黑龙江省大庆市第四中学2020届高三数学4月月考试题理

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黑龙江省大庆市第四中学2019-2020学年高二下学期第一次月考数学(理)试题

大庆四中2019～2020学年度第二学期第一次检测高二年级数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.复数12z i =-的虚部是（） A. 1B. -2C. -2iD. 2【★★答案★★】B 【解析】【分析】根据虚部的定义直接辨析即可. 【详解】复数12z i =-的虚部是2-. 故选：B【点睛】本题主要考查了复数虚部的辨析，复数(),,z a bi a b R =+∈的虚部为b ，属于基础题. 2.已知随机变量ξ服从正态分布()21,σN ，若()20.15ξP >=，则()01ξP ≤≤=（）A. 0.85B. 0.70C. 0.35D. 0.15【★★答案★★】C 【解析】试题分析：根据题意可得：(01)(12)0.5(2)0.35P P P ξξξ≤≤=≤≤=->=. 故选C. 考点：正态分布的概念3.下列四个命题正确的是（）①线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱； ②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；③用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明模型的拟合的效果越好； ④随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足()0E e =. A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【★★答案★★】D 【解析】【分析】根据线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越大，说明模拟的拟合效果越好以及根据对于随机误差的理解即可得到★★答案★★.【详解】解：线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；故①不正确. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；故②正确.用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越大，说明模拟的拟合效果越好；故③不正确. 随机误差e 是衡量预报精确度的一个量，它满足()0E e =.故④正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查两个变量的线性相关和回归方程，解题关键是理解对于拟合效果好坏的几个量的大小反映的拟合效果的好坏，属于基础题.4.某种家用电器能使用三年的概率为0.8，能使用四年的概率为0.4，已知某一这种家用电器已经使用了三年，则它能够使用到四年的概率为（） A. 0.32B. 0.4C. 0.5D. 0.6【★★答案★★】C 【解析】【分析】记“家用电器能使用三年”为事件A ，记“家用电器能使用四年”为事件B ，由题意可得()()=0.8=0.4P A P B ，则()=0.4P AB ，然后可算出★★答案★★.【详解】记“家用电器能使用三年”为事件A ，记“家用电器能使用四年”为事件B 由题意可得()()=0.8=0.4P A P B ，则()=0.4P AB由条件概率的计算方法可得()0.4==0.50.8P B A 故选：C【点睛】本题考查的是条件概率，较简单.5.某市选派6名主任医生，3名护士，组成三个医疗小组分配到甲、乙、丙三地进行医疗支援，每个小组包括两名主任医生和1名护士，则不同的分配方案有（）A. 60种B. 300种C. 150种D. 540种【★★答案★★】D【解析】【分析】根据题意，分2步，先把医生分3组，每组2人，有22264233C C CA种方法，护士分3组，每组1人，有1种方法，再将分好的三组医生、护士分配到三地即可. 【详解】根据题意，分2步进行分析：①，将6名主任医生分成3组，每组2人，有22264233C C CA种分组方法，将3名护士分成3组，每组1人，有1种方法；②，将分好的三组医生、护士全排列，对应甲、乙、丙，有A33种情况，则有22264233C C CA⨯A33×A33＝540种，故选：D.【点睛】本题考查了排列组合，考查了分组分配法，其指导思想是先分组后分配，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，应注意如果一些组中元素的个数相等，就存在均分现象，需消序，本题属于平均分组，属于中档题.6.执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A.14- B.45C. 4D. 5【★★答案★★】B【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得★★答案★★．【详解】解：由题可知，输入45a =，当1n =时，满足执行循环的条件，故14a =-，2n =，当2n =时，满足执行循环的条件，故5a =，3n =，当3n =时，满足执行循环的条件，故45a =，4n =，当4n =时，满足执行循环的条件，故14a =-，5n =，⋯当2015n =时，满足执行循环的条件，故5a =，2016n =，当2016n =时，满足执行循环的条件，故45a =，2017n = 当2017n =时，不满足执行循环的条件，故输出的a 值为45，故选：B ．【点睛】本题考查根据循环结构程序框图求输出结果，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟循环的方法，考查理解和计算能力．7.在1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，如果第32项的系数与第72项的系数相等，则展开式的中间一项可用组合数表示为（） A. 52104CB. 52103CC. 52102CD. 51102C【★★答案★★】D 【解析】【分析】先由第32项的系数与第72项的系数相等,再结合二项式的通项公式可得n 的值，从而可求得其中间项【详解】解：二项式1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项公式为211rr n r r n rr n n T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为第32项的系数与第72项的系数相等，所以3171n n T T =，所以3171102n =+=，所以展开式的中间一项可用组合数表示为51102C 故选：D【点睛】此题考查的是二项式展开式的系数问题，属于基础题8.将,,,,A B C D E 排成一列，要求,,A B C 在排列中顺序为“,,A B C ”或“,,C B A ”（ ,,A B C 可以不相邻），这样的排列数有（） A. 12种B. 20种C. 40种D. 60种【★★答案★★】C 【解析】5533240A A ⨯= 9.某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有( )A. 1242610()C AB. 242610A A 个C. 12426()10C 个D. 242610A 个【★★答案★★】A 【解析】试题分析：第一步先排两个英文字母，可以重复，所以方法数有()2126C 种；第二步排4个数字，数字要互不相同，方法数有410A 种，按照分步计数原理，放法数一共有1242610()C A 种.考点：1、排列组合；2、分步计数原理． 10.1021001210(1)x a a x a x a x -=++++，则13579a a a a a ++++=（）A. 512B. 1024C. 1024-D. 512-【★★答案★★】D【解析】【分析】根据题意分别令1x =和1x =-得到的两个式子相减即可得到结论. 【详解】解：令1x =，得0123100a a a a a =+++++；令1x =-，得100123102a a a a a =-+-++；两式相减得，()101357922a a a a a -=++++，所以10913579225122a a a a a -++++==-=-.故选：D.【点睛】本题主要考查二项式定理，考查学生的计算能力，属于基础题. 11.随机变量ξ的分布列如下，且满足()2E ξ=，则()E a b ξ+的值（）A. 0B. 1C. 2D. 无法确定，与a ，b 有关【★★答案★★】B 【解析】【分析】根据数学期望定义得到一个等式，概率和为1得到一个等式.计算()E a b ξ+代入前面关系式，化简得到★★答案★★. 【详解】()2E ξ=由随机变量ξ的分布列得到：232a b c ++=，又1a b c ++=，解得a c =，∴21a b +=，∴()2(1)E a b aE b a b ξξ+=+=+=．故选B ．【点睛】本题考查了数学期望的计算，意在考查学生的计算能力.12.设45123451010,10x x x x x ≤<<<≤=. 随机变量1ξ取值12345,,,,x x x x x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值2334455112,,,,22222x x x x x x x x x x +++++的概率也为0.2.若记1D ξ、2D ξ分别为1ξ、2ξ的方差，则（）A. 1D ξ＞2D ξB. 1D ξ＝2D ξ.C. 1D ξ＜2D ξ.D. 1D ξ与2D ξ的大小关系与1234,,,x x x x 的取值有关.【★★答案★★】A 【解析】【详解】由已知条件可得12E E ξξ=,又4523345145121234510101022222x x x x x x x x x x x x x x x +++++≤<<<<<<≤<<<=，所以变量1ξ比变量2ξ的波动大，即12D D ξξ>. 故本题正确★★答案★★为A.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13.设m R ∈，复数22(21)(23)z m m m m i =+-+-++，若z 为纯虚数，则m =_____.【★★答案★★】12【解析】【分析】直接由纯虚数的定义，得出z 实部为0且虚部不为0，从而求得实数m 的值．【详解】解：复数22(21)(23)z m m m m i =+-+---为纯虚数，∴22210230m m m m ⎧+-=⎨---≠⎩，解得：12m =．故★★答案★★为：12．【点睛】本题考查复数的基本概念，考查由复数为纯虚数求参数值，属于基础题． 14.随机变量X 服从二项分布134B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，若随机变量42X ξ=+，则()D ξ=________. 【★★答案★★】9 【解析】【分析】先求解()D X ，再根据二项分布的方差性质求解即可. 【详解】由题，()119314416D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故()29424916D X +=⨯=. 故★★答案★★为：9【点睛】本题主要考查了二项分布的方差与方差的性质以及计算，属于基础题.15.6的展开式中的常数项为______．（用数字作答）【★★答案★★】-20 【解析】【分析】直接利用二项式定理计算得到★★答案★★【详解】6的展开式的通项为：()631661rrr rr r r T C C x --+⎛==- ⎝. 取3r =得到常数项为：3620C -=-.故★★答案★★为：20-.【点睛】本题考查了二项式定理求常数项，意在考查学生的计算能力和应用能力.16.某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为（用数字作答）. 【★★答案★★】：35【解析】【分析】三门文化课排列，中间有两个空，若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为32332A A ⨯，若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为31133233()216A A A A =，三门文化课中相邻排列，则排法种数为3434144A A =，而所有的排法共有66720A =种，由此求得所求事件的概率．【详解】解：把语文、数学、外语三门文化课排列，有33A 种方法，这三门课中间存在两个空，在两个空中，①若每个空各插入1节艺术课，则排法种数为32133272A A A =， ②若两个空中只插入1节艺术课，则排法种数为31133233()216A A A A =， ③若语文、数学、外语三门文化课相邻排列，把三门文化课捆绑为一个整体，然后和三门艺术课进行排列，则排法种数为3434144A A =，而所有的排法共有66720A =种，故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为7221614437205++=，故★★答案★★为：35．【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.） 17.在甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于120分为优秀，120分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表．已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为27．（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可能性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？参考公式及数据：K 2=()()()()2n(ad bc)a b c d a c b d -++++．【★★答案★★】（1）；（2）按95%的可能性要求，可以认为“成绩与班级有关系”. 【解析】【分析】（1）根据随机抽取1人为优秀的概率为27，得出优秀的总人数，从而得出乙班优秀人数，同时也能得出甲班非优秀的人数，其余数据进而可求；（2）根据公式K 2=()()()()2n(ad bc)a b c d a c b d -++++，求出相关指数k 的值，然后进行对比临界值，即可得出结果.【详解】解：（1）优秀人数为105×27=30， ∴乙班优秀人数为30-10=20（人），甲班非优秀人数为105-30-30=45（人），故列联表如下：（2）根据列联表中的数据，2105(10302045)k 6.109 3.84155503075＞⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯所以若按95%的可能性要求，可以认为“成绩与班级有关系”.【点睛】本题考查了古典概型、列联表及利用列联表进行独立性检验的思想方法，熟练掌握独立性检验的思想方法是解题的关键.18.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,22t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρθ=. （1）求出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 的交点为,A B ，求||AB的值.【★★答案★★】（1）l 普通方程为20y -+-=，曲线C 的直角坐标方程为22(3x y +=；（2）【解析】【分析】（1）利用加减消元法消去参数t ，得到直线l 的普通方程，将极坐标方程两边同乘ρ，再利用互化公式转换，即可得到曲线C 的直角坐标方程；（2）由（1）知曲线C 的圆心为，半径r =求出曲线C 的圆心到直线l 的距离d ，最后利用垂径定理求出||AB ．【详解】解：（1）1222t x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数），∴2y -=，即直线l 的普通方程为3230x y -+-=，由23sin ρθ=得223sin ρρθ=，即2223x y y +=，∴曲线C 的直角坐标方程为2223x y y +=，即22(3)3x y +-=．（2）由（1）知曲线C 的圆心为(0,3)，半径3r =，∴曲线C 的圆心(0,3)到直线l ：3230x y -+-=的距离为：()()22303232323123+-1d ⨯-+--===-， 222||223(31)2231AB r d ∴=-=--=-．【点睛】本题考查利用消参法将参数方程转化为普通方程，利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程，以及点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系和圆的弦长问题，考查化简计算能力．19.某单位利用周末时间组织职工进行一次“健康之路、携手共筑”徒步走健身活动，有n 人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为[25,30),[30,35),[35,40),[40,45)，[45,50),[50,55]六组，其频率分布直方图如图所示，已知[35,40)岁年龄段中的参加者有8人.（1）求n 的值并补全频率分布直方图；（2）从[30,40)岁年龄段中采用分层抽样方法抽取5人作为活动的组织者，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[30,35)岁的人数为ξ，求ξ的分布列. 【★★答案★★】（1）40；见解析（2）见解析【解析】分析】(1)根据[35,40)岁年龄段中的参加者有8人，再结合频率计算总人数，再根据频率之和为1求解第二组的频率，算出矩形的高补全即可.(2)根据分层抽样的性质可得[30,35)岁中有3人，[35,40)岁中有2人，再根据超几何分布的方法列出分布列即可.【详解】解：（1）年龄在[35,40)之间的频率为004502..⨯=，∵80.2n=，∴8400.2n==. ∵第二组的频率为：1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，∴矩形高为0.30.065=.所以频率分布直方图如图所示.（2）由（1）知，[30,35)之间的人数为0.0654012⨯⨯=，又[35,40)之间的人数为8，因为[30,35)岁年龄段人数与[35,40)岁年龄段人数的比值为12:83:2=，所以采用分层抽样抽取5人，其中[30,35)岁中有3人，[35,40)岁中有2人.由题意，随机变量ξ的所有可能取值为1,2,3.1232353(1)10C CPCξ===，2132353(2)5C CPCξ===，3335(3)110CPCξ===.所以随机变量ξ的分布列为：ξ 1 2 3P31035110【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用、分层抽样以及超几何分布，属于基础题.20.德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，课程初等代数初等几何初等数论微积分初步合格的概率34232312（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（2）记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望．【★★答案★★】(1)512;(2) 见解析. 【解析】【分析】(1)先将合格事件标记，然后根据题目给出的条件求出复赛的资格的概率. (2)直接根据离散型随机变量的概率计算方法解答.【详解】（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件,,,A B C D ,则“甲能修得该课程学分”的概率为()()()P ABCD P ABCD P ABCD ++,事件,,,A B C D 相互独立，3221322132115()()()43324332433212P ABCD P ABCD P ABCD ++=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=. (2)0337(0)()12P C ξ==，12357(1)()()1212P C ξ==，22357(2)()()1212P C ξ==,3335(3)()12P C ξ==因此，ξ的分布列如下：因为ξ～53,12B ⎛⎫⎪⎝⎭所以553.124E ξ=⨯= 考点：1.离散型随机变量的分布列；2.数学期望；3.相互独立事件的概率.21.甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结束相互独立，第1局甲当裁判.（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）X 表示前4局中乙当裁判的次数，求X 的数学期望. 【★★答案★★】（Ⅰ）14（Ⅱ）98【解析】【分析】（1）利用独立事件的概率公式求解，关键是明确A 表示事件“第4局甲当裁判”和1A 表示事件“第2局结果为甲胜”，2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”之间个独立关系；（2）明确X 的可能取值，然后利用独立事件和互斥事件的公式逐一求解.因当x=1时较为复杂，故采用对立事件概率问题进行求解，即(1)1(0)(2).P X P X P X ==-=-= 【详解】（Ⅰ）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”， 2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”. 则12=?A A A12121()=P(?)()()4P A A A P A P A ==.（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2.记3A 表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，1B 表示事件“第1局结果为乙胜丙”，2B 表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”.则1231231(0)(?•)()()()8P X P B B A P B P B P A ====13131(2)(?)()=4P X P B B P B P B ===（），115(1)1-(0)(2)1848P X P X P X ===-==--=，9()0?(0)1?(=1)+2?(2)8E X P X P X P X ==+==.【点睛】本题考查独立事件和互斥事件的概率问题已经离散型数学期望，考查分析问题和计算能力.22.某商店每天（开始营业时）以每件15元的价格购入A 商品若干（A 商品在商店的保鲜时间为8小时，该商店的营业时间也恰好为8小时），并开始以每件30元的价格出售，若前6小时内所购进的A 商品没有售完，则商店对没卖出的A 商品将以每件10元的价格低价处理完毕（根据经验，2小时内完全能够把A 商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进A 商品）.该商店统计了100天A 商品在每天的前6小时内的销售量，由于某种原因销售量频数表中的部分数据被污损而不能看清，制成如下表格（注：视频率为概率）.（1）若某天商店购进A 商品4件，试求商店该天销售A 商品获取利润ξ的分布列和期望；（2）若商店每天在购进4件A 商品时所获得的平均利润最大，求x 的取值集合. 【★★答案★★】（1）见解析（2）[45,70]，*x N ∈.【解析】【分析】（1）设商店某天销售A 商品获得的利润为ξ，分别可求得当需求量为3，4，5时的利润ξ的值，进而可得分布列和期望；（2）可得商店每天购进的A 商品的件数取值可能为3件，4件，5件．当购进A 商品3件时，45EY =，同理可得当购进A 商品4件时，54EY =，当购进A 商品5件时，630.2EY x =-，结合条件可得出x 的取值范围．【详解】解：（1）设商店某天销售A 商品获得的利润为ξ（单位：元）当需求量为3时，1535(43)40ξ=⨯-⨯-=，当需求量为4时，15460ξ=⨯=，当需求量为5时，15460ξ=⨯=，ξ的分布列为则400.3600.754E ξ=⨯+⨯=（元），所以商店该天销售A 商品获得的利润均值为54元. （2）设销售A 商品获得的利润为Y ，依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，则商店每天购进的A 商品的件数取值可能为3件，4件，5件, 当购进A 商品3件时，(3015)30.3(3015)30.4(3015)30.345EY =-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=，当购进A 商品4件时，70[(3015)3(1510)1]0.3[(3015)4][(3015)4]54100100x xEY -=-⨯--⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=，当购进A 商品5件时，[(3015)3(1510)2]0.3[(3015)4(1510)1]100x EY =-⨯--⨯⨯+-⨯--⨯⨯70[(3015)5]630.2100xx -+-⨯⨯=- 即630.2EY x =-，由题意630.254x -≤，解得45x ≥，又知1003070x ≤-=，所以x 的取值范围为[45，70]，*x ∈N ．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，以及数学期望的实际应用和不等式的解法，属于中档题．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。

黑龙江省大庆市第四中学2019-2020学年高一数学上学期第三次月考试题理【含答案】

14.设
为第二象限角，若
tan(
4
)
1 2
，则 sin
cos
____________
15.已知函数
f
(x)
sin
x
a
cos
x
的图象的一条对称轴是
x
5 3
,
则
a
=________
16.若
x
0,2
，则函数
f
(x)
maxsin
x,
cos
x,
2
(sin
x
cos
x)
2
的最大值与最小值
之和是______
（2）若
cos(
3 2
)
3 5
，求
f
(
)
的值。
f (x) 2a sin(2x ) 2a b x [0, ]
18.（本小题 12 分）已知 a 0 ，函数
6
，当
2 时，
5 f (x) 1 .
（1）求常数 a, b 的值；
（2）求 f (x) 的单调区间。
f ( x) cos(2x ) 2sin( x )sin( x )
( 3
,0)
，则
（
）
3
2
A4
B3
1 C2
1 y D4
4
2
o
5
x
6
12
8.已知函数 y Asin( x ) B 的一部分图象如
A 0, 0,| |
图所示，如果
2 ,则（）
A
6
B B4
C A4
D 1
9.将函数 y sin(2x ) 的图象沿 x 轴向左平移 8 个单位后，得到一个偶函数的图象，则

黑龙江省大庆市第四中学2019-2020学年高二上学期第三次月考数学(理)试题

A．
B．
C．
D．
10. 已知空间直角坐标系
中，
，
的坐标为（）
A．
B．
，
，点在直线上运动，则当
取得最小值时，点
C．
D．
11. 抛物线
的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足
，则
的最大值是（）
A．
B．
C．
．设线段的中点在上的投影为 D．
二、填空题
12. 已知是抛物线
的焦点，，是该抛物线上的两点，
；的余弦值.
20. 已知抛物线：
的焦点为，准线为，三个点
，
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过的直线交于，两点，点为上任意一点，证明：直线，
，
中恰有两个点在上．
，的斜率成等差数列．
黑龙江省大庆市第四中学2019-2020学年高二上学期第三次月考数学（理）试题
，则线段的中点到轴的距离为__________．
13. 如图，已知正三棱柱
的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线
所成的角的大小是
黑龙江省大庆市第四中学2019-2020学年高二上学期第三次月考数学（理）试题
14. 某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表：广告费用 (万元) 销售额 (万元)
18. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线
（t为参数,且）,其中
（Ⅰ）求与交点的直角坐标；（Ⅱ）若与相交于点A, 与相交于点B,求
最大值.
,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
19. 如图，四棱锥
底面
为菱形，平面

2020届黑龙江省大庆市第四中学高三下学期第四次检测数学(理)试题(解析版)

2020届黑龙江省大庆市第四中学高三下学期第四次检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}14A x x =≤≤，{}*2N 23B x x x =∈-≤，则A B =( )A ．{}13x x ≤≤ B ．{}03x x ≤≤C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,3【答案】C【解析】解不等式223x x -≤，结合*N x ∈，用列举法表示集合B ，从而可求交集. 【详解】{}{}{}*2*23131,2,3B x N x x x N x =∈-≤=∈-≤≤=，{}1,2,3A B ∴⋂=.故选:C. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了集合的交集.易错点是忽略集合B 中*N x ∈这一条件.2．已知i 为虚数单位，复数z 满足()122i z i -=+，则z z ⋅=( ) A ．4 B ．2C ．4-D ．2-【答案】A【解析】由已知可求出2221iz i i+==-，进而可求2z i =-，则可求出z z ⋅的值. 【详解】()122i z i -=+，()()()()211222111i i i z i i i i +++∴===--+，2z i ∴=-，4z z ∴⋅=. 故选:A. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数的除法运算，考查了共轭复数的概念.本题的关键是通过复数的除法运算，求出复数z . 3．设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由“|x ﹣2|＜1”得1＜x ＜3，由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，即“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分不必要条件，故选A ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．4．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则·BD CD = A ．232a -B ．234a -C ．234a D ．232a 【答案】D【解析】试题分析：由题意得，设,BA a BC b ==，根据向量的平行四边形法则和三角形法则，可知2223•()cos602BD CD a b a a a b a a a a =+⋅=+⋅=+⨯⨯=，故选 D.【考点】向量的数量积的运算.5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若888S a ==，则公差d 等于( ) A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】D【解析】由88S a =，可求出4707S a ==，进而可知40a =，结合88a =，可求出公差. 【详解】解：888S a ==，1288a a a a ∴+++=，()17747207a a a S ∴+===，40a ∴=. 又由844a a d =+，得8480244a a d --===. 故选:D. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的求和公式，考查了等差中项.对于等差、等比数列问题，一般都可用基本量法，列方程组求解，但是计算量略大.有时结合数列的性质，可简化运算，减少运算量. 6．函数()cos x xy e ex -=-的部分图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由函数的奇偶性可排除A,C.代入特殊值，如1x =，通过判断函数值的符号，可选出正确答案. 【详解】解：由()()cos xx x ee y ---=-，可知函数()cos x xy x e e -=-为奇函数，由此排除A ，C ，又1x =时，()11cos1y e e -=-，因为1,012e π><<，则110,cos10e e -->>，即此时()cos 0x xy e e x -=->，排除D .故选:B. 【点睛】本题考查了函数图像的选择.选择函数的图像时，常结合函数的奇偶性、单调性、对称性、定义域排除选项，再代入特殊值，判断函数值的符号进行选择.7．甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次．四人测试成绩对应的条形图如下：以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确．．．的是（） A ．平均数相同 B ．中位数相同 C ．众数不完全相同 D ．丁的方差最大【答案】D【解析】观察四名同学的统计图的特征，四位同学的直方图都关于5环对称，因此它们的平均数都是5，中位数相同，众数显然不完全相同，根据方差的定义分别计算四名同学的方差即可得出结论. 【详解】解：由图的对称性可知，平均数都为5；由图易知，四组数据的众数不完全相同，中位数相同；记甲、乙、丙、丁图所对应的方差分别为22221234,,,s s s s ，则()()2221450.5650.51s =-⨯+-⨯=，()()()22222450.3550.4650.30.6s =-⨯+-⨯+-⨯=，()()()()()2222223350.3450.1550.2650.1750.3 2.6s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，()()()()()2222224250.1450.3550.2650.3850.1 2.4s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，所以丙的方差最大．故选：D ．【点睛】本小题考查统计图表、数字特征的概念等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想、统计与概率思想；考查直观想象、数据处理、数学运算等核心素养，体现基础性、应用性．8．已知角θ的终边在直线3y x =-上，则2sin 21cos θθ=+（）A ．611-B ．311-C ．311D ．611【答案】A【解析】由正切函数定义得tan 3θ=-，应用二倍角公式和“1”的代换后化求值式为关于sin ,cos θθ的二次齐次式，然后弦化切后可求值．【详解】依题意，tan 3θ=-，所以原式2222sin cos 2tan 6sin 2cos tan 211θθθθθθ===-++，故选：A ．本题考查三角函数的定义、三角恒等变换等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性． 9．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则 ( )． A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >b D ．a >b >c【答案】D【解析】试题分析：，，；且；.【考点】对数函数的单调性.10．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点M ，A 为左顶点，F 为右焦点，若MAF △为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】由题意，结合双曲线定义，可得||||MF FA a c ==+，|'|3MF a c =+，结合1cos '2MFF ∠=，可得4c a =，即得解【详解】由题意：||||MF FA a c ==+，设'F 为双曲线的左焦点，由双曲线的定义：|'|||23MF MF a a c =+=+，由于222()4(3)1cos '22()2a c c a c MFF c a c ++-+∠==⋅⋅+，化为22340c ac a --=，(4)()0c a c a ∴-+=，则4,4ac a e c===.【点睛】本题考查了双曲线的离心率的求解，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算能力，属于中档题.11．在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱11C D ，11B C 的中点，过A ，E ，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为（） A ．31362+ B ．21343+ C ．51333+ D ．61332+【答案】D【解析】由题意画出截面五边形，再由已知利用勾股定理求得边长得答案．【详解】如图，延长EF 与A 1B 1的延长线相交于M ，连接AM 交BB 1 于H ，延长FE 与A 1D 1的延长线相交于N ，连接AN 交DD 1 于G ，可得截面五边形AHFEG ．∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是边长为6的正方体，且E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点， ∴EF ＝2AG ＝AH 2264213=+=，EG ＝FH 223213=+ ∴截面的周长为61332 故选D ．【点睛】本题考查了棱柱的结构特征及立体几何中的截面问题，补全截面图形是关键，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题． 12．定义在R 上函数q 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--.则使得()116f x ≤在[),m +∞上恒成立的m 的最小值是（） A ．72 B ．92C ．134D ．154【答案】D【解析】计算()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，画出图像，计算()116f x =，解得154x =，得到答案. 【详解】根据题设可知，当[)1,2x ∈时，[)10,1x -∈，故()()()11112322f x f x x =-=--，同理可得：在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，所以当4n ≥时，()116f x ≤. 作函数()y f x =的图象，如图所示.在7,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭上，由()11127816f x x =⎡--⎤=⎣⎦，得154x =. 由图象可知当154x ≥时，()116f x ≤. 故选：D .【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，画出图像是解题的关键.二、填空题13．6x x ⎛⎝展开式中常数项为________.【答案】240【解析】先求出二项式6x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式，令x 的指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中的常数项. 【详解】6x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的通项公式3662166(2),rr r r r r r T C x C x x --+⎛=-=⨯-⨯ ⎪⎝⎭ 令36342r r -=⇒=,所以6x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为4462240C ⨯=,故答案为240.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 14．甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______．【答案】13【解析】试题分析：事件“甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种”包含的基本事件有（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）共9个；记“他们选择相同颜色运动服”为事件A,则事件A 包含的基本事件有（红，红），（白，白），（蓝，蓝）共3个；所以.【考点】古典概型.15．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，3AB =2BC =，ABD △为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为_____.【答案】8π【解析】将三棱锥P ABC -补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在Rt OBE 中，计算半径OB 即可. 【详解】因为BC ⊥平面PAB ，将三棱锥P ABC -补形为如图所示的直三棱柱，则它们的外接球相同，由直三棱柱性质易知外接球球心O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，记ABP △的外心为E ，由ABD △为等边三角形，即ABD △为等边三角形，3AB =，可得1BE =．又12BCOE ==，故在Rt OBE 中，222OB OE EB =+=此即为外接球半径，从而外接球表面积为248S OB ππ=⨯=．故答案为：8π. 【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.三、双空题16．网上购鞋常常看到下面的表格：脚长n a /mm 220225230235240245250255260265鞋号/n b mm34 35 36 37 38 39 40 41 42 43请根据表格归纳出n b 和n a 的关系式______________；如果一个篮球运动员的脚长为282mm ，根据计算公式，他该穿的鞋的鞋号为_____号.【答案】1105n n b a =- 48 【解析】根据表格数据变化规律可知脚长与鞋号的变化满足一次函数关系，由此得到所求关系式；代入288n a =，可求得鞋号. 【详解】由表格数据可知：脚长每增加5mm ，鞋号增加1mm ，满足一次函数关系，()1342205n n b a ∴-=-，即1105n n b a =-；若288n a =，则57.61047.6n b =-=，∴应穿的鞋号为48号. 故答案为：1105n n b a =-；48. 【点睛】本题考查函数关系式的求解、利用函数关系求解实际问题；解题关键是能够根据所给数据得到所满足的函数关系.四、解答题17．在ABC 中，三内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若B 为锐角，且sin 2sin A B A +=.（1）求C ；（2）已知2a =，8AB BC ⋅=-，求ABC 的面积.【答案】（1）23C π=；（2）【解析】（1）计算得到sin sin 3B A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故3B A π=-，或3B A ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，计算得到答案.（2）根据题意得到cos 4c B =，1cos sin 2B c B -=得到sin c B =.【详解】（1）由sin 2sin 3cos A B A +=，得31sin cos sin 22B A A =-，故sin sin 3B A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以3B A π=-，或3B A ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即23B A π=+. 因为B 为锐角，所以3B A π=-，即3B A π+=，故23C π=. （2）由8AB BC ⋅=-，得()cos 8ca B π-=-，故cos 8ca B =. 因为2a =，所以cos 4c B =①. 根据正弦定理，sin sin a c A C =，及3A B π=-，23C π=，2a =，得23sin 3B π=⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以sin 33c B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故31cos sin 322c B c B -=②.①代入②，得123sin 32c B -=，所以sin 23c B =. 所以ABC 的面积等于11sin 2232322ac B =⨯⨯=.【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为长方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，3BC =，E 为PB 的中点，F 为线段BC 上靠近B 点的三等分点.（1）求证：AE ⊥平面PBC ；（2）求平面AEF 与平面PCD 所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）17830. 【解析】（1）通过BC PA ⊥，BC AB ⊥可证明BC ⊥平面PAB ，进而可得AE BC ⊥，结合AE PB ⊥证明线面垂直.（2）以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，可求出平面AEF 的法向量()1,4,1m =--，平面PCD 的法向量()0,4,3n =，则可求出两向量夹角的余弦值，从而可求二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：PA AB =，E 为线段PB 中点，AE PB ∴⊥.PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC PA ∴⊥.又底面ABCD 是长方形，BC AB ∴⊥.又PAAB A =，BC ∴⊥平面PAB .AE ⊂平面PAB ，AE BC ∴⊥. 又PB BC B ⋂=，AE ∴⊥平面PBC .（2）解：由题意，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,2E ，()4,1,0F ，()0,0,4P ，()4,3,0C ，()0,3,0D . 所以()2,0,2AE =,()4,1,0AF =，()4,3,4PC =-，()0,3,4PD =-，设平面AEF 的法向量(),,m x y z =，则00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22040x z x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则4y =-，1z =-，()1,4,1m ∴=--，同理可求平面PCD 的法向量()0,4,3n =，192cos ,30,m n m n m n⋅∴==-，2178sin 1cos ,30,m m n n ∴=-=，即平面AEF 与平面PCD 所成角的正弦值为17830.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，考查了二面角正弦值的求解，考查了同角三角函数的基本关系.证明线线垂直时，可结合等腰三角形三线合一、勾股定理、矩形的邻边、菱形的对边、线面垂直的性质证明.19．在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后得到如下22⨯列联表：（1）请完成上面22⨯列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.（下面的临界值表供参考）（参考公式22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++其中n a b c d=+++）【答案】（1）填表见解析；有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）①详见解析②期望12；方差4.8【解析】（1）完成列联表，代入数据即可判断；（2）利用分层抽样可得X的取值，进而得到概率，列出分布列；根据分析知(20,0.6)Y B，计算出期望与方差.【详解】（1）2245(1516104)7.29 6.63525201926K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”.（2）①由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取209445⨯=人， X 的可能取值为0，1，2，3，4，44420(0)C P X C ==，31416420(1)C C P X C ==，22416420(2)C C P X C ==13416420(3)C C P X C ==，416420(4)C P X C ==，所以，X 的分布列：②从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为150.625=，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y ，则(20,0.6)YB ，故()200.612E Y =⨯=，()200.6(10.6) 4.8D Y =⨯⨯-=. 【点睛】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的计算问题，属于基础题.20．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为AB =．（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ 面积的2倍，求k 的值．【答案】（1）22194x y +=；(2)12-．【解析】分析：（I ）由题意结合几何关系可求得3,2a b ==.则椭圆的方程为22194x y +=. （II ）设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意可得215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩可得1x =结合215x x =，可得89k =-，或12k =-.经检验k 的值为12-. 详解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ,从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ，可得1x =215x x =，可5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-．点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21．已知函数()ln 1a x bf x x x=++曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为230x y +-=.（1）求,a b 的值；（2）证明：当0x >且1x ≠时，()ln 1xf x x >-. 【答案】（Ⅰ）1a =，1b =．（Ⅱ）略【解析】()1先对函数求导，利用切线方程求出切线的斜率及切点，利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出a b ，的值()2将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，判断出导函数的符号，得到函数的单调性，从而得证．【详解】（1）()()221ln '1x x b x f x x x α+⎛⎫-⎪⎝⎭=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点()1,1，故()()11,1'1,2f f ⎧=⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =.（2）由（1）知f(x)=ln 1,1x x x++所以 ()22ln 112ln 11x x f x x x x x ⎛⎫--=- ⎪--⎝⎭考虑函数()()2120x h x lnx x x-=->则h′(x)=()()222222112x x x x x x----=- 所以x≠1时h′(x)＜0而h(1)=0,故x ()0,1∈时h(x)>0可得()ln 1xf x x >-, x ()1∈+∞， h(x)<0可得()ln 1xf x x >-, 从而当0x >，且1x ≠时，()ln 1xf x x >-.【点睛】本题考查了导函数的几何意义，在切点处的导数值为切线的斜率，考查了通过判断导函数的符号判断出函数的单调性，通过求函数的最值证明不等式的恒成立，属于中档题．22．在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为33,x kt y t=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为33,x m y km =-⎧⎨=⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C ．（1）求1C 的普通方程；（2）设Q 为圆()222:43C x y +-=上任意一点，求PQ 的最大值．【答案】（1）2219x y +=（3x ≠）；（2）【解析】（1）消元法消去参数t 得1l 的普通方程，同理表示2l 的普通方程，最后将其消去k 整理后可得答案；（2）由椭圆的参数方程表示其上任意点的坐标，由两点间的距离公式表示2PQ ，再由三角函数求的值域确定最大值，最后开方即可. 【详解】解法一：（1）消去参数t 得1l 的普通方程为33x ky +=，消去参数m 得2l 的普通方程为()33k x y -=-．联立()33,33x ky k x y+=⎧⎨-=-⎩消去k 得()()2339x x y +-=-，所以1C 的普通方程为2219x y +=（3x ≠）．（2）依题意，圆心2C 的坐标为()0,4，半径r =．由（1）可知，1C 的参数方程为3cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，且2π,k k θ≠∈Z ），设()3cos ,sin P θθ（2π,k k θ≠∈Z ），则()()22223cos sin 4PC θθ=+-()2291sin sin 8sin 16θθθ=-+-+28sin 8sin 25θθ=--+，当1sin 2θ=-时，2PC=又2PQ PC r +≤，当且仅当2,,P Q C 三点共线，且2C 在线段PQ 上时，等号成立．所以max PQ ==解法二：（1）消去参数t 得1l 的普通方程为33x ky +=，消去参数m 得2l 的普通方程为()33k x y -=-．由()33,33x ky k x y +=⎧⎨-=-⎩得()22231,12,1k x k k y k ⎧-⎪=⎪+⎨⎪=⎪+⎩故P 的轨迹1C 的参数方程为()22231,12,1k x k k y k ⎧-⎪=⎪+⎨⎪=⎪+⎩（k 为参数），所以1C 的普通方程为2219x y +=（3x ≠）．（2）同解法一．【点睛】本题主要考查参数方程、曲线与方程等基础知识；考查运算求解能力、逻辑推理能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；考查数学运算、直观想象等核心素养，属于中档题．23．已知函数()11f x x m x m =-+++（其中实数0m >）. （Ⅰ）当1m =，解不等式()3f x ≤；（Ⅱ）求证：()()121f x m m +≥+.【答案】（Ⅰ）57,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；证明见解析【解析】（Ⅰ）根据题意，代入1m =，化简绝对值不等式，化成分段函数，分类讨论不等式的解集，取并集即可求解；（Ⅱ）根据题意，运用绝对值三角不等式，化简式子，结合0m >，再利用基本不等式即可证明. 【详解】（Ⅰ）由条件知1m =时，()12,121311,1222112,22x x f x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=-++=-≤<⎨⎪⎪-+<-⎪⎩于是原不等式可化为①11232x x ≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩；②112332x ⎧-≤<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩；③121232x x ⎧<-⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩ 解①得714x ≤≤；解②得112x -≤<；解③得5142x -≤<-，所以不等式()3f x ≤的解集为57,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （Ⅱ）由已知得()()()111111f x x m x m m m m m +=-++++++()()11111111x m x m m m m m m m ⎛⎫≥--++=++ ⎪++++⎝⎭ 1111211m m m m m m=++-=+≥++ 当且仅当1m =时，等号成立，于是原不等式得证. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式的应用证明，考查基本不等式，考查转化与化归思想，属于中等题型.。

2020届黑龙江省大庆市第四中学高三4月月考理科综合试题

大庆四中2019～2020学年度高三年级第三次校内检测理科综合试题考试时间：150分钟分值：300分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题）可能用到的相对原子质量：H 1 Li 7 C 12 O 16 Fe 56一、选择题（本题共13个小题，每小题6分。

共78分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列相关表述，不正确的是（）A.用于观察质壁分离与复原的紫色洋葱表皮细胞，不能用来观察有丝分裂B.恩格尔曼的水绵实验中好氧细菌的作用是检测氧气的释放部位C.萨顿和摩尔根分别用类比推理法和假说演绎法证明了基因在染色体上D.预实验可以检验实验设计的科学性和可行性，以免浪费2.下列有关细胞内元素和化合物的表述，不正确的是（）A.脂质具有构成生物膜、调节代谢和储存能量等生物学功B.生物体内蛋白质发生水解时，通常需要另一种蛋白质的参与C.有些膜蛋白具有识别和降低化学反应活化能的作用D.真核细胞的核酸中，腺嘌呤数量等于胸腺嘧啶数量3.下列细胞结构与功能的表述，正确的是（）A.植物细胞的骨架是由纤维素组成的网架结构B.叶绿体基质中三碳化合物的还原需要含磷化合物的参与C.S型肺炎双球菌通过核孔实现核质间频繁的物质交换和信息交流D.肾小管上皮细胞的细胞膜上分布着大量的水通道蛋白，是重吸收水、无机盐的通道4.下列有关种群与群落的叙述，正确的是（）A.斑马在草原上成群活动属于群落的空间特征B.土壤动物群落不存在分层现象，竹林中竹子高低错落有致存在分层现象C.性别比例是通过影响种群的出生率和死亡率间接影响种群密度的D.酵母菌种群数量的变化在时间上形成前后自身对照，所以无需设置对照实验5.下列有关物质跨膜运输的叙述，正确的是（）A.固醇类激素进入靶细胞的过程属于主动运输B.蛋白质可经过核孔进入细胞核中，如DNA聚合酶、RNA聚合酶C.神经元恢复静息电位时，K＋通过离子通道内流D.O2进入红细胞需要消耗能量6.有关生态系统的表述，正确的是（）A.保护生物的栖息地，保护生态系统的多样性是保护生物多样性的根本措施B.分解者是生态系统中唯一能把有机物分解成无机物的成分C.在食物链中，各营养级获得能量的方式及能量的用途相同D.富营养化水体出现蓝藻水华的现象,可以说明能量流动的特点7.化学与生活密切相关。

2020届黑龙江省大庆市第四中学高三下学期第四次检测数学(文)试题(解析版)

2020届黑龙江省大庆市第四中学高三下学期第四次检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}|ln 0A x x =>，3|11B x x ⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则A B =（） A ．()1,+∞ B ．()1,2-C ．()2,+∞D ．()1,2【答案】C【解析】分别利用对数不等式和分式不等式的解法化简集合A ，B ，然后利用交集运算求解. 【详解】因为集合{}{}|ln 0|1A x x x x =>=>，{3|1|11B x x x x ⎧⎫=<=<-⎨⎬+⎩⎭或}2x >，所以A B =()2,+∞故选：C 【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及对数不等式和分式不等式的解法，属于基础题. 2．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（） A ．i - B ．iC ．1-D ．1【答案】D【解析】由已知等式求出z ，再由共轭复数的概念求得z ，即可得z 的虚部. 【详解】由zi ＝1﹣i ，∴z＝()()111·i i i i i i i ---==--- ，所以共轭复数z =-1+i ，虚部为1 故选D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题．3．设变量x ，y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =+的最小值（）A ．5B ．4C ．9D ．2【解析】作出不等式组表示的平面区域，根据图形找到最优解，代入目标函数可得解. 【详解】作出不等式组20201x yx yy+-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域如图：联立2020x yx y+-=⎧⎨--=⎩，解得11xy=⎧⎨=⎩，所以(1,1)M，由图可知，直线23z x y=+经过点(1,1)M时，z取最小值，所以23z x y=+的最小值为21315⨯+⨯=.故选：A.【点睛】本题考查了利用线性规划求目标函数的最值，解题关键是正确作出可行域并找到最优解，属于基础题.4．已知等差数列{}n a的首项12a=，前n项和为nS，若810=S S，则18a=（）A．4-B．2-C．0D．2【答案】B【解析】设等差数列{}n a的公差为d，由810S S=和1a2=得d，即可得18a.【详解】设等差数列{}n a的公差为d，由810S S=，得910a a+=，所以12170a d+=，且1a2=，所以d=417-，得181417217217a a d⎛⎫=+=+⨯-=-⎪⎝⎭.故选B本题考查了等差数列的通项公式的应用，属于基础题. 5．在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2+6x+2=0的根，则2169a a a 的值为（） A． B． CD．【答案】B【解析】由韦达定理得a 3a 15=2，由等比数列通项公式性质得：a 92=a 3a 15=a 2a 16=2，由此求出答案．【详解】解：∵在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2-6x+2=0的根， ∴a 3a 15=2＞0，a 3+a 15=6＞0 ∴a 2a 16=a 3a 15=2， a 92=a 3a 15=2， ∴a 9∴2169a a a = 故选C ．【点睛】本题考查等比数列中两项积与另一项的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．6．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωφωφπ=+>><<两条相邻对称轴为512x π=和34x π=，若3(0)5f =，则()6f π=（） A ．45- B ．35C ．35D ．45【答案】C【解析】由相邻对称轴可得周期，即得ω值，再由函数对称轴可得φ取值，结合()305f =得到A ，从而可求得6f π⎛⎫⎪⎝⎭值. 【详解】由函数()f x 两相邻对称轴为512x π=和34x π=，可知35-=24123T πππ=，即22=3T ππω=，则=3ω，∴()()sin 3f x A x φ=+， ∵34x π=为对称轴，∴33+=+k 42ππφπ⨯，即97=-+k =k -244πππφππ，0φπ<<，所以=4πφ，即()sin 34f x A x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，又()305f =，则3sin ==45A A π，即=A 所以()354f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，33=6564545f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选C . 【点睛】本题考查正弦函数解析式的求法，考查正弦函数周期和正弦函数的对称性，考查计算能力，属于中档题7．已知ba b c a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】利用函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =互为反函数，可得01a b <<<，再利用对数运算性质比较a,c 进而可得结论. 【详解】依题意，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与函数12log y x =关于直线y x =对称，则0.21210log 0.22⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即01a b <<<，又0.211220.2log 0.2log 0.20.20.20.211110.22252b c a a ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====<= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，c a b <<. 故选：B. 【点睛】本题主要考查对数、指数的大小比较，属于基础题.8．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（）A ．2-B ．2log 3C ．3D ．2log 5-【答案】D【解析】由题意利用函数奇偶性求得()f x 的周期为3，再利用函数的周期性求得(2020)f 的值．【详解】解：已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，()()(3)f x f x f x ∴-=-=-，∴()f x 的周期为3.3,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，22(2020)(36731)(1)(1log (27)lo )5g f f f f =⨯+==-=--+-=-,故选D ．【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性，函数值的求法，属于基础题．9．在空间四边形ABCD 中，若AB BC CD DA ===，且AC BD =，E F 、分别是AB CD 、的中点，则异面直线AC EF 与所成角为（）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】B【解析】设空间四边形ABCD 的边长为2，作AD 的中点并且连接MF 、EM ，在△EMF 中可由余弦定理能求出异面直线所成的角．【详解】在图1中连接DE ，EC ，因为AB BC CD DA ====AC BD =，得DEC ∆为等腰三角形，设空间四边形ABCD 的边长为2，即AB BC CD DA ====AC BD ==2，在DEC ∆中，DE EC == 1CF =,得EF .在图2取AD 的中点M ，连接MF 、EM ，因为E 、F 分别是AB 、CD 的中点，∴MF＝1，EM ＝1，∠EFM 是异面直线AC 与EF 所成的角．在△EMF 中可由余弦定理得：cos∠EFM＝222221122?222FE MF ME FE MF +-+-==，∴∠EFM＝45°,即异面直线所成的角为45°．故选B图1 图2 【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.10．若函数1()xf x ae x=-在其定义域上只有3个极值点，则实数a 的取值范围（） A ．2,(1,)4e ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．2,4e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．()21,1,4e e ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭D ．1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由函数1()xf x ae x =-，求导21()x f x ae x '=+，根据函数1()xf x ae x=-在(),0(0,)-∞⋃+∞上只有3个极值点，转化为21()0x f x ae x'=+=在(),0(0,)-∞⋃+∞上只有3个零点，即 21x a x e=-⋅在(),0(0,)-∞⋃+∞上只有3个零点，令()21x g x x e=-⋅，用导数法作出函数()g x 图象，利用数形结合法求解.【详解】因为函数1()xf x ae x=-，所以21()xf x ae x '=+，因为函数1()xf x ae x=-在(),0(0,)-∞⋃+∞上只有3个极值点，所以21()0x f x ae x'=+=在(),0(0,)-∞⋃+∞上只有3个零点，即 21xa x e=-⋅在(),0(0,)-∞⋃+∞上只有3个零点，令()21x g x x e =-⋅，则 ()2xx g x x e +'=⋅ ，当2x <-或 0x >时， ()0g x '>，当 20x -<<时，()0g x '>，当2x =-时，()224e g =-，作出函数()g x 图象，如图所示：所以24e a <-故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的极值点，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 11．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，抛物线C 上动点A ，B 满足4AF FB =，若A ，B 的准线上的射影分别为M ，N 且MFN ∆的面积为5,则AB =（） A ．94B ．134C ．214D ．254【答案】D 【解析】分别利用5MFNS、AFCABD 对应边成比例、抛物线过焦点的弦长公式联立求解即可得到．【详解】过点A 作x 轴的垂线垂足于C ，交NB 的延长线于点D．设221212,,,22y y A y B y p p，则12MN y y .5MFNS1210y y p ①AFCABDAF ACABAD ，即11245y y y124y y ②2212,2222y y AF AM FB BNppp p 22124()2222y y pp pp③联立①②③解得14y =，21y =-，2p =221225224y y AB p p p ∴=++=故选D【点睛】抛物线()2:20C y px p =>过焦点的弦长AB 可用公式12AB x x p =++ 得出．二、多选题12．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，下列说法正确的是( )A ．对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个B ．()3f x x =可以是某个圆的“优美函数”C ．正弦函数sin y x =可以同时是无数个圆的“优美函数”D ．函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形【答案】ABC【解析】利用“优美函数”的定义判断选项A ，B ，C 正确，函数()y f x =的图象是中心对称图形，则函数()y f x =是“优美函数”，但是函数()y f x =是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，举出反例，可判断选项D 错误．【详解】解：对于A ：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，所以对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个，故选项A 正确；对于B ：因为函数3()f x x =图象关于原点成中心对称，所以将圆的圆心放在原点，则函数3()f x x =是该圆的“优美函数”，故选项B 正确；对于C ：将圆的圆心放在正弦函数sin y x =的对称中心上，则正弦函数sin y x =是该圆的“优美函数”，故选项C 正确；对于D ：函数()y f x =的图象是中心对称图形，则函数()y f x =不一定是“优美函数”，如1()f x x=；但是函数()y f x =是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图所示：，所以函数()y f x =的图象是中心对称图形是函数()y f x =是“优美函数” 的不充分不必要条件，故选项D 错误，故选：ABC ．【点睛】本题主要考查了函数的新定义，属于中档题．三、填空题13．已知向量()1,1a =-，()1,0b =，则b 在a 方向上的投影为________．【答案】2 【解析】先求出a b •，a ，b 再代入向量的投影公式计算即可．【详解】因为a b •＝-1()11101-⨯+⨯=- ，()22112a =-+= ，1b =∴向量b 在向量a 方向上的投影•22a b a =- ．故答案为2【点睛】本题考查了平面向量的数量积和模长及投影公式，属于基础题． 14．若点(cos ,sin )P αα在直线2y x =上，则cos(2)2πα+的值等于______________ .【答案】45-【解析】根据题意可得sin 2cos αα=，再由22sin cos 1αα+=，即可得到结论. 【详解】由题意，得sin 2cos αα=，又22sin cos 1αα+=，解得cos α=，当cos 5α=时，则sin 5α=，此时4cos 2sin 222555παα⎛⎫+=-=-⨯=- ⎪⎝⎭；当cos α=时，则sin α=，此时4cos 2sin 2225παα⎛⎛⎛⎫+=-=-⨯⨯=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，4cos 225πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭. 故答案为：45-. 【点睛】本题考查诱导公式和同角的三角函数的关系，考查计算能力，属于基础题.15．已知两圆相交于两点(),3A a ,()1,1B -，若两圆圆心都在直线0x y b ++=上，则+a b 的值是________________ .【答案】1-【解析】根据题意，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得AB 与直线0x y b ++=垂直，且AB 的中点在这条直线0x y b ++=上，列出方程解得即可得到结论. 【详解】由(),3A a ,()1,1B -，设AB 的中点为1,22a M -⎛⎫⎪⎝⎭，根据题意，可得1202a b -++=,且3111AB k a -==+，解得，1a =,2b =-，故1a b +=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题考查相交弦的性质，解题的关键在于利用相交弦的性质，即两圆的连心线垂直平分相交弦，属于基础题.16．三棱锥P ABC -中，AB BC ==，6AC =，PC ⊥平面ABC ，2PC =，则该三棱锥的外接球表面积为__________．【答案】832π【解析】【详解】在ABC中，61cos30521515B-===-⨯⨯，B为钝角，126sin125B=-=，ABC的外接圆半径562sin446bRB===，12OP=，该三棱锥的外接球的半径为OC=256166()14+=，球的表面积1661668341642πππ⨯==四、解答题17．为了比较两种治疗某病毒的药分别称为甲药，乙药的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图.（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天）)，统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；（3）标准差s 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在()3,3x s x s -+之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合2（）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？48≈.【答案】（1）甲药的治愈率更高；（2）甲药的疗效更好；理由见解析；（3）应该对该患者进行进一步检查..【解析】（1）根据等高条形图直接判断即可；（2）根据茎叶图的知识从数据集中性，中位数，平均数等方面判断说明；（3）分别计算平均数和标准差，根据题意判断即可. 【详解】解：（1）甲药的治愈率更高，（2）甲药的疗效更好，理由一：从茎叶图可以看出，有910的叶集中在茎0，1上，而服用乙药患者的治疗时间有35的叶集中在茎1，2上，还有110的叶集中在茎3上，所以甲药的疗效更好.理由二：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的中位数为10天，而服用乙药患者的治疗时间的中位数为12.5天，所以甲药的疗效更好.理由三：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的平均值为10天，而服用乙药患者的治疗时间的平均值为15天，所以甲药的疗效更好.（3）由（2）中茎叶图可知，服用甲药患者的治疗时间的平均值和标准差分别为45681010111212221010x +++++++++==，4.8s ==≈，所以3 4.4x s -≈-，324.4x s +≈，而2624.4>，应该对该患者进行进一步检查. 【点睛】本题考查等高条形图，茎叶图，数字特征等知识，考查运算能力与分析能力，是中档题.18．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c A b a =-．（1）求角C ；（2）若D 是边BC 的中点，11cos 14B =，21AD =ABC 的面积S ．【答案】（1）3π．（2）3【解析】（1）直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出C 的值．（2）利用正弦定理和余弦定理及三角函数关系式的变换的应用，进一步利用三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】（1）2cos 2c A b a =-，∴由正弦定理得2sin cos 2sin sin C A B A =-，2sin cos 2sin()sin C A A C A ∴=+-，2sin cos 2sin cos 2cos sin sin C A A C A C A =+-∴， 2sin cos sin A C A ∴=，sin 0A ≠，1cos2C ∴=，(0,)C π∈，3C π∴∠=.（2）11cos 14B =，(0,)B π∈，53sin B ∴=， sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+53111343214=+=，43533::sin :sin :sin ::8:5:77142a b c A B C ∴===，设8a x =，5b x =，7c x =，在ACD △中，2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅⋅，22221251620x x x ∴=+-，1x ∴=，8a ∴=，5b =，7c =，1sin 1032ABCSab C ∴==. 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力． 19．如图1，在高为2的梯形ABCD 中，//,2,5AB CD AB CD，过A 、B 分别作,AECD BFCD ，垂足分别为E 、F ，已知1DE =，将梯形ABCD 沿AE 、BF 同侧折起，使得,//AF BD DE CF ，得空间几何体ADEBCF ，如图2．（1）证明：//BE 面ACD ；（2）求三棱锥B ACD -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）23【解析】（1）通过构造平行四边形证得//OE DG （即//BE DG ），由此证得//BE 面ACD .（2）利用等体积法，将B ACD V -转化为A CDE V -来求得三棱锥的体积. 【详解】（1）连接BE 交AF 于O ，设G 是AC 中点，连接,DG OG .依题意可知1,2,2DE EF AB CF ====，而2AE BF ==，所以四边形ABFE 是正方形，所以AF BE ⊥.因为AF BD ⊥，BD BE B ⋂=，所以AF ⊥平面BDE ，所以AF DE ⊥.因为,DE AE AE AF A ⊥⋂=，所以DE ⊥平面ABFE ，而//DE CF ，所以CF ⊥平面ABFE .由于O 是AF 中点，G 是AC 的中点，所以//OG CF 且12OG CF =，而//DE CF ，且12DE CF =，所以//DE OG =，所以四边形EOGD 为平行四边形，所以//OE DG ，即//BE DG ，由于BE ⊂平面ACD ,DG ⊂面ACD ，所以//BE 面ACD .（2）由（1）知//BE 面ACD ，所以B 到平面ACD 的距离，等于E 到平面ACD 的距离.由于,,AE EF AE DE EF DE E ⊥⊥⋂=，所以AE ⊥平面EDFC .所以13B ACD A CDE CDE V V S AE --∆==⨯⨯112122323=⨯⨯⨯⨯=.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查等体积法求几何体的体积，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，并且椭圆经过点P(1，3)，直线l 的方程为x ＝4．（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆内一点E(1，0)，过点E 作一条斜率为k 的直线与椭圆交于A ，B 两点，交直线l 于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 2214x y +=.(2) 存在2λ=，使得1232k k k +=．【解析】(1)根据已知得到a,b 的方程组，解方程组即得椭圆的方程.(2) 设直线AB 的方程为：()1y k x =-，利用韦达定理求出12323k k k +=-，336k k =-，即得1232k k k +=和λ的值.【详解】（1）因为椭圆的离心率为2，所以222114b a =-=⎝⎭，又椭圆过点1P ⎛ ⎝⎭，所以221314a b +=，所以24a =，21b =，所以椭圆方程为2214x y +=．（2）设直线AB 的方程为：()1y k x =-，令4x =，则3y k =，所以点()43M k ，，设()11A x y ，，()22B x y ，所以1212122211y y k k x x --+=+-- ()()1212112211k x k x x x ----=+--12112211k x x ⎫=-+⎪--⎝⎭()1212122221x x k x x x x ⎡⎤+-=-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦．由()22144y k x x y ，⎧=-⎨+=⎩，可得()2222148440kxk x k +-+-=．所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+，所以221222228214244811414k k k k k k k k k-++=--+++2k =-．又因为33236k k k ==-，所以1232k k k +=，所以存在2λ=，使得1232k k k +=．【点睛】(1)本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答本题的关键是求出韦达定理求出122k k k +=3k k =21．已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：若对于任意的(a ∈，都存在(]00,1x ∈使不等式20()ln f x a a a+>-成立.【答案】（1）答案见详解；（2）证明见详解.【解析】（1）求出原函数的导函数，当0a ≤时，导函数恒大于0，然后利用二次函数的判别式对a 分类讨论，求出导函数在不同区间内的符号，得到原函数的单调性.（2）(a ∈时，()f x 在区间[]0,1上单调递增，()max ()122f x f a ==-由已知可得不等式222ln a a a a -+>-都成立，等价于2ln 320a a a +-+>对(a ∈恒成立，记()2ln 32h a a a a =+-+，只需证()0>h a 恒成立即可.【详解】（1）()2122122(0)'x ax x x x xf a x -+=+-=>，记()2221g x x ax =-+.当0a ≤时，因为0x >，所以()1g x >，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <≤时，因为()2420a ∆=-≤，所以()0g x ≥，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >()00x g x >⎧⎨>⎩，解得22a a x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间22a a ⎛-+⎪⎝⎭上单调递减，在区间⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增.（2）由（1）知道当(a ∈时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，所以(]0,1x ∈时，函数()f x 的最大值是()122f a =-，对任意的(a ∈，都存在(]00,1x ∈使得不等式()20ln f x a a a +>-成立，等价于对任意的(a ∈，不等式222ln a a a a -+>-都成立，即对任意的(a ∈，不等式2ln 320a a a +-+>都成立，记()2ln 32h a a a a =+-+，则()10h =，()1(21)(1)2'3h a a a a a a--=+-=，因为(a ∈，所以()'0h a >，当对任意(a ∈，()()10h a h >=成立.所以：对任意的(a ∈，都存在(]00,1x ∈使得不等式()2ln f x a a a +>-成立.【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，以及证明不等式恒成立，属于难题. 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），圆2C 的方程为()2224x y -+=，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为()00θθρ=≥. （1）求曲线1C 与圆2C 的极坐标方程；（2）当002πθ<<时，若射线l 与曲线1C 和圆2C 分别交于异于点O 的M ，N 两点，且2ON OM =，求2MC N 的面积.【答案】（1）22413sin ρθ=+；4cos ρθ=；（2）3. 【解析】(1)消去参数α，可得1C 的普通方程，再把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，可得1C 的极坐标方程；把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入()2224x y -+=，可得圆2C 的极坐标方程；(2)把0θθ=代入22413sin ρθ=+，可得OM ；把0θθ=代入cos ρθ，可得ON ，利用2ON OM =解出202sin 3θ=，代入面积公式计算可得答案．【详解】（1）由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩，得1C 的普通方程为2214x y +=，把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得22(cos )(sin )14ρθρθ+=，即222244cos 4sin 13sin ρθθθ==++，所以1C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+，由()2224x y -+=，把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得4cos ρθ=，所以2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（2）把0θθ=代入22413sin ρθ=+，得220413sin M ρθ=+，把0θθ=代入cos ρθ，得04cos N ρθ=，则2ON OM =，得2N M ρρ=，则224N M ρρ=，即()2020164cos 13sin θθ=+，解得202sin 3θ=，201cos 3θ=，又002πθ<<，所以3M ρ==04cos N ρθ==，所以()111201sin 2MC N OC N OC M N M S S S OC ρρθ=-=-△△△122=⨯=【点睛】本题考查参数方程和极坐标方程与普通方程的互化，考查极径的几何意义，考查三角形的面积公式，属于中档题．23．已知函数()|1|||f x x x a =++-．（1）当2a =时，求不等式()5f x <的解集；（2）若()2f x ≥的解集为R ，求a 的取值范围．【答案】（1）-2,3（）；（2）13a a ≥≤-或【解析】（1）分段讨论去绝对值解不等式即可；（2）由绝对值三角不等式可得min ()1f x a =+，从而得12a +≥或12a +≤-，进而可得解. 【详解】努力的你，未来可期!精品（1）当2a =时，原不等式可化为1-12212535215x x x x x <-≤≤>⎧⎧⎧⎨⎨⎨-<<-<⎩⎩⎩或或解得()2,3x ∈- 所以不等式的解集为()2,3-（2）由题意可得min ()2f x ≥,1(1)()1x x a x x a a ++-≥+--=+ 当(1)()0x x a +-≤时取等号.min ()1f x a ∴=+12a +≥或12a +≤-，即1a ≥或3a ≤-【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解及绝对值三角不等式求最值，属于基础题.。

2020届黑龙江省大庆市第四中学高三上学期第二次检测数学(理)试题(解析版)

2020届黑龙江省大庆市第四中学高三上学期第二次检测数学（理）试题一、单选题1．设i 是虚数单位，则复数5(2)z i i =+的虚部为（）A ．-2B ．2C ．-1D ．2i -【答案】A【解析】化简复数可得12z i =--，由复数实虚部的定义可得答案．【详解】()55512122121212i z i i i i i i --====--+-+-+--（）（）（）故其虚部为：2- 故选：A ．【点睛】本题为复数虚部的求解，正确运用复数的运算化简复数式是解决问题的关键，属基础题． 2．已知集合{}|24M x N x =∈-≤<，1|03x N x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则集合M N ⋂中元素的个数是（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据题意，求出集合M 与N ，进而可由交集的定义可得M N ⋂，即可得答案．【详解】根据题意，{}{}|240,1,2,3M x N x =∈-≤<=，{}1|0|133x N x x x x +⎧⎫=≥=-≤<⎨⎬-⎩⎭，则{}0,1,2MN =，则集合M N ⋂中元素中有3个元素；故选：C ．【点睛】本题考查集合的交集计算，关键是求出集合M 、N ，属于基础题．3．已知向量a ，b 满足1a =，2b =，()()28a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为（） A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π 【答案】B【解析】将()()·28a b a b +-=-展开，代入1a =，2b =，可求出a b 的值，结合求夹角公式，即可求解．【详解】由题意得()()2222188a b a b a a b b a b +⋅-=-⋅-=-⋅-=-，所以1a b = 所以·11cos ,122·a b a b a b===⨯，又[],0,a b π∈，所以,3a b π=，即a 与b 的夹角为3π，故选B ．【点睛】本题考查向量的数量积公式以及向量夹角的求法，属基础题． 4．已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且cos22sin 21αα=-，则tan α=（） A ．12-B ．1C ．-2D ．12【答案】D【解析】利用二倍角的正余弦公式可得2cos sin 22sin cos αααα==，化切即可求解. 【详解】因为cos22sin 21αα=-，所以2cos 2sin cos ααα=，又,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，所以cos 0α≠，得cos 2sin αα= 所以两边同时除以cos α，可得1tan 2α=，故选：D 【点睛】本题主要考查了二倍角的正余弦公式，同角三角函数的基本关系，属于中档题.5．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．172πB．9πC．192πD．10π【答案】B【解析】【详解】由三视图可知几何体为圆柱与14球的组合体．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1.所以几何体的表面积为π×12+2π×1×3+4π×12×14+12π×12+12π×12=9π.故选B.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.6．已知1F ，2F 为椭圆E 的左右焦点，点M 在E 上（不与顶点重合），12MF F ∆为等腰直角三角形，则E 的离心率为（）A 1B 1C ．12- D ．12【答案】B【解析】先根据12MF F ∆为等腰直角三角形可得12,MF MF ，结合椭圆的定义可求离心率. 【详解】由题意12MF F ∆为等腰直角三角形，不妨设112MF F F ⊥，则11222,MF F F c MF ===，由椭圆的定义可得22c a +=，解得1c a ==. 故选：B. 【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求解，离心率问题的求解关键是构建,,a b c 间的关系式，侧重考查数学运算的核心素养.7．已知数列{}n a 满足13a =，1110n n n a a a ++++=，则2019a =（） A ．43-B ．14-C ．-3D ．3【答案】A【解析】根据递推关系式求出234,,a a a ，可知数列{}n a 是周期为3的周期数列，再由20196733=⨯知20193a a =.【详解】13a =，1110n n n a a a ++++=,∴当1n =时，22310a a ++=，解得214a =-， ∴当2n =时，331104a a -++=，解得343a =-，∴当3n =时，444103a a -++=，解得43a =，由此可知数列{}n a 是周期为3的周期数列，20196733=⨯，2019343a a ∴==-，故选：A 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，数列的周期性，解题时要注意寻找规律，属于中档题. 8．20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：如果n 是个奇数，则下一步变成31n +；如果n 是个偶数，则下一步变成2n，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确地说是落入底部的4-2-1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i 值为6，则输入的n 值为A ．5B ．16C ．5或32D ．4或5或32【答案】C 【解析】【详解】若5n = ，执行程序框图， 1,16,2,8,3,4i n i n i n ====== ，4,2,5,1,6i n i n i =====，结束循环，输出6i = ；32n =时，执行程序框图， 1,16,2,8,3,4i n i n i n ====== ，4,2,5,1,6i n i n i ===== ，结束循环，输出6i = 5n =或32n =，故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9．已知l m ，是平面α外的两条不同直线，给出以下三个命题：①若,l m m α⊥，则l α⊥；②若l m ⊥，l α⊥，则m α；③若m α，l α⊥，则l m ⊥.其中正确命题的个数是 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】本题可结合题目所给出的条件以及空间线面的位置关系的判定定理及性质进行判断，依次判断正误后即可得出结果．【详解】 ①根据l m m、α⊥无法判断出直线l 与平面α的关系，故①错；②因为l m ⊥，l α⊥，l m 、是平面α外的两条不同直线，所以m α，故②正确； ③因为m α，l α⊥，所以根据线面垂直的相关性质可知l m ⊥，故③正确，综上所述，故选C ．【点睛】本题主要考查直线与平面以及直线与直线位置关系的判定，考查推理能力，考查空间想象能力，考查对线面位置关系的理解，是中档题．10．已知实数x y ，满足1{21y y x x y m ≥≤-+≤，，．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m等于（） A ．7 B ．5C ．4D ．3【答案】B【解析】考虑特殊的交点再验证，由题设可能在12101213{{15021333m x x y m m m x m m y +=--=+-⇒⇒-=-⇒=+-=-=，运动变化的观念验证满足，则选B ．11．已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=＞＞的一条渐近线恰好是曲线222:20C x y x +--=在原点处的切线，且双曲线1C的顶点到渐近线的距离为3，则曲线1C 的方程为（） A ．221128x y -=B ．221168x y -=C ．2211612x y -=D ．22184x y -=【答案】D【解析】分析：由题意布列关于a ，b 的方程组，从而得到曲线1C 的方程.详解：曲线222:20C x y x +--=化为标准形式：()(2213x y -+-=圆心2C坐标为(,∴2OC k =又双曲线()22122:10,0x y C a b a b＞＞-=的一条渐近线恰好是曲线222:20C x y x +--=在原点处的切线，∴2b a =， ∵双曲线1C，=222283a b b a =+，又b =∴a b 2==∴曲线1C 的方程为22184x y -=故选D点睛：本题主要考查双曲线方程的求法，直线与圆相切，点到直线的距离，属于中档题.12．已知函数()1()4xf x e a ax ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若()0()f x x R ≥∈恒成立，则满足条件的实数a 的个数为（） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】A【解析】由不等式恒成立问题分类讨论：①当0a =，②当0a <，③当0a >，再利用导数研究函数的解得个数得：设ϕ（a ）ln a a =，则ϕ'（a ）1ln a =+由导数的应用可得：ϕ（a ）ln a a =的单调性，即14lna a=-有2解，综合①②③得解．【详解】①当0a =时，()00x f x e =>，满足题意， ②当0a <时，0x e a ->，01(4x a ∃∈-，)+∞，140ax +<，故()0()f x x R ∈不恒成立， ③当0a >时，设()xg x e a =-，()14h x ax =+， ()x g x e a =-，1(4)h x ax =+都是递增函数，要使()0()f x x R ≥∈恒成立，则()1,4xe a ax ⎛⎫-+⎪⎝⎭恒同号，所以()xg x e a =-，1(4)h x ax =+与x 轴交点重合，令()0xg x e a =-=，得x lna =，1(4)0h x ax =+=，得14x a=-，方程1ln 4a a =-的解的个数，即1ln ,4y a a y ==-交点个数设ϕ（a ）ln a a =，则ϕ'（a ）1lna =+ 由导数的应用可得：ϕ（a ）ln a a =在1(0,)e为减函数，在1(e，)+∞为增函数，则ϕ（a ）114min e =-<-，即14lna a=-有2解，，所以存在2个a 使得()0()f x x R ∈成立，综合①②③得：满足条件的a 的个数是3个，故选：A ．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题及利用导数研究函数的解得个数，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属难度较大的题型二、填空题13．()2sin 3x x dx ππ-+=⎰__________．【答案】32π【解析】直接利用定积分运算法则求解即可．【详解】23(sin 3)(cos )|x x dx x x ππππ--+=-+⎰333(cos )[cos()()]2πππππ=-+---+-=．故答案为32π 【点睛】本题考查了定积分，关键是求解被积函数的原函数，属于基础题． 14．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数, 当01x <<时, ()2log f x x =，则()522f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭________.【答案】1【解析】由奇函数的性质，结合周期性可得()()200f f ==，再由周期性结合01x <<时, ()2log f x x =，可得以512f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而可得结果.【详解】()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，所以()()200f f ==，当01x <<时, ()2log f x x =，2551112log 122222f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-+=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()521012f f ⎛⎫-+=+= ⎪⎝⎭，故答案为1. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与周期性的应用，属于中档题. 周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.15．如图是各棱长均相等的某三棱锥表面展开图，Q 是DF 的中点．则在原三棱锥中BQ 与EF所成角的余弦值为_____．【答案】3．【解析】展开图还原为直观图，取DE 中点，连,MQ AM ，即可确定BQ 与EF 所成的角，通过解三角形，即可求出结论. 【详解】展开图还原为直观图，如下图所示，取DE 中点M ，连,MQ AM ，设三棱锥的各棱长为a ，Q 是DF 的中点，所以//MQ EF ，AQM ∴∠（或补角）为BQ 与EF 所成的角，在AQM ∆中，31,22a AQ AM MQ a ===， 11324cos 3MQAQM AQ ∴∠===,原三棱锥中BQ 与EF 所成角的余弦值为3. 故答案为:36.【点睛】本题考查几何法求异面直线所成的角，展开图还原直观图是解题的关键，属于基础题.16．过抛物线24y x =焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，分别过A，B 作准线l 的垂线，垂足分别为C ，D .若||4||AF BF =，则||CD =_____. 【答案】5【解析】设直线AB 的倾斜角为θ，由||4||AF BF =，得2421cos 1cos θθ⨯=-+，可解得cos θ的值，进而可得sin θ的值，然后利用抛物线的焦点弦长公式24sin AB θ=计算出线段AB 的长，再利用sin CD AB θ=可计算出答案【详解】解：设直线AB 的倾斜角为θ，并设θ为锐角，则于||4||AF BF =，则有2421cos 1cos θθ⨯=-+，解得3cos 5θ=，则4sin 5θ=，则抛物线的焦点弦长公式可得224425sin 445AB θ===⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此254sin 545CD AB θ==⨯=故答案为：5 【点睛】此题考查抛物线的性质，解决此题的关键在于灵活利用抛物线的焦点弦长公式，属于中档题三、解答题17．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，5AD CD ==，且点M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.（1）求证：//MN 平面ABCD ；（2）求二面角11D AC B --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2310. 【解析】(1）以A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN //平面ABCD .(2）求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小，再求正切值即可.【详解】（1）如图，以A 为坐标原点，以AC 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建系，则(0,0,0)A ，(0,1,0)B ，(2,0,0)C ，(1,2,0)D -，1(0,0,2)A ，1(0,1,2)B ，1(2,0,2)C ，1(1,2,2)D -，又∵M 、N 分别为1C B ，1D D 的中点， ∴11,,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,2,1)N -.由题可知：(0,0,1)n →=是平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN →⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵0n MN →→⋅=， MN ⊄平面ABCD ，//MN 平面ABCD ；（2）由（1）可知：11(2,0,0),(0,1,2)(1,2,2),AC AB AD →→→==-=，设(,,)m x y z →=是平面1ACD 的法向量，由100m AD m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22020x y z x -+=⎧⎨=⎩，取1z =，得()0,1,1m →=，设n (x,y,z)→=是平面1ACB 的法向量，由100n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2020y z x +=⎧⎨=⎩，取1z =，得(0,2,1)n →=-，∵cos ,||||m nm n m n →→→→→→⋅<>==∴sin ,m n →→<>==， ∴二面角11D AC B --【点睛】本题主要考查了直线与平面平行，二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，属于中档题. 18．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2222sin sin sin b c a B Abc C+--=．（1）求角C 的值；（2）若4a b +=，当边c 取最小值时，求ABC 的面积．【答案】（1）π3C =；（2）3ABCS ．【解析】（1）根据正弦定理，将角化为边的表达形式；结合余弦定理即可求得角C 的值．（2）由余弦定理求得2c 与ab 的关系，结合不等式即可求得c 的最小值，即可得到ab 的值，进而求得三角形面积．【详解】（1）由条件和正弦定理可得2222b c a b a b+-=-，整理得222b a c ab +-=从而由余弦定理得1cos 2C =．又∵C 是三角形的内角， ∴π3C =．（2）由余弦定理得222222cos c a b ab C a b ab =+-=+-， ∵4a b +=，∴()22223163c a b ab a b ab ab =+-=+-=-，∴2216316342a b c ab +⎛⎫=-≥-= ⎪⎝⎭（当且仅当2a b ==时等号成立）． ∴c 的最小值为2，故1sin 2ABCSab C == 【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理的简单应用，边角关系的转化及不等式在求最值中的用法，属于基础题．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12n n a S +=+对一切正整数n 恒成立. （1）求当1a 为何值时,数列{}n a 是等比数列,并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，记数列1(1)(1)nn n n a b a a +=++的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）2nn a =；（2）111321n +-+ 【解析】试题分析：（1）再写一个式子，利用11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩可求得n a ．（2）由（1）可得2n n a =，所以()()1121112121212n n n n n n b ++==-++++，用裂项求和求和n T ．试题解析：（1）由12n n a S +=+得：当2n ≥时，12n n a S -=+，两式相减得：12n n a a +=，因为数列{}n a 是等比数列，所以212a a =，又因为21122a S a =+=+，所以解得：12a =,得：2nn a =（2）()()1121112121212n nn n n n b ++==-++++ 2231111111212121212121n n n T +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111=321n +-+ 【点睛】对于递推式中有11,,,n n n n a S a S --等时，我们常用公式，11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩统一成n a 或统一成n S 做．20．在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24x与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点，（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 【答案】（Ⅰ0y a --=0y a ++=（Ⅱ）存在【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）先求出M,N 的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标.试题解析：（Ⅰ）由题设可得)M a，()N a -，或()M a -，)N a .∵12y x '=，故24x y =在x=C在,)a 处的切线方程为y a x -=-0y a --=.故24x y =在x=-处的导数值为C在(,)a -处的切线方程为y a x -=+0y a ++=.0y a --=0y a ++=. （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=+=1212122()()kx x a b x x x x +-+=()k a b a+.当=-b a 时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意.【考点】抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力21．已知m R ∈，函数2()2x f x mx e =-. （1）当2m =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 有两极值点, ()a b a b <. （ⅰ）求m 的取值范围；（ⅱ）求证：()2e f a -<<-.【答案】（1）()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减函数；（2）（ⅰ）(,)e +∞；（ⅱ）证明见解析.【解析】（1）利用导数正负的判断即求得单调区间；（2）（ⅰ）利用()0f x '=有两个变号根，将其分离参数，构造函数并研究其单调性，数形结合即可得m 的取值范围；（ⅱ）利用a 是()0f x '=的小根得到aem a=()01a <<，代入()f a ，构造函数，证得其范围即可. 【详解】（1）2m =时，2()22xf x x e =-，()()4222x x f x x e x e '=-=-.令()2x g x x e =-，()2xg x e '=-，当(,ln 2)x ∈-∞时，()0g x '>，x (ln 2,)∈+∞时，()0g x '< ∴()(ln 2)2ln 220g x g ≤=-<，即20x x e -< ∴()0f x '<.∴()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减函数；（2）若()f x 有两个极值点, ()a b a b <，则a ，b 是方程()220xf x mx e '=-=的两不等实根.解法一：（ⅰ）∵0x =显然不是方程的根，∴xe m x=有两不等实根.令()x e h x x=，则2(1)()x e x h x x -'=，当(,0)x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，()(,0)h x ∈-∞(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增，如图所示，要使x e m x =有两不等实根，应满足(1)m h e >=，∴m 的取值范围是(,)e +∞.（ⅱ）∵2()2af a ma e =-，且()220af a ma e '=-=，即ae m a=故2()22(2)a a a a a e f a a e a e e e a a=⋅-=⋅-=-，∵a b <，01a ∴<<设()(2)(01)x x e x x ϕ=-<<，则()(1)0xx e x ϕ'=-<，()ϕx 在0,1上单调递减∴(1)()(0)x ϕϕϕ<<，故()2e x ϕ-<<- 即()2e f a -<<-.解法二：（i ）()()22xh x f x mx e '==-，则a ，b 是方程()0h x =的两不等实根.∵()()2xh x m e'=-当0m ≤时，()0h x '<，()h x 在(),-∞+∞上单调递减，()0h x =不可能有两不等实根当0m >时，由()0h x '=得ln x m =，当(,ln )x m ∈-∞时，()0h x '>，(ln ,)x m ∈+∞时，()0h x '<∴当max ()(ln )2(ln )0h x h m m m m ==->，即m e >时，()0h x =有两不等实根 ∴m 的取值范围是(,)e +∞.（ii ）∵2()2a f a ma e =-，且()220af a ma e '=-=，2()22(2)a a a a a e f a a e a e e e a a=⋅-=⋅-=-，∵a b <，01a ∴<<设()(2)(01)x x e x x ϕ=-<<，则()(1)0xx e x ϕ'=-<，()ϕx 在0,1上单调递减∴(1)()(0)x ϕϕϕ<<，故()2e x ϕ-<<- 即()2e f a -<<-. 【点睛】本题考查了函数与导数的综合应用，属于难题. 22．已知直线11cos ,:sin x t C y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数），圆2cos ,:sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数）.(1)当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标.(2)过坐标原点O 作1C 的垂线，垂足为,A P 为OA 的中点.当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线？【答案】（1）(1，0)，1,2⎛ ⎝⎭（2）214x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为14的圆【解析】(1)当α＝3π时，C 1的普通方程为y(x －1)， C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组221{1y x x y －），＋＝，解得C 1与C 2的交点为(1，0)，1,2⎛⎝⎭. (2)C 1的普通方程为xsinα－ycosα－sinα＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cosαsinα)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为212{12x sin y sin cos ααα＝，＝－(α为参数)． P 点轨迹的普通方程为214x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋y 2＝116. 故P 点轨迹是圆心为1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为14的圆。

黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测数学(文)试题

黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测数学（文）试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．2. 若复数满足（为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3. 设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值（）A．5 B．4 C．9 D．24. 已知等差数列的首项，前项和为，若，则（）A．B．C．D．5. 数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法错误的是（）A．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个B．可以是某个圆的“优美函数”C．正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”D．函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形6. 在等比数列{an }中，a3，a15是方程x2+6x+2=0的根，则的值为（）A．B．C．D．或7. 已知函数两条相邻对称轴为和，若，则（）A．B．C．D．8. 已知，则的大小关系是（）A．B．C．D．9. 已知定义域为的奇函数满足，且当时，，则（）A．B．C．3 D．10. 在空间四边形中，若，且，分别是的中点，则异面直线所成角为（）A．B．C．D．11. 若函数在其定义域上只有3个极值点，则实数的取值范围（）A．B．C．D．12. 已知是抛物线的焦点，抛物线上动点，满足，若，的准线上的射影分别为，且的面积为,则（）A．B．C．D．二、填空题13. 已知向量，，则在方向上的投影为________．14. 若点在直线上，则的值等于______________ .15. 已知两圆相交于两点,，若两圆圆心都在直线上，则的值是________________ .16. 三棱锥中，，，平面，，则该三棱锥的外接球表面积为__________．三、解答题17. 为了比较两种治疗某病毒的药分别称为甲药，乙药的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图.（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；（3）标准差除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？参考数据：.18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求角C；（2）若D是边BC的中点，，，求的面积．19. 如图1，在高为2的梯形中，，过、分别作，垂足分别为、，已知，将梯形沿、同侧折起，使得，得空间几何体，如图2．（1）证明：面；（2）求三棱锥的体积．20. 如图，已知椭圆C：的离心率为，并且椭圆经过点P(1，)，直线的方程为x＝4．（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆内一点E(1，0)，过点E作一条斜率为k的直线与椭圆交于A，B两点，交直线于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数，使得k1＋k2＝k3？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：若对于任意的，都存在使不等式成立.22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），圆的方程为，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为.（1）求曲线与圆的极坐标方程；（2）当时，若射线与曲线和圆分别交于异于点的，两点，且，求的面积.23. 已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集为R，求的取值范围．。

黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测数学(理)试题(wd无答案)

黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测数学（理）试题一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则( )A．B．C．D．(★★) 2. 已知 i为虚数单位，复数 z满足，则( )A．4B．2C．D．(★★★) 3. 设x∈ R，则“| x－2|<1”是“ x 2＋ x－2>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 4. 已知菱形的边长为，，则A．B．C．D．(★★) 5. 已知等差数列的前 n项和为，若，则公差等于( )A．B．C．1D．2(★★) 6. 函数的部分图象大致是( )A．B．C．D．(★★) 7. 甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次．四人测试成绩对应的条形图如下：以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确的是（）A ．平均数相同B．中位数相同C．众数不完全相同D．丁的方差最大(★★★) 8. 已知角的终边在直线上，则（）A．B．C．D．(★) 9. 设 a＝log 36， b＝log 510， c＝log 714，则 ( )．A．c>b>a B．b>c>aC．a>c>b D．a>b>c(★★★) 10. 双曲线右支上一点，为左顶点，为右焦点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．3B．4C．5D．6(★★★)11. 在棱长为6的正方体中，点，分别是棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，则截面的周长为（）A．B．C．D．(★★★★) 12. 定义在上函数满足，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题(★★★) 13. 展开式中常数项为________.(★) 14. 甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______．(★★★★) 15. 如图，平面四边形中，，，，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为_____.三、双空题(★★) 16. 网上购鞋常常看到下面的表格：脚长/220225230235240245250255260265鞋号34353637383940414243请根据表格归纳出和的关系式______________；如果一个篮球运动员的脚长为，根据计算公式，他该穿的鞋的鞋号为_____号.四、解答题(★★★) 17. 在中，三内角，，对应的边分别为，，，若为锐角，且.（1）求；（2）已知，，求的面积.(★★★) 18. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，，，为的中点，为线段上靠近点的三等分点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.(★★★) 19. 在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下列联表：分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5419小时线上学习时间不足5小时合计45（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）；②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.（下面的临界值表供参考）0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式其中）(★★★★) 20. 设椭圆的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为，．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值． (★★) 21. 已知函数曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）证明：当且时，.(★★★) 22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．（1）求的普通方程；（2）设为圆上任意一点，求的最大值．(★★★) 23. 已知函数（其中实数）.（Ⅰ）当，解不等式；（Ⅱ）求证：.。

黑龙江省大庆市第四中学2019-2020学年高一下学期第一次月考数学(理)试题

大庆四中2019～2020学年度第二学期第一次检测高一年级数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.下列命题正确的是（） A. OA OB AB -=B. 0AB BA +=C. 00AB ⋅=D. AB BCAC【★★答案★★】D 【解析】【分析】根据平面向量加减法法则可判断A 、B 、D 选项的正误，利用平面向量数量积的定义可判断C 选项的正误.【详解】由平面向量加减法法则可得OA OB BA -=，0AB BA +=，AB BC AC ，由平面向量数量积的定义可得00AB ⋅=. 所以，A 、B 、C 选项错误，D 选项正确. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量加减法法则的应用，同时也考查了平面向量数量积定义的应用，考查计算能力，属于基础题.2.已知O 为坐标原点，(1,2)OA =，(1,3)AC =-，则点C 的坐标是（） A. (2,1)-B. (0,5)C. (1,6)-D. (0,1)-【★★答案★★】B 【解析】【分析】利用向量加法的坐标运算，求得C 的坐标.【详解】依题意()()()1,21,30,5OC OA AC =+=+-=，所以C 的坐标为()0,5. 故选：B【点睛】本小题主要考查向量加法的坐标运算，属于基础题.3.已知,a b 满足1a b ==，,a b 的夹角为120，则a b ⋅= （）A.12B. 12-D. 1【★★答案★★】B 【解析】【分析】根据向量的数量积的定义及运算公式，即可求解.【详解】由题意，向量,a b 满足1a b ==，,a b 的夹角为120，则120cos 1111()22a b a b ⋅==⨯⨯-=⨯-⋅. 故选：B.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的定义及运算，其中解答中熟记向量的数量积的概念及运算公式是解答的关键，考查了计算能力.4.已知点()(1,3),2,A B x -，向量(1,2)a =，若//AB a ，则实数x 的值为（） A. 7B. 8C. 9D. 6【★★答案★★】C 【解析】【分析】先求得AB ，然后根据向量共线的坐标表示列方程，解方程求得x 的值.【详解】依题意()3,3AB OB OA x =-=-，由于//AB a ，所以()3231x ⨯=-⨯，解得9x =. 故选：C【点睛】本小题主要考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题. 5.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若2a =，3b =，6A π=，则ABC ∆解的个数是（） A. 0B. 1C. 2D. 不确定【★★答案★★】C 【解析】【分析】根据余弦定理求出c ，有两个值，由此可得★★答案★★. 【详解】在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，所以2496c c =+-，即250c -+=，解得c =或2c = 所以ABC ∆解的个数是2. 故选：C【点睛】本题考查了利用余弦定理判断三角形的解得个数，属于基础题.6.已知向量()0,5a =，向量()3,1b =-，若a b μ-与a b +垂直，则μ=（） A. 1-B. 1C.12D.14【★★答案★★】D 【解析】【分析】根据()0,5a =与()3,1b =-，得出a b μ-与a b +的坐标，再由a b μ-与a b +垂直得到()()0a b a b μ-⋅+=，进而即可得到★★答案★★.【详解】解：因为()0,5a =，()3,1b =-，所以(0,5)(3,1)(3,51)a b μμμ-=--=-+，(0,5)(3,1)(3,4)a b +=+-=.因为a b μ-与a b +垂直，所以()()0a b a b μ-⋅+=，所以()()335140μ-⋅++⋅=，解得14μ=. 故选：D.【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算和数量积，考查学生的计算能力，属于基础题.7.在ABC ∆中，若cos cos a cA C b++=，则ABC ∆的形状是（） A. C 为直角的直角三角形 B. C 为钝角的钝角三角形 C. B 为直角的直角三角形 D. A 为锐角的三角形【★★答案★★】C 【解析】【分析】利用余弦定理角化边，根据立方和公式变形化简可得222a c b +=，由此可得★★答案★★. 【详解】因为cos cos a cA C b++=，所以22222222b c a a b c a c bc ab b+-+-++=，所以222222()()2()a b c a c a b c ac a c +-++-=+，所以233()()()b a c a c ac a c +-+=+，所以222()()()()b a c a c a ac c ac a c +-+-+=+，因为0a c +>，所以222()b a ac c ac --+=，所以222a c b +=，所以B 为直角. 故选：C【点睛】本题考查了利用余弦定理角化边判断三角形的形状，属于基础题. 8.已知非零向量a b ，满足4b a ＝，且2)+(a a b ⊥，则a 与b 夹角为( )A. B. C.D.【★★答案★★】C 【解析】【分析】利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，求得a 与b 的夹角θ的值．【详解】220a b a ∴⋅+＝2()()20++2+20a a a b a a b a b ⊥∴⋅∴⋅，＝，＝，即220cos a a a b b +〈，〉＝.224240b a a a cos a b ∴＝，＋〈，〉＝，12cos ,,,23a b a b π∴〈〉=-∴〈〉=.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题． 9.在ABC 中，若222cos cos cos 1A B C +->，则ABC 的形状是（） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定【★★答案★★】B 【解析】【分析】利用三角函数的基本关系式和题设条件，得到222sin sin sin A B C +<，结合正弦定理化简得到222a b c +<，结合三角形的性质，即可求解.【详解】在ABC ∆中，因为222cos cos cos 1A B C +->，可得2221sin 1sin 1sin 1A B C -+--+>，即222sin sin sin A B C +<，又由正弦定理知2sin sin sin a b c R A B C ===，即sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===，可得222a b c +<，所以ABC 钝角三角形.故选：B.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正弦定理的边角互化，以及三角形的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 10.已知O 是平面上一点，，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，点O 满足0AB AC BA BC OA OB AB AC BA BC ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅-=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则O 点一定是△ABC 的（） A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心【★★答案★★】B 【解析】【分析】由所给等式利用数量积的定义可得cos<,=cos<,OA AB OA AC >>，推出O 点为BAC ∠的角平分线上的点，同理O 点为ABC ∠的角平分线上的点，即可判断.【详解】0AB AC OA AB AC ⎛⎫ ⎪⋅-= ⎪⎝⎭，=AB AC OA OA AB AC ∴⋅⋅，即cos<,=cos<,AB AC OA OA AB OA OA AC ABAC⋅⋅>⋅⋅>，cos<,=cos<,OA AB OA AC ∴>>，O 点为BAC ∠的角平分线上的点，同理可得O 点为ABC ∠的角平分线上的点，所以O 点为△ABC 角平分线的交点，O 点是一定是△ABC 的内心. 故选：B【点睛】本题考查向量的数量积的定义及运算律、三角形内心的概念，属于中档题. 11.已知1a b ==，且a b ⊥，则2a b+在a b +方向上的投影为（）A.2B.2【★★答案★★】A 【解析】 ∵a b ⊥ ∴0a b ⋅=∴2a b +在a b +方向上的投影为222223(2)()22a a b b a b a b a ba ab b+⋅++⋅+===++⋅+故选A12.在△ABC 中，(cos18,cos 72)AB =，(2sin 27,2sin 63)BC =，则△ABC 的面积为（） A.4B.2C.2【★★答案★★】B 【解析】【分析】由于cos72=sin18sin 63=cos27,，化简AB ，BC ，求得模长，根据数量积的坐标公式求得夹角B π-的余弦值，计算可得B ，根据面积公式计算即可求得结果. 【详解】(cos18,cos 72)AB =，(2sin 27,2sin 63)BC =，(cos18,sin18)AB ∴=︒︒,(2sin 27,2cos 27)BC =︒︒,得cos 1AB ==，2cos 2BC ==，由于AB 与BC 的夹角为B π-，2cos18sin 272sin18cos 272cos()sin 45122B π+∴-===⨯，cos ,02B B π∴=-<<，135B =，因此ABC ∆面积为：1212sin1352⨯⨯⨯=故选:B.【点睛】本题考查向量的坐标表示，数量积公式的灵活应用，考查三角形面积的计算，属于基础题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13.已知向量(2,1)a =，10a b ⋅=，52a b +=，则b =________. 【★★答案★★】5 【解析】【分析】本题首先可以根据(2,1)a =得出25a =，然后根据52a b +=得出250a b +=，最后通过化简即可得出结果。

黑龙江省大庆市第四中学2020届高三上学期第二次检测数学试题(文)

黑龙江省大庆市第四中学2020届高三上学期第二次检测数学试题（文）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}21,0,1,2,3,20,A B x x x =-=->则AB =（）A ．{}3B ．{}2,3C ．{}1,3-D ．{}1,2,32．若复数2()1a ia R i-∈+为纯虚数，则3ai -＝（）A B ．13 C ．10D 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 若28515a a a +=-，则9S 等于（） A.18 B.36 C.45 D.604.函数3()2f x x x =+-的图像在点0P 处的切线平行于直线41y x =-，则点0P 的坐标（）A .()1,0 B.()2,8 C.()2,8或()1,4-- D.()1,0或()1,4--5.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A.若//,m n αβ⊥且,m n ⊥则αβ⊥ B.若,m n αβ⊥⊥且//,m n 则//αβC.若,//m n αβ⊥且//,m α则n β⊥D.若,m n αβ⊂⊂且//,m n 则//αβ6．经过抛物线212y x =的焦点F ，作圆()()22128x y -+-=的切线,l 则l 的方程为（）A ．30x y +-=B ．303x y x +-==或C ．30x y --=D ．303x y x --==或7.某产品广告宣传费与销售额的统计数据如表，根据数据表可得回归直线方程ˆˆˆ,ybx a =+其中ˆ2b=，据此模型预测广告费用为9千元时，销售额为（）A.17万元 8.已知121231ln ,,2x x e x -==满足33ln xe x -=，则正确的是（）A.123x x x <<B.132x x x <<C.213x x x <<D.312x x x <<9.已知函数()1(),(0,),(,0)223f x x A ππωϕωϕ=+>-<<为其图象的对称中心， B C 、是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是（）A ．24(2,2),33k k k Z ππππ-+∈ B ．24(2,2),33k k k Z -+∈ C ．24(4,4),33k k k Zππππ-+∈D ．24(4,4),33k k k Z -+∈10. 已知函数()(),xxf x x e e -=-对于实数,a b ,“0a b +>”是“()()0f a f b +>”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若A =3π，23sin cos CC =2sin sin A B ，且6b =，则c =（）A. 6 B ．4 C ． 3 D ．212.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，过2F 的直线与双曲线C交于,A B 两点，若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（）A.y =B.y =C.y =D.y =±第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量()3,2a =-，(),1b m =．若向量()2//a b b -，则 m =______． 14．圆224280x y x y +---=关于直线220(0,0)ax by a b +-=>>对称，则14a b+的最小值为． 15.若1(,0),sin()243ππαα∈-+=-，则sin 2cos()4απα-= ． 16．已知直三棱柱111ABC A B C -外接球的表面积为52π，1AB =，若△ABC 外接圆的圆心1O 在AC 上，半径11r =，则直三棱柱111ABC A B C -的体积为．三．解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.（本题12分）为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，已知该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n 的样本，得到一周参加社区服务时间的统计数据如下表：(1)求,m n .(2)能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？ (3)以样本中学生参加社区服务时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机调查6名学生，试估计这6名学生中一周参加社区服务时间超过1小时的人数.2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++18.（本题12分）已知数列{}n a 是公比大于1的等比数列，24a =且21a +是1a 与3a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式.（2）设2log n n b a =,求数列{}n n a b 的前n 项和n S .19.（本题12分）在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，120ADC ∠＝,SAD ∆是等边三角形，平面SAD ⊥平面,,ABCD E F 分别是,SC AB 上的一点.(1)若,E F 分别是,SC AB 的中点，求证://BE 平面SFD(2)当15SE EC =时，求三棱锥S BDE -的体积.20.（本题12分）已知椭圆C 中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(1,2P ，直线l 与椭圆交于,A B 两点(,A B 两点不是左右顶点），若直线l 的斜率为12时，弦AB 的中点D 在直线12y x =-上．（1）求椭圆C 的方程．（2）若以,A B 两点为直径的圆过椭圆的右顶点，则直线l 是否经过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．21（本题12分）已知函数()2ln f x x mx =-()21,2g x mx x =+,m R ∈,()F x = ()()f x g x +（1）讨论函数()f x 的单调区间及极值；（2）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值．请考生在第22、23题中任选一题作答。

黑龙江省大庆市第四中学2019-2020学年高二上学期第二次月考数学试题(理)(1)

黑龙江省大庆市第四中学2019-2020学年高二上学期第二次月考（理）考试时间：120分钟分值：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；条形码粘贴在指定位置．2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．在试卷纸上作答无效．．．．．．．．．．如需作图先用铅笔定型，再用黑色签．．．．．．．．．．．．．．．．字笔描绘。

．．．．．一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．抛物线：的焦点坐标是（）A.B.C.D.2. 已知p ，q 是简单命题，那么“p ∧q 是真命题”是“￢p 是真命题”的（） A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3、命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（） A 、任意一个无理数，它的平方是有理数 B 、任意一个无理数，它的平方不是有理数 C 、存在一个无理数，它的平方是有理数 D 、存在一个无理数，它的平方不是有理数4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为 ( ) A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1 5.已知双曲线2222:1y x C a b-=（0,0a b >>）的离心率为2，则C 的渐近线方程为（）A.33y x =±B.3y x =±C.2y x =±D.5y x =±6.设，则“ ”是“ ”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与P 该抛物线准线的距离之和的最小值为（） A.172 B.3 C.5 D.928．若椭圆221369x y +=的弦被点(4,2)平分，则此弦所在直线的斜率为（） A.2 B.-2 C.13 D.12- 9．已知一动圆P 与圆O :x 2+y 2=1外切,而与圆C :x 2+y 2-6x+8=0内切,则动圆的圆心P 的轨迹（）A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆10．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是 ( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，过其左焦点F 作x 轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若双曲线的右顶点在以AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是 ( ) A ．⎝⎛⎭⎫1，32 B ．(1,2) C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D ． (2，＋∞) 12．直线l 与抛物线C ：22y x =交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率1k ，2k 满足1223k k =，则l 一定过点（） A ．()3,0-B ．()3,0C ．()1,3-D,()2,0-第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）13.在空间直角坐标系中，点(5,3,1)M -关于x 轴的对称点的坐标为14．已知命题2:,x 0p x R a ∀∈-≥，命题2000:,x 220q x R ax a ∃∈++-=.若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为________．15.过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-，则双曲线的离心率是 .16.过椭圆22194x y +=内一点(2,0)M 引椭圆的动弦AB ，则弦AB 的中点N 的轨迹方程是三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤.） 17.（本小题满分10分）『选修4-4：坐标系与参数方程』在极坐标系中，已知点4,4A π⎛⎫⎪⎝⎭，直线为sin 14πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为x 轴的非负半轴, 建立平面直角坐标系,椭圆(为参数)，（1）求点4,4A π⎛⎫ ⎪⎝⎭的直角坐标与椭圆的普通方程；（2）求点4,4A π⎛⎫⎪⎝⎭到直线sin 14πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的距离.18. （本小题满分12分）『选修4-4：坐标系与参数方程』已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=. 以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为x 轴的非负半轴, 建立平面直角坐标系, 直线l 的参数方程是: 22{(t )22x m t y t=+=为参数 .(Ⅰ) 将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程, 将直线的参数方程化为普通方程; (Ⅱ) 若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点, 且|AB |14=, 试求实数m 值. 19．（本小题满分12分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0,1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.cos :sin x C y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩23ϕ(1)求椭圆的方程； (2)求弦CD 长．20. （本小题满分12分）『选修4-4：坐标系与参数方程』在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1+cos {()sin x y ϕϕϕ==为参数．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线的极坐标方程是，射线与圆C 的交点为O 、P ，与直线的交点为Q ，求线段PQ 的长．21．（本小题满分12分）过抛物线y 2＝x 上一点A (4,2)，作倾斜角互补的两直线AB 、AC 交抛物线于B 、C .求证:直线BC 的斜率为定值．22．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，圆Q :224230x y x y +--+=的圆心Q 在椭圆C 上，点(0,1)P 到椭圆C 的右焦点的距离为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若tan AQB S AQB ∆=∠，求直线l 的方程.——★ 参*考*答*案 ★——一、选择题（每小题5分，共60分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BDBAAAADABDA二、填空题（每小题5分，共20分）13、(-5,-3,-1) 14、 15.102 16、()229114x y -+=三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.解：（1）点4,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭化成直角坐标为()22,22.椭圆普通方程22143x y +=.直线sin 14πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，化成直角坐标方程为22122x y +=，即20x y +-=. （2）由题意可知，点4,4π⎛⎫⎪⎝⎭到直线sin 14πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的距离，就是点()22,22到直线20x y +-=的距离，由距离公式可得2222232d +-==.18.解: (I) 曲线C 的极坐标方程是化为直角坐标方程为:直线的直角坐标方程为:，(Ⅱ): 把(是参数) 代入方程, 得,.所以，所以或19. 解(1)由题意知b ＝1，c a ＝22，且c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，c ＝1.易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －2x 22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0. ∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－169x 1·x 2＝23∴|CD |＝5|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝⎛⎭⎫－1692－4×23＝1092，20．.（Ⅰ）圆的普通方程是，又所以圆的极坐标方程是.（Ⅱ）设为点的极坐标，则有，解得，设为点的极坐标，则有，解得，由于，所以，所以线段的长为.21．『证明』设B (x 21，x 1)，C (x 22，x 2)(|x 1|≠|x 2|)，则k BC ＝x 1－x 2x 21－x 22＝1x 1＋x 2；k AB ＝x 1－2x 21－4，k AC ＝x 2－2x 22－4.∵AB ，AC 的倾斜角互补．∴k AB ＝－k AC . ∴x 1－2x 21－4＝－x 2－2x 22－4，∴x 1＋2＝－(x 2＋2)， ∴x 1＋x 2＝－4.∴k BC ＝－14为定值．22、解：（1）因为椭圆C 的右焦点(,0)F c ，||2PF =，所以3c =，因为(2,1)Q 在椭圆C 上，所以22411a b +=，由223a b -=，得26a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22163x y +=．（2）由tan AQB S AQB ∆=∠得：1sin tan 2QA QB AQB AQB ⋅∠=∠，即cos 2QA QB AQB ⋅∠=，可得2QA QB ⋅=，①当l 垂直x 轴时，(2,31)QA QB ⋅=--(2,31)4132⋅---=+-=，此时满足题意，所以此时直线l 的方程为0x =； ②当l 不垂直x 轴时，设直线l 的方程为1y kx =+，由221,631x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得22(12)440k x kx ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以122412k x x k -+=+，122412x x k -=+，代入2QA QB ⋅=可得：1122(2,1)(2,1)2x y x y --⋅--=，代入111y kx =+，221y kx =+，得21212(2)(2)2x x k x x --+=，代入化简得：2224(1)8201212k k k k -+++=++，解得14k =，经检验满足题意，则直线l 的方程为440x y -+=，综上所述直线l 的方程为0x =或440x y -+=。

黑龙江省大庆市第四中学2020届高三数学4月月考试题文

黑龙江省大庆市第四中学2020届高三数学4月月考试题文考试时间：120分钟分值：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|lg 0},{|21}x A x x B x =≤=≤则A B =( )A. (),1-∞B. (],1-∞C. ()1,+∞D. [)1,+∞2.已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-,i 为虚数单位,则21z z +=- ( ) A. 1i -- B. 1i + C. 312i-D. 312i + 3.,m n 是两条不同的直线，α是平面，n α⊥，则//m α是m n ⊥的（） A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知 1.22a =,0.812b -⎛⎫= ⎪⎝⎭,52log 2c =,则,,a b c 的大小关系为( )A. c b a <<B. c a b <<C. b a c <<D. b c a <<5.已知向量(4,1),(5,2)a b =-=-，且()//()a b ma b +-，则实数m =（） A. 1B.-1C.75 D. 75- 6.在等差数列{}n a 中，810112a a =+，则数列{}n a 的前11项和11S = ( )A. 8B. 16C. 22D. 44 7..函数2(e e )cos ()x x xf x x--=的部分图象大致是( ) A. B. C. D.8.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。

如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。

”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)。