北师大版高中数学必修四：3.1同步导学ppt课件
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高中数学北师大版必修4第2章3.1《数乘向量》ppt课件
数乘向量的定义及其几何意义
已知a，b为两非零向量，试判断下列说法的正 误，并说明理由．
(1)2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍； (2)－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a模的25； (3)－2a与2a是一对相反向量； (4)a－b与－(b－a)是一对相反向量． [思路分析] 解答本题可先从实数的正负判断两向量的方 向关系，再找两向量模的关系，从而作出判断．
→ AC
＝λ
→ CD
，即3e1－
2e2＝λ(2e1－ke2)，
∴－3＝2＝2λ，－λk， 解得λ＝32，k＝43.
• [规律总结] 证明三点共线，往往要转化为证明过 同一点的两条有向线段所在的向量共线；证明两向 量共线，只需找出它们之间的线性关系．如果已知 两个向量共线，要确定参数的值，需用向量共线的 性质定理建立等式，然后根据向量相等的条件得到
• [答案] D
• [解析] 当λ >0时，λ a与b同向，当λ ＝0时，λ a ＝0方向任意，当λ <0时，λ a与a的方向相反．
数乘向量的运算及其应用
计算下列各式：(1)2(a＋b)－3(a－b)； (2)3(a－2b＋c)－(2c＋b－a)； (3)25(a－b)－13(2a＋4b)＋125(2a＋13b)． [思路分析] 要解决此问题，需要用到数乘向量的运算 律．包括：数乘向量的分配律及向量加、减法的运算律，其运 算过程类似“合并同类项”．
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等 等，这些用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》三角函数的积化和差与和差化积
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7
师：现在暂停读书，这几个公式形式比我们过去学过的其他 三角公式要复杂一些，记好用好这些公式得有一段过程，当 然，千万不要死记硬背，适当做一些练习，掌握这些公式的 实际应用，是可以逐步掌握它们的．让我们看看以下的例 题． 例题 求sin75°·cos15°的值． 请同学们想想有什么办法可以解决这个问题？ 生1：考虑到75°±15°都是特殊角，所以想到使用积化和差 公式解决之．
2． cos37.5°·cos22.5°
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10
而sin20°·sin40°·sin80°
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11
(四)课堂小结
本节课，我们学习了三角函数的积化和差公式，虽然这些公式是新出现 的，但它和过去学习的一些三角公式有密切的关系，所以首先应理清他 们的内在联系，这组公式的功能可以把三角函数的积的形式转化为和差 的形式，通过例解及课堂练习，同学们也开始发现这组公式的作用，希 望同学们在今后的学习中记好、用好这一组公式
五、作业
P．231中3；P．236中1、2．
六、教后反思：
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12
第二课时 三角函数的和差化积
一、教与学过程设计 (一)复习积化和差公式 1．请学生复述积化和差公式，教师板书
2．部分作业选讲 ① 证明 cos2αcosα—sin5αsin2α=cos4α·cos3α． 利用积化和差公式，可得
间是有紧密关系的．
师：和、差、倍、半角的三角函数是一组十分重要的公式，它
们在解决三角恒等变换等方面有许多重要应用．但是，光是这
些关系还不足以解决问题，今天我们还要进一步把握它们的内
在联，寻求新的关系式．
(二)引入新课
请学生说出正、余弦的和差完角整版公课件式pp(t 板书)
北师大版高中数学必修四：2.1同步导学ppt课件
第二章
§1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修4
有向线段 来表示．有向线段的长度表示 (2) 向量可以用 __________
向量的大小 ，箭头所指的方向表示____________ 向量的方向 ． ____________
(3)向量也可以用黑体小写字母如 a，b，c，„来表示，书 → → → 写用 a ， b ， c ，„来表示． 3．向量的长度(模)
→ → |a| AB ________(或________) 表示向量AB(或 a)的大小， 即长度(也
称模)．
第二章
§1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修4
4．四种重要的向量
→
(1) 长度为零的向量叫作 ________ ， 0 零向量 ，记作 _____ 0 或 ______ 它的方向与任一向量平行． 同方向 ，且长度为________ 单位1 的向量，叫作a方 (2)与向量a________ a0 向上的单位向量，记作________ ． 相同 的向量叫作相等向量，向 相等 且方向________ (3)长度________ 相等 ． 量a与b相等，记作a＝b.规定所有的零向量________ (4)如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合 __________， 平行 或________ 共线 ，a与b平行或共线，记作 则称这两个向量________ a∥b.
1.向量的概念 大小 ，又有________ 方向 的量叫作向量． 既有________ 2．向量的表示方法 方向和长度 的线段， (1)具有____________ 叫作有向线段． 以 A 为始点，
→ → AB 以 B 为终点的有向线段记作________， 线段AB的长度也叫作有
高中数学必修四北师大版 数乘向量ppt课件(24张)
要点三 例3
共线向量定理的应用
已知非零向量 e1，e2 不共线．
→ → → (1)如果AB＝e1＋e2， BC＝2e1＋8e2， CD＝3(e1－e2)， 求证： A， B，D 三点共线； (2)欲使 ke1＋e2 和 e1＋ke2 共线，试确定实数 k 的值． 解 → → → → (1)∵AB＝e1＋e2，BD＝BC＋CD＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝
1 －y＋2x＝e1， 得 x－1y＝e2， 2 1 2 －2×②＋①得2x－2x＝e1－2e2，x＝3(2e2－e1)， 2 同法得 y＝3(－2e1＋e2)， 2 4 2 → 4 → 即BC＝3e2－3e1，CD＝－3e1＋3e2.
① ②
法三 如图所示， 延长 BC 与 AL 交于点 E， 则△DLA≌△CLE， → → → → → 3→ 从而AE＝2AL，CE＝AD，KE＝2BC， 3→ → → → 由KE＝AE－AK，得 BC＝2e2－e1， 2 4 2 → 2 即BC＝3(2e2－e1)＝3e2－3e1. 4 2 → 2 同理可得CD＝3(－2e1＋e2)＝－3e1＋3e2.
要点一 数乘向量的运算 例 1 化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； 1 (2)6[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]． 解 (1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b； 1 1 (2)原式＝6(4a＋16b－16a＋8b)＝6(－12a＋24b)＝－2a＋4b.
2．已知非零向量a，你能说明实数λ与向量a的乘积λa的几何
意义吗？
答 λa仍然是一个向量． 当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0，方向任意．
新版高中数学北师大版必修4课件：第三章三角恒等变形 3.2.1-3.2.2
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知识梳理
典例透析
随堂演练
1.两角和与差的余弦公式
(1)cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β ;(Cα+β) (2)cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β .(Cα-β) 2.两角和与差的正弦公式
(1)sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β ;(Sα+β) (2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β .(Sα-β)
2.
同理,sin
2α=−
12 13
.
∴sin(α-β)=sin[2α-(α+β)]
=sin
2αcos(α+β)-cos
2αsin(α+β)=
12-10 39
2.
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题型一
题型二
题型三
题型四
知识梳理
典例透析
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反思求解本题的关键是利用角的代换化异角为同角.常见
的角的变换有 α=(α+β)-β=β-(β-α),π4+α=π2 −
已知 α,β 都是锐角,且 sin α=
5 , sin ������ =
5
10 , 求������ +
10
������的值.
错解∵α,β∈
0,
π 2
, 且sin
α=
5 , sin ������ =
5
10,
10
∴cos
α=
2 5,
5
cos
������
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题型一
北师大版必修4 第二章 3.1数乘向量 课件(22张)
A．0
B．1
C．2
D．3
()
解析：选 C 根据实数与向量的积满足的运算律，可知①正确； a－2b＋(2a＋2b)＝a－2b＋2a＋2b＝3a，故②正确；a＋b－(a ＋b)＝0.故③错误．
3．已知 m，n 是实数，a，b 是向量，则下列命题中正确的是 ( ) ①m(a－b)＝ma－mb； ②(m－n)a＝ma－na； ③若 ma＝mb，则 a＝b； ④若 ma＝na，则 m＝n.
A．①④ C．①③
B．①② D．③④
解析：选 B 由实数与向量的积满足的运算律，可知①②正确；
③中若 m＝0，则 a，b 的关系不确定，错误；④中若 a＝0，则 m 与 n 的关系不确定，错误．
4．已知向量 a＝2e1＋3e2，b＝－e1＋2e2，且 ma＋b 与 a－2b 共线，则实数 m＝________.
[解] (1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. (2)原式＝122a＋32b－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0. (3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.
向量线性运算的方法 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共 线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因 式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．
用已知向量表示其他向量的方法
[活学活用] 如图，四边形 OADB 是以向量OA＝a，OB＝b 为边的平行四 边形．又 BM ＝13 BC ，CN ＝13CD，试用 a，b 表示OM ，ON ， MN .
解：∵ BM ＝13BC ＝16BA＝16(OA－OB)＝16(a－b)， ∴OM ＝OB＋BM ＝b＋16a－16b＝16a＋56b. ∵CN ＝13CD＝16OD， ∴ON ＝OC ＋CN ＝12OD＋16OD ＝23 OD ＝23(OA＋OB )＝23(a＋b)． ∴ MN ＝ON －OM ＝23(a＋b)－16a－56b＝12a－16b.
2019-2020高中北师版数学必修4第2章 §3 3.1 数乘向量课件PPT
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(2)向量数乘的运算律 设 a，b 为向量，λ，μ 为实数，则数乘向量满足： ①结合律：λ(μa)＝_(_λ_μ_)a_； ②分配律：(λ＋μ)a＝_λ_a_＋__μ_a_；λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_.
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思考 1：向量 3a，－3a 与 a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？ [提示] 3a 的长度是 a 的长度的 3 倍，它的方向与向量 a 的方向 相同． －3a 的长度是 a 的长度的 3 倍，它的方向与向量 a 的方向相反．
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1．在四边形 ABCD 中，若A→B＝－12C→D，则此四边形是(
A．平行四边形
B．菱形
C．梯形
D．矩形
C [因为A→B＝－12C→D，
所以 AB∥CD，且 AB＝12CD，
所以四边形 ABCD 为梯形．]
)
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2．下列各式计算正确的有( )
①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；
③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
C [①③④正确．]
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3．已知向量 a 与 b 不共线，向量 c＝3a－b，d＝6a－2b，则向量 c 与 d 的关系是________．(填“共线”或“不共线”)
共线 [d＝6a－2b＝2(3a－b)＝2c， 所以向量 c 与 d 共线．]
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[解] (1)真命题．∵2a＝a＋a 与 a 方向相同， 且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|. (2)真命题．∵－2a＝(－a)＋(－a)与－a 同方向，3a＝a＋a＋a 与 a 同方向，由于－a 与 a 反方向，故－2a 与 3a 反方向， 又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a 的模是 3a 模的23倍．
(2)向量数乘的运算律 设 a，b 为向量，λ，μ 为实数，则数乘向量满足： ①结合律：λ(μa)＝_(_λ_μ_)a_； ②分配律：(λ＋μ)a＝_λ_a_＋__μ_a_；λ(a＋b)＝_λ_a_＋__λ_b_.
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思考 1：向量 3a，－3a 与 a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？ [提示] 3a 的长度是 a 的长度的 3 倍，它的方向与向量 a 的方向 相同． －3a 的长度是 a 的长度的 3 倍，它的方向与向量 a 的方向相反．
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1．在四边形 ABCD 中，若A→B＝－12C→D，则此四边形是(
A．平行四边形
B．菱形
C．梯形
D．矩形
C [因为A→B＝－12C→D，
所以 AB∥CD，且 AB＝12CD，
所以四边形 ABCD 为梯形．]
)
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2．下列各式计算正确的有( )
①(－7)6a＝－42a；②7(a＋b)－8b＝7a＋15b；
③a－2b＋a＋2b＝2a；④4(2a＋b)＝8a＋4b.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
C [①③④正确．]
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3．已知向量 a 与 b 不共线，向量 c＝3a－b，d＝6a－2b，则向量 c 与 d 的关系是________．(填“共线”或“不共线”)
共线 [d＝6a－2b＝2(3a－b)＝2c， 所以向量 c 与 d 共线．]
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[解] (1)真命题．∵2a＝a＋a 与 a 方向相同， 且|2a|＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝2|a|. (2)真命题．∵－2a＝(－a)＋(－a)与－a 同方向，3a＝a＋a＋a 与 a 同方向，由于－a 与 a 反方向，故－2a 与 3a 反方向， 又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a 的模是 3a 模的23倍．
高中数学-3.1同角三角函数的基本关系课件-北师大必修4
解得tan α=0或2.
经检验知，均符合要求，所以tan α=0或2.
【方法技巧】 1.关于sin α，cos α的齐次式的求值策略 (1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于 sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分 子，分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式 子，再代入求值. (2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α+cos2α来代换， 将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代 入求值.
(4)
cos2
1
1 tan
2
，sin
2
1
tan2 tan2
.
cos 1 sin ， sin 1 cos . 1 sin cos 1 cos sin
【微思考】 (1)利用平方关系求sin α或cos α是否会得到正负两个值？ 请说明理由. 提示：不一定，其正负号由角α所在的象限决定. (2)由tan α的值求sin α与cos α的关键是什么？ 提示：由商数关系与平方关系构造关于sin α与cos α的方程组 求解.
【探究提示】
1.一般会用到
tan sin . cos
2.差异有两点，一是函数名称，二是式子形式，可通过切化弦
或者弦化切来消除差异.
【自主解答】(1)左边= sin2 cos2 2sin cos sin2 cos2
=sin cos 2 sin cos
sin2 cos2 sin cos = tan =右1 边，
上递增
f x
1 cos2x cos x
(
)
B.在
(
2
,
) 2
【25份】2016高二数学北师大版必修4同步教学课件合集 共998张PPT
第一章 §1
高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·必修4
3 ．某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆
放花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且 按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白„„的顺序摆放，那么第 2016盆花的颜色是( A．红 ) B．黄
C中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·必修4
2．下列变化中不是周期现象的是(
A．“春去春又回” B．钟表的分针每小时转一圈
)
C．天干地支表示年、月、日的时间顺序 D．某同学每天上学的时间
[答案] D
[ 解析 ] 每隔一年，春天就重复一次，因此 “ 春去春又 回”是周期现象；分针每隔一小时转一圈，是周期现象；天干 地支表示年、月、日是周期现象；该同学上学时间不固定，并 不是每隔“一段时间”就会重复一次，因此不是周期现象．
数学
北师大版 ·必修4
高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·必修4
第一章
三角函数
第一章
三角函数
高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·必修4
美妙音乐显周期 《梁祝》优美动听的旋律， 《十面埋伏》的铮铮琵琶声，贝多 芬令人激动的交响曲，田野里昆虫啁啾的鸣叫„„当沉浸在这些 美妙的音乐声中时，你是否想到了它们其实与数学有着密切的联 系？ 事实上，数学与音乐之间不仅有着密切的联系，而且相互交 融形成了一个和谐统一的整体．古希腊时代的毕达哥拉斯(约公元 前 580～公元前 500 年)就已经发现了数学与音乐的关系．他注意 到如果振动弦的长度可表示成简单的整数之比，这时发出的将是 和音，如 23(五度和音)或 34(四度和音)．
D．白
因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白„„的
高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·必修4
3 ．某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆
放花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且 按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白„„的顺序摆放，那么第 2016盆花的颜色是( A．红 ) B．黄
C中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·必修4
2．下列变化中不是周期现象的是(
A．“春去春又回” B．钟表的分针每小时转一圈
)
C．天干地支表示年、月、日的时间顺序 D．某同学每天上学的时间
[答案] D
[ 解析 ] 每隔一年，春天就重复一次，因此 “ 春去春又 回”是周期现象；分针每隔一小时转一圈，是周期现象；天干 地支表示年、月、日是周期现象；该同学上学时间不固定，并 不是每隔“一段时间”就会重复一次，因此不是周期现象．
数学
北师大版 ·必修4
高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·必修4
第一章
三角函数
第一章
三角函数
高中新课程 ·学习指导 · 北师大版 ·数学 ·必修4
美妙音乐显周期 《梁祝》优美动听的旋律， 《十面埋伏》的铮铮琵琶声，贝多 芬令人激动的交响曲，田野里昆虫啁啾的鸣叫„„当沉浸在这些 美妙的音乐声中时，你是否想到了它们其实与数学有着密切的联 系？ 事实上，数学与音乐之间不仅有着密切的联系，而且相互交 融形成了一个和谐统一的整体．古希腊时代的毕达哥拉斯(约公元 前 580～公元前 500 年)就已经发现了数学与音乐的关系．他注意 到如果振动弦的长度可表示成简单的整数之比，这时发出的将是 和音，如 23(五度和音)或 34(四度和音)．
D．白
因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白„„的
2020-2021学年北师大版数学必修4课件：2.3.1 数乘向量
类型三 向量共线的判定与应用(逻辑推理) 角度1 证明(判断)三点共线
【典例】已知非零向量e1,e2不共线.如果 AB =e1+e2, BC=2e1+8e2, CD =3(e1-e2), 求证A,B,D三点共线. 【思路导引】欲证A,B,D共线,只需证存在实数λ,使 BD＝AB 即可. 【证明】因为 AB=e1+e2, BD＝BC=＋2CDe1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5 AB.所以 AB, B共D线,且有公共点B,所以A,B,D三点共线.
【题组训练】
1.设a是非零向量,λ是非零实数,则下列结论正确的是 ( )
A.a与-λa的方向相反
B.|-λa|≥|a|
C.a与λ2a的方向相同
D.|-λa|=|λ|a
2.两个非零向量a与(2x-1)a的方向相同,则x的取值范围为________.
3.已知A,B,C三点共线,且 AB 2 , 分别用
3
AB BC,
则λ=Biblioteka ()A. 2B.－2 C. 5 D.－5
3
3
3
3
【解析】选D.因为点C在线段AB上,且 | AC | 2 | CB |, 所以A,B,C的位置关系如图所
3
示:
因为 AB 则BC, AB所－ 以5λB=C-, .
5
3
3
关键能力·合作学习
类型一 数乘向量的定义及运算律(数学抽象)
【跟踪训练】 (1)化简:(2a+3b-c)-(3a-2b+c)=________. (2)已知向量a,b,x,且(x-a)-(b-x)=x-(a+b),则x=________. 【解析】(1)(2a+3b-c)-(3a-2b+c)=2a-3a+3b+2b-c-c=-a+5b-2c. (2)因为(x-a)-(b-x)=x-(a+b),所以2x-a-b=x-a-b,即:x=0. 答案:(1)-a+5b-2c (2)0
北师大版高中数学必修四课件§33.1数乘向量
Hale Waihona Puke （2）向量的3a方向与的方a向相反，向量的长度是3a
a
的3倍，即 | 3a | 3 | a | .
一、向量的数乘运算 一般地，实数λ 与向量的积是a 一个向量，这种运算 叫作向量的数乘运算，记作 λa. 它的长度和方向规定如下：
特别地，当λ =0时方λa向 任0, 意.
探究三、数乘向量的运算律 （1）根据定义，求作向量和3(2，a)并作6a比(a 较 0.)
a 3a
5、在物理中位移与速度的关系：s=vt，力与加速度的关系： f=ma.其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质 量都是数量.
O A B C N M QP
探究二、向量与3a向量有什a么关系？向量与向量3a 有a 什么关系？
（1）向量的3a方向与的方a向相同，向量的长度3是a
a
的3倍，即 | 3a | 3| a | .
λ(μ1a μ2 b) λμ1a λμ2 b
练习： 计算：
探究四、共线向量判定定理和性质定理 1、如果那b 么λ向a, 量与是否共a 线？b 2、如果非零向量与a 共线b ，那么是否有实数λ ,使
b λa ?
且当与a 同方b 向时，有 b μa; 当与a 反方b 向时，有 b μa, 所以始终有一个实数λ ，使 b λa.
三、向量共线的判定定理 是a 一个非零向量，若存在一个实数λ ，使得 则向量与b非零向量共线a . 四、向量共线的性质定理
b λa.
向量与b 非零向量共线a ，则存在一个实数λ ， 使得 b λa.
思考：1）为a 什么要是非零向量？ 2）可以是零b 向量吗？
E
C
A
B
D
A B
最新[高一数学]北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》三角函数的简单应用幻灯片
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你知道吗？ 这条曲线就是正弦曲线！
2、你能试着针对周围一些呈周期性变化的现象 编拟一道能用三角函数模型解决它的题吗？
16
17
教学目标：
1、知识目标：能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模 型刻画数据所蕴涵的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释 有关实际问题，为决策提供依据。
2、能力目标：体会由现实问题选择数学模型、研究数学模型、解 决现实问题的数学建模学习过程，使学生逐步养成运用信息技术工 具解决实际问题的意识和习惯； 使学生进一步提升对函数概念的 完整认识，培养用函数观点综合运用知识解决问题的能力.
根据太阳高度角的定义有
h0
P
A
B
C
7
8
太阳高度角的定义
北半球 南半球
• 如图，设地球表面某地 纬度值为 ，
• 正午太阳高度角为 ，
此时太阳直射纬度为
• 那么这三个量之间的关
系是 90||
• 当地夏半年 取正值，
冬半年 取负值。
90
地心
太阳光
90
90 ||
90|| 9
太阳光直射南半球
地心
万吨船舶可候潮进出港。
22
1.依据规定,当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放, 请设计一天内从上午到晚上之间,开放冲浪场所的具体时 间段，有多少时间可供冲浪者进行活动? 2.按安全条例规定，船何时安全进出港
(潮汐对轮船进出港口产生什么影响？) 上述的变化过程中，哪些量在发生变化？哪个是自变量？ 哪个是因变量？
所为以使后M 楼C 不 被ta 前h n 0楼c遮挡tan ，3 h 要6 0留34 出' 相1 当.3与5h 楼0即高在1.盖35楼倍时的，间距。
2、你能试着针对周围一些呈周期性变化的现象 编拟一道能用三角函数模型解决它的题吗？
16
17
教学目标：
1、知识目标：能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模 型刻画数据所蕴涵的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释 有关实际问题，为决策提供依据。
2、能力目标：体会由现实问题选择数学模型、研究数学模型、解 决现实问题的数学建模学习过程，使学生逐步养成运用信息技术工 具解决实际问题的意识和习惯； 使学生进一步提升对函数概念的 完整认识，培养用函数观点综合运用知识解决问题的能力.
根据太阳高度角的定义有
h0
P
A
B
C
7
8
太阳高度角的定义
北半球 南半球
• 如图，设地球表面某地 纬度值为 ，
• 正午太阳高度角为 ，
此时太阳直射纬度为
• 那么这三个量之间的关
系是 90||
• 当地夏半年 取正值，
冬半年 取负值。
90
地心
太阳光
90
90 ||
90|| 9
太阳光直射南半球
地心
万吨船舶可候潮进出港。
22
1.依据规定,当海浪高度高于1m时才对冲浪爱好者开放, 请设计一天内从上午到晚上之间,开放冲浪场所的具体时 间段，有多少时间可供冲浪者进行活动? 2.按安全条例规定，船何时安全进出港
(潮汐对轮船进出港口产生什么影响？) 上述的变化过程中，哪些量在发生变化？哪个是自变量？ 哪个是因变量？
所为以使后M 楼C 不 被ta 前h n 0楼c遮挡tan ，3 h 要6 0留34 出' 相1 当.3与5h 楼0即高在1.盖35楼倍时的，间距。
2020-2021学年数学高中必修4北师大版课件：3.1 同角三角函数的基本关系
第三章 三角恒等变形
学案·自主学习
教案·合作探究
练案·高效测评
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数学 必修4
第三章 三角恒等变形
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题型一 利用同角三角函数关系式求值 已知 tan α＝－2，求 sin α，cos α 的值． 【思路探究】 已知 α 的正切，可利用同角三角函数的商数关系和平方关系求解．
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第三章 三角恒等变形
学案·自主学习
教案·合作探究
解析： 方法一：因为 tan α＝－2＜0，
所以 α 为第二或第四象限角，
且 sin α＝－2cos α，①
又 sin2α＋cos2α＝1，②
由①②消去 sin α，得(－2cos α)2＋cos2α＝1，即 cos2α＝15.
当 α 为第二象限角时，cos α＝－ 55，代入①得 sin α＝255；
1．化简
A．cosπ5 C．sinπ5 解析：
1－sin2π5的结果是(
)
B．－cosπ5
1－sin2π5＝
D．－sinπ5 cos2π5＝cosπ5.
答案： A
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练案·高效测评
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第三章 三角恒等变形
学案·自主学习
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2．若 α 是第四象限角，tan α＝－152，则 sin α 等于( )
要进行讨论.
数学
第三章 三角恒等变形
必修4
[变式训练]
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1．(1)已知 α 为第三象限的角，且 tan α＝13，则 cos α 的值为(
3 10 A. 10
B．±3
高中数学北师大版必修四 第2章 §3 3.1 数乘向量
．(填“梯
【解析】 因为A→B＝2D→C，所以四边形 ABCD 中有 AB∥DC，AB＝2CD， 所以四边形 ABCD 是梯形．
【答案】 梯形
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5．如图 2-3-2 所示，已知在梯形 ABCD 中，AB∥CD 且 AB＝3CD.若A→B＝a， A→D＝b，试用 a，b 表示向量A→C.
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因为 F 是 AC 的中点，所以A→F＝12A→C＝12b. 所以B→E＝A→E－A→B＝13(a＋b)－a ＝13(b－2a)． B→F＝A→F－A→B＝12b－a＝12(b－2a)．
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(2)证明：由(1)可知， B→E＝13(b－2a)，B→F＝12(b－2a)， 所以B→E＝23B→F，即B→E，B→F是共线向量，又因为它们有公共点 B，所以 B，E， F 三点共线．
(5)若 a∥b，则存在 λ∈R，使得 b＝λa．( )
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【解析】 由数乘向量的意义知，(1)正确，(2)正确，(3)正确；(4)当 λ＝0， b＝0 时，不能判断方向相同或相反，因而(5)错误；(6)当 a＝0，b≠0 时，就不 存在实数 λ，使 b＝λa，故(6)错误．
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)×
图 2-3-1
(1)用 a，b 表示向量A→D，A→E，A→F，B→E，B→F；
(2)证明：B，E，F 三点共线．
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【解】 (1)如图所示，延长 AD 到 G，使A→D＝12A→G，连接 BG，CG，得到
四边形 ABGC．
因为 D 是 BC 和 AG 的中点， 所以四边形 ABGC 是平行四边形， 则A→G＝A→B＋A→C＝a＋b，所以A→D＝12A→G＝12(a＋b)， A→E＝23A→D＝13(a＋b)．
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第三章
§1
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cosx 3．(tanx＋ sinx )cos2x＝( A．tanx C．cosx
[答案] D
) B．sinx cosx D． sinx
[解析]
sinx cosx 原式＝cosx＋ sinx · cos2x
8 2 15 1－17 ＝－17，
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[规律总结]
解答此类题目的关键在于充分借助已知角的
三角函数值，缩小角的范围．在解答过程中如果角 α 所在象限 已知，则另两个三角函数值唯一；若角 α所在象限不确定，则
应分类讨论．需特别注意：若已知三角函数值以字母 a给出，
第三章 §1
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1 2sinαcosα 2．已知 tanα＝－2，则 2 的值是( sin α－cos2α 4 A．3 4 C．－3
[答案] A
)
B．3 D．－3
1 2×－2 2tanα 4 [解析] 原式＝ 2 ＝ 1 ＝3. tan α－1 －22－1
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章
三角恒等变形
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第三章
§1 同角三角函数的基本关系
第三章
三角恒等变形
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第三章 §1
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同角三角函数的基本关系式
2α＋cos2α＝1 sin (1)平方关系：_________________.
sinα π cos α (2)商数关系：tanα＝________(α≠2＋kπ，k∈Z)，该式子
sinα tanα tanαcosα 可变形为①sinα＝___________ ；②cosα＝________.
8 (2)∵cosα＝17>0， ∴α 是第一、四象限角． 当 α 是第一象限角时， sinα＝ 1－cos α＝ sinα 15 ∴tanα＝cosα＝ 8 ； 当 α 是第四象限角时， sinα＝－ 1－cos α＝－ sinα 15 ∴tanα＝cosα＝－ 8 .
第三章 §1
2 2
8 2 15 1－17 ＝17，
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§1
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[规范解答]
4 (1)∵sinα＝－5，α 是第三象限角，
2
∴cosα＝－ 1－sin α＝－
16 3 1－25＝－5.
sinα 4 5 4 ∴tanα＝cosα＝－5×(－3)＝3.
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应就α所在象限讨论．
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课堂典例讲练
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利用同角三角函数的关系求值
4 (1)若 sinα＝－5，且 α 是第三象限角，求 cosα， tanα 的值； 8 (2)若 cosα＝17，求 tanα 的值．
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[思路分析]
(1)解答本题可先利用 sin2α＋cos2α＝1 求出
cos2α 的值，然后再利用 α 在第三象限得 cosα＝－ 1－sin2α求 sinα 出 cosα 的值，最后利用 tanα＝cosα解答本题． (2)解答本题可先利用 cosα>0，得出 α 在第一、第四象限及 x 轴的非负半轴，然后就 α 所在的位置分别求出 sinα 的值，最 后求出 tanα 的值．
sin2x＋cos2x cosx 2 ＝ sinx· cos x＝ sinx . cosx ·
第三章
§1
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1 4．已知 sinθ－cosθ＝3，则 sinθcosθ＝________. [答案] 4 9
1 1－sinθ－cosθ2 1－9 4 [解析] sinθcosθ＝ ＝ 2 ＝9. 2
第三章
§1
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12 1.已知 α 是第四象限角，cosα＝13，则 sinα 等于( 5 A．13 5 C．12 5 B．－13 5 D．－12
)
[答案] B
[解析] ∵α 是第四象限角， ∴sinα＝－ 1－cos α＝－
2
12 2 前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课后强化作业
第三章
§1
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课前自主预习
第三章
§1
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数学是美的，其中一个重要的原因在于数 学中存在十分美妙的数量关系，如勾股定理反 映了直角三角形的三边之间关系的美妙．在三 角函数中类似于这种关系的有吗？如图，若直 角三角形斜边为 1，则锐角 α 的对边为 sinα、 邻边为 cosα，自然将有 sin2α＋cos2α＝12，即 sin2α＋cos2α＝1， sinα 另外还有 tanα＝cosα.这里的两个三角函数关系式反映着三角函 数关系的美妙，不过，现在只是对 α 为锐角成立，若 α 为任意角 还成立吗？若成立， 它们将有哪些重要作用？本节的学习将使你 开拓认知的新天地.
第三章
§1
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5．化简 1＋2sin4cos4＝________.
[答案] －(sin4＋cos4)
[解析] 原式＝ sin24＋2sin4cos4＋cos24 ＝ sin4＋cos42＝|sin4＋cos4| ＝－(sin4＋cos4)(∵sin4<0，cos4<0)．