高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆练习理新人教A版2

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2021届高考数学二轮复习专题5解析几何第1讲直线与圆课件人教版.pptx

(3)原点到直线的距离d＝ 122＋12＝ 2，故|OP|的最小值为 2，故选B．
求解直线方程应注意的问题 (1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况． (2)要注意几种直线方程的局限性，点斜式、斜截式要求直线不能与x轴垂直；两点式要求直线不能与坐标轴垂直；截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． (3)求直线方程要考虑直线的斜率是否存在．
8
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距离
02 考点分类 • 析重点
考点一直线的方程
1．直线方程的五种形式 (1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)． (2)斜截式：y＝kx＋b. (3)两点式：yy2－－yy11＝xx2－－xx11(x1≠x2，y1≠y2)． (4)截距式：ax＋by＝1(a≠0，b≠0)． (5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．
第二部分
专题篇•素养提升(文理)
专题五解析几何
第1讲直线与圆
1 解题策略 • 明方向 2 考点分类 • 析重点 3 易错清零 • 免失误 4 真题回放 • 悟高考 5 预测演练 • 巧押题
01 解题策略 • 明方向
1．直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点．
考点二圆的方程
1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2． 2．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F＞0)表示以－D2 ，－E2 为圆心， D2＋2E2－4F为半径的圆．
2．考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题．

2020届高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何第1讲直线与圆专题强化练理

第1讲直线与圆A 级基础通关一、选择题1．已知直线l ：x cos α＋y sin α＝1(α∈R)与圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)相交，则r 的取值范围是( )A ．0＜r ≤1B ．0＜r ＜1C ．r ≥1D ．r ＞1解析：圆心到直线的距离为d ＝1cos 2α＋sin 2α＝1，故r ＞1. 答案：D2．已知命题p ：“m ＝－1”，命题q ：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要解析：“直线x －y ＝0与直线x ＋m 2y ＝0互相垂直”的充要条件是1×1＋(－1)·m 2＝0⇔m ＝±1，所以命题p 是命题q 的充分不必要条件．答案：A3．(2019·广东湛江一模)已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72，若直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m ＝( )A ．2或10B ．4或8C ．4或6D ．2或4解析：圆C ：(x －3)2＋(y －3)3＝72的圆心C 的坐标为(3，3)，半径r ＝62，因为直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，所以圆心到直线的距离为22，则有d ＝|6－m |1＋1＝22，解得m ＝2或m ＝10.答案：A4．直线ax －by ＝0与圆x 2＋y 2－ax ＋by ＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不能确定解析：圆的方程化为标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋b 22＝a 2＋b 24.所以圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－b 2，半径r ＝a 2＋b 22.所以圆心到直线ax －by ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 22＋b 22a 2＋b2＝a 2＋b 22＝r .所以直线与圆相切．答案：B5．(2019·安徽十校联考)过点P (2，1)作直线l 与圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋a ＝0交于A ，B 两点，若P 为弦AB 中点，则直线l 的方程( )A ．y ＝－x ＋3B ．y ＝2x －3C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝x －1解析：圆C 的标准方程(x －1)2＋(y －2)2＝5－a ，知圆心C (1，2)，因为P (2，1)是弦AB 的中点，则PC ⊥l .所以k CP ＝1－22－1＝－1，所以直线l 的斜率k ＝1.故直线l 的方程为y －1＝x －2，即y ＝x －1. 答案：D6．(2019·广东天河一模)已知圆C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0，直线l ：kx －y ＋2－2k ＝0与圆C 交于A ，B 两点，则当△ABC 面积最大时，直线l 的斜率k 为( )A ．1B ．6C ．1或7D ．2或6解析：由x 2－2x ＋y 2＝0，得(x －1)2＋y 2＝1，则圆的半径r ＝1，圆心C (1，0)，直线l ：kx －y ＋2－2k ＝0与圆C 交于A ，B 两点，当CA 与CB 垂直时，△ABC 面积最大，此时△ABC 为等腰直角三角形，圆心C 到直线AB 的距离d ＝22，则有|2－k |1＋k2＝22，解得k ＝1或k ＝7. 答案：C 二、填空题7．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．解析：由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去．当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，5为半径的圆．答案：(－2，－4) 58．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0)．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32.r 2＝254.所以该圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2549．设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠FAC ＝120°，则圆的方程为_____________________________________________________．解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心C (－1，a )(a ＞0)，则A (0，a )．又F (1，0)，所以AC →＝(－1，0)，AF →＝(1，－a )．由题意知AC →与AF →的夹角为120°，得cos 120°＝－11×1＋a 2＝－12，解得a ＝ 3. 所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1. 答案：(x ＋1)2＋(y －3)2＝110．(2019·河北衡水二模)已知直线l 1过点P (3，0)，直线l 1与l 2关于x 轴对称，且l 2过圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心，则圆心C 到直线l 1的距离为________．解析：由题意可知，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以C (1，1)，则l 2的斜率k CP ＝1－01－3＝－12，因为l 1与l 2关于x 轴对称，所以直线l 1的斜率k ＝12，所以l 1：y ＝12(x －3)，即x －2y －3＝0，所以圆心C 到直线l 1的距离d ＝|1－2－3|1＋4＝455.答案：455B 级能力提升11．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________．解析：设A (a ，2a )，则a >0.又B (5，0)，故以AB 为直径的圆的方程为(x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0. 由题意知C (a ＋52，a )．由⎩⎪⎨⎪⎧（x －5）（x －a ）＋y （y －2a ）＝0，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝2a .所以D (1，2)．又AB →·CD →＝0，AB →＝(5－a ，－2a )，CD →＝(1－a ＋52，2－a )，所以(5－a ，－2a )·(1－a ＋52，2－a )＝52a 2－5a －152＝0，解得a ＝3或a ＝－1. 又a >0，所以a ＝3. 答案：312.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2，4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程．解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6，7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0＜y 0＜7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1. (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为|BC |＝|OA |＝22＋42＝25，又|MC |2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|BC |22，即25＝（m ＋5）25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.。

高考数学(理)二轮二轮课时专题专题五解析几何第1讲直线与圆 Word版含答案

第1讲直线与圆【课前热身】第1讲直线与圆(本讲对应学生用书第42~44页)1.(必修2 P83练习4改编)已知一条直线经过点P(1，2)，且斜率与直线y=-2x+3 的斜率相等，则该直线的方程为.【答案】y=-2x+4【解析】设直线方程为y=-2x+b，代入点P(1，2)，得b=4，所以所求直线的方程为y=-2x+4.2.(必修2 P111练习8改编)在平面直角坐标系xOy中，若曲线C：x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为.【答案】(-∞，-2)【解析】曲线C：x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0可以变形为(x+a)2+(y-2a)2=4，它表示以(-a，2a)为圆心、2为半径的圆，该圆在第四象限的条件是-020|-|2|2|2aaaa>⎧⎪<⎪⎨>⎪⎪>⎩，，，，解得a<-2.3.(必修2 P114练习2改编)自点A(-1，4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1 的切线l，则切线l的方程为.【答案】y=4或3x+4y-13=0【解析】当直线l垂直于x轴时，直线l：x=-1与圆相离，不满足条件.当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y-4=k(x+1)，由于直线与圆相切，所以21 k+=1，解得k=0，k=-34，因此，所求的方程为y=4或3x+4y-13=0.4.(必修2 P117习题10改编)圆x2+y2=9与圆x2+y2-4x+2y-3=0的公共弦的长为.【答案】125 5【解析】两圆的圆心分别为(0，0)，(2，-1)，公共弦的方程为2x-y-3=0，原点到公共弦的距离d=35，所以公共弦长为2239-5⎛⎫⎪⎝⎭=1255.5.(必修2 P117习题8改编)已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m，0)，B(m，0)(m>0)，若圆上有点P，使得∠APB=90°，则m的最小值为.【答案】4【解析】显然AB=2m，因为∠APB=90°，所以OP=12AB=m，所以要求m的最小值，即求圆C上的点P到原点O的最小距离.因为OC=5，所以OP min=OC-r=4，即m 的最小值为4.【课堂导学】直线、圆的方程例1如图，在Rt△ABC中，∠A为直角，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T(-1，1)在直线AC上，斜边中点为M(2，0).(1)求BC边所在直线的方程；(2)若动圆P过点N(-2，0)，且与Rt△ABC的外接圆相交所得公共弦长为4，求动圆P中半径最小的圆的方程.(例1)【解答】(1)因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，AC与AB垂直，所以直线AC的斜率为-3.故AC边所在直线的方程为y-1=-3(x+1)，即3x+y+2=0.设C为(x0，-3x0-2)，因为M为BC中点，所以B(4-x0，3x0+2).将点B代入x-3y-6=0，解得x0=-4 5，所以C42 -55⎛⎫ ⎪⎝⎭，.所以BC边所在直线方程为x+7y-2=0.(2)因为Rt△ABC斜边中点为M(2，0)，所以M为Rt△ABC外接圆的圆心.又CM=2，从而Rt△ABC外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.设P(a，b)，因为动圆P过点N，所以该圆的半径22(2)a b++，圆P的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由于圆P与圆M相交，则公共弦所在直线的方程m为(4-2a)x-2by+a2+b2-r2+4=0.因为公共弦长为4，r=22，所以M (2，0)到直线m 的距离d=2，即22222|2(4-2)-4|(4-2)(2)a a b r a b ++++=2，化简得b 2=3a 2-4a ，所以r=22(2)a b ++=244a +. 当a=0时，r 取最小值为2，此时b=0，圆的方程为x 2+y 2=4.【点评】对于直线和圆的方程的求解问题，一般都采用待定系数法，即根据所给条件特征恰当地选择方程，将几何性质转化为代数的方程，解方程即可.变式已知以点P 为圆心的圆经过点A (-1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且CD=410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程.【解答】(1)因为直线AB 的斜率k=1，AB 的中点坐标为(1，2). 所以直线CD 的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0. (2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得 a+b-3=0. ① 又因为直径CD=410，所以PA=210.所以(a+1)2+b 2=40. ②由①②解得-36a b =⎧⎨=⎩，或5-2.a b =⎧⎨=⎩，所以圆心P (-3，6)或P (5，-2)，所以圆P 的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.直线与圆、圆与圆的位置关系例2 (2015·曲塘中学)已知圆心为C 的圆满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13.(1)求圆C 的标准方程.(2)设过点M (0，3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行?若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【点拨】存在性问题，先假设存在.【分析】(1)根据圆心C 位于x 轴正半轴上，可设出圆的标准方程，然后利用直线与圆的位置关系列出方程组求解；(2)假设存在这样的直线方程，则斜率必须满足相应的条件，根据平行四边形法则，可得出D 点坐标与A ，B 两点坐标之间的关系，从而通过OD 与MC 平行建立起关于斜率k 的方程，从而求出斜率k 的值.【解答】(1)设圆C ：(x-a )2+y 2=r 2(a>0)，由题意知222343r a r =++=，，解得a=1或a=138，又因为S=πr 2<13，所以a=1. 所以圆C 的标准方程为(x-1)2+y 2=4.(2)当斜率不存在时，直线l 为x=0，不满足题意.当斜率存在时，设直线l ：y=kx+3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又因为l 与圆C 相交于不同的两点，联立223(-1)4y kx x y =+⎧⎨+=⎩，，消去y ，得(1+k 2)x 2+(6k-2)x+6=0，所以Δ=(6k-2)2-24(1+k 2)=12k 2-24k-20>0，解得k<1-26或k>1+26，且x 1+x 2=-26-21k k +，y 1+y 2=k (x 1+x 2)+6=2261k k ++，又OD u u u r=OA u u u r +OB u u u r =(x 1+x 2，y 1+y 2)，MC u u u u r=(1，-3)，假设OD u u u r ∥MC u u u u r，则-3(x 1+x 2)=y 1+y 2，解得k=34，因为34∉26-1-⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭，∪261++⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭，，所以假设不成立，所以不存在这样的直线l.【点评】判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法.能用几何法，尽量不用代数法.变式 (2015·天一中学)已知A (-2，0)，B (2，0)，C (m ，n ). (1)若m=1，n=3，求△ABC 的外接圆的方程；(2)若以线段AB 为直径的圆O 过点C (异于点A ，B )，直线x=2交直线AC 于点R ，线段BR 的中点为D ，试判断直线CD 与圆O 的位置关系，并证明你的结论.【分析】第(1)问已知三点在圆上，可设一般式利用待定系数法来求外接圆的方程；第(2)问要判断直线与圆的位置关系，可通过圆心到直线的距离和半径的关系进行判断.【解答】(1)设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由题意可得4-204201330D F D F D E F ⎧+=⎪++=⎨⎪+++=⎩，，，解得D=E=0，F=-4，所以△ABC 的外接圆方程为x 2+y 2-4=0，即x 2+y 2=4.(2)由题意可知以线段AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=4，设点R 的坐标为(2，t )，因为A ，C ，R 三点共线，所以AC u u u r∥AR u u u r.而AC u u u r=(m+2，n )，AR u u u r =(4，t )，则4n=t (m+2)，所以t=42nm +，所以点R 的坐标为422n m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，点D 的坐标为222n m ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，所以直线CD 的斜率为k=2-2-2nn m m +=2(2)-2-4m n nm +=2-4mn m .而m 2+n 2=4，所以m 2-4=-n 2，所以k=2-mn n =-mn ，所以直线CD 的方程为y-n=-mn (x-m )，化简得mx+ny-4=0，所以圆心O 到直线CD 的距离d=224m n +=44=2=r ，所以直线CD 与圆O 相切.与圆有关的定点问题例3 (2016·淮阴中学)已知圆M ：x 2+(y-4)2=4，点P 是直线l ：x-2y=0上的一动点，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B.(1)当切线PA 的长度为23时，求点P 的坐标.(2)若△PAM 的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点?若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由.(3)求线段AB 长度的最小值.【点拨】曲线过定点问题，往往转化为等式恒成立问题. 【解答】(1)由题可知，圆M 的半径r=2，设P (2b ，b )，因为PA 是圆M 的一条切线，所以∠MAP=90°，所以22(0-2)(4-)b b +22AM AP +4，解得b=0或b=85，所以P (0，0)或P 16855⎛⎫ ⎪⎝⎭，.(2)设P (2b ，b )，因为∠MAP=90°，所以经过A ，P ，M 三点的圆N 以MP 为直径，其方程为(x-b )2+24-2b y +⎛⎫ ⎪⎝⎭=224(-4)4b b +，即(2x+y-4)b-(x 2+y 2-4y )=0，它对于任意的实数b 均成立，故222-40-40x y x y y +=⎧⎨+=⎩，，解得04x y =⎧⎨=⎩，或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以圆过定点(0，4)，8455⎛⎫ ⎪⎝⎭，.(3)因为圆N 方程为(x-b )2+24-2b y +⎛⎫ ⎪⎝⎭=224(-4)4b b +，即x 2+y 2-2bx-(b+4)y+4b=0， ①圆M ：x 2+(y-4)2=4，即x 2+y 2-8y+12=0， ②②-①得圆M 与圆N 的相交弦AB 所在的直线方程为2bx+(b-4)y+12-4b=0，点M 到直线AB 的距离d=25-816b b +，相交弦长即AB=224-d =4241-5-816b b +=4241-4645-55b ⎛⎫+⎪⎝⎭，当b=45时，AB 有最小值11.【点评】在解有关圆的问题时，要注意平面几何中有关定理的应用，比如切线长定理、垂径定理等.变式 (2016·南师附中)已知直线l 1：y=x+1，圆O ：x 2+y 2=32，直线l 1被圆截得的弦长与椭圆C ：22x a +22y b =1(a>b>0)的短轴长相等，椭圆的离心率e=2.(1)求椭圆C 的方程.(2)过点M 10-3⎛⎫ ⎪⎝⎭，的动直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ?若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】(1)因为圆心O 到直线l 1的距离d=，所以由题设知=1，又e=，所以a=，椭圆C 的标准方程是22x +y 2=1.(2)方法一：假设存在点T (u ，v )，若直线l 的斜率存在，设其方程为y=kx-13，将它代入椭圆方程，并整理，得(18k 2+9)x 2-12kx-16=0. 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，2=，x 1+x 2=212189k k +，x 1x 2=2-16189k +.因为TA u u r =(x 1-u ，y 1-v )，TB u u r=(x 2-u ，y 2-v )及y 1=kx 1-13，y 2=kx 2-13，所以TA u u r ·TB u u r =(x 1-u )(x 2-u )+(y 1-v )(y 2-v ) =(k 2+1)x 1x 2-13u k kv ⎛⎫++ ⎪⎝⎭(x 1+x 2)+u 2+v 2+23v +19 =222222(66-6)-4(332-5)63u v k ku u v v k +++++当且仅当TA u u r ·TB u u r=0恒成立时，以AB 为直径的圆恒过定点T ，所以222266-600332-50u v u u v v ⎧+=⎪=⎨⎪++=⎩，，，解得u=0，v=1.此时以AB 为直径的圆恒过定点T (0，1).当直线l 的斜率不存在时，l 与y 轴重合，以AB 为直径的圆为x 2+y 2=1，也过点T (0，1).综上可知，在坐标平面上存在一个定点T (0，1)，满足条件. 方法二：若直线l 与y 轴重合，则以AB 为直径的圆是x 2+y 2=1.若直线l 垂直于y 轴，则以AB 为直径的圆是x 2+213y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=169. 由2222111639x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎩，，解得01.x y =⎧⎨=⎩，由此可知所求点T 如果存在，只能是(0，1). 事实上点T (0，1)就是所求点，证明如下：当直线l 的斜率不存在，即直线l 与y 轴重合时，以AB 为直径的圆为x 2+y 2=1，过点T (0，1)，当直线l 的斜率存在，设直线方程为y=kx-13，代入椭圆方程，并整理得(18k 2+9)x 2-12kx-16=0. 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则12212212189-16.189k x x k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因为TA u u r =(x 1，y 1-1)，TB u u r=(x 2，y 2-1)及y 1=kx 1-13，y 2=kx 2-13，所以TA u u r ·TB u u r=x 1x 2+(y 1-1)(y 2-1) =(k 2+1)x 1x 2-43k (x 1+x 2)+169=22-16(1)189k k ++-43k·212189kk ++169=0，所以以AB 为直径的圆恒过定点T (0，1).即证明了点T (0，1)就是所求以AB 为直径的圆恒过的定点.与圆有关的定值问题例4(2016·新海中学)在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=25，圆O1的圆心为(m，0)，且与圆O交于点P(3，4).过点P且斜率为k(k≠0)的直线l分别交圆O，圆O1于点A，B.(1)若k=1，且BP=2，求圆O1的方程.(2)过点P作垂直于直线l的直线l1分别交圆O，圆O1于点C，D.当m为常数时，试问：AB2+CD2是否是定值?若是定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由.【分析】弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形，可利用勾股定理列出等式；第二问中直线与圆相交，可利用求根公式、韦达定理等求出交点坐标，进而代数论证.【解答】(1)当k=1时，直线l：y-4=x-3，即x-y+1=0，由题意得22+272⎝⎭=(m-3)2+42，整理得m2-14m=0，解得m=14或m=0(舍去)，所以圆O1的方程为(x-14)2+y2=137.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4). 直线l：y-4=k(x-3)，即y=kx-(3k-4)，由22-(3-4)25y kx kx y=⎧⎨+=⎩，，消去y，得(k2+1)x2+(8k-6k2)x+9k2-24k-9=0，由韦达定理得3·x1=229-24-91k kk+，得x1=223-8-31k kk+.由2222-(3-4)(-)(-3)4y kx kx m y m=⎧⎨+=+⎩，，消去y，得(k2+1)x2+(8k-6k2-2m)x+9k2-24k-9+6m=0，由韦达定理得3·x2=229-24-961k k mk++，得x2=223-8-321k k mk++.所以x1-x2=223-8-31 k k k+-223-8-321k k mk++=2-21mk+，AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(k2+1)(x1-x2)2=(k2+1)22-21mk⎛⎫⎪+⎝⎭=2241mk+.同理可得CD2=2241-1mk⎛⎫+⎪⎝⎭=22241m kk+，所以AB2+CD2=2241mk++22241m kk+=4m2为定值.【点评】本题第二问运算过程中字母比较多，在求有关点的坐标时，用到了韦达定理，本题求点的坐标也可直接解方程；在计算AB2+CD2时，要注意化简的合理性和整体思想的运用.变式(2016·泰州中学)如图，已知以点A(-1，2)为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切.过点B(-2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程.(2)当MN=219时，求直线l的方程.(3)BQu u u r·BPu u u r是否为定值?如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由.(变式)【解答】(1)设圆A的半径为R.因为圆A与直线l1：x+2y+7=0相切，所以525.所以圆A 的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x=-2符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y=k (x+2)，即kx-y+2k=0.连接AQ ，则AQ ⊥MN.因为MN=219，所以AQ=20-19=1.由AQ=2|-2|1k k +=1，得k=34.所以直线l 的方程为3x-4y+6=0.所以所求直线l 的方程为x=-2或3x-4y+6=0.(3)因为AQ ⊥BP ，所以AQ u u u r·BP u u u r =0，所以BQ u u u r·BP u u u r =(BA u u u r +AQ u u u r )·BP u u u r =BA u u u r ·BP u u u r +AQ u u u r ·BP u u u r =BA u u u r ·BP u u u r . 当直线l 与x 轴垂直时，得P -2，-52.则BP u u u r =50-2⎛⎫ ⎪⎝⎭，，又BA u u u r =(1，2)，所以BQ u u u r ·BP u u u r =BA u u u r ·BP u u u r =-5. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y=k (x+2).由(2)270y k x x y =+⎧⎨++=⎩，，解得P-4-7-51212k k k k ⎛⎫⎪++⎝⎭，. 所以BP u u u r =-5-51212k k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，. 所以BQ u u u r ·BP u u u r =BA u u u r ·BP u u u r =-512k +-1012kk +=-5. 综上所述，BQ u u u r ·BP u u u r 是定值，且BQ u u u r·BP u u u r =-5.【课堂评价】1.(2016·泰州期末)已知直线y=kx(k>0)与圆C：(x-2)2+y2=1相交于A，B两点，若AB=25，则k=.【答案】1 2【解析】依题意，圆心到直线的距离251-5⎛⎫⎪⎪⎝⎭=25，21k+=25，解得k=±12.又k>0，所以k=12.2.(2016·武汉质检)若直线l1：y=k(x-4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2经过定点.【答案】(0，2)【解析】直线l1：y=k(x-4)经过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又直线l1：y=k(x-4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2经过定点(0，2).3.(2016·南通二模)在平面直角坐标系xOy中，过点P(-2，0)的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆(x-a)2+(y-3)2=3相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为.【答案】4【解析】因为PT与圆x2+y2=1相切于点T，所以在Rt△OPT中，OT=1，OP=2，∠OTP=π2，从而∠OPT=π6，PT=3，故直线PT的方程为x±3y+2=0.因为直线PT截圆(x-a)2+(y-3)2=3得弦长RS=3，设圆心到直线的距离为d，则d=|32|2a ±+，又=2，即d=32，即|a±3+2|=3，解得a=-8，-2，4.因为a>0，所以a=4.4.(2016·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x-a )2+(y+a-3)2=1(a>0)，点N 为圆M 上任意一点.若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为 . 【答案】3【解析】由题意得两圆相切或相离，即1≤|r-1|或1≥r+1.因为r>0，所以r ≥2.由N 的任意性得r min =|OM-1|≥2，即OM ≥3.所以a 2+(3-a )2≥9，即a (a-3)≥0.因为a>0，所以a ≥3.故a 的最小值为3.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第21~22页.【检测与评估】专题五解析几何第1讲直线与圆一、填空题1.(2016·沈阳检测)若直线l ：x a +y b =1(a>0，b>0)经过点(1，2)，则直线l 在x 轴和y轴的截距之和的最小值是 .2.(2016·连云港四校联考)已知圆C 的圆心C 在直线x-2y-1=0上，且圆C 经过A (0，4)，B (2，2)两点，则圆C 的方程为 .3.(2016·徐州、连云港、宿迁三模)若点P ，Q 分别是曲线y=4x x +与直线4x+y=0上的动点，则线段PQ 长的最小值为 .4.(2016·苏锡常镇一模)在平面直角坐标系xOy 中，过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为 .5.(2016·苏州期末)若直线l 1：y=x+a 和直线l 2：y=x+b 将圆(x-1)2+(y-2)2=8分成长度相等的四段弧，则a 2+b 2= .6.(2016·南京、盐城二模)已知圆O ：x 2+y 2=1，圆M ：(x-a )2+(y-a+4)2=1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB=60°，则实数a 的取值范围为 .7.(2015·南通、扬州、泰州三调)在平面直角坐标系xOy 中，过点P (-5，a )作圆x 2+y 2-2ax+2y-1=0的两条切线，切点分别为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，且2121--y y x x +1212-2x x y y ++=0，则实数a 的值为 .8.(2016·江苏高考预测题)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2+y 2=4，圆C 2：x 2+y 2=16，点M (1，0)，动点P ，Q 分别在圆C 1和圆C 2上，满足MP ⊥MQ ，则线段PQ 的取值范围是 .二、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过二次函数f (x )x 2+2x-3)与两坐标轴的三个交点.(1)求圆C 的标准方程.(2)设点A (-2，0)，B (2，0)，试探究圆C 上是否存在点P 满足PB ?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.10.(2016·通州中学)已知定圆C 1：x 2+y 2=a 2(a>0)和定圆C 2：x 2+y 2=b 2(b>0)，P 为圆C 2上一点，过点P 作圆C 1的两条切线，切点分别为A ，B.(1)若a=2，点P 的坐标为，-)，求四边形OAPB 的面积.(2)当点P 在圆C 2上运动时，是否存在定圆恒与直线AB 相切?若存在，求出定圆的方程；若不存在，请说明理由.11.(2016·天一中学)已知圆M 的圆心为M (-1，2)，直线y=x+4被圆M 截得的弦长为P 在l ：y=x-1上.(1)求圆M 的标准方程；(2)设点Q 在圆M 上，且满足MP u u u r=4QM u u u u r ，求点P 的坐标；(3)设半径为5的圆N 与圆M 相离，过点P 分别作圆M 与圆N 的切线，切点分别为A ，B ，若对任意的点P ，都有PA=PB 成立，求圆心N 的坐标.【检测与评估答案】专题五解析几何第1讲直线与圆一、填空题1. 3+2【解析】由题意可得1a+2b=1，故a+b=(a+b )1a ⎛ ⎝+2b ⎫⎪⎭=3+b a +2a b ≥3+2，所以直线l 在x 轴和y 轴的截距之和的最小值是3+.2. (x+5)2+(y+3)2=74 【解析】因为圆心在直线x-2y-1=0上，所以设圆心C (2a+1，a )，则由AC=BC，解得a=-3，所以圆心为(-5，-3)，半径，故所求圆的方程为(x+5)2+(y+3)2=74.3.【解析】方法一：设与直线4x+y=0平行的直线l 与曲线y=4x x +切于点(x 0，y 0)，因为y'=-24x ，所以y'0 x x ==-204x =-4，所以x 0=±1，结合曲线y=4x x +与直线4x+y=0的位置关系可得切点(-1，-3)到直线4x+y=0的距离就是所求的线段PQ.方法二：设曲线y=4xx+上的点P4xxx+⎛⎫⎪⎝⎭，到直线4x+y=0的距离为d，则PQ≥因为1xx+=|x|+1||x≥2，所以当x+1x=-2，即x=-1时，PQ取得最小值为.4.【解析】由题意得C(3，0)，设A(a，b)，由点A恰为线段OB的中点，得B(2a，2b).因为点A，B均在圆C上，所以2222-65044-1250a b aa b a⎧++=⎨++=⎩，，解得A54⎛⎝⎭，，所以直线ly=0，圆心C到直线l的距离=.5. 18【解析】由题意知四段圆弧所对的圆心角均为90°，圆心C(1，2)到直线l1，l2的距离均为r=2.2，得|a-1|=，同理|b-1|=，所以a2+b2=18.6.2⎡⎢⎣⎦【解析】由题意得圆心M(a，a-4)在直线x-y-4=0上运动，所以动圆M是圆心在直线x-y-4=0上，半径为1的圆.又因为圆M上存在点P，使经过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使∠APB=60°，所以OP=2，即点P也在x2+y2=4上，于是2-≤2+1，即≤3，解得实数a的取值范围是2⎡+⎢⎣⎦.7. 3或-2 【解析】方法一：由2121--y y x x +1212-2x x y y ++=0，得2121--y y x x ·12122-12y y x x++=-1，所以点(1，0)在直线PC 上，其中C 是圆心，所以2-2a+2×51aa ++=0，可解得a=3或-2.经检验：当a=3或-2时，点P 在圆外，符合条件.方法二：由221111222222-22-10-22-10x y ax y x y ax y ⎧++=⎨++=⎩，，两式相减，得(x 1-x 2)(x 1+x 2)+(y 1-y 2)(y 1+y 2)-2a (x 1-x 2)+2(y 1-y 2)=0，x 1+x 2+1212--y y x x (y 1+y 2)-2a+2×1212--y y x x =0.由2121--y y x x +1212-2x x y y ++=0，得2121--y y x x (y 1+y 2)=-(x 1+x 2-2)，代入上式得2-2a+2×1212--y y x x =0.又1212--y y x x =51a a ++，代入上式，得2-2a+2×51aa ++=0，可解得a=3或-2.经检验：当a=3或-2时，点P 在圆外，符合条件.8. 19-1191⎡⎤+⎣⎦，【解析】设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则22112222416.x y x y ⎧+=⎨+=⎩，设PQ 的中点N (x ，y )，即N 121222x x y y ++，，则x 2+y 2=222211221212()()2()4x y x y x x y y +++++=5+12(x 1x 2+y 1y 2).由MP ⊥MQ ，得x 1x 2+y 1y 2=x 1+x 2-1=2x-1，所以x 2+y 2=5+x-12，即21-2x ⎛⎫⎪⎝⎭+y 2=194.因为PQ=2MN ，MN ∈19-1191⎡+⎢⎣⎦，，所以PQ ∈19-1191⎤+⎦，.二、解答题9. (1) 设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x-3=0是同一个方程，故D=2，F=-3.令x=0，得y2+Ey+F=0，此方程有一个根为-3，代入得E=0，所以圆C的标准方程为(x+1)2+y2=4.(2) 假设存在点P(x，y)满足题意，则PA2=2PB2，于是(x+2)2+y2=2(x-2)2+2y2，化简得(x-6)2+y2=32.①又因为点P在圆C上，故满足(x+1)2+y2=4.②联立①②，解得点P的坐标为1717-2222⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，.所以存在点P满足题意，其坐标为1717-22⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，.10. (1) 依题意，OA⊥AP，OB⊥BP，且OA=OB=2，PA=PB=224-2=23，所以S△OAP =S△OBP=12×2×23=23，所以四边形OAPB的面积为43.(第10题) (2) 设P(m，n)，则m2+n2=b2.当点P在圆C2上运动时，恒有22-b a.所以点A，B在以P 22-b a.该圆方程为(x-m )2+(y-n )2=b 2-a 2.又点A ，B 在圆C 1：x 2+y 2=a 2上.联立两圆方程，消二次项，得mx+ny-a 2=0. 所以直线AB 的方程为mx+ny-a 2=0.因为原点O 到直线AB 的距离d=2=2a b 为定值，所以圆x 2+y 2=42a b 恒与直线AB 相切.所以存在定圆恒与直线AB 相切，且定圆方程为x 2+y 2=42a b .11. (1) 因为圆心M (-1，2)到直线y=x+4的距离=，又直线y=x+4被圆M截得的弦长为，所以圆M 的半径为=1，所以圆M 的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=1. (2)由MP u u u r=4QMuuuu r，得|MP u u u r|=4|QMuuuu r|=4，所以点P 在圆(x+1)2+(y-2)2=16上.又点P 在直线y=x-1上，由22(1)(-2)16-1x y y x ⎧++=⎨=⎩，，解得-1-2x y =⎧⎨=⎩，或32x y =⎧⎨=⎩，，即点P 的坐标为(-1，-2)或(3，2).(3) 设P (t ，t-1)，N (a ，b )，则圆N 的标准方程为(x-a )2+(y-b )2=25， PA 2=PM 2-12=(t+1)2+(t-1-2)2-1=2t 2-4t+9，PB 2=PN 2-52=(t-a )2+(t-1-b )2-25=2t 2-(2a+2b+2)t+a 2+(b+1)2-25. 因为PA=PB ，所以2t 2-4t+9=2t 2-(2a+2b+2)t+a 2+(b+1)2-25，即(2a+2b-2)t-a2-(b+1)2+34=0(*). 因为对任意的点P都有PA=PB，所以(*)式对任意实数t恒成立，得2222-20(1)-340a ba b+=⎧⎨++=⎩，，解得5-4ab=⎧⎨=⎩，或-34.ab=⎧⎨=⎩，又因为圆N与圆M相离，所以MN>1+5=6，>6，所以圆心N的坐标为(5，-4).。

高考数学统考二轮复习第二部分专题5 解析几何第1讲直线与圆(教师用书)教案理

学习资料解析几何专题5第1讲直线与圆直线的方程授课提示：对应学生用书第44页考情调研考向分析以考查直线方程的求法、两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查．题型主要以选择题，填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点。

1。

求直线的方程．2。

判断两直线的位置关系．3.直线恒过定点问题。

［题组练透］1．过点(2,1)且与直线3x－2y＝0垂直的直线方程为()A．2x－3y－1＝0B．2x＋3y－7＝0C．3x－2y－4＝0 D．3x＋2y－8＝0解析：设要求的直线方程为2x＋3y＋m＝0，，把点(2，1）代入可得4＋3＋m＝0，解得m ＝－7。

故所求直线方程为：2x＋3y－7＝0，故选B.答案：B2．(2020·淮南模拟）设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋（1－λ）y＝4平行”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0，3x＋2y－2＝0,此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λ×（1－λ）＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验,两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋（λ－1）y＝1与直线6x＋（1－λ）y＝4平行”的充分不必要条件,故选A。

答案：A3．已知直线l:ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是（)A．1 B．－1C．2或1 D．－2或1解析：当a＝0时，直线方程为y＝2,显然不符合题意，当a≠0时，令y＝0时，得到直线在x轴上的截距是错误!，令x＝0时，得到直线在y轴上的截距为2＋a，根据题意得错误!＝2＋a，解得a＝－2或a＝1,故选D。

答案：D4．（2020·保定模拟）设点P为直线l:x＋y－4＝0上的动点,点A（－2，0)，B（2,0），则｜P A｜＋|PB|的最小值为（）A．210 B.26C．2错误! D.错误!解析:依据题意作出图象如下:设点B(2,0)关于直线l的对称点为B1（a,b）,则它们的中点坐标为错误!，且｜PB|＝｜PB1｜.由对称性可得错误!，解得a＝4,b＝2.所以B1(4,2)．因为｜P A｜＋｜PB｜＝|P A｜＋｜PB1|，所以当A，P，B1三点共线时，｜P A｜＋｜PB|最小．此时最小值为｜AB1|＝(4＋2)2＋(2－0)2＝2错误!.故选A.答案：A［题后悟通］1．两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．2．轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线的对称若两点P1(x1，y1）与P2(x2，y2）关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上,而且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组错误!，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)直线关于直线的对称有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一般转化为点关于直线的对称来解决圆的方程授课提示：对应学生用书第45页考情调研考向分析考查圆的方程，与圆有关的轨迹问题、最值问题是考查的热点，属中档题．题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.1。

新高考适用2023版高考数学二轮总复习第2篇经典专题突破核心素养提升专题5解析几何第1讲直线与圆课件

考点二圆的方程
1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2. 2．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中 D2＋E2－4F>0，表示以－D2 ，－E2为圆心， D2＋2E2－4F为半径的圆．
典例2 (1)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2， 0)的圆的方程为__x_2_＋__y_2_－__2_x＝__0___．
【解析】方法一：设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. ∵圆经过点(0，0)，(1，1)，(2，0)，
F＝0，Biblioteka ∴2＋D＋E＋F＝0， 4＋2D＋F＝0，
【解析】 ∵点M在直线2x＋y－1＝0上， ∴设点M为(a，1－2a)，又因为点(3，0)和(0，1)均在⊙M上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴ (a－3)2＋(1－2a)2＝ a2＋(－2a)2＝R， a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得 a＝1， ∴M(1，－1)，R＝ 5， ⊙M 的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
D．0
【解析】由题意可知：－(a＋1)(a－1)－(－3)×1＝0，整理得4－
a2＝0，∴a＝±2，经验证a＝±2都满足．故选A.
(2)直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点N，则直线2x＋3y－6＝0关于点N
对称的直线方程为
(B )
A．2x＋3y－12＝0
B．2x＋3y＋12＝0
C．2x－3y＋12＝0
感悟高考
1．近两年圆的方程成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．
2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．

(新课标)高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆练习文新人教A版

（新课标）高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆练习文新人教A 版第1讲直线与圆一、选择题1．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，则a 的值等于( ) A ．1 B ．－13C ．－23D ．－2解析：选D.直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率k 1＝－a2，直线x ＋y －2＝0的斜率k 2＝－1，因为两直线相互垂直，所以k 1·k 2＝－1，即(－a2)·(－1)＝－1，所以a ＝－2.2．半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4解析：选C.设圆心坐标为(2，－a )(a >0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，所以a ＝2，所以该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C.3．已知直线l ：y ＝x ＋1平分圆C ：(x －1)2＋(y －b )2＝4的周长，则直线x ＝3与圆C 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定解析：选B.由已知得，圆心C (1，b )在直线l ：y ＝x ＋1上，所以b ＝1＋1＝2，即圆心C (1，2)，半径为r ＝2.由圆心C (1，2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时直线与圆相切．4．(2019·重庆市七校联合考试)两圆x 2＋y 2＋4x －4y ＝0和x 2＋y 2＋2x －8＝0相交于M ，N 两点，则线段MN 的长为( )A.355 B ．4 C.655D.1255解析：选D.两圆方程相减，得直线MN 的方程为x －2y ＋4＝0，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝9，所以圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的圆心为(－1，0)，半径为3，圆心(－1，0)到直线MN 的距离d ＝35，所以线段MN 的长为232－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1255.故选D.5．(一题多解)在平面直角坐标系xOy 中，设直线x ＋y －m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝8交于不同的两点A ，B ，若圆上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为( )A ．±1B ．±2C ．±2 2D ．±2 3解析：选B.通解：由题意知，点C 和圆心O 在直线AB 的同侧，且圆心O 在线段AB 的垂直平分线上，设线段AB 的中点为D ，圆O 的半径r ＝22，则|CD |＝|OD |＋r ＝32|AB |.因为|OD |＝|m |2，|AB |＝28－m 22，所以|m |2＋22＝32×28－m 22，解得m ＝±2.优解：设圆O 的半径为r ，则r ＝22，由圆周角∠ACB ＝60°，得圆心角∠AOB ＝120°，则圆心O 到直线x ＋y －m ＝0的距离d ＝12r ＝2，所以|m |2＝2，解得m ＝±2.6．已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 分别是切点，若四边形PACB 的面积的最小值是2，则k 的值为( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选D.由题意知，圆C 的圆心为C (0，1)，半径r ＝1，四边形PACB 的面积S ＝2S △PBC ，若四边形PACB 的面积的最小值是2，则S △PBC 的最小值为1.而S △PBC ＝12r |PB |＝12|PB |＝1，则|PB |的最小值为2，此时|PC |取得最小值，而|PC |的最小值为圆心到直线的距离，所以|5|k 2＋1＝12＋22＝5，即k 2＝4，由k >0，解得k ＝2. 二、填空题7．已知直线l ：x ＋my －3＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相切，则m ＝________．解析：因为圆C ：x 2＋y 2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，直线l ：x ＋my －3＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相切，所以2＝31＋m2，解得m ＝±52.答案：±528．(2019·广州市调研测试)若点P (1，1)为圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为______．解析：由圆的方程易知圆心C 的坐标为(3，0)，又P (1，1)，所以k PC ＝0－13－1＝－12.易知MN ⊥PC ，所以k MN ·k PC ＝－1，所以k MN ＝2.由弦MN 所在的直线经过点P (1，1)，得所求直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.答案：2x －y －1＝09．已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，直线l 1：y ＝3x ，l 2：y ＝kx －1.若直线l 1，l 2被圆C 所截得的弦的长度之比为1∶2，则k 的值为______．解析：依题意知，圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2，0)，半径为2.圆心C 到直线l 1：y ＝3x 的距离为232＝3，所以直线l 1被圆C 所截得的弦长为2×4－3＝2.圆心C 到直线l 2：y ＝kx －1的距离d ＝|2k －1|1＋k2，所以直线l 2被圆C 所截得的弦长为24－d 2，由题意知2∶(24－d 2)＝1∶2，解得d ＝0，故直线l 2过圆心C .所以2k －1＝0，解得k ＝12.答案：12三、解答题10．已知点P (0，5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．解：(1)如图所示，|AB |＝43，将圆C 方程化为标准方程即(x ＋2)2＋(y －6)2＝16，所以圆C 的圆心坐标为(－2，6)，半径r ＝4，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，所以|AD |＝23，|AC |＝4，C 点坐标为(－2，6)．在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2. 若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式为|－2k －6＋5|k 2＋（－1）2＝2，得k ＝34.故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. 所以所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0. (2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )，则CD ⊥PD ，即CD →·PD →＝0，所以(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.11．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.12．已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．(1)设直线ax －y ＋5＝0与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；(2)在(1)的条件下，是否存在实数a ，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心为M (m ，0)(m ∈Z )．因为圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且圆的半径为5，所以|4m －29|42＋32＝5，即|4m －29|＝25. 因为m 为整数，所以m ＝1. 所以圆的方程是(x －1)2＋y 2＝25. 将ax －y ＋5＝0变形为y ＝ax ＋5，并将其代入圆的方程，消去y 并整理，得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0. 由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点，故Δ＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)>0，即12a 2－5a >0，解得a <0或a >512.所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞. (2)设符合条件的实数a 存在．由(1)得a ≠0，则直线l 的斜率为－1a.所以直线l 的方程为y ＝－1a(x ＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0.因为直线l 垂直平分弦AB ，所以圆心M (1，0)必在直线l 上．所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝34.因为34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞，所以存在实数a ＝34，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB .。

2023年高考数学二轮复习第二篇经典专题突破专题五解析几何第1讲直线与圆

第二篇专题五第1讲一、选择题1．过点A (1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( D ) A ．y －x ＝1B ．y ＋x ＝3C ．2x －y ＝0或x ＋y ＝3D ．2x －y ＝0或y －x ＝1【解析】当直线过原点时，可得斜率为2－01－0＝2，故直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0，当直线不过原点时，设方程为x a ＋y－a ＝1，代入点(1，2)可得1a －2a ＝1，解得a ＝－1，方程为x －y ＋1＝0，故所求直线方程为2x －y ＝0或y －x ＝1.2．若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( A ) A ．1 B ．－2 C ．1或－2D ．－32【解析】由两直线平行的条件可得－2＋m ＋m 2＝0， ∴m ＝－2(舍)或m ＝1.3．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |＝23，则k 的值是( C )A ．－34B ．0C ．0或－34D ．34【解析】由题意，知|MN |＝23，圆心为(3，2).设圆的半径为r ，则r ＝2，所以圆心到直线的距离d ＝r 2－⎝⎛⎭⎫MN 22＝4－3＝1. 由点到直线的距离公式，得|3k －2＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34.故选C.4．(2022·贵阳模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝10，已知直线l ：ax ＋by ＝2a －b (a ，b ∈R )与圆O 的交点分别M ，N ，当直线l 被圆O 截得的弦长最小时，|MN |＝( C )A ．352B ．552C ．25D ．35【解析】直线方程即a (x －2)＋b (y ＋1)＝0，则直线恒过定点(2，－1)，圆心与定点之间的距离为：(2－0)2＋(－1－0)2＝5，结合圆的性质可知直线l 被圆O 截得的弦长最小值|MN |＝210－(5)2＝2 5. 故选C.5．(2020·潍坊模拟)已知直线l 过点A (a ，0)且斜率为1，若圆x 2＋y 2＝4上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( D )A ．32B ．±32C ．±2D ．±2 【解析】直线l 的方程为y ＝x －a ，即x －y －a ＝0.圆上恰有三个点到直线l 的距离为1，可知圆心到直线的距离等于半径的一半，即|a |2＝1，a ＝± 2. 6．已知圆C ：(x －2)2＋(y －6)2＝4，点M 为直线l ：x －y ＋8＝0上一个动点，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则当四边形CAMB 周长取最小值时，四边形CAMB 的外接圆方程为( D )A ．(x －7)2＋(y －1)2＝4B ．(x －1)2＋(y －7)2＝4C ．(x －7)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －7)2＝2【解析】圆C ：(x －2)2＋(y －6)2＝4的圆心C (2，6)，半径r ＝2，点C 到直线的距离d ＝|2－6＋8|12＋(－1)2＝22，依题意，CA ⊥AM ，四边形CAMB 周长2|CA |＋2|AM |＝4＋2CM 2－CA 2≥4＋2d 2－4＝4＋2(22)2－4＝8，当且仅当CM ⊥l 时取“＝”，此时直线CM ：x ＋y －8＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋8＝0，x ＋y －8＝0，得点M (0，8)，四边形CAMB 的外接圆圆心为线段CM 中点(1，7)，半径2，方程为(x －1)2＋(y －7)2＝2.故选D.7．如图，P 为圆O ：x 2＋y 2＝4外一动点，过点P 作圆O 的切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，∠APB ＝120°，直线OP 与AB 相交于点Q ，点M (3，3)，则|MQ |的最小值为( A )A ．3B ．2C ．332D ．433【解析】过点P 作圆O 的切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，∠APB ＝120°，由圆与切线的平面几何性质知，∠APO ＝60°，又|OA |＝2，则可得|OP |＝433，由平面几何知识可得|OQ |＝3，∴Q 点的轨迹是以O 为圆心，3为半径的圆，方程为x 2＋y 2＝3； |MQ |的最小值即为|OM |－r ＝9＋3－3＝23－3＝ 3. 故选A.8．(2020·辽宁省大连模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x －y ＋6＝0，在直线l 上任取一点P 向圆C 作切线，切点为A ，B ，连接AB ，则直线AB 一定过定点( A )A ．⎝⎛⎭⎫－23，23 B ．(1，2) C ．(－2，3)D ．⎝⎛⎭⎫－43，43 【解析】设点P (x 0，y 0)，则x 0－y 0＋6＝0.过点P 向圆C 作切线，切点为A ，B ，连接AB ，以CP 为直径的圆的方程为x (x －x 0)＋y (y －y 0)＝0，又圆C ：x 2＋y 2＝4，作差可得直线AB 的方程为xx 0＋yy 0＝4，将y 0＝x 0＋6，代入可得(x ＋y )x 0＋6y －4＝0，满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，6y －4＝0，⇒⎩⎨⎧x ＝－23，y ＝23，故直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫－23，23. 9．已知P (3，4－22)，过点P 作圆C ：(x －a )2＋(y －a －1)2＝1(a 为参数，且a ∈R )的两条切线分别切圆C 于点A 、B ，则sin ∠APB 的最大值为( C )A ．1B ．12C ．32D ．64【解析】圆心C (a ，a ＋1)，半径为1，圆心C 在直线y ＝x ＋1上运动，设∠APC ＝θ，则∠APB ＝2θ，由圆的几何性质可知tan θ＝|AC ||P A |＝1|P A |，所以sin ∠APB ＝sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝2tan θ＋1tan θ＝21|P A |＋|P A |，当直线PC 与直线y ＝x ＋1垂直时，|PC |取最小值，则|P A |＝|PC |2－1取最小值，且|PC |min ＝|3－(4－22)＋1|2＝2，则|P A |min ＝22－1＝3，则|P A |≥3，由对勾函数的单调性可知，函数y ＝x ＋1x 在[3，＋∞)上为增函数，且y ＝x ＋1x >0，故函数f (x )＝2x ＋1x 在[3，＋∞)上为减函数，故当|P A |＝3时，sin ∠APB 取得最大值234＝32.故选C. 二、填空题10．已知直线l 1：kx －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋ky －3＝0(k ≠0)分别过定点A ，B ，又l 1，l 2相交于点M ，则|MA |·|MB |的最大值为__252__．【解析】由题意可知，直线l 1：kx －y ＋4＝0经过定点A (0，4)，直线l 2：x ＋ky －3＝0经过定点B (3，0).易知直线l 1：kx －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋ky －3＝0始终垂直，又M 是两条直线的交点，所以MA ⊥MB ，所以|MA |2＋|MB |2＝|AB |2＝25，故|MA |·|MB |≤252⎝⎛⎭⎫当且仅当|MA |＝|MB |＝522时取“＝”.11．已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2m －y 22＝1的左、右顶点，P (3，4)为C 上一点，则△P AB的外接圆的标准方程为__x 2＋(y －3)2＝10__．【解析】∵P (3，4)为C 上一点，∴9m －162＝1，解得m ＝1，则B (1，0)，∴k PB ＝42＝2，PB 的中点坐标为(2，2)，PB 的中垂线方程为y ＝－12(x －2)＋2，令x ＝0，则y ＝3，设外接圆圆心为M (0，t )，则M (0，3)，r ＝|MB |＝1＋32＝10， ∴△P AB 外接圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝10.12．已知⊙O ：x 2＋y 2＝1.若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的⊙O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是__(－∞，－1]∪[1，＋∞)__．【解析】∵⊙O 的圆心为(0，0)，半径r ＝1，设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形P AOB 为正方形，故有|PO |＝2r ＝2，∴圆心O 到直线y ＝kx ＋2的距离d ≤2，即|2|1＋k 2≤2，即1＋k 2≥2，解得k ≥1或k ≤－1. 三、解答题13．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【解析】 (1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0). 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)或k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得，AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.。

高考数学二轮复习专题五解析几何第一讲直线与圆课件理

∴直线方程为 y＝2 或 4x－3y＋2＝0.
12/11/2021
考点一直线方程与应用
1．求直线方程时易忽视斜率 k 不存在情形． 2．利用斜率与截距判断两线平行或垂直关系时易忽视斜率不存在情形． 3．有关截距问题易忽视截距为零这一情形．
12/11/2021
考点二圆的方程及应用
[悟通——方法结论] 1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为 r 时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2 ＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为 x2＋y2＝r2. 2．圆的一般方程 x2 ＋ y2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0 ，其中 D2 ＋ E2 － 4F>0 ，表示以－D2 ，－E2 为圆心、 D2＋2E2－4F为半径的圆．
C．ab＝＝x21＋，3，(y－2)2＝4
D．(x－1)2＋(y－ 3)2＝4
所以所求圆的圆心坐标为(1， 3)，半径为 2.
从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－ 3)2＝4.
12/11/2021
考点二圆的方程及应用
[全练——快速解答]
抛物线 x2＝4y 的焦点为(0,1)， 3即．(圆20心18为·广(0州,1)模，拟)若一个圆的圆心是抛物线 x2＝4y 的焦点，且该设圆该与圆直的线标y准＝方x＋程3是相x切2＋，(则y－该1)圆2＝的r2标(r＞准0方)，程是_x_2＋__(_y_－__1_)_2＝ ___2．因为该圆与直线 y＝x＋3 相切，所以 r＝|－1＋2 3|＝ 2，故该圆的标准方程是 x2＋(y－1)2＝2.
12/11/2021
数学建模、逻辑推理及数学运算的核心素养.
考情分析明确方向
年份卷别考查角度及命题位置

高考数学二轮复习专题精讲教案五解析几何第一讲直线与圆

专题五解析几何第1讲直线与圆自主学习导引真题感悟1．(2012·浙江)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析先求出两条直线平行的充要条件，再判断．若直线l1与l2平行，则a(a＋1)－2×1＝0，即a＝－2或a＝1，所以a＝1是直线l1与直线l2平行的充分不必要条件．答案 A2．(2012·福建)直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长度等于A．2 5 B．23 C. 3 D．1解析利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．∵圆心到直线x＋3y－2＝0的距离d＝|0＋3×0－2|12＋(3)2＝1，半径r＝2，∴弦长|AB|＝2r2－d2＝222－12＝2 3.答案 B考题分析圆在高考命题中多以直线与圆的位置关系为主，考查直线与圆位置关系的判定、弦长的求法等，题目多以小题为主，难度中等，掌握解此类题目的通性通法是重点．网络构建高频考点突破考点一：直线方程及位置关系问题【例1】(2012·江西八所重点高中联考)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[审题导引]求出l1∥l2的充要条件，利用定义判定．[规范解答]当a＝0时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此时l1∥l2，所以“a＝0”是“直线l1与l2平行”的充分条件；当l1∥l2时，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1.当a＝1时，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0，此时l1与l2重合，所以a＝1不满足题意，即a＝0.所以“a＝0”是“直线l1∥l2”的充要条件．[答案] C【规律总结】直线与直线位置关系的判断方法(1)平行：当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1∥l2⇔k1＝k2；如果直线l1和l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，则l1∥l2.(2)垂直：垂直是两直线相交的特殊情形，当两条直线l 1和l 2的斜率存在时，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1；若两条直线l 1，l 2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0时，则它们垂直． (3)相交：两直线相交的交点坐标可由方程组的解求得．[易错提示] 判断两条直线的位置关系时要注意的两个易错点：一是忽视直线的斜率不存在的情况，二是忽视两直线重合的情况．解答这类试题时要根据直线方程中的系数分情况进行讨论，求出结果后再反代到直线方程中进行检验，这样能有效地避免错误．【变式训练】1．(2012·泰安一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为A ．x －2y ＋4＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝0解析由题意可设所求直线方程为：x －2y ＋m ＝0，将A (2,3)代入上式得2－2×3＋m ＝0，即m ＝4，所以所求直线方程为x －2y ＋4＝0. 答案 A2．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (0，－1)，B (－3，－4)两点，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC→|＝10，则点C 的坐标是________．解析设C (a ，b )(a ＜0，b ＜0)． OB 所在直线方程为4x －3y ＝0，则⎩⎨⎧|4a －3b |5＝|a |，a 2＋b 2＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－3.∴C (－1，－3)．答案 (－1，－3) 考点二：圆的方程【例2】(2012·镇江模拟)以双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________．[审题导引] 求出双曲线的右焦点与渐近线方程，利用圆心到渐近线的距离等于半径求得半径，可得方程．[规范解答] 双曲线的右焦点为(5,0)，即为圆心，双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0，∴r ＝|4×5±3×0|42＋(±3)2＝4，∴所求圆的方程为(x －5)2＋y 2＝16. [答案] (x －5)2＋y 2＝16 【规律总结】圆的方程的求法(1)几何法，即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量；如圆中弦所在的直线与圆心和弦中点的连线相互垂直；设圆的半径为r ，弦长为|AB |，弦心距为d ，则r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22等．(2)代数法：即设出圆的方程，用待定系数法求解．在求圆的方程时，要根据具体的条件选用合适的方法，但一般情况下，应用几何法运算简捷．【变式训练】3．(2012·徐州模拟)若圆心在x 轴上、半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．解析设圆心为(a,0)(a ＜0)，则r ＝|a ＋2×0|12＋12＝2，解得a ＝－2，即(x ＋2)2＋y 2＝2. 答案 (x ＋2)2＋y 2＝2 考点三：直线与圆的位置关系【例3】(2012·临沂一模)直线l 过点(4,0)且与圆(x －1)2＋(y －2)2＝25交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，那么直线l 的方程为________．[审题导引] 讨论直线的斜率是否存在，利用弦长为8求出斜率，可得所求直线的方程． [规范解答] 圆心坐标为M (1,2)，半径r ＝5，因为|AB |＝8，所以圆心到直线l 的距离d ＝r 2－42＝52－42＝3.当直线斜率不存在时，即直线方程为x ＝4，圆心到直线的距离为3满足条件，所以x ＝4成立．若直线斜率存在，不妨设为k ，则直线方程y ＝k (x －4)，即kx －y－4k ＝0，圆心到直线的距离为d ＝|k －2－4k |1＋k 2＝|2＋3k |1＋k 2＝3，解得k ＝512，所以直线方程为y ＝512(x －4)，即5x －12y －20＝0.综上满足条件的直线方程为5x －12y －20＝0或x ＝4. 答案 5x －12y －20＝0或x ＝4 【规律总结】求圆的弦长的方法(1)直接求出直线与圆的交点坐标，利用两点间的距离公式求得；(2)不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k ，直线与圆联立消去y 后得到的方程的两根为x 1、x 2，则弦长d ＝1＋k 2|x 1－x 2|；(3)利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．【变式训练】4．(2012·肇庆二模)从点P (m,3)向圆C ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为A ．26 B.26 C ．4＋2 D ．5解析利用切线长与圆半径的关系加以求解．设切点为M ，则CM ⊥MP ，于是切线MP 的长|MP |＝|CP |2－|MC |2 ＝(m ＋2)2＋(3＋2)2－1，显然，当m ＝－2时，|MP |有最小值24＝2 6.答案 A名师押题高考【押题1】若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________．解析当m ＝－2时，直线AB 与2x ＋y ＋2＝0不平行；当m ≠－2时，据题意知， k AB ＝4－m m ＋2＝－2，得m ＝－8.答案－8[押题依据] 本题考查直线的斜率的概念以及直线的位置关系，这类问题在高考中属基础题，常以选择题或填空题的形式出现．考查形式有直接判定位置关系，根据位置关系求参数值等．解答此类题目值得注意的是含参数时，一般要根据直线的斜率是否存在对参数进行讨论，以避免漏解．【押题2】直线y ＝kx ＋3与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－125B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－125C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，125D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，125 解析圆心(1，－2)到直线y ＝kx ＋3的距离为 d ＝|k ＋5|1＋k 2，圆的半径r ＝2，∴|MN |＝2r 2－d 2＝24－(k ＋5)21＋k 2≥23，解得k ≤－125. 答案 B[押题依据] 高考在考查直线被圆截得的弦长问题时，有两种题型：一是直接求弦长；二是讨论参数的取值范围．本题属第二种题型，难度中等，表达形式新颖有一定的区分度，故押此题．必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=，正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

高考数学二轮复习第2部分专题篇素养提升文理专题5解析几何第1讲直线与圆课件新人教版

2021/4/17
高考数学二轮复习第2部分专题篇素
3
1 解题策略 • 明方向 2 考点分类 • 析重点 3 易错清零 • 免失误 4 真题回放 • 悟高考 5 预测演练 • 巧押题
2021/4/17
高考数学二轮复习第2部分专题篇素
4
01 解题策略 • 明方向
2021/4/17
高考数学二轮复习第2部分专题篇素
接圆方程是
(B )
A．x2＋y2－4x＋2y＝0
B．x2＋y2＋4x－2y＝0
C．x2＋y2－8x＋4y＝0
D．x2＋y2＋8x－4y＝0
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【解析】矩形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)，A(－4,0)，B(－ 4,2)，C(0,2)，
所以OB的中点为M(－2,1)，r＝12|OB|＝12 －42＋22＝ 5；所以矩形OABC的外接圆方程是(x＋2)2＋(y－1)2＝5，化为一般式方程为x2＋y2＋4x－2y＝0．故选B．
23
考点二圆的方程
1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2． 2．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D2＋E2－4F＞0)表示以－D2 ，－E2 为圆心， D2＋2E2－4F为半径的圆．
8
(文科)
年份卷别题号
考查角度
2020
Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷
6 圆的简单几何性质，以及几何法求弦长
8 圆心到直线距离的计算，求出圆的方程
8
直线过定点问题
分值 5 5 5
9
年份 2019
2018
卷别 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷

[精品]2019高考数学二轮复习专题五解析几何第一讲直线与圆能力训练理

第一讲直线与圆一、选择题1．“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的( ) A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：因为两直线平行，所以斜率相等，即－2a＝－b2，可得ab＝4，又当a＝1，b＝4时，满足ab＝4，但是两直线重合，故选 C.答案：C2．已知圆(x－1)2＋y2＝1被直线x－3y＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( ) A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．1∶5解析：(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为 1.圆心到直线的距离d＝11＋3＝12，所以较短弧所对的圆心角为2π3，较长弧所对的圆心角为4π3，故两弧长之比为1∶2，故选 A.答案：A3．(2018·临沂模拟)已知直线3x＋ay＝0(a＞0)被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则a的值为( )A. 2B. 3C．2 2 D．2 3解析：由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为3，即69＋a2＝3，得a＝ 3.答案：B4．(2018·济宁模拟)已知圆C过点A(2,4)，B(4,2)，且圆心C在直线x＋y＝4上，若直线x＋2y－t＝0与圆C相切，则t的值为( )A．－6±２ 5 B．6±２ 5C．25±６D．6±４ 5解析：因为圆C过点A(2,4)，B(4,2)，所以圆心C在线段AB的垂直平分线y＝x上，又圆心C在直线x＋y＝4上，联立y＝xx＋y＝4，解得x＝y＝2，即圆心C(2,2)，圆C的半径r＝－2＋－2＝2.又直线x＋2y－t＝0与圆C相切，所以|2＋4－t|5＝2，解得t＝6±２ 5.答案：B5．(2018·南昌第一次模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋1与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则cos∠AOB＝( )A.510B．－510C.910D．－910解析：因为圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，半径为2，所以圆心O到直线y＝2x＋1的距离d＝|2×0－0＋1| 22＋－2＝1 5，所以弦长|AB|＝222－152＝2195.在△AOB中，由余弦定理得cos∠AOB＝|OA|2＋|OB|2－|AB|22|OA|·｜OB|＝4＋4－4×1952×2×２＝－910.答案：D6．(2018·合肥第一次教学质量检测)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为( )A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0解析：当直线l的斜率不存在时，计算出弦长为23，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k＋2|k2＋1＝1，解得k＝－34，综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0，故选 B.答案：B7．已知圆O：x2＋y2＝1，点P为直线x4＋y2＝1上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点( )A．(12，14) B．(14，12)C．(34，0) D．(0，34)解析：因为点P是直线x4＋y2＝1上的一动点，所以设P(4－2m，m)．因为PA，PB是圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，所以点A，B在以OP为直径的圆C上，即弦AB是圆O和圆C的公共弦．因为圆心C的坐标是(2－m，m2)，且半径的平方r2＝－2m2＋m24，所以圆C的方程为(x－2＋m)2＋(y－m2)2＝－2m2＋m24，①又x2＋y2＝1，②所以②－①得，(2m－4)x－my＋1＝0，即公共弦AB所在的直线方程为(2x－y)m＋(－4x＋1)＝0，所以由－4x＋1＝0，2x－y＝0得x＝14，y＝12，所以直线AB过定点(14，12)．故选 B.答案：B8．若过点A(1,0)的直线l与圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，l与直线x ＋2y＋2＝0的交点为N，则|AM|·｜AN|的值为( )A．5 B．6C．7 D．8解析：圆C的方程化成标准方程可得(x－3)2＋(y－4)2＝4，故圆心为C(3,4)，半径为2，则可设直线l的方程为kx－y－k＝0(k≠0)，由x＋2y＋2＝0，kx－y－k＝0，得N2k－22k＋1，－3k2k＋1，又直线CM与l垂直，得直线CM的方程为y－4＝－1k(x－3)．由y－4＝－1kx－，kx－y－k＝0，得M k2＋4k＋3k2＋1，4k2＋2kk2＋1，则|AM|·｜AN|＝k2＋4k＋3k2＋1－12＋4k2＋2kk2＋12.2k－22k＋1－12＋－3k2k＋12＝2|2k＋1|1＋k2×1＋k2×31＋k2|2k＋1|＝6.故选B.答案：B二、填空题9．(2018·高考全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4. ∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.答案：2 210．(2018·江苏三市三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点，则|PB ||PA |的最大值是________．解析：设动点P (x ，y )，令|PB ||PA |＝t (t ＞0)，则－x2＋－1－y 2－x 2＋－2－y2＝t 2，整理得，(1－t 2)x 2＋(1－t 2)y 2－2x ＋(2－4t 2)y ＋2－4t 2＝0，(*)易知当1－t 2≠０时，(*)式表示一个圆，且动点P 在该圆上，又点P 在圆x 2＋y 2＝2上，所以点P 为两圆的公共点，两圆方程相减得两圆公共弦所在直线l 的方程为x －(1－2t 2)y －2＋3t 2＝0，所以圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|－2＋3t 2|1＋－2t22≤2，解得0＜t ≤2，所以|PB ||PA |的最大值为 2.答案：2 三、解答题11．已知圆C 过点P (1,1)，且圆C 与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值．解析：(1)设圆心C (a ，b )，则a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2. (2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·（x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2，令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，则PQ →·MQ →＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2＝2sin θ＋π4－2，所以PQ →·MQ →的最小值为－ 4.12．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|取得最小值时点P的坐标．解析：(1)圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2.①当此切线在两坐标轴上的截距为零时，设此切线方程为y＝kx，由|k＋2|1＋k2＝2，得k＝2±6，∴此切线方程为y＝(2±6)x.②当此切线在两坐标轴上的截距不为零时，设此切线方程为x＋y－a＝0，由|－1＋2－a|2＝2，得|a－1|＝2，即a＝－1或a＝3.∴此切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.综上，此切线方程为y＝(2＋6)x或y＝(2－6)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(2)由|PO|＝|PM|，得|PO|2＝|PM|2＝|PC|2－|CM|2，即x21＋y21＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，整理得2x1－4y1＋3＝0，即点P在直线l：2x＋4y＋3＝0上，当|PM|取最小值时，|PO|取最小值，此时直线PO⊥l，∴直线PO的方程为2x＋y＝0.解方程组2x＋y＝0，2x－4y＋3＝0，得x＝－310，y＝35，故使|PM|取得最小值时，点P的坐标为－310，35.13．已知过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)和B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9 2 .(1)求抛物线C的方程；(2)若抛物线C的准线为l，焦点为F，点P为直线m：x＋y－2＝0上的动点，且点P的横坐标为a，试讨论当a取不同的值时，圆心在抛物线C上，与直线l相切，且过点P的圆的个数．解析：(1)直线AB的方程是y＝22(x－p2)，代入y2＝2px，得4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p4，由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9p4＝92，∴p＝2，∴抛物线C的方程是y2＝4x.(2)法一：由(1)知l：x＝－1，F(1,0)．∵所求圆的圆心在抛物线上，且与l相切，则圆过焦点F，又圆过点P，∴圆心在PF的中垂线上，设P(a,2－a)，则PF的中点坐标为(a＋12，2－a2)，当a≠1，a≠２时k PF＝2－aa－1，∴PF的中垂线方程为y＝a－1a－2(x－a＋12)＋2－a2，化简得y＝a－1a－2x＋－2a2＋4a－3a－①.圆的个数即中垂线与抛物线的交点个数，将x＝y24代入①得a－1 a－y2－y＋－2a2＋4a－3a－＝0，Δ＝1－4·a－1a－·－2a2＋4a－3a－＝1＋a－a2－4a＋a－2＝a－2＋2a3－6a2＋7a－3a－2＝2a3－4a2－a＋5a－2＝a＋a2－6a＋a－2.∴当a＝－1时，交点有1个，圆有1个；当a＜－1时，交点有0个，圆有0个；当a＞－1，且a≠1，a≠２时，交点有2个，圆有2个．而当a＝2时，易验证有2个交点，圆有2个；当a＝1时，易知交点有1个，圆有1个．综上所述，当a＜－1时，圆有0个；当a＝±１时，圆有1个；当a＞－1，且a≠１时，圆有2个．法二：设圆心Q(x0，y0)(y20＝4x0)，P(a,2－a)，由于准线l：x＝－1，故若存在圆Q满足条件，则r＝|PQ|＝x0－a2＋y0＋a－2，且r＝x0＋1，∴(x0－a)2＋(y0＋a－2)2＝(x0＋1)2，即a2＋y20＋2(a－2)y0＋(a－2)2＝(2＋2a)x0＋1＝(2＋2a)y204－1，整理得(1－a)y20＋(4a－8)y0＋4a2－8a＋6＝0 (*)，当a＝1时，(*)式即－4y0＋2＝0，有1个解．当a≠１时，(*)式中Δ＝(4a－8)2－4(1－a)(4a2－8a＋6)＝16a3－32a2－8a＋40＝8(a＋1)(2a2－6a＋5)，∵2a2－6a＋5＝2(a－32)2＋12＞0，∴当a＞－1且a≠１时，Δ＞0，(*)式有2个解；当a＝－1时，Δ＝0，(*)式有1个解；当a＜－1时，Δ＜0，(*)式无解．综上，当a＜－1时，圆有0个；当a＝±１时，圆有1个；当a＞－1，且a≠１时，圆有2个．。

新课标高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆课件理新人教A版

侧(或其中一点在直线上)，所以m－m6 －2＋12m－m6 －11＋1≤0，解得－2≤m≤－1 或 3≤m≤6，故选 C．
4．已知直线 l 过直线 l1：x－2y＋3＝0 与直线 l2：2x＋3y－8＝0 的交点，且点 P(0，4) 到直线 l 的距离为 2，则直线 l 的方程为__________________．
法二：设 l2 上任一点为(x，y)，其关于 l 的对称点为(x1，y1)，则由对称性可知 x＋2 x1－y＋2 y1－1＝0， xy－－yx11×1＝－1，解得xy11＝＝xy＋－11，. 因为(x1，y1)在 l1 上，所以 2(y＋1)－(x－1)－2＝0，即 l2 的方程为 x－2y－1＝0. 答案：x－2y－1＝0
答案：y＝2 或 4x－3y＋2＝0
5．(一题多解)已知直线 l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线 l2 与 l1 关于直线 l 对称，则直线 l2 的方程是________．解析：法一：l1 与 l2 关于 l 对称，则 l1 上任意一点关于 l 的对称点都在 l2 上，故 l 与 l1 的交点(1，0)在 l2 上．又易知(0，－2)为 l1 上的一点，设其关于 l 的对称点为(x，y)，则 x2y＋－x 2y×－2 12－＝1－＝10，，解得xy＝＝－－11.，即(1，0)，(－1，－1)为 l2 上两点，故可得 l2 的方程为 x－2y－1＝0.
(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3，2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y－2＝－(x－3)， y0＝－x0＋5，
即 y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则(x0＋1)2＝(y0－x20＋1)2＋16，解得xy00＝＝23，或xy00＝＝－11，6. 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16 或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.

高考数学二轮复习第二层提升篇专题五解析几何第1讲直线与圆讲义-高三全册数学教案

第1讲直线与圆[全国卷3年考情分析](1)圆的方程近几年成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注.此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式呈现.(2)直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时会出现在第11题或第15题位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上.[例1] (1)已知0＜k ＜4，直线l 1：kx －2y －2k ＋8＝0和直线l 2：2x ＋k 2y －4k 2－4＝0与坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k 的值为( )A.18B.12C.14D.2 (2)若直线l 1：y ＝kx －k ＋2与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2过定点( )A.(3，1)B.(3，0)C.(0，1)D.(2，1)[解析] (1)直线l 1，l 2恒过点P (2，4)，直线l 1在y 轴上的截距为4－k ，直线l 2在x 轴上的截距为2k 2＋2，因为0＜k ＜4，所以4－k ＞0，2k 2＋2＞0，所以四边形的面积S ＝12×2×(4－k )＋12×4×(2k 2＋2)＝4k 2－k ＋8＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫k －182＋12716，故当k ＝18时，面积最小. (2)∵y ＝kx －k ＋2＝k (x －1)＋2，∴l 1：y ＝kx －k ＋2过定点(1，2).设定点(1，2)关于点(2，1)对称的点的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2＝2，2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，∴直线l 2过定点(3，0).故选B. [答案] (1)A (2)B[解题方略]1.两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数.若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断.2.轴对称问题的两种类型及求解方法[跟踪训练]1.若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( )A.423B.42C.823D.22解析：选C 因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，所以l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823. 2.在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( )A.102B.10C.5D.10解析：选D 由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴MP ⊥MQ ，∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10，故选D.[例2] (1)已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且A (2a ，2)，B (－4，a )，C (2a ＋2，2)，则三角形ABC 外接圆的方程是( )A.x 2＋(y －3)2＝5B.x 2＋(y ＋3)2＝5 C.(x －3)2＋y 2＝5 D.(x ＋3)2＋y 2＝5 (2)圆心在直线y ＝－4x 上，并且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆的方程为________________.[解析] (1)∵AB ―→＝(－4－2a ，a －2)，AC―→＝(2，0)，∴AB ―→·AC―→＝－8－4a ＝0，解得a ＝－2.∴A (－4，2)，B (－4，－2)，C (－2，2)，|BC |＝25，又BC 的中点坐标为(－3，0)，∴三角形ABC 外接圆的圆心为(－3，0)，半径为|BC |2＝5，∴三角形ABC 外接圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝5.(2)设圆心M 为(x ，－4x )，k MP ＝2－4x x －3， k l ＝－1，所以k MP ·k l ＝－1，所以x ＝1，所以M (1，－4)，所以r ＝|MP |＝（1－3）2＋（－4＋2）2＝22所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.[答案] (1)D (2)(x －1)2＋(y ＋4)2＝8[解题方略] 求圆的方程的2种方法[跟踪训练]1.已知圆C 1：(x ＋2)2＋(y －3)2＝5与圆C 2相交于A (0，2)，B (－1，1)两点，且四边形C 1AC 2B 为平行四边形，则圆C 2的方程为( )A.(x －1)2＋y 2＝5B.(x －1)2＋y 2＝92C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝92 解析：选A 法一：(常规求解法)设圆C 2的圆心坐标为(a ，b )，连接AB ，C 1C 2.因为C 1(－2，3)，A (0，2)，B (－1，1)，所以|AC 1|＝|BC 1|＝5，所以平行四边形C 1AC 2B 为菱形，所以C 1C 2⊥AB 且|AC 2|＝ 5.可得⎩⎪⎨⎪⎧3－b －2－a ×1－2－1－0＝－1，a 2＋（b －2）2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，则圆心C 2的坐标为(1，0)或(－2，3)(舍去).因为圆C 2的半径为5，所以圆C 2的方程为(x －1)2＋y 2＝5.故选A.法二：(特值验证法)由题意可知，平行四边形C 1AC 2B 为菱形，则|C 2A |＝|C 1A |＝22＋（2－3）2＝5，即圆C 2的半径为5，排除B 、D ；将点A (0，2)代入选项A 、C ，显然选项A 符合.故选A.2.若不同两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b ，3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________，圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l 对称的圆的方程为____________.解析：k PQ ＝3－a －b 3－b －a＝1，故直线l 的斜率为－1，由点斜式可知l 的方程为y ＝－x ＋3，圆心(2，3)关于直线y ＝－x ＋3的对称点为(0，1)，故所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：－1 x 2＋(y －1)2＝1考点三直线与圆的位置关系题型一圆的切线问题[例3] (1)过点P (2，4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( )A.3x ＋4y －4＝0B.4x －3y ＋4＝0C.x ＝2或4x －3y ＋4＝0D.y ＝4或3x ＋4y －4＝0(2)设点M (x 0，y 0)为直线3x ＋4y ＝25上一动点，过点M 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，切点为B ，C ，则四边形OBMC 面积的最小值为________.[解析] (1)当斜率不存在时，x ＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，则|k －1＋4－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，则切线方程为4x －3y ＋4＝0，故切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.(2)圆心O 到直线3x ＋4y ＝25的距离d ＝259＋16＝5，则|OM |≥d ＝5，所以切线长|MB |＝|OM |2－2≥d 2－2＝23，所以S 四边形OBMC ＝2S △OBM ≥2×12×23×2＝46. [答案] (1)C (2)46[变式1] 本例(2)变为：过点A (1，3)，作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，切点为B ，C ，则四边形OBAC 的面积为________.解析：由相切可得S 四边形OBAC ＝2S △OBA ，因为△OAB 为直角三角形，且|OA |＝10，|OB |＝2，所以|AB |＝22，即S △OBA ＝12×22×2＝2，所以S 四边形OBAC ＝2S △OBA ＝4.答案：4[变式2] 本例(2)变为：设点M (x 0，y 0)为直线3x ＋4y ＝25上一动点，过点M 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线l 1，l 2，则l 1与l 2的最大夹角的正切值是________.解析：设一个切点为B ，圆心O 到直线3x ＋4y ＝25的距离为d＝259＋16＝5，则tan∠OMB＝|OB||MB|≤223，所以tan2∠OMB＝2tan∠OMB1－tan2∠OMB＝21tan∠OMB－tan∠OMB≤24621.故所求最大夹角的正切值为24621.答案：24621[解题方略] 直线与圆相切问题的解题策略直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算.题型二圆的弦长问题[例4] 已知圆C经过点A(－2，0)，B(0，2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆C相交于P，Q两点.(1)求圆C的方程；(2)过点(0，1)作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M，N 两点，求四边形PMQN面积的最大值.[解] (1)设圆心C(a，a)，半径为r，因为圆C经过点A(－2，0)，B(0，2)，所以|AC|＝|BC|＝r，即（a ＋2）2＋（a －0）2＝（a －0）2＋（a －2）2＝r ，解得a ＝0，r ＝2，故所求圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)设圆心C 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PMQN 的面积为S .因为直线l ，l 1都经过点(0，1)，且l 1⊥l ，根据勾股定理，有d 21＋d 2＝1.又|PQ |＝2×4－d 2，|MN |＝2×4－d 21，所以S ＝12|PQ |·|MN |，即S ＝12×2×4－d 2×2×4－d 21 ＝216－4（d 21＋d 2）＋d 21d 2＝212＋d 21d 2≤212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫d 21＋d 222 ＝212＋14＝7，当且仅当d 1＝d 时，等号成立，所以四边形PMQN 面积的最大值为7.[解题方略] 求解圆的弦长的3种方法[跟踪训练]1.已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y－3)2＝1交于M ，N 两点，若|MN |＝255，则直线l 的方程为________.解析：直线l 的方程为y ＝kx ＋1，圆心C (2，3)到直线l 的距离d ＝|2k －3＋1|k 2＋1＝|2k －2|k 2＋1，由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22，得1＝（2k －2）2k 2＋1＋15，解得k ＝2或12，故所求直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝12x ＋1. 答案：y ＝2x ＋1或y ＝12x ＋1 2.(2019·山东枣庄期末改编)若点P (1，1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0中弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为________________，|AB |＝________.解析：圆x 2＋y 2＋6x ＝0的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9.又因为点P (1，1)为圆中弦AB 的中点，所以圆心与点P 所在直线的斜率为1－01－3＝－12，故弦AB 所在直线的斜率为2，所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.圆心(3，0)与点P (1，1)之间的距离d ＝5，圆的半径r ＝3，则|AB |＝2r 2－d 2＝4.答案：2x －y －1＝0 43.已知从圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，则当|PM |取最小值时点P 的坐标为________.解析：如图所示，连接CM ，CP .由题意知圆心C (－1，2)，半径r ＝ 2.因为|PM |＝|PO |，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 21＋y 21＋2＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2，即2x 1－4y 1＋3＝0.要使|PM |的值最小，只需|PO |的值最小即可.当PO 垂直于直线2x －4y ＋3＝0时，即PO 所在直线的方程为2x ＋y ＝0时，|PM |的值最小，此时点P 为两直线的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －4y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－310，y ＝35，故当|PM |取最小值时点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35 数学建模——直线与圆最值问题的求解[典例] 已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2，1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，则当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为( )A.x －y －3＝0或7x －y －15＝0B.x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0C.x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0D.x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0[解析] 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P (2，5)，Q (2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝25，当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠12，则圆心到直线l的距离d ＝|1－2k |1＋k2，所以|PQ |＝29－d 2，S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×29－d 2×d ＝（9－d 2）d 2≤9－d 2＋d 22＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92，因为25＜92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0，故选D.[答案] D[素养通路]本题考查了直线与圆的最值问题，结合题目的条件，设元、列式、建立恰当的函数，利用基本不等式模型解决相关的最值问题.考查了数学建模这一核心素养.[专题过关检测] A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1.“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析：选C 因为两直线平行，所以斜率相等，即－2a ＝－b 2，可得ab ＝4，又当a ＝1，b ＝4时，满足ab ＝4，但是两直线重合，故选C.2.圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( )A.相离B.相交C.外切D.内切解析：选B 圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心是O 1(1，0)，半径是r 1＝1，圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心是O 2(0，2)，半径是r 2＝2，因为|O 1O 2|＝5，故|r 1－r 2|＜|O 1O 2|＜|r 1＋r 2|所以两圆的位置关系是相交.3.已知直线l 1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2，0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A.(3，3)B.(2，3)C.(1，3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32 解析：选C 直线l 1的斜率k 1＝tan30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以直线l 2的斜率k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33（x ＋2），y ＝－3（x －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3).4.(2019·江苏徐州期末)若圆(x ＋1)2＋y 2＝m 与圆x 2＋y 2－4x ＋8y －16＝0内切，则实数m 的值为( )A.1B.11C.121D.1或121 解析：选D 圆(x ＋1)2＋y 2＝m 的圆心坐标为(－1，0)，半径为m ；圆x 2＋y 2－4x ＋8y －16＝0，即(x －2)2＋(y ＋4)2＝36，故圆心坐标为(2，－4)，半径为 6.由两圆内切得32＋42＝|m －6|，解得m ＝1或m ＝121.故选D.5.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，若点M 在圆C 上，则实数k 的值为( )A.－2B.－1C.0D.1 解析：选C法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －ky ＋1＝0，x 2＋y 2＝4得(k 2＋1)y 2－2ky －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋1)>0，y 1＋y 2＝2k k 2＋1，x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k 2＋1，因为OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2＋1，2k k 2＋1，又点M 在圆C 上，故4（k 2＋1）2＋4k 2（k 2＋1）2＝4，解得k ＝0.法二：由直线与圆相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB―→，且点M 在圆C 上，得圆心C (0，0)到直线x －ky ＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d ＝11＋k2＝1，解得k ＝0. 6.(2019·广东省广州市高三测试)已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点A (－2，0)及点B (2，a )，若直线AB 与圆C 没有公共点，则a 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫433，＋∞ D.(－∞，－4)∪(4，＋∞)解析：选C 由点A (－2，0)及点B (2，a )，得k AB ＝a 4，所以直线AB 的方程为y ＝a 4(x ＋2)，即ax －4y ＋2a ＝0.因为直线AB 与圆C 没有公共点，所以|2a |a 2＋（－4）2＞1，解得a ＞433或a ＜－433，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－433∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫433，＋∞，故选C.二、填空题7.(2019·贵阳市第一学期监测)已知直线l 1：y ＝2x ，则过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心且与直线l 1垂直的直线l 2的方程为________.解析：由题意，圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，所以圆的圆心坐标为(－1，2)，所以所求直线的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝08.已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0，4)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为________________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以直线l 1与l 2的交点为(1，2).显然直线x ＝1不满足P (0，4)到直线l 的距离为2.设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，因为P (0，4)到直线l 的距离为2，所以|－4＋2－k |1＋k2＝2，所以k ＝0或k ＝43.所以直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝09.(2019·广东六校第一次联考)已知点P (－1，2)及圆(x －3)2＋(y －4)2＝4，一光线从点P 出发，经x 轴上一点Q 反射后与圆相切于点T ，则|PQ |＋|QT |的值为________.解析：点P 关于x 轴的对称点为P ′(－1，－2)，如图，连接PP ′，P ′Q ，由对称性可知，P ′Q 与圆相切于点T ，则|PQ |＋|QT |＝|P ′T |.圆(x －3)2＋(y －4)2＝4的圆心为A (3，4)，半径r ＝2，连接AP ′，AT ，则|AP ′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52，|AT |＝r ＝2，所以|PQ |＋|QT |＝|P ′T |＝|AP ′|2－|AT |2＝4 3.答案：43三、解答题10.已知圆(x －1)2＋y 2＝25，直线ax －y ＋5＝0与圆相交于不同的两点A ，B .(1)求实数a 的取值范围；(2)若弦AB 的垂直平分线l 过点P (－2，4)，求实数a 的值. 解：(1)把直线ax －y ＋5＝0代入圆的方程，消去y 整理，得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0，由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点，故Δ＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)>0，即12a 2－5a >0，解得a >512或a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞. (2)由于直线l 为弦AB 的垂直平分线，且直线AB 的斜率为a ，则直线l 的斜率为－1a，所以直线l 的方程为y ＝－1a(x ＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0，由于l 垂直平分弦AB ，故圆心M (1，0)必在l 上，所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝34，由于34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞，所以a ＝34. 11.在平面直角坐标系xOy 中，直线x －y ＋1＝0截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为 6.(1)求圆O 的方程；(2)若直线l 与圆O 相切于第一象限，且直线l 与坐标轴交于点D ，E ，当线段DE 的长度最小时，求直线l 的方程.解：(1)因为点O 到直线x －y ＋1＝0的距离为12，所以圆O 的半径为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫622＝2，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，即bx ＋ay －ab ＝0，由直线l 与圆O 相切，得|－ab |b 2＋a2＝2，即1a 2＋1b 2＝12，则|DE |2＝a 2＋b 2＝2(a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝4＋2b 2a 2＋2a 2b 2≥8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.12.已知A (2，0)，直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m ＜3)所截得的弦长为43，且P 为圆C 上任意一点.(1)求|PA |的最大值与最小值；(2)圆C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.解：(1)∵直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m ＜3)所截得的弦长为43，∴圆心到直线的距离d ＝|－12＋3m ＋1|5＝（13）2－（23）2＝1. ∵m ＜3，∴m ＝2，∴|AC |＝（－3－2）2＋（2－0）2＝29， ∴|PA |的最大值与最小值分别为29＋13，29－13.(2)由(1)可得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13，令x ＝0，得y ＝0或4；令y ＝0，得x ＝0或－6，∴圆C 与坐标轴相交于三点M (0，4)，O (0，0)，N (－6，0)， ∴△MON 为直角三角形，斜边|MN |＝213，∴△MON 内切圆的半径为4＋6－2132＝5－13. B 组——大题专攻强化练1.已知点M (－1，0)，N (1，0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍.(1)求曲线E 的方程；(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点.当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程.解：(1)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )，由题意得（x ＋1）2＋y 2＝3·（x －1）2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3为所求.(2)由题意知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1，0).设曲线E 的圆心为E ，则E (2，0)，设线段CD 的中点为P ，连接EP ，ED ，NP ，则直线EP ：y ＝x －2.设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t 解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22，由圆的几何性质，知|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3， |EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|2－t |22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＝3－（t －2）22，整理得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3，所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3.2.已知点A (1，a )，圆x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆的切线只有一条，求a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆截得的弦长为23，求a 的值.解：(1)由过点A 的圆的切线只有一条，得点A 在圆上，故12＋a 2＝4，解得a ＝± 3.当a ＝3时，A (1，3)，根据直线的点斜式方程，易知所求的切线方程为x ＋3y －4＝0；当a ＝－3时，A (1，－3)，根据直线的点斜式方程，易知所求的切线方程为x －3y －4＝0.综上所述，当a ＝3时，切线方程为x ＋3y －4＝0；当a ＝－3时，切线方程为x －3y －4＝0.(2)设直线方程为x ＋y ＝b ，由于直线过点A ，则1＋a ＝b ，即a ＝b －1，又圆心(0，0)到直线x ＋y ＝b 的距离d ＝|b |2.所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|b |22＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2322＝4，则b ＝±2，因此a ＝b －1＝－1± 2.3.在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解：(1)因为圆心在直线l ：y ＝2x －4上，也在直线y ＝x －1上，所以解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1，得圆心C (3，2)，又因为圆的半径为1，所以圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1，又因为点A (0，3)，显然过点A ，圆C 的切线的斜率存在，设所求的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0，所以|3k －2＋3|k 2＋12＝1，解得k ＝0或k ＝－34，所以所求切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3，即y －3＝0或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上，所以设圆心C 为(a ，2a －4)，又因为圆C 的半径为1，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －2a ＋4)2＝1. 设M (x ，y )，又因为|MA |＝2|MO |，则有x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，整理得x 2＋(y ＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D ，所以点M 既在圆C 上，又在圆D 上，即圆C 与圆D 有交点，所以2－1≤a 2＋（2a －4＋1）2≤2＋1，解得0≤a ≤125，所以圆心C 的横坐标a的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.4.在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况. (2)证明：由(1)知BC的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22，x 22＋mx 2－2＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2，y ＝－12. 所以过A ，B ，C三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.。

高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆学案理新人教A版2

第1讲直线与圆[做真题]题型一圆的方程1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2解析：选A ．由题可知，圆心为(1，4)，结合题意得|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.2．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0＜m ＜4，r ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，(4－m )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为(x －32)2＋y 2＝254.答案：(x －32)2＋y 2＝2543．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. 题型二直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[2，32]D ．[22，32]解析：选A ．圆心(2，0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32]．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为A (－2，0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以△ABP 的面积S ＝12|AB |d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6]．2．(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10解析：选C ．设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，所以M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，所以|MN |＝46，故选C ．3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________．解析：设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB |＝212－d 2＝23，得d ＝3，即||3m －3m 2＋1＝3，解得m ＝－33，则直线l ：x －3y ＋6＝0，数形结合可得|CD |＝|AB |cos 30°＝4.答案：4[明考情]1．近两年圆的方程成为高考全国卷命题的热点，需重点关注．此类试题难度中等偏下，多以选择题或填空题形式考查．2．直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上．直线的方程 [考法全练]1．若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A ．1±2或0 B ．2－52或0C ．2±52D ．2＋52或0解析：选A ．因为平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，所以k AB ＝k AC ，即a 2＋a2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1± 2.故选A ．2．若直线mx ＋2y ＋m ＝0与直线3mx ＋(m －1)y ＋7＝0平行，则m 的值为( ) A ．7 B ．0或7 C ．0D ．4解析：选B ．因为直线mx ＋2y ＋m ＝0与直线3mx ＋(m －1)y ＋7＝0平行，所以m (m －1)＝3m ×2，所以m ＝0或7，经检验，都符合题意．故选B ．3．已知点A (1，2)，B (2，11)，若直线y ＝⎝⎛⎭⎪⎫m －6m x ＋1(m ≠0)与线段AB 相交，则实数m的取值范围是( )A ．[－2，0)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪(0，6]C ．[－2，－1]∪[3，6]D ．[－2，0)∪(0，6]解析：选C ．由题意得，两点A (1，2)，B (2，11)分布在直线y ＝⎝⎛⎭⎪⎫m －6m x ＋1(m ≠0)的两侧(或其中一点在直线上)，所以⎝⎛⎭⎪⎫m －6m－2＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫m －6m －11＋1≤0，解得－2≤m ≤－1或3≤m ≤6，故选C ．4．已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0，4)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为__________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以直线l 1与l 2的交点为(1，2)．显然直线x ＝1不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，因为P (0，4)到直线l 的距离为2，所以|－4＋2－k |1＋k 2＝2，所以k ＝0或k ＝43.所以直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝05．(一题多解)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于直线l 对称，则直线l 2的方程是________．解析：法一：l 1与l 2关于l 对称，则l 1上任意一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1，0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上的一点，设其关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y －22－1＝0，y ＋2x×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.即(1，0)，(－1，－1)为l 2上两点，故可得l 2的方程为x －2y －1＝0.法二：设l 2上任一点为(x ，y )，其关于l 的对称点为(x 1，y 1)，则由对称性可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 12－y ＋y 12－1＝0，y －y1x －x 1×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y ＋1，y 1＝x －1.因为(x 1，y 1)在l 1上，所以2(y ＋1)－(x －1)－2＝0，即l 2的方程为x －2y －1＝0. 答案：x －2y －1＝0(1)两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．(2)轴对称问题的两种类型及求解方法圆的方程 [典型例题]在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由． (2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．【解】由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0. 设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则可得Δ＝m 2－8m >0，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m . 令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0，2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC →·BC →＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0或m ＝－12.由Δ>0得m <0或m >8，所以m ＝－12，此时C (0，－1)，AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0即圆心，半径r ＝|CM |＝174，故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋y 2＝1716.(2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0，将点C (0，2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0，整理得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0. 令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－y ＝0，x ＋2y －2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝45，故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0，1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45.求圆的方程的2种方法1．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C ．(－2，0)D ．⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 解析：选D ．若方程表示圆，则a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，化简得3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.2．经过原点且与直线x ＋y －2＝0相切于点(2，0)的圆的标准方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝4解析：选A ．设圆心的坐标为(a ，b )，则a 2＋b 2＝r 2①，(a －2)2＋b 2＝r 2②，ba －2＝1③，联立①②③解得a ＝1，b ＝－1，r 2＝2.故所求圆的标准方程是(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选A ．3．(2019·安徽合肥模拟)已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0，若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA →·OB →＝－6(其中O 为坐标原点)，则圆M 的半径为( )A ． 5B ． 6C ．7D ．2 2解析：选C ．圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1－a (a <1)，圆心M (1，0)，则|OM |＝1，因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA →＝－MB →，且|MA →|＝|MB →|＝r ，则OA →·OB →＝(OM →＋MA →)·(OM →＋MB →)＝(OM →－MB →)·(OM →＋MB →)＝OM →2－MB →2＝1－r 2＝－6，所以r 2＝7，得r ＝7，所以圆的半径为7，故选C ．直线与圆、圆与圆的综合问题[典型例题]命题角度一切线问题已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x 4＋y2＝1上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 C ．⎝⎛⎭⎪⎫34，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 【解析】因为点P 是直线x 4＋y2＝1上的一动点，所以设P (4－2m ，m )．因为PA ，PB 是圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．所以圆心C 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2－m ，m 2，且半径的平方r 2＝(4－2m )2＋m24，所以圆C 的方程为(x －2＋m )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝(4－2m )2＋m 24，①又x 2＋y 2＝1，②所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，即公共弦AB所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x ＋1)＝0，所以由⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1＝0，2x －y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝12，所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.故选B ．【答案】 B过一点求圆的切线方程的方法(1)过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线的方程的求法若切线斜率存在，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k (k ≠0)，由垂直关系知切线斜率为－1k，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则可由图形写出切线方程x ＝x 0.(2)过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线的方程的求法当切线斜率存在时，设切线斜率为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当切线斜率不存在时要加以验证．命题角度二弦长问题已知圆C 经过点A (－2，0)，B (0，2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P ，Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)过点(0，1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．【解】 (1)设圆心C (a ，a )，半径为r ，因为圆C 经过点A (－2，0)，B (0，2)，所以|AC |＝|BC |＝r ，即(a ＋2)2＋(a －0)2＝(a －0)2＋(a －2)2＝r ，解得a ＝0，r ＝2，故所求圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)设圆心C 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PMQN 的面积为S . 因为直线l ，l 1都经过点(0，1)，且l 1⊥l ，根据勾股定理，有d 21＋d 2＝1. 又|PQ |＝2×4－d 2，|MN |＝2×4－d 21，所以S ＝12|PQ |·|MN |＝12×2×4－d 2×2×4－d 21＝216－4(d 21＋d 2)＋d 21d 2 ＝212＋d 21d 2≤212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫d 21＋d 222＝212＋14＝7，当且仅当d 1＝d 时，等号成立，所以四边形PMQN 面积的最大值为7.求解圆的弦长的3种方法已知圆C 经过点A (0，2)，B (2，0)，圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，且直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为2 3.点P 为圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N .(1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 交于A 1，A 2两点，求BA 1→·BA 2→； (3)求证：|AN |·|BM |为定值．【解】 (1)易知圆心C 在线段AB 的中垂线y ＝x 上，故可设C (a ，a )，圆C 的半径为r .因为直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为23，且r ＝a 2＋(a －2)2，所以C (a ，a )到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|7a ＋5|5＝r 2－3＝2a 2－4a ＋1，所以a ＝0或a ＝170.又圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，所以a ＝0，此时r ＝2，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)将y ＝x ＋1代入x 2＋y 2＝4得2x 2＋2x －3＝0. 设A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－32.所以BA 1→·BA 2→＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋5＝－3＋1＋5＝3.(3)证明：当直线PA 的斜率不存在时，|AN |·|BM |＝8. 当直线PA 与直线PB 的斜率都存在时，设P (x 0，y 0)，直线PA 的方程为y ＝y 0－2x 0x ＋2，令y ＝0得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 02－y 0，0.直线PB 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 02－x 0. 所以|AN |·|BM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2y 02－x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2x 02－y 0 ＝4＋4⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 0x 0－2＋x 0y 0－2＋x 0y 0(x 0－2)(y 0－2)＝4＋4×y 20－2y 0＋x 20－2x 0＋x 0y 0(x 0－2)(y 0－2)＝4＋4×4－2y 0－2x 0＋x 0y 0(x 0－2)(y 0－2)＝4＋4×4－2y 0－2x 0＋x 0y 04－2y 0－2x 0＋x 0y 0＝8，综上，|AN |·|BM |为定值8.讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．[对点训练]1．自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0解析：选D ．由题意得，圆心C 的坐标为(3，－4)，半径r ＝2，如图．因为|PQ |＝|PO |，且PQ ⊥CQ ，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 2＋y 2＋4＝(x －3)2＋(y ＋4)2，即6x －8y －21＝0，所以点P 的轨迹方程为6x －8y －21＝0，故选D ．2．已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点，若|MN |＝255，则直线l 的方程为________．解析：直线l 的方程为y ＝kx ＋1，圆心C (2，3)到直线l 的距离d ＝|2k －3＋1|k 2＋1＝|2k －2|k 2＋1，由R 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22，得1＝(2k －2)2k 2＋1＋15，解得k ＝2或12，故所求直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝12x ＋1.答案：y ＝2x ＋1或y ＝12x ＋13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 与y 轴相切，且过点M (1，3)，N (1，－3)． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且直线OA 与直线OB 的斜率之积为－2.求证：直线l 恒过定点，并求出定点的坐标．解：(1)因为圆C 过点M (1，3)，N (1，－3)，所以圆心C 在线段MN 的垂直平分线上，即在x 轴上，故设圆心为C (a ，0)，易知a >0，又圆C 与y 轴相切，所以圆C 的半径r ＝a ，所以圆C 的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2. 因为点M (1，3)在圆C 上，所以(1－a )2＋(3)2＝a 2，解得a ＝2. 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)记直线OA 的斜率为k (k ≠0)，则其方程为y ＝kx .联立⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)2＋y 2＝4，y ＝kx ，消去y ，得(k 2＋1)x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝4k 2＋1. 所以A ⎝⎛⎭⎪⎫4k 2＋1，4k k 2＋1.由k ·k OB ＝－2，得k OB ＝－2k，直线OB 的方程为y ＝－2kx ，在点A 的坐标中用－2k 代替k ，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k2k 2＋4，－8k k 2＋4.当直线l 的斜率不存在时，4k 2＋1＝4k 2k 2＋4，得k 2＝2，此时直线l 的方程为x ＝43.当直线l 的斜率存在时，4k 2＋1≠4k 2k 2＋4，即k 2≠2.则直线l 的斜率为4k k 2＋1－－8kk 2＋44k 2＋1－4k 2k 2＋4＝4k (k 2＋4)＋8k (k 2＋1)4(k 2＋4)－4k 2(k 2＋1)＝3k (k 2＋2)4－k 4＝3k2－k 2.故直线l 的方程为y －4k k 2＋1＝3k 2－k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 2＋1.即y ＝3k 2－k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43，所以直线l 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0. 综上，直线l 恒过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，0.一、选择题1．已知直线l 1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2，0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 解析：选C ．直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以直线l 2的斜率k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33(x ＋2)，y ＝－3(x －2)，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．2．圆C 与x 轴相切于T (1，0)，与y 轴正半轴交于A 、B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －2)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －2)2＝4解析：选A ．由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，故选A ．3．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B ．圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意，M (0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以a 2＝a 22＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝4，所以两圆的圆心距为2，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．4．(2019·皖南八校联考)圆C 与直线2x ＋y －11＝0相切，且圆心C 的坐标为(2，2)，设点P 的坐标为(－1，y 0)．若在圆C 上存在一点Q ，使得∠CPQ ＝30°，则y 0的取值范围是( )A ．[－12，92]B ．[－1，5]C ．[2－11，2＋11]D ．[2－23，2＋23]解析：选C ．由点C (2，2)到直线2x ＋y －11＝0的距离为|4＋2－11|5＝5，可得圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝5.若存在这样的点Q ，当PQ 与圆C 相切时，∠CPQ ≥30°，可得sin ∠CPQ ＝CQ CP＝5CP≥sin 30°，即CP ≤25，则9＋(y 0－2)2≤25，解得2－11≤y 0≤2＋11.故选C ．5．在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( )A ．102B ．10C ．5D ．10解析：选D ．由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，因为过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，所以MP ⊥MQ ，所以|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10，故选D ．6．(一题多解)(2019·河南郑州模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：选C ．法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －ky ＋1＝0，x 2＋y 2＝4得(k 2＋1)y 2－2ky －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋1)>0，y 1＋y 2＝2k k 2＋1，x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k 2＋1，因为OM →＝OA →＋OB →，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2＋1，2k k 2＋1，又点M 在圆C 上，故4(k 2＋1)2＋4k 2(k 2＋1)2＝4，解得k ＝0.法二：由直线与圆相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，且点M 在圆C 上，得圆心C (0，0)到直线x －ky ＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d ＝11＋k2＝1，解得k ＝0.二、填空题7．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．解析：令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝22，于是sin ∠OPH ＝|OH ||OP |＝222＝12，易知∠OPH 为锐角，所以∠OPH ＝30°，则直线AB 的倾斜角为150°，故直线AB 的斜率为tan 150°＝－33. 答案：－338．已知圆O ：x 2＋y 2＝4到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则实数a 的取值范围为________．解析：由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆O 到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <r ＋1＝2＋1，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)．答案：(－32，32)9．(2019·高考浙江卷)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________．解析：法一：设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0.令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝(－2－0)2＋(－1＋2)2＝ 5.法二：因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以m ＋10－(－2)×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝(－2－0)2＋(－1＋2)2＝ 5. 答案：－2 5三、解答题10．已知点M (－1，0)，N (1，0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍．(1)求曲线E 的方程；(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程．解：(1)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )，由题意得(x ＋1)2＋y 2＝3·(x －1)2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3为所求．(2)由题意知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1，0)．设曲线E 的圆心为E ，则E (2，0)，设线段CD 的中点为P ，连接EP ，ED ，NP ，则直线EP ：y ＝x －2.设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22，由圆的几何性质，知|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3，|EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＝3－(t －2)22，整理得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3，所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3.11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x －x 22)．由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2(x －x 22)，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m2，－12)，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－(m2)2＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．12．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：(1)因为圆心在直线l ：y ＝2x －4上，也在直线y ＝x －1上，所以解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1，得圆心C (3，2)，又因为圆C 的半径为1，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1，又因为点A (0，3)，显然过点A ，圆C 的切线的斜率存在，设所求的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0，所以|3k －2＋3|k 2＋12＝1，解得k ＝0或k ＝－34，所以所求切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3，即y －3＝0或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上，所以设圆心C 为(a ，2a －4)，又因为圆C 的半径为1，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －2a ＋4)2＝1. 设M (x ，y )，又因为|MA |＝2|MO |，则有x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2，整理得x 2＋(y ＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D ，所以点M 既在圆C 上，又在圆D 上，即圆C 与圆D 有交点，所以2－1≤a 2＋(2a －4＋1)2≤2＋1，解得0≤a ≤125，所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.。

高考数学二轮复习专题五解析几何第1讲直线与圆学案文新人教A版

第1讲直线与圆[做真题]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3D ．2解析：选A.由圆的方程可知圆心(1，4)．由点到直线的距离公式可得|a ×1＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43，故选A.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝______．解析：将圆x 2＋y 2＋2y －3＝0化为标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，则圆心坐标为(0，－1)，半径r ＝2，所以圆心到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝22＝2，所以|AB |＝2r 2－d 2＝222－（2）2＝2 2.答案：2 23．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB |＝4，⊙M 过点A ，B 且与直线x ＋2＝0相切．(1)若A 在直线x ＋y ＝0上，求⊙M 的半径；(2)是否存在定点P ，使得当A 运动时，|MA |－|MP |为定值？并说明理由．解：(1)因为⊙M 过点A ，B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上．由已知A 在直线x ＋y ＝0上，且A ，B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y ＝x 上，故可设M (a ，a )．因为⊙M 与直线x ＋2＝0相切，所以⊙M 的半径为r ＝|a ＋2|.连接MA ，由已知得|AO |＝2，又MO ⊥AO ，故可得2a 2＋4＝(a ＋2)2，解得a ＝0或a ＝4. 故⊙M 的半径r ＝2或r ＝6.(2)存在定点P (1，0)，使得|MA |－|MP |为定值．理由如下：设M (x ，y )，由已知得⊙M 的半径为r ＝|x ＋2|，|AO |＝2.由于MO ⊥AO ，故可得x 2＋y 2＋4＝(x ＋2)2，化简得M 的轨迹方程为y 2＝4x .因为曲线C ：y 2＝4x 是以点P (1，0)为焦点，以直线x ＝－1为准线的抛物线，所以|MP |＝x ＋1.因为|MA |－|MP |＝r －|MP |＝x ＋2－(x ＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P .[明考情]1．直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点． 2．考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，其难度多为中档题．直线的方程(基础型)[知识整合]三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离： |AB |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点为(x 0，y 0)，直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0)．(3)两平行直线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B2(其中两平行直线的方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．[注意] 要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．[考法全练]1．已知经过点A (－2，0)和点B (1，3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2互相垂直，则实数a 的值为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．－1或1解析：选 C.直线l 1的斜率k 1＝3a －01－（－2）＝a .当a ≠0时，直线l 2的斜率k 2＝－2a －（－1）a －0＝1－2a a .因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a ·1－2aa ＝－1，解得a ＝1.当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0，0)，此时直线l 2为y 轴，又A (－2，0)，B (1，0)，则直线l 1为x 轴，显然l 1⊥l 2.综上可知，实数a 的值为0或1.故选C.2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为( ) A.423 B ．4 2C.823D ．2 2解析：选C.因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，所以l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.3．若直线l 1：y ＝kx －k ＋2与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2过定点( ) A ．(3，1) B ．(3，0) C ．(0，1)D ．(2，1)解析：选B.因为y ＝kx －k ＋2＝k (x －1)＋2，所以l 1：y ＝kx －k ＋2过定点(1，2)．设定点(1，2)关于点(2，1)对称的点的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2＝2，2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，所以直线l 2过定点(3，0)．故选B.圆的方程(基础型)[知识整合]圆的3种方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．(3)圆的直径式方程：(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0(圆的直径的两端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))．[考法全练]1．(2019·河北省九校第二次联考)圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2－4x ＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0解析：选C.由题意设所求圆的方程为(x －m )2＋y 2＝4(m >0)，则|3m ＋4|32＋42＝2，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.故选C.2．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________________．解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a ，0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9. 答案：(x －2)2＋y 2＝93．若不同的两点P ，Q 的坐标分别为(a ，b )，(3－b ，3－a )，则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为______，圆(x －2)2＋(y －3)2＝1关于直线l 对称的圆的方程为______．解析：k PQ ＝3－a －b3－b －a ＝1，故直线l 的斜率为－1，由点斜式可知l 的方程为y ＝－x ＋3，圆心(2，3)关于直线y ＝－x ＋3的对称点为(0，1)，故所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝1.答案：－1 x 2＋(y －1)2＝1直线(圆)与圆的位置关系(综合型)[知识整合]直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d <r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离．(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ<0⇔相离．圆与圆的位置关系的判定 (1)d >r 1＋r 2⇔两圆外离． (2)d ＝r 1＋r 2⇔两圆外切． (3)|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2⇔两圆相交． (4)d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内切． (5)0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2)⇔两圆内含．[典型例题](1)(2019·洛阳市统考)已知直线x ＋y －2＝0与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，C 为圆周上一点，线段OC 的中点D 在线段AB 上，且3AD →＝5DB →，则r ＝______．(2)已知点F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点M 为抛物线C 上任意一点，过点M 向圆(x －1)2＋y 2＝12作切线，切点分别为A ，B ，则四边形AFBM 面积的最小值为________．【解析】 (1)如图，过O 点作OE ⊥AB 于点E ，连接OA ，则|OE |＝|0＋0－2|12＋12＝2，易知|AE |＝|EB |，不妨令|AD |＝5m (m >0)，由3AD →＝5DB →可得，|BD |＝3m ，|AB |＝8m ，则|DE |＝4m－3m ＝m ，在Rt △ODE 中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2＝(2)2＋m 2①，在Rt △OAE 中，有r 2＝(2)2＋(4m )2②，联立①②，解得r ＝10.(2)设M (x ，y )，易知抛物线C 的焦点F (1，0)也为圆的圆心，圆的半径r ＝|FA |＝22，连接MF ，则|MF |＝x ＋1.因为MA 为切线，所以MA ⊥AF ，在Rt △MAF 中，|MA |＝|MF |2－r 2＝（x ＋1）2－12.易知△MAF ≌△MBF ，所以四边形AFBM 的面积S ＝2×12|MA |×|AF |＝22|MA |＝22（x ＋1）2－12，又因为x ≥0，所以当x ＝0时，四边形AFBM 的面积取得最小值，所以S min ＝22×22＝12.【答案】 (1)10 (2)12(1)直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路①研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．②利用位置关系求过圆外一定点的切线方程的基本思路：首先将直线方程设为点斜式，然后利用圆心到直线的距离等于半径求斜率，最后若求得的斜率只有一个，则存在一条过切点与x 轴垂直的切线．(2)弦长的求解方法①根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系R 2＝d 2＋l 24(其中l 为弦长，R 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)．②根据公式：l ＝1＋k 2|x 1－x 2|求解(其中l 为弦长，x 1，x 2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k 为直线的斜率)．③求出交点坐标，用两点间距离公式求解．[对点训练]1．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是2 2.则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B.由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M 与圆N 的圆心距|MN |＝2<1＋2，两圆半径之差为1，故两圆相交．2．(一题多解)(2019·高考浙江卷)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________．解析：法一：设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0.令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.法二：因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以m ＋10－（－2）×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5. 答案：－253．已知点P 是圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝2上的动点，点Q (2，2)，O 为坐标原点，则△OPQ 面积的最小值是________．解析：因为圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝2，直线OQ 的方程为y ＝x ，所以圆心(－3，1)到直线OQ 的距离为d ＝|－3－1|2＝22，所以圆上的动点P 到直线OQ 的距离的最小值为22－2＝2，所以△OPQ 面积的最小值为12×22×2＝2.答案：2一、选择题1．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋y －2＝0互相垂直，则a 的值等于( ) A ．1 B ．－13C ．－23D ．－2解析：选D.直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率k 1＝－a2，直线x ＋y －2＝0的斜率k 2＝－1，因为两直线相互垂直，所以k 1·k 2＝－1，即(－a2)·(－1)＝－1，所以a ＝－2.2．半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4解析：选C.设圆心坐标为(2，－a )(a >0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，所以a ＝2，所以该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C.3．已知直线l ：y ＝x ＋1平分圆C ：(x －1)2＋(y －b )2＝4的周长，则直线x ＝3与圆C 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定解析：选B.由已知得，圆心C (1，b )在直线l ：y ＝x ＋1上，所以b ＝1＋1＝2，即圆心C (1，2)，半径为r ＝2.由圆心C (1，2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时直线与圆相切．4．(2019·重庆市七校联合考试)两圆x 2＋y 2＋4x －4y ＝0和x 2＋y 2＋2x －8＝0相交于M ，N 两点，则线段MN 的长为( )A.355 B ．4 C.655D.1255解析：选D.两圆方程相减，得直线MN 的方程为x －2y ＋4＝0，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝9，所以圆x 2＋y 2＋2x －8＝0的圆心为(－1，0)，半径为3，圆心(－1，0)到直线MN 的距离d ＝35，所以线段MN 的长为232－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝1255.故选D.5．(一题多解)在平面直角坐标系xOy 中，设直线x ＋y －m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝8交于不同的两点A ，B ，若圆上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，则实数m 的值为( )A ．±1B ．±2C ．±2 2D ．±2 3解析：选B.通解：由题意知，点C 和圆心O 在直线AB 的同侧，且圆心O 在线段AB 的垂直平分线上，设线段AB 的中点为D ，圆O 的半径r ＝22，则|CD |＝|OD |＋r ＝32|AB |.因为|OD |＝|m |2，|AB |＝28－m 22，所以|m |2＋22＝32×28－m 22，解得m ＝±2.优解：设圆O 的半径为r ，则r ＝22，由圆周角∠ACB ＝60°，得圆心角∠AOB ＝120°，则圆心O 到直线x ＋y －m ＝0的距离d ＝12r ＝2，所以|m |2＝2，解得m ＝±2.6．已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 分别是切点，若四边形PACB 的面积的最小值是2，则k 的值为( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选D.由题意知，圆C 的圆心为C (0，1)，半径r ＝1，四边形PACB 的面积S ＝2S △PBC ，若四边形PACB 的面积的最小值是2，则S △PBC 的最小值为1.而S △PBC ＝12r |PB |＝12|PB |＝1，则|PB |的最小值为2，此时|PC |取得最小值，而|PC |的最小值为圆心到直线的距离，所以|5|k 2＋1＝12＋22＝5，即k 2＝4，由k >0，解得k ＝2. 二、填空题7．已知直线l ：x ＋my －3＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相切，则m ＝________．解析：因为圆C ：x 2＋y 2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，直线l ：x ＋my －3＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相切，所以2＝31＋m2，解得m ＝±52. 答案：±528．(2019·广州市调研测试)若点P (1，1)为圆C ：x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为______．解析：由圆的方程易知圆心C 的坐标为(3，0)，又P (1，1)，所以k PC ＝0－13－1＝－12.易知MN ⊥PC ，所以k MN ·k PC ＝－1，所以k MN ＝2.由弦MN 所在的直线经过点P (1，1)，得所求直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.答案：2x －y －1＝09．已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，直线l 1：y ＝3x ，l 2：y ＝kx －1.若直线l 1，l 2被圆C 所截得的弦的长度之比为1∶2，则k 的值为______．解析：依题意知，圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2，0)，半径为2.圆心C 到直线l 1：y ＝3x 的距离为232＝3，所以直线l 1被圆C 所截得的弦长为2×4－3＝2.圆心C 到直线l 2：y ＝kx －1的距离d ＝|2k －1|1＋k2，所以直线l 2被圆C 所截得的弦长为24－d 2，由题意知2∶(24－d 2)＝1∶2，解得d ＝0，故直线l 2过圆心C .所以2k －1＝0，解得k ＝12.答案：12三、解答题10．已知点P (0，5)及圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋24＝0.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．解：(1)如图所示，|AB |＝43，将圆C 方程化为标准方程即(x ＋2)2＋(y －6)2＝16，所以圆C 的圆心坐标为(－2，6)，半径r ＝4，设D 是线段AB 的中点，则CD ⊥AB ，所以|AD |＝23，|AC |＝4，C 点坐标为(－2，6)．在Rt △ACD 中，可得|CD |＝2. 若直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y －5＝kx ，即kx －y ＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式为|－2k －6＋5|k 2＋（－1）2＝2，得k ＝34.故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0. 所以所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.(2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )，则CD ⊥PD ，即CD →·PD →＝0，所以(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.11．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.12．已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x ＋3y －29＝0相切．(1)设直线ax －y ＋5＝0与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围；(2)在(1)的条件下，是否存在实数a ，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心为M (m ，0)(m ∈Z )．因为圆与直线4x ＋3y －29＝0相切，且圆的半径为5，- 11 - 所以|4m －29|42＋32＝5，即|4m －29|＝25. 因为m 为整数，所以m ＝1.所以圆的方程是(x －1)2＋y 2＝25.将ax －y ＋5＝0变形为y ＝ax ＋5，并将其代入圆的方程，消去y 并整理，得(a 2＋1)x 2＋2(5a －1)x ＋1＝0. 由于直线ax －y ＋5＝0交圆于A ，B 两点，故Δ＝4(5a －1)2－4(a 2＋1)>0，即12a 2－5a >0，解得a <0或a >512.所以实数a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞.(2)设符合条件的实数a 存在．由(1)得a ≠0，则直线l 的斜率为－1a .所以直线l 的方程为y ＝－1a (x ＋2)＋4，即x ＋ay ＋2－4a ＝0.因为直线l 垂直平分弦AB ，所以圆心M (1，0)必在直线l 上．所以1＋0＋2－4a ＝0，解得a ＝34.因为34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞，所以存在实数a ＝34，使得过点P (－2，4)的直线l 垂直平分弦AB .。