【小初高学习]2016年秋八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题导学案(无答案)(新版)新

合集下载

人教版八年级上册13.4课题学习(最短路径问题)

的位置
解：AB＝AC ，△ABC为等腰三角形，
A
AD平分∠CAB，故点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点M在AD上，故BM=CM.即MB+MN的最小值可转化为求
N
●
●M
MC+MN的最小值，故连接CN即可，线段
CN的长即为MB+MN的最小值.
B
D
C
3 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为
●A
●
M′
课堂小结
原理：线段公理和垂线段最短
最
短路
牧马人饮马问
轴对称知识+线段公理
径题
问造桥题选址平移知识+线段公理
问题
课外作业：第93页第15题
和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
A
根据是“两点之间，线段
C
最短”，可知这个交点即
l
为所求.
B
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如
何解决？
B
想一想：对于问题2，如何将
A
点B“移”到l 的另一侧B′
处，满足直线l 上的任意一
l
点C，都保持CB 与CB′的长
度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
练一练：
1 如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则 AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为 __6_0°_____
2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N点是AB上
的一定点，M是AD上一动点，要使MB＋MN最小，请找点M

人教版八年级数学上册教学设计：13.4 课题学习最短路径问题

人教版八年级数学上册教学设计：13.4 课题学习最短路径问题一. 教材分析人教版八年级数学上册第十三章第四节“课题学习最短路径问题”主要是让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握利用图的性质和算法求解最短路径问题的方法。

通过本节课的学习，学生能够将所学的图的知识应用到实际问题中，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了图的基本概念和相关性质，如顶点、边、连通性等。

同时，学生也学习了一定的算法知识，如排序、查找等。

因此，学生在学习本节课时，能够将已有的知识和经验与最短路径问题相结合，通过自主探究和合作交流，理解并掌握最短路径问题的求解方法。

三. 教学目标1.了解最短路径问题的背景和意义，能运用图的性质和算法求解最短路径问题。

2.提高学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

3.增强学生合作交流的意识，提高学生的团队协作能力。

四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的求解方法及其应用。

2.教学难点：理解并掌握最短路径问题的求解算法，能够灵活运用到实际问题中。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.算法教学法：以算法为主线，引导学生了解和掌握最短路径问题的求解方法。

3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，共同解决问题，提高团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关实际问题的案例，如城市间的道路网络、网络通信等。

2.准备算法教学的PPT，以便在课堂上进行讲解和演示。

3.准备练习题和拓展题，以便进行课堂练习和课后巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示实际问题案例，如城市间的道路网络，引导学生了解最短路径问题的背景和意义。

提问：如何找到两点之间的最短路径？引发学生的思考和兴趣。

2.呈现（10分钟）讲解最短路径问题的求解方法，如迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法等。

通过PPT演示算法的具体步骤和过程，让学生清晰地了解算法的原理和应用。

13.4 课题学习最短路径问题

A
点B“移”到l 的另一侧B′处，
l
满足直线l 上的任意一点C，
都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
方法揭晓
作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
B
则点C 即为所求．
A
C l
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
A
根据是“两点之间，线段
C
最短”，可知这个交点即
l
为所求.
B
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
B
想一想：对于问题2，如何将
方法归纳解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.
课堂小结
原理线段公理和垂线段最短
最短牧马人饮路径马问题问题
解题方法轴对称知识+线段公理
造桥选址问题

八年级上数学13.4 课题学习-最短路径问题拔高教案

13.4课题学习最短路径问题第二课时一、教材分析本节课主要内容是最短路径问题，是在学习了轴对称之后进一步理解并掌握“两点之间，线段最短”，通过实际的生活问题让学生经历实际问题抽象成数学的线段最短问题，为以后学习更多的最值问题打下基础。

二、学情分析学生已学习过研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”以及“三角形的第三边大于另两边之差，小于另两边之和”等的问题. 学生学习基础一般，在数学问题的提出和解决上有一定的方法，但不够深入和全面，需要教师的引导和帮助。

三、教学目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．2.能做出一个图形经轴对称变化后的图形。

3.能利用轴对称变换解决日常生活中的实际问题。

4.培养学生的探究、归纳、分析、解决问题的能力。

四、教学重点难点重点利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 难点在实际题目中会运用最短路径问题。

五、教学过程设计一、创设情景引入课题由于是第二课时，所以将最短路径问题基本类型的归纳录成微课的形式播放，控制了时间，而且让学生用不同的方式参与知识的学习，而且还可以作为电子资料随时回顾学习。

二、自主探究合作交流拓展新知素养考点1：两点一线型典型应用数学问题:例1.如图，正方形ABCD的面积为9，△ABE是等边三角形，点E 在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值是多少？拓展：想一想如图，A、B两点在直线l的异侧，在直线l上求作一点C，使｜AC－BC｜的值最大．课堂探究反思：假如A,B在直线l的同侧呢？怎么作图【思路点拨】根据轴对称的性质、利用三角形三边的关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法. 此题的突破点是作点A(或点B)关于直线l的对称点A′(或B′)，利用三角形任意两边之差小于第三边，再作直线A′B(AB′)与直线l交于点C.典例精析例、如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，点P是∠AOB 内部任意一点，OP=6，求△PMN周长的最小值方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.拓展探究：若∠AOB=α1、OP,O P′,OP′′的大小关系？为什么？2、∠P′OP′′与∠AOB的大小关系（用α表示）？3、∠MPN与∠AOB的大小关系？4、当α= 30°时，△P′OP′′的形状？当α= 45°时，△P′OP′′的形状？素养考点4：利用平移知识解决造桥选址问题实际问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？六、练习及检测题1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（）A．P是m上到A、B距离之和最短的点，Q是m上到A、B距离相等的点B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，P是m上到A、B距离相等的点C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点第1题图第2题图第3题图2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．若在OA、OB上分别有动点Q、R，则△PQR周长的最小值是（）A．10 B．15 C．20 D．303.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是_____ 米.4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当P A+PB的值最小时，在图中画出点P．四、反思小结七、作业设计1．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P 是GH上的动点，连接AP，BP，则AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为________．2．已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B.(1)在图1的直线上找一点P使P A＋PB最短；(2)在图2的直线上找一点P，使P A－PB最长．3.（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点．最短路径题解题方法轴对称+线段公理平移+线段公理垂线段最短+轴对称原理线段公理和垂线段最短（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点．（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点．4．如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N点是AB上的一定点，M是AD上一动点，要使MB＋MN最小，请找点M的位置．6．如图，在△ABC的一边AB上有一点P.(1)能否在另外两边AC和BC上各找一点M、N，使得△PMN的周长最短？若能，请画出点M、N的位置，若不能，请说明理由；(2)若∠ACB＝52°，在(1)的条件下，求出∠MPN的度数．7．如图，已知∠AOB，点P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别是OA、OB 上的动点．(1)要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位置．(2)若OP＝4，要使得△PEF的周长的最小值为4，则∠AOB＝________．8．(兰州中考改编)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△周长最小，求∠AMN＋∠ANM的度数．综合题9．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ.(1)画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；(2)直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．。

人教版八年级上册数学 13.4 课题学习最短路径问题优秀教案

13．4 课题学习最短路径问题1．能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．(重点) 2．利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．(难点) 一、情境导入相传，古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？二、合作探究探究点：最短路径问题【类型一】两点的所有连线中，线段最短如图所示，在河a 两岸有A 、B 两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修建才能满足要求？(画出图形，做出说明)解析：利用两点之间线段最短得出答案．解：如图所示，连接AB 交直线a 于点P ，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短．方法总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．【类型二】运用轴对称解决距离最短问题在图中直线l 上找到一点M ，使它到A ，B 两点的距离和最小．解析：先确定其中一个点关于直线l 的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l 的交点M 即为所求的点．解：如图所示：(1)作点B 关于直线l 的对称点B ′；(2)连接AB ′交直线l 于点M ；(3)点M 即为所求的点．方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解．【类型三】最短路径选址问题如图，小河边有两个村庄A ，B ，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水．(1)若要使厂址到A ，B 两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)? (2)若要使厂址到A ，B两村的水管最短，应建在什么地方？解析：(1)欲求到A 、B 两村的距离相等，即作出AB 的垂直平分线与EF 的交点即可，交点即为厂址所在位置；(2)利用轴对称求最短路线的方法是作出A 点关于直线EF 的对称点A ′，再连接A ′B 交EF 于点N ，即可得出答案．解：(1)作出AB 的垂直平分线与EF 的交点M ，交点M 即为厂址所在位置；(2)如图所示：作A 点关于直线EF 的对称点A ′，再连接A ′B 交EF 于点N ，点N 即为所求．【类型四】运用轴对称解决距离之差最大问题如图所示，A ，B 两点在直线l 的两侧，在l 上找一点C ，使点C 到点A、B 的距离之差最大．解析：此题的突破点是作点A (或B )关于直线l 的对称点A ′(或B ′)，作直线A ′B (AB ′)与直线l 交于点C ，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如图所示，以直线l 为对称轴，作点A 关于直线l 的对称点A ′，A ′B 的连线交l 于点C ，则点C 即为所求．理由：在直线l 上任找一点C ′(异于点C )，连接CA ，C ′A ，C ′A ′，C ′B .因为点A ，A ′关于直线l 对称，所以l 为线段AA ′的垂直平分线，则有CA ＝CA ′，所以CA －CB ＝CA ′－CB ＝A ′B .又因为点C ′在l 上，所以C ′A ＝C ′A ′.在△A ′BC ′中，C ′A －C ′B ＝C ′A ′－C ′B ＜A ′B ，所以C ′A ′－C ′B ＜CA －CB .方法总结：如果两点在一条直线的同侧，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．三、板书设计课题学习最短路径问题1．求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．2．求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．通过本节课进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值．在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题．体会在解决问题中与他人合作的重要性．体会运用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决日常生活中和其他学科中的问题，增强应用数学的意识．。

人教版数学八年级上册13.4课题学习最短路径问题说课稿

4.鼓励学生进行创新性思考，例如设计自己的最短路径问题，让学生感受到数学的趣味性和实用性。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
在本节课中，我将主要采用问题驱动的教学法和案例教学法。问题驱动的教学法能够激发学生的思考和探究欲望，通过解决实际问题，使学生理解和掌握知识。案例教学法则能够提供具体的实例，使学生能够将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。这两种方法的选择基于现代教育理念，即以学生为中心，注重培养学生的思维能力和实践能力。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我会逐步呈现最短路径问题的知识点，引导学生深入理解。首先，我会介绍最短路径问题的定义和基本概念，让学生理解什么是路径、什么是距离等。然后，我会引入图解法和解析法两种解决方法，通过图示和实例讲解图解法的原理和步骤，通过公式和推导讲解解析法的原理和步骤。在讲解过程中，我会引导学生积极参与，提问和解答疑问，帮助学生深入理解知识点。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计一些巩固练习和实践活动。例如，我可以设计一些实际问题的练习题，让学生运用图解法或解析法解决这些问题。同时，我可以组织小组合作实践活动，让学生共同解决一个实际问题，例如设计一个城市的公交路线，找出最短路径。通过这些练习和实践活动，学生能够巩固所学知识，并提升解决问题的能力。
（三）教学重难点
1.教学重点：最短路径问题的定义、图解法、解析法及其应用。
2.教学难点：图解法在实际问题中的应用，解析法的推导过程。
针对学生的认知水平，本节课的教学重点是让学生掌握最短路径问题的解决方法，教学难点在于让学生理解和掌握图解法在实际问题中的应用以及解析法的推导过程。在教学过程中，教师需要通过举例、讲解、引导学生动手操作等方式，帮助学生克服这些难点。

八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题教学设计 (新版)新人教版

八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题教学设计（新版）新人教版一. 教材分析“课题学习最短路径问题”是人教版八年级数学上册第13.4节的内容。

这部分内容主要让学生了解最短路径问题的实际应用，学会使用图论中的最短路径算法来解决实际问题。

教材通过引入一个实际问题，引导学生探讨并找出解决问题的方法，从而培养学生解决问题的能力和兴趣。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了图论的基本知识，如图的定义、图的表示方法等。

但是，对于图的最短路径问题，学生可能还没有直观的理解和认识。

因此，在教学过程中，教师需要结合学生的已有知识，通过实例讲解、动手操作等方式，帮助学生理解和掌握最短路径问题。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生了解最短路径问题的实际应用，学会使用图论中的最短路径算法来解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过探讨实际问题，培养学生解决问题的能力和兴趣。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的热爱，提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的实际应用，图论中的最短路径算法。

2.教学难点：如何引导学生从实际问题中抽象出最短路径问题，并运用图论知识解决。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.实例讲解法：通过具体的实例，讲解最短路径问题的解决方法，帮助学生理解和掌握。

3.动手操作法：让学生亲自动手操作，加深对最短路径问题的理解。

六. 教学准备1.教学素材：准备一些实际问题的案例，以及相关的图论知识介绍。

2.教学工具：多媒体教学设备，如PPT等。

3.学生活动：让学生提前预习相关内容，了解图论的基本知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入最短路径问题，激发学生的学习兴趣。

例如，讲解从一个城市到另一个城市，如何找到最短的路线。

2.呈现（15分钟）讲解最短路径问题的定义，以及图论中最短路径算法的基本原理。

通过PPT等教学工具，展示相关的知识点，让学生直观地了解最短路径问题。

人教版八年级上册数学13.4 课题学习《最短路径问题》教案设计

13.4课题学习《最短路径问题》教学设计教学目标：知识与技能：通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短。

过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径问题的思想好方法。

情感态度与价值观：在数学学习活动中活动成功的体验，树立自信心，激发学习的兴趣，感受到数学与现实生活的密切联系。

教学重点：运用所学知识解决最短路径问题。

教学难点：选择合理的方法解决问题。

教学过程：最短路径问题（1）出示如图所示：从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？你的理由是什么？两点之间，线段最短(2)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．例1：如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？:解：如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．归纳：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．例2：如图，如果A，B在燃气管道L的同旁，泵站应修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？分析：点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.归纳：求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．练习：1 在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点．点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．(实际应用题)某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a 图b解：如图b.(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短。

人教版八年级上册13.4课题学习-最短路径问题教案

课题：13.4课题学习最短路径问题教学内容最短路径问题教学目标知识与技能：通过对最短路径问题的探索,进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短.过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程,培养学生解决问题的能力,掌握探索最短路径问题的思想和方法.情感、态度与价值观：在数学教学活动中获得成功的体验,树立自信心,激发学生的学习兴趣,让学生感受数学与现实生活的密切联系.教学重点应用所学知识解决最短路径问题.教学难点选择合理的方法解决问题.教学方法合作交流，讲练结合.教学准备多媒体课件，三角板.教学过程设计设计意图教学过程一、复习引入(1)两点所连的线中,最短.(2)连接直线外一点与已知直线上各点的所有线段中,最短.我们研究过以上这两个问题,我们称它们为最短路径问题.同学们通过讨论下面两个问题,可以体会如何运用所学知识选择最短路径.(揭示课题)二、新知探究问题1首先我们来研究河边饮马问题.(河边饮马问题)如图所示,牧马人从A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.牧马人到河边的什么地方饮马,可使所走的路径最短?现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点,如何在l上找到一个点,使得这个点到点A,点B的距离的和最短?连接AB,与直线l相交于一点,根据“两点之间,线段最短”,可知这个交点即为所求.【思考】如果点A,B分别是直线l同侧的两个点,又应该如何解决?复习旧知，为新课学习提供理论依据.讨论交流.(1)牧马人到笔直的河边饮马,河边可以近似看成一条直线,假设到C点饮马,要保证所走的路径最短和哪些线段有关?(2)要利用我们学过的哪些知识?要经过怎样的图形变换转移到一条线段上?分组交流合作,在小组内达成共识的基础上,推选代表进行板演.幻灯片演示画法,指导学生证明AB'=AC+BC.(B,B'两点关于直线l对称)如果在直线上另外任取一点C',连接AC',BC',B'C'.怎样证明AC+CB<AC'+C'B?讨论交流完成.【总结方法】找出其中某一点关于直线的对称点,连接对称点与另一点,与直线的交点即为所求,证明时要利用三角形三边的关系来证明.(造桥选址问题)如图所示,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直.)我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b,思考:(1)要保证路径最短就是要使哪些线段的和最小?(2)无论点M,N在什么位置,MN的长度是否发生变化?为什么?合作交流.结合学生讨论的结果,强调MN为定值,问题的关键就是要保证AM+NB的和最小.阅读教材第87页,合作交流思路展示教材图13.4 - 9的证明过程.证明AM+MN+NB<AM'+M'N'+N'B.证明:因为A'B<A'N'+N'B,所以A'N+NB<AM'+N'B.又因为AM=A'N,所以AM+NB<A'M+N'B.又MN=M'N',所以AM+MN+NB<AM'+M'N'+N'B.三、课堂小结最短路径问题,常用的方法是借助轴对称的知识转化,利用“两点之间,线段最短”来求线段和的最小值,从而解决最短路径问题.四、课堂练习1.如图所示,直线m表示一条河,点M,N表示两个村庄,欲在m上的某处修建一个给水站,向两个村庄供水,现有如图所示的四种铺设管道的方案,图中实线表示铺设的管道,则所需管道最短的方案是()解析:作点M关于直线m的对称点P',连接NP'交直线m 于P.根据两点之间,线段最短,可知选项D铺设的管道最短.故选D.2.如图(1)所示,在旷野上,一个人骑着马从A到B,半路上他必须先到河岸l的P点让马饮水,然后再到河岸m的Q点让马再次饮水,最后到达B点,他应该如何选择饮马地点P,Q,才能使所走路程AP+PQ+QB为最短(假设河岸l,m为直线)?(1)(2)解:如图(2)所示,作A点关于直线l的对称点A',B点关于直。

13.4课题学习最短路径问题教学设计

核心
素养
目标
通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短的公理和三角形两边之和大于第三边的垂线段最短的定理。
运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径问题的思想方法。
在数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学与现实生活的密切联系。
布置任务，复习知识点
为课堂上涉及知识点做知识储备
新课导入（疑）
一．温故知新
问题1.“孝”是中华民族的传统美德，一代代的中国人应该将它传承下去。晴空万里的一天，何将军从军营（点A）出发，到一条笔直的市集（直线l）买礼品，然后到父母家（点B），何将军到市集的什么地方买礼品，可使所走的路径最短？（假设选中的最佳位置刚好能买到礼品）
生自己读题完成题目，并先行自我归纳模型特点、作图方法、证明思路。
1.设置问题：
（1）让生在学案上作图,用点P表示具体位置；
（2）说出这样的作图依据；
（3）简要证明为何最短？
2.分析这样的模型特点：
两个定点在直线异侧，一个动点在直线上。
3.归纳此模型的作图方法、依据、证明思路。
以学生学过的知识为基础引入课题，培养学生的学习兴趣.
再动手作图，做出最短路径。
归纳总结此模型与上述模型的异同，得到作图方法。
5.在学案上作图，并证明路径最短，可以小组合作。
由平移性质可知，AM＝A'N，AA'＝MN＝M'N'，AM'＝A'N'.
AM+MN+BN转化为ＡA'＋A'Ｂ，而ＡM'＋M'N'＋ＢN'转化为ＡA'＋A'N'＋ＢN'

人教版八年级上册数学说课稿《13.4课题学习最短路径问题》

人教版八年级上册数学说课稿《13.4 课题学习最短路径问题》一. 教材分析《13.4 课题学习最短路径问题》是人教版八年级上册数学的一章内容。

本章主要介绍了最短路径问题的相关知识和方法。

通过本章的学习，学生能够理解最短路径问题的意义，掌握解决最短路径问题的方法，并能够应用到实际问题中。

在教材中，首先介绍了最短路径问题的定义和意义，然后通过图的表示方法引出最短路径问题的解决方法。

接着，教材介绍了两种常用的最短路径算法：迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法。

最后，教材通过一些实际问题，让学生应用所学的知识解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经学习了图的概念和相关性质，对图的基本操作有一定的了解。

同时，学生也学习了算法的基本概念和方法，具备一定的编程能力。

然而，学生对于最短路径问题的理解和应用可能还存在一些困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生理解最短路径问题的意义，并通过实际问题激发学生的学习兴趣。

此外，学生需要通过实践活动，掌握解决最短路径问题的方法，并能够应用到实际问题中。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解最短路径问题的定义和意义，掌握解决最短路径问题的方法，并能够应用到实际问题中。

2.过程与方法目标：学生能够通过实践活动，培养解决问题的能力和团队合作的能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够培养对数学的兴趣和好奇心，培养积极的学习态度和团队合作的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解最短路径问题的定义和意义，掌握解决最短路径问题的方法。

2.教学难点：学生能够理解和应用迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动的教学方法，通过实际问题引导学生学习最短路径问题的解决方法。

2.教学手段：利用多媒体课件和网络资源，展示实际问题和算法流程，帮助学生理解和应用知识。

六. 说教学过程1.引入新课：通过一个实际问题，引出最短路径问题的定义和意义。

近年秋八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题教案新人教版(2021年整理)

2016秋八年级数学上册13.4 课题学习最短路径问题教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016秋八年级数学上册13.4 课题学习最短路径问题教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016秋八年级数学上册13.4 课题学习最短路径问题教案（新版）新人教版的全部内容。

13．4 课题学习最短路径问题教学目标能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．错误!利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．错误!探索发现“最短路径”的方案，确定最短路径的作图及说理．错误!一师一优课一课一名师(设计者: ）教错误!错误!错误!错误!错误!一、创设情景，明确目标如图所示,从A地到B地有三条路可供选择，走哪条路最近？你的理由是什么？前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题"．二、自主学习，指向目标自学教材第85 页至87 页，思考下列问题:1．求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求，其依据是两点的所有连线中,线段最短．2．求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．3．在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择．三、合作探究，达成目标错误!探索最短路径问题活动一：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者,名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题:从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？答：将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗?答：(1)从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地到饮马地，再回到B 地的路程之和；(3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小(如图）．问题2:如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB的和最小?追问1：对于问题2，如何将点B“移"到l的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？追问2：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗?展示点评：作法：（1)作点B 关于直线l 的对称点B′；(2)连接AB′，与直线l 交于点C.则点C 即为所求．问题3 你能用所学的知识证明AC ＋BC最短吗?证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C 不重合),连接AC′，BC′，B′C′。

八年级数学上册 13.4《课题学习最短路径问题》中垂(角平分)线与等腰三角形联手巧解题素材新人

八年级数学上册13.4《课题学习最短路径问题》中垂(角平分）线与等腰三角形联手巧解题素材(新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册1３．4《课题学习最短路径问题》中垂（角平分）线与等腰三角形联手巧解题素材（新版）新人教版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步，以下为八年级数学上册13.4《课题学习最短路径问题》中垂(角平分）线与等腰三角形联手巧解题素材（新版）新人教版的全部内容。

中垂（角平分）线与等腰三角形联手巧解题角平分线与等腰三角形有着密不可分联系．在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线,遇到角平分线又会想到构造等腰三角形．为了能说明这个问题,下面归类说明．一、角平分线与等腰三角形例1、如图1,在△ABC中,∠BAC,∠BＣA的平分线相交于点O,过点O作DE∥AＣ,分别交ＡB，BC于点D，E．试猜想线段AD，ＣE，ＤE的数量关系,并说明你的猜想理由．分析:当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形.由于OA，ＯC分别是∠BＡＣ，∠BCA的平分线,DE∥AC,可得△ADO和△CEＯ均是等腰三角形，则ＤO=DA,EC＝EO,故AＤ+CE=ＤE。

解:AD+CE=DE.理由如下:OA，OＣ分别是∠BAC,∠BCA的平分线，所以∠OAC＝∠DＡＯ，∠OCA=∠ＯCＥ，因为ＤE∥ＡＣ,所以∠DOA=∠OAC，∠EOＣ=∠OＣA,所以∠DOＡ=∠DＡO，∠EOC＝∠ＯＣＥ,所以ＤO=ＤＡ,EＣ＝EＯ，故AＤ+ＣＥ＝DO+EO＝ＤＥ。

.例2、如图2,△ＡＢC中,AＢ=AC,在AＣ上取点Ｐ，过点P作ＥF⊥BＣ,交BA的延长线于点E，垂足为点F.说明：AE＝AＰ．分析:要说明AE＝AP,可寻找一条角平分线与EF平行,于是想到AB=AC,则可以作AD平分∠BAC,所以ＡD⊥BC，而EF⊥ＢC,所以AＤ∥EF，所以可得到△ＡEP是等腰三角形，故ＡＥ=ＡP．解:作AＤ平分∠BAC,则∠BAD=∠CAD，因为AB=AC,所以AD⊥BC,而EF⊥BＣ，所以∠ＡDＣ=∠EＦC=90°,所以AＤ∥EF，所以∠BAD=∠E,∠CＡD=∠APＥ,所以∠Ｅ＝∠APE,所以AE=ＡP．二、中垂线与等腰三角形例３、如图3,在Rt ABC∠=︒，ＤE是AB的垂直平分线,△中,90C交ＢC于D，Ｅ是垂足，∠ＣA D∶∠CAB=1∶3 ，求∠B的度数．分析:由DE是AB的垂直平分线,得DA＝DＢ,从而DAB B∠=∠,从而找到CAB∠与B∠的关系,再根据三角形内角和定理可求．解:因为DE垂直平分AＢ,所以DＡ=DB,所以DAB B∠=∠.设CAD x∠=∠=︒.B DAB x∠=︒,所以3CAB x∠=︒,所以2因为90︒+︒+︒=︒.x x xCAD DAB B∠+∠+∠=︒，所以2290解得18∠=︒=︒.B xx︒=︒,所以236例４、如图4,在△ABC中,已知AB、AＣ的垂直平分线分别交BC于点E、F,且∠BＡC=１15º，∠ＥAF的度数．分析：要求∠EＡF的度数，可采用整体思想，结合条件“垂直平分线"得“线段相等",进一步可得∠B=∠EAB,∠C=∠FＡC，而∠B+∠C=1８0º—∠BAC=65º,从而可求得∠EＡF的度数.解:因为EM、FＤ分别是AB、AC的垂直平分线，所以EＢ＝EA,ＦC＝FA．所以∠Ｂ=∠EAB,∠Ｃ=∠FAC.因为∠Ｂ＋∠EＡB＋∠C+∠FAC＋∠ＥAF＝１8０º,所以∠ＥＡＦ＝18０º—2(∠B＋∠C),而∠ＢAC＝11５º.所以B+∠C=18０º—１15º=６５º，所以∠EAF=180º-13０º=５0º.以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。

人教版初中数学八年级上册13.4 课题学习最短路径问题

人教版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！人教版初中数学和你一起共同进步学业有成！13.4 课题学习最短路径问题学习目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.2.利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 重点：作轴对称图形难点：用轴对称知识解决相应的数学问题学习过程：一、复习旧知1、动一动：如图，已知△ABC 和直线l ，你能作出△ABC 关于直线l 对称的图形。

二、预习新课 2、[探究1]如图（1）．要在燃气管道L 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在L 上找几个点试一试，能发现什么规律吗？[探究2]为什么在点C 的位置修建泵站，就能使所用的输管道最短？过程：将实际问题转化为数学问题，该问题就是证明．l已知：求作：证明过程：三、随堂练习1、任画一条直线L及直线L同旁两点M、N，画出从点M出发经过直线L上的某一点后，再到达N点的最短路线。

.N.M2、已知：两点A、B位于直线L的两侧，在直线L上求作一点C，使得AC-BC最大。

A ..B四、课时小结五、巩固提升1、如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮水，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

2、为保证2008北京奥运会顺利进行，奥组委在公路L的同侧修建你A，B两个日用品供应站，要在过路边建一个转运站C，使A,B两站到转运站C的距离之和最短，问这个转运站应建在公路的哪个位置上比较合理？A .B .相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。

数学思维可以让他们更理性地看待人生。

【小初高学习]2016年秋八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题导学案(无答案)(新版)新

人教版八年级上册13.4课题学习(最短路径问题)

最新人教版初中八年级上册数学《课题学习最短路径问题》精品教案

人教版八年级数学上册教学设计：13.4 课题学习 最短路径问题

13.4 课题学习 最短路径问题

八年级上数学13.4 课题学习-最短路径问题拔高 教案

人教版八年级上册数学 13.4 课题学习 最短路径问题 优秀教案