2011年中考数学代数一轮复习：一元二次方程根的判别式
中考数学复习《一元二次方程根的判别式、根与系数的关系》
专题 1.3 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（3个考点八大题型）【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】1．（2023春•南岗区校级期中）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．无实数根C．有一个实数根D．有两个不等的实数根2．（2023•平顶山二模）定义运算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，则方程x※1＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根3．（2023•柘城县二模）一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根4．（2023•桂林二模）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（）A．无实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根5．（2023•东城区一模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0根的情况是（）A．无实根B．有实根C．有两个不相等实根D．有两个相等实根6．（2023•新郑市模拟）一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无法确定7．（2023•三门峡一模）一元二次方程（x﹣1）2＝x+3的根的情况（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根8．（2023春•瑞安市期中）关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无实数根【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】9．（2023•洛阳二模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k≤4D．k＜4 10．（2023•济源一模）若关于x的一元二次方程x2+4x+m+5＝0有实数根，则m 的取值范围是（）A．m≤1 B．m≤﹣1 C．m＜﹣1D．m≥﹣1且m≠0 11．（2023•东莞市校级一模）已知方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值（）A．k＞﹣1B．k＞1C．k＞1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0 12．（2023春•洞头区期中）关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（）A．﹣36B．﹣9C．9D．36 13．（2023•阿克苏市一模）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围（）A．B．C．k＜且k≠2D．且k≠2 14．（2023•贵阳模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（）A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．2【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】15．（2023春•蜀山区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k ﹣1＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．16．（2023春•庐阳区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m ﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）若a和b是这个一元二次方程的两个根，且a2+b2＝9，求m的值．17．（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．18．（2023•金溪县模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根分别是等腰△ABC两边AB、AC的长，其中BC＝10，求k 值．19．（2023•长安区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值．20．（2022秋•东城区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】21．（2023•红桥区模拟）若一元二次方程x2+4x﹣12＝0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2的值等于（）A．﹣4B．4C．﹣12D．12 22．（2023•五华县校级开学）设一元二次方程x2﹣12x+3＝0的两个实根为x1和x2，则x1x2＝（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3 23．（2023•六盘水二模）已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2 24．（2023•长丰县模拟）若m，n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则m+n ﹣mn的值是（）A．5B．﹣5C．1D．﹣1【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】25．（2023•南山区三模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，则的值是（）A．B．C．D．26．（2023•潍城区二模）若x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则的值为（）A．19B．9C．1D．﹣1 27．（2023•汉阳区校级模拟）若实数m，n满足条件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n ﹣1＝0，则的值是（）A．2B．﹣4C．﹣6D．2或﹣6 28．（2023•兴庆区校级二模）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（）A．﹣10B．10C．3D．0 29．（2022秋•南安市期末）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别是x1、x2，则x2+x1的值是（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3 30．（2023•临沭县一模）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值等于（）A．2023B．2022C．2020D．2019【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】31．（2023•河东区一模）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式的值是（）A．4047B．4045C．2023D．1 32．（2022秋•嘉陵区校级期末）如果m，n是一元二次方程x2+x＝3的两个根，那么多项式m3+4n﹣mn+2022的值等于（）A．2018B．2012C．﹣2012D．﹣2018【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】33．（2023•安丘市模拟）已知方程x2+2023x﹣5＝0的两根分别是α和β，则代数式α2+β+2024α的值为（）A．0B．﹣2018C．﹣2023D．﹣2024 34．（2023•肥城市一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值为（）A．2020B．2021C．2022D．2023 35．（2023•鼓楼区校级模拟）已知a、b是关于x的方程x2+3x﹣2010＝0的两根，则a2﹣a﹣4b的值是（）A．2020B．2021C．2022D．2023 36．（2023•东港区校级一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值等于（）A．2020B．2021C．2022D．2023 37．（2023春•江岸区校级月考）设α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，则（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值为（）A．6076B．﹣6074C．6040D．﹣6040 38．（2022秋•莲池区校级期末）若m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则m2+5m+n的值是（）A．4B．5C．6D．12【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】39．（2023•阿克苏市二模）若x＝2是方程x2﹣x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．﹣1B．0C．1D．2 40．（2020秋•甘井子区期末）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2B．2C．﹣5D．5 41．（2020春•宣城期末）关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（）A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1 42．（2023•诸暨市模拟）关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有一个解为x＝1，则该方程的另一个解为（）A．0B．﹣1C．2D．﹣2 43．（2023•洛阳一模）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0有一个根是﹣2，则另一个根是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2。
解一元二次方程——一元二次方程的根的判别式
2
当 − 4 < 0 时，方程没有实数根.
课后作业
1 利用判别式判断下列方程的根的情况.
3
2
2
1 2 − 3 − = 0，
2
3 − 4 2 + 9 = 0，
2
9
2
2 16 − 24 + = 0，
2
2
4 3 + 10 = 2 + 8.
2 在不解方程的情况下，判断关于 的一元二次方程
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
2
4 + 2 2�� + 6 = 0.
9
；
2
3 + 2 = − 2 2 − 1 +
9
；
2
2
解： 化方程为 4 − 12 + 9 = 0.
= 4， = −12， = 9.
2
= − 4
2
= (−12) − 4 × 4 × 9
+ = 0.
移项，得
2
=−
.
2
+
=−
.
配方，得
2
+
+
2
+
2
2
2
=− +
2
− 4
=
.
2
4
2
,
2
2
+
2
2
− 4
=
.
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
例4：求证关于x的方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根。
证明：△=[-（m+2）] 2-4（2m+1）=m2 -4m+8=（m-2）2 + 4 ∵不论m为何实数（m-2）2≥0 ∴（m-2）2+4一定是正数 既△＞0 ∴方程x²-（m+2）x+2m-1=0有两个不相等的实根
例5：已知a是实数且方程x²+2ax+1=0 ①有两个不相等的实根。试判别方程 （2a 2-1）x²+2ax+2a 2-1=0 ②没有实根
三小格の交情极为深厚 单是从时间上来讲 那两各人交往の历史要比他那各王爷长久许多 他们别过才是区区八年の主仆情分 外加壹各似有似无の二舅子关系 可是年羹尧既是他 雍亲王の二舅子 同样也是抚远大将军の二舅子！年羮尧与二十三小格除去多年の八党渊源 现在更是同在西北征战 是同壹战壕の生死之交 那种将脑袋别在裤腰带上换来の生死之 交 岂是他仅凭雍亲王门主身份能够比得上の？还有壹各至关重要の因素！二十三小格目前储君呼声壹浪高过壹浪 识实务者为俊杰 年二公子能够舍弃二十三小格那各金主靠山而 坚守他雍亲王那各没落主子？那么多年来都没什么表过任何忠心の年羹尧 在现如今那各风声壹边倒の时刻 能够忠贞别二地为他效力卖命？所以在那天高皇帝远の西北荒漠之地 年羮尧临时反水倒戈 坚定地站在二十三小格壹边 别是没什么可能 而是极有可能 所以想要凭借年羮尧の壹已之力助王爷夺取皇位 完全就是别切实际の幻想 他既是理想主义者、 完美主义者 更是现实主义者、实干主义者 他别会裹足别前 更别会临阵逃脱 但是他又必须正视现实 把握机遇 所以现在 是到咯需要做两手准备の时候咯 第壹卷 第802章 气节 所谓の两手准备 壹方面在夺储の道路上积极争取 另壹方面也要为事败想好退路 以卵击石是盲动 只进攻别防守是傻干 退路别是退缩 是积蓄能量、保存实力の明智之举 政治上 の退路自有他の幕僚们出谋划策 而爱情上の退路呢？水清 虽然曾经将他气得咬牙切齿 曾经将他陷入被动难堪の境地 更是在半年前将他羞辱得颜面尽失、威风扫地 但是平心而 论 她却又是最对他脾气の诸人 他们也有甜蜜温馨の过往 值得他永远铭记在心中 永生别忘 就好比是刚才 片刻の温柔、须臾の迷恋 竟然会令他有些把持别住 令他开始后悔那各 决定 但是那也只是偶尔の把持别住 他仍然依靠顽强の意志力 坚持咯下来 坚持咯那各决定 但是他仍会将刚刚の那壹幕温馨の场景 深深印刻在脑海 他要记得她所有の好 忘掉她 の所有の错 他是怜香惜玉之人 更是英雄惺惺相惜之人 既然她有那么好の退路 既然他们无法相亲相爱 他 愿意放她壹条生路 而别是跟他拴在壹条线上 壹荣俱荣 壹损俱损 他想 通咯 他要对她放手 他の其它の诸人们 与他同甘同苦几十年 相处时间最少の惜月、韵音她们两人 也有十五各年头 他们同舟共济 肝胆相照、荣辱与共 当他还是壹各光头小格 无官无爵の时候 春枝、淑清、排字琦、云芳就相继走进咯他の生活 惜月和韵音虽然晚壹些 但也是在他灰头土脸、窝窝囊囊の贝勒爷时期 陪他走过人生の那段低迷时期 而水清 是在他晋封为王爷之后 才风风光光地成为他の侧福晋 却壹直游离在整各王府之外 游离在他の感情世界之外 假设别是那壹次の宿醉 他们现在仍是毫无瓜葛の两各人 别过是空有 夫妻の名分而已 既然她别爱他 而他又给别咯她应有の荣耀和尊荣 何苦将她死死地拴在他の身边？她の性情太过倔强 他们现在已经是两败俱伤 强扭の瓜别甜 既然他们也没什么 开始啥啊 既然她有那么好の退路 他 愿意成全她 就像他对婉然の真心祝福那样 对于他曾经真心真意、刻骨铭心爱过の诸人 他都希望她们能够有壹各更好の未来 他真心实意地 想要成全她 可是在水清看来 却是遭受咯平生以来最大の奇耻大辱！假设上壹次他因为宿醉而冒犯咯她 那是名节问题 现在 他用啥啊退路来成全她 那简直是比上壹次更令水清怒 别可遏 因为那是气节问题！她是有气节の人 有骨气の人 是视尊严为生命之人 别是贪生怕死、苟且偷生之流！可是她刚才已经用那么义正言辞の语言表达咯她の强烈别满 表达 咯她最真实の心意 为啥啊 他竟壹点儿反应也没什么？难道他别相信她？难道他那是在试探她 在考验她？第壹卷 第803章 明志以前别论他如何羞辱她 冤枉她 她虽然也是用各 式各样の方式表达咯她の严正抗议与强烈别满 但是那各时候 他只是她名义上の夫君而已 他们既没什么任何瓜葛 她也没什么将他放在心上 所以生过气 生过病 愤怒过 反抗过 事后水清也就全都忘记咯 那两、三年来 她壹点点地走进咯他の生命里 而他何尝别是壹样 也壹点点地驻足在她の心间？被毫别相干の人误解 她满别在乎 可是现在别壹样！他早 已是她极为在意の壹各人 视若知己 此情已付 可是在他失意落魄の时候 在她更加坚定地要与他风雨同舟、共度此生の时候 却被他如此别信任 如此曲解误会 甚至说出咯啥啊同 意她回娘家寻靠山那种陷她于别仁别义境地の话来！先别说她爱别爱他那壹回事 单单是她守别守妇道那壹回事 而且还是关乎她名节、气节の大是大非原则问题 她岂能任由他那 般侮辱她の人格和尊严？出乎水清意料の是 以往都是他被气得火冒三丈 而她则是横眉冷对 任由他气得跳脚也拿她无奈何 现在 经过与她多年の斗智斗勇 他居然也学会咯她の招 数－－冷暴力：冷冷地面对她の愤怒 冷冷地面对她の反抗 别发壹言 沉默以待 无动于衷地冷眼看她の笑话 换作她愤怒得象壹头发狂の狮子 愤怒到极点の水清没什么任何办法 面对那各冷漠地面对の他 水清只剩壹条路来证明自己の清白 那就是以死言志！在她の眼中 气节是比生命更为宝贵和重要の东西 她就是死 也要坚定地捍卫它！眼前就是山之巅 峰 跳下去 她要用自己の生命 换来她の气节 她要告诉他 她没什么任何“退路” 她即使死 也别会选择啥啊“靠山”！既然他别相信她 那是她唯壹の选择！他哪里晓得她竟然会 采取如此极端の方式向他表达最强烈の抗议 当他反应过来の时候 虽然勉强拉住咯她の胳膊 但是由于事发突然 又是雪地打滑 他の脚根本吃别上力 只坚持咯壹小会儿 就被拖向 咯悬崖边上 而此刻の水清抱着必死の信念 即使被他の手拉住咯胳膊 仍是用足咯全身の力气朝悬崖冲去 眼看着她已经滑到咯悬崖の边缘 他壹下子急咯 在他就要因为雪地打滑而 摔倒前の那壹刻 仍是奋力抬脚朝她の腿上踹咯过去 手上の力度也增加到咯极限 瘦弱の水清哪里受得住他那狠命の壹脚 当即壹头就栽倒在地上 可是巨大の惯性仍使她朝悬崖边 上滑去 在最后の关头 他迅速地从雪上撑起身子 壹招“恶虎扑食” 将水清死死地按在咯身下 而此时の她 已经真真正正地抵达咯悬崖之边 幸亏被他及时按倒在地 因为她の两只 脚都已经开始悬空 将她死死地按压在身下 没什么咯性命之忧 他才算是长长地出咯壹口气 如劫后余生般地庆幸别已 第壹卷 第804章 武力劫后余生の“庆幸别已”只是王爷壹 各人の壹厢情愿 水清却是抱着必死の决心 根本就别是虚情假意の走过场 更别是跟他故作姿态 所以现在被他死死按下身下别得动弹 使她求死别得 求生又别是她の本愿 可是她 又根本别是她の对手 任何反抗企图全是徒劳无益の白白浪费体力 那各结果令她更加恼怒别已 此刻の水清根本就别想报答他の所谓救命之恩 她只想快快地咯断此生 咯断与他の 此世情缘 成就她の气节 保全她の名节 于是她拼命地扭动着身子 企图摆脱他の压制束缚 摆脱与他纠缠别清の恩恩怨怨 他怎么可能扔下她别管？别要说他曾经热烈地爱恋过她 就算是他们彼此水火别容の从前和伤心透顶の现在 作为他の诸人 他也断然别会将她丢弃在那万丈悬崖之下 只要是他の诸人 他就有责任保护她 他断然别会将她丢弃别顾 而她 呢？却是壹门心思想要离开他 摆脱他 就此咯断壹生 此时の她别仅别配合他回到安全地带 反而竭力挣脱 别但身体在全力挣脱他の压制 连悬空の两只脚也开始胡乱地蹬踹 结果 原本就别很结实の崖边碎石竟随着她那双别安分の双脚乱踹乱蹬之下而哗啦啦地滚落咯好几块！碎石滚落の声音在那寂静の山谷引起咯巨大の回声 别晓得发生咯啥啊事情の两各 人顿时被惊得全
2011中考数学复习课件：第8讲 一元二次方程及应用
5．(2010· 兰州)上海世博会的某纪念品原价 168 元，连续两次降价 a%后售价为 128 元， 下列所列方程中正确的是( ) A．168(1＋a%)2＝128 B．168(1－a%) 2＝128 C．168(1－2a%)＝128 D．168(1－a2%)＝128
【解析】第一次降价 a%后，售价为 168(1－a%)，第二次降价后为 168(1－a%)(1－a%) ＝168(1－a%)2，即 168(1－a%) 2＝128.
【答案】x1＝0，x2＝4
2
12．(2010· 株洲)两圆的圆心距 d＝5，它们的半径分别是一元二次方程 x2－5x＋4＝0 的两 个根，这两圆的位置关系是__________． 【解析】设半径为 R、r，则 R＋r＝5.∵d＝5，∴R＋r＝d，故两圆位置关系是外切．
【答案】外切
13．(2010· 台州)某种商品原价是 120 元，经两次降价后的价格是 100 元，求平均每次降 价的百分率，设平均每次降价的百分率为 x，可列方程为__________．
【解析】x －3＝0，x ＝3，x＝± 3，即 x1＝ 3，x2＝－ 3.
【答案】D
2
2
2．(2010· 玉溪)一元二次方程 x2－5x＋6＝0 的两根分别是 x1、x2，则 x1＋x2 等于( A．5 B．6 C．－5 D．－6
b －5 【解析】x1＋x2＝－ ＝－ ＝5. a 1
)
【答案】A
3．(2010· 益阳)一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则 b2－4ac 满 ．．． 足的条件是( ) A．b2－4ac＝0 B．b2－4ac>0 C．b2－4ac<0 D．b2－4ac≥0
【解析】两次降价后的价格可表示为 120(1－x) ，所以 120(1－x) ＝100.
中考数学复习：一元二次方程题型
第1页共30页模块一、一元二次方程根的判别中考数学复习：一元二次方程题型式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即acb 42-=∆一元二次方程根的判别式（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况.一元二次方程根的判别式的逆用在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0；（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则ac b 42-≥0.模块二、一元二次方程的根与系数的关系的应用第2页共30页为根的一元二次方程是模块三、有理数根问题第3页共30页第4页共30页模块四、整数根问题整数解问题先保证跟为有理数根，∆一定为平方数处理思想从判别式手,运用判别式求出参数或解的取值范围,或引入参数(设△=k 2),通过穷举,逼近求解从韦达定理入手,从根与系数的关系式中消去参数,得到关于两根的不定方程,借助因数分解、因式分解求解从变更主元入人,当方程中参数次数较低时,可考虑以参数为主元求解处理方法从判别式入手，∆为平方数，设根的判别式为2t （t 为整数），然后利用整数×整数=整数，列举出所有的可能的因数积，从而巧妙求出k 的值，然后再利用整数根进一步验证筛选整数×整数=整数利用的知识有：①若a 、b 为整数，a b ⋅为整数k ，如果1122k m n m n === ，那么11a m b n =⎧⎨=⎩或11a n b m =⎧⎨=⎩或22a m b n =⎧⎨=⎩或22a n b m =⎧⎨=⎩ （1m 、2m 、1n 、2n 为整数）②两个整数的和、差、积仍为整数，也就是说，若a 、b 为整数，则a b +、a b -、ab 都为整数．③两个整数的和与这两个整数的差奇偶性相同，也就是说，若a 、b 为整数，则a b +与a b -同奇同偶．要点一元二次方程的整数根问题,既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识,又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关。
2011届中考数学备考复习课件：1.9《一元二次方程根的判别式及根与系数的关系》
x1 x2 p
x1 x2 q
例1．(广州)已知：关于 1 0
的两个实数根的倒数和为3，求m的值．
例2．（中山）已知关于x的方程.
x (m 2) x 2m 1 0
2
（1）求证:方程有两个不相等的实数根. （2）当m为何值时，方程的两根互为相 反数？并求出此时方程的解.
第9课时 一元二次方程根的 判别式及根与系数的关系
1．一元二次方程 ax bx c 0(a 0) b 2 4ac 的根的判别式△＝ 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， 当△＜0时，方程没有实数根．
2
2.一元二次方程的根与系数的关系 ax 2 bx c 0(a 0) (1)如果一元二次方程 的两个根是x1 , x 2 ,那么， c b x1 x 2 x1 x2 a a x 2 px q 0 (2)如果方程 的 x1 , x 2 两个根是 ，那么，
x x 例3．（河南）已知， 1 , 2 2 是关于x的一元二次方程 x 6 x k 0 2 2 的两个实数根，且 x1 x2 x1 x2 115 2 2 (1)求k的值；（2）求 x1 x2 8 的值.
复习2：一元二次方程根的判别式
4、若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有两个不相等实数根，
则m的取值范围是
()
A.m＜1
B. m＜1且m≠0
C.m≤1
D. m≤1且m≠0
5、若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根，则 k= .
6.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0, 其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。
则x1+x2=
；x1x2= ；
2、方程2x2-kx-6=0的一个根是2，则k=
；
另一个根为（ ）
3、以2，-3为根的一元二次方程是
；
4、已知a、b是方程x2+x-1=0的两实根，则
a2+2a+b=
拓展已知a、b满足6a=a2+4，6b=b2+4，
求 ab ba
思维训练. 1、在一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)中
3、一元二次方程的根与系数的关系：注意:此关系是在( )条件下存 在的。若 ax2+bx+c=0 的两根为 X1、x2，则x1+x2= ；x1x2= ；
4、以x1、x2为根（二次项系数为1）的一元二次方程是——————
➢ 课时训练（一）
Hale Waihona Puke 1、下列一元一次方程中，有实数根的是（ ）
A
.x2-x+1=0
➢ 要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根.
一元二次方程根的判别式
即Δ＝b2－4ac.
特别提醒： 确定根的判别式时，需先将方程化为一般形式，确定
a，b，c 后再计算；使用一元二次方程根的判别式的前提 是二次项系数不为0.
感悟新知
知识点 2 一元二次方程根的情况的判别
知2－导
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有三种情况： 当Δ>0时，方程有两个不等的实数根； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ< 0时，方程无实数裉．
感悟新知
知3－练
解：∵方程kx2－12x＋9＝0是关于x的一元二次方程， ∴k≠0.方程根的判别式 Δ＝(－12)2－4k×9＝144－36k. 由144－36k>0，求得k<4，又 k≠0， ∴当k<4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根．
感悟新知
归纳
知3－讲
方程有两个不相等的实数根，说明两点： 一是该方程是一元二次方程，即二次项系数不为零； 二是该方程的Δ>0.
4
∴方程有两个相等的实数根
(2)原方程化为:
x2 2x 1 0, 2 2 41 1 = 2 0,
3
Байду номын сангаас
33
∴方程有两个不相等的实数根
感悟新知
归纳
知2－讲
判断方程根的情况的方法： ①若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的左边是一个完全平
方式，则该方程有两个相等的实数根； ②若方程中a，c异号，或b≠0且c＝0时，则该方程有两 个不相
等的实数根； ③当方程中a，c同号时，必须通过Δ的符号来判断根的情况．
感悟新知
知3－导
知识点 3 一元二次方程根的判别式的应用
中考专项复习--一元二次方程根与判别式
一元二次方程根的判别式 精典例题： 【例1】当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。
（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根。
【例2】求证：无论m 取何值，方程03)7(92=-++-m x m x 都有两个不相等的实根。
【例3】当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。
探索与创新：【问题一】已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。
【问题二】如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF ，CD ＜CF ）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是每米4.5元。
（1）若计划修建费为150元，能否完成该草坪围栏修造任务？（2）若计划修建费为120元，能否完成该草坪围栏修建任务？若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由。
跟踪训练：一、填空题：1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的方程是 。
2、已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 。
3、如果二次三项式k x x 2432+-在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则k 的取值范围是 。
问题二图 F E D C B A4、在一元二次方程02=++c bx x 中)(c b ≠，若系数b 、c 可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方程的个数是 。
二、选择题：1、下列方程中，无实数根的是（ ）A 、011=-+-x xB 、762=+y yC 、021=++xD 、0232=+-x x2、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（ ）A 、43<mB 、m ≤43C 、43>m 且m ≠2D 、m ≥43且m ≠2 3、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（ ）A 、有两个不等实根B 、有两个相等实根C 、没有实根D 、无法确定三、试证：关于x 的方程1)2(2-=+-x m mx 必有实根。
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式〖教材分析〗1、地位和作用本节内容是在一元二次方程的解法的基础上进行教学的，是对公式法的完善与发展。
利用根的判别式可以不解方程而直接判断一元二次方程的根的情况。
由于前面已经学习了求根公式，所以教材开门见山，首先直接对求根公式进行讨论，给出根的判别式的意义，进而得出一元二次方程根的判别方法，然后给出了判别方法的逆定理。
最后，通过例题及练习，对一元二次方程根的判别方法及其逆定理进行了巩固。
一元二次方程根的判别方法及其逆定理是一元二次方程的重要性质，对于二次函数、一元二次不等式等后继知识的学习具有十分重要的意义。
2、重点和难点本节内容的教学重点是用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；教学难点是弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式。
〖学生情况分析及应对策略〗学生在上一节推导求根公式以及用公式法解一元二次方程的过程中，对一元二次方程根的不同情况已经有了初步认识，对分类讨论的思想方法也不陌生，这为本节内容的教学提供了有利条件。
教学中可以先让学生解几个根的情况不同的方程，以获得更充分的感性认识，然后结合求根公式及b2-4ac的符号情况进行讨论，从而得出结论。
教师应充分调动学生的参与积极性，尽量通过他们自己的探究与思考得出结论，并注意适时引导。
〖设计理念〗教学活动的设计以学生为主体，先通过练习获得感性认识，然后经过观察、思考、交流、讨论等活动，主动获取知识；强调通过学生积极主动的参与，充分经历知识的形成、发展与应用的过程，在这个过程中掌握知识，形成技能，发展思维；在整个教学活动中，学生是学习的主人，教师是学生学习的组织者与引导者。
〖教学准备〗教具准备：多媒体课件。
学生准备：复习一元二次方程的解法，预习本节内容。
〖教学目标〗根据课标要求，结合学生的具体情况，确定本节课的教学目标为：知识与技能：了解一元二次方程根的判别式的意义，理解为什么能根据它判断方程根的情况；能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根以及两个实数根是否相等。
中考复习~一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式1. 学习要点：1. 一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的根的判别式：ac b 42-=∆2. 利用判别式确定一元二次方程根的情况：一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）当0>∆时，方程有两个不相等的实数根；当0=∆时，方程有两个相等的实数根；当0<∆时，方程无实数根，反之亦成立。
2. 基础练习：不解方程判定下列方程根的情况：1. 0652=--x x ∵ 0491)6(4)5(2>=⋅-⋅--=∆ ∴ 方程有两个不等的实根2. 0442=+-x x ∵ 0144)4(2=⋅⨯--=∆ ∴ 方程有两个相等的实根3. 0542=+-x x ∵ 04154)4(2<-=⋅⋅--=∆ ∴ 方程无实根4. 05732=+-x x ∵ 053354)7(2<-=⨯⨯--=∆ ∴ 方程无实根【典型例题】[例1] m 为何值时，方程02)1()1(2=+-+-x m x m 有两个相等的实数根。
分析：根据题意是参数m 的值的讨论问题，必须考虑几个条件：① 二次项系数不为零② 判别式0=∆组成关于m 的不等式组，求m 的取值。
解：根据题意：⎩⎨⎧=-⨯--=∆≠-0)1(24)1(012m m m 即⎩⎨⎧=+-≠091012m m m ∴ 当9=m 时，原方程有两个相等的实根说明：（1）一元二次方程根的判别式可以用来判别根的情况，也可以用来根据根的情况确定方程中字母系数的值或取值范围。
（2）解这类问题时，特别要注意二次项系数不等于零的这个条件。
[例2] 若方程0122=+--m x x 没有实数根，求证：方程0)12()2(2=+++-m x m x 有两个不等的实根。
分析：由题意，可由第一个方程无实根来确定m 的范围，再推导第二个方程∆的情况来证明有实根。
解：∵ 0122=+--m x x 没有实根 ∴ 0<∆即0)1(4)2(2<+---=∆m 0444<-+m 即0<m对于方程0)12()2(2=+++-m x m x判定式)4(4)12(4)]2([22-=-=+-+-=∆'m m m m m m∵ 0<m ∴ 04<-m ∴ 0)4(>-=∆'m m∴ 方程0)12()2(2=+++-m x m x 有两个不等的实根[例3] 已知关于x 的二次方程x m m x m )12()2(2-=+-有实数根，求m 的取值范围。
(完整版)一元二次方程根的判别式知识点
一元二次方程根的判别式知识点及应用1、一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac若△＞0则方程有两个不相等的实数根若△=0则方程有两个相等的实数根若△＜0则方程没有实数根2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac若方程有两个不相等的实数根，则△＞0若方程有两个相等的实数根，则△=0若方程没有实数根，则△＜0特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。
（2）一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)（Δ=b²4ac）一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。
例1、判断下列方程根的情况2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。
例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？三、证明方程根的性质。
例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。
例4、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
五、判定二次三项式为完全平方式。
例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。
例6、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是完全平方式。
六、利用判别式构造一元二次方程。
例7、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y）求证：2y=x+z七、限制一元二次方程的根与系数关系的应用。
例8、已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。
初中数学《一元二次方程根的判别式》讲义及练习
知识点A 要求B 要求C 要求一元二次方程 了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a-+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=±． 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根21,242b b acx a -±-=．②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根．若a ，b ，c 为有理数，且∆为完全平方式，则方程的解为有理根；若∆为完全平方式，同时24b b ac -±-是2a 的整数倍，则方程的根为整数根．说明: (1)用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0∆>;有两个相等的实数根时，0∆=;没有实数根时，0∆<．(2)在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24b ac ∆=-判定方程的根的情况(有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根)．当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根(二重根)，不能说方程只有一个根．① 当0a >时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；知识点睛中考要求第四讲一元二次方程根的判别式② 当0a <时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点．一元二次方程的根的判别式的应用：一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用： (1)运用判别式，判定方程实数根的个数；(2)利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围； (3)通过判别式，证明与方程相关的代数问题；(4)借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．1. 转化思想的渗透2. 对根的判别式的理解一、利用判别式判断方程根的情况【例1】 不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)22340x x +-=；(2)20ax bx +=(0a ≠) 【解析】 (1)22340x x +-=∵Δ=32-4×2×(-4)=41>0∴方程有两个不相等的实数根．(2)∵a ≠0，∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零， ∵22()40b a b ∆=--⋅⋅=，∵无论b 取任何数，2b 均为非负数， ∴Δ≥0，故方程有两个实数根．【巩固】不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定【解析】 答案A由方程可得3680∆=+>，所以方程有两个不相等的实数根．【例2】 (1997年江苏省初中数学竞赛试题)已知a ，b ，c 是不全为0的3个实数，那么关于x 的一元二次方程2222()()0x a b c x a b c ++++++=的根的情况( )． A ．有2个负根 B ．有2个正根 C ．有2个异号的实根 D ．无实根【解析】 方程 2222()()0x a b c x a b c ++++++=的判别式为：2222()4()a b c a b c ∆=++-++222333222a b c ab bc ca =---+++222222222(2)(2)(2)a ab b b bc c c bc a a b c =-+-+-+-+-+----222222[()()()]a b b c c a a b c =--+-+-+++重、难点例题精讲∵a ，b ，c 不全为0，∴0∆<．∴原方程无实数根．故选D ．【巩固】(2007三帆中学初三第一次月考试题)已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是( )A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根 【解析】22220a x b x c ++=的422224(2)(2)b a c b ac b ac ∆=-=+-， ∵二次方程20ax bx c ++=有两个实数根， ∴240b ac ->，∴220b ac ->，∴422224(2)(2)0b a c b ac b ac ∆=-=+->∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正．故有两个负根．故选C ．【例3】 (第八届“祖冲之”初中数学邀请赛试题)若方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，那么方程2(1)220m x mx m +-+-=( )． A ．没有实数根 B ．有2个不同的实数根 C ．有2个相等的实数根 D ．实数根的个数不能确定【解析】 ∵方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根，∴20m +=，得2m =-．∴方程2(1)220m x mx m +-+-=，即为方程2440x x -+-=，∴244(1)(4)0∆=-⨯-⨯-=． ∴方程2(1)220m x mx m +-+-=有2个相等的实数根．故选C ．特别注意方程2(2)2(1)0m x m x m +-++=只有一个实数根．若20m +≠，则方程要么有2个根(相等或不相等)，要么没有实数根．条件指明，该方程只有1个实数根，所以20m +=，且10m +≠．【例4】 对任意实数m ，求证：关于x 的方程222(1)240m x mx m +-++=无实数根． 【解析】 ∵210m +≠，故方程为一元二次方程．()()()2222422414442016m m m m m m ∆=--++=---()424241616444m m m m =---=-++()222m =-+∵220m +≠，∴0∆<，故方程无实根．【巩固】求证:关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m -+++=有两个实数根． 【解析】 ∵2(2)10x m x m -+++=是关于x 的一元二次方程∴[]22(2)4(1)m m m ∆=-+-+=∵20m ≥∴原方程有两个实数根．【例5】 设方程24x ax +=只有3个不相等的实数根，求a 的取值和相应的3个根。
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
中考数学第一轮复习一元二次方程根的判别式及根与系数的关系mX+nx+m+3m=0有一个根为零，贝U m 的值等于2 24. 关于X 的一元二次方程 2X — 3x — a +1=0的一个根为2 21） X+5x+m — 3m+2=0的常数项为0，则m 的值等于（）A . 1B . 2C 【参考答案】 1. 5X 2— X — 3=0 5 — 1 — 32. — 33. ( X — 1) (X +2) 5. D 6.B♦【考点聚焦】知识点:元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理 大纲要求： 1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况， 也会根据根的情况确定字母的取值范围; 2. 掌握韦达定理及其简单的应用;3. 会在实数范围内把二次三项式分解因式;4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题♦【备考兵法】♦【课前热身】 1.方程(2X — 1) ( 3X +1) =X 2+2化为一般形式为，其中 a= ___ , b= ___ , c=3.关于X 的一元二次方程2X +mx+ n=0的两个根为 X 1=1, 2X 2=— 2,则x+mx+n 分解因式的结果A . 1B . 43 C732.关于X 的一元二次方程2，则a 的值是（）5.若关于X 的一元二次方程（m- .对含有字母系数1考查重点与常见题型〗1. 利用根的判别式判别一元二次方程根的情况, 有关试题出现在选择题或填空题中， 女口：关2于X 的方程ax — 2x + 1 = .0中，如果a<0，那么根的情况是() (A )有两个相等的实数根 (B )有两个不相等的实数根2. 利用一元二次方程的根与系数 的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中 出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如: 设x i ，X 2是方程2x 2— 6x + 3 = 0的两根，则x i 2+ X 22的值是() (A ) 15 (B ) 12 (C ) 6 (D ) 33. 在中考试题中常出现有关根的判别式、 根与系数关系的综合解答题.在近三年试题中又出 现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力.在一元二次方程的应 用中，列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义, 解(虽然是原方程的解)一定要舍去. 易错知识辨析:(1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.(2)应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意:①根的判别式b 2 -4ac 二0 ;工0,即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的 ♦【考点链接】1. 一元二次方程根的判别式X 1,2 =b 2 -4ac <0u —元二次方程 ax 2 +bx + c = 0(a h 0 12. 一元二次方程根与系数的关系(C )没有实数根(D )不能确定凡不满足实际问题的②二次项系数a关于 X 的一元二次方程ax 2 + bx + C = 0(a 工0 )的根的判别式为・(1) b 2 — 4ac >0u —元二次方程ax 2 +bx + c = da H 0)有两个实数根，即(2) 2b — 4ac =0u —元二次方程有.相等的实数根，即 X 1 = X2 =实数根.2若关于x 的一元二次方程ax + bx+ c=0( a^O)有两根分别为x 1 ,他，那么X j +X 2 =♦【典例精析】例1 (四川绵阳)已知关于X 的一元二次方程 X 2 + 2 ( k — 1) X + k 2-1 = 0有两个不相等 的实数根.(1)求实数k 的取值范围;(2) 0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由. 【分析】这是一道确定待定系数 要考生具备分类讨论的思维能力.2 2=4k — 8k + 4 — 4k + 4 =•••原方程有两个不相等的实数根,—8k + 8 >0,解得k < 1,即实数k 的取值范围是 k v 1. (2)假设0是方程的一个根，则代入得 02 + 2 ( k — 1 )• 0 + k 2— 1 = 0 ,解得k = — 1或k = 1 (舍去).即当k = — 1时，0就为原方程的一个根.此时，原方程变为 X 2— 4X = 0，解得X 1 = 0 , X 2 = 4，所以它的另一个根是 4.例2 (北京)已知下列n (n 为正整数)个关于 X 的一元二次方程:2— 1=0m 的一元二次方程，？又讨论方程解的情况的优秀考题，需【答案】(= [ 2 ( k — 1)]2— 4 ( k 2— 1)(1)2 C八(2)2+2X — 3=02+ (n — 1) X — n=0 (n )(1)请解上述一元二次方程(1), (2), (3) ( n );(2)请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点，写出 .一条即可. 【分析】由具体到一般进行探究.【答案】(1) <1> (X+1) (X — 1) =0, 所以 X 1 = — 1 , X 2=1 . <2>(X+2) (X — 1) =0，所以 X 1=— 2, X 2=1 .<3> (X+3) (X — 1) =0，所以 X 1=— 3, X 2=1 .但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去.♦【迎考精练】一、选择题<n> (x+n ) (X — 1) =0，所以 X 1=— n , X 2=1.（2）比如：共同特点是：都有一个根为 1 ;都有一个根为负整数；两个根都是整数根等.【点评】本例从教材要求的基本知识出发， 探索具有某种特点的方程的解题规律及方程 根与系数之间的关系，注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查. 例3 （江苏南京）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2: 1在温室内沿前侧内墙保留 3m 宽的空地，其他三侧内墙各保留1m 宽的通道.当矩形温室的长与宽各 为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m ?【答案】解法一：设矩形温室的宽为 xm 贝y 长为2xm,根据题意，得(X — 2) • (2x — 4) =288.解这个方程，得X 1=— 10 （不合题意，舍去），X 2=14. 所以 x=14, 2x=2X 14=28.答：当矩形温室的长为 28m,宽为14m 时，蔬菜种植区域的面积是288n i .1 解法二：设矩形温室的长为 xm,则宽为一xm.2根据题意，得（ 解这个方程，得 1 -X — 2) • (X — 4) =288.2x i =— 20 (不合题意，舍去)，X 2=28.1 所以 x=28X — x= —21X 28=14.2 答：当矩形温室的长为 28m宽 为14m 时，蔬菜种植区域的面积是 288m .【解析】在一元二次方程的应用中, 列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同,1.（台湾）若a 、b 为方程式x 2/（x+1）=1的两根，且a >b ,则-=bA. — 5两个相等的实数根，则下列结论正确的是3.（四川成都）若关于X 的一元二次方程kx 2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是为（ ）A. 2006 设方程x 2— 4x — 1=0的两个根为X 1与X 2，则X 1X 2的值是（）A. — 4A. X 2-2x -1 =02.X -2x +3 = 0C. X 2 = 2^/3x -32.X -4x +4 = 0A. a = 0 a =2.a =1 D . a = 0 或 a = 26.（山东烟台） 设a, b 是方程 2 2X + x-2009 =0的两个实数根，则a + 2a+b 的值为（ （湖北十堰） 下列方程中, 有两个不相等实数根的是（（四川眉山） 若方程X 2-3x-1=0的两根为X 1、X 2，则 丄+丄 的值为X 1 X 2A. 310 .（山东东营）若n （ n H 0）是关于x 的方程X 2 +mx + 2n = 0的根，贝U m +n 的值为（D. 32. （2.009年湖南株洲）定义：如果一元二次方程 2ax +bx +c = 0(aH0)满足 a + b + c = 0 , 那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax 2 + bx+ c = 0（aH0）是“凤凰”方程，且有A. a = cB. a = bC. b = CD. a = b = CB.k 》_1 且 kH0 C. k<1D.kc1 且k H 04.（内蒙古包头） 关于x 的一元二次方程2X -mx+2m —1 = 0的两个实数根分别是 为、X 2 ,2则（X 1 -X 2）的值是A. 1B . 12C . 13D . 255.（湖北荆州） 关于x 的方程ax 2 -（a +2）x +2=0只有一解（相同解算一解），则a 的值（湖北宜昌） .2007A.1B.2C.-1D.-2二、填空题1.（上海市）如果关于x的方程X2 - x + k =0 （k为常数）有两个相等的实数根，那么2.（山东泰安）关于X的一元二次方程-X2+（2k +1）x + 2-k2=0有实数根，贝U k的取值范围是3.（广西崇左）_2元二次方程X +mx+ 3=0的一个根为—1，则另一个根为4.（广西贺州）已知关于X的一元二次方程x2-x-m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是三、解答题1.（山东淄博）已知X i, X2是方程X2-2x +a =0的两个实数根，且Xi + 2x2=3-42 .(1)求x i, X2及a的值;(2)求X|3 -3x i2+2x i +x2 的值.2.（广东中山）已知：关于X的方程2x2+kx-1=0（1 ）求证：方程有两个不相等的实数根;（2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k值.3.（重庆江津区）已知a、b、c分别是△ ABC的三边，其中a= 1 ,c = 4，且关于x的方程X2 -4x +b = 0有两个相等的实数根，试判断^ ABC的形状.2 24. (湖南怀化)如图，已知二次函数y=(x +m) + k-m的图象与X轴相交于两个不同的点A(Xi,O)、B(X2,O)，与y轴的交点为C .设△ ABC的外接圆的圆心为点P .(1 )求0卩与y轴的另一个交点D的坐标;(2)如果AB恰好为O P的直径，且△ABC的面积等于J5，求m和k的值.【参考答案】选择题5.(湖北黄石)已知关于X的函数y=ax2+ x+1 （a为常数）(1 )若函数的图象与X轴恰有一个交点，求a的值;(2 )若函数的图象是抛物线，且顶点始终在X轴上方，求a的取值范围.42 2 2 2又••• X 1 +X 2 =(X 1 +X2 ) —2X 1X 2 =7 ••• m —2(2m —1 )=7 得 口 =—1 , m 2 =5，而 当m=5时，原方程的判别式 △ =25-4x9 = —11 v 0，此时方程无解，/• m=5不合.题I X 1 +X 2 1(X 1 _X2 $ =(片 +X2 ) —4X 1X 2 =(-1 ) —4^(—3)=13，故选 C"x = -3I Xi + X = im本题易出错，学生易在求得叶=-1或m 2 =5的两个值后，代入] 2— ，求出.X 2 = 2m — 12 2(X 1 —X 2 ) =(X 1中X 2 ) —4X 1X 2 =13或—11,易漏掉检验方程是否存在实根D 【解析】本题考查方程的有关知识，关于 X 的方程ax 2 - (a + 2)x + 2 = 0只有一解,有两个相等等的实数根，(a +2 2 —4aL2=0 ,解得a =2，故选D. 6. 7. 8. 9. 10. 填空题 1.1. 2. 3. 4.【解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式.由题意知:"x, + X 2 = m x ,.X 2 = 2m — 15.有两种情况，①该方程是一元一次方程，此时a =0 ,②该方程是一元二次方程，方程2. k>_9 43.4.4-11-解答题収1 + X 2 =2,1.解：(1)由题意，得｛[x 1 +2x 2 =3 —V 2.解得X t =1 ,X 2 =1 -血.(2)法一： 由题意，得X ： —2捲一1 =0 .所以 x 1^ -3x 1^2x 1 +x , = x 13 -2x 12 -x 1 -x 1^3x 1 +x 2=—x|2 +2x 1 +1 +x i +X 2 —1 =2 —1 =1 .法二：由题意，得为2 =2为+1，3 2所以 x 1 -3x 1 +2x 1 +x 2 = ^(2xi +1)—3(2为 +1)+2x 1+x 22= 2xi + 捲 一6为一3+2捲 +x 2 = 2(2xi +1) —3为一3+x 2= 4X| +2 —3x i —3 + x ? = X i + x ? —1 =2 —1 =1 .2.解：(1) 2x 2 +kx-1 =0 ,氐=k 2 -4x2x(-1) = k 2 +8,2 2无论k 取何值，k > 0，所以k +8〉0，即也>0 ,2/.方程2x + kx -1 = 0有两个不相等的实数根.k1 (2)设 2x2+kx —1=0的另一个根为 x ，贝y x-1=-- , (―1Lx = —-2 21解得：x=—, k=1,21/. 2x 2 +kx —1 =0的另一个根为一，k 的值为1.23.解：•••方程X 2 -4x+b =0有两个相等的实数根•••△ =(Y)2-4b=0/• b=4.•/ c=4.••• b=c=4.所以 a =X 1 X 2 =(1+间(1 -间=—1 .•••△ ABC为等腰三角形.4-12--13 -4.解（1 ）易求得点C 的坐标为（0, k ）由题设可知x 1, x 2是方程（x + m ）2+k-m 2 =0即 X 2 +2mx+k =0 的两根，故 x 1,2 = —2m ±J (]2必竺，所以 X 1 + x^ -2m, x^x^ k 如图3,vo P 与y 轴的另一个交点为 D,由于AB CD 是O P 的 两条相交弦，设它们的交点为点 0连结DB•••△ AO 3A DOS" O D /A^B OC X 1X 2 k |k=—k=1 y A C 由题意知点C 在y 轴的负半轴上，从而点 D 在y 轴的正半轴上, 图3 所以点D 的坐标为（0, 1）（2）因为AB 丄CD AB 又恰好为O P 的直径，则C 、D 关于点0对称, 所以点C 的坐标为（0,-1），即k = -1）又 AB = X2 -% =J (X 2 + x 』2 -4x^2 = J (-2m)2 -4k = 2j m 2 - k = 2j m 2 +1 , A A 厂 一所以 ABC = 1 AB^OC = X 2j m 2 +1X 1 =75解得 m = ±2.2 2 5.解：（1）当a=0时，函数为y=x+1，它的图象显然与 x 轴 只.有一个交点（—1,0）.当a H0时，依题意得方程ax 2 +x +1 =0有两等实数根. 1:b =1 -4a =0，”•. a =-4c 1 ”•.当a=0或a= 时函数图象与x 轴恰有一个交点.44a -1 1（2）依题意有 ---- >0分类讨论解得a > -或a V 0.44a 1 当a 》—或a<0时，抛物线顶点始终在 x 轴上方.4。
一元二次方程根的判别式复习讲义
一元二次方程根的判别式复习讲义知识考点：理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。
精典例题：【例1】当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。
（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等的实根；（3）没有实根。
分析：用判别式△列出方程或不等式解题。
答案：（1）43-=m ；（2）43-<m ；（3）43->m 【例2】求证：无论m 取何值，方程03)7(92=-++-m x m x 都有两个不相等的实根。
分析：列出△的代数式，证其恒大于零。
【例3】当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。
分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分42-m ＝0和42-m ≠0两种情形讨论。
略解：当42-m ＝0即2±=m 时，)1(2+m ≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当42-m ≠0即2±≠m 时，方程有根的条件是：△＝[]208)4(4)1(222+=--+m m m ≥0，解得m ≥25- ∴当m ≥25-且2±≠m 时，方程有实根。
综上所述：当m ≥25-时，方程有实根。
探索与创新：【问题一】已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。
略解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+≥--=∆≠01204)12(022122k k x x k k k 化简得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≠214102k k k ∴不存在。
【问题一】如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF ，CD ＜CF ）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是每米4.5元。
2011年中考数学第一轮总复习教案
中考数学第一轮复习资料剑阁县王河小学：李建银复习目录第一章实数课时1．实数的有关概念…………………………………………( 1 )课时2．实数的运算与大小比较……………………………( 4 )第二章代数式课时3．整式及运算……………………………………………( 7 )课时4．因式分解…………………………………………………( 10 )课时5．分式……………………………………………………( 13 )课时6．二次根式…………………………………………………( 16 )第三章方程（组）与不等式课时7．一元一次方程及其应用……………………………( 19 )课时8．二元一次方程及其应用……………………………( 22 )课时9．一元二次方程及其应用………………………………( 25 )课时10．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系…( 28 )课时11．分式方程及其应用……………………………………( 31 )课时12．一元一次不等式（组）………………………………( 34 )课时13．一元一次不等式（组）及其应用……………………( 37 )第四章函数课时14．平面直角坐标系与函数的概念……………………( 40 )课时15．一次函数…………………………………………………( 43 )课时16．一次函数的应用………………………………………( 46 )课时17．反比例函数……………………………………………( 49 )课时18．二次函数及其图像…………………………………( 52 )课时19．二次函数的应用……………………………………( 55 )课时20．函数的综合应用（1）………………………………( 58 )课时21．函数的综合应用（2）………………………………( 61 )第五章统计与概率课时22．数据的收集与整理（统计1）……………………( 64 )课时23．数据的分析（统计2）………………………………( 67 )课时24．概率的简要计算（概率1）…………………………( 70 )课时25．频率与概率（概率2）…………………………………( 73 )第六章 三角形课时26．几何初步及平行线、相交线 ………………………( 76 )课时27．三角形的有关概念 …………………………………( 79 )课时28．等腰三角形与直角三角形 …………………………( 82 )课时29．全等三角形 ……………………………………………( 85 )课时30．相似三角形 ……………………………………………( 88 )课时31．锐角三角函数 …………………………………………( 91 )课时32．解直角三角形及其应用 ……………………………( 94 )第七章 四边形课时33．多边形与平面图形的镶嵌 …………………………( 97 )课时34．平行四边形 ……………………………………………( 100 )课时35．矩形、菱形、正方形 (103)课时36．梯形 (106)第八章 圆课时37．圆的有关概念与性质 (109)课时38．与圆有关的位置关系 (112)课时39．与圆有关的计算 (115)第九章 图形与变换课时40．视图与投影 (118)课时41．轴对称与中心对称 (121)课时42．平移与旋转 (124)第一章 实数课时1．实数的有关概念【课前热身】1.（08重庆）2的倒数是 ．2.（08白银）若向南走2m 记作2m -，则向北走3m 记作 m ．3.（08的相反数是 ．4.（08南京）3-的绝对值是（ ）A ．3-B ．3C ．13-D ．135．（08宜昌）随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 7（毫米2），这个数用科学记数法表示为（ ）A.7×10－6B. 0.7×10－6C. 7×10－7D. 70×10－8 【考点链接】1．有理数的意义⑴ 数轴的三要素为 、 和 . 数轴上的点与 构成一一对应.⑵ 实数a 的相反数为________. 若a ，b 互为相反数，则b a += .⑶ 非零实数a 的倒数为______. 若a ，b 互为倒数，则ab = .⑷ 绝对值⎪⎩⎪⎨⎧<=>=)0( )0( )0( a a a a ． ⑸ 科学记数法：把一个数表示成 的形式，其中1≤a ＜10的数，n 是整数.⑹ 一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.这时，从左边第一个不是 的数起，到 止，所有的数字都叫做这个数的有效数字．2.数的开方⑴ 任何正数a 都有______个平方根,它们互为________.其中正的平方根a 叫 _______________. 没有平方根，0的算术平方根为______.⑵ 任何一个实数a 都有立方根，记为 .⑶ =2a ⎩⎨⎧<≥=)0( )0( a a a .3. 实数的分类 和 统称实数.4．易错知识辨析（1）近似数、有效数字 如0.030是2个有效数字（3,0）精确到千分位；3.14×105是3个有效数字；精确到千位.3.14万是3个有效数字（3,1,4）精确到百位．（2）绝对值 2x =的解为2±=x ；而22=-，但少部分同学写成 22±=-．（3）在已知中，以非负数a 2、|a|、 a (a ≥0)之和为零作为条件，解决有关问题.【典例精析】例1 在“()05，3.14 ，()33，()23-，cos 600 sin 450”这6个数中，无理数的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个例2 ⑴（06成都）2--的倒数是（ ）A ．2 B.12 C.12-D.－2 ⑵（08芜湖）若23(2)0m n -++=，则2m n +的值为（ ）A ．4-B ．1-C ．0D ．4⑶（07扬州）如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ）B. C. 3.2-D.例3 下列说法正确的是（ ）A ．近似数3．9×103精确到十分位B ．按科学计数法表示的数8．04×105其原数是80400C ．把数50430保留2个有效数字得5．0×104.D ．用四舍五入得到的近似数8．1780精确到0．001【中考演练】1.（08常州）-3的相反数是______,-12的绝对值是_____,2-1=______,2008(1)-= ． 2. 某种零件，标明要求是φ20±0.02 mm （φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9 mm ，该零件 .（填“合格” 或“不合格”）3. 下列各数中：－3，0，0.31，227，2π，2.161 161 161…， （－2 005）0是无理数的是___________________________．4．(08湘潭)全世界人民踊跃为四川汶川灾区人民捐款，到6月3日止各地共捐款约423.64亿元，用科学记数法表示捐款数约为__________元．（保留两个有效数字）5．（06北京）若0)1(32=++-n m ，则m n +的值为 ．6. 2.40万精确到__________位，有效数字有__________个.7.（06泸州）51-的倒数是 ( ) A ．51- B ．51 C ．5- D ．5 8．（06荆门）点A 在数轴上表示+2，从A 点沿数轴向左平移3个单位到点B ，则点B 所表示的实数是（ ）A ．3B ．-1C ．5D ．-1或39．(08扬州)如果□＋2＝0，那么“□”内应填的实数是（ ）A ．21B ．21-C ．21± D ．2 10．（08梅州）下列各组数中，互为相反数的是（ ） A ．2和21 B ．-2和－21 C ．-2和|-2| D ．2和21 11．（08无锡）16的算术平方根是（ ）A.4B.－4C.±4D.1612.（08郴州）实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则a 与b 的大小关系是（ ）A ．a > bB ． a = bC ． a < bD ．不能判断 13．若x 的相反数是3，│y│＝5，则x ＋y 的值为（ ）A ．－8B ．2C ．8或－2D ．－8或214．(08湘潭) 如图，数轴上A 、B 两点所表示的两数的（ ）A. 和为正数B. 和为负数C. 积为正数D. 积为负数o课时2. 实数的运算与大小比较【课前热身】1.（08大连）某天的最高气温为6°C ，最低气温为－2°C ，同这天的最高气温比最低气温高__________°C ．2.（07晋江）计算：=-13_______.3.（07贵阳）比较大小：2- 3.（填“>，<或=”符号）4. 计算23-的结果是（ ）A. －9B. 9C.－6D.65.（08巴中）下列各式正确的是（ ）A ．33--=B ．326-=-C ．(3)3--=D ．0(π2)0-= 6．若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则100!98!的值为（ ） A. 5049B. 99!C. 9900D. 2！ 【考点链接】1. 数的乘方 =n a ，其中a 叫做 ，n 叫做 .2. =0a （其中a 0 且a 是 ）=-p a （其中a 0）3. 实数运算 先算 ，再算 ，最后算 ；如果有括号，先算里面的，同一级运算按照从 到 的顺序依次进行.4. 实数大小的比较⑴ 数轴上两个点表示的数， 的点表示的数总比 的点表示的数大.⑵ 正数 0，负数 0，正数 负数；两个负数比较大小，绝对值大的 绝对值小的．5．易错知识辨析在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误.如5÷51×5. 【典例精析】例1 计算：⑴（08龙岩）20080＋|-1|-3cos30°＋ (21)3； ⑵22(2)2sin 60--+.例2 计算：1301()20.1252009|1|2--⨯++-. ﹡例3 已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值是2，求2||4321a b m cd m ++-+的值． 【中考演练】 1. (07盐城)根据如图所示的程序计算， 若输入x 的值为1，则输出y 的值为 .2. 比较大小：73_____1010--. 3.（08江西）计算(－2)2－(－2) 3的结果是（ A. －4. (08宁夏)下列各式运算正确的是（ ）A ．2-1＝-21 B ．23＝6 C ．22·23＝26 D ．(23)2＝26 5. －2，3，－4，－5，6这五个数中，任取两个数相乘，得的积最大的是（ ）A. 10 B ．20 C ．－30 D ．186. 计算：⑴（08南宁）4245tan21)1(10+-︒+--； ⑵（08年郴州）201()2sin 3032--+︒+-；⑶ (08东莞) 01)2008(260cos π-++- .﹡7. 有规律排列的一列数：2，4，6，8，10，12，…它的每一项可用式子2n （n 是正整数）来表示．有规律排列的一列数：12345678----，，，，，，，，…（1）它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？（2）它的第100个数是多少？（3）2006是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？﹡8．有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的自然数四个，将这个四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于2 4．例如：对1，2，3，4，可作运算：（1＋2＋3）×4＝24．（注意上述运算与4 ×(2＋3＋1）应视作相同方法的运算.现“超级英雄”栏目中有下列问题：四个有理数3，4，－6，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算，使其结果等于24，（1）_______________________，（2）_______________________，（3）_______________________．另有四个数3，－5，7，－13，可通过运算式（4）_____________________ ，使其结果等于24．第二章 代数式课时3．整式及其运算【课前热身】 1. 31-x 2y 的系数是 ，次数是 . 2.（08遵义）计算：2(2)a a -÷= ．3.（08双柏）下列计算正确的是（ ）A ．5510x x x +=B ．5510·x x x =C ．5510()x x = D ．20210x x x ÷= 4. (08湖州)计算23()x x -所得的结果是（ ）A ．5xB ．5x -C ．6xD ．6x - 5. a ，b 两数的平方和用代数式表示为（ ）A.22a b +B.2()a b +C.2a b +D.2a b +6．某工厂一月份产值为a 万元，二月份比一月份增长5％，则二月份产值为（ ）A.)1(+a ·5％万元B. 5％a 万元C.(1+5％) a 万元D.(1+5％)2a 【考点链接】1. 代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把 或表示连接而成的式子叫做代数式.2. 代数式的值：用 代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的 叫做代数式的值.3. 整式（1）单项式：由数与字母的 组成的代数式叫做单项式（单独一个数或也是单项式）.单项式中的 叫做这个单项式的系数；单项式中的所有字母的 叫做这个单项式的次数.(2) 多项式：几个单项式的 叫做多项式.在多项式中，每个单项式叫 做多项式的 ,其中次数最高的项的 叫做这个多项式的次数.不含字母的项叫做 .(3) 整式： 与 统称整式.4. 同类项：在一个多项式中，所含 相同并且相同字母的 也分别相等的项叫做同类项. 合并同类项的法则是 ___.5. 幂的运算性质: a m ·a n = ； (a m )n = ； a m ÷a n ＝_____； (ab)n = .6. 乘法公式：(1) =++))((d c b a ； （2）（a ＋b ）(a －b)＝ ；(3) (a ＋b)2＝ ；(4)(a －b)2＝ .7. 整式的除法⑴ 单项式除以单项式的法则：把 、 分别相除后，作为商的因式；对于只在被除武里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．⑵ 多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以 ，再把所得的商 ．【典例精析】例1 （08乌鲁木齐）若0a >且2x a =，3y a =，则x y a-的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．23 D ．32例2 （06 广东）按下列程序计算，把答案写在表格内：⑴ 填写表格：⑵ 请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简．例3 先化简，再求值：(1) （08江西）x (x ＋2)－(x ＋1)(x －1)，其中x ＝－21； (2) 22(3)(2)(2)2x x x x +++--，其中13x =-．【中考演练】1. 计算(-3a 3)2÷a 2的结果是( )A. -9a 4B. 6a 4C. 9a 2D. 9a4 2.（06泉州）下列运算中，结果正确的是（ ）A.633·x x x =B.422523x x x =+C.532)(x x = D ．222()x y x y +=+ ﹡3.（08枣庄）已知代数式2346x x -+的值为9，则2463x x -+的值为（ ） A ．18 B ．12 C ．9 D ．7 4. 若3223m n x y x y -与 是同类项，则m + n ＝____________.5．观察下面的单项式：x ，-2x ，4x 3，-8x 4，…….根据你发现的规律，写出第7个式子是 .6. 先化简，再求值：⑴ 3(2)(2)()a b a b ab ab -++÷-，其中a =1b =-； ⑵ )(2)(2y x y y x -+- ，其中2,1==y x ．﹡7．（08巴中）大家一定熟知杨辉三角（Ⅰ），观察下列等式（Ⅱ）1 1 1 12 11 3 3 11 4 6 4 1 1222332234432234()()2()33()464a b a b a b a ab b a b a a b ab b a b a a b a b ab b +=++=+++=++++=++++根据前面各式规律，则5()a b += ． 课时4．因式分解【课前热身】1.（06 温州）若x －y ＝3，则2x －2y ＝ ．2.（08茂名）分解因式：3x 2－27= ．3．若 , ),4)(3(2==-+=++b a x x b ax x 则．4. 简便计算：2200820092008-⨯ ＝ .5. (08东莞) 下列式子中是完全平方式的是（ ）A ．22b ab a ++B ．222++a aC ．222b b a +-D ．122++a a【考点链接】1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的 的形式．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．2. 因式分解的方法：⑴ ，⑵ ，⑶ ，⑷ .3. 提公因式法：=++mc mb ma __________ _________.4. 公式法: ⑴ =-22b a ⑵ =++222b ab a ，⑶=+-222b ab a .5. 十字相乘法：()=+++pq x q p x 2 ． 6．因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“用”（公式）．7．易错知识辨析（1）注意因式分解与整式乘法的区别；（2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项式.【典例精析】例1 分解因式：⑴（08聊城）33222ax y axy ax y +-=__________________.⑵（08宜宾）3y 2－27＝___________________.⑶（08福州）244x x ++=_________________.⑷ (08宁波) 221218x x -+= ．例2 已知5,3a b ab -==，求代数式32232a b a b ab -+的值.【中考演练】1．简便计算：=2271.229.7－.2．分解因式：=-x x 422____________________.3．分解因式：=-942x ____________________.4．分解因式：=+-442x x ____________________.5.（08凉山）分解因式2232ab a b a -+= ．6．（08泰安）将3214x x x +-分解因式的结果是 ． 7.（08中山）分解因式am an bm bn +++=_____ _____；8．(08安徽) 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ）A ．x 2－xyB ．x 2＋xyC ．x 2－y 2D ．x 2＋y 29．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）A ．bx ax b a x -=-)(B ．222)1)(1(1y x x y x ++-=+-C ．)1)(1(12-+=-x x xD ．c b a x c bx ax ++=++)(﹡10. 如图所示，边长为,a b 的矩形，它的周长为14，面积为10，求22a b ab +的值．11．计算：（1）299；（2）2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910-----． ﹡12．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足224224c a b c b a +=+，试判断△ABC 的形状.阅读下面解题过程：解：由224224c a b c b a +=+得：222244c b c a b a -=- ①()()()2222222b a c b a ba -=-+ ② 即222cb a =+ ③∴△ABC 为Rt △。
中考数学大一轮数学复习专题ppt课件：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
夯实基本 知已知彼
基础知识回顾
1. 一元二次方程根的判别式
关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为________．
(1)b2－4ac>0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个________实数
根，即x1，2＝________． (2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有____________相等
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中考大一轮复习讲义◆ 数学
热点看台 快速提升
易错题跟踪 1. (2014·湖北襄阳)若正数a是一个一元二次方程x2－5x＋m＝0的一个根，－a 是一元二次方程x2＋5x－m＝0的一个根，则a的值是____5____． 2. (2014·湖北鄂州)一元二次方程mx2－2mx＋m－2＝0. (1)若方程有两实数根，求m的取值范围． (2)设方程两实根为x1，x2，且|x1－x2|＝1，求m.
课后总结
1
学生：同伴之间相互交流学习心得。
2 师生：共同归纳本课学习知识。
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中考大一轮复习讲义◆ 数学
作业
1
教科书本课课后习题。
2
课时达标册本课练习习题。
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下课啦！
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中考大一轮复习讲义◆ 数学
谢谢 指导
2022
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中考大一轮复习讲义◆ 数学 20
D. m≤12
1
5. (2013·山东滨州)对于任意实数 k，关于 x 的方程 x2－2(k＋1)x－k2＋2k
－1＝0 的根的情况为( C )
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根
一元二次方程根的判别式
若方程3x(kx-1) = x²-1没有 实数根，则整数k最小值是(
B
)
A．1 B．2 C．-1 D．0
分析:
方程整理为:(3 k -1)x²- 3x + 1= 0
由题意:Δ= b²－4ac = 9-4(3k-1)< 0 ∴ k > 13
12
∴ 整数k的最小值是 2.
若方程(1-k)x²－２x-1 =０有两 个不相等的实数根，则k的最大整
判断判别式的正负，通常通过配方
将其变为“一个完全平方式+正数”
或“ -（ ）2 –正数”的形式。
方程 (k-2)x2-2(k-1)x+k+1=0，
(1) K取何值时，上述方程仅有一个实数根？
(2) K取何值时，上述方程有两个实数根？
(3) K取何值时，上述方程有实数根？
友情提醒：运用根的判别式解决有关 问题时，是在：“一元二次方程”这 样的隐含条件下解决的，因此，要确 认二次项系数不为 0 时,才能用判别 式解决相关问题;否则要进行讨论。
的根的情况是（ C ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．根的情况无法确定
分析：Δ=(b2 + c2 - a2 )2－4b2c2
＝(b2 + c2 -a2＋2bc)(b2 + c2 - a2 -2bc )
=(b+c+a)(b+c－a)(b-c+a)(b-c-a) ＜0
(1)当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的根
x1 b
b2 4ac 2a
b b2 4ac
x2
2a
(2)当b²-4ac=0时，方程有两个相等的根x1
一元二次方程根的判别式
例:若关于x的方程x2+2x=m+9没有实数根, 求证:关于y的方程y2+my-2m=-5一定有两 个不相等的实数根.
练习: 已知方程①: (k+1)x2-(2k+1)x+k-2=0有两个不 相等的实数根,方程②: (k-1)x2-(2k-1)x+k+2=0 有两个实数根，求整数k的值。
设a、b、c是△ABC的三条边长，且方程 ax2+2 b 2 c 2 x+2(b+c)=2a有两个相等 的实根。（1）试判定△ABC的形状； （2）不论△ABC是何形状，证明上述 方程必有实数根。
复习提问:
1、一元二次方程根的判别式是什么？
2、Δ=b2－4ac与方程的根有何关系？ Δ> 0
Δ= 0 Δ< 0
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根 方程没有实数根
1.方程(m-1)x2+16x+10=0有两个不相等的 实数根,求m的取值范围. 2.方程kx2-10kx+15k+2=0有两个相等的实 数根,求k的值及方程的根. 3.已知：关于x的代数式 (x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)是完全平 方式，判定以a、b、c为边的三角形的 形状。
已知：等腰△ABC的两腰是方程 x2-(m+2)x+3m+1=0的两个实数根， 底边长为6cm。求三角形的面积。
四、小结： 1.一元二次方程根的判别式的应用： 判别方程根的情况； 由根的情况求待定系数的范围或值； 可解决有关实际问题。 2.讨论一元二次方程根的情况不能忘记 二次项系数不为0。
1.已知方程x2-2(a-b)x+(b-c)2=0两个相等的 实数根，判定以a、b、c为边的三角形 的形状。
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中考复习之一元二次方程根的判别式
知识考点：
理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。
精典例题：
【例1】当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。
（1）有两个相等实根；
（2）有两个不相等的实根；
（3）没有实根。
分析：用判别式△列出方程或不等式解题。
答案：（1）43-=m ；（2）43-<m ；（3）4
3->m 【例2】求证：无论m 取何值，方程03)7(92=-++-m x m x 都有两个不相等的实根。
分析：列出△的代数式，证其恒大于零。
【例3】当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。
分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分42-m ＝0和42-m ≠0两种情形讨论。
略解：当42-m ＝0即2±=m 时，)1(2+m ≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当42-m ≠0即2±≠m 时，方程有根的条件是：
△＝[]208)4(4)1(222+=--+m m m ≥0，解得m ≥2
5- ∴当m ≥2
5-
且2±≠m 时，方程有实根。
综上所述：当m ≥25-时，方程有实根。
探索与创新：
【问题一】已知关于x 的方程01)12(2
2=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。
略解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+≥--=∆≠01204)12(022122k k x x k k k 化简得⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=≤≠214102k k k
∴不存在。
【问题一】如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF ，CD ＜CF ）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是每米4.5元。
（1）若计划修建费为150元，能否完成该草坪围栏修造任务？
（2）若计划修建费为120元，能否完成该草坪围栏修建任务？若能完成，请算出利用旧围栏多少米；若不能完成，请说明理由。
略解：设CF ＝DE ＝x ，则CD ＝EF ＝x
100 修建总费用为：x x x 10025.45.475.1⨯⨯++＝
x
x 90025.6+条件是：10＜x ≤25 （1）15090025.6=+x
x ⇒x ＝12 ∴能完成 （2）12090025.6=+x
x ⇒090012025.62=+-x x ∵△＜0此方程元实根 ∴不能完成
跟踪训练：
一、填空题： 1、下列方程①012=+x ；②02=+x x ；③012=-+x x ；④02=-x x 中，无实根的
方程是 。
2、已知关于x 的方程022=+-mx x 有两个相等的实数根，那么m 的值是 。
3、如果二次三项式k x x 2432+-在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则k 的取值范围是 。
4、在一元二次方程02=++c bx x 中)(c b ≠，若系数b 、c 可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方程的个数是 。
二、选择题：
1、下列方程中，无实数根的是（ ）
A 、011=-+-x x
B 、762=+y
y C 、021=++x D 、0232=+-x x
2、若关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是（ ）
A 、43<m
B 、m ≤43
C 、43>m 且m ≠2
D 、m ≥4
3且m ≠2 3、在方程02=++c bx ax （a ≠0）中，若a 与c 异号，则方程（ ）
问题二图
F E D C B A
A 、有两个不等实根
B 、有两个相等实根
C 、没有实根
D 、无法确定
三、试证：关于x 的方程1)2(2-=+-x m mx 必有实根。
四、已知关于x 的方程022
=-+-n m mx x 的根的判别式为零，方程的一个根为1，求m 、n 的值。
五、已知关于x 的方程02)12(22=++++m x m x 有两个不等实根，试判断直线
x m y )32(-=74+-m 能否通过A （－2，4），并说明理由。
六、已知关于x 的方程0)2(222=+--m x m x ，问：是否存在实数m ，使方程的两个实
数根的平方和等于56？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。
七、已知n ＞0，关于x 的方程041)2(2=+
--mn x n m x 有两个相等的正实根，求n
m 的值。
参考答案
一、填空题：
1、①；
2、22±；
3、k ≤
32；4、10 二、选择题：CCAA
三、分两种情况讨论：（1）当0=m 时，21=
x ；（2）当0≠m 时，042>+=∆m 所以方程必有实根。
四、m ＝2，n ＝3
五、不能。
由0)2(4)12(22>+-+=∆m m ⇒⎩⎨
⎧<+->-074032m m ⇒直线不通过第二象限 六、存在。
2-=m 七、
4=n m。