2010年高考试题分类考点5 函数与方程、函数模型及其应用
2010高考数学全国卷1(题题详细解析)
绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试及答案第I 卷一.选择题 (1)复数3223i i+=-(A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i1.A 【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析】32(32)(23)694623(23)(23)13i i i i i i ii i +++++-===--+.(2)记cos(80)k -︒=,那么tan 100︒=A.21k k- B. -21k k- C.21k k- D. -21k k-2.B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识,并突出了弦切互化这一转化思想的应用. 【解析】222sin 801cos 801cos (80)1k=-=--=-,所以tan 100tan 80︒=-2sin 801.cos 80k k-=-=-(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解析】画出可行域(如右图),由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时,z 最大,且最大值为m ax 12(1)3z =-⨯-=.0x y += 1Oy x =y20x y --=xA 0:20l x y -=2-2A(4)已知各项均为正数的等比数列{n a },123a a a =5,789a a a =10,则a a a=(A) 52(B) 7 (C) 6 (D) 424.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识,着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a === ,37897988()a a a a a a a ===10,所以132850a a =,所以13336456465528()()(50)52a a a a a a a a a =====(5)353(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 45.B 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况,尤其是展开式的通项公式的灵活应用,以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数,同时也考查了考生的一些基本运算能力.【解析】35533(12)(1)(16128)(1)x x x x x x x +-=+++-故353(12)(1)x x +-的展开式中含x的项为333551()1210122C x xC x x x ⨯-+=-+=-,所以x的系数为-2.(6)某校开设A 类选修课3门,B 类选择课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种6.A 【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.【解析】:可分以下2种情况:(1)A 类选修课选1门,B 类选修课选2门,有1234C C 种不同的选法;(2)A 类选修课选2门,B 类选修课选1门,有2134C C 种不同的ABC DA 1B 1C 1D 1 O选法.所以不同的选法共有1234C C +2134181230C C =+=种.(7)正方体ABCD-1111A B C D 中,B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A23B33C 23D637.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法,利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC1D ,由等体积法得11D A C D D A C DV V --=,即111133A C D A C D S D O S D D ∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则12211133sin 60(2)2222AC D S AC AD a a ∆==⨯⨯=,21122A C D S A D C D a ∆==.所以1312333AC DAC DS D D aD O a S a∆∆===,记DD 1与平面AC1D 所成角为θ,则13sin 3D O D D θ==,所以6cos 3θ=.(8)设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体,主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析】 a=3log 2=21log 3, b=In2=21log e,而22log 3log 1e >>,所以a<b,c=125-=15,而2252log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b.(9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点,点p 在C 上,∠1F p 2F =060,则P 到x 轴的距离为 (A)32(B)62(C) 3 (D) 69.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理,考查转化的数学思想,通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]12a P F e x a e x x c=--=+=+,22000||[)]21aPF e x ex a x c=-=-=-.由余弦定理得 cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||P F P F F F P F P F +-,即cos 0602220000(12)(21)(22)2(12)(21)x x x x ++--=+-,解得2052x =,所以2200312y x =-=,故P 到x 轴的距离为06||2y =(10)已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是 (A)(22,)+∞ (B)[22,)+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞10.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围,而利用均值不等式求得a+2b 222a a=+>,从而错选A,这也是命题者的用苦良心之处.【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去),或1b a=,所以a+2b=2a a+又0<a<b,所以0<a<1<b ,令2()f a a a=+,由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数,所以f(a)>f(1)=1+21=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞).(11)已知圆O 的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为俩切点,那么PA PB ∙的最小值为 (A) 42-+(B)32-+(C) 422-+ (D)322-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析】如图所示:设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α,APO=21x +,21sin 1xα=+,||||cos 2P A P B P A P B α∙=⋅ =22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x x x -+,令PA PB y ∙= ,则4221x xy x -=+,即42(1)0x y x y -+-=,由2x 是实数,所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥,2610y y ++≥,解得322y ≤--或322y ≥-+.故min ()322PA PB ∙=-+.此时21x =-.(12)已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A)233(B)433(C) 23 (D)83312.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD 作平面PCD ,使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有A B C D 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,22max 22123h =-=,故max 433V =.第Ⅱ卷二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上. (注意:在试题卷上作答无效)(13)不等式2211x x +-≤的解集是 .13.[0,2] 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法,利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路,也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致. 解析:原不等式等价于2221(1),10x x x ⎧+≤+⎨+≥⎩解得0≤x ≤2.(14)已知α为第三象限的角,3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= .14.17-【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.12x =y=1xy aO12x =-414a y -=2y x x a=-+【解析】因为α为第三象限的角,所以2(2(21),2(21))(k k k Z απππ∈+++∈,又3c o s 25α=-<0, 所以2(2(21),2(21))()2k k k Z παπππ∈++++∈,于是有4sin 25α=,sin 24tan 2cos 23ααα==-,所以tan(2)4πα+=41tantan 2134471tantan 2143παπα-+==--+.(15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点,则a 的取值范围是 .15.(1,5)4【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.【解析】如图,在同一直角坐标系内画出直线1y =与曲线2y x x a =-+,观图可知,a 的取值必须满足1,4114a a >⎧⎪⎨-<⎪⎩解得514a <<.(16)已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D ,且BF 2FD =uu r uur,则C 的离心率为 . 16.23【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识,考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点:“数研究形,形助数”,利用几何性质可寻求到简化问题的捷径. 【解析】如图,22||BF b c a =+=,作1D D y ⊥轴于点D 1,则由BF 2FD =uu r uur,得1||||2||||3O F BF D D BD ==,所以133||||22D D O F c ==,即32D c x =,由椭圆的第二定义得2233||()22ac cFD e a ca=-=-又由||2||BF FD =,得232c c a a=-,整理得22320c a ac -+=.xO yBF1DD两边都除以2a ,得2320e e +-=,解得1()e =-舍去,或23e =.三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效............) 已知A B C V 的内角A ,B 及其对边a,b 满cot cot a b a A b B +=+,求内角C .17. 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边角关系,突出考查边角互化的转化思想的应用.【解析】(18)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........).投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审, 则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评 审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录 用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5,复审的稿件能通过评审的概率为0.3. 各专家独立评审.(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率;(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数,求X 的分布列及期望. 【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想.【解析】(18)解:(Ⅰ)记 A 表示事件:稿件能通过两位初审专家的评审; B 表示事件:稿件恰能通过一位初审专家的评审; C 表示事件:稿件能通过复审专家的评审; D 表示事件:稿件被录用. 则 D=A+B·C,()0.50.50.25,()20.50.50.5P A P B P C=⨯==⨯⨯== ()()P D P A B C=+=()()P A P B C + =()()()P A P B P C + =0.25+0.5×0.3 =0.40.(Ⅱ)~(4,0.4)X B ,其分布列为: 4(0)(10.4)0.1296,P X ==-= 134(1)0.4(10.4)0.3456,P X C ==⨯⨯-= 2224(2)0.4(10.4)0.3456,P X C ==⨯⨯-= 334(3)0.4(10.4)0.1536,P X C ==⨯⨯-=4(4)0.40.0256.P X === 期望40.4 1.6E X =⨯=.(19)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 如图,四棱锥S-ABCD 中,SD ⊥底面ABCD ,AB//DC ,AD ⊥DC ,AB=AD=1,DC=SD=2,E 为棱SB 上的一点,平面EDC ⊥平面SBC .(Ⅰ)证明:SE=2EB ;(Ⅱ)求二面角A-DE-C 的大小 .【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力. (19) 【解析】解法一:(Ⅰ)连接BD,取DC 的中点G ,连接BG,由此知 1,DG GC BG ===即A B C ∆为直角三角形,故B C B D ⊥.又ABCD,BC SD SD ⊥⊥平面故,所以,BC ⊥⊥平面BDS,BC DE .作BK ⊥EC,EDC SBC K ⊥为垂足,因平面平面,(Ⅱ) 由225,1,2,,SA SD AD AB SE EB AB SA =+===⊥知22121,AD =133AE SA AB ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又. 故AD E ∆为等腰三角形.取ED 中点F,连接A F ,则226,3AF D E AF AD D F⊥=-=.连接F G ,则//,FG EC FG DE ⊥.所以,A F G ∠是二面角A D E C --的平面角. 连接AG,AG=2,2263FG D G D F=-=,2221cos 22AF FG AGAFG AF FG+-∠==-,所以,二面角A D E C --的大小为120°.解法二:以D 为坐标原点,射线D A 为x 轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系D xyz -,由,m D E m D C⊥⊥,得m D E⊥=,0m DC⊥=故20,20 111x y zyλλλλλ++==+++.令2x=,则(2,0,)mλ=-.(20)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.(Ⅰ)若2'()1xf x x ax ≤++,求a 的取值范围; (Ⅱ)证明:(1)()0x f x -≥ .【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力,同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想. 【解析】20.解: (Ⅰ)11()ln 1ln x f x x x xλ+'=+-=+,()l n 1x f x x x '=+, 题设2()1xf x x ax '≤++等价于ln x x a -≤.令()ln g x x x =-,则1()1g x x'=-当01x <<,'()0g x >;当1x ≥时,'()0g x ≤,1x =是()g x 的最大值点,()(1)1g x g =-≤ 综上,a 的取值范围是[)1,-+∞.(Ⅱ)有(Ⅰ)知,()(1)1g x g =-≤即ln 10x x -+≤.当01x <<时,()(1)ln 1ln (ln 1)0f x x x x x x x x =+-+=+-+≤; 当1x ≥时,()l n (l n 1f x x x x x =+-+ 1l n (l n 1)x x x x=++- 11ln (ln 1)x x x x=--+0≥所以(1)()0x f x -≥(21)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D . (Ⅰ)证明:点F 在直线BD 上;(Ⅱ)设89F A F B = ,求B D K ∆的内切圆M 的方程 .【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题,主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系,直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力,同时考查了数形结合思想、设而不求思想.【解析】(21)解:设11(,)A x y ,22(,)B x y ,11(,)D x y -,l 的方程为1(0)x my m =-≠.(Ⅱ)由①知,21212(1)(1)42x x m y m y m +=-+-=- 1212(1)(1) 1.x x m y m y =--=因为 11(1,),FA x y =-uu r 22(1,)FB x y =-uur,212121212(1)(1)()1484FA FB x x y y x x x x m ⋅=--+=-+++=-uu r uur故 28849m -=,解得 43m =±所以l 的方程为3430,343x y x y ++=-+=又由①知 2214(4)4473y y m -=±-⨯=±故直线BD 的斜率21437y y =±-,因而直线BD 的方程为3730,3730.x y x y +-=--=因为KF 为BK D ∠的平分线,故可设圆心(,0)(11)M t t -<<,(,0)M t 到l 及BD 的距离分别为3131,54t t +-. 由313154t t +-=得19t =,或9t =(舍去),故 圆M 的半径31253t r +==.所以圆M 的方程为2214()99x y -+=.(22)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 已知数列{}n a 中,1111,n na a c a +==-.(Ⅰ)设51,22n n c b a ==-,求数列{}n b 的通项公式;(Ⅱ)求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能,同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查. 【解析】(Ⅱ)12211,1, 2.a a c a a c ==->>由得 用数学归纳法证明:当2c >时1n n a a +<. (ⅰ)当1n =时,2111a c a a =->,命题成立;。
函数模型及其应用
函数模型及其应用‖知识梳理‖1.几种常见的函数模型| 微点提醒|1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢.2.充分理解题意,并熟悉掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性.‖易错辨析‖判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)(1)幂函数增长比一次函数增长更快.(×)(2)在(0,+∞)内,随着x的增大,y=a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度.(√)(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题.(√)(4)不存在x0,使ax0<x n0<log a x0.(×)‖自主测评‖1.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据,它最可能的函数模型是()x 4 5 6 7 8 9 10 y15171921232527A.一次函数模型 C .指数函数模型D .对数函数模型解析:选A 根据已知数据可知,自变量每增加1,函数值增加2,因此函数值的增量是均匀的,故为一次函数模型.2.(教材改编题)一根蜡烛长20 cm ,点燃后每小时燃烧5 cm ,燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为图中的( )答案:B3.生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )=12x 2+2x +20(万元).一万件售价是20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为( ) A .36万件 B .18万件 C .22万件D .9万件解析:选B 设利润为L (x ),则利润L (x )=20x -C (x )=-12(x -18)2+142,当x =18时,L (x )有最大值.4.某城市客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100 km ,票价是0.5元/km ,如果超过100 km ,超过100 km 的部分按0.4元/km 定价,则客运票价y (元)与行驶千米数x (km)之间的函数关系式是________.解析:由题意可得y =⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ,0<x ≤100,0.4x +10,x >100.答案:y =⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ,0<x ≤100,0.4x +10,x >1005.(教材改编题)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x 为8万元时,奖励1万元.销售额x 为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y =a log 4x +b .某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为________万元.解析:依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a log 48+b =1,a log 464+b =4,即⎩⎪⎨⎪⎧32a +b =1,3a +b =4,解得a =2,b =-2. 所以y =2log 4x -2,当y =8时,即2log 4x -2=8. x =1 024(万元) 答案:1 024…………考点一 函数模型的选择…………………|自主练透型|……………|典题练全|1.下表是在某个投资方案中,整理到的投入资金x (万元)与收益y (万元)的统计表.投入资金x (万元) 1 2 3 4 5 6 收益y (万元)0.40.81.63.16.212.3A .y =ax +bB .y =a ·b xC .y =ax 2+bx +cD .y =b log a x +c解析:选B 画出大致散点图如图所示,根据散点图可知选B.2.某研究所对人体在成长过程中,年龄与身高的关系进行研究,根据统计,某地区未成年人,从1岁到16岁的年龄x (岁)与身高y (米)的散点图如图,则该关系较适宜的函数模型为( )A .y =ax +bB .y =a +log b xC .y =a ·b xD .y =ax 2+b解析:选B 根据散点图可知,较适宜的函数模型为y =a +log b x ,故选B.3.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t )的影响。
函数模型及其应用
函数模型及其应用1.几类函数模型2.三种函数模型的性质概念方法微思考请用框图概括解函数应用题的一般步骤. 提示 解函数应用题的步骤题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.( × )(2)函数y =2x 的函数值比y =x 2的函数值大.( × ) (3)不存在x 0,使0xa <x n 0<log a x 0.( × )(4)“指数爆炸”是指数型函数y =a ·b x +c (a ≠0,b >0,b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( × )题组二 教材改编2.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中错误的是( )A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元 答案 D解析 由题图可知,收入最高值为90万元,收入最低值为30万元,其比是3∶1,故A 正确;由题图可知,7月份的结余最高,为80-20=60(万元),故B 正确;由题图可知,1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同,故C 正确;由题图可知,前6个月的平均收入为16×(40+60+30+30+50+60)=45(万元),故D 错误.3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )=12x 2+2x +20(万元).一万件售价为20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为 万件. 答案 18解析 利润L (x )=20x -C (x )=-12(x -18)2+142,当x =18时,L (x )有最大值.4.用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为 . 答案 3解析 设隔墙的长度为x (0<x <6),矩形面积为y , 则y =x ×24-4x2=2x (6-x )=-2(x -3)2+18,∴当x =3时,y 最大.5.一枚炮弹被发射后,其升空高度h 与时间t 的函数关系为h =130t -5t 2,则该函数的定义域是 . 答案 [0,26]解析 令h ≥0,解得0≤t ≤26,故所求定义域为[0,26]. 题组三 易错自纠6.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为 . 答案(p +1)(q +1)-1解析 设年平均增长率为x ,则(1+x )2=(1+p )(1+q ), ∴x =(1+p )(1+q )-1.7.已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y =a log 3(x +1),设这种动物第2年有100只,到第8年它们发展到 只. 答案 200解析 由题意知100=a log 3(2+1),∴a =100, ∴y =100log 3(x +1).当x =8时,y =100log 39=200.题型一 用函数图像刻画变化过程1.高为H ,满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出,若鱼缸水深为h 时水的体积为v ,则函数v =f (h )的大致图像是( )答案 B解析v=f(h)是增函数,且曲线的斜率应该是先变大后变小,故选B.2.设甲、乙两地的距离为a(a>0),小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为()答案 D解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移,故排除A,C.又因为小王在乙地休息10分钟,故排除B,故选D.3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析根据图像所给数据,逐个验证选项.根据图像知,当行驶速度大于40千米/时时,消耗1升汽油,乙车最多行驶里程大于5千米,故选项A错;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故选项B错;甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效率为10千米/升,行驶1小时,里程为80千米,消耗8升汽油,故选项C 错;最高限速80千米/时,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项D 对. 思维升华 判断函数图像与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图像. (2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图像的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案. 题型二 已知函数模型的实际问题例1 (1)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p 与加工时间t (单位:分钟)满足函数关系p =at 2+bt +c (a ,b ,c 是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为 分钟.答案 3.75解析 根据图表,把(t ,p )的三组数据(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)分别代入函数关系式, 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7=9a +3b +c ,0.8=16a +4b +c ,0.5=25a +5b +c ,消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a +b =0.1,9a +b =-0.3,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-0.2,b =1.5,c =-2.所以p =-0.2t 2+1.5t -2=-15⎝⎛⎭⎫t 2-152t +22516+4516-2=-15⎝⎛⎭⎫t -1542+1316,所以当t =154=3.75时,p 取得最大值,即最佳加工时间为3.75分钟.(2)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品,若该商品零售价定为p 元,销售量为Q 件,则销售量Q (单位:件)与零售价p (单位:元)有如下关系:Q =8 300-170p -p 2,则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)( ) A.30元 B.60元 C.28 000元 D.23 000元答案 D解析设毛利润为L(p)元,则由题意知L(p)=pQ-20Q=Q(p-20)=(8 300-170p-p2)(p-20)=-p3-150p2+11 700p-166 000,所以L′(p)=-3p2-300p+11 700.令L′(p)=0,解得p=30或p=-130(舍去).当p∈(0,30)时,L′(p)>0,当p∈(30,+∞)时,L′(p)<0,故L(p)在p=30时取得极大值,即最大值,且最大值为L(30)=23 000.思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.跟踪训练1(1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位:元)由f(m)=1.06(0.5[m]+1)给出,其中m>0,[m]是不超过m的最大整数(如[3]=3,[3.7]=3,[3.1]=3),则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为元.答案 4.24解析∵m=6.5,∴[m]=6,则f(6.5)=1.06×(0.5×6+1)=4.24.(2)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元,并且每生产一单位产品,成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数,K(Q)=40Q-120Q2,则总利润L(Q)的最大值是万元. 答案 2 500解析L(Q)=40Q-120Q 2-10Q-2 000=-120Q2+30Q-2 000=-120(Q-300)2+2 500.则当Q=300时,L(Q)的最大值为2 500万元.题型三构建函数模型的实际问题命题点1构造一次函数、二次函数模型例2(1)某航空公司规定,乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图像确定,那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.答案 19解析 由图像可求得一次函数的解析式为y =30x -570,令30x -570=0,解得x =19. (2)在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据,现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )A.y =2x -2B.y =12(x 2-1)C.y =log 2xD.y =12log x答案 B解析 由题中表可知函数在(0,+∞)上是增函数,且y 的变化随x 的增大而增大的越来越快,分析选项可知B 符合,故选B.命题点2 构造指数函数、对数函数模型例3 一片森林原来面积为a ,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? 解 (1)设每年降低的百分比为x (0<x <1), 则a (1-x )10=12a ,即(1-x )10=12,解得x =1-11012⎛⎫⎪⎝⎭. (2)设经过m 年剩余面积为原来的22, 则a (1-x )m =22a ,即1012m ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1212⎛⎫ ⎪⎝⎭,即m 10=12,解得m =5. 故到今年为止,该森林已砍伐了5年. 引申探究若本例的条件不变,试计算:今后最多还能砍伐多少年? 解 设从今年开始,以后砍了n 年, 则n 年后剩余面积为22a (1-x )n . 令22a (1-x )n ≥14a ,即(1-x )n ≥24, 1012n ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥3212⎛⎫⎪⎝⎭,即n 10≤32,解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年. 命题点3 构造y =x +ax(a >0)型函数例4 (1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y (万元)与营运年数x 的关系如图所示(抛物线的一段),则为使其营运年平均利润最大,每辆客车营运年数为.答案 5解析 根据图像求得y =-(x -6)2+11, ∴年平均利润yx=12-⎝⎛⎭⎫x +25x , ∵x +25x ≥10,当且仅当x =5时等号成立.∴要使平均利润最大,客车营运年数为5.(2)某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9 3 平方米,且高度不低于 3 米.记防洪堤横断面的腰长为x 米,外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小),则防洪堤的腰长x =米.答案 2 3解析 由题意可得BC =18x -x2(2≤x <6),∴y =18x +3x 2≥218x ×3x2=6 3. 当且仅当18x =3x2(2≤x <6),即x =23时等号成立.命题点4 构造分段函数模型例5 已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元,每生产1万只还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万只并全部销售完,每万只的销售收入为R (x )万美元,且R (x )=⎩⎪⎨⎪⎧400-6x ,0<x ≤40,7 400x-40 000x 2,x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万只)的函数解析式;(2)当年产量为多少万只时,该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大?并求出最大年利润.解 (1)当0<x ≤40时,W =xR (x )-(16x +40)=-6x 2+384x -40, 当x >40时,W =xR (x )-(16x +40)=-40 000x -16x +7 360.所以W =⎩⎪⎨⎪⎧-6x 2+384x -40,0<x ≤40,-40 000x -16x +7 360,x >40.(2)①当0<x ≤40时,W =-6(x -32)2+6 104, 所以W max =W (32)=6 104;②当x >40时,W =-40 000x -16x +7 360,由于40 000x+16x ≥240 000x×16x =1 600, 当且仅当40 000x =16x ,即x =50∈(40,+∞)时,取等号,所以W 取最大值5 760.综合①②,当年产量为32万只时,W 取最大值6 104万美元.思维升华 构建数学模型解决实际问题,要正确理解题意,分清条件和结论,理顺数量关系,将文字语言转化成数学语言,建立适当的函数模型,求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.跟踪训练2 (1)某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少13,至少应过滤 次才能达到市场要求.(参考数据:lg2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) 答案 8解析 设至少过滤n 次才能达到市场要求, 则2%⎝⎛⎭⎫1-13n ≤0.1%,即⎝⎛⎭⎫23n ≤120, 所以n lg 23≤-1-lg 2,所以n ≥7.39,所以n =8.(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店,经过预算,该门面需要装修费为20 000元,每天需要房租、水电等费用100元,受经营信誉度、销售季节等因素的影响,专卖店销售总收益R (元)与门面经营天数x 的关系是R (x )=⎩⎪⎨⎪⎧400x -12x 2,0≤x ≤400,80 000,x >400,则当总利润最大时,该门面经营的天数是 . 答案 300解析 由题意,总利润y =⎩⎪⎨⎪⎧400x -12x 2-100x -20 000,0≤x ≤400,60 000-100x ,x >400, 当0≤x ≤400时,y =-12(x -300)2+25 000,所以当x =300时,y max =25 000; 当x >400时,y =60 000-100x <20 000.综上,当门面经营的天数为300时,总利润最大为25 000元.用数学模型求解实际问题数学抽象是指舍去事物的一切物理属性,得到数学研究对象的思维过程,主要包括从数量,图形关系中抽象出数学概念,并且用数学符号和术语予以表征.例 (1)调查表明,酒后驾驶是导致交通事故的主要原因,交通法规规定,驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg /mL.某人喝酒后,其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL ,在停止喝酒后,血液中酒精含量以每小时50%的速度减少,则至少经过 小时他才可以驾驶机动车.(精确到小时) 答案 4解析 设n 小时后他才可以驾驶机动车,由题意得3(1-0.5)n ≤0.2,即2n ≥15,故至少经过4小时他才可以驾驶机动车.(2)已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓房能全部租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子不能出租.设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用),则要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为 元. 答案 3 300解析 设利润为y 元,租金定为3 000+50x (0≤x ≤70,x ∈N )元.则y =(3 000+50x )(70-x )-100(70-x )=(2 900+50x )(70-x )=50(58+x )(70-x )≤50⎝⎛⎭⎫58+x +70-x 22,当且仅当58+x =70-x ,即x =6时,等号成立,故每月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润.素养提升 例题中通过用字母表示变量,将酒后驾车时间抽象为不等式问题,将租房最大利润抽象为函数的最值问题.1.某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图像正确的是( )答案 A解析 前3年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有A ,C 图像符合要求,而后3年年产量保持不变,故选A.2.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程. 在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为( )A.6升B.8升C.10升D.12升 答案 B解析 5月1日到5月15日,汽车行驶了35 600-35 000=600(千米),实际耗油48升,所以该车每100千米平均耗油量为486=8(升).3.将进货单价为80元的商品按90元一个出售时,能卖出400个,已知这种商品每涨价1元,其销售量就要减少20个,为了赚得最大利润,每个售价应定为( ) A.85元 B.90元 C.95元 D.100元答案 C解析 设每个售价定为x 元,则利润y =(x -80)[400-(x -90)·20]=-20·[(x -95)2-225],∴当x =95时,y 最大.4.国家规定某行业征税如下:年收入在280万元及以下的税率为p %,超过280万元的部分按(p +2)%征税,有一公司的实际缴税比例为(p +0.25)%,则该公司的年收入是( ) A.560万元 B.420万元 C.350万元 D.320万元 答案 D解析 设该公司的年收入为x 万元(x >280), 则有280×p %+(x -280)(p +2)%x =(p +0.25)%,解得x =320.故该公司的年收入为320万元.5.某大型民企为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该民企2016年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)( ) A.2017年 B.2018年 C.2019年 D.2020年 答案 D解析 设从2016年起,过了n (n ∈N +)年该民企全年投入的研发资金超过200万元,则130×(1+12%)n ≥200,则n ≥lg2013lg 1.12≈0.30-0.110.05=3.8,由题意取n =4,则n +2 016=2 020.故选D.6.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超过10 m 3的,按每立方米m 元收费;用水超过10 m 3的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m 元,则该职工这个月实际用水为( ) A.13 m 3 B.14 m 3 C.18 m 3D.26 m 3答案 A解析 设该职工用水x m 3时,缴纳的水费为y 元,由题意得y =⎩⎪⎨⎪⎧mx ,0<x ≤10,10m +(x -10)·2m ,x >10,则10m +(x -10)·2m =16m ,解得x =13.7.某食品的保鲜时间y (单位:小时)与储藏温度x (单位:℃)满足函数关系y =e kx +b (e =2.718…为自然对数的底数,k ,b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是 小时. 答案 24解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b=192,e 22k +b =48,∴e 22k =48192=14,∴e 11k =12,∴x =33时,y =e 33k +b =(e 11k )3·e b =⎝⎛⎭⎫123·192=18×192=24(小时). 8.某人根据经验绘制了2018年春节前后,从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图像,如图所示,则此人在12月26日大约卖出了西红柿 千克.答案1909解析 前10天满足一次函数关系,设为y =kx +b (k ≠0),将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10=k +b ,30=10k +b ,解得k =209,b =709,所以y =209x +709,则当x =6时,y =1909.9.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x 为 m.答案 20解析 设内接矩形另一边长为y m ,则由相似三角形性质可得x 40=40-y40,解得y =40-x ,所以面积S =x (40-x )=-x 2+40x =-(x -20)2+400(0<x <40), 所以当x =20时,S max =400.10.“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R =a A (a 为常数),广告效应为D =a A -A .那么精明的商人为了取得最大的广告效应,投入的广告费应为 .(用常数a 表示) 答案 14a 2解析 令t =A (t ≥0),则A =t 2, ∴D =at -t 2=-⎝⎛⎭⎫t -12a 2+14a 2, ∴当t =12a ,即A =14a 2时,D 取得最大值.11.某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资,假设以v km/h 的速度直达灾区,已知某市到灾区公路线长400 km ,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v202 km ,那么这批物资全部到达灾区的最少时间是 h.(车身长度不计) 答案 12解析 设全部物资到达灾区所需时间为t h ,由题意可知,t 相当于最后一辆车行驶了⎣⎡⎦⎤36×⎝⎛⎭⎫v 202+400 km 所用的时间,因此,t =36×⎝⎛⎭⎫v 202+400v ≥12, 当且仅当36v 400=400v ,即v =2003时取“=”.故这些汽车以2003km/h 的速度匀速行驶时,所需时间最少,最少时间为12 h.12.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比,且比例系数为k ,除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/时时,每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里,当这艘轮船的速度为 海里/时时,总费用最小. 答案 40解析 设每小时的总费用为y 元, 则y =k v 2+96,又当v =10时,k ×102=6,解得k =0.06,所以每小时的总费用y =0.06v 2+96, 匀速行驶10海里所用的时间为10v 小时,故总费用为W =10v y =10v (0.06v 2+96)=0.6v +960v ≥20.6v ×960v =48,当且仅当0.6v =960v , 即v =40时等号成立.故总费用最小时轮船的速度为40海里/时.13.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价a ,最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c =a +x (b -a ).这里,x 被称为乐观系数.经验表明,最佳乐观系数x 恰好使得(c -a )是(b -c )和(b -a )的等比中项.据此可得,最佳乐观系数x = . 答案5-12解析 由题意得x =c -ab -a ,(c -a )2=(b -c )(b -a ),∵b -c =(b -a )-(c -a ), ∴(c -a )2=(b -a )2-(b -a )(c -a ), 两边同除以(b -a )2,得x 2+x -1=0, 解得x =-1±52.∵0<x <1,∴x =5-12. 14.某书商为提高某套丛书的销售量,准备举办一场展销会.据市场调查,当每套丛书售价定为x 元时,销售量可达到(15-0.1x )万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为30元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润=售价-供货价格,问:(1)每套丛书售价定为100元时,书商能获得的总利润是多少万元? (2)每套丛书售价定为多少元时,单套丛书的利润最大?解 (1)每套丛书售价定为100元时,销售量为15-0.1×100=5(万套),此时每套供货价格为30+105=32(元),书商所获得的总利润为5×(100-32)=340(万元).(2)每套丛书售价定为x 元时,由⎩⎪⎨⎪⎧15-0.1x >0,x >0, 解得0<x <150. 依题意,单套丛书利润 P =x -⎝⎛⎭⎫30+1015-0.1x=x -100150-x-30,所以P =-⎣⎡⎦⎤(150-x )+100150-x +120.因为0<x <150, 所以150-x >0, 则(150-x )+100150-x≥2(150-x )·100150-x=2×10=20,当且仅当150-x =100150-x,即x =140时等号成立,此时,P max=-20+120=100.所以每套丛书售价定为140元时,单套丛书的利润最大,最大值为100元.15.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是T 0,经过一定时间t (单位:min)后的温度是T ,则T -T a =(T 0-T a )12th⎛⎫⎪⎝⎭,其中T a 称为环境温度,h 称为半衰期.现有一杯用85 ℃热水冲的速溶咖啡,放在21 ℃的房间中,如果咖啡降到37 ℃需要16 min ,那么这杯咖啡要从37 ℃降到29 ℃,还需要 min. 答案 8解析 由题意知T a =21 ℃. 令T 0=85 ℃,T =37 ℃, 得37-21=(85-21)·1612h⎛⎫⎪⎝⎭,∴h =8. 令T 0=37 ℃,T =29 ℃,则29-21=(37-21)·812t ⎛⎫⎪⎝⎭,∴t =8. 16.某禁毒机构测定,某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出服用毒品后y 与t 之间的函数关系式;(2)据进一步测定,每毫升血液中含毒量不少于0.50微克时会有重度躁动状态,求服用毒品后重度躁动状态的持续时间.解 (1)由题中图像,设y =⎩⎪⎨⎪⎧kt ,0≤t ≤1,⎝⎛⎭⎫12t -a ,t >1.当t =1时,由y =4,得k =4; 由⎝⎛⎭⎫121-a=4,得a =3. 所以y =⎩⎪⎨⎪⎧4t ,0≤t ≤1,⎝⎛⎭⎫12t -3,t >1.(2)由y ≥0.50,得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1,4t ≥0.50或⎩⎪⎨⎪⎧t >1,⎝⎛⎭⎫12t -3≥0.50,解得18≤t ≤4,因此服用毒品后重度躁动状态持续4-18=318(小时).。
2010年高考题(答案)
第一部分 函数的概念及表示方法函数的定义域、值域1.(2010广东文数)2.函数)1lg()(-=x x f 的定义域是A.),2(+∞B. ),1(+∞C. ),1[+∞D. ),2[+∞解:01>-x ,得1>x ,选B.2.(2010湖北文数)5.函数y =的定义域为 A.( 34,1) B(34,∞) C (1,+∞) D. ( 34,1)∪(1,+∞)3.(2010湖北文数)3.已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩,则1(())9f f = A.4 B. 14 C.-4 D-14【答案】B 【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-,则211(())(2)294f f f -=-==, 所以B 正确.4.(2010重庆文数)(4)函数y =(A )[0,)+∞ (B )[0,4](C )[0,4) (D )(0,4)解析:[)40,0164160,4x x >∴≤-< 5.(2010山东文数)(3)函数()()2log 31x f x =+的值域为 A. ()0,+∞ B. )0,+∞⎡⎣ C. ()1,+∞ D. )1,+∞⎡⎣ 答案:A6.(2010天津文数)(10)设函数2()2()g x xx R =-∈,()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是 (A )9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ (B )[0,)+∞ (C )9[,)4-+∞(D )9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法,属于难题。
依题意知22222(4),2()2,2x x x x f x x x x x ⎧-++<-⎪⎨--≥-⎪⎩,222,12()2,12x x x f x x x x ⎧+<->⎪⎨---≤≤⎪⎩或7.(2010浙江理数)(10)设函数的集合211()log (),0,,1;1,0,122P f x x a b a b ⎧⎫==++=-=-⎨⎬⎩⎭,平面上点的集合11(,),0,,1;1,0,122Q x y x y ⎧⎫==-=-⎨⎬⎩⎭,则在同一直角坐标系中,P 中函数()f x 的图象恰好..经过Q 中两个点的函数的个数是 (A )4 (B )6 (C )8 (D )10解析:当a=0,b=0;a=0,b=1;a=21,b=0; a=21,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意,故答案选B ,本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点,对数学素养有较高要求,体现了对能力的考察,属中档题8.(2010陕西文数)13.已知函数f (x )=232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若f (f (0))=4a ,则实数a= 2 .解析:f (0)=2,f (f (0))=f(2)=4+2a=4a ,所以a=29.(2010重庆文数)(12)已知0t >,则函数241t t y t-+=的最小值为____________ . 解析:241142(0)t t y t t t t-+==+-≥-> ,当且仅当1t =时,min 2y =- 10.(2010天津文数)(16)设函数f(x)=x-1x,对任意x [1,∈+∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立,则实数m 的取值范围是________【答案】m<-1【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想,属于难题。
高考数学考点归纳之函数模型及其应用
高考数学考点归纳之函数模型及其应用一、基础知识1.常见的8种函数模型(1)正比例函数模型:f (x )=kx (k 为常数,k ≠0); (2)反比例函数模型:f (x )=kx (k 为常数,k ≠0);(3)一次函数模型:f (x )=kx +b (k ,b 为常数,k ≠0); (4)二次函数模型:f (x )=ax 2+bx +c (a ,b ,c 为常数,a ≠0); (5)指数函数模型:f (x )=ab x +c (a ,b ,c 为常数,a ≠0,b >0,b ≠1); (6)对数函数模型:f (x )=m log a x +n (m ,n ,a 为常数,m ≠0,a >0,a ≠1); (7)幂函数模型:f (x )=ax n +b (a ,b ,n 为常数,a ≠0,n ≠1); (8)“对勾”函数模型:y =x +ax(a >0).(1)形如f (x )=x +ax (a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型,“对勾”函数的性质:①该函数在(-∞,-a ]和[a ,+∞)上单调递增,在[-a ,0)和(0,a ]上单调递减. ②当x >0时,x =a 时取最小值2a ,当x <0时,x =-a 时取最大值-2a .(2)函数f (x )=x a +bx (a >0,b >0,x >0)在区间(0,ab ]内单调递减,在区间[ab ,+∞)内单调递增.2.三种函数模型的性质幂函数模型y =x n (n >0)可以描述增长幅度不同的变化,当n ,值较小(n ≤1)时,增长较慢;当n 值较大(n >1)时,增长较快.考点一 二次函数、分段函数模型[典例] 国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数; (2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?[解] (1)设每团人数为x ,由题意得0<x ≤75(x ∈N *),飞机票价格为y 元,则y =⎩⎪⎨⎪⎧900,0<x ≤30,900-10(x -30),30<x ≤75,即y =⎩⎪⎨⎪⎧900,0<x ≤30,1 200-10x ,30<x ≤75.(2)设旅行社获利S 元,则S =⎩⎪⎨⎪⎧900x -15 000,0<x ≤30,1 200x -10x 2-15 000,30<x ≤75,即S =⎩⎪⎨⎪⎧900x -15 000,0<x ≤30,-10(x -60)2+21 000,30<x ≤75.因为S =900x -15 000在区间(0,30]上为增函数,故当x =30时,S 取最大值12 000. 又S =-10(x -60)2+21 000,x ∈(30,75],所以当x =60时,S 取得最大值21 000. 故当x =60时,旅行社可获得最大利润. [解题技法]二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时,一定要注意自变量的取值范围,需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解.(2)对于分段函数模型的最值问题,应该先求出每一段上的最值,然后比较大小. (3)在利用基本不等式求解最值时,一定要检验等号成立的条件,也可以利用函数单调性求解最值.[题组训练]1.某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧C ,0<x ≤A ,C +B (x -A ),x >A .已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表:若四月份该家庭使用了20 m 3的煤气,则其煤气费为( ) A .11.5元 B .11元 C .10.5元D .10元解析:选A 根据题意可知f (4)=C =4,f (25)=C +B (25-A )=14,f (35)=C +B (35-A )=19,解得A =5,B =12,C =4,所以f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧4,0<x ≤5,4+12(x -5),x >5,所以f (20)=4+12×(20-5)=11.5.2.A ,B 两城相距100 km ,在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ,B 两城供电,为保证城市安全,核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍,若A 城供电量为每月20亿度,B 城供电量为每月10亿度.(1)求x 的取值范围;(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数;(3)核电站建在距A 城多远,才能使月供电总费用y 最少? 解:(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]. (2)y =5x 2+52(100-x )2(10≤x ≤90).(3)因为y =5x 2+52(100-x )2=152x 2-500x +25 000 =152⎝⎛⎭⎫x -10032+50 0003, 所以当x =1003时,y min =50 0003.故核电站建在距A 城1003 km 处,能使月供电总费用y 最少.考点二 指数函数、对数函数模型[典例] 某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y =f (t );(2)据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效,求服药一次后治疗疾病有效的时间.[解] (1)由题图,设y =⎩⎪⎨⎪⎧kt ,0≤t ≤1,⎝⎛⎭⎫12t -a ,t >1,当t =1时,由y =4,得k =4,由⎝⎛⎭⎫121-a =4,得a =3.所以y =⎩⎪⎨⎪⎧ 4t ,0≤t ≤1,⎝⎛⎭⎫12t -3,t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1,4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t >1,⎝⎛⎭⎫12t -3≥0.25,解得116≤t ≤5.故服药一次后治疗疾病有效的时间是5-116=7916(小时).[解题技法]1.掌握2种函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题,在求解时,要先学会合理选择模型,在三类模型中,指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型,与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时,一般先需要通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图象求解最值问题,必要时可借助导数.2.建立函数模型解应用问题的4步骤(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型. (2)建模:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识建立相应的数学模型. (3)求模:求解数学模型,得出数学结论.(4)还原:将利用数学知识和方法得出的结论,还原到实际问题中. [题组训练]1.某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%),又经历了n 次跌停(每次下跌10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A .略有盈利B .略有亏损C .没有盈利也没有亏损D .无法判断盈亏情况解析:选B 设该股民购进这支股票的价格为a 元,则经历n 次涨停后的价格为a (1+10%)n =a ×1.1n 元,经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1-10%)n =a ×1.1n ×0.9n =a ×(1.1×0.9)n =0.99n ·a <a ,故该股民这支股票略有亏损.2.声强级Y (单位:分贝)由公式Y =10lg ⎝⎛⎭⎫I10-12给出,其中I 为声强(单位:W/m 2).(1)平常人交谈时的声强约为10-6 W/m 2,求其声强级.(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声强为多少? 解:(1)当声强为10-6 W/m 2时, 由公式Y =10lg ⎝⎛⎭⎫I10-12,得Y =10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫10-610-12=10lg 106=60(分贝). (2)当Y =0时,由公式Y =10lg ⎝⎛⎭⎫I10-12,得10lg ⎝⎛⎭⎫I10-12=0.∴I 10-12=1,即I =10-12W/m 2, 则最低声强为10-12W/m 2.[课时跟踪检测]1.(2018·福州期末)某商场销售A 型商品.已知该商品的进价是每件3元,且销售单价与日均销售量的关系如下表所示:请根据以上数据分析,要使该商品的日均销售利润最大,则此商品的定价(单位:元/件)应为( )A .4B .5.5C .8.5D .10解析:选C 由数据分析可知,当单价为4元时销售量为400件,单价每增加1元,销售量就减少40件.设定价为x 元/件时,日均销售利润为y 元,则y =(x -3)·[400-(x -4)·40]=-40⎝⎛⎭⎫x -1722+1 210,故当x =172=8.5时,该商品的日均销售利润最大,故选C. 2.(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水,作出如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米3元收费;用水超过10立方米的,超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月的水费为55元,则该职工这个月实际用水为( ) A .13立方米 B .14立方米 C .15立方米D .16立方米解析:选C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时,水费为y 元,由题意得y =⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ,0≤x ≤10,30+5(x -10),x >10,即y =⎩⎪⎨⎪⎧3x ,0≤x ≤10,5x -20,x >10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米,所以5x -20=55,解得x =15.3.利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间,年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y =x 210-30x +4 000,则每吨的成本最低时的年产量为( )A .240吨B .200吨C .180吨D .160吨解析:选B 依题意,得每吨的成本为y x =x 10+4 000x -30,则yx ≥2x 10 ·4 000x-30=10,当且仅当x 10=4 000x ,即x =200时取等号,因此,当每吨成本最低时,年产量为200吨.4.某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位:毫克/升)与过滤时间t (单位:时)之间的函数关系为P =P 0e -kt (k ,P 0均为正常数).如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%,那么排放前至少还需要过滤的时间是( )A.12小时 B.59小时C .5小时D .10小时解析:选C 由题意,前5个小时消除了90%的污染物. ∵P =P 0e -kt , ∴(1-90%)P 0=P 0e -5k,∴0.1=e-5k,即-5k =ln 0.1,∴k =-15ln 0.1.由1%P 0=P 0e -kt ,即0.01=e -kt ,得-kt =ln 0.01, ∴⎝⎛⎭⎫15ln 0.1t =ln 0.01,∴t =10. ∴排放前至少还需要过滤的时间为t -5=5(时).5.(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位:只)与时间x (单位:年)的关系式为y =a log 2(x +1),若这种动物第1年有100只,则到第7年它们发展到________只.解析:由题意,得100=a log 2(1+1),解得a =100,所以y =100log 2(x +1),当x =7时,y =100log 2(7+1)=300,故到第7年它们发展到300只.答案:3006.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示,则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克.解析:前10天满足一次函数关系,设为y =kx +b ,将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10=k +b ,30=10k +b ,解得k =209,b =709,所以y =209x +709,则当x =6时,y =1909.答案:19097.候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v (单位:m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为:v =a +b log 3Q10(其中a ,b 是实数).据统计,该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位,而其耗氧量为90个单位时,其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ,b 的值;(2)若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s ,求其耗氧量至少要多少个单位? 解:(1)由题意可知,当这种鸟类静止时,它的速度为0 m/s ,此时耗氧量为30个单位, 故有a +b log 33010=0,即a +b =0.当耗氧量为90个单位时,速度为1 m/s , 故a +b log 39010=1,整理得a +2b =1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a +b =0,a +2b =1,得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =1.(2)由(1)知,v =a +b log 3Q 10=-1+log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ,则有v ≥2, 所以-1+log 3Q10≥2,即log 3Q 10≥3,解得Q10≥27,即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程,飞行的速度不能低于2 m/s ,则其耗氧量至少要270个单位. 8.据气象中心观察和预测:发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动,其移动速度v (单位:km/h)与时间t (单位:h)的函数图象如图所示,过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ,梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位:km).(1)当t =4时,求s 的值;(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来;(3)若N 城位于M 地正南方向,且距M 地650 km ,试判断这场台风是否会侵袭到N 城,如果会,在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城?如果不会,请说明理由.解:(1)由图象可知,直线OA 的方程是v =3t (0≤t ≤10),直线BC 的方程是v =-2t +70(20<t ≤35).当t =4时,v =12,所以s =12×4×12=24.(2)当0≤t ≤10时,s =12×t ×3t =32t 2;当10<t ≤20时,s =12×10×30+(t -10)×30=30t -150;当20<t ≤35时,s =150+300+12×(t -20)×(-2t +70+30)=-t 2+70t -550.综上可知,s 随t 变化的规律是s =⎩⎪⎨⎪⎧32t 2,t ∈[0,10],30t -150,t ∈(10,20],-t 2+70t -550,t ∈(20,35].(3)当t ∈[0,10]时,s max =32×102=150<650,当t ∈(10,20]时,s max =30×20-150=450<650,当t∈(20,35]时,令-t2+70t-550=650,解得t=30或t=40(舍去),即在台风发生30小时后将侵袭到N城.。
高考数学初等函数知识点:函数模型及其应用
高考数学初等函数知识点:函数模型及其应用第1篇:高考数学初等函数知识点:函数模型及其应用导语:常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等,下面就由小编为大家带来高考数学初等函数知识点:函数模型及其应用,大家一起去看看怎么做吧!1.我们目前已学习了以下几种函数:一次函数y=kx+b(k≠0),二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),指数函数y=ax(a>0且a≠1),对数函数y=logax(a>0且a≠1),幂函数y=xa(a为常数)2.用已知函数模型解决实际问题的基本步骤:第一步,审清题意,设立变量;第二步,根据所给模型,列出函数关系式;第三步,利用函数关系求解;第四步,再将所得结论转译成具体问题的解答.3.在处理曲线拟合与预测的问题时,通常需要以下几个步骤:(1)能够根据原始数据、表格、绘出散点图;(2)通过考查散点图,画出“最贴近”的曲线,即拟合曲线;(3)根据所学函数知识,求出拟合曲线的函数解析式;(4)利用函数关系,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.4.解疑释惑(1)怎样理解“数学建模”和实际问题的关系?一般来说,对问题进行修改和简化,形成一种比较精确和简洁的表述,这时可称之为“实际模型”,它和“实际原形”不同,因为它被简化了,不是实际问题所有方面都得到了体现.而是在得到一个“实际模型”之后,再用数学符号和表达式来代替实际问题中的变量和关系,得到的结果是一个“数学模型”. (2)怎样才能搞好“数学建模”?在“数学建模”中要把握好下列几个问题:1理解问题:阅读理解,读懂文字叙述,认真审题,理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义,设法用数学语言来描述问题.2数学建模:把握新信息,勇于探索,善于联想,灵活化归,根据题意建立变量或参数间的数学关系,实现实际问题数学化,引进数学符号,构建数学模型,常用的数学模型有方程、不等式、函数.3求解模型:以所学的数学*质为工具对建立的数学模型进行求解.○4检验模型:将所求的结果代回模型中检验,对模拟的结果与实际情形比较,以确定模型的有效*,如果不满意,要考虑重新建模.5评价与应用:如果模型与实际情形比较吻合,要对计算的结果作出解释并给出其实际意义,最后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入,则要对模型改进,并重复上述步骤.(3)“数学建模”中要注意什么问题?1有的应用题文字叙述冗长,或者选择的知识背景较为陌生,处理时,要注意认真、耐心地阅读和理解题意.2解决函数应用题时要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系,寻找已知量与未知量之间的内在联系,然后将这些内在联系与数学知识联想,建立函数关系式或列出方程,利用函数*质或方程观点来求解,则可使应用题化生为熟,尽快得到解决.5.规律总结(1)如果实际问题中的规律很难用一个统一的关系式表示,可考虑用分段函数来表示它.另外,在实际问题的计算中应注意统一单位.(2)分类讨论建立函数模型在实际问题中较为常见,应引起充分注意.(3)建立“数学模型”常用的分析方法:(1)关系分析法:即通过寻找关键词和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法.(2)列表分析法:即通过列表的方式探索问题的数学模型的方法.(3)图象分析法:即通过对图象中的数量关系分析来建立问题的数学模型的方法.第2篇:高一数学函数模型及其应用知识点函数部分的知识最主要的是怎样运用,在考试中考察的也是应用及模型,因此掌握数学函数模型及其应用知识点是掌握本课内容的基础,希望大家可以认真学习。
高考数学考点总复习第讲函数模型及其应用
【解析】 (1)因为 f(x)=p·qx 是单调函数,f(x)=logqx+ p 也是单调函数,而 f(x)=(x-1)(x-q)2+p 中 f ′(x)=3x2 -(4q+2)x+q2+2q.
了解指数函数、对数函数、幂函数、 分段函数等函数模型的意义,并能 建立简单的数学模型,利用这些知 识解决应用问题.
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型, 不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述. 那么,面临一个实际问题,应当如何选择恰当 的函数模型来刻画它呢?事实上,要顺利地建 立函数模型,首先要深刻理解基本函数的图象 和性质,熟练掌握基本函数和常用函数的特点, 并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识. 一般而言,有以下8种函数模型:
【解析】 将各组数据代入验证,选 B.
3.某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入客运,
据市场分析,每辆客车营运的总利润 y 万元与营运年数 x (x
∈N*)的关系为 y=-x2+12x-25,则为使其营运年平均利润
最大,每辆客车营运年数为(
)
A.2
B.4
C.5
D.6
【解析】 平均利润y=-x2+12x-25
综上可得,当年销售额 x 在[16,100](万元)内时,y
∈[4,10](万元).
【点评】已知函数模型问题应根据题中条件找准对应量, 列出函数解析式;再转化为给定定义域上的“给值求值、 给定范围求范围或最值”问题,对自变量的分类很重要!
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某地区的一种特色水果上市时间能持续 5 个月,预测 上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势,而 中期又将出现供大于求使价格连续下跌,现有三种价格模 拟函数:f(x)=p·qx,f(x)=logqx+p,f(x)=(x-1)(x-q)2+ p(以上三式中 p,q 均为常数,且 q>2).
2010-2019年高考数学《函数与方程》真题汇总(含答案)
专题二 函数概念与基本初等函数Ⅰ第五讲 函数与方程2019年2019年1.(2019全国Ⅲ文5)函数()2sin sin2f x x x =-在[0,2π]的零点个数为 A .2B .3C .4D .52.(2019天津文8)(8)已知函数01,()1, 1.x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩剟若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解,则a 的取值范围为(A )59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦(B )59,44⎛⎤⎥⎝⎦(C )59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦U(D )59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦U3.(2019江苏14)设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数,()f x 的周期为4,()g x 的周期为2,且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时,()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩,其中k >0.若在区间(0,9]上,关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根,则k 的取值范围是 .2010-2018年一、选择题1.(2017新课标Ⅲ)已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点,则a =A .12-B .13C .12D .1 2.(2017山东)设1()2(1),1x f x x x <<=-⎪⎩≥,若()(1)f a f a =+,则1()f a =A .2B .4C .6D .83.(2015安徽)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是A .y cos x =B .y sin x =C .y ln x =D .21y x =+ 4.(2015天津)已知函数22||,2()(2),2x x f x x x -⎧=⎨->⎩≤,函数()3(2)g x f x =--,则函数 y ()()f x g x =-的零点的个数为A .2B .3C .4D .55.(2015陕西)对二次函数2()f x ax bx c =++(a 为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是 A .-1是()f x 的零点 B .1是()f x 的极值点 C .3是()f x 的极值 D .点(2,8)在曲线()y f x =上6.(2014山东)已知函数()12+-=x x f ,()kx x g =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是(A )),(210 (B )),(121(C )),(21 (D )),(∞+27.(2014北京)已知函数()26log f x x x=-,在下列区间中,包含()f x 零点的区间是 (A )()0,1 (B )()1,2 (C )()2,4 (D )()4,+∞8.(2014重庆)已知函数13,(1,0]()1,(0,1]x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩,且()()g x f x mx m =--在(1,1]-内有且仅有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是(A )91(,2](0,]42--U (B )111(,2](0,]42--U (C )92(,2](0,]43--U (D )112(,2](0,]43--U9.(2014湖北)已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,2()=3f x x x -.则函数()()+3g x f x x =-的零点的集合为(A ){1,3} (B ){3,1,1,3}-- (C){23} (D){21,3}- 10.(2013安徽)已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ,若11()f x x =<2x ,则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为(A )3 (B) 4 (C )5 (D )611.(2013重庆)若a b c <<,则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间(A )(),a b 和(),b c 内 (B )(),a -∞和(),a b 内 (C )(),b c 和(),c +∞内 (D )(),a -∞和(),c +∞内12.(2013湖南)函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图象的交点个数为(A )3 (B )2 (C )1 (D )0 13.(2013天津)函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A )1 (B )2 (C )3 (D )4 14.(2012北京)函数121()()2xf x x =-的零点个数为(A )0 (B )1 (C )2 (D )3 15.(2012湖北)函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为(A )4 (B )5 (C )6 (D )716.(2012辽宁)设函数()f x ()x R ∈满足()()f x f x -=,()(2)f x f x =-,且当[]0,1x ∈时,3()f x x =.又函数()|cos()|g x x x π=,则函数()()()h x g x f x =-在13[,]22-上的零点个数为(A )5 (B )6 (C )7 (D )8 17.(2011天津)对实数a 与b ,定义新运算“⊗”:,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩,设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是 (A )(]3,21,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭U (B )(]3,21,4⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭U(C )11,,44⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭U (D )311,,44⎛⎫⎡⎫--+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭U18.(2011福建)若关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是(A )(-1,1) (B )(-2,2)(C )(-∞,-2)∪(2,+∞) (D )(-∞,-1)∪(1,+∞) 19.(2011全国新课标)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于(A )2 (B )4 (C )6 (D )820. (2011山东)已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数,且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为(A )6 (B )7 (C )8 (D )921.(2010年福建)函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-=⎨-+>⎩≤,的零点个数为(A )0 (B )1 (C )2 (D )3 22.(2010天津)函数()23xf x x =+的零点所在的一个区间是(A )(-2,-1) (B )(-1,0) (C )(0,1) (D )(1,2) 23.(2010广东)“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=有实数解”的 (A )充分非必要条件 (B )充分必要条件 (C )必要非充分条件 (D )非充分非必要条件24.(2010浙江)设函数()4sin(21)f x x x =+-,则在下列区间中函数()f x 不.存在零点的是(A )[]4,2-- (B )[]2,0- (C )[]0,2 (D )[]2,4 二、填空题25.(2018江苏)若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 .26.(2018浙江)已知λ∈R ,函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩≥,当2λ=时,不等式()0f x <的解集是______.若函数()f x 恰有2个零点,则λ的取值范围是____.27.(2017江苏)设()f x 是定义在R 且周期为1的函数,在区间[0,1)上,2,(),x x Df x x x D⎧∈=⎨∉⎩其中集合1{|,}n D x x n n-==∈*N ,则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 . 28.(2016山东)已知函数()f x =2,,24,,x x m x mx m x m ⎧≤⎪⎨-+>⎪⎩其中0m >.若存在实数b ,使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根,则m 的取值范围是_______.29.(2016年天津)已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<⎪=>≠⎨++≥⎪⎩且在R 上单调递减,且关于x 的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解,则a 的取值范围是_______. 30.(2016年浙江)设函数32()31f x x x =++.已知0a ≠,且()()f x f a -=2()()x b x a --,x ∈R ,则实数a =_____,b =______.31.(2015福建)若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点,且a ,b ,2-这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p q +的值等于 .32.(2015湖北)函数2()2sin sin()2f x x x x π=+-的零点个数为 .33.(2015湖南)若函数()|22|xf x b =--有两个零点,则实数b 的取值范围是 . 34.(2014江苏)已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,|212|)(2+-=x x x f .若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 .35.(2014福建)函数22,0()26ln ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是_________.36.(2014天津)已知函数2()3f x x x =+,x R Î.若方程()10f x a x --=恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为__________.37.(2012福建)对于实数a和b,定义运算“*”:22,,,,a ab a ba bb ab a b⎧-*=⎨->⎩…设()f x=(21)(1)x x-*-,且关于x的方程为()f x m=(m∈R)恰有三个互不相等的实数根123,,x x x,则123x x x的取值范围是____________.38.(2011北京)已知函数32,2()(1),2xf x xx x⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩,若关于x的方程()f x=k有两个不同的实根,则数k的取值范围是_______.39.(2011辽宁)已知函数axexf x+-=2)(有零点,则a的取值范围是______.答案部分2019年1.解析解法一:函数()2sin sin2f x x x=-在[]0,2π的零点个数,即2sin sin20x x-=在区间[]0,2π的根个数,即2sin sin2x x=,令()2sinh x x=和()sin2g x x=,作出两函数在区间[]0,2π的图像如图所示,由图可知,()2sinh x x=和()sin2g x x=在区间[]0,2π的图像的交点个数为3个.故选B.解法二:因为()()[]2sin sin22sin1cos,0,2πf x x x x x x=-=-∈,令()0f x=,得()2sin1cos0x x-=,即sin0x=或1cos0x-=,解得0,π,2πx=. 所以()2sin sin2f x x x=-在[]0,2π的零点个数为3个. 故选B.2.解析作出函数()2,011,1x xf xxx⎧⎪=⎨>⎪⎩剟的图像,以及直线14y x=-的图像,如图所示. 关于x的方程()()14f x x a a=-+∈R恰有两个互异的实数解,即()y f x=和14y x a=-+的图像有两个交点,平移直线14y x=-,考虑直线经过点()1,2和()1,1时,有两个交点,可得94a=或54a=.考虑直线与1yx=在1x>相切,可得2114ax x-=,由210a∆=-=,解得1a=(1-舍去).综上可得,a的范围是{}59,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦U.故选D.3.解析作出函数()f x与()g x的图像如图所示,由图可知,函数()f x 与1()(12,34,56,78)2g x x x x x =-<<<<剟剟仅有2个实数根;要使关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根,则()f x =(0,2]x ∈与()(2)g x k x =+,(0,1]x ∈的图象有2个不同交点,由(1,0)到直线20kx y k -+=的距离为11=,解得0)k k =>,因为两点(2,0)-,(1,1)连线的斜率13k =,所以13k <…, 即k的取值范围为1[3. 2010-2018年1.C 【解析】令()0f x =,则方程112()2x x a e e x x --++=-+有唯一解, 设2()2h x x x =-+,11()x x g x e e --+=+,则()h x 与()g x 有唯一交点,又11111()2x x x x g x e e e e--+--=+=+≥,当且仅当1x =时取得最小值2.而2()(1)11h x x =--+≤,此时1x =时取得最大值1, ()()ag x h x =有唯一的交点,则12a =.选C .2.C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =得2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C .3.A 【解析】cos y x =是偶函数且有无数多个零点,sin y x =为奇函数,ln y x =既不是奇函数又不是偶函数,21y x =+是偶函数但没有零点.故选A . 4.A 【解析】当0x <时,2(2)f x x -=,此时方程2()()1||f x g x x x -=--+的小于零的零点为12x =-;当02x ≤≤时,(2)2|2|f x x x -=--=,方程()()2||2f x g x x x -=-+=无零点;当2x >时,(2)2|2|4f x x x -=--=-,方程22()()(2)733f x g x x x x x -=-+-=--大于2的零点有一个,故选A . 5.A 【解析】由A 知0a b c -+=;由B 知()2f x ax b '=+,20a b +=;由C 知 ()2f x ax b '=+,令()0f x '=可得2b x a =-,则()32bf a -=,则2434ac b a -=;由D 知428a b c ++=,假设A 选项错误,则220434428a b c a b ac b a a b c -+≠⎧⎪+=⎪⎪⎨-=⎪⎪++=⎪⎩,得5108a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,满足题意,故A 结论错误,同理易知当B 或C 或D 选项错误时不符合题意,故选A . 6.B 【解析】如图所示,方程()()f xg x =有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点,结合图象可知,当直线y kx =的斜率大于坐标原点与点(2,1)的连续的斜率,且小于直线1y x =-的斜率时符合题意,故选112k <<.7.C 【解析】 ∵2(1)6log 160f =-=>,2(2)3log 220f =-=>,231(4)log 4022f =-=-<,∴()f x 零点的区间是()2,4.8.A【解析】()()g x f x mx m=--在(1,1]-内有且仅有两个不同的零点,就是函数()y f x=的图象与函数(1)y m x=+的图象有两个交点,在同一直角坐标系内作出函数13,(1,0]()1,(0,1]xf x xx x⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩,和函数(1)y m x=+的图象,如图,当(1)y m x=+与13,(1,0]1y xx=-∈-+和,(0,1]y x x=∈都相交时12m<≤;当(1)y m x=+与13,(1,0]1y xx=-∈-+有两个交点时,由(1)131y m xyx=+⎧⎪⎨=-⎪+⎩,消元得13(1)1m xx-=++,即2(1)3(1)10m x x+++-=,化简得2(23)20mx m x m++++=,当940m∆=+=,即94m=-时直线(1)y m x=+与13,(1,0]1y xx=-∈-+相切,当直线(1)y m x=+过点(0,2)-时,2m=-,所以9(,2]4m∈--,综上,实数m的取值范围是91(,2](0,]42--U.9.D【解析】当0x≥时,函数()g x的零点即方程()3f x x=-得根,由233x x x-=-,解得1x=或3;当0x<时,由()f x是奇函数得2()()3()f x f x x x-=-=--,即()f x=23x x--,由()3f x x=-得27x=--.10.A【解析】2'()32f x x ax b=++,12,x x是方程2320x ax b++=的两根,由23(())2()0f x af x b++=,则又两个()f x使得等式成立,11()x f x=,211()x x f x>=,其函数图象如下:如图则有3个交点,故选A.11.A【解析】由题意a<b<c,可得f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0.显然f(a)·f(b)<0,f(b)·f(c)<0,所以该函数在(a,b)和(b,c)上均有零点,故选A.12.B【解析】二次函数()245g x x x=-+的图像开口向上,在x轴上方,对称轴为x=2,g(2) = 1;f(2) =2ln2=ln4>1.所以g(2) <f(2), 从图像上可知交点个数为2.13.B【解析】令()0f x=,可得0.51log2xx=,由图象法可知()f x有两个零点.14.B【解析】因为()f x在[0,)+∞内单调递增,又1(0)10,(1)02f f=-<=>,所以()f x在[0,)+∞内存在唯一的零点。
2010年全国统一高考真题数学试卷(理科)(大纲版ⅱ)(含答案及解析)
2010年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版Ⅱ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)复数()2=()A.﹣3﹣4i B.﹣3+4i C.3﹣4i D.3+4i2.(5分)函数的反函数是()A.y=e2x﹣1﹣1(x>0)B.y=e2x﹣1+1(x>0)C.y=e2x﹣1﹣1(x∈R)D.y=e2x﹣1+1(x∈R)3.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为()A.1B.2C.3D.44.(5分)如果等差数列{a n}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=()A.14B.21C.28D.355.(5分)不等式>0的解集为()A.{x|x<﹣2,或x>3}B.{x|x<﹣2,或1<x<3}C.{x|﹣2<x<1,或x>3}D.{x|﹣2<x<1,或1<x<3} 6.(5分)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有()A.12种B.18种C.36种D.54种7.(5分)为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象,只需把函数y=sin(2x+)的图象()A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位8.(5分)△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,若=,=,||=1,||=2,则=()A.+B.+C.+D.+9.(5分)已知正四棱锥S﹣ABCD中,SA=2,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为()A.1B.C.2D.310.(5分)若曲线y=在点(a,)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则a=()A.64B.32C.16D.811.(5分)与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点()A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无数个12.(5分)已知椭圆T:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与T相交于A,B两点,若=3,则k=()A.1B.C.D.2二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)已知a是第二象限的角,tan(π+2α)=﹣,则tanα=.14.(5分)若(x﹣)9的展开式中x3的系数是﹣84,则a=.15.(5分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于A,与C的一个交点为B,若,则p=.16.(5分)已知球O的半径为4,圆M与圆N为该球的两个小圆,AB为圆M 与圆N的公共弦,AB=4,若OM=ON=3,则两圆圆心的距离MN=.三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)△ABC中,D为边BC上的一点,BD=33,sinB=,cos∠ADC=,求AD.18.(12分)已知数列{a n}的前n项和S n=(n2+n)•3n.(Ⅰ)求;(Ⅱ)证明:++…+>3n.19.(12分)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=BC,AA1=AB,D为BB1的中点,E为AB1上的一点,AE=3EB1.(Ⅰ)证明:DE为异面直线AB1与CD的公垂线;(Ⅱ)设异面直线AB1与CD的夹角为45°,求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小.20.(12分)如图,由M到N的电路中有4个元件,分别标为T1,T2,T3,T4,电流能通过T1,T2,T3的概率都是P,电流能通过T4的概率是0.9,电流能否通过各元件相互独立.已知T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(Ⅰ)求P;(Ⅱ)求电流能在M与N之间通过的概率.21.(12分)已知斜率为1的直线l与双曲线C:相交于B、D两点,且BD的中点为M(1,3).(Ⅰ)求C的离心率;(Ⅱ)设C的右顶点为A,右焦点为F,|DF|•|BF|=17,证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切.22.(12分)设函数f(x)=1﹣e﹣x.(Ⅰ)证明:当x>﹣1时,f(x)≥;(Ⅱ)设当x≥0时,f(x)≤,求a的取值范围.2010年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版Ⅱ)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)复数()2=()A.﹣3﹣4i B.﹣3+4i C.3﹣4i D.3+4i【考点】A5:复数的运算.【专题】11:计算题.【分析】首先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,把复数整理成整式形式,再进行复数的乘方运算,合并同类项,得到结果.【解答】解:()2=[]2=(1﹣2i)2=﹣3﹣4i.故选:A.【点评】本题主要考查复数的除法和乘方运算,是一个基础题,解题时没有规律和技巧可寻,只要认真完成,则一定会得分.2.(5分)函数的反函数是()A.y=e2x﹣1﹣1(x>0)B.y=e2x﹣1+1(x>0)C.y=e2x﹣1﹣1(x∈R)D.y=e2x﹣1+1(x∈R)【考点】4H:对数的运算性质;4R:反函数.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】从条件中中反解出x,再将x,y互换即得.解答本题首先熟悉反函数的概念,然后根据反函数求解三步骤:1、换:x、y换位,2、解:解出y,3、标:标出定义域,据此即可求得反函数.【解答】解:由原函数解得x=e 2y﹣1+1,∴f﹣1(x)=e 2x﹣1+1,又x>1,∴x﹣1>0;∴ln(x﹣1)∈R∴在反函数中x∈R,故选:D.【点评】求反函数,一般应分以下步骤:(1)由已知解析式y=f(x)反求出x=Ф(y);(2)交换x=Ф(y)中x、y的位置;(3)求出反函数的定义域(一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域).3.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为()A.1B.2C.3D.4【考点】7C:简单线性规划.【专题】31:数形结合.【分析】先根据约束条件画出可行域,设z=2x+y,再利用z的几何意义求最值,只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时,从而得到m值即可.【解答】解:作出可行域,作出目标函数线,可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点,∴即为B(1,1),当x=1,y=1时z max=3.故选:C.【点评】本题考查了线性规划的知识,以及利用几何意义求最值,属于基础题.4.(5分)如果等差数列{a n}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=()A.14B.21C.28D.35【考点】83:等差数列的性质;85:等差数列的前n项和.【分析】由等差数列的性质求解.【解答】解:a3+a4+a5=3a4=12,a4=4,∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选:C.【点评】本题主要考查等差数列的性质.5.(5分)不等式>0的解集为()A.{x|x<﹣2,或x>3}B.{x|x<﹣2,或1<x<3}C.{x|﹣2<x<1,或x>3}D.{x|﹣2<x<1,或1<x<3}【考点】73:一元二次不等式及其应用.【专题】11:计算题.【分析】解,可转化成f(x)•g(x)>0,再利用根轴法进行求解.【解答】解:⇔⇔(x﹣3)(x+2)(x﹣1)>0利用数轴穿根法解得﹣2<x<1或x>3,故选:C.【点评】本试题主要考查分式不等式与高次不等式的解法,属于不等式的基础题.6.(5分)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有()A.12种B.18种C.36种D.54种【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.【专题】11:计算题.【分析】本题是一个分步计数问题,首先从3个信封中选一个放1,2有3种不同的选法,再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42,余下放入最后一个信封,根据分步计数原理得到结果.【解答】解:由题意知,本题是一个分步计数问题,∵先从3个信封中选一个放1,2,有=3种不同的选法;根据分组公式,其他四封信放入两个信封,每个信封两个有=6种放法,∴共有3×6×1=18.故选:B.【点评】本题考查分步计数原理,考查平均分组问题,是一个易错题,解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中,这里包含两个步骤,先平均分组,再排列.7.(5分)为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象,只需把函数y=sin(2x+)的图象()A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【专题】1:常规题型.【分析】先将2提出来,再由左加右减的原则进行平移即可.【解答】解:y=sin(2x+)=sin2(x+),y=sin(2x﹣)=sin2(x﹣),所以将y=sin(2x+)的图象向右平移个长度单位得到y=sin(2x﹣)的图象,故选:B.【点评】本试题主要考查三角函数图象的平移.平移都是对单个的x来说的.8.(5分)△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,若=,=,||=1,||=2,则=()A.+B.+C.+D.+【考点】9B:向量加减混合运算.【分析】由△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,根据三角形内角平分线定理,我们易得到,我们将后,将各向量用,表示,即可得到答案.【解答】解:∵CD为角平分线,∴,∵,∴,∴故选:B.【点评】本题考查了平面向量的基础知识,解答的核心是三角形内角平分线定理,即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线,则AB:AC=BD:CD9.(5分)已知正四棱锥S﹣ABCD中,SA=2,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为()A.1B.C.2D.3【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】设出底面边长,求出正四棱锥的高,写出体积表达式,利用求导求得最大值时,高的值.【解答】解:设底面边长为a,则高h==,所以体积V=a2h=,设y=12a4﹣a6,则y′=48a3﹣3a5,当y取最值时,y′=48a3﹣3a5=0,解得a=0或a=4时,当a=4时,体积最大,此时h==2,故选:C.【点评】本试题主要考查椎体的体积,考查高次函数的最值问题的求法.是中档题.10.(5分)若曲线y=在点(a,)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18,则a=()A.64B.32C.16D.8【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】31:数形结合.【分析】欲求参数a值,必须求出在点(a,)处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=a处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率得到切线的方程,最后求出与坐标轴的交点坐标结合三角形的面积公式.从而问题解决.【解答】解:y′=﹣,∴k=﹣,切线方程是y﹣=﹣(x﹣a),令x=0,y=,令y=0,x=3a,∴三角形的面积是s=•3a•=18,解得a=64.故选:A.【点评】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式,考查考生的计算能力.11.(5分)与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点()A.有且只有1个B.有且只有2个C.有且只有3个D.有无数个【考点】LO:空间中直线与直线之间的位置关系.【专题】16:压轴题.【分析】由于点D、B1显然满足要求,猜想B1D上任一点都满足要求,然后想办法证明结论.【解答】解:在正方体ABCD﹣A1B1C1D1上建立如图所示空间直角坐标系,并设该正方体的棱长为1,连接B1D,并在B1D上任取一点P,因为=(1,1,1),所以设P(a,a,a),其中0≤a≤1.作PE⊥平面A1D,垂足为E,再作EF⊥A1D1,垂足为F,则PF是点P到直线A1D1的距离.所以PF=;同理点P到直线AB、CC1的距离也是.所以B1D上任一点与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离都相等,所以与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点有无数个.故选:D.【点评】本题主要考查合情推理的能力及空间中点到线的距离的求法.12.(5分)已知椭圆T:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与T相交于A,B两点,若=3,则k=()A.1B.C.D.2【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),根据求得y1和y2关系根据离心率设,b=t,代入椭圆方程与直线方程联立,消去x,根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2,进而根据y1和y2关系求得k.【解答】解:A(x1,y1),B(x2,y2),∵,∴y1=﹣3y2,∵,设,b=t,∴x2+4y2﹣4t2=0①,设直线AB方程为,代入①中消去x,可得,∴,,解得,故选:B.【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.此类题问题综合性强,要求考生有较高地转化数学思想的运用能力,能将已知条件转化到基本知识的运用.二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)已知a是第二象限的角,tan(π+2α)=﹣,则tanα=.【考点】GO:运用诱导公式化简求值;GS:二倍角的三角函数.【专题】11:计算题.【分析】根据诱导公式tan(π+α)=tanα得到tan2α,然后利用公式tan(α+β)=求出tanα,因为α为第二象限的角,判断取值即可.【解答】解:由tan(π+2a)=﹣得tan2a=﹣,又tan2a==﹣,解得tana=﹣或tana=2,又a是第二象限的角,所以tana=﹣.故答案为:.【点评】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程,考查考生的计算能力.14.(5分)若(x﹣)9的展开式中x3的系数是﹣84,则a=1.【考点】DA:二项式定理.【专题】11:计算题.【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为3得展开式中x3的系数,列出方程解得.【解答】解:展开式的通项为=(﹣a)r C9r x9﹣2r令9﹣2r=3得r=3∴展开式中x3的系数是C93(﹣a)3=﹣84a3=﹣84,∴a=1.故答案为1【点评】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.15.(5分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于A,与C的一个交点为B,若,则p=2.【考点】K8:抛物线的性质.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+(﹣6﹣2p)x+3=0,进而根据,可知M为A、B的中点,可得p的关系式,解方程即可求得p.【解答】解:设直线AB:,代入y2=2px得3x2+(﹣6﹣2p)x+3=0,又∵,即M为A、B的中点,∴x B+(﹣)=2,即x B=2+,得p2+4P﹣12=0,解得p=2,p=﹣6(舍去)故答案为:2【点评】本题考查了抛物线的几何性质.属基础题.16.(5分)已知球O的半径为4,圆M与圆N为该球的两个小圆,AB为圆M 与圆N的公共弦,AB=4,若OM=ON=3,则两圆圆心的距离MN=3.【考点】JE:直线和圆的方程的应用;ND:球的性质.【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】根据题意画出图形,欲求两圆圆心的距离,将它放在与球心组成的三角形MNO中,只要求出球心角即可,通过球的性质构成的直角三角形即可解得.【解答】解法一:∵ON=3,球半径为4,∴小圆N的半径为,∵小圆N中弦长AB=4,作NE垂直于AB,∴NE=,同理可得,在直角三角形ONE中,∵NE=,ON=3,∴,∴,∴MN=3.故填:3.解法二:如下图:设AB的中点为C,则OC与MN必相交于MN中点为E,因为OM=ON=3,故小圆半径NB为C为AB中点,故CB=2;所以NC=,∵△ONC为直角三角形,NE为△ONC斜边上的高,OC=∴MN=2EN=2•CN•=2××=3故填:3.【点评】本题主要考查了点、线、面间的距离计算,还考查球、直线与圆的基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,属于基础题.三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)△ABC中,D为边BC上的一点,BD=33,sinB=,cos∠ADC=,求AD.【考点】GG:同角三角函数间的基本关系;HP:正弦定理.【分析】先由cos∠ADC=确定角ADC的范围,因为∠BAD=∠ADC﹣B所以可求其正弦值,最后由正弦定理可得答案.【解答】解:由cos∠ADC=>0,则∠ADC<,又由知B<∠ADC可得B<,由sinB=,可得cosB=,又由cos∠ADC=,可得sin∠ADC=.从而sin∠BAD=sin(∠ADC﹣B)=sin∠ADCcosB﹣cos∠ADCsinB==.由正弦定理得,所以AD==.【点评】三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低,一般出现在17或18题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留,不会有太大改变.解决此类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化.18.(12分)已知数列{a n}的前n项和S n=(n2+n)•3n.(Ⅰ)求;(Ⅱ)证明:++…+>3n.【考点】6F:极限及其运算;R6:不等式的证明.【专题】11:计算题;14:证明题.【分析】(1)由题意知,由此可知答案.(2)由题意知,==,由此可知,当n≥1时,.【解答】解:(1),所以=;(2)当n=1时,;当n>1时,===所以,n≥1时,.【点评】本题考查数列的极限问题,解题时要注意公式的灵活运用.19.(12分)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=BC,AA1=AB,D为BB1的中点,E为AB1上的一点,AE=3EB1.(Ⅰ)证明:DE为异面直线AB1与CD的公垂线;(Ⅱ)设异面直线AB1与CD的夹角为45°,求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小.【考点】LM:异面直线及其所成的角;LQ:平面与平面之间的位置关系.【专题】11:计算题;14:证明题.【分析】(1)欲证DE为异面直线AB1与CD的公垂线,即证DE与异面直线AB1与CD垂直相交即可;(2)将AB1平移到DG,故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角,作HK⊥AC1,K 为垂足,连接B1K,由三垂线定理,得B1K⊥AC1,因此∠B1KH为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角,在三角形B1KH中求出此角即可.【解答】解:(1)连接A1B,记A1B与AB1的交点为F.因为面AA1BB1为正方形,故A1B⊥AB1,且AF=FB1,又AE=3EB1,所以FE=EB1,又D为BB1的中点,故DE∥BF,DE⊥AB1.作CG⊥AB,G为垂足,由AC=BC知,G为AB中点.又由底面ABC⊥面AA1B1B.连接DG,则DG∥AB1,故DE⊥DG,由三垂线定理,得DE⊥CD.所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线.(2)因为DG∥AB1,故∠CDG为异面直线AB1与CD的夹角,∠CDG=45°设AB=2,则AB1=,DG=,CG=,AC=.作B1H⊥A1C1,H为垂足,因为底面A1B1C1⊥面AA1CC1,故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1,K为垂足,连接B1K,由三垂线定理,得B1K⊥AC1,因此∠B1KH 为二面角A1﹣AC1﹣B1的平面角.B1H=,C1H=,AC1=,HK=tan∠B1KH=,∴二面角A1﹣AC1﹣B1的大小为arctan.【点评】本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求解,考查考生的空间想象与推理计算的能力.三垂线定理是立体几何的最重要定理之一,是高考的热点,它是处理线线垂直问题的有效方法,同时它也是确定二面角的平面角的主要手段.通过引入空间向量,用向量代数形式来处理立体几何问题,淡化了传统几何中的“形”到“形”的推理方法,从而降低了思维难度,使解题变得程序化,这是用向量解立体几何问题的独到之处.20.(12分)如图,由M到N的电路中有4个元件,分别标为T1,T2,T3,T4,电流能通过T1,T2,T3的概率都是P,电流能通过T4的概率是0.9,电流能否通过各元件相互独立.已知T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(Ⅰ)求P;(Ⅱ)求电流能在M与N之间通过的概率.【考点】C5:互斥事件的概率加法公式;C8:相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.【专题】11:计算题.【分析】(1)设出基本事件,将要求事件用基本事件的来表示,将T1,T2,T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p.(Ⅱ)根据题意,B表示事件:电流能在M与N之间通过,根据电路图,可得B=A4+(1﹣A4)A1A3+(1﹣A4)(1﹣A1)A2A3,由互斥事件的概率公式,代入数据计算可得答案.【解答】解:(Ⅰ)根据题意,记电流能通过T i为事件A i,i=1、2、3、4,A表示事件:T1,T2,T3,中至少有一个能通过电流,易得A1,A2,A3相互独立,且,P()=(1﹣p)3=1﹣0.999=0.001,计算可得,p=0.9;(Ⅱ)根据题意,B表示事件:电流能在M与N之间通过,有B=A4+(1﹣A4)A1A3+(1﹣A4)(1﹣A1)A2A3,则P(B)=P(A4+(1﹣A4)A1A3+(1﹣A4)(1﹣A1)A2A3)=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9=0.9891.【点评】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率,注意先明确事件之间的关系,进而选择对应的公式来计算.21.(12分)已知斜率为1的直线l与双曲线C:相交于B、D两点,且BD的中点为M(1,3).(Ⅰ)求C的离心率;(Ⅱ)设C的右顶点为A,右焦点为F,|DF|•|BF|=17,证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切.【考点】J9:直线与圆的位置关系;KC:双曲线的性质;KH:直线与圆锥曲线的综合.【专题】11:计算题;14:证明题;16:压轴题.【分析】(Ⅰ)由直线过点(1,3)及斜率可得直线方程,直线与双曲线交于BD 两点的中点为(1,3),可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出a,b的关系式即求得离心率.(Ⅱ)利用离心率将条件|FA||FB|=17,用含a的代数式表示,即可求得a,则A点坐标可得(1,0),由于A在x轴上所以,只要证明2AM=BD即证得.【解答】解:(Ⅰ)由题设知,l的方程为:y=x+2,代入C的方程,并化简,得(b2﹣a2)x2﹣4a2x﹣a2b2﹣4a2=0,设B(x1,y1),D(x2,y2),则,,①由M(1,3)为BD的中点知.故,即b2=3a2,②故,∴C的离心率.(Ⅱ)由①②知,C的方程为:3x2﹣y2=3a2,A(a,0),F(2a,0),.故不妨设x1≤﹣a,x2≥a,,,|BF|•|FD|=(a﹣2x1)(2x2﹣a)=﹣4x1x2+2a(x1+x2)﹣a2=5a2+4a+8.又|BF|•|FD|=17,故5a2+4a+8=17.解得a=1,或(舍去),故=6,连接MA,则由A(1,0),M(1,3)知|MA|=3,从而MA=MB=MD,且MA⊥x轴,因此以M为圆心,MA为半径的圆经过A、B、D三点,且在点A处与x轴相切,所以过A、B、D三点的圆与x轴相切.【点评】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识,考查学生运用所学知识解决问题的能力.22.(12分)设函数f(x)=1﹣e﹣x.(Ⅰ)证明:当x>﹣1时,f(x)≥;(Ⅱ)设当x≥0时,f(x)≤,求a的取值范围.【考点】6E:利用导数研究函数的最值.【专题】15:综合题;16:压轴题.【分析】(1)将函数f(x)的解析式代入f(x)≥整理成e x≥1+x,组成新函数g(x)=e x﹣x﹣1,然后根据其导函数判断单调性进而可求出函数g(x)的最小值g(0),进而g(x)≥g(0)可得证.(2)先确定函数f(x)的取值范围,然后对a分a<0和a≥0两种情况进行讨论.当a<0时根据x的范围可直接得到f(x)≤不成立;当a≥0时,令h(x)=axf(x)+f(x)﹣x,然后对函数h(x)进行求导,根据导函数判断单调性并求出最值,求a的范围.【解答】解:(1)当x>﹣1时,f(x)≥当且仅当e x≥1+x令g(x)=e x﹣x﹣1,则g'(x)=e x﹣1当x≥0时g'(x)≥0,g(x)在[0,+∞)是增函数当x≤0时g'(x)≤0,g(x)在(﹣∞,0]是减函数于是g(x)在x=0处达到最小值,因而当x∈R时,g(x)≥g(0)时,即e x≥1+x所以当x>﹣1时,f(x)≥(2)由题意x≥0,此时f(x)≥0当a<0时,若x>﹣,则<0,f(x)≤不成立;当a≥0时,令h(x)=axf(x)+f(x)﹣x,则f(x)≤当且仅当h(x)≤0因为f(x)=1﹣e﹣x,所以h'(x)=af(x)+axf'(x)+f'(x)﹣1=af(x)﹣axf (x)+ax﹣f(x)(i)当0≤a≤时,由(1)知x≤(x+1)f(x)h'(x)≤af(x)﹣axf(x)+a(x+1)f(x)﹣f(x)=(2a﹣1)f(x)≤0,h(x)在[0,+∞)是减函数,h(x)≤h(0)=0,即f(x)≤;(ii)当a>时,由y=x﹣f(x)=x﹣1+e﹣x,y′=1﹣e﹣x,x>0时,函数y递增;x<0,函数y递减.可得x=0处函数y取得最小值0,即有x≥f(x).h'(x)=af(x)﹣axf(x)+ax﹣f(x)≥af(x)﹣axf(x)+af(x)﹣f(x)=(2a ﹣1﹣ax)f(x)当0<x<时,h'(x)>0,所以h'(x)>0,所以h(x)>h(0)=0,即f(x)>综上,a的取值范围是[0,]【点评】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式,考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力;导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱.作为压轴题,主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题,利用导数证明不等式等,常伴随对参数的讨论,这也是难点之所在.。
2010高考全国新课标卷数学(含解析)
AB2 +AC2 -BC2 1 = , ∠ BAC =60 ° 2AB ⋅ AC 2
三,解答题:解答应写出文字说明,正明过程和演算步骤 (17) (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 满足 a1 = 2, an +1 − an = 3i 2 (1) 求数列 {an } 的通项公式;
2 n −1
而 a1 = 2, 所以数列{ an }的通项公式为 an = 22 n −1 。 (Ⅱ)由 bn = nan = n ⋅ 22 n −1 知
Sn = 1⋅ 2 + 2 ⋅ 23 + 3 ⋅ 25 + ⋯ + n ⋅ 2 2 n −1
从而
①
22 ⋅ S n = 1 ⋅ 23 + 2 ⋅ 25 + 3 ⋅ 27 + ⋯ + n ⋅ 22 n +1
(2) 令 bn = nan ,求数列的前 n 项和 Sn
解: (Ⅰ)由已知,当 n≥1 时,
an+1 = [(an+1 − an ) + (an − an−1 ) + ⋯ + (a2 − a1 )] + a1
= 3(22 n −1 + 22 n −3 + ⋯ + 2) + 2
= 22(n +1)−1 。
x
1 t
利用复合命题真值表,显然 p1 ∨ p2 , p1 ∧ ( − p2 ) 为真命题,选 C 命题意图:复合命题真假判断为背景考察函数的单调性 (6)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需再
- 2 -
补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为 (A)100 (B)200 (C)300 (D)400
2010年高考试题分类考点5 函数与方程、函数模型及其应用
考点5 函数与方程、函数模型及其应用1.(2010·天津高考文科·T4)函数f (x )=2xe x +-的零点所在的一个区间是( )(A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2)【命题立意】考查函数零点的概念及运算.【思路点拨】逐一代入验证.【规范解答】选C.()2,(0)10,(1)10,x f x e x f f e =+-∴=-<=-> 故选C.2.(2010·天津高考理科·T2)函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是( )(A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2)【命题立意】考查函数零点的概念及运算.【思路点拨】逐一代入验证. 【规范解答】选B.5()23,(1)0,(0)10,2xf x x f f =+∴-=-<=> 故选B. 3.(2010·福建高考文科·T7)函数223,0()2ln ,0⎧+-≤=⎨-+>⎩x x x f x x x ,,的零点个数为( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5【命题立意】本题从分段函数的角度出发,考查了学生对基本初等函数的掌握程度.【思路点拨】作出分段函数的图象,利用数形结合解题.【规范解答】选 A.绘制出图象大致如图所示,所以零点个数为2.【方法技巧】本题也可以采用分类讨论的方法进行求解.令()f x 0=,则(1)当x 0≤时,2x 2x 30+-=,x 3∴=-或x 1=(舍去).(2)当x 0>时,2ln x 0-+=,2x e ∴= .综上所述,函数()f x 有两个零点. 4.(2010·福建高考理科·T4)函数223,0()2ln ,0⎧+-≤=⎨-+>⎩x x x f x x x ,,的零点个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3【命题立意】本题从分段函数的角度出发,考查了学生对基本初等函数的掌握程度.【思路点拨】作出分段函数的图象,利用数形结合解题.【规范解答】选C.绘制出图象大致如图,所以零点个数为2. 【方法技巧】本题也可以采用分类讨论的方法进行求解.令()f x 0=,则(1)当x 0≤时,2x 2x 30+-=,x 3∴=-或x 1=(舍去).(2)当x 0>时,2ln x 0-+=,2x e ∴=.综上所述,函数()f x 有两个零点.5.(2010·浙江高考文科·T9)已知x 0是函数f(x)=2x +11x -的一个零点.若1x ∈(1,0x ), 2x ∈(0x ,+∞),则( ) (A )f(1x )<0,f(2x )<0 (B )f(1x )<0,f(2x )>0(C )f(1x )>0,f(2x )<0 (D )f(1x )>0,f(2x )>0【命题立意】考查了数形结合的思想,以及函数零点的概念和零点的判断,属中档题.【思路点拨】本题可先判断函数()f x 的单调性,从而得到零点两侧函数值的符号.【规范解答】选B.2x y =与11y x =-在(1,)+∞上都为增函数,所以1()21x f x x=+-在(1,)+∞上单调递增,因为0()0f x =,1020,x x x x <>,所以12()0,()0f x f x <>.6.(2010·浙江高考理科·T9)设函数()4sin(21)f x x x =+-,则在下列区间中函数()f x 不存在零点的是( )(A )[]4,2-- (B )[]2,0- (C )[]0,2 (D )[]2,4【命题立意】本题考查函数的性质及函数的零点存在定理.【思路点拨】本题可验证函数在区间的端点处的函数值是否异号;如果异号,则存在零点;如果同号,一般不存在零点.【规范解答】选A.(4)4sin(7)40f -=-+>,(2)4sin(3)2f -=-+,536ππ-<-<- ,sin y x =在-,-2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,51sin(3)sin()62π∴->-=-,(2)0f ∴->,f(-4)·f(-2)>0,又∵f(x)在[-4,-2]上单调,所以()f x 在区间[4,2]--内不存在零点.同理可验证函数在B ,C ,D 的区间内存在零点.7.(2010·陕西高考理科·T10)某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )(A) y=10x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (B) y=310x +⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C) y=410x +⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (D) y=510x +⎡⎤⎢⎥⎣⎦【命题立意】本题考查灵活运用已有的知识解决新问题的能力,属难题.【思路点拨】理解y=[x ]的含义及选法规定是解题的关键,可用特例法进行解答.【规范解答】选B. 若67x =,则由推选方法可得7y =,而A [6.7]6y ==;B y =3[7]710x +⎡⎤==⎢⎥⎣⎦;同理可得C y 7;= D y=7,排除A ;再令66x =可排除C ,D ;故选B. 【方法技巧】特例法解选择题的方法技巧用特殊值(特殊数值、特殊图形、特殊位置、特殊情形等等)代替题设普遍条件,得出特殊结论,对各个选项进行检验,从而作出正确的判断.常用的特殊值有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等等,注意:特例法只能否定选择支,不能肯定选择支.当正确的选择对象,在题设条件下都成立的情况下,用特殊值(取得越简单越好)进行探求,从而清晰、快捷地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,是解答本类选择题的最佳策略.近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的约占30%左右.8.(2010·北京高考文科·T14)如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x轴滚动.设顶点P (x ,y )的纵坐标与横坐标的函数关系是()y f x =,则()f x 的最小正周期为 ;()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为 .说明:“正方形PABC 沿x 轴滚动”包含沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动.沿x 轴正方向滚动是指以顶点A 为中心顺时针旋转,当顶点B 落在x 轴上时,再以顶点B 为中心顺时针旋转,如此继续,类似地,正方形PABC 可以沿着x 轴负方向滚动.【命题立意】本题考查函数的相关知识,考查函数的周期、零点.要求考生具有探索意识和动手能力,属创新题.【思路点拨】让正方形向右滚动,作出点P 的图象,从图象可求出周期与面积.【规范解答】点P 在一个周期内的运行轨迹如图所示.()y f x =的最小正周期为4.()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为三个扇形:扇形'PP A ,扇形P P B ''',扇形P PC ''与',Rt P AB Rt BP C ∆∆Rt C ''的面积之和,即22211111121114442ππππ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+.【答案】4 1π+9.(2010·北京高考理科·T14)如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动.设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =,则函数()f x 的最小正周期为 ;()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为 .说明:“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动.沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转,当顶点B 落在x 轴上时,再以顶点B 为中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正方形PABC 可以沿x 轴负方向滚动.【命题立意】本题考查函数的相关知识,考查了函数的周期、零点.要求考生具有探索意识和动手能力,属创新题.【思路点拨】先让AP 与x 轴重合,再向右滚动,作出()y f x =的图象.利用图象求最小正周期及面积.【规范解答】点P 在一个周期内的运行轨迹如图所示,()y f x =的最小正周期为4.()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为三个扇形:扇形'PP A ,扇形P P B ''',扇形P PC ''与y',P AB Rt BP C ∆Rt BP C '' 的面积之和,即22211111121114442ππππ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 【答案】4 1π+。
高考数学总复习专题讲解15---函数模型及其应用
高考数学总复习专题讲解15 函数模型及其应用[考点要求] 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.常见的几种函数模型(1)一次函数模型:y=kx+b(k≠0).(2)反比例函数模型:y=kx+b(k,b为常数且k≠0).(3)二次函数模型:y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0).(4)指数函数模型:y=a·b x+c(a,b,c为常数,b>0,b≠1,a≠0).(5)对数函数模型:y=m log a x+n(m,n,a为常数,a>0,a≠1,m≠0).(6)幂函数模型:y=a·x n+b(a≠0).2.三种函数模型之间增长速度的比较函数性质y=a x(a>1)y=log a x(a>1)y=x n(n>0)在(0,+∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢因n而异图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0,当x>x0时,有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;(3)解模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将数学问题还原为实际问题.[常用结论]形如f(x)=x+ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型:(1)该函数在(-∞,-a]和[a,+∞)内单调递增,在[-a,0)和(0,a]上单调递减.(2)当x>0时,x=a时取最小值2a,当x<0时,x=-a时取最大值-2a.一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y=2x与函数y=x2的图象有且只有两个公共点.()(2)幂函数增长比直线增长更快.()(3)不存在x0,使ax0<x n0<log a x0.()(4)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有h(x)<f(x)<g(x).()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材改编1.[多选]某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示,则下列说法中正确的有()(注:结余=收入-支出)A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元ABC[由题图可知,收入最高值为90万元,收入最低值为30万元,其比是3∶1,故A正确;由题图可知,7月份的结余最高,为80-20=60(万元),故B 正确;由题图可知,1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同,故C正确;由题图可知,前6个月的平均收入为16×(40+60+30+30+50+60)=45(万元),故D错误.]2.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据如下表:则对x,yA.y=2x B.y=x2-1C.y=2x-2 D.y=log2xD[根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意,故选D.] 3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=12x2+2x+20(万元).一万件售价为20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为________万件.18[利润L(x)=20x-C(x)=-12(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值.]4.用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为________.3[设隔墙的长度为x(0<x<6),矩形面积为y,则y=x×24-4x2=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,∴当x=3时,y最大.]考点1用函数图象刻画变化过程判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的2种方法(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选图象.(2)验证法:当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的变化特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选择出符合实际情况的答案.1.(2019·遵义模拟)如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0<a<12).不考虑树的粗细,现用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,设此矩形花圃的最大面积为u,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数u=f(a)(单位:m2)的图象大致是()A B C DB[设AD的长为x m,则CD的长为(16-x)m,则矩形ABCD的面积为x(16-x)m2.因为要将点P围在矩形ABCD内,所以a≤x≤12.当0<a≤8时,当且仅当x=8时,u=64;当8<a<12时,u=a(16-a).画出函数图象可得其形状与B选项接近,故选B.]2.有一个盛水的容器,由悬在它的上空的一条水管均匀地注水,最后把容器注满,在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示.若图中PQ为一线段,则与之对应的容器的形状是()A B C DB[由函数图象可判断出该容器必定有不同规则的形状,且函数图象的变化先慢后快,所以容器下边粗,上边细.再由PQ为线段,知这一段是均匀变化的,所以容器上端必是直的一段,故排除A,C,D,选B.]3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油D[根据图象知消耗1升汽油,乙车最多行驶里程大于5千米,故选项A错;以相同速度行驶时,甲车燃油效率最高,因此以相同速度行驶相同路程时,甲车消耗汽油最少,故选项B错;甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升,行驶1小时,里程为80千米,消耗8升汽油,故选项C错;最高限速80千米/小时,丙车的燃油效率比乙车高,因此相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,故选项D对.]准确掌握常见函数模型图象的变化趋势是解决此类问题的关键.考点2应用所给函数模型解决实际问题求解所给函数模型解决实际问题的3个关注点(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元,每生产x 万件,需另投入流动成本为W (x )万元,在年产量不足8万件时,W (x )=13x 2+x (万元).在年产量不小于8万件时,W (x )=6x +100x -38(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析,小王生产的商品能当年全部售完.(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式;(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)(2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?最大利润是多少?[解] (1)因为每件商品售价为5元,则x 万件商品销售收入为5x 万元,依题意得,当0<x <8时,L (x )=5x -⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2+x -3=-13x 2+4x -3; 当x ≥8时,L (x )=5x -⎝ ⎛⎭⎪⎫6x +100x -38-3=35-⎝ ⎛⎭⎪⎫x +100x . 所以L (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-13x 2+4x -3,0<x <8,35-⎝ ⎛⎭⎪⎫x +100x ,x ≥8. (2)当0<x <8时,L (x )=-13(x -6)2+9.此时,当x =6时,L (x )取得最大值L (6)=9万元,当x ≥8时,L (x )=35-⎝ ⎛⎭⎪⎫x +100x ≤35-2x ·100x =35-20=15,此时,当且仅当x=100x,即x=10时,L(x)取得最大值15万元.因为9<15,所以当年产量为10万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大,最大利润为15万元.解决实际问题时,应注意自变量的取值范围,如本例中x∈(0,+∞).一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=a e-bt(cm3),经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过________min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.16[当t=0时,y=a,当t=8时,y=a e-8b=12a,∴e-8b=12,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即y=a e-b t=18a,e-b t=18=(e-8 b)3=e-24b,则t=24,所以再经过16 min.]考点3构建函数模型解决实际问题构建函数模型解决实际问题的步骤构造二次函数、分段函数模型国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.(1)写出每张飞机票的价格关于人数的函数;(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?[解](1)设每团人数为x,由题意得0<x≤75(x∈N*),每张飞机票价格为y 元,则y =⎩⎪⎨⎪⎧900,0<x ≤30,900-10(x -30),30<x ≤75,即y =⎩⎪⎨⎪⎧900,0<x ≤30,1 200-10x ,30<x ≤75.(2)设旅行社获利S 元,则S =⎩⎪⎨⎪⎧900x -15 000,0<x ≤30,1 200x -10x 2-15 000,30<x ≤75,即S =⎩⎪⎨⎪⎧900x -15 000,0<x ≤30,-10(x -60)2+21 000,30<x ≤75.因为S =900x -15 000在区间(0,30]上为增函数,故当x =30时,S 取最大值12 000.又S =-10(x -60)2+21 000,x ∈(30,75],所以当x =60时,S 取得最大值21 000.故当x =60时,旅行社可获得最大利润.解题过程——谨防2种失误(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性等解决,但一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错.(2)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,然后比较大小得解.构造y =x +a x (a >0)模型某养殖场需定期购买饲料,已知该养殖场每天需要饲料200千克,每千克饲料的价格为1.8元,饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元,购买饲料每次支付运费300元.求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.[解] 设该养殖场x (x ∈N *)天购买一次饲料,平均每天支付的总费用为y 元. 因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03=6(元),所以x 天饲料的保管费与其他费用共是6(x-1)+6(x-2)+…+6=(3x2-3x)(元).从而有y=1x(3x2-3x+300)+200×1.8=300x+3x+357≥2300x·3x+357=417,当且仅当300x=3x,即x=10时,y有最小值.故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.利用模型f(x)=ax+bx求解最值时,要注意自变量的取值范围及取得最值时等号成立的条件.构建指数函数、对数函数模型(1)世界人口在过去40年翻了一番,则每年人口平均增长率约是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)()A.1.5%B.1.6%C.1.7% D.1.8%(2)十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出:过去五年来,我国经济实力跃上新台阶.国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元,年均增长7.1%,占世界经济比重从11.4%提高到15%左右,对世界经济增长贡献率超过30%,2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右.如果从2018年开始,以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长,那么2020年的国内生产总值约为(提示:1.0653≈1.208)()A.93.8万亿元B.99.9万亿元C.97万亿元D.106.39万亿元(1)C(2)B[(1)设每年人口平均增长率为x,则(1+x)40=2,两边取以10为底的对数,则40lg (1+x)=lg 2,所以lg (1+x)=lg 240≈0.007 5,所以100.007 5=1+x,得1+x≈1.017,所以x≈1.7%.故选C.(2)由题意可知,2020年我国国内年生产总值约为:82.7×(1+6.5%)3≈99.9(万亿元).故选B.](1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题,在求解时,要先学会合理选择模型,指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型,与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型.(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时,一般先需要通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图象求解最值问题,必要时可借助导数.1.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少13,至少应过滤________次才能达到市场要求.(已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)8 [设至少过滤n 次才能达到市场要求,则2%(1-13)n ≤0.1%,即(23)n ≤120,所以n lg 23≤-1-lg 2,所以n ≥7.39,所以n =8.]2.某景区提供自行车出租,该景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x (元)只取整数,并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).(1)求函数y =f (x )的解析式;(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?[解] (1)当x ≤6时,y =50x -115,令50x -115>0,解得x >2.3,∵x 为整数,∴3≤x ≤6,x ∈Z .当x >6时,y =[50-3(x -6)]x -115=-3x 2+68x -115.令-3x 2+68x -115>0,有3x 2-68x +115<0,结合x 为整数得6<x ≤20,x∈Z .∴y =⎩⎪⎨⎪⎧50x -115(3≤x ≤6,x ∈Z ),-3x 2+68x -115(6<x ≤20,x ∈Z ).(2)对于y =50x -115(3≤x ≤6,x ∈Z ), 显然当x =6时,y max =185;对于y =-3x 2+68x -115=-3(x -343)2+8113(6<x ≤20,x ∈Z ),当x =11时,y max =270.∵270>185,∴当每辆自行车的日租金定为11元时,才能使一日的净收入最多.。
函数模型及其应用
函数模型及其应用一、构建函数模型的基本步骤:1、审题:弄清题意,分析条件和结论,理顺数量关系;2、建模:引进数学符号,一般地,设自变量为x,函数为y,必要时引入其他相关辅助变量,并用x、y和辅助变量表示各相关量,然后根据已知条件建立关系式,即所谓的数学模型;3、求模:利用数学方法将得到的常规函数问题予以解答,求得结果;4、还原:将所得的结果还原为实际问题的意义,再转译成具体问题的回答。
二、常见函数模型:1、一次函数模型;2、二次函数模型;3、分段函数模型;4、指数函数模型;5、对数函数模型;6、对勾函数模型;7、分式函数模型。
题型1:一次函数模型因一次函数y二kx b(k = 0)的图象是一条直线,因而该模型又称为直线模型,当k 0时,函数值的增长特点是直线上升;当k : 0时,函数值则是直线下降。
例1:某工厂在甲、乙两地的两个分工厂各生产同一种机器12台和6台。
现销售给A 地10台,B地8台。
已知从甲地到A地、B地的运费分别是400元和800元,从乙地到A地、B地的运费分别是300元和500元,(1)设从乙地运x台至A地,求总运费y关于x的函数解析式;(2)若总运费不超过9000元,共有几种调运方案;(3)求出总运费最低的方案和最低运费题型2:二次函数模型二次函数y =ax2• bx • c (a=0)为生活中最常见的一种数学模型,因二次函数可求其最大值(或最小值),故常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。
例2:渔场中鱼群的最大养殖量为m吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留下适当的空闲量,已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比,比例系数为k(k.0)。
(1)写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域;(2)求鱼群年增长量的最大值;(3)当鱼群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围。
例3:某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出。
2010年湖北高考数学文科试卷(带答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)文科数学一、选择题:本大题共10小题,每小5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}{}1,2,4,8,|2M N x x ==是的倍数,则=MN ( )A.{2,4}B.{1,2,4}C.{2,4,8} D{1,2,8}【测量目标】集合的基本运算(交集).【考查方式】考查了集合的表示法(描述法、列举法),求集合的交集. 【参考答案】C【试题解析】因为{}|2N x x =是的倍数={…,0,2,4,6,8,…},故{}=2,4,8MN所以C 正确. 2.函数()f x=πsin(),24x x -∈R 的最小正周期为 ( )A.π2B. xC.2πD.4π【测量目标】三角函数的周期性.【考查方式】考查三角函数的基本定义,给出三角函数解析式求出最小正周期. 【参考答案】D【试题解析】由T =2π12=4π,故D 正确. 3.已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨⎩≤,则1(())9f f = ( )A.4B.14C.-4D.14-【测量目标】函数的定义域与值域.【考查方式】根据给出的分段函数解析式,求出结果. 【参考答案】B【试题解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-,则211(())(2)294f f f -=-==,所以B 正确.4.用a 、b 、c 表示三条不同的直线,y 表示平面,给出下列命题:①若a b ,b c ,则a c ;②若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ⊥c ;③若ay ,b y ,则a b ;④若a ⊥y ,b ⊥y ,则a b .哪些是正确的选项 ( ) A. ①② B. ②③ C. ①④ D.③④ 【测量目标】直线与直线、平面之间的位置关系.【考查方式】考查学生对线线之间、线面之间的位置关系的理解和灵活运用. 【参考答案】C【试题解析】根据平行直线的传递性可知①正确;在长方体模型中容易观察出②中a c 还可以平行或异面; ③中a 、b 还可以相交; ④是真命题,故C 正确 5.函数y =的定义域为 ( )A.(34,1)B.(34,∞) C.(1,+∞) D. (34,1)∪(1,+∞) 【测量目标】复合函数的定义域.【考查方式】根据根号内值>0,对数函数内430x ->求出定义域. 【参考答案】A【试题解析】由0.5log (43)0x ->且430x ->可解得314x <<,故A 正确.6.现有6名同学同时进行5个课外知识讲座,6名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是 ( ) A .65B. 56C.5654322⨯⨯⨯⨯⨯D.65432⨯⨯⨯⨯【测量目标】简单的排列组合.【考查方式】结合实际情况,求出满足条件的排列种数. 【参考答案】A【试题解析】因为每位同学均有5种讲座可选择,所以6位同学共有6555555=5⨯⨯⨯⨯⨯种,故A 正确.7.已知等比数列{m a }中,各项都是正数,且1a ,321,22a a 成等差数列,则91078a a a a +=+( )A.1B. 1C. 3+D 3-【测量目标】等差数列、等比数列的基本性质.【考查方式】根据等差数列等差中项性质求出q ,然后代入91078a a a a ++得到结果.【参考答案】C【试题解析】依题意可得: 231231211112=+2,=+2,=+22a a a a a a a q a a q ⎛⎫⨯⎪⎝⎭即则有 (步骤1)可得2=1+2q q ,解得=1+2q 或=12q -(舍去)(步骤2)所以8923291011677811++===3+22+1+a a a q a q q q q a a a q a q q+=+,故C 正确. (步骤3) 8.已知ABC △和点M 满足MA MB MC ++=0.若存在实m 使得AM AC mAM +=成立,则m = ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【测量目标】向量的线性运算.【考查方式】考查考生向量的线性运算的理解和运用,给出向量间的线性关系,要求计算出其系数.【参考答案】B【试题解析】由MA MB MC ++=0知,点M 为ABC △的重心,设点D 为底边BC 的中点,则2==3AM AD 21(32⨯)AB AC +=1()3AB AC +,所以有3AB AC AM +=,故m =3,选B.9.若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点,则b 的取值范围是 ( ) A.[122-,122+] B.[12,3]- C.[1-,122+]D.[122,3]-【测量目标】直线与圆的标准方程及位置关系.【考查方式】结合直线与圆的方程,利用点到直线距离公式求出解析式中未知参数范围. 【参考答案】D【试题解析】曲线方程可化简为22(2)(3)4(13)x y y -+-=≤≤,即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆. (步骤1)当直线y x b =+与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y x b =+距离等于2,解得122122b b =+=-或. (步骤2)因为是下半圆故可得122b =+(舍去),当直线过(0,3)时,解得b =3,故1223,b -≤≤所以D 正确. (步骤3)10.记实数12,,x x …n x 中的最大数为max {12,,x x …n x },最小数为min{12,,x x …n x }.已知ABC △的三边边长为a 、b 、c (a b c ≤≤),定义它的倾斜度为max{,,}min{,,},a b c a b ct b c a b c a=•则“t=1”是“ABC △为等边三角形”的 ( )A.充分不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【测量目标】命题之间的基本关系、充分必要条件的判断.【考查方式】以三角形三边长条件为背景,考查了命题之间的基本关系、充分必要条件的判断.【参考答案】B【试题解析】若ABC △为等边三角形,即a=b=c ,则max ,,1min ,,a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭则t =1;若△ABC 为等腰三角形,如2,2,3a b c ===时,则32max ,,,min ,,23a b c a b c b c a b c a ⎧⎫⎧⎫==⎨⎨⎬⎪⎭⎩⎭⎩,此时l =1仍成立但△ABC 不为等边三角形,所以B正确.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写,答错位置,书写不清,摸棱两可均不得分.11.在210(1)x -的展开中, 4x 的系数为______.【测量目标】二项式定理【考查方式】由二项式求其某项展开式系数. 【参考答案】45【试题解析】210(1)x -展开式即是10个21x -相乘,要得到4x ,则取2个21x -中的2x -相乘,其余选1,则系数为222410C ()45x x ⨯-=,故系数为45. 12.已知:2z x y =-式中变量,x y 满足的束条件,1,2y x x y x ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≥≤则z 的最大值为______.【测量目标】二元线性规划求最值.【考查方式】给出约束条件,应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域,求出目标函数的最大值. 【参考答案】5【试题解析】根据不等式组,可得上图,2z x y =-,联立方程组可得(2,1)-是满足条件的点,所以max 5z =13.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_______(用数字作答). 【测量目标】排列组合.【考查方式】给出某件事件的概率,要求求出另外一件相关事件的概率,考查了考生对排列组合和分类讨论思想的理解和运用 【参考答案】0.9477【试题解析】分情况讨论:若共有3人被治愈,则3314C (0.9)(10.9)0.2916P =⨯-=;若共有4人被治愈,则42(0.9)0.6561P ==,故至少有3人被治愈概率120.9477P P P =+=. 14.圆柱形容器内盛有高度为8cm 的水,若放入三个相同的珠(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是____cm.【测量目标】圆柱、球的体积公式.【考查方式】考查了球体积公式的基本概念和基本运算,利用体积相等求出其半径 【参考答案】4【试题解析】设球半径为r ,则由3V V V +=球水柱可得32243ππ8π63r r r r ⨯+⨯=⨯,解得r =4. 15.已知椭圆22:12x C y +=的两焦点为12,F F ,点00(,)P x y 满足2200012x y <+<,则|1PF |+2PF |的取值范围为_______,直线0012x xy y +=与椭圆C 的公共点个数_____. 【测量目标】椭圆的标准方程、直线与椭圆相交.【考查方式】根据椭圆内一点到两焦点距离之和判断公共点个数. 【参考答案】[)2,22,0【试题解析】依题意知,点P 在椭圆内部.由数形结合可得,当P 在原点处时12max (||||)2PF PF += (步骤1)当P 在椭圆顶点处时,取到12max (||||)PF PF +为(21)(21) =2 2 -++,故范围为[2,22. (步骤2)因为00(,)x y 在椭圆2212x y +=的内部,则直线0012x x y y +=上的点(x, y )均在椭圆外,故此直线与椭圆不可能有交点,故交点数为0个. (步骤3)三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知函数22cos sin 11(),()sin 2.224x x f x g x x -==- (Ⅰ)函数()f x 的图象可由函数()g x 的图象经过怎样变化得出?(Ⅱ)求函数()()()h x f x g x =-的最小值,并求当()h x 取得最小值时x 的集合. 【测量目标】三角函数的图象及性质,三角函数的恒等变换.【考查方式】给出三角函数解析式,通过图象平移变换得到所求三角函数;把函数()h x 化简得到最简的三角函数解析式,然后根据三角函数基本概念求出最小值和取得最小值时的x 的集合.【试题解析】解:(Ⅰ) 11π1π()cos 2sin(2)sin 2()22224f x x x x ==+=+ (步骤1) 所以要得到()f x 的图象只需把()g x 的图象向左平移π4个长度单位,再将所得的图象向上平移14个长度单位即可. (步骤2)(Ⅱ)111π1()()()cos 2sin 2cos 2224244h x f x g x x x x ⎛⎫=-=-+=++ ⎪⎝⎭ 当π22π+π()4x k k +=∈Z 时,()h x 取得最小值11244--+=. ()h x 取得最小值时,对应x 的集合为3|π+π,8x x k k ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z . (步骤3)17.(本小题满分12分)为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况,从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼,称得每条鱼的质量(单位:千克),并将所得数据分组,画出频率分布直方图(如图所示) (Ⅰ)在答题卡上的表格中填写相应的频率;(Ⅱ)估计数据落在(1.15,1.30)中的概率为多少; (Ⅲ)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库,几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼,其中带有记号的鱼有6条,请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数.【测量目标】频率分布直方图、用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】考查考生对频率分布直方图、频数、概率等基本概念和总体分布的估计. 概率=每一个柱形的体积. 【试题解析】解:(Ⅰ)根据频率分布可知。
2010届高考数学考前复习:函数模型及其应用热点探析
2010届高考数学考前复习:函数模型及其应用热点探析第十一节函数模型及其应用——热点考点题型探析一、复习目标:1(了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。
知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2(了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。
3(能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。
二、重难点:重点:掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数模型;培养阅读理解、建立数学模型和分析问题、解决问题的能力掌握解函数应用问题的基本步骤。
难点:建立数学模型和分析问题、解决问题的能力的培养。
三、教学方法:讲练结合,探析归纳。
四、教学过程(一)、热点考点题型探析考点1 一次函数、二次函数模型的应用[例1]某地区上年度电价为0.8元/(千瓦?时),年用电量为a千瓦?时.本年度计划将电价降到0.55元,(千瓦?时)至0.75元,(千瓦?时)之间,而用户期望电价为0.4元,(千瓦?时).经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系.该地区电力的成本价为0.3元,(千瓦?时)。
数为k)(1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式;(2)设k,0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%? 〔注:收益,实际用电量×(实际电价,成本价)〕[解题思路]先根据题意写出收益y与实际电价x的函数关系式,然后再列出不等式求解kx,0.4[解析] (1)设下调后的电价为x元,(千瓦?时),依题意知用电量增至,a,电力kx,0.4部门的收益为y,(,a)(x,0.3)(0.55?x?0.75).0.2a,(,a)(x,0.3),[a,(0.8,0.3)](1,20%),,x,0.4,,0.55,x,0.75.,(2)依题意有2,,1.1,0.3,0,xx,0.55,x,0.75.,整理得解此不等式得0.60?x?0.75.答:当电价最低定为0.60元,(千瓦?时)时,仍可保证电力部门的收益比去年至少增长20%. [反思归纳] 函数应用问题是高考的热点,解函数应用问题的基本步骤: 第一步:阅读理解,审清题意。
高考数学复习初等函数知识点:函数模型及其应用
高考数学复习初等函数知识点:函数模型及其应用常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、分段函数模型等,下面是高考数学复习初等函数知识点:函数模型及其应用,希望对考生有帮助。
1.我们目前已学习了以下几种函数:一次函数y=kx+b(k≠0),二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),指数函数y=ax(a>0且a≠1),对数函数y=logax(a>0且a≠1),幂函数y=xa(a为常数)2.用已知函数模型解决实际问题的基本步骤:第一步,审清题意,设立变量 ;第二步,根据所给模型,列出函数关系式;第三步,利用函数关系求解;第四步,再将所得结论转译成具体问题的解答.3.在处理曲线拟合与预测的问题时,通常需要以下几个步骤:(1)能够根据原始数据、表格、绘出散点图;(2)通过考查散点图,画出“最贴近”的曲线,即拟合曲线;(3)根据所学函数知识,求出拟合曲线的函数解析式;(4)利用函数关系,根据条件对所给问题进行预测和控制,以便为决策和管理提供依据.4.解疑释惑(1)怎样理解“数学建模”和实际问题的关系?一般来说,对问题进行修改和简化,形成一种比较精确和简洁的表述,这时可称之为“实际模型”,它和“实际原形”不同,因为它被简化了,不是实际问题所有方面都得到了体现.而是在得到一个“实际模型”之后,再用数学符号和表达式来代替实际问题中的变量和关系,得到的结果是一个“数学模型”. (2)怎样才能搞好“数学建模”?在“数学建模”中要把握好下列几个问题:1理解问题:阅读理解,读懂文字叙述,认真审题,理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义,设法用数学语言来描述问题.2数学建模:把握新信息,勇于探索,善于联想,灵活化归,根据题意建立变量或参数间的数学关系,实现实际问题数学化,引进数学符号,构建数学模型,常用的数学模型有方程、不等式、函数.3求解模型:以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解. ○4检验模型:将所求的结果代回模型中检验,对模拟的结果与实际情形比较,以确定模型的有效性,如果不满意,要考虑重新建模.5评价与应用:如果模型与实际情形比较吻合,要对计算的结果作出解释并给出其实际意义,最后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入,则要对模型改进,并重复上述步骤.(3)“数学建模”中要注意什么问题?1有的应用题文字叙述冗长,或者选择的知识背景较为陌生,处理时,要注意认真、耐心地阅读和理解题意.2解决函数应用题时要注意用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系,寻找已知量与未知量之间的内在联系,然后将这些内在联系与数学知识联想,建立函数关系式或列出方程,利用函数性质或方程观点来求解,则可使应用题化生为熟,尽快得到解决. 5.规律总结(1)如果实际问题中的规律很难用一个统一的关系式表示,可考虑用分段函数来表示它.另外,在实际问题的计算中应注意统一单位.(2)分类讨论建立函数模型在实际问题中较为常见,应引起充分注意. (3)建立“数学模型”常用的分析方法:(1)关系分析法:即通过寻找和关键量之间的数量关系的方法来建立问题的数学模型的方法.(2)列表分析法:即通过列表的方式探索问题的数学模型的方法.(3)图象分析法:即通过对图象中的数量关系分析来建立问题的数学模型的方法.高考数学复习初等函数知识点:函数模型及其应用就为大家分享到这里,更多精彩内容请关注高考数学知识点栏目。
2010届高考数学函数的综合应用
x2 + 2x + a 2.已知函数 f ( x) = 已知函数 ,x ∈[1 + ∞) , x (1)当a=1/2时,求函数 的最小值; 的最小值; 当 = 时 求函数f(x)的最小值
(2)若对任意 ∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数 的取 若对任意x∈ , 恒成立, 若对任意 , > 恒成立 试求实数a的取 值范围. 值范围
第9课时 函数的综合应用 要点疑点 要点疑点考点 课 前 热 身 能力思维 能力思维方法 延伸 延伸拓展 误 解 分 析
要点疑点 要点疑点考点
1.函数思想 就是要用运动和变化的观点, 就是要用运动和变化的观点,分析和研究具体问题中的 数量关系,通过函数的形式, 数量关系,通过函数的形式,把这种数量关系表示出来并 加以研究,从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念 加以研究, 从而使问题获得解决. 的本质认识. 的本质认识 . 用于指导解题就是善于利用函数知识或函数 观点观察处理问题. 观点观察处理问题.
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2.在引入自变量建立目标函数解决实际问题时,一是要注 在引入自变量建立目标函数解决实际问题时, 在引入自变量建立目标函数解决实际问题时 意自变量的取值范围, 二是要检验结果, 意自变量的取值范围 , 二是要检验结果 , 看是否符合实 际问题要求. 际问题要求
家电名称 工时 产值(千元) 产值(千元1/4 2
问每周应生产空调器、 彩电、 冰箱各多少台, 问每周应生产空调器 、 彩电 、 冰箱各多少台 , 才能使 产值最高?最高产值是多少?(以千元为单位) 产值最高?最高产值是多少?(以千元为单位) ?(以千元为单位 解题回顾】解答本题的思路是:列出关于x 的两 【 解题回顾 】 解答本题的思路是 : 列出关于 、y、z的两 个等式(① 表示后代入s, 成为 成为x的一 个等式 ① 和②),将 y和z用x表示后代入 ,使s成为 的一 , 和 用 表示后代入 次函数s=-x+1080,讨论s在x≥30条件下的最大值 次函数 ,讨论 在 条件下的最大值. 条件下的最大值
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考点5 函数与方程、函数模型及其应用
1.(2010·天津高考文科·T4)函数f (x )=2x e x +-的零点所在的一个区间是( )
(A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2)
【命题立意】考查函数零点的概念及运算.
【思路点拨】逐一代入验证.
【规范解答】选C.()2,(0)10,(1)10,x f x e x f f e =+-∴=-<=->故选C.
2.(2010·天津高考理科·T2)函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是( )
(A)(-2,-1) (B)(-1,0) (C)(0,1) (D)(1,2)
【命题立意】考查函数零点的概念及运算.
【思路点拨】逐一代入验证.
【规范解答】选B.5()23,(1)0,(0)10,2
x f x x f f =+∴-=-<=>故选B. 3.(2010·福建高考文科·T7)函数223,0()2ln ,0⎧+-≤=⎨-+>⎩x x x f x x x ,
,的零点个数为( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5
【命题立意】本题从分段函数的角度出发,考查了学生对基本初等函数的掌握程度.
【思路点拨】作出分段函数的图象,利用数形结合解题.
【规范解答】选A.绘制出图象
大致如图所示,所以零点个数为2.
【方法技巧】本题也可以采用分类讨论的方法进行求解.
令()f x 0=,则
(1)当x 0≤时,2
x 2x 30+-=,x 3∴=-或x 1=(舍去).
(2)当x 0>时,2ln x 0-+=,2x e ∴= .
综上所述,函数()f x 有两个零点. 4.(2010·福建高考理科·T4)函数223,0()2ln ,0
⎧+-≤=⎨-+>⎩x x x f x x x ,
,的零点个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【命题立意】本题从分段函数的角度出发,考查了学生对
基本初等函数的掌握程度.
【思路点拨】作出分段函数的图象,利用数形结合解题.
【规范解答】选C.
绘制出图象大致如图,所以零点个数为2. 【方法技巧】本题也可以采用分类讨论的方法进行求解.
令()f x 0=,则(1)当x 0≤时,2
x 2x 30+-=,x 3∴=-或x 1=(舍去). (2)当x 0>时,2ln x 0-+=,2x e ∴=.
综上所述,函数()f x 有两个零点.
5.(2010·浙江高考文科·T9)已知x 0是函数f(x)=2x + 11x
-的一个零点.若1x ∈(1,0x ), 2x ∈(0x ,+∞),则( )
(A )f(1x )<0,f(2x )<0 (B )f(1x )<0,f(2x )>0
(C )f(1x )>0,f(2x )<0 (D )f(1x )>0,f(2x )>0
【命题立意】考查了数形结合的思想,以及函数零点的概念和零点的判断,属中档题.
【思路点拨】本题可先判断函数()f x 的单调性,从而得到零点两侧函数值的符号.
【规范解答】选B.2x y =与11y x =-在(1,)+∞上都为增函数,所以1()21x f x x
=+-在(1,)+∞上单调递增,因为0()0f x =,1020,x x x x <>,所以12()0,()0f x f x <>.
6.(2010·浙江高考理科·T9)设函数()4sin(21)f x x x =+-,则在下列区间中函数()f x 不存在零点的是( )
(A )[]4,2-- (B )[]2,0- (C )[]0,2 (D )[]2,4
【命题立意】本题考查函数的性质及函数的零点存在定理.
【思路点拨】本题可验证函数在区间的端点处的函数值是否异号;如果异号,则存在零点;如果同号,一般不存在零点.
【规范解答】选A.(4)4sin(7)40f -=-+>,(2)4sin(3)2f -=-+,
536ππ-<-<-,sin y x =在-,-2ππ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦上单调递减,51sin(3)sin()62π∴->-=-,(2)0f ∴->,f(-4)·f(-2)>0,又∵f(x)在[-4,-2]上单调,所以()f x 在区间[4,2]--内不存在零点.同理可验证函数在B ,C ,D 的区间内存在零点.
7.(2010·陕西高考理科·T10)某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )
(A) y=10x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (B) y=310x +⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (C) y=410x +⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (D) y=510x +⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【命题立意】本题考查灵活运用已有的知识解决新问题的能力,属难题.
【思路点拨】理解y=[x ]的含义及选法规定是解题的关键,可用特例法进行解答.
【规范解答】选B. 若67x =,则由推选方法可得7y =,而A [6.7]6y ==;
B y =3[7]710x +⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
;同理可得C y 7;= D y=7,排除A ;再令66x =可排除C ,D ;故选B. 【方法技巧】特例法解选择题的方法技巧
用特殊值(特殊数值、特殊图形、特殊位置、特殊情形等等)代替题设普遍条件,得出特殊结论,对各个选项进行检验,从而作出正确的判断.常用的特殊值有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等等,注意:特例法只能否定选择支,不能肯定选择支.
当正确的选择对象,在题设条件下都成立的情况下,用特殊值(取得越简单越好)进行探求,从而清晰、快捷地得到正确的答案,即通过对特殊情况的研究来判断一般规律,是解答本类选择题的最佳策略.近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的约占30%左右.
8.(2010·北京高考文科·T14)如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x
轴滚动.设顶点P (x ,y )的纵坐标与横坐标的函数关系是()y f x =,则()
f x 的最小正周期为 ;()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所
围区域的面积为 .
说明:“正方形PABC 沿x 轴滚动”包含沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动.
沿x 轴正方向滚动是指以顶点A 为中心顺时针旋转,当顶点B 落在x 轴上时,
再以顶点B 为中心顺时针旋转,如此继续,类似地,正方形PABC 可以沿着x 轴负方向滚动.
【命题立意】本题考查函数的相关知识,考查函数的周期、零点.要求考生具有探索意识和动手能力,属
创新题.
【思路点拨】让正方形向右滚动,作出点P 的图象,从图象可求出周期与面积.
【规范解答】点P 在一个周期内的运行轨迹如图所示.()y f x =的最小正周期为4.()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为三个扇形:扇形'PP A ,扇形P P B ''',扇形P PC ''与
',Rt P AB Rt BP C ∆∆Rt C ''的面积之和,即22211111(2)121114442
ππππ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+.
【答案】4 1π+
9.(2010·北京高考理科·T14)如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动.设顶点(,)P x y 的轨迹
方程是()y f x =,则函数()f x 的最小正周期为 ;()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为 .
说明:“正方形PABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动.沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转,当顶点B 落在x 轴上时,再以顶点B 为中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正方形PABC 可以沿x 轴负方向滚动.
【命题立意】本题考查函数的相关知识,考查了函数的周期、零点.要求考生具有探索意识和动手能力,属创新题.
【思路点拨】先让AP 与x 轴重合,再向右滚动,作出()y f x =的图象.利用图象求最小正周期及面积.
【规范解答】点P 在一个周期内的运行轨迹如图所示,()y f x =的最小正周期为4.()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为三个扇形:扇形'PP A ,扇形P P B ''',扇形P PC ''与
A B
C
P O x
y C A
B B '
P ''P C P P A x
y
O
',Rt P AB Rt BP C ∆∆Rt BP C ''
的面积之和,即22211111121114442
ππππ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+.
【答案】4 1π+。