第二部分 专题一 第五讲 冲刺直击高考

限时：50分钟 满分：75分
一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)
1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x .f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1
D ．e
解析：选B f ′(x )＝2f ′(1)＋1
x
，令x ＝1，得f ′(1)＝－1.
2．(2012·乌鲁木齐模拟)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－1
2x ＋ln x 相切，则b 的值为( )
A ．－2
B ．－1
C ．－1
2
D ．1
解析：选B 设切点的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，所以a ＝1.又切点⎝⎛⎭⎫1，－12在直线y ＝12x ＋b 上，所以－12＝1
2＋b ，所以b ＝－1.
3．函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )
A ．(－1,1)
B ．(－1，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(－∞，＋∞)
解析：选B 记g (x )＝f (x )－(2x ＋4)，则有g (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0.∵g ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴g (x )在R 上是增函数．不等式f (x )>2x ＋4，即g (x )>0＝g (－1)，于是由g (x )在R 上是增函数得，x >－1，即不等式f (x )>2x ＋4的解集是(－1，＋∞)．
4．等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛03
4x d x ，则公比q 的值为( ) A ．1
B ．－1
2
C ．1或－1
2
D ．－1或－1
2
解析：选C 因为S 3＝2x 2|x ＝3－2x 2|x ＝0＝18，所以6q ＋6
q 2＋6＝18，化简得2q 2－q －1＝0，
解得q ＝1或q ＝－1
2
.
5．若f (x )＝－1
2
(x －2)2＋b ln x 在(1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( )
A ．[－1，＋∞)
B ．(－1，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(－∞，－1)
解析：选C 由题意可知f ′(x )＝－(x －2)＋b
x ≤0在(1，＋∞)上恒成立，即b ≤x (x －2)
在x ∈(1，＋∞)上恒成立，由于φ(x )＝x (x －2)＝x 2－2x (x ∈(1，＋∞))的值域是(－1，＋∞)，故只要b ≤－1即可．
6．(2012·泉州模拟)已知函数f (x )＝sin x －1
2x (x ∈[0，π])，那么下列结论正确的是( )
A ．f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π
2上是增函数 B ．f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π上是减函数 C ．∃x ∈[0，π]，f (x )>f ⎝⎛⎭⎫
π3 D ．∀x ∈[0，π]，f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3
解析：选D 注意到f ′(x )＝cos x －1
2，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π3时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫π3，π时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π3上是增函数，在⎝⎛⎭⎫π
3，π上是减函数，f (x )在[0，π]内的最大值是f ⎝⎛⎭⎫π3，即∀x ∈[0，π]，都有f (x )≤f ⎝⎛⎭
⎫π3，因此D 正确． 7．函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图像大致是( )
解析：选A f ′(x )＝cos x －x sin x ．取特殊值检验，当x ＝0时，f ′(x )＝cos x －x sin x ＝1，排除C ，D ；当x ＝π2时，f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0－π
2<0，即在[0，π]的中间处，f ′(x )<0，
显然B 不符合要求．
8．已知函数f (x )＝
2x ＋1
x 2＋2
，则下列选项正确的是( ) A ．函数f (x )有极小值f (－2)＝－1
2，极大值f (1)＝1
B ．函数f (x )有极大值f (－2)＝－1
2，极小值f (1)＝1
C ．函数f (x )有极小值f (－2)＝－1
2，无极大值
D ．函数f (x )有极大值f (1)＝1，无极小值
解析：选A 由f ′(x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋1x 2＋2′＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2＝0，得x ＝－2或x ＝1，当x <－
2时，f ′(x )<0，当－2<x <1时，f ′(x )>0，当x >1时，f ′(x )<0，故x ＝－2是函数f (x )的极小值点，且f (－2)＝－1
2
，x ＝1是函数f (x )的极大值点，且f (1)＝1.
9．函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图像如图所示，则x 21＋x 2
2＝( )
A.89
B.109
C.16
9
D.45
解析：选C 由f (0)＝d ＝0，f (－1)＝－1＋b －c ＝0，f (2)＝8＋4b ＋2c ＝0，得b ＝－1，c ＝－2，d ＝0，故f ′(x )＝3x 2－2x －2.由函数f (x )的图像可知x 1，x 2为函数f (x )的极值点，所以x 1，x 2为方程3x 2－2x －2＝0的两个根，根据根与系数的关系得x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－2
3，
所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2＝49＋43＝169
. 10．(2013·唐山模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )，且f ′(0)>0.若对于任意实数x 都有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)
的最小值为( )
A ．3 B.52 C ．2
D.32
解析：选C 依题意得f ′(0)＝b >0，a >0，b 2≤4ac .f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝a ＋c
b ＋1≥a ＋
c 2ac
＋
1≥1＋1＝2，当且仅当⎩⎨⎧
b ＝2a
c ，a ＝c ，
即a ＝1
2b ＝c >0时取等号，因此f (1)f ′(0)的最小值是2.
二、填空题(共5个小题，每小题5分，共25分)
11．(2012·广东高考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′|x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0
12．函数f (x )＝x
ln x 的单调递减区间是________．
解析：令f ′(x )＝ln x －1
ln 2x
<0，得0<x <e ，又因为函数f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，所以函数f (x )＝
x
ln x
的单调递减区间是(0,1)，(1，e)． 答案：(0,1)，(1，e)
13．(2012·南通模拟)已知函数f (x )＝1
3
x 3＋x 2＋(2a －1)·x ＋a 2－a ＋1，若f ′(x )＝0在(1,3]
上有解，则实数a 的取值范围为________．
解析：由题意可得f ′(x )＝x 2＋2x ＋(2a －1)，显然f ′(x )在(1,3]上单调递增，依题意可知f ′(1)·f ′(3)<0或f ′(3)＝0，即(2＋2a )·(14＋2a )<0或14＋2a ＝0，解得－7≤a <－1，所以a 的取值范围为[－7，－1)．
答案：[－7，－1)
14．已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减， 则实数t 的取值范围是________．
解析：由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝－3，f (－1)＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3m －2n ＝－3，－m ＋n ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝1，
n ＝3.
所以f (x )＝x 3＋3x 2.由f ′(x )＝3x 2＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0，故f (x )在[－2,0]上单调递减，故有[t ，t ＋1]⊆[－2,0]，即－2≤t <t ＋1≤0，解得t ∈[－2，－1]．
答案：[－2，－1]
15．已知函数f (x )＝(1＋x )2－2ln(1＋x )，若在定义域内存在x 0，使得不等式f (x 0)－m ≤0成立，则实数m 的最小值是________．
解析：要使得不等式f (x 0)－m ≤0成立，只需m ≥f (x )min .f ′(x )＝2(1＋x )－2·1
1＋x ＝
2x (x ＋2)
x ＋1
，因为函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， 当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0，
所以函数f (x )在区间(－1,0)上是减函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，
所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数． 所以f (x )min ＝f (0)＝1，所以m ≥1. 故实数m 的最小值为1. 答案：1。