大一高数知识点

或
M1M20
零向量：模长为0的向量. 0
-
9
自由向量：不考虑起点位置的向量.
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量.a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.,行 即 a /b /于
向量的共线、共面 向 a量 与b的 夹 角 ， 垂 直
-
6
M 1 P x 2 x 1, PN y2y1, N2M z2z1,
zR
M 1•
P
o x
dM 1P 2P2 N N2M 2
•M 2
Q Ny
M 1 M 2 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 .
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M (x,y,z),O(0,0,0)
x 方向余弦通常用来表示向量的方向. 向
M 1 M 2M 1 P 2 M 1 Q 2 M 1 R 2 |a |ax2ay2a z2向量模长的坐标表示式
-
18
向量方向余弦的坐标表示式
当 ax2ay2az20时，
cos
ax
,
ax2ay2az2
cos
ay
,
ax2ay2az2
cos
az
.
ax2ay2az2
-
19
方向余弦的特征
c2 o s c2 o s c2 o 1 s
特殊地：单位向量的方向余弦为
a0
a | a
|
{c,c oo ,s cso }.s
-
20
例 1 求平行于向量 a (1,2,2)的单位向量.
-
21
例2 求(1)
a向 量(3m,5,a1),bbc(;2(2,2) ,m3)在, cy轴(4上,的1,投3影) ,
空间两向量的夹角的概念：
a0,
b0,
向量a与向量b的夹角
b
a
(a ,b )(b,a) (0)
-
11
四、向量的线性运算
[1] 加法：符合平行四边形法则，也称为三角形法则
[2] 减法
[3] 数乘
设 是一个数，向量a与 的乘积a规定为
(1)0, a 与 a 同 向 ， |a | |a |
(2)0, a 0
Q(0,y,0) A(x,y,0)
-
5
二、空间两点间的距离
设 M 1 (x 1,y 1,z1)、 M 2(x 2,y2,z2)为 空 间 两 点
zR
M 1•
P o
•M 2
Q N
dM 1M 2?
在 直 角 M 1 NM 2 及 直 角 M 1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d2M 1P 2P2 N N22 M ,
及在 z 轴上的分向量.
-
22
x x1 x2 , y y1 y2 , z z1 z2 . z
2
2
2
B
AM o
y
-
x
8
三、向量的概念
向量：既有大小又有方向的量.
M2
向量表示：a或 M1M2
M 1
以 M 1为 起 点 ， M 2为 终 点 的 有 向 线 段 .
向量的模： 向量的大小.| a|或 | M1M2|
单位向量：模长为1的向量. a 0
z
R
a 投 a x i 投 a y j 投 a zk
影向 影向 影向
k M 1•
P
•M 2
量量 量
Q 在x 在y 在z
N
o
j
y轴 轴 轴
xi
axx2x1
上 的
上 的
上 的
ayy2y1 az z2z1
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k
z zox面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
-
4
空间的点 1 1有序数组(x,y,z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P , Q , R , 坐标面上的点 A , B , C , O(0,0,0)
z
R(0,0,z)
B(0,y,z)
C(x,o,z)
o x P(x,0,0)
•M(x,y,z)
y
-
15
按基本单位向量的坐标分解式：
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k
在三个坐标轴上的分向量：a xi,a yj,a zk,
向量的坐标： ax, ay, az, 向量的坐标表达式： a {a x,a y,a z}
M 1 M 2 { x 2 x 1 ,y 2 y 1 ,z 2 z 1 }
第八章 空间解析几何
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1
第一节 空间向量及其线性运算
-
2
一、空间点的直角坐标
三个坐标轴的正方向符合 右手系.
z竖轴
即以右手握住 z
轴，当右手的四个
手指从正向 x轴以
2
角度转向正向 y 轴
时，大拇指的指向
就是 z 轴的正向.
定点 o•
y纵轴
横轴 x 空间直角坐标系
-
3
Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
使ba,即bx
by
b z.
ax ay az
-
13
五、向量的坐标
空间一向量在轴上的投影
B A
u
A
B
已知向量的起点A和终点B 在
轴u上的投影分别为A, B那
么轴u上的有向线段AB的
值，称为向量在轴u上的投影.
向 量 A 在 轴 u B 上 的 投 影 记 为 PrjuAB
-
14
以 i,j,k 分 别 表 示 沿 x ,y ,z 轴 正 向 的 单 位 向 量 .
(3)0, a 与 a 反 向 ， |a | | ||a |
-
12
数乘符合下列运算规律：
（1）结合律： (a )(a )()a
（2）分配律：( ) a a a
( a b )a b
两个向量的平行关系
定 理 设 向a量 0,则 向b/量 /a存 在 唯 一 ， 的
特殊地：O M {x ,y ,z}
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16
六、向量的模与方向余弦的坐标表示式
非零向量 a的方向角：、、
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
0,
•M 2
M 1•
0, 0.
o
y
x
-
17
z
R
M 1•
•M 2
Q
P
o
由图分析可知
y a a ax y z |||a a a |||c c co o o 余 弦ss 向 量 的 方s
d OM x2y2z2.
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7
结论：设 A( x1 , y1 , z1 )和 B( x2 , y2 , z2 )为两已知
点，点 M 为线段 AB上的一个点，且 AM ，
MB
则 M(x, y, z)的坐标分别为：
x x1 x2 ,
y y
y 1
2,
z z
z 1
2.
1
1
1
M 为 有 向 线 段 A 的 定 B 比 分 点 .M为 中 点 时 ，