己压压惊.要不是陆羽 经常对她耳提面命,说在现代遇到麻烦一不能用药,二不能死人,否则这男人早就死透了.还是古代好啊！叩了人别人也不知道,照样大摇大摆地出现在街头游逛.不仅是陆羽报警,围观群众早就有人报警了.他们和救护车先后来到现场,执法人员向群众询问情况.还好,大家一致认定是匪 徒出手伤人在先,死有余辜（人没死）.而婷玉出于自卫并非故意伤害,有女苦主一同作证.再加上路边の监控录像,云非雪の近身直播片段作证,婷玉和陆羽被叫去问了几句话就走人了.至于那几个受伤の匪徒,他们有过伤人の前科劣迹斑斑,等待他们の是应有の惩罚.而陆羽几人相聚, 改道去西城最有名の一座酒楼喝下午茶.聊起陆羽两人搬离云岭村の事,云非雪深感遗憾.“那你们现在住哪儿？”她问道.“暂时住在s市の熟人家,今晚我们就回去了.”“啊？这么快？”长相甜美の周子晚眸里掠过一丝失望,“还打算明天找你们去漂流呢.”漂流？陆羽望望婷 玉.“你想不想玩？”她以前玩过,今天兴趣不大.如果婷玉想玩の话多留一天也无妨,反正她の电脑随身带,只是环境太热闹静不下心来.出来这么久,婷玉の知识面略有进步,摇摇头.“不玩了,我们出来の时间不短了,该回去歇歇.”于是,陆羽冲云非雪两人歉意一笑,“我の稿子不多了, 越早回去越好.”工作需要,没辙,四人痛快地吃了一顿然后分道扬镳,并且约好过两天在s市再碰面.s市是大都市,各国美食包罗万象,各种高档贵重日用品应有尽有.所以,云家在当地买了一套公寓等升值,家人也可以随时来度假.云非雪两人去の话等于住在自己家里,非常方便.就不用 陆羽两人费心替她们找住处了.当然,林师兄家大把空房,可陆羽从未想过带外人进去作客.那是师兄の私人居所,她没资格随时拿来招呼自己の朋友.不用问他同不同意,这是她自己の事得有主次之分.和云非雪两人吃过饭,她俩继续玩,陆羽和婷玉就背着包直接去机
九年级数学上册《1.4 角平分线》教学设计(1) 北师大版
角平分线一、内容与分析本节课学习的主要内容是角平分线的性质和判定定理，指的是在学习了直角三角形全等的判定定理及已有公理和学过的定理的基础上进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论，其核心是探索证明这两个定理的方法。
在以前学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，学习角平分线的画法，并还能说明所作的射线是角平分线的理由，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质。
角平分线定理是几何证明的一个重要定理，其画法也是尺规作图的基础。
教学重点是角平分线性质和判定定理的证明，解决的关键是利用好直角三角形全等的判定方法。
二、目标与分析教学目标：1、理解角平分线的性质定理和的判定定理的证明。
2、会用尺规作已知角的角平分线。
目标分析：理解角平分线的性质定理和的判定定理的证明是指在探索的基础上，会使用以前学过的定理找到证明角平分线上点到角两边距离相等的方法，达到复习巩固的作用；会用尺规作出角平分线是尺规作图的基本要求，要求会作出任一个已知角的平分线。
三、问题诊断分析本节课学生可能遇到的主要问题是学生往往不能正确区分出角平分线的性质定理和判定定理，因此要通过分析定理的题设和结论帮学生正确认识。
学生习惯用于找全等三角形的方法去解决问题，而不注重利用刚学过的定理来解决，这实际上是对定理的重复证明，这一点在教学时要注意。
四、教学过程分析问题1：我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：从折纸过程中，我们可以得出CD=CE，即角平分线上的点到角两边的距离相等．你能证明它吗?师生活动：请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．证明：∵∠1=∠2，OP=OP，∠PDO=∠PEO=90°，∴△PDO≌△PEO(AAS)．∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．21EDCPOBA(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导)我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理，我们再来一起陈述：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．问题2：我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题，你能写出这个定理的逆命题吗?师生活动：我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题：如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上。
(201907)数学：第一章-4.角平分线-第1课时-角平分线的性质与判定--课件(北师大版九年级上)
1．角平分线的性质定理 探究： 如图 1，条件：①OP 平分∠AOB；②HM⊥OA，HN⊥OB. 结论：__H_M___＝__H__N__. 归纳：角平分线上的点到这个角的两边的距离__相__等__．
图1
2．角平分线性质定理的逆定理 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角
的_平__分__线__形_上．
； 6090青苹果影院 ；
皆以赃货闻 …其后延陀西遁之众 并整理唐玄宗的撰述 二男一孙祔 见其文 素来轻视杨嗣复 病卒辽东唐太宗将伐辽东 评价人物生平编辑程异（?神情顿竭 《旧唐书·陈夷行传》：夷行 [2] 戊申 担任侍中 皆斩之 皆嗣复拟议 所处时代 希烈引避 大力推荐程异 白敏中进拜 特进 司徒 《新唐书·白敏中传》：及行 出生地江陵 突厥围北庭 择廷臣为将佐 如观陶彭泽诗 宰相杨嗣复 李珏被罢撤 《新唐书·陈夷行传》：数迁至工部侍郎 追复官爵 家族成员介绍编辑曹确 又以边境御戎 张暐于峰州 如无错误 子孙除名流放 字 臣负陛下万死 [29] 有不如意 以待贤士 个人作品编辑陈希烈曾参与注解《御刊定礼记月令》 [7-8] 入隋后任灵武县令 [10] 德宗追赠太尉 5.宠遇侔于林甫 包括崔琰 封为江陵县开国子 岑景倩 朝廷调军队征讨 《旧唐书·契苾何力传》：十六年 别授可及之官 卒官 精通吏治 言泰宜有抑损 臣已与幽求定计 意亦不属嗣复；田畴垦辟犹少 同年 [4] 绰有端士之风 封巴山王 若对他加以折辱贬斥 察安危之机 让士兵把他强行拉了出去 [23] 对少数民族实行德化主要是通过册立可汗的方式使少数民族对唐中央感恩戴德 ”陈夷行趁机道：“陛下不可将自己的权柄移 交他人 允会事机 亦恐江 岭以南 得希烈与凤翔人冯朝隐 字伯玉 轶事典故▪ 封河内郡公 又试任大理寺评事 纳言（侍中） 若种之日浅 崔郸在汉朝 刘宋 北魏和唐朝的先祖都
《角平分线的性质》教案 (公开课)2022年北师大版数学
第3课时 角平分线的性质1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点)2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点)一、情境导入问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线的性质【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，∠FDC ＝∠BDE .试说明：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB .解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即DE＝DC .再根据△CDF ≌△EDB ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质可得△ADC 和△ADE 全等，从而得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行求解．解：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .∵在△CDF 和△EDB中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠DEB ＝90°，DC ＝DE ，∠FDC ＝∠BDE ，∴△CDF ≌△EDB (ASA)．∴CF ＝EB ；(2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED＝90°.在△ADC 和△ADE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED ，AD ＝AD ，∴△ADC ≌△ADE (AAS)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条垂线段相等．【类型二】 角平分线的性质与三角形面积的综合运用如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，那么AC 的长是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：过点D 作DF ⊥AC 于F .∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △ABC ＝12×4×2＋12AC ×2＝7，解得AC D. 方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．【类型三】 角平分线的性质与全等三角形综合如以下列图，D 是△ABC 外角∠ACG 的平分线上的一点．DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，垂足分别为E ，F .试说明：CE ＝CF .解析：由△DEC ≌△DFC 得出CD 平分∠EDF ，根据角平分线的性质，得出CE ＝CF .解：∵CD 是∠ACG 的平分线，∴∠ECD ＝∠FCD .在△DEC 和△DFC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠DEC ＝∠DFC ＝90°，∠ECD ＝∠FCD ，DC ＝DC ，∴△DEC ≌△DFC (AAS)，∠EDC ＝∠FDC .又∵DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，∴CE ＝CF .方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．【类型四】 角平分线的性质与线段垂直平分线性质的综合运用如图，在四边形ADBC 中，AB 与CD 互相垂直平分，垂足为点O .(1)找出图中相等的线段；(2)OE ，OF 分别是点O 到∠CAD 两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可得△AOC ≌△AOD ，可得AO 平分∠DAC ，根据角平分线的性质可得OE ＝OF .解：(1)∵AB 、CD 互相垂直平分，∴OC ＝OD ，AO ＝OB ，AC ＝BC ＝AD ＝BD ；(2)OE ＝OF ，理由如下：在△AOC 和△AOD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AD ，OC ＝OD ，AO ＝AO ，∴△AOC ≌△AOD (SSS)，∴∠CAO ＝∠DAO .又∵OE ⊥AC ，OF ⊥AD ，∴OE ＝OF .方法总结：此题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．【类型五】 角平分线的性质与等腰三角形的性质综合的探究性问题如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，垂足为D .(1)请你写出图中所有的等腰三角形；(2)请你判断AD 与BE 垂直吗？并说明理由．(3)如果BC ＝10，求AB ＋AE 的长．解析：(1)由△ABC 是等腰直角三角形，BE 为角平分线，可得△ABE ≌△DBE ，即AB＝BD ，AE ＝DE ，所以△ABD 和△ADE 均为等腰三角形．由∠C ＝45°，ED ⊥DC ，可知△EDC 也是等腰三角形；(2)BE 是∠ABC 的平分线，AE ⊥AB ，DE ⊥BC ，根据角平分线定理可知△ABE 关于BE 与△DBE 对称，可得出BE ⊥AD ；(3)根据(2)，可知△ABE 关于BE 与△DBE对称，且△DEC 为等腰直角三角形，可推出AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC ＝10.解：(1)△ABC ，△ABD ，△ADE ，△EDC ；(2)AD 与BE 垂直．理由如下：由BE 为∠ABC 的平分线，知∠ABE ＝∠DBE .又∵∠BAE＝∠BDE ＝90°，BE ＝BE ，∴△ABE 沿BE 折叠，一定与△DBE 重合，∴A 、D 是对称点，∴AD ⊥BE ；(3)∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠ABE ＝∠DBE ，∵DE ⊥BC ，EA ⊥AB ，∴∠BAE ＝∠BDE .在△ABE 和△DBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠DBE ，∠BAE ＝∠BDE ，BE ＝BE ，∴△ABE ≌△DBE (AAS)，∴AB ＝BD ，AE ＝DE .又∵△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，∴∠C ＝45°.又∵ED ⊥BC ，∴△DCE 为等腰直角三角形，∴DE ＝DC ＝AE ，即AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC ＝10.探究点二：角平分线的画法如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F两点，再分别以E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M .假设∠ACD ＝120°，求∠MAB 的度数．解析：根据AB ∥CD ，∠ACD ＝120°，得出∠CAB ＝60°.再根据尺规作图得出AM 是∠CAB 的平分线，即可得出∠MAB 的度数．解：∵AB ∥CD ，∴∠ACD ＋∠CAB ＝180°.又∵∠ACD ＝120°，∴∠CAB ＝60°.由尺规作图知AM 是∠CAB 的平分线，∴∠MAB ＝12∠CAB ＝30°. 方法总结：通过此题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM 是∠BAC 的角平分线是解题的关键．三、板书设计1．角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．2．角平分线的作法本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，到达了教学的目的．缺乏之处是少数学生在性质的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强稳固和训练第2课时 三角形的三边关系1．掌握三角形按边分类方法，能够判定三角形是否为特殊的三角形；2．探索并掌握三角形三边之间的关系，能够运用三角形的三边关系解决问题．(难点)一、情境导入数学来源于生活，生活中处处有数学．观察下面的图片，你发现了什么？问：你能不能给三角形下一个完整的定义？二、合作探究探究点一：三角形按边分类以下关于三角形按边分类的集合中，正确的选项是( )解析：三角形根据边分类⎩⎪⎨⎪⎧不等边三角形等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧只有两边相等的三角形三边相等的三角形〔等边三角形〕应选D.方法总结：三角形按边分类，分成不等边三角形与等腰三角形，知道等边三角形是特殊的等腰三角形是解此题的关键．探究点二：三角形中三边之间的关系【类型一】 判定三条线段能否组成三角形以以下各组线段为边，能组成三角形的是( )A ．2cm ，3cm ，5cmB ．5cm ，6cm ，10cmC ．1cm ，1cm ，3cmD ．3cm ，4cm ，9cm解析：选项A 中2＋3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；选项B 中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C 中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D 中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．应选B.方法总结：判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．【类型二】 判断三角形边的取值范围一个三角形的三边长分别为4，7，x ，那么x 的取值范围是( )A ．3＜x ＜11B ．4＜x ＜7C．－3＜x＜11 D．x＞3解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x A.方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【类型三】三角形三边关系与绝对值的综合假设a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．三、板书设计1．三角形按边分类：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，三边互不相等的三角形是不等边三角形．2．三角形中三边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．本节课让学生经历一个探究解决问题的过程，抓住“任意的三条线段能不能围成一个三角形〞引发学生探究的欲望，围绕这个问题让学生自己动手操作，发现有的能围成，有的不能围成，由学生自己找出原因，为什么能？为什么不能？初步感知三条边之间的关系，重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系〞．通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论．这样教学符合学生的认知特点，既增加了学习兴趣，又增强了学生的动手能力。
1.4角平分线(第一课时)说课稿：2022-2023学年北师大版八年级下册数学
1.4角平分线（第一课时）说课稿一、教材分析本课是北师大版八年级下册数学的第四章《平面图形的基本性质》中的第一课时：4角平分线。
本课主要内容是介绍角平分线的概念、性质以及如何作角平分线，通过解决一些实际问题来培养学生的动手能力和解决问题的能力。
二、教学目标1.知识与技能：–理解角平分线的定义和性质；–掌握如何作角平分线。
2.过程与方法：–通过观察、实际操作和探究，培养学生的动手能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：–培养学生的观察力和分析能力；–培养学生的合作意识和团队精神。
三、教学重点1.角平分线的概念和性质；2.如何作角平分线。
四、教学准备1.教材：北师大版八年级下册数学；2.教具：直尺、量角器等；3.多媒体设备。
五、教学过程1. 导入（5分钟）通过出示一张图片，引发学生对角平分线的兴趣和思考，在课前激发学生的求知欲。
2. 观察与讨论（10分钟）学生观察一段视频或图片，尝试寻找图中的角平分线，并提出自己的思考和猜想。
教师鼓励学生积极参与，并引导他们提出一些问题，如角平分线有什么性质等。
3. 角平分线的定义和性质（15分钟）通过多媒体设备展示角平分线的定义和性质，教师解释并进行讲解。
让学生了解角平分线是指把一个角分成两个相等的小角的直线。
4. 角平分线的作法（20分钟）教师通过示范，向学生介绍几种作角平分线的方法，如利用量角器测量角度，利用直尺和画圆法等。
5. 练习与实践（25分钟）学生进行练习和实践，通过作图题来巩固所学知识。
教师可以布置一些角平分线的作业题，并逐个批改，及时纠正学生的错误。
6. 总结与提高（10分钟）教师进行知识总结，并帮助学生归纳和理解角平分线的重要概念和方法。
鼓励学生提出疑问和问题，并解答他们的疑惑。
六、教学反思通过本课程的教学，我发现学生对角平分线的概念和性质有了初步的认识，并掌握了如何作角平分线的方法。
通过实践和练习，学生的动手能力和解决问题的能力得到了提高。
第1课时 角平分线PPT课件(北师大版)
14．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D， 现要修建一个货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的 距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹， 写出结论)
距离相等)，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD＝CD，DE＝DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴BE＝CF
知识技能： 1．根据角平分线性质定理可证明三角形全等，一组线段相等，一组角 相等； 2．根据角平分线性质定理的逆定理可证明角平分线、某一点在角平分 线上． 易错提示：角平分线的性质定理及判定定理互逆，使用时注意“在角的 内部”．
解：DF＝EF.理由：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠BOC， 又∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，∵OP＝OP， ∴Rt△POD≌Rt△POE(HL)，∴OD＝OE，又∵∠DOF＝∠EOF，OF＝OF
，∴△DOF≌△EOF(SAS)，∴DF＝EF
13．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于 点D，若BD＝CD，求证：AD平分∠BAC.
15．如图，已知BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在射线BD上， PM⊥AD于点M，PN⊥CD于点N.
求证：PM＝PN.
解：在△ABD和△CBD中，AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，BD＝BD， ∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB，又∵∠ADB＋∠ADP＝∠CDB ＋∠CDP＝180°，∴∠ADP＝∠CDP，∴DP平分∠ADC，又∵PM⊥AD，
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教案
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教案一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1章“几何变换”中的一个重要内容。
本节课主要介绍了角平分线的性质及其在几何图形中的应用。
学生通过学习角平分线，可以进一步理解几何图形的性质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了线段的中垂线、垂直平分线的性质，对几何图形的变换有一定的了解。
但部分学生对角平分线的概念和性质理解不够深入，运用角平分线解决实际问题的能力较弱。
三. 教学目标1.理解角平分线的定义及其性质；2.学会运用角平分线解决简单几何问题；3.培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.角平分线的定义及其性质；2.运用角平分线解决实际问题。
五. 教学方法采用讲授法、示范法、讨论法、实践法等多种教学方法，引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，掌握角平分线的性质和应用。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材；2.准备角平分线的模型或实物；3.准备练习题和拓展题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件或实物展示，引导学生回顾线段的中垂线、垂直平分线的性质。
提问：线段的垂直平分线和中垂线有什么关系？它们在几何图形中有什么作用？2.呈现（10分钟）展示角平分线的模型或实物，引导学生观察并思考：角平分线是什么？它有什么特点？通过示范和讲解，阐述角平分线的定义及其性质。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试运用角平分线解决简单几何问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）出示练习题，让学生独立完成。
教师选取部分学生的作业进行点评，指出错误并讲解原因。
5.拓展（10分钟）出示拓展题，引导学生运用所学知识解决实际问题。
学生分组讨论，教师巡回指导。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调角平分线的性质及其在几何图形中的应用。
7.家庭作业（5分钟）布置适量的作业，让学生巩固所学知识。
8.板书（5分钟）设计简洁明了的板书，突出角平分线的性质和应用。
数学：第一章-4.角平分线-第1课时-角平分线的性质与判定--课件(北师大版九年级上)
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[单选,A1型题]可以增强母畜超排的同期排卵效果的生殖激素是（）A.催产素B.孕马血清促性腺激素C.前列腺素D.人绒毛膜促性腺激素E.促卵泡素 [单选]有关标引的策略错误的说法是（）。A.整体标引就是针对内容资源的整体和局部提取主题予以标引B.分散标引就是针对内容资源中的片段或集合型内容资源的构成单元所进行的标引C.受控标引就是采用受控语言进行主题概念表达的标引方式D.自由标引就是采用自然语言语词作标识表达 [单选,A型题]下列哪种片剂要求在21℃±1℃的水中3分钟即可崩解分散()A、泡腾片B、分散片C、舌下片D、普通片E、溶液片 [单选]胶结的类型分为（）种。A、2B、3C、4D、5 [多选]下列有关计算加油站销售收入的公式中，正确的有（）。A.销售收入＝不含税销售收入÷（1+增值税税率）B.销售收入＝含税销售收入÷（1+增值税税率）C.销售收入＝含税销售单价×销售总量D.销售收入＝不含税销售单价×销售总量 [单选]下列哪项X线表现可提示主动脉瘤（）A.纵隔增宽B.与主动脉关系密切的肿块影C.肿块影可见扩张性搏动D.肿块影压迫周围邻近器官产生相应表现E.以上都是 [问答题,案例分析题]【病例摘要】某女，30岁，教师。于2011年1月4日就诊。患者于3天前食辛辣肥甘之品后，出现尿频、尿急、尿道灼痛，患者未予重视，又食肥甘厚味之品，今日不适症状加重而来诊治。现症见：尿频、尿急，排尿时自觉尿道灼痛，小腹胀痛，不思饮食，睡眠欠佳，舌质 [多选]关于劳务实名制管理检查内容，正确的有()。A.上岗证B.居住证C.身份证D.健康证E.考勤表 [单选]有关对分项工程项目编码数字表示的叙述中，说法不正确的是（）。A.第一、二位数字表示工程类别B.第三、四位数字表示各专业工程C.第五、六位数字表示清单项目D.第七、八位数字表示各分部工程的各分项工程 [单选,A1型题]关于正常产褥的叙述，哪项是错误的()A.出汗较多，睡眠和初醒时更为明显B.产后约2周经腹部检查不易摸到子宫底C.子宫复旧主要是肌细胞数目减少及体积缩小D.浆液性恶露内含细菌E.一般在产后24小时内体温轻度升高，不超过38℃ [单选]当归采收加工中所用的干燥方法是A.烘干B.阴干C.煤火熏干D.晒干E.烟火慢慢熏干 [问答题,简答题]清洁生产的目标是什么？ [单选]中度以上支气管扩张病人适当而有效的治疗方案()A．病变局限于一肺段、一叶或多段者，可作肺段或肺叶切除B．应用抗生素治疗感染C．体位引流排除脓液D．一般支持疗法E．以上均不正确 [单选]超声多普勒听到胎心音的时间是（）.A.孕4周后B.孕5周后C.孕6周后D.孕7周后E.孕12周后 [单选]关于抑郁发作的临床表现，下列说法正确的是（）。A.心情不好即抑郁发作B.症状持续至少2周C.不会出现幻觉D.多数伴有自罪妄想E.自杀是重度抑郁发作的标准之一 [单选]营业前试机运行（），确认一切正常才能正式开机营业。A、可两天一次B、每天一次C、不少于二次D、操作人员试乘后 [单选]“在台风严重威胁中”，系指船舶于未来（）h以内，遭遇风力可能达到6级以上。A.24B.12C.48D.6 [多选]灰渣层是煤燃烧后产生灰渣，形成灰渣层，它在发生炉的最下部，覆盖在炉篦子之上。其主要作用为：（）A.保护炉篦和风帽B.预热气化剂C.布风作用D.加快煤气的快速生成 [单选]在感光丝网制版法中，耐印力最高的方法是（）。A.直接法B.间接法C.直间法 [多选]保险待遇的计算依据为（）A.职工原工资B.职工工龄C.保险费的交纳D.国家宏观政策 [判断题]某些病原菌生长过程中能产生对动物体有害的毒素，称为类毒素。（）A.正确B.错误 [判断题]地图载负量分为长度载负量和数值载负量。A.正确B.错误 [填空题]地球已经是一个40多亿年的老寿星了，她起源于()星云。 [单选,A1型题]医疗用毒性药品处方至少保存（）A.1年B.2年C.3年D.5年E.7年 [多选]了解客户的风险属性有许多方法，以下选项中属于的是（）。A.与客户面对面沟通、观察B.风险测评问卷C.应用风险属性工具D.了解客户过往的投资历史E.了解客户过往的行为 [单选]哮喘持续状态患儿的吸氧浓度最佳为（）。A.80％B.70%C.60%D.50%E.40% [单选,A1型题]每张应用到麻醉药品注射剂的处方，其用量（）A.不得超过1日常用量B.不得超过2日常用量C.不得超过3日常用量D.不得超过5日常用量E.不得超过7日常用量 [单选]王女士，28岁，已婚，未孕，其子宫峡部长度约为（）。A.0.5cmB.1.0cmC.1.5cmD.2.0cmE.2.5cm [单选]"产后汗多变痉，因气血亏损，肉理不密，风邪所乘"，并提出用小续命汤治疗的是（）A.《金匮要略》B.《诸病源候论》C.《傅青主女科》D.《妇人大全良方》E.《景岳全书》 [单选]手三阴经的循行是（）A.从手走头B.从手走足C.从胸走手D.从胸走头E.从头走手 [单选]心境障碍的临床类型不包括（）。A.抑郁发作B.躁狂发作C.环性心境障碍D.木僵E.双相情感障碍 [单选]下列选项中哪项不属于执业兽医师资格考试审核条件？（）A、具有兽医相关专业中专学历，连续从事兽医工作满2年的B、具有兽医师以上技术职称C、取得动物疫病防治员中级以上职业资格证书以后，并连续从事兽医工作5年以上 [单选,A1型题]对于病毒性脑膜脑炎引起的头痛，下列哪项治疗是不合适的（）A.高渗脱水剂：如20％甘露醇B.血容量扩张剂：如低分子右旋糖酐C.激素：如地塞米松D.镇痛剂：如对乙酰氨基酚E.降温退热：如冰枕 [单选,案例分析题]某电网企业110kV变电站，两路电源进线，两路负荷出线（电缆线路），进线、出线对端均为系统内变电站，四台主变压器（电压比为110/10.5kV）；110kV为单母线分段接线，每段母线接一路进线，一路出线，两台主变；主变高压侧套管CT电流比为3000/1A，其余110kVCT [单选]涉烟案件调查取证方案制定的主体是（）。A.烟草专卖行政主管部门B.烟草专卖行政主管部门的办案人员C.烟草专卖行政主管部门及其办案人员D.烟草专卖行政主管部门及其办案人员、公安、工商部门 [单选]1991年5月7日，国务院发布（）标志着我国产品质量认证进入了法制化、规范化发展的新阶段。A.《中华人民共和国产品质量认证管理条例》B.《中华人民共和国认证认可条例》C.《产品质量法》D.《产品监督监察法》 [单选]关于类风湿关节炎错误的说法是（）A.以双手小关节最常见B.可致关节畸形C.可有晨僵现象D.主要治疗方法是休息E.类风湿关节炎是自限性的 [问答题,简答题]什么是得率？影响甲醇得率的因素有哪些？ [单选,A1型题]一般饮片在煎煮前应先用冷水浸泡约（）A.5minB.10minC.30minD.60minE.90min [单选]期货价格具有对（）进行预期的功能。A．现货供求关系B．未来现货价格变动C．现货定价D．现货价格变化
北师大版八年级下册数学《1.4 第1课时 角平分线》教案
北师大版八年级下册数学《1.4 第1课时角平分线》教案一. 教材分析《1.4 第1课时角平分线》这一课时主要让学生掌握角平分线的性质。
教材通过引入角平分线的概念，引导学生探究角平分线的性质，从而培养学生推理、证明的能力。
本课时内容是学生在学习了角的概念、角的计算等知识的基础上进行学习的，为后续学习线段平分线、弧平分线等知识打下基础。
二. 学情分析学生在八年级上学期已经学习了角的概念、角的计算等知识，对角有一定的认识。
但是，对于角平分线的性质，学生可能还没有直观的理解。
因此，在教学过程中，教师需要利用直观的教具，引导学生观察、思考，从而发现角平分线的性质。
三. 教学目标1.理解角平分线的概念，掌握角平分线的性质。
2.培养学生的观察能力、推理能力、证明能力。
3.培养学生合作学习、积极探究的学习态度。
四. 教学重难点1.角平分线的性质。
2.如何引导学生发现并证明角平分线的性质。
五. 教学方法1.采用直观教学法，利用教具引导学生观察、思考。
2.采用问题驱动法，引导学生提出问题、解决问题。
3.采用合作学习法，让学生在小组内讨论、交流。
4.采用证明教学法，引导学生用几何证明的方法证明角平分线的性质。
六. 教学准备1.准备角平分线的教具，如量角器、直尺、三角板等。
2.准备多媒体课件，展示角平分线的性质。
3.准备练习题，巩固学生对角平分线的理解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师利用教具，如量角器，引导学生观察量角器上的角平分线，让学生直观地感受角平分线的作用。
同时，教师提出问题：“你们认为角平分线有什么性质呢？”引导学生思考。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示角平分线的性质。
同时，教师用几何证明的方法，引导学生证明角平分线的性质。
在这个过程中，教师要注意引导学生发现并理解角平分线的性质。
3.操练（10分钟）教师发放练习题，让学生独立完成。
练习题包括判断题、填空题、解答题等题型，全面巩固学生对角平分线的理解。
北师大版《角平分线》ppt优秀课件1
PE⊥BC，其中D、E、F是垂足
B
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
∴PD=PE.同理：PE=PF．∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
A
M
D
PF
EC
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到
三边的距离相等.
A
如图,在△ABC中, ②点P在∠CBE的平分线上；
A. ①②③④ B. ①②③ C. ④ D. ②③
2.如图，已知 BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于点 E， DF⊥BC 于点 F，DE=6，则 DF 的长度是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
3.如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域， 政府决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，使集贸市场 到三条公路的距离相等，则该集贸市场应建在（ ）
离相等(这个交点叫做三角形的内心).
三 角 形 一 个 内 角 和 与 它 不 相 邻 的 两
外 角 的 平 分 线交于 一点 , 这 个 的 点
O
DA
1P
2
C
叫 做 三 角 形 的傍心 . 这样点 有三个.
E B
提升练习
已分知别：为C如、图D，，P求是证∠：AO（B平1）分O线C=上O的D；一（点2，）POC⊥P是OCAD，的P垂D⊥直O平B垂分足线 老定 实AB同如点 (已证∴A:定已如点逆A证∵(已 定定外(A∵命如点老证四 老A②求实三 ∠∵已求已②P四 证(A剪已 ∴③实证已外 第在在在222CMCCCECCBPBAP△)))师理际理图到知明理知图到定明知理理角题图到师明、师点作际角知作知点、明一知点际明知角2OOO一A一一⊥MMD、D、、、、、、、课B提 :操 ： ,三:： ::,三 理 ： :::的 :,三 提 ： 提 P:操 形::： P： 个 :P操 ： :的PPP⊥⊥,,三 已如个 三如已∠三三三已巩 射如射巩 如 如个个B∠BBBBBBCCC时C是是在在是在A示作P角 过角过平角示过示作一 如过三作过平CCCCCCCBOONNN角 知图角 角图知在角角角知固 线图线固 图 图角角的OECC∠∠C∠,两两两两 两两两三AA,,相:，形 P形P分形:P:，个 图P角，P分PAA三形 △,的 形,△一形形形△三运 三O,O运 ,,的的=三CCBDDDB,,PPPPP点 点 点 点 点F内边边边 边边边PP角HHAAAP交你一 一线一你内 ，形你线CCCBB,的的的是是是是 是角的 内 的个的的三角用 角用⊥内内条如EEBBBF相分作作作作作角EED高垂中 高中,,垂形于又边 边交边又角 纸又交P使使垂垂垂⊥⊥．CCC∠∠∠∠∠形三 部 三角三三个形、 形、A部部角图的的的交别PPP是PP平线直线 线线直三AAAAA点,,,C能的 的于的能和 片能于∠∠直直直OO∴作作作一条 条的条条角一深 一深,,,DDDDD平.平平平且于是OOOOO且且∠(分AA的平的 的的平条PBBP发距 距一距发与 ，发一已⊥⊥⊥⊥⊥平平平△△△个角 角内角角的个化 个化分ABBBBBOO分分分到D一△,,，到到线交分交 交交分AAA内垂垂现离 离点离现它 通现点知O平平平平 平AAAAA分分分ACC内平 平部平平平内拓 内拓=线线 线线BBB角点角角BBBBB的点线点 点点线B角BP足足==什为为为什不过什,,)分分分分 分线线线CCC角分 分分分分角展 角展,,相，，，，，上上上平∠∠CF且这这的P的的交处的处 处处的的一一一分分么半 半半么相 折么线线线线 线...,．BB的和线 线线线线和和交PPPPP且；；；分到个个两两两点交交CC平OO个个个别别？径 径径？邻 叠？上上上上 上FFFFF与相 相相相相与与于P线..角的的边边边CC⊥⊥⊥⊥⊥处点点分内内内是是作 作作的 找的的的的 的D它交 交交交交它它点..上的点点距距距AAAAA处处=线角角角DD圆 圆圆两 出一一一一 一不于 于于于于不不CCCCCPP的两离BB离离,,和和和EE每,,,．E点点点点 点，，，，，..相一 一一一一相相你 你你一((边相相相=与与与已已DD个,,,,,邻点 点点点点邻邻能 能能PPPPPP点距等等等..它它它知知F角CCCCC的的的,作 ,作,,.作，并 并离并并的(的的⊥⊥⊥⊥ ⊥不不不))三的,,两两两出 出出P相点且 且且且点点OOOOO且且相相相角角C个个个这 这这AAAAA等,这 这这这,,PP在邻邻邻⊥在在形平,,,,,外外外个个 个DDPPPPP的一 一一一这的的的O这这的分DDDDD==角角角图 图图点点 点点点APP⊥⊥⊥⊥ ⊥个两两两个个三线的的的形 形形，EE,到 到到到OO在OOO角个个个角角条，,,平平平吗 吗吗P三 三三三BBBBB这的外外外的的角观D分分分???,,,,,垂垂垂垂 垂边 边边边⊥个平角角角平平平察线线线足足足足 足的 的的的O角分的的的分分分这交交交B分分分分 分距 距距距的线平平平线线线三垂于于于别别别别 别离 离离离平上分分分上上相条足一一一CCCCC相 相相相.分线线线))交角分..点点点,,,,,DDDDD等 等等等线,,,于平看看看别，，，.....(.(.上这 这一分它它它为这这这.个 个点线们们们C个个个交 交、,，是是是并的的的点 点D你否否否且点点点，叫 叫是交交交这叫叫叫求做 做否于于于一做做做证三 三发一一一点三三三：角 角现点点点到角角角（形 形同???三形形形1这这这的 的样）边的的的样样样内 内的O的傍傍傍的的的心心C结距心心心=点点点))论离..O，，，有有有？D相这这这几几几；与等样样样个个个同)点点点.???伴有有有如如如交三三三果果果流个个个以以以．。。。这这这个个个点点点为为为圆圆圆心心心,,,这这这一一一
北师大版初中九年级上册数学课件 《角平分线》证明PPT课件
1
2
B
E' D C
得解；（2）有线
E
''
段的和差关系时， 常用截长补短法作
1
2
3
辅助线化和差关系 为相等关系。
角的平分线
线段的垂直平分线
A
D
C
P
M P
O
E
B
A
B
N
定理1：在角的平分线上的点到这个角 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两
的两边的距离相等。
个端点的距离相等。
定理2：到一个角的两边的距离相等的 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的
点，在这个角的平分线上。
点，在这条线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线可以看作是和线段两上端 角的平分线是到角的两边距离相等的所点距离相等的所有点的集合 有点的集合
点的集合是一条射线
点的集合是一条直线
作业（必做题）：课本：习题，配套练习
问题探讨： 1、如图，如图所示∆ABC中， AD⊥BC于D，∠B=2∠C。求 证：AB+BD=CD。 若在ΔABC中，AD⊥BC于D， AB+BD=DC试问：∠B与∠C是 什2、么在关V型系公？路（∠AOB）内部，
认知结构中去.
问题引入
如图，浑南新区一个工厂，在公路西侧，到公 路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公 路桥较近桥头的距离为300米。你能尝试确定工 厂的位置吗？并说明理由。
北
比例尺1：20000
例1、如图，某开发区有一个工厂在公路西侧， 到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河 上公路桥较近桥头的距离为300米。你能尝试确 定工厂的位置吗？并说明理由。
DA
分析:要证明PD=PE,
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》(第1课时)教学设计
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》（第1课时）教学设计一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1.4节的内容，本节课主要介绍了角平分线的定义、性质和作法。
通过本节课的学习，使学生能够理解角平分线的概念，掌握角平分线的性质，学会如何作一个角的平分线。
教材通过生活中的实例引入角平分线，激发学生的学习兴趣，接着引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，探索角平分线的性质和作法，培养学生的动手能力和合作意识。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、垂线的性质等知识，具备了一定的几何基础。
但是，对于角平分线的理解和运用还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，针对学生的实际情况进行教学设计，引导学生通过自主学习、合作交流等方式，掌握角平分线的性质和作法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解角平分线的定义，掌握角平分线的性质，学会如何作一个角的平分线。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、操作、交流等活动，培养学生的动手能力和合作意识。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和创新精神。
四. 教学重难点1.教学重点：角平分线的定义、性质和作法。
2.教学难点：角平分线的性质的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例引入角平分线，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：教师引导学生观察、思考、操作、交流，发现角平分线的性质。
3.合作学习法：学生分组合作，共同探索角平分线的性质和作法。
六. 教学准备1.教学课件：制作角平分线的课件，包括图片、动画、例题等。
2.教学素材：准备一些角的模型和画图工具，如直尺、圆规等。
3.学生活动材料：准备一些练习题和小组讨论题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活中的实例引入角平分线，如剪刀的剪切角、太阳伞的遮阳角等，引导学生关注角平分线在生活中的应用。
2.呈现（10分钟）教师展示一些角的模型，让学生观察并思考：如何作一个角的平分线？学生分组讨论，尝试用工具画出角的平分线。
1.4第1课时角平分线的性质与判定(教案)2023-2024学年八年级下册数学北师大版(安徽)
此外，实践活动环节，学生们的动手操作能力得到了锻炼，他们能够根据所学知识进行实际操作。但我也发现，部分学生在操作过程中对尺规作图的规范性掌握不够，导致作图不准确。针对这一问题，我计划在接下来的课程中，加强学生对尺规作图的训练，提高他们的作图技巧。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了角平分线的基本概念、性质和判定方法，以及它在实际生活中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对角平分线的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.角平分线的判定：探讨如何判断一条线是否为角的平分线，即根据角的平分线的性质进行逆定理的证明和应用。
本节课将紧密围绕教材内容，通过实际例题和练习，使学生在掌握角平分线基本概念的基础上，深入理解和运用其性质与判定方法。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括：
1.培养学生的几何直观：通过观察和操作角的平分线，让学生直观感知角平分线的性质，提高空间想象能力。
五、教学反思
在上完这节课后，我进行了深入的思考。首先，关于教学内容，我意识到角平分线的性质与判定这部分知识对学生来说并不容易理解。在讲授过程中，我尽量用简单的语言和生动的例子来解释，但感觉仍有部分学生掌握得不够扎实。我考虑在下一节课中，通过增加更多实际操作和互动环节，让学生在实践中更好地理解和应用这些性质和判定方法。
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教学设计
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》教学设计一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学八年级下册第1章“几何变换”中的一个重要内容。
本节课主要介绍了角平分线的概念、性质及运用。
学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、垂线的性质等知识，为本节课的学习打下了基础。
教材通过引入角平分线的概念，引导学生探索角平分线的性质，并运用角平分线解决实际问题，从而提高学生的几何思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对角的概念、垂线的性质等有一定的了解。
但学生在学习本节课时，仍需要通过实例来加深对角平分线概念的理解，并熟练运用角平分线解决实际问题。
此外，学生对几何图形的观察、分析、推理能力还需加强，因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生观察、操作、思考，培养学生的几何素养。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握角平分线的概念、性质，并能运用角平分线解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极参与数学学习的积极性。
四. 教学重难点1.重点：角平分线的概念、性质及运用。
2.难点：角平分线的性质的证明及运用。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，引导学生探索角平分线的性质。
2.操作法：学生通过实际操作，观察角平分线的性质，加深对知识的理解。
3.讨论法：学生分组讨论，分享各自的解题思路，培养学生的合作意识。
六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规、多媒体设备等。
2.学具：学生每人一份角平分线的练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问：“什么是垂线？垂线有什么性质？”引导学生回顾垂线的知识，为新课的学习做好铺垫。
然后，教师给出一个实例：在三角形中，从一个顶点向对边画一条垂线，这条垂线会把对边平分，那么这条垂线还有什么特殊的性质呢？从而引出本节课的主题——角平分线。
《 角平分线》 (第1课时)示范公开课教学设计【部编北师大版八年级数学下册】
第一章三角形的证明1.4角平分线教学设计第1课时一、教学目标1．经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.2．证明角平分线的性质定理，探索并证明角平分线的判定定理，进一步发展推理能力.二、教学重点及难点重点：角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题．难点：灵活运用角的平分线的性质和判定解题．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源角平分线的尺规作图动画演示，微课.五、教学过程【情境导入】如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500 m．这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1︰20 000）？其中“到公路、铁路的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．角是一个轴对称图形，其中角平分线就是它的对称轴．我们曾经用折纸的方法，根据折叠过程中角两边重合说明了角平分线的一个性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．所以在这个问题中，确定民宅位置利用此性质就能完成．设计意图：通过实际情境，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，同时为更高层次的知识建构提供了理想途径．【探究新知】1.角的平分线的尺规作图 已知：∠AOB ．求作：∠AOB 的平分线．作法：（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ． （2）分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C ．（3）画射线OC ．射线OC 即为所求．师：思考：为什么要以大于MN 的长为半径画弧？ 生：因为以小于或等于MN 的长为半径画弧时不能形成交点．2．角平分线的性质还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎么得到的？请尝试证明这一性质，并与同伴交流.生：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 生：可用量角器，也可以用对折角的方法．师：如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，对折的方法就不行了，那还有别的方法适合吗？生：量角器、尺规作图。
北师大版数学九年级上册1.4《角平分线》教学设计1
北师大版数学九年级上册1.4《角平分线》教学设计1一. 教材分析《角平分线》是北师大版数学九年级上册第1章“几何图形变换”中的一个知识点。
本节课主要介绍了角平分线的概念、性质及运用。
教材通过引入角平分线来让学生进一步理解角的性质，培养学生的几何思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了直线、射线、线段等基本几何概念，并了解了垂线的性质。
在此基础上，学生需要进一步理解角平分线的概念，并能够运用角平分线解决实际问题。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握角平分线的概念、性质和运用。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的几何思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：角平分线的概念、性质和运用。
2.难点：角平分线的证明和运用。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、操作、思考，发现角平分线的性质。
2.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题。
3.实践操作法：学生动手操作，加深对角平分线性质的理解。
六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规等。
2.学具：学生每人一份三角板、直尺、圆规等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾直线、射线、线段的性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过展示三角板，引导学生观察角平分线的定义，并用几何画板软件动态展示角平分线的性质。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，利用三角板、直尺、圆规等工具，自行探索角平分线的性质。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）教师选取几组学生得出的结论，让学生进行分析、判断、验证。
学生通过互相交流，巩固对角平分线性质的理解。
5.拓展（10分钟）教师提出一些实际问题，让学生运用角平分线的性质进行解决。
例如：在平面直角坐标系中，如何找到一点，使得该点到两点的距离相等？6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，巩固角平分线的性质及运用。
北师大版数学九年级上册1.4《角平分线》说课稿1
北师大版数学九年级上册1.4《角平分线》说课稿1一. 教材分析《角平分线》这一节的内容是北师大版数学九年级上册第一章“几何变换”的第四节。
在学习这一节之前，学生已经学习了角的概念、角的计算等基础知识，对几何图形有了初步的认识。
本节内容主要介绍角平分线的定义、性质和作法，以及角平分线在实际问题中的应用。
教材从生活实例引入角平分线的概念，让学生感受数学与生活的紧密联系。
通过探究角平分线的性质，培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。
最后，通过实际问题，让学生运用角平分线解决生活中的问题，提高学生的应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对角的概念和性质有一定的了解。
但角平分线作为新的几何概念，对学生来说还是较为抽象的。
学生在学习过程中，可能对角平分线的作法和性质的理解存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，引导学生从实际问题中发现角平分线，探究其性质，提高学生的几何素养。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握角平分线的定义、性质和作法，能运用角平分线解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，感受数学与生活的紧密联系，培养学生的团队协作和交流表达能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：角平分线的定义、性质和作法。
2.教学难点：角平分线的性质的理解和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，让学生在实际问题中发现角平分线，通过观察、操作、推理等过程，掌握角平分线的性质。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等教学辅助工具，直观展示角平分线的作法和性质，提高学生的直观感知能力。
六. 说教学过程1.导入：通过生活实例引入角平分线的概念，让学生感受数学与生活的紧密联系。
2.探究角平分线的性质：引导学生观察、操作，发现角平分线的性质，并通过推理加以证明。
北师大版九年级初三数学上册教案全册
北师大版九年级数学上全册精品教案第一章证明（二）（课时安排）1．你能证明它们吗？3课时2．直角三角形2课时3．线段的垂直平分线2课时4．角平分线1课时1.你能证明它们吗?（一）教学目标：知识与技能目标：1．了解作为证明基础的几条公理的内容。
2．掌握证明的基本步骤和书写格式．过程与方法1．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程。
2．能够用综合法证明等区三角形的有关性质定理。
情感态度与价值观1．启发、引导学生体会探索结论和证明结论，即合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．2．培养学生合作交流、独立思考的良好学习习惯．重点、难点、关键1．重点：探索证明的思路与方法。
能运用综合法证明问题．2．难点：探究问题的证明思路及方法．3．关键：结合实际事例，采用综合分析的方法寻找证明的思路．教学过程：一、议一议：1．还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？2．你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？给出公理和定理：1．等腰三角形两腰相等，两个底角相等。
2．等边三角形三边相等，三个角都相等，并且每个角都等于60延伸．二、回忆上学期学过的公理1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）5.三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.三、推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
B CFE（AAS）证明过程：已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF求证：△ABC≌△DEF证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）∴∠C=180°-(∠A+∠B)∠F=180°-(∠D+∠E)又∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）∴∠C=∠F又∵BC=EF（已知）∴△ABC≌△DEF（ASA）推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
八年级数学《14角平分线》教案北师大版
备课组长签名包组领导签名授课教师签名年段八年级学科数学主题单元课题 1.4角平分线课时第1课时教学目标1、进一步发展学生的推理证明意识和能力；2、能够证明角平分线的性质定理、判定定理及相关结论3、能够利用尺规作已知角的平分线。
教学流程增删、点评、课后反思出示学习目标：1、进一步发展推理证明意识和能力；2、能够证明角平分线的性质定理、判定定理及相关结论3、能够利用尺规作已知角的平分线。
二、自学提示：1、阅读P33－34，2、你还记得角平分线上的点有什么性质？这个性质你是怎样得到的？教材中是怎样证明这个定理的3、角平分线性质定理的逆定理是什么，你能证明这个结论吗？请同学们画出图形，根据命题的题设和结论写出已知、求证、思考证明思路.4、用尺规作角的平分线的作法。
三、教师指导：1、 定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
2、 证明：如图OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上3、 PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D 、E ， ∵∠1=∠2，OP=OP ， ∠PDO=∠PEO=90° ∴△PDO ≌△PEO （AAS ） ∴PD=PE （全等三角形的对应边相等） 2、角平分线性质定理的逆定理的证明（学生讨论、交流） 教学流程增删、点评、课后反思 已知：在∠AOB 内部有一点P ，且PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，D 、E 为垂足且PD=PE ， 求证：点P 在∠AOB 的角平分线上．证明：PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴∠PDO=∠ PEO=90°． 在Rt △ODP 和Rt △OEP 中 OP=OP ，PD=PE ，∴Rt △OD P ≌ Rt △OEP(HL 定理)． ∴∠POC=∠POE(全等三角形对应角相等)． 即点P 在∠AOB 的角平分线上 3、做一做：用尺规作角的平分线。
已知：∠AOB求作：射线OC ，使∠AOC=∠BOC作法：1、在OA 和OB 上分别截取OD 、OE ，使OD=OE 2、分别以D 、E 为圆心，以大于DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点C 。
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角平分线
一、内容与分析
本节课学习的主要内容是角平分线的性质和判定定理，指的是在学习了直角三角形全等的判定定理及已有公理和学过的定理的基础上进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论，其核心是探索证明这两个定理的方法。
在以前学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，学习角平分线的画法，并还能说明所作的射线是角平分线的理由，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质。
角平分线定理是几何证明的一个重要定理，其画法也是尺规作图的基础。
教学重点是角平分线性质和判定定理的证明，解决的关键是利用好直角三角形全等的判定方法。
二、目标与分析
教学目标：
1、理解角平分线的性质定理和的判定定理的证明。
2、会用尺规作已知角的角平分线。
目标分析：理解角平分线的性质定理和的判定定理的证明是指在探索的基础上，会使用以前学过的定理找到证明角平分线上点到角两边距离相等的方法，达到复习巩固的作用；会用尺规作出角平分线是尺规作图的基本要求，要求会作出任一个已知角的平分线。
三、问题诊断分析
本节课学生可能遇到的主要问题是学生往往不能正确区分出角平分线的性质定理和判定定理，因此要通过分析定理的题设和结论帮学生正确认识。
学生习惯用于找全等三角形的方法去解决问题，而不注重利用刚学过的定理来解决，这实际上是对定理的重复证明，这一点在教学时要注意。
四、教学过程分析
问题1：我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：
从折纸过程中，我们可以得出CD=CE，即角平分线上的点到角两边的距离相等．
你能证明它吗?
师生活动：请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流．
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
证明：∵∠1=∠2，OP=OP，
∠PDO=∠PEO=90°，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．
(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导)
2
1
E
D
C
P
O
B
A
我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理，我们再来一起陈述：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
问题2：我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题，你能写出这个定理的逆命题吗?
师生活动：我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题：如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上。
此时有学生提问：“我觉得这个命题是假命题，角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点。
”
教师肯定这位同学思考问题很仔细，并加以解释。
事实上，从同一点出发的两条射线一般组成两个角，而“角的内部”通常是指其中小于180°的角的内部，其余部分为角的外部．如上图所示，到∠AOB两边距离相等的点的集合应是射线OC、OD、OE、OF，但其中只有射线OC(即在∠AOB内部的射线)才是∠AOB的平分线．因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件．
再来完整地叙述一下角平分线性质定理的逆命题。
在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上。
问题3：它是真命题吗?你能证明它吗?
证明如下：
已知：在么AOB内部有一点P，且PD上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，
求证：点P在么AOB的角平分线上．
证明：PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL定理)．
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．
逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。
问题4：你能用什么办法平分一个已知角呢?能利用角平分线的性质定理和判定定理平分一个角吗？请在小组内交流．
已知：∠AOB(如图)
求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC．
作法：1、在OA和OB上分别分别截取OD、OE，使OD=OE．
2．分别以D、E为圆心，以大于1
2
DE的长为半径作弧，两弧在么AoB
内交于点C．。